કહેવાય છે સંબંધિત આવર્તન (અથવા આવર્તન)ઘટનાઓ એવિચારણા હેઠળના પ્રયોગોની શ્રેણીમાં.

ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન નીચે મુજબ છે ગુણધર્મો:

1. કોઈપણ ઘટનાની આવર્તન શૂન્ય અને એક વચ્ચે હોય છે, એટલે કે.

2. અશક્ય ઘટનાની આવર્તન શૂન્ય છે, એટલે કે.

3. વિશ્વસનીય ઘટનાની આવર્તન 1 છે, એટલે કે.

4. બે અસંગત ઘટનાઓના સરવાળાની આવર્તન આવર્તનના સરવાળા જેટલી છે
આ ઘટનાઓ, એટલે કે જો, તો પછી

આવર્તન નામની અન્ય મૂળભૂત મિલકત ધરાવે છે આંકડાકીય સ્થિરતાની મિલકત: પ્રયોગોની વધતી સંખ્યા સાથે (દા.ત. n) તે મૂલ્યોને અમુક સ્થિર સંખ્યાની નજીક લે છે (તેઓ કહે છે: આવર્તન સ્થિર થાય છે, ચોક્કસ સંખ્યાની નજીક આવે છે, આવર્તન ચોક્કસ સંખ્યાની આસપાસ વધઘટ થાય છે, અથવા તેના મૂલ્યો ચોક્કસ સંખ્યાની આસપાસ જૂથબદ્ધ થાય છે).

તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રયોગમાં (કે. પીયર્સન) સિક્કો ફેંકી રહ્યા છે - 12,000 અને 24,000 ટોસ સાથેના કોટ ઓફ આર્મ્સના દેખાવની સંબંધિત આવર્તન અનુક્રમે 0.5015 અને 0.5005 ની બરાબર હોવાનું બહાર આવ્યું છે, એટલે કે. આવર્તન સંખ્યાની નજીક આવે છે. અવલોકનો બતાવે છે તેમ, છોકરો હોવાની આવર્તન સંખ્યા 0.515 ની આસપાસ વધઘટ થાય છે.

નોંધ કરો કે સંભાવના સિદ્ધાંત અનિશ્ચિત પરિણામ સાથે માત્ર તે જ સામૂહિક રેન્ડમ ઘટનાઓનો અભ્યાસ કરે છે જેના માટે સંબંધિત આવર્તનની સ્થિરતા ધારવામાં આવે છે.

સંભાવનાની આંકડાકીય વ્યાખ્યા

રેન્ડમ ઘટનાનો ગાણિતિક રીતે અભ્યાસ કરવા માટે, ઘટનાનું અમુક માત્રાત્મક મૂલ્યાંકન રજૂ કરવું જરૂરી છે. તે સ્પષ્ટ છે કે કેટલીક ઘટનાઓ અન્ય કરતા વધુ થવાની શક્યતા ("વધુ સંભાવના") છે. આ મૂલ્યાંકન છે ઘટનાની સંભાવના, તે વિચારણા હેઠળના અનુભવમાં તેની ઘટનાની સંભાવનાની ડિગ્રી વ્યક્ત કરતી સંખ્યા. સંભાવનાની ઘણી ગાણિતિક વ્યાખ્યાઓ છે તે બધા એકબીજાના પૂરક અને સામાન્યીકરણ કરે છે.

એક પ્રયોગનો વિચાર કરો જે ગમે તેટલી વખત પુનરાવર્તિત થઈ શકે છે (તેઓ કહે છે: "પુનરાવર્તિત પરીક્ષણો હાથ ધરવામાં આવે છે"), જેમાં કેટલીક ઘટનાઓ જોવા મળે છે. એ.

આંકડાકીય સંભાવનાઘટનાઓ એતે સંખ્યા છે જેની આસપાસ ઘટના A ની સંબંધિત આવર્તન પૂરતી મોટી સંખ્યામાં ટ્રાયલ (પ્રયોગો) માટે વધઘટ થાય છે.

ઘટનાની સંભાવના એપ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે આર(એ). આ વ્યાખ્યા અનુસાર:

(1.2)

સંબંધિત આવર્તન અને સંભાવનાની નિકટતા માટે ગાણિતિક સમર્થન આર(એ) અમુક ઘટના એજે. બર્નૌલીના પ્રમેય તરીકે સેવા આપે છે.

સંભાવનાઓ આર(એ) 1-4 સંબંધિત ફ્રીક્વન્સીઝના ગુણધર્મોને આભારી છે:

1. કોઈપણ ઘટનાની આંકડાકીય સંભાવના શૂન્ય અને એકની વચ્ચે હોય છે, એટલે કે.

2. અશક્ય ઘટનાની આંકડાકીય સંભાવના શૂન્ય છે, એટલે કે.

3. વિશ્વસનીય ઘટનાની આંકડાકીય સંભાવના 1 ની બરાબર છે, એટલે કે.

4. બે અસંગત ઘટનાઓના સરવાળાની આંકડાકીય સંભાવના આ ઘટનાઓની આવૃત્તિના સરવાળા જેટલી છે, એટલે કે. જો, તો પછી

વાસ્તવિક અનુભવના આધારે સંભાવના નક્કી કરવાની આંકડાકીય પદ્ધતિ, આ ખ્યાલની સામગ્રીને સંપૂર્ણ રીતે છતી કરે છે. આંકડાકીય વ્યાખ્યાનો ગેરલાભ એ આંકડાકીય સંભાવનાની અસ્પષ્ટતા છે; તેથી સિક્કો ફેંકવાના ઉદાહરણમાં, તમે માત્ર 0.5 નંબર જ નહીં, પણ 0.49 અથવા 0.51 વગેરેને પણ સંભાવના તરીકે લઈ શકો છો. સંભાવનાને વિશ્વસનીય રીતે નક્કી કરવા માટે, તમારે મોટી સંખ્યામાં પરીક્ષણો કરવાની જરૂર છે, જે હંમેશા સરળ અથવા સસ્તી હોતી નથી.

સંભાવનાની ઉત્તમ વ્યાખ્યા

પ્રયોગના પરિણામોની મર્યાદિત સંખ્યાની સમાનતાના આધારે ઘટનાની સંભાવના નક્કી કરવાની એક સરળ રીત છે. સાથે પ્રયોગ કરવા દો nતરીકે રજૂ કરી શકાય તેવા પરિણામો સમાન રીતે શક્ય અસંગતનું સંપૂર્ણ જૂથઘટનાઓ આવા પરિણામો કહેવામાં આવે છે કિસ્સાઓ, તકો, પ્રાથમિક ઘટનાઓ, અનુભવ - ક્લાસિક. તેઓ આવા અનુભવ વિશે કહે છે કે તે ઉકળે છે કેસ યોજનાઅથવા urn યોજના(કારણ કે આવા પ્રયોગ માટે સંભવિત સમસ્યાને વિવિધ રંગોના દડા ધરાવતા ભઠ્ઠીઓની સમકક્ષ સમસ્યા દ્વારા બદલી શકાય છે).

કેસ ડબલ્યુ, જે ઘટનાની ઘટના તરફ દોરી જાય છે એ, કહેવાય છે અનુકૂળ(અથવા અનુકૂળ) તેને, એટલે કે. કેસ w ઘટનાનો સમાવેશ કરે છે એ: .

ઘટનાની સંભાવના એસંખ્યા ગુણોત્તર કહેવાય છે mઆ ઘટના માટે અનુકૂળ કેસ, કુલ સંખ્યા nકેસો, એટલે કે

(1.3)

હોદ્દો સાથે આર(એ) ઘટનાની સંભાવના માટે એવપરાયેલ નોટેશન છે આર, એટલે કે p=P(એ).

સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યામાંથી નીચે મુજબ છે: ગુણધર્મો:

1. કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના શૂન્ય અને એકની વચ્ચે છે, એટલે કે.

2. અશક્ય ઘટનાની સંભાવના શૂન્ય છે, એટલે કે.

3. વિશ્વસનીય ઘટનાની સંભાવના 1 છે, એટલે કે.

4. અસંગત ઘટનાઓના સરવાળાની સંભાવના આ ઘટનાઓની આવૃત્તિના સરવાળા જેટલી છે, એટલે કે. જો, તો પછી

ઉદાહરણ 1.3.એક ભઠ્ઠીમાં 12 સફેદ અને 8 કાળા દડા હોય છે. અવ્યવસ્થિત રીતે દોરવામાં આવેલ બોલ સફેદ હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ:

દો એ- સફેદ બોલ દોરવામાં આવે તે હકીકતનો સમાવેશ કરતી ઘટના. તે સ્પષ્ટ છે કે તે તમામ સમાન સંભવિત કેસોની સંખ્યા છે. ઘટનાની તરફેણ કરતા કેસોની સંખ્યા એ, બરાબર 12, એટલે કે. . પરિણામે, સૂત્ર (1.3) મુજબ આપણી પાસે છે: , એટલે કે. .

સંભાવનાઓની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા

જ્યારે પ્રયોગના પરિણામો સમાન રીતે શક્ય હોય ત્યારે સંભાવનાની ભૌમિતિક વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ થાય છે, અને PES એ અનંત અગણિત સમૂહ છે. ચાલો આપણે સમતલ પર અમુક ક્ષેત્ર Ω વિસ્તાર ધરાવતા અને પ્રદેશની અંદર Ωનો વિચાર કરીએ , પ્રદેશ ડીવિસ્તાર સાથે એસ ડી(ફિગ 6 જુઓ).

Ω પ્રદેશમાં એક બિંદુ રેન્ડમલી પસંદ થયેલ છે એક્સ. આ પસંદગી તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે એક બિંદુ ફેંકવું એક્સ પ્રદેશ માટેΩ. આ કિસ્સામાં, Ω પ્રદેશમાં બિંદુનો પ્રવેશ એ એક વિશ્વસનીય ઘટના છે, માં ડી- રેન્ડમ. એવું માનવામાં આવે છે કે Ω પ્રદેશના તમામ બિંદુઓ સમાન છે (બધી પ્રાથમિક ઘટનાઓ સમાન રીતે શક્ય છે), એટલે કે. કે ફેંકવામાં આવેલ બિંદુ Ω પ્રદેશના કોઈપણ બિંદુને હિટ કરી શકે છે અને પ્રદેશમાં પ્રવેશવાની સંભાવના ડીઆ વિસ્તારના વિસ્તારના પ્રમાણમાં છે અને તેના સ્થાન અને આકાર પર આધાર રાખતો નથી. ઘટના દો, એટલે કે. ફેંકવામાં આવેલ બિંદુ વિસ્તારમાં આવશે ડી.

શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા સાથે, ઘટનાની સંભાવના સમાનતા P(A)=m/n દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જ્યાં m એ ઘટના A ની ઘટના માટે અનુકૂળ પ્રાથમિક પરીક્ષણ પરિણામોની સંખ્યા છે; n એ સંભવિત પ્રાથમિક પરીક્ષણ પરિણામોની કુલ સંખ્યા છે.

એવું માનવામાં આવે છે કે પ્રાથમિક પરિણામો એક સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે અને સમાન રીતે શક્ય છે.

ઘટના Aની સંબંધિત આવર્તન: W(A)=m/n, જ્યાં m એ ટ્રાયલની સંખ્યા છે જેમાં ઘટના A આવી હતી; n એ કરવામાં આવેલ પરીક્ષણોની કુલ સંખ્યા છે.

આંકડાકીય રીતે નક્કી કરતી વખતે, ઘટનાની સંભાવના તેની સંબંધિત આવર્તન તરીકે લેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ: બે ડાઇસ ફેંકવામાં આવે છે. રોલ્ડ બાજુઓ પરના પોઈન્ટનો સરવાળો સરવાળો હોવાની સંભાવના શોધો અને ઓછામાં ઓછા એક ડાઇસની બાજુ પર છ દેખાય છે.

ઉકેલ: "પ્રથમ" ડાઇસની ડ્રોપ કરેલી બાજુ પર, એક બિંદુ,..., છ બિંદુઓ દેખાઈ શકે છે. "સેકન્ડ" ડાઇને ફેંકતી વખતે સમાન છ પ્રાથમિક પરિણામો શક્ય છે. "પ્રથમ" ફેંકવાના દરેક પરિણામોને "બીજા" ફેંકવાના દરેક પરિણામો સાથે જોડી શકાય છે. પ્રાથમિક પરીક્ષણ પરિણામોની કુલ સંખ્યા 6*6=36 છે આ પરિણામો એક સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે અને, હાડકાંની સમપ્રમાણતાને લીધે, સમાન રીતે શક્ય છે. ઇવેન્ટ માટે 5 ચાલ અનુકૂળ છે: 1)6,2;2)6,4;3)6,6;4)2,6;5)4,6;

આવશ્યક સંભાવના: P(A)=5/36

તમને રુચિ છે તે માહિતી તમે વૈજ્ઞાનિક સર્ચ એન્જિન Otvety.Online માં પણ મેળવી શકો છો. શોધ ફોર્મનો ઉપયોગ કરો:

વિષય પર વધુ 3. સંબંધિત આવર્તન. સંબંધિત ફ્રીક્વન્સીઝની સ્થિરતા. સંભાવનાની આંકડાકીય વ્યાખ્યા:

4. સંભાવનાની ઉત્તમ વ્યાખ્યા. ઘટનાની ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન. આંકડાકીય સંભાવના. ભૌમિતિક સંભાવના.
27. નમૂનાનું આંકડાકીય નિર્ધારણ. વિવિધતા શ્રેણી અને તેમની ગ્રાફિક રજૂઆત. બહુકોણ અને ફ્રીક્વન્સીઝનો હિસ્ટોગ્રામ (રિલેટિવ ફ્રીક્વન્સીઝ).
39. અંતરાલ વિવિધતા શ્રેણીનું નિર્માણ. ફ્રીક્વન્સીઝ અને સંબંધિત ફ્રીક્વન્સીઝનો હિસ્ટોગ્રામ.
4. સ્વતંત્ર પરીક્ષણોમાં સતત સંભાવનાથી સંબંધિત આવર્તનના વિચલનની સંભાવના

સાપેક્ષ આવર્તન, સંભાવના સાથે, સંભાવના સિદ્ધાંતના મૂળભૂત ખ્યાલોથી સંબંધિત છે.

સંબંધિત આવર્તનઇવેન્ટ્સ એ ટ્રાયલ્સની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે જેમાં ઘટના ખરેખર કરવામાં આવેલ ટ્રાયલ્સની કુલ સંખ્યા સાથે બની હતી. આમ, ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન એસૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

ડબલ્યુ(એ) = m/n,

જ્યાં m- ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા, n- પરીક્ષણોની કુલ સંખ્યા.

સંભાવના અને સંબંધિત આવર્તનની વ્યાખ્યાઓની તુલના કરીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ: સંભાવનાની વ્યાખ્યા માટે જરૂરી નથી કે પરીક્ષણો ખરેખર હાથ ધરવામાં આવે; સંબંધિત આવર્તનનું નિર્ધારણ ધારે છે કે પરીક્ષણો ખરેખર હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સંભાવનાની ગણતરી પ્રયોગ પહેલાં કરવામાં આવે છે, સંબંધિત આવર્તન - પ્રયોગ પછી.

ઉદાહરણ 1.નિરીક્ષણ વિભાગને 80 અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલા ભાગોના બેચમાં 3 બિન-માનક ભાગો મળ્યા. બિન-માનક ભાગોની ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન

ડબલ્યુ(એ) =3/80.

ઉદાહરણ 2.લક્ષ્ય પર 24 ગોળી ચલાવવામાં આવી હતી, જેમાં 19 હિટ રેકોર્ડ કરવામાં આવી હતી. સંબંધિત લક્ષ્ય હિટ દર

ડબલ્યુ(એ) =19/24.

લાંબા ગાળાના અવલોકનો દર્શાવે છે કે જો પ્રયોગો સમાન પરિસ્થિતિઓ હેઠળ હાથ ધરવામાં આવે છે, જેમાંના દરેક પરીક્ષણોની સંખ્યા પૂરતી મોટી હોય છે, તો સંબંધિત આવર્તન સ્થિરતાની મિલકત દર્શાવે છે. આ મિલકત છે કે વિવિધ પ્રયોગોમાં સંબંધિત આવર્તન થોડો બદલાય છે(ઓછા, વધુ પરીક્ષણો કરવામાં આવે છે), અમુક સ્થિર સંખ્યાની આસપાસ વધઘટ. તે બહાર આવ્યું છે કે આ સતત સંખ્યા ઘટના બનવાની સંભાવના છે.

આમ, જો સંબંધિત આવર્તન પ્રાયોગિક રીતે સ્થાપિત કરવામાં આવે છે, તો પરિણામી સંખ્યાને અંદાજિત સંભાવના મૂલ્ય તરીકે લઈ શકાય છે.

સંબંધિત આવર્તન અને સંભાવના વચ્ચેનો સંબંધ વધુ વિગતવાર અને વધુ સ્પષ્ટ રીતે નીચે વર્ણવવામાં આવશે. હવે ચાલો ઉદાહરણો સાથે સ્થિરતાના ગુણધર્મને સમજાવીએ.

ઉદાહરણ 3.સ્વીડિશ આંકડા અનુસાર, 1935 માં છોકરીઓના જન્મની સંબંધિત આવર્તન. મહિના દ્વારા તે નીચેની સંખ્યાઓ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે (જાન્યુઆરીથી શરૂ થતા મહિનાના ક્રમમાં સંખ્યાઓ ગોઠવવામાં આવે છે): 0.486; 0.489; 0.490; 0.471; 0.478; 0.482; 0.462; 0.484; 0.485; 0.491; 0.482; 0.473

સંબંધિત આવર્તન સંખ્યા 0.482 ની આસપાસ વધઘટ થાય છે, જેને છોકરીઓ હોવાની સંભાવના માટે અંદાજિત મૂલ્ય તરીકે લઈ શકાય છે.

નોંધ કરો કે વિવિધ દેશોના આંકડાકીય ડેટા લગભગ સમાન સંબંધિત આવર્તન મૂલ્ય આપે છે.

ઉદાહરણ 4.સિક્કા ફેંકવાના પ્રયોગો ઘણી વખત હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા, જેમાં "શસ્ત્રોના કોટ" ના દેખાવની સંખ્યા ગણવામાં આવી હતી. ઘણા પ્રયોગોના પરિણામો કોષ્ટક 1 માં આપવામાં આવ્યા છે.

અહીં સંબંધિત આવર્તન સંખ્યા 0.5 થી સહેજ વિચલિત થાય છે, અને પરીક્ષણોની સંખ્યા જેટલી નાની હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 4040 ટ્રાયલ્સ સાથે વિચલન 0.0069 છે, અને 24000 ટ્રાયલ્સ સાથે તે માત્ર 0.0005 છે. સિક્કો ફેંકતી વખતે "આર્મ્સનો કોટ" દેખાવાની સંભાવના 0.5 છે તે ધ્યાનમાં લેતા, આપણે ફરીથી જોઈએ છીએ કે સંબંધિત આવર્તન સંભાવનાની આસપાસ વધઘટ થાય છે.

§ 7. સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યાની મર્યાદાઓ. આંકડાકીય સંભાવના

સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા ધારે છે કે અજમાયશના પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા મર્યાદિત છે. વ્યવહારમાં, પરીક્ષણોનો સામનો કરવો ખૂબ જ સામાન્ય છે જેમાં સંભવિત પરિણામોની સંખ્યા અનંત હોય છે. આવા કિસ્સાઓમાં, શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા લાગુ પડતી નથી. આ સંજોગો જ શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યાની મર્યાદાઓ દર્શાવે છે. નોંધાયેલ ગેરલાભને દૂર કરી શકાય છે, ખાસ કરીને, ભૌમિતિક સંભાવનાઓ રજૂ કરીને (જુઓ § 8) અને, અલબત્ત, સ્વયંસિદ્ધ સંભાવનાનો ઉપયોગ કરીને (જુઓ § 3, ટિપ્પણી).

શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યાની સૌથી નબળી બાજુ એ છે કે પ્રાથમિક ઘટનાઓના સમૂહના રૂપમાં પરીક્ષણના પરિણામને રજૂ કરવું ઘણી વાર અશક્ય છે. પ્રાથમિક ઘટનાઓને સમાન રીતે શક્ય ગણવા માટેના કારણો સૂચવવા તે વધુ મુશ્કેલ છે. સામાન્ય રીતે, પ્રાથમિક કસોટીના પરિણામોની સમાનતા સમપ્રમાણતાની વિચારણાઓ પર આધારિત હોવાનું કહેવાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, એવું માનવામાં આવે છે કે ડાઇ નિયમિત પોલિહેડ્રોન (ક્યુબ) જેવો આકાર ધરાવે છે અને તે સજાતીય સામગ્રીથી બનેલો છે. જો કે, સમસ્યાઓ કે જેમાં સમપ્રમાણતાના વિચારનો ઉપયોગ કરી શકાય તે વ્યવહારમાં ખૂબ જ દુર્લભ છે. આ કારણોસર, સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા સાથે, અન્ય વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ખાસ કરીને આંકડાકીય વ્યાખ્યા: સંબંધિત આવર્તન અથવા તેની નજીકની સંખ્યાને ઘટનાની આંકડાકીય સંભાવના તરીકે લેવામાં આવે છે.ઉદાહરણ તરીકે, જો, પૂરતી મોટી સંખ્યામાં અજમાયશના પરિણામે, તે તારણ આપે છે કે સંબંધિત આવર્તન સંખ્યા 0.4 ની ખૂબ નજીક છે, તો પછી આ સંખ્યાને ઘટનાની આંકડાકીય સંભાવના તરીકે લઈ શકાય છે.

તે ચકાસવું સરળ છે કે શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા (જુઓ § 3) થી ઉદ્ભવતા સંભાવનાના ગુણધર્મો પણ સંભાવનાની આંકડાકીય વ્યાખ્યામાં સાચવેલ છે. ખરેખર, જો ઘટના વિશ્વસનીય છે, તો પછી m =nઅને સંબંધિત આવર્તન

m/n = n/n = 1,

તે વિશ્વસનીય ઘટનાની આંકડાકીય સંભાવના (જેમ કે શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યાના કિસ્સામાં) એક સમાન છે.

જો ઘટના અશક્ય છે, તો પછી m= 0 અને તેથી સંબંધિત આવર્તન

0/n = 0,

તે અશક્ય ઘટનાની આંકડાકીય સંભાવના શૂન્ય છે.

કોઈપણ ઘટના માટે 0 m nઅને તેથી સંબંધિત આવર્તન

0 m/n 1,

તે કોઈપણ ઘટનાની આંકડાકીય સંભાવના શૂન્ય અને એકની વચ્ચે હોય છે.

ઘટનાની આંકડાકીય સંભાવનાના અસ્તિત્વ માટે એજરૂરી:

એ) શક્યતા, ઓછામાં ઓછા સૈદ્ધાંતિક રીતે, અમર્યાદિત સંખ્યામાં પરીક્ષણો હાથ ધરવા માટે, જેમાંની દરેક ઘટનામાં એથાય કે ન થાય;

b) ઘટનાની સંબંધિત ફ્રીક્વન્સીઝની સ્થિરતા એપર્યાપ્ત મોટી સંખ્યામાં પરીક્ષણોની વિવિધ શ્રેણીમાં.

આંકડાકીય વ્યાખ્યાનો ગેરલાભ એ આંકડાકીય સંભાવનાની અસ્પષ્ટતા છે; તેથી, ઉપરના ઉદાહરણમાં, માત્ર 0.4 જ નહીં, પણ 0.39 પણ ઘટનાની સંભાવના તરીકે લઈ શકાય છે; 0.41, વગેરે.

ભૌમિતિક સંભાવનાઓ

સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યાના ગેરલાભને દૂર કરવા માટે, જે એ છે કે તે અસંખ્ય પરિણામો સાથેના પરીક્ષણોને લાગુ પડતું નથી, અમે રજૂ કરીએ છીએ ભૌમિતિક સંભાવનાઓ- વિસ્તારને અથડાતા બિંદુની સંભાવના (સેગમેન્ટ, પ્લેનનો ભાગ, વગેરે).

સેગમેન્ટ દો lસેગમેન્ટનો ભાગ બનાવે છે એલ. એક સેગમેન્ટ માટે એલએક બિંદુ રેન્ડમ બનાવવામાં આવ્યું હતું. આનો અર્થ નીચેની ધારણાઓને પરિપૂર્ણ કરવાનો છે: સેટ પોઈન્ટ સેગમેન્ટ પર કોઈપણ સમયે હોઈ શકે છે એલ, સેગમેન્ટ પર પડતા બિંદુની સંભાવના lઆ સેગમેન્ટની લંબાઈના પ્રમાણસર છે અને તે સેગમેન્ટની તુલનામાં તેના સ્થાન પર આધારિત નથી એલ. આ ધારણાઓ હેઠળ, સેગમેન્ટ પર પડતા બિંદુની સંભાવના lસમાનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

પી= લંબાઈ l/ લંબાઈ એલ.

ઉદાહરણ 1.સેગમેન્ટ માટે ઓ.એ.લંબાઈ એલસંખ્યા અક્ષ બળદએક બિંદુ રેન્ડમ પર મૂકવામાં આવ્યું હતું બી(x). સંભાવના શોધો કે સેગમેન્ટ્સ નાના છે ઓ.બી.અને બી.એ.લંબાઈ વધારે છે એલ

ઉકેલ. ચાલો સેગમેન્ટને વિભાજિત કરીએ ઓ.એ.બિંદુઓ સીઅને ડી 3 સમાન ભાગોમાં. કાર્ય જરૂરિયાત પૂર્ણ થશે જો બિંદુ બી(x) સેગમેન્ટ પર પડે છે સીડીલંબાઈ એલ/3. જરૂરી સંભાવના

પી = (એલ /3)/એલ = 1/3.

સપાટ આકૃતિ દો gસપાટ આકૃતિનો ભાગ બનાવે છે જી. ફિટ જીએક બિંદુ રેન્ડમ પર ફેંકવામાં આવે છે. આનો અર્થ નીચેની ધારણાઓ કરવી છે: ફેંકવામાં આવેલ બિંદુ આકૃતિ પર કોઈપણ બિંદુએ સમાપ્ત થઈ શકે છે જી, આકૃતિને અથડાતા ફેંકવામાં આવેલા બિંદુની સંભાવના gઆ આકૃતિના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણસર છે અને તે સંબંધિત તેના સ્થાન પર આધારિત નથી જી, ન તો ફોર્મમાંથી g. આ ધારણાઓ હેઠળ, આકૃતિને અથડાતા બિંદુની સંભાવના છે gસમાનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

પી= વિસ્તાર g/ ચોરસ જી.

ઉદાહરણ 2.પ્લેન પર બે કેન્દ્રિત વર્તુળો દોરવામાં આવ્યા છે, જેની ત્રિજ્યા અનુક્રમે 5 અને 10 સેમી છે. મોટા વર્તુળમાં અવ્યવસ્થિત રીતે ફેંકવામાં આવેલ બિંદુ બાંધેલા વર્તુળો દ્વારા રચાયેલી રિંગમાં આવે તેવી સંભાવના શોધો. એવું માનવામાં આવે છે કે સપાટ આકૃતિમાં બિંદુ પડવાની સંભાવના આ આકૃતિના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં છે અને તે મહાન વર્તુળની તુલનામાં તેના સ્થાન પર આધારિત નથી.

ઉકેલ. રીંગનો વિસ્તાર (આકૃતિ g)

એસજી= p(10 2 - 5 2) = 75 p.

એક મહાન વર્તુળનો વિસ્તાર (આકૃતિ જી)

એસ જી= p10 2 = 100 p.

જરૂરી સંભાવના

પી= 75 p/(100 p) = 0.75.

ઉદાહરણ 3.સિગ્નલિંગ ઉપકરણ બે ઉપકરણોમાંથી સિગ્નલ મેળવે છે, અને દરેક સિગ્નલની પ્રાપ્તિ એ સમય ગાળાના કોઈપણ ક્ષણે સમાન રીતે શક્ય છે. ટી. સિગ્નલના આગમનની ક્ષણો એકબીજાથી સ્વતંત્ર છે. જો સિગ્નલની પ્રાપ્તિની ક્ષણો વચ્ચેનો તફાવત ઓછો હોય તો એલાર્મ ટ્રિગર થાય છે t(t<ટી). એલાર્મ સમયસર બંધ થઈ જશે તેવી સંભાવના શોધો ટી,જો દરેક ઉપકરણ એક સિગ્નલ મોકલે છે.

ઉકેલ. ચાલો અનુક્રમે પ્રથમ અને બીજા ઉપકરણોમાંથી સંકેતોના આગમનની ક્ષણો સૂચવીએ xઅને y. સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓને કારણે, બેવડી અસમાનતાઓ સંતોષવી આવશ્યક છે: 0 x ટી, 0 y ટીચાલો આપણે લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીને ધ્યાનમાં લઈએ xOy. આ સિસ્ટમમાં, બેવડી અસમાનતાઓ ચોરસના કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે OTAT(ફિગ. 1).

આમ, આ ચોરસને આકૃતિ તરીકે ગણી શકાય જી, બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ જે સિગ્નલના આગમનની ક્ષણોના તમામ સંભવિત મૂલ્યોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

જો સિગ્નલની પ્રાપ્તિની ક્ષણો વચ્ચેનો તફાવત ઓછો હોય તો એલાર્મ ટ્રિગર થાય છે t, એટલે કે જો y-x<tખાતે y>xઅને x-y<tખાતે x>y, અથવા, સમાન શું છે,

y<x+tખાતે y>x, (*)

y >x-tખાતે y<x. (**)

અસમાનતા (*) આકૃતિના તે બિંદુઓ માટે ધરાવે છે જી, જે રેખાની ઉપર આવેલું છે y = xઅને રેખા નીચે y = x+t;અસમાનતા (**) રેખાની નીચે સ્થિત બિંદુઓ માટે ધરાવે છે y= xઅને સીધી રેખા ઉપર y = x-t.

આકૃતિ 1 માંથી જોઈ શકાય છે. બધા બિંદુઓ કે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ અસમાનતાને સંતોષે છે (*) અને (**) છાંયેલા ષટ્કોણના છે. આમ, આ ષટ્કોણ એક આકૃતિ તરીકે ગણી શકાય g, જે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ સમયની અનુકૂળ ક્ષણો છે xઅને y.

જરૂરી સંભાવના

પી= Pl. g/ Pl. જી = (ટી 2 - (ટી - t) 2)/ટી 2 = (t(2ટી - t))/ટી 2 .

નોંધ 1. આપેલ વ્યાખ્યાઓ ભૌમિતિક સંભાવનાની સામાન્ય વ્યાખ્યાના વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ છે. જો આપણે mes દ્વારા પ્રદેશના માપ (લંબાઈ, ક્ષેત્રફળ, જથ્થા) દર્શાવીએ, તો રેન્ડમ (ઉપરના અર્થમાં) પ્રદેશમાં આવતા બિંદુની સંભાવના g- પ્રદેશનો ભાગ જી, સમાન છે

પી=mes g/mes જી.

ટિપ્પણી 2. શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યાના કિસ્સામાં, વિશ્વસનીય (અશક્ય) ઘટનાની સંભાવના એક (શૂન્ય) ની બરાબર છે; કન્વર્ઝ સ્ટેટમેન્ટ્સ પણ સાચા છે (ઉદાહરણ તરીકે, જો ઘટનાની સંભાવના શૂન્ય છે, તો ઘટના અશક્ય છે). સંભાવનાની ભૌમિતિક વ્યાખ્યાના કિસ્સામાં, કન્વર્સ સ્ટેટમેન્ટ પકડી શકતા નથી. ઉદાહરણ તરીકે, વિસ્તારના એક ચોક્કસ બિંદુને ફેંકવામાં આવેલા બિંદુની સંભાવના જીશૂન્ય છે, પરંતુ આ ઘટના બની શકે છે અને તેથી અશક્ય નથી.

કાર્યો

1. બૉક્સમાં 50 સમાન ભાગો છે, જેમાંથી 5 પેઇન્ટેડ છે. એક ટુકડો રેન્ડમ બહાર લેવામાં આવે છે. સંભવિતતા શોધો કે કાઢવામાં આવેલ ભાગ પેઇન્ટ કરવામાં આવશે

જવાબ આપો. પી = 0,1.

2. એક ડાઇ ફેંકવામાં આવે છે. પોઈન્ટની સમાન સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના શોધો.

જવાબ આપો. પી = 0,5.

3. ડ્રોમાં સહભાગીઓ બોક્સમાંથી 1 થી 100 સુધીના નંબરો સાથે ટોકન દોરે છે તે સંભવિતતા શોધો કે રેન્ડમમાં દોરવામાં આવેલ પ્રથમ ટોકન નંબર 5 ધરાવતો નથી.

જવાબ આપો. પી = 0,81.

4. બેગમાં 5 સરખા ક્યુબ્સ છે. નીચેના અક્ષરોમાંથી એક દરેક ક્યુબના બધા ચહેરા પર લખાયેલ છે: o, p, p, s, t એ સંભાવના શોધો કે "રમત" શબ્દ એક સમયે વિસ્તરેલા સમઘન પર વાંચી શકાય છે અને "એક" માં ગોઠવાય છે. રેખા".

જવાબ આપો. પી = 1/120.

5. છ સરખા કાર્ડ્સમાંના દરેક પર નીચેનામાંથી એક અક્ષર છપાયેલો છે: a, t, m, p, s, o. કાર્ડ્સ સંપૂર્ણપણે મિશ્રિત છે. સંભવિતતા શોધો કે શબ્દ "કેબલ" એક સમયે એક દોરેલા ચાર કાર્ડ પર વાંચી શકાય છે અને "એક લીટીમાં" ગોઠવાય છે.

જવાબ આપો. પી = 1/ = 1/360.

6. એક ક્યુબ, જેની તમામ કિનારીઓ રંગીન હોય છે, તેને સમાન કદના હજાર ક્યુબ્સમાં કાપવામાં આવે છે, જે પછી સંપૂર્ણ રીતે મિશ્રિત થાય છે. સંભવિતતા શોધો કે રેન્ડમ પર દોરવામાં આવેલા ક્યુબમાં રંગીન ચહેરા હશે: a) એક; b) બે; c) ત્રણ.

જવાબ આપો. a)0.384; b)0.096; c)0.008.

7. 28 ડોમિનોના સંપૂર્ણ મિશ્રિત સમૂહમાંથી, એક ટાઇલ રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે. સંભવિતતા શોધો કે રેન્ડમ પર દોરેલું બીજું હાડકું પ્રથમની બાજુમાં મૂકી શકાય છે જો પ્રથમ હાડકું: a) ડબલ હોવાનું બહાર આવ્યું છે; b) ત્યાં કોઈ ડબલ નથી.

જવાબ આપો. a)2/9; b)4/9.

8. લોકમાં સામાન્ય ધરી પર પાંચ ડિસ્ક હોય છે. દરેક ડિસ્કને છ સેક્ટરમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જેના પર જુદા જુદા અક્ષરો લખવામાં આવે છે. લૉક ફક્ત ત્યારે જ ખુલે છે જ્યારે દરેક ડિસ્ક લૉક બૉડીને સંબંધિત એક ચોક્કસ સ્થાન ધરાવે છે. સંભાવના શોધો કે જો ડિસ્ક અવ્યવસ્થિત રીતે ઇન્સ્ટોલ કરેલ હોય, તો લોક ખોલી શકાય છે.

જવાબ આપો. પી = 1/6 5 .

9. આઠ અલગ અલગ પુસ્તકો એક શેલ્ફ પર રેન્ડમ પર મૂકવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે બે વિશિષ્ટ પુસ્તકો એકબીજાની બાજુમાં મૂકવામાં આવશે.

જવાબ આપો. પી= 7*2!*6!/8! = ¼.

10. પુસ્તકાલયમાં દસ અલગ-અલગ પુસ્તકોનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં પાંચ પુસ્તકોની કિંમત 4 રુબેલ્સ છે, ત્રણ પુસ્તકોની કિંમત એક રૂબલ છે અને બે પુસ્તકોની કિંમત 3 રુબેલ્સ છે. સંભવિતતા શોધો કે બે પુસ્તકોની રેન્ડમ કિંમત 5 રુબેલ્સ પર લેવામાં આવી છે.

જવાબ આપો. પી =

11. 100 ભાગોના બેચમાં, તકનીકી નિયંત્રણ વિભાગે 5 બિન-માનક ભાગો શોધી કાઢ્યા. બિન-માનક ભાગોની ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન કેટલી છે?

જવાબ આપો. ડબલ્યુ = 0,05.

12. જ્યારે રાઇફલથી ગોળીબાર કરવામાં આવે ત્યારે લક્ષ્યને હિટ કરવાની સંબંધિત આવર્તન 0.85 જેટલી હતી. જો કુલ 120 ગોળી ચલાવવામાં આવી હોય તો હિટની સંખ્યા શોધો.

જવાબ આપો. 102 હિટ.

13. સેગમેન્ટ માટે ઓ.એ.લંબાઈ એલસંખ્યા અક્ષ બળદએક બિંદુ રેન્ડમ પર મૂકવામાં આવ્યું હતું બી(x.સંભાવના શોધો કે સેગમેન્ટ્સ નાના છે ઓ.બી.અને બી.એ.કરતાં ઓછી લંબાઈ ધરાવે છે એલ/3. એવું માનવામાં આવે છે કે સેગમેન્ટ પર પડતા બિંદુની સંભાવના સેગમેન્ટની લંબાઈના પ્રમાણમાં છે અને તે સંખ્યા અક્ષ પરના તેના સ્થાન પર આધારિત નથી.

જવાબ આપો. પી = 2/3.

14. ત્રિજ્યા વર્તુળની અંદર આરએક બિંદુ રેન્ડમ પર ફેંકવામાં આવે છે. વર્તુળમાં અંકિત ચોરસની અંદર બિંદુ હશે તેવી સંભાવના શોધો. એવું માનવામાં આવે છે કે ચોરસમાં આવતા બિંદુની સંભાવના ચોરસના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં હોય છે અને તે વર્તુળની તુલનામાં તેના સ્થાન પર આધારિત નથી.

પી = 7/16.

પ્રકરણ બે

સંભાવનાની વિભાવનાની ઘણી વ્યાખ્યાઓ છે. ચાલો ક્લાસિક વ્યાખ્યા આપીએ. તે અનુકૂળ પરિણામની વિભાવના સાથે સંકળાયેલું છે. તે પ્રાથમિક પરિણામો (દા.), બિલાડીમાં. અમને રુચિ છે તે ઇવેન્ટ થાય છે, અમે તેને આ ઇવેન્ટ માટે અનુકૂળ કહીશું.ડેફ. : હું માનું છું કે ઘટના A કહેવાય છે. આ ઘટના માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર તમામ સમાન અસંગતની કુલ સંખ્યા સાથે e. i., એક સંપૂર્ણ જૂથ બનાવવું. P(A) = m/n, જ્યાં m એ e ની સંખ્યા છે. i., ઘટના A માટે અનુકૂળ; n – તમામ શક્ય સંખ્યા e. અને. પરીક્ષણોસંભાવનાની વ્યાખ્યા તેના ગુણધર્મોને અનુસરે છે

:1) વિશ્વસનીય ઘટનાની ver.(c) હંમેશા 1 ની બરાબર હોય છે. કારણ કે. ઘટના વિશ્વસનીય છે, પછી બધું ઇ છે. અને. અજમાયશ આ ઇવેન્ટની તરફેણ કરે છે, એટલે કે. m=n.

ઘટનાની સાપેક્ષ આવર્તન (RF) એ ટ્રાયલ્સની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે જેમાં ઘટના ખરેખર કરવામાં આવેલ ટ્રાયલ્સની કુલ સંખ્યા સાથે બની હતી. (ઓમેગા નથી!!!).

W(A) = m/n, જ્યાં m એ ઘટના Aની ઘટનાઓની સંખ્યા છે, n એ ટ્રાયલ્સની કુલ સંખ્યા છે. સંભાવનાના નિર્ધારણ માટે જરૂરી નથી કે પરીક્ષણો ખરેખર હાથ ધરવામાં આવે.

OC ની વ્યાખ્યા ધારે છે કે પરીક્ષણો ખરેખર હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા, એટલે કે. વેર પ્રયોગ પહેલાં ગણતરી કરવામાં આવે છે અને પ્રયોગ પછી OC. જો પ્રયોગો સમાન પરિસ્થિતિઓ હેઠળ કરવામાં આવે છે, દરેક બિલાડીમાં. પરીક્ષણોની સંખ્યા પૂરતી મોટી છે, પછી OC સ્થિરતા દર્શાવે છે. આ ગુણધર્મ એ હકીકતમાં રહેલો છે કે વિવિધ પ્રયોગોમાં OC થોડો બદલાય છે, ઓછા વધુ પરીક્ષણો કરવામાં આવે છે, ચોક્કસ સ્થિર સંખ્યાની આસપાસ વધઘટ થાય છે. આ નંબર ver છે. ઘટનાની ઘટના. તે. તે પ્રાયોગિક રીતે સ્થાપિત કરવામાં આવ્યું છે કે OR ને અંદાજિત સંભાવના મૂલ્ય તરીકે લઈ શકાય છે. 5. આંકડાકીય સંભાવના.સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા ધારે છે કે અજમાયશના પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા મર્યાદિત છે. વ્યવહારમાં, ઘણી વખત સંભવિત પરિણામોની સંખ્યા સાથે પરીક્ષણો હોય છે. અવિરતપણે આવા કિસ્સાઓમાં, શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા લાગુ પડતી નથી.

ડેફ:

સંબંધિત આવર્તનસ્ટેટ વેર (r.v.) ઇવેન્ટ્સ - સંબંધિત આવર્તન (RF) અથવા તેની નજીકની સંખ્યા.

શાસ્ત્રીયમાંથી ઉદ્ભવતી પવિત્ર સંભાવનાઓ.

સંભાવના અને સંબંધિત આવર્તનની વ્યાખ્યાઓની તુલના કરીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ: સંભાવનાની વ્યાખ્યા માટે જરૂરી નથી કે પરીક્ષણો ખરેખર હાથ ધરવામાં આવે; સંબંધિત આવર્તનનું નિર્ધારણ ધારે છે કે પરીક્ષણો ખરેખર હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પ્રયોગ પહેલાં સંભાવનાની ગણતરી કરવામાં આવે છે, અને પ્રયોગ પછી સંબંધિત આવર્તન.

ઉદાહરણ 1. નિરીક્ષણ વિભાગને 80 અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલા ભાગોના બેચમાં 3 બિન-માનક ભાગો મળ્યા. બિન-માનક ભાગોની ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન

લાંબા ગાળાના અવલોકનો દર્શાવે છે કે જો પ્રયોગો સમાન પરિસ્થિતિઓ હેઠળ હાથ ધરવામાં આવે છે, જેમાંના દરેક પરીક્ષણોની સંખ્યા પૂરતી મોટી હોય છે, તો સંબંધિત આવર્તન સ્થિરતાની મિલકત દર્શાવે છે. આ મિલકત છે કે વિવિધ પ્રયોગોમાં સંબંધિત આવર્તન થોડો બદલાય છે (ઓછા, વધુ પરીક્ષણો કરવામાં આવે છે), ચોક્કસ સ્થિર સંખ્યાની આસપાસ વધઘટ થાય છે. તે બહાર આવ્યું છે કે આ સતત સંખ્યા ઘટના બનવાની સંભાવના છે.

ઉદાહરણ 3.સ્વીડિશ આંકડાઓ અનુસાર, 1935 માં છોકરીઓના જન્મની સાપેક્ષ આવર્તન નીચેની સંખ્યાઓ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે (સંખ્યાઓ મહિનાના ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે છે, જાન્યુઆરીથી શરૂ થાય છે): 0.486; 0.489; 0.490; 0.471; 0.478; 0.482; 0.462; 0.484; 0.485; 0.491; 0.482; 0.473.

ઉદાહરણ 4. સિક્કા ફેંકવાના પ્રયોગો ઘણી વખત હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા, અને "શસ્ત્રોનો કોટ" કેટલી વખત દેખાયો તેની ગણતરી કરવામાં આવી હતી. કેટલાક પ્રયોગોના પરિણામો કોષ્ટકમાં આપવામાં આવ્યા છે. 1.

અહીં સંબંધિત ફ્રીક્વન્સીઝ 0.5 નંબરથી સહેજ વિચલિત થાય છે, અને વર્તમાન ઓછો છે, પરીક્ષણોની સંખ્યા વધારે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 4040 ટ્રાયલ્સ સાથે વિચલન 0.0069 છે, અને 24,000 ટ્રાયલ્સ સાથે તે માત્ર 0.0005 છે તે ધ્યાનમાં લેતા કે જ્યારે સિક્કો ફેંકવામાં આવે ત્યારે "આર્મ્સનો કોટ" દેખાવાની સંભાવના 0.5 છે, આપણે ફરીથી જોઈએ છીએ કે સંબંધિત આવર્તન. સંભાવનાની આસપાસ વધઘટ થાય છે.

સંબંધિત આવર્તન સ્થિરતા. સંબંધિત આવર્તન

વિષય પર વધુ 3. સંબંધિત આવર્તન. સંબંધિત ફ્રીક્વન્સીઝની સ્થિરતા. સંભાવનાની આંકડાકીય વ્યાખ્યા:

ડેફ: