ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ. કાર્યાત્મક સમીકરણો

સ્પર્શક એ સીધી રેખા છે , જે એક બિંદુ પર ફંક્શનના ગ્રાફને સ્પર્શે છે અને જેનાં તમામ બિંદુઓ ફંક્શનના ગ્રાફથી સૌથી ઓછા અંતરે છે. તેથી, સ્પર્શક ચોક્કસ ખૂણા પર ફંક્શનના ગ્રાફ પર સ્પર્શકને પસાર કરે છે અને જુદા જુદા ખૂણા પરની કેટલીક સ્પર્શક સ્પર્શક બિંદુમાંથી પસાર થઈ શકતી નથી. સ્પર્શક સમીકરણો અને ફંક્શનના ગ્રાફના સામાન્ય સમીકરણો વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે.

સ્પર્શક સમીકરણ રેખા સમીકરણ પરથી ઉતરી આવ્યું છે .

ચાલો સ્પર્શકનું સમીકરણ મેળવીએ અને પછી ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સામાન્યનું સમીકરણ મેળવીએ.

y = kx + b .

તેમાં k- કોણીય ગુણાંક.

અહીંથી અમને નીચેની એન્ટ્રી મળે છે:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

વ્યુત્પન્ન મૂલ્ય f "(x 0 ) કાર્યો y = f(x) બિંદુ પર x0 ઢાળ સમાન k= tg φ બિંદુ દ્વારા દોરવામાં આવેલ ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક એમ0 (x 0 , y 0 ) , ક્યાં y0 = f(x 0 ) . આ છે વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ .

આમ, અમે બદલી શકીએ છીએ kચાલુ f "(x 0 ) અને નીચેના મેળવો ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે સ્પર્શકનું સમીકરણ :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

ફંક્શનના આલેખમાં સ્પર્શકના સમીકરણને કંપોઝ કરતી સમસ્યાઓમાં (અને અમે ટૂંક સમયમાં તેના પર આગળ વધીશું), ઉપરોક્ત સૂત્રમાંથી મેળવેલા સમીકરણને ઘટાડવું જરૂરી છે. સામાન્ય સ્વરૂપમાં સીધી રેખાનું સમીકરણ. આ કરવા માટે, તમારે બધા અક્ષરો અને સંખ્યાઓને સમીકરણની ડાબી બાજુએ ખસેડવાની જરૂર છે, અને જમણી બાજુએ શૂન્ય છોડો.

હવે સામાન્ય સમીકરણ વિશે. સામાન્ય - આ એક સીધી રેખા છે જે સ્પર્શેન્દ્રિયના બિંદુથી સ્પર્શકને લંબરૂપ કાર્યના ગ્રાફ સુધી પસાર કરે છે. સામાન્ય સમીકરણ :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

ગરમ કરવા માટે, તમને પ્રથમ ઉદાહરણ જાતે ઉકેલવા માટે કહેવામાં આવે છે, અને પછી ઉકેલ જુઓ. આશા રાખવાનું દરેક કારણ છે કે આ કાર્ય અમારા વાચકો માટે "ઠંડુ ફુવારો" બનશે નહીં.

ઉદાહરણ 0.એક બિંદુ પર કાર્યના ગ્રાફ માટે સ્પર્શક સમીકરણ અને સામાન્ય સમીકરણ બનાવો એમ (1, 1) .

ઉદાહરણ 1.ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સ્પર્શક સમીકરણ અને સામાન્ય સમીકરણ લખો , જો abscissa સ્પર્શક છે.

ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

હવે આપણી પાસે તે બધું છે જેને સ્પર્શક સમીકરણ મેળવવા માટે સૈદ્ધાંતિક મદદમાં આપેલી એન્ટ્રીમાં બદલવાની જરૂર છે. અમને મળે છે

આ ઉદાહરણમાં, અમે નસીબદાર હતા: ઢાળ ગુણાંક શૂન્ય હોવાનું બહાર આવ્યું છે, તેથી સમીકરણને તેના સામાન્ય સ્વરૂપમાં અલગથી લાવવાની જરૂર નથી. હવે આપણે સામાન્ય સમીકરણ બનાવી શકીએ છીએ:

નીચેની આકૃતિમાં: કાર્યનો આલેખ બર્ગન્ડીનો દારૂ છે, સ્પર્શક લીલો છે, સામાન્ય નારંગી છે.

આગળનું ઉદાહરણ પણ જટિલ નથી: ફંક્શન, પાછલા એકની જેમ, બહુપદી પણ છે, પરંતુ ઢાળ શૂન્યની બરાબર નહીં હોય, તેથી વધુ એક પગલું ઉમેરવામાં આવશે - સમીકરણને સામાન્ય સ્વરૂપમાં લાવવું.

ઉદાહરણ 2.

ઉકેલ. ચાલો સ્પર્શ બિંદુનું ઓર્ડિનેટ શોધીએ:

ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

.

ચાલો સ્પર્શના બિંદુ પર વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય શોધીએ, એટલે કે, સ્પર્શકનો ઢોળાવ:

અમે તમામ મેળવેલા ડેટાને "ખાલી ફોર્મ્યુલા" માં બદલીએ છીએ અને સ્પર્શક સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

અમે સમીકરણને તેના સામાન્ય સ્વરૂપમાં લાવીએ છીએ (અમે ડાબી બાજુએ શૂન્ય સિવાયના બધા અક્ષરો અને સંખ્યાઓ એકત્રિત કરીએ છીએ, અને જમણી બાજુએ શૂન્ય છોડીએ છીએ):

અમે સામાન્ય સમીકરણ બનાવીએ છીએ:

ઉદાહરણ 3.જો abscissa સ્પર્શ બિંદુ હોય તો ફંક્શનના ગ્રાફ પર સ્પર્શક સમીકરણ અને સામાન્ય સમીકરણ લખો.

ઉકેલ. ચાલો સ્પર્શ બિંદુનું ઓર્ડિનેટ શોધીએ:

ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

.

ચાલો સ્પર્શના બિંદુ પર વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય શોધીએ, એટલે કે, સ્પર્શકનો ઢોળાવ:

.

અમે સ્પર્શક સમીકરણ શોધીએ છીએ:

સમીકરણને તેના સામાન્ય સ્વરૂપમાં લાવતા પહેલા, તમારે તેને થોડું "કાંસકો" કરવાની જરૂર છે: પદ દ્વારા પદને 4 વડે ગુણાકાર કરો. અમે આ કરીએ છીએ અને સમીકરણને તેના સામાન્ય સ્વરૂપમાં લાવીએ છીએ:

અમે સામાન્ય સમીકરણ બનાવીએ છીએ:

ઉદાહરણ 4.જો abscissa સ્પર્શ બિંદુ હોય તો ફંક્શનના ગ્રાફ પર સ્પર્શક સમીકરણ અને સામાન્ય સમીકરણ લખો.

ઉકેલ. ચાલો સ્પર્શ બિંદુનું ઓર્ડિનેટ શોધીએ:

.

ચાલો ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

ચાલો સ્પર્શના બિંદુ પર વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય શોધીએ, એટલે કે, સ્પર્શકનો ઢોળાવ:

.

અમને સ્પર્શક સમીકરણ મળે છે:

અમે સમીકરણને તેના સામાન્ય સ્વરૂપમાં લાવીએ છીએ:

અમે સામાન્ય સમીકરણ બનાવીએ છીએ:

સ્પર્શક અને સામાન્ય સમીકરણો લખતી વખતે એક સામાન્ય ભૂલ એ નોંધવું નથી કે ઉદાહરણમાં આપેલ કાર્ય જટિલ છે અને તેના વ્યુત્પન્નને સાદા ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન તરીકે ગણવામાં આવે છે. નીચેના ઉદાહરણો પહેલેથી જ છે જટિલ કાર્યો(સંબંધિત પાઠ નવી વિંડોમાં ખુલશે).

ઉદાહરણ 5.જો abscissa સ્પર્શ બિંદુ હોય તો ફંક્શનના ગ્રાફ પર સ્પર્શક સમીકરણ અને સામાન્ય સમીકરણ લખો.

ઉકેલ. ચાલો સ્પર્શ બિંદુનું ઓર્ડિનેટ શોધીએ:

ધ્યાન આપો! આ કાર્ય જટિલ છે, કારણ કે સ્પર્શક દલીલ (2 x) પોતે એક કાર્ય છે. તેથી, આપણે એક જટિલ કાર્યના વ્યુત્પન્ન તરીકે કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ.

તેથી, પ્રથમ કરતાં ઊંચા ક્રમના સમીકરણને નીચલા ક્રમના સમીકરણમાં ઘટાડવાની કુદરતી ઇચ્છા છે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં આ કરી શકાય છે. ચાલો તેમને જોઈએ.

1. ફોર્મ y (n) =f(x) ના સમીકરણો અનુક્રમિક એકીકરણ n વખત દ્વારા ઉકેલવામાં આવે છે
, ,… .
ઉદાહરણ. સમીકરણ xy""=1 ઉકેલો. તેથી, આપણે y"=ln|x| + C 1 લખી શકીએ છીએ અને, ફરીથી એકીકૃત કરીએ છીએ, આખરે આપણને y=∫ln|x| + C 1 x + C 2 મળે છે.

2. ફોર્મના સમીકરણોમાં F(x,y (k) ,y (k +1) ,..,y (n))=0 (એટલે ​​​​કે, સ્પષ્ટપણે અજાણ્યા કાર્ય અને તેના કેટલાક ડેરિવેટિવ્સ સમાવિષ્ટ નથી), વેરિયેબલ y (k) = z(x) ને બદલીને ક્રમમાં ઘટાડો થાય છે. પછી y (k +1) =z"(x),...,y (n) = z (n - k) (x) અને આપણને F(x,z,z",..,z સમીકરણ મળે છે. (n - k)) ઓર્ડર n-k. તેનું સોલ્યુશન ફંક્શન z = φ(x,C 1 ,C 2 ,…,C n) છે અથવા, z શું છે તે યાદ રાખીને, આપણે સમીકરણ y (n- k) = φ(x,C 1 ,C 2) મેળવીએ છીએ. …, C n - k) પ્રકાર 1 ના કિસ્સામાં ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ 1. સમીકરણ x 2 y"" = (y") 2 ઉકેલો. y"=z(x) બદલો. પછી y""=z"(x). મૂળ સમીકરણમાં અવેજીમાં, આપણને x 2 z"=z 2 મળે છે. ચલોને અલગ કરવાથી, આપણને મળે છે. સંકલન, અમારી પાસે છે , અથવા, જે સમાન છે, . છેલ્લો સંબંધ ક્યાંથી ફોર્મમાં લખાયેલો છે. સંકલન, અમે આખરે મેળવીએ છીએ
ઉદાહરણ 2. સમીકરણ x 3 y"" +x 2 y"=1 ઉકેલો. અમે ચલોમાં ફેરફાર કરીએ છીએ: y"=z; y""=z"
x 3 z"+x 2 z=1. અમે ચલોમાં ફેરફાર કરીએ છીએ: z=u/x; z"=(u"x-u)/x 2
x 3 (u"x-u)/x 2 +x 2 u/x=1 અથવા u"x 2 -xu+xu=1 અથવા u"x^2=1. તરફથી: u"=1/x 2 અથવા du/ dx=1/x 2 અથવા u = int(dx/x 2) = -1/x+c 1
ત્યારથી z=u/x, પછી z = -1/x 2 +c 1 /x. y"=z થી, પછી dy/dx=-1/x 2 +c 1 /x
y = int(c 1 dx/x-dx/x 2) =c 1 ln(x) + 1/x + c 2. જવાબ: y = c 1 ln(x) + 1/x + c 2

3. આગામી સમીકરણ જે ક્રમમાં ઘટાડી શકાય છે તે ફોર્મ F(y,y",y"",…,y (n))=0નું સમીકરણ છે, જેમાં સ્પષ્ટપણે સ્વતંત્ર ચલ સમાવિષ્ટ નથી. ચલ y" =p(y) ને બદલીને સમીકરણ ઘટાડવામાં આવે છે, જ્યાં p એ y પર આધાર રાખીને નવું ઇચ્છિત કાર્ય છે. પછી
= અને તેથી વધુ. ઇન્ડક્શન દ્વારા આપણી પાસે y (n) =φ(p,p",..,p (n-1)) છે. મૂળ સમીકરણમાં સ્થાનાંતરિત કરીને, આપણે તેનો ક્રમ એકથી ઓછો કરીએ છીએ.

ઉદાહરણ. સમીકરણ (y") 2 +2yy""=0 ઉકેલો. અમે માનક બદલીએ છીએ y"=p(y), પછી y″=p′·p. સમીકરણમાં અવેજીમાં, આપણને મળે છે ચલોને અલગ કરીને, p≠0 માટે, આપણી પાસે એકીકરણ છે અથવા, જે સમાન વસ્તુ છે, . પછી અથવા. છેલ્લી સમાનતાને એકીકૃત કરીને, આપણે આખરે મેળવીએ છીએ ચલોને અલગ કરતી વખતે, આપણે ઉકેલ y=C ગુમાવી શકીએ છીએ, જે p=0 માટે મેળવવામાં આવે છે, અથવા, y"=0 માટે સમાન શું છે, પરંતુ તે ઉપર મેળવેલ એકમાં સમાયેલું છે.

4. કેટલીકવાર એવું લક્ષણ જોવાનું શક્ય બને છે જે તમને સમીકરણના ક્રમને ઉપરની ચર્ચા કરતા અલગ રીતે ઘટાડવાની મંજૂરી આપે છે. ચાલો આને ઉદાહરણો સાથે બતાવીએ.

ઉદાહરણો.
1. જો સમીકરણની બંને બાજુઓ yy"""=y′y″ ને yy″ વડે વિભાજિત કરવામાં આવે, તો આપણે એક સમીકરણ મેળવીએ છીએ જેને (lny″)′=(lny)′ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે. છેલ્લા સંબંધથી તે અનુસરે છે lny″=lny +lnC, અથવા, જે સમાન છે, y″=Cy પરિણામ એ એક સમીકરણ છે જે પહેલા ચર્ચા કરેલ છે.
2. એ જ રીતે, સમીકરણ yy″=y′(y′+1) માટે આપણી પાસે છે, અથવા (ln(y"+1))" = (lny)." છેલ્લા સંબંધથી તે ln(y"+ને અનુસરે છે. 1) = lny + lnC 1, અથવા y"=C 1 y-1. ચલોને અલગ કરીને અને એકીકરણ કરીએ તો, આપણને ln(C 1 y-1) = C 1 x+C 2 મળે છે.
નક્કી કરો સમીકરણો કે જે ક્રમમાં ઘટાડી શકાય છેવિશેષ સેવાનો ઉપયોગ કરીને શક્ય છે

ફંકશન f આપવા દો, જે અમુક બિંદુએ x 0 પાસે મર્યાદિત વ્યુત્પન્ન f (x 0) છે. પછી બિંદુ (x 0 ; f (x 0))માંથી પસાર થતી સીધી રેખા, કોણીય ગુણાંક f’ (x 0) ધરાવે છે, તેને સ્પર્શક કહેવાય છે.

જો વ્યુત્પન્ન બિંદુ x 0 પર અસ્તિત્વમાં ન હોય તો શું થશે? ત્યાં બે વિકલ્પો છે:

1. ગ્રાફમાં પણ કોઈ સ્પર્શક નથી. ઉત્તમ ઉદાહરણ ફંક્શન y = |x | છે બિંદુ પર (0; 0).
2. સ્પર્શક ઊભી બને છે. આ સાચું છે, ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ (1; π /2) પર કાર્ય y = arcsin x માટે.

સ્પર્શક સમીકરણ

કોઈપણ બિન-ઊભી સીધી રેખા ફોર્મ y = kx + b ના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં k એ ઢોળાવ છે. સ્પર્શક કોઈ અપવાદ નથી, અને અમુક બિંદુ x 0 પર તેનું સમીકરણ બનાવવા માટે, આ બિંદુએ ફંક્શન અને ડેરિવેટિવનું મૂલ્ય જાણવું પૂરતું છે.

તેથી, એક ફંક્શન y = f (x) આપવા દો, જે સેગમેન્ટ પર વ્યુત્પન્ન y = f’ (x) ધરાવે છે. પછી કોઈપણ બિંદુએ x 0 ∈ (a ; b) એક સ્પર્શકને આ ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરી શકાય છે, જે સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:

y = f’ (x 0) (x − x 0) + f (x 0)

અહીં f’ (x 0) એ બિંદુ x 0 પર વ્યુત્પન્નની કિંમત છે, અને f (x 0) એ ફંક્શનની જ કિંમત છે.

કાર્ય. ફંક્શન y = x 3 આપેલ છે. બિંદુ x 0 = 2 પર આ ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સ્પર્શક માટે સમીકરણ લખો.

સ્પર્શક સમીકરણ: y = f’ (x 0) · (x − x 0) + f (x 0). બિંદુ x 0 = 2 આપણને આપવામાં આવ્યો છે, પરંતુ મૂલ્યો f (x 0) અને f’ (x 0) ની ગણતરી કરવી પડશે.

પ્રથમ, ચાલો ફંક્શનની કિંમત શોધીએ. અહીં બધું સરળ છે: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
હવે ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
અમે ડેરિવેટિવમાં x 0 = 2 ને બદલીએ છીએ: f’ (x 0) = f’ (2) = 3 2 2 = 12;
કુલ મળીને આપણને મળે છે: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
આ સ્પર્શક સમીકરણ છે.

કાર્ય. બિંદુ x 0 = π /2 પર ફંક્શન f (x) = 2sin x + 5 ના ગ્રાફના સ્પર્શક માટે સમીકરણ લખો.

આ વખતે અમે દરેક ક્રિયાનું વિગતવાર વર્ણન કરીશું નહીં - અમે ફક્ત મુખ્ય પગલાં સૂચવીશું. અમારી પાસે છે:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f’ (x 0) = f’ (π /2) = 2cos (π /2) = 0;

સ્પર્શક સમીકરણ:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

પછીના કિસ્સામાં, સીધી રેખા આડી હોવાનું બહાર આવ્યું છે, કારણ કે તેનો કોણીય ગુણાંક k = 0. આમાં કંઈ ખોટું નથી - અમે માત્ર એક અંતિમ બિંદુ પર ઠોકર ખાધી છે.

સમીકરણ આપવા દો f(x) = 0 . નંબર x આપેલ સમીકરણનું મૂળ કહેવામાં આવે છે જો, જ્યારે તેને સમીકરણમાં બદલવામાં આવે, ત્યારે તે તેને સમાનતામાં ફેરવે છે, એટલે કે f(x) = 0 . નંબર x કાર્યનું શૂન્ય કહેવાય છે f(x) ચોક્કસ ચોકસાઈ સાથે સમીકરણના મૂળ શોધવાને બે તબક્કામાં વિભાજિત કરી શકાય છે:

1) મૂળનું વિભાજન, એટલે કે, સમીકરણનું એક મૂળ ધરાવતા અંતરાલોની સ્થાપના;

2) આપેલ ચોકસાઈ સાથે પસંદ કરેલ અંતરાલ સાથે સંબંધિત મૂળની ગણતરી.

તે જાણીતું છે કે જો કાર્ય f(x) તે સતત છે અને સેગમેન્ટના છેડા પર લે છે [a, b] વિવિધ ચિહ્નોના અર્થો, એટલે કે f(a)× f(b)< 0 , તો પછી આ સેગમેન્ટની અંદર ફંક્શનનું શૂન્ય છે.

સમીકરણના મૂળને અલગ (અથવા સ્થાનિકીકરણ) કરવા f(x) = 0 વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં સતત કાર્ય માટે f(x) તમે કાર્ય મૂલ્યોનું કોષ્ટક બનાવી શકો છો y = f(x) દલીલ પરિવર્તનના ચોક્કસ અંતરાલ પર એક્સ . જો દલીલના કેટલાક સંલગ્ન મૂલ્યો માટે ફંક્શન મૂલ્યોમાં વિવિધ ચિહ્નો હોય, તો ફંક્શનનું શૂન્ય તેમની વચ્ચે સ્થિત છે.

સમીકરણ આપવા દો f(x) = 0 , જ્યાં કાર્ય f(x) સેગમેન્ટ પર સતત [a, b] અને f(a)× f(b)< 0 .આ સમીકરણના મૂળની ગણતરી કરવી
x ઓ[a, b] આ સેગમેન્ટની મધ્યમાં છે x 1 = 0.5(a+b) . જો f(x 1) ¹ 0 , પછી ગણતરીઓ ચાલુ રાખવા માટે, આ સેગમેન્ટના ભાગોમાંથી એક પસંદ કરો
[a, x 1] અથવા [x 1, b] , જેના અંતે કાર્ય f(x) વિરોધી ચિહ્નો છે. નવા સેગમેન્ટના છેડા દર્શાવેલ છે a 1 અને b 1 . નવો સેગમેન્ટ [a 1, b 1] ફરીથી અડધા ભાગમાં વિભાજિત અને ગણતરીઓ દર્શાવેલ યોજના અનુસાર કરવામાં આવે છે, અને તેથી વધુ. પરિણામ કાં તો અમુક તબક્કે આપેલ સમીકરણનું ચોક્કસ મૂળ અથવા નેસ્ટેડ સેગમેન્ટ્સનો ક્રમ છે [a, b] ,
[a 1, b 1] , … , [a n, b n] , ..., જેમ કે:

f(a n)× f(b n)< 0 , n =1, 2, …

નંબર x - સિક્વન્સની સામાન્ય મર્યાદા (a n) અને (bn) - સમીકરણનું મૂળ છે f(x) = 0 .

ઉકેલની ભૂલનો અંદાજ ચાલુ n -ગણતરીનું પગલું ફોર્મ ધરાવે છે.

2.2 સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિ

સમીકરણો અને અસમાનતા એ શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં પરંપરાગત વિષય છે, જે એક વિશાળ સ્થાન ધરાવે છે, નીચલા ગ્રેડથી, જ્યાં અંકગણિત કામગીરીના ગુણધર્મો પર આધારિત સિદ્ધાંતની રજૂઆત માટે સરળ સમીકરણો અને અસમાનતાઓ રજૂ કરવામાં આવે છે, અને વરિષ્ઠ સાથે સમાપ્ત થાય છે. ગ્રેડ, જ્યાં ગુણાતીત સમીકરણો ઉકેલાય છે.

સમીકરણો અને અસમાનતાઓ બીજગણિત ઉપકરણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જે ભાષામાં વિવિધ પ્રકારની સમસ્યાઓનું ભાષાંતર કરવામાં આવે છે, જેમાં લાગુ સમસ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે, અને તેમના ગાણિતિક મોડેલો બનાવવામાં આવે છે.

સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે કાર્યોની એકવિધતાનો ઉપયોગ કરવો.સૌથી વધુ વારંવાર આવતા વિચારોમાંથી એક નીચેની સરળ અસમાનતાને હલ કરીને સારી રીતે દર્શાવવામાં આવ્યું છે:

1. અસમાનતા ઉકેલો:.

ઉકેલ. ત્યાં બે પ્રમાણભૂત ઉકેલો છે: સ્ક્વેરિંગ (પૂરાવેલ
; જો
, અસમાનતા સંતુષ્ટ છે) અને અજ્ઞાતની બદલી
.

ચાલો બીજી પદ્ધતિ ધ્યાનમાં લઈએ - બિન-માનક. ડાબી બાજુ પર સ્થિત કાર્ય એકવિધ રીતે વધે છે, જ્યારે પ્રથમ ભાગમાં કાર્ય ઘટે છે. સ્પષ્ટ ગ્રાફિકલ વિચારણાઓ પરથી તે સમીકરણને અનુસરે છે
x 0 એ આ સમીકરણનો ઉકેલ છે, પછી ક્યારે
હશે, અને આ અસમાનતાનો ઉકેલ હશે
. અર્થ x 0 પસંદ કરવા માટે સરળ છે: x 0 = 1.

જવાબ આપો.
.

2. સમીકરણ ઉકેલો:
.

ઉકેલ. આ સમીકરણનો સ્પષ્ટ ઉકેલ છે x= 1. ચાલો સાબિત કરીએ કે અન્ય કોઈ ઉકેલો નથી. ચાલો બંને ભાગોને વડે વિભાજીત કરીએ , અમને મળે છે
. ડાબી બાજુ એકવિધ રીતે ઘટતું કાર્ય છે. પરિણામે, તે તેના દરેક મૂલ્યોને એકવાર લે છે, એટલે કે. આ સમીકરણનો એક અનોખો ઉકેલ છે.

જવાબ આપો. x = 1.

તેથી, મૂળભૂત વિચાર કે જેના પર આ બે ઉદાહરણોના ઉકેલો આધારિત હતા તે એકદમ સરળ છે: જો f(x) એકવિધ રીતે વધે છે, અને φ (x)એકવિધ રીતે ઘટે છે, પછી સમીકરણ f(x) = φ (x) વધુમાં વધુ એક ઉકેલ છે, અને જો x = x 0 એ આ સમીકરણનો ઉકેલ છે, પછી ક્યારે x > x 0 (x બંને કાર્યોના અવકાશમાં છે f(x) અને φ (x) ) કરશે f(x) > φ (x) , અને ક્યારે x x 0 હશે

f(x) φ (x) .

આ વિચારના એક ફેરફાર પર ધ્યાન આપવું યોગ્ય છે, એટલે કે: જો f(x) એકવિધ કાર્ય છે, પછી સમાનતામાંથી f(x) = f(y) તે તેને અનુસરે છે x = y .

3.સમીકરણ ઉકેલો:.

ઉકેલ . ચાલો સમીકરણ બદલીએ:

.

કાર્યને ધ્યાનમાં લો
.

ચાલો સાબિત કરીએ કે જ્યારે t > 1 આ કાર્ય એકવિધ રીતે ઘટે છે. આ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રમાણભૂત રીતે: વ્યુત્પન્ન શોધો

અને સાબિત કરો કે જ્યારે t > 1
. ચાલો બીજી રીત બતાવીએ:

.

પરિણામી કાર્ય દેખીતી રીતે ઘટી રહ્યું છે (આધાર વધે છે, લઘુગણકની નિશાની હેઠળ કાર્ય ઘટે છે).

આપણા સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: , જેનો અર્થ થાય છે. ડાબી બાજુએ વધતું કાર્ય છે, તેથી, ઉકેલ અનન્ય છે, તે પસંદગી દ્વારા સરળતાથી મળી શકે છે: x = 4.

જવાબ આપો. x = 4 .

ફોર્મના સમીકરણોf ( f ( x )) = x . આ પ્રકારના સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, નીચેનો પ્રમેય ઉપયોગી છે:

જો y = f(x) એ એકવિધ રીતે વધતું કાર્ય છે, તો સમીકરણો

f(x) = x(A)

f (f (x)) = x (બી)

સમકક્ષ.

પુરાવો. હકીકત એ છે કે સમીકરણ (B) સમીકરણ (A) નું પરિણામ છે તે સ્પષ્ટ છે: કોઈપણ મૂળ (A) સંતોષે છે (B). (જો

f (x 0 ) = x 0 , તે f (f (x 0 )) = f (x 0 ) = x 0.). ચાલો સાબિત કરીએ કે સમીકરણનું કોઈપણ મૂળ (B) સમીકરણ (A) ને સંતોષે છે. દો x 0 જેમ કે f (f (x 0 )) = x 0 .ધારો કે f (x 0 ) ≠ x 0 અને નિશ્ચિતતા માટે f (x 0 ) > x 0 પછી f (f (x 0 )) > f (x 0 ) > x 0, જે ધારણાનો વિરોધાભાસ કરે છે ( f (f (x 0 )) = x 0). પ્રમેય સાબિત થયો છે.

શું એકવિધ રીતે ઘટતા કાર્ય માટે પ્રમેય સાચું છે?

ટિપ્પણી.જો y = f (x) એકવિધ રીતે વધે છે, પછી કોઈપણ માટે kસમીકરણો
અને f (x) = x સમકક્ષ છે.

ચાલો આ પ્રમેયના ઉપયોગના કેટલાક ઉદાહરણો આપીએ.

1. સમીકરણ ઉકેલો:
.

ઉકેલ ચાલો સમીકરણ ફરીથી લખીએ
. કાર્યને ધ્યાનમાં લો
. આ કાર્ય એકવિધ રીતે વધે છે. આપણી પાસે સમીકરણ છે

f (f (x)) = x. પ્રમેય અનુસાર, અમે તેને સમકક્ષ સમીકરણ સાથે બદલીએ છીએ f (x) = x અથવા

જવાબ આપો.

2. સમીકરણ ઉકેલો:

.

ઉકેલ. ચાલો સમીકરણ બદલીએ:
.

આ સમીકરણ આના જેવું લાગે છે: f (f (x)) = x, જ્યાં
.

પ્રમેય મુજબ, આપણી પાસે સમાન સમીકરણ છે:
,

જવાબ આપો.
.

3. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:
.

ઉકેલ. ચાલો કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ. ત્યારથી

બધાની સામે t, તે f (t) વધે છે.

સિસ્ટમ પાસે ફોર્મ છે y = f (x), z = f (y), x = f (z), તે x = f (f (f (x))).

પ્રમેય મુજબ xસમીકરણને સંતોષે છે f (x) = x અથવા

જવાબ આપો.(0, 0, 0), (-1, -1, -1).

વિચારણા હેઠળના કાર્યોના આત્યંતિક ગુણધર્મોનો ઉપયોગ. રેટિંગ્સ.આ મુદ્દાના મુખ્ય વિચારો ઉદાહરણોમાંથી તદ્દન સ્પષ્ટપણે દૃશ્યમાન છે:

1. સમીકરણ ઉકેલો:
.

ઉકેલ. આ સમીકરણની ડાબી બાજુ 2 થી વધુ નથી, અને જમણી બાજુ 2 થી વધુ નથી. તેથી, સમાનતા ફક્ત ત્યારે જ થઈ શકે છે જો ડાબી અને જમણી બાજુ 2 ની બરાબર હોય, એટલે કે. x = 0.

ટિપ્પણી.આ પરિસ્થિતિ, જ્યારે સમીકરણના એક ભાગમાં સ્થિત ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય બીજા ભાગમાં સ્થિત ફંક્શનના સૌથી મોટા મૂલ્ય જેટલું હોય છે, ત્યારે તેને સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે. વધુ સામાન્ય કેસ ફોર્મના સમીકરણો છે f (x) = φ (x) , જેના માટે
બધા સ્વીકાર્ય માટે x(ઔપચારિક રીતે આપણે આ સમીકરણને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ છીએ

f (x) = φ (x) = 0, પરિણામે આપણે પહેલેથી જ ધ્યાનમાં લીધેલી પરિસ્થિતિ પર આવીએ છીએ, કારણ કે જમણી બાજુનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શૂન્ય છે).

2. સમીકરણ ઉકેલો:.

ચાલો સાબિત કરીએ કે આ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી. ચાલો પરિણામ તરફ આગળ વધીએ (સંભવિત):
.

ચાલો ભૌમિતિક સરેરાશ અને અંકગણિત સરેરાશ વચ્ચેની અસમાનતાના આધારે ડાબી બાજુનો અંદાજ લગાવીએ

:

તે ડાબી બાજુ જમણી બાજુ કરતા નાની છે. સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

જવાબ આપો.કોઈ ઉકેલ નથી.

3. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

ઉકેલ. ચાલો તે સાબિત કરીએ.

નિશ્ચિતતા માટે દો x 5 > x 4, પછી પ્રથમ બે સમીકરણોમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ, જેમાંથી
અને તેથી પણ વધુ. આગળ, ત્રીજા અને ચોથાથી આપણે મેળવીએ છીએ
અને તેથી પણ વધુ
. છેલ્લી જોડીમાંથી આપણે શોધીએ છીએ. પરિણામ એક વિરોધાભાસ છે (અને
, એટલે કે , પરંતુ એવું માનવામાં આવતું હતું
).

અર્થ,
, અહીંથી
વગેરે, બધા અજ્ઞાત એકબીજા માટે સમાન છે.

જવાબ આપો.(0, 0, 0, 0,0);
.

સમસ્યાઓ કે જે તેમની રચનામાં બિન-માનક છે અને તેમાં સમીકરણો અથવા અસમાનતા શામેલ છે.આ કેટેગરીમાં, ખાસ કરીને, તે સમસ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે જેમાં આપેલ સમીકરણના મૂળની સંખ્યા નક્કી કરવી, ચોક્કસ અંતરાલ પર મૂળનું અસ્તિત્વ સાબિત કરવું અને આપેલ અંતરાલ પર સમીકરણ અથવા અસમાનતાને હલ કરવી જરૂરી છે. ચાલો થોડા ઉદાહરણો જોઈએ.

1. તે સમીકરણ સાબિત કરો
એક સકારાત્મક છે નિર્ણય અને એક નકારાત્મક નિર્ણય.માં ગણિત શીખવવાની પદ્ધતિઓ સરેરાશ શાળા: પાઠ્યપુસ્તક. વિદ્યાર્થી માર્ગદર્શિકા...