આપેલ દિશામાં આપેલ બિંદુ પરથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ. આપેલા બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ. બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો. બે સીધી રેખાઓની સમાંતરતા અને લંબરૂપતાની સ્થિતિ. બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુનું નિર્ધારણ

1. આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ એ(x 1 , y 1) આપેલ દિશામાં, ઢાળ દ્વારા નિર્ધારિત k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

આ સમીકરણ બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની પેન્સિલને વ્યાખ્યાયિત કરે છે એ(x 1 , y 1), જેને બીમ સેન્ટર કહેવામાં આવે છે.

2. બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ: એ(x 1 , y 1) અને બી(x 2 , y 2), આના જેવું લખ્યું છે:

આપેલ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાનો કોણીય ગુણાંક સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

3. સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો એઅને બીએ કોણ છે જેના દ્વારા પ્રથમ સીધી રેખા ફેરવવી આવશ્યક છે એઆ રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુની આસપાસ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં જ્યાં સુધી તે બીજી લાઇન સાથે એકરુપ ન થાય ત્યાં સુધી બી. જો ઢોળાવ સાથેના સમીકરણો દ્વારા બે સીધી રેખાઓ આપવામાં આવે

y = k 1 x + બી 1 ,

પ્લેન પર સીધી રેખાનું સમીકરણ.
દિશા વેક્ટર સીધી છે. સામાન્ય વેક્ટર

પ્લેન પરની સીધી રેખા એ સૌથી સરળ ભૌમિતિક આકૃતિઓમાંથી એક છે, જે તમને પ્રાથમિક શાળાથી પરિચિત છે, અને આજે આપણે વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને તેની સાથે કેવી રીતે વ્યવહાર કરવો તે શીખીશું. સામગ્રીમાં નિપુણતા મેળવવા માટે, તમારે એક સીધી રેખા બનાવવા માટે સમર્થ હોવા જોઈએ; જાણો શું સમીકરણ સીધી રેખાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, ખાસ કરીને, કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા અને સંકલન અક્ષની સમાંતર સીધી રેખાઓ. આ માહિતી મેન્યુઅલમાં મળી શકે છે પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ અને ગુણધર્મો, મેં તેને માથન માટે બનાવ્યું છે, પરંતુ રેખીય કાર્ય વિશેનો વિભાગ ખૂબ જ સફળ અને વિગતવાર બન્યો. તેથી, પ્રિય ટીપોટ્સ, પહેલા ત્યાં ગરમ ​​કરો. વધુમાં, તમારે વિશે મૂળભૂત જ્ઞાન હોવું જરૂરી છે વેક્ટર, અન્યથા સામગ્રીની સમજ અધૂરી રહેશે.

આ પાઠમાં આપણે એવી રીતો જોઈશું કે જેમાં તમે પ્લેન પર સીધી રેખાનું સમીકરણ બનાવી શકો. હું પ્રાયોગિક ઉદાહરણોની અવગણના ન કરવાની ભલામણ કરું છું (ભલે તે ખૂબ જ સરળ લાગે), કારણ કે હું તેમને પ્રાથમિક અને મહત્વપૂર્ણ તથ્યો, તકનીકી તકનીકો પ્રદાન કરીશ જે ભવિષ્યમાં ઉચ્ચ ગણિતના અન્ય વિભાગો સહિતની જરૂર પડશે.

• કોણ ગુણાંક સાથે સીધી રેખાનું સમીકરણ કેવી રીતે લખવું?
• કેવી રીતે ?
• સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને દિશા વેક્ટર કેવી રીતે શોધી શકાય?
• એક બિંદુ અને સામાન્ય વેક્ટર આપેલ સીધી રેખાનું સમીકરણ કેવી રીતે લખવું?

અને અમે શરૂ કરીએ છીએ:

ઢોળાવ સાથે સીધી રેખાનું સમીકરણ

સીધી રેખા સમીકરણનું જાણીતું "શાળા" સ્વરૂપ કહેવાય છે ઢોળાવ સાથે સીધી રેખાનું સમીકરણ. ઉદાહરણ તરીકે, જો સમીકરણ દ્વારા સીધી રેખા આપવામાં આવે, તો તેનો ઢોળાવ છે: . ચાલો આ ગુણાંકના ભૌમિતિક અર્થને ધ્યાનમાં લઈએ અને તેનું મૂલ્ય રેખાના સ્થાનને કેવી રીતે અસર કરે છે:

ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં તે સાબિત થાય છે સીધી રેખાનો ઢોળાવ બરાબર છે કોણની સ્પર્શકહકારાત્મક ધરીની દિશા વચ્ચેઅને આ લાઇન: , અને કોણ ઘડિયાળની કાઉન્ટરવાઇઝમાં "અનસ્ક્રૂ કરે છે".

ડ્રોઇંગને ગડબડ ન કરવા માટે, મેં ફક્ત બે સીધી રેખાઓ માટે ખૂણા દોર્યા. ચાલો "લાલ" રેખા અને તેના ઢોળાવને ધ્યાનમાં લઈએ. ઉપર મુજબ: ("આલ્ફા" કોણ લીલા ચાપ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે). કોણ ગુણાંક સાથે "વાદળી" સીધી રેખા માટે, સમાનતા સાચી છે ("બીટા" કોણ ભૂરા ચાપ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે). અને જો કોણની સ્પર્શક જાણીતી હોય, તો જો જરૂરી હોય તો તે શોધવાનું સરળ છે અને ખૂણો પોતેવ્યસ્ત કાર્યનો ઉપયોગ કરીને - આર્કટેન્જેન્ટ. જેમ તેઓ કહે છે, ત્રિકોણમિતિ ટેબલ અથવા તમારા હાથમાં માઇક્રોકેલ્ક્યુલેટર. આમ, કોણીય ગુણાંક એબ્સીસા અક્ષ તરફ સીધી રેખાના ઝોકની ડિગ્રી દર્શાવે છે.

નીચેના કિસ્સાઓ શક્ય છે:

1) જો ઢોળાવ નકારાત્મક છે: તો પછી રેખા, આશરે કહીએ તો, ઉપરથી નીચે સુધી જાય છે. ડ્રોઇંગમાં "વાદળી" અને "રાસ્પબેરી" સીધી રેખાઓ ઉદાહરણો છે.

2) જો ઢોળાવ ધન છે: તો રેખા નીચેથી ઉપર તરફ જાય છે. ઉદાહરણો - ડ્રોઇંગમાં "કાળી" અને "લાલ" સીધી રેખાઓ.

3) જો ઢોળાવ શૂન્ય છે: , તો સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે, અને અનુરૂપ સીધી રેખા અક્ષની સમાંતર છે. ઉદાહરણ "પીળી" સીધી રેખા છે.

4) અક્ષની સમાંતર રેખાઓના પરિવાર માટે (ચિત્રમાં કોઈ ઉદાહરણ નથી, ધરી સિવાય), કોણીય ગુણાંક અસ્તિત્વમાં નથી (90 ડિગ્રીની સ્પર્શક વ્યાખ્યાયિત નથી).

નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં ઢાળ ગુણાંક જેટલો મોટો હશે, સીધી રેખાનો આલેખ જેટલો વધારે છે..

ઉદાહરણ તરીકે, બે સીધી રેખાઓ ધ્યાનમાં લો. અહીં, તેથી, સીધી રેખામાં વધુ ઢાળ છે. ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે મોડ્યુલ તમને ચિહ્નને અવગણવાની મંજૂરી આપે છે, અમને ફક્ત તેમાં જ રસ છે સંપૂર્ણ મૂલ્યોકોણીય ગુણાંક.

બદલામાં, એક સીધી રેખા સીધી રેખાઓ કરતા વધારે છે .

તેનાથી વિપરિત: નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં ઢાળ ગુણાંક જેટલો નાનો હશે, તેટલી સીધી રેખા ચપટી હશે.

સીધી રેખાઓ માટે અસમાનતા સાચી છે, આમ સીધી રેખા ચપટી છે. ચિલ્ડ્રન્સ સ્લાઇડ, જેથી તમારી જાતને ઉઝરડા અને મુશ્કેલીઓ ન આવે.

આ શા માટે જરૂરી છે?

તમારી યાતનાને લંબાવો ઉપરોક્ત તથ્યોનું જ્ઞાન તમને તમારી ભૂલો, ખાસ કરીને, આલેખ બનાવતી વખતે ભૂલોને તરત જ જોવાની મંજૂરી આપે છે - જો ડ્રોઇંગ "સ્પષ્ટપણે કંઈક ખોટું" હોવાનું બહાર આવે છે. તે સલાહભર્યું છે કે તમે સીધ્ધે સિધ્ધોતે સ્પષ્ટ હતું કે, ઉદાહરણ તરીકે, સીધી રેખા ખૂબ જ ઢાળવાળી છે અને નીચેથી ઉપર તરફ જાય છે, અને સીધી રેખા ખૂબ જ સપાટ છે, ધરીની નજીક દબાવવામાં આવે છે અને ઉપરથી નીચે સુધી જાય છે.

ભૌમિતિક સમસ્યાઓમાં, ઘણી સીધી રેખાઓ વારંવાર દેખાય છે, તેથી તેમને કોઈક રીતે નિયુક્ત કરવું અનુકૂળ છે.

હોદ્દો: સીધી રેખાઓ નાના લેટિન અક્ષરોમાં નિયુક્ત કરવામાં આવી છે: . કુદરતી સબસ્ક્રિપ્ટ્સ સાથે સમાન અક્ષરનો ઉપયોગ કરીને તેમને નિયુક્ત કરવાનો એક લોકપ્રિય વિકલ્પ છે. ઉદાહરણ તરીકે, અમે હમણાં જ જોઈ છે તે પાંચ લીટીઓ દ્વારા સૂચિત કરી શકાય છે .

કોઈપણ સીધી રેખા અનન્ય રીતે બે બિંદુઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવતી હોવાથી, તેને આ બિંદુઓ દ્વારા સૂચિત કરી શકાય છે: વગેરે હોદ્દો સ્પષ્ટપણે સૂચવે છે કે બિંદુઓ રેખાના છે.

થોડો ગરમ થવાનો સમય છે:

કોણ ગુણાંક સાથે સીધી રેખાનું સમીકરણ કેવી રીતે લખવું?

જો કોઈ ચોક્કસ રેખાથી સંબંધિત બિંદુ અને આ રેખાનો કોણીય ગુણાંક જાણીતો હોય, તો આ રેખાનું સમીકરણ સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ 1

ઢોળાવ સાથેની રેખા માટે સમીકરણ લખો જો તે જાણીતું હોય કે બિંદુ આપેલ રેખાનો છે.

ઉકેલ: ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાનું સમીકરણ બનાવીએ . આ બાબતે:

જવાબ આપો:

પરીક્ષાસરળ રીતે કરવામાં આવે છે. પ્રથમ, આપણે પરિણામી સમીકરણને જોઈએ છીએ અને ખાતરી કરીએ છીએ કે આપણો ઢોળાવ તેની જગ્યાએ છે. બીજું, બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ આ સમીકરણને સંતોષવા જોઈએ. ચાલો તેમને સમીકરણમાં પ્લગ કરીએ:

સાચી સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે બિંદુ પરિણામી સમીકરણને સંતોષે છે.

નિષ્કર્ષ: સમીકરણ યોગ્ય રીતે મળ્યું.

તમારા પોતાના પર ઉકેલવા માટે વધુ મુશ્કેલ ઉદાહરણ:

ઉદાહરણ 2

સીધી રેખા માટે સમીકરણ લખો જો તે જાણીતું હોય કે અક્ષની સકારાત્મક દિશા તરફ તેનો ઝોકનો કોણ છે અને બિંદુ આ સીધી રેખાથી સંબંધિત છે.

જો તમને કોઈ મુશ્કેલીઓ હોય, તો સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીને ફરીથી વાંચો. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, વધુ વ્યવહારુ, હું ઘણા પુરાવાઓને છોડી દઉં છું.

છેલ્લી ઘંટડી વાગી છે, પદવીદાન સમારોહ સમાપ્ત થયો છે, અને અમારી મૂળ શાળાના દરવાજાની બહાર, વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ પોતે જ આપણી રાહ જુએ છે. જોક્સ પૂરા થઈ ગયા... અથવા કદાચ તેઓ માત્ર શરૂઆત કરી રહ્યા છે =)

અમે નોસ્ટાલ્જિક રીતે અમારી પેનને પરિચિત તરફ લહેરાવીએ છીએ અને સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણથી પરિચિત થઈએ છીએ. કારણ કે વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિમાં આનો બરાબર ઉપયોગ થાય છે:

સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: , અમુક સંખ્યાઓ ક્યાં છે. તે જ સમયે, ગુણાંક સાથે સાથેશૂન્ય સમાન નથી, કારણ કે સમીકરણ તેનો અર્થ ગુમાવે છે.

ચાલો પોશાક પહેરીએ અને ઢાળ ગુણાંક સાથે સમીકરણ બાંધીએ. પ્રથમ, ચાલો બધી શરતોને ડાબી બાજુએ ખસેડીએ:

"X" સાથેનો શબ્દ પ્રથમ સ્થાને મૂકવો આવશ્યક છે:

સૈદ્ધાંતિક રીતે, સમીકરણ પહેલાથી જ સ્વરૂપ ધરાવે છે, પરંતુ ગાણિતિક શિષ્ટાચારના નિયમો અનુસાર, પ્રથમ શબ્દનો ગુણાંક (આ કિસ્સામાં) હકારાત્મક હોવો જોઈએ. બદલાતા ચિહ્નો:

આ તકનીકી સુવિધા યાદ રાખો!અમે પ્રથમ ગુણાંક (મોટાભાગે) હકારાત્મક બનાવીએ છીએ!

વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિમાં, સીધી રેખાનું સમીકરણ લગભગ હંમેશા સામાન્ય સ્વરૂપમાં આપવામાં આવશે. ઠીક છે, જો જરૂરી હોય તો, તેને કોણીય ગુણાંક સાથે સરળતાથી "શાળા" સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે (ઓર્ડિનેટ અક્ષની સમાંતર સીધી રેખાઓના અપવાદ સાથે).

ચાલો આપણી જાતને પૂછીએ કે શું પૂરતૂસીધી રેખા બાંધવાનું જાણો છો? બે પોઈન્ટ. પરંતુ આ બાળપણની ઘટના વિશે વધુ હવે તીર શાસન સાથે લાકડી; દરેક સીધી રેખામાં ખૂબ જ ચોક્કસ ઢોળાવ હોય છે, જેને "અનુકૂલન" કરવું સરળ છે. વેક્ટર.

જે વેક્ટર રેખાની સમાંતર હોય તેને તે રેખાનો દિશા વેક્ટર કહેવામાં આવે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે કોઈપણ સીધી રેખામાં અનંત સંખ્યામાં દિશા વેક્ટર હોય છે, અને તે બધા સમરેખા હશે (કોડાયરેક્શનલ કે નહીં - તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી).

હું દિશા વેક્ટરને નીચે પ્રમાણે દર્શાવીશ: .

પરંતુ એક વેક્ટર સીધી રેખા બાંધવા માટે પૂરતું નથી; તેથી, રેખા સાથે સંબંધિત કેટલાક બિંદુઓને જાણવું પણ જરૂરી છે.

બિંદુ અને દિશા વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાનું સમીકરણ કેવી રીતે લખવું?

જો કોઈ ચોક્કસ બિંદુ જે રેખા સાથે જોડાયેલ છે અને આ રેખાની દિશા વેક્ટર જાણીતી છે, તો પછી આ રેખાનું સમીકરણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સંકલિત કરી શકાય છે:

ક્યારેક તેને કહેવામાં આવે છે રેખાનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ .

ત્યારે શું કરવું કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી એકશૂન્યની બરાબર છે, આપણે નીચે વ્યવહારુ ઉદાહરણોમાં સમજીશું. માર્ગ દ્વારા, કૃપા કરીને નોંધો - બંને એક સાથેકોઓર્ડિનેટ્સ શૂન્યની બરાબર હોઈ શકતા નથી, કારણ કે શૂન્ય વેક્ટર ચોક્કસ દિશા નિર્દિષ્ટ કરતું નથી.

ઉદાહરણ 3

બિંદુ અને દિશા વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખા માટે સમીકરણ લખો

ઉકેલ: ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાનું સમીકરણ બનાવીએ. આ બાબતે:

પ્રમાણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને આપણે અપૂર્ણાંકોથી છુટકારો મેળવીએ છીએ:

અને અમે સમીકરણને તેના સામાન્ય સ્વરૂપમાં લાવીએ છીએ:

જવાબ આપો:

એક નિયમ તરીકે, આવા ઉદાહરણોમાં ચિત્ર બનાવવાની જરૂર નથી, પરંતુ સમજણ માટે:

ડ્રોઇંગમાં આપણે પ્રારંભિક બિંદુ, મૂળ દિશા વેક્ટર (તે પ્લેનમાં કોઈપણ બિંદુથી પ્લોટ કરી શકાય છે) અને બાંધેલી સીધી રેખા જોઈએ છીએ. માર્ગ દ્વારા, ઘણા કિસ્સાઓમાં કોણીય ગુણાંક સાથેના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખા બાંધવી એ સૌથી અનુકૂળ છે. આપણા સમીકરણને સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવું અને સીધી રેખા બાંધવા માટે સરળતાથી અન્ય બિંદુ પસંદ કરવાનું સરળ છે.

ફકરાની શરૂઆતમાં નોંધ્યું છે તેમ, એક સીધી રેખામાં અનંતપણે ઘણા દિશા વેક્ટર હોય છે, અને તે બધા સમરેખા હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેં આવા ત્રણ વેક્ટર દોર્યા: . આપણે ગમે તે દિશા વેક્ટર પસંદ કરીએ, પરિણામ હંમેશા સમાન સીધી રેખા સમીકરણ હશે.

ચાલો બિંદુ અને દિશા વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાનું સમીકરણ બનાવીએ:

પ્રમાણનું નિરાકરણ:

બંને બાજુઓને –2 વડે વિભાજીત કરો અને પરિચિત સમીકરણ મેળવો:

રસ ધરાવતા લોકો એ જ રીતે વેક્ટર્સનું પરીક્ષણ કરી શકે છે અથવા કોઈપણ અન્ય સમસ્તર વેક્ટર.

ચાલો હવે વિપરીત સમસ્યા હલ કરીએ:

સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને દિશા વેક્ટર કેવી રીતે શોધી શકાય?

ખૂબ જ સરળ:

જો લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં સામાન્ય સમીકરણ દ્વારા રેખા આપવામાં આવે છે, તો વેક્ટર એ આ રેખાની દિશા વેક્ટર છે.

સીધી રેખાઓના દિશા વેક્ટર શોધવાના ઉદાહરણો:

વિધાન અમને અનંત સંખ્યામાંથી માત્ર એક દિશા વેક્ટર શોધવાની મંજૂરી આપે છે, પરંતુ અમને વધુની જરૂર નથી. જોકે કેટલાક કિસ્સાઓમાં દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ ઘટાડવાની સલાહ આપવામાં આવે છે:

આમ, સમીકરણ એક સીધી રેખા સ્પષ્ટ કરે છે જે અક્ષની સમાંતર હોય અને પરિણામી દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ -2 વડે સરળતાથી વિભાજિત થાય છે, દિશા વેક્ટર તરીકે બરાબર આધાર વેક્ટર મેળવે છે. તાર્કિક.

એ જ રીતે, સમીકરણ ધરીની સમાંતર સીધી રેખા સ્પષ્ટ કરે છે, અને વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સને 5 વડે વિભાજિત કરીને, આપણે દિશા વેક્ટર તરીકે એકમ વેક્ટર મેળવીએ છીએ.

હવે ચાલો તે કરીએ તપાસી રહ્યું છે ઉદાહરણ 3. ઉદાહરણ આગળ વધ્યું, તેથી હું તમને યાદ કરાવું છું કે તેમાં આપણે બિંદુ અને દિશા વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાના સમીકરણનું સંકલન કર્યું છે.

સૌપ્રથમ, સીધી રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને આપણે તેના દિશા વેક્ટરનું પુનઃનિર્માણ કરીએ છીએ: - બધું બરાબર છે, અમને મૂળ વેક્ટર પ્રાપ્ત થયો છે (કેટલાક કિસ્સાઓમાં પરિણામ મૂળ વેક્ટર માટે સમરેખા વેક્ટર હોઈ શકે છે, અને આ સામાન્ય રીતે અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સના પ્રમાણ દ્વારા નોંધવું સરળ છે).

બીજું, બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષતા હોવા જોઈએ. અમે તેમને સમીકરણમાં બદલીએ છીએ:

યોગ્ય સમાનતા પ્રાપ્ત થઈ હતી, જેનાથી અમે ખૂબ જ ખુશ છીએ.

નિષ્કર્ષ: કાર્ય યોગ્ય રીતે પૂર્ણ થયું હતું.

ઉદાહરણ 4

બિંદુ અને દિશા વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખા માટે સમીકરણ લખો

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. ઉકેલ અને જવાબ પાઠના અંતે છે. હમણાં જ ચર્ચા કરેલ એલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને તપાસ કરવાનું ખૂબ જ સલાહભર્યું છે. હંમેશા (જો શક્ય હોય તો) ડ્રાફ્ટ તપાસવાનો પ્રયાસ કરો. ભૂલો કરવી તે મૂર્ખ છે જ્યાં તેને 100% ટાળી શકાય.

જો દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી એક શૂન્ય હોય, તો ખૂબ જ સરળ રીતે આગળ વધો:

ઉદાહરણ 5

ઉકેલ: સૂત્ર યોગ્ય નથી કારણ કે જમણી બાજુનો છેદ શૂન્ય છે. ત્યાં એક બહાર નીકળો છે! પ્રમાણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, અમે ફોર્મ્યુલાને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ, અને બાકીનાને ઊંડા રુટ સાથે વળેલું છે:

જવાબ આપો:

પરીક્ષા:

1) સીધી રેખાના નિર્દેશન વેક્ટરને પુનઃસ્થાપિત કરો:
- પરિણામી વેક્ટર મૂળ દિશા વેક્ટર સાથે સમરેખા છે.

2) બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને સમીકરણમાં બદલો:

યોગ્ય સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે

નિષ્કર્ષ: કાર્ય યોગ્ય રીતે પૂર્ણ થયું

પ્રશ્ન ઊભો થાય છે, જો કોઈ સાર્વત્રિક સંસ્કરણ છે જે કોઈ પણ સંજોગોમાં કામ કરશે તો સૂત્રથી શા માટે પરેશાન થવું? બે કારણો છે. પ્રથમ, સૂત્ર અપૂર્ણાંકના સ્વરૂપમાં છે વધુ સારી રીતે યાદ. અને બીજું, સાર્વત્રિક સૂત્રનો ગેરલાભ એ છે કે મૂંઝવણ થવાનું જોખમ નોંધપાત્ર રીતે વધે છેજ્યારે કોઓર્ડિનેટ્સ બદલી રહ્યા હોય.

ઉદાહરણ 6

બિંદુ અને દિશા વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખા માટે સમીકરણ લખો.

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો.

ચાલો સર્વવ્યાપક બે મુદ્દાઓ પર પાછા આવીએ:

બે બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાનું સમીકરણ કેવી રીતે લખવું?

જો બે બિંદુઓ જાણીતા છે, તો પછી આ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાનું સમીકરણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સંકલિત કરી શકાય છે:

હકીકતમાં, આ એક પ્રકારનું સૂત્ર છે અને અહીં શા માટે છે: જો બે બિંદુઓ જાણીતા છે, તો વેક્ટર એ આપેલ રેખાની દિશા વેક્ટર હશે. પાઠ પર ડમી માટે વેક્ટર્સઅમે સૌથી સરળ સમસ્યા ધ્યાનમાં લીધી - બે બિંદુઓમાંથી વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ કેવી રીતે શોધી શકાય. આ સમસ્યા અનુસાર, દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ છે:

નૉૅધ : પોઈન્ટ "સ્વેપ" કરી શકાય છે અને સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકાય છે . આવા ઉકેલ સમકક્ષ હશે.

ઉદાહરણ 7

બે બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાનું સમીકરણ લખો .

ઉકેલ: અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

છેદને કોમ્બિંગ:

અને ડેકને શફલ કરો:

હવે અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓથી છુટકારો મેળવવાનો સમય છે. આ કિસ્સામાં, તમારે બંને બાજુઓને 6 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે:

કૌંસ ખોલો અને સમીકરણને ધ્યાનમાં લો:

જવાબ આપો:

પરીક્ષાસ્પષ્ટ છે - પ્રારંભિક બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ પરિણામી સમીકરણને સંતોષવા જોઈએ:

1) બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ બદલો:

સાચી સમાનતા.

2) બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ બદલો:

સાચી સમાનતા.

નિષ્કર્ષ: લીટીનું સમીકરણ યોગ્ય રીતે લખાયેલું છે.

જો ઓછામા ઓછુ એકપોઈન્ટ્સ સમીકરણને સંતોષતા નથી, ભૂલ માટે જુઓ.

તે નોંધવું યોગ્ય છે કે આ કિસ્સામાં ગ્રાફિકલ વેરિફિકેશન મુશ્કેલ છે, કારણ કે એક સીધી રેખા બનાવો અને જુઓ કે પોઈન્ટ તેના છે કે કેમ. , એટલું સરળ નથી.

હું ઉકેલના કેટલાક વધુ તકનીકી પાસાઓની નોંધ લઈશ. કદાચ આ સમસ્યામાં મિરર ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરવો વધુ નફાકારક છે અને, તે જ બિંદુઓ પર એક સમીકરણ બનાવો:

ઓછા અપૂર્ણાંક. જો તમે ઇચ્છો, તો તમે ઉકેલને અંત સુધી લઈ શકો છો, પરિણામ સમાન સમીકરણ હોવું જોઈએ.

બીજો મુદ્દો અંતિમ જવાબ જોવાનો છે અને તે શોધવાનો છે કે શું તેને વધુ સરળ બનાવી શકાય છે? ઉદાહરણ તરીકે, જો તમને સમીકરણ મળે છે, તો તેને બેથી ઘટાડવાની સલાહ આપવામાં આવે છે: - સમીકરણ સમાન સીધી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરશે. જો કે, આ પહેલેથી જ ચર્ચાનો વિષય છે રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ.

જવાબ પ્રાપ્ત કર્યા ઉદાહરણ 7 માં, માત્ર કિસ્સામાં, મેં તપાસ્યું કે સમીકરણના તમામ ગુણાંક 2, 3 અથવા 7 વડે વિભાજ્ય છે કે કેમ. જો કે, મોટેભાગે આવા ઘટાડા ઉકેલ દરમિયાન કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 8

બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા માટે સમીકરણ લખો .

આ એક સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેનું ઉદાહરણ છે, જે તમને ગણતરીની તકનીકોને વધુ સારી રીતે સમજવા અને પ્રેક્ટિસ કરવાની મંજૂરી આપશે.

પાછલા ફકરાની જેમ જ: જો સૂત્રમાં હોય એક છેદ (દિશા વેક્ટરનું સંકલન) શૂન્ય બને છે, પછી આપણે તેને ફોર્મમાં ફરીથી લખીશું. ફરીથી, નોંધ લો કે તેણી કેટલી બેડોળ અને મૂંઝવણભરી દેખાય છે. મને વ્યવહારુ ઉદાહરણો આપવાનો બહુ અર્થ દેખાતો નથી, કારણ કે આપણે પહેલાથી જ આ સમસ્યાનું નિરાકરણ કર્યું છે (જુઓ નંબર 5, 6).

ડાયરેક્ટ નોર્મલ વેક્ટર (સામાન્ય વેક્ટર)

સામાન્ય શું છે? સાદા શબ્દોમાં, સામાન્ય એક લંબ છે. એટલે કે, લીટીનો સામાન્ય વેક્ટર આપેલ રેખાને લંબરૂપ હોય છે. દેખીતી રીતે, કોઈપણ સીધી રેખામાં અનંત સંખ્યામાં તે (તેમજ દિશા વેક્ટર) હોય છે, અને સીધી રેખાના તમામ સામાન્ય વેક્ટર સમરેખા હશે (કોડાયરેક્શનલ કે નહીં, તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી).

માર્ગદર્શક વેક્ટર્સ કરતાં તેમની સાથે વ્યવહાર કરવો વધુ સરળ હશે:

જો લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં સામાન્ય સમીકરણ દ્વારા રેખા આપવામાં આવે છે, તો વેક્ટર આ રેખાનો સામાન્ય વેક્ટર છે.

જો દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સને સમીકરણમાંથી કાળજીપૂર્વક "ખેંચવા" હોય, તો સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ ફક્ત "દૂર" કરી શકાય છે.

સામાન્ય વેક્ટર હંમેશા રેખાના દિશા વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ હોય છે. ચાલો આ વેક્ટર્સનો ઉપયોગ કરીને ઓર્થોગોનાલિટી ચકાસીએ ડોટ ઉત્પાદન:

હું દિશા વેક્ટર માટે સમાન સમીકરણો સાથે ઉદાહરણો આપીશ:

શું એક બિંદુ અને સામાન્ય વેક્ટર આપેલ સીધી રેખાનું સમીકરણ બાંધવું શક્ય છે? હું તેને મારા આંતરડામાં અનુભવું છું, તે શક્ય છે. જો સામાન્ય વેક્ટર જાણીતું હોય, તો સીધી રેખાની દિશા સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે - આ 90 ડિગ્રીના કોણ સાથે "કઠોર માળખું" છે.

એક બિંદુ અને સામાન્ય વેક્ટર આપેલ સીધી રેખાનું સમીકરણ કેવી રીતે લખવું?

જો કોઈ ચોક્કસ બિંદુ જે રેખાથી સંબંધિત છે અને આ રેખાના સામાન્ય વેક્ટરને ઓળખવામાં આવે છે, તો આ રેખાનું સમીકરણ સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

અહીં બધું અપૂર્ણાંક અને અન્ય આશ્ચર્ય વિના કામ કર્યું. આ આપણું સામાન્ય વેક્ટર છે. તેમને પ્રેમ. અને આદર =)

ઉદાહરણ 9

એક બિંદુ અને સામાન્ય વેક્ટર આપેલ સીધી રેખાનું સમીકરણ લખો. રેખાની દિશા વેક્ટર શોધો.

ઉકેલ: અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

સીધી રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ પ્રાપ્ત થયું છે, ચાલો તપાસીએ:

1) સમીકરણમાંથી સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ "દૂર કરો": – હા, ખરેખર, મૂળ વેક્ટર શરતમાંથી મેળવવામાં આવ્યો હતો (અથવા કોલિનિયર વેક્ટર મેળવવો જોઈએ).

2) ચાલો તપાસીએ કે બિંદુ સમીકરણને સંતોષે છે કે કેમ:

સાચી સમાનતા.

અમને ખાતરી થઈ જાય કે સમીકરણ યોગ્ય રીતે બનેલું છે, અમે કાર્યનો બીજો, સરળ ભાગ પૂર્ણ કરીશું. અમે સીધી રેખાના નિર્દેશન વેક્ટરને બહાર કાઢીએ છીએ:

જવાબ આપો:

ડ્રોઇંગમાં પરિસ્થિતિ આના જેવી લાગે છે:

તાલીમ હેતુઓ માટે, સ્વતંત્ર રીતે હલ કરવા માટે સમાન કાર્ય:

ઉદાહરણ 10

એક બિંદુ અને સામાન્ય વેક્ટર આપેલ સીધી રેખાનું સમીકરણ લખો. રેખાની દિશા વેક્ટર શોધો.

પાઠનો અંતિમ વિભાગ ઓછા સામાન્ય, પણ પ્લેન પરની રેખાના સમીકરણોના મહત્વપૂર્ણ પ્રકારોને સમર્પિત કરવામાં આવશે.

સેગમેન્ટ્સમાં સીધી રેખાનું સમીકરણ.
પેરામેટ્રિક સ્વરૂપમાં રેખાનું સમીકરણ

સેગમેન્ટ્સમાં સીધી રેખાના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે, જ્યાં બિનશૂન્ય સ્થિરાંકો છે. કેટલાક પ્રકારના સમીકરણો આ સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાતા નથી, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતા (કારણ કે મુક્ત શબ્દ શૂન્યની બરાબર છે અને જમણી બાજુએ એક મેળવવાનો કોઈ રસ્તો નથી).

આ, અલંકારિક રીતે કહીએ તો, "તકનીકી" પ્રકારનું સમીકરણ છે. એક સામાન્ય કાર્ય એ રેખાના સામાન્ય સમીકરણને સેગમેન્ટ્સમાં રેખાના સમીકરણ તરીકે રજૂ કરવાનું છે. તે કેવી રીતે અનુકૂળ છે? વિભાગોમાં રેખાનું સમીકરણ તમને સંકલન અક્ષો સાથે રેખાના આંતરછેદના બિંદુઓને ઝડપથી શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે, જે ઉચ્ચ ગણિતની કેટલીક સમસ્યાઓમાં ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ હોઈ શકે છે.

ચાલો ધરી સાથે રેખાના આંતરછેદના બિંદુને શોધીએ. અમે "y" ને ફરીથી સેટ કરીએ છીએ અને સમીકરણ ફોર્મ લે છે. ઇચ્છિત બિંદુ આપમેળે પ્રાપ્ત થાય છે: .

ધરી સાથે સમાન - બિંદુ કે જેના પર સીધી રેખા ઓર્ડિનેટ અક્ષને છેદે છે.

અવકાશમાં રેખાના પ્રામાણિક સમીકરણો એવા સમીકરણો છે જે દિશા વેક્ટરને આપેલ બિંદુ સમસ્તરમાંથી પસાર થતી રેખાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

એક બિંદુ અને દિશા વેક્ટર આપવા દો. એક મનસ્વી બિંદુ એક રેખા પર આવેલું છે lમાત્ર જો વેક્ટર અને સમરેખા હોય, એટલે કે, તેમના માટે સ્થિતિ સંતુષ્ટ હોય:

.

ઉપરોક્ત સમીકરણો સીધી રેખાના પ્રમાણભૂત સમીકરણો છે.

સંખ્યાઓ m , nઅને પીસંકલન અક્ષો પર દિશા વેક્ટરના અંદાજો છે. વેક્ટર બિન-શૂન્ય હોવાથી, પછી બધી સંખ્યાઓ m , nઅને પીએક સાથે શૂન્યની બરાબર ન હોઈ શકે. પરંતુ તેમાંથી એક કે બે શૂન્ય થઈ શકે છે. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિમાં, ઉદાહરણ તરીકે, નીચેની એન્ટ્રીની મંજૂરી છે:

,

જેનો અર્થ છે કે ધરી પર વેક્ટરના અંદાજો ઓયઅને ઓઝશૂન્ય સમાન છે. તેથી, પ્રામાણિક સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વેક્ટર અને સીધી રેખા બંને અક્ષોને લંબરૂપ છે ઓયઅને ઓઝ, એટલે કે વિમાનો yOz .

ઉદાહરણ 1.પ્લેન પર લંબરૂપ અવકાશમાં રેખા માટે સમીકરણો લખો અને ધરી સાથે આ પ્લેનના આંતરછેદના બિંદુમાંથી પસાર થવું ઓઝ .

ઉકેલ. ચાલો ધરી સાથે આ વિમાનના આંતરછેદના બિંદુને શોધીએ ઓઝ. કોઈપણ બિંદુ ધરી પર બોલતી હોવાથી ઓઝ, કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે, તો પછી, પ્લેનના આપેલ સમીકરણમાં ધારી રહ્યા છીએ x = y = 0, આપણને 4 મળે છે z- 8 = 0 અથવા z= 2. તેથી, ધરી સાથે આ પ્લેનનું આંતરછેદ બિંદુ ઓઝકોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે (0; 0; 2) . ઇચ્છિત રેખા પ્લેન પર લંબ હોવાથી, તે તેના સામાન્ય વેક્ટરની સમાંતર છે. તેથી, સીધી રેખાનો નિર્દેશક વેક્ટર સામાન્ય વેક્ટર હોઈ શકે છે આપેલ વિમાન.

હવે એક બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાના જરૂરી સમીકરણો લખીએ એ= (0; 0; 2) વેક્ટરની દિશામાં:

આપેલા બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાના સમીકરણો

એક સીધી રેખા તેના પર પડેલા બે બિંદુઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે અને આ કિસ્સામાં, સીધી રેખાનો નિર્દેશક વેક્ટર વેક્ટર હોઈ શકે છે. પછી રેખાના પ્રામાણિક સમીકરણો સ્વરૂપ લે છે

.

ઉપરોક્ત સમીકરણો આપેલ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા નક્કી કરે છે.

ઉદાહરણ 2.બિંદુઓમાંથી પસાર થતી અવકાશમાં રેખા માટે સમીકરણ લખો અને .

ઉકેલ. ચાલો સૈદ્ધાંતિક સંદર્ભમાં ઉપર આપેલ ફોર્મમાં સીધી રેખાના જરૂરી સમીકરણો લખીએ:

.

ત્યારથી, પછી ઇચ્છિત સીધી રેખા અક્ષને લંબરૂપ છે ઓય .

વિમાનોના આંતરછેદની રેખા તરીકે સીધી

અવકાશમાં એક સીધી રેખાને બે બિન-સમાંતર વિમાનોના આંતરછેદની રેખા તરીકે અને એટલે કે, બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને સંતોષતા બિંદુઓના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.

સિસ્ટમના સમીકરણોને અવકાશમાં સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણો પણ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 3.સામાન્ય સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવેલ અવકાશમાં રેખાના પ્રામાણિક સમીકરણો બનાવો

ઉકેલ. લીટીના પ્રામાણિક સમીકરણો અથવા, સમાન વસ્તુ શું છે, આપેલા બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાના સમીકરણો લખવા માટે, તમારે રેખા પરના કોઈપણ બે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ કોઈપણ બે સંકલન વિમાનો સાથે સીધી રેખાના આંતરછેદના બિંદુઓ હોઈ શકે છે yOzઅને xOz .

રેખા અને વિમાનના આંતરછેદનું બિંદુ yOzએબ્સિસા છે x= 0. તેથી, સમીકરણોની આ સિસ્ટમમાં ધારી રહ્યા છીએ x= 0, અમને બે ચલો સાથેની સિસ્ટમ મળે છે:

તેણીનો નિર્ણય y = 2 , z= 6 સાથે x= 0 એક બિંદુ વ્યાખ્યાયિત કરે છે એ(0; 2; 6) ઇચ્છિત રેખા. પછી આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમમાં ધારી રહ્યા છીએ y= 0, અમને સિસ્ટમ મળે છે

તેણીનો નિર્ણય x = -2 , z= 0 સાથે મળીને y= 0 એક બિંદુ વ્યાખ્યાયિત કરે છે બી(-2; 0; 0) વિમાન સાથેની રેખાનું આંતરછેદ xOz .

હવે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાના સમીકરણો લખીએ એ(0; 2; 6) અને બી (-2; 0; 0) :

,

અથવા છેદને -2 વડે વિભાજિત કર્યા પછી:

,

પ્લેન પરની રેખાનું સમીકરણ.

જેમ જાણીતું છે, પ્લેન પર કોઈપણ બિંદુ અમુક સંકલન પ્રણાલીમાં બે કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. આધાર અને મૂળની પસંદગીના આધારે સંકલન પ્રણાલીઓ અલગ અલગ હોઈ શકે છે.

વ્યાખ્યા. રેખા સમીકરણઆ રેખા બનાવેલા બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેનો સંબંધ y = f(x) કહેવાય છે.

નોંધ કરો કે રેખાના સમીકરણને પેરામેટ્રિક રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે, એટલે કે, દરેક બિંદુના દરેક સંકલનને અમુક સ્વતંત્ર પરિમાણ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. t.

એક લાક્ષણિક ઉદાહરણ એ મૂવિંગ પોઈન્ટનો માર્ગ છે. આ કિસ્સામાં, પરિમાણની ભૂમિકા સમય દ્વારા ભજવવામાં આવે છે.

પ્લેન પર સીધી રેખાનું સમીકરણ.

વ્યાખ્યા. પ્લેન પરની કોઈપણ સીધી રેખા પ્રથમ-ક્રમના સમીકરણ દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે

Ax + Wu + C = 0,

તદુપરાંત, સ્થિરાંકો A અને B એક જ સમયે શૂન્ય સમાન નથી, એટલે કે. A 2 + B 2  0. આ પ્રથમ ક્રમ સમીકરણ કહેવાય છે સીધી રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ.

સ્થિરાંકો A, B અને C ના મૂલ્યો પર આધાર રાખીને, નીચેના વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ શક્ય છે:

C = 0, A  0, B  0 - સીધી રેખા મૂળમાંથી પસાર થાય છે

A = 0, B  0, C  0 (બાય + C = 0) - ઓક્સ અક્ષની સમાંતર સીધી રેખા

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – ઓય અક્ષની સમાંતર સીધી રેખા

B = C = 0, A  0 - સીધી રેખા ઓય અક્ષ સાથે એકરુપ છે

A = C = 0, B  0 - સીધી રેખા બળદની ધરી સાથે એકરુપ છે

કોઈ પણ પ્રારંભિક સ્થિતિને આધારે સીધી રેખાના સમીકરણને વિવિધ સ્વરૂપોમાં રજૂ કરી શકાય છે.

બિંદુ અને સામાન્ય વેક્ટરથી સીધી રેખાનું સમીકરણ.

વ્યાખ્યા. કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, ઘટકો (A, B) સાથેનો વેક્ટર Ax + By + C = 0 સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલી સીધી રેખાને લંબરૂપ છે.

ઉદાહરણ.વેક્ટરના લંબરૂપ બિંદુ A(1, 2)માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધો (3, -1).

A = 3 અને B = -1 સાથે, ચાલો સીધી રેખાનું સમીકરણ બનાવીએ: 3x – y + C = 0. ગુણાંક C શોધવા માટે, આપણે આપેલ બિંદુ A ના કોઓર્ડિનેટ્સને પરિણામી અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ છીએ.

આપણને મળે છે: 3 – 2 + C = 0, તેથી C = -1.

કુલ: જરૂરી સમીકરણ: 3x – y – 1 = 0.

બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ.

બે બિંદુઓ M 1 (x 1, y 1, z 1) અને M 2 (x 2, y 2, z 2) અવકાશમાં આપવા દો, તો આ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ છે:

જો કોઈપણ છેદ શૂન્ય હોય, તો અનુરૂપ અંશ શૂન્યની બરાબર સેટ કરવો જોઈએ.

પ્લેન પર, ઉપર લખેલી સીધી રેખાનું સમીકરણ સરળ છે:

જો x 1  x 2 અને x = x 1, જો x 1 = x 2.

અપૂર્ણાંક
=k કહેવાય છે ઢાળસીધા

ઉદાહરણ. A(1, 2) અને B(3, 4) બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધો.

ઉપર લખેલા સૂત્રને લાગુ કરવાથી, આપણને મળે છે:

બિંદુ અને ઢાળનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાનું સમીકરણ.

જો સીધી રેખા Ax + By + C = 0 ના સામાન્ય સમીકરણને ફોર્મમાં ઘટાડવામાં આવે તો:

અને નિયુક્ત કરો
, પછી પરિણામી સમીકરણ કહેવામાં આવે છે ઢોળાવ સાથે સીધી રેખાનું સમીકરણk.

બિંદુ અને દિશા વેક્ટરથી સીધી રેખાનું સમીકરણ.

સામાન્ય વેક્ટર દ્વારા સીધી રેખાના સમીકરણને ધ્યાનમાં લેતા બિંદુ સાથે સામ્યતા દ્વારા, તમે બિંદુ દ્વારા સીધી રેખાની વ્યાખ્યા અને સીધી રેખાના નિર્દેશન વેક્ટરને દાખલ કરી શકો છો.

વ્યાખ્યા. દરેક બિન-શૂન્ય વેક્ટર ( 1,  2), જે ઘટકો A 1 + B 2 = 0 ની સ્થિતિને સંતોષે છે તેને રેખાના નિર્દેશક વેક્ટર કહેવામાં આવે છે.

Ax + Wu + C = 0.

ઉદાહરણ.દિશા વેક્ટર સાથે રેખાનું સમીકરણ શોધો (1, -1) અને બિંદુ A(1, 2)માંથી પસાર થવું.

અમે ફોર્મમાં ઇચ્છિત રેખાનું સમીકરણ શોધીશું: Ax + By + C = 0. વ્યાખ્યા અનુસાર, ગુણાંકોએ શરતોને સંતોષવી આવશ્યક છે:

1A + (-1)B = 0, એટલે કે. A = B.

પછી સીધી રેખાના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: Ax + Ay + C = 0, અથવા x + y + C/A = 0.

x = 1, y = 2 પર આપણને C/A = -3 મળે છે, એટલે કે. જરૂરી સમીકરણ:

સેગમેન્ટ્સમાં સીધી રેખાનું સમીકરણ.

જો સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણમાં Ах + Ву + С = 0 С 0, તો પછી, –С વડે ભાગતાં, આપણને મળે છે:
અથવા

, ક્યાં

ગુણાંકનો ભૌમિતિક અર્થ એ છે કે ગુણાંક એઓક્સ અક્ષ સાથેની રેખાના આંતરછેદના બિંદુનું સંકલન છે, અને b- ઓય અક્ષ સાથે સીધી રેખાના આંતરછેદના બિંદુનું સંકલન.

ઉદાહરણ.રેખા x – y + 1 = 0 નું સામાન્ય સમીકરણ આ રેખાના સમીકરણને વિભાગોમાં શોધો.

C = 1,
, a = -1,b = 1.

રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ.

જો Ax + By + C = 0 સમીકરણની બંને બાજુઓને સંખ્યા વડે ભાગવામાં આવે તો
જે કહેવાય છે સામાન્યકરણ પરિબળ, પછી આપણને મળે છે

xcos + ysin - p = 0 –

રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ.

સામાન્યીકરણ પરિબળનું ચિહ્ન  પસંદ કરવું આવશ્યક છે જેથી કરીને С< 0.

p એ મૂળથી સીધી રેખા સુધીની કાટખૂણેની લંબાઈ છે, અને  એ ઓક્સ અક્ષની સકારાત્મક દિશા સાથે આ લંબ દ્વારા રચાયેલ કોણ છે.

ઉદાહરણ.રેખા 12x – 5y – 65 = 0 નું સામાન્ય સમીકરણ આપવામાં આવ્યું છે આ રેખા માટે વિવિધ પ્રકારના સમીકરણો લખવા જરૂરી છે.

વિભાગોમાં આ રેખાનું સમીકરણ:

ઢાળ સાથે આ રેખાનું સમીકરણ: (5 વડે ભાગાકાર કરો)

રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

એ નોંધવું જોઈએ કે દરેક સીધી રેખાને સેગમેન્ટમાં સમીકરણ દ્વારા દર્શાવી શકાતી નથી, ઉદાહરણ તરીકે, અક્ષોની સમાંતર સીધી રેખાઓ અથવા કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળમાંથી પસાર થતી.

ઉદાહરણ.સીધી રેખા સંકલન અક્ષો પર સમાન હકારાત્મક ભાગોને કાપી નાખે છે. જો આ ખંડો દ્વારા બનેલા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ 8 સેમી 2 હોય તો સીધી રેખાનું સમીકરણ લખો.

સીધી રેખાનું સમીકરણ છે:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર યોગ્ય નથી.

કુલ:
અથવા x + y – 4 = 0.

ઉદાહરણ.બિંદુ A(-2, -3) અને મૂળમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા માટે સમીકરણ લખો.

સીધી રેખાનું સમીકરણ છે:
, જ્યાં x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.

પ્લેન પર સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો.

વ્યાખ્યા. જો બે રેખાઓને y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 આપવામાં આવે, તો આ રેખાઓ વચ્ચેનો તીવ્ર કોણ આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવશે

.

જો k 1 = k 2 હોય તો બે રેખાઓ સમાંતર છે.

જો k 1 = -1/k 2 હોય તો બે રેખાઓ લંબરૂપ છે.

પ્રમેય. સીધી રેખાઓ Ax + Wu + C = 0 અને A 1 x + B 1 y + C 1 જ્યારે ગુણાંક A પ્રમાણસર હોય ત્યારે = 0 સમાંતર હોય છે 1 =  A, B 1 =  B. જો સી 1 =  C, પછી રેખાઓ એકરૂપ થાય છે.

બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ આ રેખાઓના સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલ તરીકે જોવા મળે છે.

આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ

આ રેખા પર લંબ છે.

વ્યાખ્યા. બિંદુ M 1 (x 1, y 1)માંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા અને સીધી રેખા y = kx + b ને કાટખૂણે સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:

એક બિંદુથી એક રેખા સુધીનું અંતર.

પ્રમેય. જો બિંદુ M(x) આપેલ છે 0 , વાય 0 ), તો પછી સીધી રેખાનું અંતર Ах + Ву + С =0 તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે

.

પુરાવો. બિંદુ M 1 (x 1, y 1) એ બિંદુ M થી આપેલ સીધી રેખા પર પડતા કાટખૂણેનો આધાર બનવા દો. પછી બિંદુઓ M અને M 1 વચ્ચેનું અંતર:

સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીને x 1 અને y 1 કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી શકાય છે:

સિસ્ટમનું બીજું સમીકરણ એ આપેલ બિંદુ M 0 માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ છે જે આપેલ રેખાને લંબ છે.

જો આપણે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને ફોર્મમાં રૂપાંતરિત કરીએ:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + બાય 0 + C = 0,

પછી, હલ કરવાથી, આપણને મળે છે:

આ સમીકરણોને સમીકરણ (1) માં બદલીને, આપણે શોધીએ છીએ:

.

પ્રમેય સાબિત થાય છે.

ઉદાહરણ.રેખાઓ વચ્ચેનો કોણ નક્કી કરો: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  = /4.

ઉદાહરણ.બતાવો કે રેખાઓ 3x – 5y + 7 = 0 અને 10x + 6y – 3 = 0 કાટખૂણે છે.

અમે શોધીએ છીએ: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, તેથી, રેખાઓ કાટખૂણે છે.

ઉદાહરણ. A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આપેલ છે. શિરોબિંદુ C પરથી દોરેલી ઊંચાઈનું સમીકરણ શોધો.

આપણે બાજુ AB નું સમીકરણ શોધીએ છીએ:
; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

જરૂરી ઉંચાઈ સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: Ax + By + C = 0 અથવા y = kx + b.

k = . પછી y =
. કારણ કે ઊંચાઈ બિંદુ Cમાંથી પસાર થાય છે, પછી તેના કોઓર્ડિનેટ્સ આ સમીકરણને સંતોષે છે:
જ્યાંથી b = 17. કુલ:
.

જવાબ: 3x + 2y – 34 = 0.

અવકાશમાં વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ.

અવકાશમાં રેખાનું સમીકરણ.

અવકાશમાં રેખાનું સમીકરણ એક બિંદુ આપેલ છે અને

દિશા વેક્ટર.

ચાલો એક મનસ્વી રેખા અને વેક્ટર લઈએ (m, n, p), આપેલ રેખાની સમાંતર. વેક્ટર કહેવાય છે માર્ગદર્શક વેક્ટરસીધા

સીધી રેખા પર આપણે બે મનસ્વી બિંદુઓ M 0 (x 0 , y 0 , z 0) અને M (x, y, z) લઈએ છીએ.

z

એમ 1

ચાલો આ બિંદુઓના ત્રિજ્યા વેક્ટર તરીકે દર્શાવીએ અને , તે સ્પષ્ટ છે કે - =
.

કારણ કે વેક્ટર
અને સમરેખા છે, તો સંબંધ સાચો છે
= t, જ્યાં t અમુક પરિમાણ છે.

કુલમાં, અમે લખી શકીએ છીએ: = + t.

કારણ કે આ સમીકરણ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે, પછી પરિણામી સમીકરણ રેખાનું પેરામેટ્રિક સમીકરણ.

આ વેક્ટર સમીકરણ સંકલન સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે:

આ સિસ્ટમને રૂપાંતરિત કરીને અને પરિમાણ t ના મૂલ્યોને સમાન કરીને, આપણે અવકાશમાં સીધી રેખાના પ્રમાણભૂત સમીકરણો મેળવીએ છીએ:

.

વ્યાખ્યા. દિશા કોસાઇન્સડાયરેક્ટ એ વેક્ટરની દિશા કોસાઇન્સ છે , જેની ગણતરી સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે:

;

.

અહીંથી આપણને મળે છે: m: n: p = cos : cos : cos.

સંખ્યાઓ m, n, p કહેવામાં આવે છે કોણ ગુણાંકસીધા કારણ કે બિન-શૂન્ય વેક્ટર છે, તો પછી m, n અને p એક જ સમયે શૂન્યની બરાબર ન હોઈ શકે, પરંતુ આમાંથી એક કે બે સંખ્યાઓ શૂન્યની બરાબર હોઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં, રેખાના સમીકરણમાં, અનુરૂપ અંશ શૂન્યની બરાબર સેટ કરવા જોઈએ.

અવકાશ પસારમાં સીધી રેખાનું સમીકરણ

બે બિંદુઓ દ્વારા.

જો અવકાશમાં સીધી રેખા પર આપણે બે મનસ્વી બિંદુઓ M 1 (x 1, y 1, z 1) અને M 2 (x 2, y 2, z 2) ને ચિહ્નિત કરીએ, તો આ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ સીધી રેખા સમીકરણને સંતોષવા જોઈએ. ઉપર મેળવેલ:

.

વધુમાં, બિંદુ M 1 માટે આપણે લખી શકીએ છીએ:

.

આ સમીકરણોને એકસાથે હલ કરવાથી, આપણને મળે છે:

.

અવકાશમાં બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું આ સમીકરણ છે.

અવકાશમાં સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણો.

સીધી રેખાના સમીકરણને બે વિમાનોના આંતરછેદની રેખાના સમીકરણ તરીકે ગણી શકાય.

ઉપર ચર્ચા કર્યા મુજબ, વેક્ટર સ્વરૂપમાં પ્લેન સમીકરણ દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે:

+ D = 0, ક્યાં

- સામાન્ય વિમાન; - ત્રિજ્યા એ પ્લેન પરના મનસ્વી બિંદુનું વેક્ટર છે.

આ લેખ પ્લેન પરની રેખાના સમીકરણનો વિષય ચાલુ રાખે છે: અમે આ પ્રકારના સમીકરણને રેખાના સામાન્ય સમીકરણ તરીકે ધ્યાનમાં લઈશું. ચાલો પ્રમેયને વ્યાખ્યાયિત કરીએ અને તેની સાબિતી આપીએ; ચાલો જાણીએ કે રેખાનું અપૂર્ણ સામાન્ય સમીકરણ શું છે અને સામાન્ય સમીકરણમાંથી રેખાના અન્ય પ્રકારના સમીકરણોમાં સંક્રમણ કેવી રીતે કરવું. અમે સમગ્ર સિદ્ધાંતને ચિત્રો અને વ્યવહારિક સમસ્યાઓના ઉકેલો સાથે મજબૂત કરીશું.

Yandex.RTB R-A-339285-1

પ્લેન પર એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ O x y નો ઉલ્લેખ કરવા દો.

પ્રમેય 1

પ્રથમ ડિગ્રીનું કોઈપણ સમીકરણ, A x + B y + C = 0 સ્વરૂપ ધરાવતું, જ્યાં A, B, C એ કેટલીક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે (A અને B એક જ સમયે શૂન્યની બરાબર નથી), એક સીધી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરે છે પ્લેન પર લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ. બદલામાં, પ્લેન પર લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં કોઈપણ સીધી રેખા એ સમીકરણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે જે A, B, C મૂલ્યોના ચોક્કસ સમૂહ માટે A x + B y + C = 0 સ્વરૂપ ધરાવે છે.

પુરાવો

આ પ્રમેયમાં બે મુદ્દા છે; અમે તેમાંથી દરેકને સાબિત કરીશું.

1. ચાલો સાબિત કરીએ કે સમીકરણ A x + B y + C = 0 પ્લેન પર સીધી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

ચાલો અમુક બિંદુ M 0 (x 0 , y 0) હોય જેના કોઓર્ડિનેટ્સ A x + B y + C = 0 સમીકરણને અનુરૂપ હોય. આમ: A x 0 + B y 0 + C = 0. સમીકરણો A x + B y + C = 0 સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુઓમાંથી બાદબાકી કરો A x 0 + B y 0 + C = 0, આપણે એક નવું સમીકરણ મેળવીએ છીએ જે A (x) જેવું લાગે છે - x 0) + B (y - y 0) = 0 . તે A x + B y + C = 0 ની સમકક્ષ છે.

પરિણામી સમીકરણ A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 એ વેક્ટર n → = (A, B) અને M 0 M → = (x - x) ની લંબરૂપતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ છે. 0, y - y 0) . આમ, બિંદુઓનો સમૂહ M (x, y) વેક્ટર n → = (A, B) ની દિશાને લંબરૂપ લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં સીધી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આપણે ધારી શકીએ કે આવું નથી, પરંતુ પછી વેક્ટર્સ n → = (A, B) અને M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) લંબરૂપ નહીં હોય, અને સમાનતા A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 સાચું નહીં હોય.

પરિણામે, સમીકરણ A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 પ્લેન પર લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં ચોક્કસ રેખા વ્યાખ્યાયિત કરે છે, અને તેથી સમકક્ષ સમીકરણ A x + B y + C = 0 વ્યાખ્યાયિત કરે છે. સમાન રેખા. આ રીતે આપણે પ્રમેયનો પ્રથમ ભાગ સાબિત કર્યો.

1. ચાલો સાબિતી આપીએ કે પ્લેન પર લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં કોઈપણ સીધી રેખા પ્રથમ ડિગ્રી A x + B y + C = 0 ના સમીકરણ દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

ચાલો પ્લેન પર લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં સીધી રેખા a વ્યાખ્યાયિત કરીએ; બિંદુ M 0 (x 0 , y 0) જેમાંથી આ રેખા પસાર થાય છે, તેમજ આ રેખા n → = (A, B) નો સામાન્ય વેક્ટર.

અમુક બિંદુ M (x, y) પણ હોવા દો - એક રેખા પર તરતો બિંદુ. આ કિસ્સામાં, વેક્ટર્સ n → = (A, B) અને M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) એકબીજાને લંબરૂપ છે, અને તેમનું સ્કેલર ઉત્પાદન શૂન્ય છે:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

ચાલો સમીકરણ A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, C વ્યાખ્યાયિત કરીએ: C = - A x 0 - B y 0 અને અંતિમ પરિણામ તરીકે આપણને A x + B y + C = સમીકરણ મળે છે. 0.

તેથી, અમે પ્રમેયનો બીજો ભાગ સાબિત કર્યો છે, અને અમે સમગ્ર પ્રમેયને એકંદરે સાબિત કર્યું છે.

વ્યાખ્યા 1

ફોર્મનું સમીકરણ A x + B y + C = 0 - આ રેખાનું સામાન્ય સમીકરણલંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં પ્લેન પરઓક્સી.

સાબિત થયેલા પ્રમેયના આધારે, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે નિશ્ચિત લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં પ્લેન પર વ્યાખ્યાયિત સીધી રેખા અને તેના સામાન્ય સમીકરણ અસ્પષ્ટ રીતે જોડાયેલા છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મૂળ રેખા તેના સામાન્ય સમીકરણને અનુરૂપ છે; રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ આપેલ રેખાને અનુરૂપ છે.

પ્રમેયના પુરાવા પરથી તે પણ અનુસરે છે કે x અને y ચલ માટેના ગુણાંક A અને B એ રેખાના સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ છે, જે A x + B y + C = રેખાના સામાન્ય સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે. 0.

ચાલો રેખાના સામાન્ય સમીકરણના ચોક્કસ ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ.

સમીકરણ 2 x + 3 y - 2 = 0 આપવા દો, જે આપેલ લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં સીધી રેખાને અનુરૂપ છે. આ રેખાનો સામાન્ય વેક્ટર વેક્ટર છે n → = (2 , 3) ​​. ચાલો ડ્રોઈંગમાં આપેલ સીધી રેખા દોરીએ.

અમે નીચેની બાબતો પણ કહી શકીએ: સીધી રેખા જે આપણે ડ્રોઇંગમાં જોઈએ છીએ તે સામાન્ય સમીકરણ 2 x + 3 y - 2 = 0 દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, કારણ કે આપેલ સીધી રેખા પરના તમામ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ આ સમીકરણને અનુરૂપ છે.

રેખાના સામાન્ય સમીકરણની બંને બાજુઓને શૂન્યની બરાબર ન હોય તેવી સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીને આપણે સમીકરણ λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 મેળવી શકીએ છીએ. પરિણામી સમીકરણ મૂળ સામાન્ય સમીકરણની સમકક્ષ છે, તેથી, તે પ્લેન પર સમાન સીધી રેખાનું વર્ણન કરશે.

રેખાનું સંપૂર્ણ સામાન્ય સમીકરણ– સીધી રેખા A x + B y + C = 0 નું આવું સામાન્ય સમીકરણ, જેમાં A, B, C સંખ્યાઓ શૂન્યથી અલગ છે. અન્યથા સમીકરણ છે અપૂર્ણ.

ચાલો રેખાના અપૂર્ણ સામાન્ય સમીકરણની તમામ વિવિધતાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ.

1. જ્યારે A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ત્યારે સામાન્ય સમીકરણ B y + C = 0 સ્વરૂપ લે છે. આવા અપૂર્ણ સામાન્ય સમીકરણ લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલી O x y માં એક સીધી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે O x અક્ષની સમાંતર છે, કારણ કે x ના કોઈપણ વાસ્તવિક મૂલ્ય માટે ચલ y મૂલ્ય લેશે - સી બી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, A x + B y + C = 0 રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ, જ્યારે A = 0, B ≠ 0, બિંદુઓના સ્થાન (x, y) ને સ્પષ્ટ કરે છે, જેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન સંખ્યાના સમાન હોય છે. - સી બી.
2. જો A = 0, B ≠ 0, C = 0, તો સામાન્ય સમીકરણ y = 0 સ્વરૂપ લે છે. આ અપૂર્ણ સમીકરણ x-axis O x ને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.
3. જ્યારે A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, ત્યારે આપણે એક અપૂર્ણ સામાન્ય સમીકરણ A x + C = 0 મેળવીએ છીએ, જે ઓર્ડિનેટની સમાંતર સીધી રેખા વ્યાખ્યાયિત કરે છે.
4. A ≠ 0, B = 0, C = 0 ચાલો, પછી અપૂર્ણ સામાન્ય સમીકરણ x = 0 સ્વરૂપ લેશે, અને આ સંકલન રેખા O y નું સમીકરણ છે.
5. અંતે, A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 માટે, અપૂર્ણ સામાન્ય સમીકરણ A x + B y = 0 સ્વરૂપ લે છે. અને આ સમીકરણ મૂળમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાનું વર્ણન કરે છે. હકીકતમાં, સંખ્યાઓની જોડી (0, 0) સમાનતા A x + B y = 0 ને અનુરૂપ છે, કારણ કે A · 0 + B · 0 = 0.

ચાલો ઉપરોક્ત તમામ પ્રકારની સીધી રેખાના અપૂર્ણ સામાન્ય સમીકરણને ગ્રાફિકલી રીતે સમજાવીએ.

ઉદાહરણ 1

તે જાણીતું છે કે આપેલ સીધી રેખા ઓર્ડિનેટ અક્ષની સમાંતર છે અને બિંદુ 2 7, - 11માંથી પસાર થાય છે. આપેલ લીટીનું સામાન્ય સમીકરણ લખવું જરૂરી છે.

ઉકેલ

ઓર્ડિનેટ અક્ષની સમાંતર સીધી રેખા એ ફોર્મ A x + C = 0 ના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેમાં A ≠ 0 છે. સ્થિતિ એ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સનો પણ ઉલ્લેખ કરે છે કે જેના દ્વારા રેખા પસાર થાય છે, અને આ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ અપૂર્ણ સામાન્ય સમીકરણ A x + C = 0, એટલે કે, ની શરતોને પૂર્ણ કરે છે. સમાનતા સાચી છે:

A 2 7 + C = 0

તેમાંથી C નક્કી કરવું શક્ય છે જો આપણે A ને અમુક બિન-શૂન્ય મૂલ્ય આપીએ, ઉદાહરણ તરીકે, A = 7. આ કિસ્સામાં, આપણને મળે છે: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. અમે A અને C બંને ગુણાંક જાણીએ છીએ, તેમને સમીકરણ A x + C = 0 માં બદલીએ અને જરૂરી સીધી રેખા સમીકરણ મેળવો: 7 x - 2 = 0

જવાબ: 7 x - 2 = 0

ઉદાહરણ 2

ડ્રોઇંગ એક સીધી રેખા બતાવે છે તમારે તેનું સમીકરણ લખવાની જરૂર છે.

ઉકેલ

આપેલ ડ્રોઇંગ અમને સમસ્યાને ઉકેલવા માટે પ્રારંભિક ડેટા સરળતાથી લેવા દે છે. આપણે ડ્રોઈંગમાં જોઈએ છીએ કે આપેલ સીધી રેખા O x અક્ષની સમાંતર છે અને બિંદુ (0, 3)માંથી પસાર થાય છે.

સીધી રેખા, જે એબ્સીસાની સમાંતર છે, તે અપૂર્ણ સામાન્ય સમીકરણ B y + C = 0 દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. ચાલો B અને C ના મૂલ્યો શોધીએ. બિંદુ (0, 3) ના કોઓર્ડિનેટ્સ, આપેલ રેખા તેમાંથી પસાર થતી હોવાથી, રેખા B y + C = 0 ના સમીકરણને સંતોષશે, પછી સમાનતા માન્ય છે: B · 3 + C = 0. ચાલો B ને શૂન્ય સિવાયની કોઈ કિંમત પર સેટ કરીએ. ચાલો B = 1 કહીએ, જે કિસ્સામાં સમાનતા B · 3 + C = 0 માંથી આપણે C: C = - 3 શોધી શકીએ છીએ. B અને C ના જાણીતા મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને, અમે સીધી રેખાનું જરૂરી સમીકરણ મેળવીએ છીએ: y - 3 = 0.

જવાબ: y - 3 = 0 .

પ્લેનમાં આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ

આપેલ રેખાને બિંદુ M 0 (x 0 , y 0)માંથી પસાર થવા દો, પછી તેના કોઓર્ડિનેટ્સ રેખાના સામાન્ય સમીકરણને અનુરૂપ છે, એટલે કે. સમાનતા સાચી છે: A x 0 + B y 0 + C = 0. ચાલો રેખાના સામાન્ય સંપૂર્ણ સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુઓમાંથી આ સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુઓ બાદ કરીએ. આપણને મળે છે: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, આ સમીકરણ મૂળ સામાન્ય સમકક્ષ છે, બિંદુ M 0 (x 0, y 0)માંથી પસાર થાય છે અને તેની પાસે સામાન્ય છે વેક્ટર n → = (A, B) .

અમે જે પરિણામ મેળવ્યું છે તે લીટીના સામાન્ય વેક્ટરના જાણીતા કોઓર્ડિનેટ્સ અને આ રેખાના ચોક્કસ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે રેખાના સામાન્ય સમીકરણને લખવાનું શક્ય બનાવે છે.

ઉદાહરણ 3

એક બિંદુ M 0 (- 3, 4) આપેલ છે જેમાંથી એક રેખા પસાર થાય છે, અને આ રેખાનો સામાન્ય વેક્ટર n → = (1 , - 2) . આપેલ લીટીનું સમીકરણ લખવું જરૂરી છે.

ઉકેલ

પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ અમને સમીકરણ બનાવવા માટે જરૂરી ડેટા મેળવવાની મંજૂરી આપે છે: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. પછી:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

સમસ્યા અલગ રીતે ઉકેલી શકાય છે. સીધી રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ A x + B y + C = 0 છે. આપેલ સામાન્ય વેક્ટર અમને ગુણાંક A અને B ના મૂલ્યો મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે, પછી:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

હવે સમસ્યાની સ્થિતિ દ્વારા ઉલ્લેખિત બિંદુ M 0 (- 3, 4) નો ઉપયોગ કરીને C ની કિંમત શોધીએ, જેનામાંથી સીધી રેખા પસાર થાય છે. આ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ x - 2 · y + C = 0 સમીકરણને અનુરૂપ છે, એટલે કે. - 3 - 2 4 + C = 0. તેથી C = 11. જરૂરી સીધી રેખા સમીકરણ ફોર્મ લે છે: x - 2 · y + 11 = 0.

જવાબ: x - 2 y + 11 = 0 .

ઉદાહરણ 4

એક લીટી 2 3 x - y - 1 2 = 0 અને આ લીટી પર પડેલો બિંદુ M 0 આપેલ છે. આ બિંદુનો માત્ર એબ્સીસા જાણીતો છે, અને તે - 3 ની બરાબર છે. આપેલ બિંદુનું ઓર્ડિનેટ નક્કી કરવું જરૂરી છે.

ઉકેલ

ચાલો બિંદુ M 0 ના કોઓર્ડિનેટ્સ x 0 અને y 0 તરીકે નિયુક્ત કરીએ. સ્ત્રોત ડેટા સૂચવે છે કે x 0 = - 3. બિંદુ આપેલ રેખાથી સંબંધિત હોવાથી, તેના કોઓર્ડિનેટ્સ આ રેખાના સામાન્ય સમીકરણને અનુરૂપ છે. પછી સમાનતા સાચી થશે:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2 વ્યાખ્યાયિત કરો

જવાબ: - 5 2

રેખાના સામાન્ય સમીકરણમાંથી રેખાના અન્ય પ્રકારના સમીકરણોમાં સંક્રમણ અને ઊલટું

જેમ આપણે જાણીએ છીએ, પ્લેન પર સમાન સીધી રેખા માટે ઘણા પ્રકારના સમીકરણો છે. સમીકરણના પ્રકારની પસંદગી સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ પર આધારિત છે; તેને હલ કરવા માટે વધુ અનુકૂળ હોય તે પસંદ કરવાનું શક્ય છે. એક પ્રકારના સમીકરણને બીજા પ્રકારના સમીકરણમાં રૂપાંતર કરવાની કુશળતા અહીં ખૂબ જ ઉપયોગી છે.

પ્રથમ, ચાલો ફોર્મ A x + B y + C = 0 ના સામાન્ય સમીકરણથી પ્રમાણભૂત સમીકરણ x - x 1 a x = y - y 1 a y સુધીના સંક્રમણને ધ્યાનમાં લઈએ.

જો A ≠ 0 હોય, તો આપણે B y શબ્દને સામાન્ય સમીકરણની જમણી બાજુએ ખસેડીએ છીએ. ડાબી બાજુએ આપણે કૌંસમાંથી A લઈએ છીએ. પરિણામે, આપણને મળે છે: A x + C A = - B y.

આ સમાનતાને પ્રમાણ તરીકે લખી શકાય છે: x + C A - B = y A.

જો B ≠ 0 હોય, તો આપણે સામાન્ય સમીકરણની ડાબી બાજુએ માત્ર A x શબ્દ છોડીએ છીએ, અન્યને જમણી બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ, આપણને મળે છે: A x = - B y - C. અમે કૌંસમાંથી – B લઈએ છીએ, પછી: A x = - B y + C B .

ચાલો સમાનતાને પ્રમાણના રૂપમાં ફરીથી લખીએ: x - B = y + C B A.

અલબત્ત, પરિણામી સૂત્રોને યાદ રાખવાની જરૂર નથી. સામાન્ય સમીકરણમાંથી કેનોનિકલ સમીકરણ તરફ જતી વખતે ક્રિયાઓના અલ્ગોરિધમને જાણવા માટે તે પૂરતું છે.

ઉદાહરણ 5

રેખા 3 y - 4 = 0 નું સામાન્ય સમીકરણ આપવામાં આવ્યું છે. તેને પ્રામાણિક સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કરવું જરૂરી છે.

ઉકેલ

ચાલો મૂળ સમીકરણને 3 y - 4 = 0 તરીકે લખીએ. આગળ, અમે અલ્ગોરિધમ મુજબ આગળ વધીએ છીએ: શબ્દ 0 x ડાબી બાજુએ રહે છે; અને જમણી બાજુએ અમે મૂકીએ છીએ - કૌંસમાંથી 3; આપણને મળે છે: 0 x = - 3 y - 4 3 .

ચાલો પરિણામી સમાનતાને પ્રમાણ તરીકે લખીએ: x - 3 = y - 4 3 0 . આમ, આપણે પ્રામાણિક સ્વરૂપનું સમીકરણ મેળવ્યું છે.

જવાબ: x - 3 = y - 4 3 0.

રેખાના સામાન્ય સમીકરણને પેરામેટ્રિક સમીકરણોમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, પ્રથમ કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં સંક્રમણ કરવામાં આવે છે, અને પછી રેખાના પ્રમાણભૂત સમીકરણમાંથી પેરામેટ્રિક સમીકરણોમાં સંક્રમણ કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 6

સીધી રેખા સમીકરણ 2 x - 5 y - 1 = 0 દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ રેખા માટે પેરામેટ્રિક સમીકરણો લખો.

ઉકેલ

ચાલો સામાન્ય સમીકરણમાંથી કેનોનિકલ સમીકરણમાં સંક્રમણ કરીએ:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

હવે આપણે પરિણામી પ્રમાણભૂત સમીકરણની બંને બાજુઓ λ બરાબર લઈએ, પછી:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

જવાબ:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

સામાન્ય સમીકરણને ઢાળ y = k · x + b સાથે સીધી રેખાના સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે, પરંતુ જ્યારે B ≠ 0 હોય ત્યારે જ. સંક્રમણ માટે, અમે ડાબી બાજુએ B y શબ્દ છોડીએ છીએ, બાકીનાને જમણી બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે. આપણને મળે છે: B y = - A x - C . ચાલો પરિણામી સમાનતાની બંને બાજુઓને B વડે વિભાજીત કરીએ, શૂન્યથી અલગ: y = - A B x - C B.

ઉદાહરણ 7

રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ આપેલ છે: 2 x + 7 y = 0. તમારે તે સમીકરણને ઢાળ સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે.

ઉકેલ

ચાલો એલ્ગોરિધમ મુજબ જરૂરી ક્રિયાઓ કરીએ:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

જવાબ: y = - 2 7 x .

રેખાના સામાન્ય સમીકરણમાંથી, ફોર્મ x a + y b = 1 ના સેગમેન્ટમાં સમીકરણ મેળવવા માટે તે પૂરતું છે. આવું સંક્રમણ કરવા માટે, અમે સંખ્યા C ને સમાનતાની જમણી બાજુએ ખસેડીએ છીએ, પરિણામી સમાનતાની બંને બાજુઓને – C વડે વિભાજીત કરીએ છીએ અને અંતે, x અને y ચલોના ગુણાંકને છેદમાં સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

ઉદાહરણ 8

x - 7 y + 1 2 = 0 રેખાના સામાન્ય સમીકરણને સેગમેન્ટ્સમાં રેખાના સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કરવું જરૂરી છે.

ઉકેલ

ચાલો 1 2 ને જમણી બાજુએ ખસેડીએ: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

ચાલો સમાનતાની બંને બાજુઓને -1/2 દ્વારા વિભાજીત કરીએ: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

જવાબ: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

સામાન્ય રીતે, વિપરીત સંક્રમણ પણ સરળ છે: અન્ય પ્રકારના સમીકરણોથી સામાન્ય એક સુધી.

સેગમેન્ટ્સમાં રેખાનું સમીકરણ અને કોણીય ગુણાંક સાથેના સમીકરણને સમાનતાની ડાબી બાજુના તમામ પદોને એકત્ર કરીને સરળતાથી સામાન્યમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

કેનોનિકલ સમીકરણ નીચેની યોજના અનુસાર સામાન્ય સમીકરણમાં રૂપાંતરિત થાય છે:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

પેરામેટ્રિક રાશિઓમાંથી ખસેડવા માટે, પહેલા પ્રમાણભૂત પર જાઓ, અને પછી સામાન્ય પર જાઓ:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

ઉદાહરણ 9

રેખા x = - 1 + 2 · λ y = 4 ના પેરામેટ્રિક સમીકરણો આપવામાં આવ્યા છે. આ લીટીનું સામાન્ય સમીકરણ લખવું જરૂરી છે.

ઉકેલ

ચાલો પેરામેટ્રિક સમીકરણોમાંથી પ્રમાણભૂત સમીકરણોમાં સંક્રમણ કરીએ:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

ચાલો કેનોનિકલથી સામાન્ય તરફ જઈએ:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

જવાબ: y - 4 = 0

ઉદાહરણ 10

x 3 + y 1 2 = 1 ખંડોમાં સીધી રેખાનું સમીકરણ આપવામાં આવ્યું છે. સમીકરણના સામાન્ય સ્વરૂપમાં સંક્રમણ કરવું જરૂરી છે.

ઉકેલ:

અમે ફક્ત સમીકરણને જરૂરી સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ છીએ:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

જવાબ: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ દોરવું

અમે ઉપર કહ્યું છે કે સામાન્ય સમીકરણ સામાન્ય વેક્ટરના જાણીતા કોઓર્ડિનેટ્સ અને બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે લખી શકાય છે જેમાંથી રેખા પસાર થાય છે. આવી સીધી રેખા સમીકરણ A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ત્યાં અમે અનુરૂપ ઉદાહરણનું વિશ્લેષણ પણ કર્યું.

હવે ચાલો વધુ જટિલ ઉદાહરણો જોઈએ, જેમાં પહેલા આપણે સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ 11

રેખા 2 x - 3 y + 3 3 = 0 ની સમાંતર રેખા આપી છે. બિંદુ M 0 (4, 1) જેમાંથી આપેલ રેખા પસાર થાય છે તે પણ જાણીતું છે. આપેલ લીટીનું સમીકરણ લખવું જરૂરી છે.

ઉકેલ

પ્રારંભિક સ્થિતિઓ અમને જણાવે છે કે રેખાઓ સમાંતર છે, પછી, રેખાના સામાન્ય વેક્ટર તરીકે, જેનું સમીકરણ લખવું જરૂરી છે, અમે રેખા n → = (2, - 3) ની દિશા વેક્ટર લઈએ છીએ: 2 x - 3 y + 3 3 = 0. હવે આપણે લીટીનું સામાન્ય સમીકરણ બનાવવા માટે જરૂરી તમામ ડેટા જાણીએ છીએ:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

જવાબ: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

ઉદાહરણ 12

આપેલ રેખા x - 2 3 = y + 4 5 રેખાના મૂળ કાટખૂણેથી પસાર થાય છે. આપેલ રેખા માટે સામાન્ય સમીકરણ બનાવવું જરૂરી છે.

ઉકેલ

આપેલ રેખાનો સામાન્ય વેક્ટર એ રેખા x - 2 3 = y + 4 5 ની દિશા વેક્ટર હશે.

પછી n → = (3, 5) . સીધી રેખા મૂળમાંથી પસાર થાય છે, એટલે કે. બિંદુ O (0, 0) દ્વારા. ચાલો આપેલ સીધી રેખા માટે સામાન્ય સમીકરણ બનાવીએ:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

જવાબ આપો: 3 x + 5 y = 0 .

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો