સ્ટેટિક્સ. યાંત્રિક પ્રણાલીનું સંતુલન (એકદમ કઠોર શરીર)

ચાલો હું એક ભૌતિક મુદ્દાને ધ્યાનમાં લઈએ જેની હિલચાલ એવી રીતે મર્યાદિત છે કે તેની પાસે માત્ર એક ડિગ્રી સ્વતંત્રતા છે.

આનો અર્થ એ છે કે તેની સ્થિતિ એક જ માત્રાનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરી શકાય છે, જેમ કે x સંકલન. એક ઉદાહરણ એ છે કે વર્ટિકલ પ્લેનમાં નિયત વાયર સાથે ઘર્ષણ વિના સરકતો બોલ (ફિગ. 26.1, a).

બીજું ઉદાહરણ ઝરણાના અંત સાથે જોડાયેલ બોલ છે, ઘર્ષણ વિના આડી માર્ગદર્શિકા (ફિગ. 26.2, a).

એક રૂઢિચુસ્ત બળ બોલ પર કાર્ય કરે છે: પ્રથમ કિસ્સામાં તે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે, બીજા કિસ્સામાં તે વિકૃત વસંતનું સ્થિતિસ્થાપક બળ છે. સંભવિત ઉર્જા ગ્રાફ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યા છે. 26.1, બી અને 26.2, બી.

દડા ઘર્ષણ વિના તાર સાથે આગળ વધતા હોવાથી, વાયર જે બળ સાથે બોલ પર કાર્ય કરે છે તે બંને કિસ્સાઓમાં દડાની ગતિને લંબરૂપ હોય છે અને તેથી તે બોલ પર કોઈ કામ કરતું નથી. તેથી, ઊર્જા સંરક્ષણ થાય છે:

(26.1) થી તે અનુસરે છે કે કંપનવિસ્તાર ઊર્જામાં ઘટાડો થવાને કારણે જ ગતિ ઊર્જા વધી શકે છે. તેથી, જો બોલ એવી સ્થિતિમાં છે કે તેની ગતિ શૂન્ય છે અને સંભવિત ઊર્જાનું લઘુત્તમ મૂલ્ય છે, તો પછી બાહ્ય પ્રભાવ વિના તે ખસેડી શકશે નહીં, એટલે કે તે સંતુલનમાં હશે.

U નું મિનિમા આલેખમાં સમાન મૂલ્યોને અનુરૂપ છે (ફિગ. 26.2 માં અવિકૃત ટુકડીની લંબાઈ છે) લઘુત્તમ સંભવિત ઊર્જા માટેની સ્થિતિનું સ્વરૂપ છે

ટી (22.4) અનુસાર, શરત (26.2) એ હકીકતની સમકક્ષ છે કે

(એ કિસ્સામાં જ્યાં U માત્ર એક ચલનું કાર્ય છે, ). આમ, લઘુત્તમ સંભવિત ઊર્જાને અનુરૂપ સ્થિતિ એવી મિલકત ધરાવે છે કે શરીર પર કાર્ય કરતું બળ શૂન્ય છે.

ફિગમાં બતાવેલ કિસ્સામાં. 26.1, શરતો (26.2) અને (26.3) પણ x સમાન (એટલે ​​​​કે, મહત્તમ U માટે) માટે સંતુષ્ટ છે. આ મૂલ્ય દ્વારા નિર્ધારિત બોલની સ્થિતિ પણ સંતુલન હશે. જો કે, આ સંતુલન, પરના સંતુલનથી વિપરીત, અસ્થિર હશે: તે આ સ્થિતિમાંથી બોલને સહેજ દૂર કરવા માટે પૂરતું છે અને એક બળ ઉત્પન્ન થશે જે બોલને સ્થિતિથી દૂર ખસેડશે. જ્યારે દડો સ્થિર સંતુલન સ્થિતિમાંથી વિસ્થાપિત થાય છે ત્યારે ઉદ્ભવતા દળો (જેના માટે ) એવી રીતે નિર્દેશિત થાય છે કે તેઓ બોલને સંતુલન સ્થિતિમાં પાછા ફરે છે.

ટી ફંક્શનના પ્રકારને જાણીને જે સંભવિત ઊર્જાને વ્યક્ત કરે છે, અમે કણોની હિલચાલની પ્રકૃતિ વિશે સંખ્યાબંધ તારણો કરી શકીએ છીએ. ચાલો આને ફિગમાં બતાવેલ ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને સમજાવીએ. 26.1, બી. જો કુલ ઉર્જા આકૃતિમાં દર્શાવેલ મૂલ્ય ધરાવે છે, તો પછી કણ કાં તો રેન્જથી અથવા અનંત સુધીની રેન્જમાં ખસેડી શકે છે. કણ પ્રદેશમાં પ્રવેશી શકતો નથી, કારણ કે સંભવિત ઉર્જા કુલ ઉર્જા કરતા વધારે બની શકતી નથી (જો આવું થાય, તો ગતિ ઊર્જા નકારાત્મક બની જશે). આમ, પ્રદેશ સંભવિત અવરોધનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે કે જેના દ્વારા કુલ ઊર્જાની આપેલ રકમને જોતાં કણ પ્રવેશ કરી શકતો નથી. વિસ્તારને સંભવિત કૂવો કહેવામાં આવે છે.

જો કોઈ કણ તેની ગતિ દરમિયાન અનંતતા તરફ ન જઈ શકે, તો ગતિને મર્યાદિત કહેવામાં આવે છે. જો કણ ઈચ્છે ત્યાં સુધી જઈ શકે, તો ગતિને અનંત કહેવામાં આવે છે. સંભવિત કૂવામાં એક કણ મર્યાદિત ગતિમાંથી પસાર થાય છે. આકર્ષક દળોના કેન્દ્રિય ક્ષેત્રમાં નકારાત્મક કુલ ઊર્જા સાથેના કણની ગતિ પણ મર્યાદિત હશે (એવું માનવામાં આવે છે કે સંભવિત ઊર્જા અનંત સમયે અદૃશ્ય થઈ જાય છે).

યાંત્રિક સંતુલન

યાંત્રિક સંતુલન- એક યાંત્રિક પ્રણાલીની સ્થિતિ કે જેમાં તેના દરેક કણો પર કાર્ય કરતા તમામ દળોનો સરવાળો શૂન્ય જેવો હોય છે અને પરિભ્રમણની કોઈપણ મનસ્વી અક્ષની તુલનામાં શરીર પર લાગુ તમામ દળોના ક્ષણોનો સરવાળો પણ શૂન્ય હોય છે.

સંતુલનની સ્થિતિમાં, પસંદ કરેલ સંદર્ભ ફ્રેમમાં શરીર આરામ પર હોય છે (વેગ વેક્ટર શૂન્ય છે), કાં તો સીધી રેખામાં એકસરખી રીતે આગળ વધે છે અથવા સ્પર્શક પ્રવેગક વિના ફરે છે.

સિસ્ટમ ઊર્જા દ્વારા વ્યાખ્યા

ઊર્જા અને દળો મૂળભૂત સંબંધો દ્વારા સંબંધિત હોવાથી, આ વ્યાખ્યા પ્રથમની સમકક્ષ છે. જો કે, સંતુલન સ્થિતિની સ્થિરતા વિશે માહિતી પ્રદાન કરવા માટે ઊર્જાની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાને વિસ્તૃત કરી શકાય છે.

સંતુલનના પ્રકાર

ચાલો સ્વતંત્રતાની એક ડિગ્રી સાથે સિસ્ટમ માટે ઉદાહરણ આપીએ. આ કિસ્સામાં, સંતુલન સ્થિતિ માટે પર્યાપ્ત સ્થિતિ અભ્યાસ હેઠળના બિંદુ પર સ્થાનિક સીમાની હાજરી હશે. જેમ જાણીતું છે, વિભેદક કાર્યના સ્થાનિક સીમાની સ્થિતિ એ છે કે તેનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે. આ બિંદુ લઘુત્તમ અથવા મહત્તમ ક્યારે છે તે નિર્ધારિત કરવા માટે, તમારે તેના બીજા વ્યુત્પન્નનું વિશ્લેષણ કરવાની જરૂર છે. સંતુલન સ્થિતિની સ્થિરતા નીચેના વિકલ્પો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે:

• અસ્થિર સંતુલન;
• સ્થિર સંતુલન;
• ઉદાસીન સંતુલન.

અસ્થિર સંતુલન

કિસ્સામાં જ્યારે બીજું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક હોય, ત્યારે સિસ્ટમની સંભવિત ઊર્જા સ્થાનિક મહત્તમની સ્થિતિમાં હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે સંતુલન સ્થિતિ અસ્થિર. જો સિસ્ટમને નાના અંતરે વિસ્થાપિત કરવામાં આવે છે, તો તે સિસ્ટમ પર કામ કરતા દળોને કારણે તેની હિલચાલ ચાલુ રાખશે.

સ્થિર સંતુલન

બીજું વ્યુત્પન્ન > 0: સ્થાનિક લઘુત્તમ, સંતુલન સ્થિતિ પર સંભવિત ઊર્જા ટકાઉ(સંતુલનની સ્થિરતા પર લેગ્રેન્જનું પ્રમેય જુઓ). જો સિસ્ટમ નાના અંતરે વિસ્થાપિત થાય છે, તો તે તેની સંતુલન સ્થિતિમાં પાછી આવશે. સંતુલન સ્થિર છે જો શરીરના ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર તમામ સંભવિત પડોશી સ્થિતિઓની તુલનામાં સૌથી નીચું સ્થાન ધરાવે છે.

ઉદાસીન સંતુલન

બીજું વ્યુત્પન્ન = 0: આ પ્રદેશમાં ઊર્જા બદલાતી નથી અને સંતુલન સ્થિતિ છે ઉદાસીન. જો સિસ્ટમને નાના અંતરે ખસેડવામાં આવે છે, તો તે નવી સ્થિતિમાં રહેશે.

મોટી સંખ્યામાં સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી સાથે સિસ્ટમોમાં સ્થિરતા

જો સિસ્ટમમાં સ્વતંત્રતાની ઘણી ડિગ્રી હોય, તો તે બહાર આવી શકે છે કે કેટલીક દિશામાં પાળીમાં સંતુલન સ્થિર છે, પરંતુ અન્યમાં તે અસ્થિર છે. આવી પરિસ્થિતિનું સૌથી સરળ ઉદાહરણ એ "સેડલ" અથવા "પાસ" છે (આ જગ્યાએ ચિત્ર મૂકવું સારું રહેશે).

સ્વતંત્રતાના અનેક અંશ ધરાવતી સિસ્ટમનું સંતુલન ત્યારે જ સ્થિર રહેશે જો તે સ્થિર હોય બધી દિશામાં.

વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન.

2010.

અન્ય શબ્દકોશોમાં "મિકેનિકલ સંતુલન" શું છે તે જુઓ:યાંત્રિક સંતુલન

- mechaninė pusiausvyra statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. યાંત્રિક સંતુલન વોક. mechanisches Gleichgewicht, n rus. યાંત્રિક સંતુલન, n pranc. équilibre mecanique, m … Fizikos terminų žodynas

- ... વિકિપીડિયા

થર્મોડાયનેમિક સિસ્ટમની સ્થિતિ કે જેમાં તે પર્યાવરણમાંથી અલગતાની સ્થિતિમાં પૂરતા લાંબા સમય પછી સ્વયંભૂ આવે છે, જે પછી સિસ્ટમની સ્થિતિના પરિમાણો સમય જતાં બદલાતા નથી. આઇસોલેશન... ... ગ્રેટ સોવિયેત જ્ઞાનકોશ

સમતુલા- (1) શરીરની ગતિશીલતાની યાંત્રિક સ્થિતિ, જે તેના પર કામ કરતા R. દળોનું પરિણામ છે (જ્યારે શરીર પર કામ કરતા તમામ દળોનો સરવાળો શૂન્ય સમાન હોય છે, એટલે કે તે પ્રવેગકતા આપતું નથી) . આર.ને અલગ પાડવામાં આવે છે: a) સ્થિર, જ્યારે માંથી વિચલિત થાય ત્યારે ... ... મોટા પોલિટેકનિક જ્ઞાનકોશ

યાંત્રિક સ્થિતિ સિસ્ટમ, જેમાં આપેલ સંદર્ભ સિસ્ટમના સંદર્ભમાં તેના તમામ બિંદુઓ ગતિહીન છે. જો આ સંદર્ભ પ્રણાલી જડ છે, તો R.M. સંપૂર્ણ, અન્યથા સંબંધિત. પછીના શરીરની વર્તણૂકના આધારે ... બિગ એનસાયક્લોપેડિક પોલિટેકનિક ડિક્શનરી

થર્મોડાયનેમિક સંતુલન એ એક અલગ થર્મોડાયનેમિક સિસ્ટમની સ્થિતિ છે, જેમાં તમામ રાસાયણિક, પ્રસરણ, પરમાણુ અને અન્ય પ્રક્રિયાઓ માટે દરેક બિંદુએ, આગળની પ્રતિક્રિયાનો દર વિપરીત એકના દર જેટલો હોય છે. થર્મોડાયનેમિક... ... વિકિપીડિયા

સમતુલા- પદાર્થનું સૌથી સંભવિત મેક્રોસ્ટેટ, જ્યારે ચલ, પસંદગીને ધ્યાનમાં લીધા વિના, સિસ્ટમના સંપૂર્ણ વર્ણન સાથે સ્થિર રહે છે. સંતુલન અલગ પડે છે: યાંત્રિક, થર્મોડાયનેમિક, રાસાયણિક, તબક્કો, વગેરે: જુઓ... ... ધાતુશાસ્ત્રનો જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

વિષયવસ્તુ 1 ક્લાસિકલ વ્યાખ્યા 2 સિસ્ટમની ઊર્જા દ્વારા વ્યાખ્યા 3 સંતુલનના પ્રકાર ... વિકિપીડિયા

તબક્કો સંક્રમણો આ લેખ થર્મોડાયનેમિક્સ શ્રેણીનો એક ભાગ છે. તબક્કો તબક્કો સંતુલનનો ખ્યાલ ક્વોન્ટમ તબક્કો સંક્રમણ થર્મોડાયનેમિક્સના વિભાગો થર્મોડાયનેમિક્સના સિદ્ધાંતો રાજ્યના સમીકરણ ... વિકિપીડિયા

આ વ્યાખ્યાન નીચેના મુદ્દાઓને આવરી લે છે:

1. યાંત્રિક પ્રણાલીઓના સંતુલન માટેની શરતો.

2. સંતુલનની સ્થિરતા.

3. સંતુલન સ્થિતિ નક્કી કરવા અને તેમની સ્થિરતાનો અભ્યાસ કરવાનું ઉદાહરણ.

આ મુદ્દાઓનો અભ્યાસ "મશીન પાર્ટ્સ" ની શિસ્તમાં સંતુલન સ્થિતિને સંબંધિત યાંત્રિક પ્રણાલીની ઓસીલેટરી હિલચાલનો અભ્યાસ કરવા માટે, "મશીનો અને મિકેનિઝમ્સનો સિદ્ધાંત" અને "સામગ્રીની શક્તિ" વિષયોમાં સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે જરૂરી છે.

યાંત્રિક પ્રણાલીઓની ગતિનો એક મહત્વપૂર્ણ કેસ તેમની ઓસીલેટરી ગતિ છે. ઓસિલેશન એ યાંત્રિક પ્રણાલીની તેની કેટલીક સ્થિતિઓની તુલનામાં પુનરાવર્તિત હલનચલન છે, જે સમય જતાં વધુ કે ઓછા નિયમિતપણે થાય છે. અભ્યાસક્રમ કાર્ય સંતુલન સ્થિતિ (સંબંધિત અથવા સંપૂર્ણ) ને સંબંધિત યાંત્રિક સિસ્ટમની ઓસીલેટરી ગતિની તપાસ કરે છે.

યાંત્રિક પ્રણાલી માત્ર સ્થિર સંતુલન સ્થિતિની નજીક પૂરતા લાંબા સમય માટે ઓસીલેટ કરી શકે છે. તેથી, ઓસીલેટરી ગતિના સમીકરણો કંપોઝ કરતા પહેલા, સંતુલન સ્થાનો શોધવા અને તેમની સ્થિરતાનો અભ્યાસ કરવો જરૂરી છે.

યાંત્રિક સિસ્ટમો માટે સંતુલન શરતો.

સંભવિત વિસ્થાપનના સિદ્ધાંત (સ્ટેટિક્સનું મૂળભૂત સમીકરણ) અનુસાર, એક યાંત્રિક પ્રણાલી કે જેના પર આદર્શ, સ્થિર, સંયમ અને હોલોનોમિક અવરોધો સમતુલામાં લાદવામાં આવે છે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે આ સિસ્ટમમાં તમામ સામાન્યીકૃત દળો શૂન્ય સમાન બનો:

જ્યાં - અનુરૂપ સામાન્ય બળ j-ઓહ સામાન્યકૃત સંકલન;

s- યાંત્રિક સિસ્ટમમાં સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સની સંખ્યા.

જો બીજા પ્રકારના લેગ્રેન્જ સમીકરણોના રૂપમાં અભ્યાસ હેઠળની સિસ્ટમ માટે ગતિના વિભેદક સમીકરણોનું સંકલન કરવામાં આવ્યું હોય, તો સંભવિત સંતુલન સ્થિતિઓ નક્કી કરવા માટે તે સામાન્યીકૃત દળોને શૂન્ય સાથે સમાન કરવા અને પરિણામી સમીકરણોને સામાન્યીકરણના સંદર્ભમાં ઉકેલવા માટે પૂરતું છે. સંકલન

જો યાંત્રિક પ્રણાલી સંભવિત બળ ક્ષેત્રમાં સંતુલનમાં હોય, તો પછી સમીકરણો (1) થી આપણે નીચેની સંતુલન સ્થિતિઓ મેળવીએ છીએ:

તેથી, સંતુલન સ્થિતિમાં, સંભવિત ઊર્જાનું આત્યંતિક મૂલ્ય છે. ઉપરોક્ત સૂત્રો દ્વારા નિર્ધારિત દરેક સંતુલન વ્યવહારીક રીતે સાકાર થઈ શકતું નથી. જ્યારે તે સંતુલન સ્થિતિમાંથી વિચલિત થાય છે ત્યારે સિસ્ટમની વર્તણૂક પર આધાર રાખીને, વ્યક્તિ આ સ્થિતિની સ્થિરતા અથવા અસ્થિરતા વિશે વાત કરે છે.

સંતુલન સ્થિરતા

સંતુલન સ્થિતિની સ્થિરતાના ખ્યાલની વ્યાખ્યા 19મી સદીના અંતમાં રશિયન વૈજ્ઞાનિક એ.એમ. લાયપુનોવની કૃતિઓમાં આપવામાં આવી હતી. ચાલો આ વ્યાખ્યા જોઈએ.

ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે, અમે સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ પર વધુ સંમત થઈશું q 1 , પ્ર 2 ,...,q s સિસ્ટમની સંતુલન સ્થિતિથી ગણતરી કરો:

જ્યાં

જો કોઈ મનસ્વી રીતે નાની સંખ્યા હોય તો સંતુલન સ્થિતિને સ્થિર કહેવામાં આવે છેશું તમે બીજો નંબર શોધી શકો છો , તે કિસ્સામાં જ્યારે સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ અને વેગના પ્રારંભિક મૂલ્યો ઓળંગશે નહીં:

સિસ્ટમની વધુ હિલચાલ દરમિયાન સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ અને વેગના મૂલ્યો ઓળંગશે નહીં .

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સિસ્ટમની સંતુલન સ્થિતિ q 1 = q 2 = ...= q s = 0 કહેવાય છે ટકાઉ, જો આવા પૂરતા પ્રમાણમાં નાના પ્રારંભિક મૂલ્યો શોધવાનું હંમેશા શક્ય હોય, જેના પર સિસ્ટમની હિલચાલઆપેલ કોઈપણ, મનસ્વી રીતે નાનું, સંતુલન સ્થિતિની પડોશ છોડશે નહીં. સ્વતંત્રતાની એક ડિગ્રી ધરાવતી સિસ્ટમ માટે, સિસ્ટમની સ્થિર ગતિ તબક્કાના પ્લેન (ફિગ. 1) માં સ્પષ્ટ રીતે દર્શાવી શકાય છે.સ્થિર સંતુલન સ્થિતિ માટે, પ્રતિનિધિત્વ બિંદુની હિલચાલ, પ્રદેશમાં શરૂ થાય છે [ ] , ભવિષ્યમાં પ્રદેશની બહાર નહીં જાય.

ફિગ.1

સંતુલન સ્થિતિ કહેવામાં આવે છે એસિમ્પટોટિકલી સ્થિર , જો સમય જતાં સિસ્ટમ સંતુલન સ્થિતિ સુધી પહોંચે છે, તો તે છે

સંતુલન સ્થિતિની સ્થિરતા માટેની શરતો નક્કી કરવી એ એક જટિલ કાર્ય છે, તેથી અમે અમારી જાતને સૌથી સરળ કેસ સુધી મર્યાદિત કરીશું: રૂઢિચુસ્ત પ્રણાલીઓના સંતુલનની સ્થિરતાનો અભ્યાસ કરવો.

આવી સિસ્ટમો માટે સંતુલન સ્થિતિની સ્થિરતા માટે પૂરતી શરતો નક્કી કરવામાં આવે છે લેગ્રેન્જ-ડિરિચલેટ પ્રમેય : રૂઢિચુસ્ત યાંત્રિક પ્રણાલીની સંતુલન સ્થિતિ સ્થિર હોય છે જો સંતુલન સ્થિતિમાં સિસ્ટમની સંભવિત ઉર્જા એક અલગ લઘુત્તમ હોય .

યાંત્રિક પ્રણાલીની સંભવિત ઉર્જા સ્થિરતાની અંદર નક્કી કરવામાં આવે છે. ચાલો આ સ્થિરાંક પસંદ કરીએ જેથી સંતુલન સ્થિતિમાં સંભવિત ઊર્જા શૂન્યની બરાબર હોય:

પી (0) = 0.

પછી, એક ડિગ્રી સ્વતંત્રતા ધરાવતી સિસ્ટમ માટે, જરૂરી શરત (2) સાથે, એક અલગ લઘુત્તમ અસ્તિત્વ માટે પૂરતી શરત હશે.

સંતુલન સ્થિતિમાં હોવાથી સંભવિત ઉર્જા એક અલગ લઘુત્તમ અને છેપી (0) = 0 , પછી આ સ્થિતિના અમુક મર્યાદિત પડોશમાં

P(q)=0.

ફંક્શન કે જેમાં સતત ચિહ્ન હોય અને તે શૂન્યની બરાબર હોય ત્યારે જ તેમની બધી દલીલો શૂન્ય હોય ચોક્કસ. પરિણામે, યાંત્રિક પ્રણાલીની સંતુલન સ્થિતિને સ્થિર રાખવા માટે, તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે કે આ સ્થિતિની નજીકમાં સંભવિત ઊર્જા એ સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સનું હકારાત્મક ચોક્કસ કાર્ય છે.

રેખીય સિસ્ટમો માટે અને સિસ્ટમો માટે કે જે સંતુલન સ્થિતિ (રેખીયકૃત) માંથી નાના વિચલનો માટે રેખીયમાં ઘટાડી શકાય છે, સંભવિત ઊર્જાને સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સના ચતુર્ભુજ સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે.

જ્યાં - સામાન્યકૃત જડતા ગુણાંક.

સામાન્યકૃત ગુણાંકસ્થિર સંખ્યાઓ છે જે સંભવિત ઊર્જાના શ્રેણી વિસ્તરણ અથવા સંતુલન સ્થાન પર સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સના સંદર્ભમાં સંભવિત ઊર્જાના બીજા ડેરિવેટિવ્ઝના મૂલ્યો પરથી સીધા જ નિર્ધારિત કરી શકાય છે:

સૂત્ર (4) પરથી તે અનુસરે છે કે સામાન્યકૃત જડતા ગુણાંક સૂચકાંકોના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે

તે માટે સંતુલન સ્થિતિની સ્થિરતા માટે પૂરતી સ્થિતિઓ સંતોષવા માટે, સંભવિત ઊર્જા તેના સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સનું હકારાત્મક નિશ્ચિત ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ હોવું જોઈએ.

ગણિતમાં છે સિલ્વેસ્ટર માપદંડ , જે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપોની હકારાત્મક નિશ્ચિતતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો આપે છે: ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (3) હકારાત્મક ચોક્કસ હશે જો તેના ગુણાંક અને તેના તમામ મુખ્ય વિકર્ણ સગીરોથી બનેલા નિર્ણાયક હકારાત્મક હોય, એટલે કે. જો મતભેદ શરતો સંતોષશે

.....

ખાસ કરીને, સ્વતંત્રતાના બે ડિગ્રી સાથે રેખીય સિસ્ટમ માટે, સંભવિત ઊર્જા અને સિલ્વેસ્ટર માપદંડની શરતોનું સ્વરૂપ હશે

તેવી જ રીતે, જો સંભવિત ઉર્જાને બદલે, આપણે ઘટેલી સિસ્ટમની સંભવિત ઊર્જાને ધ્યાનમાં લઈએ તો સંબંધિત સંતુલનની સ્થિતિનો અભ્યાસ કરવો શક્ય છે.

પી સંતુલન સ્થિતિ નક્કી કરવા અને તેમની સ્થિરતાનો અભ્યાસ કરવાનું ઉદાહરણ

ફિગ.2

ટ્યુબનો સમાવેશ કરતી યાંત્રિક સિસ્ટમનો વિચાર કરો એબી, જે સળિયા છે OO 1પરિભ્રમણની આડી અક્ષ સાથે જોડાયેલ છે, અને એક બોલ જે ઘર્ષણ વિના ટ્યુબ સાથે આગળ વધે છે અને એક બિંદુ સાથે જોડાયેલ છે એવસંત સાથે ટ્યુબ (ફિગ. 2). ચાલો સિસ્ટમની સંતુલન સ્થિતિ નક્કી કરીએ અને નીચેના પરિમાણો હેઠળ તેમની સ્થિરતાનું મૂલ્યાંકન કરીએ: ટ્યુબની લંબાઈ l 2 = 1 m , લાકડી લંબાઈ l 1 = 0,5 m . અવિકૃત વસંત લંબાઈ l 0 = 0.6 મીટર વસંતની જડતા c= 100 N/m. ટ્યુબ વજન m 2 = 2 કિલો, સળિયા - m 1 = 1 કિગ્રા અને બોલ - m 3 = 0.5 કિગ્રા. અંતર ઓ.એ.બરાબર l 3 = 0.4 મી.

ચાલો વિચારણા હેઠળની સિસ્ટમની સંભવિત ઊર્જા માટે એક અભિવ્યક્તિ લખીએ. તેમાં ગુરુત્વાકર્ષણના સમાન ક્ષેત્રમાં સ્થિત ત્રણ સંસ્થાઓની સંભવિત ઊર્જા અને વિકૃત ઝરણાની સંભવિત ઊર્જાનો સમાવેશ થાય છે.

ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં શરીરની સંભવિત ઉર્જા શરીરના વજનના ઉત્પાદન અને પ્લેન ઉપરના તેના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રની ઊંચાઈ જેટલી હોય છે જેમાં સંભવિત ઉર્જા શૂન્ય જેટલી ગણવામાં આવે છે. સળિયાના પરિભ્રમણની ધરીમાંથી પસાર થતા વિમાનમાં સંભવિત ઊર્જા શૂન્ય થવા દો ઓઓ 1, પછી ગુરુત્વાકર્ષણ માટે

સ્થિતિસ્થાપક બળ માટે, સંભવિત ઊર્જા વિરૂપતાની તીવ્રતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

ચાલો સિસ્ટમની સંભવિત સંતુલન સ્થિતિઓ શોધીએ. સંતુલન સ્થાનો પર સંકલન મૂલ્યો એ નીચેની સમીકરણોની સિસ્ટમના મૂળ છે.

બે ડિગ્રી સ્વતંત્રતા સાથે કોઈપણ યાંત્રિક પ્રણાલી માટે સમીકરણોની સમાન સિસ્ટમનું સંકલન કરી શકાય છે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, સિસ્ટમનો ચોક્કસ ઉકેલ મેળવવાનું શક્ય છે. સિસ્ટમ (5) માટે આવા ઉકેલ અસ્તિત્વમાં નથી, તેથી સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને મૂળ શોધવું આવશ્યક છે.

અતીન્દ્રિય સમીકરણો (5) ની સિસ્ટમ ઉકેલવાથી, અમે બે સંભવિત સંતુલન સ્થિતિઓ મેળવીએ છીએ:

પ્રાપ્ત સંતુલન સ્થિતિઓની સ્થિરતાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, અમે સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સના સંદર્ભમાં સંભવિત ઊર્જાના તમામ બીજા ડેરિવેટિવ્સ શોધીશું અને તેમાંથી અમે સામાન્યીકૃત કઠોરતા ગુણાંક નક્કી કરીશું.

વ્યાખ્યા

સ્થિર સંતુલન- આ એક સંતુલન છે જેમાં શરીર, સંતુલનની સ્થિતિમાંથી દૂર થઈ જાય છે અને પોતાની તરફ છોડી દે છે, તેની પાછલી સ્થિતિમાં પાછું આવે છે.

આ ત્યારે થાય છે જો, મૂળ સ્થિતિથી કોઈપણ દિશામાં શરીરના સહેજ વિસ્થાપન સાથે, શરીર પર કાર્ય કરતા દળોનું પરિણામ બિન-શૂન્ય બને છે અને સંતુલન સ્થિતિ તરફ નિર્દેશિત થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ગોળાકાર મંદીના તળિયે પડેલો બોલ (ફિગ. 1 એ).

વ્યાખ્યા

અસ્થિર સંતુલન- આ એક સંતુલન છે જેમાં શરીર, સંતુલન સ્થિતિમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે અને તેને પોતાની તરફ છોડી દે છે, તે સંતુલન સ્થિતિથી વધુ વિચલિત થશે.

આ કિસ્સામાં, સંતુલન સ્થિતિમાંથી શરીરના સહેજ વિસ્થાપન સાથે, તેના પર લાગુ દળોનું પરિણામ બિન-શૂન્ય છે અને સંતુલન સ્થિતિથી નિર્દેશિત છે. બહિર્મુખ ગોળાકાર સપાટી (ફિગ. 1 b) ના ટોચના બિંદુ પર સ્થિત બોલનું ઉદાહરણ છે.

વ્યાખ્યા

ઉદાસીન સંતુલન- આ એક સંતુલન છે જેમાં શરીર, સંતુલન સ્થિતિમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે અને તેના પોતાના ઉપકરણો પર છોડી દે છે, તેની સ્થિતિ (સ્થિતિ) બદલતું નથી.

આ કિસ્સામાં, મૂળ સ્થિતિમાંથી શરીરના નાના વિસ્થાપન સાથે, શરીર પર લાગુ દળોનું પરિણામ શૂન્ય બરાબર રહે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સપાટ સપાટી પર પડેલો બોલ (ફિગ. 1, c).

ફિગ.1. આધાર પર વિવિધ પ્રકારના શરીરનું સંતુલન: a) સ્થિર સંતુલન; b) અસ્થિર સંતુલન; c) ઉદાસીન સંતુલન.

શરીરનું સ્થિર અને ગતિશીલ સંતુલન

જો, દળોની ક્રિયાના પરિણામે, શરીરને પ્રવેગક પ્રાપ્ત થતું નથી, તો તે આરામ પર હોઈ શકે છે અથવા સીધી રેખામાં સમાન રીતે આગળ વધી શકે છે. તેથી, આપણે સ્થિર અને ગતિશીલ સંતુલન વિશે વાત કરી શકીએ છીએ.

વ્યાખ્યા

સ્થિર સંતુલન- આ એક સંતુલન છે જ્યારે, લાગુ દળોના પ્રભાવ હેઠળ, શરીર આરામમાં હોય છે.

ગતિશીલ સંતુલન- આ એક સંતુલન છે જ્યારે, દળોની ક્રિયાને લીધે, શરીર તેની હિલચાલને બદલતું નથી.

કેબલ્સ પર લટકાવેલું ફાનસ, અથવા કોઈપણ બિલ્ડિંગ સ્ટ્રક્ચર, સ્થિર સંતુલનની સ્થિતિમાં છે. ગતિશીલ સંતુલનનાં ઉદાહરણ તરીકે, ઘર્ષણ બળોની ગેરહાજરીમાં સપાટ સપાટી પર ફરતા ચક્રને ધ્યાનમાં લો.

ચાલો ફોર્મમાં § 107 અને (35) અથવા (38) માંથી સમીકરણો (16) રજૂ કરીએ:

ચાલો બતાવીએ કે આ સમીકરણોમાંથી, જે § 74 માં નિર્ધારિત કાયદાના પરિણામો છે, સ્ટેટિક્સના તમામ પ્રારંભિક પરિણામો પ્રાપ્ત થાય છે.

1. જો યાંત્રિક પ્રણાલી આરામ પર હોય, તો તેના તમામ બિંદુઓનો વેગ શૂન્ય સમાન હોય છે અને તેથી, જ્યાં O કોઈપણ બિંદુ હોય છે. પછી સમીકરણો (40) આપે છે:

આમ, શરતો (40) કોઈપણ યાંત્રિક પ્રણાલીના સંતુલન માટે જરૂરી શરતો છે. આ પરિણામમાં, ખાસ કરીને, § 2 માં ઘડવામાં આવેલ ઘનકરણનો સિદ્ધાંત છે.

પરંતુ કોઈપણ સિસ્ટમ માટે, શરતો (40) દેખીતી રીતે પર્યાપ્ત સંતુલન શરતો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જો ફિગમાં બતાવેલ છે. 274 પોઇન્ટ્સ મફત છે, પછી દળોના પ્રભાવ હેઠળ તેઓ એકબીજા તરફ આગળ વધી શકે છે, જો કે આ દળો માટે શરતો (40) સંતુષ્ટ થશે.

મિકેનિકલ સિસ્ટમના સંતુલન માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો § 139 અને 144 માં રજૂ કરવામાં આવશે.

2. ચાલો સાબિત કરીએ કે સ્થિતિઓ (40) માત્ર જરૂરી નથી, પરંતુ એકદમ કઠોર શરીર પર કામ કરતા દળો માટે પૂરતી સંતુલન પરિસ્થિતિઓ પણ છે. આરામમાં એક મુક્ત કઠોર શરીરને શરતો (40) ને સંતોષતી દળોની સિસ્ટમ દ્વારા કાર્ય કરવાનું શરૂ કરવા દો, જ્યાં O એ કોઈપણ બિંદુ છે, એટલે કે, ખાસ કરીને, બિંદુ C. પછી સમીકરણો (40) આપો, અને કારણ કે શરીર છે શરૂઆતમાં આરામ હતો, પછી બિંદુ C ગતિહીન હોય છે અને શરીર ચોક્કસ ત્વરિત અક્ષની આસપાસ માત્ર કોણીય વેગ c સાથે ફેરવી શકે છે (જુઓ § 60). પછી, સૂત્ર (33) મુજબ, શરીર પાસે હશે. પરંતુ અક્ષ પર વેક્ટરનું પ્રક્ષેપણ છે, અને ત્યારથી અને જ્યાંથી તે તેને અનુસરે છે અને એટલે કે જ્યારે શરતો (40) પૂરી થાય છે, ત્યારે શરીર આરામમાં રહે છે.

3. પાછલા પરિણામોમાંથી, ખાસ કરીને, પ્રારંભિક જોગવાઈઓ 1 અને 2, § 2 માં ઘડવામાં આવે છે, અનુસરે છે, કારણ કે તે સ્પષ્ટ છે કે બે દળો ફિગમાં દર્શાવવામાં આવ્યા છે. 2, શરતોને સંતોષે છે (40) અને સંતુલિત છે, અને જો આપણે શરીર પર કાર્ય કરતા દળોમાં દળોની સંતુલિત પ્રણાલી ઉમેરીએ (અથવા તેમાંથી બાદબાકી કરીએ), એટલે કે સંતોષકારક પરિસ્થિતિઓ (40), તો ન તો આ શરતો કે સમીકરણો ( 40), શરીરની હિલચાલ નક્કી કરવાથી બદલાશે નહીં.