ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટર.
દ્વિપદીના વર્ગને અલગ પાડવો અને ચોરસ ત્રિનોમીનો અવયવ કરવો.

તે. \(p, q\) અને \(n, m\) નંબરો શોધવામાં સમસ્યાઓ ઉકળે છે.

પ્રોગ્રામ માત્ર સમસ્યાનો જવાબ જ આપતો નથી, પણ ઉકેલની પ્રક્રિયા પણ દર્શાવે છે.

પરીક્ષાઓ અને પરીક્ષાઓની તૈયારી કરતી વખતે, યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પહેલાં જ્ઞાનનું પરીક્ષણ કરતી વખતે, અને ગણિત અને બીજગણિતની ઘણી સમસ્યાઓના ઉકેલને નિયંત્રિત કરવા માટે માતાપિતા માટે આ પ્રોગ્રામ સામાન્ય શિક્ષણની શાળાઓમાં ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે.

અથવા કદાચ તમારા માટે શિક્ષકને ભાડે રાખવું અથવા નવા પાઠયપુસ્તકો ખરીદવા માટે તે ખૂબ ખર્ચાળ છે? અથવા શું તમે તમારા ગણિત અથવા બીજગણિતનું હોમવર્ક શક્ય તેટલી ઝડપથી પૂર્ણ કરવા માંગો છો? આ કિસ્સામાં, તમે વિગતવાર ઉકેલો સાથે અમારા પ્રોગ્રામ્સનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો.

આ રીતે, તમે તમારી પોતાની તાલીમ અને/અથવા તમારા નાના ભાઈઓ અથવા બહેનોની તાલીમ લઈ શકો છો, જ્યારે સમસ્યાઓ ઉકેલવાના ક્ષેત્રમાં શિક્ષણનું સ્તર વધે છે.

જો તમે ચતુર્ભુજ ત્રિપદી દાખલ કરવાના નિયમોથી પરિચિત નથી, તો અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે તમે તમારી જાતને તેમની સાથે પરિચિત કરો.

ચતુર્ભુજ બહુપદી દાખલ કરવાના નિયમો
કોઈપણ લેટિન અક્ષર ચલ તરીકે કાર્ય કરી શકે છે.

ઉદાહરણ તરીકે: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), વગેરે.
સંખ્યાઓ સંપૂર્ણ અથવા અપૂર્ણાંક સંખ્યા તરીકે દાખલ કરી શકાય છે.

તદુપરાંત, અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ ફક્ત દશાંશના સ્વરૂપમાં જ નહીં, પણ સામાન્ય અપૂર્ણાંકના સ્વરૂપમાં પણ દાખલ કરી શકાય છે.
દશાંશ અપૂર્ણાંક દાખલ કરવાના નિયમો.
દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં, અપૂર્ણાંક ભાગને પૂર્ણ ભાગમાંથી અવધિ અથવા અલ્પવિરામ દ્વારા અલગ કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, તમે આ રીતે દશાંશ અપૂર્ણાંક દાખલ કરી શકો છો: 2.5x - 3.5x^2
સામાન્ય અપૂર્ણાંક દાખલ કરવા માટેના નિયમો.

માત્ર સંપૂર્ણ સંખ્યા જ અપૂર્ણાંકના અંશ, છેદ અને પૂર્ણાંક ભાગ તરીકે કાર્ય કરી શકે છે.

છેદ નકારાત્મક ન હોઈ શકે. /
સંખ્યાત્મક અપૂર્ણાંક દાખલ કરતી વખતે, અંશને વિભાજન ચિહ્ન દ્વારા છેદથી અલગ કરવામાં આવે છે: &
આખો ભાગ એમ્પરસેન્ડ ચિહ્ન દ્વારા અપૂર્ણાંકથી અલગ થયેલ છે:
ઇનપુટ: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2

પરિણામ: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\) જ્યારે અભિવ્યક્તિ દાખલ કરોતમે કૌંસનો ઉપયોગ કરી શકો છો
ઉદાહરણ તરીકે: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

વિગતવાર ઉકેલનું ઉદાહરણ

દ્વિપદીના વર્ગને અલગ પાડવો.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \જમણે)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ જવાબ:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ ફેક્ટરાઇઝેશન.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ જવાબ:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

તે જાણવા મળ્યું હતું કે આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે જરૂરી કેટલીક સ્ક્રિપ્ટો લોડ કરવામાં આવી ન હતી, અને પ્રોગ્રામ કામ કરી શકશે નહીં.
તમે AdBlock સક્ષમ કરેલ હોઈ શકે છે.
આ કિસ્સામાં, તેને અક્ષમ કરો અને પૃષ્ઠને તાજું કરો.

કારણ કે સમસ્યા હલ કરવા માટે ઘણા બધા લોકો તૈયાર છે, તમારી વિનંતી કતારમાં છે.
થોડીવારમાં ઉકેલ નીચે દેખાશે.
કૃપા કરીને રાહ જુઓ સેકન્ડ...

જો તમે ઉકેલમાં ભૂલ નોંધાઈ, પછી તમે આ વિશે ફીડબેક ફોર્મમાં લખી શકો છો.
ભૂલશો નહીં કયું કાર્ય સૂચવે છેતમે શું નક્કી કરો ક્ષેત્રોમાં દાખલ કરો.

અમારી રમતો, કોયડાઓ, અનુકરણકર્તાઓ:

થોડો સિદ્ધાંત.

ત્રિપદીમાંથી દ્વિપદીના વર્ગને અલગ પાડવો

જો ત્રિકોણીય અક્ષ 2 +bx+c ને a(x+p) 2 +q તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, જ્યાં p અને q વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, તો આપણે કહીએ કે આમાંથી ત્રિપદીનો વર્ગ, દ્વિપદીનો વર્ગ પ્રકાશિત થાય છે.

ત્રિપદી 2x 2 +12x+14 માંથી આપણે દ્વિપદીનો વર્ગ કાઢીએ છીએ.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

આ કરવા માટે, 2*3*x ના ગુણાંક તરીકે 6x ની કલ્પના કરો અને પછી 3 2 ઉમેરો અને બાદ કરો. અમને મળે છે:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

તે. અમે ચોરસ ત્રિપદીમાંથી ચોરસ દ્વિપદી કાઢો, અને બતાવ્યું કે:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

ચતુર્ભુજ ત્રિપદીનું પરિબળ બનાવવું

જો ત્રિકોણીય અક્ષ 2 +bx+c ચોરસ a(x+n)(x+m) સ્વરૂપે દર્શાવવામાં આવે છે, જ્યાં n અને m વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, તો ઓપરેશન કરવામાં આવ્યું હોવાનું કહેવાય છે. ચતુર્ભુજ ત્રિપદીનું અવયવીકરણ.

ચાલો એક ઉદાહરણ સાથે બતાવીએ કે આ પરિવર્તન કેવી રીતે થાય છે.

ચાલો ચતુર્ભુજ ત્રિનોમી 2x 2 +4x-6 ને અવયવીએ.

ચાલો કૌંસમાંથી ગુણાંક a લઈએ, એટલે કે. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

ચાલો અભિવ્યક્તિને કૌંસમાં પરિવર્તિત કરીએ.
આ કરવા માટે, 2x ને 3x-1x તફાવત તરીકે અને -3 ને -1*3 તરીકે કલ્પના કરો. અમને મળે છે:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

તે. અમે ચતુર્ભુજ ત્રિપદીનું પરિબળ બનાવ્યું, અને બતાવ્યું કે:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

નોંધ કરો કે આ ત્રિનોમીને અનુરૂપ ચતુર્ભુજ સમીકરણનું મૂળ હોય ત્યારે જ ત્રિપદીનું પરિબળ બનાવવું શક્ય છે.
તે. અમારા કિસ્સામાં, ત્રિપદીનું પરિબળ 2x 2 +4x-6 શક્ય છે જો ચતુર્ભુજ સમીકરણ 2x 2 +4x-6 =0 ના મૂળ હોય. અવયવીકરણની પ્રક્રિયામાં, અમે સ્થાપિત કર્યું કે સમીકરણ 2x 2 + 4x-6 = 0 ના બે મૂળ 1 અને -3 છે, કારણ કે આ મૂલ્યો સાથે, સમીકરણ 2(x-1)(x+3)=0 સાચી સમાનતામાં ફેરવાય છે.

વ્યાખ્યા

2 x 2 + 3 x + 5 સ્વરૂપના અભિવ્યક્તિઓને ચતુર્ભુજ ત્રિકોણીય કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે, ચોરસ ત્રિપદી એ x 2 + b x + c સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ છે, જ્યાં a, b, c a, b, c એ મનસ્વી સંખ્યાઓ અને a ≠ 0 છે.

ચતુર્ભુજ ત્રિપદી x 2 - 4 x + 5 ને ધ્યાનમાં લો. ચાલો તેને આ ફોર્મમાં લખીએ: x 2 - 2 · 2 · x + 5. ચાલો આ અભિવ્યક્તિમાં 2 2 ઉમેરીએ અને 2 2 બાદ કરીએ, આપણને મળે છે: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. નોંધ કરો કે x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, તેથી x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . આપણે જે રૂપાંતર કર્યું છે તે કહેવાય છે "ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીમાંથી સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કરવું".

ચતુર્ભુજ ત્રિનોમી 9 x 2 + 3 x + 1 માંથી સંપૂર્ણ ચોરસ કાઢો.

નોંધ કરો કે 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. પછી `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. પરિણામી અભિવ્યક્તિમાં `(1/2)^2` ઉમેરો અને બાદ કરો, આપણને મળે છે

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

અમે બતાવીશું કે કેવી રીતે ચોરસ ત્રિનોમીલમાંથી સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ ચોરસ ત્રિનોમીનું અવયવીકરણ કરવા માટે થાય છે.

ચતુર્ભુજ ત્રિનોમી 4 x 2 - 12 x + 5 નો અવયવ કરો.

અમે ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીમાંથી એક સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરીએ છીએ: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. હવે આપણે ફોર્મ્યુલા a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) લાગુ કરીએ છીએ, આપણને મળે છે: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2) x - 1) .

ચતુર્ભુજ ત્રિપદીનો અવયવ કરો - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. હવે આપણે નોંધ્યું છે કે 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.

અમે 9 x 2 - 12 x અભિવ્યક્તિમાં 2 2 શબ્દ ઉમેરીએ છીએ, અમને મળે છે:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

અમે ચોરસના તફાવત માટે સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ, અમારી પાસે છે:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

3 x 2 - 14 x - 5 .

અમે અમુક અભિવ્યક્તિના વર્ગ તરીકે 3 x 2 અભિવ્યક્તિને રજૂ કરી શકતા નથી, કારણ કે અમે હજી સુધી શાળામાં આનો અભ્યાસ કર્યો નથી. તમે પછીથી આમાંથી પસાર થશો, અને કાર્ય નંબર 4 માં અમે વર્ગમૂળનો અભ્યાસ કરીશું. ચાલો બતાવીએ કે તમે આપેલ ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીલને કેવી રીતે પરિબળ કરી શકો છો:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

અમે તમને બતાવીશું કે ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીનું સૌથી મોટું અથવા નાનું મૂલ્ય શોધવા માટે સંપૂર્ણ ચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો.
ચતુર્ભુજ ત્રિપદી x 2 - x + 3 ને ધ્યાનમાં લો. સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરો:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. નોંધ કરો કે જ્યારે `x=1/2` ચતુર્ભુજ ત્રિપદીનું મૂલ્ય `11/4` હોય છે, અને જ્યારે `x!=1/2` હોય ત્યારે `11/4`ના મૂલ્યમાં ધન સંખ્યા ઉમેરવામાં આવે છે, તેથી આપણે `11/4` કરતાં મોટી સંખ્યા મેળવો. આમ, ચતુર્ભુજ ત્રિપદીનું સૌથી નાનું મૂલ્ય `11/4` છે અને તે જ્યારે `x=1/2` હોય ત્યારે પ્રાપ્ત થાય છે.

ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધો - 16 2 + 8 x + 6.

આપણે ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીમાંથી એક સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરીએ છીએ: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

જ્યારે `x=1/4` ચતુર્ભુજ ત્રિપદીનું મૂલ્ય 7 છે, અને જ્યારે `x!=1/4` સંખ્યા 7 માંથી ધન સંખ્યા બાદ કરવામાં આવે છે, એટલે કે, આપણને 7 કરતાં નાની સંખ્યા મળે છે. આમ, સંખ્યા 7 એ ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીનું સૌથી મોટું મૂલ્ય છે, અને તે `x=1/4` સાથે મેળવવામાં આવે છે.

અપૂર્ણાંક `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)`ના અંશ અને છેદને અવયવિત કરો અને અપૂર્ણાંકને ઓછો કરો.

નોંધ કરો કે અપૂર્ણાંક x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 નો છેદ. ચાલો ચોરસ ત્રિનોમીમાંથી સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અપૂર્ણાંકના અંશનું અવયવીકરણ કરીએ. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4) ) = (x + 5) (x - 3) .

આ અપૂર્ણાંકને `(x+5)(x-3))/(x-3)^2` સ્વરૂપમાં (x - 3) ઘટાડા પછી આપણને `(x+5)/(x-3 મળે છે. )`

બહુપદી x 4 - 13 x 2 + 36 નો અવયવ કરો.

ચાલો આ બહુપદી માટે સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કરવાની પદ્ધતિ લાગુ કરીએ. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^) 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

x કહેવાય છે

1.2.3. સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર ઓળખનો ઉપયોગ કરીને

ઉદાહરણ. અવયવ x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. તેના મૂળનો ઉપયોગ કરીને બહુપદીનું પરિબળ બનાવવું

પ્રમેય. બહુપદી P x નું મૂળ x 1 હોવા દો. પછી આ બહુપદીને નીચે પ્રમાણે પરિબળ બનાવી શકાય છે: P x x x 1 S x , જ્યાં S x એ અમુક બહુપદી છે જેની ડિગ્રી એક ઓછી છે

મૂલ્યો વૈકલ્પિક રીતે P x માટે અભિવ્યક્તિમાં આવે છે જ્યારે x 2 તમે-

અભિવ્યક્તિ 0 માં ફેરવાઈ જશે, એટલે કે, P 2 0, જેનો અર્થ છે x 2 એ બહુ-નું મૂળ છે.

સભ્ય બહુપદી P x ને x 2 વડે ભાગો.

12x 2412x 24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x2 x3 x4

1.3. સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરી રહ્યા છીએ

સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરવાની પદ્ધતિ સૂત્રોના ઉપયોગ પર આધારિત છે: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .

સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ પાડવું એ એક ઓળખ પરિવર્તન છે જેમાં આપેલ ત્રિપદીને b 2 દ્વિપદીના વર્ગના સરવાળા અથવા તફાવત અને કેટલીક સંખ્યાત્મક અથવા મૂળાક્ષર અભિવ્યક્તિ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

ચલના સંદર્ભમાં ચોરસ ત્રિપદી ફોર્મની અભિવ્યક્તિ આપે છે

પછી આપણે b x અભિવ્યક્તિને 2b x તરીકે રજૂ કરીએ છીએ (ઉત્પાદનનું બમણું

કૌંસની અભિવ્યક્તિમાં આપણે તેમાંથી સંખ્યા ઉમેરી અને બાદ કરીએ છીએ

2 x 12 7.

4 a 2,

1.4. અનેક ચલોમાં બહુપદી

અનેક ચલોમાં બહુપદીઓ, જેમ કે એક ચલમાં બહુપદી, કુદરતી શક્તિમાં ઉમેરી, ગુણાકાર અને વધારી શકાય છે.

અનેક ચલોમાં બહુપદીનું મહત્વનું ઓળખ પરિવર્તન એ પરિબળીકરણ છે. અહીં, અવયવીકરણની આવી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ સામાન્ય પરિબળને કૌંસની બહાર મૂકવા, જૂથબદ્ધ કરવા, સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર ઓળખનો ઉપયોગ કરીને, સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કરવા અને સહાયક ચલો રજૂ કરવા માટે થાય છે.

1. બહુપદી P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 નો અવયવ કરો.

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y ​​32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. પરિબળ P x y,z 20x 2 3yz 15xy 4xz. ચાલો જૂથ પદ્ધતિ લાગુ કરીએ

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y Z4 x3 y

4 x3 y5 x z.

3. પરિબળ P x ,y x 4 4y 4 . ચાલો એક સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરીએ:

x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. કોઈપણ તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના ગુણધર્મ

કોઈપણ તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે:

1. એ આર 1 એ આર 2 એ આર 1 આર 2,

જ્યાં a 0;b 0;r 1;r 2 એ મનસ્વી તર્કસંગત સંખ્યાઓ છે.

1.6. તમારા પોતાના પર કરવાની કસરતો

1. સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ક્રિયાઓ કરો. 1) a 52 ;

2) 3 એ 72 ;

3) a nb n2 .

4) 1 x 3 ;

7) 8 એ 2 8 એ 2 ;

8) એક એનબી કા કેબી ના એનબી કા કેબી એન.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;

10) a 3a 2 3a 9 ;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર ઓળખનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરો:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. ઓળખ સાબિત કરો:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2 ;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .

4. નીચેના બહુપદીઓનો પરિબળ કરો:

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21 b;

3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24 ax38 bx12 a19 b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5 a 4b 2 64a 2 ;

9) 121 n 2 3n 2t 2 ;

10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2 ;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;

13) 6 x 3 36 x 2 72 x 48;

14) 15 ax 3 45 ax 2 45 ax 15 a ;

15) 9 એ 3 એન 1 4.5 એ 2 એન 1 ;

16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n ;

17) 4 એ 7 બી 232 એ 4 બી 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2 ;

19) 1000 ટી 3 27 ટી 6 .

5. સૌથી સરળ રીતે ગણતરી કરો:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. બહુપદીનો ભાગ અને શેષ શોધોબહુપદી Q x દ્વારા P x: 1) P x 2x 4 x 3 5; Q x x 3 9x ;

2) પી x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Q x x4 4 x2 .

7. બહુપદી સાબિત કરો x 2 2x 2 પાસે કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી.

8. બહુપદીના મૂળ શોધો:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3x 2 5x 15.

9. પરિબળ:

1) 6 a 2 a 5 5a 3 ;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;

3) x 3 6x 2 11x 6.

10. સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કરીને સમીકરણો ઉકેલો:

1) x 2 2x 3 0;

2) x 2 13x 30 0 .

11. અભિવ્યક્તિના અર્થો શોધો:

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. ગણતરી કરો:

16 0,25

16 0,25

આ પાઠમાં, આપણે બહુપદીના પરિબળની અગાઉ અભ્યાસ કરેલી તમામ પદ્ધતિઓને યાદ કરીશું અને તેના ઉપયોગના ઉદાહરણોને ધ્યાનમાં લઈશું, વધુમાં, અમે એક નવી પદ્ધતિનો અભ્યાસ કરીશું - સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કરવાની પદ્ધતિ અને વિવિધ સમસ્યાઓના નિરાકરણમાં તેનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે શીખીશું. . વિષય:ફેક્ટરિંગ બહુપદી પાઠ:ફેક્ટરિંગ બહુપદી. સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરવાની પદ્ધતિ. પદ્ધતિઓનું સંયોજન ચાલો આપણે બહુપદીને પરિબળ બનાવવાની મૂળભૂત પદ્ધતિઓ યાદ કરીએ જેનો અગાઉ અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો: સામાન્ય અવયવને કૌંસની બહાર મૂકવાની પદ્ધતિ, એટલે કે, બહુપદીની તમામ શરતોમાં હાજર અવયવ. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ: યાદ કરો કે એકવિધ શક્તિઓ અને સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન છે. અમારા ઉદાહરણમાં, બંને શબ્દોમાં કેટલાક સામાન્ય, સમાન તત્વો છે. તેથી, ચાલો સામાન્ય પરિબળને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીએ: ; ચાલો તમને યાદ અપાવીએ કે કૌંસ દ્વારા લેવામાં આવેલા અવયવને ગુણાકાર કરીને, તમે લીધેલા અવયવની શુદ્ધતા ચકાસી શકો છો. જૂથ પદ્ધતિ. બહુપદીમાં સામાન્ય અવયવ કાઢવાનું હંમેશા શક્ય નથી. આ કિસ્સામાં, તમારે તેના સભ્યોને જૂથોમાં એવી રીતે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે કે દરેક જૂથમાં તમે એક સામાન્ય પરિબળ લઈ શકો અને તેને તોડવાનો પ્રયાસ કરી શકો જેથી જૂથોમાંના પરિબળોને બહાર કાઢ્યા પછી, એક સામાન્ય પરિબળ દેખાય. સંપૂર્ણ અભિવ્યક્તિ, અને તમે વિઘટન ચાલુ રાખી શકો છો. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ: ચાલો પ્રથમ પદને ચોથા સાથે, બીજાને પાંચમા સાથે અને ત્રીજાને છઠ્ઠા સાથે જૂથ કરીએ: ચાલો જૂથોમાંના સામાન્ય પરિબળોને ધ્યાનમાં લઈએ: અભિવ્યક્તિમાં હવે એક સામાન્ય પરિબળ છે. ચાલો તેને બહાર કાઢીએ: સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ: ; ચાલો અભિવ્યક્તિને વિગતવાર લખીએ: દેખીતી રીતે, આપણી સમક્ષ વર્ગના તફાવત માટેનું સૂત્ર છે, કારણ કે તે બે સમીકરણોના વર્ગોનો સરવાળો છે અને તેમાંથી તેમના બેવડા ગુણાંકને બાદ કરવામાં આવે છે. ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ: આજે આપણે બીજી પદ્ધતિ શીખીશું - સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરવાની પદ્ધતિ. તે સરવાળાના વર્ગ અને તફાવતના વર્ગના સૂત્રો પર આધારિત છે. ચાલો તેમને યાદ અપાવીએ: સરવાળો (તફાવત) ના ચોરસ માટેનું સૂત્ર; આ સૂત્રોની ખાસિયત એ છે કે તેમાં બે સમીકરણોના ચોરસ અને તેમના ડબલ ઉત્પાદનનો સમાવેશ થાય છે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ: ચાલો અભિવ્યક્તિ લખીએ: તેથી, પ્રથમ અભિવ્યક્તિ છે , અને બીજી છે. સરવાળો અથવા તફાવતના વર્ગ માટે એક સૂત્ર બનાવવા માટે, સમીકરણોનો બમણો ગુણાંક પૂરતો નથી. તેને ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવાની જરૂર છે: ચાલો સરવાળોનો વર્ગ પૂર્ણ કરીએ: ચાલો પરિણામી અભિવ્યક્તિને પરિવર્તિત કરીએ: ચાલો વર્ગોના તફાવત માટે સૂત્ર લાગુ કરીએ, યાદ કરો કે બે અભિવ્યક્તિઓના વર્ગોનો તફાવત એ તેમના તફાવતનો ગુણાંક અને સરવાળો છે: તેથી, આ પદ્ધતિનો સમાવેશ થાય છે, સૌ પ્રથમ, સમીકરણો a અને b ને ઓળખવામાં કે જેનો વર્ગ છે, એટલે કે, આ ઉદાહરણમાં કઈ સમીકરણોનો વર્ગ છે તે નક્કી કરવું. આ પછી, તમારે બમણા ઉત્પાદનની હાજરી તપાસવાની જરૂર છે અને જો તે ત્યાં ન હોય, તો તેને ઉમેરો અને બાદબાકી કરો, આનાથી ઉદાહરણનો અર્થ બદલાશે નહીં, પરંતુ બહુપદીના વર્ગ માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને પરિબળ બનાવી શકાય છે. જો શક્ય હોય તો ચોરસનો સરવાળો અથવા તફાવત અને તફાવત. ચાલો ઉદાહરણો ઉકેલવા તરફ આગળ વધીએ. ઉદાહરણ 1 - ફેક્ટરાઇઝ કરો: ચાલો સમીકરણો શોધીએ જે ચોરસ છે: ચાલો આપણે લખીએ કે તેમનું ડબલ ઉત્પાદન શું હોવું જોઈએ: ચાલો ઉત્પાદનને બમણું ઉમેરીએ અને બાદ કરીએ: ચાલો સરવાળોનો વર્ગ પૂર્ણ કરીએ અને સમાન આપીએ: ચાલો તેને ચોરસ ફોર્મ્યુલાના તફાવતનો ઉપયોગ કરીને લખીએ: ઉદાહરણ 2 - સમીકરણ ઉકેલો: ; સમીકરણની ડાબી બાજુએ ત્રિનોમી છે. તમારે તેને પરિબળોમાં પરિબળ કરવાની જરૂર છે. અમે સ્ક્વેર્ડ ડિફરન્સ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: અમારી પાસે પ્રથમ અભિવ્યક્તિનો વર્ગ અને ડબલ ઉત્પાદન છે, બીજી અભિવ્યક્તિનો વર્ગ ખૂટે છે, ચાલો તેને ઉમેરીએ અને બાદ કરીએ: ચાલો એક સંપૂર્ણ ચોરસ ફોલ્ડ કરીએ અને સમાન શબ્દો આપીએ: ચાલો ચોરસ ફોર્મ્યુલાના તફાવતને લાગુ કરીએ: તો આપણી પાસે સમીકરણ છે આપણે જાણીએ છીએ કે ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર છે જો ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ શૂન્ય સમાન હોય. ચાલો તેના આધારે નીચેના સમીકરણો બનાવીએ: ચાલો પ્રથમ સમીકરણ હલ કરીએ: ચાલો બીજું સમીકરણ હલ કરીએ: જવાબ: અથવા ; અમે અગાઉના ઉદાહરણની જેમ જ આગળ વધીએ છીએ - તફાવતનો ચોરસ પસંદ કરો. મેં પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસમાં અપૂર્ણાંકને એકીકૃત કરવા માટે કોઈ અનુકૂળ ફોર્મ્યુલા નથી. અને તેથી, ત્યાં એક ઉદાસી વલણ છે: અપૂર્ણાંક જેટલો વધુ વ્યવહારદક્ષ છે, તેના અભિન્નતાને શોધવાનું વધુ મુશ્કેલ છે. આ સંદર્ભે, તમારે વિવિધ યુક્તિઓનો આશરો લેવો પડશે, જેના વિશે હવે હું તમને જણાવીશ. તૈયાર વાચકો તરત જ લાભ લઈ શકે છે સામગ્રીઓનું કોષ્ટક: સરળ અપૂર્ણાંકો માટે વિભેદક ચિહ્નને સબમ કરવાની પદ્ધતિ કૃત્રિમ અંશ રૂપાંતર પદ્ધતિ ઉદાહરણ 1 માર્ગ દ્વારા, ચલ પદ્ધતિના ફેરફાર દ્વારા પણ ગણવામાં આવેલ અભિન્નને ઉકેલી શકાય છે, સૂચિત કરે છે, પરંતુ ઉકેલ લખવાનું વધુ લાંબું હશે. ઉદાહરણ 2 અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો. તપાસ કરો. આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે જાતે જ હલ કરી શકો છો. એ નોંધવું જોઈએ કે વેરિયેબલ રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિ હવે અહીં કામ કરશે નહીં. ધ્યાન, મહત્વપૂર્ણ! ઉદાહરણો નંબર 1, 2 લાક્ષણિક છે અને વારંવાર થાય છે. ખાસ કરીને, આવા ઇન્ટિગ્રલ ઘણીવાર અન્ય ઇન્ટિગ્રલ્સના સોલ્યુશન દરમિયાન ઉદ્ભવે છે, ખાસ કરીને, જ્યારે અતાર્કિક કાર્યો (મૂળ) ને એકીકૃત કરતી વખતે. ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલી તકનીક પણ કેસમાં કામ કરે છે જો અંશની ઉચ્ચતમ ડિગ્રી છેદની ઉચ્ચતમ ડિગ્રી કરતા વધારે હોય. ઉદાહરણ 3 અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો. તપાસ કરો. અમે અંશ પસંદ કરવાનું શરૂ કરીએ છીએ. અંશ પસંદ કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ કંઈક આના જેવું છે: 1) અંશમાં મારે ગોઠવવાની જરૂર છે, પરંતુ ત્યાં . શું કરવું? મેં તેને કૌંસમાં મૂક્યું અને વડે ગુણાકાર કર્યો: . 2) હવે હું આ કૌંસ ખોલવાનો પ્રયત્ન કરું છું, શું થાય છે? . હમ્મ... તે વધુ સારું છે, પરંતુ શરૂઆતમાં અંશમાં કોઈ બે નથી. શું કરવું? તમારે આના દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે: 3) હું ફરીથી કૌંસ ખોલું છું: . અને અહીં પ્રથમ સફળતા છે! તે બરાબર બહાર આવ્યું! પરંતુ સમસ્યા એ છે કે એક વધારાનો શબ્દ દેખાયો છે. શું કરવું? અભિવ્યક્તિને બદલવાથી રોકવા માટે, મારે મારા બાંધકામમાં તે જ ઉમેરવું જોઈએ: . જીવન સરળ બન્યું છે. શું અંશમાં ફરીથી ગોઠવવાનું શક્ય છે? 4) તે શક્ય છે. ચાલો પ્રયાસ કરીએ: . બીજા પદના કૌંસ ખોલો: . માફ કરશો, પરંતુ અગાઉના પગલામાં મારી પાસે ખરેખર હતું, નહીં. શું કરવું? તમારે બીજા શબ્દને આના દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે: 5) ફરીથી, તપાસવા માટે, હું બીજા ટર્મમાં કૌંસ ખોલું છું: . હવે તે સામાન્ય છે: બિંદુ 3 ના અંતિમ બાંધકામમાંથી તારવેલી! પરંતુ ફરીથી ત્યાં એક નાનો "પરંતુ" છે, એક વધારાનો શબ્દ દેખાયો છે, જેનો અર્થ છે કે મારે મારા અભિવ્યક્તિમાં ઉમેરવું જોઈએ: જો બધું યોગ્ય રીતે કરવામાં આવ્યું હોય, તો જ્યારે આપણે બધા કૌંસ ખોલીએ છીએ ત્યારે આપણને પૂર્ણાંકનો મૂળ અંશ મળવો જોઈએ. અમે તપાસીએ છીએ: હૂડ. આમ: તૈયાર છે. છેલ્લા ટર્મમાં, મેં ડિફરન્સિયલ હેઠળ ફંક્શનને સબમ કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો. જો આપણે જવાબનું વ્યુત્પન્ન શોધી કાઢીએ અને અભિવ્યક્તિને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડીશું, તો આપણને મૂળ સંકલન કાર્ય બરાબર મળશે. સરવાળામાં વિઘટનની માનવામાં આવતી પદ્ધતિ એ સામાન્ય છેદમાં અભિવ્યક્તિ લાવવાની વિપરીત ક્રિયા સિવાય બીજું કંઈ નથી. આવા ઉદાહરણોમાં અંશ પસંદ કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ ડ્રાફ્ટ સ્વરૂપમાં શ્રેષ્ઠ રીતે કરવામાં આવે છે. કેટલીક કુશળતાથી તે માનસિક રીતે કામ કરશે. મને યાદ છે કે જ્યારે હું 11મી પાવર માટે પસંદગી કરી રહ્યો હતો ત્યારે એક રેકોર્ડ-બ્રેકિંગ કેસ, અને અંશના વિસ્તરણમાં વર્ડની લગભગ બે લાઇન લાગી. ઉદાહરણ 4 અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો. તપાસ કરો. આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે જાતે જ હલ કરી શકો છો. સરળ અપૂર્ણાંકો માટે વિભેદક ચિહ્નને સબમ કરવાની પદ્ધતિ ચાલો આગળના પ્રકારના અપૂર્ણાંકને ધ્યાનમાં લઈએ. , , , (ગુણાંકો અને શૂન્ય સમાન નથી). વાસ્તવમાં, આર્કસાઇન અને આર્કટેન્જેન્ટ સાથેના કેટલાક કિસ્સાઓ પાઠમાં પહેલેથી જ ઉલ્લેખિત છે અનિશ્ચિત અભિન્નમાં ચલ પરિવર્તન પદ્ધતિ. આવા ઉદાહરણો વિભેદક ચિહ્ન હેઠળ કાર્યને સબમ કરીને અને કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને વધુ સંકલિત કરીને ઉકેલવામાં આવે છે. અહીં લાંબા અને ઉચ્ચ લઘુગણક સાથેના વધુ લાક્ષણિક ઉદાહરણો છે: ઉદાહરણ 5 ઉદાહરણ 6 અહીં અવિભાજ્યનું કોષ્ટક પસંદ કરવાની અને કયા સૂત્રો અને તે જોવાની સલાહ આપવામાં આવે છે કેવી રીતેપરિવર્તન થાય છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કેવી રીતે અને શા માટેઆ ઉદાહરણોમાં ચોરસ પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યા છે. ખાસ કરીને, ઉદાહરણ 6 માં આપણે સૌ પ્રથમ ફોર્મમાં છેદ રજૂ કરવાની જરૂર છે , પછી તેને વિભેદક ચિહ્ન હેઠળ લાવો. અને આ બધું પ્રમાણભૂત ટેબ્યુલર સૂત્રનો ઉપયોગ કરવા માટે કરવાની જરૂર છે . શા માટે જુઓ, ઉદાહરણો નંબર 7, 8 જાતે હલ કરવાનો પ્રયાસ કરો, ખાસ કરીને કારણ કે તે ખૂબ ટૂંકા છે: ઉદાહરણ 7 ઉદાહરણ 8 અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો: જો તમે પણ આ ઉદાહરણો તપાસવાનું મેનેજ કરો છો, તો પછી ખૂબ આદર - તમારી ભિન્નતા કુશળતા ઉત્તમ છે. સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદગી પદ્ધતિ ફોર્મના ઇન્ટિગ્રલ્સ (ગુણાંકો અને શૂન્ય સમાન નથી) ઉકેલાય છે સંપૂર્ણ ચોરસ નિષ્કર્ષણ પદ્ધતિ, જે પાઠમાં પહેલેથી જ દેખાય છે આલેખનું ભૌમિતિક પરિવર્તન. વાસ્તવમાં, આવા અવિભાજ્ય ચાર ટેબ્યુલર ઇન્ટિગ્રલ્સમાંથી એક સુધી ઘટાડે છે જે આપણે હમણાં જ જોયા છે. અને આ પરિચિત સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને પ્રાપ્ત થાય છે: સૂત્રો આ દિશામાં ચોક્કસ રીતે લાગુ કરવામાં આવે છે, એટલે કે, પદ્ધતિનો વિચાર કૃત્રિમ રીતે અભિવ્યક્તિઓને ક્યાં તો છેદમાં ગોઠવવાનો છે, અને પછી તેમને તે મુજબ રૂપાંતરિત કરવાનો છે. ઉદાહરણ 9 અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો જેમાં આ સૌથી સરળ ઉદાહરણ છે શબ્દ સાથે - એકમ ગુણાંક(અને અમુક સંખ્યા અથવા ઓછા નહીં). ચાલો છેદને જોઈએ, અહીં આખો મામલો સ્પષ્ટપણે તક પર આવે છે. ચાલો છેદને કન્વર્ટ કરવાનું શરૂ કરીએ: દેખીતી રીતે, તમારે 4 ઉમેરવાની જરૂર છે. અને, જેથી અભિવ્યક્તિ બદલાય નહીં, તે જ ચાર બાદબાકી કરો: હવે તમે ફોર્મ્યુલા લાગુ કરી શકો છો: રૂપાંતર પૂર્ણ થયા પછી હંમેશાવિપરીત ચાલ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે: બધું સારું છે, ત્યાં કોઈ ભૂલો નથી. પ્રશ્નમાંના ઉદાહરણની અંતિમ ડિઝાઇન આના જેવી હોવી જોઈએ: તૈયાર છે. વિભેદક ચિહ્ન હેઠળ "મુક્ત" જટિલ કાર્યને સબમ કરવું: , સૈદ્ધાંતિક રીતે, ઉપેક્ષા કરી શકાય છે ઉદાહરણ 10 અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો: આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે જાતે જ હલ કરી શકો છો, જવાબ પાઠના અંતે છે ઉદાહરણ 11 અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો: સામે માઈનસ હોય ત્યારે શું કરવું? આ કિસ્સામાં, આપણે કૌંસમાંથી બાદબાકી લેવાની જરૂર છે અને શરતોને આપણને જોઈતા ક્રમમાં ગોઠવવાની જરૂર છે: . સતત(આ કિસ્સામાં "બે") સ્પર્શ કરશો નહીં! હવે આપણે કૌંસમાં એક ઉમેરીએ. અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે આપણે કૌંસની બહાર એક ઉમેરવાની જરૂર છે: અહીં અમને સૂત્ર મળે છે, લાગુ કરો: હંમેશાઅમે ડ્રાફ્ટ તપાસીએ છીએ: , જે તપાસવાની જરૂર હતી. સ્વચ્છ ઉદાહરણ કંઈક આના જેવું લાગે છે: કાર્યને વધુ મુશ્કેલ બનાવવું ઉદાહરણ 12 અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો: અહીં શબ્દ હવે એકમ ગુણાંક નથી, પરંતુ "પાંચ" છે. (1) જો ત્યાં સ્થિરાંક હોય, તો અમે તેને તરત જ કૌંસમાંથી બહાર કાઢીએ છીએ. (2) સામાન્ય રીતે, આ સ્થિરાંકને અવિભાજ્યની બહાર ખસેડવું હંમેશા વધુ સારું છે જેથી તે માર્ગમાં ન આવે. (3) દેખીતી રીતે, બધું સૂત્રમાં નીચે આવશે. આપણે શબ્દને સમજવાની જરૂર છે, એટલે કે, "બે" મેળવો (4) હા, . આનો અર્થ એ છે કે આપણે અભિવ્યક્તિમાં ઉમેરીએ છીએ અને સમાન અપૂર્ણાંકને બાદ કરીએ છીએ. (5) હવે એક સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરો. સામાન્ય કિસ્સામાં, આપણે પણ ગણતરી કરવાની જરૂર છે, પરંતુ અહીં આપણી પાસે લાંબા લઘુગણક માટેનું સૂત્ર છે. , અને ક્રિયા કરવાનો કોઈ અર્થ નથી કેમ નીચે સ્પષ્ટ થશે. (6) વાસ્તવમાં, આપણે સૂત્ર લાગુ કરી શકીએ છીએ , ફક્ત “X” ને બદલે આપણી પાસે છે, જે ટેબલ ઇન્ટિગ્રલની માન્યતાને નકારતું નથી. કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, એક પગલું ચૂકી ગયું હતું - એકીકરણ પહેલાં, ફંક્શનને વિભેદક ચિન્હ હેઠળ સમાવિષ્ટ કરવું જોઈએ: , પરંતુ, મેં વારંવાર નોંધ્યું છે તેમ, આની વારંવાર ઉપેક્ષા કરવામાં આવે છે. (7) રુટ હેઠળના જવાબમાં, બધા કૌંસને પાછા વિસ્તૃત કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે: મુશ્કેલ? આ અભિન્ન કલનનો સૌથી મુશ્કેલ ભાગ નથી. જો કે, વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણો એટલા જટિલ નથી કારણ કે તેમને સારી કમ્પ્યુટિંગ તકનીકોની જરૂર છે. ઉદાહરણ 13 અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો: આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે જાતે જ હલ કરી શકો છો. જવાબ પાઠના અંતે છે. છેદમાં મૂળ સાથેના અભિન્ન અંગો છે, જે, અવેજીનો ઉપયોગ કરીને, તમે લેખમાં તેમના વિશે વાંચી શકો છો જટિલ અભિન્ન, પરંતુ તે ખૂબ જ તૈયાર વિદ્યાર્થીઓ માટે રચાયેલ છે. વિભેદક ચિન્હ હેઠળ અંશને સબમ કરવો આ પાઠનો અંતિમ ભાગ છે, જો કે, આ પ્રકારના અભિન્ન ભાગો એકદમ સામાન્ય છે! જો તમે થાકેલા છો, તો કદાચ કાલે વાંચવું વધુ સારું છે? ;) અમે જે ઇન્ટિગ્રલ્સ પર વિચાર કરીશું તે પાછલા ફકરાના ઇન્ટિગ્રલ્સ જેવા જ છે, તેમની પાસે ફોર્મ છે: અથવા (ગુણાંકો , અને શૂન્ય સમાન નથી). એટલે કે, હવે આપણી પાસે અંશમાં એક રેખીય કાર્ય છે. આવા ઇન્ટિગ્રલ્સ કેવી રીતે ઉકેલવા? શું તમને લેખ ગમ્યો? તમારા મિત્રો સાથે શેર કરો! પર શેર કરો ફેસબુક પણ વાંચો નવા શાળા ધોરણો: શું આપણને પસંદગીની સ્વતંત્રતાની જરૂર છે? શા માટે તેની જરૂર છે તેની અવૈજ્ઞાનિક સમજૂતી ડેન્ટે દ્વારા "ધ ડિવાઇન કોમેડી". રાસપુટિન ખરેખર કોણ હતો? પાઠ સારાંશ "રશિયાનું વૈજ્ઞાનિક સંકુલ" વૈજ્ઞાનિક સંકુલ વિષય પર સંક્ષિપ્ત સારાંશ પૂર્વમાં નાટો વિસ્તરણ: પ્રગતિના તબક્કાઓ નાટો દેશોની ટાંકીઓના ઓળખ ચિહ્નોની રજૂઆત લંબાઈનો એકમ - કિલોમીટર" ફોટોગ્રાફ ચંદ્રની ભ્રમણકક્ષામાંથી પૃથ્વીનું દૃશ્ય દર્શાવે છે. ટોચ