સંખ્યાની શક્તિ નિર્ધારિત કર્યા પછી, તેના વિશે વાત કરવી તાર્કિક છે ડિગ્રી ગુણધર્મો. આ લેખમાં આપણે તમામ સંભવિત ઘાતાંકને સ્પર્શ કરતી વખતે સંખ્યાની શક્તિના મૂળભૂત ગુણધર્મો આપીશું. અહીં અમે ડિગ્રીના તમામ ગુણધર્મોના પુરાવા આપીશું, અને ઉદાહરણો ઉકેલતી વખતે આ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે તે પણ બતાવીશું.
પૃષ્ઠ નેવિગેશન.
કુદરતી ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના ગુણધર્મો
પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેની શક્તિની વ્યાખ્યા પ્રમાણે, પાવર a n એ n પરિબળોનું ઉત્પાદન છે, જેમાંથી દરેક a ની બરાબર છે. આ વ્યાખ્યાના આધારે, અને તેનો ઉપયોગ કરીને વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગુણાકારના ગુણધર્મો, અમે નીચેનાને મેળવી શકીએ છીએ અને તેને ન્યાયી ઠેરવી શકીએ છીએ કુદરતી ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના ગુણધર્મો:
- ડિગ્રી a m ·a n =a m+n ની મુખ્ય મિલકત, તેનું સામાન્યીકરણ;
- સમાન પાયા a m:a n =a m−n ;
- પ્રોડક્ટ પાવર પ્રોપર્ટી (a·b) n =a n ·b n , તેનું વિસ્તરણ;
- પ્રાકૃતિક ડિગ્રી (a:b) n =a n:b n સુધીના ભાગની મિલકત;
- શક્તિ (a m) n =a m·n સુધીની ડિગ્રી વધારવી, તેનું સામાન્યીકરણ (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
- શૂન્ય સાથે ડિગ્રીની સરખામણી:
- જો a>0, તો a n>0 કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે;
- જો a=0, તો a n =0;
- જો<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 જો એ<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- જો a અને b હકારાત્મક સંખ્યાઓ છે અને a
- જો m અને n કુદરતી સંખ્યાઓ છે જેમ કે m>n, તો 0 પર
- જો m અને n કુદરતી સંખ્યાઓ છે જેમ કે m>n, તો 0 પર
ચાલો તરત જ નોંધ લઈએ કે તમામ લેખિત સમાનતાઓ છે સમાનઉલ્લેખિત શરતોને આધિન, તેમના જમણા અને ડાબા બંને ભાગોને સ્વેપ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, a m·a n =a m+n સાથે અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત અભિવ્યક્તિઓને સરળ બનાવવીઘણીવાર m+n =a m·a n સ્વરૂપમાં વપરાય છે.
હવે ચાલો તેમાંના દરેકને વિગતવાર જોઈએ.
ચાલો સમાન આધારો સાથે બે શક્તિઓના ઉત્પાદનની મિલકત સાથે પ્રારંભ કરીએ, જેને કહેવામાં આવે છે ડિગ્રીની મુખ્ય મિલકત: કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા a અને કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા m અને n માટે, સમાનતા a m ·a n =a m+n સાચી છે.
ચાલો ડિગ્રીની મુખ્ય મિલકત સાબિત કરીએ. કુદરતી ઘાતાંક સાથેની શક્તિની વ્યાખ્યા દ્વારા, m ·a n સ્વરૂપના સમાન પાયા સાથેની શક્તિઓના ઉત્પાદનને ઉત્પાદન તરીકે લખી શકાય છે. ગુણાકારના ગુણધર્મોને લીધે, પરિણામી અભિવ્યક્તિ તરીકે લખી શકાય છે 
, અને આ ઉત્પાદન કુદરતી ઘાતાંક m+n સાથેની સંખ્યા aની ઘાત છે, એટલે કે m+n. આ સાબિતી પૂર્ણ કરે છે.
ચાલો ડિગ્રીની મુખ્ય મિલકતની પુષ્ટિ કરતું ઉદાહરણ આપીએ. ચાલો સમાન આધારો 2 અને કુદરતી શક્તિઓ 2 અને 3 સાથે ડિગ્રી લઈએ, ડિગ્રીના મૂળ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને આપણે સમાનતા 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 લખી શકીએ. ચાલો સમીકરણો 2 2 · 2 3 અને 2 5 ના મૂલ્યોની ગણતરી કરીને તેની માન્યતા તપાસીએ. ઘાતીકરણ કરી રહ્યા છીએ, અમારી પાસે છે 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32અને 2 5 =2·2·2·2·2=32, કારણ કે સમાન મૂલ્યો મેળવવામાં આવે છે, તો સમાનતા 2 2 ·2 3 =2 5 સાચી છે, અને તે ડિગ્રીના મુખ્ય ગુણધર્મની પુષ્ટિ કરે છે.
ગુણાકારના ગુણધર્મોના આધારે, ડિગ્રીની મૂળભૂત મિલકતને સમાન પાયા અને કુદરતી ઘાતાંક સાથે ત્રણ અથવા વધુ શક્તિઓના ઉત્પાદનમાં સામાન્ય કરી શકાય છે. તેથી કુદરતી સંખ્યાઓ n 1, n 2, …, n k ની કોઈપણ સંખ્યા k માટે નીચેની સમાનતા સાચી છે: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
દાખ્લા તરીકે, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
આપણે કુદરતી ઘાતાંક સાથે શક્તિઓની આગલી મિલકત તરફ આગળ વધી શકીએ છીએ - સમાન પાયા સાથે ભાગલાકાર શક્તિઓની મિલકત: કોઈપણ બિન-શૂન્ય વાસ્તવિક સંખ્યા a અને મનસ્વી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ m અને n માટે m>n સ્થિતિને સંતોષે છે, સમાનતા a m:a n =a m−n સાચી છે.
આ મિલકતનો પુરાવો રજૂ કરતા પહેલા, ચાલો ફોર્મ્યુલેશનમાં વધારાની શરતોના અર્થની ચર્ચા કરીએ. શૂન્ય વડે ભાગાકાર ટાળવા માટે a≠0 શરત જરૂરી છે, કારણ કે 0 n =0, અને જ્યારે આપણે ભાગાકારથી પરિચિત થયા, ત્યારે અમે સંમત થયા કે આપણે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી. શરત m>n રજૂ કરવામાં આવી છે જેથી આપણે કુદરતી ઘાતાંકની બહાર ન જઈએ. ખરેખર, m>n ઘાતાંક માટે m−n એ કુદરતી સંખ્યા છે, અન્યથા તે કાં તો શૂન્ય હશે (જે m−n માટે થાય છે) અથવા નકારાત્મક સંખ્યા (જે m માટે થાય છે. પુરાવો. અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત આપણને સમાનતા લખવા દે છે a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. પરિણામી સમાનતામાંથી a m−n ·a n =a m અને તે અનુસરે છે કે m−n એ m અને a n શક્તિઓનો ભાગ છે. આ સમાન આધારો સાથે ભાગલાકાર શક્તિઓની મિલકતને સાબિત કરે છે. ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ. ચાલો સમાન આધારો π અને પ્રાકૃતિક ઘાતાંક 5 અને 2 સાથે બે ડિગ્રી લઈએ, સમાનતા π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 એ ડિગ્રીના ગણવામાં આવેલ ગુણધર્મને અનુરૂપ છે. હવે વિચાર કરીએ ઉત્પાદન શક્તિ મિલકત: કોઈપણ બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ a અને b ના ગુણાંકની કુદરતી શક્તિ n એ a n અને b n ની શક્તિઓના ગુણાંકની બરાબર છે, એટલે કે, (a·b) n =a n ·b n. ખરેખર, કુદરતી ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીની વ્યાખ્યા દ્વારા, આપણી પાસે છે અહીં એક ઉદાહરણ છે: આ ગુણધર્મ ત્રણ કે તેથી વધુ પરિબળોના ઉત્પાદનની શક્તિ સુધી વિસ્તરે છે. એટલે કે, k પરિબળના ઉત્પાદનની કુદરતી ડિગ્રી n ની મિલકત આ રીતે લખવામાં આવે છે (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n. સ્પષ્ટતા માટે, અમે આ ગુણધર્મને ઉદાહરણ સાથે બતાવીશું. 7 ની ઘાતના ત્રણ અવયવોના ઉત્પાદન માટે આપણી પાસે છે. નીચેની મિલકત છે પ્રકારમાં ભાગલાની મિલકત: વાસ્તવિક સંખ્યાઓ a અને b, b≠0 નો પ્રાકૃતિક ઘાત n એ n અને b n ની શક્તિઓના ભાગ સમાન છે, એટલે કે, (a:b) n =a n:b n. અગાઉની મિલકતનો ઉપયોગ કરીને પુરાવા હાથ ધરી શકાય છે. તેથી (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, અને સમાનતા (a:b) n ·b n =a n માંથી તે અનુસરે છે કે (a:b) n એ b n વડે ભાગ્યા n નો ભાગાંક છે. ચાલો ઉદાહરણ તરીકે ચોક્કસ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને આ ગુણધર્મ લખીએ: હવે ચાલો તેને અવાજ કરીએ શક્તિને શક્તિ વધારવાની મિલકત: કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા a અને કોઈપણ કુદરતી સંખ્યાઓ m અને n માટે, a m ની ઘાત n ની ઘાત એ સંખ્યા a ની ઘાત m·n સાથેની ઘાત જેટલી છે, એટલે કે (a m) n =a m·n. ઉદાહરણ તરીકે, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6. પાવર-ટુ-ડિગ્રી પ્રોપર્ટીનો પુરાવો નીચેની સમાનતાઓની સાંકળ છે: ગણવામાં આવેલ મિલકતને ડિગ્રીથી ડિગ્રી સુધી વધારી શકાય છે, વગેરે. ઉદાહરણ તરીકે, કોઈપણ કુદરતી સંખ્યાઓ માટે p, q, r અને s, સમાનતા તે કુદરતી ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની તુલના કરવાના ગુણધર્મો પર ધ્યાન આપવાનું બાકી છે. ચાલો પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથે શૂન્ય અને શક્તિની તુલના કરવાના ગુણધર્મને સાબિત કરીને પ્રારંભ કરીએ. પ્રથમ, ચાલો સાબિત કરીએ કે કોઈપણ a>0 માટે n >0. ગુણાકારની વ્યાખ્યામાંથી નીચે મુજબ બે ધન સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન એ ધન સંખ્યા છે. આ હકીકત અને ગુણાકારના ગુણધર્મો સૂચવે છે કે કોઈપણ સંખ્યાની ધન સંખ્યાના ગુણાકારનું પરિણામ પણ ધન સંખ્યા હશે. અને પ્રાકૃતિક ઘાતાંક n સાથે સંખ્યા a ની શક્તિ, વ્યાખ્યા દ્વારા, n અવયવોનું ઉત્પાદન છે, જેમાંથી દરેક a ની બરાબર છે. આ દલીલો અમને જણાવવા દે છે કે કોઈપણ હકારાત્મક આધાર a માટે, ડિગ્રી a n એ હકારાત્મક સંખ્યા છે. સાબિત મિલકત 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 અને તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે a=0 સાથે કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે a n ની ડિગ્રી શૂન્ય છે. ખરેખર, 0 n =0·0·…·0=0 . ઉદાહરણ તરીકે, 0 3 =0 અને 0 762 =0. ચાલો ડિગ્રીના નકારાત્મક પાયા પર આગળ વધીએ. ચાલો એવા કિસ્સાથી શરૂઆત કરીએ કે જ્યારે ઘાતાંક એક સમ સંખ્યા હોય, ચાલો તેને 2·m તરીકે દર્શાવીએ, જ્યાં m એ કુદરતી સંખ્યા છે. પછી છેલ્લે, જ્યારે આધાર a એ ઋણ સંખ્યા હોય અને ઘાત એક વિષમ સંખ્યા 2 m−1 હોય, ત્યારે ચાલો સમાન પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓની તુલના કરવાના ગુણધર્મ તરફ આગળ વધીએ, જેમાં નીચેની રચના છે: સમાન પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેની બે શક્તિઓની, n જેનો આધાર નાનો છે તેના કરતા ઓછો છે અને જેનો આધાર મોટો છે તે મોટો છે. . ચાલો તે સાબિત કરીએ. અસમાનતા એ એન અસમાનતાના ગુણધર્મો a n સ્વરૂપની સાબિત અસમાનતા પણ સાચી છે . તે કુદરતી ઘાતાંક સાથે સત્તાના સૂચિબદ્ધ ગુણધર્મોમાંથી છેલ્લી સાબિત કરવાનું બાકી છે. ચાલો તેને ઘડીએ. કુદરતી ઘાતાંક ધરાવતી બે શક્તિઓ અને એક કરતા ઓછા સમાન ધન પાયા, જેની ઘાતાંક નાની છે તે મોટી છે; અને કુદરતી ઘાતાંક ધરાવતી બે શક્તિઓ અને એક કરતાં વધુ સમાન પાયા, જેનો ઘાતાંક મોટો છે તે મોટો છે. ચાલો આ મિલકતના પુરાવા તરફ આગળ વધીએ. ચાલો તે m>n અને 0 માટે સાબિત કરીએ તે મિલકતના બીજા ભાગને સાબિત કરવાનું બાકી છે. ચાલો સાબિત કરીએ કે m>n અને a>1 a m >a n માટે સાચું છે. કૌંસમાંથી n લીધા પછી a m −a n નો તફાવત a n · (a m−n −1) સ્વરૂપ લે છે. આ ઉત્પાદન ધન છે, કારણ કે a>1 માટે ડિગ્રી a n એ ધન સંખ્યા છે, અને તફાવત a m−n −1 એ હકારાત્મક સંખ્યા છે, કારણ કે m−n>0 પ્રારંભિક સ્થિતિને કારણે, અને a>1 માટે ડિગ્રી a m−n એ એક કરતા મોટો છે. પરિણામે, a m −a n >0 અને a m >a n , જે સાબિત કરવાની જરૂર છે. આ ગુણધર્મ અસમાનતા 3 7 >3 2 દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
. ગુણાકારના ગુણધર્મોના આધારે, છેલ્લા ઉત્પાદનને ફરીથી લખી શકાય છે 
, જે a n · b n ની બરાબર છે.
.
.
.
. વધુ સ્પષ્ટતા માટે, અહીં ચોક્કસ સંખ્યાઓ સાથેનું ઉદાહરણ છે: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. a·a ફોર્મના દરેક ઉત્પાદન માટે a અને a સંખ્યાઓના મોડ્યુલીના ગુણાંક સમાન છે, જેનો અર્થ થાય છે કે તે ધન સંખ્યા છે. તેથી, ઉત્પાદન પણ હકારાત્મક રહેશે 
અને ડિગ્રી a 2·m. ચાલો ઉદાહરણો આપીએ: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 અને .
. બધા ઉત્પાદનો a·a હકારાત્મક સંખ્યાઓ છે, આ હકારાત્મક સંખ્યાઓનો ગુણાંક પણ ધન છે, અને બાકીની નકારાત્મક સંખ્યા દ્વારા તેનો ગુણાકાર નકારાત્મક સંખ્યામાં પરિણમે છે. આ ગુણધર્મને કારણે (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે સત્તાના ગુણધર્મો
ધન પૂર્ણાંકો કુદરતી સંખ્યાઓ હોવાથી, પછી સકારાત્મક પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓના તમામ ગુણધર્મો અગાઉના ફકરામાં સૂચિબદ્ધ અને સાબિત થયેલ કુદરતી ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓના ગુણધર્મો સાથે બરાબર એકરૂપ થાય છે.
અમે પૂર્ણાંક ઋણ ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી, તેમજ શૂન્ય ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી છે કે કુદરતી ઘાતાંક સાથેના તમામ ગુણધર્મ સમાનતા દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, તે માન્ય રહે છે. તેથી, આ તમામ ગુણધર્મો શૂન્ય ઘાતાંક અને નકારાત્મક ઘાતાંક બંને માટે માન્ય છે, જ્યારે, અલબત્ત, શક્તિઓના પાયા શૂન્યથી અલગ છે.
તેથી, કોઈપણ વાસ્તવિક અને બિન-શૂન્ય સંખ્યાઓ a અને b, તેમજ કોઈપણ પૂર્ણાંક m અને n માટે, નીચેના સાચા છે: પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે શક્તિઓના ગુણધર્મો:
- a m ·a n =a m+n ;
- a m:a n =a m−n ;
- (a·b) n =a n ·b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n =a m·n ;
- જો n એ સકારાત્મક પૂર્ણાંક છે, તો a અને b હકારાત્મક સંખ્યાઓ છે, અને a b−n ;
- જો m અને n પૂર્ણાંકો છે, અને m>n, તો 0 પર
જ્યારે a=0, ત્યારે a m અને a n નો અર્થ ત્યારે જ થાય છે જ્યારે m અને n બંને ધન પૂર્ણાંકો હોય, એટલે કે કુદરતી સંખ્યાઓ. આમ, માત્ર લખેલ ગુણધર્મો એ કિસ્સાઓ માટે પણ માન્ય છે જ્યારે a=0 અને સંખ્યાઓ m અને n હકારાત્મક પૂર્ણાંકો હોય.
આમાંના દરેક ગુણધર્મોને સાબિત કરવું મુશ્કેલ નથી, તે કુદરતી અને પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીની વ્યાખ્યાઓ તેમજ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સાથેની કામગીરીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવા માટે પૂરતું છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો સાબિત કરીએ કે પાવર-ટુ-પાવર ગુણધર્મ ધન પૂર્ણાંક અને બિન-ધન પૂર્ણાંક બંને માટે ધરાવે છે. આ કરવા માટે, તમારે બતાવવાની જરૂર છે કે જો p શૂન્ય અથવા કુદરતી સંખ્યા છે અને q શૂન્ય અથવા કુદરતી સંખ્યા છે, તો સમાનતાઓ (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) અને (a −p) −q =a (−p)·(−q). ચાલો તે કરીએ.
હકારાત્મક p અને q માટે, સમાનતા (a p) q =a p·q અગાઉના ફકરામાં સાબિત થઈ હતી. જો p=0, તો આપણી પાસે (a 0) q =1 q =1 અને a 0·q =a 0 =1, જ્યાંથી (a 0) q =a 0·q. તેવી જ રીતે, જો q=0, તો (a p) 0 =1 અને a p·0 =a 0 =1, જ્યાંથી (a p) 0 =a p·0. જો p=0 અને q=0 બંને હોય, તો (a 0) 0 =1 0 =1 અને a 0·0 =a 0 =1, ક્યાંથી (a 0) 0 =a 0·0.
હવે આપણે સાબિત કરીએ છીએ કે (a −p) q =a (−p)·q . પછી નકારાત્મક પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની શક્તિની વ્યાખ્યા દ્વારા 
. આપણી પાસે રહેલી શક્તિઓના ભાગલાકારની મિલકત દ્વારા 
. ત્યારથી 1 p =1·1·…·1=1 અને પછી . છેલ્લી અભિવ્યક્તિ, વ્યાખ્યા દ્વારા, a −(p·q) સ્વરૂપની શક્તિ છે, જે ગુણાકારના નિયમોને કારણે, a (−p)·q તરીકે લખી શકાય છે.
તેવી જ રીતે 
.
અને 
.
સમાન સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને, તમે સમાનતાના સ્વરૂપમાં લખેલા પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના અન્ય તમામ ગુણધર્મોને સાબિત કરી શકો છો.
નોંધાયેલ ગુણધર્મોના ઉપાંત્યમાં, અસમાનતા a −n >b −n ના પુરાવા પર ધ્યાન આપવું યોગ્ય છે, જે કોઈપણ નકારાત્મક પૂર્ણાંક −n અને કોઈપણ હકારાત્મક a અને b માટે માન્ય છે જેના માટે a શરત સંતુષ્ટ છે. . શરતથી એ 0 ગુણાંક a n · b n એ હકારાત્મક સંખ્યાઓ a n અને b n ના ગુણાંક તરીકે પણ ધન છે. પછી પરિણામી અપૂર્ણાંક હકારાત્મક સંખ્યાઓ b n −a n અને a n · b n ના ભાગ તરીકે ધન છે. તેથી, જ્યાંથી a −n >b −n , જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.
પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની સત્તાઓની છેલ્લી મિલકત કુદરતી ઘાતાંક સાથેની સત્તાઓની સમાન મિલકતની જેમ જ સાબિત થાય છે.
તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે સત્તાના ગુણધર્મો
અમે ડિગ્રીના ગુણધર્મને પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે વિસ્તારીને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓ પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓ જેવી જ ગુણધર્મો ધરાવે છે. જેમ કે:
અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીના ગુણધર્મોનો પુરાવો અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીની વ્યાખ્યા અને પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીના ગુણધર્મો પર આધારિત છે. ચાલો પુરાવા આપીએ.
અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની શક્તિની વ્યાખ્યા દ્વારા અને પછી 
. અંકગણિત મૂળના ગુણધર્મો આપણને નીચેની સમાનતાઓ લખવા દે છે. આગળ, પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની મિલકતનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ, જેમાંથી, અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીની વ્યાખ્યા દ્વારા, આપણી પાસે છે 
, અને પ્રાપ્ત કરેલ ડિગ્રીના સૂચકને નીચે પ્રમાણે રૂપાંતરિત કરી શકાય છે: . આ સાબિતી પૂર્ણ કરે છે.
અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓની બીજી મિલકત એકદમ સમાન રીતે સાબિત થાય છે: 
બાકીની સમાનતા સમાન સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત થાય છે: 
ચાલો આગળની મિલકત સાબિત કરવા માટે આગળ વધીએ. ચાલો સાબિત કરીએ કે કોઈપણ હકારાત્મક a અને b, a માટે બી પી. ચાલો પરિમેય સંખ્યા p ને m/n તરીકે લખીએ, જ્યાં m પૂર્ણાંક છે અને n એ કુદરતી સંખ્યા છે. શરતો પી<0 и p>0 આ કિસ્સામાં શરતો m<0 и m>0 તે મુજબ. m>0 અને a માટે
એ જ રીતે, એમ માટે<0 имеем a m >b m , ક્યાંથી, એટલે કે, અને a p >b p .
તે સૂચિબદ્ધ ગુણધર્મોની છેલ્લી સાબિત કરવાનું બાકી છે. ચાલો સાબિત કરીએ કે પરિમેય સંખ્યાઓ માટે p અને q, p>q 0 પર 
અને 
. અને તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીની વ્યાખ્યા આપણને અસમાનતા તરફ આગળ વધવા દે છે અને તે મુજબ. અહીંથી આપણે અંતિમ નિષ્કર્ષ દોરીએ છીએ: p>q અને 0 માટે
અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે સત્તાના ગુણધર્મો
અતાર્કિક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીને જે રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તેના પરથી આપણે તારણ કાઢી શકીએ છીએ કે તેમાં તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેના તમામ ગુણધર્મ છે. તેથી કોઈપણ a>0, b>0 અને અતાર્કિક સંખ્યાઓ p અને q માટે નીચેની સાચી છે અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે સત્તાના ગુણધર્મો:
- a p ·a q =a p+q ;
- a p:a q =a p−q ;
- (a·b) p =a p ·b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q =a p·q ;
- કોઈપણ હકારાત્મક સંખ્યાઓ માટે a અને b, a 0 અસમાનતા a p b p ;
- અતાર્કિક સંખ્યાઓ માટે p અને q, p>q 0 પર
આના પરથી આપણે તારણ કાઢી શકીએ છીએ કે a>0 માટે કોઈપણ વાસ્તવિક ઘાતાંક p અને q સાથેની શક્તિઓ સમાન ગુણધર્મો ધરાવે છે.
ગ્રંથસૂચિ.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5મા ધોરણ માટે ગણિતનું પાઠ્યપુસ્તક. શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. બીજગણિત: 7મા ધોરણ માટે પાઠ્યપુસ્તક. શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. બીજગણિત: 8મા ધોરણ માટે પાઠ્યપુસ્તક. શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. બીજગણિત: 9મા ધોરણ માટે પાઠ્યપુસ્તક. શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ.
- કોલ્મોગોરોવ એ.એન., અબ્રામોવ એ.એમ., ડુડનિટ્સિન યુ.પી. અને અન્ય બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના ધોરણ 10 - 11 માટે પાઠ્યપુસ્તક.
- ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી. ગણિત (તકનીકી શાળાઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે માર્ગદર્શિકા).
અભિવ્યક્તિ, અભિવ્યક્તિ રૂપાંતર
શક્તિ અભિવ્યક્તિઓ (શક્તિઓ સાથે અભિવ્યક્તિઓ) અને તેમનું પરિવર્તન
આ લેખમાં આપણે અભિવ્યક્તિઓને શક્તિઓ સાથે કન્વર્ટ કરવા વિશે વાત કરીશું. પ્રથમ, અમે એવા પરિવર્તનો પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશું જે કોઈપણ પ્રકારના અભિવ્યક્તિઓ સાથે કરવામાં આવે છે, જેમાં પાવર એક્સપ્રેશન્સનો સમાવેશ થાય છે, જેમ કે કૌંસ ખોલવા અને સમાન શરતો લાવવા. અને પછી અમે ખાસ કરીને ડિગ્રી સાથેના અભિવ્યક્તિઓમાં અંતર્ગત રૂપાંતરણોનું વિશ્લેષણ કરીશું: આધાર અને ઘાતાંક સાથે કામ કરવું, ડિગ્રીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, વગેરે.
પૃષ્ઠ નેવિગેશન.
શક્તિ અભિવ્યક્તિઓ શું છે?
શબ્દ "શક્તિ અભિવ્યક્તિ" વ્યવહારીક રીતે શાળાના ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકોમાં દેખાતો નથી, પરંતુ તે ઘણી વાર સમસ્યાઓના સંગ્રહમાં દેખાય છે, ખાસ કરીને તે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી માટે બનાવાયેલ છે, ઉદાહરણ તરીકે. જે કાર્યોમાં પાવર એક્સપ્રેશન્સ સાથે કોઈપણ ક્રિયાઓ કરવી જરૂરી છે તેનું પૃથ્થકરણ કર્યા પછી, તે સ્પષ્ટ થાય છે કે પાવર એક્સપ્રેશન્સ તેમની એન્ટ્રીઓમાં પાવર્સ ધરાવતી એક્સપ્રેશન તરીકે સમજવામાં આવે છે. તેથી, તમે તમારા માટે નીચેની વ્યાખ્યા સ્વીકારી શકો છો:
વ્યાખ્યા.
શક્તિ અભિવ્યક્તિઓડિગ્રી ધરાવતા અભિવ્યક્તિઓ છે.
ચાલો આપીએ શક્તિ અભિવ્યક્તિઓનાં ઉદાહરણો. તદુપરાંત, અમે તેમને કુદરતી ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીથી વાસ્તવિક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી સુધીના દૃષ્ટિકોણનો વિકાસ કેવી રીતે થાય છે તે મુજબ રજૂ કરીશું.
જેમ જાણીતું છે, પ્રથમ વ્યક્તિ કુદરતી ઘાતાંક સાથેની સંખ્યાની શક્તિથી પરિચિત થાય છે, આ તબક્કે, 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) ની પ્રથમ સરળ શક્તિ અભિવ્યક્તિઓ; 4, 3 a 2 દેખાય છે −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 વગેરે.
થોડી વાર પછી, પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે સંખ્યાની શક્તિનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, જે નીચેની જેમ નકારાત્મક પૂર્ણાંક શક્તિઓ સાથે શક્તિ અભિવ્યક્તિના દેખાવ તરફ દોરી જાય છે: 3 −2, 
, a −2 +2 b −3 +c 2 .
હાઇ સ્કૂલમાં તેઓ ડિગ્રી પર પાછા ફરે છે. ત્યાં તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી રજૂ કરવામાં આવી છે, જે અનુરૂપ શક્તિ અભિવ્યક્તિઓના દેખાવને સમાવે છે: 
, , 
અને તેથી વધુ. છેલ્લે, અતાર્કિક ઘાતાંક અને તેમાં સમાવિષ્ટ અભિવ્યક્તિઓ સાથેની ડિગ્રી ગણવામાં આવે છે: , .
આ બાબત સૂચિબદ્ધ શક્તિ અભિવ્યક્તિઓ સુધી મર્યાદિત નથી: આગળ ચલ ઘાતાંકમાં પ્રવેશ કરે છે, અને, ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના અભિવ્યક્તિઓ ઉદ્ભવે છે: 2 x 2 +1 અથવા 
. અને સાથે પરિચિત થયા પછી, શક્તિઓ અને લઘુગણક સાથેના અભિવ્યક્તિઓ દેખાવાનું શરૂ થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, x 2·lgx −5·x lgx.
તેથી, અમે પાવર અભિવ્યક્તિઓ શું રજૂ કરે છે તે પ્રશ્ન સાથે વ્યવહાર કર્યો છે. આગળ આપણે તેમને પરિવર્તન કરતા શીખીશું.
પાવર એક્સપ્રેશનના રૂપાંતરણના મુખ્ય પ્રકાર
શક્તિ અભિવ્યક્તિઓ સાથે, તમે અભિવ્યક્તિઓનું કોઈપણ મૂળભૂત ઓળખ પરિવર્તન કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, તમે કૌંસ ખોલી શકો છો, સંખ્યાત્મક સમીકરણોને તેમના મૂલ્યો સાથે બદલી શકો છો, સમાન શબ્દો ઉમેરી શકો છો, વગેરે. સ્વાભાવિક રીતે, આ કિસ્સામાં, ક્રિયાઓ કરવા માટે સ્વીકૃત પ્રક્રિયાને અનુસરવી જરૂરી છે. ચાલો ઉદાહરણો આપીએ.
ઉદાહરણ.
શક્તિ અભિવ્યક્તિ 2 3 ·(4 2 −12) ની કિંમતની ગણતરી કરો.
ઉકેલ.
ક્રિયાઓના અમલના ક્રમ અનુસાર, પ્રથમ કૌંસમાં ક્રિયાઓ કરો. ત્યાં, સૌપ્રથમ, આપણે પાવર 4 2 ને તેના મૂલ્ય 16 સાથે બદલીએ છીએ (જો જરૂરી હોય તો, જુઓ), અને બીજું, આપણે તફાવત 16−12=4 ની ગણતરી કરીએ છીએ. અમારી પાસે 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.
પરિણામી અભિવ્યક્તિમાં, આપણે પાવર 2 3 ને તેના મૂલ્ય 8 સાથે બદલીએ છીએ, જે પછી આપણે ઉત્પાદન 8·4=32 ની ગણતરી કરીએ છીએ. આ ઇચ્છિત મૂલ્ય છે.
તેથી, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.
જવાબ:
2 3 · (4 2 −12)=32.
ઉદાહરણ.
શક્તિઓ સાથે અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.
ઉકેલ.
દેખીતી રીતે, આ અભિવ્યક્તિમાં સમાન શબ્દો 3·a 4 ·b −7 અને 2·a 4 ·b −7 છે, અને અમે તેમને પ્રસ્તુત કરી શકીએ છીએ: .
જવાબ:
3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.
ઉદાહરણ.
ઉત્પાદન તરીકે શક્તિઓ સાથે અભિવ્યક્તિ વ્યક્ત કરો.
ઉકેલ.
તમે નંબર 9 ને 3 2 ની શક્તિ તરીકે રજૂ કરીને અને પછી સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કાર્યનો સામનો કરી શકો છો - વર્ગોનો તફાવત: 
જવાબ:
ખાસ કરીને પાવર એક્સપ્રેશનમાં અંતર્ગત સંખ્યાબંધ સમાન પરિવર્તનો પણ છે. અમે તેમનું વધુ વિશ્લેષણ કરીશું.
આધાર અને ઘાતાંક સાથે કામ કરવું
એવી શક્તિઓ છે જેનો આધાર અને/અથવા ઘાતાંક માત્ર સંખ્યાઓ અથવા ચલ નથી, પરંતુ કેટલાક સમીકરણો છે. ઉદાહરણ તરીકે, અમે એન્ટ્રીઓ આપીએ છીએ (2+0.3·7) 5−3.7 અને (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .
આવા અભિવ્યક્તિઓ સાથે કામ કરતી વખતે, તમે ડિગ્રીના આધારમાં અભિવ્યક્તિ અને ઘાતાંકમાંના અભિવ્યક્તિને તેના ચલોના ODZ માં સમાન સમાન અભિવ્યક્તિ સાથે બદલી શકો છો. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમને જાણીતા નિયમો અનુસાર, અમે ડિગ્રીના આધારને અને ઘાતાંકને અલગથી રૂપાંતરિત કરી શકીએ છીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે આ પરિવર્તનના પરિણામે, એક અભિવ્યક્તિ પ્રાપ્ત થશે જે મૂળ સમાન સમાન છે.
આવા પરિવર્તનો આપણને શક્તિઓ સાથે અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવા અથવા આપણને જોઈતા અન્ય ધ્યેયો પ્રાપ્ત કરવા દે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઉપર દર્શાવેલ પાવર એક્સપ્રેશનમાં (2+0.3 7) 5−3.7, તમે આધાર અને ઘાતાંકની સંખ્યાઓ સાથે ઑપરેશન કરી શકો છો, જે તમને પાવર 4.1 1.3 પર જવા દેશે. અને કૌંસ ખોલ્યા પછી અને સમાન શબ્દોને ડિગ્રીના આધાર પર લાવ્યા પછી (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) આપણે સરળ સ્વરૂપ a 2·(x+1) ની શક્તિ અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ. ).
ડિગ્રી પ્રોપર્ટીઝનો ઉપયોગ
અભિવ્યક્તિને શક્તિઓ સાથે રૂપાંતરિત કરવા માટેનું એક મુખ્ય સાધન સમાનતા છે જે પ્રતિબિંબિત કરે છે. ચાલો મુખ્યને યાદ કરીએ. કોઈપણ સકારાત્મક સંખ્યાઓ a અને b અને મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ r અને s માટે, શક્તિઓના નીચેના ગુણધર્મો સાચા છે:
- a r ·a s =a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (a·b) r =a r ·b r ;
- (a:b) r =a r:b r ;
- (a r) s =a rs·s .
નોંધ કરો કે કુદરતી, પૂર્ણાંક અને ધન ઘાતાંક માટે, સંખ્યાઓ a અને b પરના નિયંત્રણો એટલા કડક ન હોઈ શકે. ઉદાહરણ તરીકે, કુદરતી સંખ્યાઓ m અને n સમાનતા માટે a m ·a n =a m+n માત્ર ધન a માટે જ નહીં, પણ ઋણ a અને a=0 માટે પણ સાચું છે.
શાળામાં, શક્તિના અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન કરતી વખતે મુખ્ય ધ્યાન યોગ્ય ગુણધર્મ પસંદ કરવાની અને તેને યોગ્ય રીતે લાગુ કરવાની ક્ષમતા પર હોય છે. આ કિસ્સામાં, ડિગ્રીના પાયા સામાન્ય રીતે હકારાત્મક હોય છે, જે ડિગ્રીના ગુણધર્મોને પ્રતિબંધો વિના ઉપયોગમાં લેવાની મંજૂરી આપે છે. આ જ શક્તિઓના પાયામાં ચલ ધરાવતા અભિવ્યક્તિઓના રૂપાંતરણને લાગુ પડે છે - ચલોના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણી સામાન્ય રીતે એવી હોય છે કે પાયા તેના પર ફક્ત હકારાત્મક મૂલ્યો લે છે, જે તમને શક્તિના ગુણધર્મોનો મુક્તપણે ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે. . સામાન્ય રીતે, તમારે તમારી જાતને સતત પૂછવાની જરૂર છે કે શું આ કિસ્સામાં ડિગ્રીની કોઈપણ મિલકતનો ઉપયોગ કરવો શક્ય છે, કારણ કે મિલકતોનો અચોક્કસ ઉપયોગ શૈક્ષણિક મૂલ્ય અને અન્ય મુશ્કેલીઓમાં ઘટાડો તરફ દોરી શકે છે. આ મુદ્દાઓની વિગતવાર અને લેખમાં ઉદાહરણો સાથે ચર્ચા કરવામાં આવી છે જેમાં સત્તાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને અભિવ્યક્તિના રૂપાંતરણનો સમાવેશ થાય છે. અહીં આપણે થોડા સરળ ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લેવા માટે પોતાને મર્યાદિત કરીશું.
ઉદાહરણ.
અભિવ્યક્તિ a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 ને આધાર a સાથે ઘાત તરીકે વ્યક્ત કરો.
ઉકેલ.
પ્રથમ, આપણે બીજા અવયવ (a 2) −3 ને પાવરમાં વધારવાની ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. મૂળ શક્તિ અભિવ્યક્તિ 2.5 ·a −6:a −5.5 સ્વરૂપ લેશે. દેખીતી રીતે, તે સમાન આધાર સાથે શક્તિઓના ગુણાકાર અને વિભાજનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવાનું બાકી છે, અમારી પાસે
a 2.5 ·a −6:a −5.5 =
a 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .
જવાબ:
a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.
પાવર એક્સપ્રેશનને રૂપાંતરિત કરતી વખતે પાવરના ગુણધર્મો ડાબેથી જમણે અને જમણેથી ડાબે બંનેનો ઉપયોગ થાય છે.
ઉદાહરણ.
શક્તિ અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો.
ઉકેલ.
સમાનતા (a·b) r =a r·b r, જે જમણેથી ડાબે લાગુ પડે છે, તે આપણને મૂળ અભિવ્યક્તિમાંથી ફોર્મના ઉત્પાદન તરફ અને આગળ જવા દે છે. અને જ્યારે સમાન આધારો સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઘાતાંકનો ઉમેરો થાય છે: 
.
મૂળ અભિવ્યક્તિને બીજી રીતે રૂપાંતરિત કરવું શક્ય હતું: 
જવાબ:
.
ઉદાહરણ.
1.5 −a 0.5 −6 પાવર અભિવ્યક્તિને જોતાં, એક નવું ચલ t=a 0.5 દાખલ કરો.
ઉકેલ.
ડિગ્રી a 1.5 ને 0.5 3 તરીકે રજૂ કરી શકાય છે અને પછી, ડિગ્રી (a r) s =a r s સુધીની ડિગ્રીની મિલકતના આધારે, જમણેથી ડાબે લાગુ કરીને, તેને ફોર્મ (a 0.5) 3 માં પરિવર્તિત કરો. આમ, a 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6. હવે નવું ચલ t=a 0.5 રજૂ કરવું સરળ છે, આપણને t 3 −t−6 મળે છે.
જવાબ:
t 3 −t−6 .
શક્તિઓ ધરાવતા અપૂર્ણાંકનું રૂપાંતર
પાવર અભિવ્યક્તિઓ શક્તિઓ સાથે અપૂર્ણાંકને સમાવી અથવા રજૂ કરી શકે છે. અપૂર્ણાંકના કોઈપણ મૂળભૂત પરિવર્તનો જે કોઈપણ પ્રકારના અપૂર્ણાંકમાં સહજ હોય છે તે આવા અપૂર્ણાંકોને સંપૂર્ણપણે લાગુ પડે છે. એટલે કે, અપૂર્ણાંક કે જેમાં શક્તિઓ હોય છે તે ઘટાડી શકાય છે, નવા છેદમાં ઘટાડી શકાય છે, તેમના અંશ સાથે અલગથી અને છેદ સાથે અલગથી કામ કરી શકાય છે, વગેરે. આ શબ્દોને સમજાવવા માટે, કેટલાક ઉદાહરણોના ઉકેલોનો વિચાર કરો.
ઉદાહરણ.
શક્તિ અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો 
.
ઉકેલ.
આ શક્તિ અભિવ્યક્તિ એક અપૂર્ણાંક છે. ચાલો તેના અંશ અને છેદ સાથે કામ કરીએ. અંશમાં આપણે કૌંસ ખોલીએ છીએ અને સત્તાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને પરિણામી અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવીએ છીએ, અને છેદમાં આપણે સમાન શબ્દો રજૂ કરીએ છીએ: 
અને ચાલો અપૂર્ણાંકની સામે માઈનસ મૂકીને છેદનું ચિહ્ન પણ બદલીએ: 
.
જવાબ:
.
નવા છેદમાં સત્તાઓ ધરાવતા અપૂર્ણાંકને ઘટાડીને નવા છેદમાં તર્કસંગત અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાની જેમ જ હાથ ધરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, એક વધારાનું પરિબળ પણ જોવા મળે છે અને અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને તેના દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. આ ક્રિયા કરતી વખતે, તે યાદ રાખવું યોગ્ય છે કે નવા છેદમાં ઘટાડો ODZ ના સંકુચિતતા તરફ દોરી શકે છે. આવું ન થાય તે માટે, તે જરૂરી છે કે મૂળ અભિવ્યક્તિ માટે ODZ ચલોમાંથી ચલોના કોઈપણ મૂલ્યો માટે વધારાનું પરિબળ શૂન્યમાં ન જાય.
ઉદાહરણ.
અપૂર્ણાંકને નવા છેદમાં ઘટાડો: a) છેદ a, b) 
છેદ માટે.
ઉકેલ.
a) આ કિસ્સામાં, ઇચ્છિત પરિણામ પ્રાપ્ત કરવામાં કયો વધારાનો ગુણક મદદ કરે છે તે શોધવાનું એકદમ સરળ છે. આ 0.3 નો ગુણક છે, કારણ કે 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a. નોંધ કરો કે ચલ a (આ તમામ હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે) ના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણીમાં, 0.3 ની શક્તિ અદૃશ્ય થતી નથી, તેથી, અમને આપેલના અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરવાનો અધિકાર છે. આ વધારાના પરિબળ દ્વારા અપૂર્ણાંક: 
b) છેદને નજીકથી જોતાં, તમને તે મળશે 
અને આ અભિવ્યક્તિને વડે ગુણાકાર કરવાથી સમઘનનો સરવાળો મળશે અને , એટલે કે . અને આ નવો છેદ છે જેમાં આપણે મૂળ અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાની જરૂર છે.
આ રીતે અમને એક વધારાનું પરિબળ મળ્યું. x અને y ચલોના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણીમાં, અભિવ્યક્તિ અદૃશ્ય થતી નથી, તેથી, આપણે તેના દ્વારા અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ: 
જવાબ:
અ) 
, b) 
.
શક્તિઓ ધરાવતા અપૂર્ણાંકોને ઘટાડવામાં પણ કંઈ નવું નથી: અંશ અને છેદને સંખ્યાબંધ પરિબળો તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે, અને અંશ અને છેદના સમાન પરિબળો ઘટાડવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ.
અપૂર્ણાંક ઘટાડો: a) 
, b).
ઉકેલ.
a) પ્રથમ, અંશ અને છેદને 30 અને 45 નંબરોથી ઘટાડી શકાય છે, જે 15 ની બરાબર છે. x 0.5 +1 અને દ્વારા ઘટાડો કરવાનું પણ દેખીતી રીતે શક્ય છે 
. અમારી પાસે જે છે તે અહીં છે: 
b) આ કિસ્સામાં, અંશ અને છેદમાં સમાન પરિબળો તરત જ દેખાતા નથી. તેમને મેળવવા માટે, તમારે પ્રારંભિક પરિવર્તનો કરવા પડશે. આ કિસ્સામાં, તેઓ સ્ક્વેર ફોર્મ્યુલાના તફાવતનો ઉપયોગ કરીને છેદને ફેક્ટરિંગમાં સમાવે છે: 
જવાબ:
અ) 
b) 
.
અપૂર્ણાંકને નવા છેદમાં રૂપાંતરિત કરવા અને અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે અપૂર્ણાંક સાથે વસ્તુઓ કરવા માટે થાય છે. ક્રિયાઓ જાણીતા નિયમો અનુસાર કરવામાં આવે છે. અપૂર્ણાંકો ઉમેરતી વખતે (બાદબાકી) તેઓ સામાન્ય છેદમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે, ત્યારબાદ અંશ ઉમેરવામાં આવે છે (બાદબાકી), પરંતુ છેદ સમાન રહે છે. પરિણામ એ એક અપૂર્ણાંક છે જેનો અંશ એ અંશનો ગુણાંક છે, અને છેદ એ છેદનું ઉત્પાદન છે. અપૂર્ણાંક દ્વારા ભાગાકાર તેના વ્યસ્ત વડે ગુણાકાર છે.
ઉદાહરણ.
પગલાંઓ અનુસરો 
.
ઉકેલ.
પ્રથમ, આપણે કૌંસમાંના અપૂર્ણાંકને બાદ કરીએ છીએ. આ કરવા માટે, અમે તેમને એક સામાન્ય છેદ પર લાવીએ છીએ, જે છે 
, જે પછી આપણે અંશ બાદ કરીએ છીએ: 
હવે આપણે અપૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર કરીએ છીએ: 
દેખીતી રીતે, x 1/2 ની શક્તિ દ્વારા ઘટાડવાનું શક્ય છે, જે પછી આપણી પાસે છે 
.
તમે ચોરસ સૂત્રના તફાવતનો ઉપયોગ કરીને છેદમાં શક્તિ અભિવ્યક્તિને પણ સરળ બનાવી શકો છો: 
.
જવાબ:
ઉદાહરણ.
પાવર એક્સપ્રેશનને સરળ બનાવો 
.
ઉકેલ.
દેખીતી રીતે, આ અપૂર્ણાંક (x 2.7 +1) 2 દ્વારા ઘટાડી શકાય છે, આ અપૂર્ણાંક આપે છે 
. તે સ્પષ્ટ છે કે X ની શક્તિઓ સાથે કંઈક બીજું કરવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, અમે પરિણામી અપૂર્ણાંકને ઉત્પાદનમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ. આ અમને સમાન પાયા સાથે વિભાજન શક્તિઓની મિલકતનો લાભ લેવાની તક આપે છે: 
. અને પ્રક્રિયાના અંતે આપણે છેલ્લા ઉત્પાદનમાંથી અપૂર્ણાંક તરફ જઈએ છીએ.
જવાબ:
.
અને ચાલો એ પણ ઉમેરીએ કે ઘાતાંકની નિશાની બદલીને, અંશમાંથી છેદમાં અથવા છેદમાંથી અંશમાં નકારાત્મક ઘાતાંકવાળા પરિબળોને સ્થાનાંતરિત કરવું શક્ય છે, અને ઘણા કિસ્સાઓમાં ઇચ્છનીય છે. આવા પરિવર્તનો ઘણીવાર આગળની ક્રિયાઓને સરળ બનાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પાવર અભિવ્યક્તિ દ્વારા બદલી શકાય છે.
મૂળ અને શક્તિઓ સાથે અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર
મોટે ભાગે, અભિવ્યક્તિમાં જેમાં કેટલાક રૂપાંતર જરૂરી હોય છે, અપૂર્ણાંક ઘાતાંકવાળા મૂળ પણ શક્તિઓ સાથે હાજર હોય છે. આવા અભિવ્યક્તિને ઇચ્છિત સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં તે ફક્ત મૂળ અથવા ફક્ત શક્તિઓ પર જવાનું પૂરતું છે. પરંતુ સત્તાઓ સાથે કામ કરવું વધુ અનુકૂળ હોવાથી, તેઓ સામાન્ય રીતે મૂળથી સત્તા તરફ જાય છે. જો કે, જ્યારે મૂળ અભિવ્યક્તિ માટેના ચલોના ODZ તમને મોડ્યુલનો સંદર્ભ લીધા વિના અથવા ODZ ને કેટલાક અંતરાલોમાં વિભાજિત કર્યા વિના મૂળને સત્તા સાથે બદલવાની મંજૂરી આપે છે ત્યારે આવા સંક્રમણને હાથ ધરવા સલાહ આપવામાં આવે છે (અમે આમાં વિગતવાર ચર્ચા કરી છે. મૂળમાંથી સત્તા અને પાછળનું સંક્રમણ તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી સાથે પરિચિત થયા પછી અતાર્કિક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી રજૂ કરવામાં આવે છે, જે આપણને મનસ્વી વાસ્તવિક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી વિશે વાત કરવાની મંજૂરી આપે છે શાળામાં અભ્યાસ કર્યો. ઘાતાંકીય કાર્ય, જે વિશ્લેષણાત્મક રીતે પાવર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેનો આધાર સંખ્યા છે અને ઘાતાંક ચલ છે. તેથી આપણે પાવરના પાયામાં સંખ્યાઓ ધરાવતા પાવર અભિવ્યક્તિઓનો સામનો કરીએ છીએ, અને ઘાતાંકમાં - ચલો સાથેના અભિવ્યક્તિઓ, અને સ્વાભાવિક રીતે આવા અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન કરવાની જરૂરિયાત ઊભી થાય છે.
એવું કહેવું જોઈએ કે ઉકેલ કરતી વખતે સૂચવેલ પ્રકારનાં અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન સામાન્ય રીતે કરવું પડે છે ઘાતાંકીય સમીકરણોઅને ઘાતાંકીય અસમાનતાઓ, અને આ રૂપાંતરણો એકદમ સરળ છે. મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં, તેઓ ડિગ્રીના ગુણધર્મો પર આધારિત હોય છે અને મોટાભાગે ભવિષ્યમાં એક નવું ચલ રજૂ કરવાનું લક્ષ્ય રાખે છે. સમીકરણ અમને તેમને દર્શાવવા માટે પરવાનગી આપશે 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
સૌપ્રથમ, સત્તાઓ, જેના ઘાતાંકમાં ચોક્કસ ચલ (અથવા ચલ સાથેની અભિવ્યક્તિ) અને સંખ્યાનો સરવાળો હોય છે, તેને ઉત્પાદનો દ્વારા બદલવામાં આવે છે. આ ડાબી બાજુના અભિવ્યક્તિના પ્રથમ અને છેલ્લા શબ્દોને લાગુ પડે છે:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
આગળ, સમાનતાની બંને બાજુઓને અભિવ્યક્તિ 7 2 x દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જે મૂળ સમીકરણ માટે x ચલના ODZ પર માત્ર હકારાત્મક મૂલ્યો લે છે (આ પ્રકારના સમીકરણો ઉકેલવા માટેની આ એક પ્રમાણભૂત તકનીક છે, અમે નથી હવે તેના વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, તેથી શક્તિઓ સાથેના અભિવ્યક્તિઓના અનુગામી પરિવર્તન પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરો ): 
હવે આપણે શક્તિઓ સાથે અપૂર્ણાંકને રદ કરી શકીએ છીએ, જે આપે છે 
.
અંતે, સમાન ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓનો ગુણોત્તર સંબંધોની શક્તિઓ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, પરિણામે સમીકરણ 
, જે સમકક્ષ છે 
. કરેલા પરિવર્તનો આપણને એક નવું ચલ રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે, જે મૂળ ઘાતાંકીય સમીકરણના ઉકેલને ચતુર્ભુજ સમીકરણના ઉકેલમાં ઘટાડે છે.
તે સ્પષ્ટ છે કે અન્ય જથ્થાઓની જેમ સત્તાઓ સાથેની સંખ્યાઓ ઉમેરી શકાય છે , તેમને તેમના ચિહ્નો સાથે એક પછી એક ઉમેરીને.
તેથી, a 3 અને b 2 નો સરવાળો એ 3 + b 2 છે.
a 3 - b n અને h 5 -d 4 નો સરવાળો a 3 - b n + h 5 - d 4 છે.
મતભેદ સમાન ચલોની સમાન શક્તિઓઉમેરી અથવા બાદ કરી શકાય છે.
તેથી, 2a 2 અને 3a 2 નો સરવાળો 5a 2 બરાબર છે.
તે પણ સ્પષ્ટ છે કે જો તમે બે ચોરસ a, અથવા ત્રણ ચોરસ a, અથવા પાંચ ચોરસ a લો છો.
પરંતુ ડિગ્રીઓ વિવિધ ચલોઅને વિવિધ ડિગ્રીઓ સમાન ચલો, તેમને તેમના ચિહ્નો સાથે ઉમેરીને કંપોઝ કરવું આવશ્યક છે.
તેથી, a 2 અને a 3 નો સરવાળો એ 2 + a 3 નો સરવાળો છે.
તે સ્પષ્ટ છે કે a નો વર્ગ અને a નો ઘન, a ના ચોરસના બમણા સમાન નથી, પરંતુ a ના ઘન ના બમણા સમાન છે.
a 3 b n અને 3a 5 b 6 નો સરવાળો a 3 b n + 3a 5 b 6 છે.
બાદબાકીવધારાની જેમ જ સત્તાઓ હાથ ધરવામાં આવે છે, સિવાય કે સબટ્રાહેન્ડ્સના ચિહ્નો તે મુજબ બદલાવા જોઈએ.
અથવા:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
ગુણાકાર શક્તિઓ
શક્તિઓ સાથેની સંખ્યાઓને તેમની વચ્ચેના ગુણાકાર ચિહ્ન સાથે અથવા વગર એક પછી એક લખીને અન્ય જથ્થાઓની જેમ ગુણાકાર કરી શકાય છે.
આમ, 3 ને b 2 વડે ગુણાકાર કરવાનું પરિણામ એ 3 b 2 અથવા aaabb છે.
અથવા:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
છેલ્લા ઉદાહરણમાં પરિણામ સમાન ચલો ઉમેરીને ઓર્ડર કરી શકાય છે.
અભિવ્યક્તિ ફોર્મ લેશે: a 5 b 5 y 3.
અનેક સંખ્યાઓ (ચલો) ને શક્તિઓ સાથે સરખાવીને, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે જો તેમાંથી કોઈપણ બેનો ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો પરિણામ એ સંખ્યા (ચલ) છે જેની શક્તિ સમાન છે. રકમશરતોની ડિગ્રી.
તેથી, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
અહીં 5 એ ગુણાકારના પરિણામની શક્તિ છે, જે 2 + 3 ની બરાબર છે, શરતોની શક્તિઓનો સરવાળો છે.
તેથી, a n .a m = a m+n .
n માટે , a એ n ની ઘાત જેટલી વખત અવયવ તરીકે લેવામાં આવે છે;
અને ડિગ્રી m જેટલી હોય તેટલી વખત એક m અવયવ તરીકે લેવામાં આવે છે;
એ કારણે, સમાન આધારો સાથેની શક્તિઓનો ઘાતાંક ઉમેરીને ગુણાકાર કરી શકાય છે.
તેથી, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . અને x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
અથવા:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
ગુણાકાર કરો (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
જવાબ: x 4 - y 4.
ગુણાકાર કરો (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
આ નિયમ સંખ્યાઓ માટે પણ સાચો છે જેના ઘાતાંક છે નકારાત્મક.
1. તેથી, a -2 .a -3 = a -5 . આને (1/aa) તરીકે લખી શકાય છે.(1/aaa) = 1/aaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
જો a + b ને a - b વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે તો પરિણામ 2 - b 2 આવશે: એટલે કે
બે સંખ્યાઓના સરવાળા અથવા તફાવતને ગુણાકાર કરવાનું પરિણામ તેમના વર્ગોના સરવાળા અથવા તફાવતની બરાબર છે.
જો તમે વધેલી બે સંખ્યાઓનો સરવાળો અને તફાવતનો ગુણાકાર કરો ચોરસ, પરિણામ આ સંખ્યાઓના સરવાળા અથવા તફાવતની બરાબર હશે ચોથુંડિગ્રી
તેથી, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
ડિગ્રીઓનું વિભાજન
ડિવિડન્ડમાંથી બાદબાકી કરીને અથવા તેને અપૂર્ણાંક સ્વરૂપમાં મૂકીને સત્તાઓ ધરાવતી સંખ્યાઓને અન્ય સંખ્યાઓની જેમ વિભાજિત કરી શકાય છે.
આમ, a 3 b 2 ભાગ્યા b 2 એ 3 બરાબર છે.
અથવા:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
5 ને 3 વડે ભાગ્યા લખવું $\frac(a^5)(a^3)$ જેવું લાગે છે. પરંતુ આ 2 બરાબર છે. સંખ્યાઓની શ્રેણીમાં
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
કોઈપણ સંખ્યાને બીજા વડે ભાગી શકાય છે, અને ઘાતાંક બરાબર હશે તફાવતવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સૂચક.
સમાન આધાર સાથે ડિગ્રીને વિભાજિત કરતી વખતે, તેમના ઘાતાંક બાદ કરવામાં આવે છે..
તેથી, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. એટલે કે, $\frac(yyy)(yy) = y$.
અને n+1:a = a n+1-1 = a n . એટલે કે, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
અથવા:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
સાથેની સંખ્યાઓ માટે પણ નિયમ સાચો છે નકારાત્મકડિગ્રીના મૂલ્યો.
a -5 ને a -3 વડે ભાગવાનું પરિણામ a -2 છે.
ઉપરાંત, $\frac(1)(aaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 અથવા $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
શક્તિઓના ગુણાકાર અને વિભાજનમાં ખૂબ જ સારી રીતે નિપુણતા મેળવવી જરૂરી છે, કારણ કે આવી કામગીરી બીજગણિતમાં ખૂબ વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે.
સત્તાઓ સાથે સંખ્યાઓ ધરાવતા અપૂર્ણાંકો સાથે ઉદાહરણો ઉકેલવાના ઉદાહરણો
1. $\frac(5a^4)(3a^2)$ દ્વારા ઘાત ઘટાડવો જવાબ: $\frac(5a^2)(3)$.
2. ઘાતાંકમાં $\frac(6x^6)(3x^5)$ દ્વારા ઘટાડો. જવાબ: $\frac(2x)(1)$ અથવા 2x.
3. 2 /a 3 અને a -3 /a -4 ઘાતાંક ઘટાડીને સામાન્ય છેદ પર લાવો.
a 2 .a -4 એ -2 પ્રથમ અંશ છે.
a 3 .a -3 એ 0 = 1 છે, બીજો અંશ.
a 3 .a -4 એ -1 છે, સામાન્ય અંશ.
સરળીકરણ પછી: a -2 /a -1 અને 1/a -1 .
4. ઘાતાંક 2a 4/5a 3 અને 2 /a 4 ને ઘટાડીને સામાન્ય છેદ પર લાવો.
જવાબ: 2a 3/5a 7 અને 5a 5/5a 7 અથવા 2a 3/5a 2 અને 5/5a 2.
5. (a 3 + b)/b 4 ને (a - b)/3 વડે ગુણાકાર કરો.
6. (a 5 + 1)/x 2 ને (b 2 - 1)/(x + a) વડે ગુણાકાર કરો.
7. b 4 /a -2 ને h -3 /x અને a n /y -3 વડે ગુણાકાર કરો.
8. 4 /y 3 ને 3 /y 2 વડે ભાગો. જવાબ: a/y.
9. ભાગાકાર (h 3 - 1)/d 4 દ્વારા (d n + 1)/h.
ડિગ્રી સૂત્રોજટિલ અભિવ્યક્તિઓ ઘટાડવા અને સરળ બનાવવાની પ્રક્રિયામાં, સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે વપરાય છે.
નંબર cછે n-સંખ્યાની ઘાત aક્યારે:
ડિગ્રી સાથે કામગીરી.
1. સમાન આધાર સાથે ડિગ્રીનો ગુણાકાર કરીને, તેમના સૂચક ઉમેરવામાં આવે છે:
એક મી· a n = a m + n .
2. સમાન આધાર સાથે ડિગ્રીને વિભાજિત કરતી વખતે, તેમના ઘાતાંક બાદ કરવામાં આવે છે:
3. 2 અથવા વધુ પરિબળોના ઉત્પાદનની ડિગ્રી આ પરિબળોની ડિગ્રીના ઉત્પાદનની બરાબર છે:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. અપૂર્ણાંકની ડિગ્રી ડિવિડન્ડ અને વિભાજકની ડિગ્રીના ગુણોત્તર જેટલી છે:
(a/b) n = a n /b n .
5. ઘાતને ઘાતમાં વધારીને, ઘાતાંકનો ગુણાકાર થાય છે:
(a m) n = a m n .
ઉપરોક્ત દરેક સૂત્ર ડાબેથી જમણે અને ઊલટું દિશાઓમાં સાચું છે.
દાખ્લા તરીકે. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
મૂળ સાથે કામગીરી.
1. ઘણા પરિબળોના ઉત્પાદનનું મૂળ આ પરિબળોના મૂળના ઉત્પાદન જેટલું છે:
2. ગુણોત્તરનું મૂળ ડિવિડન્ડ અને મૂળના વિભાજકના ગુણોત્તર સમાન છે:
3. જ્યારે રુટને પાવરમાં વધારતા હોય, ત્યારે આ પાવરમાં રેડિકલ નંબર વધારવા માટે તે પૂરતું છે:
4. જો તમે રુટની ડિગ્રીમાં વધારો કરો છો nએકવાર અને તે જ સમયે માં બિલ્ડ nમી શક્તિ એ આમૂલ સંખ્યા છે, તો પછી રુટનું મૂલ્ય બદલાશે નહીં:
5. જો તમે માં રુટની ડિગ્રી ઘટાડે છે nતે જ સમયે રુટ બહાર કાઢો nઆમૂલ સંખ્યાની -મી શક્તિ, પછી મૂળનું મૂલ્ય બદલાશે નહીં:
નકારાત્મક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી.બિન-ધન (પૂર્ણાંક) ઘાતાંક સાથેની ચોક્કસ સંખ્યાની શક્તિને બિન-ધન ઘાતાંકના ચોક્કસ મૂલ્યની સમાન ઘાતાંક સાથે સમાન સંખ્યાની શક્તિ દ્વારા ભાગ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
ફોર્મ્યુલા એક મી:a n =a m - nમાટે જ નહીં m> n, પણ સાથે m< n.
દાખ્લા તરીકે. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
સૂત્ર માટે એક મી:a n =a m - nજ્યારે ન્યાયી બન્યો m=n, શૂન્ય ડિગ્રીની હાજરી જરૂરી છે.
શૂન્ય ઇન્ડેક્સ સાથેની ડિગ્રી.શૂન્ય ઘાતાંક સાથે શૂન્યની બરાબર ન હોય તેવી કોઈપણ સંખ્યાની શક્તિ એકની બરાબર છે.
દાખ્લા તરીકે. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી.વાસ્તવિક સંખ્યા વધારવા માટે એડિગ્રી સુધી m/n, તમારે રુટ કાઢવાની જરૂર છે nની મી ડિગ્રી m-આ સંખ્યાની મી શક્તિ એ.
પ્રાથમિક ધ્યેય
વિદ્યાર્થીઓને કુદરતી ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના ગુણધર્મોથી પરિચિત કરવા અને ડિગ્રી સાથે કામગીરી કેવી રીતે કરવી તે શીખવવું.
વિષય "ડિગ્રી અને તેના ગુણધર્મો"ત્રણ પ્રશ્નોનો સમાવેશ થાય છે:
- કુદરતી સૂચક સાથે ડિગ્રીનું નિર્ધારણ.
- શક્તિઓનો ગુણાકાર અને વિભાજન.
- ઉત્પાદન અને ડિગ્રીનું ઘાતીકરણ.
પ્રશ્નો પર નિયંત્રણ રાખો
- 1 થી વધુ કુદરતી ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની વ્યાખ્યા બનાવો. ઉદાહરણ આપો.
- ઘાતાંક 1 સાથે ડિગ્રીની વ્યાખ્યા બનાવો. ઉદાહરણ આપો.
- શક્તિઓ ધરાવતી અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરતી વખતે કામગીરીનો ક્રમ શું છે?
- ડિગ્રીની મુખ્ય મિલકતની રચના કરો. એક ઉદાહરણ આપો.
- સમાન આધારો સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવાનો નિયમ ઘડવો. એક ઉદાહરણ આપો.
- સમાન પાયા સાથે સત્તાના વિભાજન માટે નિયમ ઘડવો. એક ઉદાહરણ આપો.
- ઉત્પાદનના ઘાત માટેનો નિયમ ઘડવો. એક ઉદાહરણ આપો. ઓળખ સાબિત કરો (ab) n = a n b n .
- સત્તાને સત્તા વધારવા માટેનો નિયમ ઘડવો. એક ઉદાહરણ આપો. ઓળખ સાબિત કરો (a m) n = a m n .
ડિગ્રીની વ્યાખ્યા.
સંખ્યાની શક્તિ aકુદરતી સૂચક સાથે n, 1 કરતા વધારે, n અવયવોનું ઉત્પાદન છે, જેમાંથી દરેક સમાન છે એ. સંખ્યાની શક્તિ એઘાતાંક 1 સાથેની સંખ્યા પોતે જ છે એ.
આધાર સાથે ડિગ્રી એઅને સૂચક nઆ રીતે લખાયેલ છે: એક એન. તે વાંચે છે " એએક ડિગ્રી સુધી n”; સંખ્યાની nમી શક્તિ એ ”.
ડિગ્રીની વ્યાખ્યા દ્વારા:
a 4 = a a a a
. . . . . . . . . . . .
ડિગ્રીનું મૂલ્ય શોધવું કહેવાય છે ઘાત દ્વારા .
1. ઘાતીકરણના ઉદાહરણો:
3 3 = 3 3 3 = 27
0 4 = 0 0 0 0 = 0
(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125
25 ; 0,09 ;
25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .
27 ; 0,001 ; 8 .
27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .
4. અભિવ્યક્તિઓના અર્થો શોધો:
a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000
b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7
વિકલ્પ 1
a) 0.3 0.3 0.3
c) ભ ભ ભ ભ ભ ભ ભ
d) (-x) (-x) (-x) (-x)
e) (ab) (ab) (ab)
2. સંખ્યાને ચોરસ તરીકે રજૂ કરો:
3. સંખ્યાઓને સમઘન તરીકે રજૂ કરો:
4. અભિવ્યક્તિઓના અર્થો શોધો:
c) -1 4 + (-2) 3
ડી) -4 3 + (-3) 2
e) 100 - 5 2 4
શક્તિઓનો ગુણાકાર.
કોઈપણ સંખ્યા a અને મનસ્વી સંખ્યાઓ માટે m અને n નીચે આપેલ છે:
a m a n = a m + n .
પુરાવો:
નિયમ : જ્યારે સમાન આધારો સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે પાયા સમાન રહે છે, અને શક્તિઓના ઘાતાંક ઉમેરવામાં આવે છે.
a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k
a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9
b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7
c) b 2 b 5 b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11
d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6
e) 0.01 0.1 3 = 0.1 2 0.1 3 = 0.1 5
a) 2 3 2 = 2 4 = 16
b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187
વિકલ્પ 1
1. ડિગ્રી તરીકે પ્રસ્તુત કરો:
a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4
b) a 6 a 2 g) 3 3 9
c) y 4 y h) 7 4 49
d) a a 8 i) 16 2 7
e) 2 3 2 4 જ) 0.3 3 0.09
2. ડિગ્રી તરીકે પ્રસ્તુત કરો અને કોષ્ટકમાંથી મૂલ્ય શોધો:
a) 2 2 2 3 c) 8 2 5
b) 3 4 3 2 ડી) 27 243
ડિગ્રીઓનું વિભાજન.
કોઈપણ સંખ્યા a0 અને મનસ્વી કુદરતી સંખ્યાઓ m અને n માટે, જેમ કે m>n નીચેના ધરાવે છે:
a m: a n = a m - n
પુરાવો:
a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m
ભાગની વ્યાખ્યા દ્વારા:
a m: a n = a m - n .
નિયમ: જ્યારે સમાન પાયા સાથે શક્તિઓનું વિભાજન કરવામાં આવે છે, ત્યારે આધાર સમાન રહે છે, અને વિભાજકના ઘાતાંકને ડિવિડન્ડના ઘાતાંકમાંથી બાદ કરવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા: શૂન્ય ઘાતાંક સાથેની સંખ્યા a, શૂન્યની બરાબર નથી, તેની શક્તિ એકની બરાબર છે:
કારણ કે a n: a n = 1 અને a0.
a) x 4: x 2 = x 4 - 2 = x 2
b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5
c) a 7:a = a 7:a 1 = a 7 - 1 = a 6
d) 5 થી: 0 થી = 5:1 = 5 થી
a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25
b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000
વી)
જી)
ડી)
વિકલ્પ 1
1. ભાગને શક્તિ તરીકે રજૂ કરો:
2. અભિવ્યક્તિઓના અર્થો શોધો:
ઉત્પાદનની શક્તિમાં વધારો.
કોઈપણ a અને b અને મનસ્વી કુદરતી સંખ્યા n માટે:
(ab) n = a n b n
પુરાવો:
ડિગ્રીની વ્યાખ્યા દ્વારા
(ab)n= 
પરિબળો a અને પરિબળો b ને અલગથી જૂથબદ્ધ કરવાથી આપણને મળે છે:
= 
ઉત્પાદનની શક્તિની સાબિત મિલકત ત્રણ અથવા વધુ પરિબળોના ઉત્પાદનની શક્તિ સુધી વિસ્તરે છે.
દાખ્લા તરીકે:
(a b c) n = a n b n c n ;
(a b c d) n = a n b n c n d n .
નિયમ: જ્યારે કોઈ ઉત્પાદનને શક્તિમાં વધારતા હોય, ત્યારે દરેક પરિબળને તે શક્તિ સુધી વધારવામાં આવે છે અને પરિણામનો ગુણાકાર થાય છે.
1. શક્તિમાં વધારો:
a) (a b) 4 = a 4 b 4
b) (2 x y) 3 =2 3 x 3 y 3 = 8 x 3 y 3
c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4
d) (-5 y) 3 = (-5) 3 y 3 = -125 y 3
e) (-0.2 x y) 2 = (-0.2) 2 x 2 y 2 = 0.04 x 2 y 2
e) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4
2. અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો:
a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000
b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000 = 90000
c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000
ડી) 0.25 11 4 11 = (0.25 4) 11 = 1 11 = 1
ડી)
વિકલ્પ 1
1. શક્તિમાં વધારો:
b) (2 a c) 4
e) (-0.1 x y) 3
2. અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો:
b) (5 7 20) 2
શક્તિની શક્તિમાં વધારો.
કોઈપણ સંખ્યા a અને મનસ્વી કુદરતી સંખ્યાઓ m અને n માટે:
(a m) n = a m n
પુરાવો:
ડિગ્રીની વ્યાખ્યા દ્વારા
(a m) n = 
નિયમ: જ્યારે પાવરને પાવરમાં વધારતા હોય, ત્યારે આધાર સમાન રહે છે, અને ઘાતાંકનો ગુણાકાર થાય છે.
1. શક્તિમાં વધારો:
(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20
(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9
2. અભિવ્યક્તિઓ સરળ બનાવો:
a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13
b) (b 3) 2 b 7 = b 6 b 7 = b 13
c) (x 3) 2 (x 2) 4 = x 6 x 8 = x 14
d) (y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24
અ)
b)
વિકલ્પ 1
1. શક્તિમાં વધારો:
a) (a 4) 2 b) (x 4) 5
c) (y 3) 2 d) (b 4) 4
2. અભિવ્યક્તિઓ સરળ બનાવો:
a) a 4 (a 3) 2
b) (b 4) 3 b 5+
c) (x 2) 4 (x 4) 3
d) (y 9) 2
3. અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ શોધો:
અરજી
ડિગ્રીની વ્યાખ્યા.
વિકલ્પ 2
1લી ઉત્પાદનને શક્તિ તરીકે લખો:
a) 0.4 0.4 0.4
c) a a a a a a a a
d) (-y) (-y) (-y) (-y)
e) (bс) (bс) (bс)
2. સંખ્યાને ચોરસ તરીકે રજૂ કરો:
3. સંખ્યાઓને સમઘન તરીકે રજૂ કરો:
4. અભિવ્યક્તિઓના અર્થો શોધો:
c) -1 3 + (-2) 4
d) -6 2 + (-3) 2
e) 4 5 2 - 100
વિકલ્પ 3
1. ઉત્પાદનને શક્તિ તરીકે લખો:
a) 0.5 0.5 0.5
c) સાથે સાથે સાથે સાથે સાથે સાથે સાથે સાથે
d) (-x) (-x) (-x) (-x)
e) (ab) (ab) (ab)
2. સંખ્યાને ચોરસ તરીકે રજૂ કરો: 100; 0.49; .
3. સંખ્યાઓને સમઘન તરીકે રજૂ કરો:
4. અભિવ્યક્તિઓના અર્થો શોધો:
c) -1 5 + (-3) 2
d) -5 3 + (-4) 2
e) 5 4 2 - 100
વિકલ્પ 4
1. ઉત્પાદનને શક્તિ તરીકે લખો:
a) 0.7 0.7 0.7
c) x x x x x x x
d) (-a) (-a) (-a)
e) (બીસી) (બીસી) (બીસી) (બીસી)
2. સંખ્યાને ચોરસ તરીકે રજૂ કરો:
3. સંખ્યાઓને સમઘન તરીકે રજૂ કરો:
4. અભિવ્યક્તિઓના અર્થો શોધો:
c) -1 4 + (-3) 3
ડી) -3 4 + (-5) 2
e) 100 - 3 2 5
શક્તિઓનો ગુણાકાર.
વિકલ્પ 2
1. ડિગ્રી તરીકે પ્રસ્તુત કરો:
a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5
b) a 7 a 3 g) 2 3 4
c) y 5 y h) 4 3 16
d) a a 7 i) 4 2 5
e) 2 2 2 5 જ) 0.2 3 0.04
2. ડિગ્રી તરીકે પ્રસ્તુત કરો અને કોષ્ટકમાંથી મૂલ્ય શોધો:
a) 3 2 3 3 c) 16 2 3
b) 2 4 2 5 ડી) 9 81
વિકલ્પ 3
1. ડિગ્રી તરીકે પ્રસ્તુત કરો:
a) a 3 a 5 f) y 2 y 4 y 6
b) x 4 x 7 g) 3 5 9
c) b 6 b h) 5 3 25
d) y 8 i) 49 7 4
e) 2 3 2 6 જ) 0.3 4 0.27
2. ડિગ્રી તરીકે પ્રસ્તુત કરો અને કોષ્ટકમાંથી મૂલ્ય શોધો:
a) 3 3 3 4 c) 27 3 4
b) 2 4 2 6 ડી) 16 64
વિકલ્પ 4
1. ડિગ્રી તરીકે પ્રસ્તુત કરો:
a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6
b) x 7 x 8 g) 3 4 27
c) y 6 y h) 4 3 16
d) x x 10 i) 36 6 3
e) 2 4 2 5 જ) 0.2 2 0.008
2. ડિગ્રી તરીકે પ્રસ્તુત કરો અને કોષ્ટકમાંથી મૂલ્ય શોધો:
a) 2 6 2 3 c) 64 2 4
b) 3 5 3 2 ડી) 81 27
ડિગ્રીઓનું વિભાજન.
વિકલ્પ 2
1. ભાગને શક્તિ તરીકે રજૂ કરો:
2. અભિવ્યક્તિઓના અર્થો શોધો.
