સમન્વય સ્વરૂપમાં વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો. વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો

વિમાનોની કોઈપણ સંબંધિત સ્થિતિ માટે બે અલગ-અલગ વિમાનો વચ્ચેના ખૂણાની તીવ્રતા નક્કી કરી શકાય છે.

જો વિમાનો સમાંતર હોય તો નજીવો કેસ. પછી તેમની વચ્ચેનો કોણ શૂન્ય સમાન ગણવામાં આવે છે.

જો વિમાનો એકબીજાને છેદે તો બિન-તુચ્છ કેસ. આ કેસ વધુ ચર્ચાનો વિષય છે. પ્રથમ આપણે ડાયહેડ્રલ એંગલની વિભાવનાની જરૂર છે.

9.1 ડિહેડ્રલ કોણ

ડાયહેડ્રલ એંગલ એ બે અર્ધ-પ્લેન છે જેમાં સામાન્ય સીધી રેખા હોય છે (જેને ડાયહેડ્રલ એંગલની ધાર કહેવામાં આવે છે). ફિગ માં. 50 અર્ધ-વિમાન દ્વારા રચાયેલ ડાયહેડ્રલ કોણ બતાવે છે અને; આ ડિહેડ્રલ એંગલની ધાર એ સીધી રેખા a છે, જે આ અર્ધ-વિમાનોમાં સામાન્ય છે.

ચોખા. 50. ડિહેડ્રલ કોણ

ડાઇહેડ્રલ એંગલને ડિગ્રી અથવા રેડિયનમાં માપી શકાય છે, ડાયહેડ્રલ એંગલનું કોણીય મૂલ્ય દાખલ કરો. આ નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે.

અર્ધ-વિમાન દ્વારા રચાયેલા ડાયહેડ્રલ એંગલની ધાર પર અને, આપણે મનસ્વી બિંદુ M લઈએ છીએ. ચાલો અનુક્રમે આ અર્ધ-વિમાનોમાં પડેલા અને ધાર પર લંબરૂપ MA અને MB કિરણો દોરીએ (ફિગ. 51).

ચોખા. 51. રેખીય ડાયહેડ્રલ કોણ

પરિણામી કોણ AMB એ ડાયહેડ્રલ કોણનો રેખીય કોણ છે. કોણ " = \AMB એ આપણા ડાયહેડ્રલ કોણનું ચોક્કસ કોણીય મૂલ્ય છે.

વ્યાખ્યા. ડાયહેડ્રલ કોણની કોણીય તીવ્રતા એ આપેલ ડાયહેડ્રલ કોણના રેખીય કોણની તીવ્રતા છે.

ડિહેડ્રલ એંગલના બધા રેખીય ખૂણા એકબીજા સાથે સમાન હોય છે (છેવટે, તેઓ સમાંતર પાળી દ્વારા એકબીજાથી મેળવવામાં આવે છે). તેથી, આ વ્યાખ્યા સાચી છે: મૂલ્ય " ડાયહેડ્રલ કોણની ધાર પર બિંદુ M ની ચોક્કસ પસંદગી પર આધારિત નથી.

9.2 વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો નક્કી કરવો

જ્યારે બે પ્લેન એકબીજાને છેદે છે, ત્યારે ચાર ડાયહેડ્રલ એંગલ પ્રાપ્ત થાય છે. જો તે બધાનું કદ સમાન હોય (દરેક 90), તો પછી વિમાનોને લંબરૂપ કહેવામાં આવે છે; પછી વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો 90 છે.

જો બધા ડિહેડ્રલ એંગલ સમાન ન હોય (એટલે કે, ત્યાં બે તીવ્ર અને બે સ્થૂળ હોય છે), તો પછી વિમાનો વચ્ચેનો કોણ એ તીવ્ર ડાયહેડ્રલ કોણ (ફિગ. 52) નું મૂલ્ય છે.

ચોખા. 52. વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો

9.3 સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો

ચાલો ત્રણ સમસ્યાઓ જોઈએ. પ્રથમ સરળ છે, બીજું અને ત્રીજું ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં લગભગ સ્તર C2 પર છે.

સમસ્યા 1. નિયમિત ટેટ્રેહેડ્રોનના બે મુખ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ઉકેલ. ચાલો ABCD ને નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન ગણીએ. ચાલો અનુરૂપ ચહેરાઓના મધ્યક AM અને DM, તેમજ ટેટ્રેહેડ્રોન DH (ફિગ. 53) ની ઊંચાઈ દોરીએ.

ચોખા. 53. કાર્ય 1 માટે

મધ્યક હોવાને કારણે, AM અને DM એ સમભુજ ત્રિકોણ ABC અને DBC ની પણ ઊંચાઈ છે. તેથી, કોણ " = \AMD એ ABC અને DBC ચહેરાઓ દ્વારા રચાયેલ ડાયહેડ્રલ કોણનો રેખીય કોણ છે. આપણે તેને DHM ત્રિકોણમાંથી શોધીએ છીએ:

			1 AM

જવાબ: આર્કોસ 1 3 .

સમસ્યા 2. નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડ SABCD (શિરોબિંદુ S સાથે) માં, બાજુની ધાર પાયાની બાજુની બરાબર છે. બિંદુ K એ ધાર SA ની મધ્યમાં છે. વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો શોધો

ઉકેલ. રેખા BC એ AD ની સમાંતર છે અને આમ પ્લેન ADS ની સમાંતર છે. તેથી, પ્લેન KBC પ્લેન ADS ને BC ની સમાંતર સીધી રેખા KL સાથે છેદે છે (ફિગ. 54).

ચોખા. 54. કાર્ય 2 માટે

આ કિસ્સામાં, KL પણ રેખા AD ની સમાંતર હશે; તેથી, KL એ ત્રિકોણ ADS ની મધ્યરેખા છે, અને બિંદુ L એ DS નો મધ્યબિંદુ છે.

ચાલો પિરામિડ SO ની ઊંચાઈ શોધીએ. N ને DO ની મધ્યમાં રહેવા દો. પછી LN એ ત્રિકોણ DOS ની મધ્ય રેખા છે અને તેથી LN k SO. આનો અર્થ એ છે કે LN પ્લેન ABC માટે લંબ છે.

બિંદુ N થી આપણે કાટખૂણે NM ને સીધી રેખા BC સુધી નીચે કરીએ છીએ. સીધી રેખા NM એ એબીસી પ્લેન પરના વલણવાળા LMનું પ્રક્ષેપણ હશે. ત્રણ લંબ પ્રમેયમાંથી તે પછી અનુસરે છે કે LM પણ BC માટે લંબ છે.

આમ, કોણ " = \LMN એ અર્ધ-વિમાન KBC અને ABC દ્વારા રચાયેલ ડાયહેડ્રલ કોણનો રેખીય ખૂણો છે. આપણે આ કોણ જમણા ત્રિકોણ LMNમાંથી શોધીશું.

પિરામિડની ધાર a ની બરાબર થવા દો. પ્રથમ આપણે પિરામિડની ઊંચાઈ શોધીએ છીએ:

SO=p

ઉકેલ. L એ રેખાઓ A1 K અને AB નું આંતરછેદ બિંદુ છે. પછી પ્લેન A1 KC પ્લેન ABC ને સીધી રેખા CL (Fig.55) સાથે છેદે છે.

એ સી

ચોખા. 55. સમસ્યા માટે 3

ત્રિકોણ A1 B1 K અને KBL પગ અને તીવ્ર કોણમાં સમાન છે. તેથી, અન્ય પગ સમાન છે: A1 B1 = BL.

ત્રિકોણ ACL ને ધ્યાનમાં લો. તેમાં BA = BC = BL. કોણ CBL 120 છે; તેથી, \BCL = 30 . ઉપરાંત, \BCA = 60 . તેથી \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

તો, એલસી? એસી. પરંતુ લાઇન AC એ ABC પ્લેન પર A1 C રેખાના પ્રક્ષેપણ તરીકે કામ કરે છે. ત્રણ લંબના પ્રમેય દ્વારા આપણે પછી તારણ કાઢીએ છીએ કે LC? A1 C.

આમ, ખૂણો A1 CA એ અર્ધ-વિમાન A1 KC અને ABC દ્વારા રચાયેલ ડાયહેડ્રલ કોણનો રેખીય કોણ છે. આ ઇચ્છિત કોણ છે. સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ A1 AC પરથી આપણે જોઈએ છીએ કે તે 45 ની બરાબર છે.

આ લેખ વિમાનો વચ્ચેનો કોણ અને તેને કેવી રીતે શોધવો તે વિશે છે. પ્રથમ, બે વિમાનો વચ્ચેના ખૂણાની વ્યાખ્યા આપવામાં આવે છે અને ગ્રાફિકલ ચિત્ર આપવામાં આવે છે. આ પછી, કોઓર્ડિનેટ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બે આંતરછેદવાળા વિમાનો વચ્ચેના ખૂણાને શોધવાના સિદ્ધાંતનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું હતું, અને એક સૂત્ર પ્રાપ્ત થયું હતું જે તમને આ વિમાનોના સામાન્ય વેક્ટરના જાણીતા કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને છેદતા વિમાનો વચ્ચેના ખૂણાની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. નિષ્કર્ષમાં, લાક્ષણિક સમસ્યાઓના વિગતવાર ઉકેલો બતાવવામાં આવે છે.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

વિમાનો વચ્ચેનો કોણ - વ્યાખ્યા.

ચાલો એવી દલીલો રજૂ કરીએ જે આપણને ધીમે ધીમે બે છેદતા વિમાનો વચ્ચેના ખૂણાના નિર્ધારણ સુધી પહોંચવા દેશે.

ચાલો આપણે બે છેદતા વિમાનો અને . આ વિમાનો એક સીધી રેખા સાથે છેદે છે, જેને આપણે c અક્ષર દ્વારા દર્શાવીએ છીએ. ચાલો રેખા c ના બિંદુ M માંથી પસાર થતા અને રેખા c ને કાટખૂણે એક વિમાન બનાવીએ. આ કિસ્સામાં, પ્લેન વિમાનોને છેદશે અને. ચાલો સીધી રેખા કે જેની સાથે વિમાનો a તરીકે છેદે છે અને સીધી રેખા કે જેની સાથે વિમાનો છેદે છે તેને b તરીકે સૂચિત કરીએ. દેખીતી રીતે, રેખાઓ a અને b બિંદુ M પર છેદે છે.

તે બતાવવાનું સરળ છે કે છેદતી રેખાઓ a અને b વચ્ચેનો કોણ પ્લેન પસાર થાય છે તે રેખા c પરના બિંદુ M ના સ્થાન પર આધારિત નથી.

ચાલો સી રેખા પર કાટખૂણે સમતલ બનાવીએ અને સમતલથી અલગ. પ્લેન પ્લેન દ્વારા અને સીધી રેખાઓ સાથે છેદે છે, જેને આપણે અનુક્રમે 1 અને b 1 તરીકે દર્શાવીએ છીએ.

વિમાનો બાંધવાની પદ્ધતિ પરથી તે અનુસરે છે કે રેખાઓ a અને b રેખા c માટે લંબ છે, અને રેખાઓ a 1 અને b 1 રેખા c પર લંબ છે. લીટીઓ a અને a 1 એ જ સમતલમાં આવેલી હોવાથી અને રેખા c પર લંબ હોય છે, તો તે સમાંતર છે. એ જ રીતે, રેખાઓ b અને b 1 એ જ સમતલમાં આવેલી છે અને રેખા c પર લંબ છે, તેથી, તેઓ સમાંતર છે. આમ, પ્લેનમાં પ્લેનનું સમાંતર ટ્રાન્સફર કરવું શક્ય છે, જેમાં સીધી રેખા a 1 સીધી રેખા a સાથે અને સીધી રેખા b 1 સાથે સીધી રેખા b 1 સાથે મેળ ખાય છે. તેથી, બે છેદતી રેખાઓ a 1 અને b 1 વચ્ચેનો ખૂણો એ છેદતી રેખાઓ a અને b વચ્ચેના ખૂણા જેટલો છે.

આ સાબિત કરે છે કે છેદતી રેખાઓ a અને b વચ્ચેનો કોણ છેદતા વિમાનોમાં પડેલો છે અને તે બિંદુ M ની પસંદગી પર આધાર રાખતો નથી કે જેના પરથી વિમાન પસાર થાય છે. તેથી, આ ખૂણાને બે છેદતા વિમાનો વચ્ચેના ખૂણા તરીકે લેવાનું તાર્કિક છે.

હવે તમે બે છેદતા વિમાનો અને વચ્ચેના ખૂણાની વ્યાખ્યાને અવાજ આપી શકો છો.

વ્યાખ્યા.

બે વિમાનો વચ્ચેનો કોણ સીધી રેખામાં છેદે છે અને- આ બે છેદતી રેખાઓ a અને b વચ્ચેનો ખૂણો છે, જેની સાથે વિમાનો અને c રેખાના કાટખૂણે સમતલ સાથે છેદે છે.

બે વિમાનો વચ્ચેના ખૂણાની વ્યાખ્યા થોડી અલગ રીતે આપી શકાય. જો સીધી રેખા c પર કે જેની સાથે વિમાનો અને એકબીજાને છેદે છે, તો એક બિંદુ M ચિહ્નિત કરો અને તેના દ્વારા સીધી રેખાઓ a અને b દોરો, સીધી રેખા c પર લંબરૂપ છે અને અનુક્રમે વિમાનોમાં પડેલી છે અને, તો પછી સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો a અને b એ વિમાનો અને વચ્ચેનો કોણ છે. સામાન્ય રીતે વ્યવહારમાં, વિમાનો વચ્ચેનો કોણ મેળવવા માટે આવા બાંધકામો કરવામાં આવે છે.

છેદતી રેખાઓ વચ્ચેનો કોણ ઓળંગતો ન હોવાથી, તે દર્શાવેલ વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે કે બે છેદતા વિમાનો વચ્ચેના કોણનું ડિગ્રી માપ અંતરાલમાંથી વાસ્તવિક સંખ્યા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, આંતરછેદવાળા વિમાનો કહેવામાં આવે છે લંબ, જો તેમની વચ્ચેનો કોણ નેવું ડિગ્રી હોય. સમાંતર વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો કાં તો બિલકુલ નિર્ધારિત થતો નથી અથવા તેને શૂન્ય સમાન ગણવામાં આવતો નથી.

બે છેદતા વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો શોધવો.

સામાન્ય રીતે, બે છેદતા વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો શોધતી વખતે, તમારે પ્રથમ છેદતી સીધી રેખાઓ જોવા માટે વધારાના બાંધકામો કરવા પડે છે, જેની વચ્ચેનો કોણ ઇચ્છિત કોણ જેટલો હોય છે, અને પછી સમાનતા પરીક્ષણો, સમાનતાનો ઉપયોગ કરીને આ ખૂણોને મૂળ ડેટા સાથે સાંકળો. પરીક્ષણો, કોસાઇન પ્રમેય અથવા સાઇન, કોસાઇન અને કોણની સ્પર્શકની વ્યાખ્યાઓ. હાઇ સ્કૂલ ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં, સમાન સમસ્યાઓ જોવા મળે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો 2012 માટે ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાંથી સમસ્યા C2 નો ઉકેલ આપીએ (સ્થિતિ ઇરાદાપૂર્વક બદલવામાં આવી હતી, પરંતુ આ ઉકેલના સિદ્ધાંતને અસર કરતું નથી). તેમાં, તમારે ફક્ત બે છેદતા વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો શોધવાનો હતો.

ઉદાહરણ.

ઉકેલ.

પ્રથમ, ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ.

ચાલો વિમાનો વચ્ચેનો કોણ "જોવા" માટે વધારાના બાંધકામો કરીએ.

પ્રથમ, ચાલો એક સીધી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરીએ કે જેની સાથે ABC અને BED 1 છેદે છે. બિંદુ B તેમના સામાન્ય બિંદુઓમાંથી એક છે. ચાલો આ વિમાનોનો બીજો સામાન્ય મુદ્દો શોધીએ. રેખાઓ DA અને D 1 E એ જ સમતલ ADD 1 માં આવેલી છે, અને તે સમાંતર નથી અને તેથી છેદે છે. બીજી બાજુ, રેખા DA એ વિમાન ABC માં આવેલું છે, અને રેખા D 1 E વિમાન BED 1 માં આવેલું છે, તેથી, રેખાઓ DA અને D 1 E નું આંતરછેદ બિંદુ એ ABC અને BED 1 પ્લેનનું સામાન્ય બિંદુ હશે. તો, ચાલો DA અને D 1 E ને તેમના આંતરછેદ સુધી ચાલુ રાખીએ, તેમના આંતરછેદના બિંદુને F અક્ષર સાથે સૂચિત કરીએ. પછી BF એ સીધી રેખા છે જેની સાથે વિમાન ABC અને BED 1 છેદે છે.

એબીસી અને બીઈડી 1 ના વિમાનોમાં અનુક્રમે બે લીટીઓ બાંધવાનું બાકી છે, જે બીએફ લાઇન પરના એક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને બીએફ લાઇનને લંબ છે - આ રેખાઓ વચ્ચેનો કોણ, વ્યાખ્યા મુજબ, વચ્ચેના ઇચ્છિત ખૂણા જેટલો હશે. વિમાનો ABC અને BED 1. ચાલો આ કરીએ.

ડોટ A એ ABC પ્લેન પર બિંદુ Eનું પ્રક્ષેપણ છે. ચાલો બિંદુ M પર કાટખૂણો પર BF ને છેદતી સીધી રેખા દોરીએ. પછી સીધી રેખા AM એ પ્લેન ABC પર સીધી રેખા EM નું પ્રક્ષેપણ છે, અને ત્રણ લંબ પ્રમેય દ્વારા.

આમ, પ્લેન ABC અને BED 1 વચ્ચે જરૂરી કોણ બરાબર છે.

જો આપણે તેની બે બાજુઓની લંબાઈ જાણીએ તો આપણે કાટકોણ ત્રિકોણ AEM પરથી આ ખૂણા (અને તેથી ખૂણો પોતે) ની સાઈન, કોસાઈન અથવા સ્પર્શક નક્કી કરી શકીએ છીએ. સ્થિતિથી લંબાઈ AE શોધવાનું સરળ છે: કારણ કે બિંદુ E બાજુ AA 1 ને 4 થી 3 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે, બિંદુ A થી ગણાય છે, અને બાજુ AA 1 ની લંબાઈ 7 છે, પછી AE = 4 છે. ચાલો લંબાઈ AM શોધીએ.

આ કરવા માટે, કાટકોણ A સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ ABF ને ધ્યાનમાં લો, જ્યાં AM એ ઊંચાઈ છે. AB = 2 શરત દ્વારા. આપણે જમણા ત્રિકોણ DD 1 F અને AEF ની સમાનતા પરથી બાજુ AF ની લંબાઈ શોધી શકીએ છીએ:

પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ત્રિકોણ ABF માંથી શોધીએ છીએ. આપણે ત્રિકોણ ABF ના ક્ષેત્રફળ દ્વારા AM લંબાઈ શોધીએ છીએ: એક બાજુએ ત્રિકોણ ABF નો વિસ્તાર બરાબર છે , બીજી બાજુ , ક્યાં .

આમ, જમણા ત્રિકોણ AEM થી આપણી પાસે છે .

પછી પ્લેન ABC અને BED 1 વચ્ચે જરૂરી કોણ સમાન છે (નોંધ કરો કે ).

જવાબ:

કેટલાક કિસ્સાઓમાં, બે છેદતા વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો શોધવા માટે, Oxyz સેટ કરવું અને સંકલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે. ચાલો ત્યાં અટકીએ.

ચાલો કાર્ય સુયોજિત કરીએ: બે છેદતા વિમાનો અને વચ્ચેનો કોણ શોધો. ચાલો આપણે ઇચ્છિત કોણ તરીકે દર્શાવીએ.

અમે ધારીશું કે આપેલ લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ Oxyzમાં આપણે છેદતા વિમાનોના સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણીએ છીએ અને અથવા તેમને શોધવાની તક છે. દો પ્લેનનું સામાન્ય વેક્ટર છે, અને પ્લેનનું સામાન્ય વેક્ટર છે. અમે છેદતા વિમાનો અને આ વિમાનોના સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા કોણ કેવી રીતે શોધી શકાય તે બતાવીશું.

ચાલો સીધી રેખા દર્શાવીએ જેની સાથે વિમાનો અને છેદે છે c તરીકે. રેખા c પર બિંદુ M દ્વારા આપણે રેખા c પર લંબરૂપ સમતલ દોરીએ છીએ. પ્લેન વિમાનોને છેદે છે અને અનુક્રમે a અને b રેખાઓ સાથે, રેખાઓ a અને b બિંદુ M પર છેદે છે. વ્યાખ્યા પ્રમાણે, છેદતા વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો અને છેદતી રેખાઓ a અને b વચ્ચેના ખૂણા જેટલો છે.

ચાલો સામાન્ય વેક્ટર અને પ્લેન અને પ્લેનમાં M બિંદુથી પ્લોટ કરીએ. આ કિસ્સામાં, વેક્ટર એ રેખા પર રહે છે જે રેખા a ને લંબ હોય છે, અને વેક્ટર એ રેખા પર રહે છે જે રેખા b ને લંબ હોય છે. આમ, પ્લેનમાં વેક્ટર એ રેખા a નો સામાન્ય વેક્ટર છે, રેખા b નો સામાન્ય વેક્ટર છે.

છેદતી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધવાના લેખમાં, અમને એક સૂત્ર પ્રાપ્ત થયું છે જે અમને સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને છેદતી રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઇનની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. આમ, a અને b રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઈન અને પરિણામે, છેદતા વિમાનો વચ્ચેના ખૂણાનો કોસાઇનઅને સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે, જ્યાં અને વિમાનોના સામાન્ય વેક્ટર છે અને, અનુક્રમે. પછી તે તરીકે ગણવામાં આવે છે .

ચાલો કોઓર્ડિનેટ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અગાઉના ઉદાહરણને હલ કરીએ.

ઉદાહરણ.

એક લંબચોરસ સમાંતર ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 આપેલ છે, જેમાં AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 અને બિંદુ E એ બિંદુ A થી ગણતરી કરીને બાજુ AA 1 ને 4 થી 3 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. પ્લેન ABC અને BED 1 વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ઉકેલ.

એક શિરોબિંદુ પર સમાંતર લંબચોરસની બાજુઓ જોડીમાં લંબરૂપ હોવાથી, નીચે પ્રમાણે લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલી Oxyz દાખલ કરવી અનુકૂળ છે: શિરોબિંદુ C સાથે શરૂઆતને સંરેખિત કરો, અને બાજુઓ CD સાથે Ox, Oy અને Oz ને નિર્દેશિત કરો. , CB અને CC 1, અનુક્રમે.

ABC અને BED 1 પ્લેન વચ્ચેનો કોણ એ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ વિમાનોના સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા શોધી શકાય છે, અનુક્રમે ABC અને BED 1 પ્લેનના સામાન્ય વેક્ટર ક્યાં અને છે. ચાલો સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ.

લેખ વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો શોધવા વિશે વાત કરે છે. વ્યાખ્યા આપ્યા પછી, અમે ગ્રાફિક ચિત્ર આપીશું અને પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાની વિગતવાર પદ્ધતિનો વિચાર કરીશું. અમે વિમાનોને છેદવા માટે એક સૂત્ર મેળવીએ છીએ, જેમાં સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સનો સમાવેશ થાય છે.

Yandex.RTB R-A-339285-1

સામગ્રી ડેટા અને ખ્યાલોનો ઉપયોગ કરશે જેનો અગાઉ પ્લેન અને અવકાશમાં રેખા વિશેના લેખોમાં અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. પ્રથમ, તર્ક તરફ આગળ વધવું જરૂરી છે જે આપણને બે છેદતા વિમાનો વચ્ચેનો કોણ નક્કી કરવા માટે ચોક્કસ અભિગમની મંજૂરી આપે છે.

બે છેદતી વિમાનો γ 1 અને γ 2 આપવામાં આવી છે. તેમનું આંતરછેદ હોદ્દો લેશે c. χ પ્લેનનું બાંધકામ આ વિમાનોના આંતરછેદ સાથે સંકળાયેલું છે. પ્લેન χ બિંદુ M પરથી સીધી રેખા c તરીકે પસાર થાય છે. પ્લેન γ 1 અને γ 2 નું આંતરછેદ પ્લેન χ નો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવશે. અમે રેખા a તરીકે γ 1 અને χ ને છેદતી રેખાનું હોદ્દો લઈએ છીએ, અને γ 2 અને χ ને છેદતી રેખા b તરીકે લઈએ છીએ. અમને લાગે છે કે રેખાઓ a અને b નું આંતરછેદ બિંદુ M આપે છે.

બિંદુ M નું સ્થાન છેદતી રેખાઓ a અને b વચ્ચેના ખૂણાને અસર કરતું નથી, અને બિંદુ M એ રેખા c પર સ્થિત છે જેમાંથી પ્લેન χ પસાર થાય છે.

χ 1 રેખા c પર કાટખૂણે અને સમતલ χથી અલગ બનાવવું જરૂરી છે. χ 1 ની મદદથી વિમાનો γ 1 અને γ 2 નું આંતરછેદ એ 1 અને b 1 રેખાઓનું હોદ્દો લેશે.

તે જોઈ શકાય છે કે જ્યારે χ અને χ 1 બાંધવામાં આવે છે, ત્યારે રેખાઓ a અને b રેખા c પર લંબ હોય છે, પછી a 1, b 1 રેખા c પર લંબ હોય છે. સીધી રેખા c ની લંબરૂપતા સાથે સમતલ γ 1 માં a અને a 1 સીધી રેખાઓ શોધવી, તો તેમને સમાંતર ગણી શકાય. એ જ રીતે, સીધી રેખા c સાથે લંબરૂપતા સાથે γ 2 સમતલમાં b અને b 1 નું સ્થાન તેમની સમાંતરતા દર્શાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે પ્લેન χ 1 થી χ નું સમાંતર સ્થાનાંતરણ કરવું જરૂરી છે, જ્યાં આપણને બે એકરૂપ સીધી રેખાઓ a અને a 1, b અને b 1 મળે છે. આપણે શોધીએ છીએ કે છેદતી રેખાઓ a અને b 1 વચ્ચેનો કોણ એ છેદતી રેખાઓ a અને b ના કોણ જેટલો છે.

ચાલો નીચેની આકૃતિ જોઈએ.

આ દરખાસ્ત એ હકીકત દ્વારા સાબિત થાય છે કે છેદતી રેખાઓ a અને b વચ્ચે એક ખૂણો છે જે બિંદુ M ના સ્થાન પર આધાર રાખતો નથી, એટલે કે આંતરછેદના બિંદુ પર. આ રેખાઓ γ 1 અને γ 2 માં સ્થિત છે. વાસ્તવમાં, પરિણામી કોણને બે છેદતા વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો ગણી શકાય.

ચાલો હાલના છેદતા વિમાનો γ 1 અને γ 2 વચ્ચેનો ખૂણો નક્કી કરવા આગળ વધીએ.

વ્યાખ્યા 1

બે છેદતા વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો γ 1 અને γ 2રેખાઓ a અને b ના આંતરછેદ દ્વારા રચાયેલ કોણ કહેવાય છે, જ્યાં વિમાનો γ 1 અને γ 2 સમતલ સાથે છેદે છે χ રેખા c પર લંબ છે.

નીચેની આકૃતિ ધ્યાનમાં લો.

નિર્ધારણ અન્ય ફોર્મમાં સબમિટ કરી શકાય છે. જ્યારે વિમાનો γ 1 અને γ 2 છેદે છે, જ્યાં c એ રેખા છે જેના પર તેઓ છેદે છે, ત્યારે એક બિંદુ M ચિહ્નિત કરો કે જેના દ્વારા રેખા c પર લંબરૂપ રેખા a અને b રેખાઓ દોરે છે અને γ 1 અને γ 2 માં સ્થિત છે, પછી વચ્ચેનો કોણ રેખાઓ a અને b વિમાનો વચ્ચેનો કોણ હશે. વ્યવહારમાં, આ વિમાનો વચ્ચે કોણ બાંધવા માટે લાગુ પડે છે.

જ્યારે છેદતી વખતે, એક ખૂણો રચાય છે જે મૂલ્યમાં 90 ડિગ્રી કરતા ઓછો હોય છે, એટલે કે, કોણનું ડિગ્રી માપ આ પ્રકારના અંતરાલ પર માન્ય છે (0, 90]. તે જ સમયે, આ વિમાનોને કાટખૂણે કહેવામાં આવે છે જો આંતરછેદ પર જમણો ખૂણો રચાય છે.

છેદતા વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો શોધવાની સામાન્ય રીત વધારાના બાંધકામો કરવા છે. આ તેને ચોકસાઈ સાથે નિર્ધારિત કરવામાં મદદ કરે છે, અને આ ત્રિકોણ, સાઈન અને કોસાઈનની સમાનતા અથવા સમાનતાના ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.

ચાલો બ્લોક C 2 ની યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા સમસ્યાઓમાંથી એક ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ હલ કરવાનો વિચાર કરીએ.

ઉદાહરણ 1

એક લંબચોરસ સમાંતર A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 આપેલ છે, જ્યાં બાજુ A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, બિંદુ E બાજુ A A 1 ને 4:3 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિમાન A B C અને B E D 1 વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ઉકેલ

સ્પષ્ટતા માટે, ડ્રોઇંગ બનાવવી જરૂરી છે. અમે તે મેળવીએ છીએ

વિમાનો વચ્ચેના ખૂણા સાથે કામ કરવાનું વધુ અનુકૂળ બનાવવા માટે દ્રશ્ય રજૂઆત જરૂરી છે.

અમે સીધી રેખા નક્કી કરીએ છીએ કે જેની સાથે A B C અને B E D 1 પ્લેનનું આંતરછેદ થાય છે. બિંદુ B એ સામાન્ય બિંદુ છે. આંતરછેદનો બીજો સામાન્ય બિંદુ શોધવો જોઈએ. ચાલો સીધી રેખાઓ D A અને D 1 E ને ધ્યાનમાં લઈએ, જે સમાન વિમાન A D D 1 માં સ્થિત છે. તેમનું સ્થાન સમાંતરતા દર્શાવતું નથી; તેનો અર્થ એ છે કે તેમની પાસે આંતરછેદનું સામાન્ય બિંદુ છે.

જો કે, સીધી રેખા D A પ્લેન A B C માં અને D 1 E B E D 1 માં સ્થિત છે. આમાંથી આપણને સીધી રેખાઓ મળે છે ડી એઅને ડી 1 ઇએક સામાન્ય આંતરછેદ બિંદુ છે, જે A B C અને B E D 1 વિમાનો માટે સામાન્ય છે. રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને સૂચવે છે ડી એઅને ડી 1 ઇ અક્ષર F. આમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ કે B F એ સીધી રેખા છે જેની સાથે A B C અને B E D 1 છેદે છે.

ચાલો નીચેની આકૃતિ જોઈએ.

જવાબ મેળવવા માટે, A B C અને B E D 1 પ્લેનમાં સ્થિત સીધી રેખાઓ B F રેખા પર સ્થિત બિંદુમાંથી પસાર થતી અને તેની પર લંબરૂપ હોય તે બનાવવી જરૂરી છે. પછી આ સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો પરિણામી કોણ એ વિમાનો A B C અને B E D 1 વચ્ચેનો ઇચ્છિત ખૂણો ગણાય છે.

આના પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે બિંદુ A એ A B C પ્લેન પર બિંદુ E નું પ્રક્ષેપણ છે. બિંદુ M પર કાટખૂણે B F ને છેદતી સીધી રેખા દોરવી જરૂરી છે. તે જોઈ શકાય છે કે સીધી રેખા A M એ પ્રક્ષેપણ છે. પ્લેન A B C પર સીધી રેખા E M, તે લંબ A M ⊥ B F વિશેના પ્રમેય પર આધારિત છે. નીચેના ચિત્રને ધ્યાનમાં લો.

∠ A M E એ A B C અને B E D 1 વિમાનો દ્વારા રચાયેલો ઇચ્છિત ખૂણો છે. પરિણામી ત્રિકોણ A E M પરથી આપણે કોણની સાઈન, કોસાઈન અથવા સ્પર્શક શોધી શકીએ છીએ અને પછી ખૂણો પોતે જ શોધી શકીએ છીએ, જો તેની બે બાજુઓ જાણીતી હોય. શરત દ્વારા, અમારી પાસે છે કે લંબાઈ A E આ રીતે જોવા મળે છે: સીધી રેખા A A 1 એ બિંદુ E દ્વારા 4: 3 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત થાય છે, જેનો અર્થ થાય છે કે સીધી રેખાની કુલ લંબાઈ 7 ભાગો છે, પછી A E = 4 ભાગો છે. અમે એ એમ શોધીએ છીએ.

કાટકોણ ત્રિકોણ A B F ધ્યાનમાં લેવો જરૂરી છે. આપણી પાસે ઊંચાઈ A M સાથેનો કાટકોણ A છે. A B = 2 ની સ્થિતિથી, પછી આપણે D D 1 F અને A E F ત્રિકોણની સમાનતા દ્વારા A F લંબાઈ શોધી શકીએ છીએ. આપણને મળે છે કે A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણ A B F ની બાજુ B F ની લંબાઈ શોધવી જરૂરી છે. આપણને મળે છે કે B F = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . બાજુ A M ની લંબાઈ ત્રિકોણ A B F ના ક્ષેત્રફળ દ્વારા જોવા મળે છે. અમારી પાસે છે કે ક્ષેત્રફળ S A B C = 1 2 · A B · A F અને S A B C = 1 2 · B F · A M બંને સમાન હોઈ શકે છે.

આપણને મળે છે કે A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

પછી આપણે ત્રિકોણ A E M ના ખૂણાના સ્પર્શકનું મૂલ્ય શોધી શકીએ છીએ. આપણને મળે છે:

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

વિમાનો A B C અને B E D 1 ના આંતરછેદ દ્વારા મેળવેલો ઇચ્છિત ખૂણો એ r c t g 5 ની બરાબર છે, પછી સરળીકરણ પર આપણે a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 મેળવીએ છીએ.

જવાબ: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

છેદતી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધવાના કેટલાક કિસ્સાઓ કોઓર્ડિનેટ પ્લેન O x y z અને કોઓર્ડિનેટ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉલ્લેખિત છે. ચાલો નજીકથી નજર કરીએ.

જો છેદતા વિમાનો γ 1 અને γ 2 વચ્ચેનો ખૂણો શોધવા માટે જરૂરી હોય ત્યાં સમસ્યા આપવામાં આવી હોય, તો આપણે ઇચ્છિત ખૂણો α તરીકે દર્શાવીએ છીએ.

પછી આપેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ બતાવે છે કે આપણી પાસે છેદતા પ્લેન γ 1 અને γ 2 ના સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ છે. પછી આપણે સૂચવીએ છીએ કે n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z એ પ્લેન γ 1 નો સામાન્ય વેક્ટર છે, અને n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) - માટે પ્લેન γ 2. ચાલો વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ અનુસાર આ વિમાનો વચ્ચે સ્થિત કોણના વિગતવાર નિર્ધારણને ધ્યાનમાં લઈએ.

તે સીધી રેખાને નિયુક્ત કરવી જરૂરી છે કે જેની સાથે વિમાનો γ 1 અને γ 2 અક્ષર c સાથે છેદે છે. c રેખા પર આપણી પાસે એક બિંદુ M છે જેના દ્વારા આપણે c માટે લંબ χ સમતલ દોરીએ છીએ. પ્લેન χ એ રેખાઓ a અને b સાથે M બિંદુ પર γ 1 અને γ 2 ને છેદે છે. વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે છેદતા વિમાનો γ 1 અને γ 2 વચ્ચેનો ખૂણો અનુક્રમે આ વિમાનોની છેદતી રેખા a અને b ના કોણ જેટલો છે.

χ સમતલમાં આપણે બિંદુ M પરથી સામાન્ય વેક્ટરનું પ્લોટિંગ કરીએ છીએ અને તેમને n 1 → અને n 2 → સૂચવીએ છીએ. વેક્ટર n 1 → એ રેખા a ની લંબ રેખા પર સ્થિત છે અને વેક્ટર n 2 → રેખા b ની લંબ રેખા પર સ્થિત છે. અહીંથી આપણે મેળવીએ છીએ કે આપેલ પ્લેન χ એ રેખા a નો સામાન્ય વેક્ટર ધરાવે છે, જે n 1 → ની બરાબર છે અને રેખા b માટે, n 2 → ની બરાબર છે. નીચેની આકૃતિ ધ્યાનમાં લો.

અહીંથી આપણે એક સૂત્ર મેળવીએ છીએ જેના દ્વારા આપણે વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને છેદતી રેખાઓના કોણની સાઈનની ગણતરી કરી શકીએ છીએ. અમને જાણવા મળ્યું છે કે સીધી રેખાઓ a અને b વચ્ચેના કોણનો કોસાઇન γ 1 અને γ 2 છેદતા વિમાનો વચ્ચેના કોસાઇન જેટલો જ છે cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 સૂત્રમાંથી ઉતરી આવ્યો છે. x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, જ્યાં આપણી પાસે તે n 1 → = ( n 1 x , n 1 y , n 1 z) અને n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) એ રજૂ કરેલા વિમાનોના વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ છે.

છેદતી રેખાઓ વચ્ચેનો કોણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે

α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

ઉદાહરણ 2

શરત મુજબ, સમાંતર પાઈપવાળી A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 આપવામાં આવે છે. , જ્યાં A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, અને બિંદુ E એ બાજુ A A 1 4: 3 ને વિભાજિત કરે છે. વિમાન A B C અને B E D 1 વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ઉકેલ

સ્થિતિ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે તેની બાજુઓ જોડીમાં કાટખૂણે છે. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ C પર શિરોબિંદુ સાથે સંકલન પ્રણાલી O x y z અને સંકલન અક્ષો O x, O y, O z ની રજૂઆત કરવી જરૂરી છે. તે યોગ્ય બાજુઓ માટે દિશા સુયોજિત કરવા માટે જરૂરી છે. નીચેની આકૃતિ ધ્યાનમાં લો.

છેદતી વિમાનો એ બી સીઅને B E D 1એક ખૂણો બનાવો જે સૂત્ર α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n સૂત્ર દ્વારા શોધી શકાય છે 2 y 2 + n 2 z 2, જેમાં n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) અને n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z ) એ સામાન્ય વેક્ટર છે આ વિમાનો. તે કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવા માટે જરૂરી છે. આકૃતિમાંથી આપણે જોઈએ છીએ કે સંકલન અક્ષ O x y પ્લેન A B C સાથે એકરુપ છે, આનો અર્થ એ છે કે સામાન્ય વેક્ટર k → ના કોઓર્ડિનેટ્સ મૂલ્ય n 1 → = k → = (0, 0, 1) સમાન છે.

પ્લેન B E D 1 ના સામાન્ય વેક્ટરને વેક્ટર ઉત્પાદન B E → અને B D 1 → માનવામાં આવે છે, જ્યાં તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ આત્યંતિક બિંદુઓ B, E, D 1 ના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા જોવા મળે છે, જે શરતોના આધારે નક્કી કરવામાં આવે છે. સમસ્યા

આપણને તે B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7) મળે છે. કારણ કે A E E A 1 = 4 3, બિંદુઓ A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 ના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી આપણે E 2, 3, 4 શોધીએ છીએ. આપણે શોધીએ છીએ કે B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

ચાપ કોસાઇન દ્વારા કોણની ગણતરી કરવા માટેના સૂત્રમાં મળેલા કોઓર્ડિનેટ્સને બદલવું જરૂરી છે. અમને મળે છે

α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

સંકલન પદ્ધતિ સમાન પરિણામ આપે છે.

જવાબ: a r c cos 6 6 .

વિમાનોના હાલના જાણીતા સમીકરણોને જોતાં છેદતા વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો શોધવાના ધ્યેય સાથે અંતિમ સમસ્યા ગણવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 3

કોણની સાઈન, કોસાઈન અને બે છેદતી રેખાઓ દ્વારા બનેલા ખૂણાના મૂલ્યની ગણતરી કરો, જે સંકલન પ્રણાલી O x y z માં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને સમીકરણો 2 x - 4 y + z + 1 = 0 અને 3 y - z દ્વારા આપવામાં આવે છે. - 1 = 0.

ઉકેલ

A x + B y + C z + D = 0 ફોર્મના સામાન્ય સીધી રેખા સમીકરણના વિષયનો અભ્યાસ કરતી વખતે, જાણવા મળ્યું કે A, B, C એ સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન ગુણાંક છે. આનો અર્થ એ છે કે n 1 → = 2, - 4, 1 અને n 2 → = 0, 3, - 1 એ આપેલ રેખાઓના સામાન્ય વેક્ટર છે.

છેદતા વિમાનોના ઇચ્છિત કોણની ગણતરી માટે સૂત્રમાં વિમાનોના સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સને બદલવાની જરૂર છે. પછી આપણે તે મેળવીએ છીએ

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

અહીંથી આપણી પાસે છે કે કોણનો કોસાઇન cos α = 13 210 સ્વરૂપ લે છે. પછી છેદતી રેખાઓનો કોણ સ્થૂળ નથી. ત્રિકોણમિતિ ઓળખમાં અવેજીમાં, આપણે શોધીએ છીએ કે કોણની સાઈનનું મૂલ્ય અભિવ્યક્તિ સમાન છે. ચાલો ગણતરી કરીએ અને તે શોધીએ

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13,210 = 41,210

જવાબ: sin α = 41,210, cos α = 13,210, α = a r c cos 13,210 = a r c sin 41,210.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

લક્ષ્યો:

સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે વિવિધ અભિગમો ધ્યાનમાં લેવાની ક્ષમતા વિકસાવો અને ઉકેલની આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવાની "અસર" નું વિશ્લેષણ કરો;
વધુ નક્કર જ્ઞાન અને આત્મવિશ્વાસુ કૌશલ્યોના આધારે, તેની ગાણિતિક પસંદગીઓ અનુસાર સમસ્યાને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિ પસંદ કરવાની વિદ્યાર્થીની ક્ષમતાનો વિકાસ કરો;
પરિણામો પ્રાપ્ત કરવા માટે ક્રમિક તબક્કાઓની યોજના બનાવવાની ક્ષમતા વિકસાવો;
લીધેલા તમામ પગલાં અને ગણતરીઓને ન્યાયી ઠેરવવાની ક્ષમતા વિકસાવો;
સ્ટીરીઓમેટ્રી અને પ્લાનિમેટ્રીના વિવિધ વિષયો અને મુદ્દાઓનું પુનરાવર્તન કરો અને એકીકૃત કરો, વર્તમાન સમસ્યાઓ ઉકેલવા સંબંધિત લાક્ષણિક સ્ટીરીઓમેટ્રિક માળખાં;
અવકાશી વિચારસરણીનો વિકાસ કરો.

સમસ્યાને ઉકેલવા માટેની વિવિધ પદ્ધતિઓનું વિશ્લેષણ: કોઓર્ડિનેટ-વેક્ટર પદ્ધતિ, કોસાઇન પ્રમેયનો ઉપયોગ, ત્રણ લંબરૂપ પ્રમેયનો ઉપયોગ;
દરેક પદ્ધતિના ફાયદા અને ગેરફાયદાની સરખામણી;
ક્યુબ, ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમ, નિયમિત ષટ્કોણના ગુણધર્મોનું પુનરાવર્તન;
યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવાની તૈયારી;
નિર્ણય લેવામાં સ્વતંત્રતાનો વિકાસ.

પાઠની રૂપરેખા

સમઘન માં ABCDA 1 B 1 C 1 D 1ધાર 1 બિંદુ O - ચહેરાના કેન્દ્ર સાથે એબીસીડી.

a) સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો A 1 ડીઅને બી.ઓ.;

b) બિંદુથી અંતર બીસેગમેન્ટની મધ્યમાં A 1 ડી.

બિંદુ a) નો ઉકેલ.

ચાલો આકૃતિ, શિરોબિંદુઓમાં બતાવ્યા પ્રમાણે આપણા ક્યુબને લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં મૂકીએ A 1 (1; 0; 1), D (1; 1; 0), B 1 (0; 0; 1), O (½; ½; 0).

સીધી રેખાઓના દિશા વેક્ટર્સ A 1 ડીઅને B 1 O:

(0; 1; -1) અને (½; ½; -1);

અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેમની વચ્ચે ઇચ્છિત કોણ φ શોધીએ છીએ:

cos∠φ = ,
જ્યાંથી ∠φ = 30°.

પદ્ધતિ 2. અમે કોસાઇન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

1) ચાલો એક સીધી રેખા દોરીએ B 1 Cરેખાની સમાંતર A 1 ડી. કોર્નર સીબી 1 ઓતમે જે શોધી રહ્યા છો તે હશે.

2) કાટકોણ ત્રિકોણમાંથી BB 1 Oપાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર:

3) ત્રિકોણમાંથી કોસાઇન્સના પ્રમેય દ્વારા સીબી 1 ઓકોણની ગણતરી કરો CB 1 O:

cos CB 1 O = , જરૂરી કોણ 30° છે.

ટિપ્પણી. 2જી રીતે સમસ્યાનું નિરાકરણ કરતી વખતે, તમે નોંધ કરી શકો છો કે ત્રણ કાટખૂણેના પ્રમેય મુજબ COB 1 = 90°, તેથી લંબચોરસ ∆ માંથી સીબી 1 ઓઇચ્છિત કોણના કોસાઇનની ગણતરી કરવી પણ સરળ છે.

બિંદુ b માટે ઉકેલ).

1 રસ્તો. ચાલો બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ

બિંદુ દો ઇ- મધ્યમ A 1 ડી, પછી કોઓર્ડિનેટ્સ E (1; 1/2; ½), B (0; 0; 0).

BE = .

પદ્ધતિ 2. પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર

લંબચોરસ ∆ થી B.A.E.સીધા સાથે B.A.E.અમે શોધીએ છીએ BE = .

નિયમિત ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમમાં ABCA 1 B 1 C 1બધી કિનારીઓ સમાન છે a. રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો એબીઅને A 1 C.

1 રસ્તો. સંકલન વેક્ટર પદ્ધતિ

લંબચોરસ સિસ્ટમમાં પ્રિઝમના શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ જ્યારે પ્રિઝમને આકૃતિની જેમ સ્થિત કરવામાં આવે છે: A (0; 0; 0), B (a; ; 0), A 1 (0; 0; a), C (0; a; 0).

સીધી રેખાઓના દિશા વેક્ટર્સ A 1 Cઅને એબી:

(0; a; -a)અને (એ; ; 0} ;

cos φ = ;

પદ્ધતિ 2. અમે કોસાઇન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ

અમે ∆ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ A 1 B 1 C, જેમાં A 1 B 1 || એબી. અમારી પાસે છે

cos φ = .

(યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન 2012 ના સંગ્રહમાંથી. ગણિત: એ.એલ. સેમેનોવ, આઇ.વી. યશ્ચેન્કો દ્વારા સંપાદિત પ્રમાણભૂત પરીક્ષા વિકલ્પો)

નિયમિત હેક્સાગોનલ પ્રિઝમમાં ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, જેની બધી ધાર 1 ની બરાબર છે, બિંદુથી અંતર શોધો ઇસીધી રેખા સુધી B 1 C 1.

1 રસ્તો. સંકલન વેક્ટર પદ્ધતિ

1) પ્રિઝમને લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં મૂકો, આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે સંકલન અક્ષો મૂકો. એસએસ 1, NEઅને SEજોડીમાં લંબ છે, તેથી તમે તેમની સાથે સંકલન અક્ષોને દિશામાન કરી શકો છો. અમને કોઓર્ડિનેટ્સ મળે છે:

C 1 (0; 0; 1), E (; 0; 0), B 1 (0; 1;1).

2) રેખાઓ માટે દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો 1 થી 1 સુધીઅને સી 1 ઇ:

(0;1;0), (;0;-1).

3) વચ્ચેના કોણની કોસાઇન શોધો 1 થી 1 સુધીઅને સી 1 ઇ, વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદનનો ઉપયોગ કરીને અને :

cos β = = 0 => β = 90° => C 1 E – જરૂરી અંતર.

4)C 1 E = = 2.

નિષ્કર્ષ: સ્ટીરિયોમેટ્રિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેના વિવિધ અભિગમોનું જ્ઞાન તમને કોઈપણ વિદ્યાર્થી માટે પ્રાધાન્યક્ષમ હોય તેવી પદ્ધતિ પસંદ કરવા દે છે, એટલે કે. જે વિદ્યાર્થી આત્મવિશ્વાસપૂર્વક માસ્ટર કરે છે, ભૂલો ટાળવામાં મદદ કરે છે, સમસ્યાના સફળ ઉકેલ તરફ દોરી જાય છે અને પરીક્ષામાં સારો સ્કોર મેળવે છે. કોઓર્ડિનેટ પદ્ધતિનો અન્ય પદ્ધતિઓ કરતાં ફાયદો છે જેમાં તેને ઓછા સ્ટીરિયોમેટ્રિક વિચારણાઓ અને દ્રષ્ટિની જરૂર હોય છે, અને તે એવા સૂત્રોના ઉપયોગ પર આધારિત છે જેમાં ઘણા પ્લાનમેટ્રિક અને બીજગણિતીય સામ્યતાઓ હોય છે જે વિદ્યાર્થીઓ માટે વધુ પરિચિત હોય છે.

પાઠનું સ્વરૂપ એ વિદ્યાર્થીઓના આગળના સામૂહિક કાર્ય સાથે શિક્ષકના સમજૂતીનું સંયોજન છે.

પ્રશ્નમાં પોલિહેડ્રા વિડિઓ પ્રોજેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સ્ક્રીન પર બતાવવામાં આવે છે, જે તમને વિવિધ ઉકેલ પદ્ધતિઓની તુલના કરવાની મંજૂરી આપે છે.

હોમવર્ક: સમસ્યા 3 ને બીજી રીતે હલ કરો, ઉદાહરણ તરીકે ત્રણ લંબ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને .

સાહિત્ય

1. એર્શોવા એ.પી., ગોલોબોરોડકો વી.વી. ગ્રેડ 11 માટે ભૂમિતિ પર સ્વતંત્ર અને પરીક્ષણ કાર્ય. – M.: ILEKSA, – 2010. – 208 p.

2. ભૂમિતિ, 10-11: શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક: મૂળભૂત અને વિશિષ્ટ સ્તરો / એલ.એસ. બુતુઝોવ, એસ.બી. Kadomtsev એટ અલ - એમ.: શિક્ષણ, 2007. - 256 પૃષ્ઠ.

3. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા-2012. ગણિત: ધોરણ પરીક્ષા વિકલ્પો: 10 વિકલ્પો / સંપાદન. એ.એલ. સેમેનોવા, આઈ.વી. યશ્ચેન્કો. – એમ.: રાષ્ટ્રીય શિક્ષણ, 2011. – 112 પૃષ્ઠ. – (USE-2012. FIPI - શાળા).

\(\blacktriangleright\) ડિહેડ્રલ એંગલ એ બે અર્ધ-વિમાન અને સીધી રેખા \(a\) દ્વારા રચાયેલ કોણ છે, જે તેમની સામાન્ય સીમા છે.

\(\blacktriangleright\) વિમાનો \(\xi\) અને \(\pi\) વચ્ચેનો ખૂણો શોધવા માટે, તમારે રેખીય ખૂણો શોધવાની જરૂર છે (અને મસાલેદારઅથવા પ્રત્યક્ષ) વિમાનો દ્વારા રચાયેલ ડાયહેડ્રલ કોણ \(\xi\) અને \(\pi\) :

પગલું 1: ચાલો \(\xi\cap\pi=a\) (વિમાનોના આંતરછેદની રેખા). પ્લેનમાં \(\xi\) આપણે મનસ્વી બિંદુ \(F\) ચિહ્નિત કરીએ છીએ અને \(FA\perp a\) દોરીએ છીએ;

પગલું 2: હાથ ધરો \(FG\perp \pi\) ;

પગલું 3: TTP (\(FG\) – કાટખૂણે, \(FA\) – ત્રાંસી, \(AG\) – પ્રક્ષેપણ) અનુસાર અમારી પાસે છે: \(AG\perp a\) ;

પગલું 4: કોણ \(\કોણ FAG\) એ વિમાનો \(\xi\) અને \(\pi\) દ્વારા રચાયેલા ડાયહેડ્રલ કોણનો રેખીય કોણ કહેવાય છે.

નોંધ કરો કે ત્રિકોણ \(AG\) કાટખૂણે છે.
એ પણ નોંધ કરો કે આ રીતે બાંધવામાં આવેલ પ્લેન \(AFG\) બંને પ્લેન \(\xi\) અને \(\pi\) માટે લંબરૂપ છે. તેથી, આપણે તેને અલગ રીતે કહી શકીએ: વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો\(\xi\) અને \(\pi\) એ બે છેદતી રેખાઓ \(c\in \xi\) અને \(b\in\pi\) વચ્ચેનો ખૂણો છે અને \(\xi\) ને લંબરૂપ બનાવે છે. ) , અને \(\pi\) .

કાર્ય 1 #2875

કાર્ય સ્તર: યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કરતાં વધુ મુશ્કેલ

એક ચતુષ્કોણીય પિરામિડ આપેલ છે, જેની બધી કિનારીઓ સમાન છે, અને આધાર ચોરસ છે. શોધો \(6\cos \alpha\) , જ્યાં \(\alpha\) એ તેની બાજુના બાજુના ચહેરાઓ વચ્ચેનો ખૂણો છે.

ચાલો \(SABCD\) આપેલ પિરામિડ હોઈએ (\(S\) શિરોબિંદુ છે) જેની કિનારીઓ \(a\) ની બરાબર છે. પરિણામે, તમામ બાજુના ચહેરા સમાન સમભુજ ત્રિકોણ છે. ચાલો ચહેરા \(SAD\) અને \(SCD\) વચ્ચેનો ખૂણો શોધીએ.

ચાલો \(CH\perp SD\) કરીએ. કારણ કે \(\triangle SAD=\triangle SCD\), તો \(AH\) એ \(\ત્રિકોણ SAD\) ની ઊંચાઈ પણ હશે. તેથી, વ્યાખ્યા પ્રમાણે, \(\angle AHC=\alpha\) એ ચહેરાઓ \(SAD\) અને \(SCD\) વચ્ચેના ડાયહેડ્રલ કોણનો રેખીય કોણ છે.
આધાર ચોરસ હોવાથી, પછી \(AC=a\sqrt2\) . એ પણ નોંધો કે \(CH=AH\) એ બાજુ \(a\) સાથેના સમભુજ ત્રિકોણની ઊંચાઈ છે, તેથી, \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
પછી, \(\ત્રિકોણ AHC\) માંથી કોસાઈન પ્રમેય દ્વારા : \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

જવાબ:-2

કાર્ય 2 #2876

કાર્ય સ્તર: યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કરતાં વધુ મુશ્કેલ

વિમાનો \(\pi_1\) અને \(\pi_2\) એવા ખૂણા પર છેદે છે જેની કોસાઈન \(0.2\) બરાબર છે. વિમાનો \(\pi_2\) અને \(\pi_3\) કાટખૂણો પર છેદે છે, અને વિમાનોના આંતરછેદની રેખા \(\pi_1\) અને \(\pi_2\) ના આંતરછેદની રેખાની સમાંતર છે. વિમાનો \(\pi_2\) અને \(\ pi_3\) . વિમાનો \(\pi_1\) અને \(\pi_3\) વચ્ચેના ખૂણાની સાઈન શોધો.

\(\pi_1\) અને \(\pi_2\) ના આંતરછેદની રેખા એક સીધી રેખા \(a\), \(\pi_2\) અને \(\pi_3\) ના આંતરછેદની રેખા સીધી રહેવા દો રેખા \(b\), અને આંતરછેદની રેખા \(\pi_3\) અને \(\pi_1\) – સીધી રેખા \(c\) . ત્યારથી \(a\સમાંતર b\) , પછી \(c\parallel a\parallel b\) (સૈદ્ધાંતિક સંદર્ભ "જ્યોમેટ્રી ઇન અવકાશ" ના વિભાગમાંથી પ્રમેય અનુસાર \(\rightarrow\) "સ્ટીરીઓમેટ્રીનો પરિચય, સમાંતરતા").

ચાલો બિંદુઓને ચિહ્નિત કરીએ \(A\in a, B\in b\) જેથી \(AB\perp a, AB\perp b\) (આ \(a\સમાંતર b\) થી શક્ય છે. ચાલો \(C\in c\) માર્ક કરીએ જેથી \(BC\perp c\), તેથી, \(BC\perp b\) . પછી \(AC\perp c\) અને \(AC\perp a\) .
ખરેખર, કારણ કે \(AB\perp b, BC\perp b\) , તો પછી \(b\) એ વિમાન \(ABC\) પર લંબ છે. કારણ કે \(c\સમાંતર a\સમાંતર b\), તો પછી રેખાઓ \(a\) અને \(c\) પણ સમતલ \(ABC\) માટે લંબ છે, અને તેથી આ સમતલની કોઈપણ રેખાને, ખાસ કરીને , લાઇન \ (AC\) .

તે તેને અનુસરે છે \(\ કોણ BAC=\ કોણ (\pi_1, \pi_2)\), \(\ કોણ ABC=\ કોણ (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\ કોણ BCA=\ કોણ (\pi_3, \pi_1)\). તે તારણ આપે છે કે \(\ત્રિકોણ ABC\) લંબચોરસ છે, જેનો અર્થ થાય છે \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0.2.\]

જવાબ: 0.2

કાર્ય 3 #2877

કાર્ય સ્તર: યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કરતાં વધુ મુશ્કેલ

આપેલ સીધી રેખાઓ \(a, b, c\) એક બિંદુ પર છેદે છે, અને તેમાંથી કોઈપણ બે વચ્ચેનો કોણ \(60^\circ\) બરાબર છે. \(\cos^(-1)\alpha\) શોધો, જ્યાં \(\alpha\) એ રેખાઓ \(a\) અને \(c\) અને રેખાઓ દ્વારા રચાયેલ સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો છે. b\ ) અને \(c\) . તમારો જવાબ ડિગ્રીમાં આપો.

લીટીઓને બિંદુ \(O\) પર છેદવા દો. તેમાંથી કોઈપણ બે વચ્ચેનો ખૂણો \(60^\circ\) ની બરાબર હોવાથી, ત્રણેય સીધી રેખાઓ એક જ સમતલમાં રહી શકતી નથી. ચાલો \(a\) રેખા પર બિંદુ \(A\) ને ચિહ્નિત કરીએ અને \(AB\perp b\) અને \(AC\perp c\) દોરીએ. પછી \(\ત્રિકોણ AOB=\ત્રિકોણ AOC\)કર્ણ અને તીવ્ર કોણ સાથે લંબચોરસ તરીકે. તેથી, \(OB=OC\) અને \(AB=AC\) .
ચાલો \(AH\perp (BOC)\) કરીએ. પછી પ્રમેય દ્વારા લગભગ ત્રણ લંબ \(HC\perp c\), \(HB\perp b\) . ત્યારથી \(AB=AC\), પછી \(\ત્રિકોણ એએચબી=\ત્રિકોણ એએચસી\)કર્ણ અને પગ સાથે લંબચોરસ તરીકે. તેથી, \(HB=HC\) . આનો અર્થ એ છે કે \(OH\) એ કોણનો દ્વિભાજક છે \(BOC\) (બિંદુ \(H\) કોણની બાજુઓથી સમાન છે).

નોંધ કરો કે આ રીતે આપણે રેખાઓ \(a\) અને \(c\) દ્વારા બનેલા સમતલ દ્વારા રચાયેલા ડાયહેડ્રલ કોણના રેખીય કોણ અને \(b\) અને \(c\) દ્વારા રચાયેલા સમતલનું પણ નિર્માણ કર્યું છે. \) . આ કોણ છે \(ACH\) .

ચાલો આ ખૂણો શોધીએ. કારણ કે આપણે બિંદુ \(A\) મનસ્વી રીતે પસંદ કર્યું છે, ચાલો તેને પસંદ કરીએ જેથી \(OA=2\) . પછી લંબચોરસમાં \(\ત્રિકોણ AOC\): \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]કારણ કે \(OH\) એ દ્વિભાજક છે, પછી \(\angle HOC=30^\circ\) , તેથી, લંબચોરસ \(\ત્રિકોણ HOC\) માં : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\]પછી લંબચોરસ \(\ત્રિકોણ ACH\) માંથી : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

જવાબ: 3

કાર્ય 4 #2910

કાર્ય સ્તર: યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કરતાં વધુ મુશ્કેલ

વિમાનો \(\pi_1\) અને \(\pi_2\) સીધી રેખા \(l\) સાથે છેદે છે જેના પર \(M\) અને \(N\) બિંદુઓ આવેલા છે. સેગમેન્ટ્સ \(MA\) અને \(MB\) સીધી રેખા \(l\) પર લંબ છે અને અનુક્રમે \(\pi_1\) અને \(\pi_2\) માં આવેલા છે, અને \(MN = 15 \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . \(3\cos\alpha\) શોધો, જ્યાં \(\alpha\) એ વિમાનો \(\pi_1\) અને \(\pi_2\) વચ્ચેનો ખૂણો છે.

ત્રિકોણ \(AMN\) કાટખૂણે છે, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), ક્યાંથી \ ત્રિકોણ \(BMN\) લંબચોરસ છે, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\), જેમાંથી \અમે ત્રિકોણ માટે કોસાઈન પ્રમેય લખીએ છીએ \(AMB\): \ પછી \ કારણ કે વિમાનો વચ્ચેનો કોણ \(\alpha\) એક તીવ્ર કોણ છે, અને \(\angle AMB\) અસ્પષ્ટ હોવાનું બહાર આવ્યું છે, તો \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . પછી \

જવાબ: 1.25

કાર્ય 5 #2911

કાર્ય સ્તર: યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કરતાં વધુ મુશ્કેલ

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) એ સમાંતર છે, \(ABCD\) એ બાજુ \(a\) સાથેનો ચોરસ છે, બિંદુ \(M\) એ બિંદુ \(A_1\) થી પ્લેન પર પડેલા લંબનો આધાર છે \ ((ABCD)\) , વધુમાં, \(M\) એ ચોરસ \(ABCD\) ના કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ છે. તે જાણીતું છે \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). વિમાનો \((ABCD)\) અને \((AA_1B_1B)\) વચ્ચેનો ખૂણો શોધો. તમારો જવાબ ડિગ્રીમાં આપો.

ચાલો આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે \(MN\) \(AB\) ને લંબરૂપ બનાવીએ.

કારણ કે \(ABCD\) એ બાજુ \(a\) અને \(MN\perp AB\) અને \(BC\perp AB\), પછી \(MN\perp AB\) સાથેનો ચોરસ છે. કારણ કે \(M\) ચોરસના કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ છે, પછી \(M\) એ \(AC\) ની મધ્ય છે, તેથી, \(MN\) એ મધ્ય રેખા છે અને \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) એ \(A_1N\) પ્લેન પરનું પ્રક્ષેપણ છે \((ABCD)\), અને \(MN\) એ \(AB\) માટે લંબ છે, પછી, ત્રણ લંબના પ્રમેય દ્વારા, \ (A_1N\) \(AB \) ને લંબ છે અને વિમાનો \((ABCD)\) અને \(AA_1B_1B)\) વચ્ચેનો ખૂણો \(\કોણ A_1NM\) છે.
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

જવાબ: 60

કાર્ય 6 #1854

કાર્ય સ્તર: યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કરતાં વધુ મુશ્કેલ

ચોરસમાં \(ABCD\) : \(O\) – કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ; \(S\) – ચોરસના સમતલમાં રહેતું નથી, \(SO \perp ABC\) . પ્લેન \(ASD\) અને \(ABC\) જો \(SO = 5\) અને \(AB = 10\) વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

કાટકોણ ત્રિકોણ \(\ત્રિકોણ SAO\) અને \(\ત્રિકોણ SDO\) બે બાજુઓમાં સમાન છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\કોણ SOA = \કોણ SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\), કારણ કે \(O\) – ચોરસના કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ, \(SO\) – સામાન્ય બાજુ) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\ ) - સમદ્વિબાજુ. બિંદુ \(K\) એ \(AD\) ની મધ્યમાં છે, પછી \(SK\) એ ત્રિકોણમાં ઊંચાઈ છે \(\ત્રિકોણ ASD\), અને \(OK\) એ ત્રિકોણમાં ઊંચાઈ છે \( AOD\) \(\ Rightarrow\) પ્લેન \(SOK\) એ પ્લેન \(ASD\) અને \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) માટે લંબ છે - ઇચ્છિત સમાન રેખીય કોણ ડાયહેડ્રલ કોણ.

માં \(\ત્રિકોણ SKO\) : \(ઓકે = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) - સમદ્વિબાજુ કાટકોણ \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .

જવાબ: 45

કાર્ય 7 #1855

કાર્ય સ્તર: યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કરતાં વધુ મુશ્કેલ

ચોરસમાં \(ABCD\) : \(O\) – કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ; \(S\) – ચોરસના સમતલમાં રહેતું નથી, \(SO \perp ABC\) . પ્લેન \(ASD\) અને \(BSC\) જો \(SO = 5\) અને \(AB = 10\) વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

કાટકોણ ત્રિકોણ \(\ત્રિકોણ SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) અને \(\triangle SOC\) બે બાજુઓમાં સમાન છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો (\(SO \perp ABC) \) \(\Rightarrow\) \(\કોણ SOA = \કોણ SOD = \કોણ SOB = \કોણ SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), કારણ કે \(O\) – ચોરસના કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ, \(SO\) – સામાન્ય બાજુ) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \( \triangle ASD\) અને \(\triangle BSC\) સમદ્વિબાજુ છે. બિંદુ \(K\) એ \(AD\) ની મધ્યમાં છે, પછી \(SK\) એ ત્રિકોણમાં ઊંચાઈ છે \(\ત્રિકોણ ASD\), અને \(OK\) એ ત્રિકોણમાં ઊંચાઈ છે \( AOD\) \(\ Rightarrow\) પ્લેન \(SOK\) પ્લેન \(ASD\) માટે લંબ છે. બિંદુ \(L\) એ \(BC\) ની મધ્ય છે, પછી \(SL\) એ ત્રિકોણમાં \(\ત્રિકોણ BSC\), અને \(OL\) એ ત્રિકોણમાં ઊંચાઈ છે \( BOC\) \(\ Rightarrow\) પ્લેન \(SOL\) (ઉર્ફ પ્લેન \(SOK\)) પ્લેન \(BSC\) માટે લંબ છે. આમ, આપણે મેળવીએ છીએ કે \(\કોણ KSL\) એ ઇચ્છિત ડાયહેડ્રલ કોણ સમાન રેખીય કોણ છે.

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Rightarrow\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) - સમાન સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં ઊંચાઈ, જે પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). તે નોંધી શકાય છે \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) ત્રિકોણ માટે \(\triangle KSL\) વ્યસ્ત પાયથાગોરિયન પ્રમેય \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) – જમણો ત્રિકોણ \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90 ^\ વર્તુળ\) .

જવાબ: 90

ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા આપવા માટે વિદ્યાર્થીઓની તૈયારી, એક નિયમ તરીકે, મૂળભૂત સૂત્રોના પુનરાવર્તનથી શરૂ થાય છે, જેમાં તમને પ્લેન વચ્ચેનો ખૂણો નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે. હકીકત એ છે કે ભૂમિતિના આ વિભાગને શાળાના અભ્યાસક્રમમાં પૂરતી વિગતમાં આવરી લેવામાં આવ્યો હોવા છતાં, ઘણા સ્નાતકોએ મૂળભૂત સામગ્રીનું પુનરાવર્તન કરવાની જરૂર છે. વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો કેવી રીતે શોધવો તે સમજવાથી, હાઇ સ્કૂલના વિદ્યાર્થીઓ સમસ્યાનું નિરાકરણ કરતી વખતે સાચા જવાબની ઝડપથી ગણતરી કરી શકશે અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવાના પરિણામો પર યોગ્ય સ્કોર્સ મેળવવા પર વિશ્વાસ કરશે.

મુખ્ય ઘોંઘાટ

એ સુનિશ્ચિત કરવા માટે કે ડાયહેડ્રલ એંગલ કેવી રીતે શોધવું તે પ્રશ્ન મુશ્કેલીઓનું કારણ નથી, અમે એક ઉકેલ અલ્ગોરિધમને અનુસરવાની ભલામણ કરીએ છીએ જે તમને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કાર્યોનો સામનો કરવામાં મદદ કરશે.

પ્રથમ તમારે સીધી રેખા નક્કી કરવાની જરૂર છે જેની સાથે વિમાનો છેદે છે.

પછી તમારે આ રેખા પર એક બિંદુ પસંદ કરવાની અને તેના પર બે લંબ દોરવાની જરૂર છે.

આગળનું પગલું એ કાટખૂણે રચાયેલા ડાયહેડ્રલ કોણનું ત્રિકોણમિતિ કાર્ય શોધવાનું છે. આ કરવાની સૌથી અનુકૂળ રીત પરિણામી ત્રિકોણની મદદથી છે, જેમાંથી કોણ એક ભાગ છે.

જવાબ કોણનું મૂલ્ય અથવા તેના ત્રિકોણમિતિ કાર્ય હશે.

શ્કોલ્કોવો સાથે પરીક્ષાની પરીક્ષાની તૈયારી એ તમારી સફળતાની ચાવી છે

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવાની પૂર્વસંધ્યાએ વર્ગો દરમિયાન, ઘણા શાળાના બાળકોને વ્યાખ્યાઓ અને સૂત્રો શોધવાની સમસ્યાનો સામનો કરવો પડે છે જે તેમને 2 વિમાનો વચ્ચેના ખૂણાની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. શાળાની પાઠ્યપુસ્તક હંમેશા જરૂરી હોય ત્યારે બરાબર હાથમાં હોતી નથી. અને ઇન્ટરનેટ પર વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો શોધવા સહિત, તેમની સાચી એપ્લિકેશનના જરૂરી સૂત્રો અને ઉદાહરણો શોધવા માટે, કેટલીકવાર તમારે ઘણો સમય પસાર કરવો પડે છે.

શ્કોલ્કોવો ગાણિતિક પોર્ટલ રાજ્ય પરીક્ષાની તૈયારી કરવા માટે એક નવો અભિગમ પ્રદાન કરે છે. અમારી વેબસાઈટ પરના વર્ગો વિદ્યાર્થીઓને પોતાના માટે સૌથી મુશ્કેલ વિભાગો ઓળખવામાં અને જ્ઞાનમાં અંતર ભરવામાં મદદ કરશે.

અમે તમામ જરૂરી સામગ્રી તૈયાર અને સ્પષ્ટ રીતે રજૂ કરી છે. મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ અને સૂત્રો "સૈદ્ધાંતિક માહિતી" વિભાગમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે.

સામગ્રીને વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, અમે યોગ્ય કસરતોનો અભ્યાસ કરવાનું પણ સૂચન કરીએ છીએ. જટિલતાના વિવિધ ડિગ્રીના કાર્યોની વિશાળ પસંદગી, ઉદાહરણ તરીકે, ચાલુ, "કેટેલોગ" વિભાગમાં પ્રસ્તુત છે. બધા કાર્યોમાં સાચો જવાબ શોધવા માટે વિગતવાર અલ્ગોરિધમનો સમાવેશ થાય છે. સાઇટ પરની કસરતોની સૂચિ સતત પૂરક અને અપડેટ કરવામાં આવે છે.

બે વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો શોધવાની જરૂર હોય તેવી સમસ્યાઓ ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરતી વખતે, વિદ્યાર્થીઓને કોઈપણ કાર્યને "મનપસંદ" તરીકે ઑનલાઇન સાચવવાની તક મળે છે. આનો આભાર, તેઓ જરૂરી સંખ્યામાં તે પર પાછા ફરી શકશે અને શાળાના શિક્ષક અથવા શિક્ષક સાથે તેના ઉકેલની પ્રગતિની ચર્ચા કરી શકશે.