ચાર-પરિમાણીય ક્યુબનું પરિભ્રમણ. સાયબરક્યુબ - ચોથા પરિમાણમાં પ્રથમ પગલું

ઇમેજ ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા પર ચાર-પરિમાણીય ઘનનું પ્રક્ષેપણ () છે.

3 થી વધુ પરિમાણવાળા કેસોમાં ક્યુબનું સામાન્યીકરણ કહેવામાં આવે છે હાયપરક્યુબ અથવા (en:પોલીટોપ્સ માપો). ઔપચારિક રીતે, હાઇપરક્યુબને ચાર સમાન સેગમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

આ લેખ મુખ્યત્વે 4-પરિમાણીયનું વર્ણન કરે છે હાયપરક્યુબ, કહેવાય છે ટેસરેક્ટ.

લોકપ્રિય વર્ણન

ચાલો કલ્પના કરવાનો પ્રયાસ કરીએ કે આપણી ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા છોડ્યા વિના હાઇપરક્યુબ કેવો દેખાશે.

એક-પરિમાણીય "જગ્યા" માં - એક રેખા પર - અમે લંબાઈ L સાથે AB પસંદ કરીએ છીએ. દ્વિ-પરિમાણીય અવકાશમાં, AB થી L ના અંતરે, અમે તેની સમાંતર DC સેગમેન્ટ દોરીએ છીએ અને તેના છેડા જોડીએ છીએ. પરિણામ એ ચોરસ ABCD છે. પ્લેન સાથે આ ક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરીને, અમે ત્રિ-પરિમાણીય ક્યુબ ABCDHEFG મેળવીએ છીએ. અને ક્યુબને ચોથા પરિમાણમાં (પ્રથમ ત્રણ પર લંબરૂપ!) અંતર L દ્વારા ખસેડવાથી, આપણને એક હાયપરક્યુબ મળે છે.

એક-પરિમાણીય સેગમેન્ટ AB એ દ્વિ-પરિમાણીય ચોરસ ABCD ના ચહેરા તરીકે કામ કરે છે, ચોરસ ABCDHEFG ક્યુબની બાજુ તરીકે કામ કરે છે, જે બદલામાં, ચાર-પરિમાણીય હાઇપરક્યુબની બાજુ હશે. એક સીધી રેખા ખંડમાં બે સીમા બિંદુઓ હોય છે, એક ચોરસમાં ચાર શિરોબિંદુઓ હોય છે, સમઘનમાં આઠ હોય છે. ચાર-પરિમાણીય હાયપરક્યુબમાં, આમ 16 શિરોબિંદુઓ હશે: મૂળ ક્યુબના 8 શિરોબિંદુ અને ચોથા પરિમાણમાં સ્થાનાંતરિત શિરોબિંદુમાંથી 8. તેની 32 કિનારીઓ છે - 12 દરેક મૂળ ક્યુબની પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ આપે છે, અને બીજી 8 ધાર તેના આઠ શિરોબિંદુઓને "ડ્રો" કરે છે, જે ચોથા પરિમાણમાં ગયા છે. હાયપરક્યુબના ચહેરા માટે સમાન તર્ક કરી શકાય છે. દ્વિ-પરિમાણીય અવકાશમાં માત્ર એક જ છે (ચોરસ પોતે), એક ક્યુબમાં તેમાંથી 6 હોય છે (ખસેડેલા ચોરસમાંથી બે ચહેરા અને ચાર વધુ જે તેની બાજુઓનું વર્ણન કરે છે). ચાર-પરિમાણીય હાયપરક્યુબમાં 24 ચોરસ ચહેરાઓ હોય છે - મૂળ ક્યુબના 12 ચોરસ બે સ્થિતિમાં અને 12 ચોરસ તેની બાર ધારથી.

એવી જ રીતે, આપણે મોટી સંખ્યામાં પરિમાણના હાયપરક્યુબ્સ માટેના અમારા તર્કને ચાલુ રાખી શકીએ છીએ, પરંતુ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશના રહેવાસીઓ, તે આપણા માટે કેવી રીતે દેખાશે તે જોવાનું વધુ રસપ્રદ છે. ચાર-પરિમાણીય હાઇપરક્યુબ. આ માટે આપણે અનુરૂપતાની પહેલાથી જ જાણીતી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું.

ચાલો વાયર ક્યુબ ABCDHEFG લઈએ અને તેને ધારની બાજુથી એક આંખથી જોઈએ. આપણે પ્લેન પર બે ચોરસ (તેની નજીક અને દૂરની કિનારીઓ) જોઈશું અને દોરી શકીએ છીએ, જે ચાર રેખાઓ - બાજુની કિનારીઓ દ્વારા જોડાયેલા છે. એ જ રીતે, ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં ચાર-પરિમાણીય હાઇપરક્યુબ બે ઘન "બોક્સ" જેવો દેખાશે જે એકબીજામાં દાખલ કરવામાં આવે છે અને આઠ કિનારી દ્વારા જોડાયેલ છે. આ કિસ્સામાં, "બોક્સ" પોતે - ત્રિ-પરિમાણીય ચહેરા - "અમારી" જગ્યા પર પ્રક્ષેપિત થશે, અને તેમને જોડતી રેખાઓ ચોથા પરિમાણમાં વિસ્તરશે. તમે ક્યુબની કલ્પના પ્રક્ષેપણમાં નહીં, પરંતુ અવકાશી છબીમાં કરવાનો પણ પ્રયાસ કરી શકો છો.

જેમ ત્રિ-પરિમાણીય સમઘન તેના ચહેરાની લંબાઈ દ્વારા ખસેડવામાં આવેલા ચોરસ દ્વારા રચાય છે, તેમ ચોથા પરિમાણમાં સ્થાનાંતરિત સમઘન એક હાઇપરક્યુબ બનાવશે. તે આઠ સમઘન દ્વારા મર્યાદિત છે, જે પરિપ્રેક્ષ્યમાં કેટલીક જટિલ આકૃતિ જેવી દેખાશે. "આપણી" જગ્યામાં રહેલો ભાગ નક્કર રેખાઓ વડે દોરવામાં આવે છે, અને જે ભાગ હાયપરસ્પેસમાં ગયો હતો તે ડોટેડ રેખાઓ વડે દોરવામાં આવે છે. ચાર-પરિમાણીય હાયપરક્યુબમાં અનંત સંખ્યામાં સમઘનનો સમાવેશ થાય છે, જેમ ત્રિ-પરિમાણીય સમઘનને અનંત સંખ્યામાં સપાટ ચોરસમાં "કાપી" શકાય છે.

ત્રિ-પરિમાણીય ક્યુબના આઠ ચહેરાઓને કાપીને, તમે તેને સપાટ આકૃતિમાં વિઘટિત કરી શકો છો - એક વિકાસ. તેમાં મૂળ ચહેરાની દરેક બાજુએ એક ચોરસ હશે, ઉપરાંત એક વધુ - તેની સામેનો ચહેરો. અને ચાર-પરિમાણીય હાયપરક્યુબના ત્રિ-પરિમાણીય વિકાસમાં મૂળ સમઘનનો સમાવેશ થશે, છ સમઘન તેમાંથી "વધતા" અને વધુ એક - અંતિમ "હાયપરફેસ".

ટેસેરેક્ટના ગુણધર્મો એ નીચેના કોષ્ટકમાં પ્રસ્તુત 4-પરિમાણીય અવકાશમાં નીચલા પરિમાણના ભૌમિતિક આકૃતિઓના ગુણધર્મોનું ચાલુ છે.

જો તમે એવેન્જર્સ મૂવીઝના ચાહક છો, તો જ્યારે તમે "ટેસેરેક્ટ" શબ્દ સાંભળો છો ત્યારે તમારા મગજમાં પ્રથમ વસ્તુ આવી શકે છે જે અનંત શક્તિ ધરાવતું અનંત પથ્થરનું પારદર્શક ક્યુબ આકારનું પાત્ર છે.

માર્વેલ બ્રહ્માંડના ચાહકો માટે, ટેસેરેક્ટ એ એક ચમકતો વાદળી સમઘન છે જે ફક્ત પૃથ્વી જ નહીં, પરંતુ અન્ય ગ્રહોના લોકોને પણ પાગલ બનાવે છે. એટલા માટે બધા એવેન્જર્સ ટેસેરેક્ટની અત્યંત વિનાશક શક્તિઓથી પૃથ્વીવાસીઓને બચાવવા માટે ભેગા થયા.

જો કે, આ કહેવાની જરૂર છે: ટેસેરેક્ટ એ વાસ્તવિક ભૌમિતિક ખ્યાલ છે, અથવા વધુ વિશિષ્ટ રીતે, એક આકાર જે 4D માં અસ્તિત્વમાં છે. તે એવેન્જર્સ તરફથી માત્ર વાદળી ક્યુબ નથી... તે એક વાસ્તવિક ખ્યાલ છે.

ટેસેરેક્ટ એ 4 પરિમાણોમાં એક પદાર્થ છે. પરંતુ આપણે તેને વિગતવાર સમજાવીએ તે પહેલાં, ચાલો શરૂઆતથી પ્રારંભ કરીએ.

"માપ" શું છે?

દરેક વ્યક્તિએ 2D અને 3D શબ્દો સાંભળ્યા છે, જે અવકાશમાં અનુક્રમે દ્વિ-પરિમાણીય અથવા ત્રિ-પરિમાણીય પદાર્થોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. પરંતુ આ માપ શું છે?

પરિમાણ એ એક દિશા છે જે તમે જઈ શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે કાગળના ટુકડા પર રેખા દોરો છો, તો તમે ડાબે/જમણે (x-axis) અથવા ઉપર/નીચે (y-axis) જઈ શકો છો. તેથી અમે કહીએ છીએ કે કાગળ દ્વિ-પરિમાણીય છે કારણ કે તમે ફક્ત બે દિશામાં જ જઈ શકો છો.

3Dમાં ઊંડાણનો અહેસાસ છે.

હવે, વાસ્તવિક દુનિયામાં, ઉપર જણાવેલ બે દિશાઓ સિવાય (ડાબે/જમણે અને ઉપર/નીચે), તમે "થી/થી" પણ જઈ શકો છો. પરિણામે, 3D જગ્યામાં ઊંડાણની ભાવના ઉમેરવામાં આવે છે. તેથી જ આપણે કહીએ છીએ કે વાસ્તવિક જીવન 3-પરિમાણીય છે.

બિંદુ 0 પરિમાણનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે (કારણ કે તે કોઈપણ દિશામાં આગળ વધતું નથી), એક રેખા 1 પરિમાણ (લંબાઈ) રજૂ કરે છે, એક ચોરસ 2 પરિમાણ (લંબાઈ અને પહોળાઈ) રજૂ કરે છે અને સમઘન 3 પરિમાણો (લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ) રજૂ કરે છે. ).

3D ક્યુબ લો અને તેના દરેક ચહેરા (જે હાલમાં ચોરસ છે) ને ક્યુબથી બદલો. અને તેથી! તમે જે આકાર મેળવો છો તે ટેસેરેક્ટ છે.

ટેસરેક્ટ શું છે?

સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, ટેસેરેક્ટ એ 4-પરિમાણીય અવકાશમાં સમઘન છે. તમે એમ પણ કહી શકો છો કે તે ક્યુબનું 4D એનાલોગ છે. આ એક 4D આકાર છે જ્યાં દરેક ચહેરો એક ક્યુબ છે.

પરિમાણની કલ્પના કરવાની અહીં એક સરળ રીત છે: ચોરસ દ્વિ-પરિમાણીય છે; તેથી, તેના દરેક ખૂણામાં 2 રેખાઓ છે જે તેમાંથી 90 ડિગ્રીના ખૂણા પર એકબીજા સાથે વિસ્તરે છે. ક્યુબ 3D છે, તેથી તેના દરેક ખૂણામાં તેમાંથી 3 રેખાઓ આવે છે. તેવી જ રીતે, ટેસેરેક્ટ 4D આકારનું છે, તેથી દરેક ખૂણામાં તેમાંથી 4 રેખાઓ વિસ્તરે છે.

ટેસરેક્ટની કલ્પના કરવી કેમ મુશ્કેલ છે?

કારણ કે આપણે મનુષ્ય તરીકે વસ્તુઓને ત્રણ પરિમાણમાં વિઝ્યુઅલાઈઝ કરવા માટે વિકસિત થયા છીએ, તેથી 4D, 5D, 6D, વગેરે જેવા વધારાના પરિમાણોમાં જાય તે કંઈપણ આપણા માટે વધુ અર્થપૂર્ણ નથી કારણ કે આપણે તેનો પરિચય બિલકુલ કરી શકતા નથી. આપણું મગજ અવકાશમાં 4થા પરિમાણને સમજી શકતું નથી. અમે ફક્ત તેના વિશે વિચારી શકતા નથી.

જો કે, માત્ર એટલા માટે કે આપણે બહુપરિમાણીય જગ્યાઓના ખ્યાલની કલ્પના કરી શકતા નથી તેનો અર્થ એ નથી કે તે અસ્તિત્વમાં નથી.

હાઇપરક્યુબ અને ચાર-પરિમાણીય જગ્યા શું છે

આપણી સામાન્ય જગ્યા ત્રણ પરિમાણ ધરાવે છે. ભૌમિતિક દૃષ્ટિકોણથી, આનો અર્થ એ છે કે તેમાં ત્રણ પરસ્પર લંબ રેખાઓ સૂચવી શકાય છે. એટલે કે, કોઈપણ લાઇન માટે તમે પ્રથમની લંબરૂપ બીજી રેખા શોધી શકો છો, અને જોડી માટે તમે પ્રથમ બે પર લંબરૂપ ત્રીજી રેખા શોધી શકો છો. હાલની ત્રણની લંબરૂપ ચોથી રેખા શોધવાનું હવે શક્ય બનશે નહીં.

ચાર-પરિમાણીય અવકાશ આપણા કરતા અલગ છે માત્ર તેમાં એક વધુ વધારાની દિશા છે. જો તમારી પાસે પહેલેથી જ ત્રણ પરસ્પર લંબ રેખાઓ છે, તો પછી તમે ચોથી એક શોધી શકો છો, જેમ કે તે ત્રણેયને લંબરૂપ હશે.

હાઇપરક્યુબ એ ચાર-પરિમાણીય અવકાશમાં એક ક્યુબ છે.
શું ચાર-પરિમાણીય જગ્યા અને હાયપરક્યુબની કલ્પના કરવી શક્ય છે?

આ પ્રશ્ન પ્રશ્ન સાથે સંબંધિત છે: "શું લિયોનાર્ડો દા વિન્સી (1452-1519) દ્વારા સમાન નામ (1495-1498) ની પેઇન્ટિંગ જોઈને લાસ્ટ સપરની કલ્પના કરવી શક્ય છે?"

એક તરફ, તમે, અલબત્ત, ઇસુએ શું જોયું તેની કલ્પના નહીં કરો (તે દર્શકની સામે બેઠો છે), ખાસ કરીને કારણ કે તમે બારી બહારના બગીચાને સૂંઘશો નહીં અને ટેબલ પરના ખોરાકનો સ્વાદ માણશો નહીં, તમે પક્ષીઓને સાંભળી શકશો નહીં. ગાયન... તમને તે સાંજે શું થઈ રહ્યું હતું તેનો સંપૂર્ણ ચિત્ર મળશે નહીં, પરંતુ એવું કહી શકાય નહીં કે તમે કંઈપણ નવું શીખી શકશો નહીં અને તે ચિત્રમાં કોઈ રસ નથી.

હાયપરક્યુબના પ્રશ્ન સાથે પરિસ્થિતિ સમાન છે. તેની સંપૂર્ણ કલ્પના કરવી અશક્ય છે, પરંતુ તમે તે શું છે તે સમજવાની નજીક જઈ શકો છો.
હાયપરક્યુબનું બાંધકામ
0-ડાયમેન્શનલ ક્યુબ

ચાલો શરૂઆતથી શરૂ કરીએ - 0-પરિમાણીય સમઘન સાથે. આ ક્યુબમાં 0 પરસ્પર લંબરૂપ ચહેરાઓ છે, એટલે કે, તે માત્ર એક બિંદુ છે.

1-પરિમાણીય ક્યુબ

એક પરિમાણીય અવકાશમાં, આપણી પાસે માત્ર એક દિશા છે. અમે બિંદુને આ દિશામાં ખસેડીએ છીએ અને એક સેગમેન્ટ મેળવીએ છીએ.

આ એક-પરિમાણીય સમઘન છે.
2 પરિમાણીય સમઘન

આપણી પાસે બીજું પરિમાણ છે, આપણે આપણા એક-પરિમાણીય સમઘન (સેગમેન્ટ) ને બીજા પરિમાણની દિશામાં ખસેડીએ છીએ અને આપણને એક ચોરસ મળે છે.

આ દ્વિ-પરિમાણીય અવકાશમાં સમઘન છે.
3 પરિમાણીય સમઘન

ત્રીજા પરિમાણના આગમન સાથે, આપણે તે જ રીતે આગળ વધીએ છીએ: આપણે ચોરસને ખસેડીએ છીએ અને એક સામાન્ય ત્રિ-પરિમાણીય સમઘન મેળવીએ છીએ.

4-ડાયમેન્શનલ ક્યુબ (હાયપરક્યુબ)

હવે આપણી પાસે ચોથું પરિમાણ છે. એટલે કે, અમારી પાસે અગાઉના ત્રણેય દિશાઓ માટે લંબરૂપ દિશા છે. ચાલો તેનો બરાબર એ જ રીતે ઉપયોગ કરીએ. ચાર-પરિમાણીય ક્યુબ આના જેવો દેખાશે.

સ્વાભાવિક રીતે, ત્રિ-પરિમાણીય અને ચાર-પરિમાણીય સમઘનનું દ્વિ-પરિમાણીય સ્ક્રીન પ્લેન પર ચિત્રણ કરી શકાતું નથી. મેં જે દોર્યું તે અંદાજો છે. અમે થોડા સમય પછી અંદાજો વિશે વાત કરીશું, પરંતુ હમણાં માટે થોડાક તથ્યો અને આંકડાઓ.
શિરોબિંદુઓ, કિનારીઓ, ચહેરાઓની સંખ્યા
વિવિધ કદના ક્યુબ્સની લાક્ષણિકતાઓ
જગ્યાનું 1-પરિમાણ
શિરોબિંદુઓની 2-સંખ્યા
ધારની 3-સંખ્યા
ચહેરાઓની 4-સંખ્યા

0 (ડોટ) 1 0 0
1 (સેગમેન્ટ) 2 1 2 (પોઇન્ટ)
2 (ચોરસ) 4 4 4 (ખંડો)
3 (ઘન) 8 12 6 (ચોરસ)
4 (હાયપરક્યુબ) 16 32 8 (ક્યુબ્સ)
N (સામાન્ય સૂત્ર) 2N N 2N-1 2 N

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે હાઇપરક્યુબનો ચહેરો એ આપણું સામાન્ય ત્રિ-પરિમાણીય ક્યુબ છે. જો તમે હાયપરક્યુબના ચિત્રને નજીકથી જોશો, તો તમે ખરેખર આઠ સમઘન શોધી શકો છો.
ચાર-પરિમાણીય જગ્યાના રહેવાસીના અંદાજો અને દ્રષ્ટિ
દ્રષ્ટિ વિશે થોડાક શબ્દો

આપણે ત્રિ-પરિમાણીય વિશ્વમાં રહીએ છીએ, પરંતુ આપણે તેને દ્વિ-પરિમાણીય તરીકે જોઈએ છીએ. આ એ હકીકતને કારણે છે કે આપણી આંખોની રેટિના એક પ્લેનમાં સ્થિત છે જે ફક્ત બે પરિમાણો ધરાવે છે. તેથી જ આપણે દ્વિ-પરિમાણીય ચિત્રોને સમજવામાં સક્ષમ છીએ અને તેમને વાસ્તવિકતા સાથે સમાન શોધી શકીએ છીએ. (અલબત્ત, આવાસ માટે આભાર, આંખ કોઈ વસ્તુના અંતરનો અંદાજ લગાવી શકે છે, પરંતુ આ આપણી આંખોમાં બનેલા ઓપ્ટિક્સ સાથે સંકળાયેલ આડઅસર છે.)

ચાર-પરિમાણીય જગ્યાના રહેવાસીની આંખોમાં ત્રિ-પરિમાણીય રેટિના હોવી આવશ્યક છે. આવા પ્રાણી તરત જ સમગ્ર ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિ જોઈ શકે છે: તેના બધા ચહેરા અને અંદર. (તે જ રીતે, આપણે દ્વિ-પરિમાણીય આકૃતિ, તેના તમામ ચહેરાઓ અને આંતરિક ભાગો જોઈ શકીએ છીએ.)

આમ, આપણા દ્રષ્ટિના અવયવોની મદદથી, આપણે ચાર-પરિમાણીય ક્યુબને જે રીતે ચાર-પરિમાણીય અવકાશના રહેવાસીઓ તેને સમજશે તે રીતે સમજી શકતા નથી. અરે. જે બાકી છે તે તમારા મનની આંખ અને કલ્પના પર આધાર રાખવાનું છે, જેમાં સદભાગ્યે, કોઈ શારીરિક મર્યાદાઓ નથી.

જો કે, જ્યારે પ્લેન પર હાયપરક્યુબનું નિરૂપણ કરવામાં આવે છે, ત્યારે મને તેનું પ્રક્ષેપણ દ્વિ-પરિમાણીય અવકાશમાં કરવાની ફરજ પાડવામાં આવે છે. રેખાંકનોનો અભ્યાસ કરતી વખતે આ હકીકત ધ્યાનમાં લો.
ધાર આંતરછેદો

સ્વાભાવિક રીતે, હાયપરક્યુબની ધાર એકબીજાને છેદેતી નથી. આંતરછેદો ફક્ત રેખાંકનોમાં દેખાય છે. જો કે, આ આશ્ચર્યજનક ન હોવું જોઈએ, કારણ કે ચિત્રોમાં નિયમિત ક્યુબની કિનારીઓ પણ છેદે છે.
ધારની લંબાઈ

તે નોંધવું યોગ્ય છે કે ચાર-પરિમાણીય ક્યુબના બધા ચહેરા અને કિનારીઓ સમાન છે. આકૃતિમાં તેઓ સમાન નથી કારણ કે તેઓ દૃશ્યની દિશામાં જુદા જુદા ખૂણા પર સ્થિત છે. જો કે, હાયપરક્યુબને ફેરવવાનું શક્ય છે જેથી તમામ અંદાજોની લંબાઈ સમાન હોય.

માર્ગ દ્વારા, આ આકૃતિમાં આઠ સમઘન, જે હાયપરક્યુબના ચહેરા છે, સ્પષ્ટપણે દૃશ્યમાન છે.
હાયપરક્યુબ અંદર ખાલી છે

તે માનવું મુશ્કેલ છે, પરંતુ હાયપરક્યુબને બંધાયેલા સમઘન વચ્ચે, થોડી જગ્યા છે (ચાર-પરિમાણીય અવકાશનો ટુકડો).

આને વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, ચાલો એક સામાન્ય ત્રિ-પરિમાણીય ક્યુબના દ્વિ-પરિમાણીય પ્રક્ષેપણને જોઈએ (મેં જાણીજોઈને તેને કંઈક અંશે યોજનાકીય બનાવ્યું છે).

શું તમે તેના પરથી અનુમાન લગાવી શકો છો કે ક્યુબની અંદર થોડી જગ્યા છે? હા, પરંતુ ફક્ત તમારી કલ્પનાનો ઉપયોગ કરીને. આંખ આ જગ્યા જોતી નથી. આવું એટલા માટે થાય છે કારણ કે ત્રીજા પરિમાણમાં સ્થિત ધાર (જેને સપાટ ડ્રોઇંગમાં દર્શાવી શકાતી નથી) હવે ડ્રોઇંગના પ્લેનમાં પડેલા ભાગોમાં ફેરવાઈ ગઈ છે. તેઓ હવે વોલ્યુમ પ્રદાન કરતા નથી.

ક્યુબની જગ્યાને આવરી લેતા ચોરસ એકબીજાને ઓવરલેપ કરે છે. પરંતુ કોઈ કલ્પના કરી શકે છે કે મૂળ આકૃતિમાં (ત્રિ-પરિમાણીય સમઘન) આ ચોરસ અલગ-અલગ પ્લેનમાં સ્થિત હતા, અને એક જ પ્લેનમાં એક બીજાની ટોચ પર નથી, જેમ કે આકૃતિમાં થયું છે.

હાયપરક્યુબ સાથે પરિસ્થિતિ બરાબર એ જ છે. હાયપરક્યુબના ક્યુબ્સ-ફેસ વાસ્તવમાં ઓવરલેપ થતા નથી, કારણ કે તે અમને પ્રક્ષેપણ પર લાગે છે, પરંતુ તે ચાર-પરિમાણીય અવકાશમાં સ્થિત છે.
સ્વીપ્સ

તેથી, ચાર-પરિમાણીય જગ્યાનો રહેવાસી એક સાથે ત્રણ-પરિમાણીય પદાર્થને ચારે બાજુથી જોઈ શકે છે. શું આપણે એક જ સમયે બધી બાજુઓથી ત્રિ-પરિમાણીય ઘન જોઈ શકીએ? આંખ સાથે - ના. પરંતુ લોકો એક સપાટ ડ્રોઇંગ પર એક જ સમયે ત્રિ-પરિમાણીય ક્યુબના તમામ ચહેરાઓ દર્શાવવાની રીત સાથે આવ્યા છે. આવી છબીને સ્કેન કહેવામાં આવે છે.
ત્રિ-પરિમાણીય ક્યુબનો વિકાસ

દરેક વ્યક્તિ કદાચ જાણે છે કે ત્રિ-પરિમાણીય ક્યુબનો વિકાસ કેવી રીતે થાય છે. આ પ્રક્રિયા એનિમેશનમાં બતાવવામાં આવી છે.

સ્પષ્ટતા માટે, ક્યુબ ફેસની કિનારીઓ અર્ધપારદર્શક બનાવવામાં આવે છે.

એ નોંધવું જોઈએ કે આપણે આ દ્વિ-પરિમાણીય ચિત્રને માત્ર આપણી કલ્પનાને લીધે જ જોઈ શકીએ છીએ. જો આપણે દ્વિ-પરિમાણીય દૃષ્ટિકોણથી પ્રગટ થતા તબક્કાઓને ધ્યાનમાં લઈએ, તો પ્રક્રિયા વિચિત્ર લાગશે અને બિલકુલ સ્પષ્ટ નથી.

તે પ્રથમ વિકૃત ચોરસની રૂપરેખાના ધીમે ધીમે દેખાવ જેવું લાગે છે, અને પછી તે જ સમયે જરૂરી આકાર લેતી વખતે તેમના સ્થાને વિસર્પી.

જો તમે અનફોલ્ડિંગ ક્યુબને તેના એક ચહેરાની દિશામાં જુઓ (આ દૃષ્ટિકોણથી ક્યુબ ચોરસ જેવો દેખાય છે), તો પછી અનફોલ્ડની રચનાની પ્રક્રિયા પણ ઓછી સ્પષ્ટ છે. બધું પ્રારંભિક ચોરસમાંથી બહાર નીકળતા ચોરસ જેવું લાગે છે (ઉપયોગી ક્યુબ નહીં).

પરંતુ સ્કેન માત્ર આંખો માટે દ્રશ્ય નથી. તે તમારી કલ્પનાને આભારી છે કે તમે તેમાંથી ઘણી બધી માહિતી મેળવી શકો છો.
ચાર-પરિમાણીય ક્યુબનો વિકાસ

હાયપરક્યુબને પ્રગટ કરવાની એનિમેટેડ પ્રક્રિયાને ઓછામાં ઓછું કંઈક અંશે દ્રશ્ય બનાવવું ફક્ત અશક્ય છે. પરંતુ આ પ્રક્રિયાની કલ્પના કરી શકાય છે. (આ કરવા માટે, તમારે તેને ચાર-પરિમાણીય અસ્તિત્વની આંખો દ્વારા જોવાની જરૂર છે.)

સ્કેન આના જેવું લાગે છે.

હાઇપરક્યુબને બાંધતા તમામ આઠ સમઘન અહીં દૃશ્યમાન છે.

ફોલ્ડ કરતી વખતે જે કિનારીઓ સંરેખિત થવી જોઈએ તે સમાન રંગોથી દોરવામાં આવે છે. જે ચહેરાઓ માટે જોડી દેખાતી નથી તે રાખોડી છોડી દેવામાં આવે છે. ફોલ્ડ કર્યા પછી, ટોચના ક્યુબનો સૌથી ઉપરનો ચહેરો નીચેના ક્યુબની નીચેની ધાર સાથે સંરેખિત થવો જોઈએ. (ત્રિ-પરિમાણીય સમઘનનું પ્રગટ થવું એ જ રીતે ભાંગી પડે છે.)

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે કન્વોલ્યુશન પછી, આઠ ક્યુબ્સના બધા ચહેરા સંપર્કમાં આવશે, હાઇપરક્યુબને બંધ કરશે. અને છેલ્લે, ફોલ્ડિંગની પ્રક્રિયાની કલ્પના કરતી વખતે, ભૂલશો નહીં કે જ્યારે ફોલ્ડિંગ થાય છે, ત્યારે તે સમઘનનું ઓવરલેપિંગ નથી, પરંતુ તેમને ચોક્કસ (હાયપરક્યુબિક) ચાર-પરિમાણીય વિસ્તારની આસપાસ વીંટાળવું છે.

સાલ્વાડોર ડાલી (1904-1989) એ ક્રુસિફિકેશનને ઘણી વખત દર્શાવ્યું હતું, અને તેમના ઘણા ચિત્રોમાં ક્રોસ દેખાય છે. પેઇન્ટિંગ "ધ ક્રુસિફિક્સન" (1954) હાઇપરક્યુબ સ્કેનનો ઉપયોગ કરે છે.
અવકાશ-સમય અને યુક્લિડિયન ચાર-પરિમાણીય અવકાશ

હું આશા રાખું છું કે તમે હાયપરક્યુબની કલ્પના કરી શકશો. પરંતુ શું તમે ચાર-પરિમાણીય અવકાશ-સમય કે જેમાં આપણે જીવીએ છીએ તે કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તે સમજવાની નજીક આવી શક્યા છે? અરે, તદ્દન નથી.

અહીં આપણે યુક્લિડિયન ચાર-પરિમાણીય અવકાશ વિશે વાત કરી, પરંતુ અવકાશ-સમય સંપૂર્ણપણે અલગ ગુણધર્મો ધરાવે છે. ખાસ કરીને, કોઈપણ પરિભ્રમણ દરમિયાન, સેગમેન્ટ્સ હંમેશા સમય અક્ષ તરફ વળેલા રહે છે, કાં તો 45 ડિગ્રી કરતા ઓછા ખૂણા પર અથવા 45 ડિગ્રી કરતા વધુના ખૂણા પર.

સ્ત્રોત 2

ટેસેરેક્ટ એ ચાર-પરિમાણીય હાઇપરક્યુબ છે, જે ચાર-પરિમાણીય અવકાશમાં સમઘનનું એનાલોગ છે. ઓક્સફોર્ડ ડિક્શનરી અનુસાર, "ટેસેરેક્ટ" શબ્દ 1888માં ચાર્લ્સ હોવર્ડ હિન્ટન (1853-1907) દ્વારા તેમના પુસ્તક અ ન્યૂ એજ ઓફ થોટમાં બનાવવામાં આવ્યો હતો અને તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. પાછળથી કેટલાક લોકોએ એ જ આકૃતિને "ટેટ્રાક્યુબ" તરીકે ઓળખાવી.

ચાલો કલ્પના કરવાનો પ્રયાસ કરીએ કે ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા છોડ્યા વિના હાયપરક્યુબ કેવો દેખાશે.
એક-પરિમાણીય "જગ્યા" માં - એક લીટી પર - અમે લંબાઈ L નો એક સેગમેન્ટ AB પસંદ કરીએ છીએ. AB થી L ના અંતરે દ્વિ-પરિમાણીય પ્લેન પર, અમે તેની સમાંતર DC સેગમેન્ટ દોરીએ છીએ અને તેમના છેડા જોડીએ છીએ. પરિણામ એ ચોરસ ABCD છે. પ્લેન સાથે આ ક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરીને, અમે ત્રિ-પરિમાણીય ક્યુબ ABCDHEFG મેળવીએ છીએ. અને ક્યુબને ચોથા પરિમાણમાં (પ્રથમ ત્રણ પર લંબ) અંતર L દ્વારા ખસેડવાથી, આપણને હાઇપરક્યુબ ABCDEFGHIJKLMNOP મળે છે.

એક-પરિમાણીય સેગમેન્ટ AB એ દ્વિ-પરિમાણીય ચોરસ ABCD ના ચહેરા તરીકે કામ કરે છે, ચોરસ ABCDHEFG ક્યુબની બાજુ તરીકે કામ કરે છે, જે બદલામાં, ચાર-પરિમાણીય હાઇપરક્યુબની બાજુ હશે. એક સીધી રેખા ખંડમાં બે સીમા બિંદુઓ હોય છે, એક ચોરસમાં ચાર શિરોબિંદુઓ હોય છે, સમઘનમાં આઠ હોય છે. ચાર-પરિમાણીય હાયપરક્યુબમાં, આમ 16 શિરોબિંદુઓ હશે: મૂળ ક્યુબના 8 શિરોબિંદુ અને ચોથા પરિમાણમાં સ્થાનાંતરિત શિરોબિંદુમાંથી 8. તેની 32 કિનારીઓ છે - 12 દરેક મૂળ ક્યુબની પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ આપે છે, અને બીજી 8 ધાર તેના આઠ શિરોબિંદુઓને "ડ્રો" કરે છે, જે ચોથા પરિમાણમાં ગયા છે. હાયપરક્યુબના ચહેરા માટે સમાન તર્ક કરી શકાય છે. દ્વિ-પરિમાણીય અવકાશમાં માત્ર એક જ છે (ચોરસ પોતે), એક ક્યુબમાં તેમાંથી 6 હોય છે (ખસેડેલા ચોરસમાંથી બે ચહેરા અને ચાર વધુ જે તેની બાજુઓનું વર્ણન કરે છે). ચાર-પરિમાણીય હાયપરક્યુબમાં 24 ચોરસ ચહેરાઓ હોય છે - મૂળ ક્યુબના 12 ચોરસ બે સ્થિતિમાં અને 12 ચોરસ તેની બાર ધારથી.

એ જ રીતે, આપણે મોટી સંખ્યામાં પરિમાણના હાઇપરક્યુબ્સ માટેના અમારા તર્કને ચાલુ રાખી શકીએ છીએ, પરંતુ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશના રહેવાસીઓ, ચાર-પરિમાણીય હાઇપરક્યુબ આપણને કેવી રીતે જોશે તે જોવાનું વધુ રસપ્રદ છે. આ માટે આપણે અનુરૂપતાની પહેલાથી જ જાણીતી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું.
ચાલો વાયર ક્યુબ ABCDHEFG લઈએ અને તેને ધારની બાજુથી એક આંખથી જોઈએ. આપણે પ્લેન પર બે ચોરસ (તેની નજીક અને દૂરની કિનારીઓ) જોઈશું અને દોરી શકીએ છીએ, જે ચાર રેખાઓ - બાજુની કિનારીઓ દ્વારા જોડાયેલા છે. એ જ રીતે, ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં ચાર-પરિમાણીય હાઇપરક્યુબ બે ઘન "બોક્સ" જેવો દેખાશે જે એકબીજામાં દાખલ કરવામાં આવે છે અને આઠ કિનારી દ્વારા જોડાયેલ છે. આ કિસ્સામાં, "બોક્સ" પોતે - ત્રિ-પરિમાણીય ચહેરા - "અમારી" જગ્યા પર પ્રક્ષેપિત થશે, અને તેમને જોડતી રેખાઓ ચોથા પરિમાણમાં વિસ્તરશે. તમે ક્યુબની કલ્પના પ્રક્ષેપણમાં નહીં, પરંતુ અવકાશી છબીમાં કરવાનો પણ પ્રયાસ કરી શકો છો.

જેમ ત્રિ-પરિમાણીય સમઘન તેના ચહેરાની લંબાઈ દ્વારા ખસેડવામાં આવેલા ચોરસ દ્વારા રચાય છે, તેમ ચોથા પરિમાણમાં સ્થાનાંતરિત સમઘન એક હાઇપરક્યુબ બનાવશે. તે આઠ સમઘન દ્વારા મર્યાદિત છે, જે પરિપ્રેક્ષ્યમાં કેટલીક જટિલ આકૃતિ જેવી દેખાશે. "આપણી" જગ્યામાં રહેલો ભાગ નક્કર રેખાઓ વડે દોરવામાં આવે છે, અને જે ભાગ હાયપરસ્પેસમાં ગયો હતો તે ડોટેડ રેખાઓ વડે દોરવામાં આવે છે. ચાર-પરિમાણીય હાયપરક્યુબમાં અનંત સંખ્યામાં સમઘનનો સમાવેશ થાય છે, જેમ ત્રિ-પરિમાણીય સમઘનને અનંત સંખ્યામાં સપાટ ચોરસમાં "કાપી" શકાય છે.

ત્રિ-પરિમાણીય ક્યુબના છ ચહેરાઓને કાપીને, તમે તેને સપાટ આકૃતિમાં વિઘટિત કરી શકો છો - એક વિકાસ. તે મૂળ ચહેરાની દરેક બાજુ પર એક ચોરસ હશે, ઉપરાંત એક વધુ - તેની સામેનો ચહેરો. અને ચાર-પરિમાણીય હાયપરક્યુબના ત્રિ-પરિમાણીય વિકાસમાં મૂળ સમઘનનો સમાવેશ થશે, છ સમઘન તેમાંથી "વધતા" અને વધુ એક - અંતિમ "હાયપરફેસ". ટેસેરેક્ટના ગુણધર્મો ચાર-પરિમાણીય અવકાશમાં નીચલા પરિમાણના ભૌમિતિક આકૃતિઓના ગુણધર્મોને ચાલુ રાખવાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

અન્ય નામો
હેક્સાડેકાચોરોન
ઓક્ટાકોરોન
ટેટ્રાક્યુબ
4-ક્યુબ
હાયપરક્યુબ (જો પરિમાણોની સંખ્યા નિર્દિષ્ટ ન હોય તો)

10-પરિમાણીય જગ્યા
તે અંગ્રેજીમાં છે જેઓ નથી જાણતા, ચિત્રો તેને એકદમ સ્પષ્ટ કરે છે

Http://www.skillopedia.ru/material.php?id=1338

હાયપરક્યુબ અને પ્લેટોનિક સોલિડ્સ

"વેક્ટર" સિસ્ટમમાં કાપેલા આઇકોસાહેડ્રોન ("સોકર બોલ")નું મોડેલ બનાવો
જેમાં દરેક પેન્ટાગોન ષટકોણ દ્વારા બંધાયેલ છે

કાપેલું આઇકોસાહેડ્રોનનિયમિત પંચકોણના સ્વરૂપમાં ચહેરા બનાવવા માટે 12 શિરોબિંદુઓને કાપીને મેળવી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, નવા પોલિહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓની સંખ્યા 5 ગણી વધે છે (12×5=60), 20 ત્રિકોણાકાર ચહેરા નિયમિત ષટ્કોણમાં ફેરવાય છે (કુલ ચહેરા 20+12=32 બને છે), એ ધારની સંખ્યા વધીને 30+12×5=90 થાય છે.

વેક્ટર સિસ્ટમમાં કાપેલા આઇકોસાહેડ્રોન બનાવવા માટેનાં પગલાં

4-પરિમાણીય અવકાશમાંના આંકડા.

--à

--à ?

ઉદાહરણ તરીકે, ક્યુબ અને હાઇપરક્યુબ આપેલ છે. હાઇપરક્યુબમાં 24 ચહેરા હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે 4-પરિમાણીય અષ્ટાહેડ્રોનમાં 24 શિરોબિંદુઓ હશે. ના હોવા છતાં, હાયપરક્યુબમાં 8 સમઘનનાં ચહેરા હોય છે - દરેકના શિરોબિંદુ પર કેન્દ્ર હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે 4-પરિમાણીય ઓક્ટાહેડ્રોનમાં 8 શિરોબિંદુઓ હશે, જે વધુ હળવા છે.

4-પરિમાણીય ઓક્ટાહેડ્રોન. તે આઠ સમભુજ અને સમાન ટેટ્રાહેડ્રા ધરાવે છે,
દરેક શિરોબિંદુ પર ચાર દ્વારા જોડાયેલ.

ચોખા. અનુકરણ કરવાનો પ્રયાસ
"વેક્ટર" સિસ્ટમમાં હાયપરબોલ-હાયપરસ્ફિયર

આગળ - પાછળના ચહેરા - વિકૃતિ વિના બોલ. અન્ય છ બોલની વ્યાખ્યા એલિપ્સોઇડ અથવા ચતુર્ભુજ સપાટી (જનરેટર તરીકે 4 સમોચ્ચ રેખાઓ દ્વારા) અથવા ચહેરા દ્વારા (જનરેટર દ્વારા પ્રથમ વ્યાખ્યાયિત) દ્વારા કરી શકાય છે.

હાઇપરસ્ફિયર "બિલ્ડ" કરવા માટે વધુ તકનીકો
- 4-પરિમાણીય જગ્યામાં સમાન “સોકર બોલ”

પરિશિષ્ટ 2

બહિર્મુખ પોલિહેડ્રા માટે, ત્યાં એક ગુણધર્મ છે જે તેના શિરોબિંદુઓ, કિનારીઓ અને ચહેરાઓની સંખ્યાને સંબંધિત છે, જે 1752 માં લિયોનહાર્ડ યુલર દ્વારા સાબિત થયું હતું, અને તેને યુલરનું પ્રમેય કહેવામાં આવે છે.

તેને ઘડતા પહેલા, અમને જાણીતા પોલિહેડ્રાને ધ્યાનમાં લો અને નીચેનું કોષ્ટક ભરો, જેમાં B એ આપેલ પોલિહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓની સંખ્યા, P - ધાર અને G - ચહેરાઓ છે:

આ કોષ્ટકમાંથી તે તરત જ સ્પષ્ટ થાય છે કે તમામ પસંદ કરેલ પોલિહેડ્રા માટે સમાનતા B - P + G = 2 ધરાવે છે તે તારણ આપે છે કે આ સમાનતા ફક્ત આ પોલિહેડ્રા માટે જ નહીં, પણ મનસ્વી બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોન માટે પણ સાચી છે.

યુલરનું પ્રમેય. કોઈપણ બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોન માટે સમાનતા ધરાવે છે

B - P + G = 2,

જ્યાં B એ શિરોબિંદુઓની સંખ્યા છે, P એ ધારની સંખ્યા છે અને G એ આપેલ પોલિહેડ્રોનના ચહેરાઓની સંખ્યા છે.

પુરાવો.આ સમાનતા સાબિત કરવા માટે, એક સ્થિતિસ્થાપક સામગ્રીથી બનેલા આ પોલિહેડ્રોનની સપાટીની કલ્પના કરો. ચાલો તેના એક ચહેરાને દૂર કરીએ (કાપીએ) અને બાકીની સપાટીને પ્લેન પર ખેંચીએ. અમે બહુકોણ મેળવીએ છીએ (પોલીહેડ્રોનના દૂર કરેલા ચહેરાની કિનારીઓ દ્વારા રચાયેલ), નાના બહુકોણમાં વિભાજિત (બહુકોણના બાકીના ચહેરાઓ દ્વારા રચાયેલ).

નોંધ કરો કે બહુકોણ વિકૃત થઈ શકે છે, વિસ્તૃત થઈ શકે છે, ઘટાડી શકાય છે અથવા તો તેમની બાજુઓને વળાંક પણ આપી શકે છે, જ્યાં સુધી બાજુઓમાં કોઈ અંતર ન હોય. શિરોબિંદુઓ, કિનારીઓ અને ચહેરાઓની સંખ્યા બદલાશે નહીં.

ચાલો સાબિત કરીએ કે બહુકોણનું નાના બહુકોણમાં પરિણામી વિભાજન સમાનતાને સંતોષે છે

(*)B - P + G " = 1,

જ્યાં B એ શિરોબિંદુઓની કુલ સંખ્યા છે, P એ ધારની કુલ સંખ્યા છે અને Г " એ પાર્ટીશનમાં સમાવિષ્ટ બહુકોણની સંખ્યા છે. તે સ્પષ્ટ છે કે Г " = Г - 1, જ્યાં Г એ આપેલ ચહેરાઓની સંખ્યા છે બહુહેડ્રોન

ચાલો સાબિત કરીએ કે જો આપેલ પાર્ટીશનના કેટલાક બહુકોણમાં કર્ણ દોરવામાં આવે તો સમાનતા (*) બદલાતી નથી (ફિગ. 5, a). ખરેખર, આવા કર્ણ દોર્યા પછી, નવા પાર્ટીશનમાં B શિરોબિંદુઓ, P+1 ધાર હશે અને બહુકોણની સંખ્યા એકથી વધશે. તેથી, અમારી પાસે છે

B - (P + 1) + (G "+1) = B – P + G " .

આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને, અમે કર્ણ દોરીએ છીએ જે આવનારા બહુકોણને ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે, અને પરિણામી પાર્ટીશન માટે અમે સમાનતા (*) (ફિગ. 5, b) ની શક્યતા બતાવીએ છીએ. આ કરવા માટે, અમે ત્રિકોણની સંખ્યા ઘટાડીને, ક્રમિક રીતે બાહ્ય કિનારીઓને દૂર કરીશું. આ કિસ્સામાં, બે કેસો શક્ય છે:

a) ત્રિકોણ દૂર કરવા ABCઅમારા કિસ્સામાં, બે પાંસળી દૂર કરવી જરૂરી છે એબીઅને બી.સી.;

b) ત્રિકોણ દૂર કરવા માટેએમકેએનઅમારા કિસ્સામાં, એક ધાર દૂર કરવી જરૂરી છેMN.

બંને કિસ્સાઓમાં, સમાનતા (*) બદલાશે નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ કિસ્સામાં, ત્રિકોણને દૂર કર્યા પછી, ગ્રાફમાં B - 1 શિરોબિંદુઓ, P - 2 ધાર અને G " - 1 બહુકોણ હશે:

(B - 1) - (P + 2) + (G " – 1) = B – P + G ".

બીજા કેસને જાતે જ ધ્યાનમાં લો.

આમ, એક ત્રિકોણને દૂર કરવાથી સમાનતા (*) બદલાતી નથી. ત્રિકોણને દૂર કરવાની આ પ્રક્રિયાને ચાલુ રાખીને, આપણે આખરે એક ત્રિકોણ ધરાવતા પાર્ટીશન પર પહોંચીશું. આવા પાર્ટીશન માટે, B = 3, P = 3, Г " = 1 અને તેથી, B – Р + Г " = 1. આનો અર્થ એ છે કે સમાનતા (*) મૂળ પાર્ટીશન માટે પણ ધરાવે છે, જેમાંથી આપણે આખરે તે મેળવીએ છીએ. બહુકોણ સમાનતાના આ પાર્ટીશન માટે (*) સાચું છે. આમ, મૂળ બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોન માટે સમાનતા B - P + G = 2 સાચી છે.

બહુહેડ્રોનનું ઉદાહરણ જેના માટે યુલરનો સંબંધ નથી,આકૃતિ 6 માં બતાવેલ છે. આ પોલિહેડ્રોનમાં 16 શિરોબિંદુઓ, 32 કિનારીઓ અને 16 ચહેરાઓ છે. આમ, આ પોલિહેડ્રોન માટે સમાનતા B – P + G = 0 ધરાવે છે.

પરિશિષ્ટ 3.

ફિલ્મ ક્યુબ 2: હાયપરક્યુબ એ સાયન્સ ફિક્શન ફિલ્મ છે, જે ફિલ્મ ક્યુબની સિક્વલ છે.

ક્યુબ આકારના રૂમમાં આઠ અજાણ્યા લોકો જાગે છે. રૂમ ચાર-પરિમાણીય હાઇપરક્યુબની અંદર સ્થિત છે. ઓરડાઓ સતત "ક્વોન્ટમ ટેલિપોર્ટેશન" દ્વારા આગળ વધી રહ્યા છે, અને જો તમે આગલા રૂમમાં જાઓ છો, તો તે પાછલા રૂમમાં પાછા ફરવાની શક્યતા નથી. સમાંતર વિશ્વો હાયપરક્યુબમાં છેદે છે, કેટલાક રૂમમાં સમય અલગ રીતે વહે છે, અને કેટલાક રૂમ જીવલેણ ફાંસો છે.

ફિલ્મનો પ્લોટ મોટાભાગે પ્રથમ ભાગની વાર્તાનું પુનરાવર્તન કરે છે, જે કેટલાક પાત્રોની છબીઓમાં પણ પ્રતિબિંબિત થાય છે. નોબેલ પારિતોષિક વિજેતા રોસેન્ઝવેઇગ, જેમણે હાયપરક્યુબના વિનાશના ચોક્કસ સમયની ગણતરી કરી હતી, તે હાયપરક્યુબના રૂમમાં મૃત્યુ પામે છે..

ટીકા

જો પ્રથમ ભાગમાં ભુલભુલામણીમાં કેદ થયેલા લોકોએ એકબીજાને મદદ કરવાનો પ્રયાસ કર્યો, તો આ ફિલ્મમાં તે દરેક માણસ પોતાના માટે છે. ત્યાં ઘણી બધી બિનજરૂરી સ્પેશિયલ ઇફેક્ટ્સ (ઉર્ફ ટ્રેપ્સ) છે જે તાર્કિક રીતે ફિલ્મના આ ભાગને પાછલી એક સાથે જોડતી નથી. એટલે કે, તે તારણ આપે છે કે ફિલ્મ ક્યુબ 2 એ ભવિષ્યના 2020-2030ની ભુલભુલામણીનો એક પ્રકાર છે, પરંતુ 2000 નહીં. પ્રથમ ભાગમાં, સૈદ્ધાંતિક રીતે વ્યક્તિ દ્વારા તમામ પ્રકારની ફાંસો બનાવી શકાય છે. બીજા ભાગમાં, આ ફાંસો અમુક પ્રકારના કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ છે, જેને "વર્ચ્યુઅલ રિયાલિટી" કહેવામાં આવે છે.

બહુપરિમાણીય જગ્યાઓનો સિદ્ધાંત 19મી સદીના મધ્યમાં દેખાવા લાગ્યો. ચાર-પરિમાણીય અવકાશનો વિચાર વિજ્ઞાન સાહિત્ય લેખકો દ્વારા વૈજ્ઞાનિકો પાસેથી ઉધાર લેવામાં આવ્યો હતો. તેમના કાર્યોમાં તેઓએ વિશ્વને ચોથા પરિમાણના અદ્ભુત અજાયબીઓ વિશે જણાવ્યું.

તેમના કાર્યોના નાયકો, ચાર-પરિમાણીય જગ્યાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, શેલને નુકસાન પહોંચાડ્યા વિના ઇંડાની સામગ્રી ખાઈ શકે છે, અને બોટલની ટોપી ખોલ્યા વિના પીણું પી શકે છે. ચોરોએ ચોથા પરિમાણ દ્વારા તિજોરીને તિજોરીમાંથી કાઢી નાખી. સર્જનોએ દર્દીના શરીરના પેશીઓને કાપ્યા વિના આંતરિક અવયવો પર ઓપરેશન કર્યું.

ટેસેરેક્ટ

ભૂમિતિમાં, હાઇપરક્યુબ એ ચોરસ (n = 2) અને ઘન (n = 3) ની n-પરિમાણીય સામ્યતા છે. આપણા સામાન્ય 3-પરિમાણીય ક્યુબના ચાર-પરિમાણીય એનાલોગને ટેસેરેક્ટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ટેસેરેક્ટ ક્યુબ માટે છે જેમ ક્યુબ ચોરસ માટે છે. વધુ ઔપચારિક રીતે, ટેસેરેક્ટને નિયમિત બહિર્મુખ ચાર-પરિમાણીય પોલિહેડ્રોન તરીકે વર્ણવી શકાય છે જેની સીમા આઠ ઘન કોષો ધરાવે છે.

ચાલો કલ્પના કરવાનો પ્રયાસ કરીએ કે ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા છોડ્યા વિના હાયપરક્યુબ કેવો દેખાશે.
એક-પરિમાણીય "જગ્યા" માં - એક લીટી પર - અમે લંબાઈ L નો એક સેગમેન્ટ AB પસંદ કરીએ છીએ. AB થી L ના અંતરે દ્વિ-પરિમાણીય પ્લેન પર, અમે તેની સમાંતર DC સેગમેન્ટ દોરીએ છીએ અને તેમના છેડા જોડીએ છીએ. પરિણામ ચોરસ CDBA છે. પ્લેન સાથે આ ક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરીને, અમે ત્રિ-પરિમાણીય ક્યુબ CDBAGHFE મેળવીએ છીએ. અને ક્યુબને ચોથા પરિમાણમાં (પ્રથમ ત્રણ પર લંબ) અંતર L દ્વારા ખસેડવાથી, આપણને હાઇપરક્યુબ CDBAGHFEKLJIOPNM મળે છે.

એ જ રીતે, આપણે મોટી સંખ્યામાં પરિમાણના હાઇપરક્યુબ્સ માટેના અમારા તર્કને ચાલુ રાખી શકીએ છીએ, પરંતુ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશના રહેવાસીઓ, ચાર-પરિમાણીય હાઇપરક્યુબ આપણને કેવી રીતે જોશે તે જોવાનું વધુ રસપ્રદ છે.

ચાલો વાયર ક્યુબ ABCDHEFG લઈએ અને તેને ધારની બાજુથી એક આંખથી જોઈએ. આપણે પ્લેન પર બે ચોરસ (તેની નજીક અને દૂરની કિનારીઓ) જોઈશું અને દોરી શકીએ છીએ, જે ચાર રેખાઓ - બાજુની કિનારીઓ દ્વારા જોડાયેલા છે. એ જ રીતે, ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં ચાર-પરિમાણીય હાઇપરક્યુબ બે ઘન "બોક્સ" જેવો દેખાશે જે એકબીજામાં દાખલ કરવામાં આવે છે અને આઠ કિનારી દ્વારા જોડાયેલ છે. આ કિસ્સામાં, "બોક્સ" પોતે - ત્રિ-પરિમાણીય ચહેરાઓ - "અમારી" જગ્યા પર પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવશે, અને તેમને જોડતી રેખાઓ ચોથા અક્ષની દિશામાં લંબાશે. તમે ક્યુબની કલ્પના પ્રક્ષેપણમાં નહીં, પરંતુ અવકાશી છબીમાં કરવાનો પણ પ્રયાસ કરી શકો છો.

જેમ ત્રિ-પરિમાણીય સમઘન તેના ચહેરાની લંબાઈ દ્વારા ખસેડવામાં આવેલા ચોરસ દ્વારા રચાય છે, તેમ ચોથા પરિમાણમાં સ્થાનાંતરિત સમઘન એક હાઇપરક્યુબ બનાવશે. તે આઠ સમઘન દ્વારા મર્યાદિત છે, જે પરિપ્રેક્ષ્યમાં કેટલીક જટિલ આકૃતિ જેવી દેખાશે. ચાર-પરિમાણીય હાયપરક્યુબને પોતે જ અનંત સંખ્યામાં સમઘનનું વિભાજિત કરી શકાય છે, જેમ ત્રિ-પરિમાણીય સમઘનને અનંત સંખ્યામાં સપાટ ચોરસમાં "કાપી" શકાય છે.

ત્રિ-પરિમાણીય ક્યુબના છ ચહેરાઓને કાપીને, તમે તેને સપાટ આકૃતિમાં વિઘટિત કરી શકો છો - એક વિકાસ. તે મૂળ ચહેરાની દરેક બાજુ પર એક ચોરસ હશે, ઉપરાંત એક વધુ - તેની સામેનો ચહેરો. અને ચાર-પરિમાણીય હાયપરક્યુબના ત્રિ-પરિમાણીય વિકાસમાં મૂળ સમઘનનો સમાવેશ થશે, છ સમઘન તેમાંથી "વધતા" અને વધુ એક - અંતિમ "હાયપરફેસ".

ટેસરેક્ટ એટલી રસપ્રદ આકૃતિ છે કે તેણે વારંવાર લેખકો અને ફિલ્મ નિર્માતાઓનું ધ્યાન આકર્ષિત કર્યું છે.
રોબર્ટ ઇ. હેનલેઇને ઘણી વખત હાઇપરક્યુબ્સનો ઉલ્લેખ કર્યો છે. ધ હાઉસ ધેટ ટીલ બિલ્ટ (1940) માં, તેણે બાંધેલા ઘરનું વર્ણન એક અનવ્રેપ્ડ ટેસરેક્ટ તરીકે કર્યું અને પછી, ધરતીકંપને કારણે, "વાસ્તવિક" ટેસરેક્ટ બનવા માટે ચોથા પરિમાણમાં "ફોલ્ડ" થયું. હેનલેઇનની નવલકથા ગ્લોરી રોડ એક હાયપર-સાઇઝ બોક્સનું વર્ણન કરે છે જે બહારની સરખામણીએ અંદરથી મોટું હતું.

હેનરી કુટનરની વાર્તા "ઓલ ટેનાલી બોરોગોવ" દૂરના ભવિષ્યના બાળકો માટે શૈક્ષણિક રમકડાનું વર્ણન કરે છે, જે ટેસેરેક્ટ જેવી જ રચના છે.

ક્યુબ 2 નો પ્લોટ: "હાયપરક્યુબ" અથવા કનેક્ટેડ ક્યુબ્સના નેટવર્કમાં ફસાયેલા આઠ અજાણ્યાઓ પર હાયપરક્યુબ કેન્દ્રો.

સમાંતર વિશ્વ

ગાણિતિક અમૂર્તતાએ સમાંતર વિશ્વોના અસ્તિત્વના વિચારને જન્મ આપ્યો. આને વાસ્તવિકતા તરીકે સમજવામાં આવે છે જે આપણી સાથે એકસાથે અસ્તિત્વમાં છે, પરંતુ તેનાથી સ્વતંત્ર રીતે. સમાંતર વિશ્વમાં વિવિધ કદ હોઈ શકે છે: નાના ભૌગોલિક વિસ્તારથી સમગ્ર બ્રહ્માંડ સુધી. સમાંતર વિશ્વમાં, ઘટનાઓ તેમની પોતાની રીતે થાય છે; તે વ્યક્તિગત વિગતો અને લગભગ દરેક બાબતમાં આપણા વિશ્વથી અલગ હોઈ શકે છે. તદુપરાંત, સમાંતર વિશ્વના ભૌતિક નિયમો આપણા બ્રહ્માંડના નિયમો જેવા જ હોય ​​તે જરૂરી નથી.

આ વિષય વિજ્ઞાન સાહિત્ય લેખકો માટે ફળદ્રુપ જમીન છે.

સાલ્વાડોર ડાલીની પેઇન્ટિંગ "ધ ક્રુસિફિક્સન" એક ટેસેરેક્ટ દર્શાવે છે. "ક્રુસિફિકેશન અથવા હાયપરક્યુબિક બોડી" એ સ્પેનિશ કલાકાર સાલ્વાડોર ડાલીનું ચિત્ર છે, જે 1954 માં દોરવામાં આવ્યું હતું. ટેસેરેક્ટ સ્કેન પર વધસ્તંભ પર જડાયેલા ઈસુ ખ્રિસ્તનું નિરૂપણ કરે છે. આ પેઇન્ટિંગ ન્યુયોર્કના મેટ્રોપોલિટન મ્યુઝિયમ ઓફ આર્ટમાં રાખવામાં આવી છે

તે બધું 1895 માં શરૂ થયું, જ્યારે H.G. વેલ્સ, તેમની વાર્તા "ધ ડોર ઇન ધ વોલ" સાથે, વિજ્ઞાન સાહિત્ય માટે સમાંતર વિશ્વના અસ્તિત્વની શોધ કરી. 1923 માં, વેલ્સ સમાંતર વિશ્વોના વિચાર પર પાછા ફર્યા અને તેમાંના એકમાં એક યુટોપિયન દેશ મૂક્યો જ્યાં નવલકથા મેન લાઈક ગોડ્સના પાત્રો જાય છે.

નવલકથા પર ધ્યાન ગયું ન હતું. 1926 માં, જી. ડેન્ટની વાર્તા “દેશનો સમ્રાટ “જો” દેખાય છે, ડેન્ટની વાર્તામાં, પ્રથમ વખત એવો વિચાર આવ્યો કે એવા દેશો (વિશ્વ) હોઈ શકે છે જેનો ઇતિહાસ વાસ્તવિક દેશોના ઇતિહાસથી અલગ હોઈ શકે છે. આપણા વિશ્વમાં અને આ વિશ્વ આપણા કરતાં ઓછું વાસ્તવિક નથી.

1944 માં, જોર્જ લુઈસ બોર્જેસે તેમના પુસ્તક કાલ્પનિક વાર્તાઓમાં "ધ ગાર્ડન ઓફ ફોર્કિંગ પાથ્સ" વાર્તા પ્રકાશિત કરી. અહીં શાખા સમયનો વિચાર આખરે અત્યંત સ્પષ્ટતા સાથે વ્યક્ત કરવામાં આવ્યો હતો.
ઉપર સૂચિબદ્ધ કાર્યોના દેખાવ હોવા છતાં, 20મી સદીના ચાલીસના દાયકાના ઉત્તરાર્ધમાં જ વિજ્ઞાન સાહિત્યમાં ઘણા વિશ્વોનો વિચાર ગંભીરતાથી વિકસિત થવા લાગ્યો હતો, લગભગ તે જ સમયે જ્યારે ભૌતિકશાસ્ત્રમાં સમાન વિચાર ઉદ્ભવ્યો હતો.

વિજ્ઞાન સાહિત્યમાં નવી દિશાના પ્રણેતાઓમાંના એક જ્હોન બિક્સબી હતા, જેમણે વાર્તા "વન વે સ્ટ્રીટ" (1954) માં સૂચવ્યું હતું કે વિશ્વની વચ્ચે તમે ફક્ત એક જ દિશામાં આગળ વધી શકો છો - એકવાર તમે તમારા વિશ્વમાંથી સમાંતર તરફ જાઓ, તમે પાછા ફરશો નહીં, પરંતુ તમે એક વિશ્વમાંથી બીજા વિશ્વમાં જશો. જો કે, પોતાની દુનિયામાં પાછા ફરવું પણ બાકાત નથી - આ માટે તે જરૂરી છે કે વિશ્વની સિસ્ટમ બંધ થઈ જાય.

ક્લિફોર્ડ સિમાકની નવલકથા એ રિંગ અરાઉન્ડ ધ સન (1982) પૃથ્વીના અસંખ્ય ગ્રહોનું વર્ણન કરે છે, દરેક તેની પોતાની દુનિયામાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે, પરંતુ એક જ ભ્રમણકક્ષામાં છે, અને આ વિશ્વો અને આ ગ્રહો સમયના થોડા (માઈક્રોસેકન્ડ) ફેરફારથી જ એકબીજાથી અલગ પડે છે. નવલકથાનો નાયક જે અસંખ્ય પૃથ્વીની મુલાકાત લે છે તે વિશ્વની એક સિસ્ટમ બનાવે છે.

આલ્ફ્રેડ બેસ્ટરે તેમની વાર્તા "ધ મેન હુ કિલ્ડ મોહમ્મદ" (1958) માં વિશ્વની શાખાઓ વિશે રસપ્રદ દૃષ્ટિકોણ વ્યક્ત કર્યો. "ભૂતકાળને બદલીને," વાર્તાના હીરોએ દલીલ કરી, "તમે તેને ફક્ત તમારા માટે જ બદલો." બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ભૂતકાળમાં બદલાવ પછી, ઇતિહાસની એક શાખા ઊભી થાય છે જેમાં પરિવર્તન કરનાર પાત્ર માટે જ આ પરિવર્તન અસ્તિત્વમાં છે.

સ્ટ્રુગેટસ્કી ભાઈઓની વાર્તા "સોમવારે શનિવારની શરૂઆત થાય છે" (1962) વિજ્ઞાન સાહિત્ય લેખકો દ્વારા વર્ણવેલ ભવિષ્યના વિવિધ સંસ્કરણો માટે પાત્રોની મુસાફરીનું વર્ણન કરે છે - વિજ્ઞાન સાહિત્યમાં પહેલાથી અસ્તિત્વમાં રહેલા ભૂતકાળના વિવિધ સંસ્કરણોની મુસાફરીથી વિપરીત.

જો કે, સમાંતર વિશ્વોની થીમને સ્પર્શતા તમામ કાર્યોની એક સરળ સૂચિ પણ ઘણો સમય લેશે. અને તેમ છતાં, વિજ્ઞાન સાહિત્ય લેખકો, એક નિયમ તરીકે, બહુપરીમાણીયતાના અનુમાનને વૈજ્ઞાનિક રીતે સાબિત કરતા નથી, તેઓ એક વસ્તુ વિશે સાચા છે - આ એક પૂર્વધારણા છે જેનો અસ્તિત્વનો અધિકાર છે.
ટેસરેક્ટનું ચોથું પરિમાણ હજી પણ આપણી મુલાકાત માટે રાહ જોઈ રહ્યું છે.

વિક્ટર સવિનોવ