11મા ધોરણ

સમસ્યા શરતો

1. ઇલેક્ટ્રિક કેટલની કિંમતમાં 14% વધારો થયો હતો અને તેની રકમ 1,596 રુબેલ્સ હતી. કિંમતમાં વધારો થતાં પહેલાં કેટલની કિંમત કેટલા રુબેલ્સ હતી?
2. ગ્રાફ પ્રતિ મિનિટ ક્રાંતિની સંખ્યા પર એન્જિન ટોર્કની અવલંબન દર્શાવે છે. એબ્સીસા અક્ષ પ્રતિ મિનિટ ક્રાંતિની સંખ્યા દર્શાવે છે, અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ N∙m માં ટોર્ક દર્શાવે છે. વાહનની ઝડપ (કિમી/કલાકમાં) અંદાજે સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં n એ પ્રતિ મિનિટ એન્જિન ક્રાંતિની સંખ્યા છે. ટોર્ક 120 N∙m બરાબર હોય તે માટે કારને ઓછામાં ઓછી કેટલી ઝડપે ખસેડવી જોઈએ? તમારો જવાબ કિલોમીટર પ્રતિ કલાકમાં આપો.
   
3. ચોરસ માપ x સાથે ચેકર્ડ પેપર પર, ત્રિકોણ ABC દર્શાવવામાં આવ્યું છે. તેની ઉંચાઈની લંબાઈ BC ની બાજુએ શોધો.
4. વૈજ્ઞાનિક પરિષદ 5 દિવસ સુધી ચાલે છે. કુલ 75 અહેવાલોનું આયોજન કરવામાં આવ્યું છે - પ્રથમ ત્રણ દિવસમાં 17 અહેવાલો છે, બાકીના ચોથા અને પાંચમા દિવસ વચ્ચે સમાનરૂપે વહેંચવામાં આવે છે. કોન્ફરન્સમાં પ્રોફેસર એમ દ્વારા અહેવાલનું આયોજન કરવામાં આવ્યું છે. પ્રોફેસર એમ.નો રિપોર્ટ કોન્ફરન્સના છેલ્લા દિવસે સુનિશ્ચિત થવાની સંભાવના કેટલી છે?
5. સમીકરણનું મૂળ શોધો
6. ચતુર્ભુજ ABCD એક વર્તુળમાં અંકિત છે. કોણ ABC 105 o બરાબર છે, કોણ CAD બરાબર 35 o છે. કોણ ABD શોધો. તમારો જવાબ ડિગ્રીમાં આપો.
7. આકૃતિ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કાર્યના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ બતાવે છે. સેગમેન્ટ સાથે જોડાયેલા ફંક્શનના મહત્તમ પોઈન્ટની સંખ્યા શોધો.
   
8. બોલ સિલિન્ડરમાં લખાયેલો છે. ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ 111 છે. સિલિન્ડરનું કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
9. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો
10. લેબોરેટરીમાં સ્ક્રીન પર લાઇટ બલ્બની મોટી છબી મેળવવા માટે, સેમીની મુખ્ય ફોકલ લંબાઈવાળા કન્વર્જિંગ લેન્સનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. સ્ક્રીન પરના લેન્સ 150 થી 180 સેમી સુધી બદલાઈ શકે છે જો ગુણોત્તર મળે તો સ્ક્રીન પરની છબી સ્પષ્ટ થશે. લાઇટ બલ્બને લેન્સથી ઓછામાં ઓછા કેટલા અંતરે મૂકી શકાય તે દર્શાવો જેથી સ્ક્રીન પર તેની છબી સ્પષ્ટ થાય. તમારો જવાબ સેન્ટીમીટરમાં વ્યક્ત કરો.
11. થાંભલા A અને B વચ્ચેનું અંતર 120 કિમી છે. નદી કિનારે A થી B સુધી એક તરાપો ઉપડ્યો, અને એક કલાક પછી એક યાટ તેના પછી ઉપડ્યો, જે, બિંદુ B પર પહોંચ્યા પછી, તરત જ પાછો વળ્યો અને A પર પાછો ફર્યો. આ સમય સુધીમાં, તરાપો 24 કિમીની મુસાફરી કરી ચૂક્યો હતો. જો નદીની ઝડપ 2 કિમી/કલાક હોય તો સ્થિર પાણીમાં યાટની ગતિ શોધો. તમારો જવાબ કિમી/કલાકમાં આપો.
12. કાર્યનો મહત્તમ બિંદુ શોધો.
13. a) સમીકરણ ઉકેલો ; b) આ સમીકરણના મૂળ સૂચવે છે જે સેગમેન્ટથી સંબંધિત છે.
14. ત્રિકોણાકાર પિરામિડ ABCD ની AB અને BC ધાર પર, પોઈન્ટ M અને N અનુક્રમે AM:MB = CN:NB = 3:1 સાથે ચિહ્નિત થયેલ છે. બિંદુઓ P અને Q અનુક્રમે ધાર DA અને DC ના મધ્યબિંદુઓ છે.
    a) સાબિત કરો કે બિંદુઓ P, Q, M અને N એક જ સમતલમાં આવેલા છે;
    b) આ પ્લેન પિરામિડના જથ્થાને કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે તે શોધો.
15. અસમાનતા ઉકેલો
16. બિંદુ E એ ટ્રેપેઝોઇડ ABCD ની બાજુની બાજુની સીડીની મધ્યમાં છે. તેની બાજુ AB પર આપણે બિંદુ K લીધો જેથી રેખાઓ SK અને AE સમાંતર હોય. વિભાગો SC અને BE બિંદુ O પર છેદે છે.
    a) સાબિત કરો કે CO=KO.
    b) ટ્રેપેઝોઈડ BC ના પાયાનો ગુણોત્તર શોધો: AD જો ત્રિકોણ BC નો વિસ્તાર સમગ્ર ટ્રેપેઝોઈડ ABCD ના ક્ષેત્રફળના 9/64 હોય.
17. જુલાઈમાં ચોક્કસ રકમ માટે બેંક લોન લેવાનું આયોજન છે. તેના વળતર માટેની શરતો નીચે મુજબ છે.
    - દર જાન્યુઆરીમાં પાછલા વર્ષના અંતની સરખામણીમાં ઋણમાં r% વધારો થાય છે;
    - દર વર્ષે ફેબ્રુઆરીથી જૂન સુધી દેવાનો અમુક ભાગ ચૂકવવો જરૂરી છે.
    r શોધો જો તે જાણીતું છે કે જો તમે 777,600 રુબેલ્સ ચૂકવો છો, તો લોન 4 વર્ષમાં ચૂકવવામાં આવશે, અને જો તમે વાર્ષિક 1,317,600 રુબેલ્સ ચૂકવો છો, તો પછી લોન 2 વર્ષમાં સંપૂર્ણપણે ચૂકવવામાં આવશે?
18. દરેક માટેના પરિમાણના તમામ મૂલ્યો શોધો જેમાં સમીકરણ અંતરાલ પર બરાબર એક મૂળ ધરાવે છે.
19. 32 વિદ્યાર્થીઓમાંથી દરેકે કાં તો બેમાંથી એક કસોટી લખી હતી અથવા તો બંને કસોટીઓ લખી હતી. દરેક કાર્ય માટે તમે 0 થી 20 સહિત પોઈન્ટની પૂર્ણાંક સંખ્યા મેળવી શકો છો. બે ટેસ્ટ પેપરમાંના દરેક માટે અલગ-અલગ, સરેરાશ સ્કોર 14 હતો. પછી દરેક વિદ્યાર્થીએ તેના સૌથી વધુ સ્કોર્સનું નામ આપ્યું (જો વિદ્યાર્થીએ એક પેપર લખ્યું, તો તેણે તેના માટે સ્કોર નામ આપ્યું). નામાંકિત બિંદુઓનો અંકગણિત સરેરાશ S બરાબર નીકળ્યો.
    a) ઉદાહરણ આપો જ્યારે એસ<14
    b) શું S ની કિંમત 17 ની બરાબર હોઈ શકે?
    c) જો બંને પરીક્ષણો 12 વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા લખવામાં આવે તો S એ સૌથી નાનું મૂલ્ય શું છે?

માધ્યમિક સામાન્ય શિક્ષણ

લાઇન યુએમકે જી.કે. મુરાવિન. બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતો (10-11) (ઉંડાણપૂર્વક)

UMK Merzlyak રેખા. બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત (10-11) (યુ)

ગણિત

ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી (પ્રોફાઇલ સ્તર): સોંપણીઓ, ઉકેલો અને સમજૂતી

પ્રોફાઇલ સ્તરની પરીક્ષા 3 કલાક 55 મિનિટ (235 મિનિટ) ચાલે છે.

ન્યૂનતમ થ્રેશોલ્ડ- 27 પોઈન્ટ.

પરીક્ષા પેપરમાં બે ભાગો હોય છે, જે સામગ્રી, જટિલતા અને કાર્યોની સંખ્યામાં ભિન્ન હોય છે.

કાર્યના દરેક ભાગની વ્યાખ્યાત્મક વિશેષતા એ કાર્યોનું સ્વરૂપ છે:

• ભાગ 1 માં સંપૂર્ણ સંખ્યા અથવા અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકના રૂપમાં ટૂંકા જવાબ સાથે 8 કાર્યો (કાર્યો 1-8) છે;
• ભાગ 2 માં પૂર્ણાંક અથવા અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકના રૂપમાં ટૂંકા જવાબ સાથે 4 કાર્યો (કાર્યો 9-12) અને વિગતવાર જવાબ સાથે 7 કાર્યો (કાર્યો 13-19) (કાર્યો 9-12) છે. લેવામાં આવેલ પગલાં).

પાનોવા સ્વેત્લાના એનાટોલેવના, શાળાના ઉચ્ચતમ વર્ગના ગણિત શિક્ષક, 20 વર્ષનો કાર્ય અનુભવ:

“શાળાનું પ્રમાણપત્ર મેળવવા માટે, સ્નાતકે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના સ્વરૂપમાં બે ફરજિયાત પરીક્ષાઓ પાસ કરવી આવશ્યક છે, જેમાંથી એક ગણિત છે. રશિયન ફેડરેશનમાં ગાણિતિક શિક્ષણના વિકાસ માટેની વિભાવના અનુસાર, ગણિતમાં એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષાને બે સ્તરોમાં વહેંચવામાં આવી છે: મૂળભૂત અને વિશિષ્ટ. આજે આપણે પ્રોફાઇલ-લેવલ વિકલ્પો જોઈશું.

કાર્ય નંબર 1- યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના સહભાગીઓની પ્રાયોગિક પ્રવૃત્તિઓમાં પ્રાથમિક ગણિતના 5 થી 9મા ધોરણના અભ્યાસક્રમમાં હસ્તગત કરેલ કૌશલ્યોને લાગુ કરવાની ક્ષમતાનું પરીક્ષણ કરે છે. સહભાગી પાસે કોમ્પ્યુટેશનલ કૌશલ્ય હોવું જોઈએ, તે તર્કસંગત સંખ્યાઓ સાથે કામ કરવામાં સક્ષમ હોવું જોઈએ, દશાંશને ગોળાકાર કરવામાં સક્ષમ હોવું જોઈએ અને માપના એક એકમને બીજામાં રૂપાંતરિત કરવામાં સક્ષમ હોવું જોઈએ.

ઉદાહરણ 1.પીટર જ્યાં રહે છે તે એપાર્ટમેન્ટમાં ઠંડા પાણીના પ્રવાહનું મીટર (મીટર) સ્થાપિત કરવામાં આવ્યું હતું. 1 મેના રોજ, મીટરે 172 ક્યુબિક મીટરનો વપરાશ દર્શાવ્યો હતો. મીટર પાણી, અને જૂનના પ્રથમ દિવસે - 177 ક્યુબિક મીટર. m. પીટરને મે મહિનામાં ઠંડા પાણી માટે કેટલી રકમ ચૂકવવી જોઈએ, જો કિંમત 1 ક્યુબિક મીટર હોય? મી ઠંડા પાણી 34 રુબેલ્સ 17 કોપેક્સ છે? તમારો જવાબ રુબેલ્સમાં આપો.

ઉકેલ:

1) દર મહિને ખર્ચવામાં આવેલા પાણીની માત્રા શોધો:

177 - 172 = 5 (ઘન મીટર)

2) ચાલો શોધી કાઢીએ કે તેઓ બગાડેલા પાણી માટે કેટલા પૈસા ચૂકવશે:

34.17 5 = 170.85 (ઘસવું)

જવાબ: 170,85.

કાર્ય નંબર 2- સૌથી સરળ પરીક્ષા કાર્યોમાંનું એક છે. મોટાભાગના સ્નાતકો સફળતાપૂર્વક તેનો સામનો કરે છે, જે કાર્યની વિભાવનાની વ્યાખ્યાના જ્ઞાનને સૂચવે છે. આવશ્યકતાઓ અનુસાર કાર્ય નંબર 2 નો પ્રકાર કોડિફાયર એ પ્રાયોગિક પ્રવૃત્તિઓમાં હસ્તગત જ્ઞાન અને કૌશલ્યોના ઉપયોગ પરનું કાર્ય છે અને રોજિંદા જીવન. કાર્ય નંબર 2 માં વિધેયોનો ઉપયોગ કરીને, જથ્થાઓ વચ્ચેના વિવિધ વાસ્તવિક સંબંધો અને તેમના ગ્રાફનું અર્થઘટન કરવું શામેલ છે. કાર્ય નંબર 2 કોષ્ટકો, આકૃતિઓ અને આલેખમાં પ્રસ્તુત માહિતીને બહાર કાઢવાની ક્ષમતાનું પરીક્ષણ કરે છે. સ્નાતકોએ ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવાની વિવિધ રીતે દલીલના મૂલ્યમાંથી ફંક્શનનું મૂલ્ય નક્કી કરવા અને તેના ગ્રાફના આધારે ફંક્શનની વર્તણૂક અને ગુણધર્મોનું વર્ણન કરવા સક્ષમ હોવા જરૂરી છે. તમારે ફંક્શન ગ્રાફમાંથી સૌથી મોટું અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધવા અને અભ્યાસ કરેલા કાર્યોના ગ્રાફ બનાવવા માટે પણ સક્ષમ હોવું જરૂરી છે. સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ વાંચવામાં, ડાયાગ્રામ વાંચવામાં ભૂલો રેન્ડમ છે.

#ADVERTISING_INSERT#

ઉદાહરણ 2.આ આંકડો એપ્રિલ 2017 ના પ્રથમ છ મહિનામાં ખાણકામ કંપનીના એક શેરના વિનિમય મૂલ્યમાં ફેરફાર દર્શાવે છે. 7 એપ્રિલના રોજ, ઉદ્યોગપતિએ આ કંપનીના 1,000 શેર ખરીદ્યા. 10 એપ્રિલે, તેણે ખરીદેલા ત્રણ-ચતુર્થાંશ શેર વેચ્યા અને 13 એપ્રિલે, તેણે બાકીના તમામ શેર વેચ્યા. આ કામગીરીના પરિણામે ઉદ્યોગપતિને કેટલું નુકસાન થયું?

ઉકેલ:

2) 1000 · 3/4 = 750 (શેર) - ખરીદેલા તમામ શેરનો 3/4 ભાગ છે.

6) 247500 + 77500 = 325000 (ઘસવું) - વેપારીને વેચ્યા પછી 1000 શેર મળ્યા.

7) 340,000 – 325,000 = 15,000 (ઘસવું) - તમામ કામગીરીના પરિણામે વેપારી ગુમાવ્યો.

જવાબ: 15000.

કાર્ય નંબર 3- પ્રથમ ભાગનું મૂળભૂત સ્તરનું કાર્ય છે, જે પ્લાનિમેટ્રી કોર્સની સામગ્રી અનુસાર ભૌમિતિક આકૃતિઓ સાથે ક્રિયાઓ કરવાની ક્ષમતાનું પરીક્ષણ કરે છે. ટાસ્ક 3 ચેકર્ડ પેપર પર આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાની ક્ષમતા, કોણના ડિગ્રી માપની ગણતરી કરવાની ક્ષમતા, પરિમિતિની ગણતરી વગેરેનું પરીક્ષણ કરે છે.

ઉદાહરણ 3. 1 સેમી બાય 1 સેમી (આકૃતિ જુઓ) કોષના કદ સાથે ચેકર્ડ પેપર પર દર્શાવવામાં આવેલા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધો. તમારો જવાબ ચોરસ સેન્ટિમીટરમાં આપો.

ઉકેલ:આપેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે, તમે પીક સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

આપેલ લંબચોરસના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે, અમે પીકના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

ઉદાહરણ 4.વર્તુળ પર 5 લાલ અને 1 વાદળી બિંદુઓ ચિહ્નિત થયેલ છે. કયા બહુકોણ મોટા છે તે નક્કી કરો: જે બધા શિરોબિંદુઓ લાલ હોય અથવા એક શિરોબિંદુ વાદળી હોય. તમારા જવાબમાં, અન્ય કરતાં કેટલાકમાં કેટલા વધુ છે તે દર્શાવો.

ઉકેલ: 1) ચાલો સંયોજનોની સંખ્યા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ nદ્વારા તત્વો k:

જેની શિરોબિંદુઓ તમામ લાલ છે.

3) બધા શિરોબિંદુઓ લાલ સાથે એક પંચકોણ.

4) તમામ લાલ શિરોબિંદુઓ સાથે 10 + 5 + 1 = 16 બહુકોણ.

જેમાં લાલ ટોપ હોય અથવા એક બ્લુ ટોપ હોય.

જેમાં લાલ ટોપ હોય અથવા એક બ્લુ ટોપ હોય.

8) લાલ શિરોબિંદુઓ સાથે એક ષટ્કોણ અને એક વાદળી શિરોબિંદુ.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 બહુકોણ બધા શિરોબિંદુઓ લાલ અથવા એક વાદળી શિરોબિંદુ સાથે.

10) વાદળી બિંદુનો ઉપયોગ કરીને 42 – 16 = 26 બહુકોણ.

11) 26 – 16 = 10 બહુકોણ – એવા બહુકોણ કરતાં કેટલા વધુ બહુકોણ છે જેમાં એક શિરોબિંદુ વાદળી ટપકું છે જેમાં તમામ શિરોબિંદુઓ માત્ર લાલ છે.

જવાબ: 10.

કાર્ય નંબર 5- પ્રથમ ભાગનું મૂળભૂત સ્તર સૌથી સરળ સમીકરણો (અતાર્કિક, ઘાતાંકીય, ત્રિકોણમિતિ, લઘુગણક) ઉકેલવાની ક્ષમતાનું પરીક્ષણ કરે છે.

ઉદાહરણ 5.સમીકરણ 2 3 + ઉકેલો x= 0.4 5 3 + x .

ઉકેલ.આ સમીકરણની બંને બાજુઓને 5 3 + વડે વિભાજીત કરો એક્સ≠ 0, આપણને મળે છે

જ્યાંથી તે 3 + ને અનુસરે છે x = 1, x = –2.

જવાબ: –2.

કાર્ય નંબર 6ભૌમિતિક જથ્થાઓ (લંબાઈ, ખૂણા, વિસ્તારો) શોધવા માટે, ભૂમિતિની ભાષામાં વાસ્તવિક પરિસ્થિતિઓનું મોડેલિંગ. ભૌમિતિક વિભાવનાઓ અને પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બાંધવામાં આવેલા મોડલનો અભ્યાસ. મુશ્કેલીઓનો સ્ત્રોત, એક નિયમ તરીકે, પ્લાનિમેટ્રીના જરૂરી પ્રમેયની અજ્ઞાનતા અથવા ખોટી એપ્લિકેશન છે.

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ABC 129 બરાબર છે. ડી.ઇ- બાજુની સમાંતર મધ્યરેખા એબી. ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર શોધો ABED.

ઉકેલ.ત્રિકોણ CDEત્રિકોણ જેવું જ CABબે ખૂણા પર, કારણ કે શિરોબિંદુ પરનો ખૂણો સીસામાન્ય, કોણ SDDEકોણ સમાન CABપર અનુરૂપ ખૂણા તરીકે ડી.ઇ || એબીસેકન્ટ A.C.. કારણ કે ડી.ઇશરત દ્વારા ત્રિકોણની મધ્ય રેખા છે, પછી મધ્ય રેખાના ગુણધર્મ દ્વારા | ડી.ઇ = (1/2)એબી. આનો અર્થ એ છે કે સમાનતા ગુણાંક 0.5 છે. સમાન આંકડાઓના ક્ષેત્રો સમાનતા ગુણાંકના વર્ગ તરીકે સંબંધિત છે, તેથી

આથી, એસ ABED = એસ Δ ABC – એસ Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

કાર્ય નંબર 7- ફંક્શનના અભ્યાસ માટે ડેરિવેટિવની અરજી તપાસે છે. સફળ અમલીકરણ માટે વ્યુત્પન્નની વિભાવનાના અર્થપૂર્ણ, બિન-ઔપચારિક જ્ઞાનની જરૂર છે.

ઉદાહરણ 7.કાર્યના આલેખ સુધી y = f(x) એબ્સીસા બિંદુ પર x 0 એક સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે જે આ ગ્રાફના બિંદુઓ (4; 3) અને (3; –1)માંથી પસાર થતી રેખાને લંબરૂપ હોય છે. શોધો f′( x 0).

ઉકેલ. 1) ચાલો આપેલા બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ અને બિંદુઓ (4; 3) અને (3; –1)માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધીએ.

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (-1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x- 13, ક્યાં k 1 = 4.

2) સ્પર્શકનો ઢોળાવ શોધો k 2, જે રેખા પર લંબ છે y = 4x- 13, ક્યાં k 1 = 4, સૂત્ર મુજબ:

3) સ્પર્શકોણ એ સ્પર્શના બિંદુ પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન છે. અર્થ, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

જવાબ: –0,25.

કાર્ય નંબર 8- પરીક્ષાના સહભાગીઓના પ્રાથમિક સ્ટીરીઓમેટ્રીના જ્ઞાનનું પરીક્ષણ કરે છે, સપાટીના વિસ્તારો અને આંકડાઓના વોલ્યુમો, ડાયહેડ્રલ એંગલ શોધવા માટે ફોર્મ્યુલા લાગુ કરવાની ક્ષમતા, સમાન આકૃતિઓના વોલ્યુમોની તુલના કરો, ભૌમિતિક આકૃતિઓ, કોઓર્ડિનેટ્સ અને વેક્ટર વગેરે સાથે ક્રિયાઓ કરવામાં સક્ષમ થાઓ.

ગોળાની ફરતે ઘેરાયેલા ઘનનું કદ 216 છે. ગોળાની ત્રિજ્યા શોધો.

ઉકેલ. 1) વીક્યુબ = a 3 (ક્યાં એ– ક્યુબની ધારની લંબાઈ), તેથી

એ 3 = 216

એ = 3 √216

2) ગોળાને ક્યુબમાં લખેલ હોવાથી, તેનો અર્થ એ થાય છે કે ગોળાના વ્યાસની લંબાઇ ક્યુબની ધારની લંબાઈ જેટલી છે, તેથી ડી = a, ડી = 6, ડી = 2આર, આર = 6: 2 = 3.

કાર્ય નંબર 9- ગ્રેજ્યુએટ પાસે બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન અને સરળીકરણ કરવાની કુશળતા હોવી જરૂરી છે. ટૂંકા જવાબ સાથે મુશ્કેલીના વધેલા સ્તરનું કાર્ય નંબર 9. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં "ગણતરી અને પરિવર્તન" વિભાગના કાર્યોને ઘણા પ્રકારોમાં વહેંચવામાં આવ્યા છે:

સંખ્યાત્મક તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન;

બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓ અને અપૂર્ણાંકોનું રૂપાંતર;

સંખ્યાત્મક/અક્ષર અતાર્કિક અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતરણ;

ડિગ્રી સાથે ક્રિયાઓ;

લઘુગણક અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર;

1. આંકડાકીય/અક્ષર ત્રિકોણમિતિ અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર.

ઉદાહરણ 9. tanα ની ગણતરી કરો જો તે જાણીતું હોય કે cos2α = 0.6 અને

ઉકેલ. 1) ચાલો ડબલ દલીલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ: cos2α = 2 cos 2 α – 1 અને શોધો

આનો અર્થ છે ટેન 2 α = ± 0.5.

3) શરત દ્વારા

આનો અર્થ છે α એ બીજા ક્વાર્ટરનો કોણ છે અને tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

જવાબ: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# કાર્ય નંબર 10- પ્રાયોગિક પ્રવૃત્તિઓ અને રોજિંદા જીવનમાં પ્રાપ્ત કરેલ પ્રારંભિક જ્ઞાન અને કૌશલ્યોનો ઉપયોગ કરવાની વિદ્યાર્થીઓની ક્ષમતાનું પરીક્ષણ કરે છે. આપણે કહી શકીએ કે આ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં સમસ્યાઓ છે, અને ગણિતમાં નહીં, પરંતુ તમામ જરૂરી સૂત્રો અને માત્રા કન્ડિશનમાં આપવામાં આવી છે. સમસ્યાઓ રેખીય અથવા ચતુર્ભુજ સમીકરણ અથવા રેખીય અથવા ચતુર્ભુજ અસમાનતાને ઉકેલવા માટે ઉકળે છે. તેથી, આવા સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવા અને જવાબ નક્કી કરવામાં સક્ષમ હોવું જરૂરી છે. જવાબ સંપૂર્ણ સંખ્યા અથવા મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે આપવો જોઈએ.

સમૂહના બે શરીર m= 2 કિગ્રા દરેક, સમાન ઝડપે આગળ વધી રહી છે વિ= 10 m/s એકબીજા સાથે 2α ના ખૂણા પર. તેમની એકદમ અસ્થિર અથડામણ દરમિયાન મુક્ત થતી ઊર્જા (જૌલમાં) અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. પ્ર = mv 2 પાપ 2 α. અથડામણના પરિણામે ઓછામાં ઓછા 50 જ્યુલ્સ છોડવા માટે શરીરને કયા સૌથી નાના કોણ 2α (ડિગ્રીમાં) ખસેડવું જોઈએ?
ઉકેલ.સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, આપણે અંતરાલ 2α ∈ (0°; 180°) પર, અસમાનતા Q ≥ 50 ઉકેલવાની જરૂર છે.

mv 2 પાપ 2 α ≥ 50

2 10 2 પાપ 2 α ≥ 50

200 પાપ 2 α ≥ 50

α ∈ (0°; 90°) થી, અમે ફક્ત ઉકેલીશું

ચાલો અસમાનતાના ઉકેલને ગ્રાફિકલી રજૂ કરીએ:

કારણ કે શરત α ∈ (0°; 90°), તેનો અર્થ 30° ≤ α છે< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

કાર્ય નંબર 11- લાક્ષણિક છે, પરંતુ વિદ્યાર્થીઓ માટે મુશ્કેલ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. મુશ્કેલીનો મુખ્ય સ્ત્રોત એ ગાણિતિક મોડેલનું નિર્માણ છે (એક સમીકરણ દોરવું). કાર્ય નંબર 11 શબ્દ સમસ્યાઓ ઉકેલવાની ક્ષમતાની ચકાસણી કરે છે.

ઉદાહરણ 11.વસંત વિરામ દરમિયાન, 11મા ધોરણના વિદ્યાર્થી વાસ્યાને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી કરવા માટે 560 પ્રેક્ટિસ સમસ્યાઓ હલ કરવી પડી હતી. 18 માર્ચે, શાળાના છેલ્લા દિવસે, વાસ્યએ 5 સમસ્યાઓ હલ કરી. પછી દરરોજ તે અગાઉના દિવસ કરતાં વધુ સમાન સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતો. રજાઓના છેલ્લા દિવસે 2 એપ્રિલે વાસ્યાએ કેટલી સમસ્યાઓ હલ કરી તે નક્કી કરો.

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

જવાબ: 65.

કાર્ય નંબર 12- ફંક્શનના અભ્યાસમાં વ્યુત્પન્નતા લાગુ કરવા સક્ષમ બનવા માટે વિદ્યાર્થીઓની કાર્યો સાથે કામગીરી કરવાની ક્ષમતાનું પરીક્ષણ કરો.

કાર્યનો મહત્તમ બિંદુ શોધો y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

ઉકેલ: 1) કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધો: x + 9 > 0, x> –9, એટલે કે, x ∈ (–9; ∞).

2) ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો:

4) મળેલ બિંદુ અંતરાલ (–9; ∞) નો છે. ચાલો ફંક્શનના ડેરિવેટિવના ચિહ્નો નક્કી કરીએ અને આકૃતિમાં ફંક્શનની વર્તણૂકનું નિરૂપણ કરીએ:

ઇચ્છિત મહત્તમ બિંદુ x = –8.

a) સમીકરણ 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) આ સમીકરણના તમામ મૂળ શોધો જે સેગમેન્ટ સાથે સંબંધિત છે.

ઉકેલ: a) ચાલો લોગ 3 (2cos x) = t, પછી 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

b) સેગમેન્ટ પર પડેલા મૂળ શોધો.

આકૃતિ બતાવે છે કે આપેલ સેગમેન્ટના મૂળના છે

સિલિન્ડરના પાયાના વર્તુળનો વ્યાસ 20 છે, સિલિન્ડરનું જનરેટિક્સ 28 છે. પ્લેન તેના આધારને 12 અને 16 લંબાઈના તાર સાથે છેદે છે. તાર વચ્ચેનું અંતર 2√197 છે.

a) સાબિત કરો કે સિલિન્ડરના પાયાના કેન્દ્રો આ પ્લેનની એક બાજુ પર આવેલા છે.

b) આ પ્લેન અને સિલિન્ડરના પાયાના પ્લેન વચ્ચેનો કોણ શોધો.

ઉકેલ: a) 12 લંબાઈનો તાર મૂળ વર્તુળના કેન્દ્રથી = 8 ના અંતરે છે, અને 16 લંબાઈનો તાર, એ જ રીતે, 6 ના અંતરે છે. તેથી, તેમના અનુમાન વચ્ચેનું અંતર એક સમતલ પર સમાંતર છે. સિલિન્ડરોના પાયા કાં તો 8 + 6 = 14 અથવા 8 − 6 = 2 છે.

પછી તાર વચ્ચેનું અંતર કાં તો છે

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

શરત અનુસાર, બીજો કેસ સાકાર થયો હતો, જેમાં તારોના અંદાજો સિલિન્ડરની ધરીની એક બાજુએ આવેલા છે. આનો અર્થ એ છે કે અક્ષ આ પ્લેનને સિલિન્ડરની અંદર છેદતી નથી, એટલે કે, પાયા તેની એક બાજુ પર આવેલા છે. શું સાબિત કરવાની જરૂર હતી.

b) ચાલો પાયાના કેન્દ્રોને O 1 અને O 2 તરીકે દર્શાવીએ. ચાલો પાયાના કેન્દ્રમાંથી 12 લંબાઇના તાર સાથે આ તાર તરફ લંબરૂપ દ્વિભાજક દોરીએ (તેની લંબાઈ 8 છે, જેમ કે પહેલેથી નોંધ્યું છે) અને બીજા પાયાના કેન્દ્રથી બીજી તાર તરફ દોરીએ. તેઓ સમાન સમતલ β માં આવેલા છે, આ તારોને લંબરૂપ છે. ચાલો નાની તાર B ના મધ્યબિંદુને, મોટી તાર A અને A ના પ્રક્ષેપણને બીજા આધાર - H (H ∈ β) પર બોલાવીએ. પછી AB,AH ∈ β અને તેથી AB,AH તાર માટે લંબ છે, એટલે કે આપેલ સમતલ સાથેના પાયાના આંતરછેદની સીધી રેખા.

આનો અર્થ એ છે કે જરૂરી કોણ બરાબર છે

કાર્ય નંબર 15- વિગતવાર જવાબ સાથે જટિલતાના વધેલા સ્તર, અસમાનતાઓને હલ કરવાની ક્ષમતાનું પરીક્ષણ કરે છે, જે જટિલતાના વધેલા સ્તરના વિગતવાર જવાબ સાથે કાર્યોમાં સૌથી વધુ સફળતાપૂર્વક હલ થાય છે.

ઉદાહરણ 15.અસમાનતા ઉકેલો | x 2 – 3x| લોગ 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

ઉકેલ:આ અસમાનતાની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર અંતરાલ (–1; +∞) છે. ત્રણ કિસ્સાઓને અલગથી ધ્યાનમાં લો:

1) ચાલો x 2 – 3x= 0, એટલે કે. એક્સ= 0 અથવા એક્સ= 3. આ કિસ્સામાં, આ અસમાનતા સાચી બને છે, તેથી, આ મૂલ્યો ઉકેલમાં સમાવવામાં આવેલ છે.

2) હવે ચાલો x 2 – 3x> 0, એટલે કે. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). વધુમાં, આ અસમાનતાને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે ( x 2 – 3x) લોગ 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 અને હકારાત્મક અભિવ્યક્તિ દ્વારા વિભાજીત કરો x 2 – 3x. અમને લોગ 2 મળે છે ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0.5 –1 અથવા x≤ –0.5. વ્યાખ્યાના ડોમેનને ધ્યાનમાં લેતા, અમારી પાસે છે x ∈ (–1; –0,5].

3) છેલ્લે, ધ્યાનમાં લો x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). આ કિસ્સામાં, મૂળ અસમાનતા ફોર્મમાં ફરીથી લખવામાં આવશે (3 x – x 2) લોગ 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. ધન 3 વડે ભાગ્યા પછી x – x 2 , આપણને લોગ 2 મળે છે ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. પ્રદેશને ધ્યાનમાં લેતા, અમારી પાસે છે x ∈ (0; 1].

પ્રાપ્ત ઉકેલોને જોડીને, અમે મેળવીએ છીએ x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

જવાબ: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

કાર્ય નંબર 16- અદ્યતન સ્તર વિગતવાર જવાબ સાથે બીજા ભાગમાં કાર્યોનો સંદર્ભ આપે છે. કાર્ય ભૌમિતિક આકારો, કોઓર્ડિનેટ્સ અને વેક્ટર સાથે ક્રિયાઓ કરવાની ક્ષમતાનું પરીક્ષણ કરે છે. કાર્યમાં બે મુદ્દાઓ છે. પ્રથમ બિંદુમાં, કાર્ય સાબિત કરવું આવશ્યક છે, અને બીજા બિંદુમાં, ગણતરી.

120°ના કોણ સાથે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ ABC માં, દ્વિભાજક BD શિરોબિંદુ A પર દોરવામાં આવે છે. લંબચોરસ DEFH ત્રિકોણ ABC માં લખાયેલ છે જેથી બાજુ FH સેગમેન્ટ BC પર આવેલું છે, અને શિરોબિંદુ E સેગમેન્ટ AB પર આવેલું છે. a) સાબિત કરો કે FH = 2DH. b) AB = 4 હોય તો DEFH લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ઉકેલ:અ)

1) ΔBEF – લંબચોરસ, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, પછી EF = BE 30°ના ખૂણાની સામે પડેલા પગના ગુણધર્મ દ્વારા.

2) ચાલો EF = DH = x, પછી BE = 2 x, BF = xપાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર √3.

3) ΔABC સમદ્વિબાજુ હોવાથી, તેનો અર્થ ∠B = ∠C = 30˚ થાય છે.

BD એ ∠B નું દ્વિભાજક છે, જેનો અર્થ થાય છે ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) ΔDBH ને ધ્યાનમાં લો - લંબચોરસ, કારણ કે DH⊥BC.

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) એસ DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

એસ DEFH = 24 – 12√3.

જવાબ: 24 – 12√3.

ઉદાહરણ 17. 20 મિલિયન રુબેલ્સની ડિપોઝિટ ચાર વર્ષ માટે ખોલવાની યોજના છે. દર વર્ષના અંતે, બેંક વર્ષની શરૂઆતમાં તેના કદની તુલનામાં 10% થાપણમાં વધારો કરે છે. વધુમાં, ત્રીજા અને ચોથા વર્ષની શરૂઆતમાં, રોકાણકાર વાર્ષિક ધોરણે ડિપોઝિટ ફરી ભરે છે એક્સમિલિયન રુબેલ્સ, ક્યાં એક્સ - સમગ્રસંખ્યા સૌથી વધુ મૂલ્ય શોધો એક્સ, જેમાં બેંક ચાર વર્ષમાં થાપણમાં 17 મિલિયન રુબેલ્સ કરતાં ઓછી રકમ મેળવશે.

ઉકેલ:પ્રથમ વર્ષના અંતે, યોગદાન 20 + 20 · 0.1 = 22 મિલિયન રુબેલ્સ હશે, અને બીજાના અંતે - 22 + 22 · 0.1 = 24.2 મિલિયન રુબેલ્સ. ત્રીજા વર્ષની શરૂઆતમાં, યોગદાન (મિલિયન રુબેલ્સમાં) હશે (24.2 + એક્સ), અને અંતે - (24.2 + X) + (24,2 + X)· 0.1 = (26.62 + 1.1 એક્સ). ચોથા વર્ષની શરૂઆતમાં યોગદાન હશે (26.62 + 2.1 X), અને અંતે - (26.62 + 2.1 એક્સ) + (26,62 + 2,1એક્સ) · 0.1 = (29.282 + 2.31 એક્સ). શરત પ્રમાણે, તમારે સૌથી મોટો પૂર્ણાંક x શોધવાની જરૂર છે જેના માટે અસમાનતા છે

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

આ અસમાનતાનો સૌથી મોટો પૂર્ણાંક ઉકેલ નંબર 24 છે.

જવાબ: 24.

શું પર aઅસમાનતા સિસ્ટમ

બરાબર બે ઉકેલો છે?

ઉકેલ:આ સિસ્ટમ ફોર્મમાં ફરીથી લખી શકાય છે

જો આપણે પ્રથમ અસમાનતાના ઉકેલોનો સમૂહ સમતલ પર દોરીએ, તો આપણને બિંદુ (0, એ). બીજી અસમાનતાના ઉકેલોનો સમૂહ એ ફંક્શનના ગ્રાફની નીચે પડેલો પ્લેનનો ભાગ છે. y = | x| – a, અને બાદમાં ફંક્શનનો ગ્રાફ છે
y = | x| , દ્વારા નીચે શિફ્ટ એ. આ સિસ્ટમનો ઉકેલ એ દરેક અસમાનતાના ઉકેલોના સેટનું આંતરછેદ છે.

પરિણામે, આ સિસ્ટમમાં ફક્ત ફિગમાં બતાવેલ કિસ્સામાં બે ઉકેલો હશે. 1.

રેખાઓ સાથે વર્તુળના સંપર્કના બિંદુઓ સિસ્ટમના બે ઉકેલો હશે. દરેક સીધી રેખા 45°ના ખૂણા પર અક્ષો તરફ વળેલી છે. તેથી તે ત્રિકોણ છે PQR- લંબચોરસ સમદ્વિબાજુ. ડોટ પ્રકોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે (0, એ), અને બિંદુ આર- કોઓર્ડિનેટ્સ (0, - એ). વધુમાં, સેગમેન્ટ્સ પીઆરઅને PQવર્તુળની ત્રિજ્યા સમાન 1. આનો અર્થ છે

દો એસ.એનસરવાળો nઅંકગણિત પ્રગતિની શરતો ( એક પી). તે જાણીતું છે એસ એન + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) સૂત્ર આપો nઆ પ્રગતિની મી મુદત.

b) સૌથી નાનો સંપૂર્ણ સરવાળો શોધો એસ એન.

c) સૌથી નાનું શોધો n, જેના પર એસ એનપૂર્ણાંકનો વર્ગ હશે.

ઉકેલ: a) તે સ્પષ્ટ છે કે એક એન = એસ એન – એસ એન- 1. આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમને મળે છે:

એસ એન = એસ (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

એસ એન – 1 = એસ (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

અર્થ, એક એન = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

બી) ત્યારથી એસ એન = 2n 2 – 25n, પછી કાર્યને ધ્યાનમાં લો એસ(x) = | 2x 2 – 25x|. તેનો ગ્રાફ આકૃતિમાં જોઈ શકાય છે.

દેખીતી રીતે, સૌથી નાનું મૂલ્ય કાર્યના શૂન્યની સૌથી નજીક સ્થિત પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર પ્રાપ્ત થાય છે. દેખીતી રીતે આ બિંદુઓ છે એક્સ= 1, એક્સ= 12 અને એક્સ= 13. ત્યારથી, એસ(1) = |એસ 1 | = |2 – 25| = 23, એસ(12) = |એસ 12 | = |2 · 144 - 25 · 12| = 12, એસ(13) = |એસ 13 | = |2 · 169 - 25 · 13 | = 13, પછી સૌથી નાનું મૂલ્ય 12 છે.

c) પાછલા ફકરામાંથી તે અનુસરે છે એસ.એનહકારાત્મક, થી શરૂ કરીને n= 13. ત્યારથી એસ એન = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), પછી સ્પષ્ટ કેસ, જ્યારે આ અભિવ્યક્તિ સંપૂર્ણ ચોરસ છે, ત્યારે સમજાય છે n = 2n– 25, એટલે કે, ખાતે n= 25.

તે 13 થી 25 સુધીના મૂલ્યોને તપાસવાનું બાકી છે:

એસ 13 = 13 1, એસ 14 = 14 3, એસ 15 = 15 5, એસ 16 = 16 7, એસ 17 = 17 9, એસ 18 = 18 11, એસ 19 = 19 13, એસ 20 = 20 13, એસ 21 = 21 17, એસ 22 = 22 19, એસ 23 = 23 21, એસ 24 = 24 23.

તે તારણ આપે છે કે નાના મૂલ્યો માટે nસંપૂર્ણ ચોરસ પ્રાપ્ત થયો નથી.

જવાબ:અ) એક એન = 4n- 27; b) 12; c) 25.

________________

*મે 2017 થી, સંયુક્ત પ્રકાશન જૂથ "DROFA-VENTANA" રશિયન પાઠ્યપુસ્તક નિગમનો ભાગ છે. કોર્પોરેશનમાં એસ્ટ્રેલ પબ્લિશિંગ હાઉસ અને LECTA ડિજિટલ શૈક્ષણિક પ્લેટફોર્મનો પણ સમાવેશ થાય છે. એલેક્ઝાન્ડર બ્રીકકીન, રશિયન ફેડરેશનની સરકાર હેઠળની નાણાકીય એકેડેમીના સ્નાતક, આર્થિક વિજ્ઞાનના ઉમેદવાર, ડિજિટલ શિક્ષણના ક્ષેત્રમાં DROFA પબ્લિશિંગ હાઉસના નવીન પ્રોજેક્ટ્સના વડા (પાઠ્યપુસ્તકોના ઇલેક્ટ્રોનિક સ્વરૂપો, રશિયન ઇલેક્ટ્રોનિક સ્કૂલ, ડિજિટલ શૈક્ષણિક પ્લેટફોર્મ LECTA)ને જનરલ ડિરેક્ટર તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવ્યા હતા. DROFA પબ્લિશિંગ હાઉસમાં જોડાતા પહેલા, તેમણે EKSMO-AST ધરાવતા પ્રકાશનના વ્યૂહાત્મક વિકાસ અને રોકાણ માટે વાઇસ પ્રેસિડેન્ટનું પદ સંભાળ્યું હતું. આજે, પ્રકાશન નિગમ "રશિયન પાઠ્યપુસ્તક" પાસે ફેડરલ સૂચિમાં સમાવિષ્ટ પાઠયપુસ્તકોનો સૌથી મોટો પોર્ટફોલિયો છે - 485 શીર્ષકો (લગભગ 40%, ખાસ શાળાઓ માટેના પાઠ્યપુસ્તકોને બાદ કરતાં). કોર્પોરેશનના પ્રકાશન ગૃહો પાસે રશિયન શાળાઓમાં ભૌતિકશાસ્ત્ર, ચિત્ર, જીવવિજ્ઞાન, રસાયણશાસ્ત્ર, ટેકનોલોજી, ભૂગોળ, ખગોળશાસ્ત્ર - જ્ઞાનના ક્ષેત્રો કે જે દેશની ઉત્પાદક સંભવિતતાના વિકાસ માટે જરૂરી છે તેવા સૌથી લોકપ્રિય પાઠ્યપુસ્તકો ધરાવે છે. કોર્પોરેશનના પોર્ટફોલિયોમાં પ્રાથમિક શાળાઓ માટે પાઠયપુસ્તકો અને શિક્ષણ સહાયનો સમાવેશ થાય છે, જેને શિક્ષણ ક્ષેત્રે રાષ્ટ્રપતિ એવોર્ડ એનાયત કરવામાં આવ્યો હતો. આ વિષય ક્ષેત્રોમાં પાઠયપુસ્તકો અને માર્ગદર્શિકાઓ છે જે રશિયાની વૈજ્ઞાનિક, તકનીકી અને ઉત્પાદન ક્ષમતાના વિકાસ માટે જરૂરી છે.

કાર્ય 1

જો \(74\) લોકો \(40\%\) બનાવે છે, તો \(74:2=37\) લોકો \(20\%\) બનાવે છે. તેથી, \(100\%\) \(37\cdot 5=185\) લોકો છે.

જવાબ: 185

કાર્ય 2

આલેખ પાણીના તાપમાનની અવલંબન દર્શાવે છે, ડિગ્રી સેલ્સિયસમાં દર્શાવવામાં આવે છે, તેના ગરમીની શરૂઆતથી ગણવામાં આવેલા સમય પર. એબ્સીસા અક્ષ મિનિટમાં સમય દર્શાવે છે, અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ તાપમાન દર્શાવે છે. આલેખ પરથી નક્કી કરો કે પાણીનું તાપમાન \(3\) મિનિટથી \(8\) મિનિટમાં કેટલી ડિગ્રી બદલાયું છે. તમારો જવાબ ડિગ્રી સેલ્સિયસમાં આપો.

આલેખ બતાવે છે કે ગરમ થવાની શરૂઆતની \(3\) મિનિટ પછી પાણીનું તાપમાન \(40^\circ C\) બરાબર હતું, \(8\) મિનિટ પછી તાપમાન \(90^\circ C\) ની બરાબર હતું. \), તેથી, \(3\) થી \(8\) મિનિટ સુધી તાપમાન \(90-40=50^\circ C\) દ્વારા બદલાય છે.

જવાબ: 50

કાર્ય 3

ચેકર્ડ પેપર ત્રિકોણ બતાવે છે \(ABC\) . બાજુ \(AB\) ની સમાંતર આ ત્રિકોણની મધ્યરેખા શોધો.

ત્રિકોણની મધ્ય રેખા જે બાજુની સમાંતર છે તેની અડધી બાજુ જેટલી હોવાથી, પછી \(AB\) ની સમાંતર મધ્ય રેખા \(0.5 AB\) ની બરાબર હશે. ત્યારથી \(AB=5\) , પછી મધ્ય રેખા \(2.5\) ની બરાબર છે.

જવાબ: 2.5

કાર્ય 4

\(500\) શાળાના બાળકો ગણિત ઓલિમ્પિયાડમાં આવ્યા હતા. તેમને ચાર વર્ગખંડોમાં મૂકવામાં આવ્યા હતા: ત્રણ વર્ગખંડોમાં દરેકમાં \(150\) લોકો હતા, ચોથામાં - \(50\) લોકો હતા. અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થી નાના વર્ગખંડમાં ઓલિમ્પિયાડ લખશે તેવી સંભાવના શોધો.

અમે તમામ પરિણામોની સંખ્યા સાથે યોગ્ય પરિણામોની સંખ્યાના ગુણોત્તર તરીકે સંભાવના શોધીશું. નાના ઓડિટોરિયમમાં \(50\) બેઠકો હોવાથી, યોગ્ય બેઠકોની સંખ્યા \(50\) છે. કુલ સ્થાનો \(500\) . તેથી, સંભાવના \[\dfrac(50)(500)=0.1.\] ની બરાબર છે.

જવાબ: 0.1

કાર્ય 5

કાર્ય 6

બાજુઓ \(21\) અને \(28\) સાથે સમાંતર ચતુષ્કોણ આપેલ છે. ટૂંકી બાજુએ ઊંચાઈ દોરવામાં આવે છે, જેની લંબાઈ \(20\) ની બરાબર છે. લાંબી બાજુએ દોરેલી ઊંચાઈની લંબાઈ શોધો.

ચાલો ડ્રોઇંગ જોઈએ. સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળ એક બાજુના ગુણાંક અને આ બાજુએ દોરેલી ઊંચાઈ સમાન હોવાથી, આપેલ સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળ \(21\cdot 20\) અથવા \(28\cdot) બરાબર છે. h\) . આથી, \

જવાબ: 15

કાર્ય 7

આકૃતિ \(y = f(x)\) ફંક્શનના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ બતાવે છે. એબ્સીસા અક્ષ પર સાત બિંદુઓ ચિહ્નિત થયેલ છે: \(x_1\) , \(x_2\) , \(x_3\) , \(x_4\) , \(x_5\) , \(x_6\) , \(x_7\ ). આમાંથી કેટલા બિંદુઓ પર કાર્ય \(f(x)\) વધે છે?

કાર્ય તે બિંદુઓ પર વધે છે જ્યાં તેના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય હકારાત્મક હોય છે. તેથી, આકૃતિ વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ બતાવે છે, કારણ કે જે બિંદુઓ પર વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ x-અક્ષની ઉપર સ્થિત છે તે આપણા માટે યોગ્ય છે. આ બિંદુઓ છે \(x_3, x_4, x_5, x_6, x_7\) . આવા કુલ 5 પોઈન્ટ છે.

જવાબ: 5

કાર્ય 8

એક નળાકાર વાસણમાં પાણીને \(32\) સે.મી.ના સ્તર સુધી રેડવામાં આવ્યું હતું, જો તે બીજા નળાકાર પાત્રમાં રેડવામાં આવે તો પાણી કયા સ્તરે પહોંચશે, જેની ત્રિજ્યા આધારની ત્રિજ્યા કરતા 4 ગણી વધારે છે. પ્રથમ જહાજનું? જવાબ સે.મી.માં આપો.

પ્રથમ જહાજના પાયાની ત્રિજ્યા \(R_1\) ની બરાબર થવા દો, અને બીજા પાત્રના પાયાની ત્રિજ્યા \(R_2\) ની બરાબર છે. પછી \(R_2=4R_1\) . નોંધ કરો કે જ્યારે એક જહાજમાંથી બીજા વાસણમાં પાણી રેડવામાં આવે છે, ત્યારે પાણીનું પ્રમાણ સ્થિર રહે છે. જ્યારે પાણી પ્રથમ વાસણમાં હતું, ત્યારે તેનું વોલ્યુમ ઊંચાઈ \(32\) અને આધાર ત્રિજ્યા \(R_1\) : \(V=\pi R_1^2\cdot 32\) સાથેના સિલિન્ડરના જથ્થા જેટલું છે. જ્યારે તેને બીજા વાસણમાં રેડવામાં આવ્યું હતું, ત્યારે તેનું વોલ્યુમ ઊંચાઈ \(h\) (આ મૂલ્ય શોધવાની જરૂર છે) અને આધાર ત્રિજ્યા \(R_2\), એટલે કે, \(V=) સાથેના સિલિન્ડરના વોલ્યુમ જેટલું છે. \pi R_2^2\cdot h\ ) . પરંતુ પછી: \[\pi R_1^2\cdot 32=\pi R_2^2\cdot h \quad\Rightarrow\quad h=\left(\dfrac(R_1)(R_2)\right)^2\cdot 32=\left( \dfrac14\right)^2\cdot 32=2.\]

જવાબ: 2

કાર્ય 9

અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો \

ચાલો ફોર્મમાં અભિવ્યક્તિને ફરીથી લખીએ \ ડબલ એંગલ કોસાઇન ફોર્મ્યુલા \(2\cos^2x-1=\cos 2x\) નો ઉપયોગ કરીને, અભિવ્યક્તિ આ રીતે ફરીથી લખવામાં આવશે. \

જવાબ:-3

કાર્ય 10

જ્યારે ધ્વનિ સંકેતોના સ્ત્રોત અને રીસીવર એકબીજાની નજીક આવે છે, ચોક્કસ માધ્યમમાં એકબીજા તરફ સીધી રેખામાં આગળ વધે છે, ત્યારે રીસીવર દ્વારા રેકોર્ડ કરાયેલ ધ્વનિ સંકેતની આવર્તન મૂળ સિગ્નલની આવર્તન સાથે મેળ ખાતી નથી \(f_0=140 \) Hz અને નીચેના અભિવ્યક્તિ દ્વારા નિર્ધારિત થાય છે: \ જ્યાં \(c\) એ માધ્યમમાં (m/s માં) સિગ્નલ પ્રચારની ગતિ છે અને \(u=15\) m/s અને \(v=14\) m/s એ રીસીવરની ગતિ છે અને અનુક્રમે માધ્યમને સંબંધિત સ્ત્રોત. માધ્યમમાં સિગ્નલ પ્રચારની મહત્તમ ઝડપ \(c\) (m/s માં) રીસીવર \(f\) માં સિગ્નલ આવર્તન ઓછામાં ઓછી \(145\) Hz હશે?

આપણે \(c\) જેમ કે \(f\geqslant 145\) શોધવાની જરૂર હોવાથી, આપણે અસમાનતાને ઉકેલવાની જરૂર છે. \ અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ અસમાનતાને ઉકેલવાથી, આપણે \(c\in \) મેળવીએ છીએ. તેથી, \(c\) ના આવા મૂલ્યો માટે, \(f\) નું મૂલ્ય ઓછામાં ઓછું \(145\) હશે. પછી \(c\) નું સૌથી મોટું મૂલ્ય \(826\) છે.

જવાબ: 826

કાર્ય 11

એક મોટર જહાજ, જેની ગતિ સ્થિર પાણીમાં \(27\) કિમી/કલાક છે, તે બિંદુ A થી બિંદુ B તરફ પ્રવાહ સાથે આગળ વધે છે. બિંદુ B પર પહોંચ્યા પછી, મોટર જહાજ \(5\) માટે સ્ટોપ કરે છે. કલાકો, પછી બિંદુ A પર પાછા ગયા. તે જાણીતું છે કે A થી પ્રસ્થાન કર્યા પછી જહાજ બિંદુ A \(32\) કલાકોમાં પાછું આવ્યું. જો નદીની ઝડપ \(1\) કિમી હોય તો વહાણ કેટલા કિલોમીટરની મુસાફરી કરે છે /ક?

બિંદુ A અને B વચ્ચેનું અંતર \(S\) બરાબર થવા દો. પછી વહાણ ખર્ચ્યું \[\dfrac(S)(27+1)\quad (\small(\text(hours)))\]પછી તેણે બિંદુ B પર 5 કલાક સુધી સ્ટોપ કર્યો, અને B થી A સુધીના રસ્તા પર તેણે વિતાવ્યો \[\dfrac(S)(27-1)\quad (\small(\text(hours)))\]કુલ મળીને તેણે 32 કલાક ગાળ્યા, તેથી, \[\dfrac S(27+1)+5+\dfrac S(27-1)=32 \quad\Rightarrow\quad 54S=26\cdot 27\cdot 28\quad\Rightarrow\quad S=13\cdot 28 \]પછી વહાણે કુલ \(2S\) કિલોમીટરની મુસાફરી કરી, અથવા \

જવાબ: 728

કાર્ય 12

ફંક્શનનો ન્યૂનતમ બિંદુ શોધો\

ODZ કાર્યો: \(x+10)^7> 0 \quad\Leftrightarrow\quad x>-10.\)

ફંક્શનના લઘુત્તમ બિંદુઓ એ બિંદુઓ છે કે જેના પર વ્યુત્પન્ન તેના ચિહ્નને “\(-\)” થી “\(+\)” (જ્યારે ડાબેથી જમણે જોવામાં આવે છે) માં બદલાય છે. ચાલો વ્યુત્પન્ન, તેના શૂન્ય અને બિંદુઓ શોધીએ જ્યાં તે અસ્તિત્વમાં નથી, અને પરિણામી અંતરાલો પર ચિહ્નોની ગણતરી કરીએ. \ વ્યુત્પન્નના શૂન્ય: \ ODZ પર વ્યુત્પન્ન સંકેતો:

તેથી, \(x=-9\) એ ન્યૂનતમ બિંદુ છે.

જવાબ:-9

કાર્ય 13

a) સમીકરણ ઉકેલો \[\log_4(2^(2x)-\sqrt3\cos x-\sin2x)=x\]

b) આ સમીકરણના તમામ મૂળની યાદી બનાવો જે સેગમેન્ટથી સંબંધિત છે \(\left[-\dfrac(\pi)2;\dfrac(3\pi)2\જમણે].\)

a) ODZ સમીકરણો: \(2^(2x)-\sqrt3\cos x-\sin2x>0\). ચાલો ODZ નો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ હલ કરીએ. તેને રૂપાંતરિત કરી શકાય છે: \[\begin(સંરેખિત) &2^(2x)-\sqrt3\cos x-\sin2x=4^x \ (*)\quad\Rightarrow\quad -\sqrt3\cos x-\sin2x=0 \quad\Rightarrow \\ &\Rightarrow\quad 2\sin x\cos x+\sqrt3\cos x=0\quad\Rightarrow\quad \cos x(2\sin x+\sqrt3)=0\end(સંરેખિત)\]આ સમીકરણના ઉકેલો \(\cos x=0\) અને \(\sin x=-\dfrac(\sqrt3)2\) હશે : \[\left[\begin(athered)\begin(aligned) &x=\dfrac(\pi)2+\pi n, n\in\mathbb(Z)\\ &x=-\dfrac(\pi)3+ 2\pi m, m\in\mathbb(Z)\\ &x=-\dfrac(2\pi)3+2\pi k, k\in\mathbb(Z) \end(સંરેખિત)\end(એકત્ર કરેલ) \અધિકાર.\]ચાલો તપાસ કરીએ કે આ મૂળ ODZ માટે યોગ્ય છે કે કેમ. કારણ કે આ મૂળ સમીકરણ \((*)\) , અને \(4^x>0\) બધા \(x\) માટે મેળવવામાં આવ્યા હતા, પછી જ્યારે આ મૂળોને સમીકરણમાં બદલીએ ત્યારે, \(( ની ડાબી બાજુ *)\) પણ હંમેશા \(>0\) રહેશે. અને આ ODZ છે. પરિણામે, તમામ મૂળ ODZ ને સંતુષ્ટ કરે છે.

b) ચાલો મૂળ લઈએ. \[\begin(સંરેખિત) &-\dfrac(\pi)2\leqslant \dfrac(\pi)2+\pi n\leqslant \dfrac(3\pi)2 \quad\Leftrightarrow\quad -1\leqslant n \leqslant 1\quad\Rightarrow \quad n=-1; 0; 1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac(\pi)2; \dfrac(\pi)2; \dfrac(3\pi)2\\ & -\dfrac(\pi)2\leqslant -\dfrac(\pi)3+2\pi m\leqslant \dfrac(3\pi)2 \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac1(12)\leqslant m\leqslant \dfrac(11)(12)\quad\Rightarrow\quad m=0\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac(\pi)3\\ &-\dfrac (\pi)2\leqslant -\dfrac(2\pi)3+2\pi k\leqslant \dfrac(3\pi)2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac1(12)\leqslant k\leqslant \dfrac( 13)(12)\quad\Rightarrow\quad k=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac(4\pi)3 \end(સંરેખિત)\]

જવાબ:

અ) \(x=\dfrac(\pi)2+\pi n, -\dfrac(\pi)3+2\pi m, -\dfrac(2\pi)3+2\pi k, n,m,k \in\mathbb(Z)\)

b) \(-\dfrac(\pi)2; -\dfrac(\pi)3; \dfrac(\pi)2; \dfrac(4\pi)3; \dfrac(3\pi)2\)

કાર્ય 14

ચતુષ્કોણ પિરામિડનો આધાર \(SABCD\) લંબચોરસ \(ABCD\) , અને \(AB=3\sqrt2\), \(BC=6\) છે. પિરામિડની ઊંચાઈનો આધાર લંબચોરસનું કેન્દ્ર છે. શિરોબિંદુઓ \(A\) અને \(C\) માંથી લંબ \(AP\) અને \(CQ\) ધાર \(SB\) પર નાખવામાં આવે છે.

a) સાબિત કરો કે \(P\) એ સેગમેન્ટનો મધ્યબિંદુ છે \(BQ\) .

b) ચહેરાઓ \(SBA\) અને \(SBC\) જો \(SD=9\) વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

a) ચાલો \(O\) એ લંબચોરસના કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ \(ABCD\) છે. પછી \(SO\) એ પિરામિડની ઊંચાઈ છે. કારણ કે લંબચોરસના કર્ણ સમાન હોય છે અને આંતરછેદના બિંદુથી અડધા ભાગમાં વિભાજિત થાય છે, પછી \(AO=BO=CO=DO\) . આથી, \(\triangle AOS=\triangle BOS=\triangle COS=\triangle DOS\), જ્યાંથી \(AS=BS=CS=DS\) . ચાલો \(AS=x\) સૂચવીએ.
ચહેરાને ધ્યાનમાં લો \(ASB\) . ચાલો \(SK\perp AB\) કરીએ. પછી \(KB=0.5 AB=1.5\sqrt2\) . પછી \[\dfrac(KB)(SB)=\cos \angle SBA=\dfrac(BP)(BA) \quad\Rightarrow\quad BP=\dfrac 9x\]ચહેરાને ધ્યાનમાં લો \(CSB\) . ચાલો \(SH\perp CB\) કરીએ. પછી \(HB=0.5 CB=3\) . પછી \[\dfrac(HB)(SB)=\cos \angle SBC=\dfrac(BQ)(BC) \quad\Rightarrow\quad BQ=\dfrac (18)x\]તેથી, \Chtd.

b) શરત દ્વારા \(x=9\) . નોંધ કરો કે ચહેરા \(CSB\) \(PH\સમાંતર CQ\) (કારણ કે \(PH\) એ \(\ત્રિકોણ CQB\) માં મધ્ય રેખા છે તેથી, \(PH\perp SB\) . તેથી, વ્યાખ્યા પ્રમાણે, \(\Angle APH\) એ ચહેરાઓ \(SBC\) અને \(SBA\) વચ્ચેના ડાયહેડ્રલ કોણનો રેખીય કોણ છે. ચાલો તેને \(\triangle APH\) માંથી કોસાઈન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ.

\(BP=\frac9(x)=1\) . તેથી, પાયથાગોરિયન પ્રમેય દ્વારા \(\triangle ABP\) : \(AP^2=18-1=17\) માંથી.
પાયથાગોરિયન પ્રમેય દ્વારા \(\ટ્રાયેન્ગલ HBP\) : \(HP^2=9-1=8\) માંથી.
પાયથાગોરિયન પ્રમેય દ્વારા \(\ત્રિકોણ ABH\) : \(AH^2=18+9=27\) માંથી.
તેથી, \(\ત્રિકોણ APH\) માંથી કોસાઈન પ્રમેય દ્વારા : \[\cos \angle APH=\dfrac(AP^2+HP^2-AH^2)(2\cdot AP\cdot HP)= -\dfrac1(2\sqrt(34))\]તેથી, ચહેરાઓ \(SAB\) અને \(SCB\) વચ્ચેનો કોણ બરાબર છે \[\angle APH=\arccos\left(-\dfrac1(2\sqrt(34))\જમણે)\]

જવાબ:

b) \(\arccos\left(-\frac1(2\sqrt(34))\જમણે)\)

કાર્ય 15

અસમાનતા ઉકેલો \[\dfrac(2^x)(2^x-8)+\dfrac(2^x+8)(2^x-4) +\dfrac(66)(4^x-12\cdot 2^x +32)\leqslant 0\]

ચાલો ફેરફાર કરીએ \(2^x=t\), પછી અસમાનતા સ્વરૂપ લેશે \[\begin(સંરેખિત) &\dfrac(t)(t-8)+\dfrac(t+8)(t-4)+\dfrac(66)(t^2-12t+32)\leqslant 0 \ ક્વાડ\લેફ્ટરાઈટએરો\ક્વાડ \dફ્રેક(t(t-4)+(t^2-8^2)+66)((t-8)(t-4))\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\\ &\ લેફ્ટરાઈટ એરો\ક્વાડ \dfrac(2t^2-4t+2)((t-8)(t-4))\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(2(t-1)^2)(t -8)(t-4))\leqslant 0 \end(સંરેખિત)\]ચાલો અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ અસમાનતાને હલ કરીએ:

પછી ઉકેલ આવશે \[\ડાબે[\begin(એકત્ર કરેલ)\begin(સંરેખિત) &t=1\\ &4 પછી જવાબ છે: \

જવાબ:

\(\(0\)\કપ(2;3)\)

કાર્ય 16

બિંદુ \(E\) એ ટ્રેપેઝોઈડ \(ABCD\) ની બાજુ \(CD\) ની મધ્ય છે. તેની બાજુએ \(AB\) એક બિંદુ \(K\) લેવામાં આવે છે જેથી રેખાઓ \(CK\) અને \(AE\) સમાંતર હોય. સેગમેન્ટ્સ \(CK\) અને \(BE\) બિંદુ \(O\) પર છેદે છે.

a) સાબિત કરો કે \(CO=OK\) .

b) ટ્રેપેઝોઈડના પાયાનો ગુણોત્તર શોધો \(BC:AD\) જો ત્રિકોણનો વિસ્તાર \(BCK\) હોય તો \(\dfrac9(64)\) સમગ્ર ટ્રેપેઝોઈડનો વિસ્તાર હોય. (ABCD\) .

a) \(AE\) અને \(BC\) ને બિંદુ \(P\) પર આંતરછેદ સુધી વિસ્તૃત કરો :

પછી \(\angle AED=\angle CEP\) વર્ટિકલ તરીકે, \(\angle ADE=\angle PCE\) ક્રોસવાઇઝ તરીકે \(AD\સમાંતર BP\) અને \(CD\) સેકન્ટ પર આવેલું છે. તેથી, બાજુ અને બે અડીને આવેલા ખૂણાઓ સાથે \(\ત્રિકોણ AED=\ત્રિકોણ CEP\). પછી \(AD=CP\), \(AE=EP\) .
ત્યારથી \(CK\સમાંતર AP\), પછી \(\ત્રિકોણ BKO\સિમ \ત્રિકોણ ABE\)અને \(CBO\sim \ત્રિકોણ PBE\) તેથી, \[\dfrac(KO)(AE)=\dfrac(BO)(BE)=\dfrac(OC)(EP) \quad\Rightarrow\quad \dfrac(KO)(OC)=\dfrac(AE)(EP) ) =1\]આમ, \(KO=OC\), hd.

b) ત્યારથી \(\ત્રિકોણ AED=\ત્રિકોણ CEP\), પછી \(S_(ABCD)=S_(ABP)\) . આમ, \ ત્યારથી \(\ત્રિકોણ BCK\sim \ત્રિકોણ ABP\), પછી તેમના વિસ્તારો સમાનતા ગુણાંકના વર્ગ તરીકે સંબંધિત છે, તેથી, \ તેથી, \(BC:BP=3:8\), જેનો અર્થ થાય છે \(BC:AD=BC:CP=3:5\) .

જવાબ:

b) \(3:5\)

કાર્ય 17

જુલાઈ 2020 માં, ચોક્કસ રકમ માટે બેંક લોન લેવાની યોજના છે. તેના વળતર માટેની શરતો નીચે મુજબ છે.
- દર જાન્યુઆરીમાં પાછલા વર્ષના અંતની સરખામણીમાં દેવું \(30\%\) વધે છે;
- દર વર્ષે ફેબ્રુઆરીથી જૂન સુધી એક જ ચુકવણીમાં દેવાનો ભાગ ચૂકવવો જરૂરી છે.
બેંકમાંથી કેટલા રુબેલ્સ લેવામાં આવ્યા હતા જો તે જાણીતું હોય કે લોન ત્રણ સમાન ચૂકવણીમાં (એટલે ​​​​કે, 3 વર્ષથી વધુ) માં ચૂકવવામાં આવી હતી અને ચૂકવણીની રકમ \(156\,060\) દ્વારા બેંકમાંથી લેવામાં આવેલી રકમ કરતાં વધી જાય છે ) રુબેલ્સ?

ચાલો \(A\) રુબેલ્સ ઉધાર લીધેલી રકમ ગણીએ. નોંધ કરો કે લોન વાર્ષિકી ચૂકવણીમાં ચૂકવવામાં આવશે. ચાલો \(t=1.3\) દ્વારા સૂચિત કરીએ અને કોષ્ટક બનાવીએ: \[\begin(એરે)(|l|l|l|c ચુકવણી)\\ \hલાઈન 1 & A & tA & x\\ \hline 2 & tA-x & t(tA-x) &x\\ \hline 3 & t(tA-x)-x& t(t(tA- x)-x) &x\\ \hline \end(એરે)\]પછી છેલ્લી ચુકવણી પછી દેવું બરાબર થશે \ શરત અનુસાર \(3x-A=156\,060\), તેથી, \[\dfrac(3At^3)(t^2+t+1)-A=156\.060 \quad\Rightarrow\quad 3\cdot 2.197A-3.99A=156060\cdot 3.99 \quad\ Rightarrow\quad A=\dfrac(156060\cdot 3990)(2601)=60\cdot 3990=239\,400\]\(x_3\) સંતુષ્ટ \((2)\) . એ પણ નોંધ કરો કે રુટ \(x_1\) સેગમેન્ટ \(\) થી સંબંધિત છે.
ચાલો ત્રણ કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ:

1) \(a>0\) . પછી \(x_2>3\), \(x_3<3\) , следовательно, \(x_2\notin .\) Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\) в одном из двух случаях:
- \(x_1\) સંતુષ્ટ \((2)\) , \(x_3\) સંતુષ્ટ નથી \((1)\) , અથવા \(x_1\) સાથે સુસંગત છે, અથવા સંતુષ્ટ \((1)\) , પરંતુ સેગમેન્ટમાં સમાવેલ નથી \(\) (એટલે ​​​​કે, \(0\) કરતાં ઓછું);
- \(x_1\) સંતુષ્ટ નથી \((2)\) , \(x_3\) સંતુષ્ટ \((1)\) અને \(x_1\) ની બરાબર નથી.
નોંધ કરો કે \(x_3\) શૂન્યથી ઓછું અને સંતોષકારક \((1)\) (એટલે ​​​​કે, \(\frac35\) કરતાં વધુ હોઈ શકે નહીં. આ ટિપ્પણીને જોતાં, કેસ નીચેના સમૂહમાં નોંધાયેલા છે: \[\left[ \begin(એકત્ર કરેલ)\begin(aligned) &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\ અંત(કેસો)\\ &\શરૂઆત(કેસો) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a>આ સમૂહને ઉકેલવા અને ધ્યાનમાં લેતા કે \(a>0\), અમને મળે છે: \

2) \(a=0\) . પછી \(x_2=x_3=3\in .\) નોંધ કરો કે આ કિસ્સામાં \(x_1\) સંતોષે \((2)\) અને \(x_2=3\) સંતોષે \((1)\), પછી ત્યાં એ એક સમીકરણ છે જે \(\) પર બે મૂળ ધરાવે છે. \(a\) નું આ મૂલ્ય અમને અનુકૂળ નથી.

3)\(a<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) અને \(x_3\notin \) . પોઈન્ટ 1 ના સમાન તર્ક), તમારે સમૂહને હલ કરવાની જરૂર છે: \[\left[ \begin(એકત્ર કરેલ)\begin(aligned) &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\ end(કેસ)\\ &\begin(કેસ) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end(કેસો) \end(સંરેખિત) \અંત(એકત્ર કરેલ)\જમણે.\]આપેલ વસ્તીનું નિરાકરણ કરવું અને તે ધ્યાનમાં લેવું કે \(1, 2, 3, \dots, 99\). પછી જ્યારે સંખ્યાઓ વચ્ચે \(230\) હોય ત્યારે તમામ સો સંખ્યાઓનો સરવાળો એ સૌથી નાનો શક્ય સરવાળો છે. ચાલો તેની ગણતરી કરીએ: \[\dfrac(1+99)2\cdot 99+230=5180>5120\]અમને શરત સાથે વિરોધાભાસ મળ્યો, તેથી જવાબ છે: ના.

b) ધારો કે બોર્ડ પર કોઈ નંબર \(14\) નથી. ચાલો ફરીથી સંખ્યાઓને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવીએ અને સંખ્યાઓ જોઈએ: \(1, 2, \ બિંદુઓ, 13, 15, \ બિંદુઓ, 101\). અમે પ્રથમ નંબર માટે સૌથી નાનું શક્ય મૂલ્ય લીધું, બીજા માટે, વગેરે. પછી આ બધી સંખ્યાઓનો સરવાળો એ મનસ્વી સો કુદરતી સંખ્યાઓના સરવાળોમાં સૌથી નાનો શક્ય સરવાળો છે. તે સમાન છે: \[\dfrac(1+101)2\cdot 101-14=5137>5120\]અમને ફરીથી શરત સાથે વિરોધાભાસ મળ્યો, તેથી, જવાબ: ના.

c) ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ જ્યારે સંખ્યાઓમાં ચાર સંખ્યાઓ હોય જે \(14\) ના ગુણાંક હોય (આ સંખ્યાઓ \(14, 28, 42, 56\) છે): \ ચાલો સાબિત કરીએ કે \(14\) ના ગુણાંકમાં ચાર કરતા ઓછી સંખ્યા હોઈ શકતી નથી.
ચાલો \(1\) થી \(100\) સુધીની સંખ્યાઓનો સમૂહ લઈએ. આ સમૂહમાં સંખ્યાઓનો સરવાળો \(5050\) છે. આ એકસો વિવિધ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ શક્ય સરવાળો છે. ચાલો એવા નંબરોને કૉલ કરીએ જે વિચિત્ર \(14\) ના ગુણાંકમાં હોય. આ સમૂહમાં 7 વિચિત્ર સંખ્યાઓ છે. સેટમાં સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સરવાળો જાળવી રાખીને અમે અમારા સેટમાં વિચિત્ર સંખ્યાઓની સંખ્યા ઘટાડીશું.
તેથી, સંખ્યાઓનો સરવાળો ન્યૂનતમ થવા માટે, આપણે સૌથી મોટી વિચિત્ર સંખ્યા દૂર કરવી જોઈએ - આ \(98\) છે. પછી તેણે બદલામાં બીજો નંબર (વિચિત્ર નહીં!) ઉમેરવો પડશે. આવી સૌથી નાની સંખ્યા \(101\) છે. આ પછી આપણને \(5053\) ની બરાબર ન્યૂનતમ રકમ મળે છે. તે \(5120\) કરતાં ઓછું છે, તેથી અમે આગળ ચાલુ રાખીશું.
આ જ વસ્તુ કરવાથી, ચાલો વિચિત્ર સંખ્યાઓ \(98, 84, 70\) દૂર કરીએ. તેના બદલે, ચાલો \(101, 102, 103\) ઉમેરીએ. આ કિસ્સામાં, અમે \(5104\) ની બરાબર ન્યૂનતમ રકમ મેળવીએ છીએ. આ ઑપરેશન ફરીથી કર્યા પછી, એટલે કે, \(56\) દૂર કરીને \(104\) ઉમેરીને, અમને ન્યૂનતમ રકમ \(5152\) મળે છે, જે \(5120\) કરતાં વધુ છે. અમારા સમૂહમાં સંખ્યાઓના સરવાળાની ન્યૂનતમતાને લીધે, અમે એક વિરોધાભાસ મેળવીએ છીએ.

સામાન્ય માધ્યમિક શિક્ષણના અંતે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવી એ માત્ર આવશ્યકતા નથી, પરંતુ યુનિવર્સિટીઓમાં પ્રવેશ પરીક્ષાનો પણ એક ભાગ છે. શાળાના બાળકો કે જેઓ ગાણિતિક અથવા તકનીકી ફોકસ સાથે મેજર્સમાં પ્રવેશ લેવાનું નક્કી કરે છે તેઓ માત્ર ગણિતનું મૂળભૂત સ્તર જ નહીં, પરંતુ વિશિષ્ટ સ્તર પણ લે છે. ચાલો તેની વિશેષતાઓ, અમલીકરણ અને પરીક્ષણનો સમય અને પરિણામોથી સંબંધિત કેટલાક મુદ્દાઓને ધ્યાનમાં લઈએ.

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા લેવા માટેની પ્રક્રિયા ફેડરલ લૉ નંબર 273 "રશિયન ફેડરેશનમાં શિક્ષણ પર" દ્વારા સ્થાપિત કરવામાં આવી છે.

પરીક્ષાના પરિણામો ક્યારે જાણવા મળશે?

સત્તાવાર શેડ્યૂલ ડિલિવરી નક્કી કરે છે ગણિત 2018 માં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાશુક્રવાર, જૂન 1 ના રોજ પ્રોફાઇલ દિશા. તરીકે અનામત દિવસમુખ્ય લૂપમાં તારીખ પ્રકાશિત થાય છે 25 જૂન, અને 2 જુલાઈ એ તમામ વિષયો પાસ કરવા માટે અનામત દિવસ છે.

વિભાજન ગણિતની પરીક્ષાસ્તરે ગયા વર્ષે થયું હતું. તેઓ અલગ પડે છેસંખ્યાબંધ ચિહ્નો અનુસાર:

• રેટિંગ સિસ્ટમ. વિષયના જ્ઞાનના મૂળભૂત સ્તરનું મૂલ્યાંકન પાંચ-પોઇન્ટ સ્કેલ પર કરવામાં આવે છે (3 પોઇન્ટ ન્યૂનતમ તરીકે સેટ કરવામાં આવે છે). મુખ્ય વિષયમાં ગ્રેડનું મૂલ્યાંકન 100 પોઇન્ટના સ્કેલ પર કરવામાં આવે છે;
• આગળનો તફાવત મૂળભૂત અને વિશિષ્ટ સ્તરની પરીક્ષાઓ લેવાનો છે શૈક્ષણિક સંસ્થાઓમાં પ્રવેશ માટેઉચ્ચ અને મધ્યમ વ્યાવસાયિક સ્તર. આમ, મૂળભૂત સ્તર કોલેજો, શાળાઓ અને યુનિવર્સિટીઓમાં માનવતાની મુખ્ય સંસ્થાઓ માટે પૂરતું છે. તકનીકી વિશેષતાઓ માટેની પ્રવેશ પરીક્ષાઓમાં ગણિતની હાજરી માટે અરજદારને પ્રોફાઇલ સ્તર પાસ કરવાની જરૂર છે;
• બદલાય છે પરીક્ષા માળખું. ડેટાબેઝમાં ટૂંકા જવાબો સાથે 20 સમસ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે. પ્રોફાઇલ પરીક્ષા વધુ મુશ્કેલ છે અને તેમાં 2 ભાગોનો સમાવેશ થાય છે.

યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન સિસ્ટમ શાળાના સ્નાતકોને વિષયના મૂળભૂત અને વિશિષ્ટ ભાગને પ્રતિબંધ વિના લેવાની મંજૂરી આપે છે. આ યુનિવર્સિટીઓમાં પ્રવેશવાની તમારી તકોને નોંધપાત્ર રીતે વધારે છે.

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના પરિણામોની પ્રક્રિયાચોક્કસ સમયમર્યાદા અને પ્રક્રિયાઓ છે:

• પ્રદેશોમાં ફોર્મની સ્કેનિંગ અને પ્રક્રિયા - 4 દિવસ સુધી;
• ફેડરલ સ્તરે પરિણામોની પ્રક્રિયા - 7 દિવસ સુધી;
• પ્રદેશોમાં પરિણામો મોકલવા - 1 દિવસ;
• રાજ્ય પરીક્ષા કમિશન દ્વારા પરિણામોની પુષ્ટિ - 1 દિવસથી વધુ નહીં;
• પરિણામોની જાહેરાત - 1 દિવસ.

આમ, પરિણામોની ચકાસણી અને પ્રકાશનનો સમયગાળો 2 અઠવાડિયાથી વધુ નથી. પ્રોફાઈલ લેવલ પર ગણિતમાં યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2018ના પરિણામો 17 જૂન પછી જાહેર થશે..

તમારું પરિણામ કેવી રીતે શોધવું?

ભૂતકાળની પરીક્ષાના પરિણામો શોધોઘણી રીતે કરી શકાય છે:

• યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાનું અધિકૃત પોર્ટલ www.ege.edu.ru;
• જ્યાં પરીક્ષા યોજાઈ હતી તે શાળાઓ અથવા અન્ય સંસ્થાઓમાં માહિતી ઊભી થાય છે;
• પ્રાદેશિક વિભાગો અથવા શિક્ષણ સમિતિઓમાં;
• સંખ્યાબંધ પ્રદેશો વિશિષ્ટ વેબસાઈટ અથવા ટેલિફોન હોટલાઈન બનાવે છે.

તમારું પરિણામ તપાસોજો ઉપલબ્ધ હોય તો શક્ય છે:

• આઇટમ પસાર કરનાર વ્યક્તિનું સંપૂર્ણ નામ;
• ઓળખ માટે પરીક્ષા દરમિયાન ઉપયોગમાં લેવાતા પાસપોર્ટ અથવા અન્ય દસ્તાવેજની સંખ્યા;
• દરેક પરીક્ષા સહભાગીને સોંપાયેલ ઓળખ કોડ.

પરીક્ષાના પરિણામો વિશેની માહિતી મફત છે અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના સહભાગીઓ અને તેમના માતા-પિતાને વિનામૂલ્યે પ્રદાન કરવામાં આવે છે.

ગણિતમાં પ્રારંભિક એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષા

ગણિતમાં ગણિતની યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં સંખ્યાબંધ શાળાના બાળકો પહેલેથી જ પાસ થયા છે પ્રારંભિક સમયગાળો. જો વિદ્યાર્થી મુખ્ય તબક્કામાં ભાગ લેવા માટે અસમર્થ હોય તો તેમાં ભાગ લેવાની મંજૂરી છે. કારણોમાં શામેલ હોઈ શકે છે:

• આયોજિત સારવાર;
• આરોગ્ય સંસ્થાઓમાં મનોરંજન;
• સ્પર્ધાઓ, ઓલિમ્પિયાડ્સ અને અન્ય શૈક્ષણિક અથવા સર્જનાત્મક ઇવેન્ટ્સમાં ભાગ લેવો.

2017 માં, ગણિતનું વહેલું પૂર્ણ થયું 31 માર્ચ અને 14 એપ્રિલ(અનામત દિવસ). 4.8 હજાર શાળાના બાળકોએ મૂળભૂત સ્તર પાસ કર્યું છે, અને લગભગ 17 હજાર વિશિષ્ટ સ્તરે પાસ થયા છે.

યોજના મુજબ, ગણિત 2017 માં પ્રારંભિક યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના પરિણામો 11 એપ્રિલના રોજ ઉપલબ્ધ હોવા જોઈએ, પરંતુ તે ખૂબ પહેલા પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યા હતા - 7મીએ.

તમારું કામ ક્યાં જોવાનું છે

પરીક્ષા પાસ કર્યા પછી તમે તમારું કાર્ય ઈલેક્ટ્રોનિકલી જોઈ શકો છો. તેનું સ્કેન યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામ પોર્ટલ પર તમારા વ્યક્તિગત ખાતામાં ઉપલબ્ધ છે. તેની ઍક્સેસ આપવામાં આવે છે જ્યારે:

• એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષામાં સહભાગી માટે ઓળખ કોડની ઉપલબ્ધતા;
• પૂરું નામ અને પાસપોર્ટ નંબર.

જો, પરિણામોની ઘોષણા પછી, સહભાગી એનાયત પોઈન્ટ સાથે સંમત ન હોય, તો તેની પાસે છે અપીલ દાખલ કરવા માટે 2 દિવસપરીક્ષા સમિતિને. અરજી 2 નકલોમાં લખવામાં આવે છે અને વિચારણા માટે કમિશનને સબમિટ કરવામાં આવે છે. 5 જૂન સુધી, સમસ્યાઓના ઉકેલોની ફરીથી સમીક્ષા કરવામાં આવશે અને મૂલ્યાંકન બદલવા અથવા તેની પુષ્ટિ કરવા માટે નિર્ણય લેવામાં આવશે.

પરીક્ષાનો સ્કોર કેવી રીતે થાય છે? યુનિફાઈડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન સિસ્ટમ પરિણામોનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે પ્રાથમિક અને પરીક્ષણ સ્કોર્સ તેમજ તેમને એકબીજામાં રૂપાંતરિત કરવા માટે એક ખાસ સ્કેલનો ઉપયોગ કરે છે. સીએમએમ (નિયંત્રણ અને માપન સામગ્રી) ના સોલ્યુશન્સનું પ્રાથમિક બિંદુઓમાં મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે અને પછી કોષ્ટક અનુસાર પરીક્ષણ સ્કોરમાં રૂપાંતરિત થાય છે. પરીક્ષાનું અંતિમ પરિણામ એ સ્કોર કરેલા ટેસ્ટ પોઇન્ટ્સની સંખ્યા છે.

પ્રાથમિક સ્કોર્સને ટેસ્ટ સ્કોરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટેના સ્કેલનો વિકાસ દર વર્ષે હાથ ધરવામાં આવે છે અને શાળાના બાળકોની તૈયારીના સામાન્ય સ્તરને ધ્યાનમાં લે છે.

સફળ થવા માટે 2018 માં વિશિષ્ટ ગણિત પાસ કરવુંતમારે ન્યૂનતમ ડાયલ કરવાની જરૂર છે:

• 6 પ્રાથમિક બિંદુઓ;
• 27 ટેસ્ટ પોઇન્ટ.

2018 માં ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા ફરીથી લેવાની તારીખ

એક નંબર છે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવા માટેની વધારાની સમયમર્યાદા. જો, સારા કારણોસર, વિદ્યાર્થી મુખ્ય દિવસે વિષય પાસ કરવામાં અસમર્થ હોય તો તેઓ ઉપલબ્ધ છે. વિશિષ્ટ ગણિત માટે આ છે:

• 25 જૂન- મુખ્ય તબક્કામાં અનામત દિવસ;
• 2 જુલાઈ– યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષાના મુખ્ય ભાગ માટે અનામત દિવસ, જ્યારે તમે કોઈપણ વિષય લઈ શકો છો.

સપ્ટેમ્બરમાં વિશિષ્ટ ગણિત ફરીથી લેવાની તકમાં ઘણી શરતો છે:

• જો કોઈ વિદ્યાર્થી મૂળભૂત ગણિતમાં પાસ થઈ ગયો હોય, તો તેને આ વર્ષે વિશિષ્ટ સ્તરને ફરીથી લેવાની મંજૂરી આપવામાં આવશે નહીં. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા ફરીથી આપવાની તક આવતા વર્ષે જ ઊભી થશે;
• જો ગણિતની બંને પરીક્ષાઓ (મૂળભૂત અને અદ્યતન) નાપાસ થાય, તો વિદ્યાર્થી નક્કી કરી શકે છે કે તે કઇ પરીક્ષા ફરીથી લેશે.

ગણિત ફરીથી લોસપ્ટેમ્બર માટે સુનિશ્ચિત થયેલ છે 7 સપ્ટેમ્બર. અનામત દિવસ 15મી સપ્ટેમ્બર છે.