સૂચનાઓ

તમને ત્રણ પોઈન્ટ આપવામાં આવ્યા છે. ચાલો તેમને (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) તરીકે દર્શાવીએ. એવું માનવામાં આવે છે કે આ બિંદુઓ કેટલાકના શિરોબિંદુઓ છે ત્રિકોણ. કાર્ય તેની બાજુઓના સમીકરણો બનાવવાનું છે - વધુ સ્પષ્ટ રીતે, તે રેખાઓના સમીકરણો જેના પર આ બાજુઓ રહેલી છે. આ સમીકરણો આના જેવા દેખાવા જોઈએ:
y = k1*x + b1;
y = k2*x + b2;
y = k3*x + b3 આમ, તમારે કોણીય મૂલ્યો k1, k2, k3 અને વિસ્થાપન b1, b2, b3 શોધવા પડશે.

બિંદુઓ (x1, y1), (x2, y2)માંથી પસાર થતી રેખા શોધો. જો x1 = x2, તો ઇચ્છિત રેખા ઊભી છે અને તેનું સમીકરણ x = x1 છે. જો y1 = y2, તો રેખા આડી છે અને તેનું સમીકરણ y = y1 છે. સામાન્ય રીતે, આ કોઓર્ડિનેટ્સ એકબીજાને અનુરૂપ રહેશે નહીં.

સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણમાં કોઓર્ડિનેટ્સ (x1, y1), (x2, y2) ને બદલીને, તમને બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે: k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2 એક સમીકરણને બીજામાંથી બાદ કરો અને k1 માટે પરિણામી સમીકરણ ઉકેલો: k1*(x2 - x1) = y2 - y1, તેથી k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).

તમને કોઈપણ મૂળ સમીકરણોમાં જે મળ્યું છે તેને બદલીને, b1 માટે અભિવ્યક્તિ શોધો:((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 કારણ કે આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે x2 ≠ x1, અમે y1 ને (x2 - x1)/(x2 - x1) વડે ગુણાકાર કરીને અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવી શકીએ છીએ. પછી b1 માટે તમને નીચેની અભિવ્યક્તિ મળશે: b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).

તપાસો કે આપેલ પોઈન્ટનો ત્રીજો ભાગ મળેલી રેખા પર છે કે નહીં. આ કરવા માટે, પરિણામી સમીકરણમાં (x3, y3) ને અવેજી કરો અને જુઓ કે સમાનતા ધરાવે છે કે નહીં. જો તે અવલોકન કરવામાં આવે છે, તેથી, ત્રણેય બિંદુઓ એક જ રેખા પર આવેલા છે, અને ત્રિકોણ એક સેગમેન્ટમાં અધોગતિ કરે છે.

ઉપર વર્ણવ્યા પ્રમાણે તે જ રીતે, બિંદુઓ (x2, y2), (x3, y3) અને (x1, y1), (x3, y3)માંથી પસાર થતી રેખાઓ માટે સમીકરણો મેળવો.

શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા આપવામાં આવેલ ત્રિકોણની બાજુઓ માટેના સમીકરણોનું અંતિમ સ્વરૂપ છે: (1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1 );
(2) y = ((y3 - y2)*x + (x2*y3 - x3*y2))/(x3 - x2);
(3) y = ((y3 - y1)*x + (x1*y3 - x3*y1))/(x3 - x1).

શોધવા માટે સમીકરણો પક્ષો ત્રિકોણ, સૌ પ્રથમ, આપણે પ્લેન પરની રેખાનું સમીકરણ કેવી રીતે શોધી શકાય તે પ્રશ્નનો ઉકેલ લાવવાનો પ્રયાસ કરવો જોઈએ જો તેની દિશા વેક્ટર s(m, n) અને રેખા સાથે જોડાયેલા કેટલાક બિંદુ M0(x0, y0) જાણીતા હોય.

સૂચનાઓ

એક મનસ્વી (ચલ, ફ્લોટિંગ) બિંદુ М(x, y) લો અને વેક્ટર М0M =(x-x0, y-y0) બનાવો (M0M(x-x0, y-y0) પણ લખો), જે દેખીતી રીતે સમરેખા હશે k s દ્વારા (સમાંતર) પછી, આપણે તારણ કાઢી શકીએ છીએ કે આ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ પ્રમાણસર છે, તેથી આપણે પ્રમાણભૂત સીધી રેખા બનાવી શકીએ છીએ: (x-x0)/m = (y-y0)/n. તે આ ગુણોત્તર છે જેનો ઉપયોગ સમસ્યાના ઉકેલ માટે કરવામાં આવશે.

આગળની બધી ક્રિયાઓ પદ્ધતિના આધારે નક્કી કરવામાં આવે છે .1લી પદ્ધતિ. ત્રિકોણ તેના ત્રણ શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે શાળા ભૂમિતિમાં તેના ત્રણની લંબાઈનો ઉલ્લેખ કરીને આપવામાં આવે છે. પક્ષો(ફિગ 1 જુઓ). એટલે કે, શરતમાં M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3) બિંદુઓ છે. તેઓ તેમના ત્રિજ્યા વેક્ટરને અનુરૂપ છે) OM1, 0M2 અને OM3 પોઈન્ટ જેવા સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે. મેળવવા માટે સમીકરણો પક્ષો s M1M2 ને તેના દિશા વેક્ટર M1M2=OM2 – OM1=M1M2(x2-x1, y2-y1) અને કોઈપણ બિંદુ M1 અથવા M2 (અહીં નીચલા અનુક્રમણિકા સાથેનો બિંદુ લેવામાં આવ્યો છે) ની જરૂર છે.

માટે ખૂબ પક્ષો y M1M2 રેખાનું પ્રામાણિક સમીકરણ (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). શુદ્ધ પ્રેરક અભિનય, અમે લખી શકીએ છીએ સમીકરણોબાકીના પક્ષો.માટે પક્ષો s М2М3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). માટે પક્ષો s М1М3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).

2જી પદ્ધતિ. ત્રિકોણને બે બિંદુઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (M1(x1, y1) અને M2(x2, y2) પહેલાના સમાન), તેમજ અન્ય બેની દિશાઓના એકમ વેક્ટર પક્ષો. માટે પક્ષો s M2M3: p^0(m1, n1). M1M3 માટે: q^0(m2, n2). તેથી માટે પક્ષો s M1M2 એ પ્રથમ પદ્ધતિની જેમ જ હશે: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).

માટે પક્ષો s М2М3 કેનોનિકલના બિંદુ (x0, y0) તરીકે સમીકરણો(x1, y1), અને દિશા વેક્ટર p^0(m1, n1) છે. માટે પક્ષો s M1M3, (x2, y2) બિંદુ (x0, y0) તરીકે લેવામાં આવે છે, દિશા વેક્ટર q^0(m2, n2) છે. આમ, M2M3 માટે: સમીકરણ (x-x1)/m1=(y-y1)/n1 M1M3 માટે: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.

વિષય પર વિડિઓ

ટીપ 3: જો બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ આપવામાં આવે તો ત્રિકોણની ઊંચાઈ કેવી રીતે શોધવી

ઊંચાઈ એ આકૃતિની ટોચને વિરુદ્ધ બાજુ સાથે જોડતો સીધો રેખા ભાગ છે. આ સેગમેન્ટ બાજુ પર લંબરૂપ હોવો જોઈએ, તેથી દરેક શિરોબિંદુમાંથી માત્ર એક જ દોરી શકાય છે ઊંચાઈ. આ આકૃતિમાં ત્રણ શિરોબિંદુઓ હોવાથી, ત્યાં સમાન સંખ્યામાં ઊંચાઈઓ છે. જો ત્રિકોણ તેના શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો દરેક ઊંચાઈની લંબાઈની ગણતરી કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, ક્ષેત્ર શોધવા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અને બાજુઓની લંબાઈની ગણતરી કરીને.

સૂચનાઓ

બાજુઓની લંબાઈની ગણતરી કરીને પ્રારંભ કરો ત્રિકોણ. નિયુક્ત કરો સંકલનઆના જેવા આંકડા: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) અને C(X₃,Y₃,Z₃). પછી તમે AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બાજુ AB ની લંબાઈની ગણતરી કરી શકો છો. અન્ય બે બાજુઓ માટે આ આના જેવો દેખાશે: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) અને AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁ -Y₃ )² + (Z₁-Z₃)²). ઉદાહરણ તરીકે, માટે ત્રિકોણકોઓર્ડિનેટ્સ A(3,5,7), B(16,14,19) અને C(1,2,13) ​​બાજુ AB ની લંબાઈ √((3-16)² + (5-14) હશે )² + (7 -19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19.85. BC અને AC ની બાજુઓની લંબાઈ, એ જ રીતે ગણવામાં આવે છે, √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20.12 અને √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7 હશે.

અગાઉના પગલામાં મેળવેલ ત્રણ બાજુઓની લંબાઈ જાણવી એ વિસ્તારની ગણતરી કરવા માટે પૂરતું છે ત્રિકોણ(S) હેરોનના સૂત્ર મુજબ: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). ઉદાહરણ તરીકે, કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી મેળવેલ મૂલ્યોને આ સૂત્રમાં બદલીને ત્રિકોણ-પાછલા પગલામાંથી નમૂના, આ મૂલ્ય આપશે: S = ¼*√((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20.12) * (19.85+20.12-7) ) = ¼*√(46.97 * 7.27 * 6.73 * 32.97) ≈ ¼*√75768.55 ≈ ¼*275.26 = 68.815 .

વિસ્તાર પર આધારિત છે ત્રિકોણ, અગાઉના પગલામાં ગણતરી કરેલ, અને બીજા પગલામાં મેળવેલ બાજુઓની લંબાઈ, દરેક બાજુઓ માટે ઊંચાઈની ગણતરી કરો. ક્ષેત્રફળ ઊંચાઈના અડધા ગુણાંક અને જે બાજુએ દોરવામાં આવે છે તેની લંબાઈ જેટલો હોવાથી, ઊંચાઈ શોધવા માટે, બમણા વિસ્તારને જોઈતી બાજુની લંબાઈથી વિભાજીત કરો: H = 2*S/a. ઉપર વપરાયેલ ઉદાહરણ માટે, બાજુની AB ની ઊંચાઈ 2*68.815/16.09 ≈ 8.55 હશે, BC થી બાજુની ઊંચાઈ 2*68.815/20.12 ≈ 6.84 ની લંબાઈ હશે અને બાજુ AC માટે આ મૂલ્ય બરાબર હશે 2 *68.815/7 ≈ 19.66.

સ્ત્રોતો:

• આપેલ બિંદુઓ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધે છે

ટીપ 4: તેની બાજુઓના સમીકરણો શોધવા માટે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો

વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિમાં, પ્લેન પરના ત્રિકોણને કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સને જાણીને, તમે ત્રિકોણની બાજુઓ માટે સમીકરણો બનાવી શકો છો. આ ત્રણ સીધી રેખાઓના સમીકરણો હશે, જે છેદે છે, એક આકૃતિ બનાવે છે.

સમસ્યાઓ 1 - 20 માં ત્રિકોણ ABC ના શિરોબિંદુઓ આપવામાં આવ્યા છે.
શોધો: 1) બાજુ AB ની લંબાઈ; 2) બાજુઓ AB અને AC ના સમીકરણો અને તેમના કોણીય ગુણાંક; 3) 0.01 ની ચોકસાઈ સાથે રેડિયનમાં આંતરિક કોણ A; 4) સીડીની ઊંચાઈ અને તેની લંબાઈ માટેનું સમીકરણ; 5) વર્તુળનું સમીકરણ જેના માટે ઊંચાઈ સીડીનો વ્યાસ છે; 6) ત્રિકોણ ABC ને વ્યાખ્યાયિત કરતી રેખીય અસમાનતાઓની સિસ્ટમ.

ત્રિકોણ બાજુઓની લંબાઈ:
|એબી| = 15
|AC| = 11.18
|BC| = 14.14
બિંદુ M થી d અંતર: d = 10
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ આપવામાં આવ્યા છે: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ
બિંદુ M 1 (x 1 ; y 1) અને M 2 (x 2 ; y 2) વચ્ચેનું અંતર d સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

8) રેખાનું સમીકરણ
A 1 (x 1 ; y 1) અને A 2 (x 2 ; y 2) બિંદુઓમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા સમીકરણો દ્વારા રજૂ થાય છે:

રેખા AB નું સમીકરણ


અથવા

અથવા
y = -3 / 4 x -7 / 4 અથવા 4y + 3x +7 = 0
રેખા AC નું સમીકરણ
રેખાનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ:

અથવા

અથવા
y = 1 / 2 x + 9 / 2 અથવા 2y -x - 9 = 0
રેખા BC નું સમીકરણ
રેખાનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ:

અથવા

અથવા
y = -7x + 42 અથવા y + 7x - 42 = 0
3) સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો
સીધી રેખા AB:y = -3 / 4 x -7 / 4 નું સમીકરણ
રેખા ACનું સમીકરણ:y = 1 / 2 x + 9 / 2
કોણીય ગુણાંક y = k 1 x + b 1 અને y 2 = k 2 x + b 2 સાથેના સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવેલ બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો કોણ φ, સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

આ રેખાઓનો ઢોળાવ -3/4 અને 1/2 છે. ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ, અને તેનો જમણી બાજુનો મોડ્યુલો લઈએ:

tg φ = 2
φ = આર્ક્ટન(2) = 63.44 0 અથવા 1.107 રેડ.
9) શિરોબિંદુ C દ્વારા ઊંચાઈનું સમીકરણ
બિંદુ N 0 (x 0 ;y 0)માંથી પસાર થતી સીધી રેખા Ax + By + C = 0 ને લંબરૂપ છે તેમાં દિશા વેક્ટર (A;B) છે અને તેથી, સમીકરણો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:



આ સમીકરણ બીજી રીતે શોધી શકાય છે. આ કરવા માટે, ચાલો સીધી રેખા AB નો ઢાળ k 1 શોધીએ.
AB સમીકરણ: y = -3 / 4 x -7 / 4, એટલે કે. k 1 = -3 / 4
ચાલો બે સીધી રેખાઓની લંબરૂપતાની સ્થિતિમાંથી લંબનો કોણીય ગુણાંક k શોધીએ: k 1 *k = -1.
k 1 ને બદલે આ રેખાના ઢોળાવને બદલીને, આપણને મળે છે:
-3/4 k = -1, જ્યાંથી k = 4/3
કાટખૂણે C(5,7) બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને તેની પાસે k = 4/3 હોવાથી, આપણે તેનું સમીકરણ ફોર્મમાં જોઈશું: y-y 0 = k(x-x 0).
x 0 = 5, k = 4/3, y 0 = 7 ની અવેજીમાં આપણને મળે છે:
y-7 = 4/3 (x-5)
અથવા
y = 4 / 3 x + 1 / 3 અથવા 3y -4x - 1 = 0
ચાલો રેખા AB સાથે આંતરછેદનું બિંદુ શોધીએ:
અમારી પાસે બે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણે y વ્યક્ત કરીએ છીએ અને તેને બીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ.
અમને મળે છે:
x = -1
y=-1
D(-1;-1)
9) શિરોબિંદુ C થી દોરેલા ત્રિકોણની ઊંચાઈની લંબાઈ
બિંદુ M 1 (x 1 ;y 1) થી સીધી રેખા Ax + By + C = 0 સુધીનું અંતર d એ જથ્થાના સંપૂર્ણ મૂલ્યની બરાબર છે:

બિંદુ C(5;7) અને રેખા AB (4y + 3x +7 = 0) વચ્ચેનું અંતર શોધો


બિંદુ C(5;7) અને બિંદુ D(-1;-1) વચ્ચેના અંતર તરીકે ઊંચાઈની લંબાઈની ગણતરી અન્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.
સૂત્ર દ્વારા કોઓર્ડિનેટ્સના સંદર્ભમાં બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર દર્શાવવામાં આવે છે:

5) વર્તુળનું સમીકરણ જેના માટે ઊંચાઈ સીડીનો વ્યાસ છે;
બિંદુ E(a;b) પર કેન્દ્ર સાથે ત્રિજ્યા R ના વર્તુળના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
CD એ ઇચ્છિત વર્તુળનો વ્યાસ હોવાથી, તેનું કેન્દ્ર E એ સેગમેન્ટ CDનું મધ્યબિંદુ છે. સેગમેન્ટને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરવા માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, અમને મળે છે:


તેથી, E(2;3) અને R = CD / 2 = 5. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ઇચ્છિત વર્તુળનું સમીકરણ મેળવીએ છીએ: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) ત્રિકોણ ABC ને વ્યાખ્યાયિત કરતી રેખીય અસમાનતાઓની સિસ્ટમ.
રેખા AB નું સમીકરણ: y = -3 / 4 x -7 / 4
રેખા AC નું સમીકરણ: y = 1 / 2 x + 9 / 2
રેખા BC નું સમીકરણ: y = -7x + 42

સમસ્યા 1. ABC ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ આપવામાં આવ્યા છે: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). શોધો: 1) બાજુ AB ની લંબાઈ; 2) બાજુઓ AB અને BC ના સમીકરણો અને તેમના કોણીય ગુણાંક; 3) બે અંકોની ચોકસાઈ સાથે રેડિયનમાં કોણ B; 4) ઊંચાઈ સીડી અને તેની લંબાઈનું સમીકરણ; 5) મધ્ય AE નું સમીકરણ અને ઊંચાઈ CD સાથે આ મધ્યકના આંતરછેદના બિંદુ K ના કોઓર્ડિનેટ્સ; 6) બાજુ AB ની સમાંતર બિંદુ Kમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાનું સમીકરણ; 7) બિંદુ M ના કોઓર્ડિનેટ્સ, સીધી રેખા CD ના સાપેક્ષ A બિંદુ પર સમપ્રમાણરીતે સ્થિત છે.

ઉકેલ:

1. બિંદુઓ A(x 1 ,y 1) અને B(x 2 ,y 2) વચ્ચેનું અંતર d એ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

(1) લાગુ કરીને, આપણે બાજુ AB ની લંબાઈ શોધીએ છીએ:

2. A(x 1 ,y 1) અને B(x 2 ,y 2) બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે

(2)

પોઈન્ટ A અને B ના કોઓર્ડિનેટને (2) માં બદલીને, આપણે બાજુ AB નું સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

y માટે છેલ્લું સમીકરણ ઉકેલ્યા પછી, આપણે બાજુ AB ના સમીકરણને કોણીય ગુણાંક સાથે સીધી રેખાના સમીકરણના રૂપમાં શોધીએ છીએ:

જ્યાં

બિંદુઓ B અને C ના કોઓર્ડિનેટ્સને (2) માં બદલીને, અમે સીધી રેખા BC નું સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

અથવા

3. તે જાણીતું છે કે બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાની સ્પર્શક, જેના કોણીય ગુણાંક અનુક્રમે સમાન છે, સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે.

(3)

ઇચ્છિત કોણ B સીધી રેખાઓ AB અને BC દ્વારા રચાય છે, જેનાં કોણીય ગુણાંક જોવા મળે છે: (3) લાગુ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ

અથવા પ્રસન્ન.

4. આપેલ દિશામાં આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે

(4)

ઊંચાઈ CD એ બાજુ AB ની લંબ છે. ઉંચાઈ સીડીનો ઢોળાવ શોધવા માટે, અમે રેખાઓની લંબરૂપતાની સ્થિતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ત્યારથી બિંદુ C ના કોઓર્ડિનેટ્સ અને ઊંચાઈના કોણીય ગુણાંકને (4) માં બદલીને, આપણે મેળવીએ છીએ

ઊંચાઈની સીડીની લંબાઈ શોધવા માટે, આપણે પહેલા બિંદુ D ના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ છીએ - સીધી રેખાઓ AB અને CDના આંતરછેદનું બિંદુ. એકસાથે સિસ્ટમ ઉકેલો:

અમે શોધીએ છીએ તે D(8;0).

સૂત્ર (1) નો ઉપયોગ કરીને આપણે ઊંચાઈની સીડીની લંબાઈ શોધીએ છીએ:

5. મધ્ય AE નું સમીકરણ શોધવા માટે, અમે પ્રથમ બિંદુ E ના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ છીએ, જે બાજુ BC ની મધ્ય છે, એક સેગમેન્ટને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરવા માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને:

(5)

આથી,

પોઈન્ટ A અને E ના કોઓર્ડિનેટને (2) માં બદલીને, આપણે મધ્ય માટેનું સમીકરણ શોધીએ છીએ:

ઊંચાઈ CD અને મધ્ય AE ના આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે, અમે સમીકરણોની સિસ્ટમને એકસાથે હલ કરીએ છીએ

અમે શોધીએ છીએ.

6. ઇચ્છિત સીધી રેખા બાજુ AB ની સમાંતર હોવાથી, તેનો કોણીય ગુણાંક સીધી રેખા AB ના કોણીય ગુણાંક સમાન હશે. (4) મળેલા બિંદુ K ના કોઓર્ડિનેટ્સ અને આપણે જે કોણીય ગુણાંક મેળવીએ છીએ તેને બદલીને

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. સીધી રેખા AB સીધી રેખા CD પર લંબ હોવાથી, ઇચ્છિત બિંદુ M, સીધી રેખા CD સાથે સંબંધિત બિંદુ A પર સમપ્રમાણરીતે સ્થિત છે, તે સીધી રેખા AB પર આવેલું છે. વધુમાં, બિંદુ D એ સેગમેન્ટ AM નો મધ્યબિંદુ છે. સૂત્રો (5) લાગુ કરીને, અમે ઇચ્છિત બિંદુ M ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ છીએ:

ત્રિકોણ ABC, ઊંચાઈ CD, મધ્ય AE, સીધી રેખા KF અને બિંદુ M એ ફિગમાં xOy કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં બાંધવામાં આવે છે. 1.

કાર્ય 2. બિંદુઓના સ્થાન માટે એક સમીકરણ બનાવો કે જેનું અંતર આપેલ બિંદુ A(4; 0) અને આપેલ સીધી રેખા x=1 માટે 2 ની બરાબર છે.

ઉકેલ:

xOy કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, આપણે બિંદુ A(4;0) અને સીધી રેખા x = 1 બનાવીએ છીએ. ચાલો M(x;y) ને બિંદુઓના ઇચ્છિત ભૌમિતિક સ્થાનનો એક મનસ્વી બિંદુ બનીએ. ચાલો કાટખૂણે MB ને આપેલ રેખા x = 1 પર નીચે કરીએ અને બિંદુ B ના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ. બિંદુ B આપેલ રેખા પર આવેલો હોવાથી, તેનું એબ્સીસા 1 ની બરાબર છે. બિંદુ B નું ઑર્ડિનેટ બિંદુ M ના ઑર્ડિનેટ બરાબર છે તેથી, B(1;y) (ફિગ. 2).

સમસ્યાની શરતો અનુસાર |MA|: |MV| = 2. અંતર |MA| અને |MB| આપણે સમસ્યા 1 ના સૂત્ર (1) માંથી શોધી કાઢીએ છીએ:

ડાબી અને જમણી બાજુઓને ચોરસ કરીને, આપણને મળે છે

પરિણામી સમીકરણ એ હાઇપરબોલા છે જેમાં વાસ્તવિક અર્ધ-અક્ષ એ = 2 છે, અને કાલ્પનિક અર્ધ-અક્ષ છે

ચાલો હાઇપરબોલાના ફોસીને વ્યાખ્યાયિત કરીએ. હાઇપરબોલા માટે, સમાનતા સંતુષ્ટ છે, અને - હાયપરબોલ યુક્તિઓ. જેમ તમે જોઈ શકો છો, આપેલ બિંદુ A(4;0) એ હાયપરબોલાનું યોગ્ય ધ્યાન છે.

ચાલો પરિણામી હાયપરબોલાની તરંગીતા નક્કી કરીએ:

હાઇપરબોલા એસિમ્પ્ટોટ્સના સમીકરણો ફોર્મ અને . તેથી, અથવા અને હાયપરબોલાના એસિમ્પ્ટોટ્સ છે. હાયપરબોલા બનાવતા પહેલા, અમે તેના એસિમ્પ્ટોટ્સ બનાવીએ છીએ.

સમસ્યા 3. બિંદુ A(4; 3) અને સીધી રેખા y = 1 થી સમાન અંતરના બિંદુઓના સ્થાન માટે એક સમીકરણ બનાવો. પરિણામી સમીકરણને તેના સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડો.

ઉકેલ: M(x; y) એ બિંદુઓના ઇચ્છિત ભૌમિતિક સ્થાનના બિંદુઓમાંથી એક બનવા દો. ચાલો કાટખૂણે MB ને બિંદુ M થી આ સીધી રેખા y = 1 (ફિગ. 3) પર મૂકીએ. ચાલો આપણે બિંદુ B ના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ. દેખીતી રીતે, બિંદુ B નો એબ્સીસા એ બિંદુ M ના એબ્સીસા બરાબર છે, અને બિંદુ B નું ઓર્ડિનેટ 1 બરાબર છે, એટલે કે B(x; 1). સમસ્યાની શરતો અનુસાર |MA|=|MV|. પરિણામે, બિંદુઓના ઇચ્છિત ભૌમિતિક સ્થાન સાથે જોડાયેલા કોઈપણ બિંદુ M(x;y) માટે, નીચેની સમાનતા સાચી છે:

પરિણામી સમીકરણ બિંદુ પર શિરોબિંદુ સાથે પેરાબોલાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, પેરાબોલાના સમીકરણને તેના સરળ સ્વરૂપમાં લાવવા માટે, ચાલો સેટ કરીએ અને y + 2 = Y, પછી પેરાબોલા સમીકરણ ફોર્મ લે છે:

વ્યાયામ 1

57. ત્રિકોણ ABC ના શિરોબિંદુઓ આપવામાં આવ્યા છે. શોધો

) બાજુ AB ની લંબાઈ;

) બાજુઓ AB અને AC ના સમીકરણો અને તેમના કોણીય ગુણાંક;

) આંતરિક કોણ A;

) શિરોબિંદુ B માંથી દોરેલા મધ્યનું સમીકરણ;

) ઊંચાઈ સીડી અને તેની લંબાઈનું સમીકરણ;

) વર્તુળનું સમીકરણ જેના માટે ઊંચાઈ CD વ્યાસ છે અને બાજુના AC સાથે આ વર્તુળના આંતરછેદના બિંદુઓ છે;

) આંતરિક કોણ A ના દ્વિભાજકનું સમીકરણ;

) ત્રિકોણ ABC નો વિસ્તાર;

) ત્રિકોણ ABC ને વ્યાખ્યાયિત કરતી રેખીય અસમાનતાઓની સિસ્ટમ.

એક ચિત્ર બનાવો.

A(7, 9); B(-2, -3); C(-7, 7)

ઉકેલ:

1) ચાલો વેક્ટરની લંબાઈ શોધીએ

= (x b -x a )2+ (વાય b -y a )2 = ((-2)-7)2 + (-3 - 9)2 = 92 + 122 = 225

= = 15 - બાજુ AB ની લંબાઈ

2) ચાલો બાજુ AB નું સમીકરણ શોધીએ

બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ

ઓહ એ ; ખાતે વી ) અને B(x એ ; ખાતે વી ) સામાન્ય રીતે

ચાલો સીધી રેખાના આ સમીકરણમાં બિંદુ A અને B ના કોઓર્ડિનેટ્સ બદલીએ

=

=

=

એસ એબી = (- 3, - 4) સીધી રેખા AB ના દિશા વેક્ટર કહેવાય છે. આ વેક્ટર રેખા AB ને સમાંતર છે.

4(x - 7) = - 3(y - 9)

4x + 28 = - 3y + 27

4x + 3y + 1 = 0 - રેખા AB નું સમીકરણ

જો સમીકરણ ફોર્મમાં લખાયેલ હોય તો: y = X - પછી આપણે તેના કોણીય ગુણાંકને અલગ કરી શકીએ છીએ: k 1 =4/3

વેક્ટર એન એબી = (-4, 3) એ રેખા AB નો સામાન્ય વેક્ટર કહેવાય છે.

વેક્ટર એન એબી = (-4, 3) રેખા AB ને લંબ છે.

એ જ રીતે, આપણે બાજુના ACનું સમીકરણ શોધીએ છીએ

=

=

=

એસ એસી = (- 7, - 1) - AC બાજુની દિશા વેક્ટર

(x - 7) = - 7(y - 9)

x + 7 = - 7y + 63

x + 7y - 56 = 0 - બાજુ AC નું સમીકરણ

y = = x + 8 જ્યાંથી ઢાળ k 2 = 1/7

વેક્ટર એન A.C. = (- 1, 7) - રેખા AC નો સામાન્ય વેક્ટર.

વેક્ટર એન A.C. = (- 1, 7) રેખા AC ને લંબ છે.

3) ચાલો કોણ A શોધીએ

ચાલો વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદન માટે સૂત્ર લખીએ અને

* = *cos ∟A

કોણ A શોધવા માટે, આ કોણની કોસાઇન શોધવા માટે તે પૂરતું છે. અગાઉના સૂત્રમાંથી આપણે કોણ A ના કોસાઇન માટે અભિવ્યક્તિ લખીએ છીએ

cos ∟A =

વેક્ટરનું સ્કેલર ઉત્પાદન શોધવું અને

= (x વી - એક્સ એ ; ખાતે વી - વાય એ ) = (- 2 - 7; - 3 - 9) = (-9, -12)

= (x સાથે - એક્સ એ ; ખાતે સાથે - વાય એ ) = (- 7 - 7; 7 - 9) = (-14; -2)

9*(-14) + (-12)*(-2) = 150

વેક્ટર લંબાઈ = 15 (અગાઉ મળેલ)

ચાલો વેક્ટરની લંબાઈ શોધીએ

= (x સાથે -x એ )2+ (વાય સાથે -y a )2 = (-14)2 + (-2)2 = 200

= = 14.14 - બાજુની લંબાઈ AC

પછી cos ∟A = = 0,7072

∟A = 45 0

4) ચાલો બિંદુ B થી બાજુ AC સુધી દોરેલા મધ્યક BE નું સમીકરણ શોધીએ

સામાન્ય સ્વરૂપમાં મધ્ય સમીકરણ

હવે આપણે સીધી રેખા BE ની દિશા વેક્ટર શોધવાની જરૂર છે.

ચાલો ABC થી સમાંતર ABCD ને ત્રિકોણ બનાવીએ, જેથી તે બાજુ AC તેનો કર્ણ છે. સમાંતરગ્રામમાં કર્ણ અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલા છે, એટલે કે AE = EC. તેથી, બિંદુ E રેખા BF પર આવેલું છે.

વેક્ટર BE ને સીધી રેખા BE ના દિશા વેક્ટર તરીકે લઈ શકાય છે , જે આપણે શોધીશું.

= +

= (x c - એક્સ b ; ખાતે c - વાય b ) = (- 7- (-2); 7 - (-3)) = (-5. 10)

= + = (-5 + 9; 10 + 12) = (4; 22)

ચાલો સમીકરણમાં બદલીએ

ચાલો બિંદુ C (-7; 7) ના કોઓર્ડિનેટ્સ બદલીએ

(x + 7) = 2(y - 7)

x + 77 = 2y - 14

x - 2y + 91 = 0 - મધ્યક BE નું સમીકરણ

બિંદુ E એ બાજુ AC ની મધ્યમાં હોવાથી, તેના કોઓર્ડિનેટ્સ

એક્સ ઇ = (x એ + x સાથે )/2 = (7 - 7)/2 = 0

ખાતે ઇ = (વાય એ + y સાથે )/2 = (9 + 7)/2 = 8

બિંદુ E (0; 8) ના કોઓર્ડિનેટ્સ

5) ચાલો ઊંચાઈ સીડી અને તેની લંબાઈ માટે સમીકરણ શોધીએ

સામાન્ય સમીકરણ

સીધી રેખા સીડીની દિશા વેક્ટર શોધવી જરૂરી છે

સીધી રેખા CD સીધી રેખા AB ને લંબ છે, તેથી, સીધી રેખા CD ની દિશા વેક્ટર સીધી રેખા AB ના સામાન્ય વેક્ટરની સમાંતર છે

સીડી ‖એબી

એટલે કે, સીધી રેખા AB ના સામાન્ય વેક્ટરને સીધી રેખા CD ના નિર્દેશન વેક્ટર તરીકે લઈ શકાય છે

વેક્ટર એબી અગાઉ મળી: એબી (-4, 3)

ચાલો બિંદુ C ના કોઓર્ડિનેટ્સ બદલીએ, (- 7; 7)

(x + 7) = - 4(y - 7)

x + 21 = - 4y + 28

x + 4y - 7 = 0 - ઊંચાઈ C Dનું સમીકરણ

બિંદુ ડી કોઓર્ડિનેટ્સ:

બિંદુ D એ રેખા AB નો છે, તેથી, બિંદુ D(x.) ના કોઓર્ડિનેટ્સ ડી . y ડી ) એ અગાઉ મળેલી સીધી રેખા AB ના સમીકરણને સંતોષવા જ જોઈએ

બિંદુ D એ રેખા CD સાથે સંબંધિત છે, તેથી, બિંદુ D(x ડી . y ડી ) સીધી રેખા સીડીના સમીકરણને સંતોષવા જ જોઈએ,

ચાલો તેના આધારે સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ

કોઓર્ડિનેટ્સ D(1; 1)

સીધી રેખા CD ની લંબાઈ શોધો

= (x ડી -x c )2+ (વાય ડી -y c )2 = (1 + 7)2 + (1 - 7)2 = 64 +36 = 100

= = 10 - સીધી રેખા સીડીની લંબાઈ

6) વ્યાસ CD સાથે વર્તુળનું સમીકરણ શોધો

તે સ્પષ્ટ છે કે સીધી રેખા સીડી કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળમાંથી પસાર થાય છે કારણ કે તેનું સમીકરણ -3x - 4y = 0 છે, તેથી, વર્તુળનું સમીકરણ ફોર્મમાં લખી શકાય છે.

(x - a) 2 + (y - b) 2= આર 2- બિંદુ પર કેન્દ્ર સાથે વર્તુળનું સમીકરણ (a; b)

અહીં R = СD/2 = 10/2 = 5

(x - a) 2 + (y - b) 2 = 25

વર્તુળ O (a; b) નું કેન્દ્ર સેગમેન્ટ CD ની મધ્યમાં આવેલું છે. ચાલો તેના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ:

એક્સ 0= a = = = - 3;

y 0= b = = = 4

વર્તુળ સમીકરણ:

(x + 3) 2 + (y - 4) 2 = 25

ચાલો આ વર્તુળના આંતરછેદને બાજુના AC સાથે શોધીએ:

બિંદુ K વર્તુળ અને રેખા AC બંનેનો છે

x + 7y - 56 = 0 - અગાઉ મળેલ સીધી રેખા AC નું સમીકરણ.

ચાલો એક સિસ્ટમ બનાવીએ

આમ, આપણને ચતુર્ભુજ સમીકરણ મળે છે

ખાતે 2- 750у +2800 = 0

ખાતે 2- 15у + 56 = 0

=

ખાતે 1 = 8

ખાતે 2= 7 - બિંદુ C ને અનુરૂપ બિંદુ

તેથી બિંદુ H ના કોઓર્ડિનેટ્સ:

x = 7*8 - 56 = 0

"પ્લેન પર વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ" માનક કાર્યમાંથી કેટલાક કાર્યોને હલ કરવાનું ઉદાહરણ

શિરોબિંદુઓ આપવામાં આવે છે,
,
ત્રિકોણ ABC. શોધો:

ત્રિકોણની બધી બાજુઓના સમીકરણો;

ત્રિકોણને વ્યાખ્યાયિત કરતી રેખીય અસમાનતાઓની સિસ્ટમ ABC;

શિરોબિંદુમાંથી દોરેલા ત્રિકોણના ઊંચાઈ, મધ્ય અને દ્વિભાજકના સમીકરણો એ;

ત્રિકોણની ઊંચાઈનો આંતરછેદ બિંદુ;

ત્રિકોણના મધ્યનું આંતરછેદ બિંદુ;

ઉંચાઈની લંબાઇ બાજુ પર નીચી એબી;

કોર્નર એ;

એક ચિત્ર બનાવો.

ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓને કોઓર્ડિનેટ્સ રાખવા દો: એ (1; 4), IN (5; 3), સાથે(3; 6). ચાલો તરત જ એક ચિત્ર દોરીએ:

1. ત્રિકોણની બધી બાજુઓના સમીકરણો લખવા માટે, અમે કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે આપેલા બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ ( x 0 , y 0 ) અને ( x 1 , y 1 ):

=

આમ, તેના બદલે ( x 0 , y 0 ) બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ એ, અને તેના બદલે ( x 1 , y 1 ) બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ IN, આપણને રેખાનું સમીકરણ મળે છે એબી:

પરિણામી સમીકરણ સીધી રેખાનું સમીકરણ હશે એબી, સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખાયેલ છે. એ જ રીતે, આપણે સીધી રેખાનું સમીકરણ શોધીએ છીએ એસી:

અને સીધી રેખાનું સમીકરણ પણ સૂર્ય:

2. નોંધ કરો કે ત્રિકોણના બિંદુઓનો સમૂહ ABCત્રણ અર્ધ-વિમાનોના આંતરછેદને રજૂ કરે છે, અને દરેક અર્ધ-વિમાનને રેખીય અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. જો આપણે બંને બાજુ ∆ નું સમીકરણ લઈએ ABC, દાખ્લા તરીકે એબી, પછી અસમાનતા

અને

રેખાની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર પડેલા બિંદુઓને વ્યાખ્યાયિત કરો એબી. આપણે અર્ધ-વિમાન પસંદ કરવાની જરૂર છે જ્યાં બિંદુ C આવેલું છે ચાલો તેના કોઓર્ડિનેટ્સને બંને અસમાનતામાં બદલીએ:

બીજી અસમાનતા સાચી હશે, જેનો અર્થ છે કે જરૂરી પોઈન્ટ અસમાનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

.

અમે સીધી રેખા BC, તેના સમીકરણ સાથે તે જ કરીએ છીએ
. અમે પરીક્ષણ બિંદુ તરીકે બિંદુ A (1, 1) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

આનો અર્થ એ છે કે આવશ્યક અસમાનતાનું સ્વરૂપ છે:

.

જો આપણે સીધી રેખા AC (પરીક્ષણ બિંદુ B) તપાસીએ, તો આપણને મળે છે:

આનો અર્થ એ છે કે જરૂરી અસમાનતાનું સ્વરૂપ હશે

અમે આખરે અસમાનતાની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

ચિહ્નો "≤", "≥" નો અર્થ એ છે કે ત્રિકોણની બાજુઓ પર પડેલા બિંદુઓ પણ ત્રિકોણ બનાવે છે તે બિંદુઓના સમૂહમાં શામેલ છે. ABC.

3. a) શિરોબિંદુમાંથી ઘટી ગયેલી ઊંચાઈ માટેનું સમીકરણ શોધવા માટે એબાજુ પર સૂર્ય, બાજુના સમીકરણને ધ્યાનમાં લો સૂર્ય:
. કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે વેક્ટર
બાજુ પર લંબરૂપ સૂર્યઅને તેથી ઊંચાઈની સમાંતર. ચાલો બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાનું સમીકરણ લખીએ એવેક્ટરની સમાંતર
:

આ t માંથી અવગણવામાં આવેલી ઊંચાઈ માટેનું સમીકરણ છે. એબાજુ પર સૂર્ય.

b) બાજુની મધ્યના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો સૂર્યસૂત્રો અનુસાર:

અહીં
– આ t ના કોઓર્ડિનેટ્સ છે. IN, એ
- કોઓર્ડિનેટ્સ ટી. સાથે. ચાલો બદલીએ અને મેળવીએ:

આ બિંદુ અને બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા એજરૂરી મધ્યક છે:

c) અમે દ્વિભાજકનું સમીકરણ એ હકીકતના આધારે શોધીશું કે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં ત્રિકોણના પાયા સુધી એક શિરોબિંદુથી નીચે ઉતરેલી ઊંચાઈ, મધ્ય અને દ્વિભાજક સમાન છે. ચાલો બે વેક્ટર શોધીએ
અને
અને તેમની લંબાઈ:

પછી વેક્ટર
વેક્ટર જેવી જ દિશા ધરાવે છે
, અને તેની લંબાઈ
તેવી જ રીતે, એકમ વેક્ટર
વેક્ટર સાથે દિશામાં એકરુપ થાય છે
વેક્ટર સરવાળો

એક વેક્ટર છે જે કોણના દ્વિભાજક સાથે દિશામાં એકરુપ થાય છે એ. આમ, ઇચ્છિત દ્વિભાજકનું સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય છે:

4) અમે પહેલાથી જ એક ઊંચાઈ માટે સમીકરણ બનાવ્યું છે. ચાલો બીજી ઊંચાઈ માટે સમીકરણ બનાવીએ, ઉદાહરણ તરીકે, શિરોબિંદુમાંથી IN. બાજુ એસીસમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે
તેથી વેક્ટર
લંબ એસી, અને આમ ઇચ્છિત ઊંચાઈની સમાંતર. પછી શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ INવેક્ટરની દિશામાં
(એટલે ​​​​કે કાટખૂણે એસી), ફોર્મ ધરાવે છે:

તે જાણીતું છે કે ત્રિકોણની ઊંચાઈ એક બિંદુ પર છેદે છે. ખાસ કરીને, આ બિંદુ મળી આવેલી ઊંચાઈઓનું આંતરછેદ છે, એટલે કે. સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરવી:

- આ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ.

5. મધ્ય એબીકોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે
. ચાલો મધ્યકનું સમીકરણ બાજુ પર લખીએ એબી.આ રેખા કોઓર્ડિનેટ્સ (3, 2) અને (3, 6) સાથેના બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, જેનો અર્થ છે કે તેનું સમીકરણ ફોર્મ ધરાવે છે:

નોંધ કરો કે સીધી રેખાના સમીકરણમાં અપૂર્ણાંકના છેદમાં શૂન્યનો અર્થ છે કે આ સીધી રેખા ઓર્ડિનેટ અક્ષની સમાંતર ચાલે છે.

મધ્યના આંતરછેદ બિંદુને શોધવા માટે, તે સમીકરણોની સિસ્ટમને હલ કરવા માટે પૂરતું છે:

ત્રિકોણના મધ્યકનો આંતરછેદ બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે
.

6. ઉંચાઈની લંબાઇ બાજુમાં નીચી એબી,બિંદુથી અંતર જેટલું સાથેસીધી રેખા સુધી એબીસમીકરણ સાથે
અને સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:

7. કોણનું કોસાઇન એવેક્ટર વચ્ચેના કોણના કોસાઇન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે અને , જે આ વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદનના ગુણોત્તર સાથે તેમની લંબાઈના ગુણોત્તર સમાન છે:

.