બહુકોણ એ બહુકોણીય આકૃતિ છે? નિયમિત બહુકોણ

§ 1 ત્રિકોણનો ખ્યાલ

આ પાઠમાં તમે ત્રિકોણ અને બહુકોણ જેવા આકારોથી પરિચિત થશો.

જો ત્રણ બિંદુઓ જે એક જ રેખા પર ન હોય તેવા ભાગો દ્વારા જોડાયેલા હોય, તો તમને ત્રિકોણ મળે છે. ત્રિકોણમાં ત્રણ શિરોબિંદુઓ અને ત્રણ બાજુઓ હોય છે.

તમે ત્રિકોણ ABC છો તે પહેલાં, તેમાં ત્રણ શિરોબિંદુઓ (બિંદુ A, બિંદુ B અને બિંદુ C) અને ત્રણ બાજુઓ (AB, AC અને CB) છે.

માર્ગ દ્વારા, આ સમાન બાજુઓને અલગ રીતે કહી શકાય:

AB=BA, AC=SA, CB=BC.

ત્રિકોણની બાજુઓ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર ત્રણ ખૂણા બનાવે છે. આકૃતિમાં તમે કોણ A, કોણ B, કોણ C જુઓ છો.

આમ, ત્રિકોણ એ ત્રણ ભાગો દ્વારા રચાયેલી ભૌમિતિક આકૃતિ છે જે ત્રણ બિંદુઓને જોડે છે જે એક જ સીધી રેખા પર નથી.

§ 2 બહુકોણ અને તેના પ્રકારોનો ખ્યાલ

ત્રિકોણ ઉપરાંત, ચતુષ્કોણ, પંચકોણ, ષટ્કોણ વગેરે છે. એક શબ્દમાં, તેમને બહુકોણ કહી શકાય.

ચિત્રમાં તમે ચતુર્ભુજ DMKE જુઓ છો.

બિંદુઓ D, M, K અને E એ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ છે.

સેગમેન્ટ્સ DM, MK, KE, ED આ ચતુષ્કોણની બાજુઓ છે. જેમ ત્રિકોણના કિસ્સામાં, ચતુર્ભુજની બાજુઓ શિરોબિંદુઓ પર ચાર ખૂણા બનાવે છે, જેમ તમે અનુમાન કર્યું છે, તેથી નામ - ચતુર્ભુજ. આ ચતુષ્કોણ માટે તમે આકૃતિ કોણ D, કોણ M, કોણ K અને કોણ E જુઓ છો.

તમે કયા ચતુષ્કોણ પહેલાથી જ જાણો છો?

ચોરસ અને લંબચોરસ! તેમાંના દરેકને ચાર ખૂણા અને ચાર બાજુઓ છે.

બહુકોણનો બીજો પ્રકાર પેન્ટાગોન છે.

બિંદુઓ O, P, X, Y, T એ પંચકોણના શિરોબિંદુઓ છે અને TO, OP, PX, XY, YT વિભાગો આ પંચકોણની બાજુઓ છે. પંચકોણમાં અનુક્રમે પાંચ ખૂણા અને પાંચ બાજુઓ હોય છે.

તમને લાગે છે કે ષટ્કોણને કેટલા ખૂણા અને કેટલી બાજુઓ છે? તે સાચું છે, છ! એ જ રીતે તર્ક કરીને, આપણે કહી શકીએ કે ચોક્કસ બહુકોણની કેટલી બાજુઓ, શિરોબિંદુઓ અથવા ખૂણાઓ છે. અને આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ કે ત્રિકોણ એ બહુકોણ પણ છે, જેમાં બરાબર ત્રણ ખૂણા, ત્રણ બાજુઓ અને ત્રણ શિરોબિંદુઓ છે.

આમ, આ પાઠમાં તમે ત્રિકોણ અને બહુકોણ જેવા ખ્યાલોથી પરિચિત થયા છો. આપણે શીખ્યા કે ત્રિકોણમાં 3 શિરોબિંદુઓ, 3 બાજુઓ અને 3 ખૂણાઓ હોય છે, એક ચતુર્ભુજમાં 4 શિરોબિંદુઓ, 4 બાજુઓ અને 4 ખૂણાઓ હોય છે, એક પંચકોણમાં 5 બાજુઓ, 5 શિરોબિંદુઓ, 5 ખૂણાઓ વગેરે હોય છે.

વપરાયેલ સાહિત્યની સૂચિ:

1. ગણિત 5 મા ધોરણ. વિલેન્કિન એન.યા., ઝોખોવ વી.આઈ. અને અન્ય 31મી આવૃત્તિ. - એમ: 2013.
2. ગણિતના ગ્રેડ 5 માટે ડિડેક્ટિક સામગ્રી. લેખક - પોપોવ એમ.એ. - 2013
3. અમે ભૂલો વિના ગણતરી કરીએ છીએ. ગણિતના ગ્રેડ 5-6માં સ્વ-પરીક્ષણ સાથે કામ કરો. લેખક - મિનાવા એસ.એસ. - 2014
4. ગણિતના ગ્રેડ 5 માટે ડિડેક્ટિક સામગ્રી. લેખકો: ડોરોફીવ જી.વી., કુઝનેત્સોવા એલ.વી. - 2010
5. ગણિતના ગ્રેડ 5 માં પરીક્ષણો અને સ્વતંત્ર કાર્ય. લેખકો - પોપોવ એમ.એ. - 2012
6. ગણિત. 5 મી ગ્રેડ: શૈક્ષણિક. સામાન્ય શિક્ષણના વિદ્યાર્થીઓ માટે. સંસ્થાઓ / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9મી આવૃત્તિ, ભૂંસી નાખી. - એમ.: નેમોસીન, 2009

બહુકોણના પ્રકાર:

ચતુર્ભુજ

ચતુર્ભુજ, અનુક્રમે, 4 બાજુઓ અને ખૂણાઓ ધરાવે છે.

એકબીજાની વિરુદ્ધ બાજુઓ અને ખૂણા કહેવામાં આવે છે વિરુદ્ધ.

કર્ણ બહિર્મુખ ચતુષ્કોણને ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરે છે (ચિત્ર જુઓ).

બહિર્મુખ ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 360° છે (સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને: (4-2)*180°).

સમાંતરગ્રામ

સમાંતરગ્રામવિરોધી સમાંતર બાજુઓ સાથેનો બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ છે (આકૃતિ 1 માં ક્રમાંકિત).

સમાંતરગ્રામમાં વિરોધી બાજુઓ અને ખૂણા હંમેશા સમાન હોય છે.

અને આંતરછેદ બિંદુ પરના કર્ણ અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલા છે.

ટ્રેપેઝ

ટ્રેપેઝોઇડ- આ પણ ચતુર્ભુજ છે, અને માં ટ્રેપેઝોઇડ્સમાત્ર બે બાજુઓ સમાંતર છે, જેને કહેવામાં આવે છે કારણો. બીજી બાજુઓ છે બાજુઓ.

આકૃતિમાં ટ્રેપેઝોઇડને 2 અને 7 નંબર આપવામાં આવ્યા છે.

ત્રિકોણની જેમ:

જો બાજુઓ સમાન હોય, તો ટ્રેપેઝોઇડ છે સમદ્વિબાજુ;

જો કોઈ એક ખૂણો સાચો હોય, તો ટ્રેપેઝોઈડ છે લંબચોરસ

ટ્રેપેઝોઇડની મધ્યરેખા પાયાના અડધા સરવાળા જેટલી છે અને તેમની સમાંતર છે.

રોમ્બસ

રોમ્બસએક સમાંતરગ્રામ છે જેમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય છે.

સમાંતરગ્રામના ગુણધર્મો ઉપરાંત, રોમ્બસની પોતાની વિશેષ મિલકત છે - સમચતુર્ભુજના કર્ણ કાટખૂણે હોય છેએકબીજા અને સમચતુર્ભુજના ખૂણાઓને દ્વિભાજિત કરો.

ચિત્રમાં એક રોમ્બસ નંબર 5 છે.

લંબચોરસ

લંબચોરસએક સમાંતરગ્રામ છે જેમાં દરેક ખૂણો સાચો છે (આકૃતિ નંબર 8 જુઓ).

સમાંતરગ્રામના ગુણધર્મો ઉપરાંત, લંબચોરસની પોતાની વિશેષ મિલકત હોય છે - લંબચોરસના કર્ણ સમાન છે.

ચોરસ

ચોરસએક લંબચોરસ છે જેની બધી બાજુઓ સમાન છે (નં. 4).

તેમાં લંબચોરસ અને સમચતુર્ભુજના ગુણધર્મો છે (કારણ કે બધી બાજુઓ સમાન છે).

આ પાઠમાં આપણે એક નવો વિષય શરૂ કરીશું અને આપણા માટે એક નવો ખ્યાલ રજૂ કરીશું: “બહુકોણ”. આપણે બહુકોણ સાથે સંકળાયેલા મૂળભૂત વિભાવનાઓને જોઈશું: બાજુઓ, શિરોબિંદુ કોણ, બહિર્મુખતા અને બિન-કન્વેક્સિટી. પછી આપણે બહુકોણના આંતરિક ખૂણાઓના સરવાળા પર પ્રમેય, બહુકોણના બાહ્ય ખૂણાઓના સરવાળા પર પ્રમેય જેવા સૌથી મહત્વપૂર્ણ તથ્યો સાબિત કરીશું. પરિણામે, અમે બહુકોણના વિશેષ કેસોનો અભ્યાસ કરવાની નજીક આવીશું, જે આગળના પાઠોમાં ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે.

વિષય: ચતુર્ભુજ

પાઠ: બહુકોણ

ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં, અમે ભૌમિતિક આકૃતિઓના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરીએ છીએ અને તેમાંથી સૌથી સરળ: ત્રિકોણ અને વર્તુળોની તપાસ કરી છે. તે જ સમયે, અમે આ આંકડાઓના ચોક્કસ વિશિષ્ટ કેસોની પણ ચર્ચા કરી, જેમ કે જમણો, સમદ્વિબાજુ અને નિયમિત ત્રિકોણ. હવે વધુ સામાન્ય અને જટિલ આંકડાઓ વિશે વાત કરવાનો સમય છે - બહુકોણ.

ખાસ કેસ સાથે બહુકોણઆપણે પહેલેથી જ પરિચિત છીએ - આ એક ત્રિકોણ છે (ફિગ 1 જુઓ).

ચોખા. 1. ત્રિકોણ

નામ પોતે પહેલેથી જ ભાર મૂકે છે કે આ ત્રણ ખૂણાઓવાળી આકૃતિ છે. તેથી, માં બહુકોણતેમાંના ઘણા હોઈ શકે છે, એટલે કે. ત્રણ કરતાં વધુ. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો પેન્ટાગોન દોરીએ (ફિગ 2 જુઓ), એટલે કે. પાંચ ખૂણાઓ સાથે આકૃતિ.

ચોખા. 2. પેન્ટાગોન. બહિર્મુખ બહુકોણ

વ્યાખ્યા.બહુકોણ- એક આકૃતિ જેમાં કેટલાક બિંદુઓ (બે કરતાં વધુ) અને વિભાગોની અનુરૂપ સંખ્યા કે જે તેમને અનુક્રમે જોડે છે. આ બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે શિખરોબહુકોણ, અને સેગમેન્ટ્સ છે પક્ષો. આ કિસ્સામાં, કોઈ બે અડીને બાજુઓ એક જ સીધી રેખા પર રહેતી નથી અને કોઈ બે બિન-સંલગ્ન બાજુઓ છેદે છે.

વ્યાખ્યા.નિયમિત બહુકોણબહિર્મુખ બહુકોણ છે જેમાં બધી બાજુઓ અને ખૂણા સમાન હોય છે.

કોઈપણ બહુકોણપ્લેનને બે ક્ષેત્રોમાં વહેંચે છે: આંતરિક અને બાહ્ય. આંતરિક વિસ્તાર તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે બહુકોણ.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે તેઓ પેન્ટાગોન વિશે વાત કરે છે, ત્યારે તેનો અર્થ તેનો સમગ્ર આંતરિક વિસ્તાર અને તેની સરહદ બંને થાય છે. અને આંતરિક પ્રદેશમાં બહુકોણની અંદર આવેલા તમામ બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે. બિંદુ પેન્ટાગોનનો પણ ઉલ્લેખ કરે છે (ફિગ 2 જુઓ).

બહુકોણને કેટલીકવાર n-gons પણ કહેવામાં આવે છે, જેના પર ભાર મૂકવામાં આવે છે કે કેટલાક અજ્ઞાત સંખ્યાના ખૂણાઓ (n ટુકડાઓ) ની હાજરીનો સામાન્ય કેસ ગણવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. બહુકોણ પરિમિતિ- બહુકોણની બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો.

હવે આપણે બહુકોણના પ્રકારોથી પરિચિત થવાની જરૂર છે. તેઓ વિભાજિત કરવામાં આવે છે બહિર્મુખઅને બિન-બહિર્મુખ. ઉદાહરણ તરીકે, ફિગમાં બતાવેલ બહુકોણ. 2 બહિર્મુખ છે, અને ફિગમાં. 3 બિન-બહિર્મુખ.

ચોખા. 3. બિન-બહિર્મુખ બહુકોણ

વ્યાખ્યા 1. બહુકોણકહેવાય છે બહિર્મુખ, જો તેની કોઈપણ બાજુઓ દ્વારા સીધી રેખા દોરતી વખતે, સમગ્ર બહુકોણઆ સીધી રેખાની માત્ર એક બાજુ પર આવેલું છે. બિન-બહિર્મુખબીજા બધા છે બહુકોણ.

ફિગમાં પેન્ટાગોનની કોઈપણ બાજુને વિસ્તરે ત્યારે કલ્પના કરવી સરળ છે. 2 તે બધું આ સીધી રેખાની એક બાજુ પર હશે, એટલે કે. તે બહિર્મુખ છે. પરંતુ જ્યારે ફિગમાં ચતુષ્કોણ દ્વારા સીધી રેખા દોરો. 3 આપણે પહેલેથી જ જોયું છે કે તે તેને બે ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે, એટલે કે. તે બહિર્મુખ નથી.

પરંતુ બહુકોણની બહિર્મુખતાની બીજી વ્યાખ્યા છે.

વ્યાખ્યા 2. બહુકોણકહેવાય છે બહિર્મુખ, જો તેના આંતરિક બિંદુઓમાંથી કોઈપણ બે પસંદ કરતી વખતે અને તેમને સેગમેન્ટ સાથે જોડતી વખતે, સેગમેન્ટના તમામ બિંદુઓ પણ બહુકોણના આંતરિક બિંદુઓ છે.

આ વ્યાખ્યાના ઉપયોગનું પ્રદર્શન ફિગમાં સેગમેન્ટ બનાવવાના ઉદાહરણમાં જોઈ શકાય છે. 2 અને 3.

વ્યાખ્યા. કર્ણબહુકોણ એ બે બિન-સંલગ્ન શિરોબિંદુઓને જોડતો કોઈપણ સેગમેન્ટ છે.

બહુકોણના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરવા માટે, તેમના ખૂણા વિશે બે સૌથી મહત્વપૂર્ણ પ્રમેય છે: બહિર્મુખ બહુકોણના આંતરિક ખૂણાઓના સરવાળા પર પ્રમેયઅને બહિર્મુખ બહુકોણના બાહ્ય ખૂણાઓના સરવાળા પરનું પ્રમેય. ચાલો તેમને જોઈએ.

પ્રમેય. બહિર્મુખ બહુકોણના આંતરિક ખૂણાઓના સરવાળા પર (n-ગોન).

તેના ખૂણા (બાજુઓ) ની સંખ્યા ક્યાં છે.

પુરાવો 1. ચાલો ફિગમાં દર્શાવીએ. 4 બહિર્મુખ n-gon.

ચોખા. 4. બહિર્મુખ n-gon

શિરોબિંદુમાંથી આપણે તમામ સંભવિત કર્ણ દોરીએ છીએ. તેઓ એક n-ગોનને ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરે છે, કારણ કે બહુકોણની દરેક બાજુઓ શિરોબિંદુને અડીને આવેલી બાજુઓ સિવાય ત્રિકોણ બનાવે છે. આકૃતિ પરથી એ જોવાનું સરળ છે કે આ બધા ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો n-ગોનના આંતરિક ખૂણાના સરવાળા બરાબર હશે. કોઈપણ ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો હોવાથી, n-ગોનના આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો છે:

Q.E.D.

પુરાવો 2. આ પ્રમેયનો બીજો પુરાવો શક્ય છે. ચાલો ફિગમાં સમાન n-gon દોરીએ. 5 અને તેના કોઈપણ આંતરિક બિંદુઓને તમામ શિરોબિંદુઓ સાથે જોડો.

ચોખા. 5.

આપણે n-ગોનનું n ત્રિકોણમાં વિભાજન મેળવ્યું છે (ત્રિકોણ જેટલી બાજુઓ છે). તેમના તમામ ખૂણાઓનો સરવાળો બહુકોણના આંતરિક ખૂણાના સરવાળા અને આંતરિક બિંદુ પરના ખૂણાઓના સરવાળા જેટલો છે અને આ કોણ છે. અમારી પાસે છે:

Q.E.D.

સાબિત.

સાબિત પ્રમેય મુજબ, તે સ્પષ્ટ છે કે n-ગોનના ખૂણાઓનો સરવાળો તેની બાજુઓની સંખ્યા (n પર) પર આધારિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિકોણમાં, અને ખૂણાઓનો સરવાળો છે. ચતુર્ભુજમાં, અને ખૂણાઓનો સરવાળો છે, વગેરે.

પ્રમેય. બહિર્મુખ બહુકોણના બાહ્ય ખૂણાઓના સરવાળા પર (n-ગોન).

તેના ખૂણા (બાજુઓ) ની સંખ્યા ક્યાં છે અને , …, બાહ્ય ખૂણા છે.

પુરાવો. ચાલો ફિગમાં બહિર્મુખ એન-ગોનનું ચિત્રણ કરીએ. 6 અને તેના આંતરિક અને બાહ્ય ખૂણાઓને નિયુક્ત કરો.

ચોખા. 6. નિયુક્ત બાહ્ય ખૂણાઓ સાથે બહિર્મુખ n-gon

કારણ કે બાહ્ય ખૂણો અડીને, પછી આંતરિક એક સાથે જોડાયેલ છે અને તે જ રીતે બાકીના બાહ્ય ખૂણાઓ માટે. પછી:

રૂપાંતરણો દરમિયાન, અમે n-gon ના આંતરિક ખૂણાઓના સરવાળા વિશે પહેલાથી જ સાબિત થયેલ પ્રમેયનો ઉપયોગ કર્યો.

સાબિત.

સાબિત થયેલા પ્રમેયમાંથી એક રસપ્રદ હકીકત અનુસરે છે કે બહિર્મુખ n-ગોનના બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો બરાબર છે તેના ખૂણા (બાજુઓ) ની સંખ્યા પર. માર્ગ દ્વારા, આંતરિક ખૂણાઓના સરવાળાથી વિપરીત.

સંદર્ભો

1. એલેક્ઝાન્ડ્રોવ એ.ડી. અને અન્ય ભૂમિતિ, 8 ગ્રેડ. - એમ.: શિક્ષણ, 2006.
2. બુતુઝોવ વી.એફ., કડોમત્સેવ એસ.બી., પ્રસોલોવ વી.વી. ભૂમિતિ, 8 મા ધોરણ. - એમ.: શિક્ષણ, 2011.
3. મેર્ઝલ્યાક એ.જી., પોલોન્સકી વી.બી., યાકીર એસ.એમ. ભૂમિતિ, 8 મા ધોરણ. - એમ.: વેન્ટાના-ગ્રાફ, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

હોમવર્ક

બહુકોણના ગુણધર્મો

બહુકોણ એ ભૌમિતિક આકૃતિ છે, જેને સામાન્ય રીતે સ્વ-છેદન વિના બંધ તૂટેલી રેખા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (એક સરળ બહુકોણ (ફિગ. 1a)), પરંતુ કેટલીકવાર સ્વ-છેદનને મંજૂરી આપવામાં આવે છે (પછી બહુકોણ સરળ નથી).

બહુકોણના શિરોબિંદુઓને બહુકોણના શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે, અને ભાગોને બહુકોણની બાજુઓ કહેવામાં આવે છે. બહુકોણના શિરોબિંદુઓ જો તેની એક બાજુના છેડા હોય તો તેને સંલગ્ન કહેવામાં આવે છે. બહુકોણના બિન-સંલગ્ન શિરોબિંદુઓને જોડતા ભાગોને કર્ણ કહેવામાં આવે છે.

આપેલ શિરોબિંદુ પર બહિર્મુખ બહુકોણનો કોણ (અથવા આંતરિક ખૂણો) એ તેની બાજુઓ દ્વારા આ શિરોબિંદુ પર એકરૂપ થવાથી બનેલો ખૂણો છે, અને ખૂણાની ગણતરી બહુકોણની બાજુમાંથી કરવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, જો બહુકોણ બિન-બહિર્મુખ હોય તો કોણ 180° થી વધી શકે છે.

આપેલ શિરોબિંદુ પર બહિર્મુખ બહુકોણનો બાહ્ય કોણ એ આ શિરોબિંદુ પરના બહુકોણના આંતરિક ખૂણાને અડીને આવેલો ખૂણો છે. સામાન્ય રીતે, બાહ્ય કોણ એ 180° અને આંતરિક કોણ વચ્ચેનો તફાવત છે. > 3 માટે -gon ના દરેક શિરોબિંદુમાંથી 3 કર્ણ છે, તેથી -gon ના કર્ણની કુલ સંખ્યા સમાન છે.

ત્રણ શિરોબિંદુઓવાળા બહુકોણને ત્રિકોણ કહેવામાં આવે છે, જેમાં ચાર - એક ચતુષ્કોણ, પાંચ સાથે - એક પંચકોણ, વગેરે.

સાથે બહુકોણ nશિરોબિંદુ કહેવાય છે n-ચોરસ

સપાટ બહુકોણ એ એક આકૃતિ છે જેમાં બહુકોણ અને તેના દ્વારા મર્યાદિત વિસ્તારનો મર્યાદિત ભાગ હોય છે.

બહુકોણને બહિર્મુખ કહેવામાં આવે છે જો નીચેની (સતુલ્ય) શરતોમાંથી એક પૂરી થાય છે:

• 1. તે તેના પડોશી શિરોબિંદુઓને જોડતી કોઈપણ સીધી રેખાની એક બાજુ પર આવેલું છે. (એટલે ​​​​કે, બહુકોણની બાજુઓનું વિસ્તરણ તેની બીજી બાજુઓને છેદતું નથી);
• 2. તે અનેક અર્ધ-વિમાનોનું આંતરછેદ (એટલે ​​​​કે સામાન્ય ભાગ) છે;
• 3. બહુકોણ સાથે જોડાયેલા બિંદુઓ પર છેડા સાથેનો કોઈપણ સેગમેન્ટ સંપૂર્ણપણે તેનો છે.

બહિર્મુખ બહુકોણ નિયમિત કહેવાય છે જો બધી બાજુઓ સમાન હોય અને બધા ખૂણા સમાન હોય, ઉદાહરણ તરીકે, સમભુજ ત્રિકોણ, ચોરસ અને પંચકોણ.

બહિર્મુખ બહુકોણને વર્તુળની આસપાસ પરિક્રમા કહેવાય છે જો તેની બધી બાજુઓ અમુક વર્તુળને સ્પર્શે છે

નિયમિત બહુકોણ એ બહુકોણ છે જેમાં બધા ખૂણા અને બધી બાજુઓ સમાન હોય છે.

બહુકોણના ગુણધર્મો:

1 બહિર્મુખ -ગોનનો દરેક કર્ણ, જ્યાં >3, તેને બે બહિર્મુખ બહુકોણમાં વિઘટિત કરે છે.

2 બહિર્મુખ ત્રિકોણના તમામ ખૂણાઓનો સરવાળો સમાન છે.

D-vo: અમે ગાણિતિક ઇન્ડક્શન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પ્રમેય સાબિત કરીશું. પર = 3 તે સ્પષ્ટ છે. ચાલો ધારીએ કે પ્રમેય a -gon, where માટે સાચું છે <, અને -gon માટે તે સાબિત કરો.

આપેલ બહુકોણ બનવા દો. ચાલો આ બહુકોણનો કર્ણ દોરીએ. પ્રમેય 3 મુજબ, બહુકોણ ત્રિકોણ અને બહિર્મુખ ત્રિકોણ (ફિગ. 5) માં વિઘટિત થાય છે. ઇન્ડક્શન પૂર્વધારણા દ્વારા. બીજી બાજુ, . આ સમાનતાઓ ઉમેરવી અને તે ધ્યાનમાં લેવી (- આંતરિક કોણ બીમ ) અને (- આંતરિક કોણ બીમ ), જ્યારે આપણે મેળવીએ છીએ: .

3 કોઈપણ નિયમિત બહુકોણની આસપાસ તમે વર્તુળનું વર્ણન કરી શકો છો, અને માત્ર એક.

D-vo: તેને નિયમિત બહુકોણ બનવા દો, અને અને ખૂણાઓના દ્વિભાજકો, અને (ફિગ. 150). ત્યારથી, તેથી, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке વિશે.ચાલો તે સાબિત કરીએ ઓ = ઓએ 2 = વિશે =… = ઓએ n . ત્રિકોણ વિશેસમદ્વિબાજુ, તેથી વિશે= વિશે. ત્રિકોણની સમાનતા માટેના બીજા માપદંડ મુજબ, તેથી, વિશે = વિશે. તેવી જ રીતે, તે સાબિત થાય છે વિશે = વિશેવગેરે તેથી બિંદુ વિશેબહુકોણના તમામ શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે છે, તેથી કેન્દ્ર સાથેનું વર્તુળ વિશેત્રિજ્યા વિશેબહુકોણ વિશે ઘેરાયેલું છે.

ચાલો હવે સાબિત કરીએ કે માત્ર એક જ પરિમાણિત વર્તુળ છે. બહુકોણના કેટલાક ત્રણ શિરોબિંદુઓને ધ્યાનમાં લો, ઉદાહરણ તરીકે, એ 2 , . કારણ કે આ બિંદુઓમાંથી માત્ર એક વર્તુળ પસાર થાય છે, પછી બહુકોણની આસપાસ … તમે એક કરતાં વધુ વર્તુળનું વર્ણન કરી શકતા નથી.

• 4 તમે કોઈપણ નિયમિત બહુકોણમાં વર્તુળ લખી શકો છો, અને માત્ર એક.
• 5 નિયમિત બહુકોણમાં અંકિત એક વર્તુળ તેમના મધ્યબિંદુઓ પર બહુકોણની બાજુઓને સ્પર્શે છે.
• 6 નિયમિત બહુકોણની આસપાસના વર્તુળનું કેન્દ્ર સમાન બહુકોણમાં અંકિત વર્તુળના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ છે.
• 7 સમપ્રમાણતા:

તેઓ કહે છે કે આકૃતિમાં સમપ્રમાણતા (સપ્રમાણતા) હોય છે જો ત્યાં આવી ચળવળ હોય (સમાન નથી) જે આ આકૃતિને પોતાનામાં અનુવાદિત કરે છે.

• 7.1. સામાન્ય ત્રિકોણમાં સમપ્રમાણતાના કોઈ અક્ષો અથવા કેન્દ્રો હોતા નથી; સમદ્વિબાજુ (પરંતુ સમભુજ નથી) ત્રિકોણમાં સમપ્રમાણતાનો એક અક્ષ હોય છે: આધારનો લંબ દ્વિભાજક.
• 7.2. સમભુજ ત્રિકોણમાં સમપ્રમાણતાના ત્રણ અક્ષો હોય છે (બાજુઓ પર લંબ દ્વિભાજકો) અને 120°ના પરિભ્રમણ કોણ સાથે કેન્દ્ર વિશે પરિભ્રમણીય સમપ્રમાણતા હોય છે.

7.3 કોઈપણ નિયમિત n-ગોનમાં સમપ્રમાણતાના n અક્ષો હોય છે, તે બધા તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. તે પરિભ્રમણ કોણ સાથે કેન્દ્ર વિશે રોટેશનલ સપ્રમાણતા પણ ધરાવે છે.

જ્યારે પણ nસમપ્રમાણતાના કેટલાક અક્ષો વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, અન્યો વિરુદ્ધ બાજુઓના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.

વિષમ માટે nદરેક ધરી વિરુદ્ધ બાજુની ટોચ અને મધ્યમાંથી પસાર થાય છે.

બાજુઓની સમાન સંખ્યાવાળા નિયમિત બહુકોણનું કેન્દ્ર તેની સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે. બાજુઓની વિષમ સંખ્યાવાળા નિયમિત બહુકોણમાં સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર હોતું નથી.

8 સમાનતા:

સમાનતા સાથે અને -ગોન -ગોનમાં જાય છે, અર્ધ-વિમાન અર્ધ-વિમાનમાં જાય છે, તેથી બહિર્મુખ n-કોણ બહિર્મુખ બને છે n-ગોન.

પ્રમેય: જો બહિર્મુખ બહુકોણની બાજુઓ અને ખૂણા સમાનતાને સંતોષે છે:

પોડિયમ ગુણાંક ક્યાં છે

પછી આ બહુકોણ સમાન છે.

• 8.1 બે સમાન બહુકોણની પરિમિતિનો ગુણોત્તર સમાનતા ગુણાંક સમાન છે.
• 8.2. બે બહિર્મુખ સમાન બહુકોણના ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર સમાનતા ગુણાંકના વર્ગ જેટલો છે.

બહુકોણ ત્રિકોણ પરિમિતિ પ્રમેય

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

• જ્યારે તમે સાઇટ પર અરજી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે તમારું નામ, ફોન નંબર, ઇમેઇલ સરનામું વગેરે સહિત વિવિધ માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ.

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

• અમે એકત્રિત કરીએ છીએ તે વ્યક્તિગત માહિતી અમને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ સાથે તમારો સંપર્ક કરવાની મંજૂરી આપે છે.
• સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
• અમે આંતરિક હેતુઓ માટે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જેમ કે અમે પ્રદાન કરીએ છીએ તે સેવાઓને સુધારવા માટે અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે ઑડિટ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ સંશોધન કરવા.
• જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

• જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયામાં, કાનૂની કાર્યવાહીમાં અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા રશિયન ફેડરેશનમાં સરકારી સંસ્થાઓની વિનંતીઓના આધારે - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરવા. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
• પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.