સરખામણી નંબરો મોડ્યુલોનો સિદ્ધાંત. સરખામણી મોડ્યુલો કુદરતી સંખ્યા

જો બે પૂર્ણાંક a (\પ્રદર્શન શૈલી a)અને b (\Displaystyle b)દ્વારા વિભાજીત કરવામાં આવે ત્યારે m (\ displaystyle m)સમાન અવશેષો આપો, તેઓ કહેવામાં આવે છે તુલનાત્મક(અથવા સમાન અવશેષ) મોડ્યુલો નંબર m (\ displaystyle m) . નમૂનો:/ફ્રેમ સંખ્યાઓની તુલનાત્મકતા a (\પ્રદર્શન શૈલી a)અને b (\Displaystyle b)સૂત્ર તરીકે લખાયેલ ( સરખામણીઓ):

નંબર m (\ displaystyle m)કહેવાય છે મોડ્યુલસરખામણીઓ

વ્યાખ્યા તુલનાત્મકતાસંખ્યાઓ a (\પ્રદર્શન શૈલી a)અને b (\Displaystyle b)મોડ્યુલો m (\ displaystyle m)નીચેના કોઈપણ વિધાનોની સમકક્ષ છે:

પુરાવો

ઉપરોક્ત ગુણધર્મો ઉપરાંત, નીચેના નિવેદનો સરખામણી માટે માન્ય છે:

પુરાવો

(\displaystyle a\equiv b(\pmod (m)).)

a − b = m t . (\displaystyle a-b=mt.)કારણ કે m (\ displaystyle m) d (\Displaystyle d)

(\displaystyle a\equiv b(\pmod (m)).)

a − b = m t = c d t = q d , (q = c t) (\displaystyle a-b=mt=cdt=qd,(q=ct))

પુરાવો

(\displaystyle a\equiv b(\pmod (m)).)

a ≡ b (mod m i) , i = 1 , 2 , . ..

a − b (\Displaystyle a-b)

પરિણામ:

નંબરો માટે ક્રમમાં મોડ્યુલસમાં તુલનાત્મક હતાઅને , જેનું પ્રાઇમ ફેક્ટર્સમાં પ્રમાણભૂત વિઘટનનું સ્વરૂપ છે m = ∏ i = 1 d p i α i , (\displaystyle m=\prod _(i=1)^(d)p_(i)^(\alpha _(i)),) m (\ displaystyle m)માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત a ≡ b (mod p i α i) , i = 1 , 2 , … , d (\displaystyle a\equiv b(\pmod (p_(i)^(\alpha _(i)))),\quad i= 1,2,\બિંદુઓ ,d)અને સરખામણીઓ સાથે કામગીરીસમાન મોડ્યુલસના સંદર્ભમાં સરખામણીમાં સામાન્ય સમાનતાના ઘણા ગુણધર્મો છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ ઉમેરી, બાદબાકી અને ગુણાકાર કરી શકાય છે: જો સંખ્યાઓ a 1 , a 2 , .અને b 1 ⋅ b 2 ⋅ .. m (\ displaystyle m).

⋅ b n (\ displaystyle b_(1)\cdot b_(2)\cdot ...\cdot b_(n)) a (\પ્રદર્શન શૈલી a)અને b (\Displaystyle b)મોડ્યુલસમાં પણ તુલનાત્મક છે m (\ displaystyle m). જો કે, જો તેમના મોડ્યુલો મેળ ખાતા ન હોય તો તમે આ કામગીરી સરખામણીઓ સાથે કરી શકતા નથી. અલગથી, એ નોંધવું જોઈએ કે સરખામણીના બંને ભાગોમાં સમાન સંખ્યા ઉમેરી શકાય છે, અને તમે ચિહ્નના ફેરફાર સાથે સરખામણીના એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં સ્થાનાંતરિત પણ કરી શકો છો. જો નંબરોઅને મોડ્યુલસમાં તુલનાત્મક. m (\ displaystyle m), પછી તેમની ડિગ્રી a k (\ displaystyle a^(k)) .

b k (\ displaystyle b^(k)) a (\પ્રદર્શન શૈલી a)અને b (\Displaystyle b)કોઈપણ કુદરતી હેઠળ m (\ displaystyle m) k (\ ડિસ્પ્લેસ્ટાઇલ k) સરખામણીના કોઈપણ ભાગોમાં તમે મોડ્યુલસનો પૂર્ણાંક ગુણાંક ઉમેરી શકો છો, એટલે કે, જો સંખ્યાઓતુલનાત્મક મોડ્યુલો અમુક સંખ્યા , પછીમોડ્યુલો m (\ displaystyle m) (a + t 1 (\ displaystyle a+t_(1))અને સાથે તુલનાત્મક b + t 2 (\Displaystyle b+t_(2)) a (\પ્રદર્શન શૈલી a)અને b (\Displaystyle b)ટી 1 (\ડિસ્પ્લેસ્ટાઇલ t_(1)) m (\ displaystyle m)ટી 2 (\ડિસ્પ્લેસ્ટાઇલ t_(2)) - મનસ્વી પૂર્ણાંકો).અને તુલનાત્મક મોડ્યુલો કેટલાક પૂર્ણાંક, પછી નંબરો a q (\displaystyle aq) b q (\displaystyle bq) સંખ્યાઓ તુલનાત્મક મોડ્યુલો છે m q (\displaystyle mq)

,ક્યાં q (\displaystyle q)- સમગ્ર. સરખામણીઓ, જોકે, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, એકબીજા દ્વારા અથવા અન્ય સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજિત કરી શકાતી નથી. ઉદાહરણ: 14 ≡ 20 (મોડ 6) (\displaystyle 14\equiv 20(\pmod (6)))

• જો કે, 2 થી ઘટાડીને, અમને એક ભૂલભરેલી સરખામણી મળે છે:

જીસીડી (\displaystyle a-b=mt.)(d , m) = 1 , (\displaystyle ((d,m)=1),) (\displaystyle a-b=mt.)તે .

• જો, નંબર

પરસ્પર માત્ર મોડ્યુલ સાથે નહીં, જેમ કે ઉપરના ઉદાહરણમાં હતું, પછી ઘટાડવું તે પ્રતિબંધિત છે.તમે એકસાથે સરખામણીની બંને બાજુઓ અને મોડ્યુલસને તેમના સામાન્ય વિભાજક દ્વારા વિભાજિત કરી શકો છો: જો .

a c ≡ b c (mod m c) (\displaystyle (ac)\equiv (bc)(\pmod (mc)))

, તે

a ≡ b (mod m) (\displaystyle a\equiv b(\pmod (m))) a (\પ્રદર્શન શૈલી a)મોડ્યુલો m (\ displaystyle m)સંબંધિત વ્યાખ્યાઓ કપાત વર્ગો a (\પ્રદર્શન શૈલી a)મોડ્યુલો m (\ displaystyle m) તુલનાત્મક તમામ સંખ્યાઓનો સમૂહ , કહેવાય છેકપાત વર્ગ , અને સામાન્ય રીતે સૂચવવામાં આવે છે[ a ] ​​m (\ displaystyle [a] _(m)) જોઅથવા a ¯ m (\ displaystyle (\bar (a))_(m)) .

. તેથી સરખામણી અવશેષ વર્ગોની સમાનતાની સમકક્ષ છેમોડ્યુલો m (\ displaystyle m)[ a ] ​​m = [ b ] m (\ displaystyle [a] _(m)=[b] _(m)) કોઈપણ વર્ગ નંબર પર કૉલ કરવામાં આવે છેમાઈનસ m (\ displaystyle m). નિશ્ચિતતા માટે દો સંખ્યાઓ તુલનાત્મક મોડ્યુલો છે r (\displaystyle r) q = m t + r (\displaystyle q=mt+r), ક્યાં t (\ પ્રદર્શન શૈલી t)-સમગ્ર. સંતુલન સમાન કપાત કોઈપણ વર્ગ નંબર પર કૉલ કરવામાં આવે છેકહેવાય છે સૌથી નાની બિન-નકારાત્મક કપાત, અને કપાત ρ (\પ્રદર્શન શૈલી \rho ), સૌથી નાનું સંપૂર્ણ મૂલ્યસંબંધિત વ્યાખ્યાઓ એકદમ નાની કપાત. મુ આર< m 2 {\displaystyle r<{\frac {m}{2}}} અમે તે મેળવીએ છીએ ρ = r (\displaystyle \rho =r), અન્યથા ρ = r − m (\displaystyle \rho =r-m). જો m (\ displaystyle m)-પણ અને r = m 2 (\displaystyle r=(\frac (m)(2)))તમે એકસાથે સરખામણીની બંને બાજુઓ અને મોડ્યુલસને તેમના સામાન્ય વિભાજક દ્વારા વિભાજિત કરી શકો છો: ρ = − m 2 (\displaystyle \rho =-(\frac (m)(2))) .

મોડ્યુલો તુલનાત્મકતા થી m (\ displaystyle m)પૂર્ણાંકોના સમૂહ પર સમાનતા સંબંધ છે, પછી અવશેષોના મોડ્યુલોના વર્ગો m (\ displaystyle m)સમાનતા વર્ગોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે; તેમની સંખ્યા સમાન છે m (\ displaystyle m).

બધા અવશેષ વર્ગો મોડ્યુલો સમૂહ m (\ displaystyle m)અથવા દ્વારા સૂચિત Z / m Z (\displaystyle \mathbb (Z) /m\mathbb (Z) )કપાત વર્ગ Z / (m) (\displaystyle \mathbb (Z) /(m)) .

દ્વારા સરવાળો અને ગુણાકારની કામગીરી Z (\displaystyle \mathbb (Z) )સેટ પર અનુરૂપ કામગીરી પ્રેરિત કરો Z m (\displaystyle \mathbb (Z)_(m)):

આ કામગીરી અંગે ઘણા છે Z m (\displaystyle \mathbb (Z)_(m))એક મર્યાદિત રિંગ છે, અને મુખ્ય માટે m (\ displaystyle m)- મર્યાદિત ક્ષેત્ર.

કપાત સિસ્ટમો

અવશેષ સિસ્ટમ તમને તેની મર્યાદાઓથી આગળ વધ્યા વિના સંખ્યાઓના મર્યાદિત સમૂહ પર અંકગણિત કામગીરી કરવા દે છે. કપાતની સંપૂર્ણ સિસ્ટમમોડ્યુલો m (\ displaystyle m)- કોઈપણ સમૂહ m (\ displaystyle m)જોડી પ્રમાણે અનુપમ મોડ્યુલસ m (\ displaystyle m)પૂર્ણાંક સામાન્ય રીતે મોડ્યુલો કપાતની સંપૂર્ણ સિસ્ટમ તરીકે m (\ displaystyle m)બેમાંથી એક સેટ લેવામાં આવે છે:

• ઓછામાં ઓછા બિન-નકારાત્મક અવશેષો, એટલે કે, સંખ્યાઓ:

• અથવા એકદમ ન્યૂનતમ કપાત, સંખ્યાઓનો સમાવેશ કરે છે

જોડી પ્રમાણે અનુપમ મોડ્યુલસનો મહત્તમ સમૂહ m (\ displaystyle m)સંખ્યાઓ સાથે સુસંગત છે m (\ displaystyle m)સંબંધિત વ્યાખ્યાઓ કપાતની આપેલ સિસ્ટમમોડ્યુલો m (\ displaystyle m). મોડ્યુલો અવશેષોની કોઈપણ ઘટાડેલી સિસ્ટમ m (\ displaystyle m)સમાવે છે φ (m) (\Displaystyle \varphi (m))તત્વો, ક્યાં φ (⋅) (\displaystyle \varphi (\cdot))- યુલર કાર્ય.

ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા માટે m = 42 (\displaystyle m=42). કપાતની સંપૂર્ણ સિસ્ટમસંખ્યાઓ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે: 0 , 1 , 2 , 3 , … , 21 , 22 , 23 , … , 39 , 40 , 41 (\displaystyle 0,1,2,3,\ldots ,21,22,23,\ldots ,39,40, 41), એ આપેલ - 1 , 5 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 25 , 29 , 31 , 37 , 41 (\ displaystyle 1,5,11,13,17,19,23,25,29,31,37,41).

ક્ષેત્ર પર બહુપદીની રિંગમાં સરખામણી

સરખામણીઓ ઉકેલવી

પ્રથમ ડિગ્રીની તુલના

નંબર થિયરી, ક્રિપ્ટોગ્રાફી અને વિજ્ઞાનના અન્ય ક્ષેત્રોમાં, ફોર્મની પ્રથમ-ડિગ્રી તુલનાના ઉકેલો શોધવાની સમસ્યા ઘણી વાર ઊભી થાય છે:

(\displaystyle ax\equiv b(\pmod (m)).) આવી સરખામણીનો ઉકેલ ગણતરીથી શરૂ થાય છે . સરખામણી માટે સંક્ષિપ્ત નિયમો નીચે મુજબ છે. d = (\displaystyle d=)(a , m) (\ displaystyle (a, m))

x ≡ c a 1 x ≡ c b 1 ≡ a 1 − 1 b 1 (mod m 1) . , એટલે કે, આવી સંખ્યા શોધો(\displaystyle x\equiv ca_(1)x\equiv cb_(1)\equiv a_(1)^(-1)b_(1)(\pmod (m_(1))).) , એટલે કે, આવી સંખ્યા શોધોમૂલ્યની વ્યવહારિક ગણતરી

ફોર્મમાં:

c ≡ a 1 − 1 ≡ a 1 φ (m 1) − 1 (mod m 1) (\displaystyle c\equiv a_(1)^(-1)\equiv a_(1)^(\varphi (m_(1) ))-1)(\pmod (m_(1))))ઉદાહરણો

સરખામણી માટે 6 x ≡ 26 (મોડ 22) (\displaystyle 6x\equiv 26(\pmod (22)))અમારી પાસે છે

, તેથી મોડ્યુલો 22 સરખામણીમાં બે ઉકેલો છે. ચાલો 26 ને 4 વડે બદલીએ, જે તુલનાત્મક મોડ્યુલો 22 છે, અને પછી ત્રણેય સંખ્યાઓને 2 થી ઘટાડીએ:

મોડ્યુલો 11 માટે 3 કોપ્રાઈમ હોવાથી, તેને મોડ્યુલો 11 ઊંધી કરી શકાય છે અને શોધી શકાય છે

સરખામણીને 4 વડે ગુણાકાર કરવાથી, અમે મોડ્યુલો 11 ઉકેલ મેળવીએ છીએ:

ઉદાહરણ 2.આપેલ સરખામણી:

નોંધ કરો કે મોડ્યુલસ એક અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. પ્રથમ ઉકેલ બેઝઆઉટ સંબંધનો ઉપયોગ કરવાનો છે. યુક્લિડ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને અથવા બેઝાઉટના સંબંધ પરના લેખમાં આપેલ પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને, અમે શોધીએ છીએ કે સંખ્યાઓ માટે આ સંબંધઅને 100 (\Displaystyle 100) 65537 (\Displaystyle 65537)

17695 ⋅ 100 ≡ 1 (મોડ 65537) (\displaystyle 17695\cdot 100\equiv 1(\pmod (65537)))

100 ⋅ 725495 ≡ 41 (મોડ 65537) (\displaystyle 100\cdot 725495\equiv 41(\pmod (65537))) તે અનુસરે છે કે મૂળ સરખામણીનો ઉકેલ છે. તેની સાથે તુલનાત્મક કંઈક સાથે તેને બદલવું વધુ અનુકૂળ છે 4588 (\Displaystyle 4588) (વિભાગ શેષ 725495 (\Displaystyle 725495) 100 (\Displaystyle 100)ચાલુ ). જવાબ:

x ≡ 4588 (મોડ 65537) .

(\displaystyle x\equiv 4588(\pmod (65537)).) બીજી ઉકેલ પદ્ધતિ, સરળ અને ઝડપી, બેઝઆઉટ સંબંધ બાંધવાની જરૂર નથી, પરંતુ તે યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમના સમકક્ષ પણ છે.પગલું 1. બાકીના સાથે x ના ગુણાંક દ્વારા મોડ્યુલને વિભાજીત કરો: 65537 = 100 ⋅ 655 + 37 (\displaystyle 65537=100\cdot 655+37). મૂળ સરખામણીની બંને બાજુનો ભાગાંક વડે ગુણાકાર કરો 655 (\Displaystyle 655)અને ઉમેરો 37 x (\Displaystyle 37x); અમને મળે છે: 100 (\Displaystyle 100) 65537 x ≡ 26855 + 37 x (mod 65537) (\displaystyle 65537x\equiv 26855+37x(\pmod (65537)))

, એટલે કે, શૂન્ય સાથે તુલનાત્મક, જેમાંથી: 37 x ≡ − 26855 (mod 65537) (\displaystyle 37x\equiv -26855(\pmod (65537)))અમને પ્રાપ્ત થયું

x (\displaystyle x) ગુણાંક 100 ને બદલે 37. દરેક આગલા પગલા પર આપણે એક ન મળે ત્યાં સુધી તે જ રીતે ઘટાડીએ છીએ.પગલું 2. એ જ રીતે, x માટે નવા ગુણાંક દ્વારા ભાગાકાર કરો: 65537 = 37 ⋅ 1771 + 10 (\displaystyle 65537=37\cdot 1771+10). મૂળ સરખામણીની બંને બાજુનો ભાગાંક વડે ગુણાકાર કરો . ચાલો અગાઉના પગલામાં મેળવેલ સરખામણીની બંને બાજુઓને ભાગાંક વડે ગુણાકાર કરીએ 1771 (\Displaystyle 1771)

10 x (\Displaystyle 10x) 1. ; ફરીથી ડાબી બાજુ શૂન્ય સાથે બદલીને, આપણને મળે છે. વ્યાખ્યાઅને જો બે સંખ્યાઓ 1 હોય)દ્વારા વિભાજીત કરવામાં આવે ત્યારે a b પીસમાન બાકી આપો આર a.

, પછી આવી સંખ્યાઓને ઇક્વિરેમેઇન્ડર અથવા કહેવામાં આવે છે 1. મોડ્યુલસમાં તુલનાત્મક aનિવેદન વ્યાખ્યાદો

કેટલીક હકારાત્મક સંખ્યા. પછી દરેક નંબર પીહંમેશા અને વધુમાં, માત્ર એક જ રીતે ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે aપરંતુ આ નંબરો સેટ કરીને મેળવી શકાય છે 0, 1, 2,...,−1. આથી

ચાલો બતાવીએ કે આ રજૂઆત અનન્ય છે. ચાલો માની લઈએ કે aબે રીતે રજૂ કરી શકાય છે a=sp+rઅને a=s 1 a+પી 1. પછી

(2)

a − b = m t . પી 1 એ 0,1, ..., નંબરોમાંથી એક સ્વીકારે છે a−1, પછી સંપૂર્ણ મૂલ્ય પી 1 −પીઓછું a. પરંતુ (2) થી તે તેને અનુસરે છે પી 1 −પીબહુવિધ a. આથી પી 1 =પીઅને s 1 =s.

નંબર પીકહેવાય છે અવશેષ વર્ગોની સમાનતાની સમકક્ષ છેસંખ્યાઓ વ્યાખ્યામોડ્યુલો a(બીજા શબ્દોમાં, સંખ્યા પીસંખ્યાના બાકીનાને કહેવાય છે વ્યાખ્યા 725495 (\Displaystyle 725495) a).

, પછી આવી સંખ્યાઓને ઇક્વિરેમેઇન્ડર અથવા કહેવામાં આવે છે 2. જો બે નંબર વ્યાખ્યાઅને જો બે સંખ્યાઓ 1 હોય)મોડ્યુલસમાં પણ તુલનાત્મક છે aતમે એકસાથે સરખામણીની બંને બાજુઓ અને મોડ્યુલસને તેમના સામાન્ય વિભાજક દ્વારા વિભાજિત કરી શકો છો: a−bદ્વારા વિભાજિત a.

ખરેખર. જો બે નંબર વ્યાખ્યાઅને જો બે સંખ્યાઓ 1 હોય)મોડ્યુલસમાં પણ તુલનાત્મક છે a, પછી જ્યારે વિભાજિત થાય છે aસમાન બાકી છે a. પછી

દ્વારા વિભાજિત a, કારણ કે સમીકરણની જમણી બાજુ (3) વડે વિભાજિત છે a.

, પછી આવી સંખ્યાઓને ઇક્વિરેમેઇન્ડર અથવા કહેવામાં આવે છે 3. જો બે સંખ્યાઓનો તફાવત વડે ભાગી શકાય a, પછી આ સંખ્યાઓ મોડ્યુલસમાં તુલનાત્મક છે a.

પુરાવો. ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ પીઅને પી 1 વિભાગ બાકી વ્યાખ્યાઅને જો બે સંખ્યાઓ 1 હોય) 725495 (\Displaystyle 725495) a. પછી

ઉદાહરણો 25≡39 (મોડ 7), −18≡14 (મોડ 4).

પ્રથમ ઉદાહરણ પરથી તે અનુસરે છે કે જ્યારે 25 ને 7 વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે તે 39 જેટલો જ શેષ આપે છે. ખરેખર, 25 = 3 7 + 4 (બાકી 4). 39=3·7+4 (બાકી 4). બીજા ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લેતી વખતે, તમારે ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે કે બાકીની સંખ્યા મોડ્યુલસ (એટલે ​​​​કે 4) કરતા ઓછી બિન-નકારાત્મક સંખ્યા હોવી જોઈએ. પછી આપણે લખી શકીએ: −18=−5·4+2 (શેષ 2), 14=3·4+2 (શેષ 2). તેથી, −18 જ્યારે 4 વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે 2 બાકી રહે છે અને 14 જ્યારે 4 વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે 2 બાકી રહે છે.

મોડ્યુલો સરખામણીના ગુણધર્મો

મિલકત 1. કોઈપણ માટે વ્યાખ્યાઅને aહંમેશા

હંમેશા સરખામણી હોતી નથી

જ્યાં λ સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક છે mઅને a.

પુરાવો. દો λ સંખ્યાઓનો સૌથી સામાન્ય વિભાજક mઅને a. પછી

a − b = m t . m(a−b)દ્વારા વિભાજિત k d (\Displaystyle d)

આથી

અને mસંખ્યાના વિભાજકોમાંથી એક છે a d (\Displaystyle d)

જ્યાં h=pqs.

નોંધ કરો કે અમે નકારાત્મક મોડ્યુલો પર આધારિત સરખામણીને મંજૂરી આપી શકીએ છીએ, એટલે કે. સરખામણી a≡bમોડ( a) મતલબ કે આ કિસ્સામાં તફાવત a−bદ્વારા વિભાજિત a. નકારાત્મક મોડ્યુલો માટે સરખામણીના તમામ ગુણધર્મો અમલમાં રહે છે.

એક અજાણ્યા સાથે સરખામણી xજેવો દેખાય છે

ક્યાં. જો વ્યાખ્યા n દ્વારા વિભાજ્ય નથી m, તે જ કહેવાય છે ડિગ્રીસરખામણીઓ

નિર્ણય દ્વારાસરખામણી કોઈપણ પૂર્ણાંક છે x 0 , જેના માટે

જો એક્સ 0 સરખામણીને સંતોષે છે, પછી, 9 સરખામણીની મિલકત અનુસાર, તુલનાત્મક તમામ પૂર્ણાંકો x 0 મોડ્યુલો m. તેથી, સમાન અવશેષ વર્ગ મોડ્યુલો સાથે જોડાયેલા તમામ સરખામણી ઉકેલો ટી, અમે તેને એક ઉકેલ તરીકે ધ્યાનમાં લઈશું. આમ, સરખામણીમાં ઘણા ઉકેલો છે કારણ કે ત્યાં અવશેષોની સંપૂર્ણ સિસ્ટમના ઘટકો છે જે તેને સંતોષે છે.

સરખામણીઓ કે જેના સોલ્યુશન સેટ એકરૂપ થાય છે સમકક્ષ

2.2.1 પ્રથમ ડિગ્રીની તુલના

એક અજાણ્યા સાથે પ્રથમ ડિગ્રી સરખામણી એક્સજેવો દેખાય છે

(2.2)

પ્રમેય 2.4. સરખામણીમાં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ હોય તે માટે, તે સંખ્યા જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે જો બે સંખ્યાઓ 1 હોય) GCD વડે ભાગ્યા( વ્યાખ્યા, m).

પુરાવો.પ્રથમ આપણે આવશ્યકતા સાબિત કરીએ છીએ. દો ડી = GCD( વ્યાખ્યા, m) અને એક્સ 0 - સરખામણી ઉકેલ. પછી , એટલે કે, તફાવત ઓહ 0 − જો બે સંખ્યાઓ 1 હોય) દ્વારા વિભાજિત ટી.તેથી આવા પૂર્ણાંક છે q, શું ઓહ 0 − જો બે સંખ્યાઓ 1 હોય) = qm. અહીંથી જો બે સંખ્યાઓ 1 હોય)= આહ 0 − qm. અને ત્યારથી ડી, સામાન્ય વિભાજક તરીકે, સંખ્યાઓને વિભાજિત કરે છે એઅને ટી,પછી minuend અને subtrahend દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે ડી, અને તેથી જો બે સંખ્યાઓ 1 હોય) દ્વારા વિભાજિત ડી.

હવે પર્યાપ્તતા સાબિત કરીએ. દો ડી- સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક એઅને ટી,અને જો બે સંખ્યાઓ 1 હોય) દ્વારા વિભાજિત ડી. પછી, વિભાજ્યતાની વ્યાખ્યા દ્વારા, નીચેના પૂર્ણાંકો અસ્તિત્વમાં છે વ્યાખ્યા 1 , જો બે સંખ્યાઓ 1 હોય) 1 ,ટી 1 , શું .

વિસ્તૃત યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને, અમને નંબર 1 = gcd(નું રેખીય પ્રતિનિધિત્વ મળે છે. વ્યાખ્યા 1 , m 1 ):

કેટલાક માટે x 0 , y 0 . ચાલો છેલ્લી સમાનતાની બંને બાજુઓને વડે ગુણાકાર કરીએ જો બે સંખ્યાઓ 1 હોય) 1 ડી:

અથવા, સમાન શું છે,

,

તે છે, અને સરખામણીનો ઉકેલ છે. □

ઉદાહરણ 2.10. સરખામણી 9 એક્સ= 6 (મોડ 12) પાસે ઉકેલ છે કારણ કે gcd(9, 12) = 3 અને 6 3 વડે વિભાજ્ય છે. □

ઉદાહરણ 2.11. સરખામણી 6x= 9 (મોડ 12) પાસે કોઈ ઉકેલ નથી, કારણ કે gcd(6, 12) = 6, અને 9 6 વડે વિભાજ્ય નથી. □

પ્રમેય 2.5. સરખામણી (2.2) ને ઉકેલી શકાય તેવું રહેવા દો અને ડી = GCD( વ્યાખ્યા, m). પછી તુલનાત્મક ઉકેલોનો સમૂહ (2.2) સમાવે છે ડી મોડ્યુલો અવશેષ વર્ગો ટી,એટલે કે, જો એક્સ 0 - ઉકેલોમાંથી એક, પછી અન્ય તમામ ઉકેલો છે

પુરાવો.દો એક્સ 0 - સરખામણીનો ઉકેલ (2.2), એટલે કે અને , . તો આવી વાત છે q, શું ઓહ 0 − જો બે સંખ્યાઓ 1 હોય) = qm. હવે તેના બદલે છેલ્લી સમાનતામાં અવેજી એક્સ 0 ફોર્મનો મનસ્વી ઉકેલ, જ્યાં, આપણે અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ

, દ્વારા વિભાજ્ય m. □

ઉદાહરણ 2.12. સરખામણી 9 એક્સ=6 (મોડ 12)માં બરાબર ત્રણ ઉકેલો છે, કારણ કે gcd(9, 12)=3. આ ઉકેલો: એક્સ 0 = 2, x 0 + 4 = 6, એક્સ 0 + 2∙4=10.□

ઉદાહરણ 2.13. સરખામણી 11 એક્સ=2 (મોડ 15) પાસે અનન્ય ઉકેલ છે એક્સ 0 = 7, ત્યારથી GCD(11,15)=1.□

અમે તમને બતાવીશું કે પ્રથમ ડિગ્રીની તુલના કેવી રીતે ઉકેલવી. સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના, અમે ધારીશું કે GCD( વ્યાખ્યા, t) = 1. પછી સરખામણીનો ઉકેલ (2.2) શોધી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને. ખરેખર, વિસ્તૃત યુક્લિડિયન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને, અમે સંખ્યા 1 ને સંખ્યાઓના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરીએ છીએ. વ્યાખ્યાઅને ટી:

ચાલો આ સમાનતાની બંને બાજુઓને વડે ગુણાકાર કરીએ જો બે સંખ્યાઓ 1 હોય), અમને મળે છે: જો બે સંખ્યાઓ 1 હોય) = abq + mrb, જ્યાં abq - જો બે સંખ્યાઓ 1 હોય) = - mrb, તે છે વ્યાખ્યા ∙ (bq) = જો બે સંખ્યાઓ 1 હોય)(મોડ m) અને bq- સરખામણીનો ઉકેલ (2.2).

બીજો ઉકેલ એ યુલરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવાનો છે. ફરીથી અમે માનીએ છીએ કે GCD(a, ટી)= 1. અમે યુલરનું પ્રમેય લાગુ કરીએ છીએ: . સરખામણીની બંને બાજુઓ દ્વારા ગુણાકાર કરો જો બે સંખ્યાઓ 1 હોય): . છેલ્લી અભિવ્યક્તિ તરીકે ફરીથી લખી રહ્યું છે , અમે મેળવીએ છીએ કે તે સરખામણીનો ઉકેલ છે (2.2).

ચાલો હવે GCD( વ્યાખ્યા, m) = ડી>1. પછી વ્યાખ્યા = વ્યાખ્યાtડી, m = mtડી, જ્યાં GCD( એ 1 , m 1) = 1. વધુમાં, તે જરૂરી છે જો બે સંખ્યાઓ 1 હોય) = જો બે સંખ્યાઓ 1 હોય) 1 ડી, સરખામણી ઉકેલી શકાય તે માટે. જો એક્સ 0 - સરખામણી ઉકેલ એ 1 x = જો બે સંખ્યાઓ 1 હોય) 1 (મોડ m 1), અને એકમાત્ર, GCD( એ 1 , m 1) = 1, પછી એક્સ 0 ઉકેલ અને સરખામણી હશે એ 1 xd = ડીબી 1 (મોડ m 1), એટલે કે, મૂળ સરખામણી (2.2). આરામ કરો ડી- પ્રમેય 2.5 દ્વારા 1 ઉકેલો જોવા મળે છે.

બે પૂર્ણાંકો માટે એક્સઅને ખાતેચાલો સમાનતામાં તુલનાત્મકતાનો સંબંધ રજૂ કરીએ જો તેમનો તફાવત હોય સમ સંખ્યા. તે તપાસવું સરળ છે કે અગાઉ રજૂ કરવામાં આવેલી ત્રણેય સમાનતા શરતો સંતુષ્ટ છે. આ રીતે રજૂ કરવામાં આવેલ સમકક્ષતા સંબંધ પૂર્ણાંકોના સમગ્ર સમૂહને બે વિસંબંધિત ઉપગણોમાં વિભાજિત કરે છે: સમ સંખ્યાઓનો ઉપગણ અને વિષમ સંખ્યાઓનો ઉપગણ.

આ કેસને સામાન્ય બનાવતા, અમે કહીશું કે બે પૂર્ણાંકો કે જે અમુક નિશ્ચિત કુદરતી સંખ્યાના ગુણાંકથી ભિન્ન હોય છે તે સમકક્ષ છે. ગૌસ દ્વારા રજૂ કરાયેલ મોડ્યુલો તુલનાત્મકતાના ખ્યાલ માટે આ આધાર છે.

નંબર એ, સાથે તુલનાત્મક જો બે સંખ્યાઓ 1 હોય)મોડ્યુલો m, જો તેમનો તફાવત નિશ્ચિત વડે વિભાજ્ય હોય કુદરતી સંખ્યા m, એટલે કે a - bદ્વારા વિભાજિત m. પ્રતીકાત્મક રીતે આ આ રીતે લખાયેલ છે:

a ≡ b(mod m),

અને તે આના જેવું વાંચે છે: એતુલનાત્મક મોડ્યુલો અમુક સંખ્યા જો બે સંખ્યાઓ 1 હોય)મોડ્યુલો m.

આ રીતે રજૂ થયેલો સંબંધ, સરખામણીઓ અને સમાનતાઓ વચ્ચેની ઊંડી સામ્યતાને આભારી છે, તે ગણતરીઓને સરળ બનાવે છે જેમાં સંખ્યાઓ બહુવિધ દ્વારા અલગ પડે છે. m, વાસ્તવમાં ભિન્ન નથી (કારણ કે સરખામણી m ના કેટલાક ગુણાંક સુધી સમાનતા છે).

ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓ 7 અને 19 તુલનાત્મક મોડ્યુલો 4 છે, પરંતુ તુલનાત્મક મોડ્યુલો 5 નથી, કારણ કે 19-7=12 એ 4 વડે વિભાજ્ય છે અને 5 વડે વિભાજ્ય નથી.

એમ પણ કહી શકાય કે નંબર એક્સમોડ્યુલો mજ્યારે પૂર્ણાંક વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે બાકીની બરાબર એક્સ 725495 (\Displaystyle 725495) m, કારણ કે

x=km+r, r = 0, 1, 2, ... , m-1.

તે તપાસવું સરળ છે કે આપેલ મોડ્યુલ અનુસાર સંખ્યાઓની તુલનાત્મકતા સમાનતાના તમામ ગુણધર્મો ધરાવે છે. તેથી, પૂર્ણાંકોનો સમૂહ મોડ્યુલસમાં તુલનાત્મક સંખ્યાઓના વર્ગોમાં વહેંચાયેલો છે m. આવા વર્ગોની સંખ્યા સમાન છે m, અને સમાન વર્ગની તમામ સંખ્યાઓ જ્યારે વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે mસમાન બાકી આપો. ઉદાહરણ તરીકે, જો m= 3, પછી આપણને ત્રણ વર્ગો મળે છે: સંખ્યાઓનો વર્ગ જે 3 ના ગુણાંક ધરાવે છે (3 વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ 0 આપે છે), સંખ્યાઓનો વર્ગ જે 3 વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે 1 બાકી રહે છે, અને જ્યારે 2 શેષ આપે છે ત્યારે સંખ્યાઓનો વર્ગ 3 વડે ભાગ્યા.

સરખામણીઓના ઉપયોગના ઉદાહરણો જાણીતા વિભાજ્યતા માપદંડ દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવે છે. સામાન્ય સંખ્યાની રજૂઆત nમાં સંખ્યામાં દશાંશ સિસ્ટમગણતરીમાં ફોર્મ છે:

n = c10 2 + b10 1 + a10 0,

જ્યાં a, b, c,- જમણેથી ડાબે લખેલા નંબરના અંકો, તેથી એ- એકમોની સંખ્યા, જો બે સંખ્યાઓ 1 હોય)- દસની સંખ્યા, વગેરે. 10k થી ≡ કોઈપણ k≥0 માટે 1(mod9), પછી જે લખ્યું છે તેના પરથી તે અનુસરે છે

n ≡ c + b + a(mod9),

9 વડે વિભાજ્યતાની કસોટી ક્યાંથી અનુસરે છે: nતે 9 વડે વિભાજ્ય છે જો અને માત્ર જો તેના અંકોનો સરવાળો 9 વડે ભાગી શકાય.

અમે 11 દ્વારા વિભાજ્યતા માટે પરીક્ષણ મેળવીએ છીએ. સરખામણીઓ થાય છે:

10≡- 1(mod11), 10 2 ≡ 1(mod11) 10 3 ≡- 1(mod11), અને તેથી વધુ. તેથી જ n ≡ c - b + a - ….(mod11).

આથી, n 11 વડે વિભાજ્ય છે જો અને માત્ર જો તેના અંકો a - b + c -... નો વૈકલ્પિક સરવાળો 11 વડે ભાગી શકાય.

ઉદાહરણ તરીકે, 9581 નંબરના અંકોનો વૈકલ્પિક સરવાળો 1 - 8 + 5 - 9 = -11 છે, તે 11 વડે વિભાજ્ય છે, જેનો અર્થ છે કે 9581 નંબર 11 વડે વિભાજ્ય છે.

જો ત્યાં સરખામણીઓ હોય તો: , પછી તે સમાનતાની જેમ જ શબ્દ દ્વારા શબ્દને ઉમેરી, બાદબાકી અને ગુણાકાર કરી શકાય છે:

સરખામણી હંમેશા પૂર્ણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાય છે:

જો, તો પછી

જો કે, કોઈપણ પરિબળ દ્વારા સરખામણી ઘટાડવી હંમેશા શક્ય નથી, પરંતુ 42 અને 12 નંબરો માટે સામાન્ય પરિબળ 6 દ્વારા તેને ઘટાડવું અશક્ય છે; આવા ઘટાડો ખોટા પરિણામ તરફ દોરી જાય છે, કારણ કે .

તુલનાત્મકતા મોડ્યુલોની વ્યાખ્યામાંથી તે અનુસરે છે કે પરિબળ દ્વારા ઘટાડો માન્ય છે જો આ પરિબળ મોડ્યુલસ સાથે સુસંગત હોય.

તે પહેલેથી જ ઉપર નોંધ્યું હતું કે કોઈપણ પૂર્ણાંક તુલનાત્મક મોડ છે mનીચેના નંબરોમાંથી એક સાથે: 0, 1, 2,... , m-1.

આ શ્રેણી ઉપરાંત, સંખ્યાઓની અન્ય શ્રેણીઓ છે જે સમાન ગુણધર્મ ધરાવે છે; તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, કોઈપણ સંખ્યા નીચેની સંખ્યાઓમાંથી એક સાથે તુલનાત્મક મોડ 5 છે: 0, 1, 2, 3, 4, પણ નીચેની સંખ્યાઓમાંથી એક સાથે પણ તુલનાત્મક છે: 0, -4, -3, -2, - 1, અથવા 0, 1, -1, 2, -2. સંખ્યાઓની આવી કોઈપણ શ્રેણીને અવશેષોની સંપૂર્ણ સિસ્ટમ મોડ્યુલો 5 કહેવામાં આવે છે.

આમ, અવશેષોની સંપૂર્ણ સિસ્ટમ મોડ mકોઈપણ શ્રેણી mસંખ્યાઓ, જેમાંથી કોઈ બે એકબીજા સાથે તુલનાત્મક નથી. સામાન્ય રીતે કપાતની સંપૂર્ણ સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જેમાં સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે: 0, 1, 2, ..., m-1. સંખ્યા બાદ કરી રહ્યા છીએ nમોડ્યુલો mવિભાગનો બાકીનો ભાગ છે n 725495 (\Displaystyle 725495) m, જે રજૂઆત પરથી અનુસરે છે n = કિમી + આર, 0<પી<m- 1.