હેસિયન મેટ્રિક્સના કોણીય સગીર. હેસિયન કાર્યો

કદ: px

પૃષ્ઠ પરથી બતાવવાનું શરૂ કરો:

ટ્રાન્સક્રિપ્ટ

1 વ્યાખ્યા. બિંદુ 0 એ બિંદુ 0 ના ફંક્શન પડોશના સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ કહેવાય છે, જે આ બધા પડોશીઓ માટે f f 0. વ્યાખ્યા છે. બિંદુ 0 ને ફંક્શનનો સ્થાનિક લઘુત્તમ બિંદુ કહેવામાં આવે છે, બિંદુ 0 ની પડોશી, જે આ તમામ પડોશીઓ માટે f f 0. f f, જો તે અસ્તિત્વમાં છે, જો તે અસ્તિત્વમાં છે, તો મહત્તમ બિંદુ પર કાર્યનું મૂલ્ય સ્થાનિક મહત્તમ કહેવાય છે. , ન્યૂનતમ બિંદુ પર ફંક્શનનું મૂલ્ય આ ફંક્શનનું સ્થાનિક લઘુત્તમ છે. ફંક્શનની મહત્તમ અને ન્યૂનતમને તેની સ્થાનિક સીમા કહેવામાં આવે છે. "સ્થાનિક આત્યંતિક" શબ્દ એ હકીકતને કારણે છે કે એક્સ્ટ્રીમમનો પરિચયિત ખ્યાલ ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાં આપેલ બિંદુના પડોશી સાથે સંકળાયેલ છે, અને આ સમગ્ર ડોમેન સાથે નહીં. ફંક્શનમાં ઘણા એક્સ્ટ્રીમા હોઈ શકે છે, અને એક બિંદુ પર ન્યૂનતમ બીજા પર મહત્તમ કરતા વધારે હોઈ શકે છે. સામાન્ય રીતે સાહિત્યમાં "એક્સ્ટ્રીમમ", "મહત્તમ", "લઘુત્તમ" શબ્દોનો ઉપયોગ કડક સ્થાનિક આત્યંતિક, કડક સ્થાનિક મહત્તમ, કડક સ્થાનિક લઘુત્તમ દર્શાવવા માટે થાય છે. વ્યાખ્યા. બિંદુ 0 ને ફંક્શનના કડક સ્થાનિક મહત્તમનો બિંદુ કહેવામાં આવે છે જેમ કે બિંદુ 0 નું પડોશી કે આ પડોશના દરેક માટે f f 0. f, જો વ્યાખ્યા અસ્તિત્વમાં હોય. બિંદુ 0 ને ફંક્શનના કડક સ્થાનિક લઘુત્તમનું બિંદુ કહેવામાં આવે છે જેમ કે બિંદુ 0 નું પડોશી આ પડોશના દરેક માટે f f 0. અથવા, બિંદુ 0 ને કાર્ય 0: 0 f f ના કડક સ્થાનિક લઘુત્તમનું બિંદુ કહેવામાં આવે છે. 0 0 f જો f અસ્તિત્વમાં હોય તો વ્યાખ્યા. અંતરાલ પરના ફંક્શનના સૌથી મોટા (નાના) મૂલ્યને વૈશ્વિક સીમા કહેવામાં આવે છે. ગ્લોબલ એક્સ્ટ્રીમમ ક્યાં તો લોકલ એક્સ્ટ્રીમમના પોઈન્ટ પર અથવા સેગમેન્ટના છેડે પહોંચી શકાય છે. ફંક્શનના બીજા ડેરિવેટિવ્સથી બનેલા મેટ્રિક્સને હેસિયન મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે: f f n d f T d d f f... n 1 n (અમે હેસિયન મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકને હેસિયન કહેવા માટે સંમત થઈશું; એ જ રીતે: પ્રથમ ડેરિવેટિવ્સથી બનેલું મેટ્રિક્સ કાર્યને જેકોબિયન મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે, અને તેના નિર્ણાયકને જેકોબિયન કહેવામાં આવે છે: 1) માલુગિન V.A. "ગાણિતિક વિશ્લેષણ, વ્યાખ્યાનોનો અભ્યાસક્રમ (અર્થશાસ્ત્રીઓ માટે ગણિત)", 005, પૃષ્ઠ 105 (ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમનો ખ્યાલ);) માલુગિન વી.એ. "ગાણિતિક વિશ્લેષણ, સમસ્યાઓ અને કસરતો (અર્થશાસ્ત્રીઓ માટે ગણિત)", 006, પૃષ્ઠ 13 (વૈશ્વિક અંતિમ; અંતિમ માટે જરૂરી સ્થિતિ, 1 લી અને 1 લી પર્યાપ્ત શરતો); 3) લેખિત ડી.ટી. "ઉચ્ચ ગણિત પર વ્યાખ્યાન નોંધો", 005, પી. 0 (એક ચલના કાર્યની સીમા); 4) બોર્ટાકોવ્સ્કી એ.એસ., પેન્ટેલીવ એ.વી. "ઉદાહરણ અને સમસ્યાઓમાં લીનિયર બીજગણિત", 005, પૃષ્ઠ 6. 1

2 સમસ્યાના ઉકેલની સંક્ષિપ્ત રજૂઆત. પ્રમેય (ચરબી માટે પૂરતી સ્થિતિ). નજીકમાં સ્થિર બિંદુ 0, 0 પર ફંક્શન f હોઈએ, ચાલો આપણે બિંદુ 0, 0 પર A f, B f C f ની કિંમતોની ગણતરી કરીએ. બીજા ઓર્ડર સહિત. A B AC B B C, પછી: 1) જો 0, તો ફંક્શન f, બિંદુ પર, ન્યૂનતમ, જો A 0 ;) જો 0, તો ફંક્શન f, બિંદુ 0 પર, 0, 0 ના કિસ્સામાં, અંતિમ સંશોધન બિંદુ પર છે. 0 0 ની સીમા છે: મહત્તમ જો A 0 ; કોઈ આત્યંતિક નથી. કદાચ કદાચ નહી. વધારાના 1) અંતિમ બિંદુ માટે z 50 0, 0, z z 0 ની તપાસ કરો સ્થિર બિંદુઓ શોધો: z 0 z સ્થિર બિંદુ P 5 ;. ચાલો તપાસ કરીએ કે આપેલ બિંદુ પર એક્સ્ટ્રીમમની હાજરી માટે પૂરતી શરતો સંતુષ્ટ છે કે કેમ. 50 A z B z 1 0 C z 40 3

3 બિંદુ P 5 પર ; : બિંદુ P 5 પર A 450 B 1 C ; ન્યૂનતમ, કારણ કે A 0 0 જવાબ: ફંક્શનમાં ન્યૂનતમ z છે;. આ બિંદુ પર ફંક્શનનું મૂલ્ય z ;) ફંક્શન z 1 z z z z 0 z ની સીમા શોધો નોંધ કરો કે 0 પર ઉકેલ એ કોઓર્ડિનેટ્સ R સાથેના બિંદુઓનો સમૂહ છે (જગ્યામાં 0 એ O અક્ષની સમાંતર સીધી રેખા છે) . પરિણામે, 0 સાથેના બિંદુઓ વચ્ચે કોઈ સ્થિર બિંદુઓ નથી. z 0 વિચારણામાંથી 0 સાથેના બિંદુઓને બાદ કરતાં, અમે મેળવીએ છીએ: P ; પી; 4 1 3

4 બે સ્થિર બિંદુઓ મળ્યા P 1 01 ; અને પી 1 1 ; ; ચાલો આ બિંદુઓ પર એક્સ્ટ્રીમાની હાજરી માટે પૂરતી શરત 4 નું પાલન કરવા માટે તેમને તપાસીએ. A z B z 43 C z 6 બિંદુ P 1 01 પર ; : A B 1 A0, B1, C 0, 10 B C 1 0 0 થી, આ બિંદુએ કોઈ સીમા નથી. બિંદુ P 1 1 પર; 4 A10, B14, C 38, A B B C A 0 0 થી, પછી આ બિંદુએ ફંક્શનમાં મહત્તમ z 1 છે; જવાબ: ફંક્શનમાં મહત્તમ z 1 1 છે; ચાલો Mathcad 14 માં એક દ્રષ્ટાંત બનાવીએ: - મળેલ મહત્તમ લાલ ટપકાથી ચિહ્નિત થયેલ છે; કાળી સીધી રેખાઓની સીધી રેખા બિંદુ P 1 01 પર થાય છે;. 0 z 0 બર્ગન્ડીમાં પ્રકાશિત થાય છે; આંતરછેદ 4

5 3 3) અંતિમ z z z માટે કાર્યની તપાસ કરો સ્થિર બિંદુઓ શોધો: z 0 z હાઇપરબોલા સાથે આંતરછેદ પરનું વર્તુળ ચાર બિંદુઓ આપશે: ચાર સ્થિર બિંદુઓ P1 જોવા મળે છે; 1, P 1;, P 3 1;, P 4 ; આ બિંદુઓ પર એક્સ્ટ્રીમમની હાજરી માટે પૂરતી શરતોની પરિપૂર્ણતા. A z B z C z 61 6 બિંદુ P પર ; 1 1: A 1 0 B 6 C 1 A B B C ચાલો 5 તપાસીએ

6 મહત્તમ, કારણ કે 0 - બિંદુ P પર; બિંદુ P પર; 1: A 60 B 1 C 6 A B B C બિંદુ P પર; 1 ત્યાં કોઈ આત્યંતિક નથી, કારણ કે 0. બિંદુ P 3 1 પર; : A 6 0 B 1 C 6 A B B C બિંદુ P 3 1 પર ; ત્યાં કોઈ આત્યંતિક નથી, કારણ કે 0. બિંદુ P 4 1 પર; : A 1 0 B 6 C 1 A B B C 6 1 P 4 - એક બિંદુએ; એક 0 1 ન્યૂનતમ, કારણ કે આ બિંદુએ ફંક્શનનું 0 z મૂલ્ય;. આ બિંદુ પર કાર્યનું મૂલ્ય z; જવાબ: ફંક્શનમાં ન્યૂનતમ z 1 છે; 8 અને મહત્તમ; z સાહિત્ય: 1) ડી.ટી. "ઉચ્ચ ગણિત પર વ્યાખ્યાન નોંધો", 005, પૃષ્ઠ (બે ચલોના કાર્યનો આત્યંતિક). હેસિયન મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાનું નિરાકરણ. 4) બે ચલોના કાર્યની સીમા શોધો, 3 z 3 61 સ્થિતિ z 0 z 0 (એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વ માટે જરૂરી શરત) 6 માંથી સ્થિર બિંદુઓ નક્કી કરો

7 z z પોઈન્ટ્સ P1 1 ; 1 અને પી; સ્થિર બિંદુઓ; ચાલો તેમને એક્સ્ટ્રીમમની હાજરી માટે પૂરતી સ્થિતિના પાલન માટે તપાસીએ. આ કરવા માટે, અમે ફંક્શનના બીજા ડેરિવેટિવ્ઝમાંથી હેસિયન મેટ્રિક્સ કંપોઝ કરીએ છીએ: z z H z z z 6 z H 6 1 z 1 હેસિયન મેટ્રિક્સના કોણીય સગીરોના પૃથ્થકરણ દ્વારા સોલ્યુશનનું ચાલુ રાખવું ચાલો હેસિયનની વર્તણૂકને ધ્યાનમાં લઈએ. મળી આવેલા સ્થિર બિંદુઓ પર મેટ્રિક્સ. 6 6 P11; 1: HP1 6 1 ; કોણીય સગીર: M1 6 0, M M 0 થી, બિંદુ P 1 પર કોઈ સીમા નથી. પી; કોણીય સગીર: M1 6 0, M 4; : HP M1 0 M 0 થી, પછી બિંદુ P પર ફંક્શનમાં સ્થાનિક લઘુત્તમ z છે;

8 પ્રમેય (એક છેડા માટે પૂરતી શરતો). જો અમુક બિંદુએ એક્સ્ટ્રીમમ માટે જરૂરી શરતો સંતુષ્ટ હોય અને ક્રમના તમામ આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ સતત હોય, તો આ બિંદુએ એક્સ્ટ્રીમમનું અસ્તિત્વ બીજા ડેરિવેટિવ્ઝના મેટ્રિક્સના કોણીય સગીરોના મૂલ્યો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે ( હેસિયન મેટ્રિક્સ): M1 0, M 0 - સ્થાનિક લઘુત્તમ; M1 0, M 0 - સ્થાનિક મહત્તમ; એમ 0 - ત્યાં કોઈ અંતિમ નથી. જો M1 0 અથવા M 0 અભ્યાસ હેઠળના બિંદુ પર એક્સ્ટ્રીમમ હોઈ શકે અથવા ન પણ હોય, તો વધારાના સંશોધન જરૂરી છે. u u, z ગણવામાં આવે છે જ્યારે ત્રણ ચલોના કાર્યના સ્થાનિક સીમાનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, ત્યારે મેટ્રિક્સ u u u z u u u z uz uz u zz અને તેના કોણીય સગીરોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. સાહિત્ય: 1) માલુગિન વી.એ. "રેખીય બીજગણિત. સમસ્યાઓ અને કસરતો", 006, પૃષ્ઠ 149 (કાર્યની સ્થાનિક સીમા);) ડી.ટી. "ઉચ્ચ ગણિત પર લેક્ચર નોટ્સ", 005, પેજ (બે ચલોના ફંક્શનની સીમા); 3) Pyatkova V.B., Ruzakov V.Ya., Turova O.E. "ગણિત, 3 જી સેમેસ્ટર", યુરલ સ્ટેટ સ્ટેટ યુનિવર્સિટી (ખાણકામ સંસ્થા, યેકાટેરિનબર્ગ), 005, પૃષ્ઠ 3 (એસ્ટ્રીમા પર બે ચલોના કાર્યનો અભ્યાસ કરવા માટેની યોજના). હેસિયન મેટ્રિક્સના ઇજેનવેલ્યુના પૃથ્થકરણ દ્વારા સોલ્યુશનનું ચાલુ રાખવું ચાલો દરેક સ્થિર બિંદુ પર હેસિયન મેટ્રિક્સના ઇજેનવેલ્યુ શોધીએ. 6 6 P11; 1: HP સમીકરણ 0 થી આપણે 1 શોધીએ છીએ, કારણ કે 6 1 હેસિયન મેટ્રિક્સના એઇજેનવેલ્યુઓ વિવિધ ચિહ્નોના છે, તો પછી બિંદુ P 1 પર કોઈ સીમા નથી. P થી Eq.; : HP આપણે 1 શોધીએ છીએ, કારણ કે હેસિયન મેટ્રિક્સના તમામ ઇજેન મૂલ્યો હકારાત્મક છે, પછી બિંદુ P પર સ્થાનિક લઘુત્તમ z છે; 4 3. દરેક સ્થિર બિંદુઓ પર હેસિયન મેટ્રિક્સના એઇજેન મૂલ્યો શોધો જો બધા ઇજેન મૂલ્યો * હકારાત્મક છે: i 0, i 1,..., n, તો બિંદુ પર સ્થાનિક લઘુત્તમ છે; ઋણ: i 0, i 1,..., n, પછી બિન-નકારાત્મક બિંદુ પર: i 0, i 1,..., n, પછી બિંદુ પર બિન-ધન: i 0, i 1,... ., n, પછી બિંદુ પર * સ્થાનિક મહત્તમ; * કાર્યો. * સ્થાનિક લઘુત્તમ હોઈ શકે છે; * ત્યાં સ્થાનિક મહત્તમ હોઈ શકે છે; * વિવિધ ચિહ્નો, પછી બિંદુ પર કોઈ અંતિમ નથી; શૂન્ય: i 0, i 1,..., n, પછી વધારાના સંશોધનની જરૂર છે. 8

9 સાહિત્ય: 1) બોર્ટાકોવસ્કી એ.એસ., પેન્ટેલીવ એ.વી. "ઉદાહરણ અને સમસ્યાઓમાં લીનિયર બીજગણિત", 005, પૃષ્ઠ 531 (ઉદાહરણ 9.8). 5) ફંક્શન z ના એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ શોધો ચાલો બે ચલ z ના ફંક્શનના સ્થિર પોઈન્ટ નક્કી કરીએ, z 0 z 0 (એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વ માટે જરૂરી શરત) z z ત્રણ સ્થિર બિંદુઓ P 1 જોવા મળે છે. 00;, પી 0; 1 40, પી 3 ; એક્સ્ટ્રીમમની હાજરી માટે પૂરતી સ્થિતિનું પાલન; ચાલો તેમને તપાસીએ જ્યારે બે ચલ z z ના ફંક્શનના સ્થાનિક સીમાનો અભ્યાસ કરીએ, ત્યારે તફાવત d, d એ હેસિયન મેટ્રિક્સ z z z છે અને દરેક સ્થિર બિંદુ P i પર ગણવામાં આવે છે. જો આ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ નિશ્ચિત હોવાનું બહાર આવે છે, તો પછી કાર્ય z z, આત્યંતિક: a) લઘુત્તમ, જો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ હકારાત્મક નિશ્ચિત હોય; b) જો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ નકારાત્મક નિશ્ચિત હોય તો મહત્તમ. જો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ અનિશ્ચિત હોવાનું બહાર આવે છે, તો પછી P i પાસે P i હોય ત્યાં કોઈ સીમા નથી ત્યાં મેટ્રિક્સનું સંકલન કરવામાં આવે છે. બિન-નકારાત્મક નિશ્ચિતતા અથવા ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની બિન-સકારાત્મક નિશ્ચિતતાના કિસ્સામાં, વધારાના સંશોધનની જરૂર છે - ત્યાં એક આત્યંતિક હોઈ શકે છે. 9

10 હેસિયન મેટ્રિક્સ: H z z z z F F F F F F F F F ( નોંધ કરો કે 80 1). તેથી, H ચાલો સિલ્વેસ્ટર માપદંડનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની ચોક્કસ નિશાની સ્થાપિત કરીએ. n ચલોમાં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ હકારાત્મક નિશ્ચિત હોવા માટે, તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે કે તેના મેટ્રિક્સ A ના તમામ કોણીય સગીર હકારાત્મક હોવા જોઈએ. n ચલોનું ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ નકારાત્મક નિશ્ચિત હોવા માટે, તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે કે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મેટ્રિક્સ A ના કોણીય સગીરોના ચિહ્નો ઓછા ચિહ્નથી શરૂ થાય. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની અનિશ્ચિતતા (વૈકલ્પિક ચિહ્ન) માટે, તે પૂરતું છે કે એક સમાન ક્રમનો ઓછામાં ઓછો એક મુખ્ય સગીર નકારાત્મક હોય, અથવા એક વિષમ ક્રમના બે મુખ્ય નાનામાં અલગ-અલગ ચિહ્નો હોય (ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની અનિશ્ચિતતાનું પર્યાપ્ત સંકેત) . સ્થિર બિંદુ P 1 00 પર; : H P કોણીય સગીર: M1 410, 41 1 M 0110, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ અનિશ્ચિત ચિહ્નનું છે, તેથી, બિંદુ P 1 પર કોઈ સીમા નથી. સ્થિર બિંદુ P પર; H P: કોણીય સગીર: M1 410, 41 1 M 0110, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ અનિશ્ચિત ચિહ્નનું છે, તેથી, બિંદુ P પર કોઈ સીમાચિહ્ન નથી. 10

11 સ્થિર બિંદુ P પર; H P: કોણીય સગીર: M1 410, M 0 0, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ હકારાત્મક નિશ્ચિત છે, તેથી, બિંદુ P 3 પર કાર્યમાં સ્થાનિક લઘુત્તમ z છે; ,જવાબ: ફંક્શનમાં સ્થાનિક લઘુત્તમ છે; z ચાલો ગણિત 7 માં ફંક્શનનું ન્યૂનતમ શોધીએ (આ માટે તમારે તેના ડિસલોકેશનનો વિસ્તાર દર્શાવવો પડશે): સંદર્ભો: 1) અક્સ્યોનોવ એ.પી. "ગણિત. ગાણિતિક વિશ્લેષણ", ભાગ, 005, પૃષ્ઠ 193 (ઉદાહરણો 13, 14);) બોર્ટાકોવસ્કી એ.એસ., પેન્ટેલીવ એ.વી. "ઉદાહરણ અને સમસ્યાઓમાં લીનિયર બીજગણિત", 005, પૃષ્ઠ 531 (ઉદાહરણ 9.8); 3) બોર્ટાકોવ્સ્કી એ.એસ., પેન્ટેલીવ એ.વી. "રેખીય બીજગણિત અને વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ પર વર્કશોપ", 007, પૃષ્ઠ) માલુગિન V.A. "રેખીય બીજગણિત. વ્યાખ્યાનોનો અભ્યાસક્રમ", 006, પૃષ્ઠ 157, 164; 5) બરાનોવા ઇ.એસ., વાસિલીવા એન.વી., ફેડોટોવ વી.પી. "ઉચ્ચ ગણિત માટે પ્રાયોગિક માર્ગદર્શિકા. લાક્ષણિક ગણતરીઓ", 008, પૃષ્ઠ 301 (ઉદાહરણ 10.35). 6) ફંક્શનની તપાસ કરો, સ્થિર બિંદુઓનું વિશ્લેષણ કરીને, પ્રથમ અને બીજા ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ કરીને બિનશરતી એક્સ્ટ્રીમાની હાજરી માટે F z 4 3 z z. ચાલો F 0 F 0 F 0 z (એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વ માટે જરૂરી શરત) F 8z F 6 Fz z 8z ​​z 0 z 0 બિંદુ પરથી ત્રણ ચલ F, z ના કાર્યના સ્થિર બિંદુઓ નક્કી કરીએ. પી 000 ; ; - સ્થિર બિંદુ; ચાલો તેને એક્સ્ટ્રીમમની હાજરી માટે પૂરતી સ્થિતિના પાલન માટે તપાસીએ. અગિયાર

12 જ્યારે ત્રણ ચલો u u, z, d, d, dz - હેસિયન મેટ્રિક્સ u u u z u u u z uz uz u zz ના સંદર્ભમાં ફંક્શનના ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનો અભ્યાસ કરો અને દરેક સ્થિર બિંદુ પર ગણવામાં આવે છે આ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે બહાર આવ્યું છે, પછી કાર્ય z z, P i. એક્સ્ટ્રીમમ: એ) ન્યૂનતમ, જો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ હકારાત્મક ચોક્કસ હોય; b) જો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ નકારાત્મક નિશ્ચિત હોય તો મહત્તમ. જો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ અનિશ્ચિત હોવાનું બહાર આવે છે, તો પછી P i પાસે P i છે ત્યાં કોઈ સીમા નથી ત્યાં મેટ્રિક્સનું સંકલન કરવામાં આવે છે. બિન-નકારાત્મક નિશ્ચિતતા અથવા ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની બિન-સકારાત્મક નિશ્ચિતતાના કિસ્સામાં, વધારાના સંશોધનની જરૂર છે - ત્યાં એક આત્યંતિક હોઈ શકે છે. ચાલો હેસિયન મેટ્રિક્સ લખીએ: F F F z F F F H z F F F z z F F F F 8z 8 1 z F F F z F z F z F z F F ( નોંધ કરો કે, તેથી, 8 1 H F F z z 1, F F z z 0). ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના ચિહ્નનું વિશ્લેષણ. સિલ્વેસ્ટર માપદંડ. ચાલો સિલ્વેસ્ટર માપદંડનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની ચોક્કસ નિશાની સ્થાપિત કરીએ. 1

13 n ચલોમાં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ હકારાત્મક નિશ્ચિત હોવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે તેના મેટ્રિક્સ A ના તમામ કોણીય સગીર હકારાત્મક હોવા જોઈએ. n ચલોનું ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ નકારાત્મક નિશ્ચિત હોવા માટે, તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે કે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મેટ્રિક્સ A ના કોણીય સગીરોના ચિહ્નો ઓછા ચિહ્નથી શરૂ થાય. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની અનિશ્ચિતતા (વૈકલ્પિક ચિહ્ન) માટે, તે પૂરતું છે કે એક સમાન ક્રમનો ઓછામાં ઓછો એક મુખ્ય સગીર નકારાત્મક હોય, અથવા એક વિષમ ક્રમના બે મુખ્ય નાનામાં અલગ-અલગ ચિહ્નો હોય (ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની અનિશ્ચિતતાનું પર્યાપ્ત સંકેત) . ઘટનામાં એક અથવા વધુ કોણીય સગીર શૂન્ય સમાન હોય, પરંતુ નિશાની નિશ્ચિતતાની શરતોમાંથી એક સંતોષી શકાય, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ બિન-નકારાત્મક ચોક્કસ અથવા બિન-હકારાત્મક ચોક્કસ છે (આ સ્થિતિ ચિત્રને પૂર્ણ કરવા માટે નીચે લખવામાં આવી હતી; પુરાવાની જરૂર છે). મળી આવેલ સ્થિર બિંદુ પર: 8 1 P000 ; ; : HP 6 0 ; 1 0 કોણીય સગીર: M1 80, 8 M , M M1 0 M 0 M 3 0 થી, પછી બિંદુ P પર ફંક્શનમાં સ્થાનિક લઘુત્તમ F હોય છે; ; હેસિયન મેટ્રિક્સના આઇજેન મૂલ્યો. ચાલો હેસિયન મેટ્રિક્સના ઇજેનવેલ્યુનું વિશ્લેષણ કરીને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની ચોક્કસ નિશાની સ્થાપિત કરીએ. * ફંક્શનના દરેક સ્થિર બિંદુઓ પર હેસિયન મેટ્રિક્સના ઇજેન મૂલ્યો શોધો. જો તમામ eigenvalues ​​હકારાત્મક છે: i 0, i 1,..., n, તો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ ધન નિશ્ચિત છે; ઋણ: i 0, i 1,..., n, પછી ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ નકારાત્મક નિશ્ચિત છે; બિન-ઋણાત્મક: i 0, i 1,..., n, પછી ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ બિન-નકારાત્મક નિશ્ચિત છે; બિન-ધન: i 0, i 1,..., n, પછી ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ બિન-ધન નિશ્ચિત છે; વિવિધ ચિહ્નો, પછી ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ અનિશ્ચિત છે; શૂન્ય: i 0, i 1,..., n, પછી ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ બિન-નકારાત્મક ચોક્કસ અથવા બિન-ધન ચોક્કસ છે [, પૃષ્ઠ 530]. ચાલો મળેલા સ્થિર બિંદુ પર હેસિયન મેટ્રિક્સના ઇજેનવેલ્યુ શોધીએ. 8 1 P000 ; ; : HP 6 0 ;

14 8 1 સમીકરણમાંથી અથવા આપણે શોધીએ છીએ, 4, 855 9, મેથકેડમાં બહુપદીના મૂળ તરીકે: અથવા મેથકેડમાં ગ્રાફિકલી: હેસિયન મેટ્રિક્સના તમામ ઇજેન મૂલ્યો સકારાત્મક હોવાથી, બિંદુ P પર ન્યૂનતમ છે . બીજું વિભેદક કાર્ય. ચાલો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની ચોક્કસ નિશાની સીધી સ્થાપિત કરીએ. વિભેદકોના સંદર્ભમાં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ એ કાર્યનો બીજો વિભેદક છે. ચાલો ફંક્શનના બીજા વિભેદકની અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરીએ જેથી કરીને સ્પષ્ટપણે એ હકીકત સ્થાપિત કરી શકાય કે તેનું ચિહ્ન નિશ્ચિત છે. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના સાઇન-નિર્ધારણનો અભ્યાસ કરવા માટેના આ અભિગમનો ઉપયોગ વધારાના સંશોધનની પદ્ધતિ તરીકે થઈ શકે છે જ્યારે સિલ્વેસ્ટર માપદંડ અથવા ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મેટ્રિક્સના ઇજેનવેલ્યુનું વિશ્લેષણ પરિણામ લાવતું નથી. n ચલોના ફંક્શનની સીમા માટે પૂરતી શરતો જો M,..., n એ બે વાર ડિફરન્સિબલ ફંક્શનનો સ્થિર બિંદુ છે f,..., n 1 અને જો આ બિંદુની અમુક પડોશમાં બીજા વિભેદક n f d f M 0 M 0did j i, j1 i j એ કોઈપણ મૂલ્યો માટે સાઇન જાળવી રાખે છે d i અને d j એક જ સમયે શૂન્યની બરાબર નથી, તો પછી બિંદુ M 0 પર ફંક્શનનો એક્સ્ટ્રીમમ છે: ન્યૂનતમ અને મહત્તમ d f M0 0 પર ; d f M0 0 . 14

15 ફંક્શનનો બીજો વિભેદક Ф Ф Ф Ф d Ф, d dd Ф, d dd અથવા, ત્રણ ચલોના ફંક્શનના કિસ્સામાં Ф z, Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф d Ф, z d d d d dd dd dd dd d z z ચાલો બીજા ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરો: F F F F F F F 8z 8 1 z z F F F F z z F F z z z અને બિંદુ P 000 પર ફંક્શનનો બીજો તફાવત લખો ; ; : d F d d dz F z F F F F F F F F d d d d d d d d d d z z 8d 6d d d d 0d dz 1d dz 8 d 6 d dz 4d d d dz પૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરો; નોટેશનના સંક્ષિપ્તતા માટે, અમે d ને આ રીતે ફરીથી ડિઝાઇન કરીએ છીએ, વગેરે: 8 6 z 4 z z z z z z i.e. બિંદુ P000 પર; ; : d F d dz d d d (સાથે d, d, dz સમાન સમયે શૂન્ય નથી) - તેથી, બિંદુ P000; ; લઘુત્તમ બિંદુ છે. 15

16 સાહિત્ય: 1) અક્સ્યોનોવ એ.પી. "ગણિત. ગાણિતિક વિશ્લેષણ", ભાગ, 005, પૃષ્ઠ 193 (ઉદાહરણો 13, 14);) બોર્ટાકોવસ્કી એ.એસ., પેન્ટેલીવ એ.વી. "ઉદાહરણ અને સમસ્યાઓમાં લીનિયર બીજગણિત", 005, પૃષ્ઠ 531 (ઉદાહરણ 9.8); 3) બોર્ટાકોવ્સ્કી એ.એસ., પેન્ટેલીવ એ.વી. "રેખીય બીજગણિત અને વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ પર વર્કશોપ", 007, પૃષ્ઠ) માલુગિન V.A. "રેખીય બીજગણિત. વ્યાખ્યાનોનો અભ્યાસક્રમ", 006, પૃષ્ઠ 157, 164; 5) બરાનોવા ઇ.એસ., વાસિલીવા એન.વી., ફેડોટોવ વી.પી. "ઉચ્ચ ગણિત માટે પ્રાયોગિક માર્ગદર્શિકા. લાક્ષણિક ગણતરીઓ", 008, પૃષ્ઠ 301 (ઉદાહરણ 10.35). ચાલો ગણિત 7:16 માં આ લઘુત્તમની હાજરી તપાસીએ

અનેક ચલોના કાર્યો (FNP). સ્થાનિક આત્યંતિક. 1) સ્થાનિક એક્સટ્રેમમ માટે z z e કાર્યની તપાસ કરો; a) x ચલ b) 3 ચલ 3 3 3 u u z z 17 48 z. a) z e e e e 1 1 z e e શોધો

લેક્ચર્સ લેક્ચર 1 સેક્શન I. ઑપ્ટિમાઇઝેશન થિયરી 1. ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યા અને મૂળભૂત જોગવાઈઓનું સામાન્ય ફોર્મ્યુલેશન ન્યૂનતમ ફંક્શન્સ શોધવાની સમસ્યાના ફોર્મ્યુલેશનમાં શામેલ છે: ઑબ્જેક્ટિવ ફંક્શન f (x), જ્યાં x = (x1,..., x

7 ચતુર્ભુજ સ્વરૂપો 7 ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની વ્યાખ્યા ચલોનું ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ એ q a સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ છે, 7 જેમાં ગુણાંક a, બધા શૂન્ય સમાન નથી, સમપ્રમાણતાની શરતોને સંતોષે છે

બિનરેખીય ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યા. કોલ્ટસોવ એસ.એન. 2014 www.linis.ru બિનશરતી ઓપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યા નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવી છે: સેટ X (સમસ્યાનો સ્વીકાર્ય સમૂહ) અને કાર્ય આપવામાં આવ્યું છે.

ગાણિતિક વિશ્લેષણ વિભાગ: કેટલાક ચલોનું કાર્ય વિષય: FNP માટે ટેલરનું સૂત્ર. એફએનપી લેક્ચરર રોઝકોવા એસ.વી.ની એક્સ્ટ્રીમા. 1 18. FNP માટે ટેલર ફોર્મ્યુલા જો y = પડોશમાં અલગ અલગ હોય

લેક્ચર 3 ઘણા ચલોના ફંક્શનનો એક્સ્ટ્રીમમ કેટલાક ચલોના ફંક્શન u = f (x, x) ડોમેન D માં વ્યાખ્યાયિત કરવા દો, અને બિંદુ x (x, x) = આ ડોમેન સાથે સંબંધિત છે ફંક્શન u = f ( x, x) ધરાવે છે

લેક્ચર 9 ઘણા ચલોના કાર્યના એક્સ્ટ્રીમમનો ખ્યાલ ઘણા ચલોના ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમનો ખ્યાલ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપો વિશે કેટલીક માહિતી 3 એક્સ્ટ્રીમમ માટે પર્યાપ્ત શરતો ઘણા ચલોના કાર્યના એક્સ્ટ્રીમમની વિભાવના

પ્રકરણ 1 મર્યાદિત-પરિમાણીય સમસ્યાઓ 1 પ્રતિબંધો વિના મર્યાદિત-પરિમાણીય સરળ સમસ્યાઓ આ વિભાગ એક અને અનેક ચલોના કાર્યોના અંતિમ ભાગ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો આપે છે. 1.1 સમસ્યા નિવેદન

ગાણિતિક પૃથ્થકરણ 2.5 વ્યાખ્યાન: અનેક ચલોના કાર્યની આત્યંતિકતા VMMF વિભાગના એસોસિયેટ પ્રોફેસર વ્લાદિમીર ફેલિકસોવિચ ઝાલ્મેઝ ડોમેન D R n માં વ્યાખ્યાયિત w = f (x) ફંક્શનને ધ્યાનમાં લો. બિંદુ x 0 D કહેવાય છે

પ્રાયોગિક પાઠ 5 ઘણા બધા ચલોના કાર્યની આત્યંતિકતા 5 એક્સ્ટ્રીમ માટે વ્યાખ્યા અને જરૂરી શરતો 5 ચતુર્ભુજ સ્વરૂપો વિશે કેટલીક માહિતી 53 અંતિમ માટે પૂરતી શરતો 5 વ્યાખ્યા અને જરૂરી

લેક્ચર ઘણા ચલોના ફંક્શનની એક્સ્ટ્રીમમ અનેક ચલોના ફંક્શનની એક્સ્ટ્રીમમ એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ M, 0)ના અસ્તિત્વ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતોને ફંક્શનના ન્યૂનતમ મહત્તમ બિંદુ કહેવામાં આવે છે.

રિયાઝાન સ્ટેટ રેડિયો ટેકનિકલ યુનિવર્સિટી એસવી બોગાટોવા, કે.વી. બુકેન્સ્કી, આઈપી કારસેવ, જી.એસ. લુક્યાનોવા મેથકેડ એન્વાયર્નમેન્ટ વર્કશોપ રાયઝાન જનરલ પ્રસ્તાવનામાં કાર્યો અને ગ્રાફના નિર્માણનું સંશોધન

6 () આપણને તે HP = મળે છે. તેથી, પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, એક્સ્ટ્રીમમ વિશેના પ્રશ્નનો જવાબ આપવો અશક્ય છે. આ કિસ્સામાં, સ્થિર બિંદુ P (); સ્થાનિક mi- Δz > P O & P: z = z = નું બિંદુ છે. δ

1) સેગમેન્ટ 6 પર ફંક્શન 1 1 ની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધો. સેગમેન્ટ પર ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધવા માટે, તમારે આ કરવાની જરૂર છે: a) આ સેગમેન્ટ પર સ્થિત સ્થિર બિંદુઓ શોધવા,

મોસ્કો સ્ટેટ ટેકનિકલ યુનિવર્સિટીનું નામ N.E. બૌમન ફેકલ્ટી ઓફ ફંડામેન્ટલ સાયન્સ ડિપાર્ટમેન્ટ ઓફ મેથેમેટિકલ મોડેલિંગ એ.એન. કાસીકોવ,

લેક્ચર 16 કન્ઝર્વેટિવ સિસ્ટમમાં સમતુલા સ્થિતિની સ્થિરતા પર સમસ્યા 1. રૂઢિચુસ્ત પ્રણાલીની સંતુલન સ્થિતિની સ્થિરતા પર લેગ્રેન્જનું પ્રમેય સ્વતંત્રતાના n ડિગ્રી રહેવા દો. q 1, q 2,

લેક્ચર એન. સ્કેલર ફીલ્ડ. દિશાસૂચક વ્યુત્પન્ન. ઢાળ. સ્પર્શક સમતલ અને સપાટી પર સામાન્ય. અનેક ચલોના કાર્યની એક્સ્ટ્રીમા. શરતી એક્સ્ટ્રીમમ ક્ષેત્ર. આદર સાથે વ્યુત્પન્ન

10 કાર્યોનો અભ્યાસ અને આલેખનું નિર્માણ 10 કાર્યોનો અભ્યાસ અને આલેખનું નિર્માણ 1 કાર્યને વધારવું અને ઘટાડવું 1 x (1 1 વ્યાખ્યા y = f (x) ને વધતો (નોન-ઘટતો) કહેવાય છે.

) ત્રીજા ક્રમના મેટ્રિક્સના ઇજેનવેલ્યુ અને ઇજેનવેક્ટર નક્કી કરો 6 8 2 5 2 8 3 4 એક નોનઝીરો વેક્ટર p ને ચોરસ મેટ્રિક્સ A ના ઇજનવેક્ટર કહેવામાં આવે છે જો મેટ્રિક્સ સાથે રેખીય રૂપાંતરણ થાય છે

"ગણિત" વિષયમાં વિદ્યાર્થીઓ માટે મેથોડોલોજિકલ સૂચનાઓ શિસ્તના કાર્યકારી અભ્યાસક્રમમાં પરિશિષ્ટ 3. વ્યવહારુ પાઠ 1 વિષય: “ઇન્સ્ટોલેશન. ફાયર સેફ્ટી અને ટેકનોલોજી બ્રિફિંગ્સ

1) બીજા ક્રમના વળાંક x 4x y 0 ના સમીકરણને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવો અને સીધી રેખા x y 0 સાથે તેના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધો. પરિણામી ઉકેલનું ગ્રાફિકલ ચિત્ર પ્રદાન કરો. x 4x y 0 x x 1 y 0 x 1 y 4

7. ઘણાબધા ચલોના ફંક્શનનો એક્સ્ટ્રીમા 7.. લોકલ એક્સ્ટ્રીમા ફંક્શન f(x,..., x n) ને કેટલાક ઓપન સેટ D R n પર વ્યાખ્યાયિત કરવા દો. બિંદુ M D ને સ્થાનિક મહત્તમ (સ્થાનિક

લેગ્રેન્જ પદ્ધતિ દ્વારા શરતી સીમાની સમસ્યાના ઉકેલના અસ્તિત્વ માટે પૂરતી શરતો વીવી કોલીબાસોવા, એનસીએચ ક્રુતિત્સ્કાયા વીવી કોલીબાસોવા, એન સીએચ ક્રુતિત્સ્કાયા શરતી સમસ્યાના ઉકેલના અસ્તિત્વ માટે પૂરતી શરતો

1 SA Lavrenchenko લેક્ચર 9 Extrema 1 વ્યાખ્યાઓ અને ઉદાહરણો વ્યાખ્યા 11 તેઓ કહે છે કે ફંક્શન એક બિંદુએ ચોક્કસ મહત્તમ (અથવા પહોંચે છે) હોય છે જો વ્યાખ્યાના ડોમેનમાંથી બધા માટે મૂલ્ય કહેવાય છે.

ગણિત (BkPl-100, BkK-100) M.P. ખારલામોવ 2009/2010 શૈક્ષણિક વર્ષ, 2જી સેમેસ્ટર લેક્ચર 5. ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શન્સનો અભ્યાસ 1 1. ઉચ્ચ ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝનો ખ્યાલ Def. ફંક્શન f(x) આપવા દો

17. શરતી અંતિમ 17.1. ચાલો આપણે શરતી (તેઓ સંબંધિત પણ કહે છે) એક્સ્ટ્રીમમ શોધવાની વિચારણા તરફ વળીએ. શરતી સીમા શોધવાનું કાર્ય સ્થાનિક મેક્સિમા અને મિનિમા શોધવાનું છે

રશિયન ફેડરેશનનું શિક્ષણ અને વિજ્ઞાન મંત્રાલય ફેડરલ સ્ટેટ ઓટોનોમસ એજ્યુકેશનલ ઇન્સ્ટિટ્યુશન ઑફ હાયર એજ્યુકેશન "સાઉધર્ન ફેડરલ યુનિવર્સિટી" એવી એબનિન, ડીએ પોલિઆકોવા સ્થાનિક

ડિપાર્ટમેન્ટ ઓફ મેથેમેટિક્સ એન્ડ કોમ્પ્યુટર સાયન્સ ગાણિતિક વિશ્લેષણ ડિસ્ટન્સ ટેક્નોલોજીનો ઉપયોગ કરીને અભ્યાસ કરતા ઉચ્ચ શિક્ષણના વિદ્યાર્થીઓ માટે શૈક્ષણિક અને પદ્ધતિસરનું સંકુલ મોડ્યુલ 4 વ્યુત્પન્ન એપ્લિકેશન્સ દ્વારા સંકલિત: એસોસિયેટ પ્રોફેસર

ઓરિએન્ટેશન લેક્ચર માટેની સામગ્રી પ્રશ્ન 10. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપો. જડતાનો કાયદો. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપોની નિશાની નિશ્ચિતતા માટેની શરતો. 1 લેગ્રેન્જ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવું. નોટેશન.

બે ચલોના ફંક્શનનો એક્સ્ટ્રીમા બે ચલોના ફંક્શનનો એક્સ્ટ્રીમા ઘણી આર્થિક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, ઉદાહરણ તરીકે, સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યોની ગણતરી કરવી જરૂરી છે

6. ગર્ભિત કાર્યો 6.1 વ્યાખ્યાઓ, પ્રારંભિક માહિતી એક ચલની બીજા (અથવા અન્ય) પર અવલંબન આવશ્યકપણે કહેવાતા સ્પષ્ટ રજૂઆતનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્ત કરી શકાતી નથી, જ્યારે

1 SA Lavrenchenko લેક્ચર 10 ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનનો અભ્યાસ 1 પ્રથમ ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનનો અભ્યાસ અંતરાલ દ્વારા અમારો અર્થ મર્યાદિત અંતરાલ અથવા નીચેનામાંથી એક હશે

ડિપાર્ટમેન્ટ ઓફ મેથેમેટિક્સ એન્ડ કોમ્પ્યુટર સાયન્સ એલિમેન્ટ્સ ઓફ હાયર મેથેમેટિક્સ એજ્યુકેશનલ અને મેથડોલોજીકલ કોમ્પ્લેક્સ ડિસ્ટન્સ ટેક્નોલોજીનો ઉપયોગ કરીને અભ્યાસ કરતા માધ્યમિક વ્યાવસાયિક શિક્ષણના વિદ્યાર્થીઓ માટે મોડ્યુલ ડિફરન્શિયલ કેલ્ક્યુલસ દ્વારા સંકલિત:

લેગ્રેન્જ ગુણાકારની પદ્ધતિ સમાનતાના સ્વરૂપમાં અવરોધો સાથેની આત્યંતિક સમસ્યાને ધ્યાનમાં લો: શરતનો વિષય શોધો કે જે) =) સમીકરણોની સિસ્ટમ દ્વારા વર્ણવેલ સ્વીકાર્ય મૂલ્યોના સમૂહ પર જ્યાં R: R R: R

લેક્ચર 11. કન્ડિશનલ એક્સટ્રેમમ 1. કન્ડીશનલ એક્સ્ટ્રીમમનો ખ્યાલ.. શરતી સીમા શોધવા માટેની પદ્ધતિઓ.. બંધ વિસ્તારમાં બે ચલોના ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો. 1. શરતી ખ્યાલ

વ્યુત્પન્ન કાર્યને લાગુ કરવું સ્પર્શક સમીકરણ નીચેની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લો: આપણે બિંદુ પરના ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરેલા સ્પર્શક માટે સમીકરણ બનાવવાની જરૂર છે

પ્રકરણ 7 અનેક ચલોના કાર્યોનું વિભેદક કલન 1 આંશિક વ્યુત્પન્ન અને કેટલાક ચલોના કાર્યોનો કુલ તફાવત Def711 ચાલો M (, y), : O(M,) ફંક્શન 1 = 1 ()= ને ધ્યાનમાં લો

ફેડરલ એજન્સી ફોર એજ્યુકેશન મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સીટી ઓફ જીઓડીસી એન્ડ કાર્ટોગ્રાફી (MIIGAiK) O. V. Isakova L. A. Saykova ટ્યુટોરીયલ ફોર વિદ્યાર્થીઓ માટે વિભાગના સ્વતંત્ર અભ્યાસ

લાગુ ઑપ્ટિમાઇઝેશન પદ્ધતિઓ V.V. કોર્નેવ વી.વી. કુર્દ્યુમોવ વી.એસ. રાયખલોવ 2 વિષયવસ્તુ પરિચય 5 1 બિનરેખીય ઑપ્ટિમાઇઝેશન 9 1.1 ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાનું નિવેદન. મૂળભૂત ખ્યાલો અને વ્યાખ્યાઓ................

રશિયન ફેડરેશનનું શિક્ષણ અને વિજ્ઞાન મંત્રાલય ઉચ્ચ વ્યાવસાયિક શિક્ષણની ફેડરલ રાજ્ય બજેટરી શૈક્ષણિક સંસ્થા "સાઇબેરીયન રાજ્ય ઔદ્યોગિક યુનિવર્સિટી"

~ 1 ~ ઘણા ચલોનું કાર્ય 3 બે ચલોનું કાર્ય, વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર, વ્યાખ્યાની પદ્ધતિઓ અને ભૌમિતિક અર્થ. વ્યાખ્યા: z f, બે ચલોનું કાર્ય કહેવાય છે, જો દરેક જોડી મૂલ્યો,

ફંક્શનનો લેક્ચર અભ્યાસ અને તેના ગ્રાફનું નિર્માણ એબ્સ્ટ્રેક્ટ: ફંક્શનનો અભ્યાસ એકવિધતા, આત્યંતિક, બહિર્મુખ-અંતર્મુખતા, એસિમ્પ્ટોટ્સના અસ્તિત્વ માટે કરવામાં આવે છે. ફંક્શનના અભ્યાસનું ઉદાહરણ આપવામાં આવે છે, બાંધકામ

1) નિર્ણાયકના તમામ વધારાના સગીર શોધો 1 9 11 0 0 0 56 18 2. ક્રમ n નો ચોરસ મેટ્રિક્સ આપવા દો. મેટ્રિક્સનો વધારાનો લઘુ a એ નાના તત્વ M ij ના એકમ દીઠ નિર્ણાયક છે

મોસ્કો સ્ટેટ ટેકનિકલ યુનિવર્સિટીનું નામ N.E. બૌમન ફેકલ્ટી ઓફ ફંડામેન્ટલ સાયન્સ ડિપાર્ટમેન્ટ ઓફ મેથેમેટિકલ મોડેલિંગ એ.એન. કાસીકોવ,

1. કાર્યમાં વધારો અને ઘટાડો. આ અંતરાલ પર અંતરાલ (ab,) પર તફાવત કરી શકાય તેવા ફંક્શન માટે, તે જ રીતે, શરતને સંતોષવી જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે

રશિયન ફેડરેશનના શિક્ષણ અને વિજ્ઞાન મંત્રાલય ફેડરલ રાજ્ય ઉચ્ચ વ્યાવસાયિક શિક્ષણ રાષ્ટ્રીય સ્વાયત્ત શૈક્ષણિક સંસ્થા

પરિચય ગાણિતિક પૃથ્થકરણમાં હોમ ટેસ્ટ એ વિદ્યાર્થીઓના સ્વતંત્ર કાર્યના ચાલુ દેખરેખના મુખ્ય સ્વરૂપો પૈકીનું એક છે. DCR પૂર્ણ કરવા માટે જરૂરી અંદાજિત સમય છે

વિષય 8 વિવિધ ચલોના કાર્યોનું વિભિન્ન કેલ્ક્યુલસ લેક્ચર 8.1. અનેક ચલોના કાર્યો. આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ પ્લાન 1. બે અને અનેક ચલોની મર્યાદા અને સાતત્યનો ખ્યાલ

રેલ્વે પરિવહનની ફેડરલ એજન્સી યુરલ સ્ટેટ ટ્રાન્સપોર્ટ યુનિવર્સિટી E E Popovsky P P Skachkov વિધેયાત્મક ચલોના કાર્યો લાક્ષણિક ગણતરી એકટેરિનબર્ગ 1 ફેડરલ

કાર્યોના અભ્યાસ માટે વ્યુત્પત્તિની અરજી ડેરિવેટિવ્સ મોનોટોનિસિટી અંતરાલોનો ઉપયોગ કરીને કાર્યના વર્તનનો અભ્યાસ. ચરમસીમાની વ્યાખ્યા. અંતરાલો કે જેના પર ફંક્શન f (x) વધે છે (ઘટે છે)

I) આપેલ રેખીય સબસ્પેસ U અને W, વેક્ટર સિસ્ટમ્સ દ્વારા જનરેટ થાય છે: a ; ; 3; a a b b 3 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 3; 3; ; સબસ્પેસ U a) સબસ્પેસ U W. W અને U W નો આધાર શોધો. બધાનો સમૂહ

મોડ્યુલસ અને ડેરિવેટિવ V.V. સિલ્વેસ્ટરોવ કેટલીક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, એક અથવા વધુ મોડ્યુલો ધરાવતા ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવું જરૂરી છે. આવા કાર્યો એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષા પર પણ શક્ય છે.

શિક્ષણ અને વિજ્ઞાન મંત્રાલય મોસ્કો સ્ટેટ ટેકનિકલ યુનિવર્સીટી "મામી" વિભાગ "ઉચ્ચ ગણિત" એમએ બોડુનોવ, એસઆઈ બોરોદિના, વી.વી. પોકાઝીવ, બીઈ તેયુશ ઓઆઈ ટાકાચેન્કો, વિભિન્ન કેલ્ક્યુલસ

ફંક્શનનો અભ્યાસ કરવો અને આલેખ બનાવવું.) વિભેદક કેલ્ક્યુલસ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનની તપાસ કરો અને તેનો ગ્રાફ બનાવો. કાર્ય ડોમેન: Dy R\. સામાન્ય કાર્ય: y y y જટિલ

વિષયવસ્તુ વિભાગ I. કાર્યોની ચરમસીમા માટેની શરતો... 6 પ્રકરણ. ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યા અને મુખ્ય જોગવાઈઓની સામાન્ય રચના... 6 પ્રકરણ. બિનશરતી અંતિમ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો... Ch. જરૂરી છે

વિભેદક કેલ્ક્યુલસ મૂળભૂત ખ્યાલો અને સૂત્રો વ્યાખ્યા 1 એક બિંદુ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને દલીલના વધારાના ગુણોત્તરની મર્યાદા છે, જો કે દલીલની વૃદ્ધિ

બેલારુસિયન સ્ટેટ યુનિવર્સીટી ફેકલ્ટી ઓફ મિકેનિક્સ એન્ડ મેથેમેટિક્સ ડિપાર્ટમેન્ટ ઓફ નોનલાઇનર એનાલિસિસ એન્ડ એનાલિટીકલ ઇકોનોમિક્સ V. I. BakhtIN, I. A. Ivanishko, A. V. Lebedev, O. I. PINDRIK MTHYPLIEW

મોસ્કો સ્ટેટ ટેકનિકલ યુનિવર્સિટીનું નામ NE બૌમન ડુબોગ્રે IV સ્કુડનેવા OV લેવિના A I ના નામ પર રાખવામાં આવ્યું છે

ભિન્નતાઓનું પ્રકરણ 9 પરિચય આ પ્રકરણમાં આપણે કાર્યક્ષમતા (મેક્સિમા અથવા મિનિમા) શોધવાની સમસ્યાઓ પર વિચાર કરીશું કે આવી સમસ્યાઓ વચ્ચે છે

2 સમાનતા સાથે મર્યાદિત-પરિમાણીય સરળ સમસ્યાઓ આ વિભાગ સમાનતા-પ્રકારની મર્યાદાઓ સાથે સરળ મર્યાદિત-પરિમાણીય સમસ્યામાં એક્સ્ટ્રીમ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો આપે છે. 2.1 સમસ્યાનું નિવેદન ચાલો

સેન્ટ પીટર્સબર્ગ સ્ટેટ યુનિવર્સિટી ડિપાર્ટમેન્ટ ઓફ મેથેમેટિકલ એનાલિસિસ મેથોડોલોજિકલ સૂચનાઓ ગાણિતિક પૃથ્થકરણમાં પ્રાયોગિક વર્ગો ચલાવવા માટે પાર્ટ પ્રોબ્લેમ ફંક્શનના સ્થાનિક સીમા પર

પરીક્ષા વિષયની તૈયારી માટેના પ્રશ્નો. રેખીય બીજગણિત 1. નિર્ણાયક શું છે? કયા પરિવર્તનો હેઠળ નિર્ણાયકનું મૂલ્ય બદલાતું નથી? 2. કયા કિસ્સાઓમાં નિર્ણાયક શૂન્ય સમાન છે? શું અનુસરે છે

પ્રાયોગિક પાઠ 11 બે ચલોના ફંક્શનની સીમા એ ફંક્શનની મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ તેની સીમા કહેવાય છે બિંદુ M 0 કે જેના પર ફંક્શનની એક્સ્ટ્રીમમ છે તેને એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ કહેવામાં આવે છે જો તફાવત હોય તો

વ્યાખ્યાન 1 6 નિશ્ચિત છેડા સાથેની સમસ્યામાં એક્સ્ટ્રીમમ માટે પર્યાપ્ત શરતો ચાલો નિશ્ચિત છેડા સાથે સમસ્યા પર પાછા આવીએ: કાર્યાત્મક (,) V = F x x જો કે = A, = B જરૂરી હોય તો લઘુત્તમ શોધો

વિવિધ ચલોના કાર્યો એક સ્વતંત્ર ચલના કાર્યો પ્રકૃતિમાં અસ્તિત્વમાં રહેલી તમામ નિર્ભરતાને આવરી લેતા નથી. તેથી, કાર્યાત્મક અવલંબનની જાણીતી વિભાવનાને વિસ્તૃત કરવી અને તેની રજૂઆત કરવી સ્વાભાવિક છે

કાર્યો દાખલ કરવા માટેના નિયમો:

બે વાર સતત વિભેદક કાર્ય f(x) એ બહિર્મુખ (અંતર્મુખ) છે જો અને માત્ર જો હેસિયન મેટ્રિક્સ x ના સંદર્ભમાં ફંક્શન f(x) એ બધા x માટે સકારાત્મક (નકારાત્મક) અર્ધનિર્ધારિત છે (કેટલાક ચલોના ફંક્શનના સ્થાનિક એક્સ્ટ્રીમાના બિંદુઓ જુઓ).

કાર્ય નિર્ણાયક મુદ્દાઓ:

• જો હેસિયન ચોક્કસ હકારાત્મક છે, તો x 0 એ ફંક્શન f(x) નો સ્થાનિક લઘુત્તમ બિંદુ છે,
• જો હેસિયન નકારાત્મક ચોક્કસ છે, તો x 0 એ ફંક્શન f(x) નો સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે,
• જો હેસિયન સાઇન-ડેફિનેટ ન હોય (ધન અને નકારાત્મક બંને મૂલ્યો લે છે) અને બિન-ડીજનરેટ (det G(f) ≠ 0 હોય, તો x 0 એ f(x) ફંક્શનનો સેડલ બિંદુ છે.

મેટ્રિક્સની નિશ્ચિતતા માટે માપદંડ (સિલ્વેસ્ટરનું પ્રમેય)

• મેટ્રિક્સના તમામ કર્ણ તત્વો હકારાત્મક હોવા જોઈએ;
• તમામ અગ્રણી મુખ્ય ક્વોલિફાયર હકારાત્મક હોવા જોઈએ.

સકારાત્મક અર્ધ-નિશ્ચિતતા:

• બધા કર્ણ તત્વો બિન-નકારાત્મક છે;
• બધા મુખ્ય નિર્ણાયકો બિન-નકારાત્મક છે.

ક્રમ n નો ચોરસ સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ, જેનાં ઘટકો બીજા-ક્રમના ઉદ્દેશ્ય કાર્યના આંશિક વ્યુત્પન્ન છે, હેસિયન મેટ્રિક્સ કહેવાય છેઅને નિયુક્ત થયેલ છે:

સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ સકારાત્મક નિશ્ચિત હોવા માટે, તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે કે તેના તમામ કર્ણ સગીર હકારાત્મક છે, એટલે કે.


મેટ્રિક્સ માટે A = (a ij) હકારાત્મક છે.

નકારાત્મક નિશ્ચિતતા.
સપ્રમાણ મેટ્રિક્સ ઋણાત્મક નિશ્ચિત હોવા માટે, નીચેની અસમાનતાઓ થાય તે જરૂરી અને પૂરતું છે:
(-1) k D k > 0, k=1,.., એન.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ બનવા માટે નકારાત્મક નિશ્ચિત, તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે કે ચતુર્ભુજના મેટ્રિક્સના કોણીય સગીરોના ચિહ્નો ઓછા ચિહ્નથી શરૂ થતા વૈકલ્પિક સ્વરૂપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે ચલો માટે, D 1< 0, D 2 > 0.

જો હેસિયન અર્ધનિશ્ચિત છે, તો આ એક વિક્ષેપ બિંદુ પણ હોઈ શકે છે. વધારાના સંશોધનની જરૂર છે, જે નીચેના વિકલ્પોમાંથી એકનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવી શકે છે:

1. ક્રમમાં ઘટાડો. ચલોમાં ફેરફાર કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે ચલોના ફંક્શન માટે તે y=x છે, પરિણામે આપણને એક ચલ xનું ફંક્શન મળે છે. આગળ, અમે y=x અને y=-x લીટીઓ પર ફંક્શનના વર્તનનું પરીક્ષણ કરીએ છીએ. જો પ્રથમ કિસ્સામાં અભ્યાસ હેઠળના બિંદુ પરનું કાર્ય ન્યૂનતમ હશે, અને બીજા કિસ્સામાં મહત્તમ (અથવા તેનાથી ઊલટું), તો અભ્યાસ હેઠળનો મુદ્દો એ સેડલ પોઇન્ટ છે.
2. હેસિયનના ઇજેન મૂલ્યો શોધવી. જો બધા મૂલ્યો સકારાત્મક હોય, તો અભ્યાસ હેઠળના બિંદુ પરનું કાર્ય ન્યૂનતમ હોય છે, જો બધા મૂલ્યો નકારાત્મક હોય, તો મહત્તમ છે.
3. બિંદુ ε ની પડોશમાં ફંક્શન f(x) નો અભ્યાસ. ચલ x ને x 0 +ε દ્વારા બદલવામાં આવે છે. આગળ, તે સાબિત કરવું જરૂરી છે કે એક ચલ ε નું ફંક્શન f(x 0 +ε) કાં તો શૂન્ય કરતા વધારે છે (પછી x 0 લઘુત્તમ બિંદુ છે) અથવા શૂન્ય કરતા ઓછું છે (પછી x 0 મહત્તમ બિંદુ છે).

નૉૅધ. શોધવા માટે વ્યસ્ત હેસિયનવ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે તે પૂરતું છે.

ઉદાહરણ નંબર 1. નીચેનામાંથી કયું કાર્ય બહિર્મુખ અથવા અંતર્મુખ છે: f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2 .
ઉકેલ. 1. ચાલો આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ.


2. ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ.
-4x 1 +4x 2 +2 = 0
4x 1 -6x 2 +6 = 0
અમને મળે છે:
a) પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણે x 1 વ્યક્ત કરીએ છીએ અને તેને બીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ:
x 2 = x 2 + 1/2
-2x 2 +8 = 0
જ્યાં x 2 = 4
અમે x 1 માટે અભિવ્યક્તિમાં આ મૂલ્યો x 2 ને બદલીએ છીએ. આપણને મળે છે: x 1 = 9/2
નિર્ણાયક બિંદુઓની સંખ્યા 1 છે.
M 1 (9 / 2 ;4)
3. ચાલો બીજા ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ.



4. ચાલો આ સેકન્ડ-ઓર્ડર આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝની કિંમતની ગણતરી જટિલ બિંદુઓ M(x 0 ;y 0) પર કરીએ.
અમે બિંદુ M 1 (9 / 2 ;4) માટે મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ



અમે હેસિયન મેટ્રિક્સ બનાવીએ છીએ:

D 1 = a 11< 0, D 2 = 8 > 0
વિકર્ણ સગીરોમાં વિવિધ ચિહ્નો હોવાથી, કાર્યની બહિર્મુખતા અથવા અંતર્મુખતા વિશે કશું કહી શકાય નહીં.

બીજા ડેરિવેટિવ્ઝના નાના મૂલ્યો સાથેના પરિમાણો શૂન્ય પર ફરીથી સેટ કરવામાં આવે છે. સંવેદનશીલતા વિશ્લેષણ કોમ્પ્યુટેશનલી જટિલ છે અને તેને ઘણી વધારાની મેમરીની જરૂર પડે છે.  

સંબંધો (1.4) અને (1.6) અમારા કાર્ય માટે હેસિયન મેટ્રિક્સના મુખ્ય સગીરોના ચિહ્નો નિર્ધારિત કરે છે અને આ રીતે અનુરૂપ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (1.3) ની બિન-હકારાત્મક નિશ્ચિતતા માટે પૂરતી સ્થિતિ છે. તેથી, બે સંસાધનો સાથે રેખીય સજાતીય કાર્યોની અવતરણ માટે, સ્થિતિ (1.4) પૂરતી છે.  

મેટ્રિક્સ I, ​​જેમ કે પહેલેથી જ ઉલ્લેખ કર્યો છે, તેને હેસિયન મેટ્રિક્સ (અથવા હેસિયન) કહેવામાં આવે છે.  

વધુ સુસંગત અભિગમમાં, શેષ કાર્યના બીજા-ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ વિશેની માહિતીનો ઉપયોગ શીખવાની પ્રક્રિયાને સુધારવા માટે થઈ શકે છે. અનુરૂપ ઑપ્ટિમાઇઝેશન પદ્ધતિઓને ચતુર્ભુજ કહેવામાં આવે છે. આ બધી માહિતી હેસિયન મેટ્રિક્સ H માં એકત્રિત કરવામાં આવી છે, જેમાં Nw x Nw પરિમાણો છે, જ્યાં Nw એ વજનની સંખ્યા છે. આ મેટ્રિક્સમાં વજન અવકાશમાં જુદી જુદી દિશામાં નાના વિસ્થાપન સાથે ગ્રેડિયન્ટ કેવી રીતે બદલાય છે તે વિશેની માહિતી ધરાવે છે. ડાયરેક્ટ મેટ્રિક્સ ગણતરીમાં ઘણો સમય જરૂરી છે, તેથી મેટ્રિક્સ ગણતરી અને સંગ્રહને ટાળવા માટે પદ્ધતિઓ વિકસાવવામાં આવી છે (સંયોજિત ગ્રેડિયન્ટ ડિસેન્ટ, સ્કેલ કરેલ કન્જુગેટ ગ્રેડિયન્ટ મેથડ (જુઓ), આરબીએ કેપ્રોપ (જુઓ), અર્ધ-ન્યુટોનિયન પદ્ધતિ, લેવેનબર્ગ-માર્કવાર્ડ પદ્ધતિ ).  

પ્રથમ સમીકરણ (4.17) બતાવે છે કે જ્યારે પેઢીના ઉત્પાદનોની કિંમત વધે ત્યારે આઉટપુટ કેવી રીતે બદલાશે. હેસ મેટ્રિક્સ H એ ઋણ નિશ્ચિત હોવાથી, મેટ્રિક્સ H"1 પણ નકારાત્મક નિશ્ચિત છે, તેથી  

નોંધ કરો કે બીજા ડેરિવેટિવ્ઝ (હેસિયન મેટ્રિક્સ) ના મેટ્રિક્સની સમપ્રમાણતાને કારણે ફંક્શન Q ના અસ્તિત્વની હકીકતથી, ઘણા ચલોના બે વાર ડિફરન્સિબલ ફંક્શન માટે, સમાનતાઓ અનુસરે છે જે અનુમાનની સંવેદનશીલતાને સંસાધન અનામતમાં ફેરફાર સાથે સંબંધિત છે.  

વધુમાં, C ના સંદર્ભમાં આ ફંક્શનના બીજા ડેરિવેટિવ્સનું હેસિયન મેટ્રિક્સ C = 0 પર ઋણ નિશ્ચિત હોવું આવશ્યક છે.  

ચાલો ફંક્શન /(C) ના હેસિયન મેટ્રિક્સમાં તેના મોનોટોનિક ટ્રાન્સફોર્મેશન દરમિયાન ફેરફારને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો પહેલા બિંદુ પરના ઢાળના ઘટકો લખીએ  

ફંક્શન FQ() બહિર્મુખ હોવા માટે, તે પૂરતું છે કે મેટ્રિક્સ T = Tij નકારાત્મક નિશ્ચિત હોય. (9.108) માં પ્રથમ શબ્દો બિન-નકારાત્મક પરિબળ દ્વારા મૂળ સમસ્યાના હેસિયન મેટ્રિક્સના 7 j તત્વોથી અલગ છે, કારણ કે ફંક્શન FQ એકવિધ રીતે વધી રહ્યું છે. જો આ અભિવ્યક્તિઓમાં બીજા પદો શૂન્યના બરાબર હોય, તો મૂળ સમસ્યાનું અંતર્મુખ પહોંચ કાર્ય અવતરણ અને FQ() ને અનુરૂપ હશે.  

આમ, રૂપાંતરિત સમસ્યાની પહોંચ કાર્ય માટે હેસિયન મેટ્રિક્સ એ સરવાળો છે  

તેમાંથી પ્રથમ વેક્ટર A ના ઘટકો માટે n સમીકરણો રજૂ કરે છે, અને બીજું ચતુર્ભુજ સ્વરૂપની નકારાત્મક નિશ્ચિતતાની સ્થિતિ છે, જે ફંક્શન R ના હેસિયન મેટ્રિક્સના સંબંધમાં સિલ્વેસ્ટર માપદંડનો ઉપયોગ કરીને તપાસવામાં આવે છે.  

અહીં અને નીચે, R f0 અને R i અનુરૂપ ચલોના સંદર્ભમાં R ના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ દર્શાવે છે. નકારાત્મક નિશ્ચિતતાની શરતો તત્વો સાથે ફંક્શન R ના હેસિયન મેટ્રિક્સ દ્વારા સંતુષ્ટ થવી જોઈએ (જુઓ (9.125))  

બીજો ભાગ પુસ્તકનો સૈદ્ધાંતિક મૂળ બનાવે છે. તે સંપૂર્ણપણે ભિન્નતાના સિદ્ધાંતની સખત રજૂઆત અને વિશ્લેષણના પાયાને સમર્પિત છે, જે વિભેદકોની ભાષામાં ઘડવામાં આવે છે. પ્રથમ અને બીજા તફાવતની વિભાવનાઓ રજૂ કરવામાં આવી છે, અને જેકોબી અને હેસિયન મેટ્રિસિસ માટે એક ઓળખ નિયમ આપવામાં આવ્યો છે. પ્રકરણનો અંત અવરોધોની હાજરીમાં ઑપ્ટિમાઇઝેશનના સિદ્ધાંતને સમર્પિત ફકરા સાથે થાય છે, જે તફાવતોની દ્રષ્ટિએ પ્રસ્તુત છે.  

ચોથો ભાગ, અસમાનતાઓ પર, અમારી માન્યતામાંથી ઉદ્ભવ્યો છે કે અર્થમિતિશાસ્ત્રીઓએ કોચી-બુન્યાકોવસ્કી (શ્વાર્ટ્ઝ) અસમાનતા, મિન્કોવસ્કી અસમાનતા અને તેમના સામાન્યીકરણો, તેમજ પોઈનકેરેના અલગતા પ્રમેય જેવા શક્તિશાળી પરિણામો જેવી અસમાનતાઓ સાથે આરામદાયક હોવા જોઈએ. અમુક અંશે, પ્રકરણ પણ આપણી નિરાશાની વાર્તા છે. જ્યારે અમે આ પુસ્તક લખવાનું શરૂ કર્યું, ત્યારે અમારી પાસે એક મહત્વાકાંક્ષી વિચાર હતો - મેટ્રિક્સ ડિફરન્સિયલ કેલ્ક્યુલસનો ઉપયોગ કરીને તમામ અસમાનતાઓ મેળવવાનો. છેવટે, દરેક અસમાનતાને કેટલીક ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાના ઉકેલ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. જો કે, આ વિચાર એક ભ્રમણા તરીકે બહાર આવ્યો, કારણ કે મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં હેસિયન મેટ્રિક્સ એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ પર એકવચન હોવાનું બહાર આવ્યું છે.  

નોટેશન. આ પુસ્તકમાં આપણે મોટાભાગે પ્રમાણભૂત સંકેતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, સિવાય કે વેક્ટર સાદા (બોલ્ડ નહીં) ત્રાંસા માં સૂચવવામાં આવે છે. વ્યુત્પન્ન (મેટ્રિક્સ) D અને હેસિયન મેટ્રિક્સ H દર્શાવવા માટે વિશેષ પ્રતીકોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. ડિફરન્સિએશન ઑપરેટરને d તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. ટેક્સ્ટમાં ઉપયોગમાં લેવાતા તમામ પ્રતીકોની સંપૂર્ણ સૂચિ પુસ્તકના અંતે નોટેશન ઇન્ડેક્સમાં સમાયેલ છે.  

આ પ્રકરણ સેકન્ડ ડેરિવેટિવ્ઝ, બે વખત ડિફરન્સિબિલિટી અને સેકન્ડ ડિફરન્સિયલની વિભાવનાઓને આવરી લે છે. બે વખતની ભિન્નતા અને બીજા ક્રમના અંદાજ વચ્ચેના જોડાણ પર ખાસ ધ્યાન આપવામાં આવે છે. અમે હેસિયન મેટ્રિક્સ (વેક્ટર ફંક્શન્સ માટે) ને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ અને તેની (સ્તંભ) સમપ્રમાણતા માટે શરતો શોધીએ છીએ. અમે હેસિયન મેટ્રિસીસ માટે સાંકળ નિયમ અને બીજા તફાવતો માટે તેના એનાલોગ પણ મેળવીએ છીએ. ટેલરની પ્રમેય વાસ્તવિક કાર્યો માટે સાબિત થાય છે. છેલ્લે, ઉચ્ચ ક્રમના તફાવતોની ખૂબ જ ટૂંકમાં ચર્ચા કરવામાં આવી છે અને તે બતાવવામાં આવ્યું છે કે વેક્ટર ફંક્શનનું વિશ્લેષણ મેટ્રિક્સ ફંક્શન્સ સુધી કેવી રીતે વિસ્તૃત કરી શકાય છે.  

અગાઉ, અમે મેટ્રિક્સને વ્યાખ્યાયિત કર્યું હતું જેમાં તમામ પ્રથમ-ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ હોય છે. આ જેકોબિયન મેટ્રિક્સ હતું. હવે ચાલો મેટ્રિક્સને વ્યાખ્યાયિત કરીએ (જેને હેસિયન મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે) જેમાં તમામ સેકન્ડ-ઓર્ડર આંશિક ડેરિવેટિવ્સ હોય છે. ચાલો આ મેટ્રિક્સને પહેલા વાસ્તવિક માટે અને પછી વેક્ટર ફંક્શન માટે વ્યાખ્યાયિત કરીએ.  

ચાલો / S -> Rm, S સાથે Rn છે

મેટ્રિક્સ જી(એક્સ) પરિમાણ( n x n) ને હકારાત્મક નિશ્ચિત માનવામાં આવે છે જો તેના તમામ ઇજનવેલ્યુ m 1 , m 2 ,…, m હોય nહકારાત્મક છે, એટલે કે m j> દરેક માટે 0 j = 1, 2,…, n.

મેટ્રિક્સ જી(એક્સજો eigenvalues ​​નેગેટિવ હોય તો ) ને નકારાત્મક ચોક્કસ ગણવામાં આવે છે, એટલે કે. m j< 0 для всех j = 1, 2,…, n.

જો eigenvalues ​​વચ્ચે હોય જીજો હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને થાય છે, તો મેટ્રિક્સ સાઇન-વૈકલ્પિક છે, અને અભ્યાસ હેઠળનું કાર્ય બિન-બહિર્મુખ છે.

ઇજેનવેલ્યુ નક્કી કરવા માટે, લાક્ષણિક સમીકરણ હલ કરવું જરૂરી છે:

જ્યાં આઈ- ચોરસ ઓળખ મેટ્રિક્સ; det એ નિર્ધારકની નિશાની છે.

મેટ્રિક્સ હેસિયન મેટ્રિક્સથી અલગ છે કારણ કે ફોર્મની શરતો કર્ણની સાથે સ્થિત છે.

તેથી દ્વિ-પરિમાણીય કાર્ય માટે f(x 1 , x 2) લાક્ષણિક સમીકરણનું સ્વરૂપ હશે:

(4.10)

ઇજનવેલ્યુ m 1 અને m 2 એ સામાન્ય ચતુર્ભુજ સમીકરણ m ના મૂળ છે. 2+b m + સી= 0, નિર્ણાયકના વિસ્તરણ પછી રચાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો બે ચલોના કાર્યો લઈએ:

f(x)= 2 – 2x 1 –2x 2 +x 1 2 +x 2 2 – x 1 x 2

એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ કોઓર્ડિનેટ્સ x* સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીને નક્કી થાય છે

અને સમાન x 1 * = 2, x 2 * = 2

હેસિયન . લાક્ષણિક સમીકરણ ઉકેલ્યા પછી , એટલે કે ચતુર્ભુજ સમીકરણ (2 – m) 2 – 1 = 0, eigenvalues ​​m 1 = 3, m 2 = 1 પ્રાપ્ત થાય છે, એટલે કે. મેટ્રિક્સ જીહકારાત્મક નિશ્ચિત છે. તેથી, કાર્ય f(x) બહિર્મુખ અને અત્યંત બિંદુ પર છે એક્સ* = (2,2) લઘુત્તમ મૂલ્ય લે છે f(x*) = –2.

સેકન્ડ-ઓર્ડર એક્સ્ટ્રીમમ માટે પૂરતી અને જરૂરી શરતો તપાસવાની બંને પદ્ધતિઓ કોષ્ટક 4.2 માં આપવામાં આવી છે.

ઉદાહરણ 4.4.સેટ પર ફંક્શનની સીમા શોધો ઇ 2 .

ઉકેલ. 1. ચાલો ફર્સ્ટ-ઓર્ડર એક્સ્ટ્રીમમ માટે જરૂરી શરતો લખીએ:

;

x* = (0,0).

2. ચાલો તપાસ કરીએ કે એક્સ્ટ્રીમમ માટે પૂરતી શરતો પૂરી થાય છે કે કેમ.

પ્રથમ માર્ગ:હેસિયન મેટ્રિક્સનું સ્વરૂપ છે M 1 = 2 > 0 થી, , પછી બિંદુ પર x*સ્થાનિક લઘુત્તમ (કોષ્ટક 4.2 માં લીટી 1).

બીજી રીત:ચાલો (4.10) નો ઉપયોગ કરીને હેસિયન મેટ્રિક્સના eigenvalues ​​શોધીએ:

આથી . તમામ ઇજનવેલ્યુ સકારાત્મક હોવાથી, પછી બિંદુ પર x* સ્થાનિક ન્યૂનતમ (કોષ્ટક 4.2 માં લીટી 1). ઉદાહરણ 3.3 થી તે અનુસરે છે કે ફંક્શન સેટ પર સખત રીતે બહિર્મુખ છે ઇ 2. તેથી, સ્થાનિક લઘુત્તમ બિંદુ એ વૈશ્વિક લઘુત્તમ બિંદુ પણ છે (ફકરો 3, વિધાન 3.1 અનુસાર).

3. ચાલો વૈશ્વિક લઘુત્તમ બિંદુ પર ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરીએ: f(x*) = 0.

ઉદાહરણ 4.5. E 2 સેટ પર ફંક્શનની સીમા શોધો.

ઉકેલ. 1. ચાલો પહેલા ઓર્ડરની જરૂરી શરતો લખીએ:

; .

સિસ્ટમને હલ કરવાના પરિણામે, અમે સ્થિર બિંદુ મેળવીએ છીએ x* = (0,0).

2. ચાલો બીજા ક્રમની અંતિમ અને જરૂરી શરતો માટે પૂરતી શરતોની પરિપૂર્ણતા તપાસીએ.

પ્રથમ માર્ગ:હેસિયન મેટ્રિક્સનું સ્વરૂપ છે . M 1 = 2 > 0 થી, , તો પછી એક્સ્ટ્રીમમ માટે પૂરતી શરતો પૂરી થતી નથી (કોષ્ટક 4.2 માં લીટીઓ 1 અને 2). ચાલો જરૂરી બીજા ક્રમની શરતોની પરિપૂર્ણતા તપાસીએ.

પ્રથમ ઓર્ડરના મુખ્ય સગીર ( m= 1) કાઢી નાખવાના પરિણામે M 2 માંથી મેળવવામાં આવે છે n–m=2 – 1 = 1 પંક્તિઓ અને કૉલમ, સમાન સંખ્યાઓ સાથે: – 2, 2. બીજો ક્રમ મુખ્ય ગૌણ ( m = 2) કાઢી નાખવાના પરિણામે M 2 માંથી મેળવેલ n – m = 0 પંક્તિઓ અને કૉલમ, એટલે કે. M 2:-4 સાથે સુસંગત છે. તે અનુસરે છે કે સેકન્ડ-ઓર્ડર એક્સ્ટ્રીમમ માટે જરૂરી શરતો સંતુષ્ટ નથી (કોષ્ટક 4.2 માં લીટીઓ 3 અને 4). હેસિયન મેટ્રિક્સ શૂન્ય ન હોવાથી, આપણે તે બિંદુએ તારણ કાઢી શકીએ છીએ એક્સ* કોઈ સીમા નથી (કોષ્ટક 2.1 માં લીટી 6).

કોષ્ટક 4.2

બિનશરતી ચરમસીમાની શોધની સમસ્યામાં બીજા ક્રમની પર્યાપ્ત અને જરૂરી શરતોને ચકાસવા માટેનો માપદંડ

બીજા ક્રમમાં કાર્યના વર્તનનું વર્ણન.

કાર્ય માટે texvc , બિંદુ પર બે વાર ભિન્નતા અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; સેટઅપ મદદ માટે ગણિત/README જુઓ.): x\in \R^n

જ્યાં અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ કરો.): a_(ij)=\partial^2 f/\partial x_i \partial x_j(અથવા અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ કરો.): a_(ij)=\partial^2 f/\partial z_i \partial \overline(z)_j) અને કાર્ય અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; સેટઅપ મદદ માટે ગણિત/README જુઓ.): fપર સેટ કરો અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; સેટઅપ મદદ માટે ગણિત/README જુઓ.): n- પરિમાણીય વાસ્તવિક જગ્યા અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; સેટઅપ મદદ માટે ગણિત/README જુઓ.): \mathbb(R)^n(અથવા જટિલ જગ્યા અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; સેટઅપ મદદ માટે ગણિત/README જુઓ.): \mathbb(C)^n) કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ.): x_1,\ldots,x_n(અથવા અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ કરો.): z_1,\ldots,z_n). બંને કિસ્સાઓમાં, હેસિયન એ સ્પર્શક જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત એક ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ છે, જે ચલોના રેખીય પરિવર્તન હેઠળ બદલાતું નથી. હેસિયનઘણીવાર મેટ્રિક્સના નિર્ણાયક તરીકે પણ ઓળખાય છે અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ.): (a_(ij)),નીચે જુઓ.

હેસિયન મેટ્રિક્સ

આ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ ફંક્શનના બીજા આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ દ્વારા રચાય છે. જો બધા ડેરિવેટિવ્ઝ અસ્તિત્વમાં છે, તો પછી

ન્યૂટનની પદ્ધતિ દ્વારા ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓમાં હેસિયન મેટ્રિસિસનો ઉપયોગ થાય છે. હેસિયન મેટ્રિક્સની સંપૂર્ણ ગણતરી મુશ્કેલ હોઈ શકે છે, તેથી હેસિયન મેટ્રિક્સ માટે અંદાજિત અભિવ્યક્તિઓના આધારે અર્ધ-ન્યૂટન અલ્ગોરિધમ્સ વિકસાવવામાં આવ્યા છે. તેમાંથી સૌથી પ્રસિદ્ધ છે બ્રોયડેન-ફ્લેચર-ગોલ્ડફાર્બ-શાન્નો અલ્ગોરિધમ.

હેસિયન મેટ્રિક્સની સમપ્રમાણતા

મિશ્ર ડેરિવેટિવ્ઝકાર્યો f- આ હેસિયન મેટ્રિક્સના ઘટકો છે જે મુખ્ય કર્ણ પર નથી. જો તેઓ સતત હોય, તો પછી તફાવતનો ક્રમ મહત્વપૂર્ણ નથી:

આ તરીકે પણ લખી શકાય છે

આ કિસ્સામાં, હેસિયન મેટ્રિક્સ સપ્રમાણ છે.

કાર્યના નિર્ણાયક બિંદુઓ

વાર્તા

આ પણ જુઓ

• સિલ્વેસ્ટર માપદંડ - ચોરસ મેટ્રિક્સની હકારાત્મક/નકારાત્મક નિશ્ચિતતા માટે માપદંડ

લેખ "હેસિયન કાર્યો" વિશે સમીક્ષા લખો

નોંધો

લિંક્સ

• કામિનિન એલ.આઈ.ગાણિતિક વિશ્લેષણ. ટી. 1, 2. - 2001.
• કુદ્ર્યાવત્સેવ એલ.ડી. “ગાણિતિક વિશ્લેષણનો ટૂંકો અભ્યાસક્રમ. T.2. વિવિધ ચલોના કાર્યોનું વિભેદક અને અભિન્ન કલન. હાર્મોનિક વિશ્લેષણ", FIZMATLIT, 2002, - 424 p. - ISBN 5-9221-0185-4. અથવા અન્ય કોઈપણ પ્રકાશન.
• ગોલુબિટ્સ્કી એમ., ગ્યુલેમિન વી.સ્થિર મેપિંગ્સ અને તેમની વિશેષતાઓ, - એમ.: મીર, 1977.

હેસિયન કાર્યોને દર્શાવતો એક અવતરણ