મોસ્કો એનર્જી ઇન્સ્ટિટ્યુટ
(ટેકનિકલ યુનિવર્સિટી)
ઇલેક્ટ્રોનિક એન્જિનિયરિંગ ફેકલ્ટી
વિષય પર અમૂર્ત
પ્રતિ INETIC સમીકરણ બી ઓલ્ટ્ઝમેન.
પૂર્ણ:
કોર્કિન એસ.વી.
શિક્ષક
શેરકુનોવ યુ.બી.
કામનો બીજો ભાગ તદ્દન જટિલ ગણિતથી ભરેલો છે. લેખક ( [ઇમેઇલ સુરક્ષિત], [ઇમેઇલ સુરક્ષિત])આ અભ્યાસક્રમને આદર્શ માનતા નથી; લખાણ એ પુસ્તકની નકલ નથી. સહાયક સાહિત્ય માટે અંત જુઓ.
અભ્યાસક્રમ "ઉત્તમ" ચિહ્ન સાથે સ્વીકારવામાં આવ્યો હતો. (કાર્યનું અંતિમ સંસ્કરણ થોડું ખોવાઈ ગયું છે. હું ઉપાંત્ય "સંસ્કરણ" નો ઉપયોગ કરવાનું સૂચન કરું છું).
પરિચય……………………………………………………………………… 3
પ્રતીકો………………………………………………………………………. 4
§1 વિતરણ કાર્ય.
§2 કણોની અથડામણ.
§3 અથડામણના અભિન્ન સ્વરૂપનું નિર્ધારણ
અને બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણો.
§4. નબળા અસંગત ગેસ માટે ગતિ સમીકરણ.
ગેસની થર્મલ વાહકતા.
કેટલાક સંમેલનો:
n - કણોની સાંદ્રતા;
d એ કણો વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર છે;
V એ સિસ્ટમનું ચોક્કસ વોલ્યુમ છે;
P એ અમુક ઘટનાની સંભાવના છે;
f - વિતરણ કાર્ય;
પરિચય.
ભૌતિકશાસ્ત્ર થર્મોડાયનેમિક્સ, આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ભૌતિક ગતિશાસ્ત્રની શાખાઓ મેક્રોસ્કોપિક સિસ્ટમ્સમાં બનતી ભૌતિક પ્રક્રિયાઓના અભ્યાસ સાથે વ્યવહાર કરે છે - મોટી સંખ્યામાં માઇક્રોપાર્ટિકલ્સનો સમાવેશ કરતી સંસ્થાઓ. સિસ્ટમના પ્રકાર પર આધાર રાખીને, આવા માઇક્રોપાર્ટિકલ્સ અણુઓ, પરમાણુઓ, આયનો, ઇલેક્ટ્રોન, ફોટોન અથવા અન્ય કણો હોઈ શકે છે. આજે, મેક્રોસ્કોપિક સિસ્ટમ્સની સ્થિતિનો અભ્યાસ કરવા માટે બે મુખ્ય પદ્ધતિઓ છે - થર્મોડાયનેમિક, જે મેક્રોસ્કોપિક સરળતાથી માપી શકાય તેવા પરિમાણો દ્વારા સિસ્ટમની સ્થિતિને લાક્ષણિકતા આપે છે (ઉદાહરણ તરીકે, દબાણ, વોલ્યુમ, તાપમાન, મોલ્સની સંખ્યા અથવા પદાર્થની સાંદ્રતા) અને, હકીકતમાં, પદાર્થની અણુ-પરમાણુ રચના અને વિચારણા હેઠળની સિસ્ટમના અણુ-પરમાણુ મોડેલ પર આધારિત આંકડાકીય પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લેતા નથી. આ કાર્યમાં થર્મોડાયનેમિક પદ્ધતિની ચર્ચા કરવામાં આવશે નહીં. સિસ્ટમના કણોની વર્તણૂકના જાણીતા કાયદાઓના આધારે, આંકડાકીય પદ્ધતિ આપણને સમગ્ર મેક્રોસિસ્ટમના વર્તનના નિયમોને સંપૂર્ણ રીતે સ્થાપિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. ઉકેલાઈ રહેલી સમસ્યાને સરળ બનાવવા માટે, આંકડાકીય અભિગમ સૂક્ષ્મ કણોની વર્તણૂક વિશે સંખ્યાબંધ ધારણાઓ (ધારણાઓ) બનાવે છે અને તેથી, આંકડાકીય પદ્ધતિ દ્વારા મેળવેલા પરિણામો માત્ર કરવામાં આવેલી ધારણાઓની મર્યાદામાં જ માન્ય છે. આંકડાકીય પદ્ધતિ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે સંભવિત અભિગમનો ઉપયોગ કરે છે, આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટે, સિસ્ટમમાં પૂરતી મોટી સંખ્યામાં કણો હોવા જોઈએ. આંકડાકીય પદ્ધતિ દ્વારા હલ કરવામાં આવેલી સમસ્યાઓમાંની એક મેક્રોસ્કોપિક સિસ્ટમની સ્થિતિના સમીકરણની વ્યુત્પત્તિ છે. સિસ્ટમની સ્થિતિ સમય સાથે સ્થિર હોઈ શકે છે (સંતુલન સિસ્ટમ) અથવા સમય સાથે બદલાઈ શકે છે (બિન-સંતુલન સિસ્ટમ). ભૌતિક ગતિશાસ્ત્ર આવી સિસ્ટમોમાં બનતી સિસ્ટમો અને પ્રક્રિયાઓની અસંતુલન સ્થિતિઓના અભ્યાસ સાથે વ્યવહાર કરે છે.
સમય જતાં વિકસિત થતી સિસ્ટમની સ્થિતિનું સમીકરણ એ ગતિ સમીકરણ છે, જેનો ઉકેલ કોઈપણ સમયે સિસ્ટમની સ્થિતિ નક્કી કરે છે. ગતિ સમીકરણોમાં રસ ભૌતિકશાસ્ત્રના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં તેમના ઉપયોગની સંભાવના સાથે સંકળાયેલો છે: ગેસના ગતિ સિદ્ધાંતમાં, એસ્ટ્રોફિઝિક્સમાં, પ્લાઝ્મા ભૌતિકશાસ્ત્રમાં અને પ્રવાહી મિકેનિક્સમાં. આ પેપર 1872 માં ઓસ્ટ્રિયન ભૌતિકશાસ્ત્રી લુડવિગ બોલ્ટ્ઝમેન અને તેનું નામ ધરાવતા આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ભૌતિક ગતિશાસ્ત્રના સ્થાપકોમાંથી એક દ્વારા મેળવેલા ગતિ સમીકરણની તપાસ કરે છે.
§1 વિતરણ કાર્ય.
બોલ્ટ્ઝમેન ગતિ સમીકરણ મેળવવા માટે, એક મોનોટોમિક આદર્શ ગેસનો વિચાર કરો, એટલે કે. એકદમ દુર્લભ ગેસ જેમાં ઇલેક્ટ્રિકલી ન્યુટ્રલ અણુઓ અથવા પરમાણુઓ હોય છે. આદર્શ ગેસના કણો વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનો એકમાત્ર પ્રકાર એ પરમાણુઓ વચ્ચેની અથડામણો છે, જે થાય છે, જો કે, એટલું ભાગ્યે જ બને છે કે દરેક પરમાણુ લગભગ આખો સમય જાણે મુક્ત હોય તેમ ફરે છે. વાયુના કણોને ક્લાસિકલ તરીકે ધ્યાનમાં લેતા, એવી દલીલ કરી શકાય છે કે કણો દીઠ વોલ્યુમ છે. એકમ વોલ્યુમ દીઠ કણોની સંખ્યા એકાગ્રતા છે. આનો અર્થ એ થાય છે કે કણો વચ્ચે સરેરાશ અંતર હોય છે (અંતરમોલેક્યુલર દળો d ની ક્રિયાના ત્રિજ્યાની તુલનામાં તે ખૂબ મોટું હોવાનું માનવામાં આવે છે). બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણ મેળવતી વખતે, અમે નીચેની ધારણાઓ કરીશું:
ગેસ કણો અસ્પષ્ટ છે (સમાન);
કણો ફક્ત જોડીમાં અથડાય છે (આપણે એક સાથે ત્રણ અથવા વધુ કણોની અથડામણને અવગણીએ છીએ);
અથડામણ પહેલાં તરત જ, કણો એકબીજા તરફ એક સીધી રેખામાં આગળ વધે છે;
પરમાણુઓની અથડામણ એ સીધી કેન્દ્રીય સ્થિતિસ્થાપક અસર છે;
ગેસનું આંકડાકીય વર્ણન સંભાવના વિતરણ કાર્ય (અથવા સંભાવના ઘનતા) દ્વારા હાથ ધરવામાં આવે છે, અને વિતરણ કાર્ય કણોના અથડામણના પ્રદેશના ક્રમના અંતર પર બદલાતું નથી. સંભવિતતા ઘનતા એ સંભાવના નક્કી કરે છે કે અમુક રેન્ડમ ચલ x ની નીચે પ્રમાણે નાના અંતરાલ dx ની અંદર મૂલ્ય છે. મર્યાદિત અંતરાલમાં x શોધવાની સંભાવના એકીકરણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
ગેસના અણુઓનું વિતરણ કાર્ય તેમના તબક્કાની જગ્યામાં આપવામાં આવે છે.
બધા અણુઓના સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સનો સમૂહ છે; - સામાન્યકૃત મોલેક્યુલર આવેગનો સમૂહ. અનુક્રમે
અને. ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ
પરમાણુના તબક્કાની જગ્યાનું વોલ્યુમ તત્વ. તબક્કા અવકાશના આપેલ તત્વમાં (સરેરાશ) સમાન કણોની સંખ્યા હોય છે (એટલે કે, પરમાણુઓ ગણવામાં આવે છે જેમના q અને p મૂલ્યો પસંદ કરેલ અંતરાલ dq અને dp માં આવેલા હોય છે). ગેસ પરમાણુઓના વિતરણ કાર્યને તબક્કા અવકાશમાં ઉપર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું હતું, જો કે, તે સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ અને કણના મોમેન્ટા સિવાયના અન્ય ચલોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે. ચાલો ફંક્શન f ની દલીલો પસંદ કરીએ.
સમય સાથે બનતી સિસ્ટમની સ્થિતિને બદલવાની બિન-સંતુલન પ્રક્રિયાને ધ્યાનમાં લેતા, આપણે સ્પષ્ટપણે માની લેવું જોઈએ કે વિતરણ કાર્ય સમય પર આધારિત છે. વિચારણા હેઠળનો ગેસ એ કણોનો સમૂહ છે જેને આપણે શાસ્ત્રીય ગણવા સંમત થયા છીએ.
શાસ્ત્રીય કણની અનુવાદની ગતિ કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે
કણના ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર અને વેગ વેક્ટર અથવા વેગ વેક્ટર (, જ્યાં m એ કણનો સમૂહ છે). મોનોટોમિક ગેસ માટે, ટ્રાન્સલેશનલ ગતિ એ કણોની ગતિનો એકમાત્ર પ્રકાર છે; સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા ત્રણ છે. જો કણ પોલિએટોમિક પરમાણુ હોય, તો અવકાશમાં પરમાણુના પરિભ્રમણ અને પરમાણુમાં અણુઓના કંપન સાથે સંકળાયેલ સ્વતંત્રતાની વધારાની ડિગ્રી ઊભી થાય છે. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ લાગુ કરવા માટેની શરતો નીચા સમૂહ અને કણોની ઉચ્ચ સાંદ્રતા તેમજ નીચા તાપમાન છે. નીચા તાપમાનના પ્રદેશને ધ્યાનમાં લીધા વિના, અમે ગેસના અણુઓની પરિભ્રમણ ગતિને શાસ્ત્રીય ગણીશું. કોઈપણ શાસ્ત્રીય રોટેશનલ ચળવળનું વર્ણન, સૌ પ્રથમ, શરીર પર કાર્ય કરતી દળોના રોટેશનલ ક્ષણ દ્વારા કરવામાં આવે છે. ટોર્કના પ્રભાવ હેઠળ, ડાયટોમિક પરમાણુ ટોર્ક વેક્ટરના લંબરૂપ પ્લેનમાં ફેરવવાનું શરૂ કરે છે. વધુમાં, પરમાણુની સ્થિતિ પરિભ્રમણના પ્લેનમાં પરમાણુની ધરીના પરિભ્રમણના કોણ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે.
ચાલો T = 300 K પર હાઇડ્રોજન પરમાણુ (અથવા કોઈપણ અન્ય ડાયટોમિક પરમાણુ) ને ધ્યાનમાં લઈએ. સમકક્ષતાના નિયમ અનુસાર, સ્વતંત્રતાની દરેક ડિગ્રી (અનુવાદાત્મક, રોટેશનલ અથવા વાઇબ્રેશનલ) સરેરાશ સમાન ગતિ ઊર્જા ધરાવે છે, સમાન.
ચાલો હું પરમાણુની જડતાની ક્ષણ, m દળ, d પરમાણુમાં અણુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર.
એક સેકન્ડમાં, પરમાણુ (એટલે કે, લગભગ) સંપૂર્ણ ક્રાંતિ કરે છે. ડાયટોમિક પરમાણુના અક્ષના પરિભ્રમણના ખૂણામાં ફેરફારનો દર ઊંચો છે અને પરિભ્રમણના સમતલમાં પરમાણુની તમામ સંભવિત દિશાઓ સમાન રીતે સંભવિત હશે. પછી, વાસ્તવિક ભૌતિક સમસ્યાઓનો વિચાર કરતી વખતે, વિતરણ કાર્યને પરમાણુના અભિગમથી સ્વતંત્ર ગણી શકાય. ઇક્વિપર્ટિશનનો કાયદો પોલિએટોમિક પરમાણુઓ માટે પણ માન્ય છે, જેનો અર્થ છે કે અવકાશમાં ગેસના પરમાણુઓના ઓરિએન્ટેશનથી વિતરણ કાર્યની સ્વતંત્રતા વિશે બનાવેલ ધારણા પોલિએટોમિક ગેસ માટે માન્ય ગણી શકાય.
પરમાણુની અંદર અણુઓની કંપન ગતિ લગભગ હંમેશા ક્વોન્ટમાઇઝ્ડ હોય છે, અને ક્વોન્ટમ સિસ્ટમ તરીકે પરમાણુની સ્થિતિ ક્વોન્ટમ પરિમાણો દ્વારા નક્કી કરવી આવશ્યક છે. સામાન્ય પરિસ્થિતિઓમાં (ખૂબ ઊંચા તાપમાને નહીં), વાયુના પરમાણુ જમીન (શૂન્ય) કંપન સ્તરને અનુરૂપ એક ઉત્તેજિત સ્થિતિમાં હોય છે. તેથી, સામાન્ય પરિસ્થિતિઓમાં વાસ્તવિક વાયુઓમાં ક્વોન્ટમ અસરોને અવગણી શકાય છે. પરિણામે, અસંતુલન સ્થિતિમાં ક્લાસિકલ આદર્શ ગેસનું વિતરણ કાર્ય માત્ર સમય પર જ નહીં, પણ કણોના કોઓર્ડિનેટ્સ પર પણ આધારિત છે.
પરમાણુ અને સમયના કોઓર્ડિનેટ્સને બાદ કરતાં, આપણે બધા ચલોનો સમૂહ કે જેના પર વિતરણ કાર્ય આધાર રાખે છે તે પ્રતીક દ્વારા સૂચવીએ. તબક્કાના જથ્થાના ઘટકમાં, આપણે ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશના પ્રારંભિક વોલ્યુમને પસંદ કરીએ છીએ, અને બાકીના ભાગને આપણે dГ ચિહ્ન દ્વારા સૂચિત કરીએ છીએ. જથ્થાઓ dГ એ ગતિના અભિન્ન ભાગો છે જે કોઈપણ પરમાણુ માટે તેની મુક્ત ગતિ દરમિયાન સતત બે અથડામણો વચ્ચે સ્થિર રહે છે. પરમાણુની મુક્ત હિલચાલ કોઈપણ બાહ્ય સંસ્થાઓ અથવા ક્ષેત્રોના બાહ્ય પ્રભાવ વિના કરવામાં આવે છે. એકબીજા સાથે અણુઓની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના પરિણામે (અથડામણની ઘટનામાં) અથવા ક્ષેત્રના પ્રભાવ હેઠળ
આ મૂલ્યો સારી રીતે બદલાઈ શકે છે. પરમાણુના કોઓર્ડિનેટ્સ તેની મુક્ત હિલચાલ દરમિયાન સંપૂર્ણ રીતે બદલાય છે.
ગેસ કણોના અવકાશી વિતરણની સાંદ્રતા અથવા ઘનતા એક અભિન્ન દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે, અને વોલ્યુમ તત્વમાં કણોની સરેરાશ સંખ્યા ઉત્પાદન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. વોલ્યુમ એલિમેન્ટ દ્વારા અમારો અર્થ ભૌતિક રીતે નાના વોલ્યુમ, એટલે કે. અવકાશનો વિસ્તાર કે જેના પરિમાણો સમસ્યામાં ધ્યાનમાં લેવાયેલા પરિમાણોની તુલનામાં નાના છે. તે જ સમયે, નાના વોલ્યુમના પરિમાણો પરમાણુઓના પરિમાણોની તુલનામાં મોટા હોય છે. આપેલ વોલ્યુમ તત્વમાં પરમાણુના સ્થાન વિશેનું નિવેદન પરમાણુની સ્થિતિ નક્કી કરે છે, શ્રેષ્ઠ રીતે, માત્ર પરમાણુના કદ કરતાં વધુ અંતરની ચોકસાઈ સુધી. બે શાસ્ત્રીય કણોના કોઓર્ડિનેટ્સનું સચોટ નિર્ધારણ, અથડામણ પહેલાં અને પછી, જો એક થયું હોય તો તેમના માર્ગને ચોક્કસ રીતે નક્કી કરવાનું શક્ય બનાવે છે. કણોની ચોક્કસ સંબંધિત સ્થિતિની અનિશ્ચિતતા તેમની અથડામણની સમસ્યાને ઉકેલવા માટે સંભવિત અભિગમનો ઉપયોગ કરવાનું શક્ય બનાવે છે. ક્લાસિકલ ગેસની વિચારણા સૂચવે છે કે ઘનતા
મેક્રોસ્કોપિક જથ્થો છે. મેક્રોસ્કોપીસીટી ત્યારે જ થાય છે જ્યારે પ્રાથમિક વોલ્યુમમાં પૂરતા પ્રમાણમાં મોટી સંખ્યામાં કણો હોય છે (તે પછી જ વિચારણા હેઠળની પ્રક્રિયા દરમિયાન પ્રાથમિક વોલ્યુમમાં કણોની સંખ્યામાં ફેરફાર ઓછો હોય છે); આ કિસ્સામાં, ગેસ દ્વારા કબજે કરેલ પ્રદેશના રેખીય પરિમાણો સરેરાશ આંતરપરમાણુ અંતર કરતા નોંધપાત્ર રીતે મોટા હોવા જોઈએ.
§2 કણોની અથડામણ.
ચાલો પરમાણુઓના અથડામણને ધ્યાનમાં લઈએ, જેમાંથી કેટલાકમાં આપેલ અંતરાલમાં Γ ની કિંમતો હોય છે, અને અન્ય - અંતરાલમાં. અથડામણના પરિણામે, પરમાણુઓ અનુક્રમે અંતરાલોમાં અને Γ ના મૂલ્યો મેળવે છે. આગળ, સંક્ષિપ્તતા માટે, આપણે પરમાણુઓની અથડામણ અને સંક્રમણ વિશે વાત કરીશું.
દર્શાવેલ સંક્રમણ સાથે અથડામણ અનુભવતા પ્રત્યેક પરમાણુની સંભાવના દ્વારા એકમ જથ્થા દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યાનું ઉત્પાદન એકમ સમય દીઠ એકમ વોલ્યુમ દીઠ આવા અથડામણની કુલ સંખ્યા આપશે. આવી ઘટનાની સંભાવના (અમે તેને ચોક્કસ કાર્ય દ્વારા સૂચવીએ છીએ) એકમ વોલ્યુમ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા અને અથડામણ પછી દરેક પરમાણુના મૂલ્યોના અંતરાલો માટે પ્રમાણસર છે. આમ, અમે ધારીશું કે એકમ સમય દીઠ એકમ વોલ્યુમ દીઠ સંક્રમણ સાથે અથડામણની સંખ્યા સ્વરૂપ લેશે
(એક આડંબર અંતિમ અવસ્થાઓ સૂચવે છે, પ્રાઇમ વિના પ્રારંભિક રાજ્યો). અથડામણની સંભાવના એક મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મ ધરાવે છે, જે સમયના સંકેતની વિપરિતતાને લગતા, મિકેનિક્સના નિયમોનું પાલન કરે છે. જો આપણે સુપરસ્ક્રિપ્ટ T દ્વારા સમયના સંકેતને ઉલટાવીને મેળવેલા તમામ જથ્થાના મૂલ્યોને દર્શાવીએ, તો સમાનતા થશે.
ટાઈમ રિવર્સલ "પહેલાં" અને "પછી" અવસ્થાઓને ફરીથી ગોઠવે છે, જેનો અર્થ છે કે સંભાવના કાર્યની દલીલોને ફરીથી ગોઠવવી જરૂરી છે. ખાસ કરીને, આ સમાનતા સિસ્ટમના સંતુલનના કિસ્સામાં માન્ય છે, એટલે કે. એવી દલીલ કરી શકાય છે કે સંતુલનમાં સંક્રમણ સાથેની અથડામણની સંખ્યા સંક્રમણ (*) સાથેની અથડામણની સંખ્યા જેટલી હોય છે.. ચાલો સંતુલન વિતરણ કાર્ય દ્વારા સૂચિત કરીએ અને લખીએ
વિભેદકોનું ઉત્પાદન એ તબક્કા અવકાશનું એક તત્વ છે જે જ્યારે સમયને ઉલટાવી દેવામાં આવે ત્યારે બદલાતો નથી (સમાનતાની બંને બાજુના તફાવતોને અવગણી શકાય છે). પરમાણુઓની સંભવિત ઊર્જા પણ બદલાતી નથી, અને પરિણામે, સંતુલન (બોલ્ટ્ઝમેન) વિતરણ કાર્ય, જે ફક્ત ઊર્જા પર આધારિત છે:
 |
(2)
V એ સમગ્ર રીતે ગેસની હિલચાલની મેક્રોસ્કોપિક ગતિ છે. જ્યારે બે પરમાણુઓ અથડાય છે ત્યારે ઉર્જાના સંરક્ષણના કાયદાને કારણે. તેથી આપણે લખી શકીએ છીએ (3)
ચાલો આપણે એ હકીકતની પણ નોંધ લઈએ કે સૈદ્ધાંતિક રીતે, સંભવિત કાર્ય પોતે જ, કણોની અથડામણની યાંત્રિક સમસ્યાને હલ કરીને જ નક્કી કરી શકાય છે. ઉપરોક્ત સમાનતાઓ (1), (2) અને (3) (1) માં સંક્ષેપ પછી આપવામાં આવશે.
મંજૂરીને આધીન (*)
છેલ્લી સમાનતાને એકીકૃત કરવાથી (વધુ ઉપયોગ માટે) અમે સંબંધ મેળવીએ છીએ:
§3 
ગતિ સમીકરણની વ્યુત્પત્તિ.
ચાલો સમય વિતરણ કાર્યના વ્યુત્પન્નતાને ધ્યાનમાં લઈએ:
જ્યારે બાહ્ય ક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં ગેસના પરમાણુઓ આગળ વધે છે, ત્યારે ગતિના અભિન્ન ઘટકો તરીકે Γ ના મૂલ્યો બદલાતા નથી.
વ્યુત્પન્ન માટેની અભિવ્યક્તિ આ સ્વરૂપ લેશે: (6)
હવે ગેસને પરમાણુઓના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ પર કામ કરતા બાહ્ય સંભવિત ક્ષેત્રમાં રહેવા દો (ઉદાહરણ તરીકે, ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં). અને F એ કણ પરના ક્ષેત્રમાંથી કાર્ય કરતું બળ છે.
 |
અમે સમાનતાની જમણી બાજુ (6) દ્વારા સૂચવીએ છીએ. પ્રતીકનો અર્થ થાય છે
અથડામણને કારણે વિતરણ કાર્યના ફેરફારનો દર અને તીવ્રતા
તબક્કાના જથ્થામાં પરમાણુઓની સંખ્યામાં અથડામણને કારણે એકમ સમય દીઠ ફેરફાર છે. તબક્કા અવકાશમાં આપેલ બિંદુ પર વિતરણ કાર્યમાં સંપૂર્ણ ફેરફાર આ રીતે લખવામાં આવશે:
(8)
જથ્થાને અથડામણ અભિન્ન કહેવામાં આવે છે, અને સ્વરૂપ (8) ના સમીકરણને ગતિ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. ગતિ સમીકરણ (8) અથડામણ ઇન્ટિગ્રલનું સ્વરૂપ નક્કી કર્યા પછી જ વાસ્તવિક અર્થ લેશે.
§3 અથડામણ ઇન્ટિગ્રલ અને બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણના સ્વરૂપનું નિર્ધારણ.
પરમાણુઓની અથડામણ દરમિયાન, જથ્થામાં ફેરફાર થાય છે કે જેના પર વિતરણ કાર્ય આધાર રાખે છે. સિસ્ટમની સ્થિતિના અવલોકનનો સમય અને કણોના કોઓર્ડિનેટ્સ બદલાય છે તે હકીકતને ધ્યાનમાં રાખીને, કણોની અથડામણ થઈ છે કે નહીં (જે ફક્ત કોઓર્ડિનેટ્સમાં ફેરફારની પ્રકૃતિને અસર કરે છે) ને ધ્યાનમાં લીધા વિના, તે દલીલ કરી શકાય છે. કે અથડાતા અણુઓના G ના મૂલ્યો બદલાય છે. પૂરતા પ્રમાણમાં નાના અંતરાલને ધ્યાનમાં લેતા, આપણે શોધીએ છીએ કે જ્યારે પરમાણુઓ અથડાય છે, ત્યારે તેઓ આ અંતરાલમાંથી દૂર થાય છે, એટલે કે. "ગ્રુમિંગ" ના કાર્યો થાય છે. અથડામણ પહેલા અને અથડામણ પછીના મૂલ્યોને પહેલાની જેમ, બે અથડાતા અણુઓને અનુરૂપ થવા દો (સંક્ષિપ્તતા માટે, અમે સંક્રમણ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ).
ઉપરોક્ત સંક્રમણમાં તમામ સંભવિત મૂલ્યો સાથે અથડામણની કુલ સંખ્યા
આપેલ ઘટના માટે વોલ્યુમમાં એકમ સમય દીઠ બનતી ઘટના અવિભાજ્ય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે
તે જ સમયે, એક અલગ પ્રકારની અથડામણ થાય છે (જેને "આગમન" કહેવામાં આવે છે), જેના પરિણામે અથડામણ પહેલા આપેલ અંતરાલની બહારના મૂલ્યો ધરાવતા પરમાણુઓ આ અંતરાલમાં આવે છે. આવા સંક્રમણોને નીચે પ્રમાણે નિયુક્ત કરી શકાય છે: (આપેલા તમામ સંભવિત મૂલ્યો સાથે). પ્રથમ પ્રકારના સંક્રમણની જેમ, વોલ્યુમમાં એકમ સમય દીઠ આવા અથડામણની કુલ સંખ્યા બરાબર છે:
તમામ અથડામણના પરિણામે, પ્રારંભિક વોલ્યુમમાં એકમ સમય દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યામાં ફેરફાર છોડવાની ક્રિયાઓની સંખ્યા અને આગમનની ક્રિયાઓની સંખ્યા વચ્ચેના તફાવત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
(9), ક્યાં
અથડામણના અભિન્નતાને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે:
(તબક્કા વોલ્યુમ dVdГ માં એકમ સમય દીઠ કણોની સંખ્યામાં ફેરફાર)
સંબંધોમાંથી (8) અને (9) આપણે અથડામણના અભિન્ન સ્વરૂપને મેળવીએ છીએ
નોંધ કરો કે એકીકરણની બીજી મુદતમાં, એકીકરણ ઓવર છે
માત્ર કાર્ય સાથે સંબંધિત. ગુણક અને ચલો પર આધાર રાખતા નથી. રિલેશન (4) નો ઉપયોગ કરીને ઇન્ટિગ્રલના આ ભાગને રૂપાંતરિત કરીને, અમે અથડામણ ઇન્ટિગ્રલનું અંતિમ સ્વરૂપ મેળવીએ છીએ
અને ગતિ સમીકરણ
પરિણામી અભિન્ન-વિભેદક સમીકરણને બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.
ચાલો બાહ્ય પ્રભાવોની ગેરહાજરીમાં સિસ્ટમની સંતુલન સ્થિતિમાં સમય-સ્વતંત્ર વિતરણને ધ્યાનમાં લઈએ. આ વિતરણ સ્થિર છે (સમય પર નિર્ભર નથી) અને સજાતીય છે (સિસ્ટમ દ્વારા કબજે કરેલી જગ્યાના ક્ષેત્રમાં બદલાતું નથી). લાદવામાં આવેલી શરતો સમય અને ત્રણ કોઓર્ડિનેટ્સના સંદર્ભમાં વિતરણ કાર્યના વ્યુત્પન્નને ફરીથી સેટ કરે છે; ગતિ સમીકરણની ડાબી બાજુ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. સમાનતા (3)ને કારણે ઇન્ટિગ્રેન્ડ શૂન્ય પર જાય છે. પરિણામે, બાહ્ય ક્ષેત્રોની ગેરહાજરીમાં સંતુલન વિતરણ ગતિ સમીકરણને સમાન રીતે સંતોષે છે. જો ગેસ બાહ્ય સંભવિત (ઉદાહરણ તરીકે, ગુરુત્વાકર્ષણ) ક્ષેત્રના પ્રભાવ હેઠળ સંતુલન સ્થિતિમાં હોય, તો આ કિસ્સામાં વિતરણ કાર્ય ગતિ સમીકરણને સંતોષે છે. ખરેખર, સંતુલન વિતરણ ગતિના અભિન્ન - પરમાણુની કુલ ઊર્જા દ્વારા વ્યક્ત થાય છે. ગતિ સમીકરણની ડાબી બાજુ એ કુલ વ્યુત્પન્ન છે, જે માત્ર ગતિના અવિભાજ્ય પર આધારીત કાર્યના વ્યુત્પન્ન તરીકે શૂન્યની બરાબર છે. સમીકરણની જમણી બાજુ, પહેલેથી જ સૂચવ્યા મુજબ, શૂન્ય છે. આમ, બાહ્ય સંભવિત ક્ષેત્રમાં સંતુલનમાં ગેસનું વિતરણ કાર્ય પણ ગતિ સમીકરણને સંતોષે છે.
"પરિચય" માં દર્શાવેલ ધારણાઓમાં અમે એક વધુ ઉમેરીશું: પરમાણુઓની અથડામણને અવકાશમાં એક "બિંદુ" પર બનતી ત્વરિત ક્રિયાઓ તરીકે ગણવામાં આવે છે. ગતિ સમીકરણ એવી પ્રક્રિયાનું વર્ણન કરે છે જે અથડામણના સમયગાળા કરતા વધુ સમયના અંતરાલમાં થાય છે. તે જ સમયે, વિચારણા હેઠળની સિસ્ટમનો પ્રદેશ કણોની અથડામણના ક્ષેત્ર કરતાં નોંધપાત્ર રીતે વધી જવો જોઈએ, જે પરમાણુ દળોની ક્રિયાના ત્રિજ્યાના ક્રમ પર પરિમાણો ધરાવે છે. તીવ્રતાના ક્રમમાં અથડામણના સમયને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે (ગેસમાં પરમાણુઓની હિલચાલની સરેરાશ ગતિ છે). પ્રાપ્ત મૂલ્યો અંતર અને સમયની નીચલી મર્યાદાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જ્યારે ગતિ સમીકરણનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. વાસ્તવિક શારીરિક સમસ્યાઓને પ્રક્રિયાના આવા વિગતવાર વર્ણનની જરૂર નથી; સિસ્ટમનું કદ અને અવલોકન સમય નોંધપાત્ર રીતે જરૂરી ન્યૂનતમ કરતાં વધી જાય છે.
ગેસમાં બનતી ગતિશીલ ઘટનાના ગુણાત્મક વિચારણા માટે, બે પરિમાણો દ્વારા અથડામણના અભિન્ન અંદાજનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: સરેરાશ મુક્ત માર્ગ અને મફત મુસાફરીનો સમય. પરમાણુને એકમ લંબાઈ અને બેઝ એરિયા (અણુના અસરકારક ક્રોસ-સેક્શન) ના સીધા સિલિન્ડરના જથ્થામાં સ્થિત પરમાણુઓ સાથે અથડાઈને એકમ લંબાઈમાંથી આગળ વધવા દો. આ વોલ્યુમમાં પરમાણુઓ છે.
- 
અણુઓ વચ્ચે સરેરાશ અંતર;
મૂલ્ય એ ફ્રી રન ટાઈમ છે. અથડામણના અભિન્ન અંદાજ માટે, તમે આનો ઉપયોગ કરી શકો છો:
અંશમાં લખાયેલ તફાવત એ હકીકતને ધ્યાનમાં લે છે કે સંતુલન વિતરણ કાર્ય માટે અથડામણ અભિન્ન અદૃશ્ય થઈ જાય છે, અને બાદબાકી ચિહ્ન સૂચવે છે કે અથડામણ એ આંકડાકીય સંતુલન સ્થાપિત કરવા માટેની એક પદ્ધતિ છે, એટલે કે. સંતુલનમાંથી વિતરણ કાર્યના વિચલનને ઘટાડવાનો પ્રયાસ કરો (બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સિસ્ટમની લઘુત્તમ આંતરિક ઊર્જાને અનુરૂપ સંતુલન સ્થિતિમાંથી બહાર કાઢવામાં આવેલી કોઈપણ સિસ્ટમ અને તેના પોતાના પર છોડી દેવામાં આવે તો તે સંતુલન સ્થિતિમાં પાછા ફરે છે).
§3 મેક્રોસ્કોપિક સમીકરણોમાં સંક્રમણ. હાઇડ્રોડાયનેમિક સાતત્ય સમીકરણ.
બોલ્ટ્ઝમેન ગતિ સમીકરણ ગેસની સ્થિતિના ઉત્ક્રાંતિનું સૂક્ષ્મ વર્ણન આપે છે. પરંતુ વ્યવહારમાં, પ્રક્રિયાઓનું આટલું વિગતવાર વર્ણન કરવું ઘણીવાર જરૂરી હોતું નથી, તેથી, જ્યારે હાઇડ્રોડાયનેમિક્સની સમસ્યાઓ, અસંગત અથવા અત્યંત દુર્લભ વાયુઓમાં પ્રક્રિયાઓની ઘટનાની સમસ્યાઓ, થર્મલ વાહકતા અને વાયુઓના પ્રસારની સમસ્યાઓ અને અન્ય સંખ્યાબંધ સમસ્યાઓનો વિચાર કરવામાં આવે છે. , ઓછા વિગતવાર (અને તેથી સરળ) મેક્રોસ્કોપિક સમીકરણો તરફ આગળ વધવું અર્થપૂર્ણ છે. આ વર્ણન ગેસને લાગુ પડે છે જો તેના મેક્રોસ્કોપિક ગુણધર્મો (તાપમાન, ઘનતા, કણોની સાંદ્રતા, દબાણ, વગેરે) ગેસમાં કોઈપણ મનસ્વી રીતે પસંદ કરેલી દિશા સાથે પૂરતા પ્રમાણમાં ધીમે ધીમે બદલાય છે. અંતર કે જેના પર મેક્રોસ્કોપિક પરિમાણોમાં નોંધપાત્ર ફેરફાર થાય છે તે પરમાણુઓના મુક્ત માર્ગને નોંધપાત્ર રીતે ઓળંગવું જોઈએ.
ઉદાહરણ તરીકે, હાઇડ્રોડાયનેમિક સમીકરણ મેળવવા માટેની પદ્ધતિનો વિચાર કરો.
અભિવ્યક્તિ અવકાશમાં ગેસના અણુઓની વિતરણ ઘનતા (ગેસના અણુઓની સાંદ્રતા) નક્કી કરે છે. પરમાણુઓના વિતરણ ઘનતા દ્વારા એક પરમાણુના સમૂહનું ઉત્પાદન (એવું માનવામાં આવે છે કે ગેસમાં સમાન કણોનો સમાવેશ થાય છે) ગેસની સામૂહિક ઘનતા આપે છે: ચાલો આપણે વાયુની સમગ્ર હિલચાલની મેક્રોસ્કોપિક ગતિ અને પરમાણુઓની માઇક્રોસ્કોપિક ગતિ દ્વારા સૂચવીએ. મેક્રોસ્કોપિક ગતિ (દળના કેન્દ્રની હિલચાલની ગતિ) ને પરમાણુઓની માઇક્રોસ્કોપિક ગતિની સરેરાશ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.
 |
||
અથડામણ ક્યાં તો અથડાતા કણોની સંખ્યા અથવા તેમની કુલ ઊર્જા અથવા વેગમાં ફેરફાર કરતી નથી (પરમાણુઓની અથડામણને એકદમ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ ગણવામાં આવે છે). વિતરણ કાર્યમાં પરિવર્તનનો અથડામણ ભાગ તેના દરેક વોલ્યુમ તત્વોમાં ઘનતા, આંતરિક ઊર્જા, વેગ અને ગેસના અન્ય કોઈપણ મેક્રોસ્કોપિક પરિમાણોમાં ફેરફાર તરફ દોરી શકે નહીં. ખરેખર, ગેસના એકમ જથ્થા દીઠ અણુઓની કુલ સંખ્યામાં ફેરફારનો અથડામણીય ભાગ શૂન્ય સમાન અભિન્ન દ્વારા આપવામાં આવે છે:
ચાલો આ સમાનતાની માન્યતા નીચેની રીતે ચકાસીએ:
એકીકરણ દરેક ચલો પર હાથ ધરવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે ઇન્ટિગ્રલને બદલ્યા વિના, ચલોને ફરીથી ડિઝાઇન કરવાનું શક્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે, બીજા ઇન્ટિગ્રલમાં:
છેલ્લી અભિવ્યક્તિ દેખીતી રીતે શૂન્યની બરાબર છે અને તેથી, સમાનતા (14) માન્ય છે.
ચાલો ગતિ સમીકરણ લખીએ અને, અગાઉ તેના બંને ભાગોને એમ કણના દળ દ્વારા ગુણાકાર કર્યા પછી, તેને આ પ્રમાણે એકીકૃત કરીએ:
અહીંથી આપણે તરત જ હાઇડ્રોડાયનેમિક સાતત્ય સમીકરણ મેળવીએ છીએ:
આ વિભેદક સમીકરણમાં પ્રવાહીની ઘનતામાં ફેરફારનો ઉલ્લેખ કરીને અને પ્રવાહીને અસંકુચિત માનીને, કોઈ પણ પ્રવાહીના કોઈપણ બિંદુએ વેગ દિશાઓનું વેક્ટર ક્ષેત્ર મેળવી શકે છે.
§4. સહેજ અસંગત ગેસ. ગેસની થર્મલ વાહકતા.
બધી વાસ્તવિક ભૌતિક પ્રક્રિયાઓ અનિવાર્યપણે અમુક ઉર્જા નુકશાન સાથે થાય છે (એટલે કે, ઉર્જાનું વિસર્જન થાય છે - અસ્તવ્યસ્ત ગતિની ઊર્જામાં ક્રમબદ્ધ ગતિની ઊર્જાનું સંક્રમણ, ઉદાહરણ તરીકે, ગેસના અણુઓની થર્મલ ગતિમાં). નબળા અસંગત ગેસમાં વિસર્જન પ્રક્રિયાઓ (થર્મલ વાહકતા અથવા સ્નિગ્ધતા) ને ધ્યાનમાં લેવા માટે, નીચેના અંદાજનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે: ગેસના નાના વિભાગમાં વિતરણ કાર્યને સ્થાનિક રીતે સંતુલન ન ગણવું જોઈએ, જેમ કે સજાતીય ગેસના કિસ્સામાં. , પરંતુ સંતુલનથી અમુક પ્રમાણમાં નાની રકમથી અલગ પડે છે (કારણ કે ગેસ નબળા રીતે અસંગત છે) મૂલ્ય. વિતરણ કાર્ય ફોર્મ લેશે, અને કરેક્શન પોતે ફોર્મમાં લખવામાં આવશે. કાર્ય ચોક્કસ શરતો સંતોષવા જ જોઈએ. જો કણોની સંખ્યા, ઊર્જા અને વાયુની ગતિની ઘનતા આપવામાં આવે તો
તે અવિભાજ્ય સંતુલન કાર્યને અનુરૂપ હોય છે, પછી બિનસંતુલન કાર્ય આ જથ્થાના સમાન મૂલ્યો તરફ દોરી જાય છે (સંકલન સાથે અને એકરૂપ હોવા જોઈએ), જે ત્યારે જ થાય છે જ્યારે
ચાલો ગતિ સમીકરણ (13) માં અથડામણના અભિન્નતાને રૂપાંતરિત કરીએ: વિતરણ કાર્ય અને સુધારાઓ માટે અભિવ્યક્તિઓનું અવેજી, સંતુલન વિતરણ કાર્ય ધરાવતા અથડામણના પૂર્ણાંકોનું શૂન્યકરણ, નાના કરેક્શન ધરાવતા ન હોય તેવા શબ્દોનો ઘટાડો. પ્રથમ ઓર્ડર શરતો આપશે. રેખીય અભિન્ન ઓપરેટરને દર્શાવવા માટે પ્રતીક રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું
ચાલો આપણે નબળા અસંગત ગેસ માટે ગતિ સમીકરણ લખીએ (વ્યુત્પત્તિ વિના), સમીકરણની ડાબી બાજુએ થર્મલ વાહકતાની સમસ્યાને ધ્યાનમાં રાખીને તાપમાનના ઢાળ સાથે માત્ર એક શબ્દ જ જાળવી રાખીએ.
*************************************************
§4. મોનોટોમિક ગેસના થર્મલ વાહકતા ગુણાંકની ગણતરી
ગેસના થર્મલ વાહકતા ગુણાંકની ગણતરી કરવા માટે, તાપમાનના ઢાળ સાથે ઉપર લખેલા સમીકરણને હલ કરવું જરૂરી છે.
માત્ર જથ્થાઓનું વેક્ટર ફંક્શન બનવા દો. પછી આપણે ફોર્મમાં સમીકરણ () નો ઉકેલ શોધીશું. જ્યારે આ ઉકેલને સમીકરણ () માં બદલીએ છીએ, ત્યારે આપણે એક પરિબળ મેળવીએ છીએ. સમીકરણ () તાપમાનના ઢાળ વેક્ટરના સંપૂર્ણપણે મનસ્વી મૂલ્યો માટે માન્ય છે, પછી સમાનતાની બંને બાજુના ગુણાંક સમાન હોવા જોઈએ. પરિણામે, આપણે સમીકરણ મેળવીએ છીએ
 |
સમીકરણમાં તાપમાનનો ઢાળ નથી અને તેથી કોઓર્ડિનેટ્સ પર સ્પષ્ટ અવલંબન નથી. ફંક્શને અગાઉ ઉલ્લેખિત શરતો () ને સંતોષવી આવશ્યક છે. પ્રથમ બે શરતો દેખીતી રીતે સંતુષ્ટ છે (સમીકરણ () કોઈપણ વેક્ટર પરિમાણો ધરાવતું નથી કે જેની સાથે સતત વેક્ટર ઇન્ટિગ્રલ નિર્દેશિત કરી શકાય.
અને). ત્રીજો અભિન્ન એ ફંક્શન g પર વધારાની શરત છે. જો ગતિ સમીકરણ ઉકેલાય અને કાર્ય
વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, તો પછી ઉર્જા પ્રવાહની ગણતરી કરીને થર્મલ વાહકતા ગુણાંક નક્કી કરવું શક્ય છે, અથવા વધુ સ્પષ્ટ રીતે, તેનો વિઘટનશીલ ભાગ, ઊર્જાના સંવર્ધક સ્થાનાંતરણ સાથે સંકળાયેલ નથી (આપણે ઊર્જા પ્રવાહના આ ભાગને સૂચિત કરીએ છીએ). ગેસમાં મેક્રોસ્કોપિક ગતિની ગેરહાજરીમાં, Q કુલ ઉર્જા પ્રવાહ Q સાથે એકરુપ છે, જે અભિન્ન દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે.
જો સિસ્ટમ સંતુલનમાં હોય, તો ગેસમાં તમામ સંભવિત દિશાઓ પર એકીકરણને કારણે આ અભિન્ન શૂન્ય બરાબર છે. જ્યારે અવેજીમાં () રહે છે
ઘટકોમાં
સંતુલન ગેસ માધ્યમની આઇસોટ્રોપીને લીધે, તેમાં કોઈ પસંદ કરેલી દિશાઓ નથી અને ટેન્સરને માત્ર એકમ ટેન્સરની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે, એટલે કે. સ્કેલર સુધી ઘટાડે છે
આમ, ઉર્જા પ્રવાહને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે, જ્યાં જથ્થો એ સ્કેલર થર્મલ વાહકતા ગુણાંક છે
પ્રવાહ Q તાપમાનના ઢાળની વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્દેશિત હોવો જોઈએ, અને તે મુજબ મૂલ્ય હકારાત્મક હોવું જોઈએ, જે ગતિ સમીકરણ () દ્વારા આપમેળે પ્રદાન કરવામાં આવે છે. મોનોટોમિક વાયુઓમાં, ઝડપ v એ એકમાત્ર વેક્ટર છે કે જેના પર કાર્ય g આધાર રાખે છે (પોલીઆટોમિક વાયુઓમાં, g માત્ર v ઝડપ પર જ નહીં, પણ ટોર્ક M પર પણ આધાર રાખે છે). મોનોટોમિક વાયુઓ માટે, ફંક્શન જીનું સ્વરૂપ છે:
.
§5. ગતિ સમીકરણ ઉકેલવાનું ઉદાહરણ
ગેસના અણુઓ એકદમ જટિલ કાયદાઓ અનુસાર ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે. આ ખાસ કરીને વાસ્તવિક પોલિએટોમિક વાયુઓ માટે સાચું છે. ગેસના અણુઓના વર્તનની પ્રકૃતિને લગતી ધારણાઓ તર્કને સરળ બનાવવાનું શક્ય બનાવે છે (અથવા તે સિદ્ધાંતમાં પણ શક્ય બનાવે છે), પરંતુ કંઈક અંશે આપણને વાસ્તવિકતાથી દૂર કરે છે. પરમાણુ ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના જટિલ નિયમો કે જે અથડામણના અભિન્ન કાર્યને નિર્ધારિત કરે છે તે ચોક્કસ વાયુઓ માટે બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણને ચોક્કસ સ્વરૂપમાં લખવાની પણ મંજૂરી આપતા નથી. જો મોલેક્યુલર ક્રિયાપ્રતિક્રિયાની પ્રકૃતિને સરળ બનાવવામાં આવે તો પણ, ગતિ સમીકરણનું ગાણિતિક માળખું ખૂબ જટિલ રહે છે, અને વિશ્લેષણાત્મક સ્વરૂપમાં તેનું સમાધાન શોધવું મુશ્કેલ છે. વાયુઓના ગતિ સિદ્ધાંતમાં, બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણના અંદાજિત ઉકેલ માટે વિશેષ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલના પ્રયાસ કરતાં વધુ અસરકારક છે. ઉદાહરણ તરીકે, મોનોટોમિક ગેસ અને થર્મલ વાહકતાની સમસ્યાનો વિચાર કરો.
અને સંતુલન વિતરણ કાર્ય ફોર્મ લેશે
સમીકરણ () ના અંદાજિત ઉકેલ માટેની અસરકારક પદ્ધતિ પરસ્પર ઓર્થોગોનલ કાર્યોની સંપૂર્ણ સિસ્ટમમાં ઇચ્છિત કાર્યોના વિસ્તરણ પર આધારિત છે. આવા કાર્યો તરીકે, ફોર્મકલ્સ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સોનિન બહુપદીને ધ્યાનમાં લો:
આ સૂત્રમાં, r મનસ્વી છે, અને s એ ધન પૂર્ણાંક અથવા શૂન્ય છે. પ્રામાણિકતામાં
આપેલ અનુક્રમણિકા r અને વિવિધ સૂચકાંકો માટે આ બહુપદીઓની ઓર્થોગોનાલિટી ગુણધર્મ આના જેવો દેખાય છે:
અમે નીચેના વિસ્તરણના સ્વરૂપમાં સમીકરણનો ઉકેલ શોધીએ છીએ
વિસ્તરણમાં s=0 સાથેના શબ્દને છોડી દેવાથી, અમે સંતોષકારક અભિવ્યક્તિ () મેળવીએ છીએ (વિવિધ s સાથે બહુપદીઓની ઓર્થોગોનાલિટીને કારણે અવિભાજ્ય શૂન્ય પર સેટ છે). ડાબી બાજુના કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ ()
ત્યાં છે. સમીકરણ () ફોર્મ લે છે
છેલ્લા અભિવ્યક્તિ માટે, સંકેત રજૂ કરવામાં આવે છે
 |
||||
l=0 સાથે કોઈ સમીકરણ નથી, કારણ કે વેગના સંરક્ષણને કારણે
થર્મલ વાહકતા ગુણાંકની ગણતરી અભિવ્યક્તિ () ને અભિન્ન () માં બદલીને કરવામાં આવે છે. શરત () ને ધ્યાનમાં લેતા, અભિન્ન (c) ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે
પરિણામે, આપણે શોધીએ છીએ.
સોનોન બહુપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાત્મક પદ્ધતિની અસરકારકતા જમણી બાજુ () અને અંતિમ અભિવ્યક્તિ () ની સરળતા દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે. ઉકેલ દરમિયાન મેળવેલ રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની અનંત સિસ્ટમ કૃત્રિમ કાપણી પછી ઉકેલાય છે.
નિષ્કર્ષ.
બોલ્ટ્ઝમેન ગતિ સમીકરણ મેળવવા માટેની ગણવામાં આવેલ પદ્ધતિ ભૌતિક દૃષ્ટિકોણથી તદ્દન સંતોષકારક છે. જો કે, ગેસ કણોની હિલચાલનું વર્ણન કરવા માટે વપરાતા ગાણિતિક ઉપકરણમાંથી ગતિ સમીકરણ પણ મેળવી શકાય છે. 1946 માં, આવા નિષ્કર્ષ, જેને ડાયનેમિક કહેવાય છે, એન.એન. બોગોલ્યુબોવ દ્વારા આપવામાં આવ્યું હતું. બોગોલીયુબોવ પદ્ધતિ માત્ર બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણ મેળવવા માટે જ નહીં, પણ તેમાં સુધારા પણ કરે છે, એટલે કે. નાના ગેસ સામગ્રી પરિમાણમાં નીચેના ઓર્ડરની શરતો. ઉદાહરણ તરીકે, ઉપરોક્ત વ્યુત્પત્તિ માત્ર બે અણુઓની એક સાથે અથડામણને ધ્યાનમાં લે છે અને ધારે છે કે અથડામણ એક તબક્કે થાય છે, એટલે કે. સ્થાનિક છે, અને ત્રણ, ચાર અથવા વધુ કણોના જૂથોની અથડામણને ધ્યાનમાં લેવા માટે કોઈ વધુ કે ઓછા સ્પષ્ટ રેસીપી નથી. દરમિયાન, તે સ્પષ્ટ છે કે ગાઢ વાયુઓને ધ્યાનમાં લેતી વખતે આવી અથડામણોને ધ્યાનમાં લેવી મૂળભૂત રીતે મહત્વપૂર્ણ છે. આ સંદર્ભમાં, ગતિ સમીકરણ અને તેના સંભવિત સામાન્યીકરણની વ્યુત્પત્તિ માટે વધુ સખત અભિગમ અપનાવવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. Bogolyubov પદ્ધતિ અમને ધ્યાનમાં લેવા માટે પરવાનગી આપે છે
વ્યુત્પત્તિ દરમિયાન ઉદ્ભવતા ચોક્કસ સુધારણા શબ્દોની મદદથી બે કરતાં વધુ કણોની અથડામણ અને અથડામણની "અસ્થાનિકતા". સુધારાઓને અવગણવાથી ગતિ સમીકરણને સૌથી સરળ કિસ્સામાં મેળવેલ ફોર્મ તરફ દોરી જાય છે.
ગ્રંથસૂચિ.
1. E.M.Lifshits, L.P.Pitaevsky. ભૌતિક ગતિશાસ્ત્ર. નૌકા, એમ., 1979
2. Yu.B.Rumer, M.Sh.Ryvkin. થર્મોડાયનેમિક્સ, આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગતિશાસ્ત્ર.
બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણ (બોલ્ટ્ઝમેન ગતિ સમીકરણ) એ લુડવિગ બોલ્ટ્ઝમેનના નામનું સમીકરણ છે, જેમણે સૌપ્રથમ તેને ધ્યાનમાં લીધું હતું અને ગેસ અથવા પ્રવાહીમાં કણોના આંકડાકીય વિતરણનું વર્ણન કર્યું હતું. તે ભૌતિક ગતિશાસ્ત્રના સૌથી મહત્વપૂર્ણ સમીકરણોમાંનું એક છે (આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રનું ક્ષેત્ર જે થર્મોડાયનેમિક સંતુલનથી દૂર સિસ્ટમોનું વર્ણન કરે છે, ઉદાહરણ તરીકે, તાપમાનના ઢાળ અને ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રોની હાજરીમાં). બોલ્ટ્ઝમેનના સમીકરણનો ઉપયોગ પ્રવાહી અને વાયુઓમાં ગરમી અને વિદ્યુત ચાર્જના પરિવહનનો અભ્યાસ કરવા માટે થાય છે અને તેમાંથી વિદ્યુત વાહકતા, હોલ ઇફેક્ટ, સ્નિગ્ધતા અને થર્મલ વાહકતા જેવા પરિવહન ગુણધર્મો પ્રાપ્ત થાય છે. આ સમીકરણ દુર્લભ સિસ્ટમો માટે લાગુ પડે છે, જ્યાં કણો વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનો સમય ઓછો હોય છે (મોલેક્યુલર અરાજકતા પૂર્વધારણા).
ફોર્મ્યુલેશન
બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણ સમય જતાં ઉત્ક્રાંતિનું વર્ણન કરે છે ( t) ઘનતા વિતરણ કાર્યો f(x, પી, t) સિંગલ-પાર્ટીકલ ફેઝ સ્પેસમાં, જ્યાં xઅને પી- અનુક્રમે સંકલન અને ગતિ. વિતરણ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે કે જેથી
f (x , p , t) d 3 x d 3 p (\displaystyle f(\mathbf (x) ,\mathbf (p) ,t)\,d^(3)x\,d^(3)p)તબક્કાના જથ્થામાં કણોની સંખ્યાના પ્રમાણસર d³x d³pએક સમયે t. બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણ
∂ f ∂ t + ∂ f ∂ x ⋅ p m + ∂ f ∂ p ⋅ F = d f d t | c o l l . (\displaystyle (\frac (\partial f)(\partial t))+(\frac (\partial f)(\partial \mathbf (x) ))\cdot (\frac (\mathbf (p)) (m ))+(\frac (\partial f)(\partial \mathbf (p) ))\cdot \mathbf (F) =\left.(\frac (df)(dt))\right|_(\mathrm ( કોલ)).)અહીં એફ(x, t) એ પ્રવાહી અથવા વાયુના કણો પર કાર્ય કરતા દળોનું ક્ષેત્ર છે, અને m- કણોનો સમૂહ. સમીકરણની જમણી બાજુનો શબ્દ કણો વચ્ચેની અથડામણ માટે ઉમેરવામાં આવે છે અને તેને અથડામણ અભિન્ન કહેવાય છે. જો તે શૂન્ય હોય, તો કણો બિલકુલ અથડતા નથી. આ કેસને ઘણીવાર સિંગલ-પાર્ટિકલ લિઓવિલે સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. જો દળોનું ક્ષેત્ર એફ(x, t) વિતરણ કાર્યના આધારે યોગ્ય સ્વ-સતત ફીલ્ડ સાથે બદલો f (\ પ્રદર્શન શૈલી f), પછી આપણે વ્લાસોવ સમીકરણ મેળવીએ છીએ, જે સ્વ-સતત ક્ષેત્રમાં ચાર્જ થયેલ પ્લાઝ્મા કણોની ગતિશીલતાનું વર્ણન કરે છે. શાસ્ત્રીય બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણનો ઉપયોગ પ્લાઝ્મા ભૌતિકશાસ્ત્રમાં થાય છે, તેમજ સેમિકન્ડક્ટર્સ અને ધાતુઓના ભૌતિકશાસ્ત્રમાં (કાઇનેટિક ઘટનાનું વર્ણન કરવા માટે, એટલે કે, ઇલેક્ટ્રોન પ્રવાહીમાં ચાર્જ અથવા હીટ ટ્રાન્સફર).
L ^ G R = ∑ α p α ∂ ∂ x α − ∑ α β γ Γ β γ α p β p γ ∂ ∂ p α , (\displaystyle (\hat (\mathbf (L)) )_(\mathrm (GR) ) =\સમ _(\alpha )p^(\alpha )(\frac (\partial )(\partial x^(\alpha )))-\sum _(\alpha \beta \gamma )\Gamma _( \beta \gamma )^(\alpha )p^(\beta )p^(\gamma )(\frac (\partial )(\partial p^(\alpha ))),)અથડામણ અભિન્ન
કણો વચ્ચે અથડામણ તેમની ગતિમાં ફેરફાર તરફ દોરી જાય છે. જો W (v , v ′) d 3 v ′ d t (\displaystyle W(\mathbf (v) ,\mathbf (v) ^(\prime ))d^(3)v^(\prime )dt)ગતિ સાથે રાજ્યમાંથી કણોના છૂટાછવાયાની સંભાવનાને સ્પષ્ટ કરે છે v (\displaystyle \mathbf (v) )ઝડપ સાથે રાજ્યમાં v ′ (\Displaystyle \mathbf (v) ^(\prime)), પછી ક્લાસિકલ કણો માટે અથડામણ અભિન્ન સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે
∂ f ∂ t | c o l l = ∫ v ′ [ f (t , r , v ′) W (v ′ , v) − f (t , r , v) W (v , v ′) ] d 3 v ′ (\displaystyle \left.( \frac (\partial f)(\partial t))\right|_(coll)=\int _(\mathbf (v) ^(\prime ))d^(3)v^(\prime )).કણોના આંકડાઓની ક્વોન્ટમ પ્રકૃતિના કિસ્સામાં, આ અભિવ્યક્તિ સમાન ક્વોન્ટમ નંબરો સાથે બે કણોની સ્થિતિમાં હોવાની અશક્યતા દ્વારા જટિલ છે, અને તેથી તે કબજે કરેલા રાજ્યોમાં છૂટાછવાયાની અશક્યતાને ધ્યાનમાં લેવી જરૂરી છે.
આરામનો સમય નજીક આવી રહ્યો છે
બોલ્ટ્ઝમેનના સમીકરણો જટિલ ઇન્ટિગ્રો-ડિફરન્શિયલ આંશિક વિભેદક સમીકરણો છે. વધુમાં, અથડામણ અભિન્ન ચોક્કસ સિસ્ટમ પર, કણો અને અન્ય પરિબળો વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાના પ્રકાર પર આધારિત છે. અસંતુલન પ્રક્રિયાઓની સામાન્ય લાક્ષણિકતાઓ શોધવી એ સરળ કાર્ય નથી. જો કે, તે જાણીતું છે કે થર્મોડાયનેમિક સંતુલનની સ્થિતિમાં અથડામણનો અભિન્ન ભાગ શૂન્યની બરાબર છે. ખરેખર, બાહ્ય ક્ષેત્રોની ગેરહાજરીમાં સજાતીય પ્રણાલીમાં સંતુલનની સ્થિતિમાં, બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણની ડાબી બાજુના તમામ ડેરિવેટિવ્ઝ શૂન્ય સમાન હોય છે, તેથી અથડામણનો અભિન્ન પણ શૂન્ય સમાન હોવો જોઈએ. સંતુલનમાંથી નાના વિચલનો માટે, વિતરણ કાર્ય તરીકે રજૂ કરી શકાય છે
f = f 0 + f 1 (\ displaystyle f=f_(0)+f_(1)),જ્યાં f 0 (v) (\displaystyle f_(0)(\mathbf (v)))- સંતુલન વિતરણ કાર્ય, માત્ર કણોના વેગ પર આધાર રાખે છે અને થર્મોડાયનેમિક્સથી જાણીતું છે, અને f 1 (\ displaystyle f_(1))- સહેજ વિચલન.
ગેસનું આંકડાકીય વર્ણન તેમના તબક્કાના અવકાશમાં ગેસના અણુઓના વિતરણ કાર્ય દ્વારા હાથ ધરવામાં આવે છે, જ્યાં પરમાણુના સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સનો સમૂહ છે, કોઓર્ડિનેટ્સને અનુરૂપ સામાન્યકૃત આવેગનો સમૂહ છે, સમય છે (વિતરણ કાર્ય આધાર રાખે છે. બિન-સ્થિર સ્થિતિમાં સમયસર). ઘણી વાર, પ્રતીક Г એ તમામ ચલોના સમૂહને સૂચવે છે કે જેના પર વિતરણ કાર્ય આધાર રાખે છે, પરમાણુ અને સમયના કોઓર્ડિનેટ્સને બાદ કરતાં. જથ્થામાં એક મહત્વપૂર્ણ મિલકત છે: તે હલનચલન છે જે તેના મુક્ત ચળવળ દરમિયાન દરેક પરમાણુ માટે સતત રહે છે.
આમ, મોનોટોમિક ગેસ માટે, જથ્થો એ અણુના ત્રણ ઘટકો છે. ડાયટોમિક પરમાણુ માટે, આમાં વેગ અને ટોર્કનો સમાવેશ થાય છે.
મૂળભૂત ગતિ સમીકરણ
વાયુઓના ગતિ સિદ્ધાંતનું મૂળભૂત સમીકરણ (અથવા ગતિ સમીકરણ) એ વિતરણ કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરતું સમીકરણ છે.
સમીકરણ:
જ્યાં અથડામણ અભિન્ન છે, સમીકરણ (1) ને ગતિ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. પ્રતીકનો અર્થ પરમાણુઓની અથડામણને કારણે વિતરણ કાર્યમાં ફેરફારનો દર છે. અથડામણ ઇન્ટિગ્રલ સ્થાપિત થયા પછી જ ગતિ સમીકરણ વાસ્તવિક અર્થ પ્રાપ્ત કરે છે. પછી ગતિ સમીકરણ (2) સ્વરૂપ લે છે. આ એકીકૃત-વિભેદક સમીકરણને બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણ પણ કહેવામાં આવે છે:
સમીકરણ (2) ની જમણી બાજુ શું છે તે સમજાવવું જરૂરી છે.
જ્યારે બે અણુઓ અથડાય છે, ત્યારે તેમના મૂલ્યો બદલાય છે. તેથી, પરમાણુ દ્વારા અનુભવાતી દરેક અથડામણ તેને આપેલ અંતરાલ dમાંથી બહાર લઈ જાય છે. સંક્રમણો સાથે અથડામણની કુલ સંખ્યા 
આપેલ G માટે તમામ સંભવિત મૂલ્યો સાથે, વોલ્યુમ dV માં એકમ સમય દીઠ થાય છે, તે અવિભાજ્ય સમાન છે:
(આઉટગોઇંગ કણો)
કેટલાક અણુઓ, અથડામણને કારણે, ડીજી અંતરાલમાં આવે છે (સંક્રમણો સાથે અથડામણ 
). આવી અથડામણની કુલ સંખ્યા (વોલ્યુમ ડીવીમાં એકમ સમય દીઠ) બરાબર છે:
(આવતા કણો).
જો આપણે આગમનની ક્રિયાઓની સંખ્યામાંથી પ્રસ્થાનના કૃત્યોની સંખ્યાને બાદ કરીએ, તો તે સ્પષ્ટ છે કે તમામ અથડામણના પરિણામે, પ્રશ્નમાં પરમાણુઓની સંખ્યા 1c દ્વારા વધે છે.
વાયુમાં ગતિશીલ ઘટનાના ગુણાત્મક વિચારણા માટે, અથડામણના અવિભાજ્ય અંદાજનો ઉપયોગ સરેરાશ મુક્ત માર્ગ l (બે અનુગામી અથડામણો વચ્ચે પરમાણુ દ્વારા પસાર કરાયેલ ચોક્કસ સરેરાશ અંતર) ની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. રેશિયોને ફ્રી રન ટાઈમ કહેવામાં આવે છે. અથડામણના અભિન્ન અંદાજ માટે, એક ધારે છે:
અંશ (3) માં તફાવત એ ધ્યાનમાં લે છે કે સંતુલન વિતરણ કાર્ય માટે અથડામણ અભિન્ન 0 માં ફેરવાય છે. બાદબાકીનું ચિહ્ન એ હકીકતને વ્યક્ત કરે છે કે અથડામણ એ આંકડાકીય સંતુલન સ્થાપિત કરવા માટેની એક પદ્ધતિ છે.
બોલ્ટ્ઝમેન ગતિ સમીકરણ
બોલ્ટ્ઝમેન ગતિ સમીકરણ નાના વાયુની સ્થિતિના ઉત્ક્રાંતિનું સૂક્ષ્મ વર્ણન આપે છે. ગતિ સમીકરણ એ સમયનું પ્રથમ-ક્રમનું સમીકરણ છે; તે વિતરણ કાર્ય સાથેની કેટલીક પ્રારંભિક અસંતુલન સ્થિતિમાંથી સૌથી સંભવિત વિતરણ કાર્ય સાથે અંતિમ સંતુલન સ્થિતિમાં સિસ્ટમના બદલી ન શકાય તેવા સંક્રમણનું વર્ણન કરે છે.
ગતિ સમીકરણને ઉકેલવું ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી ખૂબ મુશ્કેલ છે. તેને ઉકેલવામાં મુશ્કેલીઓ ફંક્શનની બહુપરીમાણીયતાને કારણે છે, જે સાત સ્કેલર ચલ પર આધારિત છે અને સમીકરણની જમણી બાજુના જટિલ સ્વરૂપ છે.
જો વિતરણ કાર્ય માત્ર x સંકલન અને વેગ ઘટક પર આધાર રાખે છે, તો બોલ્ટ્ઝમેન ગતિ સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:
અથડામણ પહેલા અને પછી પરમાણુઓના વિતરણ કાર્યો ક્યાં અને છે; - પરમાણુઓની ગતિ; પરમાણુઓની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા પર આધાર રાખીને, ઘન કોણ dW દીઠ વિભેદક અસરકારક સ્કેટરિંગ ક્રોસ વિભાગ છે. - અથડામણના પરિણામે વિતરણ કાર્યમાં ફેરફાર. - કણોની સંખ્યાની ઘનતામાં ફેરફાર. કણ પર કામ કરતું બળ છે.
જો ગેસમાં સમાન પ્રકારના કણો હોય, તો ગતિ સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય:
જ્યાં 
- બિંદુની નજીકના તબક્કાના જથ્થાના ઘટકમાં કણોની સરેરાશ સંખ્યા ( - બિંદુની નજીકના કણોની સંખ્યાની ઘનતામાં ફેરફાર ( એકમ સમય દીઠ ટી સમયે.
બોલ્ટ્ઝમેનનું સમીકરણ માન્ય છે જો:
જો સિસ્ટમ આંકડાકીય સંતુલનની સ્થિતિમાં હોય, તો અથડામણનું અભિન્ન અદૃશ્ય થઈ જાય છે અને બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણનો ઉકેલ એ વિતરણ છે. યોગ્ય પરિસ્થિતિઓ માટે બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણ ઉકેલવાથી વ્યક્તિ ગતિ ગુણાંકની ગણતરી કરી શકે છે અને વિવિધ પરિવહન પ્રક્રિયાઓ ( , સ્નિગ્ધતા , ) માટે મેક્રોસ્કોપિક સમીકરણો મેળવી શકે છે. પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં, બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણનો ઉકેલ એ જાણીતું બેરોમેટ્રિક સૂત્ર છે.
બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણના ઉકેલોના આધારે, ગેસનું મેક્રોસ્કોપિક વર્તન, સ્નિગ્ધતાની ગણતરી અને થર્મલ વાહકતા ગુણાંક સમજાવવામાં આવે છે.
કિનેમેટિક સમીકરણ એ દુર્લભ વાયુઓની ગતિશીલતા માટેનું મૂળભૂત સમીકરણ છે અને તેનો ઉપયોગ ઉચ્ચ ઉડાન ઊંચાઈએ વિમાનની એરોડાયનેમિક ગણતરીઓ માટે થાય છે.
સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો
ઉદાહરણ 1
| કસરત | બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણમાંથી સાતત્ય સમીકરણ મેળવો. ધારી રહ્યા છીએ કે ગેસમાં સમાન કણોનો સમાવેશ થાય છે, ત્યાં બાહ્ય દળોનું કોઈ ક્ષેત્ર નથી. |
| ઉકેલ | ચાલો બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણ ફોર્મમાં લખીએ:
સમાનતાની ડાબી બાજુ ધ્યાનમાં લો (1.2). ચાલો દરેક પદને m અણુઓ વડે ગુણાકાર કરીએ અને dГ પર એકીકૃત કરીએ, આપણને મળે છે: અભિન્ન અવકાશમાં ગેસના અણુઓની સાંદ્રતા છે. - ગેસ. અથડામણ અથડાતા કણોની સંખ્યામાં ફેરફાર કરતી નથી; તે મુજબ, વિતરણ કાર્યમાં ફેરફારનો અથડામણનો ભાગ ગેસના જથ્થાના દરેક તત્વમાં ગેસની ઘનતામાં ફેરફાર તરફ દોરી શકતો નથી. તદનુસાર, (1.3) માંથી આપણે મેળવીએ છીએ: ચાલો સમીકરણની જમણી બાજુની અથડામણોને ધ્યાનમાં લઈએ (1.2). (a-priory). ચાલો dG પર એકીકરણ કરીએ: જ્યાં, દરેક ચલ , , Г પર એકીકરણ હાથ ધરવામાં આવતું હોવાથી, તેનો અર્થ એ છે કે ચલોને ફરીથી ડિઝાઇન કરી શકાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, બીજા અવિભાજ્યમાં) અને ઇન્ટિગ્રલ બદલાશે નહીં: |
ચાલો હવે વાયુઓના ગતિ સિદ્ધાંતના મૂળભૂત સમીકરણની વ્યુત્પત્તિ તરફ આગળ વધીએ - સમીકરણ જે વિતરણ કાર્ય નક્કી કરે છે.
જો પરમાણુઓની અથડામણને એકસાથે અવગણવામાં આવી શકે, તો દરેક ગેસ પરમાણુ બંધ સબસિસ્ટમનું પ્રતિનિધિત્વ કરશે અને લિઓવિલેનું પ્રમેય અણુઓના વિતરણ કાર્ય માટે માન્ય રહેશે, જે મુજબ
(જુઓ વી, § 3). અહીં કુલ વ્યુત્પન્નનો અર્થ થાય છે પરમાણુના તબક્કાના માર્ગ સાથે ભિન્નતા, તેના ગતિના સમીકરણો દ્વારા નિર્ધારિત. યાદ કરો કે લિયોવિલેનું પ્રમેય ફેઝ સ્પેસમાં ઘનતા તરીકે ચોક્કસ રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ વિતરણ કાર્ય માટે ધરાવે છે (એટલે કે, ચલોની જગ્યામાં કે જે સામાન્યીકૃત સામાન્ય કોઓર્ડિનેટ્સ અને મોમેન્ટા છે).
આ પરિસ્થિતિ દખલ કરતી નથી. અલબત્ત, હકીકત એ છે કે ફંક્શન f પોતે પછી અન્ય કોઈપણ ચલો દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે.
બાહ્ય ક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં, મુક્તપણે ફરતા પરમાણુના જથ્થાઓ Γ સ્થિર રહે છે અને માત્ર તેના કોઓર્ડિનેટ્સ બદલાય છે; જેમાં
જો ગેસ, ઉદાહરણ તરીકે, પરમાણુના જડતાના કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ પર કામ કરતા બાહ્ય ક્ષેત્રમાં હોય (કહો, ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં), તો પછી
ક્ષેત્રમાંથી પરમાણુ પર કામ કરતું બળ ક્યાં છે.
અથડામણોને ધ્યાનમાં લેવાથી સમાનતાનું ઉલ્લંઘન થાય છે (3.1); વિતરણ કાર્ય તબક્કાના માર્ગ સાથે સ્થિર થવાનું બંધ કરે છે. (3.1) ને બદલે આપણે લખવું જોઈએ
જ્યાં પ્રતીકનો અર્થ થાય છે અથડામણને કારણે વિતરણ કાર્યના ફેરફારનો દર: તબક્કાના જથ્થામાં પરમાણુઓની સંખ્યામાં અથડામણને કારણે એકમ સમય દીઠ ફેરફાર થાય છે
સમીકરણ (3.4) (માંથી (3.2)) તબક્કા અવકાશમાં આપેલ બિંદુએ વિતરણ કાર્યમાં કુલ ફેરફાર નક્કી કરે છે; આ શબ્દ ફેઝ સ્પેસના આપેલ તત્વમાં પરમાણુઓની સંખ્યામાં ઘટાડો (1 સેમાં) છે, જે તેમની મુક્ત હિલચાલ સાથે સંકળાયેલ છે.
જથ્થાને અથડામણ અભિન્ન કહેવામાં આવે છે, અને સ્વરૂપના સમીકરણો (3.4) સામાન્ય રીતે ગતિ સમીકરણો કહેવાય છે. અલબત્ત, ગતિ સમીકરણ અથડામણના અભિન્ન સ્વરૂપને સ્થાપિત કર્યા પછી જ વાસ્તવિક અર્થ પ્રાપ્ત કરે છે. હવે આપણે આ મુદ્દા તરફ વળીશું.
જ્યારે બે પરમાણુઓ અથડાય છે, ત્યારે તેમના મૂલ્યોના મૂલ્યો Γ બદલાય છે. તેથી, પરમાણુ દ્વારા અનુભવાતી દરેક અથડામણ તેને આપેલ અંતરાલમાંથી બહાર લઈ જાય છે.
તમામ સંભવિત મૂલ્યો સાથે સંક્રમણો સાથે અથડામણની કુલ સંખ્યા; આપેલ Γ માટે વોલ્યુમ dV માં એકમ સમય દીઠ થાય છે તે અવિભાજ્ય સમાન છે
જો કે, આવી અથડામણો ("આગમન") પણ થાય છે, જેના પરિણામે જે પરમાણુઓ શરૂઆતમાં આપેલ અંતરાલની બહાર પડેલા Γ ના મૂલ્યોના મૂલ્યો ધરાવતા હતા તે આ અંતરાલમાં આવે છે. આ આપેલ G માટે શક્ય તમામ સાથે ફરીથી સંક્રમણો સાથેની અથડામણો છે. આવી અથડામણની કુલ સંખ્યા (વોલ્યુમ ડીવીમાં એકમ સમય દીઠ) બરાબર છે
આગમનની ક્રિયાઓની સંખ્યામાંથી પ્રસ્થાનના કૃત્યોની સંખ્યાને બાદ કરતાં, આપણે શોધીએ છીએ કે તમામ અથડામણના પરિણામે પ્રશ્નમાં પરમાણુઓની સંખ્યામાં 1 સેકન્ડનો વધારો થાય છે.
જ્યાં સંક્ષિપ્તતા માટે આપણે સૂચવીએ છીએ
આમ, અમે અથડામણના અભિન્ન માટે નીચેની અભિવ્યક્તિ શોધીએ છીએ:
ઇન્ટિગ્રેન્ડમાં બીજા ટર્મમાં, એકીકરણ માત્ર ફંક્શન w પર લાગુ થાય છે; પરિબળો આ ચલો પર આધારિત નથી. તેથી, અભિન્નતાના આ ભાગને એકતા સંબંધનો ઉપયોગ કરીને રૂપાંતરિત કરી શકાય છે (2.9). પરિણામે, અથડામણ અભિન્ન સ્વરૂપ લે છે
જેમાં બંને પદો સમાન ગુણાંક સાથે દાખલ થાય છે.
અથડામણના અભિન્ન સ્વરૂપની સ્થાપના કર્યા પછી, અમને ગતિ સમીકરણ લખવાની તક મળી.
આ એકીકૃત-વિભેદક સમીકરણને બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણ પણ કહેવામાં આવે છે. તે સૌપ્રથમ 1872 માં ગતિ સિદ્ધાંતના સ્થાપક, લુડવિગ બોલ્ટ્ઝમેન દ્વારા સ્થાપિત કરવામાં આવ્યું હતું.
સંતુલન આંકડાકીય વિતરણે ગતિ સમીકરણને સમાન રીતે સંતોષવું જોઈએ. આ શરત ખરેખર પૂરી થઈ છે. સંતુલન વિતરણ સ્થિર છે અને (બાહ્ય ક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં) સજાતીય છે; તેથી સમીકરણની ડાબી બાજુ (3.8) સમાન રીતે અદૃશ્ય થઈ જાય છે. અથડામણ ઇન્ટિગ્રલ પણ શૂન્યની બરાબર છે: સમાનતા (2.5) ના આધારે, ઇન્ટિગ્રેન્ડ શૂન્ય બને છે. અલબત્ત, બાહ્ય ક્ષેત્રમાં ગેસનું સંતુલન વિતરણ પણ ગતિ સમીકરણને સંતોષે છે. તે યાદ રાખવું પૂરતું છે કે ગતિ સમીકરણની ડાબી બાજુ એ કુલ વ્યુત્પન્ન df/dt છે, જે માત્ર ગતિના અભિન્ન ઘટકોના આધારે કોઈપણ કાર્ય માટે સમાનરૂપે અદૃશ્ય થઈ જાય છે; સંતુલન વિતરણ માત્ર ગતિના અભિન્ન અંગ દ્વારા વ્યક્ત થાય છે - પરમાણુની કુલ ઊર્જા.
પ્રસ્તુત ગતિ સમીકરણની વ્યુત્પત્તિમાં, પરમાણુઓની અથડામણને અવકાશમાં એક બિંદુએ બનતી તાત્કાલિક ઘટનાઓ તરીકે આવશ્યકપણે ગણવામાં આવી હતી. તેથી તે સ્પષ્ટ છે કે ગતિ સમીકરણ, સૈદ્ધાંતિક રીતે, અથડામણના સમયગાળાની તુલનામાં મોટા હોય તેવા સમયના અંતરાલોમાં અને અથડામણના ક્ષેત્રના કદની તુલનામાં મોટા અંતર પર વિતરણ કાર્યમાં ફેરફારનું નિરીક્ષણ કરવાની મંજૂરી આપે છે. . બાદમાં પરમાણુ દળો d ની ક્રિયાના ત્રિજ્યાના તીવ્રતાના ક્રમના છે (તેમના કદ સાથે સુસંગત તટસ્થ અણુઓ માટે); અથડામણનો સમય તીવ્રતાના ક્રમનો છે. આ મૂલ્યો અંતર અને અવધિની નીચી મર્યાદા સ્થાપિત કરે છે, જેની વિચારણા ગતિ સમીકરણ દ્વારા માન્ય છે (આપણે § 16 માં આ પ્રતિબંધોના મૂળ પર પાછા આવીશું). પરંતુ વાસ્તવમાં, સિસ્ટમના વર્તનના આવા વિગતવાર વર્ણન માટે સામાન્ય રીતે કોઈ જરૂર (અથવા શક્યતા પણ) હોતી નથી; આ માટે, ખાસ કરીને, પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ (ગેસના અણુઓનું અવકાશી વિતરણ) સમાન ચોકસાઈ સાથે સ્પષ્ટ કરવાની જરૂર પડશે, જે વ્યવહારીક રીતે અશક્ય છે. વાસ્તવિક ભૌતિક પ્રશ્નોમાં, સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ દ્વારા સિસ્ટમ પર લાદવામાં આવેલ લંબાઈ L અને સમય T ના લાક્ષણિક પરિમાણો હોય છે (ગેસના મેક્રોસ્કોપિક જથ્થાના ગ્રેડિએન્ટ્સની લાક્ષણિક લંબાઈ, તેમાં પ્રસરી રહેલા ધ્વનિ તરંગોની લંબાઈ અને અવધિ વગેરે. ). આવી સમસ્યાઓમાં, ફક્ત આ L અને T ની સરખામણીમાં નાનું હોય તેવા અંતર અને સમયે સિસ્ટમની વર્તણૂક પર દેખરેખ રાખવા માટે તે પૂરતું છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વોલ્યુમ અને સમયના ભૌતિક રીતે અનંત તત્વો માત્ર L અને તેની સરખામણીમાં નાના હોવા જોઈએ. ટી. સમસ્યાની પ્રારંભિક સ્થિતિઓ પણ આવા તત્વો પર સરેરાશ તરીકે નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે.
મોનોટોમિક ગેસ માટે, જથ્થાઓ Γ ને અણુ વેગના ત્રણ ઘટકોમાં ઘટાડવામાં આવે છે, અને (2.8) અનુસાર અથડામણ ઇન્ટિગ્રલમાં ફંક્શન w ને ફંક્શન દ્વારા બદલી શકાય છે.
પછી જુઓ (2.2%) અનુસાર વિભેદક અથડામણ ક્રોસ વિભાગ દ્વારા આ કાર્યને વ્યક્ત કર્યા પછી, અમે મેળવીએ છીએ
તેનું કાર્ય અને (2.2) અનુસાર નિર્ધારિત ક્રોસ સેક્શનમાં વેગ અને ઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમોને વ્યક્ત કરતા -કાર્યકારી પરિબળો છે, જેના કારણે ચલો (આપેલ માટે) હકીકતમાં સ્વતંત્ર નથી. પરંતુ અથડામણ ઇન્ટિગ્રલ ફોર્મ (3.9) માં વ્યક્ત થયા પછી, અમે ધારી શકીએ કે આ -ફંક્શન્સ અનુરૂપ એકીકરણ દ્વારા પહેલાથી જ દૂર કરવામાં આવ્યા છે; પછી સામાન્ય સ્કેટરિંગ ક્રોસ સેક્શન હશે, જે ફક્ત સ્કેટરિંગ એંગલ પર આધાર રાખીને (આપેલ IR માટે) હશે.
બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણ
લુડવિગ બોલ્ટ્ઝમેન, ઑસ્ટ્રિયન સૈદ્ધાંતિક ભૌતિકશાસ્ત્રી, ઑસ્ટ્રિયન એકેડેમી ઑફ સાયન્સના સભ્ય, ક્લાસિકલ ગતિ સિદ્ધાંતના સ્થાપકોમાંના એક.
ચાલો આપણે બે વાયુઓને સંપર્કમાં લાવીએ, જે પરમાણુઓની અનુવાદીય ગતિની ગતિ ઊર્જાના સરેરાશ મૂલ્યોમાં ભિન્ન હોય છે. (W 1 >ડબલ્યુ 2). પછી, એકબીજાને ભગાડતા, તેમના પરમાણુઓ ઊર્જાનું વિનિમય કરવાનું શરૂ કરશે. થોડા સમય પછી, બંને વાયુઓની ગતિ શક્તિ સમાન હશે (ડબલ્યુ).વાયુઓ એક રાજ્યમાં આવશે ઊર્જા સંતુલનઅને પરમાણુઓની સતત અથડામણ છતાં એક ગેસમાંથી બીજા ગેસમાં એનર્જીનું ટ્રાન્સફર બંધ થઈ જશે.
ચાલો હવે ધ્યાનમાં લઈએ કે તાપમાન T 1 અને T 2 ધરાવતા બે અલગ-અલગ રીતે ગરમ થયેલા વાયુઓ જ્યારે સંપર્કમાં આવે ત્યારે સમાન રીતે વર્તે છે. > ટી 1 . તેમાંથી એક ગરમ થાય છે, અન્ય ઠંડુ થાય છે, અને થોડા સમય પછી તેમનું તાપમાન સમાન (ટી) થઈ જાય છે. વાયુઓ રાજ્યમાં આવે છે થર્મલ સંતુલનઅને ગરમીનું વિનિમય અટકે છે. ચાલો આકૃતિ સાથે શું કહેવામાં આવ્યું છે તે સમજાવીએ.
તેથી, ડબલ્યુઅને ટીબરાબર એ જ રીતે વર્તે છે: જ્યારે વાયુઓ સંપર્કમાં આવે છે, ત્યારે આ બંને લાક્ષણિકતાઓ એક જ રીતે બદલાય છે અને પછી તેની સરખામણી કરવામાં આવે છે, જે ઊર્જા અથવા થર્મલ સંતુલનની સ્થિતિને અનુરૂપ છે. સખત ગણતરીઓ બતાવે છે તેમ, આ લાક્ષણિકતાઓ પ્રમાણસર સંબંધ દ્વારા એકબીજા સાથે સંબંધિત છે: ટી ~ ડબલ્યુ.
ગેસનું તાપમાન તેના પરમાણુઓની ગતિ ઊર્જા દ્વારા માપવાનું પણ શક્ય બનશે. જો કે, આ અસુવિધાજનક હશે, ત્યારથી તે જ્યુલ્સમાં તાપમાન માપવા માટે જરૂરી રહેશે, જે, પ્રથમ, અસામાન્ય છે અને, બીજું, તાપમાનને ખૂબ ઓછી સંખ્યામાં વ્યક્ત કરશે. ઉદાહરણ તરીકે, 273 K બરાબર બરફનું ગલન તાપમાન 5.7 10 -21 Lz તરીકે દર્શાવવામાં આવશે. સામાન્ય કેલ્વિન પર તાપમાન જાળવવા (અથવા °C),સ્વીકારવા માટે સૌથી અનુકૂળ
પરિમાણીય પરિબળ ક્યાં છે k ([k] - J/K) K ના એકમોમાં તાપમાન માપન પ્રદાન કરે છે, અને સંખ્યાત્મક ગુણાંક 2/3 રજૂ કરવામાં આવે છે કારણ કે તે ડબલ્યુ થીક્લોસિયસ સમીકરણમાં. આ રીતે માપવામાં આવેલ તાપમાન દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવશે ટીઅને કૉલ કરો થર્મોડાયનેમિક તાપમાન:
છેલ્લા અભિવ્યક્તિ પરથી તે અનુસરે છે બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણ:
જ્યાં k = 1.38 10 -23 J/K એ બોલ્ટ્ઝમેનનું સ્થિરાંક છે (તેનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય સૈદ્ધાંતિક રીતે પછીથી મેળવવામાં આવશે). શૂન્ય થર્મોડાયનેમિક તાપમાન (0 K) નો ભૌતિક અર્થ બોલ્ટ્ઝમેન સમીકરણ પરથી થાય છે: ટી= 0 હશે W k = 0,તે શૂન્ય કેલ્વિન પર, પરમાણુઓની હિલચાલ અટકી જાય છે (એટલે કે થર્મલ મૂવમેન્ટ).
