પ્રથમ ક્રમ વિભેદક સમીકરણો. ઉકેલોના ઉદાહરણો.
વિભાજિત ચલો સાથે વિભેદક સમીકરણો

વિભેદક સમીકરણો (DE). આ બે શબ્દો સામાન્ય રીતે સરેરાશ વ્યક્તિને ડરાવે છે. ઘણા વિદ્યાર્થીઓ માટે વિભેદક સમીકરણો કંઈક નિષેધાત્મક અને માસ્ટર કરવા મુશ્કેલ લાગે છે. Uuuuuu... વિભેદક સમીકરણો, હું આ બધું કેવી રીતે ટકી શકું?!

આ અભિપ્રાય અને આ વલણ મૂળભૂત રીતે ખોટું છે, કારણ કે હકીકતમાં વિભિન્ન સમીકરણો - તે સરળ અને મનોરંજક પણ છે. વિભેદક સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા તે શીખવા માટે તમારે શું જાણવાની અને કરવા સક્ષમ બનવાની જરૂર છે? ડિફ્યુઝનો સફળતાપૂર્વક અભ્યાસ કરવા માટે, તમારે સંકલન અને ભિન્નતામાં સારા હોવા જોઈએ. વિષયોનો વધુ સારો અભ્યાસ થાય છે એક ચલના કાર્યનું વ્યુત્પન્નઅને અનિશ્ચિત અભિન્ન, વિભેદક સમીકરણોને સમજવા જેટલું સરળ હશે. હું વધુ કહીશ, જો તમારી પાસે વધુ કે ઓછા યોગ્ય એકીકરણ કૌશલ્ય છે, તો પછી વિષય લગભગ માસ્ટર થઈ ગયો છે! વિવિધ પ્રકારનાં વધુ સંકલન તમે હલ કરી શકો છો, વધુ સારું. શા માટે? તમારે ઘણું સંકલન કરવું પડશે. અને તફાવત કરો. પણ ખૂબ ભલામણ કરે છેશોધવાનું શીખો.

95% કેસોમાં, ટેસ્ટ પેપરમાં 3 પ્રકારના પ્રથમ-ક્રમના વિભેદક સમીકરણો હોય છે: અલગ કરી શકાય તેવા સમીકરણોજે આપણે આ પાઠમાં જોઈશું; સજાતીય સમીકરણોઅને રેખીય અસંગત સમીકરણો. ડિફ્યુઝરનો અભ્યાસ શરૂ કરનારાઓ માટે, હું તમને આ ક્રમમાં પાઠ વાંચવાની સલાહ આપું છું, અને પ્રથમ બે લેખોનો અભ્યાસ કર્યા પછી, વધારાની વર્કશોપમાં તમારી કુશળતાને એકીકૃત કરવામાં નુકસાન થશે નહીં - સમીકરણો જે સજાતીયમાં ઘટાડો કરે છે.

વિભેદક સમીકરણોના પણ દુર્લભ પ્રકારો છે: કુલ વિભેદક સમીકરણો, બર્નોલી સમીકરણો અને કેટલાક અન્ય. છેલ્લા બે પ્રકારોમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ કુલ વિભેદક સમીકરણો છે, કારણ કે આ વિભેદક સમીકરણ ઉપરાંત હું નવી સામગ્રી પર વિચાર કરી રહ્યો છું - આંશિક એકીકરણ.

જો તમારી પાસે માત્ર એક કે બે દિવસ બાકી છે, તે અતિ ઝડપી તૈયારી માટેછે બ્લિટ્ઝ કોર્સપીડીએફ ફોર્મેટમાં.

તેથી, સીમાચિહ્નો સેટ છે - ચાલો જઈએ:

પ્રથમ, ચાલો સામાન્ય બીજગણિતીય સમીકરણો યાદ કરીએ. તેઓ ચલો અને સંખ્યાઓ ધરાવે છે. સૌથી સરળ ઉદાહરણ: . સામાન્ય સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ શું છે? આનો અર્થ શોધવો સંખ્યાઓનો સમૂહ, જે આ સમીકરણને સંતોષે છે. તે નોંધવું સરળ છે કે બાળકોના સમીકરણમાં એક જ મૂળ છે: . માત્ર આનંદ માટે, ચાલો તપાસીએ અને આપણા સમીકરણમાં મળેલા રુટને બદલીએ:

- યોગ્ય સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે ઉકેલ યોગ્ય રીતે મળ્યો હતો.

ડિફ્યુઝર્સ એ જ રીતે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યા છે!

વિભેદક સમીકરણ પ્રથમ ઓર્ડરસામાન્ય કિસ્સામાં સમાવે છે:
1) સ્વતંત્ર ચલ;
2) આશ્રિત ચલ (કાર્ય);
3) ફંક્શનનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન: .

કેટલાક 1લા ક્રમના સમીકરણોમાં "x" અને/અથવા "y" હોઈ શકે નહીં, પરંતુ આ નોંધપાત્ર નથી - મહત્વપૂર્ણકંટ્રોલ રૂમમાં જવા માટે હતીપ્રથમ વ્યુત્પન્ન, અને ત્યાં ન હતીઉચ્ચ ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ – વગેરે.

તેનો અર્થ શું છે?વિભેદક સમીકરણ ઉકેલવું એટલે શોધવું તમામ કાર્યોનો સમૂહ, જે આ સમીકરણને સંતોષે છે. ફંક્શનના આવા સમૂહમાં ઘણીવાર સ્વરૂપ હોય છે (- એક મનસ્વી સ્થિરાંક), જેને કહેવામાં આવે છે વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ.

ઉદાહરણ 1

વિભેદક સમીકરણ ઉકેલો

સંપૂર્ણ દારૂગોળો. ક્યાંથી શરૂઆત કરવી ઉકેલ?

સૌ પ્રથમ, તમારે વ્યુત્પન્નને થોડા અલગ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખવાની જરૂર છે. અમે બોજારૂપ હોદ્દો યાદ કરીએ છીએ, જે તમારામાંથી ઘણાને કદાચ હાસ્યાસ્પદ અને બિનજરૂરી લાગતું હતું. ડિફ્યુઝર્સમાં આ શું નિયમો છે!

બીજા પગલામાં, ચાલો જોઈએ કે તે શક્ય છે કે કેમ અલગ ચલો?ચલોને અલગ કરવાનો અર્થ શું છે? લગભગ કહીએ તો, ડાબી બાજુએઆપણે છોડવાની જરૂર છે માત્ર "ગ્રીક", એ જમણી બાજુએગોઠવો માત્ર "X's". ચલોનું વિભાજન "શાળા" મેનિપ્યુલેશન્સનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે: તેમને કૌંસની બહાર મૂકવું, ચિહ્નના ફેરફાર સાથે શબ્દોને ભાગથી ભાગમાં સ્થાનાંતરિત કરવું, પ્રમાણના નિયમ અનુસાર પરિબળોને ભાગથી બીજા ભાગમાં સ્થાનાંતરિત કરવું, વગેરે.

તફાવતો અને સંપૂર્ણ ગુણક છે અને દુશ્મનાવટમાં સક્રિય સહભાગીઓ છે. વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણમાં, ચલોને પ્રમાણના નિયમ અનુસાર પરિબળોને ટૉસ કરીને સરળતાથી અલગ કરવામાં આવે છે:

ચલોને અલગ કરવામાં આવે છે. ડાબી બાજુએ ફક્ત "Y's", જમણી બાજુ - માત્ર "X's" છે.

આગળનો તબક્કો છે વિભેદક સમીકરણનું એકીકરણ. તે સરળ છે, અમે બંને બાજુએ ઇન્ટિગ્રલ્સ મૂકીએ છીએ:

અલબત્ત, આપણે ઇન્ટિગ્રલ્સ લેવાની જરૂર છે. આ કિસ્સામાં તેઓ ટેબ્યુલર છે:

જેમ આપણે યાદ રાખીએ છીએ તેમ, કોઈપણ એન્ટિડેરિવેટિવને એક સ્થિરાંક સોંપવામાં આવે છે. અહીં બે અવિભાજ્ય છે, પરંતુ તે એક વાર સતત લખવા માટે પૂરતું છે (કારણ કે અચલ + અચળ હજુ પણ બીજા સ્થિરાંક સમાન છે). મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં તે જમણી બાજુ પર મૂકવામાં આવે છે.

કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, પૂર્ણાંકો લેવામાં આવે તે પછી, વિભેદક સમીકરણ ઉકેલાયેલ ગણવામાં આવે છે. એકમાત્ર વસ્તુ એ છે કે આપણું "y" "x" દ્વારા વ્યક્ત થતું નથી, એટલે કે, ઉકેલ રજૂ કરવામાં આવે છે ગર્ભિત માંફોર્મ ગર્ભિત સ્વરૂપમાં વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ કહેવામાં આવે છે વિભેદક સમીકરણનું સામાન્ય અભિન્ન અંગ. એટલે કે, આ એક સામાન્ય અભિન્ન છે.

આ ફોર્મમાંનો જવાબ તદ્દન સ્વીકાર્ય છે, પરંતુ શું કોઈ વધુ સારો વિકલ્પ છે? ચાલો મેળવવાનો પ્રયત્ન કરીએ સામાન્ય ઉકેલ.

મહેરબાની કરીને, પ્રથમ તકનીક યાદ રાખો, તે ખૂબ જ સામાન્ય છે અને ઘણીવાર વ્યવહારિક કાર્યોમાં વપરાય છે: જો એકીકરણ પછી લઘુગણક જમણી બાજુએ દેખાય છે, તો ઘણા કિસ્સાઓમાં (પરંતુ હંમેશા નહીં!) લઘુગણક હેઠળ સ્થિરાંક લખવાની પણ સલાહ આપવામાં આવે છે..

એટલે કે, ની જગ્યાએપ્રવેશો સામાન્ય રીતે લખવામાં આવે છે .

આ શા માટે જરૂરી છે? અને "ગેમ" ને વ્યક્ત કરવાનું સરળ બનાવવા માટે. લઘુગણકની મિલકતનો ઉપયોગ . આ કિસ્સામાં:

હવે લોગરીધમ્સ અને મોડ્યુલો દૂર કરી શકાય છે:

કાર્ય સ્પષ્ટ રીતે રજૂ કરવામાં આવ્યું છે. આ સામાન્ય ઉકેલ છે.

જવાબ આપો: સામાન્ય ઉકેલ: .

ઘણા વિભેદક સમીકરણોના જવાબો તપાસવા માટે એકદમ સરળ છે. અમારા કિસ્સામાં, આ એકદમ સરળ રીતે કરવામાં આવે છે, અમે મળેલા ઉકેલને લઈએ છીએ અને તેને અલગ પાડીએ છીએ:

પછી અમે વ્યુત્પન્નને મૂળ સમીકરણમાં બદલીએ છીએ:

– સાચી સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે સામાન્ય ઉકેલ સમીકરણને સંતોષે છે, જે તપાસવાની જરૂર છે.

સતત વિવિધ મૂલ્યો આપીને, તમે અનંત સંખ્યા મેળવી શકો છો ખાનગી ઉકેલોવિભેદક સમીકરણ. તે સ્પષ્ટ છે કે કોઈપણ કાર્યો , વગેરે. વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે.

કેટલીકવાર સામાન્ય ઉકેલ કહેવામાં આવે છે કાર્યોનું કુટુંબ. આ ઉદાહરણમાં, સામાન્ય ઉકેલ રેખીય કાર્યોનું કુટુંબ છે, અથવા વધુ સ્પષ્ટ રીતે, પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતાનું કુટુંબ છે.

પ્રથમ ઉદાહરણની સંપૂર્ણ સમીક્ષા કર્યા પછી, વિભેદક સમીકરણો વિશે કેટલાક નિષ્કપટ પ્રશ્નોના જવાબ આપવા યોગ્ય છે:

1)આ ઉદાહરણમાં, અમે ચલોને અલગ કરવામાં સક્ષમ હતા. શું આ હંમેશા કરી શકાય?ના, હંમેશા નહીં. અને વધુ વખત, ચલોને અલગ કરી શકાતા નથી. ઉદાહરણ તરીકે, માં સજાતીય પ્રથમ ક્રમ સમીકરણો, તમારે પહેલા તેને બદલવું પડશે. અન્ય પ્રકારના સમીકરણોમાં, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ ક્રમના રેખીય અસંગત સમીકરણમાં, તમારે સામાન્ય ઉકેલ શોધવા માટે વિવિધ તકનીકો અને પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. વિભાજિત ચલો સાથેના સમીકરણો, જેને આપણે પ્રથમ પાઠમાં ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, તે વિભેદક સમીકરણોનો સૌથી સરળ પ્રકાર છે.

2) શું વિભેદક સમીકરણને એકીકૃત કરવું હંમેશા શક્ય છે?ના, હંમેશા નહીં. "ફેન્સી" સમીકરણ સાથે આવવું ખૂબ જ સરળ છે જે એકીકૃત કરી શકાતું નથી, વધુમાં, ત્યાં અવિભાજ્ય છે જે લઈ શકાતા નથી. પરંતુ આવા DEs લગભગ વિશિષ્ટ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. ડી'એલેમ્બર્ટ અને કોચી ગેરેંટી... ...ઉઘ, લર્કમોર. હમણાં જ ઘણું વાંચવા માટે, મેં લગભગ "બીજી દુનિયામાંથી" ઉમેર્યું.

3) આ ઉદાહરણમાં, અમે સામાન્ય અભિન્ન સ્વરૂપમાં ઉકેલ મેળવ્યો . શું સામાન્ય અભિન્નમાંથી સામાન્ય ઉકેલ શોધવાનું હંમેશા શક્ય છે, એટલે કે, "y" ને સ્પષ્ટ રીતે વ્યક્ત કરવું?ના, હંમેશા નહીં. ઉદાહરણ તરીકે: . સારું, તમે અહીં "ગ્રીક" કેવી રીતે વ્યક્ત કરી શકો?! આવા કિસ્સાઓમાં, જવાબ સામાન્ય અભિન્ન તરીકે લખવો જોઈએ. વધુમાં, કેટલીકવાર સામાન્ય ઉકેલ શોધવાનું શક્ય છે, પરંતુ તે એટલું બોજારૂપ અને અણઘડ રીતે લખાયેલું છે કે જવાબને સામાન્ય અભિન્ન સ્વરૂપમાં છોડી દેવાનું વધુ સારું છે.

4) ...કદાચ તે અત્યારે પૂરતું છે. પ્રથમ ઉદાહરણમાં આપણે આવી બીજો મહત્વનો મુદ્દો, પરંતુ નવી માહિતીના હિમપ્રપાત સાથે "ડમીઝ" ને આવરી ન લેવા માટે, હું તેને આગલા પાઠ સુધી છોડીશ.

અમે ઉતાવળ નહીં કરીએ. અન્ય સરળ રીમોટ કંટ્રોલ અને અન્ય લાક્ષણિક ઉકેલ:

ઉદાહરણ 2

પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષતા વિભેદક સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધો

ઉકેલ: શરત મુજબ, તમારે શોધવાની જરૂર છે ખાનગી ઉકેલ DE જે આપેલ પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષે છે. પ્રશ્નની આ રચનાને પણ કહેવામાં આવે છે કોચી સમસ્યા.

પ્રથમ આપણે સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ છીએ. સમીકરણમાં કોઈ "x" ચલ નથી, પરંતુ આ મૂંઝવણમાં ન આવવું જોઈએ, મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તેમાં પ્રથમ વ્યુત્પન્ન છે.

અમે વ્યુત્પન્નને આવશ્યક સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ છીએ:

દેખીતી રીતે, ચલોને અલગ કરી શકાય છે, છોકરાઓ ડાબી બાજુએ, છોકરીઓ જમણી તરફ:

ચાલો સમીકરણને એકીકૃત કરીએ:

સામાન્ય અભિન્ન પ્રાપ્ત થાય છે. અહીં મેં ફૂદડી સાથે એક સ્થિરાંક દોર્યો, હકીકત એ છે કે ખૂબ જ ટૂંક સમયમાં તે બીજા સ્થિરાંકમાં ફેરવાઈ જશે.

હવે અમે સામાન્ય અવિભાજ્યને સામાન્ય ઉકેલમાં રૂપાંતરિત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ (સ્પષ્ટ રીતે "y" વ્યક્ત કરો). ચાલો શાળાની સારી જૂની વસ્તુઓ યાદ કરીએ: . આ કિસ્સામાં:

સૂચકમાંનો સ્થિરાંક કોઈક રીતે અસ્પષ્ટ લાગે છે, તેથી તે સામાન્ય રીતે પૃથ્વી પર લાવવામાં આવે છે. વિગતવાર, આ કેવી રીતે થાય છે. ડિગ્રીની મિલકતનો ઉપયોગ કરીને, અમે ફંક્શનને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખીએ છીએ:

જો અચલ છે, તો તે પણ અમુક સ્થિર છે, ચાલો તેને અક્ષર સાથે ફરીથી ડિઝાઇન કરીએ:

યાદ રાખો "તોડવું" એ સતત છે બીજી તકનીક, જેનો ઉપયોગ ઘણીવાર વિભેદક સમીકરણો ઉકેલતી વખતે થાય છે.

તેથી, સામાન્ય ઉકેલ છે: . આ ઘાતાંકીય કાર્યોનું સરસ કુટુંબ છે.

અંતિમ તબક્કે, તમારે ચોક્કસ ઉકેલ શોધવાની જરૂર છે જે આપેલ પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષે છે. આ પણ સરળ છે.

કાર્ય શું છે? ઉપાડવાની જરૂર છે જેમ કેસ્થિરતાનું મૂલ્ય જેથી સ્થિતિ સંતુષ્ટ થાય.

તેને અલગ અલગ રીતે ફોર્મેટ કરી શકાય છે, પરંતુ આ કદાચ સૌથી સ્પષ્ટ રીત હશે. સામાન્ય ઉકેલમાં, “X” ને બદલે આપણે શૂન્ય બદલીએ છીએ, અને “Y” ને બદલે આપણે બે બદલીએ છીએ:



એટલે કે,

માનક ડિઝાઇન સંસ્કરણ:

હવે આપણે સ્થિરના મળેલા મૂલ્યને સામાન્ય ઉકેલમાં બદલીએ છીએ:
- આ ચોક્કસ ઉકેલ છે જેની આપણને જરૂર છે.

જવાબ આપો: ખાનગી ઉકેલ:

ચાલો તપાસીએ. ખાનગી ઉકેલની તપાસમાં બે તબક્કાઓ શામેલ છે:

સૌપ્રથમ તમારે તપાસવાની જરૂર છે કે મળેલ વિશિષ્ટ ઉકેલ ખરેખર પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષે છે કે કેમ? "X" ને બદલે આપણે શૂન્ય બદલીએ છીએ અને જુઓ શું થાય છે:
- હા, ખરેખર, બે પ્રાપ્ત થયા હતા, જેનો અર્થ છે કે પ્રારંભિક સ્થિતિ પૂરી થઈ છે.

બીજો તબક્કો પહેલેથી જ પરિચિત છે. અમે પરિણામી ચોક્કસ ઉકેલ લઈએ છીએ અને વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:

અમે મૂળ સમીકરણમાં બદલીએ છીએ:

- યોગ્ય સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે.

નિષ્કર્ષ: ચોક્કસ ઉકેલ યોગ્ય રીતે મળી આવ્યો હતો.

ચાલો વધુ અર્થપૂર્ણ ઉદાહરણો તરફ આગળ વધીએ.

ઉદાહરણ 3

વિભેદક સમીકરણ ઉકેલો

ઉકેલ:અમે વ્યુત્પન્નને આપણને જોઈતા ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ:

અમે મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ કે શું ચલોને અલગ કરવું શક્ય છે? કરી શકે છે. અમે ચિહ્નના ફેરફાર સાથે બીજા શબ્દને જમણી બાજુએ ખસેડીએ છીએ:

અને અમે પ્રમાણના નિયમ અનુસાર ગુણકને સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ:

ચલોને અલગ કરવામાં આવ્યા છે, ચાલો બંને ભાગોને એકીકૃત કરીએ:

મારે તમને ચેતવણી આપવી જોઈએ, ન્યાયનો દિવસ નજીક આવી રહ્યો છે. જો તમે સારી રીતે અભ્યાસ કર્યો નથી અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકો, થોડા ઉદાહરણો હલ કર્યા છે, તો પછી જવા માટે ક્યાંય નથી - તમારે હવે તેમને માસ્ટર કરવું પડશે.

ડાબી બાજુનો અભિન્ન ભાગ શોધવામાં સરળ છે; ત્રિકોણમિતિ કાર્યોને એકીકૃત કરવુંગયા વર્ષ:

જમણી બાજુએ આપણી પાસે લઘુગણક છે, અને, મારી પ્રથમ તકનીકી ભલામણ મુજબ, સતત લોગરીધમ હેઠળ લખવું જોઈએ.

હવે અમે સામાન્ય અભિન્નતાને સરળ બનાવવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ. અમારી પાસે ફક્ત લઘુગણક હોવાથી, તેમાંથી છુટકારો મેળવવો તદ્દન શક્ય (અને જરૂરી) છે. ઉપયોગ કરીને જાણીતા ગુણધર્મોઅમે લોગરીધમ્સને શક્ય તેટલું "પેક" કરીએ છીએ. હું તેને ખૂબ વિગતવાર લખીશ:

પેકેજિંગ અસંસ્કારી રીતે ફાટવા માટે સમાપ્ત થયું છે:

શું "રમત" વ્યક્ત કરવી શક્ય છે? કરી શકે છે. તે બંને ભાગોને ચોરસ કરવા માટે જરૂરી છે.

પરંતુ તમારે આ કરવાની જરૂર નથી.

ત્રીજી તકનીકી ટીપ:જો સામાન્ય ઉકેલ મેળવવા માટે શક્તિમાં વધારો કરવો અથવા મૂળ લેવું જરૂરી છે, તો પછી મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાંતમારે આ ક્રિયાઓથી દૂર રહેવું જોઈએ અને જવાબને સામાન્ય અભિન્ન સ્વરૂપમાં છોડવો જોઈએ. હકીકત એ છે કે સામાન્ય ઉકેલ ખાલી ભયંકર દેખાશે - મોટા મૂળ, ચિહ્નો અને અન્ય કચરો સાથે.

તેથી, અમે સામાન્ય અભિન્ન સ્વરૂપમાં જવાબ લખીએ છીએ. તેને ફોર્મમાં રજૂ કરવાની સારી પ્રેક્ટિસ માનવામાં આવે છે, એટલે કે, જમણી બાજુએ, જો શક્ય હોય તો, માત્ર એક સ્થિર રાખો. આવું કરવું જરૂરી નથી, પરંતુ પ્રોફેસરને ખુશ કરવા હંમેશા ફાયદાકારક છે ;-)

જવાબ:સામાન્ય અભિન્ન:

! નોંધ: કોઈપણ સમીકરણનું સામાન્ય અભિન્ન એક કરતાં વધુ રીતે લખી શકાય છે. આમ, જો તમારું પરિણામ અગાઉના જાણીતા જવાબ સાથે મેળ ખાતું નથી, તો તેનો અર્થ એ નથી કે તમે સમીકરણને ખોટી રીતે હલ કર્યું છે.

સામાન્ય અભિન્ન પણ ચકાસવા માટે એકદમ સરળ છે, મુખ્ય વસ્તુ શોધવા માટે સક્ષમ બનવું છે સ્પષ્ટ રીતે ઉલ્લેખિત કાર્યનું વ્યુત્પન્ન. ચાલો જવાબને અલગ કરીએ:

અમે બંને શબ્દોને આનાથી ગુણાકાર કરીએ છીએ:

અને આના દ્વારા વિભાજીત કરો:

મૂળ વિભેદક સમીકરણ બરાબર મેળવવામાં આવ્યું છે, જેનો અર્થ છે કે સામાન્ય અવિભાજ્ય યોગ્ય રીતે મળી આવ્યું છે.

ઉદાહરણ 4

પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષતા વિભેદક સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધો. તપાસ કરો.

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે જાતે જ હલ કરી શકો છો.

ચાલો હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે અલ્ગોરિધમ બે તબક્કાઓ ધરાવે છે:
1) સામાન્ય ઉકેલ શોધવા;
2) જરૂરી ચોક્કસ ઉકેલ શોધવો.

ચેક પણ બે પગલામાં હાથ ધરવામાં આવે છે (ઉદાહરણ નંબર 2 માં નમૂના જુઓ), તમારે આ કરવાની જરૂર છે:
1) ખાતરી કરો કે શોધાયેલ ચોક્કસ ઉકેલ પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષે છે;
2) તપાસો કે ચોક્કસ ઉકેલ સામાન્ય રીતે વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે.

પાઠના અંતે સંપૂર્ણ ઉકેલ અને જવાબ.

ઉદાહરણ 5

વિભેદક સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધો , પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષે છે. તપાસ કરો.

ઉકેલ:પ્રથમ, ચાલો એક સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ આ સમીકરણમાં પહેલેથી જ તૈયાર તફાવતો છે અને જેનો અર્થ છે કે ઉકેલ સરળ છે. અમે ચલોને અલગ કરીએ છીએ:

ચાલો સમીકરણને એકીકૃત કરીએ:

ડાબી બાજુનું ઇન્ટિગ્રલ ટેબ્યુલર છે, જમણી બાજુનું ઇન્ટિગ્રલ લેવામાં આવ્યું છે વિભેદક ચિન્હ હેઠળ કાર્યને સબમ કરવાની પદ્ધતિ:

સામાન્ય અભિન્નતા પ્રાપ્ત થઈ છે; શું સામાન્ય ઉકેલને સફળતાપૂર્વક વ્યક્ત કરવું શક્ય છે? કરી શકે છે. અમે બંને બાજુએ લઘુગણક લટકાવીએ છીએ. કારણ કે તેઓ હકારાત્મક છે, મોડ્યુલસ ચિહ્નો બિનજરૂરી છે:

(હું આશા રાખું છું કે દરેક વ્યક્તિ પરિવર્તનને સમજે છે, આવી વસ્તુઓ પહેલાથી જ જાણવી જોઈએ)

તેથી, સામાન્ય ઉકેલ છે:

ચાલો આપેલ પ્રારંભિક સ્થિતિને અનુરૂપ ચોક્કસ ઉકેલ શોધીએ.
સામાન્ય ઉકેલમાં, “X” ને બદલે આપણે શૂન્ય બદલીએ છીએ, અને “Y” ને બદલે આપણે બે લોગરીધમ બદલીએ છીએ:

વધુ પરિચિત ડિઝાઇન:

અમે સ્થિરાંકના મળેલા મૂલ્યને સામાન્ય ઉકેલમાં બદલીએ છીએ.

જવાબ:ખાનગી ઉકેલ:

તપાસો: પ્રથમ, ચાલો તપાસ કરીએ કે પ્રારંભિક સ્થિતિ પૂરી થઈ છે કે કેમ:
- બધું ગુંજી રહ્યું છે.

હવે ચાલો તપાસ કરીએ કે શોધાયેલ ચોક્કસ ઉકેલ વિભેદક સમીકરણને બિલકુલ સંતોષે છે કે કેમ. વ્યુત્પન્ન શોધવું:

ચાલો મૂળ સમીકરણ જોઈએ: - તે ભિન્નતામાં રજૂ થાય છે. તપાસવાની બે રીત છે. મળેલા વ્યુત્પન્નમાંથી તફાવત વ્યક્ત કરવો શક્ય છે:

ચાલો આપણે મળેલા ચોક્કસ ઉકેલ અને પરિણામી વિભેદકને મૂળ સમીકરણમાં બદલીએ :

અમે મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

યોગ્ય સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે ચોક્કસ ઉકેલ યોગ્ય રીતે મળી આવ્યો હતો.

ચકાસણીની બીજી પદ્ધતિ પ્રતિબિંબિત અને વધુ પરિચિત છે: સમીકરણમાંથી ચાલો વ્યુત્પન્નને વ્યક્ત કરીએ, આ કરવા માટે આપણે બધા ભાગોને આના દ્વારા વિભાજિત કરીએ છીએ:

અને રૂપાંતરિત DE માં આપણે મેળવેલા આંશિક ઉકેલ અને મળેલા વ્યુત્પન્નને બદલીએ છીએ. સરળીકરણના પરિણામે, યોગ્ય સમાનતા પણ મેળવવી જોઈએ.

ઉદાહરણ 6

વિભેદક સમીકરણ ઉકેલો. જવાબને સામાન્ય અભિન્ન સ્વરૂપમાં રજૂ કરો.

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે કે તમે તમારી જાતે ઉકેલો, સંપૂર્ણ ઉકેલ અને પાઠના અંતે જવાબ આપો.

વિભાજિત ચલો સાથે વિભેદક સમીકરણો ઉકેલતી વખતે રાહ જોવામાં કઈ મુશ્કેલીઓ આવે છે?

1) તે હંમેશા સ્પષ્ટ હોતું નથી (ખાસ કરીને "ટીપોટ" માટે) કે ચલોને અલગ કરી શકાય છે. ચાલો એક શરતી ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લઈએ: . અહીં તમારે પરિબળોને કૌંસમાંથી બહાર કાઢવાની જરૂર છે: અને મૂળને અલગ કરો: . આગળ શું કરવું તે સ્પષ્ટ છે.

2) એકીકરણ સાથે જ મુશ્કેલીઓ. ઇન્ટિગ્રલ્સ ઘણીવાર સૌથી સરળ હોતા નથી, અને જો શોધવાની કુશળતામાં ખામીઓ હોય તો અનિશ્ચિત અભિન્ન, પછી તે ઘણા વિસારકો સાથે મુશ્કેલ હશે. વધુમાં, "વિભેદક સમીકરણ સરળ હોવાથી, ઓછામાં ઓછા અવિભાજ્યને વધુ જટિલ બનવા દો" એ તર્ક સંગ્રહ અને તાલીમ માર્ગદર્શિકાઓના કમ્પાઇલર્સમાં લોકપ્રિય છે.

3) સ્થિર સાથે પરિવર્તન. દરેક વ્યક્તિએ નોંધ્યું છે તેમ, વિભેદક સમીકરણોમાં સ્થિરતાને તદ્દન મુક્તપણે નિયંત્રિત કરી શકાય છે, અને કેટલાક પરિવર્તનો હંમેશા શિખાઉ માણસ માટે સ્પષ્ટ હોતા નથી. ચાલો અન્ય શરતી ઉદાહરણ જોઈએ: . તમામ પદોને 2 વડે ગુણાકાર કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે: . પરિણામી સ્થિરાંક પણ અમુક પ્રકારનો સ્થિરાંક છે, જેને આના દ્વારા સૂચિત કરી શકાય છે: . હા, અને જમણી બાજુએ એક લઘુગણક હોવાથી, પછી સ્થિરને બીજા સ્થિરના રૂપમાં ફરીથી લખવાની સલાહ આપવામાં આવે છે: .

મુશ્કેલી એ છે કે તેઓ ઘણીવાર અનુક્રમણિકાઓથી પરેશાન કરતા નથી અને સમાન અક્ષરનો ઉપયોગ કરતા નથી. પરિણામે, નિર્ણય રેકોર્ડ નીચેનું સ્વરૂપ લે છે:

કેવો પાખંડ? ત્યાં જ ભૂલો છે! કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, હા. જો કે, વાસ્તવિક દૃષ્ટિકોણથી, ત્યાં કોઈ ભૂલો નથી, કારણ કે ચલ સ્થિરાંકને રૂપાંતરિત કરવાના પરિણામે, ચલ સ્થિરાંક હજુ પણ પ્રાપ્ત થાય છે.

અથવા બીજું ઉદાહરણ, ધારો કે સમીકરણ ઉકેલવા દરમિયાન એક સામાન્ય અભિન્ન પ્રાપ્ત થાય છે. આ જવાબ કદરૂપો લાગે છે, તેથી દરેક શબ્દની નિશાની બદલવાની સલાહ આપવામાં આવે છે: . ઔપચારિક રીતે, અહીં બીજી ભૂલ છે - તે જમણી બાજુએ લખવી જોઈએ. પરંતુ અનૌપચારિક રીતે તે સૂચિત છે કે "માઇનસ સીઇ" હજુ પણ સ્થિર છે ( જે કોઈપણ અર્થ સરળતાથી લઈ શકે છે!), તેથી "માઈનસ" મૂકવાનો કોઈ અર્થ નથી અને તમે તે જ અક્ષરનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

હું બેદરકાર અભિગમને ટાળવાનો પ્રયાસ કરીશ, અને તેમ છતાં પણ વિવિધ સૂચકાંકોને કન્વર્ટ કરતી વખતે તેમને સ્થિરાંકોને સોંપીશ.

ઉદાહરણ 7

વિભેદક સમીકરણ ઉકેલો. તપાસ કરો.

ઉકેલ:આ સમીકરણ ચલોને અલગ કરવાની મંજૂરી આપે છે. અમે ચલોને અલગ કરીએ છીએ:

ચાલો એકીકૃત કરીએ:

અહીં સતતને લઘુગણક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવું જરૂરી નથી, કારણ કે આમાંથી કંઈપણ ઉપયોગી થશે નહીં.

જવાબ:સામાન્ય અભિન્ન:

તપાસો: જવાબને અલગ પાડો (ગર્ભિત કાર્ય):

અમે બંને પદોને આના દ્વારા ગુણાકાર કરીને અપૂર્ણાંકમાંથી છુટકારો મેળવીએ છીએ:

મૂળ વિભેદક સમીકરણ મેળવવામાં આવ્યું છે, જેનો અર્થ છે કે સામાન્ય અવિભાજ્ય યોગ્ય રીતે મળી આવ્યું છે.

ઉદાહરણ 8

DE નો ચોક્કસ ઉકેલ શોધો.
,

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે જાતે જ હલ કરી શકો છો. એકમાત્ર સંકેત એ છે કે અહીં તમને એક સામાન્ય અભિન્નતા મળશે, અને, વધુ યોગ્ય રીતે કહીએ તો, તમારે કોઈ ચોક્કસ ઉકેલ શોધવાની જરૂર નથી, પરંતુ આંશિક અભિન્ન. પાઠના અંતે સંપૂર્ણ ઉકેલ અને જવાબ.

6.1. મૂળભૂત ખ્યાલો અને વ્યાખ્યાઓ

ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, જીવવિજ્ઞાન અને દવામાં વિવિધ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, ઘણી વાર અભ્યાસ હેઠળની પ્રક્રિયાનું વર્ણન કરતા ચલોને જોડતા સૂત્રના સ્વરૂપમાં કાર્યાત્મક સંબંધ સ્થાપિત કરવાનું શક્ય નથી. સામાન્ય રીતે તમારે એવા સમીકરણોનો ઉપયોગ કરવો પડશે જેમાં સ્વતંત્ર ચલ અને અજ્ઞાત કાર્ય ઉપરાંત તેના ડેરિવેટિવ્ઝ પણ હોય.

વ્યાખ્યા.સ્વતંત્ર ચલ, અજ્ઞાત કાર્ય અને તેના વિવિધ ઓર્ડરોના ડેરિવેટિવ્સને જોડતા સમીકરણને કહેવામાં આવે છે. વિભેદક

અજ્ઞાત કાર્ય સામાન્ય રીતે સૂચવવામાં આવે છે y(x)અથવા માત્ર y,અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝ - y", y"વગેરે

અન્ય હોદ્દો પણ શક્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે: જો y= x(t), પછી x"(t), x""(t)- તેના ડેરિવેટિવ્ઝ, અને t- સ્વતંત્ર ચલ.

વ્યાખ્યા.જો કાર્ય એક ચલ પર આધાર રાખે છે, તો વિભેદક સમીકરણને સામાન્ય કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય દૃશ્ય સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ:

અથવા

કાર્યો એફઅને fકેટલીક દલીલો સમાવી શકાતી નથી, પરંતુ સમીકરણો વિભેદક હોવા માટે, વ્યુત્પન્નની હાજરી આવશ્યક છે.

વ્યાખ્યા.વિભેદક સમીકરણનો ક્રમતેમાં સમાવિષ્ટ સર્વોચ્ચ વ્યુત્પન્નનો ક્રમ કહેવાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, x 2 y"- y= 0, y" + sin x= 0 એ પ્રથમ ક્રમના સમીકરણો છે, અને y"+ 2 y"+ 5 y= x- બીજા ક્રમનું સમીકરણ.

વિભેદક સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, એકીકરણ કામગીરીનો ઉપયોગ થાય છે, જે મનસ્વી સ્થિરાંકના દેખાવ સાથે સંકળાયેલ છે. જો એકીકરણ ક્રિયા લાગુ કરવામાં આવે છે nવખત, પછી દેખીતી રીતે ઉકેલ સમાવશે nમનસ્વી સ્થિરાંકો.

6.2. પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણો

સામાન્ય દૃશ્ય પ્રથમ ક્રમ વિભેદક સમીકરણઅભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

સમીકરણ સ્પષ્ટપણે સમાવી શકતું નથી xઅને y,પરંતુ આવશ્યકપણે y સમાવે છે".

જો સમીકરણ તરીકે લખી શકાય

પછી અમે વ્યુત્પન્નના સંદર્ભમાં ઉકેલાયેલ પ્રથમ-ક્રમ વિભેદક સમીકરણ મેળવીએ છીએ.

વ્યાખ્યા.પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણ (6.3) (અથવા (6.4 ટકા) નો સામાન્ય ઉકેલ એ ઉકેલોનો સમૂહ છે , ક્યાં સાથે- મનસ્વી સતત.

વિભેદક સમીકરણના ઉકેલના ગ્રાફને કહેવામાં આવે છે અભિન્ન વળાંક.

મનસ્વી સતત આપવી સાથેવિવિધ મૂલ્યો, આંશિક ઉકેલો મેળવી શકાય છે. પ્લેનમાં xOyસામાન્ય ઉકેલ એ દરેક ચોક્કસ ઉકેલને અનુરૂપ અભિન્ન વણાંકોનું કુટુંબ છે.

જો તમે એક બિંદુ સેટ કરો A (x 0 , y 0),જેના દ્વારા અભિન્ન વળાંક પસાર થવો જોઈએ, પછી, નિયમ તરીકે, કાર્યોના સમૂહમાંથી કોઈ એક કરી શકે છે - એક ખાનગી ઉકેલ.

વ્યાખ્યા.ખાનગી નિર્ણયવિભેદક સમીકરણ એ તેનો ઉકેલ છે જેમાં મનસ્વી સ્થિરાંકો નથી.

જો એક સામાન્ય ઉકેલ છે, પછી સ્થિતિથી

તમે સતત શોધી શકો છો સાથે.શરત કહેવાય છે પ્રારંભિક સ્થિતિ.

પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષતા વિભેદક સમીકરણ (6.3) અથવા (6.4) માટે ચોક્કસ ઉકેલ શોધવાની સમસ્યા ખાતે કહેવાય છે કોચી સમસ્યા.શું આ સમસ્યાનો હંમેશા ઉકેલ હોય છે? જવાબ નીચેના પ્રમેયમાં સમાયેલ છે.

કોચીનું પ્રમેય(અસ્તિત્વનું પ્રમેય અને ઉકેલની વિશિષ્ટતા). વિભેદક સમીકરણમાં ચાલો y"= f(x,y)કાર્ય f(x,y)અને તેણી

આંશિક વ્યુત્પન્ન કેટલાકમાં વ્યાખ્યાયિત અને સતત

પ્રદેશ ડી,એક બિંદુ ધરાવે છે પછી વિસ્તારમાં ડીઅસ્તિત્વમાં છે

સમીકરણનો એકમાત્ર ઉકેલ જે પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષે છે ખાતે

કોચીનું પ્રમેય જણાવે છે કે અમુક પરિસ્થિતિઓમાં એક અનન્ય અભિન્ન વળાંક હોય છે y= f(x),એક બિંદુમાંથી પસાર થવું બિંદુઓ કે જેના પર પ્રમેયની શરતો પૂરી થતી નથી

કૌચીસ કહેવાય છે ખાસઆ બિંદુઓ પર તે તૂટી જાય છે f(x, y) અથવા.

કાં તો ઘણા અભિન્ન વણાંકો અથવા એક પણ એકવચન બિંદુમાંથી પસાર થતા નથી.

વ્યાખ્યા.જો સોલ્યુશન (6.3), (6.4) ફોર્મમાં જોવા મળે છે f(x, y, સી)= 0, y ની સાપેક્ષ મંજૂરી નથી, તો તેને કહેવામાં આવે છે સામાન્ય અભિન્નવિભેદક સમીકરણ.

કોચીની પ્રમેય માત્ર ખાતરી આપે છે કે ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે. ઉકેલ શોધવા માટે કોઈ એક પદ્ધતિ ન હોવાથી, અમે ફક્ત કેટલાક પ્રકારનાં પ્રથમ-ક્રમના વિભેદક સમીકરણોને ધ્યાનમાં લઈશું જેને સંકલિત કરી શકાય છે ચતુર્થાંશ

વ્યાખ્યા.વિભેદક સમીકરણ કહેવાય છે ચતુર્થાંશમાં એકીકૃત,જો તેનો ઉકેલ શોધવાનું કાર્ય સંકલિત કરવા માટે નીચે આવે છે.

6.2.1. વિભાજિત ચલો સાથે પ્રથમ ક્રમ વિભેદક સમીકરણો

વ્યાખ્યા.પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણને સાથે સમીકરણ કહેવામાં આવે છે અલગ કરી શકાય તેવા ચલ,

સમીકરણની જમણી બાજુ (6.5) એ બે કાર્યોનું ઉત્પાદન છે, જેમાંથી દરેક માત્ર એક ચલ પર આધારિત છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ વિભાજન સાથેનું સમીકરણ છે

ચલો સાથે મિશ્ર
અને સમીકરણ

ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાતું નથી (6.5).

તે ધ્યાનમાં લેતા , અમે ફોર્મમાં (6.5) ફરીથી લખીએ છીએ

આ સમીકરણમાંથી આપણે વિભાજિત ચલો સાથેનું વિભેદક સમીકરણ મેળવીએ છીએ, જેમાં વિભેદક એવા કાર્યો છે જે ફક્ત સંબંધિત ચલ પર આધાર રાખે છે:

ટર્મ દ્વારા ટર્મને એકીકૃત કરવું, અમારી પાસે છે

જ્યાં C = C 2 - C 1 - મનસ્વી સ્થિરાંક. અભિવ્યક્તિ (6.6) એ સમીકરણનું સામાન્ય અભિન્ન અંગ છે (6.5).

સમીકરણની બંને બાજુઓ (6.5) દ્વારા વિભાજીત કરીને, આપણે તે ઉકેલો ગુમાવી શકીએ છીએ જેના માટે, ખરેખર, જો ખાતે

તે દેખીતી રીતે સમીકરણનો ઉકેલ છે (6.5).

ઉદાહરણ 1.જે સમીકરણ સંતોષે છે તેનો ઉકેલ શોધો

શરત: y= 6 વાગ્યે x= 2 (વાય(2) = 6).

ઉકેલ.અમે બદલીશું y"પછી . બંને બાજુઓ દ્વારા ગુણાકાર કરો

ડીએક્સ,કારણ કે વધુ એકીકરણ દરમિયાન તે છોડવું અશક્ય છે ડીએક્સછેદમાં:

અને પછી બંને ભાગોને વડે વિભાજીત કરો આપણને સમીકરણ મળે છે,

જે સંકલિત કરી શકાય છે. ચાલો એકીકૃત કરીએ:

પછી ; પોટેન્શિએટિંગ, આપણને y = C મળે છે. (x + 1) - ob-

સામાન્ય ઉકેલ.

પ્રારંભિક ડેટાનો ઉપયોગ કરીને, અમે એક મનસ્વી સ્થિરાંક નક્કી કરીએ છીએ, તેમને સામાન્ય ઉકેલમાં બદલીને

આખરે આપણને મળે છે y= 2(x + 1) એ ચોક્કસ ઉકેલ છે. ચાલો વિભાજિત ચલો સાથે સમીકરણો ઉકેલવાના થોડા વધુ ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 2.સમીકરણનો ઉકેલ શોધો

ઉકેલ.તે ધ્યાનમાં લેતા , અમને મળે છે .

સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરીને, આપણી પાસે છે

જ્યાં

ઉદાહરણ 3.સમીકરણનો ઉકેલ શોધો ઉકેલ.અમે સમીકરણની બંને બાજુઓને તે પરિબળોમાં વિભાજીત કરીએ છીએ જે ચલ પર આધાર રાખે છે જે વિભેદક ચિન્હ હેઠળના ચલ સાથે સુસંગત નથી, એટલે કે. અને એકીકૃત. પછી આપણને મળે છે

અને છેલ્લે

ઉદાહરણ 4.સમીકરણનો ઉકેલ શોધો

ઉકેલ.આપણને શું મળશે તે જાણીને. વિભાગ

લિમ ચલો. પછી

એકીકરણ, અમને મળે છે

ટિપ્પણી.ઉદાહરણો 1 અને 2 માં, જરૂરી કાર્ય છે yસ્પષ્ટ રીતે વ્યક્ત (સામાન્ય ઉકેલ). ઉદાહરણો 3 અને 4 માં - ગર્ભિત (સામાન્ય અભિન્ન). ભવિષ્યમાં, નિર્ણયનું સ્વરૂપ સ્પષ્ટ કરવામાં આવશે નહીં.

ઉદાહરણ 5.સમીકરણનો ઉકેલ શોધો ઉકેલ.

ઉદાહરણ 6.સમીકરણનો ઉકેલ શોધો , સંતોષકારક

સ્થિતિ y(e)= 1.

ઉકેલ.ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ લખીએ

દ્વારા સમીકરણની બંને બાજુનો ગુણાકાર ડીએક્સઅને પર, અમે મેળવીએ છીએ

સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરવાથી (જમણી બાજુનો અભિન્ન ભાગ ભાગો દ્વારા લેવામાં આવે છે), અમે મેળવીએ છીએ

પણ શરત મુજબ y= 1 ખાતે x= ઇ. પછી

ચાલો મળેલ મૂલ્યોને બદલીએ સાથેસામાન્ય ઉકેલ માટે:

પરિણામી અભિવ્યક્તિને વિભેદક સમીકરણનો આંશિક ઉકેલ કહેવામાં આવે છે.

6.2.2. પ્રથમ ક્રમના સજાતીય વિભેદક સમીકરણો

વ્યાખ્યા.પ્રથમ ક્રમ વિભેદક સમીકરણ કહેવામાં આવે છે સજાતીય,જો તે ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય

ચાલો સજાતીય સમીકરણ ઉકેલવા માટે એક અલ્ગોરિધમ રજૂ કરીએ.

1. તેના બદલે yચાલો એક નવું ફંક્શન રજૂ કરીએ અને તેથી

2.કાર્યની દ્રષ્ટિએ uસમીકરણ (6.7) સ્વરૂપ લે છે

એટલે કે, રિપ્લેસમેન્ટ એકસમાન સમીકરણને વિભાજિત ચલ સાથેના સમીકરણમાં ઘટાડે છે.

3. સમીકરણ ઉકેલવું (6.8), આપણે પહેલા u અને પછી શોધીએ છીએ y= ux.

ઉદાહરણ 1.સમીકરણ ઉકેલો ઉકેલ.ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ લખીએ

અમે અવેજી બનાવીએ છીએ:
પછી

અમે બદલીશું

dx વડે ગુણાકાર કરો: દ્વારા વિભાજીત કરો xઅને ચાલુ પછી

અનુરૂપ ચલો પર સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કર્યા પછી, અમારી પાસે છે

અથવા, જૂના ચલો પર પાછા ફરવાથી, આપણને છેવટે મળે છે

ઉદાહરણ 2.સમીકરણ ઉકેલો ઉકેલ.દો પછી

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને વડે વિભાજીત કરીએ x2: ચાલો કૌંસ ખોલીએ અને શરતોને ફરીથી ગોઠવીએ:

જૂના ચલો પર આગળ વધીને, અમે અંતિમ પરિણામ પર પહોંચીએ છીએ:

ઉદાહરણ 3.સમીકરણનો ઉકેલ શોધો આપેલ છે

ઉકેલ.પ્રમાણભૂત રિપ્લેસમેન્ટ કરવું અમે મેળવીએ છીએ

અથવા

અથવા

આનો અર્થ એ છે કે ચોક્કસ સોલ્યુશનનું સ્વરૂપ છે ઉદાહરણ 4.સમીકરણનો ઉકેલ શોધો

ઉકેલ.

ઉદાહરણ 5.સમીકરણનો ઉકેલ શોધો ઉકેલ.

સ્વતંત્ર કાર્ય

વિભાજિત ચલો સાથે વિભેદક સમીકરણોના ઉકેલો શોધો (1-9).

સજાતીય વિભેદક સમીકરણોનો ઉકેલ શોધો (9-18).

6.2.3. પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણોની કેટલીક એપ્લિકેશનો

કિરણોત્સર્ગી સડો સમસ્યા

સમયની દરેક ક્ષણે Ra (રેડિયમ) ના સડોનો દર તેના ઉપલબ્ધ સમૂહના પ્રમાણસર છે. Ra ના કિરણોત્સર્ગી સડોનો નિયમ શોધો જો તે જાણીતું હોય કે પ્રારંભિક ક્ષણે Ra હતો અને Ra નું અર્ધ જીવન 1590 વર્ષ છે.

ઉકેલ.ત્વરિત દળ Ra થવા દો x= x(t) g, અને પછી સડો દર રા બરાબર છે

સમસ્યાની શરતો અનુસાર

જ્યાં k

છેલ્લા સમીકરણમાં ચલોને અલગ કરીને અને એકીકરણ કરવાથી, આપણને મળે છે

જ્યાં

નક્કી કરવા માટે સીઅમે પ્રારંભિક સ્થિતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: ક્યારે .

પછી અને તેથી,

પ્રમાણસરતા પરિબળ kવધારાની સ્થિતિથી નિર્ધારિત:

અમારી પાસે છે

અહીંથી અને જરૂરી સૂત્ર

બેક્ટેરિયલ પ્રજનન દરની સમસ્યા

બેક્ટેરિયાના પ્રજનનનો દર તેમની સંખ્યાના પ્રમાણસર છે. શરૂઆતમાં 100 બેક્ટેરિયા હતા. 3 કલાકમાં તેમની સંખ્યા બમણી થઈ ગઈ. સમયસર બેક્ટેરિયાની સંખ્યાની અવલંબન શોધો. 9 કલાકમાં બેક્ટેરિયાની સંખ્યા કેટલી વાર વધશે?

ઉકેલ.દો x- એક સમયે બેક્ટેરિયાની સંખ્યા t.પછી, શરત મુજબ,

જ્યાં k- પ્રમાણસરતા ગુણાંક.

અહીંથી સ્થિતિ પરથી જાણવા મળે છે કે . અર્થ,

વધારાની શરતમાંથી . પછી

તમે શોધી રહ્યાં છો તે કાર્ય:

તેથી, જ્યારે t= 9 x= 800, એટલે કે 9 કલાકની અંદર બેક્ટેરિયાની સંખ્યામાં 8 ગણો વધારો થયો.

એન્ઝાઇમની માત્રામાં વધારો થવાની સમસ્યા

બ્રુઅરની યીસ્ટ કલ્ચરમાં, સક્રિય એન્ઝાઇમની વૃદ્ધિનો દર તેની પ્રારંભિક રકમના પ્રમાણસર હોય છે. xએન્ઝાઇમની પ્રારંભિક માત્રા aએક કલાકમાં બમણું થઈ ગયું. નિર્ભરતા શોધો

x(t).

ઉકેલ.શરત દ્વારા, પ્રક્રિયાના વિભેદક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે

અહીંથી

પણ . અર્થ, સી= aઅને પછી

એવું પણ જાણવા મળે છે

આથી,

6.3. સેકન્ડ ઓર્ડર વિભેદક સમીકરણો

6.3.1. મૂળભૂત ખ્યાલો

વ્યાખ્યા.બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણસ્વતંત્ર ચલ, ઇચ્છિત કાર્ય અને તેના પ્રથમ અને બીજા ડેરિવેટિવ્સને જોડતો સંબંધ કહેવાય છે.

ખાસ કિસ્સાઓમાં, સમીકરણમાંથી x ગુમ થઈ શકે છે, ખાતેઅથવા y." જો કે, બીજા ક્રમના સમીકરણમાં આવશ્યકપણે y હોવું આવશ્યક છે." સામાન્ય કિસ્સામાં, બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણને આ રીતે લખવામાં આવે છે:

અથવા, જો શક્ય હોય તો, બીજા ડેરિવેટિવના સંદર્ભમાં ઉકેલાયેલા ફોર્મમાં:

પ્રથમ ક્રમના સમીકરણના કિસ્સામાં, બીજા ક્રમના સમીકરણ માટે સામાન્ય અને ચોક્કસ ઉકેલો હોઈ શકે છે. સામાન્ય ઉકેલ છે:

ચોક્કસ ઉકેલ શોધવી

પ્રારંભિક શરતો હેઠળ - આપવામાં આવે છે

નંબરો) કહેવાય છે કોચી સમસ્યા.ભૌમિતિક રીતે, આનો અર્થ એ છે કે આપણે અભિન્ન વળાંક શોધવાની જરૂર છે ખાતે= y(x),આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થવું અને આ બિંદુએ સ્પર્શક ધરાવે છે જે છે

હકારાત્મક ધરી દિશા સાથે સંરેખિત કરે છે બળદઉલ્લેખિત કોણ. ઇ. (ફિગ. 6.1). જો સમીકરણની જમણી બાજુએ (6.10), તો કોચી સમસ્યાનો અનન્ય ઉકેલ છે. અવિરત

વિસંગત છે અને તેના સંદર્ભમાં સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ ધરાવે છે ઉહ, ઉહ"પ્રારંભિક બિંદુના કેટલાક પડોશમાં

સ્થિરાંકો શોધવા માટે ખાનગી સોલ્યુશનમાં શામેલ છે, સિસ્ટમને ઉકેલવી આવશ્યક છે

ચોખા. 6.1.અભિન્ન વળાંક

સૂચનાઓ

જો સમીકરણ ફોર્મમાં રજૂ કરવામાં આવે છે: dy/dx = q(x)/n(y), તો તેમને વિભાજિત ચલ સાથે વિભેદક સમીકરણો તરીકે વર્ગીકૃત કરો. તેમને નીચે પ્રમાણે ભિન્નતામાં સ્થિતિ લખીને ઉકેલી શકાય છે: n(y)dy = q(x)dx. પછી બંને બાજુઓને એકીકૃત કરો. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, સોલ્યુશન જાણીતા ફંક્શન્સમાંથી લેવામાં આવેલા ઇન્ટિગ્રલ્સના સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, dy/dx = x/y ના કિસ્સામાં, આપણને q(x) = x, n(y) = y મળે છે. તેને ydy = xdx સ્વરૂપમાં લખો અને એકીકૃત કરો. તે y^2 = x^2 + c હોવું જોઈએ.

રેખીય માટે સમીકરણોસમીકરણોને "પ્રથમ" સાથે જોડો. તેના ડેરિવેટિવ્ઝ સાથેનું અજ્ઞાત કાર્ય આવા સમીકરણમાં માત્ર પ્રથમ ડિગ્રીમાં પ્રવેશે છે. લીનિયરમાં dy/dx + f(x) = j(x) સ્વરૂપ છે, જ્યાં x પર આધાર રાખીને f(x) અને g(x) ફંક્શન છે. સોલ્યુશન જાણીતા ફંક્શન્સમાંથી લેવામાં આવેલા ઇન્ટિગ્રલ્સનો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવે છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે ઘણા વિભેદક સમીકરણો બીજા ક્રમના સમીકરણો છે (જેમાં બીજા વ્યુત્પન્ન છે). આવા સમીકરણોમાં, ચોક્કસ ઉકેલો હોય છે. સરળ હાર્મોનિક ગતિનું સમીકરણ એ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ વસ્તુનું ઉદાહરણ છે: રેખીય વિભેદક સમીકરણો કે જેમાં સતત ગુણાંક હોય છે.

જો સમસ્યાની સ્થિતિમાં માત્ર એક રેખીય સમીકરણ હોય, તો તમને વધારાની શરતો આપવામાં આવી છે જેના દ્વારા તમે ઉકેલ શોધી શકો છો. આ શરતો શોધવા માટે સમસ્યાને કાળજીપૂર્વક વાંચો. જો ચલો x અને y અંતર, ઝડપ, વજન સૂચવે છે - x≥0 અને y≥0 મર્યાદા સેટ કરવા માટે નિઃસંકોચ. તે તદ્દન શક્ય છે કે x અથવા y સફરજન વગેરેની સંખ્યા છુપાવે છે. - પછી મૂલ્યો ફક્ત હોઈ શકે છે. જો x એ પુત્રની ઉંમર છે, તો તે સ્પષ્ટ છે કે તે તેના પિતા કરતા મોટો ન હોઈ શકે, તેથી સમસ્યાની સ્થિતિમાં આ સૂચવો.

સ્ત્રોતો:

• એક ચલ સાથે સમીકરણ કેવી રીતે હલ કરવું

યુનિવર્સિટીઓમાં અભ્યાસ કરવામાં આવતી ઉચ્ચ ગણિતની શાખા ગણિતના વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતને એકીકૃત કરવામાં વિભેદક અને અભિન્ન કલનની સમસ્યાઓ મહત્વપૂર્ણ ઘટકો છે. વિભેદક સમીકરણએકીકરણ પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલવામાં આવે છે.

સૂચનાઓ

ડિફરન્શિયલ કેલ્ક્યુલસ ના ગુણધર્મોની શોધ કરે છે. અને ઊલટું, ફંક્શનને એકીકૃત કરવાથી આપેલ ગુણધર્મો માટે પરવાનગી આપે છે, એટલે કે. ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્સ અથવા ડિફરન્સિયલ્સ તેને પોતાને શોધવા માટે. આ વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ છે.

કોઈપણ વસ્તુ એ અજાણ્યા જથ્થા અને જાણીતા ડેટા વચ્ચેનો સંબંધ છે. વિભેદક સમીકરણના કિસ્સામાં, અજ્ઞાતની ભૂમિકા ફંક્શન દ્વારા ભજવવામાં આવે છે, અને જાણીતી માત્રાની ભૂમિકા તેના ડેરિવેટિવ્ઝ દ્વારા ભજવવામાં આવે છે. વધુમાં, સંબંધમાં એક સ્વતંત્ર ચલ હોઈ શકે છે: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, જ્યાં x એ અજ્ઞાત છે ચલ, y (x) એ નક્કી કરવાનું કાર્ય છે, સમીકરણનો ક્રમ એ વ્યુત્પન્ન (n) નો મહત્તમ ક્રમ છે.

આવા સમીકરણને સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. જો સંબંધમાં આ ચલોના સંદર્ભમાં ફંક્શનના ઘણા સ્વતંત્ર ચલો અને આંશિક ડેરિવેટિવ્સ (વિભેદો) હોય, તો સમીકરણને આંશિક વિભેદક સમીકરણ કહેવામાં આવે છે અને તેનું સ્વરૂપ છે: x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0 , જ્યાં z(x, y) જરૂરી ફંક્શન છે.

તેથી, વિભેદક સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા તે શીખવા માટે, તમારે એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝ શોધવામાં સક્ષમ હોવું જરૂરી છે, એટલે કે. સમસ્યાને ભેદથી વિપરીત ઉકેલો. ઉદાહરણ તરીકે: પ્રથમ ક્રમ સમીકરણ y’ = -y/x ઉકેલો.

ઉકેલ y’ ને dy/dx સાથે બદલો: dy/dx = -y/x.

સમીકરણને સંકલન માટે અનુકૂળ સ્વરૂપમાં ઘટાડી દો. આ કરવા માટે, બંને બાજુઓને dx વડે ગુણાકાર કરો અને y:dy/y = -dx/x વડે ભાગો.

એકીકૃત કરો: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln |x| + સી.

આ ઉકેલને સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. C એ એક સ્થિર છે જેના મૂલ્યોનો સમૂહ સમીકરણના ઉકેલોના સમૂહને નિર્ધારિત કરે છે. C ના કોઈપણ ચોક્કસ મૂલ્ય માટે, ઉકેલ અનન્ય હશે. આ ઉકેલ એ વિભેદક સમીકરણનો આંશિક ઉકેલ છે.

મોટાભાગના ઉચ્ચ-ક્રમના સમીકરણો ઉકેલવા ડિગ્રીવર્ગમૂળ શોધવા માટે સ્પષ્ટ સૂત્ર નથી સમીકરણો. જો કે, ત્યાં ઘણી ઘટાડો પદ્ધતિઓ છે જે તમને ઉચ્ચ ડિગ્રી સમીકરણને વધુ દ્રશ્ય સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવાની મંજૂરી આપે છે.

સૂચનાઓ

ઉચ્ચ ડિગ્રી સમીકરણો ઉકેલવા માટેની સૌથી સામાન્ય પદ્ધતિ વિસ્તરણ છે. આ અભિગમ પૂર્ણાંક મૂળ, મુક્ત પદના વિભાજકો અને સામાન્ય બહુપદીના અનુગામી વિભાજનને ફોર્મ (x – x0) પસંદ કરવાનું સંયોજન છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ x^4 + x³ + 2 x² – x – 3 = 0. ઉકેલ: આ બહુપદીનો મુક્ત શબ્દ -3 છે, તેથી, તેના પૂર્ણાંક વિભાજકો સંખ્યાઓ ±1 અને ±3 હોઈ શકે છે. તેમને સમીકરણમાં એક પછી એક બદલો અને શોધો કે તમને ઓળખ મળે છે કે કેમ: 1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.

બીજું મૂળ x = -1. અભિવ્યક્તિ (x + 1) દ્વારા ભાગાકાર કરો. પરિણામી સમીકરણ લખો (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. ડિગ્રી ઘટાડીને બીજા કરવામાં આવી છે, તેથી, સમીકરણમાં વધુ બે મૂળ હોઈ શકે છે. તેમને શોધવા માટે, ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલો: x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

ભેદભાવ એ નકારાત્મક મૂલ્ય છે, જેનો અર્થ છે કે સમીકરણ હવે વાસ્તવિક મૂળ ધરાવતું નથી. સમીકરણના જટિલ મૂળ શોધો: x = (-2 + i·√11)/2 અને x = (-2 – i·√11)/2.

ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણને ઉકેલવા માટેની બીજી પદ્ધતિ એ છે કે ચલો બદલીને તેને ચતુર્ભુજ બનાવવા. આ અભિગમનો ઉપયોગ ત્યારે થાય છે જ્યારે સમીકરણની બધી શક્તિઓ સમાન હોય, ઉદાહરણ તરીકે: x^4 – 13 x² + 36 = 0

હવે મૂળ સમીકરણના મૂળ શોધો: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

ટીપ 10: રેડોક્સ સમીકરણો કેવી રીતે નક્કી કરવા

રાસાયણિક પ્રતિક્રિયા એ પદાર્થોના પરિવર્તનની પ્રક્રિયા છે જે તેમની રચનામાં ફેરફાર સાથે થાય છે. તે પદાર્થો જે પ્રતિક્રિયા આપે છે તેને પ્રારંભિક પદાર્થો કહેવામાં આવે છે, અને જે આ પ્રક્રિયાના પરિણામે રચાય છે તેને ઉત્પાદનો કહેવામાં આવે છે. એવું બને છે કે રાસાયણિક પ્રતિક્રિયા દરમિયાન, તત્વો કે જે પ્રારંભિક પદાર્થો બનાવે છે તે તેમની ઓક્સિડેશન સ્થિતિમાં ફેરફાર કરે છે. એટલે કે, તેઓ કોઈ બીજાના ઈલેક્ટ્રોન સ્વીકારી શકે છે અને તેમના પોતાના આપી શકે છે. બંને કિસ્સાઓમાં, તેમનો ચાર્જ બદલાય છે. આવી પ્રતિક્રિયાઓને રેડોક્સ પ્રતિક્રિયાઓ કહેવામાં આવે છે.

ચાલો આપણે તે કાર્યને યાદ કરીએ જે ચોક્કસ પૂર્ણાંકો શોધતી વખતે આપણને સામનો કરે છે:

અથવા dy = f(x)dx. તેણીનો ઉકેલ:

અને તે અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકની ગણતરી કરવા માટે નીચે આવે છે. વ્યવહારમાં, વધુ જટિલ કાર્યનો વારંવાર સામનો કરવો પડે છે: કાર્ય શોધવું y, જો તે જાણીતું હોય કે તે ફોર્મના સંબંધને સંતોષે છે

આ સંબંધ સ્વતંત્ર ચલ સાથે સંબંધિત છે x, અજ્ઞાત કાર્ય yઅને તેના ડેરિવેટિવ્ઝ ઓર્ડર સુધી nસમાવિષ્ટ, કહેવાય છે .

વિભેદક સમીકરણમાં એક અથવા બીજા ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ (અથવા વિભેદક) ની નિશાની હેઠળ કાર્યનો સમાવેશ થાય છે. સર્વોચ્ચ ક્રમને ઓર્ડર કહેવામાં આવે છે (9.1) .

વિભેદક સમીકરણો:

- પ્રથમ ઓર્ડર,

બીજો ક્રમ

- પાંચમો ક્રમ, વગેરે.

આપેલ વિભેદક સમીકરણને સંતોષતા કાર્યને તેનું સોલ્યુશન કહેવામાં આવે છે , અથવા અભિન્ન . તેને ઉકેલવાનો અર્થ છે તેના તમામ ઉકેલો શોધવા. જો જરૂરી કાર્ય માટે yએક સૂત્ર મેળવવામાં વ્યવસ્થાપિત જે તમામ ઉકેલો આપે છે, પછી અમે કહીએ છીએ કે અમને તેનો સામાન્ય ઉકેલ મળ્યો છે , અથવા સામાન્ય અભિન્ન .

સામાન્ય ઉકેલ સમાવે છે nમનસ્વી સ્થિરાંકો અને જેવો દેખાય છે

જો કોઈ સંબંધ પ્રાપ્ત થાય છે જે સંબંધ ધરાવે છે x, yઅને nમનસ્વી સ્થિરાંકો, એક સ્વરૂપમાં જેના સંદર્ભમાં મંજૂરી નથી y -

તો આવા સંબંધને સમીકરણનું સામાન્ય અવિભાજ્ય કહેવામાં આવે છે (9.1).

કોચી સમસ્યા

દરેક ચોક્કસ સોલ્યુશન, એટલે કે, દરેક ચોક્કસ કાર્ય જે આપેલ વિભેદક સમીકરણને સંતોષે છે અને મનસ્વી સ્થિરાંકો પર આધાર રાખતું નથી, તેને ચોક્કસ ઉકેલ કહેવામાં આવે છે. , અથવા આંશિક અભિન્ન. સામાન્ય ઉકેલોમાંથી ચોક્કસ ઉકેલો (અવિભાજ્ય) મેળવવા માટે, સ્થિરાંકોને ચોક્કસ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો આપવા જોઈએ.

ચોક્કસ સોલ્યુશનના ગ્રાફને અભિન્ન વળાંક કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય ઉકેલ, જેમાં તમામ આંશિક ઉકેલો હોય છે, તે અવિભાજ્ય વણાંકોનું કુટુંબ છે. પ્રથમ ક્રમના સમીકરણ માટે આ કુટુંબ સમીકરણ માટે, એક મનસ્વી સ્થિરાંક પર આધાર રાખે છે n-th ઓર્ડર - થી nમનસ્વી સ્થિરાંકો.

કોચી સમસ્યા એ સમીકરણ માટે ચોક્કસ ઉકેલ શોધવાની છે n-મો ક્રમ, સંતોષકારક nપ્રારંભિક શરતો:

જેના દ્વારા n સ્થિરાંકો c 1, c 2,..., c n નક્કી થાય છે.

1 લી ક્રમના વિભેદક સમીકરણો

વ્યુત્પન્નના સંદર્ભમાં વણઉકેલાયેલ 1લા ક્રમના વિભેદક સમીકરણ માટે, તેનું સ્વરૂપ છે

અથવા પ્રમાણમાં પરવાનગી માટે

ઉદાહરણ 3.46. સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો

ઉકેલ.એકીકરણ, અમને મળે છે

જ્યાં C એક મનસ્વી સ્થિરાંક છે. જો આપણે C ને ચોક્કસ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો સોંપીએ છીએ, તો આપણે ચોક્કસ ઉકેલો મેળવીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે,

ઉદાહરણ 3.47. 100 r ના ઉપાર્જનને આધીન બેંકમાં જમા થતી નાણાની વધતી જતી રકમને ધ્યાનમાં લો પ્રતિ વર્ષ ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ. Yo ને નાણાંની પ્રારંભિક રકમ અને Yx - અંતે દો xવર્ષ વર્ષમાં એકવાર વ્યાજની ગણતરી કરવામાં આવે તો આપણને મળે છે

જ્યાં x = 0, 1, 2, 3,.... જ્યારે વ્યાજની વર્ષમાં બે વાર ગણતરી કરવામાં આવે છે, ત્યારે આપણને મળે છે

જ્યાં x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... વ્યાજની ગણતરી કરતી વખતે nવર્ષમાં એકવાર અને જો xઅનુક્રમિક મૂલ્યો લે છે 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., પછી

1/n = h નિયુક્ત કરો, પછી અગાઉની સમાનતા આના જેવી દેખાશે:

અમર્યાદિત વિસ્તૃતીકરણ સાથે n(એટ ) મર્યાદામાં અમે સતત વ્યાજની ઉપાર્જન સાથે નાણાંની રકમ વધારવાની પ્રક્રિયામાં આવીએ છીએ:

આમ તે સ્પષ્ટ છે કે સતત પરિવર્તન સાથે xમની સપ્લાયમાં ફેરફારનો કાયદો 1લી ક્રમના વિભેદક સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. જ્યાં Y x અજ્ઞાત કાર્ય છે, x- સ્વતંત્ર ચલ, આર- સતત. ચાલો આ સમીકરણ હલ કરીએ, આ કરવા માટે આપણે તેને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખીશું:

જ્યાં , અથવા , જ્યાં P એ E C નો અર્થ કરે છે.

પ્રારંભિક સ્થિતિઓમાંથી Y(0) = Yo, અમે P: Yo = Pe o, જ્યાંથી, Yo = P શોધીએ છીએ. તેથી, ઉકેલનું સ્વરૂપ છે:

ચાલો બીજી આર્થિક સમસ્યાનો વિચાર કરીએ. મેક્રોઇકોનોમિક મોડલ્સનું વર્ણન 1 લી ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણો દ્વારા પણ કરવામાં આવે છે, જે આવક અથવા આઉટપુટ Y માં ફેરફારોને સમયના કાર્યો તરીકે વર્ણવે છે.

ઉદાહરણ 3.48. રાષ્ટ્રીય આવક Y ને તેના મૂલ્યના પ્રમાણસર દરે વધવા દો:

અને સરકારી ખર્ચમાં ખાધને પ્રમાણસરતા ગુણાંક સાથે આવક Y ના સીધા પ્રમાણસર રહેવા દો q. ખર્ચની ખાધ રાષ્ટ્રીય દેવુંમાં વધારો તરફ દોરી જાય છે D:

પ્રારંભિક સ્થિતિ Y = Yo અને D = do at t = 0. પ્રથમ સમીકરણ Y= Yoe kt થી. Y ને બદલીને આપણને dD/dt = qYoe kt મળે છે. સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે
D = (q/ k) Yoe kt +С, જ્યાં С = const, જે પ્રારંભિક સ્થિતિઓ પરથી નક્કી થાય છે. પ્રારંભિક શરતોને બદલે, અમે Do = (q/k)Yo + C મેળવીએ છીએ. તેથી, અંતે,

D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),

આ દર્શાવે છે કે રાષ્ટ્રીય દેવું સમાન સંબંધિત દરે વધી રહ્યું છે k, રાષ્ટ્રીય આવક સમાન.

ચાલો સૌથી સરળ વિભેદક સમીકરણોને ધ્યાનમાં લઈએ nક્રમ, આ ફોર્મના સમીકરણો છે

તેનો સામાન્ય ઉકેલ ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે nવખત એકીકરણ.

ઉદાહરણ 3.49.ઉદાહરણ y """ = cos x ધ્યાનમાં લો.

ઉકેલ.સંકલન, અમે શોધી

સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે

રેખીય વિભેદક સમીકરણો

તેઓ અર્થશાસ્ત્રમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે; જો (9.1) પાસે ફોર્મ છે:

પછી તેને રેખીય કહેવામાં આવે છે, જ્યાં рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) ફંક્શન આપવામાં આવે છે. જો f(x) = 0 હોય, તો (9.2) સજાતીય કહેવાય, અન્યથા તેને અસંગત કહેવાય. સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ (9.2) તેના કોઈપણ ચોક્કસ ઉકેલોના સરવાળા જેટલો છે y(x)અને તેને અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ:

જો ગુણાંક р o (x), р 1 (x),..., р n (x) સ્થિર હોય, તો (9.2)

(9.4) ને ક્રમના સતત ગુણાંક સાથે રેખીય વિભેદક સમીકરણ કહેવામાં આવે છે n .

માટે (9.4) ફોર્મ ધરાવે છે:

સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના, આપણે p o = 1 સેટ કરી શકીએ છીએ અને ફોર્મમાં (9.5) લખી શકીએ છીએ

આપણે y = e kx સ્વરૂપમાં ઉકેલ (9.6) શોધીશું, જ્યાં k એ સ્થિરાંક છે. અમારી પાસે છે: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx. પરિણામી સમીકરણોને (9.6) માં બદલીને, આપણી પાસે હશે:

(9.7) એ બીજગણિતીય સમીકરણ છે, તેનું અજ્ઞાત છે k, તેને લાક્ષણિકતા કહેવામાં આવે છે. લાક્ષણિક સમીકરણ ડિગ્રી ધરાવે છે nઅને nમૂળ, જેમાં બહુવિધ અને જટિલ બંને હોઈ શકે છે. k 1, k 2,..., k n ને વાસ્તવિક અને અલગ થવા દો - વિશિષ્ટ ઉકેલો (9.7), અને સામાન્ય

સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લો:

તેનું લાક્ષણિક સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે

(9.9)

તેના ભેદભાવ D = p 2 - 4q, D ની નિશાનીના આધારે, ત્રણ કેસ શક્ય છે.

1. જો D>0, તો મૂળ k 1 અને k 2 (9.9) વાસ્તવિક અને અલગ છે, અને સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે:

ઉકેલ.લાક્ષણિક સમીકરણ: k 2 + 9 = 0, જ્યાંથી k = ± 3i, a = 0, b = 3, સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

માલસામાનની ઈન્વેન્ટરી સાથે વેબ-ટાઈપ ઈકોનોમિક મોડલનો અભ્યાસ કરતી વખતે 2જી ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જ્યાં કિંમત P માં ફેરફારનો દર ઈન્વેન્ટરીના કદ પર આધાર રાખે છે (ફકરો 10 જુઓ). જો પુરવઠો અને માંગ કિંમતના રેખીય કાર્યો છે, તો તે છે

a એ એક સ્થિરાંક છે જે પ્રતિક્રિયા દર નક્કી કરે છે, પછી ભાવ પરિવર્તનની પ્રક્રિયા વિભેદક સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે:

ચોક્કસ ઉકેલ માટે આપણે સતત લઈ શકીએ છીએ

અર્થપૂર્ણ સંતુલન કિંમત. વિચલન સજાતીય સમીકરણને સંતોષે છે

(9.10)

લાક્ષણિક સમીકરણ નીચે મુજબ હશે:

જો શબ્દ હકારાત્મક છે. ચાલો સૂચિત કરીએ . લાક્ષણિક સમીકરણ k 1,2 = ± i w ના મૂળ, તેથી સામાન્ય ઉકેલ (9.10) નું સ્વરૂપ છે:

જ્યાં C અને મનસ્વી સ્થિરાંકો છે, તેઓ પ્રારંભિક સ્થિતિઓથી નક્કી થાય છે. અમે સમય સાથે કિંમતમાં ફેરફારનો કાયદો મેળવ્યો:

સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ એક સમીકરણ છે જે એક સ્વતંત્ર ચલ, આ ચલનું અજાણ્યું કાર્ય અને તેના વિવિધ ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ (અથવા તફાવતો) સાથે સંબંધિત છે.

વિભેદક સમીકરણનો ક્રમ તેમાં સમાયેલ સર્વોચ્ચ વ્યુત્પન્નનો ક્રમ કહેવાય છે.

સામાન્ય લોકો ઉપરાંત, આંશિક વિભેદક સમીકરણોનો પણ અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. આ સ્વતંત્ર ચલોને લગતા સમીકરણો છે, આ ચલોનું અજ્ઞાત કાર્ય અને સમાન ચલોના સંદર્ભમાં તેના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ. પરંતુ અમે ફક્ત ધ્યાનમાં લઈશું સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો અને તેથી, સંક્ષિપ્તતા માટે, અમે "સામાન્ય" શબ્દને છોડી દઈશું.

વિભેદક સમીકરણોના ઉદાહરણો:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

સમીકરણ (1) ચોથો ક્રમ છે, સમીકરણ (2) ત્રીજો ક્રમ છે, સમીકરણો (3) અને (4) બીજો ક્રમ છે, સમીકરણ (5) પ્રથમ ક્રમ છે.

વિભેદક સમીકરણ nક્રમમાં સ્પષ્ટ કાર્ય હોવું જરૂરી નથી, તેના તમામ ડેરિવેટિવ્ઝ પ્રથમથી n-મો ક્રમ અને સ્વતંત્ર ચલ. તેમાં સ્પષ્ટપણે ચોક્કસ ઓર્ડર, ફંક્શન અથવા સ્વતંત્ર ચલના ડેરિવેટિવ્સ શામેલ હોઈ શકતા નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ (1) માં સ્પષ્ટપણે કોઈ ત્રીજા- અને બીજા-ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ, તેમજ કાર્ય નથી; સમીકરણ (2) માં - બીજા ક્રમનું વ્યુત્પન્ન અને કાર્ય; સમીકરણમાં (4) - સ્વતંત્ર ચલ; સમીકરણ (5) માં - કાર્યો. માત્ર સમીકરણ (3) સ્પષ્ટપણે તમામ ડેરિવેટિવ્ઝ, કાર્ય અને સ્વતંત્ર ચલ ધરાવે છે.

વિભેદક સમીકરણ ઉકેલવું દરેક કાર્ય કહેવાય છે y = f(x), જ્યારે સમીકરણમાં બદલવામાં આવે છે ત્યારે તે ઓળખમાં ફેરવાય છે.

વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ શોધવાની પ્રક્રિયાને તેની કહેવામાં આવે છે એકીકરણ.

ઉદાહરણ 1.વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ શોધો.

ઉકેલ. ચાલો આ સમીકરણ ફોર્મમાં લખીએ. ઉકેલ તેના વ્યુત્પન્નમાંથી કાર્ય શોધવાનો છે. મૂળ કાર્ય, જેમ કે ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસથી જાણીતું છે, તે માટે એન્ટિડેરિવેટિવ છે, એટલે કે.

આ છે આ વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ . તેમાં બદલાવ સી, અમે વિવિધ ઉકેલો મેળવીશું. અમે શોધી કાઢ્યું કે પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણ માટે અનંત સંખ્યામાં ઉકેલો છે.

વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ n th ક્રમ એ તેનું સોલ્યુશન છે, જે અજ્ઞાત કાર્ય અને સમાવિષ્ટના સંદર્ભમાં સ્પષ્ટપણે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે nસ્વતંત્ર મનસ્વી સ્થિરાંકો, એટલે કે.

ઉદાહરણ 1 માં વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ સામાન્ય છે.

વિભેદક સમીકરણનો આંશિક ઉકેલ એક ઉકેલ જેમાં મનસ્વી સ્થિરાંકોને ચોક્કસ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો આપવામાં આવે છે તેને કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 2.વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ અને તેના માટે ચોક્કસ ઉકેલ શોધો .

ઉકેલ. ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને વિભેદક સમીકરણના ક્રમની સમાન ગણીએ.

,

.

પરિણામે, અમને એક સામાન્ય ઉકેલ મળ્યો -

આપેલ ત્રીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણનું.

હવે ચોક્કસ શરતો હેઠળ ચોક્કસ ઉકેલ શોધીએ. આ કરવા માટે, મનસ્વી ગુણાંકને બદલે તેમના મૂલ્યોને બદલો અને મેળવો

.

જો, વિભેદક સમીકરણ ઉપરાંત, પ્રારંભિક સ્થિતિ ફોર્મમાં આપવામાં આવે છે, તો આવી સમસ્યા કહેવામાં આવે છે. કોચી સમસ્યા . મૂલ્યો અને સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલમાં બદલો અને મનસ્વી સ્થિરાંકનું મૂલ્ય શોધો સી, અને પછી મળેલ મૂલ્ય માટે સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ સી. આ કોચી સમસ્યાનો ઉકેલ છે.

ઉદાહરણ 3.ઉદાહરણ 1 વિષયના વિભેદક સમીકરણ માટે કોચી સમસ્યા ઉકેલો.

ઉકેલ. ચાલો પ્રારંભિક સ્થિતિમાંથી મૂલ્યોને સામાન્ય ઉકેલમાં બદલીએ y = 3, x= 1. આપણને મળે છે

અમે આ પ્રથમ-ક્રમના વિભેદક સમીકરણ માટે કોચી સમસ્યાનો ઉકેલ લખીએ છીએ:

વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવા, સૌથી સરળ સમીકરણો પણ, જટિલ કાર્યો સહિત સારા સંકલન અને વ્યુત્પન્ન કુશળતાની જરૂર છે. આ નીચેના ઉદાહરણમાં જોઈ શકાય છે.

ઉદાહરણ 4.વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો.

ઉકેલ. સમીકરણ એવા સ્વરૂપમાં લખાયેલું છે કે તમે તરત જ બંને બાજુઓને એકીકૃત કરી શકો.

.

અમે ચલ (અવેજી) ના ફેરફાર દ્વારા એકીકરણની પદ્ધતિ લાગુ કરીએ છીએ. તે પછી રહેવા દો.

લેવા જરૂરી છે ડીએક્સઅને હવે - ધ્યાન - અમે આ એક જટિલ કાર્યના તફાવતના નિયમો અનુસાર કરીએ છીએ, ત્યારથી xઅને ત્યાં એક જટિલ કાર્ય છે ("સફરજન" એ વર્ગમૂળનું નિષ્કર્ષણ છે અથવા, જે સમાન વસ્તુ છે, શક્તિ "એક-અડધી" સુધી વધારીને, અને "નાજુકાઈનું માંસ" એ મૂળની નીચેની અભિવ્યક્તિ છે):

અમે અભિન્ન શોધીએ છીએ:

ચલ પર પાછા ફરવું x, અમને મળે છે:

.

આ પ્રથમ ડિગ્રીના વિભેદક સમીકરણનો આ સામાન્ય ઉકેલ છે.

વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવા માટે માત્ર ઉચ્ચ ગણિતના અગાઉના વિભાગોની કુશળતા જ નહીં, પણ પ્રાથમિક એટલે કે શાળાના ગણિતના કૌશલ્યોની પણ જરૂર પડશે. પહેલેથી જ ઉલ્લેખ કર્યો છે તેમ, કોઈપણ ક્રમના વિભેદક સમીકરણમાં સ્વતંત્ર ચલ હોઈ શકે નહીં, એટલે કે, ચલ x. શાળામાંથી પ્રમાણ વિશેનું જ્ઞાન જે ભૂલાયું નથી (જો કે, કોના પર આધાર રાખીને) શાળામાંથી આ સમસ્યા ઉકેલવામાં મદદ કરશે. આ પછીનું ઉદાહરણ છે.