બીજા ક્રમના વણાંકોપ્લેન પર એ સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખાઓ છે જેમાં ચલ સંકલન કરે છે xઅને yબીજી ડિગ્રીમાં સમાયેલ છે. તેમાં એલિપ્સ, હાઇપરબોલા અને પેરાબોલાનો સમાવેશ થાય છે.

બીજા ક્રમના વળાંકના સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ નીચે મુજબ છે:

જ્યાં A, B, C, D, E, F- સંખ્યાઓ અને ઓછામાં ઓછા એક ગુણાંક A, B, Cશૂન્ય બરાબર નથી.

દ્વિતીય ક્રમના વળાંકો સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલતી વખતે, અંડાકાર, હાયપરબોલા અને પેરાબોલાના પ્રમાણભૂત સમીકરણોને મોટાભાગે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. સામાન્ય સમીકરણોમાંથી તેમની તરફ આગળ વધવું સરળ છે; લંબગોળ સાથેની સમસ્યાઓનું ઉદાહરણ 1 આને સમર્પિત કરવામાં આવશે.

પ્રમાણભૂત સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ અંડાકાર

અંડાકારની વ્યાખ્યા.લંબગોળ એ સમતલના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે જેના માટે ફોસી કહેવાતા બિંદુઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો એ ફોસી વચ્ચેના અંતર કરતાં સતત મૂલ્ય છે.

ફોકસ નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

અંડાકારના પ્રમાણભૂત સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

જ્યાં aઅને b (a > b) - અર્ધ-અક્ષોની લંબાઈ, એટલે કે, કોઓર્ડિનેટ અક્ષો પર લંબગોળ દ્વારા કાપવામાં આવેલા ભાગોની અડધી લંબાઈ.

અંડાકારના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા એ તેની સમપ્રમાણતાની ધરી છે. લંબગોળની સમપ્રમાણતાનો બીજો અક્ષ એ આ સેગમેન્ટને લંબરૂપ સેગમેન્ટની મધ્યમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે. ડોટ વિશેઆ રેખાઓનું આંતરછેદ અંડાકારની સમપ્રમાણતાના કેન્દ્ર તરીકે અથવા ફક્ત અંડાકારના કેન્દ્ર તરીકે કામ કરે છે.

લંબગોળની એબ્સીસા અક્ષ બિંદુઓ પર છેદે છે ( a, વિશે) અને (- a, વિશે), અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ પોઈન્ટમાં છે ( b, વિશે) અને (- b, વિશે). આ ચાર બિંદુઓને અંડાકારના શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે. એક્સ-અક્ષ પર લંબગોળના શિરોબિંદુઓ વચ્ચેના સેગમેન્ટને તેની મુખ્ય અક્ષ કહેવામાં આવે છે, અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર - તેની નાની અક્ષ. લંબગોળની ટોચથી મધ્ય સુધીના તેમના ભાગોને અર્ધ-અક્ષ કહેવામાં આવે છે.

જો a = b, પછી અંડાકારનું સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે. આ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું સમીકરણ છે a, અને વર્તુળ એ એલિપ્સનો વિશેષ કેસ છે. ત્રિજ્યાના વર્તુળમાંથી લંબગોળ મેળવી શકાય છે a, જો તમે તેને સંકુચિત કરો છો a/bધરી સાથે વખત ઓય .

ઉદાહરણ 1.સામાન્ય સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ લીટી છે કે કેમ તે તપાસો , લંબગોળ.

ઉકેલ. અમે સામાન્ય સમીકરણને બદલીએ છીએ. અમે મુક્ત શબ્દના સ્થાનાંતરણનો ઉપયોગ જમણી બાજુએ કરીએ છીએ, સમાન સંખ્યા દ્વારા સમીકરણના ટર્મ-બાય-ટર્મ વિભાજન અને અપૂર્ણાંકના ઘટાડાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

જવાબ આપો. રૂપાંતરણોના પરિણામે મેળવેલ સમીકરણ એ એલિપ્સનું પ્રામાણિક સમીકરણ છે. તેથી, આ રેખા લંબગોળ છે.

ઉદાહરણ 2.અંડાકારનું પ્રામાણિક સમીકરણ બનાવો જો તેની અર્ધ-અક્ષ અનુક્રમે 5 અને 4 સમાન હોય.

ઉકેલ. અંડાકાર અને અવેજીના પ્રમાણભૂત સમીકરણ માટે આપણે સૂત્ર જોઈએ છીએ: અર્ધ મુખ્ય ધરી છે a= 5, અર્ધ-માઇનોર અક્ષ છે b= 4. અમે અંડાકારનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

બિંદુઓ અને , મુખ્ય ધરી પર લીલા રંગમાં દર્શાવેલ છે, જ્યાં

કહેવાય છે યુક્તિઓ.

કહેવાય છે તરંગીતાલંબગોળ

વલણ b/aઅંડાકારની "ઓબ્લેટનેસ" ની લાક્ષણિકતા. આ ગુણોત્તર જેટલો નાનો હશે, તેટલો અંડાકાર મુખ્ય ધરી સાથે વિસ્તરેલ છે. જો કે, અંડાકારના વિસ્તરણની ડિગ્રી વધુ વખત વિલક્ષણતા દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, જેના માટેનું સૂત્ર ઉપર આપવામાં આવ્યું છે. વિવિધ લંબગોળો માટે, તરંગીતા 0 થી 1 સુધી બદલાય છે, હંમેશા એકતા કરતા ઓછી રહે છે.

ઉદાહરણ 3.જો ફોસી વચ્ચેનું અંતર 8 અને મુખ્ય અક્ષ 10 હોય તો અંડાકારનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ બનાવો.

ઉકેલ. ચાલો કેટલાક સરળ તારણો કરીએ:

જો મુખ્ય ધરી 10 જેટલી હોય, તો તેનો અડધો ભાગ, એટલે કે અર્ધ-અક્ષ a = 5 ,

જો foci વચ્ચેનું અંતર 8 છે, તો સંખ્યા cફોકલ કોઓર્ડિનેટ્સ 4 ની બરાબર છે.

અમે અવેજી અને ગણતરી કરીએ છીએ:

પરિણામ એલિપ્સનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ છે:

ઉદાહરણ 4.અંડાકારનું પ્રામાણિક સમીકરણ બનાવો જો તેની મુખ્ય ધરી 26 હોય અને તેની વિષમતા હોય.

ઉકેલ. મુખ્ય અક્ષના કદ અને તરંગી સમીકરણ બંનેમાંથી નીચે મુજબ, અંડાકારની અર્ધ મુખ્ય ધરી a= 13. તરંગી સમીકરણમાંથી આપણે સંખ્યા વ્યક્ત કરીએ છીએ c, નાના અર્ધ-અક્ષની લંબાઈની ગણતરી કરવા માટે જરૂરી છે:

.

અમે નાના અર્ધ-અક્ષની લંબાઈના ચોરસની ગણતરી કરીએ છીએ:

અમે અંડાકારનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ કંપોઝ કરીએ છીએ:

ઉદાહરણ 5.પ્રમાણભૂત સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ અંડાકારનું કેન્દ્રબિંદુ નક્કી કરો.

ઉકેલ. નંબર શોધો c, જે એલિપ્સના ફોસીના પ્રથમ કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરે છે:

.

અમને અંડાકારના ફોકસ મળે છે:

ઉદાહરણ 6.લંબગોળનું કેન્દ્ર ધરી પર સ્થિત છે બળદમૂળ વિશે સમપ્રમાણરીતે. અંડાકારનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ કંપોઝ કરો જો:

1) ફોકસ વચ્ચેનું અંતર 30 છે, અને મુખ્ય ધરી 34 છે

2) નાની અક્ષ 24, અને એક ફોકસ બિંદુ પર છે (-5; 0)

3) તરંગીતા, અને એક કેન્દ્રબિંદુ પર છે (6; 0)

ચાલો સાથે મળીને લંબગોળ સમસ્યાઓ હલ કરવાનું ચાલુ રાખીએ

જો એલિપ્સનું મનસ્વી બિંદુ છે (ડ્રોઇંગમાં અંડાકારના ઉપરના જમણા ભાગમાં લીલા રંગમાં દર્શાવેલ છે) અને ફોસીથી આ બિંદુ સુધીનું અંતર છે, તો અંતર માટેના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:

લંબગોળ સાથે જોડાયેલા દરેક બિંદુ માટે, ફોસીથી અંતરનો સરવાળો 2 ની બરાબર એક સ્થિર મૂલ્ય છે a.

સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખાઓ

કહેવાય છે મુખ્ય શિક્ષિકાઓલંબગોળ (ડ્રોઇંગમાં કિનારીઓ સાથે લાલ રેખાઓ છે).

ઉપરના બે સમીકરણો પરથી તે અંડાકારના કોઈપણ બિંદુ માટે તેને અનુસરે છે

,

ડાયરેક્ટ્રીક્સ અને આ બિંદુનું અંતર ક્યાં અને છે.

ઉદાહરણ 7.એક લંબગોળ આપેલ છે. તેના ડાયરેક્ટ્રીક્સ માટે સમીકરણ લખો.

ઉકેલ. આપણે ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણ જોઈએ છીએ અને શોધી કાઢીએ છીએ કે આપણે અંડાકારની વિષમતા શોધવાની જરૂર છે, એટલે કે. અમારી પાસે આ માટેનો તમામ ડેટા છે. અમે ગણતરી કરીએ છીએ:

.

અમે એલિપ્સના ડાયરેક્ટ્રીક્સનું સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

ઉદાહરણ 8.અંડાકારનું પ્રામાણિક સમીકરણ બનાવો જો તેના કેન્દ્રબિંદુઓ હોય અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ રેખાઓ હોય.

બીજા ક્રમની રેખાઓ.
એલિપ્સ અને તેનું પ્રામાણિક સમીકરણ. વર્તુળ

સંપૂર્ણ અભ્યાસ પછી પ્લેનમાં સીધી રેખાઓઅમે દ્વિ-પરિમાણીય વિશ્વની ભૂમિતિનો અભ્યાસ કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ. દાવ બમણો થઈ ગયો છે અને હું તમને અંડાકાર, હાયપરબોલાસ, પેરાબોલાસની મનોહર ગેલેરીની મુલાકાત લેવા આમંત્રણ આપું છું, જે લાક્ષણિક પ્રતિનિધિઓ છે. બીજી ક્રમ રેખાઓ. પર્યટન પહેલેથી જ શરૂ થઈ ગયું છે, અને પ્રથમ સંગ્રહાલયના વિવિધ માળ પરના સમગ્ર પ્રદર્શન વિશે ટૂંકી માહિતી:

બીજગણિત રેખા અને તેનો ક્રમનો ખ્યાલ

પ્લેન પર એક લાઇન કહેવામાં આવે છે બીજગણિત, જો માં affine કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમતેનું સમીકરણ ફોર્મ ધરાવે છે , જ્યાં ફોર્મની શરતો (- વાસ્તવિક સંખ્યા, – બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો) નો સમાવેશ થતો બહુપદી છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, બીજગણિત રેખાના સમીકરણમાં સાઈન, કોસાઈન્સ, લઘુગણક અને અન્ય કાર્યાત્મક બ્યુ મોન્ડ નથી. ફક્ત X અને Y અંદર છે બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકોડિગ્રી

લાઇન ઓર્ડરતેમાં સમાવિષ્ટ શરતોના મહત્તમ મૂલ્યની બરાબર.

અનુરૂપ પ્રમેય અનુસાર, બીજગણિત રેખાની વિભાવના, તેમજ તેનો ક્રમ, પસંદગી પર આધાર રાખતો નથી affine કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમતેથી, અસ્તિત્વમાં સરળતા માટે, અમે ધારીએ છીએ કે તમામ અનુગામી ગણતરીઓ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ.

સામાન્ય સમીકરણબીજી ઓર્ડર લાઇનમાં ફોર્મ છે, જ્યાં - મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ (તેને બેના પરિબળ સાથે લખવાનો રિવાજ છે), અને ગુણાંક એક જ સમયે શૂન્ય સમાન નથી.

જો , તો સમીકરણ સરળ બનાવે છે , અને જો ગુણાંક એક જ સમયે શૂન્ય સમાન ન હોય, તો આ બરાબર છે "સપાટ" રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ, જે રજૂ કરે છે પ્રથમ ઓર્ડર લાઇન.

ઘણા લોકો નવા શબ્દોનો અર્થ સમજી ગયા છે, પરંતુ, તેમ છતાં, સામગ્રીમાં 100% માસ્ટર થવા માટે, અમે અમારી આંગળીઓને સોકેટમાં ચોંટાડીએ છીએ. રેખા ક્રમ નક્કી કરવા માટે, તમારે પુનરાવર્તન કરવાની જરૂર છે બધી શરતોતેના સમીકરણો અને તેમાંથી દરેક માટે શોધો ડિગ્રીનો સરવાળોઆવનારા ચલો.

ઉદાહરણ તરીકે:

આ શબ્દમાં 1લી શક્તિ માટે "x" શામેલ છે;
આ શબ્દમાં 1લી શક્તિ માટે "Y" શામેલ છે;
શબ્દમાં કોઈ ચલ નથી, તેથી તેમની શક્તિઓનો સરવાળો શૂન્ય છે.

હવે ચાલો સમજીએ કે સમીકરણ રેખાને શા માટે વ્યાખ્યાયિત કરે છે બીજુંઓર્ડર:

શબ્દમાં 2જી પાવર માટે "x" શામેલ છે;
સમન્ડમાં ચલોની શક્તિઓનો સરવાળો છે: 1 + 1 = 2;
શબ્દમાં 2જી પાવર માટે "Y" શામેલ છે;
અન્ય તમામ શરતો - ઓછુંડિગ્રી

મહત્તમ મૂલ્ય: 2

જો આપણે આપણા સમીકરણમાં વધુમાં ઉમેરીએ, કહો, તો તે પહેલેથી જ નક્કી કરશે ત્રીજા ક્રમની રેખા. તે સ્પષ્ટ છે કે 3જી ક્રમ રેખા સમીકરણના સામાન્ય સ્વરૂપમાં શરતોનો "સંપૂર્ણ સમૂહ" છે, ચલોની શક્તિઓનો સરવાળો જેમાં ત્રણ બરાબર છે:
, જ્યાં ગુણાંક એક જ સમયે શૂન્યની બરાબર નથી.

જો તમે સમાવિષ્ટ એક અથવા વધુ યોગ્ય શબ્દો ઉમેરો છો , તો પછી આપણે પહેલાથી જ વાત કરીશું 4 થી ઓર્ડર લાઇન, વગેરે

અમારે 3જી, 4ઠ્ઠી અને ઉચ્ચ ક્રમની બીજગણિત રેખાઓનો એક કરતા વધુ વખત સામનો કરવો પડશે, ખાસ કરીને, જ્યારે તેનાથી પરિચિત થાઓ ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલી.

જો કે, ચાલો સામાન્ય સમીકરણ પર પાછા જઈએ અને તેની સૌથી સરળ શાળા વિવિધતાઓને યાદ કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે, એક પેરાબોલા ઉદભવે છે, જેનું સમીકરણ સરળતાથી સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે, અને સમકક્ષ સમીકરણ સાથે અતિપરવલય. જો કે, બધું એટલું સરળ નથી ...

સામાન્ય સમીકરણની નોંધપાત્ર ખામી એ છે કે તે કઈ રેખાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે તે લગભગ હંમેશા સ્પષ્ટ હોતું નથી. સૌથી સરળ કિસ્સામાં પણ, તમે તરત જ સમજી શકશો નહીં કે આ એક હાયપરબોલ છે. આવા લેઆઉટ ફક્ત માસ્કરેડમાં જ સારા હોય છે, તેથી વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં એક લાક્ષણિક સમસ્યા ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. 2જી ક્રમ રેખા સમીકરણને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવવું.

સમીકરણનું પ્રામાણિક સ્વરૂપ શું છે?

આ સમીકરણનું સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ છે, જ્યારે સેકન્ડોમાં તે સ્પષ્ટ થઈ જાય છે કે તે કયો ભૌમિતિક પદાર્થ વ્યાખ્યાયિત કરે છે. વધુમાં, પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ ઘણી વ્યવહારુ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ખૂબ અનુકૂળ છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રમાણભૂત સમીકરણ અનુસાર "સપાટ" સીધા, પ્રથમ, તે તરત જ સ્પષ્ટ થાય છે કે આ એક સીધી રેખા છે, અને બીજું, તેની સાથે સંબંધિત બિંદુ અને દિશા વેક્ટર સરળતાથી દૃશ્યમાન છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે કોઈપણ 1 લી ઓર્ડર લાઇનએક સીધી રેખા છે. બીજા માળે, હવે તે ચોકીદાર નથી જે આપણી રાહ જોઈ રહ્યો છે, પરંતુ નવ પ્રતિમાઓની વધુ વૈવિધ્યસભર કંપની છે:

બીજી ક્રમ રેખાઓનું વર્ગીકરણ

ક્રિયાઓના વિશિષ્ટ સમૂહનો ઉપયોગ કરીને, સેકન્ડ-ઓર્ડર લાઇનના કોઈપણ સમીકરણને નીચેનામાંથી એક સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે:

(અને હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે)

1) - લંબગોળનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ;

2) – હાયપરબોલાના પ્રમાણભૂત સમીકરણ;

3) - પેરાબોલાના પ્રામાણિક સમીકરણ;

4) – કાલ્પનિકલંબગોળ

5) – છેદતી રેખાઓની જોડી;

6) - જોડી કાલ્પનિકછેદતી રેખાઓ (મૂળ પર આંતરછેદના એક માન્ય બિંદુ સાથે);

7) - સમાંતર રેખાઓની જોડી;

8) - જોડી કાલ્પનિકસમાંતર રેખાઓ;

9) – સાંયોગિક રેખાઓની જોડી.

કેટલાક વાચકોને એવી છાપ પડી શકે છે કે સૂચિ અધૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ નંબર 7 માં, સમીકરણ જોડીને સ્પષ્ટ કરે છે પ્રત્યક્ષ, અક્ષની સમાંતર, અને પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: ઓર્ડિનેટ અક્ષની સમાંતર રેખાઓ નક્કી કરતું સમીકરણ ક્યાં છે? જવાબ: તે પ્રામાણિક માનવામાં આવતું નથી. સીધી રેખાઓ સમાન પ્રમાણભૂત કેસનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જે 90 ડિગ્રી દ્વારા ફેરવાય છે, અને વર્ગીકરણમાં વધારાની એન્ટ્રી બિનજરૂરી છે, કારણ કે તે મૂળભૂત રીતે કંઈપણ નવું લાવતું નથી.

આમ, 2જી ઓર્ડર લાઇનના નવ અને માત્ર નવ જુદા જુદા પ્રકારો છે, પરંતુ વ્યવહારમાં સૌથી સામાન્ય છે એલિપ્સ, હાઇપરબોલા અને પેરાબોલા.

ચાલો પહેલા લંબગોળ જોઈએ. હંમેશની જેમ, હું તે મુદ્દાઓ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરું છું જે સમસ્યાઓના નિરાકરણ માટે ખૂબ મહત્વ ધરાવે છે, અને જો તમને સૂત્રોના વિગતવાર વ્યુત્પત્તિ, પ્રમેયના પુરાવાની જરૂર હોય, તો કૃપા કરીને, ઉદાહરણ તરીકે, બાઝીલેવ/અતાનાસ્યાન અથવા એલેક્ઝાન્ડ્રોવ દ્વારા પાઠયપુસ્તકનો સંદર્ભ લો.

એલિપ્સ અને તેનું પ્રામાણિક સમીકરણ

જોડણી... મહેરબાની કરીને કેટલાક યાન્ડેક્ષ વપરાશકર્તાઓની ભૂલોનું પુનરાવર્તન કરશો નહીં કે જેમને "એલિપ્સ કેવી રીતે બનાવવું", "એલિપ્સ અને અંડાકાર વચ્ચેનો તફાવત" અને "એલિપ્સની વિચિત્રતા" માં રસ છે.

અંડાકારના પ્રમાણભૂત સમીકરણનું સ્વરૂપ છે , જ્યાં હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને . હું અંડાકારની ખૂબ જ વ્યાખ્યા પછીથી ઘડીશ, પરંતુ હમણાં માટે વાત કરવાની દુકાનમાંથી વિરામ લેવાનો અને સામાન્ય સમસ્યાને હલ કરવાનો સમય છે:

લંબગોળ કેવી રીતે બનાવવું?

હા, ફક્ત તેને લો અને તેને દોરો. કાર્ય વારંવાર થાય છે, અને વિદ્યાર્થીઓનો નોંધપાત્ર ભાગ ડ્રોઇંગનો યોગ્ય રીતે સામનો કરી શકતો નથી:

ઉદાહરણ 1

સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ લંબગોળ બનાવો

ઉકેલ: પ્રથમ, ચાલો સમીકરણને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવીએ:

શા માટે લાવશો? પ્રામાણિક સમીકરણનો એક ફાયદો એ છે કે તે તમને તરત જ નક્કી કરવા દે છે લંબગોળના શિરોબિંદુઓ, જે પોઈન્ટ પર સ્થિત છે. તે જોવાનું સરળ છે કે આ દરેક બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે.

આ કિસ્સામાં:


સેગમેન્ટકહેવાય છે મુખ્ય ધરીલંબગોળ
સેગમેન્ટ – નાની અક્ષ;
સંખ્યા કહેવાય છે અર્ધ-મુખ્ય શાફ્ટલંબગોળ
સંખ્યા – નાની અક્ષ.
અમારા ઉદાહરણમાં:.

ચોક્કસ લંબગોળ કેવો દેખાય છે તેની ઝડપથી કલ્પના કરવા માટે, ફક્ત તેના પ્રમાણભૂત સમીકરણના “a” અને “be” ના મૂલ્યો જુઓ.

બધું સારું, સરળ અને સુંદર છે, પરંતુ એક ચેતવણી છે: મેં પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને ડ્રોઇંગ બનાવ્યું. અને તમે કોઈપણ એપ્લિકેશનનો ઉપયોગ કરીને ચિત્ર બનાવી શકો છો. જો કે, કઠોર વાસ્તવિકતામાં, ટેબલ પર કાગળનો ચેકર્ડ ટુકડો છે, અને આપણા હાથ પર વર્તુળોમાં ઉંદર નૃત્ય કરે છે. કલાત્મક પ્રતિભા ધરાવતા લોકો, અલબત્ત, દલીલ કરી શકે છે, પરંતુ તમારી પાસે ઉંદર પણ છે (જોકે નાના લોકો). તે નિરર્થક નથી કે માનવતાએ ડ્રોઇંગ માટે શાસક, હોકાયંત્ર, પ્રોટ્રેક્ટર અને અન્ય સરળ ઉપકરણોની શોધ કરી.

આ કારણોસર, અમે ફક્ત શિરોબિંદુઓને જાણીને લંબગોળને ચોક્કસ રીતે દોરવામાં સમર્થ થવાની શક્યતા નથી. જો લંબગોળ નાનો હોય તો તે બરાબર છે, ઉદાહરણ તરીકે, અર્ધ-અક્ષો સાથે. વૈકલ્પિક રીતે, તમે સ્કેલ ઘટાડી શકો છો અને, તે મુજબ, ડ્રોઇંગના પરિમાણો. પરંતુ સામાન્ય રીતે, વધારાના પોઈન્ટ શોધવા માટે તે અત્યંત ઇચ્છનીય છે.

લંબગોળ બનાવવા માટે બે અભિગમો છે - ભૌમિતિક અને બીજગણિત. મને હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને બાંધકામ ગમતું નથી કારણ કે અલ્ગોરિધમ સૌથી ટૂંકું નથી અને ચિત્ર નોંધપાત્ર રીતે અવ્યવસ્થિત છે. કટોકટીના કિસ્સામાં, કૃપા કરીને પાઠ્યપુસ્તકનો સંદર્ભ લો, પરંતુ વાસ્તવમાં બીજગણિતના સાધનોનો ઉપયોગ કરવો તે વધુ તર્કસંગત છે. ડ્રાફ્ટમાં અંડાકારના સમીકરણમાંથી આપણે ઝડપથી વ્યક્ત કરીએ છીએ:

પછી સમીકરણ બે કાર્યોમાં વિભાજિત થાય છે:
- એલિપ્સના ઉપલા ચાપને વ્યાખ્યાયિત કરે છે;
- એલિપ્સની નીચેની ચાપને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

પ્રામાણિક સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત લંબગોળ સંકલન અક્ષોના સંદર્ભમાં તેમજ મૂળના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે. અને આ મહાન છે - સમપ્રમાણતા લગભગ હંમેશા ફ્રીબીઝનો હાર્બિંગર છે. દેખીતી રીતે, તે 1 લી કોઓર્ડિનેટ ક્વાર્ટર સાથે વ્યવહાર કરવા માટે પૂરતું છે, તેથી અમને ફંક્શનની જરૂર છે . તે એબ્સીસાસ સાથે વધારાના બિંદુઓ શોધવાનો પ્રશ્ન પૂછે છે . ચાલો કેલ્ક્યુલેટર પર ત્રણ SMS સંદેશાઓને ટેપ કરીએ:

અલબત્ત, તે પણ સરસ છે કે જો ગણતરીમાં ગંભીર ભૂલ થઈ હોય, તો તે બાંધકામ દરમિયાન તરત જ સ્પષ્ટ થઈ જશે.

ચાલો ડ્રોઇંગ (લાલ) પરના બિંદુઓને ચિહ્નિત કરીએ, બાકીના ચાપ (વાદળી) પર સપ્રમાણ બિંદુઓ અને કાળજીપૂર્વક સમગ્ર કંપનીને એક રેખા સાથે જોડીએ:


પ્રારંભિક સ્કેચને ખૂબ જ પાતળા દોરવાનું વધુ સારું છે, અને તે પછી જ પેંસિલથી દબાણ કરો. પરિણામ એકદમ યોગ્ય લંબગોળ હોવું જોઈએ. બાય ધ વે, શું તમે જાણવા માગો છો કે આ વળાંક શું છે?

અંડાકારની વ્યાખ્યા. એલિપ્સ ફોસી અને એલિપ્સ વિલક્ષણતા

લંબગોળ એ અંડાકારનો વિશિષ્ટ કેસ છે. "અંડાકાર" શબ્દને ફિલિસ્ટીન અર્થમાં સમજવો જોઈએ નહીં ("બાળકે અંડાકાર દોર્યું", વગેરે). આ એક ગાણિતિક શબ્દ છે જેની વિગતવાર રચના છે. આ પાઠનો હેતુ અંડાકાર અને તેમના વિવિધ પ્રકારોના સિદ્ધાંતને ધ્યાનમાં લેવાનો નથી, જેને વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના પ્રમાણભૂત અભ્યાસક્રમમાં વર્ચ્યુઅલ રીતે કોઈ ધ્યાન આપવામાં આવતું નથી. અને, વધુ વર્તમાન જરૂરિયાતો અનુસાર, અમે તરત જ લંબગોળની કડક વ્યાખ્યા તરફ આગળ વધીએ છીએ:

અંડાકારપ્લેનના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે, જેમાંથી પ્રત્યેકને આપેલા બે બિંદુઓથી અંતરનો સરવાળો કહેવાય છે. યુક્તિઓઅંડાકાર, એક સ્થિર જથ્થો છે, જે સંખ્યાત્મક રીતે આ અંડાકારની મુખ્ય ધરીની લંબાઈ જેટલી છે: .
આ કિસ્સામાં, ફોકસ વચ્ચેનું અંતર આ મૂલ્ય કરતાં ઓછું છે: .

હવે બધું સ્પષ્ટ થઈ જશે:

કલ્પના કરો કે વાદળી બિંદુ લંબગોળ સાથે "પ્રવાસ કરે છે". તેથી, ભલે આપણે લંબગોળના બિંદુને લઈએ, સેગમેન્ટ્સની લંબાઈનો સરવાળો હંમેશા સમાન રહેશે:

ચાલો ખાતરી કરીએ કે અમારા ઉદાહરણમાં સરવાળોનું મૂલ્ય ખરેખર આઠ જેટલું છે. માનસિક રીતે અંડાકારના જમણા શિરોબિંદુ પર બિંદુ "um" મૂકો, પછી: , જે તપાસવાની જરૂર છે.

તેને દોરવાની બીજી પદ્ધતિ એલિપ્સની વ્યાખ્યા પર આધારિત છે. ઉચ્ચ ગણિત ક્યારેક તણાવ અને તાણનું કારણ બને છે, તેથી અન્ય અનલોડિંગ સત્ર કરવાનો સમય છે. કૃપા કરીને વોટમેન પેપર અથવા કાર્ડબોર્ડની મોટી શીટ લો અને તેને બે નખ વડે ટેબલ પર પિન કરો. આ યુક્તિઓ હશે. બહાર નીકળેલા નેઇલ હેડ પર લીલો દોરો બાંધો અને તેને પેન્સિલ વડે બધી રીતે ખેંચો. પેન્સિલ લીડ ચોક્કસ બિંદુએ સમાપ્ત થશે જે લંબગોળ સાથે સંબંધિત છે. હવે પેન્સિલને કાગળની શીટ સાથે દોરવાનું શરૂ કરો, લીલો દોરો તંગ રાખીને. જ્યાં સુધી તમે પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછા ન આવો ત્યાં સુધી પ્રક્રિયા ચાલુ રાખો... સરસ... ડૉક્ટર અને શિક્ષક દ્વારા ચિત્રની તપાસ કરી શકાય છે =)

લંબગોળનું કેન્દ્રબિંદુ કેવી રીતે શોધવું?

ઉપરના ઉદાહરણમાં, મેં "તૈયાર" ફોકલ પોઈન્ટ્સ દર્શાવ્યા છે, અને હવે આપણે શીખીશું કે તેમને ભૂમિતિના ઊંડાણમાંથી કેવી રીતે બહાર કાઢવું.

જો અંડાકાર પ્રમાણભૂત સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો તેના ફોસીમાં કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે , આ ક્યાં છે દરેક ફોકસથી અંડાકારની સમપ્રમાણતાના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર.

ગણતરીઓ સરળ કરતાં વધુ સરળ છે:

! ફોસીના વિશિષ્ટ કોઓર્ડિનેટ્સને "tse" ના અર્થ સાથે ઓળખી શકાતા નથી!હું પુનરાવર્તન કરું છું કે આ છે દરેક ફોકસથી કેન્દ્ર સુધી DISTANCE(જે સામાન્ય કિસ્સામાં મૂળ પર બરાબર સ્થિત હોવું જરૂરી નથી).
અને, તેથી, ફોસી વચ્ચેનું અંતર પણ લંબગોળની પ્રામાણિક સ્થિતિ સાથે જોડી શકાતું નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, લંબગોળને બીજી જગ્યાએ ખસેડી શકાય છે અને મૂલ્ય યથાવત રહેશે, જ્યારે foci કુદરતી રીતે તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ બદલશે. તમે વિષયનું વધુ અન્વેષણ કરો ત્યારે કૃપા કરીને આને ધ્યાનમાં લો.

લંબગોળ તરંગીતા અને તેનો ભૌમિતિક અર્થ

અંડાકારની તરંગીતા એ એક ગુણોત્તર છે જે શ્રેણીની અંદર મૂલ્યો લઈ શકે છે.

અમારા કિસ્સામાં:

ચાલો જાણીએ કે લંબગોળનો આકાર તેની વિલક્ષણતા પર કેવી રીતે આધાર રાખે છે. આ માટે ડાબા અને જમણા શિરોબિંદુઓને ઠીક કરોવિચારણા હેઠળના અંડાકારની, એટલે કે, અર્ધ-મુખ્ય અક્ષનું મૂલ્ય સ્થિર રહેશે. પછી વિચિત્રતા સૂત્ર ફોર્મ લેશે: .

ચાલો વિલક્ષણ મૂલ્યને એકતાની નજીક લાવવાનું શરૂ કરીએ. આ તો જ શક્ય છે જો. તેનો અર્થ શું છે? ...યુક્તિઓ યાદ રાખો . આનો અર્થ એ છે કે લંબગોળનું કેન્દ્રબિંદુ એબ્સીસા અક્ષ સાથે બાજુના શિરોબિંદુઓ તરફ "અલગ થઈ જશે". અને, કારણ કે "લીલા ભાગો રબર નથી", અંડાકાર અનિવાર્યપણે સપાટ થવાનું શરૂ કરશે, એક ધરી પર લટકેલા પાતળા અને પાતળા સોસેજમાં ફેરવાશે.

આમ, લંબગોળ તરંગીતા મૂલ્ય એકતાની જેટલી નજીક છે, લંબગોળ વધુ વિસ્તરેલ છે.

હવે ચાલો વિપરીત પ્રક્રિયાનું મોડેલ કરીએ: અંડાકારનું કેન્દ્ર કેન્દ્રની નજીક આવતા, એકબીજા તરફ ચાલ્યા. આનો અર્થ એ છે કે "ce" નું મૂલ્ય ઓછું અને ઓછું થતું જાય છે અને તે મુજબ, વિલક્ષણતા શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે: .
આ કિસ્સામાં, "ગ્રીન સેગમેન્ટ્સ" તેનાથી વિપરીત, "ભીડ બની જશે" અને તેઓ લંબગોળ રેખાને ઉપર અને નીચે "દબાણ" કરવાનું શરૂ કરશે.

આમ, વિલક્ષણતા મૂલ્ય શૂન્યની જેટલું નજીક છે, લંબગોળ સમાન છે... જ્યારે ફોસી મૂળ સ્થાને સફળતાપૂર્વક પુનઃ જોડાય ત્યારે મર્યાદિત કેસ જુઓ:

વર્તુળ એ એલિપ્સનો વિશેષ કેસ છે

ખરેખર, અર્ધ-અક્ષોની સમાનતાના કિસ્સામાં, લંબગોળનું પ્રામાણિક સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે, જે ત્રિજ્યા "a" ની ઉત્પત્તિ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળના સમીકરણમાં પ્રતિબિંબિત રીતે પરિવર્તિત થાય છે, જે શાળામાં જાણીતું છે.

વ્યવહારમાં, "બોલતા" અક્ષર "er" સાથેનો સંકેત વધુ વખત ઉપયોગમાં લેવાય છે: . ત્રિજ્યા એ સેગમેન્ટની લંબાઈ છે, જેમાં વર્તુળના દરેક બિંદુને ત્રિજ્યાના અંતર દ્વારા કેન્દ્રમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે.

નોંધ કરો કે લંબગોળની વ્યાખ્યા સંપૂર્ણપણે સાચી રહે છે: ફોસી એકરૂપ થાય છે, અને વર્તુળ પરના દરેક બિંદુ માટે સંયોગ વિભાગોની લંબાઈનો સરવાળો એક સ્થિર છે. કારણ કે ફોસી વચ્ચેનું અંતર છે, તો પછી કોઈપણ વર્તુળની તરંગીતા શૂન્ય છે.

વર્તુળ બનાવવું સરળ અને ઝડપી છે, માત્ર હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરો. જો કે, કેટલીકવાર તેના કેટલાક બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે જરૂરી છે, આ કિસ્સામાં આપણે પરિચિત માર્ગ પર જઈએ છીએ - અમે સમીકરણને ખુશખુશાલ માતાનોવ સ્વરૂપમાં લાવીએ છીએ:

- ઉપલા અર્ધવર્તુળનું કાર્ય;
- નીચલા અર્ધવર્તુળનું કાર્ય.

પછી આપણે જરૂરી મૂલ્યો શોધીએ છીએ, તફાવત કરવો, એકીકૃતઅને અન્ય સારી વસ્તુઓ કરો.

લેખ, અલબત્ત, ફક્ત સંદર્ભ માટે છે, પરંતુ તમે પ્રેમ વિના વિશ્વમાં કેવી રીતે જીવી શકો? સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે સર્જનાત્મક કાર્ય

ઉદાહરણ 2

લંબગોળનું પ્રામાણિક સમીકરણ કંપોઝ કરો જો તેના કેન્દ્રિય અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષમાંથી કોઈ એક જાણીતું હોય (કેન્દ્ર મૂળમાં છે). શિરોબિંદુઓ, વધારાના બિંદુઓ શોધો અને ચિત્રમાં એક રેખા દોરો. તરંગીતાની ગણતરી કરો.

પાઠના અંતે ઉકેલ અને ચિત્રકામ

ચાલો એક ક્રિયા ઉમેરીએ:

લંબગોળ ફેરવો અને સમાંતર અનુવાદ કરો

ચાલો એલિપ્સના પ્રામાણિક સમીકરણ પર પાછા જઈએ, એટલે કે, તે સ્થિતિ પર, જેનું રહસ્ય આ વળાંકના પ્રથમ ઉલ્લેખથી જિજ્ઞાસુ મનને ત્રાસ આપે છે. તેથી અમે લંબગોળ તરફ જોયું , પરંતુ શું વ્યવહારમાં સમીકરણને પૂર્ણ કરવું શક્ય નથી ? છેવટે, અહીં, જો કે, તે પણ એક અંડાકાર લાગે છે!

આ પ્રકારનું સમીકરણ દુર્લભ છે, પરંતુ તે સમગ્રમાં આવે છે. અને તે વાસ્તવમાં એક લંબગોળ વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ચાલો નિષ્ક્રિય કરીએ:

બાંધકામના પરિણામે, અમારું મૂળ લંબગોળ મેળવવામાં આવ્યું હતું, 90 ડિગ્રી દ્વારા ફેરવવામાં આવ્યું હતું. એટલે કે, - આ બિન-પ્રમાણિક પ્રવેશલંબગોળ . રેકોર્ડ!- સમીકરણ અન્ય કોઈ લંબગોળને વ્યાખ્યાયિત કરતું નથી, કારણ કે અક્ષ પર કોઈ બિંદુઓ (ફોસી) નથી જે અંડાકારની વ્યાખ્યાને સંતોષે.

બીજગણિત અને ભૂમિતિ પર પ્રવચનો. સેમેસ્ટર 1.

લેક્ચર 15. એલિપ્સ.

પ્રકરણ 15. એલિપ્સ.

કલમ 1. મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ.

વ્યાખ્યા. લંબગોળ એ પ્લેનનું GMT છે, પ્લેનના બે નિશ્ચિત બિંદુઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો, જેને ફોસી કહેવાય છે, તે એક સ્થિર મૂલ્ય છે.

વ્યાખ્યા. પ્લેનના મનસ્વી બિંદુ M થી અંડાકારના કેન્દ્ર સુધીના અંતરને M બિંદુની કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા કહેવામાં આવે છે.

હોદ્દો:
- લંબગોળનું કેન્દ્રબિંદુ,
- બિંદુ M ની કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા.

અંડાકારની વ્યાખ્યા મુજબ, બિંદુ M એ અંડાકારનો એક બિંદુ છે જો અને માત્ર જો
- સતત મૂલ્ય. આ સ્થિરાંક સામાન્ય રીતે 2a તરીકે સૂચવવામાં આવે છે:

. (1)

તેની નોંધ લો
.

લંબગોળની વ્યાખ્યા પ્રમાણે, તેના કેન્દ્રબિંદુઓ નિશ્ચિત બિંદુઓ છે, તેથી તેમની વચ્ચેનું અંતર પણ આપેલ લંબગોળ માટે એક સ્થિર મૂલ્ય છે.

વ્યાખ્યા. અંડાકારના ફોસી વચ્ચેના અંતરને કેન્દ્રીય લંબાઈ કહેવામાં આવે છે.

હોદ્દો:
.

ત્રિકોણમાંથી
તે તેને અનુસરે છે
, એટલે કે

.

ચાલો b દ્વારા સમાન સંખ્યાને દર્શાવીએ
, એટલે કે

. (2)

વ્યાખ્યા. વલણ

(3)

એલિપ્સની વિલક્ષણતા કહેવાય છે.

ચાલો આ પ્લેન પર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ દાખલ કરીએ, જેને આપણે અંડાકાર માટે પ્રમાણભૂત કહીશું.

વ્યાખ્યા. અક્ષ કે જેના પર અંડાકારનું કેન્દ્રબિંદુ આવેલું છે તેને કેન્દ્રીય અક્ષ કહેવામાં આવે છે.

ચાલો એલિપ્સ માટે પ્રમાણભૂત PDSC બનાવીએ, ફિગ 2 જુઓ.

અમે ફોકલ અક્ષને એબ્સીસા અક્ષ તરીકે પસંદ કરીએ છીએ, અને સેગમેન્ટની વચ્ચેથી ઓર્ડિનેટ અક્ષ દોરીએ છીએ.
ફોકલ અક્ષને લંબરૂપ.

પછી foci પાસે કોઓર્ડિનેટ્સ છે
,
.

કલમ 2. અંડાકારનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ.

પ્રમેય. અંડાકાર માટે પ્રમાણભૂત સંકલન પ્રણાલીમાં, અંડાકારના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

. (4)

પુરાવો. અમે બે તબક્કામાં પુરાવા હાથ ધરીએ છીએ. પ્રથમ તબક્કે, અમે સાબિત કરીશું કે અંડાકાર પર આવેલા કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે (4). બીજા તબક્કે આપણે સાબિત કરીશું કે સમીકરણ (4) નો કોઈપણ ઉકેલ અંડાકાર પર પડેલા બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ આપે છે. અહીંથી તે અનુસરશે કે સમીકરણ (4) તે અને માત્ર સંકલન સમતલના તે બિંદુઓથી સંતુષ્ટ છે જે લંબગોળ પર આવેલા છે. આમાંથી અને વળાંકના સમીકરણની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરશે કે સમીકરણ (4) એ અંડાકારનું સમીકરણ છે.

1) બિંદુ M(x, y) ને લંબગોળનો એક બિંદુ થવા દો, એટલે કે. તેના કેન્દ્રીય ત્રિજ્યાનો સરવાળો 2a છે:

.

ચાલો કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પરના બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ અને આપેલ બિંદુ M ની કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા શોધવા માટે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:

,
, જ્યાંથી આપણે મેળવીએ છીએ:

ચાલો એક રુટને સમાનતાની જમણી બાજુએ ખસેડીએ અને તેને ચોરસ કરીએ:

ઘટાડીને, અમને મળે છે:

અમે સમાન રજૂ કરીએ છીએ, 4 થી ઘટાડીએ છીએ અને આમૂલ દૂર કરીએ છીએ:

.

સ્ક્વેરિંગ

કૌંસ ખોલો અને ટૂંકા કરો
:

આપણે ક્યાં મેળવીએ છીએ:

સમાનતા (2) નો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

.

દ્વારા છેલ્લી સમાનતાને વિભાજીત કરવી
, આપણે સમાનતા (4), વગેરે મેળવીએ છીએ.

2) હવે સંખ્યાઓની જોડી (x, y) સમીકરણ (4) ને સંતોષવા દો અને M(x, y) ને સંકલન સમતલ Oxy પર અનુરૂપ બિંદુ થવા દો.

પછી (4) માંથી તે નીચે મુજબ છે:

.

અમે આ સમાનતાને બિંદુ M ના કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા માટે અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ છીએ:

.

અહીં આપણે સમાનતા (2) અને (3) નો ઉપયોગ કર્યો છે.

આમ,
. તેવી જ રીતે,
.

હવે નોંધ કરો કે સમાનતા (4) થી તે તેને અનુસરે છે

અથવા
વગેરે
, પછી અસમાનતા નીચે મુજબ છે:

.

અહીંથી તે અનુસરે છે, બદલામાં, તે

અથવા
અને

,
. (5)

સમાનતાઓથી (5) તે તેને અનુસરે છે
, એટલે કે બિંદુ M(x, y) એ અંડાકારનો એક બિંદુ છે, વગેરે.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

વ્યાખ્યા. સમીકરણ (4) એ અંડાકારનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ કહેવાય છે.

વ્યાખ્યા. અંડાકાર માટેના પ્રમાણભૂત સંકલન અક્ષોને અંડાકારની મુખ્ય અક્ષો કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. અંડાકાર માટે પ્રમાણભૂત સંકલન પ્રણાલીની ઉત્પત્તિને અંડાકારનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે.

કલમ 3. એલિપ્સના ગુણધર્મો.

પ્રમેય. (એલિપ્સના ગુણધર્મો.)

1. લંબગોળ માટે પ્રમાણભૂત સંકલન પ્રણાલીમાં, બધું

અંડાકારના બિંદુઓ લંબચોરસમાં છે

,
.

2. પોઈન્ટ પર આવેલા છે

3. લંબગોળ એ વળાંક છે જે સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે

તેમની મુખ્ય ધરીઓ.

4. લંબગોળનું કેન્દ્ર તેની સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે.

પુરાવો. 1, 2) અંડાકારના પ્રમાણભૂત સમીકરણમાંથી તરત જ અનુસરે છે.

3, 4) M(x, y) એ અંડાકારનું મનસ્વી બિંદુ છે. પછી તેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે (4). પરંતુ પછી બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ પણ સમીકરણ (4) ને સંતોષે છે, અને તેથી, લંબગોળ બિંદુઓ છે, જેમાંથી પ્રમેયના નિવેદનો અનુસરે છે.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

વ્યાખ્યા. જથ્થા 2a ને અંડાકારની મુખ્ય અક્ષ કહેવામાં આવે છે, એક જથ્થાને અંડાકારની અર્ધ-મુખ્ય ધરી કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. જથ્થા 2b ને અંડાકારની લઘુ અક્ષ કહેવામાં આવે છે, જથ્થા b ને અંડાકારની અર્ધ-માઇનોર અક્ષ કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. અંડાકારના મુખ્ય અક્ષો સાથેના આંતરછેદના બિંદુઓને અંડાકારના શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે.

ટિપ્પણી. એક લંબગોળ નીચે પ્રમાણે બનાવી શકાય છે. પ્લેનમાં, અમે "ફોકલ પોઈન્ટમાં ખીલી મારીએ છીએ" અને તેમની સાથે દોરીની લંબાઈ બાંધીએ છીએ
. પછી અમે એક પેંસિલ લઈએ છીએ અને તેનો ઉપયોગ થ્રેડને સજ્જડ કરવા માટે કરીએ છીએ. પછી અમે પેન્સિલ લીડને પ્લેન સાથે ખસેડીએ છીએ, ખાતરી કરો કે થ્રેડ તંગ છે.

તરંગીતાની વ્યાખ્યામાંથી તે તેને અનુસરે છે

ચાલો નંબર a ને ઠીક કરીએ અને સંખ્યા c ને શૂન્ય તરફ દિશામાન કરીએ. પછી મુ
,
અને
. મર્યાદામાં આપણને મળે છે

અથવા
- વર્તુળનું સમીકરણ.

ચાલો હવે નિર્દેશન કરીએ
. પછી
,
અને આપણે જોઈએ છીએ કે મર્યાદામાં લંબગોળ એક સીધી રેખાના ભાગમાં અધોગતિ પામે છે
આકૃતિ 3 ના સંકેતમાં.

કલમ 4. અંડાકારના પેરામેટ્રિક સમીકરણો.

પ્રમેય. દો
- મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ. પછી સમીકરણોની સિસ્ટમ

,
(6)

એલિપ્સ માટે કેનોનિકલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં એલિપ્સના પેરામેટ્રિક સમીકરણો છે.

પુરાવો. તે સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે કે સમીકરણોની સિસ્ટમ (6) સમીકરણ (4) ની સમકક્ષ છે, એટલે કે. તેમની પાસે ઉકેલોનો સમાન સમૂહ છે.

1) ચાલો (x, y) સિસ્ટમ (6) માટે મનસ્વી ઉકેલ હોઈએ. પ્રથમ સમીકરણને a દ્વારા, બીજાને b દ્વારા વિભાજીત કરો, બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરો અને ઉમેરો:

.

તે. સિસ્ટમનો કોઈપણ ઉકેલ (x, y) (6) સમીકરણને સંતોષે છે (4).

2) તેનાથી વિપરીત, જોડી (x, y) ને સમીકરણ (4) નો ઉકેલ બનવા દો, એટલે કે.

.

આ સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેનો બિંદુ
મૂળમાં કેન્દ્ર સાથે એકમ ત્રિજ્યાના વર્તુળ પર આવેલું છે, એટલે કે. ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ પરનો એક બિંદુ છે જેની સાથે ચોક્કસ કોણ અનુરૂપ છે
:

સાઈન અને કોસાઈનની વ્યાખ્યાથી તે તરત જ તેને અનુસરે છે

,
, ક્યાં
, જેમાંથી તે અનુસરે છે કે જોડી (x, y) એ સિસ્ટમ (6), વગેરેનો ઉકેલ છે.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ટિપ્પણી. એબ્સીસા અક્ષ તરફ ત્રિજ્યા a ના વર્તુળના સમાન "સંકોચન" ના પરિણામે એક લંબગોળ મેળવી શકાય છે.

દો
- મૂળ પર કેન્દ્ર સાથે વર્તુળનું સમીકરણ. એબ્સિસા અક્ષ પર વર્તુળનું "કમ્પ્રેશન" એ નીચેના નિયમ અનુસાર હાથ ધરવામાં આવેલા સંકલન પ્લેનના રૂપાંતર સિવાય બીજું કંઈ નથી. દરેક બિંદુ M(x, y) માટે આપણે સમાન સમતલ પર એક બિંદુ જોડીએ છીએ
, ક્યાં
,
- કમ્પ્રેશન રેશિયો.

આ રૂપાંતર સાથે, વર્તુળ પરનો દરેક બિંદુ પ્લેન પરના બીજા બિંદુ પર "સંક્રમણ" કરે છે, જેમાં સમાન એબ્સીસા હોય છે, પરંતુ એક નાનો ઓર્ડિનેટ હોય છે. ચાલો એક બિંદુના જૂના ઓર્ડિનેટને નવા દ્વારા વ્યક્ત કરીએ:

અને સમીકરણમાં વર્તુળોને બદલો:

.

અહીંથી આપણે મેળવીએ છીએ:

. (7)

તે આનાથી અનુસરે છે કે જો "કમ્પ્રેશન" રૂપાંતર પહેલાં બિંદુ M(x, y) વર્તુળ પર મૂકે છે, એટલે કે. તેના કોઓર્ડિનેટ્સ વર્તુળના સમીકરણને સંતુષ્ટ કરે છે, પછી "સંકોચન" રૂપાંતર પછી આ બિંદુ બિંદુમાં "રૂપાંતરિત" થાય છે
, જેના કોઓર્ડિનેટ્સ એલિપ્સ સમીકરણ (7) ને સંતોષે છે. જો આપણે અર્ધવર્તુળ અક્ષ સાથે લંબગોળનું સમીકરણ મેળવવા માંગતા હોય, તો આપણે સંકોચન પરિબળ લેવાની જરૂર છે

.

કલમ 5. લંબગોળ માટે સ્પર્શક.

પ્રમેય. દો
- લંબગોળનું મનસ્વી બિંદુ

.

પછી બિંદુ પરના આ લંબગોળ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ
ફોર્મ ધરાવે છે:

. (8)

પુરાવો. જ્યારે સંકલન વિમાનના પ્રથમ અથવા બીજા ક્વાર્ટરમાં સ્પર્શનો મુદ્દો હોય ત્યારે તે કેસને ધ્યાનમાં લેવા માટે તે પૂરતું છે:
. ઉપલા અર્ધ-વિમાનમાં લંબગોળનું સમીકરણ આ સ્વરૂપ ધરાવે છે:

. (9)

ચાલો ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સ્પર્શક સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ
બિંદુ પર
:

જ્યાં
- એક બિંદુ પર આપેલ કાર્યના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય
. પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં લંબગોળ કાર્ય (8) ના ગ્રાફ તરીકે ગણી શકાય. ચાલો તેની વ્યુત્પન્નતા અને સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુ પર તેની કિંમત શોધીએ:

,

. અહીં આપણે એ હકીકતનો લાભ લીધો કે સ્પર્શ બિંદુ
એલિપ્સનો એક બિંદુ છે અને તેથી તેના કોઓર્ડિનેટ્સ એલિપ્સ સમીકરણ (9) ને સંતોષે છે, એટલે કે.

.

અમે વ્યુત્પન્નના મળેલા મૂલ્યને સ્પર્શક સમીકરણ (10) માં બદલીએ છીએ:

,

આપણે ક્યાં મેળવીએ છીએ:

તે આમાંથી નીચે મુજબ છે:

ચાલો આ સમાનતાને વડે વિભાજીત કરીએ
:

.

તે નોંધવાનું રહે છે
, કારણ કે બિંદુ
એલિપ્સનું છે અને તેના કોઓર્ડિનેટ્સ તેના સમીકરણને સંતોષે છે.

સ્પર્શક સમીકરણ (8) સંકલન સમતલના ત્રીજા કે ચોથા ક્વાર્ટરમાં આવેલા સ્પર્શક બિંદુ પર સમાન રીતે સાબિત થાય છે.

અને અંતે, આપણે સરળતાથી ચકાસી શકીએ છીએ કે સમીકરણ (8) બિંદુઓ પર સ્પર્શક સમીકરણ આપે છે
,
:

અથવા
, અને
અથવા
.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

કલમ 6. અંડાકારની અરીસાની મિલકત.

પ્રમેય. લંબગોળની સ્પર્શક સ્પર્શક બિંદુના કેન્દ્રિય ત્રિજ્યા સાથે સમાન ખૂણા ધરાવે છે.

દો
- સંપર્ક બિંદુ,
,
- સ્પર્શક બિંદુની કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા, P અને Q - બિંદુ પર લંબગોળ તરફ દોરવામાં આવેલ સ્પર્શક પરના ફોસીના અંદાજો
.

પ્રમેય જણાવે છે કે

. (11)

આ સમાનતાને ઘટનાના ખૂણાઓની સમાનતા અને તેના ફોકસમાંથી છૂટેલા અંડાકારમાંથી પ્રકાશના કિરણના પ્રતિબિંબ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. આ ગુણધર્મને એલિપ્સની મિરર પ્રોપર્ટી કહેવામાં આવે છે:

અંડાકારના અરીસામાંથી પ્રતિબિંબિત થયા પછી, અંડાકારના કેન્દ્રમાંથી પ્રકાશિત પ્રકાશનો કિરણ, અંડાકારના બીજા કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.

પ્રમેયનો પુરાવો. ખૂણાઓની સમાનતા સાબિત કરવા માટે (11), આપણે ત્રિકોણની સમાનતા સાબિત કરીશું
અને
, જેમાં પક્ષકારો
અને
સમાન હશે. ત્રિકોણ કાટખૂણે હોવાથી, તે સમાનતા સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે

વ્યાખ્યા 7.1.પ્લેન પરના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ જેના માટે બે નિશ્ચિત બિંદુઓ F 1 અને F 2 સુધીના અંતરનો સરવાળો આપેલ સ્થિર મૂલ્ય કહેવાય છે. લંબગોળ

લંબગોળની વ્યાખ્યા તેના ભૌમિતિક બાંધકામની નીચેની પદ્ધતિ આપે છે. અમે પ્લેન પર બે બિંદુઓ F 1 અને F 2 ઠીક કરીએ છીએ, અને 2a દ્વારા બિન-નકારાત્મક સ્થિર મૂલ્ય દર્શાવીએ છીએ. બિંદુ F 1 અને F 2 વચ્ચેનું અંતર 2c થવા દો. ચાલો કલ્પના કરીએ કે લંબાઈ 2a નો અક્ષમ થ્રેડ F 1 અને F 2 બિંદુઓ પર નિશ્ચિત છે, ઉદાહરણ તરીકે, બે સોયનો ઉપયોગ કરીને. તે સ્પષ્ટ છે કે આ ફક્ત ≥ c માટે જ શક્ય છે. પેંસિલથી દોરાને ખેંચીને, એક રેખા દોરો, જે લંબગોળ હશે (ફિગ. 7.1).

તેથી, વર્ણવેલ સમૂહ ખાલી નથી જો a ≥ c. જ્યારે a = c, લંબગોળ એ F 1 અને F 2 ના અંત સાથેનો સેગમેન્ટ છે અને જ્યારે c = 0, એટલે કે. જો અંડાકારની વ્યાખ્યામાં નિર્દિષ્ટ નિયત બિંદુઓ એકરૂપ થાય, તો તે ત્રિજ્યા aનું વર્તુળ છે. આ અધોગતિના કેસોને છોડી દેવાથી, અમે નિયમ તરીકે, આગળ ધારીશું કે a > c > 0.

અંડાકારની વ્યાખ્યા 7.1 માં નિશ્ચિત બિંદુઓ F 1 અને F 2 કહેવામાં આવે છે (ફિગ. 7.1 જુઓ) લંબગોળ ફોસી, તેમની વચ્ચેનું અંતર, 2c દ્વારા દર્શાવેલ છે, - ફોકલ લંબાઈ, અને લંબગોળ પર એક મનસ્વી બિંદુ M ને તેના ફોસી સાથે જોડતા F 1 M અને F 2 M સેગમેન્ટ્સ છે ફોકલ ત્રિજ્યા.

લંબગોળનો આકાર કેન્દ્રીય લંબાઈ |F 1 F 2 | દ્વારા સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત થાય છે = 2c અને પરિમાણ a, અને પ્લેન પર તેની સ્થિતિ - પોઈન્ટ F 1 અને F 2 ની જોડી.

લંબગોળની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે તે ફોસી F 1 અને F 2માંથી પસાર થતી રેખાના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે, તેમજ તે રેખાના સંદર્ભમાં જે F 1 F 2 સેગમેન્ટને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે અને તેની લંબ છે. (ફિગ. 7.2, એ). આ રેખાઓ કહેવામાં આવે છે લંબગોળ અક્ષો. તેમના આંતરછેદનો બિંદુ O એ અંડાકારની સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે, અને તેને કહેવામાં આવે છે લંબગોળનું કેન્દ્ર, અને સમપ્રમાણતાની અક્ષો સાથે લંબગોળના આંતરછેદના બિંદુઓ (અંજીર 7.2, a માં A, B, C અને D બિંદુઓ) - લંબગોળના શિરોબિંદુઓ.

નંબર a કહેવાય છે અંડાકારની અર્ધ મુખ્ય ધરી, અને b = √(a 2 - c 2) - તેના નાની અક્ષ. તે જોવાનું સરળ છે કે c > 0 માટે, અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ એ એલિપ્સના કેન્દ્રથી તેના શિરોબિંદુઓ સુધીના અંતર જેટલો છે જે લંબગોળના કેન્દ્રબિંદુ સાથે સમાન ધરી પર છે (શિરોબિંદુ A અને B ફિગ. 7.2, a) માં, અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ b એ કેન્દ્ર લંબગોળથી તેના અન્ય બે શિરોબિંદુઓ (ફિગ. 7.2, a માં શિરોબિંદુઓ C અને D) ના અંતર જેટલું છે.

અંડાકાર સમીકરણ.ચાલો F 1 અને F 2 બિંદુઓ, મુખ્ય અક્ષ 2a પર ફોકસ સાથે સમતલ પરના કેટલાક લંબગોળોને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો 2c ને કેન્દ્રીય લંબાઈ, 2c = |F 1 F 2 |

ચાલો પ્લેન પર એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ ઓક્સી પસંદ કરીએ જેથી તેનું મૂળ લંબગોળના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ હોય અને તેનું ફોસી ચાલુ હોય. x-અક્ષ(ફિગ. 7.2, બી). આવી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે પ્રામાણિકપ્રશ્નમાં લંબગોળ માટે, અને અનુરૂપ ચલો છે પ્રામાણિક.

પસંદ કરેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, foci પાસે F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0) કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે. બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે શરત |F 1 M| લખીએ છીએ + |F 2 M| કોઓર્ડિનેટ્સમાં = 2a:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

આ સમીકરણ અસુવિધાજનક છે કારણ કે તેમાં બે ચોરસ રેડિકલ છે. તો ચાલો તેને રૂપાંતરિત કરીએ. ચાલો સમીકરણ (7.2) માં બીજા રેડિકલને જમણી બાજુએ ખસેડીએ અને તેનો વર્ગ કરીએ:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

કૌંસ ખોલ્યા પછી અને સમાન શરતો લાવ્યા પછી, આપણને મળે છે

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

જ્યાં ε = c/a. અમે બીજા રેડિકલને દૂર કરવા માટે સ્ક્વેરિંગ ઑપરેશનનું પુનરાવર્તન કરીએ છીએ: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, અથવા, દાખલ કરેલ પરિમાણ ε, (a 2 - c 2) ના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . ત્યારથી a 2 - c 2 = b 2 > 0, પછી

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

સમીકરણ (7.4) એલિપ્સ પર આવેલા તમામ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સંતુષ્ટ છે. પરંતુ આ સમીકરણ મેળવતી વખતે, મૂળ સમીકરણ (7.2) ના બિનસમાન રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો - બે સ્ક્વેરિંગ જે ચોરસ રેડિકલને દૂર કરે છે. સમીકરણનું વર્ગીકરણ એ સમકક્ષ રૂપાંતરણ છે જો બંને બાજુઓ સમાન ચિહ્ન સાથેની માત્રા ધરાવે છે, પરંતુ અમે અમારા પરિવર્તનમાં આ તપાસ્યું નથી.

જો આપણે નીચેની બાબતોને ધ્યાનમાં લઈએ તો આપણે પરિવર્તનની સમાનતાને તપાસવાનું ટાળી શકીએ છીએ. પોઈન્ટની જોડી F 1 અને F 2, |F 1 F 2 | = 2c, પ્લેન પર આ બિંદુઓ પર ફોસી સાથે અંડાકારના પરિવારને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. પ્લેનનો દરેક બિંદુ, F 1 F 2 સેગમેન્ટના બિંદુઓ સિવાય, સૂચવેલ પરિવારના કેટલાક લંબગોળ સાથે સંબંધિત છે. આ કિસ્સામાં, કોઈ બે લંબગોળ છેદે નથી, કારણ કે કેન્દ્રીય ત્રિજ્યાનો સરવાળો વિશિષ્ટ રીતે ચોક્કસ લંબગોળ નક્કી કરે છે. તેથી, આંતરછેદ વગરના લંબગોળોનું વર્ણવેલ કુટુંબ F 1 F 2 સેગમેન્ટના બિંદુઓ સિવાય, સમગ્ર વિમાનને આવરી લે છે. ચાલો બિંદુઓના સમૂહને ધ્યાનમાં લઈએ જેના કોઓર્ડિનેટ સમીકરણ (7.4) ને પરિમાણ a ના આપેલ મૂલ્ય સાથે સંતોષે છે. શું આ સમૂહને અનેક લંબગોળો વચ્ચે વહેંચી શકાય? સમૂહના કેટલાક બિંદુઓ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ a સાથે લંબગોળ સાથે સંબંધિત છે. અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ a સાથે લંબગોળ પર આવેલા આ સમૂહમાં એક બિંદુ હોવા દો. પછી આ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણનું પાલન કરે છે

તે સમીકરણો (7.4) અને (7.5) સામાન્ય ઉકેલો ધરાવે છે. જો કે, તે સિસ્ટમ ચકાસવા માટે સરળ છે

ã ≠ a માટે કોઈ ઉકેલ નથી. આ કરવા માટે, તે બાકાત કરવા માટે પૂરતું છે, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ સમીકરણમાંથી x:

જે પરિવર્તન પછી સમીકરણ તરફ દોરી જાય છે

જેની પાસે ã ≠ a માટે કોઈ ઉકેલ નથી, ત્યારથી. તેથી, (7.4) એ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ a > 0 અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ b =√(a 2 - c 2) > 0 સાથે લંબગોળનું સમીકરણ છે. તેને કહેવામાં આવે છે. પ્રમાણભૂત લંબગોળ સમીકરણ.

લંબગોળ દૃશ્ય.ઉપર ચર્ચા કરેલ એલિપ્સ બનાવવાની ભૌમિતિક પદ્ધતિ એલિપ્સના દેખાવનો પૂરતો ખ્યાલ આપે છે. પરંતુ લંબગોળના આકારનો પણ તેના પ્રામાણિક સમીકરણ (7.4) નો ઉપયોગ કરીને અભ્યાસ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમે y ≥ 0 ધારીને, x દ્વારા y ને વ્યક્ત કરી શકો છો: y = b√(1 - x 2 /a 2), અને, આ કાર્યનો અભ્યાસ કર્યા પછી, તેનો ગ્રાફ બનાવી શકો છો. એલિપ્સ બનાવવાની બીજી રીત છે. લંબગોળ (7.4) ની પ્રામાણિક સંકલન પ્રણાલીના મૂળમાં કેન્દ્ર સાથે ત્રિજ્યા aનું વર્તુળ સમીકરણ x 2 + y 2 = a 2 દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. જો તે ગુણાંક a/b > 1 સાથે સંકુચિત છે y-અક્ષ, પછી તમને એક વળાંક મળે છે જે સમીકરણ x 2 + (ya/b) 2 = a 2, એટલે કે, એક લંબગોળ દ્વારા વર્ણવેલ છે.

ટિપ્પણી 7.1.જો સમાન વર્તુળ a/b પરિબળ દ્વારા સંકુચિત હોય

લંબગોળ તરંગીતા. લંબગોળની કેન્દ્રીય લંબાઈ અને તેની મુખ્ય ધરીનો ગુણોત્તર કહેવાય છે અંડાકારની તરંગીતાઅને ε દ્વારા સૂચિત. આપેલ એક લંબગોળ માટે

પ્રમાણભૂત સમીકરણ (7.4), ε = 2c/2a = c/a. જો (7.4) માં પરિમાણો a અને b અસમાનતા a દ્વારા સંબંધિત છે

જ્યારે c = 0, જ્યારે લંબગોળ વર્તુળમાં ફેરવાય છે, અને ε = 0. અન્ય કિસ્સાઓમાં, 0

સમીકરણ (7.3) એ સમીકરણ (7.4) ની સમકક્ષ છે, કારણ કે સમીકરણો (7.4) અને (7.2) સમકક્ષ છે. તેથી, લંબગોળનું સમીકરણ પણ છે (7.3). વધુમાં, સંબંધ (7.3) રસપ્રદ છે કારણ કે તે લંબાઈ |F 2 M| માટે સરળ, આમૂલ-મુક્ત સૂત્ર આપે છે. અંડાકારના બિંદુ M(x; y) ના કેન્દ્રીય ત્રિજ્યામાંથી એક: |F 2 M| = a + εx.

બીજા ફોકલ ત્રિજ્યા માટે સમાન સૂત્ર સપ્રમાણતાના વિચારણાઓમાંથી અથવા ગણતરીઓનું પુનરાવર્તન કરીને મેળવી શકાય છે જેમાં, સમીકરણ (7.2) વર્ગીકરણ કરતા પહેલા, પ્રથમ રેડિકલને જમણી બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે, અને બીજામાં નહીં. તેથી, લંબગોળ પર કોઈપણ બિંદુ M(x; y) માટે (જુઓ આકૃતિ. 7.2)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

અને આ દરેક સમીકરણો એલિપ્સનું સમીકરણ છે.

ઉદાહરણ 7.1.ચાલો અર્ધમેજર અક્ષ 5 અને વિલક્ષણતા 0.8 સાથે લંબગોળનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ શોધીએ અને તેનું નિર્માણ કરીએ.

અંડાકાર a = 5 અને વિષમતા ε = 0.8 ના અર્ધ-મુખ્ય અક્ષને જાણીને, આપણે તેની અર્ધ-ગૌણ ધરી b શોધીશું. ત્યારથી b = √(a 2 - c 2), અને c = εa = 4, પછી b = √(5 2 - 4 2) = 3. તેથી પ્રામાણિક સમીકરણનું સ્વરૂપ x 2 /5 2 + y 2 /3 છે 2 = 1. અંડાકાર બાંધવા માટે, કેનોનિકલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની ઉત્પત્તિ પર કેન્દ્ર સાથે લંબચોરસ દોરવાનું અનુકૂળ છે, જેની બાજુઓ અંડાકારની સમપ્રમાણતા અક્ષોની સમાંતર છે અને તેના અનુરૂપ અક્ષો (ફિગ. 7.4). આ લંબચોરસ સાથે છેદે છે

લંબગોળની અક્ષો તેના શિરોબિંદુઓ A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), અને તેમાં લંબગોળ પોતે જ અંકિત છે. ફિગ માં. 7.4 એ એલિપ્સનું ફોસી F 1.2 (±4; 0) પણ દર્શાવે છે.

લંબગોળના ભૌમિતિક ગુણધર્મો.ચાલો પ્રથમ સમીકરણને (7.6) માં |F 1 M| તરીકે ફરીથી લખીએ = (a/ε - x)ε. નોંધ કરો કે a > c માટે a/ε - x એ ધન છે, કારણ કે ફોકસ F 1 એલિપ્સ સાથે સંબંધિત નથી. આ મૂલ્ય આ રેખાની ડાબી બાજુએ આવેલા બિંદુ M(x; y) થી ઊભી રેખા d: x = a/ε સુધીનું અંતર દર્શાવે છે. લંબગોળ સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય છે

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

તેનો અર્થ એ છે કે આ લંબગોળ પ્લેનના તે બિંદુઓ M(x; y) નો સમાવેશ કરે છે જેના માટે કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા F 1 M ની લંબાઈ અને સીધી રેખા d ના અંતરનો ગુણોત્તર ε (ફિગ. 7.5).

સીધી રેખા d માં "ડબલ" હોય છે - લંબગોળના કેન્દ્રની સાપેક્ષ d ની સપ્રમાણતા, જે સમીકરણ x = -a/ε દ્વારા આપવામાં આવે છે, d ના સંદર્ભમાં, અંડાકારમાં વર્ણવેલ છે એ જ રીતે ડીના સંદર્ભમાં. બંને રેખાઓ d અને d" કહેવામાં આવે છે એલિપ્સના ડાયરેક્ટ્રીક્સ. એલિપ્સના ડાયરેક્ટ્રીક્સ એ એલિપ્સની સમપ્રમાણતાના અક્ષને લંબરૂપ હોય છે કે જેના પર તેનું ફોસી સ્થિત હોય છે, અને તે અંડાકારના કેન્દ્રથી a/ε = a 2 /c (અંજીર 7.5 જુઓ) ના અંતરે આવેલા હોય છે.

ડાયરેક્ટ્રીક્સથી તેની સૌથી નજીકના ફોકસ સુધીનું અંતર p કહેવાય છે લંબગોળનું કેન્દ્રીય પરિમાણ. આ પરિમાણ બરાબર છે

p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c

લંબગોળમાં બીજી મહત્વની ભૌમિતિક મિલકત છે: કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા F 1 M અને F 2 M બિંદુ M (ફિગ. 7.6) પર લંબગોળની સ્પર્શક સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે.

આ ગુણધર્મનો સ્પષ્ટ ભૌતિક અર્થ છે. જો પ્રકાશ સ્ત્રોતને F 1 ફોકસ પર મૂકવામાં આવે છે, તો આ ફોકસમાંથી નીકળતું કિરણ, લંબગોળમાંથી પ્રતિબિંબ પછી, બીજા કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા સાથે જશે, કારણ કે પ્રતિબિંબ પછી તે પ્રતિબિંબ પહેલાંના વળાંકના સમાન ખૂણા પર હશે. આમ, ફોકસ F 1 માંથી નીકળતા તમામ કિરણો બીજા ફોકસ F 2 માં કેન્દ્રિત થશે અને તેનાથી વિપરિત. આ અર્થઘટનના આધારે, આ મિલકત કહેવામાં આવે છે એલિપ્સની ઓપ્ટિકલ પ્રોપર્ટી.

લંબગોળ એ પ્લેન પરના બિંદુઓનું ભૌમિતિક સ્થાન છે, તેમાંના દરેકથી બે આપેલ બિંદુઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો F_1, અને F_2 એ આ આપેલ બિંદુઓ (ફિગ) વચ્ચેના અંતર (2c) કરતાં વધુ સ્થિર મૂલ્ય (2a) છે. 3.36, એ). આ ભૌમિતિક વ્યાખ્યા વ્યક્ત કરે છે લંબગોળની કેન્દ્રીય મિલકત.

અંડાકારની ફોકલ પ્રોપર્ટી

બિંદુઓ F_1 અને F_2 ને અંડાકારનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે, તેમની વચ્ચેનું અંતર 2c=F_1F_2 એ કેન્દ્રીય લંબાઈ છે, F_1F_2 ખંડનો મધ્ય O એ અંડાકારનું કેન્દ્ર છે, સંખ્યા 2a એ અંડાકારના મુખ્ય ધરીની લંબાઈ છે. અંડાકાર (તે મુજબ, સંખ્યા એ એલિપ્સની અર્ધ-મુખ્ય ધરી છે). લંબગોળના મનસ્વી બિંદુ M ને તેના ફોસી સાથે જોડતા F_1M અને F_2M વિભાગોને બિંદુ M ની કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા કહેવામાં આવે છે. અંડાકારના બે બિંદુઓને જોડતા ખંડને અંડાકારનો તાર કહેવામાં આવે છે.

e=\frac(c)(a) ગુણોત્તરને અંડાકારની વિષમતા કહેવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા (2a>2c) થી તે અનુસરે છે કે 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

લંબગોળની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા, તેની ફોકલ પ્રોપર્ટી વ્યક્ત કરતી, તેની વિશ્લેષણાત્મક વ્યાખ્યાની સમકક્ષ છે - અંડાકારના પ્રમાણભૂત સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલી રેખા:

ખરેખર, ચાલો એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ (ફિગ. 3.36c) રજૂ કરીએ. અમે અંડાકારના કેન્દ્ર O ને સંકલન પ્રણાલીના મૂળ તરીકે લઈએ છીએ; આપણે ફોસી (ફોકલ અક્ષ અથવા અંડાકારની પ્રથમ અક્ષ)માંથી પસાર થતી સીધી રેખાને એબ્સીસા અક્ષ તરીકે લઈએ છીએ (તેના પરની હકારાત્મક દિશા બિંદુ F_1 થી બિંદુ F_2 સુધી છે); ચાલો કેન્દ્રીય અક્ષને લંબરૂપ એક સીધી રેખા લઈએ અને અંડાકારની મધ્યમાંથી પસાર થઈએ (લંબગોળની બીજી અક્ષ) ઓર્ડિનેટ અક્ષ તરીકે (ઓર્ડિનેટ અક્ષ પરની દિશા પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલી ઑક્સી યોગ્ય હોય) .

ચાલો તેની ભૌમિતિક વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને અંડાકાર માટે એક સમીકરણ બનાવીએ, જે કેન્દ્રીય ગુણધર્મને વ્યક્ત કરે છે. પસંદ કરેલ સંકલન પ્રણાલીમાં, અમે foci ના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ છીએ F_1(-c,0), ~F_2(c,0). અંડાકાર સાથે જોડાયેલા મનસ્વી બિંદુ M(x,y) માટે, અમારી પાસે છે:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

આ સમાનતાને સંકલન સ્વરૂપમાં લખવાથી, આપણને મળે છે:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

અમે બીજા રેડિકલને જમણી બાજુએ ખસેડીએ છીએ, સમીકરણની બંને બાજુએ ચોરસ કરીએ છીએ અને સમાન શરતો લાવીએ છીએ:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.

4 વડે ભાગતા, આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને ચોરસ કરીએ છીએ:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

નિયુક્ત કર્યા b=\sqrt(a^2-c^2)>0, અમને મળે છે b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. બંને બાજુઓને ^2b^2\ne0 વડે વિભાજીત કરીને, આપણે અંડાકારના પ્રમાણભૂત સમીકરણ પર પહોંચીએ છીએ:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

તેથી, પસંદ કરેલ સંકલન પ્રણાલી કેનોનિકલ છે.

જો અંડાકારનું કેન્દ્રબિંદુ એકરુપ હોય, તો અંડાકાર એક વર્તુળ છે (ફિગ. 3.36,6), કારણ કે a=b. આ કિસ્સામાં, બિંદુ પર મૂળ સાથે કોઈપણ લંબચોરસ સંકલન સિસ્ટમ પ્રમાણભૂત હશે O\equiv F_1\equiv F_2, અને સમીકરણ x^2+y^2=a^2 એ બિંદુ O પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે અને a ની બરાબર ત્રિજ્યા છે.

રિવર્સ ક્રમમાં તર્કને આગળ ધપાવતા, તે બતાવી શકાય છે કે તમામ બિંદુઓ કે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે (3.49), અને માત્ર તે જ, લંબગોળ તરીકે ઓળખાતા બિંદુઓના સ્થાન સાથે સંબંધિત છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અંડાકારની વિશ્લેષણાત્મક વ્યાખ્યા તેની ભૌમિતિક વ્યાખ્યાની સમકક્ષ છે, જે અંડાકારની કેન્દ્રીય મિલકતને વ્યક્ત કરે છે.

અંડાકારની નિર્દેશક મિલકત

એલિપ્સના ડાયરેક્ટ્રીક્સ એ કેનોનિકલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના ઓર્ડિનેટ અક્ષની સમાંતર ચાલતી બે સીધી રેખાઓ છે જે તેમાંથી સમાન અંતર \frac(a^2)(c) પર છે. c=0 પર, જ્યારે લંબગોળ વર્તુળ હોય છે, ત્યાં કોઈ ડાયરેક્ટ્રીક્સ નથી (આપણે ધારી શકીએ કે ડાયરેક્ટ્રીક્સ અનંત પર છે).

વિલક્ષણતા 0 સાથે લંબગોળ સમતલમાં બિંદુઓનું સ્થાન, જેમાંથી દરેક માટે આપેલ બિંદુ F (ફોકસ) અને આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતી ન હોય તેવી સીધી રેખા d (ડાયરેક્ટ્રીક્સ) ના અંતરના અંતરનો ગુણોત્તર સ્થિર અને વિષમતા સમાન છે e ( અંડાકારની નિર્દેશક મિલકત). અહીં F અને d એ એલિપ્સના ફોસીમાંથી એક છે અને તેના ડાયરેક્ટ્રીક્સમાંથી એક છે, કેનોનિકલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના ઓર્ડિનેટ અક્ષની એક બાજુએ સ્થિત છે, એટલે કે.

F_1,d_1 અથવા F_2,d_2 . હકીકતમાં, ઉદાહરણ તરીકે, ફોકસ F_2 અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ d_2 (ફિગ. 3.37,6) માટે સ્થિતિ\frac(r_2)(\rho_2)=e

સંકલન સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે:

અતાર્કિકતાથી છુટકારો મેળવવો અને બદલવું e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, આપણે પ્રામાણિક લંબગોળ સમીકરણ (3.49) પર પહોંચીએ છીએ. ફોકસ F_1 અને ડિરેક્ટર માટે સમાન તર્ક હાથ ધરી શકાય છે d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીમાં લંબગોળનું સમીકરણ

ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલી F_1r\varphi (ફિગ. 3.37, c અને 3.37 (2)) માં અંડાકારનું સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

જ્યાં p=\frac(b^2)(a) એ એલિપ્સનું ફોકલ પેરામીટર છે.

વાસ્તવમાં, ચાલો ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીના ધ્રુવ તરીકે અંડાકારનું ડાબું ફોકસ F_1 પસંદ કરીએ અને ધ્રુવીય અક્ષ તરીકે F_1F_2 કિરણ (ફિગ. 3.37, c). પછી મનસ્વી બિંદુ M(r,\varphi) માટે, લંબગોળની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા (ફોકલ પ્રોપર્ટી) અનુસાર, આપણી પાસે r+MF_2=2a છે. અમે બિંદુઓ M(r,\varphi) અને F_2(2c,0) વચ્ચેનું અંતર વ્યક્ત કરીએ છીએ (ટિપ્પણી 2.8 નો ફકરો 2 જુઓ):

\begin(સંરેખિત)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(સંરેખિત)

તેથી, સંકલન સ્વરૂપમાં, લંબગોળ F_1M+F_2M=2a ના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

અમે સમીકરણની બંને બાજુના મૂળ, ચોરસને અલગ કરીએ છીએ, 4 વડે ભાગીએ છીએ અને સમાન શબ્દો રજૂ કરીએ છીએ:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

ધ્રુવીય ત્રિજ્યા r ને વ્યક્ત કરો અને રિપ્લેસમેન્ટ કરો e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2, ~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

લંબગોળ સમીકરણમાં ગુણાંકનો ભૌમિતિક અર્થ

ચાલો અંડાકારના આંતરછેદ બિંદુઓને શોધીએ (ફિગ. 3.37a જુઓ). y=0 ને સમીકરણમાં બદલીને, આપણે એબ્સીસા અક્ષ (ફોકલ અક્ષ સાથે) સાથે લંબગોળના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધીએ છીએ: x=\pm a. પરિણામે, લંબગોળની અંદર સમાવિષ્ટ ફોકલ અક્ષના સેગમેન્ટની લંબાઈ 2a જેટલી છે. આ સેગમેન્ટ, જેમ ઉપર નોંધ્યું છે, તેને અંડાકારની મુખ્ય અક્ષ કહેવામાં આવે છે, અને સંખ્યા a એ અંડાકારની અર્ધ-મુખ્ય ધરી છે. x=0 ને બદલીને, આપણને y=\pm b મળે છે. તેથી, અંડાકારની અંદર સમાયેલ અંડાકારના બીજા અક્ષના સેગમેન્ટની લંબાઈ 2b જેટલી છે. આ સેગમેન્ટને અંડાકારની નાની અક્ષ કહેવામાં આવે છે, અને સંખ્યા b એ અંડાકારની અર્ધ-માઇનોર અક્ષ છે.

ખરેખર, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, અને સમાનતા b=a માત્ર કેસ c=0 માં પ્રાપ્ત થાય છે, જ્યારે અંડાકાર વર્તુળ હોય છે. વલણ k=\frac(b)(a)\leqslant1એલિપ્સ કમ્પ્રેશન રેશિયો કહેવાય છે.

નોંધો 3.9

1. સીધી રેખાઓ x=\pm a,~y=\pm b કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પરના મુખ્ય લંબચોરસને મર્યાદિત કરે છે, જેની અંદર એક લંબગોળ હોય છે (જુઓ. ફિગ. 3.37, a).

2. એક લંબગોળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે વર્તુળને તેના વ્યાસમાં સંકુચિત કરીને મેળવેલા બિંદુઓનું સ્થાન.

ખરેખર, લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ Oxy માં વર્તુળનું સમીકરણ x^2+y^2=a^2 થવા દો. જ્યારે 0 ના ગુણાંક સાથે x-અક્ષ પર સંકુચિત થાય છે

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(કેસ)

વર્તુળો x=x" અને y=\frac(1)(k)y" ને સમીકરણમાં બદલીને, આપણે બિંદુ M(x,y") ની છબી M"(x",y") ના કોઓર્ડિનેટ્સ માટે સમીકરણ મેળવીએ છીએ. ):

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\જમણે)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

ત્યારથી b=k\cdot a. આ એલિપ્સનું પ્રામાણિક સમીકરણ છે.

3. સંકલન અક્ષો (પ્રમાણિક સંકલન પ્રણાલીની) એ અંડાકારની સમપ્રમાણતાની અક્ષો છે (જેને અંડાકારની મુખ્ય અક્ષો કહેવાય છે), અને તેનું કેન્દ્ર સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે.

ખરેખર, જો બિંદુ M(x,y) અંડાકાર સાથે સંબંધિત છે. પછી બિંદુઓ M"(x,-y) અને M""(-x,y), બિંદુ M ના સપ્રમાણતા સંકલન અક્ષો સાથે સંબંધિત છે, તે પણ સમાન લંબગોળ સાથે સંબંધિત છે.

4. ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીમાં અંડાકારના સમીકરણમાંથી r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(જુઓ. ફિગ. 3.37, c), ફોકલ પેરામીટરનો ભૌમિતિક અર્થ સ્પષ્ટ થાય છે - આ લંબગોળની તારની અડધી લંબાઈ છે જે તેના ફોકસ લંબરૂપ ફોકલ અક્ષમાંથી પસાર થાય છે ( r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. વિલક્ષણતા e એ એલિપ્સના આકારને દર્શાવે છે, એટલે કે લંબગોળ અને વર્તુળ વચ્ચેનો તફાવત. જેટલો મોટો e, એલિપ્સ વધુ વિસ્તરેલ છે અને e શૂન્યની નજીક છે, લંબગોળ વર્તુળની નજીક છે (ફિગ. 3.38a). ખરેખર, e=\frac(c)(a) અને c^2=a^2-b^2 ધ્યાનમાં લેતા, આપણને મળે છે

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\જમણે )\^2=1-k^2, !}

જ્યાં k એ એલિપ્સ કમ્પ્રેશન રેશિયો છે, 0

6. સમીકરણ \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1ખાતે a

7. સમીકરણ \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bબિંદુ O"(x_0,y_0) પર કેન્દ્ર સાથે લંબગોળ વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જેની અક્ષો સંકલન અક્ષો (ફિગ. 3.38, c) સાથે સમાંતર હોય છે. સમાંતર અનુવાદ (3.36) નો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરણને પ્રમાણભૂત એકમાં ઘટાડવામાં આવે છે.