વાસ્તવમાં, આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, તમારે અનિશ્ચિત અને નિશ્ચિત અવિભાજ્યના આટલા જ્ઞાનની જરૂર નથી. "ચોક્કસ અવિભાજ્યનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તારની ગણતરી કરો" કાર્યમાં હંમેશા ડ્રોઇંગ બનાવવાનો સમાવેશ થાય છે, તેથી ડ્રોઇંગ બનાવવાનું તમારું જ્ઞાન અને કૌશલ્ય એ વધુ મહત્ત્વનો પ્રશ્ન હશે. આ સંદર્ભમાં, મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખની તમારી મેમરીને તાજી કરવી ઉપયોગી છે, અને, ઓછામાં ઓછું, એક સીધી રેખા અને અતિપરવલય બનાવવા માટે સક્ષમ બનો.
વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ એ અક્ષ, સીધી રેખાઓ અને આ અંતરાલ પર સાઇન બદલતા નથી તેવા સેગમેન્ટ પર સતત કાર્યનો ગ્રાફ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિ છે. આ આંકડો સ્થિત થવા દો નીચું નથી x-અક્ષ:
પછી વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર સંખ્યાત્મક રીતે ચોક્કસ અભિન્ન સમાન છે. કોઈપણ ચોક્કસ અભિન્ન (જે અસ્તિત્વમાં છે)નો ખૂબ જ સારો ભૌમિતિક અર્થ છે.
ભૂમિતિના દૃષ્ટિકોણથી, ચોક્કસ અવિભાજ્ય એ AREA છે.
એટલે કે, ચોક્કસ અભિન્ન (જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો) ભૌમિતિક રીતે ચોક્કસ આકૃતિના ક્ષેત્રને અનુરૂપ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચોક્કસ અભિન્ન ધ્યાનમાં લો. ઇન્ટિગ્રેન્ડ અક્ષની ઉપર સ્થિત પ્લેન પરના વળાંકને વ્યાખ્યાયિત કરે છે (જેઓ ઇચ્છે છે તેઓ ડ્રોઇંગ બનાવી શકે છે), અને ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલ પોતે સંબંધિત વળાંકવાળા ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રફળની સંખ્યાત્મક રીતે સમાન છે.
ઉદાહરણ 1
આ એક લાક્ષણિક અસાઇનમેન્ટ સ્ટેટમેન્ટ છે. નિર્ણયનો પ્રથમ અને સૌથી મહત્વનો મુદ્દો એ ડ્રોઇંગ છે. તદુપરાંત, ડ્રોઇંગ યોગ્ય રીતે બાંધવું આવશ્યક છે.
ડ્રોઇંગ બનાવતી વખતે, હું નીચેના ક્રમની ભલામણ કરું છું: પ્રથમ, બધી સીધી રેખાઓ (જો કોઈ હોય તો) બાંધવી વધુ સારું છે અને તે પછી જ - પેરાબોલાસ, હાઇપરબોલાસ અને અન્ય કાર્યોના ગ્રાફ. પોઈન્ટ બાય પોઈન્ટ ફંક્શનના ગ્રાફનું નિર્માણ કરવું વધુ નફાકારક છે.
આ સમસ્યામાં, ઉકેલ આના જેવો દેખાશે.
ચાલો ડ્રોઇંગ દોરીએ (નોંધ કરો કે સમીકરણ ધરીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે):
સેગમેન્ટ પર, કાર્યનો ગ્રાફ અક્ષની ઉપર સ્થિત છે, તેથી:
જવાબ:
કાર્ય પૂર્ણ થયા પછી, ડ્રોઇંગ જોવા અને જવાબ વાસ્તવિક છે કે કેમ તે શોધવાનું હંમેશા ઉપયોગી છે. આ કિસ્સામાં, "આંખ દ્વારા" આપણે ડ્રોઇંગમાં કોષોની સંખ્યા ગણીએ છીએ - સારું, ત્યાં લગભગ 9 હશે, તે સાચું લાગે છે. તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે જો અમને જવાબ મળ્યો, કહો, 20 ચોરસ એકમો, તો તે સ્પષ્ટ છે કે ક્યાંક ભૂલ થઈ હતી - 20 કોષો દેખીતી રીતે પ્રશ્નમાંની આકૃતિમાં બંધબેસતા નથી, વધુમાં વધુ એક ડઝન. જો જવાબ નકારાત્મક છે, તો કાર્ય પણ ખોટી રીતે હલ કરવામાં આવ્યું હતું.
ઉદાહરણ 3
રેખાઓ અને સંકલન અક્ષો દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના વિસ્તારની ગણતરી કરો.
ઉકેલ: ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ:
જો વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ અક્ષ હેઠળ સ્થિત છે (અથવા ઓછામાં ઓછું ઉચ્ચ નથીઆપેલ અક્ષ), પછી તેનો વિસ્તાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:
આ કિસ્સામાં:
ધ્યાન આપો! બે પ્રકારના કાર્યોમાં મૂંઝવણ ન થવી જોઈએ:
1) જો તમને કોઈપણ ભૌમિતિક અર્થ વિના ફક્ત ચોક્કસ અભિન્નને હલ કરવાનું કહેવામાં આવે, તો તે નકારાત્મક હોઈ શકે છે.
2) જો તમને ચોક્કસ પૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું કહેવામાં આવે, તો તે ક્ષેત્ર હંમેશા હકારાત્મક હોય છે! તેથી જ માત્ર ચર્ચા કરેલ ફોર્મ્યુલામાં માઈનસ દેખાય છે.
વ્યવહારમાં, મોટેભાગે આકૃતિ ઉપલા અને નીચલા અર્ધ-પ્લેન બંનેમાં સ્થિત હોય છે, અને તેથી, સરળ શાળા સમસ્યાઓમાંથી આપણે વધુ અર્થપૂર્ણ ઉદાહરણો તરફ આગળ વધીએ છીએ.
ઉદાહરણ 4
રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ પ્લેન આકૃતિનો વિસ્તાર શોધો.
ઉકેલ: પ્રથમ તમારે ડ્રોઇંગ બનાવવાની જરૂર છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, વિસ્તારની સમસ્યાઓમાં ડ્રોઇંગ બનાવતી વખતે, અમને રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુઓમાં સૌથી વધુ રસ હોય છે. ચાલો પેરાબોલાના આંતરછેદ બિંદુઓ અને સીધી રેખા શોધીએ. આ બે રીતે કરી શકાય છે. પ્રથમ પદ્ધતિ વિશ્લેષણાત્મક છે. અમે સમીકરણ હલ કરીએ છીએ:
આનો અર્થ એ છે કે એકીકરણની નીચલી મર્યાદા છે, એકીકરણની ઉપલી મર્યાદા છે.
જો શક્ય હોય તો, આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ન કરવો તે વધુ સારું છે.
પોઈન્ટ બાય લાઈનો બાંધવી તે વધુ નફાકારક અને ઝડપી છે, અને એકીકરણની મર્યાદા "પોતાના દ્વારા" સ્પષ્ટ થઈ જાય છે. તેમ છતાં, કેટલીકવાર મર્યાદાઓ શોધવાની વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો પડે છે જો, ઉદાહરણ તરીકે, આલેખ પૂરતો મોટો હોય, અથવા વિગતવાર બાંધકામ એકીકરણની મર્યાદાઓને જાહેર કરતું ન હોય (તે અપૂર્ણાંક અથવા અતાર્કિક હોઈ શકે છે). અને અમે આવા ઉદાહરણ પર પણ વિચાર કરીશું.
ચાલો આપણા કાર્ય પર પાછા આવીએ: પ્રથમ એક સીધી રેખા અને તે પછી જ પેરાબોલા બનાવવું વધુ તર્કસંગત છે. ચાલો ડ્રોઇંગ બનાવીએ:
અને હવે કાર્યકારી સૂત્ર: જો કોઈ સેગમેન્ટ પર કેટલાક સતત કાર્ય કેટલાક સતત કાર્ય કરતા વધારે અથવા સમાન હોય, તો આ ફંકશનના આલેખ અને સીધી રેખાઓ દ્વારા મર્યાદિત આકૃતિનો વિસ્તાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે: 
અહીં તમારે હવે આકૃતિ ક્યાં સ્થિત છે તે વિશે વિચારવાની જરૂર નથી - અક્ષની ઉપર અથવા અક્ષની નીચે, અને, લગભગ કહીએ તો, તે મહત્વનું છે કે કયો ગ્રાફ ઊંચો છે (બીજા ગ્રાફને સંબંધિત) અને કયો નીચે છે.
વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણમાં, તે સ્પષ્ટ છે કે સેગમેન્ટ પર પેરાબોલા સીધી રેખાની ઉપર સ્થિત છે, અને તેથી તેમાંથી બાદબાકી કરવી જરૂરી છે
પૂર્ણ થયેલ ઉકેલ આના જેવો દેખાઈ શકે છે:
ઇચ્છિત આકૃતિ ઉપરના પેરાબોલા અને નીચે એક સીધી રેખા દ્વારા મર્યાદિત છે.
સેગમેન્ટ પર, અનુરૂપ સૂત્ર અનુસાર:
જવાબ:
ઉદાહરણ 4
રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો , , .
ઉકેલ: પ્રથમ, ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ:
જે આકૃતિનો વિસ્તાર આપણે શોધવાની જરૂર છે તે વાદળી રંગમાં છાંયો છે (સ્થિતિને કાળજીપૂર્વક જુઓ - આકૃતિ કેવી રીતે મર્યાદિત છે!). પરંતુ વ્યવહારમાં, બેદરકારીને લીધે, ઘણી વખત "ભૂલ" થાય છે કે તમારે આકૃતિનો વિસ્તાર શોધવાની જરૂર છે જે લીલા રંગમાં છાંયો છે!
આ ઉદાહરણ એમાં પણ ઉપયોગી છે કે તે બે નિશ્ચિત પૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરે છે.
ખરેખર:
1) ધરીની ઉપરના સેગમેન્ટ પર સીધી રેખાનો ગ્રાફ છે;
2) ધરીની ઉપરના સેગમેન્ટ પર અતિપરવલયનો ગ્રાફ છે.
તે તદ્દન સ્પષ્ટ છે કે વિસ્તારો ઉમેરી શકાય છે (અને જોઈએ) તેથી:
આ લેખમાં તમે શીખી શકશો કે અભિન્ન ગણતરીઓનો ઉપયોગ કરીને રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો. આપણે સૌપ્રથમ હાઈસ્કૂલમાં આવી સમસ્યાની રચનાનો સામનો કરીએ છીએ, જ્યારે આપણે હમણાં જ ચોક્કસ પૂર્ણાંકોનો અભ્યાસ પૂર્ણ કર્યો છે અને વ્યવહારમાં હસ્તગત જ્ઞાનની ભૌમિતિક અર્થઘટન શરૂ કરવાનો સમય છે.
તેથી, પૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિના ક્ષેત્રને શોધવાની સમસ્યાને સફળતાપૂર્વક હલ કરવા માટે શું જરૂરી છે:
- સક્ષમ રેખાંકનો બનાવવાની ક્ષમતા;
- જાણીતા ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ અભિન્ન ઉકેલની ક્ષમતા;
- વધુ નફાકારક ઉકેલ વિકલ્પ "જોવા" કરવાની ક્ષમતા - એટલે કે. સમજો છો કે એક અથવા બીજા કિસ્સામાં એકીકરણ હાથ ધરવા માટે તે કેવી રીતે વધુ અનુકૂળ રહેશે? એક્સ-અક્ષ (OX) અથવા y-અક્ષ (OY) સાથે?
- ઠીક છે, સાચી ગણતરીઓ વિના આપણે ક્યાં હોઈશું?) આમાં તે અન્ય પ્રકારના પૂર્ણાંકો અને સાચી સંખ્યાત્મક ગણતરીઓને કેવી રીતે હલ કરવી તે સમજવાનો સમાવેશ થાય છે.
રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરીની સમસ્યાને ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ:
1. અમે એક ચિત્ર બનાવીએ છીએ. મોટા પાયે કાગળના ચેકર્ડ ટુકડા પર આ કરવાનું સલાહ આપવામાં આવે છે. અમે દરેક ગ્રાફ ઉપર પેન્સિલ વડે આ ફંક્શનના નામ પર સહી કરીએ છીએ. આલેખ પર સહી કરવી એ ફક્ત આગળની ગણતરીઓની સુવિધા માટે કરવામાં આવે છે. ઇચ્છિત આકૃતિનો ગ્રાફ પ્રાપ્ત કર્યા પછી, મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં તે તરત જ સ્પષ્ટ થઈ જશે કે એકીકરણની કઈ મર્યાદાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે. આમ, અમે ગ્રાફિકલી સમસ્યા હલ કરીએ છીએ. જો કે, એવું બને છે કે મર્યાદાના મૂલ્યો અપૂર્ણાંક અથવા અતાર્કિક છે. તેથી, તમે વધારાની ગણતરીઓ કરી શકો છો, બીજા પગલા પર જાઓ.
2. જો એકીકરણની મર્યાદા સ્પષ્ટ રીતે ઉલ્લેખિત નથી, તો પછી આપણે એકબીજા સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધીએ છીએ અને જોઈએ છીએ કે શું આપણું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન વિશ્લેષણાત્મક સાથે મેળ ખાય છે.
3. આગળ, તમારે ડ્રોઇંગનું વિશ્લેષણ કરવાની જરૂર છે. ફંક્શન ગ્રાફ કેવી રીતે ગોઠવાય છે તેના આધારે, આકૃતિનો વિસ્તાર શોધવા માટે વિવિધ અભિગમો છે. ચાલો ઇન્ટિગ્રલ્સનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શોધવાના વિવિધ ઉદાહરણો જોઈએ.
3.1.
જ્યારે તમારે વક્ર ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર શોધવાની જરૂર હોય ત્યારે સમસ્યાનું સૌથી ક્લાસિક અને સરળ સંસ્કરણ છે. વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ શું છે? આ એક સપાટ આકૃતિ છે જે x-અક્ષ (y = 0), સીધી રેખાઓ x = a, x = b અને a થી b સુધીના અંતરાલમાં સતત કોઈપણ વળાંક દ્વારા મર્યાદિત છે. વધુમાં, આ આંકડો બિન-નકારાત્મક છે અને તે x-અક્ષની નીચે સ્થિત નથી. આ કિસ્સામાં, વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર સંખ્યાત્મક રીતે ચોક્કસ અવિભાજ્ય સમાન છે, જે ન્યૂટન-લેબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:ઉદાહરણ 1
y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
આકૃતિ કઈ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ છે? અમારી પાસે પેરાબોલા y = x2 - 3x + 3 છે, જે OX અક્ષની ઉપર સ્થિત છે, તે બિન-નકારાત્મક છે, કારણ કે આ પેરાબોલાના તમામ બિંદુઓ હકારાત્મક મૂલ્યો ધરાવે છે. આગળ, સીધી રેખાઓ x = 1 અને x = 3 આપવામાં આવે છે, જે અક્ષ OU ને સમાંતર ચાલે છે, અને ડાબી અને જમણી બાજુની આકૃતિની મર્યાદિત રેખાઓ છે. સારું, y = 0, જે x-અક્ષ પણ છે, જે નીચેથી આકૃતિને મર્યાદિત કરે છે. પરિણામી આકૃતિ શેડમાં છે, જેમ કે ડાબી બાજુની આકૃતિમાંથી જોઈ શકાય છે. આ કિસ્સામાં, તમે તરત જ સમસ્યા હલ કરવાનું શરૂ કરી શકો છો. આપણી સમક્ષ વક્ર ટ્રેપેઝોઇડનું એક સરળ ઉદાહરણ છે, જેને આપણે ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીએ છીએ.
3.2.અગાઉના ફકરા 3.1 માં, અમે કેસની તપાસ કરી જ્યારે વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ x-અક્ષની ઉપર સ્થિત છે. હવે જ્યારે સમસ્યાની સ્થિતિ સમાન હોય ત્યારે કેસને ધ્યાનમાં લો, સિવાય કે કાર્ય x-અક્ષ હેઠળ આવેલું છે. પ્રમાણભૂત ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્રમાં એક બાદબાકી ઉમેરવામાં આવે છે. આવી સમસ્યાને કેવી રીતે હલ કરવી તે અમે નીચે ધ્યાનમાં લઈશું.
આ ઉદાહરણમાં આપણી પાસે પેરાબોલા y = x2 + 6x + 2 છે, જે OX અક્ષની નીચેથી ઉદ્દભવે છે, સીધી રેખાઓ x = -4, x = -1, y = 0. અહીં y = 0 ઉપરથી ઇચ્છિત આકૃતિને મર્યાદિત કરે છે. સીધી રેખાઓ x = -4 અને x = -1 એ સીમાઓ છે જેની અંદર ચોક્કસ પૂર્ણાંકની ગણતરી કરવામાં આવશે. આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શોધવાની સમસ્યાને ઉકેલવાનો સિદ્ધાંત લગભગ સંપૂર્ણ રીતે ઉદાહરણ નંબર 1 સાથે એકરુપ છે. માત્ર એટલો જ તફાવત છે કે આપેલ કાર્ય હકારાત્મક નથી, અને તે અંતરાલ [-4] પર પણ સતત છે; -1]. તમારો મતલબ શું સકારાત્મક નથી? આકૃતિમાંથી જોઈ શકાય છે તેમ, આપેલ x ની અંદર આવેલ આકૃતિ ફક્ત "નકારાત્મક" કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે, જે સમસ્યાને ઉકેલતી વખતે આપણે જોવાની અને યાદ રાખવાની જરૂર છે. અમે ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિનો વિસ્તાર શોધીએ છીએ, ફક્ત શરૂઆતમાં ઓછા ચિહ્ન સાથે.
લેખ પૂરો થયો નથી.
આ લેખમાં તમે શીખી શકશો કે અભિન્ન ગણતરીઓનો ઉપયોગ કરીને રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો. આપણે સૌપ્રથમ હાઈસ્કૂલમાં આવી સમસ્યાની રચનાનો સામનો કરીએ છીએ, જ્યારે આપણે હમણાં જ ચોક્કસ પૂર્ણાંકોનો અભ્યાસ પૂર્ણ કર્યો છે અને વ્યવહારમાં હસ્તગત જ્ઞાનની ભૌમિતિક અર્થઘટન શરૂ કરવાનો સમય છે.
તેથી, પૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિના ક્ષેત્રને શોધવાની સમસ્યાને સફળતાપૂર્વક હલ કરવા માટે શું જરૂરી છે:
- સક્ષમ રેખાંકનો બનાવવાની ક્ષમતા;
- જાણીતા ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ અભિન્ન ઉકેલની ક્ષમતા;
- વધુ નફાકારક ઉકેલ વિકલ્પ "જોવા" કરવાની ક્ષમતા - એટલે કે. સમજો છો કે એક અથવા બીજા કિસ્સામાં એકીકરણ હાથ ધરવા માટે તે કેવી રીતે વધુ અનુકૂળ રહેશે? એક્સ-અક્ષ (OX) અથવા y-અક્ષ (OY) સાથે?
- ઠીક છે, સાચી ગણતરીઓ વિના આપણે ક્યાં હોઈશું?) આમાં તે અન્ય પ્રકારના પૂર્ણાંકો અને સાચી સંખ્યાત્મક ગણતરીઓને કેવી રીતે હલ કરવી તે સમજવાનો સમાવેશ થાય છે.
રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરીની સમસ્યાને ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ:
1. અમે એક ચિત્ર બનાવીએ છીએ. મોટા પાયે કાગળના ચેકર્ડ ટુકડા પર આ કરવાનું સલાહ આપવામાં આવે છે. અમે દરેક ગ્રાફ ઉપર પેન્સિલ વડે આ ફંક્શનના નામ પર સહી કરીએ છીએ. આલેખ પર સહી કરવી એ ફક્ત આગળની ગણતરીઓની સુવિધા માટે કરવામાં આવે છે. ઇચ્છિત આકૃતિનો ગ્રાફ પ્રાપ્ત કર્યા પછી, મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં તે તરત જ સ્પષ્ટ થઈ જશે કે એકીકરણની કઈ મર્યાદાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે. આમ, અમે ગ્રાફિકલી સમસ્યા હલ કરીએ છીએ. જો કે, એવું બને છે કે મર્યાદાના મૂલ્યો અપૂર્ણાંક અથવા અતાર્કિક છે. તેથી, તમે વધારાની ગણતરીઓ કરી શકો છો, બીજા પગલા પર જાઓ.
2. જો એકીકરણની મર્યાદા સ્પષ્ટ રીતે ઉલ્લેખિત નથી, તો પછી આપણે એકબીજા સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધીએ છીએ અને જોઈએ છીએ કે શું આપણું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન વિશ્લેષણાત્મક સાથે મેળ ખાય છે.
3. આગળ, તમારે ડ્રોઇંગનું વિશ્લેષણ કરવાની જરૂર છે. ફંક્શન ગ્રાફ કેવી રીતે ગોઠવાય છે તેના આધારે, આકૃતિનો વિસ્તાર શોધવા માટે વિવિધ અભિગમો છે. ચાલો ઇન્ટિગ્રલ્સનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શોધવાના વિવિધ ઉદાહરણો જોઈએ.
3.1.
જ્યારે તમારે વક્ર ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર શોધવાની જરૂર હોય ત્યારે સમસ્યાનું સૌથી ક્લાસિક અને સરળ સંસ્કરણ છે. વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ શું છે? આ એક સપાટ આકૃતિ છે જે x-અક્ષ (y = 0), સીધી રેખાઓ x = a, x = b અને a થી b સુધીના અંતરાલમાં સતત કોઈપણ વળાંક દ્વારા મર્યાદિત છે. વધુમાં, આ આંકડો બિન-નકારાત્મક છે અને તે x-અક્ષની નીચે સ્થિત નથી. આ કિસ્સામાં, વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર સંખ્યાત્મક રીતે ચોક્કસ અવિભાજ્ય સમાન છે, જે ન્યૂટન-લેબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:ઉદાહરણ 1
y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
આકૃતિ કઈ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ છે? અમારી પાસે પેરાબોલા y = x2 - 3x + 3 છે, જે OX અક્ષની ઉપર સ્થિત છે, તે બિન-નકારાત્મક છે, કારણ કે આ પેરાબોલાના તમામ બિંદુઓ હકારાત્મક મૂલ્યો ધરાવે છે. આગળ, સીધી રેખાઓ x = 1 અને x = 3 આપવામાં આવે છે, જે અક્ષ OU ને સમાંતર ચાલે છે, અને ડાબી અને જમણી બાજુની આકૃતિની મર્યાદિત રેખાઓ છે. સારું, y = 0, જે x-અક્ષ પણ છે, જે નીચેથી આકૃતિને મર્યાદિત કરે છે. પરિણામી આકૃતિ શેડમાં છે, જેમ કે ડાબી બાજુની આકૃતિમાંથી જોઈ શકાય છે. આ કિસ્સામાં, તમે તરત જ સમસ્યા હલ કરવાનું શરૂ કરી શકો છો. આપણી સમક્ષ વક્ર ટ્રેપેઝોઇડનું એક સરળ ઉદાહરણ છે, જેને આપણે ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીએ છીએ.
3.2.અગાઉના ફકરા 3.1 માં, અમે કેસની તપાસ કરી જ્યારે વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ x-અક્ષની ઉપર સ્થિત છે. હવે જ્યારે સમસ્યાની સ્થિતિ સમાન હોય ત્યારે કેસને ધ્યાનમાં લો, સિવાય કે કાર્ય x-અક્ષ હેઠળ આવેલું છે. પ્રમાણભૂત ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્રમાં એક બાદબાકી ઉમેરવામાં આવે છે. આવી સમસ્યાને કેવી રીતે હલ કરવી તે અમે નીચે ધ્યાનમાં લઈશું.
આ ઉદાહરણમાં આપણી પાસે પેરાબોલા y = x2 + 6x + 2 છે, જે OX અક્ષની નીચેથી ઉદ્દભવે છે, સીધી રેખાઓ x = -4, x = -1, y = 0. અહીં y = 0 ઉપરથી ઇચ્છિત આકૃતિને મર્યાદિત કરે છે. સીધી રેખાઓ x = -4 અને x = -1 એ સીમાઓ છે જેની અંદર ચોક્કસ પૂર્ણાંકની ગણતરી કરવામાં આવશે. આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શોધવાની સમસ્યાને ઉકેલવાનો સિદ્ધાંત લગભગ સંપૂર્ણ રીતે ઉદાહરણ નંબર 1 સાથે એકરુપ છે. માત્ર એટલો જ તફાવત છે કે આપેલ કાર્ય હકારાત્મક નથી, અને તે અંતરાલ [-4] પર પણ સતત છે; -1]. તમારો મતલબ શું સકારાત્મક નથી? આકૃતિમાંથી જોઈ શકાય છે તેમ, આપેલ x ની અંદર આવેલ આકૃતિ ફક્ત "નકારાત્મક" કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે, જે સમસ્યાને ઉકેલતી વખતે આપણે જોવાની અને યાદ રાખવાની જરૂર છે. અમે ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિનો વિસ્તાર શોધીએ છીએ, ફક્ત શરૂઆતમાં ઓછા ચિહ્ન સાથે.
લેખ પૂરો થયો નથી.
ચોક્કસ અભિન્ન. આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કેવી રીતે કરવીચાલો ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસના એપ્લીકેશનને ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધીએ. આ પાઠમાં આપણે લાક્ષણિક અને સૌથી સામાન્ય સમસ્યાનું વિશ્લેષણ કરીશું - ચોક્કસ પૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને પ્લેન આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કેવી રીતે કરવી. છેવટે, જેઓ ઉચ્ચ ગણિતમાં અર્થ શોધી રહ્યા છે - તેઓ તેને શોધી શકે છે. તમે ક્યારેય જાણતા નથી. વાસ્તવિક જીવનમાં, તમારે પ્રારંભિક કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને ડાચા પ્લોટનો અંદાજ કાઢવો પડશે અને ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને તેનો વિસ્તાર શોધવો પડશે.
સામગ્રીને સફળતાપૂર્વક માસ્ટર કરવા માટે, તમારે:
1) ઓછામાં ઓછા મધ્યવર્તી સ્તરે અનિશ્ચિત અભિન્ન સમજો. આમ, ડમીઓએ પહેલા નૉટ પાઠ સાથે પોતાને પરિચિત કરાવવું જોઈએ.
2) ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર લાગુ કરવા અને ચોક્કસ પૂર્ણાંકની ગણતરી કરવામાં સક્ષમ બનો. તમે ડેફિનિટ ઇન્ટિગ્રલ પેજ પર ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલ્સ સાથે ગરમ મૈત્રીપૂર્ણ સંબંધો સ્થાપિત કરી શકો છો. ઉકેલોના ઉદાહરણો.
વાસ્તવમાં, આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, તમારે અનિશ્ચિત અને નિશ્ચિત અવિભાજ્યના આટલા જ્ઞાનની જરૂર નથી. "ચોક્કસ અવિભાજ્યનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તારની ગણતરી કરો" કાર્યમાં હંમેશા ડ્રોઇંગ બનાવવાનો સમાવેશ થાય છે, તેથી ડ્રોઇંગ બનાવવાનું તમારું જ્ઞાન અને કૌશલ્ય એ વધુ મહત્ત્વનો પ્રશ્ન હશે. આ સંદર્ભમાં, મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખની તમારી યાદશક્તિને તાજી કરવી, અને ઓછામાં ઓછું, એક સીધી રેખા, પેરાબોલા અને હાઇપરબોલા બનાવવા માટે સક્ષમ થવા માટે તે ઉપયોગી છે. આ પદ્ધતિસરની સામગ્રી અને ગ્રાફના ભૌમિતિક પરિવર્તન પરના લેખની મદદથી (ઘણા લોકો માટે તે જરૂરી છે) કરી શકાય છે.
વાસ્તવમાં, દરેક વ્યક્તિ શાળાના સમયથી ચોક્કસ અભિન્ન અંગનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તાર શોધવાના કાર્યથી પરિચિત છે, અને અમે શાળાના અભ્યાસક્રમ કરતાં વધુ આગળ વધીશું નહીં. આ લેખ કદાચ અસ્તિત્વમાં ન હોત, પરંતુ હકીકત એ છે કે સમસ્યા 100 માંથી 99 કેસોમાં થાય છે, જ્યારે વિદ્યાર્થી નફરતની શાળામાંથી પીડાય છે અને ઉત્સાહપૂર્વક ઉચ્ચ ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં માસ્ટર કરે છે.
આ વર્કશોપની સામગ્રી સરળ રીતે, વિગતવાર અને ઓછામાં ઓછા સિદ્ધાંત સાથે રજૂ કરવામાં આવી છે.
ચાલો વક્ર ટ્રેપેઝોઇડથી પ્રારંભ કરીએ.
વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ એ અક્ષ, સીધી રેખાઓ અને આ અંતરાલ પર સાઇન બદલતા નથી તેવા સેગમેન્ટ પર સતત કાર્યનો ગ્રાફ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિ છે. આ આંકડો સ્થિત થવા દો નીચું નથી x-અક્ષ:
પછી વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર સંખ્યાત્મક રીતે ચોક્કસ અભિન્ન સમાન છે. કોઈપણ ચોક્કસ અભિન્ન (જે અસ્તિત્વમાં છે)નો ખૂબ જ સારો ભૌમિતિક અર્થ છે. Definite Integral પાઠમાં. ઉકેલોના ઉદાહરણો મેં કહ્યું કે ચોક્કસ પૂર્ણાંક એ સંખ્યા છે. અને હવે બીજી ઉપયોગી હકીકત જણાવવાનો સમય છે. ભૂમિતિના દૃષ્ટિકોણથી, ચોક્કસ અવિભાજ્ય એ AREA છે.
એટલે કે, ચોક્કસ અભિન્ન (જો તે અસ્તિત્વમાં હોય તો) ભૌમિતિક રીતે ચોક્કસ આકૃતિના ક્ષેત્રને અનુરૂપ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચોક્કસ અભિન્ન ધ્યાનમાં લો. ઇન્ટિગ્રેન્ડ અક્ષની ઉપર સ્થિત પ્લેન પરના વળાંકને વ્યાખ્યાયિત કરે છે (જેઓ ઇચ્છે છે તેઓ ડ્રોઇંગ બનાવી શકે છે), અને ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલ પોતે સંબંધિત વળાંકવાળા ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રફળની સંખ્યાત્મક રીતે સમાન છે.
ઉદાહરણ 1
આ એક લાક્ષણિક અસાઇનમેન્ટ સ્ટેટમેન્ટ છે. નિર્ણયનો પ્રથમ અને સૌથી મહત્વનો મુદ્દો એ ડ્રોઇંગ છે. તદુપરાંત, ચિત્ર યોગ્ય રીતે બાંધવું આવશ્યક છે.
ડ્રોઇંગ બનાવતી વખતે, હું નીચેના ક્રમની ભલામણ કરું છું: પ્રથમ, બધી સીધી રેખાઓ (જો કોઈ હોય તો) બાંધવી વધુ સારું છે અને તે પછી જ - પેરાબોલાસ, હાઇપરબોલાસ અને અન્ય કાર્યોના ગ્રાફ. પોઈન્ટવાઇઝ ફંક્શનના આલેખનું નિર્માણ કરવું વધુ નફાકારક છે. ત્યાં તમે અમારા પાઠ માટે ખૂબ જ ઉપયોગી સામગ્રી પણ મેળવી શકો છો - કેવી રીતે ઝડપથી પેરાબોલા બનાવવું.
આ સમસ્યામાં, ઉકેલ આના જેવો દેખાશે.
ચાલો ડ્રોઇંગ દોરીએ (નોંધ કરો કે સમીકરણ ધરીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે):
હું વક્ર ટ્રેપેઝોઇડને શેડ કરીશ નહીં; તે અહીં સ્પષ્ટ છે કે આપણે કયા ક્ષેત્ર વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. ઉકેલ આ રીતે ચાલુ રહે છે:
સેગમેન્ટ પર, કાર્યનો ગ્રાફ અક્ષની ઉપર સ્થિત છે, તેથી:
જવાબ:
ચોક્કસ અવિભાજ્યની ગણતરી કરવામાં અને ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રને લાગુ કરવામાં કોને મુશ્કેલીઓ છે 
, વ્યાખ્યાન ડેફિનેટ ઇન્ટિગ્રલ નો સંદર્ભ લો. ઉકેલોના ઉદાહરણો.
કાર્ય પૂર્ણ થયા પછી, ડ્રોઇંગ જોવા અને જવાબ વાસ્તવિક છે કે કેમ તે શોધવાનું હંમેશા ઉપયોગી છે. આ કિસ્સામાં, અમે "આંખ દ્વારા" ડ્રોઇંગમાં કોષોની સંખ્યા ગણીએ છીએ - સારું, ત્યાં લગભગ 9 હશે, તે સાચું લાગે છે. તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે જો અમને જવાબ મળ્યો, કહો, 20 ચોરસ એકમો, તો તે સ્પષ્ટ છે કે ક્યાંક ભૂલ થઈ હતી - 20 કોષો દેખીતી રીતે પ્રશ્નમાંની આકૃતિમાં બંધબેસતા નથી, વધુમાં વધુ એક ડઝન. જો જવાબ નકારાત્મક છે, તો કાર્ય પણ ખોટી રીતે હલ કરવામાં આવ્યું હતું.
ઉદાહરણ 2
રેખાઓ , , અને અક્ષ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો
આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. પાઠના અંતે સંપૂર્ણ ઉકેલ અને જવાબ.
જો વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ ધરી હેઠળ સ્થિત હોય તો શું કરવું?
ઉદાહરણ 3
રેખાઓ અને સંકલન અક્ષો દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના વિસ્તારની ગણતરી કરો.
ઉકેલ: ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ: 
જો વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ અક્ષ હેઠળ સ્થિત છે (અથવા ઓછામાં ઓછું ઉચ્ચ નથીઆપેલ અક્ષ), પછી તેનો વિસ્તાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:
આ કિસ્સામાં: 
ધ્યાન આપો! બે પ્રકારના કાર્યોમાં મૂંઝવણ ન થવી જોઈએ:
1) જો તમને કોઈપણ ભૌમિતિક અર્થ વિના ફક્ત ચોક્કસ અભિન્નને હલ કરવાનું કહેવામાં આવે, તો તે નકારાત્મક હોઈ શકે છે.
2) જો તમને ચોક્કસ પૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું કહેવામાં આવે, તો તે ક્ષેત્ર હંમેશા હકારાત્મક હોય છે! તેથી જ માત્ર ચર્ચા કરેલ ફોર્મ્યુલામાં માઈનસ દેખાય છે.
વ્યવહારમાં, મોટેભાગે આકૃતિ ઉપલા અને નીચલા અર્ધ-પ્લેન બંનેમાં સ્થિત હોય છે, અને તેથી, સરળ શાળા સમસ્યાઓમાંથી આપણે વધુ અર્થપૂર્ણ ઉદાહરણો તરફ આગળ વધીએ છીએ.
ઉદાહરણ 4
રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ પ્લેન આકૃતિનો વિસ્તાર શોધો.
ઉકેલ: પ્રથમ તમારે ડ્રોઇંગ બનાવવાની જરૂર છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, વિસ્તારની સમસ્યાઓમાં ડ્રોઇંગ બનાવતી વખતે, અમને રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુઓમાં સૌથી વધુ રસ હોય છે. ચાલો પેરાબોલાના આંતરછેદ બિંદુઓ અને સીધી રેખા શોધીએ. આ બે રીતે કરી શકાય છે. પ્રથમ પદ્ધતિ વિશ્લેષણાત્મક છે. અમે સમીકરણ હલ કરીએ છીએ:
આનો અર્થ એ છે કે એકીકરણની નીચલી મર્યાદા છે, એકીકરણની ઉપલી મર્યાદા છે.
જો શક્ય હોય તો, આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ન કરવો તે વધુ સારું છે.
પોઈન્ટ બાય લાઈનો બાંધવી તે વધુ નફાકારક અને ઝડપી છે, અને એકીકરણની મર્યાદા "પોતાના દ્વારા" સ્પષ્ટ થઈ જાય છે. વિવિધ આલેખ માટે પોઈન્ટવાઈઝ બાંધકામની ટેકનિકની વિગતવાર ચર્ચા મદદ આલેખ અને પ્રાથમિક કાર્યોના ગુણધર્મોમાં કરવામાં આવી છે. તેમ છતાં, કેટલીકવાર મર્યાદાઓ શોધવાની વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો પડે છે જો, ઉદાહરણ તરીકે, આલેખ પૂરતો મોટો હોય, અથવા વિગતવાર બાંધકામ એકીકરણની મર્યાદાઓને જાહેર કરતું ન હોય (તે અપૂર્ણાંક અથવા અતાર્કિક હોઈ શકે છે). અને અમે આવા ઉદાહરણ પર પણ વિચાર કરીશું.
ચાલો આપણા કાર્ય પર પાછા આવીએ: પ્રથમ એક સીધી રેખા અને તે પછી જ પેરાબોલા બનાવવું વધુ તર્કસંગત છે. ચાલો ડ્રોઇંગ બનાવીએ: 
હું પુનરાવર્તિત કરું છું કે જ્યારે બિંદુ પ્રમાણે બાંધવામાં આવે છે, ત્યારે એકીકરણની મર્યાદા મોટાભાગે "આપમેળે" મળી આવે છે.
અને હવે કાર્યકારી સૂત્ર: જો કોઈ સેગમેન્ટ પર કેટલાક સતત કાર્ય કેટલાક સતત કાર્ય કરતા વધારે અથવા સમાન હોય, તો આ ફંકશનના આલેખ અને સીધી રેખાઓ દ્વારા મર્યાદિત આકૃતિનો વિસ્તાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે: 
અહીં તમારે હવે આકૃતિ ક્યાં સ્થિત છે તે વિશે વિચારવાની જરૂર નથી - અક્ષની ઉપર અથવા અક્ષની નીચે, અને, લગભગ કહીએ તો, તે મહત્વનું છે કે કયો ગ્રાફ ઊંચો છે (બીજા ગ્રાફને સંબંધિત) અને કયો નીચે છે.
વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણમાં, તે સ્પષ્ટ છે કે સેગમેન્ટ પર પેરાબોલા સીધી રેખાની ઉપર સ્થિત છે, અને તેથી તેમાંથી બાદબાકી કરવી જરૂરી છે
પૂર્ણ થયેલ ઉકેલ આના જેવો દેખાઈ શકે છે:
ઇચ્છિત આકૃતિ ઉપરના પેરાબોલા અને નીચે એક સીધી રેખા દ્વારા મર્યાદિત છે.
સેગમેન્ટ પર, અનુરૂપ સૂત્ર અનુસાર:
જવાબ:
વાસ્તવમાં, નીચલા અર્ધ-વિમાનમાં વળાંકવાળા ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્ર માટે શાળા સૂત્ર (સાદું ઉદાહરણ નંબર 3 જુઓ) એ સૂત્રનો એક વિશેષ કેસ છે. 
. કારણ કે ધરી સમીકરણ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવી છે, અને કાર્યનો ગ્રાફ સ્થિત છે ઉચ્ચ નથીકુહાડીઓ, પછી 
અને હવે તમારા પોતાના ઉકેલ માટે થોડા ઉદાહરણો
ઉદાહરણ 5
ઉદાહરણ 6
રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિનો વિસ્તાર શોધો, .
ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તારની ગણતરી સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, ક્યારેક એક રમુજી ઘટના બને છે. ડ્રોઈંગ યોગ્ય રીતે કરવામાં આવ્યું હતું, ગણતરીઓ સાચી હતી, પરંતુ બેદરકારીને કારણે... ખોટા આકૃતિનો વિસ્તાર મળી આવ્યો, આ રીતે તમારા નમ્ર સેવકની ઘણી વખત ભૂલ થઈ. અહીં એક વાસ્તવિક જીવનનો કેસ છે:
ઉદાહરણ 7
રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો , , .
ઉકેલ: પ્રથમ, ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ: 
...એહ, ચિત્ર વાહિયાત બહાર આવ્યું, પરંતુ બધું સુવાચ્ય લાગે છે.
જે આકૃતિનો વિસ્તાર આપણે શોધવાની જરૂર છે તે વાદળી રંગમાં છાંયો છે (સ્થિતિને કાળજીપૂર્વક જુઓ - આકૃતિ કેવી રીતે મર્યાદિત છે!). પરંતુ વ્યવહારમાં, બેદરકારીને લીધે, ઘણી વખત "ભૂલ" થાય છે કે તમારે આકૃતિનો વિસ્તાર શોધવાની જરૂર છે જે લીલા રંગમાં છાંયો છે!
આ ઉદાહરણ એમાં પણ ઉપયોગી છે કે તે બે નિશ્ચિત પૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરે છે. ખરેખર:
1) ધરીની ઉપરના સેગમેન્ટ પર સીધી રેખાનો ગ્રાફ છે;
2) ધરીની ઉપરના સેગમેન્ટ પર અતિપરવલયનો ગ્રાફ છે.
તે તદ્દન સ્પષ્ટ છે કે વિસ્તારો ઉમેરી શકાય છે (અને જોઈએ) તેથી:
જવાબ:
ચાલો બીજા અર્થપૂર્ણ કાર્ય તરફ આગળ વધીએ.
ઉદાહરણ 8
રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો,
ચાલો સમીકરણોને “શાળા” સ્વરૂપમાં રજૂ કરીએ અને પોઈન્ટ-બાય-પોઈન્ટ ડ્રોઈંગ બનાવીએ: 
ડ્રોઇંગ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે અમારી ઉપલી મર્યાદા "સારી" છે: .
પરંતુ નીચી મર્યાદા શું છે ?! તે સ્પષ્ટ છે કે આ પૂર્ણાંક નથી, પરંતુ તે શું છે? હોઈ શકે? પરંતુ એ વાતની ગેરંટી ક્યાં છે કે ચિત્ર સંપૂર્ણ ચોકસાઈ સાથે બનાવવામાં આવ્યું છે, તે સારી રીતે બહાર આવી શકે છે કે ... અથવા મૂળ. જો આપણે ગ્રાફ ખોટી રીતે બનાવ્યો હોય તો શું?
આવા કિસ્સાઓમાં, તમારે વધારાનો સમય પસાર કરવો પડશે અને વિશ્લેષણાત્મક રીતે એકીકરણની મર્યાદા સ્પષ્ટ કરવી પડશે.
ચાલો સીધી રેખા અને પેરાબોલાના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધીએ.
આ કરવા માટે, અમે સમીકરણ હલ કરીએ છીએ: 
,
ખરેખર, .
આગળનો ઉકેલ નજીવો છે, મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે અવેજી અને ચિહ્નોમાં મૂંઝવણમાં ન આવવું અહીંની ગણતરીઓ સૌથી સરળ નથી.
સેગમેન્ટ પર 
, અનુરૂપ સૂત્ર અનુસાર: 
જવાબ: 
સારું, પાઠ સમાપ્ત કરવા માટે, ચાલો વધુ બે મુશ્કેલ કાર્યો જોઈએ.
ઉદાહરણ 9
રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો, ,
ઉકેલ: ચાલો આ આકૃતિને ચિત્રમાં દર્શાવીએ. 
અરે, હું શેડ્યૂલ પર હસ્તાક્ષર કરવાનું ભૂલી ગયો, અને માફ કરશો, હું ચિત્ર ફરીથી કરવા માંગતો ન હતો. ડ્રોઇંગ ડે નથી, ટૂંકમાં, આજનો દિવસ છે =)
પોઈન્ટ-બાય-પોઈન્ટ બાંધકામ માટે, તમારે સાઈનસાઈડનો દેખાવ જાણવાની જરૂર છે (અને સામાન્ય રીતે તે તમામ પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખને જાણવા માટે ઉપયોગી છે), તેમજ સાઈનના કેટલાક મૂલ્યો, તેઓ આમાં મળી શકે છે. ત્રિકોણમિતિ કોષ્ટક. કેટલાક કિસ્સાઓમાં (જેમ કે આ કિસ્સામાં), યોજનાકીય રેખાંકન બનાવવું શક્ય છે, જેના પર આલેખ અને એકીકરણની મર્યાદા મૂળભૂત રીતે યોગ્ય રીતે પ્રદર્શિત થવી જોઈએ.
અહીં એકીકરણની મર્યાદાઓ સાથે કોઈ સમસ્યા નથી; તેઓ શરતથી સીધા અનુસરે છે: "x" શૂન્યથી "pi" માં બદલાય છે. ચાલો વધુ નિર્ણય લઈએ:
સેગમેન્ટ પર, કાર્યનો ગ્રાફ અક્ષની ઉપર સ્થિત છે, તેથી:
વેબસાઇટ પર ગાણિતિક સૂત્રો કેવી રીતે દાખલ કરવા?
જો તમારે ક્યારેય વેબ પેજ પર એક કે બે ગાણિતિક સૂત્રો ઉમેરવાની જરૂર હોય, તો લેખમાં વર્ણવ્યા મુજબ આ કરવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો છે: વુલ્ફ્રામ આલ્ફા દ્વારા આપમેળે જનરેટ થયેલા ચિત્રોના રૂપમાં ગાણિતિક સૂત્રો સરળતાથી સાઇટ પર દાખલ કરવામાં આવે છે. . સરળતા ઉપરાંત, આ સાર્વત્રિક પદ્ધતિ શોધ એન્જિનમાં સાઇટની દૃશ્યતા સુધારવામાં મદદ કરશે. તે લાંબા સમયથી કામ કરી રહ્યું છે (અને, મને લાગે છે, હંમેશ માટે કામ કરશે), પરંતુ તે પહેલાથી જ નૈતિક રીતે જૂનું છે.
જો તમે તમારી સાઇટ પર નિયમિતપણે ગાણિતિક સૂત્રોનો ઉપયોગ કરો છો, તો હું તમને MathJax નો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરું છું - એક વિશેષ JavaScript લાઇબ્રેરી જે MathML, LaTeX અથવા ASCIIMathML માર્કઅપનો ઉપયોગ કરીને વેબ બ્રાઉઝર્સમાં ગાણિતિક સંકેત પ્રદર્શિત કરે છે.
MathJax નો ઉપયોગ શરૂ કરવાની બે રીતો છે: (1) એક સરળ કોડનો ઉપયોગ કરીને, તમે MathJax સ્ક્રિપ્ટને તમારી વેબસાઇટ સાથે ઝડપથી કનેક્ટ કરી શકો છો, જે યોગ્ય સમયે રિમોટ સર્વરથી આપમેળે લોડ થશે (સર્વરોની સૂચિ); (2) તમારા સર્વર પર રિમોટ સર્વરથી MathJax સ્ક્રિપ્ટ ડાઉનલોડ કરો અને તેને તમારી સાઇટના તમામ પૃષ્ઠો સાથે કનેક્ટ કરો. બીજી પદ્ધતિ - વધુ જટિલ અને સમય માંગી લેતી - તમારી સાઇટના પૃષ્ઠોના લોડિંગને ઝડપી બનાવશે, અને જો પેરેન્ટ મેથજેક્સ સર્વર કોઈ કારણોસર અસ્થાયી રૂપે અનુપલબ્ધ થઈ જાય, તો આ તમારી પોતાની સાઇટને કોઈપણ રીતે અસર કરશે નહીં. આ ફાયદાઓ હોવા છતાં, મેં પ્રથમ પદ્ધતિ પસંદ કરી કારણ કે તે સરળ, ઝડપી છે અને તકનીકી કુશળતાની જરૂર નથી. મારા ઉદાહરણને અનુસરો, અને માત્ર 5 મિનિટમાં તમે તમારી સાઇટ પર MathJaxની તમામ સુવિધાઓનો ઉપયોગ કરી શકશો.
તમે મુખ્ય MathJax વેબસાઈટ પરથી અથવા દસ્તાવેજીકરણ પેજ પર લીધેલા બે કોડ વિકલ્પોનો ઉપયોગ કરીને રિમોટ સર્વરથી MathJax લાઈબ્રેરી સ્ક્રિપ્ટને કનેક્ટ કરી શકો છો:
આ કોડ વિકલ્પોમાંથી એકને તમારા વેબ પેજના કોડમાં કૉપિ કરીને પેસ્ટ કરવાની જરૂર છે, પ્રાધાન્યમાં ટૅગ્સ વચ્ચે અને અથવા ટૅગ પછી તરત જ. પ્રથમ વિકલ્પ મુજબ, MathJax ઝડપથી લોડ થાય છે અને પૃષ્ઠને ઓછું ધીમું કરે છે. પરંતુ બીજો વિકલ્પ MathJax ના નવીનતમ સંસ્કરણોને આપમેળે મોનિટર કરે છે અને લોડ કરે છે. જો તમે પ્રથમ કોડ દાખલ કરો છો, તો તેને સમયાંતરે અપડેટ કરવાની જરૂર પડશે. જો તમે બીજો કોડ દાખલ કરો છો, તો પૃષ્ઠો વધુ ધીમેથી લોડ થશે, પરંતુ તમારે MathJax અપડેટ્સનું સતત નિરીક્ષણ કરવાની જરૂર રહેશે નહીં.
MathJax ને કનેક્ટ કરવાની સૌથી સહેલી રીત બ્લોગર અથવા વર્ડપ્રેસમાં છે: સાઇટ કંટ્રોલ પેનલમાં, તૃતીય-પક્ષ જાવાસ્ક્રિપ્ટ કોડ દાખલ કરવા માટે રચાયેલ વિજેટ ઉમેરો, તેમાં ઉપર પ્રસ્તુત ડાઉનલોડ કોડના પ્રથમ અથવા બીજા સંસ્કરણની નકલ કરો અને વિજેટને નજીક મૂકો. નમૂનાની શરૂઆત સુધી (માર્ગ દ્વારા, આ બિલકુલ જરૂરી નથી, કારણ કે MathJax સ્ક્રિપ્ટ અસુમેળ રીતે લોડ થયેલ છે). બસ. હવે MathML, LaTeX, અને ASCIIMathML ના માર્કઅપ વાક્યરચના શીખો, અને તમે તમારી સાઇટના વેબ પૃષ્ઠોમાં ગાણિતિક સૂત્રો દાખલ કરવા માટે તૈયાર છો.
કોઈપણ ફ્રેક્ટલ ચોક્કસ નિયમ અનુસાર બાંધવામાં આવે છે, જે સતત અમર્યાદિત સંખ્યામાં લાગુ થાય છે. આવા દરેક સમયને પુનરાવૃત્તિ કહેવામાં આવે છે.
મેન્જર સ્પોન્જ બનાવવા માટે પુનરાવર્તિત અલ્ગોરિધમ એકદમ સરળ છે: બાજુ 1 સાથેના મૂળ ક્યુબને તેના ચહેરાની સમાંતર પ્લેન દ્વારા 27 સમાન ક્યુબ્સમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. એક કેન્દ્રિય સમઘન અને ચહેરાઓ સાથે તેની બાજુમાં 6 સમઘન તેમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે. પરિણામ એ બાકીના 20 નાના સમઘનનો સમૂહ છે. આ દરેક ક્યુબ્સ સાથે આમ કરવાથી, આપણને 400 નાના ક્યુબ્સનો સમૂહ મળે છે. આ પ્રક્રિયા અવિરતપણે ચાલુ રાખીને, અમને મેન્જર સ્પોન્જ મળે છે.
