ઘટનાની સંબંધિત આવર્તનની આંકડાકીય સ્થિરતાની મિલકત. સંબંધિત આવર્તન

કહેવાય છે સંબંધિત આવર્તન (અથવા આવર્તન)ઘટનાઓ એવિચારણા હેઠળના પ્રયોગોની શ્રેણીમાં.

ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન નીચે મુજબ છે ગુણધર્મો:

1. કોઈપણ ઘટનાની આવર્તન શૂન્ય અને એક વચ્ચે હોય છે, એટલે કે.

2. અશક્ય ઘટનાની આવર્તન શૂન્ય છે, એટલે કે.

3. વિશ્વસનીય ઘટનાની આવર્તન 1 છે, એટલે કે.

4. બે અસંગત ઘટનાઓના સરવાળાની આવર્તન આવર્તનના સરવાળા જેટલી છે
આ ઘટનાઓ, એટલે કે જો, તો પછી

આવર્તન નામની અન્ય મૂળભૂત મિલકત ધરાવે છે આંકડાકીય સ્થિરતાની મિલકત: પ્રયોગોની વધતી સંખ્યા સાથે (દા.ત. n) તે મૂલ્યોને અમુક સ્થિર સંખ્યાની નજીક લે છે (તેઓ કહે છે: આવર્તન સ્થિર થાય છે, ચોક્કસ સંખ્યાની નજીક આવે છે, આવર્તન ચોક્કસ સંખ્યાની આસપાસ વધઘટ થાય છે, અથવા તેના મૂલ્યો ચોક્કસ સંખ્યાની આસપાસ જૂથબદ્ધ થાય છે).

તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રયોગમાં (કે. પીયર્સન) સિક્કો ફેંકી રહ્યા છે - 12,000 અને 24,000 ટોસ સાથેના કોટ ઓફ આર્મ્સના દેખાવની સંબંધિત આવર્તન અનુક્રમે 0.5015 અને 0.5005 ની બરાબર હોવાનું બહાર આવ્યું છે, એટલે કે. આવર્તન સંખ્યાની નજીક આવે છે. અવલોકનો બતાવે છે તેમ, છોકરો હોવાની આવર્તન સંખ્યા 0.515 ની આસપાસ વધઘટ થાય છે.

નોંધ કરો કે સંભાવના સિદ્ધાંત અનિશ્ચિત પરિણામ સાથે માત્ર તે જ સામૂહિક રેન્ડમ ઘટનાઓનો અભ્યાસ કરે છે જેના માટે સંબંધિત આવર્તનની સ્થિરતા ધારવામાં આવે છે.

સંભાવનાની આંકડાકીય વ્યાખ્યા

રેન્ડમ ઘટનાનો ગાણિતિક રીતે અભ્યાસ કરવા માટે, ઘટનાનું અમુક માત્રાત્મક મૂલ્યાંકન રજૂ કરવું જરૂરી છે. તે સ્પષ્ટ છે કે કેટલીક ઘટનાઓ અન્ય કરતા વધુ થવાની શક્યતા ("વધુ સંભાવના") છે. આ મૂલ્યાંકન છે ઘટનાની સંભાવના, તે વિચારણા હેઠળના અનુભવમાં તેની ઘટનાની સંભાવનાની ડિગ્રી વ્યક્ત કરતી સંખ્યા. સંભાવનાની ઘણી ગાણિતિક વ્યાખ્યાઓ છે તે બધા એકબીજાના પૂરક અને સામાન્યીકરણ કરે છે.

એક પ્રયોગનો વિચાર કરો જે ગમે તેટલી વખત પુનરાવર્તિત થઈ શકે છે (તેઓ કહે છે: "પુનરાવર્તિત પરીક્ષણો હાથ ધરવામાં આવે છે"), જેમાં કેટલીક ઘટનાઓ જોવા મળે છે. એ.

આંકડાકીય સંભાવનાઘટનાઓ એતે સંખ્યા છે કે જેની આસપાસ ઘટના A ની સંબંધિત આવર્તન પૂરતી મોટી સંખ્યામાં ટ્રાયલ (પ્રયોગો) માટે વધઘટ થાય છે.

ઘટનાની સંભાવના એપ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે આર(એ). આ વ્યાખ્યા અનુસાર:

સંબંધિત આવર્તન અને સંભાવનાની નિકટતા માટે ગાણિતિક સમર્થન આર(એ) અમુક ઘટના એજે. બર્નૌલીના પ્રમેય તરીકે સેવા આપે છે.

સંભાવનાઓ આર(એ) 1-4 સંબંધિત ફ્રીક્વન્સીઝના ગુણધર્મોને આભારી છે:

1. કોઈપણ ઘટનાની આંકડાકીય સંભાવના શૂન્ય અને એકની વચ્ચે હોય છે, એટલે કે.

2. અશક્ય ઘટનાની આંકડાકીય સંભાવના શૂન્ય છે, એટલે કે.

3. વિશ્વસનીય ઘટનાની આંકડાકીય સંભાવના 1 ની બરાબર છે, એટલે કે.

4. બે અસંગત ઘટનાઓના સરવાળાની આંકડાકીય સંભાવના આ ઘટનાઓની આવૃત્તિના સરવાળા જેટલી છે, એટલે કે. જો, તો પછી

વાસ્તવિક અનુભવના આધારે સંભાવના નક્કી કરવાની આંકડાકીય પદ્ધતિ, આ ખ્યાલની સામગ્રીને સંપૂર્ણ રીતે છતી કરે છે. આંકડાકીય વ્યાખ્યાનો ગેરલાભ એ આંકડાકીય સંભાવનાની અસ્પષ્ટતા છે; તેથી સિક્કો ફેંકવાના ઉદાહરણમાં, તમે માત્ર 0.5 નંબર જ નહીં, પણ 0.49 અથવા 0.51 વગેરેને પણ સંભાવના તરીકે લઈ શકો છો. સંભાવનાને વિશ્વસનીય રીતે નક્કી કરવા માટે, તમારે મોટી સંખ્યામાં પરીક્ષણો કરવાની જરૂર છે, જે હંમેશા સરળ અથવા સસ્તી હોતી નથી.

સંભાવનાની ઉત્તમ વ્યાખ્યા

પ્રયોગના પરિણામોની મર્યાદિત સંખ્યાની સમાનતાના આધારે ઘટનાની સંભાવના નક્કી કરવાની એક સરળ રીત છે. સાથે પ્રયોગ કરવા દો nતરીકે રજૂ કરી શકાય તેવા પરિણામો સમાન રીતે શક્ય અસંગતનું સંપૂર્ણ જૂથઘટનાઓ આવા પરિણામો કહેવામાં આવે છે કિસ્સાઓ, તકો, પ્રાથમિક ઘટનાઓ, અનુભવ - ક્લાસિક. તેઓ આવા અનુભવ વિશે કહે છે કે તે ઉકળે છે કેસ યોજનાઅથવા urn યોજના(કારણ કે આવા પ્રયોગ માટે સંભવિત સમસ્યાને વિવિધ રંગોના દડા ધરાવતા ભઠ્ઠીઓની સમકક્ષ સમસ્યા દ્વારા બદલી શકાય છે).

કેસ ડબલ્યુ, જે ઘટનાની ઘટના તરફ દોરી જાય છે એ, કહેવાય છે અનુકૂળ(અથવા અનુકૂળ) તેને, એટલે કે. કેસ w ઘટનાનો સમાવેશ કરે છે એ: .

ઘટનાની સંભાવના એસંખ્યા ગુણોત્તર કહેવાય છે mઆ ઘટના માટે અનુકૂળ કેસ, કુલ સંખ્યા nકેસો, એટલે કે

હોદ્દો સાથે આર(એ) ઘટનાની સંભાવના માટે એવપરાયેલ નોટેશન છે આર, એટલે કે p=P(એ).

સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યામાંથી નીચે મુજબ છે: ગુણધર્મો:

1. કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના શૂન્ય અને એકની વચ્ચે છે, એટલે કે.

2. અશક્ય ઘટનાની સંભાવના શૂન્ય છે, એટલે કે.

3. વિશ્વસનીય ઘટનાની સંભાવના 1 છે, એટલે કે.

4. અસંગત ઘટનાઓના સરવાળાની સંભાવના આ ઘટનાઓની આવૃત્તિના સરવાળા જેટલી છે, એટલે કે. જો, તો પછી

ઉદાહરણ 1.3.એક ભઠ્ઠીમાં 12 સફેદ અને 8 કાળા દડા હોય છે. અવ્યવસ્થિત રીતે દોરવામાં આવેલ બોલ સફેદ હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ:

દો એ- સફેદ બોલ દોરવામાં આવે તે હકીકતનો સમાવેશ કરતી ઘટના. તે સ્પષ્ટ છે કે તે તમામ સમાન સંભવિત કેસોની સંખ્યા છે. ઘટનાની તરફેણ કરતા કેસોની સંખ્યા એ, બરાબર 12, એટલે કે. . પરિણામે, સૂત્ર (1.3) મુજબ આપણી પાસે છે: , એટલે કે. .

સંભાવનાઓની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા

જ્યારે પ્રયોગના પરિણામો સમાન રીતે શક્ય હોય ત્યારે સંભાવનાની ભૌમિતિક વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ થાય છે, અને PES એ અનંત અગણિત સમૂહ છે. ચાલો આપણે સમતલ પર અમુક ક્ષેત્ર Ω વિસ્તાર ધરાવતા અને પ્રદેશની અંદર Ωનો વિચાર કરીએ , પ્રદેશ ડીવિસ્તાર સાથે એસ ડી(ફિગ 6 જુઓ).

Ω પ્રદેશમાં એક બિંદુ રેન્ડમલી પસંદ થયેલ છે એક્સ. આ પસંદગી તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે એક બિંદુ ફેંકવું એક્સ પ્રદેશ માટેΩ. આ કિસ્સામાં, Ω પ્રદેશમાં બિંદુનો પ્રવેશ એ એક વિશ્વસનીય ઘટના છે, માં ડી- રેન્ડમ. એવું માનવામાં આવે છે કે Ω પ્રદેશના તમામ બિંદુઓ સમાન છે (બધી પ્રાથમિક ઘટનાઓ સમાન રીતે શક્ય છે), એટલે કે. કે ફેંકવામાં આવેલ બિંદુ Ω પ્રદેશના કોઈપણ બિંદુને હિટ કરી શકે છે અને પ્રદેશમાં પ્રવેશવાની સંભાવના ડીઆ વિસ્તારના વિસ્તારના પ્રમાણમાં છે અને તેના સ્થાન અને આકાર પર આધાર રાખતો નથી. ઘટના દો, એટલે કે. ફેંકવામાં આવેલ બિંદુ વિસ્તારમાં આવશે ડી.

સંભાવનાની ઉત્તમ વ્યાખ્યા

સંભાવના - સંભાવના સિદ્ધાંતની મૂળભૂત વિભાવનાઓમાંની એક. આ ખ્યાલની ઘણી વ્યાખ્યાઓ છે. સંભાવના ચોક્કસ ઘટના બનવાની સંભાવનાની ડિગ્રી દર્શાવતી સંખ્યા છે.

દરેક સંભવિત પરીક્ષણ પરિણામો કહેવામાં આવે છે પ્રાથમિક પરિણામ (પ્રાથમિક ઘટના).હોદ્દો: ...,

અમે તે પ્રાથમિક પરિણામોને કહીશું જેમાં અમને રસ પડે તેવી ઘટના બને છે અનુકૂળ

ઉદાહરણ:એક ભઠ્ઠીમાં 10 સરખા બોલ હોય છે, જેમાંથી 4 કાળા અને 6 સફેદ હોય છે. ઘટના - ભઠ્ઠીમાંથી સફેદ બોલ દોરવામાં આવે છે. અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા જેમાં ભઠ્ઠીમાંથી સફેદ દડા દોરવામાં આવશે 4 છે.

ઘટના માટે અનુકૂળ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા અને તેમની કુલ સંખ્યાના ગુણોત્તરને ઘટનાની સંભાવના કહેવામાં આવે છે; અમારા ઉદાહરણમાં હોદ્દો

ઘટનાની સંભાવનાઆ ઘટના માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યાના ગુણોત્તરને એક સંપૂર્ણ જૂથ બનાવતા તમામ સમાન સંભવિત અસંગત પ્રાથમિક પરિણામોની કુલ સંખ્યા સાથે કૉલ કરો,

ઘટના માટે અનુકૂળ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા ક્યાં છે; તમામ સંભવિત પ્રાથમિક પરીક્ષણ પરિણામોની સંખ્યા.

સંભાવનાના ગુણધર્મો:

1. વિશ્વસનીય ઘટનાની સંભાવના એક સમાન છે, એટલે કે.

2. અશક્ય ઘટનાની સંભાવના શૂન્ય છે, એટલે કે.ઇ.

3. રેન્ડમ ઘટનાની સંભાવના એ શૂન્ય અને એક વચ્ચેની સકારાત્મક સંખ્યા છે, એટલે કે.ઇ.

અથવા

પ્રોપર્ટી 1 અને 2 ને ધ્યાનમાં લેતા, કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના અસમાનતાને સંતોષે છે

4 . સંયોજનશાસ્ત્રના મૂળભૂત સૂત્રો

કોમ્બીનેટરિક્સ અમુક શરતોને આધીન સંયોજનોની સંખ્યાનો અભ્યાસ કરે છે, જે મનસ્વી પ્રકૃતિના તત્વોના આપેલ મર્યાદિત સમૂહમાંથી બનાવી શકાય છે. સંભાવનાઓની સીધી ગણતરી કરતી વખતે, સંયોજનશાસ્ત્રના સૂત્રોનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. અમે તેમાંથી સૌથી સામાન્ય રજૂ કરીએ છીએ.

ક્રમચયોએ સંયોજનો છે જેમાં સમાન વિવિધ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે અને ફક્ત તેમની ગોઠવણીના ક્રમમાં અલગ પડે છે.

તમામ સંભવિત ક્રમચયોની સંખ્યા

જ્યાં તે સ્વીકારવામાં આવે છે

ઉદાહરણ.ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓની સંખ્યા, જ્યારે દરેક અંક ત્રણ-અંકની સંખ્યાની છબીમાં માત્ર એક જ વાર દેખાય છે, તે બરાબર છે

પ્લેસમેન્ટઘટકો દ્વારા વિવિધ ઘટકોના બનેલા સંયોજનો છે જે તત્વોની રચનામાં અથવા તેમના ક્રમમાં અલગ પડે છે. તમામ સંભવિત પ્લેસમેન્ટની સંખ્યા

ઉદાહરણ.વિવિધ રંગોના 6 ધ્વજમાંથી સંકેતોની સંખ્યા, 2 ના જૂથોમાં લેવામાં આવે છે:

સંયોજનોઓછામાં ઓછા એક તત્વમાં ભિન્ન હોય તેવા તત્વોના વિવિધ ઘટકોથી બનેલા સંયોજનો છે. સંયોજનોની સંખ્યા

ઉદાહરણ. 10 ભાગો ધરાવતા બોક્સમાંથી બે ભાગો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા:

પ્લેસમેન્ટ, ક્રમચયો અને સંયોજનોની સંખ્યા સમાનતા દ્વારા સંબંધિત છે

સંયોજનની સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, નીચેના નિયમોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:

સમ નિયમ. જો અમુક ઑબ્જેક્ટ ઑબ્જેક્ટના સમૂહમાંથી રીતે પસંદ કરી શકાય છે, અને અન્ય ઑબ્જેક્ટને રીતે પસંદ કરી શકાય છે, તો પછી કાં તો પસંદ કરી શકાય છે અથવા રીતે પસંદ કરી શકાય છે.

ઉત્પાદન નિયમ. જો ઑબ્જેક્ટના સંગ્રહમાંથી ઑબ્જેક્ટને રીતે પસંદ કરી શકાય છે, અને આવી દરેક પસંદગી પછી ઑબ્જેક્ટને રીતે પસંદ કરી શકાય છે, તો ચોક્કસ ક્રમમાં ઑબ્જેક્ટની જોડી રીતે પસંદ કરી શકાય છે.

સંબંધિત આવર્તનપણ સંભાવના સિદ્ધાંતનો મૂળભૂત ખ્યાલ છે.

સંબંધિત આવર્તનઇવેન્ટ્સ એ ટ્રાયલ્સની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે જેમાં ઘટના ખરેખર કરવામાં આવેલ ટ્રાયલ્સની કુલ સંખ્યા અને ફોર્મ્યુલા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

,

ટ્રાયલ્સમાં ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા ક્યાં છે, અજમાયશની કુલ સંખ્યા.

સંભાવના અને સંબંધિત આવર્તનની વ્યાખ્યાઓની તુલના કરતા, અમે નિષ્કર્ષ પર પહોંચીએ છીએ કે સંભાવના નક્કી કરવા માટે પરીક્ષણની જરૂર નથી, અને સંબંધિત આવર્તન નક્કી કરવા માટે વાસ્તવિક પરીક્ષણની જરૂર છે.

લાંબા ગાળાના અવલોકનો દર્શાવે છે કે જ્યારે સમાન પરિસ્થિતિઓ હેઠળ પ્રયોગો હાથ ધરવામાં આવે છે, ત્યારે સંબંધિત આવર્તન સ્થિરતાની મિલકત ધરાવે છે. આ ગુણધર્મ એ હકીકતમાં સમાવિષ્ટ છે કે પ્રયોગોની વિવિધ શ્રેણીઓમાં શ્રેણીથી શ્રેણી સુધીના પરીક્ષણોની સંબંધિત આવૃત્તિમાં થોડો ફેરફાર થાય છે, ચોક્કસ સ્થિર સંખ્યાની આસપાસ વધઘટ થાય છે. આ એક સ્થિર સંખ્યા છે અને ઘટના બનવાની સંભાવના છે.

સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યામાં કેટલાક ગેરફાયદા છે:

1) પ્રાથમિક પરીક્ષાના પરિણામોની સંખ્યા મર્યાદિત છે, આ સંખ્યા અનંત હોઈ શકે છે;

2) ઘણી વાર પરીક્ષણ પરિણામ પ્રાથમિક ઘટનાઓના સમૂહ તરીકે રજૂ કરી શકાતું નથી;

આ કારણોસર, સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા સાથે, આંકડાકીય વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: વીગુણવત્તા આંકડાકીય સંભાવના ઘટનાઓ સંબંધિત આવર્તન પર લે છે.

તે જાણીતું છે કે પરીક્ષણને કારણે રેન્ડમ ઘટના બની શકે છે અથવા ન પણ થઈ શકે છે. પરંતુ તે જ સમયે, એક જ અજમાયશમાં વિવિધ ઇવેન્ટ્સની વિવિધ શક્યતાઓ છે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. જો એક કલગીમાં સો કાળજીપૂર્વક મિશ્રિત સમાન દડા હોય, અને તેમાંથી માત્ર દસ કાળા હોય, અને બાકીના સફેદ હોય, તો જ્યારે એક બોલ રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે, ત્યારે સફેદ દેખાય તેવી શક્યતા વધુ છે. આપેલ કસોટીમાં એક અથવા બીજી ઘટના બનવાની સંભાવનાનું સંખ્યાત્મક માપ હોય છે, જેને આ ઘટનાની સંભાવના કહેવામાં આવે છે, અને સંભાવનાના સિદ્ધાંત મુજબ, વ્યક્તિ ગણતરી કરી શકે છે કે કાળો કે સફેદ બોલ જોવાની તક શું છે. .

સંભાવનાની ઉત્તમ વ્યાખ્યા

ચાલો ધારીએ કે ચોક્કસ પરીક્ષણ દરમિયાન, $n$ પ્રાથમિક સમાન સંભવિત ઘટનાઓની ઘટના શક્ય છે. આ જથ્થામાંથી, $m$ એ તે પ્રાથમિક ઘટનાઓની સંખ્યા છે જે ચોક્કસ ઘટના $A$ની ઘટનાની તરફેણ કરે છે. પછી ઘટનાની સંભાવના $A$ એ સંબંધ $P\left(A\right)=\frac(m)(n) $ છે.

ઉદાહરણ નંબર 1.

કલરમાં 3 સફેદ અને 5 કાળા દડા છે, જે ફક્ત રંગમાં જ અલગ છે. કસોટીમાં કલગીમાંથી રેન્ડમ પર એક બોલ દોરવાનો સમાવેશ થાય છે. અમે $A$ ને "સફેદ બોલનો દેખાવ" તરીકે માનીએ છીએ. ઘટના $A$ ની સંભાવનાની ગણતરી કરો.

ટેસ્ટ દરમિયાન, આઠ બોલમાંથી કોઈપણ દૂર કરી શકાય છે. આ બધી ઘટનાઓ પ્રાથમિક છે કારણ કે તે અસંગત છે અને સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે. તે પણ સ્પષ્ટ છે કે આ બધી ઘટનાઓ સમાન રીતે શક્ય છે. તેથી, $P\left(A\right)$ ની સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે આપણે તેની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા લાગુ કરી શકીએ છીએ. ઉકેલ તરીકે અમારી પાસે છે: $n=8$, $m=3$, અને દડામાંથી સફેદ એક કાઢવાની સંભાવના $P\left(A\right)=\frac(3)(8) જેટલી હશે. ) $.

સંભવિતતાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યામાંથી નીચેના ગુણધર્મો અનુસરે છે:

• વિશ્વસનીય ઘટનાની સંભાવના $V$ હંમેશા એક સમાન હોય છે, એટલે કે, $P\left(V\right)=1$; આ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે કે વિશ્વસનીય ઘટના તમામ પ્રાથમિક ઘટનાઓ દ્વારા પસંદ કરવામાં આવે છે, એટલે કે, $m=n$;
• અશક્ય ઘટનાની સંભાવના $H$ હંમેશા શૂન્ય હોય છે, એટલે કે, $P\left(H\right)=0$; આ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે કે અશક્ય ઘટના કોઈપણ પ્રાથમિક ઘટનાઓ દ્વારા તરફેણ કરવામાં આવતી નથી, એટલે કે, $m=0$;
• કોઈપણ રેન્ડમ ઘટનાની સંભાવના $A$ હંમેશા $0 ની સ્થિતિને સંતોષે છે

આમ, સામાન્ય કિસ્સામાં, કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના અસમાનતા $0\le P\left(A\right)\le 1$ને સંતોષે છે.

સંબંધિત આવર્તન અને તેની સ્થિરતા

વ્યાખ્યા 1

ધારો કે એકદમ મોટી સંખ્યામાં ટ્રાયલ કરવામાં આવે છે, જેમાંના દરેકમાં ચોક્કસ ઘટના $A$ થઈ શકે છે અથવા થઈ શકે છે. આવા પરીક્ષણોને ટેસ્ટ શ્રેણી કહેવામાં આવે છે.

ધારો કે $n$ ટ્રાયલ્સની શ્રેણી હાથ ધરવામાં આવે છે જેમાં $A$ $m$ વખત થાય છે. અહીં $m$ નંબરને $A$ ઘટનાની સંપૂર્ણ આવર્તન કહેવામાં આવે છે, અને $\frac(m)(n) $નો ગુણોત્તર $A$ ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન કહેવાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આગ દરમિયાન ઉપયોગમાં લેવાતા $n=20$ અગ્નિશામકોમાંથી, $m=3$ અગ્નિશામકો કામ કરતા ન હતા (ઘટના $A$). અહીં $m=3$ એ ઘટના $A$ ની સંપૂર્ણ આવર્તન છે, અને $\frac(m)(n) =\frac(3)(20) $ એ સંબંધિત આવર્તન છે.

વ્યવહારુ અનુભવ અને સામાન્ય જ્ઞાન સૂચવે છે કે નાના $n$ માટે સંબંધિત આવર્તન મૂલ્યો સ્થિર હોઈ શકતા નથી, પરંતુ જો પરીક્ષણોની સંખ્યા વધારવામાં આવે છે, તો સંબંધિત આવર્તન મૂલ્યો સ્થિર થવા જોઈએ.

ઉદાહરણ નંબર 2.

ટીમમાં ભાગ લેવા માટે કોચ દસમાંથી પાંચ છોકરાઓને પસંદ કરે છે. જો બે ચોક્કસ છોકરાઓ કે જેઓ ટીમનો મુખ્ય ભાગ બનાવે છે તેઓ ટીમમાં હોય તો તે કેટલી રીતે ટીમ બનાવી શકે?

કાર્યની શરતો અનુસાર, બે છોકરાઓ તરત જ ટીમમાં જોડાશે. તેથી, આઠમાંથી ત્રણ છોકરાઓ પસંદ કરવાનું બાકી છે. આ કિસ્સામાં, ફક્ત રચના મહત્વપૂર્ણ છે, તેથી ટીમના તમામ સભ્યોની ભૂમિકાઓ અલગ નથી. આનો અર્થ એ છે કે અમે સંયોજનો સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ.

$m$ દ્વારા $n$ તત્વોના સંયોજનો એ $m$ તત્વોનો સમાવેશ થાય છે અને ઓછામાં ઓછા એક તત્વ દ્વારા એકબીજાથી ભિન્ન હોય છે, પરંતુ તત્વોના ક્રમ દ્વારા નહીં.

સંયોજનોની સંખ્યાની ગણતરી $C_(n)^(m) =\frac(n) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે{m!\cdot \left(n-m\right)!} $.!}

આમ, આઠ છોકરાઓમાંથી તેમને પસંદ કરીને ત્રણ છોકરાઓની ટીમ બનાવવાની વિવિધ રીતોની સંખ્યા, 3 ના 8 તત્વોના સંયોજનોની સંખ્યા છે:

$C_(8)^(3) =\frac(8{3!\cdot \left(8-3\right)!} =\frac{8!}{3!\cdot 5!} =\frac{6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3} =56$!}

ઉદાહરણ નંબર 3.

ઓફિસમાં એક શેલ્ફ પર રેન્ડમ ક્રમમાં 15 પુસ્તકો ગોઠવાયેલા છે, તેમાંથી 5 બીજગણિત પર છે. શિક્ષક રેન્ડમ પર ત્રણ પુસ્તકો લે છે. લીધેલ પુસ્તકોમાંથી ઓછામાં ઓછું એક બીજગણિત પર હશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઘટનાઓ $A$ (લેવામાં આવેલ ત્રણ પુસ્તકોમાંથી ઓછામાં ઓછું એક બીજગણિત પુસ્તક છે) અને $\bar(A)$ (લેવામાં આવેલ ત્રણ પુસ્તકોમાંથી એક પણ બીજગણિત પુસ્તક નથી) બંને વિરુદ્ધ છે, તેથી P(A) + P( $ \bar(A)$) = 1. તેથી P(A) = 1-P($\bar(A)$). આમ, ઇચ્છિત સંભાવના P(A) = 1 - $C_(10)^(3)\, /C_(15)^(3)\, $= 1 - 24/91 = 67/91.

ઉદાહરણ નંબર 4.

વીસ સંયુક્ત સ્ટોક કંપનીઓમાંથી ચાર વિદેશી છે. નાગરિકે છ સંયુક્ત-સ્ટોક કંપનીઓમાંથી પ્રત્યેક એક શેર ખરીદ્યો. ખરીદેલા શેરોમાંથી બે વિદેશી સંયુક્ત સ્ટોક કંપનીઓના શેર હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

સંયુક્ત સ્ટોક કંપનીઓ પસંદ કરવા માટે સંયોજનોની કુલ સંખ્યા 20 બાય 6 ના સંયોજનોની સંખ્યા જેટલી છે, એટલે કે $(\rm C)_((\rm 20))^((\rm 6)) $. અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યાને ઉત્પાદન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે $(\rm C)_((\rm 4))^((\rm 2)) \cdot (\rm C)_((\rm 16))^(( \rm 4) ) $, જ્યાં પ્રથમ પરિબળ ચારમાંથી વિદેશી સંયુક્ત-સ્ટોક કંપનીઓની પસંદગીના સંયોજનોની સંખ્યા દર્શાવે છે. પરંતુ આવા દરેક સંયોજનનો સામનો સંયુક્ત સ્ટોક કંપનીઓ દ્વારા થઈ શકે છે જે વિદેશી નથી. આવી સંયુક્ત સ્ટોક કંપનીઓના સંયોજનોની સંખ્યા $(\rm C)_((\rm 16))^((\rm 4)) $ હશે. તેથી, ઇચ્છિત સંભાવના ફોર્મમાં લખવામાં આવશે $(\rm P)=\frac((\rm C)_((\rm 4))^((\rm 2)) \cdot (\rm C)_ ((\rm 16))^((\rm 4)))((\rm C)_((\rm 20))^((\rm 6)) ) =0.28$.

ઉદાહરણ નંબર 5.

18 ભાગોના બેચમાં 4 બિન-માનક છે. 5 ભાગો રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવે છે. આ 5 ભાગોમાંથી બે બિન-માનક હશે તેવી સંભાવના શોધો.

તમામ સમાન રીતે શક્ય અસંગત પરિણામોની સંખ્યા $n$ 18 બાય 5 ના સંયોજનોની સંખ્યા જેટલી છે, એટલે કે. $n=C_(18)^(5) =8568$.

ચાલો ઘટના A માટે અનુકૂળ $m$ પરિણામોની સંખ્યા ગણીએ. રેન્ડમ લેવામાં આવેલી 5 વિગતોમાંથી 3 ધોરણ અને 2 બિન-માનક હોવા જોઈએ. 4 ઉપલબ્ધ બિન-માનક ભાગોમાંથી બે બિન-માનક ભાગો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા 4 બાય 2 ના સંયોજનોની સંખ્યા જેટલી છે: $C_(4)^(2) =6$.

14 ઉપલબ્ધ પ્રમાણભૂત ભાગોમાંથી ત્રણ પ્રમાણભૂત ભાગો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $C_(14)^(3) =364$ છે.

પ્રમાણભૂત ભાગોના કોઈપણ જૂથને બિન-માનક ભાગોના કોઈપણ જૂથ સાથે જોડી શકાય છે, તેથી સંયોજનોની કુલ સંખ્યા $m$ છે $m=C_(4)^(2) \cdot C_(14)^(3) =6 \cdot 364=2184$.

ઇવેન્ટ A ની ઇચ્છિત સંભાવના એ ઘટનાને અનુકૂળ $m$ પરિણામોની સંખ્યાના ગુણોત્તર સમાન છે જે તમામ સમાન રીતે શક્ય અને અસંગત ઘટનાઓની $n$ સંખ્યા $P(A)=\frac(2184)(8568) =0.255.$

ઉદાહરણ નંબર 6.

એક ભઠ્ઠીમાં 5 કાળા અને 6 સફેદ દડા હોય છે. 4 બોલ રેન્ડમ રીતે દોરવામાં આવે છે. તેમની વચ્ચે ઓછામાં ઓછો એક સફેદ બોલ હોવાની સંભાવના શોધો.

ઘટના $$ દો કે દોરેલા બોલમાં ઓછામાં ઓછો એક સફેદ હોય.

ચાલો વિપરીત ઘટનાને ધ્યાનમાં લઈએ $\bar()$ - દોરેલા બોલમાં એક પણ સફેદ નથી. આનો અર્થ એ છે કે દોરેલા તમામ 4 બોલ કાળા છે.

અમે સંયોજનશાસ્ત્રના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

અગિયારમાંથી ચાર બોલ લેવાની રીતોની સંખ્યા:

$n=!_(11)^(4) =\frac(11{4!\cdot (11-4)!} =330$!}

અગિયારમાંથી ચાર કાળા બોલ દોરવાની રીતોની સંખ્યા:

$m=!_(5)^(4) =\frac(5{4!\cdot (5-4)!} =5$!}

અમને મળે છે: $\; (\bar())=\frac(m)(n) =\frac(5)(330) =\frac(1)(66) $; $P(A)=1-\; (\bar(A))=1-\frac(1)(66) =\frac(65)(66) $.

જવાબ: ચાર દોરેલા બોલમાં એક પણ સફેદ બોલ ન હોવાની સંભાવના $\frac(65)(66)$ છે.

સંબંધિત આવર્તન. સંબંધિત આવર્તન સ્થિરતા

ઘટનાની સાપેક્ષ આવર્તન એ ટ્રાયલ્સની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે જેમાં ઘટના ખરેખર કરવામાં આવેલ ટ્રાયલ્સની કુલ સંખ્યા સાથે બની હતી. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, ઘટના A ની સંબંધિત આવર્તન સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

જ્યાં m એ ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા છે, n એ ટ્રાયલ્સની કુલ સંખ્યા છે.

સંભાવનાના નિર્ધારણ માટે જરૂરી નથી કે પરીક્ષણો ખરેખર હાથ ધરવામાં આવે; સંબંધિત આવર્તનનું નિર્ધારણ ધારે છે કે પરીક્ષણો ખરેખર હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પ્રયોગ પહેલાં સંભાવનાની ગણતરી કરવામાં આવે છે, અને સંબંધિત આવર્તનની ગણતરી પ્રયોગ પછી કરવામાં આવે છે.

લાંબા ગાળાના અવલોકનો દર્શાવે છે કે જો પ્રયોગો સમાન પરિસ્થિતિઓ હેઠળ હાથ ધરવામાં આવે છે, જેમાંના દરેક પરીક્ષણોની સંખ્યા પૂરતી મોટી હોય છે, તો સંબંધિત આવર્તન સ્થિરતાની મિલકત દર્શાવે છે. આ ગુણધર્મ એ હકીકતમાં સમાવિષ્ટ છે કે વિવિધ પ્રયોગોમાં સંબંધિત આવર્તન થોડો બદલાય છે (ઓછા, વધુ પરીક્ષણો કરવામાં આવે છે), ચોક્કસ સ્થિર સંખ્યાની આસપાસ વધઘટ થાય છે. તે બહાર આવ્યું છે કે આ સતત સંખ્યા ઘટના બનવાની સંભાવના છે.

જો કે, જો સંબંધિત આવર્તન પ્રાયોગિક રીતે સ્થાપિત કરવામાં આવે છે, તો પરિણામી સંખ્યાને અંદાજિત સંભાવના મૂલ્ય તરીકે લઈ શકાય છે.

ઉદાહરણ 1. સિક્કો ઉછાળવાના પ્રયોગો ઘણી વખત હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા, જેમાં "કોટ ઓફ આર્મ્સ" ના દેખાવની સંખ્યા ગણવામાં આવી હતી. કેટલાક પ્રયોગોના પરિણામો કોષ્ટકમાં આપવામાં આવ્યા છે.

સંબંધિત આવર્તન નજીવી છે. તેઓ 0.5 નંબરથી વિચલિત થાય છે, અને ઓછા, પરીક્ષણોની સંખ્યા વધારે છે.

જો આપણે ધ્યાનમાં લઈએ કે સિક્કો ફેંકતી વખતે ʼʼГʼʼ ના દેખાવની સંભાવના = 0.5, તો અમને ફરીથી ખાતરી થઈ જશે કે તે સંબંધિત છે. આવર્તન ટોચની આસપાસ વધઘટ થાય છે.

ક્લાસિકની સૌથી નબળી બાજુ. મુખ્ય વિચાર એ છે કે ફક્ત પ્રાથમિક ઘટનાઓના સ્વરૂપમાં પરીક્ષણના પરિણામની કલ્પના કરવી ઘણી વાર અશક્ય છે. તે આધારો સૂચવવાનું વધુ મુશ્કેલ છે જે આપણને તત્વોને સમાન રીતે શક્ય તેટલું ધ્યાનમાં લેવાની મંજૂરી આપે છે. આ કારણોસર, ક્લાસિક સાથે. ver-ti ની વ્યાખ્યા વપરાય છે, વગેરે.
ref.rf પર પોસ્ટ કર્યું
ver-ti ની વ્યાખ્યા ખાસ કરીને, આંકડાકીય:ઘટનાઓને આંકડાકીય સત્યતા તરીકે લેવામાં આવે છે. આવર્તન અથવા તેની નજીકની સંખ્યા.

તે જ સમયે, આંકડાકીય ver-ti ની વ્યાખ્યા તેની પોતાની ʼʼ-ʼʼ છે. ઉદાહરણ તરીકે, આંકડાકીય ver-ti ની અસ્પષ્ટતા. તેથી, ધ્યાનમાં લેવાયેલા ઉદાહરણમાં, ઘટનાની સત્યતાની ગુણવત્તા માત્ર 0.5 જ નહીં, પણ 0.5069, અને 0.5016, વગેરે પણ લઈ શકાય છે.

ʼ'નો ખ્યાલ ભૌમિતિક વર્ણકોમ્પ. આગળ:

વિસ્તાર G નો માર્ગ એક બિંદુ દ્વારા રેન્ડમ પર ફેંકવામાં આવે છે. "અવ્યવસ્થિત રીતે ફેંકવામાં આવેલ" અભિવ્યક્તિ સામાન્ય રીતે આ અર્થમાં સમજવામાં આવે છે કે ફેંકવામાં આવેલ બિંદુ G વિસ્તારના કોઈપણ બિંદુને અથડાવી શકે છે. માનવામાં આવે છે કે તે કોઈ બિંદુને અથડાશે. પ્રદેશ G નો ભાગ આ ભાગ (લંબાઈ, વિસ્તાર, વોલ્યુમ) ના માપ માટે પ્રમાણસર છે અને તેના સ્થાન અને આકાર પર આધાર રાખતો નથી.

તે. જો g એ પ્રદેશ G નો ભાગ છે, તો વ્યાખ્યા દ્વારા પ્રદેશ g માં આવવાની સંભાવના = P(g) = માપો g/માપ G. નોંધ કરો કે અહીં તમામ પ્રાથમિક પરિણામોનો નિયમ Ω એ વિસ્તાર G ના તમામ બિંદુઓની સંપૂર્ણતાને રજૂ કરે છે અને તેથી તે પ્રારંભિક ઘટનાઓના અનંત સમૂહનો સમાવેશ કરે છે => "geom" ની વિભાવના. Ver-t'ને 'શાસ્ત્રીય' ની વિભાવનાના સામાન્યીકરણ તરીકે ગણી શકાય. અસંખ્ય પરિણામો સાથે પ્રયોગોના કિસ્સામાં વિશ્વાસ કરો.

મીટિંગ કાર્ય. ઉકેલ: ચાલો x અને y દ્વારા A અને B વ્યક્તિઓના આગમનની ક્ષણો દર્શાવીએ. મીટિંગ થશે જો |x-y|≤10.

જો તમે ચોરસ પર x અને y ને કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે દર્શાવો છો, તો પછી તમામ સંભવિત પરિણામો 60 ની બાજુઓવાળા ચોરસના બિંદુ દ્વારા દર્શાવવામાં આવશે.

10≤y-x≤10

બફોનની સમસ્યા. સોલ્યુશન: ચાલો નીચેનું સૂચન રજૂ કરીએ: x - સોયની મધ્યથી નજીકના સમાંતર સુધીનું અંતર;

φ એ કોણ છે જે આ સમાંતર સોય સાથે બનાવે છે.

સોયની સ્થિતિ x અને φ ના આપેલ ચોક્કસ મૂલ્યો દ્વારા સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત થાય છે. વધુમાં, x Є(0;a), φЄ(0;π). બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સોયની મધ્ય બાજુઓ a અને π સાથે લંબચોરસના કોઈપણ બિંદુઓમાં પડી શકે છે.

તે. આ લંબચોરસને આકૃતિ G તરીકે ગણી શકાય, જેના બિંદુઓ સોયની મધ્યની તમામ સંભવિત સ્થિતિઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. દેખીતી રીતે, આકૃતિનો આ વિસ્તાર = πа.

ચાલો એક આકૃતિ g શોધીએ, જેમાંથી દરેક બિંદુ જે ઘટનામાં અમને રસ છે તેની તરફેણ કરે છે, ᴛ.ᴇ. આકૃતિનો દરેક બિંદુ સોયના મધ્ય ભાગ તરીકે સેવા આપી શકે છે, જેની કિનારીઓ સમાંતર દ્વારા ઓળંગી છે.

સોય પૂરી પાડવામાં આવેલ તેની સૌથી નજીકના સમાંતરને છેદશે: x≤l·sinφ

તે. જો સોયની મધ્ય ફિગ (2) માં છાંયેલા આકૃતિના કોઈપણ બિંદુઓને અથડાવે છે. તે. છાયાવાળી આકૃતિને g તરીકે વિચારી શકાય છે. ચાલો તેનો વિસ્તાર શોધીએ:

જવાબ: 2l/aπ

સંબંધિત આવર્તન. સંબંધિત આવર્તનની સ્થિરતા - ખ્યાલ અને પ્રકારો. વર્ગીકરણ અને વર્ગીકરણની વિશેષતાઓ "સાપેક્ષ આવર્તન. સંબંધિત આવર્તનની સ્થિરતા" 2017, 2018.

સંભાવનાની વિભાવનાની ઘણી વ્યાખ્યાઓ છે. ચાલો ક્લાસિક વ્યાખ્યા આપીએ. તે અનુકૂળ પરિણામની વિભાવના સાથે સંકળાયેલું છે. તે પ્રાથમિક પરિણામો (દા.), બિલાડીમાં. અમને રુચિ છે તે ઇવેન્ટ થાય છે, અમે તેને આ ઇવેન્ટ માટે અનુકૂળ કહીશું.: હું માનું છું કે ઘટના A કહેવાય છે. આ ઘટના માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર તમામ સમાન અસંગતની કુલ સંખ્યા સાથે e. i., એક સંપૂર્ણ જૂથ બનાવવું. P(A) = m/n, જ્યાં m એ e ની સંખ્યા છે. i., ઘટના A માટે અનુકૂળ; n – તમામ શક્ય સંખ્યા e. અને. પરીક્ષણો સંભાવનાની વ્યાખ્યા તેના ગુણધર્મોને અનુસરે છે:1) વિશ્વસનીય ઘટનાની ver.(c) હંમેશા 1 ની બરાબર હોય છે. કારણ કે. ઘટના વિશ્વસનીય છે, પછી બધું ઇ છે. અને. અજમાયશ આ ઇવેન્ટની તરફેણ કરે છે, એટલે કે. m=n.

P(A)=n/n = 1; 2) વી. અશક્ય વ્યક્તિગત. 0 ની બરાબર છે. કારણ કે

ઘટના અશક્ય છે, પછી ત્યાં કોઈ ઇ નથી. i., આ ઘટના માટે અનુકૂળ, એટલે m=0.

P(A) = 0/n = 0; 3) રેન્ડમ ઇવેન્ટનું મૂલ્ય એ 0 અને 1 વચ્ચે સમાયેલ બિન-નકારાત્મક મૂલ્ય છે, એટલે કે. 0

4. સંબંધિત આવર્તન. સંબંધિત આવર્તન સ્થિરતા. ઘટનાની સાપેક્ષ આવર્તન (RF) એ ટ્રાયલ્સની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે જેમાં ઘટના ખરેખર કરવામાં આવેલ ટ્રાયલ્સની કુલ સંખ્યા સાથે બની હતી. (ઓમેગા નથી!!!).સ્ટેટ વેર (r.v.) ઇવેન્ટ્સ - સંબંધિત આવર્તન (RF) અથવા તેની નજીકની સંખ્યા.