અવકાશમાં રેખાઓના સંયોગ માટેની સ્થિતિ. આપેલ એકને લંબરૂપ અવકાશમાં રેખા કેવી રીતે બનાવવી? અવકાશી રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને કેવી રીતે શોધવું

જો બે સીધી રેખાઓ l 1 અને l 2 પ્લેન પર પડેલી હોય, તો તેમની સંબંધિત સ્થિતિના ત્રણ અલગ અલગ કિસ્સાઓ શક્ય છે: 1) છેદે છે (એટલે કે એક સામાન્ય બિંદુ છે); 2) સમાંતર અને એકરૂપ નથી; 3) મેચ.

ચાલો જોઈએ કે જો આ રેખાઓ તેમના સમીકરણો દ્વારા સામાન્ય સ્વરૂપમાં આપવામાં આવે તો આમાંથી કયા કિસ્સાઓ થાય છે તે કેવી રીતે શોધી શકાય:

જો રેખાઓ l 1 અને l 2 અમુક બિંદુ M(x,y) પર છેદે છે, તો આ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સિસ્ટમ (12) ના બંને સમીકરણોને સંતોષવા જોઈએ.

તેથી, લીટીઓ l 1 અને l 2 ના આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે, સમીકરણોની સિસ્ટમ (12) હલ કરવી જરૂરી છે:
1) જો સિસ્ટમ (12) પાસે અનન્ય ઉકેલ છે, તો પછી રેખાઓ l 1 અને l 2 છેદે છે;
2) જો સિસ્ટમ (12) પાસે કોઈ ઉકેલ નથી, તો પછી રેખાઓ l 1 અને l 2 સમાંતર છે;
3) જો સિસ્ટમ (12) પાસે ઘણા ઉકેલો છે, તો પછી લીટીઓ l 1 અને l 2 એકરૂપ થાય છે.

બે સીધી રેખાઓના સંયોગ માટેની સ્થિતિ એ તેમના સમીકરણોના અનુરૂપ ગુણાંકની પ્રમાણસરતા છે.

ઉદાહરણ 10. શું રેખાઓ 3x+4y-1=0 અને 2x+3y-1=0 છેદે છે?

ઉકેલ: ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ: સિસ્ટમમાં એક અનન્ય ઉકેલ છે, તેથી રેખાઓ છેદે છે. રેખાઓના આંતરછેદ બિંદુમાં કોઓર્ડિનેટ્સ (-1;1) હોય છે.

ઉદાહરણ 11. શું રેખાઓ 2x-y+2=0 અને 4x-2y-1=0 સમાંતર છે?

ઉકેલ: ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ
આ સિસ્ટમમાં કોઈ ઉકેલો નથી, તેથી રેખાઓ સમાંતર છે.

ઉદાહરણ 12. શું x+y+1=0 અને 3x+3y+3=0 રેખાઓ સમાન છે?

ઉકેલ: તેઓ એકરૂપ થાય છે, કારણ કે ગુણાંક પ્રમાણસર હોય છે.

ઉદાહરણ 13. રેખાઓ x+y-1=0, x-y+2=0 અને બિંદુ (2,1) ના આંતરછેદના બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા માટે સમીકરણ લખો.

ઉકેલ: આપેલ બે સીધી રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો. આ કરવા માટે, અમે આ સમીકરણોને એકસાથે હલ કરીએ છીએ. ઉમેરવાથી, આપણે શોધીએ છીએ: 2x+1=0, જ્યાંથી
પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરતાં, આપણને મળે છે: 2у-3=0, ક્યાંથી. આગળ, તે બે બિંદુઓ () અને (2;1) નો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાનું સમીકરણ બનાવવાનું બાકી છે.
જરૂરી સમીકરણ હશે , અથવા અથવા ક્યાંથી અથવા x+5y-7=0

બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણોપ્લેન પર તેમના દિશા વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ કહેવાય છે. આ વ્યાખ્યા દ્વારા, આપણને એક ખૂણો નહીં, પરંતુ બે સંલગ્ન ખૂણા મળે છે જે એકબીજાને પૂરક બનાવે છે. પ્રાથમિક ભૂમિતિમાં, બે અડીને આવેલા ખૂણાઓમાંથી, નિયમ તરીકે, નાનો પસંદ કરવામાં આવે છે, એટલે કે. બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાની તીવ્રતા સ્થિતિને સંતોષે છે.

જો અને રેખાઓના દિશા વેક્ટર અને અનુક્રમે (ફિગ. 3.23, a), પછી આ રેખાઓ વચ્ચેનો કોણ સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

રેખાઓ વચ્ચેનો કોણ (3.19) તેમની સામાન્ય વચ્ચેના કોણ તરીકે ગણી શકાય અને :

(3.22)

સીધી રેખાઓ વચ્ચેના તીવ્ર કોણનું મૂલ્ય મેળવવા માટે, તમારે સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં જમણી બાજુ લેવાની જરૂર છે:

રેખાઓ (3.19) ની લંબતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ એ તેમના સામાન્યની ઓર્થોગોનાલિટી માટેની સ્થિતિ છે, એટલે કે. તેમના નોર્મલના સ્કેલર ઉત્પાદનના શૂન્યની સમાનતા:

ફોર્મ્યુલા (3.22) નો ઉપયોગ કરીને, અમે સીધી રેખાઓ (3.19) જો (ફિગ. 3.23,a) વચ્ચે તીવ્ર કોણ મેળવીએ છીએ, અને અન્યથા સ્થૂળ કોણ મેળવીએ છીએ: (ફિગ. 3.23,6). બીજા શબ્દો માં, ફોર્મ્યુલા (3.22) નો ઉપયોગ કરીને આપણે રેખાઓ વચ્ચેનો કોણ શોધીએ છીએ જેમાં આ રેખાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવેલા વિરોધી અર્ધ-પ્લેનના બિંદુઓ આવેલા છે.. ફિગ. 3.23 માં, સકારાત્મક અને નકારાત્મક અર્ધ-પ્લેન અનુક્રમે વત્તા “+” અથવા ઓછા “–” ચિહ્નો સાથે ચિહ્નિત થયેલ છે.

પ્રકરણ V*. અવકાશમાં રેખાઓ અને વિમાનોના સમીકરણો.

§ 66. વિમાનોના સંયોગ અને આંતરછેદ માટેની શરતો

જો પ્લેન આર 1 અને આર 2 સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે

એ 1 એક્સ+ B 1 y+ સી 1 z+ D 1 = 0 અને A 2 એક્સ+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0, (1)

એક સામાન્ય બિંદુ હોય, તો તેના કોઓર્ડિનેટ્સ દરેક સમીકરણોને સંતોષે છે (1). તેથી, આ વિમાનોના સામાન્ય બિંદુઓ શોધવા માટે, તમારે સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરવાની જરૂર છે

એટલે કે, ત્રણ અજ્ઞાત સાથેના બે સમીકરણોની સિસ્ટમ. જ્યારે શરત પૂરી થાય છે

(3)

સિસ્ટમ (2) પાસે કોઈ ઉકેલ નથી. હકીકતમાં, ચાલો વિપરીત ધારીએ.
ચાલો ધારીએ કે ( એક્સ 0 ; ખાતે 0 , z 0) - સિસ્ટમનો ઉકેલ. પછી જો

પછી સિસ્ટમના બીજા સમીકરણ (2)માંથી આપણે મેળવીએ છીએ

A 2 એક્સ 0+B2 ખાતે 0+C2 z 0 = - ડી 2 ,

અને પ્રથમ થી

k(એ 2 એક્સ 0+B2 ખાતે 0+C2 z 0) = - ડી 1 ,

અને, તેથી, જે શરતનો વિરોધાભાસ કરે છે (3).

આપણે જાણીએ છીએ કે શરત વિમાનો સમાંતર હોવા માટે એક શરત છે. આમ, જો શરત (3) મળે છે, તો પ્લેન આર 1 અને આર 2 સમાંતર છે અને એકરૂપ નથી.

એવા કિસ્સામાં જ્યારે ગુણાંક અને સિસ્ટમની મફત શરતો (2) શરતને સંતોષે છે

(4)

સિસ્ટમ જેવી લાગે છે

સિસ્ટમના દરેક સમીકરણો સમાન પ્લેનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આમ, શરત (4) એ વિમાનોના સંયોગ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ છે.

જો પ્લેન આર 1 અને આર 2 સમાંતર નથી, એટલે કે જો તેઓ છેદે છે, તો પછી

આ કિસ્સામાં, સમીકરણો (2) એ સીધી રેખાના સમીકરણો છે lપ્લેન આંતરછેદો આર 1 અને આર 2. ચાલો બતાવીએ કે તમે આ રેખાના પ્રમાણભૂત સમીકરણો કેવી રીતે શોધી શકો છો. રેખાના પ્રમાણભૂત સમીકરણો બનાવવા માટે, તમારે ચોક્કસ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ અને તેના દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણવાની જરૂર છે. એ . સિસ્ટમ (2) નો કોઈપણ ઉકેલ બિંદુ M0 ના કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે લઈ શકાય છે. માર્ગદર્શક વેક્ટર તરીકે એ સીધા lતમે વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન લઈ શકો છો n 1 = (A 1 ; B 1 ; C 1) અને n 2 = (A 2 ; B 2 ; C 2), એટલે કે વિમાનોના સામાન્ય વેક્ટર આર 1 અને આર 2 .

ખરેખર (ફિગ. 203), વેક્ટર [ n 1 ; n 2 ] વેક્ટર ઉત્પાદનની વ્યાખ્યા દ્વારા વેક્ટર માટે લંબ છે n 1 અને n 2 અને તેથી વિમાનોની સમાંતર આર 1 અને આર 2 અને તેથી, રેખાની સમકક્ષ lતેમના આંતરછેદો.

સમસ્યા 1. એક રેખાના પ્રામાણિક સમીકરણો બનાવો જે વિમાનોનું આંતરછેદ છે

એક્સ - 2ખાતે + z+ 1 = 0 અને 2 એક્સ - ખાતે+ 3z - 2 = 0.

કારણ કે n 1 = (1; - 2; 1), n 2 = (2; -1; 3), પછી

આપેલ રેખા પર કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવા માટે, આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમનો કોઈપણ ઉકેલ શોધીએ છીએ

ઉદાહરણ તરીકે મૂકીએ, z= 0, પછી આપણને મળે છે

જ્યાં એક્સ = 5 / 3 , y= 4/3 . પરિણામે, મૂળ સિસ્ટમમાં ઉકેલ છે (5/3; 4/3; 0), અને તેથી આ રેખા બિંદુ M (5/3; 4/3; 0)માંથી પસાર થાય છે.

રેખા પરના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ અને તેના દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણીને, અમે આ રેખાના પ્રમાણભૂત સમીકરણો લખીએ છીએ.

નોંધ કરો કે જો પ્લેન એ 1 એક્સ+ B 1 y+ સી 1 z+ D 1 = 0 અને A 2 એક્સ+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0 છેદે છે, પછી તેમના આંતરછેદની રેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ વિમાનનું સમીકરણ ફોર્મમાં લખી શકાય છે.

α (A 1 એક્સ+ B 1 y+ સી 1 z+ D 1) + β(A 2 એક્સ+ B 2 y+ C 2 z+ D 2) = 0,

જ્યાં α અને β કેટલીક સંખ્યાઓ છે.

કાર્ય 2.વિમાનો 3 ના આંતરછેદની રેખામાંથી પસાર થતા વિમાન માટે સમીકરણ લખો x - 2ખાતે - z+ 4 = 0 અને એક્સ - 4ખાતે - 3z- 2 = 0 અને બિંદુ M 0 (1; 1; - 2).

ચાલો આ વિમાનોના આંતરછેદની રેખામાંથી પસાર થતા વિમાનો માટે એક સમીકરણ બનાવીએ:

α(3 x - 2ખાતે - z+ 4) + β( એક્સ - 4ખાતે - 3z - 2) = 0.

ત્યારથી M 0 ઇચ્છિત પ્લેનનું છે, તો પછી

α (3 1 - 2 1 + 2 + 4) + β(1- 4 1 + 6 -2) = 0,

અને તેથી

જ્યાંથી, ઉદાહરણ તરીકે, α = 1, β = -7.

પ્લેનનું જરૂરી સમીકરણ હશે

3x - 2ખાતે - z + 4 - 7 (એક્સ - 4ખાતે - 3z - 2) = 0,

2x - 13ખાતે - 10z- 9 = 0.

મેં એક નવી વર્ડોવ ફાઇલ બનાવી અને આટલો રસપ્રદ વિષય ચાલુ રાખ્યો તે પહેલાં એક મિનિટ પણ પસાર થઈ ન હતી. તમારે કાર્યકારી મૂડની ક્ષણોને કેપ્ચર કરવાની જરૂર છે, તેથી ત્યાં કોઈ ગીતાત્મક પરિચય હશે નહીં. ત્યાં એક અદ્ભુત સ્પૅન્કિંગ હશે =)

બે સીધી જગ્યાઓ આ કરી શકે છે:

1) આંતરજાતિ;

2) બિંદુ પર છેદે છે;

3) સમાંતર રહો;

4) મેચ.

કેસ નંબર 1 મૂળભૂત રીતે અન્ય કેસો કરતા અલગ છે. બે સીધી રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે જો તેઓ એક જ પ્લેનમાં ન હોય. એક હાથ ઊંચો કરો અને બીજો હાથ આગળ લંબાવો - અહીં રેખાઓ ક્રોસ કરવાનું ઉદાહરણ છે. પોઈન્ટ નંબર 2-4 માં સીધી રેખાઓ આવેલી હોવી જોઈએ એક વિમાનમાં.

અવકાશમાં રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ કેવી રીતે શોધવી?

બે સીધી જગ્યાઓ ધ્યાનમાં લો:

- બિંદુ અને દિશા વેક્ટર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સીધી રેખા;
- બિંદુ અને દિશા વેક્ટર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સીધી રેખા.

વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, ચાલો એક યોજનાકીય ચિત્ર બનાવીએ:

ડ્રોઇંગ ઉદાહરણ તરીકે સીધી રેખાઓને છેદતી બતાવે છે.

આ સીધી રેખાઓ સાથે કેવી રીતે વ્યવહાર કરવો?

બિંદુઓ જાણીતા હોવાથી, વેક્ટર શોધવાનું સરળ છે.

જો સીધા આંતરજાત, પછી વેક્ટર કોપ્લાનર નથી(પાઠ જુઓ વેક્ટર્સની રેખીય (બિન) અવલંબન. વેક્ટર્સનો આધાર), અને તેથી, તેમના કોઓર્ડિનેટ્સનું બનેલું નિર્ણાયક બિન-શૂન્ય છે. અથવા, જે વાસ્તવમાં એક જ વસ્તુ છે, તે બિન-શૂન્ય હશે: .

કેસ નંબર 2-4 માં, આપણું માળખું એક પ્લેન અને વેક્ટરમાં "પડે છે". કોપ્લાનર, અને રેખીય રીતે આશ્રિત વેક્ટરનું મિશ્ર ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર છે: .

ચાલો એલ્ગોરિધમને વધુ વિસ્તૃત કરીએ. ચાલો તે ડોળ કરીએ તેથી, રેખાઓ કાં તો છેદે છે, સમાંતર છે અથવા એકરૂપ છે.

જો દિશા વેક્ટર્સ સમરેખા, પછી રેખાઓ કાં તો સમાંતર અથવા સંયોગ છે. અંતિમ ખીલી માટે, હું નીચેની તકનીકનો પ્રસ્તાવ મૂકું છું: એક લીટી પર કોઈપણ બિંદુ લો અને તેના કોઓર્ડિનેટ્સને બીજી લીટીના સમીકરણમાં બદલો; જો કોઓર્ડિનેટ્સ "ફિટ" હોય, તો રેખાઓ એકરૂપ થાય છે;

અલ્ગોરિધમ સરળ છે, પરંતુ વ્યવહારુ ઉદાહરણો હજુ પણ મદદ કરશે:

ઉદાહરણ 11

બે લીટીઓની સાપેક્ષ સ્થિતિ શોધો

ઉકેલ: ઘણી ભૂમિતિ સમસ્યાઓની જેમ, બિંદુ દ્વારા ઉકેલ બિંદુ ઘડવાનું અનુકૂળ છે:

1) અમે સમીકરણોમાંથી બિંદુઓ અને દિશા વેક્ટર લઈએ છીએ:

2) વેક્ટર શોધો:

આમ, વેક્ટર કોપ્લાનર છે, જેનો અર્થ છે કે રેખાઓ એક જ સમતલમાં રહે છે અને છેદે છે, સમાંતર હોઈ શકે છે અથવા એકરૂપ થઈ શકે છે.

4) ચાલો કોલિનિયરિટી માટે દિશા વેક્ટર તપાસીએ.

ચાલો આ વેક્ટર્સના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી સિસ્ટમ બનાવીએ:

થી દરેક વ્યક્તિસમીકરણો તે અનુસરે છે કે, તેથી, સિસ્ટમ સુસંગત છે, વેક્ટરના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ પ્રમાણસર છે, અને વેક્ટર સમરેખા છે.

નિષ્કર્ષ: રેખાઓ સમાંતર અથવા એકરૂપ છે.

5) રેખાઓમાં સામાન્ય બિંદુઓ છે કે કેમ તે શોધો. ચાલો પ્રથમ લીટીનો એક બિંદુ લઈએ અને તેના કોઓર્ડિનેટ્સને લીટીના સમીકરણોમાં બદલીએ:

આમ, રેખાઓ પાસે કોઈ સામાન્ય બિંદુ નથી, અને તેમની પાસે સમાંતર હોવા સિવાય કોઈ વિકલ્પ નથી.

જવાબ આપો:

તમારા પોતાના પર ઉકેલવા માટે એક રસપ્રદ ઉદાહરણ:

ઉદાહરણ 12

રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિઓ શોધો

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે બીજી લાઇનમાં પરિમાણ તરીકે અક્ષર છે. તાર્કિક. સામાન્ય કિસ્સામાં, આ બે અલગ અલગ રેખાઓ છે, તેથી દરેક લાઇનનું પોતાનું પરિમાણ છે.

અને ફરીથી હું તમને વિનંતી કરું છું કે તમે ઉદાહરણોને અવગણો નહીં, હું જે કાર્યો પ્રસ્તાવિત કરું છું તે રેન્ડમથી દૂર છે ;-)

અવકાશમાં રેખા સાથે સમસ્યાઓ

પાઠના અંતિમ ભાગમાં, હું અવકાશી રેખાઓ સાથેની વિવિધ સમસ્યાઓની મહત્તમ સંખ્યાને ધ્યાનમાં લેવાનો પ્રયાસ કરીશ. આ કિસ્સામાં, વાર્તાનો મૂળ ક્રમ અવલોકન કરવામાં આવશે: પ્રથમ આપણે ક્રોસિંગ રેખાઓ સાથે સમસ્યાઓ પર વિચાર કરીશું, પછી છેદતી રેખાઓ સાથે, અને અંતે આપણે અવકાશમાં સમાંતર રેખાઓ વિશે વાત કરીશું. જો કે, મારે કહેવું જ જોઇએ કે આ પાઠના કેટલાક કાર્યો એક જ સમયે રેખાઓના સ્થાનના ઘણા કેસો માટે ઘડવામાં આવી શકે છે, અને આ સંદર્ભમાં, ફકરાઓમાં વિભાગનું વિભાજન કંઈક અંશે મનસ્વી છે. ત્યાં સરળ ઉદાહરણો છે, ત્યાં વધુ જટિલ ઉદાહરણો છે, અને આશા છે કે દરેકને તેઓને જે જોઈએ છે તે મળશે.

હદ પાર કરવી

ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે સીધી રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે જો ત્યાં કોઈ પ્લેન ન હોય જેમાં તેઓ બંને આવેલા હોય. જ્યારે હું પ્રેક્ટિસ દ્વારા વિચારી રહ્યો હતો, ત્યારે એક રાક્ષસ સમસ્યા ધ્યાનમાં આવી, અને હવે મને તમારા ધ્યાન પર ચાર માથાવાળા ડ્રેગન રજૂ કરવામાં આનંદ થાય છે:

ઉદાહરણ 13

સીધી રેખાઓ આપેલ છે. આવશ્યક:

a) સાબિત કરે છે કે રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે;

b) આપેલ રેખાઓના લંબરૂપ બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાના સમીકરણો શોધો;

c) એક સીધી રેખાના સમીકરણો કંપોઝ કરો જેમાં શામેલ હોય સામાન્ય લંબહદ પાર કરવી;

ડી) રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

ઉકેલ: જે ચાલે છે તે રસ્તામાં નિપુણતા મેળવશે:

a) ચાલો સાબિત કરીએ કે રેખાઓ છેદે છે. ચાલો આ રેખાઓના બિંદુઓ અને દિશા વેક્ટર શોધીએ:

ચાલો વેક્ટર શોધીએ:

ચાલો ગણતરી કરીએ વેક્ટરનું મિશ્ર ઉત્પાદન:

આમ, વેક્ટર્સ કોપ્લાનર નથી, જેનો અર્થ છે કે રેખાઓ છેદે છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

સંભવતઃ દરેક વ્યક્તિએ લાંબા સમયથી નોંધ્યું છે કે રેખાઓ પાર કરવા માટે ચકાસણી અલ્ગોરિધમ સૌથી ટૂંકું છે.

b) રેખાના સમીકરણો શોધો જે બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને રેખાઓ પર લંબ છે. ચાલો એક યોજનાકીય ચિત્ર બનાવીએ:

ફેરફાર માટે મેં સીધું પોસ્ટ કર્યું પાછળસીધા, ક્રોસિંગ પોઈન્ટ્સ પર તે કેવી રીતે થોડું ભૂંસી નાખવામાં આવે છે તે જુઓ. સંવર્ધન? હા, સામાન્ય રીતે, સીધી રેખા “de” ને મૂળ સીધી રેખાઓ સાથે ઓળંગવામાં આવશે. જો કે અમને આ ક્ષણમાં રસ નથી, અમારે માત્ર એક લંબ રેખા બાંધવાની જરૂર છે અને બસ.

ડાયરેક્ટ "ડી" વિશે શું જાણીતું છે? તેની સાથે સંબંધિત બિંદુ જાણીતું છે. પર્યાપ્ત માર્ગદર્શક વેક્ટર નથી.

શરત મુજબ, સીધી રેખા સીધી રેખાઓ માટે લંબરૂપ હોવી જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે તેની દિશા વેક્ટર દિશા વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ હશે. ઉદાહરણ નંબર 9 થી પહેલેથી જ પરિચિત, ચાલો વેક્ટર ઉત્પાદન શોધીએ:

ચાલો બિંદુ અને દિશા વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખા "de" ના સમીકરણો બનાવીએ:

તૈયાર છે. સૈદ્ધાંતિક રીતે, તમે છેદમાં ચિહ્નો બદલી શકો છો અને ફોર્મમાં જવાબ લખી શકો છો , પરંતુ આ માટે કોઈ જરૂર નથી.

તપાસવા માટે, તમારે બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને પરિણામી સીધી રેખા સમીકરણોમાં બદલવાની જરૂર છે, પછી ઉપયોગ કરો વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદનખાતરી કરો કે વેક્ટર "pe one" અને "pe ટુ" દિશા વેક્ટર માટે ખરેખર ઓર્થોગોનલ છે.

સામાન્ય લંબ ધરાવતી રેખાના સમીકરણો કેવી રીતે શોધી શકાય?

c) આ સમસ્યા વધુ મુશ્કેલ હશે. હું ભલામણ કરું છું કે ડમીઓ આ મુદ્દાને છોડી દે, હું વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ માટે તમારી નિષ્ઠાવાન સહાનુભૂતિને ઠંડું કરવા માંગતો નથી =) માર્ગ દ્વારા, વધુ તૈયાર વાચકો માટે પણ તેને રોકી રાખવું વધુ સારું રહેશે, હકીકત એ છે કે જટિલતાના સંદર્ભમાં ઉદાહરણ લેખમાં છેલ્લે મૂકવું જોઈએ, પરંતુ પ્રસ્તુતિના તર્ક મુજબ તે અહીં સ્થિત હોવું જોઈએ.

તેથી, તમારે એક રેખાના સમીકરણો શોધવાની જરૂર છે જેમાં ત્રાંસી રેખાઓની સામાન્ય લંબ હોય છે.

- આ એક સેગમેન્ટ છે જે આ રેખાઓને જોડે છે અને આ રેખાઓને લંબરૂપ છે:

અહીં આપણો સુંદર વ્યક્તિ છે: - છેદતી રેખાઓનો સામાન્ય લંબ. તે એકમાત્ર છે. તેના જેવું બીજું કોઈ નથી. આ સેગમેન્ટ ધરાવતી રેખા માટે આપણે સમીકરણો બનાવવાની જરૂર છે.

પ્રત્યક્ષ "અમ" વિશે શું જાણીતું છે? તેની દિશા વેક્ટર જાણીતી છે, જે અગાઉના ફકરામાં જોવા મળે છે. પરંતુ, કમનસીબે, આપણે સીધી રેખા "em" સાથે જોડાયેલા એક પણ બિંદુને જાણતા નથી, અને ન તો આપણે કાટખૂણેના છેડા - બિંદુઓ જાણીએ છીએ. આ લંબ રેખા બે મૂળ રેખાઓને ક્યાં છેદે છે? આફ્રિકામાં, એન્ટાર્કટિકામાં? સ્થિતિની પ્રારંભિક સમીક્ષા અને વિશ્લેષણથી, સમસ્યાને કેવી રીતે હલ કરવી તે બિલકુલ સ્પષ્ટ નથી... પરંતુ સીધી રેખાના પેરામેટ્રિક સમીકરણોના ઉપયોગ સાથે સંકળાયેલ એક મુશ્કેલ યુક્તિ છે.

અમે બિંદુ દ્વારા નિર્ણયની રચના કરીશું:

1) ચાલો પ્રથમ લીટીના સમીકરણોને પેરામેટ્રિક સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ:

ચાલો મુદ્દા પર વિચાર કરીએ. અમે કોઓર્ડિનેટ્સ જાણતા નથી. પરંતુ. જો કોઈ બિંદુ આપેલ રેખાથી સંબંધિત છે, તો તેના કોઓર્ડિનેટ્સ અનુરૂપ છે, ચાલો તેને દ્વારા સૂચિત કરીએ. પછી બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ ફોર્મમાં લખવામાં આવશે:

જીવન વધુ સારું થઈ રહ્યું છે, એક અજાણ્યા હજુ પણ ત્રણ અજાણ્યા નથી.

2) બીજા મુદ્દા પર સમાન આક્રોશ હાથ ધરવામાં આવવો જોઈએ. ચાલો બીજી લીટીના સમીકરણોને પેરામેટ્રિક સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ:

જો કોઈ બિંદુ આપેલ રેખાથી સંબંધિત છે, તો પછી ખૂબ ચોક્કસ અર્થ સાથેતેના કોઓર્ડિનેટ્સ પેરામેટ્રિક સમીકરણોને સંતોષવા જોઈએ:

અથવા:

3) વેક્ટર, અગાઉ મળેલા વેક્ટરની જેમ, સીધી રેખાનો નિર્દેશક વેક્ટર હશે. બે બિંદુઓમાંથી વેક્ટર કેવી રીતે બનાવવું તે અંગે વર્ગમાં અનાદિ કાળથી ચર્ચા કરવામાં આવી હતી ડમી માટે વેક્ટર્સ. હવે તફાવત એ છે કે વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ અજાણ્યા પરિમાણ મૂલ્યો સાથે લખાયેલા છે. તો શું? વેક્ટરની શરૂઆતના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સને વેક્ટરના અંતના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી બાદ કરવાની કોઈ મનાઈ કરતું નથી.

ત્યાં બે મુદ્દા છે: .

વેક્ટર શોધવું:

4) દિશા વેક્ટર સમરેખીય હોવાથી, એક વેક્ટર ચોક્કસ પ્રમાણસરતા ગુણાંક "લેમ્બડા" સાથે બીજા દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત થાય છે:

અથવા સંકલન દ્વારા સંકલન:

તે સૌથી સામાન્ય હોવાનું બહાર આવ્યું રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમત્રણ અજાણ્યાઓ સાથે, જે પ્રમાણભૂત રીતે ઉકેલી શકાય તેવું છે, ઉદાહરણ તરીકે, ક્રેમરની પદ્ધતિ. પરંતુ ત્રીજા સમીકરણમાંથી આપણે "લેમ્બડા" વ્યક્ત કરીશું અને તેને પ્રથમ અને બીજા સમીકરણમાં બદલીશું:

આમ: , અને અમને "લેમ્બડા" ની જરૂર નથી. હકીકત એ છે કે પરિમાણ મૂલ્યો સમાન હોવાનું બહાર આવ્યું છે તે ફક્ત એક અકસ્માત છે.

5) આકાશ સંપૂર્ણપણે સાફ થઈ રહ્યું છે, ચાલો મળેલા મૂલ્યોને બદલીએ અમારા મુદ્દાઓ માટે:

દિશા વેક્ટરની ખાસ જરૂર નથી, કારણ કે તેનો સમકક્ષ પહેલેથી જ મળી ગયો છે.

લાંબી મુસાફરી પછી તપાસ કરવી હંમેશા રસપ્રદ છે.

:

યોગ્ય સમાનતાઓ પ્રાપ્ત થાય છે.

ચાલો બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને સમીકરણોમાં બદલીએ :

યોગ્ય સમાનતાઓ પ્રાપ્ત થાય છે.

6) અંતિમ તાર: ચાલો બિંદુ (તમે તેને લઈ શકો છો) અને દિશા વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાના સમીકરણો બનાવીએ:

સૈદ્ધાંતિક રીતે, તમે અખંડ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે "સારા" બિંદુને પસંદ કરી શકો છો, પરંતુ આ કોસ્મેટિક છે.

છેદતી રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર કેવી રીતે શોધવું?

ડી) અમે ડ્રેગનનું ચોથું માથું કાપી નાખ્યું.

પદ્ધતિ એક. એક પદ્ધતિ પણ નહીં, પરંતુ એક નાનો વિશેષ કેસ. ક્રોસિંગ રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર તેમના સામાન્ય કાટખૂણેની લંબાઈ જેટલું છે: .

સામાન્ય લંબના એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ પાછલા ફકરામાં જોવા મળે છે, અને કાર્ય પ્રાથમિક છે:

પદ્ધતિ બે. વ્યવહારમાં, મોટાભાગે સામાન્ય કાટખૂણેના છેડા અજાણ્યા હોય છે, તેથી એક અલગ અભિગમનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. સમાંતર વિમાનો બે છેદતી સીધી રેખાઓ દ્વારા દોરી શકાય છે, અને આ વિમાનો વચ્ચેનું અંતર આ સીધી રેખાઓ વચ્ચેના અંતર જેટલું છે. ખાસ કરીને, આ વિમાનો વચ્ચે એક સામાન્ય લંબ ચોંટે છે.

વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ દરમિયાન, ઉપરોક્ત વિચારણાઓ પરથી, છેદતી સીધી રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે એક સૂત્ર પ્રાપ્ત થાય છે:
(અમારા પોઈન્ટ "અમ એક, બે" ને બદલે તમે લીટીઓના મનસ્વી બિંદુઓ લઈ શકો છો).

વેક્ટરનું મિશ્ર ઉત્પાદનપહેલાથી જ બિંદુ "a" માં જોવા મળે છે: .

વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદનફકરા "be" માં જોવા મળે છે: , ચાલો તેની લંબાઈની ગણતરી કરીએ:

આમ:

ચાલો ગર્વથી એક પંક્તિમાં ટ્રોફી પ્રદર્શિત કરીએ:

જવાબ આપો:
અ) , જેનો અર્થ છે કે સીધી રેખાઓ છેદે છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર હતી;
b) ;
વી) ;
જી)

ક્રોસિંગ લાઇન વિશે તમે બીજું શું કહી શકો? તેમની વચ્ચે એક નિર્ધારિત કોણ છે. પરંતુ અમે આગામી ફકરામાં સાર્વત્રિક કોણ સૂત્રને ધ્યાનમાં લઈશું:

છેદતી સીધી જગ્યાઓ એ જ પ્લેનમાં આવશ્યકપણે રહે છે:

પ્રથમ વિચાર એ છે કે તમારી બધી શક્તિ સાથે આંતરછેદ બિંદુ પર દબાણ કરો. અને મેં તરત જ વિચાર્યું, શા માટે તમારી જાતને યોગ્ય ઇચ્છાઓનો ઇનકાર કરો ?! ચાલો હમણાં તેણીની ટોચ પર જઈએ!

અવકાશી રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને કેવી રીતે શોધવું?

ઉદાહરણ 14

રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ શોધો

ઉકેલ: ચાલો રેખાઓના સમીકરણોને પેરામેટ્રિક સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ:

આ પાઠના ઉદાહરણ નંબર 7 માં આ કાર્યની વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી હતી (જુઓ. અવકાશમાં રેખાના સમીકરણો). અને માર્ગ દ્વારા, મેં ઉદાહરણ નંબર 12 માંથી સીધી રેખાઓ લીધી છે. હું જૂઠું બોલીશ નહીં, હું નવા સાથે આવવા માટે ખૂબ આળસુ છું.

સોલ્યુશન પ્રમાણભૂત છે અને જ્યારે આપણે છેદતી રેખાઓના સામાન્ય લંબ માટેના સમીકરણો શોધવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યા હતા ત્યારે તે પહેલાથી જ મળી ચૂક્યું છે.

રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ રેખા સાથે સંબંધિત છે, તેથી તેના કોઓર્ડિનેટ્સ આ રેખાના પેરામેટ્રિક સમીકરણોને સંતોષે છે, અને તેમને અનુરૂપ છે ખૂબ ચોક્કસ પરિમાણ મૂલ્ય:

પરંતુ આ જ બિંદુ બીજી લાઇનનો પણ છે, તેથી:

અમે અનુરૂપ સમીકરણોને સમાન બનાવીએ છીએ અને સરળીકરણો હાથ ધરીએ છીએ:

બે અજ્ઞાત સાથે ત્રણ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થાય છે. જો રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે (જે ઉદાહરણ નંબર 12 માં સાબિત થાય છે), તો સિસ્ટમ આવશ્યકપણે સુસંગત છે અને તેનો અનન્ય ઉકેલ છે. તે ઉકેલી શકાય છે ગૌસીયન પદ્ધતિ, પરંતુ અમે આવા કિન્ડરગાર્ટન ફેટીશિઝમથી પાપ કરીશું નહીં, અમે તેને સરળ કરીશું: પ્રથમ સમીકરણથી આપણે "તે શૂન્ય" વ્યક્ત કરીએ છીએ અને તેને બીજા અને ત્રીજા સમીકરણોમાં બદલીએ છીએ:

છેલ્લા બે સમીકરણો આવશ્યકપણે સમાન હોવાનું બહાર આવ્યું છે, અને તે તેમાંથી અનુસરે છે કે . પછી:

ચાલો પરિમાણના મળેલા મૂલ્યને સમીકરણોમાં બદલીએ:

જવાબ આપો:

તપાસવા માટે, અમે પરિમાણના મળેલા મૂલ્યને સમીકરણોમાં બદલીએ છીએ:
તે જ કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવવામાં આવ્યા હતા જેને તપાસવાની જરૂર હતી. ઝીણવટભર્યા વાચકો બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને લીટીઓના મૂળ પ્રમાણભૂત સમીકરણોમાં બદલી શકે છે.

માર્ગ દ્વારા, તેનાથી વિપરીત કરવું શક્ય હતું: “es zero” દ્વારા બિંદુ શોધો અને તેને “te zero” દ્વારા તપાસો.

એક જાણીતી ગાણિતિક અંધશ્રદ્ધા કહે છે: જ્યાં રેખાઓના આંતરછેદની ચર્ચા કરવામાં આવે છે, ત્યાં હંમેશા કાટખૂણેની ગંધ હોય છે.

આપેલ એકને લંબરૂપ અવકાશમાં રેખા કેવી રીતે બનાવવી?

(રેખાઓ છેદે છે)

ઉદાહરણ 15

a) રેખાના લંબરૂપ બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાના સમીકરણો લખો (રેખાઓ છેદે છે).

b) બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર શોધો.

નૉૅધ : કલમ "રેખાઓ છેદે છે" - નોંધપાત્ર. બિંદુ દ્વારા
તમે અસંખ્ય લંબ રેખાઓ દોરી શકો છો જે સીધી રેખા "el" સાથે છેદે છે. જ્યારે આપેલ બિંદુને લંબરૂપ સીધી રેખા દોરવામાં આવે ત્યારે એકમાત્ર ઉકેલ આવે છે બેસીધી રેખા દ્વારા આપવામાં આવે છે (ઉદાહરણ નંબર 13, બિંદુ “b” જુઓ).

અ) ઉકેલ: અમે અજ્ઞાત લાઇન દ્વારા સૂચિત કરીએ છીએ. ચાલો એક યોજનાકીય ચિત્ર બનાવીએ:

સીધી રેખા વિશે શું જાણીતું છે? શરત મુજબ, એક બિંદુ આપવામાં આવે છે. સીધી રેખાના સમીકરણો બનાવવા માટે, દિશા વેક્ટર શોધવાનું જરૂરી છે. વેક્ટર આવા વેક્ટર તરીકે તદ્દન યોગ્ય છે, તેથી અમે તેની સાથે વ્યવહાર કરીશું. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, ચાલો ગરદનના સ્ક્રફ દ્વારા વેક્ટરનો અજાણ્યો છેડો લઈએ.

1) ચાલો સીધી રેખા "el" ના સમીકરણોમાંથી તેનો દિશા વેક્ટર લઈએ, અને સમીકરણોને પેરામેટ્રિક સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ:

ઘણાએ અનુમાન લગાવ્યું કે હવે પાઠ દરમિયાન ત્રીજી વખત જાદુગર તેની ટોપીમાંથી સફેદ હંસ ખેંચશે. અજાણ્યા કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુને ધ્યાનમાં લો. બિંદુ હોવાથી, તેના કોઓર્ડિનેટ્સ સીધી રેખા "el" ના પેરામેટ્રિક સમીકરણોને સંતોષે છે અને તે ચોક્કસ પરિમાણ મૂલ્યને અનુરૂપ છે:

અથવા એક લીટીમાં:

2) સ્થિતિ અનુસાર, રેખાઓ લંબરૂપ હોવી જોઈએ, તેથી, તેમની દિશા વેક્ટર ઓર્થોગોનલ છે. અને જો વેક્ટર ઓર્થોગોનલ હોય, તો તેમના સ્કેલર ઉત્પાદનશૂન્ય બરાબર:

શું થયું? એક અજ્ઞાત સાથેનું સરળ રેખીય સમીકરણ:

3) પરિમાણનું મૂલ્ય જાણીતું છે, ચાલો બિંદુ શોધીએ:

અને દિશા વેક્ટર:
.

4) આપણે બિંદુ અને દિશા વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાના સમીકરણો બનાવીશું :

પ્રમાણના છેદ અપૂર્ણાંક હોવાનું બહાર આવ્યું છે, અને જ્યારે અપૂર્ણાંકથી છુટકારો મેળવવો યોગ્ય છે ત્યારે આ બરાબર છે. હું તેમને માત્ર -2 વડે ગુણાકાર કરીશ:

જવાબ આપો:

નૉૅધ : ઉકેલનો વધુ સખત અંત નીચે પ્રમાણે ઔપચારિક છે: ચાલો બિંદુ અને દિશા વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાના સમીકરણો બનાવીએ . ખરેખર, જો કોઈ વેક્ટર સીધી રેખાનો માર્ગદર્શક વેક્ટર હોય, તો સમસ્તર વેક્ટર, સ્વાભાવિક રીતે, આ સીધી રેખાનો માર્ગદર્શક વેક્ટર પણ હશે.

ચકાસણીમાં બે તબક્કાઓ શામેલ છે:

1) ઓર્થોગોનાલિટી માટે રેખાઓના દિશા વેક્ટર તપાસો;

2) આપણે દરેક લીટીના સમીકરણોમાં બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને બદલીએ છીએ, તેઓ ત્યાં અને ત્યાં બંને "ફિટ" હોવા જોઈએ.

લાક્ષણિક ક્રિયાઓ વિશે ઘણી વાતો હતી, તેથી મેં ડ્રાફ્ટ પર તપાસ કરી.

માર્ગ દ્વારા, હું બીજો મુદ્દો ભૂલી ગયો - સીધી રેખા "el" ની સાપેક્ષ "en" બિંદુ પર સપ્રમાણતાવાળા બિંદુ "zyu" બાંધવા. જો કે, ત્યાં એક સારું "ફ્લેટ એનાલોગ" છે, જે લેખમાં મળી શકે છે પ્લેન પર સીધી રેખા સાથેની સૌથી સરળ સમસ્યાઓ. અહીં માત્ર તફાવત વધારાના "Z" કોઓર્ડિનેટમાં હશે.

અવકાશમાં બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર કેવી રીતે શોધવું?

b) ઉકેલ: ચાલો એક બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર શોધીએ.

પદ્ધતિ એક. આ અંતર કાટખૂણેની લંબાઈ બરાબર છે: . ઉકેલ સ્પષ્ટ છે: જો બિંદુઓ જાણીતા છે , તે:

પદ્ધતિ બે. વ્યવહારિક સમસ્યાઓમાં, કાટખૂણેનો આધાર ઘણીવાર સીલબંધ ગુપ્ત હોય છે, તેથી તૈયાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો વધુ તર્કસંગત છે.

બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
, સીધી રેખા "el" નું નિર્દેશન વેક્ટર ક્યાં છે, અને – મફતઆપેલ રેખાથી સંબંધિત બિંદુ.

1) રેખાના સમીકરણોમાંથી અમે દિશા વેક્ટર અને સૌથી વધુ સુલભ બિંદુને બહાર કાઢીએ છીએ.

2) બિંદુ સ્થિતિ પરથી જાણીતું છે, વેક્ટરને શાર્પ કરો:

3) ચાલો શોધીએ વેક્ટર ઉત્પાદનઅને તેની લંબાઈની ગણતરી કરો:

4) માર્ગદર્શક વેક્ટરની લંબાઈની ગણતરી કરો:

5) આમ, એક બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર:

માર્ગ દ્વારા, છેલ્લી અસમાનતા સૂચવે છે કે તેમના સામાન્ય વેક્ટર સમાંતર નથી.

જો રેખાઓ સમાંતર હોય, તો સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી. વિશ્લેષણાત્મક રીતે તે આના જેવું દેખાશે:

પરંતુ જો ત્રણેય અપૂર્ણાંક સમાન હોય, તો રેખાઓ એકબીજા સાથે એકરુપ હોય છે, અને તેથી સિસ્ટમમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે.

બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણોબે ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે.

જો સીધી રેખાઓ સામાન્ય સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો તેમની વચ્ચેનો કોણ તેમના સામાન્ય વેક્ટર વચ્ચેના ખૂણા સાથે મેળ ખાય છે. તે અગાઉના વ્યાખ્યાનમાંથી સૂત્ર (6.9) નો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે. અમારા કેસ માટે તે આના જેવું દેખાશે:

. (7.7)

સમાંતર રેખાઓ માટેની સ્થિતિ:

;

લંબરૂપ સ્થિતિ:

જો રેખાઓ ફોર્મના કોણીય ગુણાંક સાથેના સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે:

અને ,

પછી તેમની વચ્ચેના કોણની સ્પર્શક સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

. (7.8)

સમાંતર સ્થિતિ:

લંબરૂપ સ્થિતિ:

ઉદાહરણ 7.4. રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ શોધો અને અને તેમની વચ્ચેનો કોણ.

ઉકેલો ઇ. ચાલો ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીને રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને શોધીએ:

, , ,

અમે સીધી રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાને તેમના સામાન્ય વેક્ટર (2, 5) અને (5, –2) વચ્ચેના ખૂણા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. સૂત્ર (7.7) મુજબ અમારી પાસે છે:

આ જવાબ શું કહે છે? સીધી રેખાઓ કાટખૂણે છે, કારણ કે .

ઉદાહરણ 7.5. કયા પરિમાણ મૂલ્યો પર aઅને bસીધા અને : એ) છેદવું, b) સમાંતર છે, વી) મેળ ખાય છે?

ઉકેલો ઇ. જો શરત પૂરી થાય તો બે રેખાઓ છેદે છે. અમારા કિસ્સામાં

જો રેખાઓ સમાંતર છે , એટલે કે

અને, છેલ્લે, બે સીધી રેખાઓ તે પૂરી પાડે છે , એટલે કે જો .

ઉદાહરણ 7.6. એક બિંદુ અને એક લીટી આપેલ છે . રેખાઓના સમીકરણો લખો એલ 1 અને એલ 2 એક બિંદુમાંથી પસાર થવું એ, અને .

ઉકેલો ઇ. ચાલો એક યોજનાકીય ચિત્ર બનાવીએ.

ચોખા. 7.6

મૂળ સીધી રેખાનો ઢોળાવ એલબરાબર k= –2. શરત દ્વારા, તેથી . સૂત્ર (7.4) નો ઉપયોગ કરીને આપણે સીધી રેખાનું સમીકરણ શોધીએ છીએ એલ 1:

, અથવા .

ત્યારથી . પછી રેખાનું સમીકરણ એલ 2 આના જેવો દેખાશે:

, અથવા .

7.4. બીજા ક્રમના વળાંકની વ્યાખ્યા

વ્યાખ્યા 7.1.બીજો ક્રમ વળાંકવર્તમાન કોઓર્ડિનેટ્સ સંબંધિત બીજી ડિગ્રીના સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખા છે. સામાન્ય રીતે, આ સમીકરણ આના જેવું લાગે છે:

બધા નંબરો ક્યાં છે એ, IN, સાથે, વગેરે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, અને વધુમાં, ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા એ, IN, સાથે- શૂન્યથી અલગ.

કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની રજૂઆત પહેલાં, તમામ વણાંકોનું મૌખિક રીતે વર્ણન કરવામાં આવ્યું હતું, જે પ્રશ્નમાં રહેલા વળાંકના ભૌમિતિક ગુણધર્મોને આધારે છે. તેથી, વર્તુળની વ્યાખ્યા આ રીતે વાંચો:

વ્યાખ્યા 7.2. વર્તુળ – આ આપેલ બિંદુથી સમતુલિત સમતલ પરના બિંદુઓનું સ્થાન છે, જેને કેન્દ્ર કહેવાય છે.

વર્તુળનું સમીકરણ, બિંદુ પર કેન્દ્રિત ( એ,b) અને ત્રિજ્યા આરકાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, તમે શાળામાં જે પ્રાપ્ત કર્યું તે આના જેવું દેખાય છે:

જો આપણે કૌંસ ખોલીએ, તો આપણે સમીકરણ (7.9) જેવું જ એક સમીકરણ મેળવીએ છીએ, જેમાં વર્તમાન કોઓર્ડિનેટ્સનું ઉત્પાદન ધરાવતો કોઈ શબ્દ નથી અને સર્વોચ્ચ શક્તિઓના ગુણાંક એકબીજાની સમાન હોય છે.

તમામ સેકન્ડ-ઓર્ડર સમીકરણોની વ્યુત્પત્તિ સીધી રેખા સમીકરણોની વ્યુત્પત્તિ જેવી જ છે અને તે જ અલ્ગોરિધમને અનુસરે છે.

ચાલો તેની વ્યાખ્યાના આધારે પેરાબોલાના સમીકરણ મેળવીએ.

7.5. કેનોનિકલ પેરાબોલા સમીકરણ

વ્યાખ્યા 7.3. પેરાબોલા આપેલ બિંદુથી સમાન અંતરે સમતલમાં બિંદુઓનું સ્થાન છે એફ, કહેવાય છે ફોકસ, અને આ રેખા, કહેવાય છે મુખ્ય શિક્ષિકા

ચાલો ફોકસથી ડાયરેક્ટ્રિક્સ સુધીનું અંતર બાય દર્શાવીએ પી. આ જથ્થો કહેવામાં આવે છે પરિમાણપેરાબોલાસ

1. ચાલો x-અક્ષને સ્થાન આપીએ જેથી તે ફોકસમાંથી પસાર થાય, ડાયરેક્ટ્રીક્સને લંબરૂપ હોય અને ડાયરેક્ટ્રીક્સથી ફોકસ તરફ સકારાત્મક દિશા હોય.

2. આ કાટખૂણે મધ્યમાં કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ મૂકો. પછી બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ હશે એફ(પી/2, 0), અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણ: .

3. પેરાબોલા પર વર્તમાન બિંદુ લો એમ(x, y).

4. પેરાબોલાની વ્યાખ્યા દ્વારા, અંતર એમએનબિંદુ થી એમડાયરેક્ટ્રીક્સ તેના અંતરની બરાબર છે એમએફધ્યાન થી: એમ.એફ.= MN. ડ્રોઇંગમાંથી જોઈ શકાય છે (ફિગ. 7.7), બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ એન(–પી/2, y). ચાલો અગાઉના લેક્ચરના બિંદુ 1 થી બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ અંતરો શોધીએ.

, .

આ અભિવ્યક્તિઓની જમણી બાજુની સમાનતા અને સમાનતાની બંને બાજુઓને વર્ગીકરણ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ:

અથવા સંકોચન પછી

. (7.11)

સમીકરણ (7.11) કહેવાય છે પ્રામાણિક પેરાબોલા સમીકરણ. માત્ર વળાંક પર પડેલા બિંદુઓ તેને સંતુષ્ટ કરશે, અને બાકીના નહીં. ચાલો પ્રમાણભૂત સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને તેના ગ્રાફના આકારનો અભ્યાસ કરીએ.

કારણ કે yસમ શક્તિમાં સમાયેલ છે, પછી ધરી ઓહસમપ્રમાણતાની ધરી હશે, એટલે કે. એક મૂલ્ય એક્સબે મૂલ્યોને અનુરૂપ હશે વાય- સકારાત્મક અને નકારાત્મક. કારણ કે જમણી બાજુ બિન-નકારાત્મક છે ખાતે, પછી ડાબી એક પણ. કારણ કે આર- ફોકસ અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ વચ્ચેનું અંતર હંમેશા શૂન્ય કરતા વધારે હોય છે એક્સ. જો એક્સ=0, પછી ખાતે=0, એટલે કે પેરાબોલા મૂળમાંથી પસાર થાય છે. અમર્યાદિત વધારા સાથે xસંપૂર્ણ મૂલ્ય ખાતેપણ મર્યાદા વગર વધશે.

સમીકરણ (7.11) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પેરાબોલાનો ગ્રાફ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 7.7.

ચોખા. 7.7 ફિગ. 7.8

પેરાબોલાની સમપ્રમાણતાની અક્ષને કેન્દ્રીય અક્ષ કહેવામાં આવે છે, કારણ કે ધ્યાન તેના પર છે. જો પેરાબોલાના કેન્દ્રીય અક્ષને ઓર્ડિનેટ અક્ષ તરીકે લેવામાં આવે, તો તેનું સમીકરણ આ સ્વરૂપ લે છે: