સમીકરણની નિશાની ઉલટાવો. અસમાનતા

અમે અસમાનતા વિશે શાળામાં શીખ્યા, જ્યાં અમે સંખ્યાત્મક અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આ લેખમાં આપણે સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈશું, જેમાંથી તેમની સાથે કામ કરવાના સિદ્ધાંતો બાંધવામાં આવ્યા છે.

અસમાનતાના ગુણધર્મો સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મો જેવા જ છે. ગુણધર્મો, તેના સમર્થનને ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે, અને ઉદાહરણો આપવામાં આવશે.

Yandex.RTB R-A-339285-1

સંખ્યાત્મક અસમાનતા: વ્યાખ્યા, ઉદાહરણો

અસમાનતાનો ખ્યાલ રજૂ કરતી વખતે, અમારી પાસે છે કે તેમની વ્યાખ્યા રેકોર્ડના પ્રકાર દ્વારા કરવામાં આવે છે. ત્યાં બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓ છે જેમાં ચિહ્નો છે ≠,< , >, ≤ , ≥ . ચાલો એક વ્યાખ્યા આપીએ.

વ્યાખ્યા 1

સંખ્યાત્મક અસમાનતાઅસમાનતા કહેવાય છે જેમાં બંને બાજુ સંખ્યાઓ અને સંખ્યાત્મક સમીકરણો હોય છે.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો અભ્યાસ કર્યા પછી અમે શાળામાં સંખ્યાત્મક અસમાનતાને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. આવી તુલનાત્મક કામગીરીનો તબક્કાવાર અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. પ્રારંભિક 1 જેવો દેખાય છે< 5 , 5 + 7 >3. જે પછી નિયમોની પૂર્તિ કરવામાં આવે છે, અને અસમાનતાઓ વધુ જટિલ બને છે, તો પછી આપણે ફોર્મ 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0 ની અસમાનતા મેળવીએ છીએ. 73 - 17 2< 0 .

સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મો

અસમાનતાઓ સાથે યોગ્ય રીતે કામ કરવા માટે, તમારે સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવો આવશ્યક છે. તેઓ અસમાનતાના ખ્યાલમાંથી આવે છે. આ ખ્યાલને નિવેદનનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેને "વધુ" અથવા "ઓછું" તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 2

• સંખ્યા a એ b કરતા મોટી હોય છે જ્યારે તફાવત a - b હકારાત્મક સંખ્યા હોય છે;
• સંખ્યા a એ b કરતા ઓછી હોય છે જ્યારે તફાવત a - b એ નકારાત્મક સંખ્યા હોય છે;
• જ્યારે a - b નો તફાવત શૂન્ય હોય ત્યારે સંખ્યા a એ b ની બરાબર હોય છે.

આ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ સંબંધો સાથેની અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે થાય છે "ઓછા કરતાં અથવા સમાન," "તેના કરતાં વધુ અથવા સમાન." અમે તે મેળવીએ છીએ

વ્યાખ્યા 3

• જ્યારે a - b બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા હોય ત્યારે a b કરતાં મોટી અથવા બરાબર હોય છે;
• a એ b થી ઓછી અથવા બરાબર છે જ્યારે a - b બિન-ધન સંખ્યા છે.

વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મોને સાબિત કરવા માટે કરવામાં આવશે.

મૂળભૂત ગુણધર્મો

ચાલો 3 મુખ્ય અસમાનતાઓ જોઈએ. ચિહ્નોનો ઉપયોગ< и >નીચેના ગુણધર્મોની લાક્ષણિકતા:

વ્યાખ્યા 4

• વિરોધી રીફ્લેક્સિવિટી, જે કહે છે કે અસમાનતાઓમાંથી કોઈપણ સંખ્યા a< a и a >a ખોટો ગણવામાં આવે છે. તે જાણીતું છે કે કોઈપણ a માટે સમાનતા a − a = 0 ધરાવે છે, તેથી આપણે તે a = a મેળવીએ છીએ. તેથી એ< a и a >a ખોટું છે. ઉદાહરણ તરીકે, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 ખોટા છે.
• અસમપ્રમાણતા. જ્યારે a અને b સંખ્યાઓ એવી હોય કે a< b , то b >a, અને જો a > b, તો b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >a તેનો બીજો ભાગ પણ એવી જ રીતે સાબિત થાય છે.

ઉદાહરણ 1

ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતા 5 જોતાં< 11 имеем, что 11 >5, જેનો અર્થ છે તેની સંખ્યાત્મક અસમાનતા − 0, 27 > − 1, 3 ને −1, 3 તરીકે ફરીથી લખવામાં આવશે< − 0 , 27 .

આગલી પ્રોપર્ટી પર જતાં પહેલાં, નોંધ લો કે અસમપ્રમાણતાની મદદથી તમે અસમાનતાને જમણેથી ડાબે અને ઊલટું વાંચી શકો છો. આ રીતે, સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓને સુધારી અને અદલાબદલી કરી શકાય છે.

વ્યાખ્યા 5

• સંક્રમણ. જ્યારે સંખ્યાઓ a, b, c શરત a ને પૂર્ણ કરે છે< b и b < c , тогда a < c , и если a >b અને b > c , પછી a > c .

પુરાવા 1

પ્રથમ નિવેદન સાબિત કરી શકાય છે. શરત એ< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

સંક્રમણ ગુણધર્મ સાથેનો બીજો ભાગ એ જ રીતે સાબિત થયો છે.

ઉદાહરણ 2

અમે અસમાનતા - 1 ના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને વિશ્લેષણ કરેલ મિલકતને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 અને 1 8 > 1 32 તે 1 2 > 1 32 ને અનુસરે છે.

સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓ, જે નબળા અસમાનતા ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવે છે, તેમાં રીફ્લેક્સિવિટીનો ગુણધર્મ હોય છે, કારણ કે a ≤ a અને a ≥ a ની સમાનતા a = a હોઈ શકે છે. તેઓ અસમપ્રમાણતા અને સંક્રમણ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે.

વ્યાખ્યા 6

અસમાનતા કે જેઓ તેમના લેખનમાં ≤ અને ≥ ચિહ્નો ધરાવે છે તે નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે:

• રીફ્લેક્સિવિટી a ≥ a અને a ≤ a ને સાચી અસમાનતા ગણવામાં આવે છે;
• પ્રતિસમપ્રમાણતા, જ્યારે a ≤ b, પછી b ≥ a, અને જો a ≥ b, તો b ≤ a.
• સંક્રમણ, જ્યારે a ≤ b અને b ≤ c, પછી a ≤ c, અને એ પણ, જો a ≥ b અને b ≥ c, તો a ≥ c.

સાબિતી એ જ રીતે હાથ ધરવામાં આવે છે.

સંખ્યાત્મક અસમાનતાના અન્ય મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો

અસમાનતાના મૂળભૂત ગુણધર્મોને પૂરક બનાવવા માટે, વ્યવહારિક મહત્વના પરિણામોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. પદ્ધતિના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ અભિવ્યક્તિઓના મૂલ્યોના અંદાજ માટે થાય છે, જેના પર અસમાનતાઓને ઉકેલવાના સિદ્ધાંતો આધારિત છે.

આ ફકરો કડક અસમાનતાની એક નિશાની માટે અસમાનતાના ગુણધર્મો દર્શાવે છે. તે જ બિન-કડક રાશિઓ માટે કરવામાં આવે છે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ, અસમાનતા ઘડતા જો a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• જો a > b, તો a + c > b + c;
• જો a ≤ b, તો a + c ≤ b + c;
• જો a ≥ b, તો a + c ≥ b + c.

અનુકૂળ પ્રસ્તુતિ માટે, અમે અનુરૂપ નિવેદન આપીએ છીએ, જે લખવામાં આવે છે અને પુરાવા આપવામાં આવે છે, ઉપયોગના ઉદાહરણો બતાવવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 7

બંને બાજુએ સંખ્યા ઉમેરવા અથવા ગણતરી કરવી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જ્યારે a અને b અસમાનતા a ને અનુરૂપ હોય છે< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

પુરાવા 2

આ સાબિત કરવા માટે, સમીકરણ એ શરતને સંતોષવી આવશ્યક છે< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

ઉદાહરણ 3

ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે અસમાનતા 7 > 3 ની બંને બાજુઓને 15 વડે વધારીએ, તો આપણને તે 7 + 15 > 3 + 15 મળે છે. આ 22 > 18 બરાબર છે.

વ્યાખ્યા 8

જ્યારે અસમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન સંખ્યા c દ્વારા ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે આપણે સાચી અસમાનતા મેળવીએ છીએ. જો તમે નકારાત્મક સંખ્યા લો છો, તો ચિહ્ન વિરુદ્ધમાં બદલાશે. નહિંતર તે આના જેવું દેખાય છે: a અને b માટે અસમાનતા જ્યારે a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >b·c

પુરાવા 3

જ્યારે કેસ c > 0 હોય, ત્યારે અસમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુઓ વચ્ચેનો તફાવત રચવો જરૂરી છે. પછી આપણને મળે છે કે a · c − b · c = (a − b) · c . શરતથી એ< b , то a − b < 0 , а c >0, પછી ઉત્પાદન (a − b) · c નકારાત્મક હશે. તે અનુસરે છે કે a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

સાબિત કરતી વખતે, પૂર્ણાંક વડે ભાગાકારને આપેલ એકના વ્યસ્ત વડે ગુણાકાર દ્વારા બદલી શકાય છે, એટલે કે 1 c. ચાલો ચોક્કસ સંખ્યાઓ પરની મિલકતનું ઉદાહરણ જોઈએ.

ઉદાહરણ 4

અસમાનતા 4 ની બંને બાજુઓને મંજૂરી છે< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

હવે ચાલો નીચેના બે પરિણામો ઘડીએ, જેનો ઉપયોગ અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે થાય છે:

• કોરોલરી 1. સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ભાગોના ચિહ્નોને બદલતી વખતે, અસમાનતાનું ચિહ્ન પોતે વિરુદ્ધમાં બદલાય છે,< b , как − a >− બી. આ બંને બાજુઓને - 1 વડે ગુણાકાર કરવાના નિયમને અનુસરે છે. તે સંક્રમણ માટે લાગુ પડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, −6< − 2 , то 6 > 2 .
• કોરોલરી 2. જ્યારે સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ભાગોને પારસ્પરિક સંખ્યાઓ સાથે બદલો, ત્યારે તેની નિશાની પણ બદલાય છે, અને અસમાનતા સાચી રહે છે. આથી આપણી પાસે છે કે a અને b ધન સંખ્યાઓ છે, a< b , 1 a >1 બી.

અસમાનતાની બંને બાજુઓને વિભાજીત કરતી વખતે a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 આપણી પાસે તે 1 5 છે< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b ખોટું હોઈ શકે છે.

ઉદાહરણ 5

ઉદાહરણ તરીકે, −2< 3 , однако, - 1 2 >13 એ ખોટું સમીકરણ છે.

બધા બિંદુઓ એ હકીકત દ્વારા એક થાય છે કે અસમાનતાના ભાગો પરની ક્રિયાઓ આઉટપુટ પર યોગ્ય અસમાનતા આપે છે. ચાલો એવા ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યાં શરૂઆતમાં સંખ્યાબંધ અસમાનતાઓ હોય છે, અને તેનું પરિણામ તેના ભાગો ઉમેરીને અથવા ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 9

જ્યારે સંખ્યાઓ a, b, c, d અસમાનતાઓ a માટે માન્ય હોય છે< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

પુરાવો 4

ચાલો સાબિત કરીએ કે (a + c) − (b + d) એ ઋણ સંખ્યા છે, તો આપણને મળે છે કે a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

મિલકતનો ઉપયોગ ત્રણ, ચાર અથવા વધુ સંખ્યાત્મક અસમાનતાઓના ટર્મ-બાય-ટર્મ ઉમેરા માટે થાય છે. સંખ્યાઓ a 1 , a 2 , … , a n અને b 1 , b 2 , … , b n અસમાનતાઓ a 1 ને સંતોષે છે< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

ઉદાહરણ 6

ઉદાહરણ તરીકે, સમાન ચિહ્ન − 5 ની ત્રણ સંખ્યાત્મક અસમાનતા આપેલ છે< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

વ્યાખ્યા 10

બંને બાજુઓનો શબ્દવાર ગુણાકાર હકારાત્મક સંખ્યામાં પરિણમે છે. જ્યારે એ< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

પુરાવા 5

આ સાબિત કરવા માટે, અમને અસમાનતાની બંને બાજુની જરૂર છે a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

આ ગુણધર્મને સંખ્યાઓની સંખ્યા માટે માન્ય ગણવામાં આવે છે જેના દ્વારા અસમાનતાની બંને બાજુનો ગુણાકાર થવો જોઈએ. પછી a 1 , a 2 , … , a nઅને b 1, b 2, …, b nહકારાત્મક સંખ્યાઓ છે, જ્યાં 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .

નોંધ કરો કે જ્યારે અસમાનતા લખતી વખતે બિન-ધન સંખ્યાઓ હોય છે, તો પછી તેમના ટર્મ-બાય-ટર્મ ગુણાકાર ખોટી અસમાનતાઓ તરફ દોરી જાય છે.

ઉદાહરણ 7

ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતા 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

પરિણામ: અસમાનતાનો શબ્દવાર ગુણાકાર a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

સંખ્યાત્મક અસમાનતાના ગુણધર્મો

ચાલો સંખ્યાત્મક અસમાનતાના નીચેના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ.

1. a< a , a >a - ખોટી અસમાનતાઓ,
   a ≤ a, a ≥ a સાચી અસમાનતા છે.
2. જો< b , то b >a - વિરોધી સમપ્રમાણતા.
3. જો< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. જો< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. જો< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   જો< b и c - отрицательное число, то a · c >b·c

કોરોલરી 1: જો< b , то - a >-બી.

કોરોલરી 2: જો a અને b હકારાત્મક સંખ્યાઓ છે અને a< b , то 1 a >1 બી.

1. જો 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. જો 1 , a 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n એ ધન સંખ્યાઓ અને a 1 છે< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

કોરોલરી 1: જો a< b , a અને b હકારાત્મક સંખ્યાઓ છે, પછી n< b n .

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

• જ્યારે તમે સાઇટ પર એપ્લિકેશન સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

• અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
• સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
• અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
• જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

• જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા રશિયન ફેડરેશનના પ્રદેશમાં સરકારી સત્તાવાળાઓની જાહેર વિનંતીઓ અથવા વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા માટે. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
• પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહને ત્રણ સમૂહોના સંઘ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે: સકારાત્મક સંખ્યાઓનો સમૂહ, નકારાત્મક સંખ્યાઓનો સમૂહ અને એક સંખ્યાનો સમૂહ - શૂન્ય સંખ્યા. તે નંબર દર્શાવવા માટે એહકારાત્મક, રેકોર્ડિંગનો ઉપયોગ કરો a > 0, નકારાત્મક સંખ્યા દર્શાવવા માટે અન્ય સંકેતનો ઉપયોગ કરો a< 0 .

ધન સંખ્યાઓનો સરવાળો અને ઉત્પાદન પણ ધન સંખ્યાઓ છે. જો નંબર એનકારાત્મક, પછી સંખ્યા -એહકારાત્મક (અને ઊલટું). કોઈપણ ધન સંખ્યા a માટે એક ધન તર્કસંગત સંખ્યા છે આર, શું આર< а . આ તથ્યો અસમાનતાના સિદ્ધાંતને આધાર રાખે છે.

વ્યાખ્યા દ્વારા, અસમાનતા a > b (અથવા, સમાન શું છે, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, એટલે કે જો સંખ્યા a - b ધન છે.

ખાસ કરીને, અસમાનતાને ધ્યાનમાં લો એ< 0 . આ અસમાનતાનો અર્થ શું છે? ઉપરોક્ત વ્યાખ્યા મુજબ, તેનો અર્થ એ થાય છે 0 - a > 0, એટલે કે -a > 0અથવા, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સંખ્યા શું છે -એહકારાત્મક રીતે પરંતુ આ સ્થાન લે છે જો અને માત્ર જો સંખ્યા એનકારાત્મક તેથી અસમાનતા એ< 0 મતલબ કે સંખ્યા પરંતુ નકારાત્મક.

નોટેશનનો પણ વારંવાર ઉપયોગ થાય છે ab(અથવા, સમાન શું છે, ba).
રેકોર્ડ ab, વ્યાખ્યા દ્વારા, તેનો અર્થ એ છે કે ક્યાં તો a > b, અથવા a = b. જો આપણે રેકોર્ડને ધ્યાનમાં લઈએ abઅનિશ્ચિત વિધાન તરીકે, પછી ગાણિતિક તર્કના સંકેતમાં આપણે લખી શકીએ છીએ

(a b) [(a > b) V (a = b)]

ઉદાહરણ 1.શું અસમાનતાઓ 5 0, 0 0 સાચી છે?

અસમાનતા 5 0 એ એક જટિલ વિધાન છે જેમાં લોજિકલ કનેક્ટિવ “અથવા” (ડિસજંક્શન) દ્વારા જોડાયેલા બે સરળ નિવેદનોનો સમાવેશ થાય છે. ક્યાં તો 5 > 0 અથવા 5 = 0. પ્રથમ વિધાન 5 > 0 સાચું છે, બીજું વિધાન 5 = 0 ખોટું છે. વિભાજનની વ્યાખ્યા દ્વારા, આવા જટિલ વિધાન સાચું છે.

એન્ટ્રી 00 ની પણ એ જ રીતે ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

ફોર્મની અસમાનતા a > b, a< b અમે તેમને કડક અને ફોર્મની અસમાનતા કહીશું એબી, એબી- કડક નથી.

અસમાનતા a > bઅને c > ડી(અથવા એ< b અને સાથે< d ) સમાન અર્થની અસમાનતા અને અસમાનતા કહેવાશે a > bઅને c< d - વિરોધી અર્થની અસમાનતા. નોંધ કરો કે આ બે શબ્દો (સમાન અને વિરોધી અર્થની અસમાનતાઓ) માત્ર અસમાનતાઓ લખવાના સ્વરૂપનો સંદર્ભ આપે છે, અને આ અસમાનતાઓ દ્વારા વ્યક્ત કરાયેલા તથ્યોનો નહીં. તેથી, અસમાનતાના સંબંધમાં એ< b અસમાનતા સાથે< d સમાન અર્થની અસમાનતા છે, અને નોટેશનમાં d>c(એક જ વસ્તુનો અર્થ) - વિરુદ્ધ અર્થની અસમાનતા.

ફોર્મની અસમાનતાઓ સાથે a>b, abકહેવાતી બેવડી અસમાનતાઓનો ઉપયોગ થાય છે, એટલે કે, સ્વરૂપની અસમાનતા એ< с < b , એસી< b , a< cb ,
acb. વ્યાખ્યા દ્વારા, એક રેકોર્ડ

એ< с < b (1)
મતલબ કે બંને અસમાનતા ધરાવે છે:

એ< с અને સાથે< b.

અસમાનતાઓનો સમાન અર્થ છે એસીબી, એસી< b, а < сb.

બેવડી અસમાનતા (1) નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

(એ< c < b) [(a < c) & (c < b)]

અને બેવડી અસમાનતા a ≤ c ≤ bનીચેના ફોર્મમાં લખી શકાય છે:

(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

ચાલો હવે અસમાનતાઓ પરના મૂળભૂત ગુણધર્મો અને કાર્યવાહીના નિયમોની રજૂઆત તરફ આગળ વધીએ, સંમત થયા પછી કે આ લેખમાં અક્ષરો a, b, cવાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સ્ટેન્ડ, અને nકુદરતી સંખ્યાનો અર્થ થાય છે.

1) જો a > b અને b > c, તો a > c (સંક્રમણાત્મકતા).

પુરાવો.

શરત દ્વારા a > bઅને b > c, પછી નંબરો a - bઅને b - cહકારાત્મક છે, અને તેથી સંખ્યા a - c = (a - b) + (b - c), ધન સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે, પણ ધન છે. આનો અર્થ, વ્યાખ્યા દ્વારા, તે a > c.

2) જો a > b હોય, તો કોઈપણ c માટે અસમાનતા a + c > b + c ધરાવે છે.

પુરાવો.

કારણ કે a > b, પછી નંબર a - bહકારાત્મક રીતે તેથી, સંખ્યા (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - bહકારાત્મક પણ છે, એટલે કે.
a + c > b + c.

3) જો a + b > c, તો a > b - c,એટલે કે, કોઈપણ શબ્દને અસમાનતાના એક ભાગમાંથી બીજામાં સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે.

પ્રોપર્ટીમાંથી સાબિતી મળે છે 2) તે અસમાનતાની બંને બાજુઓ માટે પૂરતું છે a + b > cનંબર ઉમેરો - બી.

4) જો a > b અને c > d, તો a + c > b + d,એટલે કે, જ્યારે એક જ અર્થની બે અસમાનતાઓ ઉમેરવામાં આવે છે, ત્યારે સમાન અર્થની અસમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે.

પુરાવો.

અસમાનતાની વ્યાખ્યાના આધારે, તે તફાવત બતાવવા માટે પૂરતું છે
(a + c) - (b + c)હકારાત્મક. આ તફાવત નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
ત્યારથી નંબરની શરત મુજબ a - bઅને c - ડીપછી હકારાત્મક છે (a + c) - (b + d)સકારાત્મક સંખ્યા પણ છે.

પરિણામ. નિયમો 2) અને 4)માંથી અસમાનતા બાદબાકી કરવા માટેનો નીચેનો નિયમ નીચે મુજબ છે: જો a > b, c > d, તે a - d > b - c(સાબિતી માટે અસમાનતાની બંને બાજુઓ લાગુ કરવા માટે તે પૂરતું છે a + c > b + dનંબર ઉમેરો - સી - ડી).

5) જો a > b, તો c > 0 માટે આપણી પાસે ac > bc છે, અને c માટે< 0 имеем ас < bc.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જ્યારે અસમાનતાની બંને બાજુઓને સકારાત્મક સંખ્યા સાથે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે અસમાનતા ચિહ્ન સાચવવામાં આવે છે (એટલે ​​​​કે, સમાન અર્થની અસમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે), પરંતુ જ્યારે નકારાત્મક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે અસમાનતા ચિહ્ન વિરુદ્ધમાં બદલાય છે. (એટલે ​​​​કે, વિપરીત અર્થની અસમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે.

પુરાવો.

જો a > b, તે a - bહકારાત્મક સંખ્યા છે. તેથી, તફાવતની નિશાની એસી-બીસી = c(a - b)સંખ્યાના ચિહ્ન સાથે મેળ ખાય છે સાથે: જો સાથેધન સંખ્યા છે, પછી તફાવત એસી - બીસીહકારાત્મક છે અને તેથી ac > bс, અને જો સાથે< 0 , તો પછી આ તફાવત નકારાત્મક છે અને તેથી બીસી - એસીહકારાત્મક, એટલે કે બીસી > એસી.

6) જો a > b > 0 અને c > d > 0 હોય, તો ac > bd,એટલે કે, જો સમાન અર્થની બે અસમાનતાના તમામ પદો સકારાત્મક હોય, તો જ્યારે આ અસમાનતાના પદનો શબ્દ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે સમાન અર્થની અસમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે.

પુરાવો.

અમારી પાસે ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). કારણ કે c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, પછી ac - bd > 0, એટલે કે ac > bd.

ટિપ્પણી.પુરાવા પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે શરત d > 0મિલકતની રચનામાં 6) બિનમહત્વપૂર્ણ છે: આ મિલકત માન્ય હોવા માટે, તે પૂરતું છે કે શરતો પૂરી થાય a > b > 0, c > d, c > 0. જો (જો અસમાનતાઓ પૂર્ણ થાય a > b, c > d) સંખ્યાઓ a, b, cબધા હકારાત્મક નહીં હોય, પછી અસમાનતા એસી > બીડીપરિપૂર્ણ થઈ શકશે નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે એ = 2, b =1, c= -2, ડી= -3 અમારી પાસે છે a > b, c > ડી, પરંતુ અસમાનતા એસી > બીડી(એટલે ​​​​કે -4 > -3) નિષ્ફળ. આમ, ગુણધર્મ 6)ની રચનામાં સંખ્યાઓ a, b, c હકારાત્મક હોવી જરૂરી છે.

7) જો a ≥ b > 0 અને c > d > 0 હોય, તો (અસમાનતાઓનો વિભાજન).

પુરાવો.

અમારી પાસે જમણી બાજુના અપૂર્ણાંકનો અંશ ધન છે (જુઓ ગુણધર્મો 5), 6)), છેદ પણ સકારાત્મક છે. આથી,. આ મિલકત સાબિત કરે છે 7).

ટિપ્પણી.ચાલો નિયમ 7 ના એક મહત્વપૂર્ણ વિશેષ કેસની નોંધ લઈએ), a = b = 1 સાથે મેળવેલ: જો c > d > 0, તો. આમ, જો અસમાનતાની શરતો સકારાત્મક હોય, તો જ્યારે પારસ્પરિક તરફ જઈએ ત્યારે આપણે વિરુદ્ધ અર્થની અસમાનતા મેળવીએ છીએ. અમે વાચકોને ચકાસવા માટે આમંત્રિત કરીએ છીએ કે આ નિયમ 7 માં પણ ધરાવે છે) જો ab > 0 અને c > d > 0, તો પછી (અસમાનતાઓનું વિભાજન).

પુરાવો. તે.

અમે ચિહ્નનો ઉપયોગ કરીને લખેલા અસમાનતાના કેટલાક ગુણધર્મો ઉપર સાબિત કર્યા છે > (વધુ). જો કે, આ તમામ ગુણધર્મો ચિહ્નનો ઉપયોગ કરીને ઘડી શકાય છે < (ઓછી), અસમાનતા થી b< а અર્થ, વ્યાખ્યા દ્વારા, અસમાનતા સમાન a > b. વધુમાં, ચકાસવા માટે સરળ છે તેમ, ઉપર સાબિત થયેલ ગુણધર્મો બિન-કડક અસમાનતાઓ માટે પણ સાચવેલ છે. ઉદાહરણ તરીકે, મિલકત 1) બિન-કડક અસમાનતા માટે નીચેનું સ્વરૂપ હશે: જો ab અને bc, તે એસી.

અલબત્ત, ઉપરોક્ત અસમાનતાના સામાન્ય ગુણધર્મોને મર્યાદિત કરતું નથી. પાવર, ઘાતાંકીય, લઘુગણક અને ત્રિકોણમિતિ વિધેયોની વિચારણાથી સંબંધિત સામાન્ય અસમાનતાઓની સંપૂર્ણ શ્રેણી પણ છે. આ પ્રકારની અસમાનતાઓ લખવા માટેનો સામાન્ય અભિગમ નીચે મુજબ છે. જો અમુક કાર્ય y = f(x)સેગમેન્ટ પર એકવિધ રીતે વધે છે [a, b], તો પછી x 1 > x 2 (જ્યાં x 1 અને x 2 આ સેગમેન્ટના છે) માટે આપણી પાસે f છે. (x 1) > f(x 2). તેવી જ રીતે, જો કાર્ય y = f(x)એકવિધ રીતે અંતરાલ પર ઘટે છે [a, b], પછી જ્યારે x 1 > x 2 (ક્યાં x 1અને એક્સ 2 આ સેગમેન્ટના) અમારી પાસે છે f(x 1)< f(x 2 ). અલબત્ત, જે કહેવામાં આવ્યું છે તે એકવિધતાની વ્યાખ્યાથી અલગ નથી, પરંતુ આ તકનીક અસમાનતાને યાદ રાખવા અને લખવા માટે ખૂબ અનુકૂળ છે.

તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n કાર્ય માટે y = x nકિરણ સાથે એકવિધ રીતે વધી રહ્યું છે {0} {0} }