4. રેન્ડમ ચલો અને તેમના વિતરણો

ગામા વિતરણો

ચાલો ગામા વિતરણના પરિવાર તરફ આગળ વધીએ. તેઓ અર્થશાસ્ત્ર અને વ્યવસ્થાપન, સિદ્ધાંત અને વિશ્વસનીયતા અને પરીક્ષણની પ્રેક્ટિસ, ટેકનોલોજી, હવામાનશાસ્ત્ર વગેરેના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. ખાસ કરીને, ઘણી પરિસ્થિતિઓમાં, ગામા વિતરણ ઉત્પાદનની કુલ સેવા જીવન, વાહક ધૂળના કણોની સાંકળની લંબાઈ, કાટ દરમિયાન ઉત્પાદન મર્યાદિત સ્થિતિમાં પહોંચે તે સમય, કાર્યકારી સમય જેવા જથ્થાને આધીન છે. k-મો ઇનકાર, k= 1, 2, …, વગેરે. ક્રોનિક રોગોવાળા દર્દીઓની આયુષ્ય અને કેટલાક કિસ્સાઓમાં સારવાર દરમિયાન ચોક્કસ અસર હાંસલ કરવાનો સમય ગામા વિતરણ ધરાવે છે. ઈન્વેન્ટરી મેનેજમેન્ટ (લોજિસ્ટિક્સ)ના આર્થિક અને ગાણિતિક મોડલ્સમાં માંગનું વર્ણન કરવા માટે આ વિતરણ સૌથી વધુ પર્યાપ્ત છે.

ગામા વિતરણ ઘનતાનું સ્વરૂપ છે

સૂત્ર (17) માં સંભાવના ઘનતા ત્રણ પરિમાણો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે a, b, c, ક્યાં a>0, b>0. તે જ સમયે aફોર્મ પેરામીટર છે, b- સ્કેલ પેરામીટર અને સાથે- શિફ્ટ પરિમાણ. પરિબળ 1/Γ(એ)સામાન્ય થઈ રહ્યું છે, તેની રજૂઆત કરવામાં આવી હતી

અહીં Γ(a)- ગણિતમાં વપરાતા વિશેષ કાર્યોમાંથી એક, કહેવાતા "ગામા ફંક્શન", જેના પછી ફોર્મ્યુલા (17) દ્વારા આપવામાં આવેલ વિતરણનું નામ આપવામાં આવ્યું છે,

નિયત પર એફોર્મ્યુલા (17) ઘનતા સાથેના વિતરણ દ્વારા જનરેટ થયેલ વિતરણના સ્કેલ-શિફ્ટ પરિવારનો ઉલ્લેખ કરે છે

(18)

ફોર્મનું વિતરણ (18) પ્રમાણભૂત ગામા વિતરણ કહેવાય છે. તે સૂત્ર (17) પરથી મેળવવામાં આવે છે b= 1 અને સાથે= 0.

માટે ગામા વિતરણનો વિશેષ કેસ એ= 1 ઘાતાંકીય વિતરણો છે (સાથે λ = 1/b). કુદરતી સાથે એઅને સાથે=0 ગામા વિતરણને એર્લાંગ વિતરણ કહેવામાં આવે છે. ડેનિશ વૈજ્ઞાનિક કે.એ. એર્લાંગ (1878-1929), કોપનહેગન ટેલિફોન કંપનીના કર્મચારીના કાર્યોમાંથી, જેમણે 1908-1922 માં અભ્યાસ કર્યો હતો. ટેલિફોન નેટવર્કની કામગીરી, કતાર સિદ્ધાંતનો વિકાસ શરૂ થયો. આ સિદ્ધાંત સિસ્ટમ્સના સંભવિત અને આંકડાકીય મોડેલિંગ સાથે વ્યવહાર કરે છે જેમાં શ્રેષ્ઠ નિર્ણયો લેવા માટે વિનંતીઓનો પ્રવાહ સેવા આપવામાં આવે છે. સાથેએર્લાંગ વિતરણોનો ઉપયોગ એ જ એપ્લિકેશન વિસ્તારોમાં થાય છે જેમાં ઘાતાંકીય વિતરણોનો ઉપયોગ થાય છે. આ નીચેની ગાણિતિક હકીકત પર આધારિત છે: k સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો સમાન પરિમાણો સાથે ઘાતાંકીય રીતે વિતરિત λ અને , આકાર પરિમાણ સાથે ગામા વિતરણ ધરાવે છેk a = b, સ્કેલ પેરામીટર = 1/λ અને શિફ્ટ પેરામીટર kc સાથે. મુ

= 0 આપણે Erlang વિતરણ મેળવીએ છીએ. જો રેન્ડમ ચલએક્સ એઆકાર પરિમાણ સાથે ગામા વિતરણ ધરાવે છે જેમ કે = 2 aડી b= 1 અને સાથે- પૂર્ણાંક, = 0, પછી 2એક્સ જેમ કેસાથે ચી-સ્ક્વેર વિતરણ ધરાવે છે

સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી. જો રેન્ડમ ચલરેન્ડમ ચલ

gvmma વિતરણ સાથે નીચેની લાક્ષણિકતાઓ ધરાવે છે: અપેક્ષાM(X) = + c,

ab ભિન્નતા(જો રેન્ડમ ચલ) = σ 2 = M(X) = 2 ,

ડી

ગામા વિતરણ

ગામા વિતરણ એ બે-પેરામીટર વિતરણ છે. તે વિશ્વસનીયતાના સિદ્ધાંત અને વ્યવહારમાં એકદમ મહત્વપૂર્ણ સ્થાન ધરાવે છે. વિતરણ ઘનતા એક બાજુ () પર મર્યાદિત છે. જો વિતરણ વળાંકના આકારનું પરિમાણ a પૂર્ણાંક મૂલ્ય લે છે, તો આ ઘટનાઓની સમાન સંખ્યાની સંભાવના સૂચવે છે (ઉદાહરણ તરીકે, નિષ્ફળતાઓ)

પૂરી પાડવામાં આવેલ છે કે તેઓ સ્વતંત્ર છે અને સતત તીવ્રતા સાથે દેખાય છે (ફિગ. 4.4 જુઓ).

ગામા વિતરણનો ઉપયોગ વૃદ્ધત્વ તત્વોની નિષ્ફળતા, પુનઃપ્રાપ્તિ સમય અને બિનજરૂરી સિસ્ટમોની નિષ્ફળતાઓ વચ્ચેના સમયને વર્ણવવા માટે વ્યાપકપણે થાય છે. વિવિધ પરિમાણો માટે, ગામા વિતરણ વિવિધ સ્વરૂપો લે છે, જે તેના વ્યાપક ઉપયોગને સમજાવે છે.

ગામા વિતરણની સંભાવના ઘનતા સમાનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

જ્યાં λ > 0, α > 0.

વિતરણ ઘનતા વણાંકો ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યા છે. 4.5.

ચોખા. 4.5.

વિતરણ કાર્ય

અપેક્ષા અને ભિન્નતા અનુક્રમે સમાન છે< 1 интенсивность отказов монотонно убывает, что соответствует периоду приработки изделия, при α >α પર

1 - વધે છે, જે તત્વોના વસ્ત્રો અને વૃદ્ધત્વના સમયગાળા માટે લાક્ષણિક છે. α = 1 પર, ગામા વિતરણ ઘાતાંકીય વિતરણ સાથે મેળ ખાય છે; α > 10 પર, ગામા વિતરણ સામાન્ય નિયમની નજીક આવે છે. જો a મનસ્વી હકારાત્મક પૂર્ણાંકોના મૂલ્યો લે છે, તો આવા ગામા વિતરણ કહેવામાં આવે છેજો λ = 1/2, અને a નું મૂલ્ય 1/2 નો ગુણાંક છે, તો ગામા વિતરણ વિતરણ χ2 ( ચી-ચોરસ).

આંકડાકીય માહિતી ડેટાની પ્રક્રિયાના પરિણામોના આધારે વિશ્વસનીયતા સૂચકોના વિતરણ કાર્યની સ્થાપના

જટિલ સિસ્ટમની વિશ્વસનીયતાની સૌથી સંપૂર્ણ લાક્ષણિકતા છે વિતરણનો કાયદો,તરીકે વ્યક્ત કર્યું વિતરણ કાર્ય, વિતરણ ઘનતાઅથવા વિશ્વસનીયતા કાર્યો.

સૈદ્ધાંતિક વિતરણ કાર્યનું સ્વરૂપ પ્રયોગમૂલક વિતરણ કાર્ય (ફિગ. 4.6) પરથી નક્કી કરી શકાય છે, જે સંબંધથી નક્કી થાય છે.

જ્યાં ટી, -સમય અંતરાલ દીઠ નિષ્ફળતાઓની સંખ્યા t; એન -પરીક્ષણનો અવકાશ; t i < t < t i+1 – સમય અંતરાલ કે જેના પર પ્રયોગમૂલક કાર્ય નક્કી કરવામાં આવે છે.

ચોખા. 4.6.

પ્રયોગમૂલક કાર્ય દરેક સમય અંતરાલ પર મેળવેલા ઇન્ક્રીમેન્ટનો સરવાળો કરીને બનાવવામાં આવે છે:

જ્યાં k -અંતરાલોની સંખ્યા.

પ્રયોગમૂલક વિશ્વસનીયતા કાર્ય વિતરણ કાર્યની વિરુદ્ધ છે; તે સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે

સંભવિત ઘનતાનો અંદાજ હિસ્ટોગ્રામ પરથી મળે છે. હિસ્ટોગ્રામનું બાંધકામ નીચે મુજબ આવે છે. સમય મૂલ્યોની સમગ્ર શ્રેણી tઅંતરાલોમાં વિભાજિત t 1,ટી 2, ..., t i અને તેમાંથી દરેક માટે સંભવિત ઘનતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અંદાજવામાં આવે છે

જ્યાં ટી i – પ્રતિ નિષ્ફળતાઓની સંખ્યા i-મું અંતરાલ, i = 1, 2,..., k; (t i+1 - t i) - સમયનો સમયગાળો i-મી અંતરાલ; એન- પરીક્ષણોનો અવકાશ; k- અંતરાલોની સંખ્યા.

હિસ્ટોગ્રામનું ઉદાહરણ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 4.7.

ચોખા. 4.7.

એક સ્ટેપ હિસ્ટોગ્રામને સ્મૂથ કર્વમાં સ્મૂથ કરવું, પરંતુ તેના દેખાવને રેન્ડમ વેરીએબલના ડિસ્ટ્રિબ્યુશન લો દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે. વ્યવહારમાં, વળાંકને સરળ બનાવવા માટે, ઉદાહરણ તરીકે, ઓછામાં ઓછી ચોરસ પદ્ધતિનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. વિતરણ કાયદાને વધુ સચોટ રીતે સ્થાપિત કરવા માટે, તે જરૂરી છે કે અંતરાલોની સંખ્યા ઓછામાં ઓછી પાંચ હોવી જોઈએ, અને દરેક અંતરાલમાં આવતા અનુભૂતિઓની સંખ્યા ઓછામાં ઓછી દસ હોવી જોઈએ.

વિશ્વસનીયતા પરિભાષાની સમજમાં વિસંગતતાઓ

વિજ્ઞાનના વિવિધ ક્ષેત્રો અને સામાન્ય રીતે માનવીય પ્રવૃત્તિમાં પરિભાષાની સમસ્યા ખૂબ જટિલ છે. તે જાણીતું છે કે શરતો વિશેના વિવાદો ઘણી સદીઓથી ચાલી રહ્યા છે. જો તમે કવિતાઓના અનુવાદો જુઓ, તો તમે આ વિચારની સ્પષ્ટ પુષ્ટિ જોઈ શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, બી.એલ. પેસ્ટર્નક અને પી. P. Gnedich ખૂબ જ અલગ છે. તેમાંથી પ્રથમમાં, દુર્ઘટનાનો અર્થ બીજાથી વિપરીત, શ્લોકના સંગીત કરતાં વધી જાય છે. અને મૂળ "હેમ્લેટ", જે 16મી સદીની ભાષામાં લખાયેલ છે, તે બિન-અંગ્રેજી લોકો માટે અને અંગ્રેજી લોકો માટે પણ સમજવું મુશ્કેલ છે, કારણ કે ભાષા પોતે ઘણી સદીઓથી ખૂબ વિકસિત થઈ છે, જેમ કે, હકીકતમાં, અન્ય કોઈપણ. સિંક્રોનિઝમ-ડિસિંક્રોનિઝમના કાયદા અનુસાર ભાષા.

વિશ્વના ધર્મોમાં સમાન ચિત્ર જોવા મળે છે. ચર્ચ સ્લેવોનિકમાંથી રશિયનમાં બાઇબલનું ભાષાંતર, જે 25 વર્ષ ચાલ્યું, “છૂટાછેડા” (અનુવાદ અટકાવવા સુધી) મોસ્કોના સેન્ટ ફિલારેટ (ડ્રોઝડોવ) અને ચર્ચના સૌથી મોટા લેખક - સેન્ટ થિયોફન ધ રેક્લુઝ (પ્રકાશન) તેમની 42 ગ્રંથોમાં એકત્રિત કૃતિઓ નજીકના ભવિષ્યમાં આયોજન કરવામાં આવી છે). બાઇબલના "પુસ્તકોના પુસ્તક" ના અનુવાદો અને સ્પષ્ટતાઓ લોકોને આપણા વિશ્વમાં જીવનમાં અસંગત દુશ્મનોની છાવણીમાં "સ્થાનાંતરણ" કરે છે. સંપ્રદાયો, વિધર્મીઓ અને નાયકો જન્મે છે, ક્યારેક લોહી પણ વહેતું હોય છે. અને ફિલસૂફીના ક્ષેત્રમાં ઇમૈનુએલ કાન્તના મૂળભૂત કાર્યના રશિયન ભાષામાં અસંખ્ય અનુવાદો, "શુદ્ધ કારણની વિવેચન" ફક્ત વિજ્ઞાનના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં પરિભાષા (સુપર-લાર્જ સિસ્ટમ) ની સમસ્યાની જટિલતા વિશેના અમારા થીસીસની માન્યતાને મજબૂત બનાવે છે અને સામાન્ય રીતે માનવ પ્રવૃત્તિ.

એન્ટિનોમિક ઘટના વિજ્ઞાન અને ટેકનોલોજીના ક્ષેત્રમાં થાય છે. પરિભાષાની શુદ્ધતા અને પર્યાપ્તતા સુનિશ્ચિત કરવાની સમસ્યાનો એક ઉકેલ જી. લીબનિઝ દ્વારા દર્શાવેલ હતો. તે 17મી સદીમાં વિજ્ઞાન અને ટેકનોલોજીના વિકાસના સંદર્ભમાં છે. ડિજિટલ સ્વરૂપમાં (0011...) સાર્વત્રિક ભાષાનો ઉપયોગ કરીને શરતોને વ્યાખ્યાયિત કરીને વિવાદોને સમાપ્ત કરવાનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો છે.

નોંધ કરો કે વિશ્વસનીયતાના વિજ્ઞાનમાં, શરતોને વ્યાખ્યાયિત કરવાની રીત પરંપરાગત રીતે રાજ્ય સ્તરે રાજ્ય ધોરણો (GOSTs) ની મદદથી નક્કી કરવામાં આવે છે. જો કે, વધુને વધુ બુદ્ધિશાળી તકનીકી પ્રણાલીઓનો ઉદભવ, તેમાં કાર્યરત જીવંત અને નિર્જીવ પદાર્થોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા અને મેળાપ, શિક્ષણ શાસ્ત્ર અને મનોવિજ્ઞાનમાં શીખવવા માટે નવા, ખૂબ જ મુશ્કેલ કાર્યો રજૂ કરે છે, અને અમને સર્જનાત્મક સમાધાન ઉકેલો શોધવા માટે દબાણ કરે છે.

એક પરિપક્વ કર્મચારી કે જેમણે ચોક્કસ વૈજ્ઞાનિક ક્ષેત્રમાં અને ખાસ કરીને વિશ્વસનીયતાના ક્ષેત્રમાં કામ કર્યું છે, પરિભાષાના મુદ્દાઓની સુસંગતતા શંકાની બહાર છે. જેમ ગોટફ્રાઈડ વિલ્હેમ લીબનીઝે લખ્યું છે (એક સાર્વત્રિક ભાષાના નિર્માણ પરના તેમના કાર્યમાં), જો શરતોને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો ઓછો વિવાદ થશે.

અમે નીચેની ટિપ્પણીઓ દ્વારા વિશ્વસનીયતા પરિભાષાની સમજણમાં વિસંગતતાઓને સરળ બનાવવાનો પ્રયાસ કરીશું.

અમે "ઓપરેશન" અથવા "નિષ્ફળતા" શબ્દને બાદ કરતા "વિતરણ કાર્ય" (DF) કહીએ છીએ. ઓપરેટિંગ સમય મોટાભાગે સમયની શ્રેણી તરીકે સમજવામાં આવે છે. રિપેર ન કરી શકાય તેવી સિસ્ટમો માટે, તે કહેવું વધુ યોગ્ય છે - નિષ્ફળતાનો અભિન્ન FR સમય, અને પુનઃપ્રાપ્ત કરી શકાય તેવી સિસ્ટમો માટે - નિષ્ફળતાનો સમય. અને કારણ કે ઓપરેટિંગ સમયને મોટાભાગે રેન્ડમ ચલ તરીકે સમજવામાં આવે છે, નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરી (FBO) અને (1 – FR) ની સંભાવનાની ઓળખ માટે, આ કિસ્સામાં વિશ્વસનીયતા કાર્ય (RF) તરીકે ઓળખાય છે. આ અભિગમની અખંડિતતા ઘટનાઓના સંપૂર્ણ જૂથ દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે. પછી

FBG = FN = 1 – FR.

આ જ વિતરણ ઘનતા (DP) માટે સાચું છે, જે DF નું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન છે, ખાસ કરીને સમયના સંદર્ભમાં, અને, અલંકારિક રીતે કહીએ તો, નિષ્ફળતાઓની ઘટનાના "દર" નું લક્ષણ છે.

વર્તણૂક સ્થિરતાની ગતિશીલતા સહિત, ઉત્પાદનની વિશ્વસનીયતાના વર્ણનની સંપૂર્ણતા (ખાસ કરીને, એકલ-ઉપયોગ ઉત્પાદનો માટે), PR થી FBG ના ગુણોત્તર દ્વારા નિષ્ફળતા દર દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે અને શારીરિક રીતે તેને ફેરફાર તરીકે સમજવામાં આવે છે. ઉત્પાદનની સ્થિતિ, અને ગાણિતિક રીતે તે નિષ્ફળતાના પ્રવાહના ખ્યાલ અને નિષ્ફળતાઓ (સ્થિરતા, સામાન્યતા, વગેરે) ના સંબંધમાં સંખ્યાબંધ ધારણાઓ દ્વારા કતાર સિદ્ધાંતમાં રજૂ કરવામાં આવે છે.

ઉત્પાદન ડિઝાઇનના તબક્કે વિશ્વસનીયતા સૂચકાંકો પસંદ કરતી વખતે ઉદ્ભવતા આ મુદ્દાઓમાં રસ ધરાવતા લોકોને A. M. Polovko, B. V. Gnedenko, B. R. Levin - A. N. Kolmogorov ની આગેવાની હેઠળની મોસ્કો યુનિવર્સિટીની વિશ્વસનીયતા પ્રયોગશાળાના વતની જેવા પ્રખ્યાત લેખકોની કૃતિઓનો ઉલ્લેખ કરી શકાય છે. , તેમજ A. Ya. Khinchin, E. S. Ventsel, I. A. Ushakova, G. V. Druzhinina, A. D. Solovyova, F. Bayhelt, F. Proshan - વિશ્વસનીયતાના આંકડાકીય સિદ્ધાંતના સ્થાપકો.

• સેમી.: કોલમોગોરોવ એ. એન.સંભાવના સિદ્ધાંતની મૂળભૂત વિભાવનાઓ. એમ.: મીર, 1974.

આ લેખ ફોર્મ્યુલા સિન્ટેક્સ અને ફંક્શનના ઉપયોગનું વર્ણન કરે છે GAMMA.DIST. Microsoft Excel માં.

ગામા વિતરણ પરત કરે છે. આ ફંક્શનનો ઉપયોગ વેરિયેબલનો અભ્યાસ કરવા માટે થઈ શકે છે કે જેમાં ત્રાંસી વિતરણ હોય છે. ક્યુઇંગ સિસ્ટમ્સના વિશ્લેષણમાં ગામા વિતરણનો વ્યાપક ઉપયોગ થાય છે.

વાક્યરચના

GAMMA.DIST(x;alpha;beta;Integral)

GAMMA.DIST ફંક્શનની દલીલો નીચે વર્ણવેલ છે.

x- જરૂરી દલીલ. મૂલ્ય કે જેના માટે તમે વિતરણની ગણતરી કરવા માંગો છો.

આલ્ફા- જરૂરી દલીલ. વિતરણ પરિમાણ.

બેટા- જરૂરી દલીલ. વિતરણ પરિમાણ. જો બીટા = 1, GAMMA.DIST પ્રમાણભૂત ગામા વિતરણ પરત કરે છે.

અભિન્ન- જરૂરી દલીલ. બુલિયન મૂલ્ય કે જે ફંક્શનના સ્વરૂપને સ્પષ્ટ કરે છે. જો સંચિત સાચું હોય, તો GAMMA.DIST સંચિત વિતરણ કાર્ય પરત કરે છે; જો આ દલીલ FALSE છે, તો સંભાવના ઘનતા કાર્ય પરત કરવામાં આવે છે.

નોંધો

ઉદાહરણ

નીચેના કોષ્ટકમાંથી નમૂના ડેટાની નકલ કરો અને તેને નવી એક્સેલ વર્કશીટના સેલ A1 માં પેસ્ટ કરો. સૂત્રોના પરિણામો દર્શાવવા માટે, તેમને પસંદ કરો અને F2 દબાવો, પછી Enter દબાવો. જો જરૂરી હોય તો, તમામ ડેટા જોવા માટે કૉલમની પહોળાઈ બદલો.

ગામા વિતરણનો સૌથી સરળ પ્રકાર ઘનતા સાથેનું વિતરણ છે

જ્યાં - શિફ્ટ પેરામીટર, - ગામા ફંક્શન, એટલે કે.

(2)

દરેક વિતરણને સ્કેલ-શિફ્ટ પરિવારમાં "વિસ્તૃત" કરી શકાય છે. ખરેખર, વિતરણ કાર્ય ધરાવતા રેન્ડમ ચલ માટે, રેન્ડમ ચલોના કુટુંબને ધ્યાનમાં લો , સ્કેલ પેરામીટર ક્યાં છે અને શિફ્ટ પેરામીટર છે. પછી વિતરણ કાર્ય છે .

સ્કેલ-શિફ્ટ પરિવારમાં ફોર્મ (1) ની ઘનતા સાથેના દરેક વિતરણનો સમાવેશ કરીને, અમે કુટુંબના પરિમાણીકરણમાં સ્વીકૃત ગામા વિતરણો મેળવીએ છીએ:

અહીં - આકાર પેરામીટર, - સ્કેલ પેરામીટર, - શિફ્ટ પેરામીટર, ગામા ફંક્શન ફોર્મ્યુલા (2) દ્વારા આપવામાં આવે છે.

સાહિત્યમાં અન્ય પરિમાણો છે. તેથી, પરિમાણને બદલે, પરિમાણનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે . કેટલીકવાર બે-પેરામીટર કુટુંબ ગણવામાં આવે છે, શિફ્ટ પેરામીટરને બાદ કરતાં, પરંતુ સ્કેલ પેરામીટર અથવા તેના એનાલોગને જાળવી રાખીને - પેરામીટર . કેટલીક લાગુ સમસ્યાઓ માટે (ઉદાહરણ તરીકે, તકનીકી ઉપકરણોની વિશ્વસનીયતાનો અભ્યાસ કરતી વખતે), આ વાજબી છે, કારણ કે નોંધપાત્ર વિચારણાઓથી તે સ્વીકારવું સ્વાભાવિક લાગે છે કે સંભાવના વિતરણ ઘનતા દલીલના સકારાત્મક મૂલ્યો માટે અને ફક્ત તેમના માટે હકારાત્મક છે. આ ધારણા 80 ના દાયકામાં "નિર્ધારિત વિશ્વસનીયતા સૂચકાંકો" વિશેની લાંબા ગાળાની ચર્ચા સાથે સંકળાયેલી છે, જેના પર આપણે ધ્યાન આપીશું નહીં.

ચોક્કસ પરિમાણ મૂલ્યો માટે ગામા વિતરણના વિશિષ્ટ કેસોમાં વિશેષ નામો હોય છે. જ્યારે આપણી પાસે ઘાતાંકીય વિતરણ હોય છે. કુદરતી ગામા વિતરણ એ એર્લાંગ વિતરણ છે, ખાસ કરીને, કતાર સિદ્ધાંતમાં વપરાય છે. જો રેન્ડમ ચલમાં આકાર પરિમાણ સાથે ગામા વિતરણ હોય તો પૂર્ણાંક છે, અને, સ્વતંત્રતા વિતરણની ચી-સ્ક્વેર ડિગ્રી ધરાવે છે.

ગામા વિતરણની એપ્લિકેશનો

ગામા વિતરણ તકનીકી વિજ્ઞાનના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં (ખાસ કરીને, વિશ્વસનીયતા અને પરીક્ષણ સિદ્ધાંત), હવામાનશાસ્ત્ર, દવા અને અર્થશાસ્ત્રમાં વ્યાપક એપ્લિકેશન ધરાવે છે. ખાસ કરીને, ગામા વિતરણ ઉત્પાદનની કુલ સેવા જીવન, વાહક ધૂળના કણોની સાંકળની લંબાઈ, કાટ દરમિયાન ઉત્પાદન મર્યાદા સ્થિતિમાં પહોંચે તે સમય, kth નિષ્ફળતા સુધીનો સમય વગેરેને આધીન હોઈ શકે છે. . ક્રોનિક રોગોવાળા દર્દીઓની આયુષ્ય અને કેટલાક કિસ્સાઓમાં સારવાર દરમિયાન ચોક્કસ અસર હાંસલ કરવાનો સમય ગામા વિતરણ ધરાવે છે. ઈન્વેન્ટરી મેનેજમેન્ટના સંખ્યાબંધ આર્થિક અને ગાણિતિક મોડલ્સમાં માંગનું વર્ણન કરવા માટે આ વિતરણ સૌથી પર્યાપ્ત હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

સંખ્યાબંધ લાગુ સમસ્યાઓમાં ગામા વિતરણનો ઉપયોગ કરવાની સંભાવનાને કેટલીકવાર પ્રજનનક્ષમતા ગુણધર્મ દ્વારા ન્યાયી ઠેરવી શકાય છે: સમાન પરિમાણ સાથે સ્વતંત્ર ઘાતાંકીય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો આકાર અને સ્કેલના પરિમાણો સાથે ગામા વિતરણ ધરાવે છે. અને શિફ્ટ. તેથી, ગામા વિતરણનો ઉપયોગ તે એપ્લિકેશન વિસ્તારોમાં થાય છે જે ઘાતાંકીય વિતરણનો ઉપયોગ કરે છે.

ગામા વિતરણને લગતા આંકડાકીય સિદ્ધાંતના વિવિધ પ્રશ્નો માટે સેંકડો પ્રકાશનો સમર્પિત છે (સારાંશ જુઓ). આ લેખ, જે વ્યાપક હોવાનો દાવો કરતો નથી, તે રાજ્યના ધોરણના વિકાસ સાથે સંકળાયેલી કેટલીક ગાણિતિક અને આંકડાકીય સમસ્યાઓની જ તપાસ કરે છે.

2. નિર્ણય લેવાની થિયરીમાં અનિશ્ચિતતાઓનું વર્ણન

2.3.4. પરિમાણ અંદાજ સમસ્યાઓમાં અંતરાલ ડેટા (ગામા વિતરણના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને)

ચાલો આપણે પેરામેટ્રિક અંદાજની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ જે લાગુ ગાણિતિક આંકડાઓમાં ઉત્તમ છે. પ્રારંભિક ડેટા - નમૂના x1 , x 2 , ..., x n, સમાવેશ થાય છે nવાસ્તવિક સંખ્યાઓ. સરળ રેન્ડમ નમૂનાના સંભવિત મોડેલમાં, તેના ઘટકો x 1 , x 2 , ..., x nઅમલીકરણનો સમૂહ ગણવામાં આવે છે n સ્વતંત્ર સમાન રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલો. અમે ધારીશું કે આ જથ્થામાં ઘનતા છે f (x). પેરામેટ્રિક આંકડાકીય સિદ્ધાંતમાં એવું માનવામાં આવે છે કે ઘનતા f (x) મર્યાદિત-પરિમાણીય પરિમાણ સુધી જાણીતું છે, એટલે કે. , અમુક સમયે, આ, અલબત્ત, એક ખૂબ જ મજબૂત ધારણા છે જેને સમર્થન અને ચકાસણીની જરૂર છે; જો કે, પેરામેટ્રિક અંદાજ સિદ્ધાંત હવે વિવિધ એપ્લિકેશન વિસ્તારોમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે.

બધા અવલોકન પરિણામો અમુક ચોકસાઈ સાથે નક્કી કરવામાં આવે છે, ખાસ કરીને, તેઓ નોંધપાત્ર આંકડાઓની મર્યાદિત સંખ્યામાં (સામાન્ય રીતે 2 - 5) નો ઉપયોગ કરીને રેકોર્ડ કરવામાં આવે છે. પરિણામે, નિરીક્ષણ પરિણામોના તમામ વાસ્તવિક વિતરણો અલગ છે.

સામાન્ય રીતે એવું માનવામાં આવે છે કે સતત વિતરણો દ્વારા આ અલગ વિતરણો એકદમ સારી રીતે અંદાજવામાં આવે છે. આ નિવેદનની સ્પષ્ટતા કરતા, અમે પહેલાથી જ ધ્યાનમાં લેવાયેલા મોડેલ પર પહોંચીએ છીએ, જે મુજબ માત્ર આંકડાઓ માટે જથ્થાઓ ઉપલબ્ધ છે. = y જે + x જે

j, j = 1, 2, ... , n, જ્યાં x i "સાચું" મૂલ્યો છે, અવલોકન ભૂલો (સેમ્પલિંગ ભૂલો સહિત). સંભવિત મોડેલમાં આપણે તે ધારીએ છીએ n

વરાળ x1 , x 2 , ..., x nકેટલાક દ્વિ-પરિમાણીય વિતરણમાંથી એક સરળ રેન્ડમ નમૂના બનાવો, અને - ઘનતા સાથે વિતરણમાંથી નમૂના લેવા . તે ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે કે અને આશ્રિત રેન્ડમ ચલોની અનુભૂતિ છે (જો આપણે તેમને સ્વતંત્ર ગણીએ, તો વિતરણ યી

ચાલો ભૂલની તીવ્રતાની લાક્ષણિકતા હોઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, સરેરાશ ચોરસ ભૂલ. શાસ્ત્રીય ગાણિતિક આંકડાઓમાં તેને નિયત નમૂનાના કદ માટે નગણ્ય () ગણવામાં આવે છે જ્યાં x i "સાચું" મૂલ્યો છે, અવલોકન ભૂલો (સેમ્પલિંગ ભૂલો સહિત). સંભવિત મોડેલમાં આપણે તે ધારીએ છીએ. સામાન્ય પરિણામો એસિમ્પ્ટોટિક્સમાં સાબિત થાય છે. આમ, શાસ્ત્રીય ગાણિતિક આંકડાઓમાં, મર્યાદા સુધીનો માર્ગ પ્રથમ કરવામાં આવે છે, અને પછી મર્યાદામાં પસાર થાય છે. અંતરાલ ડેટાના આંકડાઓમાં, અમે ધારીએ છીએ કે નમૂનાનું કદ ખૂબ મોટું છે (), પરંતુ તમામ માપો સમાન ભૂલ લાક્ષણિકતાને અનુરૂપ છે. અમે મર્યાદા પ્રમેય મેળવીએ છીએ જે વાસ્તવિક ડેટાનું વિશ્લેષણ કરવા માટે ઉપયોગી છે જ્યારે. અંતરાલ ડેટાના આંકડાઓમાં, મર્યાદા સુધીનો માર્ગ પ્રથમ કરવામાં આવે છે, અને પછી મર્યાદા સુધીનો માર્ગ. તેથી, બંને સિદ્ધાંતો સમાન બે મર્યાદા માર્ગોનો ઉપયોગ કરે છે: અને , પરંતુ અલગ ક્રમમાં.

બંને સિદ્ધાંતોના દાવાઓ મૂળભૂત રીતે અલગ છે.

નીચેની રજૂઆત ગામા વિતરણના પરિમાણોના અંદાજના ઉદાહરણ પર આધારિત છે, જો કે સમાન પરિણામો અન્ય પેરામેટ્રિક પરિવારો માટે તેમજ પૂર્વધારણા પરીક્ષણ સમસ્યાઓ (નીચે જુઓ) વગેરે માટે મેળવી શકાય છે. અમારો ધ્યેય અંતરાલ આંકડાકીય અભિગમની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ દર્શાવવાનો છે. તેના વિકાસને GOST 11.011-83 ની તૈયારી દ્વારા ઉત્તેજિત કરવામાં આવ્યો હતો. x = (x 1 , x 2 , ..., નોંધ કરો કે બિન-સંખ્યાત્મક પ્રકૃતિના પદાર્થો માટે આંકડાઓની રચના સ્થિરતાના સામાન્ય સિદ્ધાંતમાં અપનાવવામાં આવેલા અભિગમને અનુરૂપ છે. આ અભિગમ મુજબ, નમૂના ) x n અનુમતિપાત્ર વિચલનોનો સમૂહ મેળ ખાય છે(x), જી તે અવલોકન પરિણામોના વેક્ટરના સંભવિત મૂલ્યોનો સમૂહ = (તે અવલોકન પરિણામોના વેક્ટરના સંભવિત મૂલ્યોનો સમૂહ 1 , તે અવલોકન પરિણામોના વેક્ટરના સંભવિત મૂલ્યોનો સમૂહ 2 , ..., y ). y n

જો તે જાણીતું છે કે માપન પરિણામોની સંપૂર્ણ ભૂલ ઓળંગતી નથી, તો અનુમતિપાત્ર વિચલનોના સમૂહનું સ્વરૂપ છે

જો તે જાણીતું છે કે સંબંધિત ભૂલ ઓળંગતી નથી, તો અનુમતિપાત્ર વિચલનોનો સમૂહ ફોર્મ ધરાવે છે

સ્થિરતા સિદ્ધાંત "સૌથી ખરાબ" વિચલનોને ધ્યાનમાં લેવાનું શક્ય બનાવે છે, એટલે કે. મિનિમેક્સ-પ્રકારના નિષ્કર્ષો તરફ દોરી જાય છે, જ્યારે ચોક્કસ ભૂલ મોડલ એકને "સરેરાશ" આંકડાઓની વર્તણૂક વિશે તારણો કાઢવાની મંજૂરી આપે છે.ગામા વિતરણ પરિમાણોનો અંદાજ.

જ્યાં a જેમ જાણીતું છે, રેન્ડમ ચલ X ગામા વિતરણ ધરાવે છે જો તેની ઘનતા નીચે મુજબ છે: b- આકાર પરિમાણ,

- સ્કેલ પેરામીટર, - ગામા ફંક્શન. નોંધ કરો કે ગામા વિતરણના પરિવારને પરિમાણિત કરવાની અન્ય રીતો છે.(જો રેન્ડમ ચલ) = M(X) =, ભિન્નતા(જો રેન્ડમ ચલ) = M(X) = 2 , ત્યારથી

એમ પછી પદ્ધતિના અંદાજો ફોર્મ ધરાવે છે 2 નમૂનાનો અંકગણિત સરેરાશ ક્યાં છે, અને જ્યાં x i "સાચું" મૂલ્યો છે, અવલોકન ભૂલો (સેમ્પલિંગ ભૂલો સહિત). સંભવિત મોડેલમાં આપણે તે ધારીએ છીએ

s

- નમૂના તફાવત. તે મોટા માટે બતાવી શકાય છે a * ઉચ્ચ ક્રમના અનંત સુધી.

(12)

ફંક્શનનું વ્યસ્ત કાર્ય ક્યાં છે

મોટા પ્રમાણમાં જ્યાં x i "સાચું" મૂલ્યો છે, અવલોકન ભૂલો (સેમ્પલિંગ ભૂલો સહિત). સંભવિત મોડેલમાં આપણે તે ધારીએ છીએ

ક્ષણોના અંદાજની પદ્ધતિની જેમ, મહત્તમ સંભાવના અંદાજકર્તા b * સ્કેલ પેરામીટર ફોર્મ ધરાવે છે

મોટા પ્રમાણમાં જ્યાં x i "સાચું" મૂલ્યો છે, અવલોકન ભૂલો (સેમ્પલિંગ ભૂલો સહિત). સંભવિત મોડેલમાં આપણે તે ધારીએ છીએઉચ્ચ ક્રમના અનંત સુધી

ગામા ફંક્શનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, તે મોટા માટે બતાવી શકાય છે એ

ઉચ્ચ ક્રમના અનંત સુધી. સૂત્રો (11) સાથે સરખામણી કરતાં, અમને ખાતરી છે કે ક્ષણોના અંદાજની પદ્ધતિ માટે સરેરાશ ચોરસ ભૂલો મહત્તમ સંભાવના અંદાજો માટે અનુરૂપ સરેરાશ ચોરસ ભૂલો કરતાં વધુ છે.

આમ, શાસ્ત્રીય ગાણિતિક આંકડાઓના દૃષ્ટિકોણથી, મહત્તમ સંભાવના અંદાજકારોને ક્ષણોના અંદાજની પદ્ધતિ પર ફાયદો છે.માપનની ભૂલોને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે.

ચાલો મૂકીએ

ફંક્શનના ગુણધર્મો પરથી તે અનુસરે છે કે નાના v માટે a* મહત્તમ સંભાવના અંદાજની સુસંગતતાને કારણે

સૂત્ર (13) માંથી તે સંભવિતતા અનુસાર પર અનુસરે છે ઇન્ટરવલ ડેટા સ્ટેટિસ્ટિક્સ મોડલ મુજબ, અવલોકનોનાં પરિણામો નથી x i , એ y i , તેના બદલેવિ

(14)

વાસ્તવિક ડેટાના આધારે ગણતરી

મોટી સંખ્યાઓના કાયદાના આધારે, પૂરતી નાની ભૂલ સાથે, જે સૂત્ર (14) માં શરતો માટે અંદાજની શક્યતા પૂરી પાડે છે, અથવા, સમકક્ષ, સૂત્ર (1) માં પૂરતી નાની મહત્તમ સંપૂર્ણ ભૂલ અથવા પૂરતા પ્રમાણમાં નાની મહત્તમ સંબંધિત ભૂલ, અમારી પાસે છે

સંભાવના દ્વારા (ધારી રહ્યા છીએ કે બધી ભૂલો સમાન રીતે વિતરિત કરવામાં આવી છે). a*(તે અવલોકન પરિણામોના વેક્ટરના સંભવિત મૂલ્યોનો સમૂહ) આમ, ભૂલોની હાજરી એ પાળીનો પરિચય આપે છે જે, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, નમૂનાનું કદ વધવાથી અદૃશ્ય થતું નથી. તેથી, જો પછી મહત્તમ સંભાવના અંદાજ માન્ય નથી. અમારી પાસે છે ઇન્ટરવલ ડેટા સ્ટેટિસ્ટિક્સ મોડલ મુજબ, અવલોકનોનાં પરિણામો નથીમૂલ્ય ક્યાં છે , એ, i=1,2,…,જ્યાં x i "સાચું" મૂલ્યો છે, અવલોકન ભૂલો (સેમ્પલિંગ ભૂલો સહિત). સંભવિત મોડેલમાં આપણે તે ધારીએ છીએરિપ્લેસમેન્ટ સાથે ફોર્મ્યુલા (12) દ્વારા નિર્ધારિત

પર એ.

. સૂત્ર (13) થી તે અનુસરે છે , તેના બદલેતે માપન ભૂલોનો પ્રભાવ વધે છે માટેના સૂત્રોમાંથીઅને

(16)

ડબલ્યુ માટેના સૂત્રોમાંથીતે તેને અનુસરે છે, ઉચ્ચ ક્રમના અસંખ્ય લોકો સુધી , તેના બદલેએસિમ્પ્ટોટિક વિતરણ શોધવા માટે

અમે ફોર્મ્યુલા (16) અને ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને પસંદ કરીએ છીએ માટેના સૂત્રોમાંથી, અનુરૂપ શરતોમાં મુખ્ય શરતો જ્યાં x i "સાચું" મૂલ્યો છે, અવલોકન ભૂલો (સેમ્પલિંગ ભૂલો સહિત). સંભવિત મોડેલમાં આપણે તે ધારીએ છીએઆમ, મૂલ્ય , તેના બદલેઅને માટેના સૂત્રોમાંથીસ્વતંત્ર સમાન રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલોના સરવાળા તરીકે પ્રસ્તુત (કેસ-આધારિત અવશેષ અવધિ ઓર્ડર 1/ સુધી

). દરેક શબ્દમાં, બે ભાગોને અલગ પાડવામાં આવે છે - એક MB ને અનુરૂપ અને બીજો, જેમાં પ્રતિનિધિત્વના આધારે (17) નો સમાવેશ થાય છે, તે બતાવી શકાય છે કે જ્યારે રેન્ડમ ચલોનું વિતરણ , તેના બદલેઅને માટેના સૂત્રોમાંથી, મહત્તમ સંભાવના અંદાજના એસિમ્પ્ટોટિક વિતરણ (એટ) ના પરિમાણોનો પ્રકાર a* અને સૂત્ર (15) અંતરાલ ડેટાના આંકડાઓના મુખ્ય સંબંધોમાંથી એક નીચે મુજબ છે:

(18)

સંબંધ (18) અસંગતતા વિશેના નિવેદનને સ્પષ્ટ કરે છે a*. તે એ પણ અનુસરે છે કે નમૂનાના કદને અનિશ્ચિત રૂપે વધારવાનો કોઈ અર્થ નથી જ્યાં x i "સાચું" મૂલ્યો છે, અવલોકન ભૂલો (સેમ્પલિંગ ભૂલો સહિત). સંભવિત મોડેલમાં આપણે તે ધારીએ છીએપરિમાણ અંદાજની ચોકસાઈ વધારવા માટે એ, કારણ કે આ કિસ્સામાં (18) માં માત્ર બીજી અવધિ ઘટે છે, જ્યારે પ્રથમ સ્થિર રહે છે.

ઇન્ટરવલ ડેટાના આંકડાઓ માટેના સામાન્ય અભિગમ અનુસાર, સ્ટાન્ડર્ડ સૂત્ર (18) માં વિવિધ પ્રકારની "સમાનતા ભૂલો" (મોનોગ્રાફમાં સૂચિત) ની સ્થિતિથી તર્કસંગત નમૂનાનું કદ n ઉંદર નક્કી કરવાની દરખાસ્ત કરે છે, એટલે કે. શરત થી

ધારણા હેઠળ આ સમીકરણને સરળ બનાવવાથી આપણને તે મળે છે

ઉપરોક્ત મુજબ, માત્ર વોલ્યુમો સાથેના નમૂનાઓનો ઉપયોગ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

તર્કસંગત નમૂનાના કદને ઓળંગવાથી અંદાજની ચોકસાઈમાં નોંધપાત્ર વધારો થતો નથી.સ્થિરતા સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ.

ચાલો એસિમ્પ્ટોટિક નોંધ શોધીએ. ફોર્મ્યુલા (17) માં મુખ્ય રેખીય શબ્દના સ્વરૂપમાંથી નીચે મુજબ, ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાનો ઉકેલ

સંપૂર્ણ ભૂલો પરના પ્રતિબંધોને અનુરૂપ, ફોર્મ ધરાવે છે જો કે, જોડીઓ એક સરળ રેન્ડમ નમૂનાની રચના કરતા નથી, કારણ કે સમાવવા માટે અભિવ્યક્તિઓમાં. જો કે, જ્યારે દ્વારા બદલી શકાય છેM( x 1).

પછી આપણે તે મેળવીએ છીએ aખાતે

>1, ક્યાં

આમ, ઉચ્ચ ક્રમના અસંખ્ય સુધી, સંગીતના સંકેતનું સ્વરૂપ હોય છે એચાલો પ્રાપ્ત પરિણામોને આત્મવિશ્વાસના અંતરાલોના નિર્માણમાં લાગુ કરીએ. શાસ્ત્રીય ગાણિતિક આંકડાઓની રચનામાં (એટલે ​​​​કે, પર) આકાર પરિમાણ માટે વિશ્વાસ અંતરાલ

, આત્મવિશ્વાસની સંભાવનાને અનુરૂપ, ફોર્મ ધરાવે છે

ગાણિતિક અપેક્ષા 0 અને ભિન્નતા 1 સાથે પ્રમાણભૂત સામાન્ય વિતરણના ક્રમનું પરિમાણ ક્યાં છે,

અંતરાલ ડેટા માટે આંકડાઓ ઘડતી વખતે (એટલે ​​​​કે, ક્યારે) વ્યક્તિએ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ ધ્યાનમાં લેવો જોઈએ

સંભવિત રચનામાં (જોડીઓ એક સરળ રેન્ડમ નમૂના બનાવે છે) અને ઑપ્ટિમાઇઝેશન ફોર્મ્યુલેશનમાં. સંભવિત અને ઑપ્ટિમાઇઝેશન બંને ફોર્મ્યુલેશનમાં, જ્યારે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની લંબાઈ 0 થતી નથી સાથે જો મહત્તમ સંબંધિત ભૂલ પર નિયંત્રણો લાદવામાં આવે છે, તો મૂલ્ય આપવામાં આવે છે, પછી મૂલ્ય

નીચેના અંદાજિત ગણતરી નિયમોનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે.

(II) ઉત્પાદન અને ભાગની સાપેક્ષ ભૂલ એ પરિબળોની સંબંધિત ભૂલોના સરવાળા અથવા અનુક્રમે, ડિવિડન્ડ અને વિભાજકની સમાન છે.

તે બતાવી શકાય છે કે, સંબંધિત ભૂલ પ્રતિબંધો સાથે અંતરાલ ડેટા આંકડાઓના માળખામાં, નિયમો (I) અને (II) કડક નિવેદનો છે જ્યારે

ચાલો ચોક્કસ જથ્થાની સંબંધિત ભૂલ સૂચવીએ tઓપી દ્વારા( t), સંપૂર્ણ ભૂલ - એપી દ્વારા( t).

નિયમ (I) થી તે OP() = , અને નિયમ (II) થી તે અનુસરે છે

ચેબીશેવની અસમાનતાના આધારે, તે સમયે વિચારણા હાથ ધરવામાં આવી હતી

(19) માં અંશ અને છેદ બંને વચ્ચેની સંભાવના દ્વારા અંતરાલમાં 1 ની નજીકની સંભાવના સાથે જ્યાં ઉલ્લેખિત ચેબીશેવ અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીને સ્થિર d નક્કી કરી શકાય છે.

કારણ કે, જો (19) સાચું છે, તો ઉચ્ચ ક્રમના અનંત સુધી

પછી અમારી પાસેના છેલ્લા ત્રણ સંબંધોનો ઉપયોગ કરીને

(20)

ચાલો અંદાજિત ગણતરીઓનો એક વધુ નિયમ લાગુ કરીએ.

(III) રકમની મહત્તમ સંપૂર્ણ ભૂલ એ શરતોની મહત્તમ સંપૂર્ણ ભૂલોના સરવાળા જેટલી છે.

(20) અને નિયમ (III) માંથી તે તેને અનુસરે છે

(15) અને (21) માંથી તે તેને અનુસરે છે

અહીંથી, રિપ્લેસમેન્ટ સાથેના તર્કસંગત નમૂનાના કદ માટે અગાઉ મેળવેલ સૂત્ર અનુસાર, અમે તે મેળવીએ છીએ

ખાસ કરીને, જ્યારે a= 5.00, = 0.01 આપણે મેળવીએ છીએ એટલે કે. એવી પરિસ્થિતિમાં કે જેમાં કટરના ઓપરેટિંગ સમયની મર્યાદાની સ્થિતિમાં ડેટા મેળવવામાં આવ્યો હતો, તે 50 થી વધુ અવલોકનો કરવા માટે અતાર્કિક છે.

અગાઉના વિચારણાઓ અનુસાર, માટે એસિમ્પ્ટોટિક આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ a, આત્મવિશ્વાસની સંભાવના = 0.95 ને અનુરૂપ, ફોર્મ ધરાવે છે

ખાસ કરીને, જ્યારે તેની જગ્યાએ અમારી પાસે એસિમ્પ્ટોટિક કોન્ફિડન્સ અંતરાલ છે

મોટા પ્રમાણમાં એફોર્મ્યુલા (19) મેળવતી વખતે આપવામાં આવેલી વિચારણાઓને લીધે, અવલોકન પરિણામોની સંબંધિત અને સંપૂર્ણ ભૂલોને સાંકળી શકાય છે. ઇન્ટરવલ ડેટા સ્ટેટિસ્ટિક્સ મોડલ મુજબ, અવલોકનોનાં પરિણામો નથી :

(21)

તેથી, મોટા માટે એઅમારી પાસે છે

આમ, હાથ ધરવામાં આવેલી દલીલોએ જથ્થાને વ્યાખ્યાયિત કરતા અભિન્નતાના અસમપ્રમાણ વર્તનની ગણતરી કરવાનું શક્ય બનાવ્યું. એ.

આકારણી પદ્ધતિઓની સરખામણી.ચાલો ક્ષણોની પદ્ધતિના અંદાજ પર માપન ભૂલો (સંપૂર્ણ ભૂલ પર પ્રતિબંધો સાથે) ના પ્રભાવનો અભ્યાસ કરીએ.

અમારી પાસે છે પછી પદ્ધતિના અંદાજો ફોર્મ ધરાવે છે 2 ભૂલ પછી પદ્ધતિના અંદાજો ફોર્મ ધરાવે છે 2 ગણતરી પદ્ધતિ પર આધાર રાખે છે

(22)

. જો સૂત્ર વપરાય છે

a* ના અંદાજ પર ભૂલોના પ્રભાવના વિશ્લેષણની તુલનામાં, અહીં એક નવો મુદ્દો ઉભો થાય છે - અનુમાનિત પરિમાણમાંથી અંદાજના વિચલનના રેન્ડમ ઘટકમાં ભૂલોને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે, જ્યારે મહત્તમ સંભાવનાને ધ્યાનમાં લેતી વખતે અંદાજ, ભૂલો માત્ર પૂર્વગ્રહ પ્રદાન કરે છે. ચાલો ચેબીશેવની અસમાનતા અનુસાર સ્વીકારીએ

(23)

જો તમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને s 2 ની ગણતરી કરો છો

(24)

પછી સમાન ગણતરીઓ તે આપે છે

તે મોટા પ્રમાણમાં ભૂલ એનોંધપાત્ર રીતે વધુ. સૂત્રો (22) અને (24) ની જમણી બાજુઓ સમાનરૂપે સમાન હોવા છતાં, આ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીની ભૂલો ખૂબ જ અલગ છે. આ એ હકીકતને કારણે છે કે ફોર્મ્યુલા (24) માં છેલ્લું ઑપરેશન એ બે મોટી સંખ્યાઓનો તફાવત શોધવાનું છે, મૂલ્યમાં લગભગ સમાન (આકાર પરિમાણના મોટા મૂલ્ય સાથે ગામા વિતરણમાંથી નમૂના માટે).

પ્રાપ્ત પરિણામો પરથી તે નીચે મુજબ છે

આ સૂત્ર મેળવતી વખતે, ભૂલોના પ્રભાવના રેખીયકરણનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો (મુખ્ય રેખીય શબ્દ પસંદ કરીને). સંપૂર્ણ અને સંબંધિત ભૂલો વચ્ચેના સંબંધ (21) નો ઉપયોગ કરીને, આપણે લખી શકીએ છીએ

આ સૂત્ર આપેલ કરતાં અલગ છે

એ

b) અંદાજની ચોકસાઈ વધારવા માટે, મર્યાદા વિના નમૂનાનું કદ વધારવાની સલાહ આપવામાં આવે છે;

c) મહત્તમ સંભાવના અંદાજ ક્ષણોના અંદાજની પદ્ધતિ કરતાં વધુ સારી છે,

પછી અંતરાલ ડેટાના આંકડામાં, માપનની ભૂલોને ધ્યાનમાં લેતા, અનુક્રમે:

a) કોઈ સુસંગત મૂલ્યાંકન નથી: કોઈપણ મૂલ્યાંકન માટે એક એનત્યાં એક સ્થિર છે સાથેજેમ કે

b) "તર્કસંગત નમૂનાના કદ" કરતા મોટા નમૂનાના કદને ધ્યાનમાં લેવાનો કોઈ અર્થ નથી

c) પરિમાણોની વિશાળ શ્રેણીમાં ક્ષણોની પદ્ધતિના અંદાજો મહત્તમ સંભાવના અંદાજ કરતાં વધુ સારા છે, ખાસ કરીને, માટે અને માટે

તે સ્પષ્ટ છે કે ઉપરોક્ત પરિણામો માત્ર ગામા વિતરણના પરિમાણોનો અંદાજ કાઢવાની માનવામાં આવતી સમસ્યા માટે જ નહીં, પરંતુ લાગુ ગાણિતિક આંકડાઓના અન્ય ઘણા ફોર્મ્યુલેશન માટે પણ માન્ય છે.

મેટ્રોલોજિકલ, મેથડોલોજીકલ, સ્ટેટિસ્ટિકલ અને કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂલો.આંકડાકીય માહિતીમાં સંખ્યાબંધ પ્રકારની ભૂલોને પ્રકાશિત કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. સ્ત્રોત ડેટાના માપનમાં અચોક્કસતાને કારણે થતી ભૂલોને મેટ્રોલોજિકલ કહેવામાં આવે છે. સંગીતની નોંધનો ઉપયોગ કરીને તેમની મહત્તમ કિંમતનો અંદાજ લગાવી શકાય છે.

પદ્ધતિસરની ભૂલો સંભવિત-આંકડાકીય મોડેલની અપૂરતીતા, તેના પરિસરમાંથી વાસ્તવિકતાના વિચલનને કારણે થાય છે. નમૂનાના કદમાં વધારો થતાં અયોગ્યતા સામાન્ય રીતે અદૃશ્ય થતી નથી. "સામાન્ય સ્થિરતા યોજના" નો ઉપયોગ કરીને પદ્ધતિસરની ભૂલોનો અભ્યાસ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, જે મજબૂત આંકડાકીય પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંતમાં લોકપ્રિય, મોટા ઉત્સર્જન સાથે ક્લોગિંગના મોડેલને સામાન્ય બનાવે છે. આ પ્રકરણમાં પદ્ધતિસરની ભૂલો ધ્યાનમાં લેવામાં આવી નથી.

આંકડાકીય ભૂલ એ ભૂલ છે જે પરંપરાગત રીતે ગાણિતિક આંકડાઓમાં ગણવામાં આવે છે. તેની લાક્ષણિકતાઓ અંદાજનું વિખેરવું, નિશ્ચિત વિકલ્પ સાથે માપદંડની શક્તિના 1 નો ઉમેરો વગેરે છે. નિયમ પ્રમાણે, નમૂનાનું કદ વધવાથી આંકડાકીય ભૂલ 0 તરફ વળે છે.

કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂલ ગણતરી ગાણિતીક નિયમો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, ખાસ કરીને, રાઉન્ડિંગ નિયમો. શુદ્ધ ગણિતના સ્તરે, નમૂનાના તફાવતને વ્યાખ્યાયિત કરતા સૂત્રો (22) અને (24) ની જમણી બાજુની ઓળખ સાચી છે. પછી પદ્ધતિના અંદાજો ફોર્મ ધરાવે છે 2 , અને કોમ્પ્યુટેશનલ ગણિતના સ્તરે, અમુક શરતો હેઠળ સૂત્ર (22) બીજા કરતાં નોંધપાત્ર રીતે વધુ સાચા નોંધપાત્ર આંકડાઓ આપે છે.

ઉપર, ગામા વિતરણના પરિમાણોનો અંદાજ કાઢવાની સમસ્યાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને, મેટ્રોલોજિકલ અને કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂલોની સંયુક્ત અસરને ધ્યાનમાં લેવામાં આવી હતી, અને ગણતરીની ભૂલોનો અંદાજ મેન્યુઅલ ગણતરી માટેના શાસ્ત્રીય નિયમો અનુસાર કરવામાં આવ્યો હતો. તે બહાર આવ્યું છે કે આ અભિગમ સાથે, ક્ષણોના અંદાજની પદ્ધતિનો પરિમાણ વિવિધતાઓની વિશાળ શ્રેણીમાં મહત્તમ સંભાવના અંદાજો પર ફાયદો છે. જો કે, જો આપણે ફક્ત મેટ્રોલોજીકલ ભૂલોને ધ્યાનમાં લઈએ, જેમ કે ઉપર 1-5 ઉદાહરણોમાં કરવામાં આવ્યું હતું, તો સમાન ગણતરીઓનો ઉપયોગ કરીને તે બતાવી શકાય છે કે આ બે પ્રકારના અંદાજો છે (પર્યાપ્ત મોટા જ્યાં x i "સાચું" મૂલ્યો છે, અવલોકન ભૂલો (સેમ્પલિંગ ભૂલો સહિત). સંભવિત મોડેલમાં આપણે તે ધારીએ છીએ) સમાન ભૂલ.

અમે અહીં ગણતરીની ભૂલને વિગતવાર ધ્યાનમાં લેતા નથી.