સમાંતર રેખાઓ. સમાંતર પ્રક્ષેપણ ગુણધર્મોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે: બે સમાંતર રેખાઓના અંદાજો એકબીજાના સમાંતર છે. જો (ફિગ. 78) સીધી રેખા AB સીધી રેખા સીડીની સમાંતર હોય, તો પછી પ્રક્ષેપિત વિમાનો? અને? એકબીજાના સમાંતર હોય છે અને જ્યારે આ વિમાનો અંદાજો π 0 ના સમતલ સાથે છેદે છે, અંદાજો A 0 B 0 અને C 0 D 0 એકબીજાના સમાંતર પ્રાપ્ત થાય છે.
જો કે, જો કે A 0 B 0 || C 0 D 0 (ફિગ. 78), રેખાઓ કે જેના માટે A 0 B 0 અને C 0 D 0 અંદાજો છે તે એકબીજાના સમાંતર ન હોઈ શકે: ઉદાહરણ તરીકે, રેખા AB રેખા C 1 D 1 ની સમાંતર નથી.
સમાંતર પ્રક્ષેપણના દર્શાવેલ ગુણધર્મોમાંથી તે તેને અનુસરે છે સમાંતર રેખાઓના આડા અંદાજો એકબીજાના સમાંતર છે, આગળના અંદાજો એકબીજાના સમાંતર છે અને પ્રોફાઇલ અંદાજો એકબીજાના સમાંતર છે.
શું વિપરીત નિષ્કર્ષ સાચું છે, એટલે કે, જો ડ્રોઇંગમાં સમાન નામના તેમના અનુમાન જોડીમાં સમાંતર હોય તો શું અવકાશમાં બે રેખાઓ સમાંતર હશે?
હા, જો ત્રણેય પ્રક્ષેપણ પ્લેન π 1, π 2 અને π 3 પર સમાંતર અંદાજો આપવામાં આવે. પરંતુ જો એકબીજાની સમાંતર રેખાઓના અંદાજો માત્ર બે પ્રક્ષેપણ પ્લેન પર આપવામાં આવે છે, તો અવકાશમાં રેખાઓની સમાંતરતા હંમેશા સામાન્ય સ્થિતિમાં સીધી રેખાઓ માટે પુષ્ટિ થાય છે અને પ્રક્ષેપણ પ્લેનમાંથી એકની સમાંતર રેખાઓ માટે પુષ્ટિ કરી શકાતી નથી.
એક ઉદાહરણ ફિગમાં આપવામાં આવ્યું છે. 79. જોકે પ્રોફાઇલ રેખાઓ AB અને CD એ અંદાજો A "B", A "B" અને CD, C "D", એકબીજાની સમાંતર છે, પરંતુ સીધી રેખાઓ પોતે સમાંતર નથી - આ પરથી જોઈ શકાય છે. તેમના પ્રોફાઇલ અંદાજોની સંબંધિત સ્થિતિ, આપેલ અંદાજો અનુસાર બાંધવામાં આવે છે.
તેથી, આપેલ સીધી રેખાઓ સમાંતર છે તેના સંબંધમાં પ્રોજેક્શન પ્લેન પર સીધી રેખા અંદાજોનો ઉપયોગ કરીને પ્રશ્ન ઉકેલવામાં આવ્યો હતો.
ફિગ માં. 80 એ એક કેસ બતાવે છે જ્યારે ત્રીજા પ્રક્ષેપણના નિર્માણનો આશરો લીધા વિના, પ્રોફાઇલ લાઇન્સ એબી અને સીડી એકબીજા સાથે સમાંતર નથી તે સ્થાપિત કરવું શક્ય છે: અક્ષર હોદ્દોના ફેરબદલ પર ધ્યાન આપવા માટે તે પૂરતું છે.
જો આપેલ બિંદુ A દ્વારા આપેલ સીધી રેખા LM ની સમાંતર રેખા દોરવી જરૂરી હોય, તો પછી (ફિગ. 81, ડાબે) બાંધકામને બિંદુ A" અને a દ્વારા L"M" ની સમાંતર સીધી રેખા દોરવા માટે ઘટાડવામાં આવે છે. બિંદુ A" થી L"M" ની સમાંતર સીધી રેખા.
ફિગમાં બતાવેલ કિસ્સામાં. જમણી બાજુએ 81, સમાંતર રેખાઓ એક સામાન્ય પ્રક્ષેપણ પ્લેનમાં સ્થિત છે, જે ચોરસને લંબરૂપ છે. π 1. તેથી, આ રેખાઓના આડા અંદાજો સમાન રેખા પર સ્થિત છે.
છેદતી રેખાઓ.જો સીધી રેખાઓ છેદે છે, તો તેમના સમાન નામના અંદાજો એકબીજાને એક બિંદુ પર છેદે છે જે આ રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુનું પ્રક્ષેપણ છે..
ખરેખર (ફિગ. 82), જો બિંદુ K એ બંને રેખાઓ AB અને CD સાથે સંબંધ ધરાવે છે, તો આ બિંદુનું પ્રક્ષેપણ આ રેખાઓના અંદાજોના આંતરછેદનું બિંદુ હોવું જોઈએ.
ડ્રોઇંગમાં સીધી રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે તે નિષ્કર્ષ હંમેશા આદર સાથે બનાવી શકાય છે સીધી સામાન્ય સ્થિતિ, અંદાજો ત્રણ કે બે પ્રોજેક્શન પ્લેન પર આપવામાં આવે છે કે કેમ તે ધ્યાનમાં લીધા વગર. એક આવશ્યક અને પર્યાપ્ત શરત એ છે કે આંતરછેદના બિંદુઓ નામ
અંદાજો અનુમાનોના અનુરૂપ અક્ષ (ફિગ. 83) સાથે સમાન કાટખૂણે હતા અથવા, અનુમાનોની અક્ષ વગરના ચિત્રમાં (ફિગ. 84), આ બિંદુઓ તેના માટે સ્થાપિત દિશાની જોડાણ રેખા પર હશે.. પરંતુ જો આમાંની એક રેખા કોઈપણ પ્રક્ષેપણ પ્લેન સાથે સમાંતર હોય, અને રેખાંકન આ પ્લેન પર અંદાજો દર્શાવતું નથી, તો ઉપરોક્ત શરત પૂરી થાય તો પણ આવી રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે તેવી દલીલ કરી શકાતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ફિગમાં આપેલા કિસ્સામાં. 85, સીધી રેખાઓ AB અને CD, જેમાંથી સીધી રેખા CD ચોરસ π 3 ને સમાંતર છે, એકબીજાને છેદે નહીં; પ્રોફાઇલ અંદાજો બાંધીને અથવા આ સંદર્ભે વિભાગોને વિભાજીત કરવા માટેના નિયમને લાગુ કરીને તેની પુષ્ટિ કરી શકાય છે.
ફિગમાં બતાવેલ છે. 84 છેદતી રેખાઓ એક સામાન્ય પ્રોજેક્ટિંગ પ્લેનમાં સ્ક્વેર પર લંબરૂપ સ્થિત છે. π 2. તેથી, આ રેખાઓના આગળના અંદાજો સમાન રેખા પર સ્થિત છે.
હદ પાર કરવી. સીધી રેખાઓ પાર કરવી એકબીજાને છેદે અથવા સમાંતર કરતી નથી. ફિગ માં. 86 સામાન્ય સ્થિતિની બે છેદતી રેખાઓ બતાવે છે: જો કે સમાન નામના અનુમાનો એકબીજાને છેદે છે, તેમ છતાં તેમના આંતરછેદના બિંદુઓ જોડાણ રેખાઓ L"L" અને M"M" ની સમાંતર જોડાણ રેખા દ્વારા જોડી શકાતા નથી, એટલે કે આ રેખાઓ આમ કરે છે. એકબીજાને છેદે નહીં. ફિગમાં બતાવેલ સીધી રેખાઓ. 79, 80 અને 85 ને પણ વટાવી ગયા.
આપણે છેદતી રેખાઓના સમાન અંદાજોના આંતરછેદના બિંદુને કેવી રીતે ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ? તે બે બિંદુઓના અંદાજો રજૂ કરે છે, જેમાંથી એક
પ્રથમની છે, અને બીજી આ છેદતી રેખાઓની બીજી છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફિગમાં. 87, K" અને K" અંદાજો સાથેનો બિંદુ AB રેખાનો છે, અને L" અને L" અંદાજો સાથેનો બિંદુ રેખા સીડીનો છે. આ બિંદુઓ π 2 વિસ્તારથી સમાન રીતે દૂર છે, પરંતુ વિસ્તારથી તેમનું અંતર π 1 અલગ છે: અંદાજો L "અને L" સાથેનો બિંદુ π 1 થી અંદાજો K" અને K" (ફિગ. 88) સાથેના બિંદુ કરતાં આગળ છે.
M", M" અને N", N" અંદાજો સાથેના બિંદુઓ π 1 વિસ્તારથી સમાન રીતે દૂર છે, પરંતુ વિસ્તાર π 2 થી આ બિંદુઓનું અંતર અલગ છે.
અંદાજો L" અને L" સાથેનો એક બિંદુ, જે સીધી રેખા CD સાથે સંબંધિત છે, ચોરસના સંબંધમાં સીધી રેખા AB ના અંદાજો K" અને K" સાથે બિંદુને આવરી લે છે. π 1; પ્રક્ષેપણ L પર તીર દ્વારા દૃશ્યની અનુરૂપ દિશા બતાવવામાં આવે છે. ચોરસ π 2 ના સંબંધમાં, સીધી રેખા સીડીના અંદાજો N" અને N" સાથેનો બિંદુ M" અને M" ના અંદાજો સાથે બિંદુને આવરી લે છે. સીધી રેખા AB; પ્રક્ષેપણ N" પર નીચે આપેલા તીર દ્વારા દૃશ્યની દિશા દર્શાવેલ છે.
"બંધ" બિંદુઓના અંદાજોના હોદ્દા કૌંસમાં મૂકવામાં આવે છે 1).
સમાંતર રેખાઓની વ્યાખ્યા. સમાંતર બે સીધી રેખાઓ છે જે એક જ સમતલમાં આવેલી છે અને તેમની સમગ્ર લંબાઈ સાથે છેદતી નથી.
સીધી રેખાઓ AB અને CD (ફિગ. 57) સમાંતર હશે. હકીકત એ છે કે તેઓ સમાંતર છે તે કેટલીકવાર લેખિતમાં વ્યક્ત થાય છે: AB || સીડી.
પ્રમેય 34. સમાન ત્રીજાની લંબરૂપ બે રેખાઓ સમાંતર છે.
AB ને લંબરૂપ સીધી રેખાઓ CD અને EF આપેલ છે (ફિગ. 58)
CD ⊥ AB અને EF ⊥ AB.
આપણે તે સીડી સાબિત કરવાની જરૂર છે || ઇ.એફ.
પુરાવો. જો રેખાઓ CD અને EF સમાંતર ન હોત, તો તેઓ અમુક બિંદુ M પર છેદશે. આ કિસ્સામાં, બે લંબ બિંદુ M થી રેખા AB પર નાખવામાં આવશે, જે અશક્ય છે (પ્રમેય 11), તેથી રેખા CD || EF (ChTD).
પ્રમેય 35. બે સીધી રેખાઓ, જેમાંથી એક કાટખૂણે છે અને બીજી ત્રીજી તરફ વળેલી છે, હંમેશા છેદે છે.
બે સીધી રેખાઓ EF અને CG આપવામાં આવી છે, જેમાંથી EF ⊥ AB, અને CG AB (ફિગ. 59) તરફ વળેલું છે.
તે સાબિત કરવું જરૂરી છે કે CG રેખા EF ને પૂર્ણ કરશે અથવા CG EF ને સમાંતર નથી.
પુરાવો. બિંદુ C થી આપણે રેખા AB પર કાટખૂણે સીડી બનાવીએ છીએ, પછી બિંદુ C પર એક ખૂણો DCG બને છે, જેને આપણે એટલી વાર પુનરાવર્તિત કરીશું કે રેખા CK રેખા AB ની નીચે આવે છે. ચાલો ધારીએ કે આ હેતુ માટે આપણે કોણ DCG n વખત પુનરાવર્તન કરીએ છીએ, જેમ કે
એ જ રીતે, આપણે રેખા CE ને રેખા AB n વખત પણ પ્લોટ કરીએ છીએ, જેથી CN = nCE.
C, E, L, M, N બિંદુઓ પરથી આપણે લંબ LL", MM, NN બનાવીએ છીએ. બે સમાંતર સેગમેન્ટ્સ CD, NN" અને સેગમેન્ટ CN વચ્ચેની જગ્યા સમાયેલ જગ્યા કરતાં n ગણી મોટી હશે. બે લંબ CD, EF અને સેગમેન્ટ CE વચ્ચે, તેથી DCNN" = nDCEF.
કોણ DCK માં સમાયેલ જગ્યા DCNN ધરાવે છે", તેથી,
DCK > CDNN" અથવા
nDCG > nDCEF, ક્યાંથી
DCG > DCEF.
છેલ્લી અસમાનતા ત્યારે જ થઈ શકે છે જ્યારે રેખા CG તેના ચાલુ રાખવા દરમિયાન DCEF માંથી જગ્યા છોડે છે, એટલે કે જ્યારે CG રેખા EF ને મળે છે, તેથી CG રેખા CF (CHT) ની સમાંતર નથી.
પ્રમેય 36. સમાંતરમાંથી એકની લંબરૂપ સીધી રેખા પણ બીજી લંબ છે.
આપેલ છે બે સમાંતર રેખાઓ AB અને CD અને એક રેખા EF CD ને લંબરૂપ છે (ફિગ. 60).
એબી || CD, EF ⊥ CD
આપણે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે EF ⊥ AB.
પુરાવો. જો રેખા AB EF તરફ વળેલી હોય, તો બે રેખાઓ CD અને AB એકબીજાને છેદે છે, કારણ કે CD ⊥ EF અને AB EF (પ્રમેય 35) તરફ વળેલું છે, અને AB અને CD રેખાઓ સમાંતર નહીં હોય, જે આ સ્થિતિનો વિરોધાભાસ કરશે. , તેથી, રેખા EF CD (CHT) માટે લંબ છે.
ત્રીજી સીધી રેખા દ્વારા બે સીધી રેખાઓના આંતરછેદથી બનેલા ખૂણા. જ્યારે બે સીધી રેખાઓ AB અને CD ત્રીજી સીધી રેખા EF (ફિગ. 61) સાથે છેદે છે, ત્યારે આઠ ખૂણા α, β, γ, δ, λ, μ, ν, ρ બને છે. આ ખૂણાઓને વિશેષ નામ આપવામાં આવ્યા છે.
ચાર ખૂણા α, β, ν અને ρ કહેવાય છે બાહ્ય.
ચાર ખૂણા γ, δ, λ, μ કહેવાય છે આંતરિક.
ચાર ખૂણા β, γ, μ, ν અને ચાર ખૂણા α, δ, λ, ρ કહેવાય છે. એકતરફી, કારણ કે તેઓ સીધી રેખા EF ની એક બાજુ પર આવેલા છે.
વધુમાં, કોણ, જ્યારે જોડીમાં લેવામાં આવે છે, ત્યારે નીચેના નામો પ્રાપ્ત થાય છે:
કોણ β અને μ કહેવાય છે યોગ્ય . આ જોડી ઉપરાંત, સમાન અનુરૂપ ખૂણા ખૂણાઓની જોડી હશે:γ અને ν, α અને λ, δ અને ρ.
ખૂણા δ અને μ, તેમજ γ અને λની જોડી કહેવામાં આવે છે આંતરિક ક્રોસ-લીંગ .
ખૂણા β અને ρ, તેમજ α અને ν ની જોડી કહેવામાં આવે છે બાહ્ય ક્રોસ-લીંગ .
ખૂણા γ અને μ, તેમજ δ અને λની જોડી કહેવામાં આવે છે આંતરિક એકતરફી .
ખૂણા β અને ν, તેમજ α અને ρની જોડી કહેવામાં આવે છે બાહ્ય એકતરફી .
બે રેખાઓની સમાંતરતા માટેની શરતો
પ્રમેય 37. બે રેખાઓ સમાંતર હોય છે, જ્યારે તેઓ ત્રીજાને છેદે છે, ત્યારે તેમની પાસે સમાન હોય છે: 1) અનુરૂપ ખૂણા, 2) આંતરિક ક્રોસ-લાઇંગ, 3) બાહ્ય ક્રોસ-લાઇંગ, અને, છેવટે, જો 4) આંતરિક એકતરફી રાશિઓનો સરવાળો બે કાટખૂણો બરાબર છે, 5) બાહ્ય એકતરફીનો સરવાળો બે સીધી રેખાઓ જેટલો છે.
ચાલો પ્રમેયના આ દરેક ભાગને અલગથી સાબિત કરીએ.
1 લી કેસ. અનુરૂપ ખૂણા સમાન છે(આકૃતિ 62).
આપેલ. ખૂણા β અને μ સમાન છે.
પુરાવો. જો રેખાઓ AB અને CD બિંદુ Q પર છેદે છે, તો ત્રિકોણ GQH પ્રાપ્ત થશે, જેમાં બાહ્ય કોણ β એ આંતરિક કોણ μ સમાન હશે, જે પ્રમેય 22 નો વિરોધાભાસ કરશે, તેથી, રેખાઓ AB અને CD છેદતી નથી. અથવા એબી || સીડી (સીએચડી).
2 જી કેસ. આંતરિક ક્રોસ-લીંગ કોણ સમાન છે, એટલે કે, δ = μ.
પુરાવો. δ = β વર્ટિકલ તરીકે, δ = μ સ્થિતિ દ્વારા, તેથી β = μ. એટલે કે, અનુરૂપ ખૂણા સમાન છે, અને આ કિસ્સામાં રેખાઓ સમાંતર છે (1 લી કેસ).
ત્રીજો કેસ. બાહ્ય ક્રોસ-લીંગ એંગલ સમાન છે, એટલે કે, β = ρ.
પુરાવો. સ્થિતિ દ્વારા β = ρ, μ = ρ વર્ટિકલ તરીકે, તેથી, β = μ, કારણ કે અનુરૂપ ખૂણા સમાન છે. તે અનુસરે છે કે AB || સીડી (પ્રથમ કેસ).
4મો કેસ. આંતરિક એકતરફી રાશિઓનો સરવાળો બે પ્રત્યક્ષ રાશિઓ જેટલો છેઅથવા γ + μ = 2d.
પુરાવો. β + γ = 2d સંલગ્ન રાશિઓના સરવાળા તરીકે, γ + μ = 2d સ્થિતિ દ્વારા. તેથી, β + γ = γ + μ, જ્યાંથી β = μ. અનુરૂપ ખૂણા સમાન છે, તેથી AB || સીડી.
5મો કેસ. બાહ્ય એકતરફી રાશિઓનો સરવાળો બે પ્રત્યક્ષ રાશિઓ જેટલો છે, એટલે કે β + ν = 2d.
પુરાવો. μ + ν = 2d સંલગ્ન રાશિઓના સરવાળા તરીકે, β + ν = 2d સ્થિતિ દ્વારા. તેથી, μ + ν = β + ν, જ્યાંથી μ = β. અનુરૂપ ખૂણા સમાન છે, તેથી AB || સીડી.
આમ, તમામ કિસ્સાઓમાં AB || સીડી (સીએચડી).
પ્રમેય 38(વિપરીત 37). જો બે સીધી રેખાઓ સમાંતર હોય, તો જ્યારે તેઓ ત્રીજી સીધી રેખાને છેદે છે, ત્યારે નીચેની સમાન હશે: 1) આંતરિક ક્રોસ-લીંગ એંગલ્સ, 2) એક્સટર્નલ ક્રોસ-લીંગ એંગલ, 3) અનુરૂપ ખૂણો અને બે જમણા ખૂણાઓ સમાન હોય છે, 4) આંતરિક એક-બાજુવાળા ખૂણાઓનો સરવાળો અને 5) બાહ્ય એક-બાજુવાળા ખૂણાઓનો સરવાળો.
બે સમાંતર રેખાઓ AB અને CD આપેલ છે, એટલે કે, AB || સીડી (આકૃતિ 63).
ઉપરોક્ત તમામ શરતો પૂરી થાય છે તે સાબિત કરવું જરૂરી છે.
1 લી કેસ. ચાલો બે સમાંતર રેખાઓ AB અને CD ને ત્રીજી વળેલી રેખા EF સાથે છેદે. ચાલો G અને H દ્વારા રેખા EF ની AB અને CD રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુઓને દર્શાવીએ. રેખા GH ના મધ્યબિંદુના O બિંદુથી, અમે રેખા CD પર કાટખૂણે નીચે કરીએ છીએ અને જ્યાં સુધી તે રેખા AB ને બિંદુ P પર છેદે નહીં ત્યાં સુધી તેને ચાલુ રાખીએ છીએ. CD પર લંબરૂપ OQ રેખા એબી (પ્રમેય 36) માટે પણ લંબરૂપ છે. જમણો ત્રિકોણ OPG અને OHQ સમાન છે, કારણ કે OG = OH બાંધકામ દ્વારા, ∠ HOQ= ∠ POG વર્ટિકલ એંગલ તરીકે, તેથી OP = OQ.
તે અનુસરે છે કે δ = μ, એટલે કે. આંતરિક ક્રોસ-લીંગ કોણ સમાન છે.
2 જી કેસ. જો AB || CD, પછી δ = μ, અને ત્યારથી δ = β, અને μ = ρ, પછી β = ρ, એટલે કે. બાહ્ય ક્રોસ-લીંગ એંગલ સમાન છે.
ત્રીજો કેસ. જો AB || CD, પછી δ = μ, અને ત્યારથી δ = β, પછી β = μ, તેથી, અનુરૂપ ખૂણા સમાન છે.
4મો કેસ. જો AB || CD, પછી δ = μ, અને ત્યારથી δ + γ = 2d, પછી μ + γ = 2d, એટલે કે. આંતરિક એકતરફી રાશિઓનો સરવાળો બે પ્રત્યક્ષ રાશિઓ જેટલો છે.
5મો કેસ. જો AB || CD, પછી δ = μ.
μ + ν = 2d, μ = δ = β, તેથી, ν + β = 2d, એટલે કે. બાહ્ય એકતરફી રાશિઓનો સરવાળો બે પ્રત્યક્ષ રાશિઓ જેટલો છે.
આ પ્રમેય પરથી તે અનુસરે છે પરિણામ. એક બિંદુ દ્વારા તમે બીજી સીધી રેખાની સમાંતર માત્ર એક સીધી રેખા દોરી શકો છો.
પ્રમેય 39. ત્રીજાની સમાંતર બે રેખાઓ એકબીજાની સમાંતર છે.
આપેલ ત્રણ લીટીઓ (ફિગ. 64) AB, CD અને EF, જેમાંથી AB || EF, CD || ઇ.એફ.
આપણે એ સાબિત કરવાની જરૂર છે કે AB || સીડી.
પુરાવો. ચાલો આ રેખાઓને ચોથી સીધી રેખા GH સાથે છેદે.
જો AB || EF, પછી ∠ α = ∠ γ યોગ્ય તરીકે. જો સીડી || EF, પછી ∠ β = ∠ γ તેમજ અનુરૂપ. આથી, ∠ α = ∠ β .
જો અનુરૂપ ખૂણા સમાન હોય, તો રેખાઓ સમાંતર હોય છે, તેથી AB || સીડી (સીએચડી).
પ્રમેય 40. સમાંતર બાજુઓ સાથે સમાન નામના ખૂણા સમાન છે.
સમાન નામના ખૂણા ABC અને DEF (બંને તીવ્ર અથવા બંને સ્થૂળ) આપવામાં આવ્યા છે, તેમની બાજુઓ સમાંતર છે, એટલે કે AB || DE, BC || EF (ફિગ. 65).
તે સાબિત કરવું જરૂરી છે ∠ B= ∠ ઇ.
પુરાવો. ચાલો DE બાજુ ચાલુ રાખીએ જ્યાં સુધી તે બિંદુ G પર રેખા BC ને છેદે નહીં, પછી
∠ E = ∠ ત્રીજી સીધી રેખા DG ની BC અને EF ને સમાંતર બાજુઓના આંતરછેદને અનુરૂપ G.
∠ B = ∠ G એ રેખા BC ની સમાંતર બાજુઓ AB અને DG ના આંતરછેદને અનુરૂપ છે, તેથી,
∠ E = ∠ B (CHD).
પ્રમેય 41. સમાંતર બાજુઓ સાથેના વિરોધી ખૂણાઓ એકબીજાને બે કાટખૂણોના પૂરક બનાવે છે.
સમાંતર બાજુઓ સાથે બે વિરોધી ખૂણા ABC અને DEF (ફિગ. 66) આપ્યા છે, તેથી AB || DE અને BC || ઇ.એફ.
આપણે એ સાબિત કરવાની જરૂર છે કે ABC + DEF = 2d.
પુરાવો. ચાલો રેખા DE ચાલુ રાખીએ જ્યાં સુધી તે રેખા BC ને બિંદુ G પર છેદે નહીં.
∠B+ ∠ DGB = 2d એ ત્રીજી સીધી રેખા BC ના સમાંતર AB અને DG ના આંતરછેદ દ્વારા રચાયેલા આંતરિક એક-બાજુના ખૂણાઓના સરવાળા તરીકે.
∠ DGB = ∠ DEF અનુરૂપ, તેથી,
∠B+ ∠ DEF = 2d (CHD).
પ્રમેય 42. લંબ બાજુઓ સાથે સમાન નામના ખૂણા સમાન હોય છે અને વિરોધી ખૂણા બે સીધી રેખાઓ સુધી એકબીજાના પૂરક હોય છે.
ચાલો બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ: જ્યારે A) ખૂણા સમાન હોય છે અને જ્યારે B) તેઓ વિરુદ્ધ હોય છે.
1 લી કેસ. સમાન નામના DEF અને ABC (ફિગ. 67)ના બે ખૂણાઓની બાજુઓ લંબ છે, એટલે કે DE ⊥ AB, EF ⊥ BC.
આપણે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે ∠ DEF = ∠ ABC.
પુરાવો. ચાલો BM અને BN ને બિંદુ B થી સમાંતર રેખાઓ DE અને EF ને દોરીએ જેથી કરીને
BM || DE, BN || ઇ.એફ.
આ રેખાઓ આપેલ કોણ ABC ની બાજુઓ પર પણ લંબરૂપ છે, એટલે કે.
BM ⊥ AB અને BN ⊥ BC.
કારણ કે ∠ NBC = d, ∠ MBA = d, પછી
∠ NBC = ∠ MBA (a)
કોણ NBA દ્વારા સમાનતા (a) ની બંને બાજુઓમાંથી બાદબાકી કરીએ છીએ, આપણે શોધીએ છીએ
∠ MBN = ∠ ABC
MBN અને DEF ખૂણા સમાન હોવાથી અને સમાંતર બાજુઓ ધરાવતા હોવાથી, તેઓ સમાન છે (પ્રમેય 40).
∠ MBN = ∠ DEF (b)
સમાનતા (a) અને (b) સમાનતા સૂચવે છે
∠ ABC = ∠ DEF
2 જી કેસ. GED અને ABC લંબ બાજુઓ સાથેના ખૂણા વિરોધી છે.
તે સાબિત કરવું જરૂરી છે કે ∠ GED + ∠ ABC = 2d (ફિગ. 67).
પુરાવો. GED અને DEF ખૂણાઓનો સરવાળો બે કાટખૂણો જેટલો છે.
GED + DEF = 2d
DEF = ABC તેથી
GED + ABC = 2d (CTD).
પ્રમેય 43. અન્ય સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેની સમાંતર રેખાઓના ભાગો સમાન છે.
ચાર સીધી રેખાઓ AB, BD, CD, AC (ફિગ. 68) આપેલ છે, જેમાંથી AB || સીડી અને બીડી || એસી.
આપણે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે AB = CD અને BD = AC.
પુરાવો. બિંદુ C ને બિંદુ B ને સેગમેન્ટ BC સાથે જોડીને, આપણે બે સમાન ત્રિકોણ ABC અને BCD મેળવીએ છીએ, કારણ કે
BC - સામાન્ય બાજુ,
∠ α = ∠ β (ત્રીજી રેખા BC ની સમાંતર રેખાઓ AB અને CD ના આંતરછેદમાંથી આંતરિક ક્રોસ-લીંગ તરીકે),
∠ γ = ∠ δ (બીસી રેખાની સમાંતર રેખાઓ BD અને AC ના આંતરછેદમાંથી આંતરિક ક્રોસ-લીંગ તરીકે).
આમ, ત્રિકોણની એક સરખી બાજુ હોય છે અને તેના પર બે સરખા ખૂણા હોય છે.
વિરોધી સમાન ખૂણા α અને β સમાન બાજુઓ AC અને BD અને વિરુદ્ધ સમાન ખૂણા γ અને δ સમાન બાજુઓ AB અને CD આવેલા છે, તેથી,
AC = BD, AB = CD (CHD).
પ્રમેય 44. સમાંતર રેખાઓ તેમની સમગ્ર લંબાઈ સાથે એકબીજાથી સમાન અંતરે હોય છે.
રેખાથી બિંદુનું અંતર બિંદુથી રેખા તરફ દોરવામાં આવેલી લંબની લંબાઈ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. CD માંથી કોઈપણ બે બિંદુઓ A અને B સમાંતર AB નું અંતર નક્કી કરવા માટે, આપણે બિંદુ A અને B માંથી લંબરૂપ AC અને BD છોડીએ છીએ.
CD ની સમાંતર રેખા AB જોતાં, સેગમેન્ટ્સ AC અને BD રેખા CD પર લંબ છે, એટલે કે AB || CD, AC ⊥ DC, BD ⊥ CD (ફિગ. 69).
આપણે એ સાબિત કરવાની જરૂર છે કે AC = BD.
પુરાવો. રેખાઓ AC અને BD, બંને CD પર લંબરૂપ હોવાથી, સમાંતર છે, અને તેથી સમાંતર વચ્ચેના સમાંતરના ભાગો તરીકે AC અને BD સમાન છે, એટલે કે AC = BD (CHD).
પ્રમેય 45(વિપરીત 43). જો ચાર છેદતી રેખાઓના વિરોધી ભાગો સમાન હોય, તો આ ભાગો સમાંતર છે.
ચાર છેદતી રેખાઓ આપેલ છે, જેના વિરોધી ભાગો સમાન છે: AB = CD અને BD = AC (ફિગ. 68).
આપણે એ સાબિત કરવાની જરૂર છે કે AB || સીડી અને બીડી || એસી.
પુરાવો. ચાલો બિંદુઓ B અને C ને સીધી રેખા BC સાથે જોડીએ. ત્રિકોણ ABC અને BDC એકરૂપ છે કારણ કે
BC - સામાન્ય બાજુ,
AB = CD અને BD = AC શરત દ્વારા.
અહીંથી
∠ α = ∠ β , ∠ γ = ∠ δ
આથી,
એસી || BD, AB || સીડી (સીએચડી).
પ્રમેય 46. ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો બે કાટકોણ જેટલો છે.
આપેલ ત્રિકોણ ABC (ફિગ. 70).
આપણે એ સાબિત કરવાની જરૂર છે કે A + B + C = 2d.
પુરાવો. ચાલો બિંદુ C થી સમાંતર બાજુ AB થી સીધી રેખા CF દોરીએ. બિંદુ C પર, ત્રણ ખૂણા BCA, α અને β બને છે. તેમનો સરવાળો બે સીધી રેખાઓ જેટલો છે:
BCA+ α + β = 2d
α = B (રેખા BC ની સમાંતર રેખાઓ AB અને CF ના આંતરછેદ પર આંતરિક ક્રોસ-લીંગ કોણ તરીકે);
β = A (રેખા AD ની રેખાઓ AB અને CF ના આંતરછેદ પર અનુરૂપ ખૂણા તરીકે).
કોણ α અને β ને બદલીને તેમના મૂલ્યો, અમને મળે છે:
BCA + A + B = 2d (CHD).
આ પ્રમેયમાંથી નીચેની કોરોલરીઓ અનુસરે છે:
કોરોલરી 1. ત્રિકોણનો બાહ્ય ખૂણો તેની બાજુમાં ન હોય તેવા આંતરિક ખૂણાઓના સરવાળા જેટલો હોય છે.
પુરાવો. ખરેખર, 70 દોરવાથી,
∠BCD = ∠ α + ∠ β
ત્યારથી ∠ α = ∠ B, ∠ β = ∠ A, પછી
∠BCD = ∠A + ∠B.
કોરોલરી 2. કાટકોણ ત્રિકોણમાં, તીવ્ર ખૂણાઓનો સરવાળો કાટકોણ બરાબર હોય છે.
ખરેખર, કાટકોણ ત્રિકોણમાં (ફિગ. 40)
A + B + C = 2d, A = d, તેથી
B + C = d.
કોરોલરી 3. ત્રિકોણમાં એક કરતાં વધુ જમણો અથવા એક સ્થૂળ કોણ હોઈ શકે નહીં.
કોરોલરી 4. સમભુજ ત્રિકોણમાં, દરેક ખૂણો 2/3 d છે .
ખરેખર, સમભુજ ત્રિકોણમાં
A + B + C = 2d.
ત્યારથી A = B = C, પછી
3A = 2d, A = 2/3 d.
છેદતી રેખાઓ- એક સામાન્ય બિંદુ ધરાવતી સીધી રેખાઓ. ડાયાગ્રામમાં, આ સીધી રેખાઓના સમાન નામના અંદાજો પ્રોજેક્શન કનેક્શનની સમાન રેખા પર આવેલા બિંદુઓ પર છેદે છે (ફિગ. 200, એ).
જો સમાન નામની રેખાઓના અંદાજો છેદે છે, પરંતુ આંતરછેદ બિંદુઓ પ્રક્ષેપણ જોડાણની વિવિધ રેખાઓ પર આવેલા છે (ફિગ. 200, b), તો પછી રેખાઓ છેદતી નથી, પરંતુ છેદે છે. સમાન નામના અંદાજોના આંતરછેદ બિંદુઓ (ફિગ. 200, b, બિંદુઓ 1 "અને 2) એક જ પ્રક્ષેપણ કિરણ પર હોય અને જુદી જુદી સીધી રેખાઓથી સંબંધિત હોય તેવા વિવિધ બિંદુઓના અંદાજો રજૂ કરે છે.
ફિગ માં. 201 બતાવે છે કે બે ક્રોસિંગ લાઇન કેવી રીતે સ્થિત કરી શકાય છે એબીઅને સીડીપ્લેનની તુલનામાં વીજેથી તેમના આગળના અંદાજો a"b"અને c"d"છેદે છે અને આંતરછેદનું બિંદુ એકસાથે બે બિંદુઓનું આગળનું પ્રક્ષેપણ હશે એમઅને એન.આ રેખાઓના આડા અંદાજોના આંતરછેદનું બિંદુ એ એક સાથે બિંદુનું પ્રક્ષેપણ છે ઇ, સીધી રેખા પર પડેલો સીડી,અને પોઈન્ટ એક લીટી પર પડેલા છે એબી
બે બિંદુઓની સાપેક્ષ સ્થિતિ કે જેના પ્રક્ષેપણ પ્લેનમાંથી એક પરના અંદાજો એકરૂપ થાય છે તે તેમના ત્રીજા કોઓર્ડિનેટ્સની તુલના કરીને નક્કી કરી શકાય છે. ફિગ માં. 201.6 ફ્રન્ટ અંદાજો ટી"અને પી"પોઈન્ટ એમઅને એનસંયોગ તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ એક્સઅને ઝેડસમાન કદ ધરાવે છે. કોઓર્ડિનેટ્સની સરખામણી વાયઆ મુદ્દાઓ ( વાયએન> વાયએમ), આપણે તે બિંદુ જોઈએ છીએ એનબિંદુ કરતાં K પ્લેનથી આગળ છે એમ.ડોટ એનપ્લેનની તુલનામાં વી- દૃશ્યમાન બિંદુ.
પોઈન્ટની દૃશ્યતા ઇઅને એફઅંદાજોના આડા પ્લેન સાથે સંબંધિત તેમના Z કોઓર્ડિનેટ્સની સરખામણી કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે.
એવા બિંદુઓ કે જેના અંદાજો એકસરખા હોય છે, એટલે કે બિંદુઓ સમાન પ્રક્ષેપણ કિરણ પર હોય છે, તેને સ્પર્ધાત્મક બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે, અને આ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને રેખાકૃતિ પર ભૌમિતિક ઘટકોની દૃશ્યતા નક્કી કરવાની પદ્ધતિને સ્પર્ધાત્મક બિંદુઓની પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે.
સમાંતર રેખાઓડાયાગ્રામ પર દર્શાવવામાં આવ્યા છે જેથી તેમના સમાન નામના અંદાજો પરસ્પર સમાંતર હોય. જ્યારે પ્રક્ષેપણ પ્લેન પર રેખાખંડો પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રક્ષેપણ કિરણો બે પ્રક્ષેપણ વિમાનો બનાવે છે આરઅને આર,આ વિમાનને લંબરૂપ અને એકબીજાના સમાંતર (P||R).તેઓ પ્રક્ષેપણ વિમાનને છેદે છે (ફિગ. 202, એ, પ્લેન એન)સમાંતર રેખાઓ સાથે - abઅને સીડી
તેથી, જો રેખાઓ સમાંતર હોય, તો તેમના સમાન નામના અંદાજો સમાંતર હોય છે. ફિગ માં. 202, bઆડા અંદાજો abઅને સીડીઅને આગળના અંદાજો a"b"અને c"d"પરસ્પર સમાંતર, તેથી સીધા એબીઅને સીડીસમાંતર.
એ નોંધવું જોઈએ કે રેખાકૃતિ પરની રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ બે પ્રક્ષેપણ પ્લેનનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરી શકાય છે, સિવાય કે એવા કિસ્સાઓ કે જ્યાં એક રેખા અથવા બંને રેખાઓ કોઈપણ પ્રક્ષેપણ પ્લેનની સમાંતર હોય. આ કિસ્સાઓમાં, રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ નક્કી કરવા માટે, પ્રક્ષેપણ પ્લેન પર તેમની છબી હોવી જરૂરી છે કે જેમાં એક રેખા અથવા બંને સમાંતર છે.
ફિગ માં. 203 અંદાજો c"d"અને l"q", cdઅને lqપ્રત્યક્ષ સીડીઅને L.Q.છેદવું સીધું સીડીપ્રોફાઇલ પ્રક્ષેપણની સમાંતર. સપાટી પર ડબલ્યુતે સ્પષ્ટ છે કે તેઓ સીધા છે સીડીઅને L.Q.છેદશો નહીં, કારણ કે તેમના રૂપરેખા અંદાજો છેદે નથી.
ફિગ માં. 204 બે આડી સીધી રેખાઓનો આકૃતિ બતાવે છે એબીઅને સીડી.તેમના આગળના અંદાજો a"b"અને c"d"અને પ્રોફાઇલ અંદાજો a"b"અને c"d"સમાંતર. પ્લેન પર અંદાજો દ્વારા એનતે સ્પષ્ટ છે કે રેખાઓ છેદે છે.
ફિગ માં. 205 બે પ્રોફાઇલ સીધી રેખાઓનો આકૃતિ બતાવે છે. તેમના આગળના અંદાજો a"b"અને c"d"અને આડા અંદાજો abઅને સીડીસમાંતર. સપાટી પર ડબલ્યુતે સ્પષ્ટ છે કે રેખાઓ છેદે છે.
