સંયોજક સમસ્યાઓ. ઉકેલોના ઉદાહરણો

એ નોંધવું જોઇએ કે કોમ્બીનેટરિક્સ ઉચ્ચ ગણિતની સ્વતંત્ર શાખા છે (અને ટેરવરનો ભાગ નથી) અને આ શિસ્ત પર વજનદાર પાઠ્યપુસ્તકો લખવામાં આવ્યા છે, જેની સામગ્રી, કેટલીકવાર, અમૂર્ત બીજગણિત કરતાં વધુ સરળ નથી. જો કે, સૈદ્ધાંતિક જ્ઞાનનો એક નાનો ભાગ આપણા માટે પૂરતો હશે, અને આ લેખમાં હું વિશિષ્ટ સંયોજન સમસ્યાઓ સાથે વિષયની મૂળભૂત બાબતોનું સુલભ સ્વરૂપમાં વિશ્લેષણ કરવાનો પ્રયાસ કરીશ. અને તમારામાંથી ઘણા મને મદદ કરશે ;-)

આપણે શું કરવાના છીએ? સંકુચિત અર્થમાં, સંયોજનશાસ્ત્ર એ વિવિધ સંયોજનોની ગણતરી છે જે ચોક્કસ સમૂહમાંથી બનાવી શકાય છે. અલગવસ્તુઓ ઑબ્જેક્ટ્સને કોઈપણ અલગ વસ્તુઓ અથવા જીવંત માણસો તરીકે સમજવામાં આવે છે - લોકો, પ્રાણીઓ, મશરૂમ્સ, છોડ, જંતુઓ વગેરે. તે જ સમયે, કોમ્બીનેટરિક્સ એ વાતની બિલકુલ કાળજી લેતા નથી કે સેટમાં સોજીના પોર્રીજની પ્લેટ, સોલ્ડરિંગ આયર્ન અને સ્વેમ્પ ફ્રોગનો સમાવેશ થાય છે. તે મૂળભૂત રીતે મહત્વપૂર્ણ છે કે આ વસ્તુઓની ગણતરી કરી શકાય છે - તેમાંના ત્રણ છે (વિવેકબુદ્ધિ)અને મહત્વની વાત એ છે કે તેમાંથી કોઈ એક સરખા નથી.

અમે ઘણું બધું કર્યું છે, હવે સંયોજનો વિશે. સંયોજનોના સૌથી સામાન્ય પ્રકારો ઑબ્જેક્ટના ક્રમચય, સમૂહ (સંયોજન) અને વિતરણ (પ્લેસમેન્ટ)માંથી તેમની પસંદગી છે. ચાલો જોઈએ કે આ હમણાં કેવી રીતે થાય છે:

પુનરાવર્તન વિના ક્રમચય, સંયોજનો અને પ્લેસમેન્ટ

અસ્પષ્ટ શરતોથી ડરશો નહીં, ખાસ કરીને કારણ કે તેમાંના કેટલાક ખરેખર ખૂબ સારા નથી. ચાલો શીર્ષકની પૂંછડીથી શરૂઆત કરીએ - શું કરે છે “ કોઈ પુનરાવર્તનો નથી"? આનો અર્થ એ છે કે આ વિભાગમાં આપણે સમાવિષ્ટ સમૂહોને ધ્યાનમાં લઈશું વિવિધવસ્તુઓ ઉદાહરણ તરીકે, ... ના, હું સોલ્ડરિંગ આયર્ન અને દેડકા સાથે પોર્રીજ ઓફર કરીશ નહીં, કંઈક વધુ સ્વાદિષ્ટ હોય તે વધુ સારું છે =) કલ્પના કરો કે તમારી સામેના ટેબલ પર એક સફરજન, એક નાસપતી અને એક કેળું તૈયાર થઈ ગયું છે ( જો તમારી પાસે તે હોય, તો પરિસ્થિતિનું વાસ્તવિકતામાં અનુકરણ કરી શકાય છે). અમે નીચેના ક્રમમાં ડાબેથી જમણે ફળો મૂકીએ છીએ:

સફરજન / પિઅર / કેળા

પ્રશ્ન એક: તેઓને કેટલી રીતે ફરીથી ગોઠવી શકાય?

એક સંયોજન પહેલેથી જ ઉપર લખવામાં આવ્યું છે અને બાકીના સાથે કોઈ સમસ્યા નથી:

સફરજન / બનાના / પિઅર
પિઅર / સફરજન / કેળા
પિઅર / કેળા / સફરજન
બનાના / સફરજન / પિઅર
બનાના / પિઅર / સફરજન

કુલ: 6 સંયોજનો અથવા 6 ક્રમચયો.

ઠીક છે, તમામ સંભવિત કેસોની યાદી બનાવવી મુશ્કેલ ન હતી, પરંતુ જો ત્યાં વધુ વસ્તુઓ હોય તો શું? માત્ર ચાર જુદા જુદા ફળો સાથે, સંયોજનોની સંખ્યામાં નોંધપાત્ર વધારો થશે!

કૃપા કરીને સંદર્ભ સામગ્રી ખોલો (મેન્યુઅલ છાપવા માટે તે અનુકૂળ છે)અને બિંદુ નંબર 2 માં, ક્રમચયોની સંખ્યા માટે સૂત્ર શોધો.

કોઈ મુશ્કેલી નથી - 3 ઑબ્જેક્ટને અલગ અલગ રીતે ફરીથી ગોઠવી શકાય છે.

પ્રશ્ન બે: તમે કેટલી રીતે a) એક ફળ, b) બે ફળ, c) ત્રણ ફળો, ડી) ઓછામાં ઓછું એક ફળ પસંદ કરી શકો છો?

શા માટે પસંદ કરો? તેથી અમે અગાઉના મુદ્દામાં ભૂખ લગાવી - ખાવા માટે! =)

a) એક ફળ પસંદ કરી શકાય છે, દેખીતી રીતે, ત્રણ રીતે - સફરજન, પિઅર અથવા કેળા લો. ઔપચારિક ગણતરી અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે સંયોજનોની સંખ્યા માટેનું સૂત્ર:

આ કેસની એન્ટ્રી નીચે મુજબ સમજવી જોઈએ: "તમે ત્રણમાંથી 1 ફળ કેટલી રીતે પસંદ કરી શકો છો?"

b) ચાલો બે ફળોના તમામ સંભવિત સંયોજનોની યાદી કરીએ:

સફરજન અને પિઅર;
સફરજન અને કેળા;
પિઅર અને કેળા.

સમાન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સંયોજનોની સંખ્યા સરળતાથી ચકાસી શકાય છે:

એન્ટ્રી સમાન રીતે સમજાય છે: "તમે ત્રણમાંથી 2 ફળો કેટલી રીતે પસંદ કરી શકો છો?"

c) અને અંતે, ત્રણ ફળો પસંદ કરવાનો એક જ રસ્તો છે:

માર્ગ દ્વારા, સંયોજનોની સંખ્યા માટેનું સૂત્ર ખાલી નમૂના માટે અર્થપૂર્ણ રહે છે:
આ રીતે, તમે એક પણ ફળ પસંદ કરી શકતા નથી - હકીકતમાં, કંઈપણ ન લો અને બસ.

ડી) તમે કેટલી રીતે લઈ શકો છો ઓછામાં ઓછું એકફળ? "ઓછામાં ઓછું એક" શરત સૂચવે છે કે આપણે 1 ફળ (કોઈપણ) અથવા કોઈપણ 2 ફળો અથવા બધા 3 ફળોથી સંતુષ્ટ છીએ:
આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને તમે ઓછામાં ઓછું એક ફળ પસંદ કરી શકો છો.

વાચકો જેમણે પ્રારંભિક પાઠનો કાળજીપૂર્વક અભ્યાસ કર્યો છે સંભાવના સિદ્ધાંત, અમે પહેલેથી જ કંઈક અનુમાન લગાવ્યું છે. પરંતુ વત્તા ચિહ્નના અર્થ વિશે પછીથી વધુ.

આગલા પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે મને બે સ્વયંસેવકોની જરૂર છે... ...સારું, કારણ કે કોઈ ઈચ્છતું નથી, તો હું તમને બોર્ડમાં બોલાવીશ =)

પ્રશ્ન ત્રણ: તમે દશા અને નતાશાને એક-એક ફળ કેટલી રીતે વહેંચી શકો છો?

બે ફળો વિતરિત કરવા માટે, તમારે પ્રથમ તેમને પસંદ કરવાની જરૂર છે. પાછલા પ્રશ્નના ફકરા "be" મુજબ, આ રીતે કરી શકાય છે, હું તેમને ફરીથી લખીશ:

સફરજન અને પિઅર;
સફરજન અને કેળા;
પિઅર અને કેળા.

પણ હવે બમણા કોમ્બિનેશન હશે. ઉદાહરણ તરીકે, ફળોની પ્રથમ જોડી ધ્યાનમાં લો:
તમે દશાને સફરજન સાથે અને નતાશાને પિઅર સાથે સારવાર કરી શકો છો;
અથવા ઊલટું - દશાને પિઅર મળશે, અને નતાશાને સફરજન મળશે.

અને ફળોની દરેક જોડી માટે આવા ક્રમચય શક્ય છે.

એ જ વિદ્યાર્થી જૂથનો વિચાર કરો જે નૃત્યમાં ગયા હતા. છોકરો અને છોકરીને કેટલી રીતે જોડી શકાય?

જે રીતે તમે 1 યુવકને પસંદ કરી શકો છો;
તમે કેવી રીતે 1 છોકરી પસંદ કરી શકો છો.

આમ, એક યુવક અનેતમે એક છોકરી પસંદ કરી શકો છો: માર્ગો

જ્યારે દરેક સમૂહમાંથી 1 ઑબ્જેક્ટ પસંદ કરવામાં આવે છે, ત્યારે સંયોજનોની ગણતરી માટેનો નીચેનો સિદ્ધાંત માન્ય છે: “ દરેકએક સમૂહમાંથી એક પદાર્થ જોડી બનાવી શકે છે દરેક સાથેબીજા સમૂહનો પદાર્થ."

એટલે કે, ઓલેગ 13 છોકરીઓમાંથી કોઈપણને નૃત્ય માટે આમંત્રિત કરી શકે છે, એવજેની પણ તેરમાંથી કોઈપણને આમંત્રિત કરી શકે છે, અને બાકીના યુવાનો પાસે સમાન પસંદગી છે. કુલ: શક્ય જોડીઓ.

એ નોંધવું જોઇએ કે આ ઉદાહરણમાં, જોડીની રચનાનો "ઇતિહાસ" કોઈ વાંધો નથી; જો કે, જો આપણે પહેલને ધ્યાનમાં લઈએ, તો સંયોજનોની સંખ્યા બમણી થવી જોઈએ, કારણ કે 13 છોકરીઓમાંથી દરેક કોઈપણ છોકરાને નૃત્ય માટે આમંત્રિત કરી શકે છે. તે બધા ચોક્કસ કાર્યની શરતો પર આધાર રાખે છે!

સમાન સિદ્ધાંત વધુ જટિલ સંયોજનો માટે માન્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે: તમે બે યુવાન પુરુષોને કેટલી રીતે પસંદ કરી શકો છો? અને KVN સ્કીટમાં બે છોકરીઓ ભાગ લેશે?

સંઘ અનેસ્પષ્ટપણે સંકેત આપે છે કે સંયોજનોને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે:

કલાકારોના સંભવિત જૂથો.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેકછોકરાઓની જોડી (45 અનન્ય જોડી) સાથે પ્રદર્શન કરી શકે છે કોઈપણછોકરીઓની જોડી (78 અનન્ય જોડી). અને જો આપણે સહભાગીઓ વચ્ચે ભૂમિકાઓના વિતરણને ધ્યાનમાં લઈએ, તો ત્યાં પણ વધુ સંયોજનો હશે. ...હું ખરેખર ઇચ્છું છું, પરંતુ હું હજી પણ ચાલુ રાખવાનું ટાળીશ જેથી તમારામાં વિદ્યાર્થી જીવન પ્રત્યે અણગમો ન આવે =).

ગુણાકાર સંયોજનો માટેનો નિયમ મોટી સંખ્યામાં ગુણાકારને પણ લાગુ પડે છે:

સમસ્યા 8

5 વડે ભાગી શકાય તેવી ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ કેટલી છે?

ઉકેલ: સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો આ સંખ્યાને ત્રણ ફૂદડી સાથે દર્શાવીએ: ***

IN સેંકડો સ્થાનતમે કોઈપણ નંબરો (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 અથવા 9) લખી શકો છો. શૂન્ય યોગ્ય નથી, કારણ કે આ કિસ્સામાં સંખ્યા ત્રણ-અંકની થવાનું બંધ કરે છે.

પરંતુ માં દસ સ્થાન("મધ્યમાં") તમે 10 અંકોમાંથી કોઈપણ પસંદ કરી શકો છો: .

શરત મુજબ, સંખ્યા 5 વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ. જો કોઈ સંખ્યા 5 અથવા 0 માં સમાપ્ત થાય તો તે 5 વડે વિભાજ્ય છે. આમ, અમે ઓછામાં ઓછા નોંધપાત્ર અંકમાં 2 અંકોથી સંતુષ્ટ છીએ.

કુલ, ત્યાં છે: ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ જે 5 વડે વિભાજ્ય છે.

આ કિસ્સામાં, કાર્ય નીચે પ્રમાણે સમજાવવામાં આવ્યું છે: “9 રીતે તમે સંખ્યા પસંદ કરી શકો છો સેંકડો સ્થાન અનેમાં નંબર પસંદ કરવાની 10 રીતો દસ સ્થાન અને 2 માર્ગો અંદર એકમો અંક»

અથવા તેનાથી પણ સરળ: “ દરેક 9 અંકોથી સેંકડો સ્થાનજોડે છે દરેક સાથે 10 અંકોનો દસ સ્થાન અને દરેક સાથેબે અંકો થી એકમો અંક».

જવાબ આપો: 180

અને હવે...

હા, હું સમસ્યા નંબર 5 પર વચન આપેલ ટિપ્પણી વિશે લગભગ ભૂલી ગયો છું, જેમાં બોર, દિમા અને વોલોડ્યાને અલગ અલગ રીતે એક-એક કાર્ડ આપી શકાય છે. અહીં ગુણાકારનો સમાન અર્થ છે: ડેકમાંથી 3 કાર્ડ દૂર કરવાની રીતો અને દરેકમાંનમૂના તેમને રીતે ફરીથી ગોઠવો.

અને હવે તમારી જાતે ઉકેલવા માટેની સમસ્યા... હવે હું કંઈક વધુ રસપ્રદ લઈને આવીશ... બ્લેકજેકના સમાન રશિયન સંસ્કરણ વિશે રહેવા દો:

સમસ્યા 9

"બિંદુ" રમતી વખતે 2 કાર્ડ્સના કેટલા વિજેતા સંયોજનો છે?

જેઓ નથી જાણતા તેમના માટે: વિજેતા સંયોજન 10 + ACE (11 પોઈન્ટ) = 21 પોઈન્ટ છે અને, ચાલો બે એસિસના વિજેતા સંયોજનને ધ્યાનમાં લઈએ.

(કોઈપણ જોડીમાં કાર્ડનો ક્રમ વાંધો નથી)

પાઠના અંતે ટૂંકો ઉકેલ અને જવાબ.

માર્ગ દ્વારા, ઉદાહરણને આદિમ માનશો નહીં. બ્લેકજેક એ લગભગ એકમાત્ર રમત છે જેના માટે ગાણિતિક આધારિત અલ્ગોરિધમ છે જે તમને કેસિનોને હરાવવા માટે પરવાનગી આપે છે. રસ ધરાવતા લોકો શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચના અને યુક્તિઓ વિશે ઘણી માહિતી સરળતાથી મેળવી શકે છે. સાચું, આવા માસ્ટર્સ ખૂબ જ ઝડપથી તમામ સંસ્થાઓની કાળી સૂચિમાં સમાપ્ત થાય છે =)

કેટલાક નક્કર કાર્યો સાથે આવરી લેવામાં આવેલી સામગ્રીને એકીકૃત કરવાનો સમય છે:

સમસ્યા 10

વાસ્યાને ઘરે 4 બિલાડીઓ છે.

a) બિલાડીઓને રૂમના ખૂણામાં કેટલી રીતે બેસાડી શકાય છે?
b) તમે બિલાડીઓને કેટલી રીતે ચાલવા જવા દો છો?
c) વાસ્યા કેટલી રીતે બે બિલાડીઓને ઉપાડી શકે છે (એક તેની ડાબી બાજુએ, બીજી તેની જમણી બાજુએ)?

ચાલો નક્કી કરીએ: સૌપ્રથમ, તમારે ફરીથી એ હકીકત પર ધ્યાન આપવું જોઈએ કે સમસ્યા સાથે વ્યવહાર કરે છે અલગવસ્તુઓ (ભલે બિલાડીઓ સમાન જોડિયા હોય). આ એક ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ સ્થિતિ છે!

a) બિલાડીઓનું મૌન. આ અમલને આધીન એક જ સમયે બધી બિલાડીઓ
+ તેમનું સ્થાન મહત્વપૂર્ણ છે, તેથી અહીં ક્રમચયો છે:
આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને તમે બિલાડીઓને ઓરડાના ખૂણામાં મૂકી શકો છો.

હું પુનરાવર્તન કરું છું કે જ્યારે પરવાનગી આપતી વખતે, માત્ર વિવિધ વસ્તુઓની સંખ્યા અને તેમની સંબંધિત સ્થિતિ મહત્વપૂર્ણ છે. વાસ્યાના મૂડ પર આધાર રાખીને, તે પ્રાણીઓને સોફા પર અર્ધવર્તુળમાં, વિંડોઝિલ પર એક પંક્તિમાં, વગેરેમાં બેસાડી શકે છે. - તમામ કેસોમાં 24 ક્રમચયો હશે, જે રસ ધરાવતો હોય તે કલ્પના કરી શકે છે કે બિલાડીઓ બહુ રંગીન છે (ઉદાહરણ તરીકે, સફેદ, કાળી, લાલ અને ટેબી) અને તમામ સંભવિત સંયોજનોની સૂચિ બનાવો.

b) તમે બિલાડીઓને કેટલી રીતે ચાલવા જવા દો છો?

એવું માનવામાં આવે છે કે બિલાડીઓ ફક્ત દરવાજામાંથી જ ચાલવા માટે જાય છે, અને પ્રશ્ન પ્રાણીઓની સંખ્યા અંગે ઉદાસીનતા સૂચવે છે - 1, 2, 3 અથવા બધી 4 બિલાડીઓ ચાલવા જઈ શકે છે.

અમે તમામ સંભવિત સંયોજનોની ગણતરી કરીએ છીએ:

તમે એક બિલાડી (ચારમાંથી કોઈપણ)ને ચાલવા જવા દો તે રીતે;
તમે બે બિલાડીઓને ચાલવા જવા દેવાની રીતો (તમે વિકલ્પોની સૂચિ બનાવો);
તમે ત્રણ બિલાડીઓને ચાલવા જવા દો (ચારમાંથી એક ઘરે બેસે છે)
આ રીતે તમે બધી બિલાડીઓને મુક્ત કરી શકો છો.

તમે કદાચ અનુમાન લગાવ્યું છે કે પરિણામી મૂલ્યોનો સારાંશ આપવો જોઈએ:
તમે બિલાડીઓને ચાલવા જવા દેવાની રીતો.

ઉત્સાહીઓ માટે, હું સમસ્યાનું એક જટિલ સંસ્કરણ પ્રદાન કરું છું - જ્યારે કોઈપણ નમૂનાની કોઈપણ બિલાડી રેન્ડમલી બહાર જઈ શકે છે, 10 મા માળે દરવાજા અને બારી દ્વારા બંને. સંયોજનોમાં નોંધપાત્ર વધારો થશે!

c) વાસ્યા કેટલી રીતે બે બિલાડીઓને ઉપાડી શકે છે?

પરિસ્થિતિમાં ફક્ત 2 પ્રાણીઓને પસંદ કરવાનું જ નહીં, પણ તેમને દરેક હાથમાં મૂકવાનો પણ સમાવેશ થાય છે:
આ રીતે તમે 2 બિલાડીઓ ઉપાડી શકો છો.

બીજો ઉકેલ: તમે પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને બે બિલાડીઓ પસંદ કરી શકો છો અનેરોપણી કરવાની રીતો દરેકહાથ પર એક દંપતી:

જવાબ આપો: a) 24, b) 15, c) 12

ઠીક છે, તમારા અંતરાત્માને સાફ કરવા માટે, સંયોજનોના ગુણાકાર વિશે કંઈક વધુ ચોક્કસ... વાસ્યા પાસે 5 વધારાની બિલાડીઓ રાખવા દો =) તમે 2 બિલાડીઓને કેટલી રીતે ચાલવા દો? અને 1 બિલાડી?

એટલે કે, સાથે દરેકબિલાડીઓ એક દંપતિ મુક્ત કરી શકાય છે દરેકબિલાડી

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે અન્ય બટન એકોર્ડિયન:

સમસ્યા 11

12 માળની ઇમારતની લિફ્ટમાં 3 મુસાફરો ચડ્યા હતા. દરેક વ્યક્તિ, અન્યને ધ્યાનમાં લીધા વિના, સમાન સંભાવના સાથે કોઈપણ (2જીથી શરૂ કરીને) ફ્લોર પરથી બહાર નીકળી શકે છે. કેટલી રીતે:

1) મુસાફરો એક જ ફ્લોર પર ઉતરી શકે છે (એક્ઝિટ ઓર્ડરથી કોઈ ફરક પડતો નથી);
2) બે લોકો એક માળ પર ઉતરી શકે છે, અને ત્રીજો બીજા પર;
3) લોકો વિવિધ માળ પર બહાર નીકળી શકે છે;
4) શું મુસાફરો લિફ્ટમાંથી બહાર નીકળી શકે છે?

અને અહીં તેઓ વારંવાર પૂછે છે, હું સ્પષ્ટ કરું છું: જો 2 અથવા 3 લોકો એક જ ફ્લોર પર બહાર નીકળે છે, તો પછી બહાર નીકળવાના ક્રમમાં કોઈ વાંધો નથી. વિચારો, સંયોજનો ઉમેરવા/ગુણાકાર કરવા માટે સૂત્રો અને નિયમોનો ઉપયોગ કરો. મુશ્કેલીઓના કિસ્સામાં, મુસાફરો માટે નામો આપવા અને તેઓ લિફ્ટમાંથી બહાર નીકળી શકે તેવા સંયોજનોમાં અનુમાન કરવા માટે ઉપયોગી છે. જો કંઈક કામ ન કરે તો અસ્વસ્થ થવાની જરૂર નથી, ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ નંબર 2 તદ્દન કપટી છે.

પાઠના અંતે વિગતવાર ટિપ્પણીઓ સાથે સંપૂર્ણ ઉકેલ.

અંતિમ ફકરો સંયોજનોને સમર્પિત છે જે ઘણી વાર થાય છે - મારા વ્યક્તિલક્ષી મૂલ્યાંકન મુજબ, લગભગ 20-30% સંયોજન સમસ્યાઓમાં:

ક્રમચયો, સંયોજનો અને પુનરાવર્તનો સાથે પ્લેસમેન્ટ

સંયોજનોના સૂચિબદ્ધ પ્રકારો સંદર્ભ સામગ્રીના ફકરા નંબર 5 માં દર્શાવેલ છે સંયોજનશાસ્ત્રના મૂળભૂત સૂત્રોજો કે, તેમાંના કેટલાક પ્રથમ વાંચન પર ખૂબ સ્પષ્ટ ન પણ હોઈ શકે. આ કિસ્સામાં, સૌપ્રથમ તમારી જાતને વ્યવહારુ ઉદાહરણોથી પરિચિત કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, અને તે પછી જ સામાન્ય રચનાને સમજો. ચાલો જઈએ:

પુનરાવર્તનો સાથે ક્રમચયો

પુનરાવર્તનો સાથે ક્રમચયોમાં, "સામાન્ય" ક્રમચયોની જેમ, એક જ સમયે તમામ ઘણી વસ્તુઓ, પરંતુ ત્યાં એક વસ્તુ છે: આ સમૂહમાં એક અથવા વધુ તત્વો (ઓબ્જેક્ટ્સ) પુનરાવર્તિત થાય છે. આગલા ધોરણને મળો:

સમસ્યા 12

નીચેના અક્ષરો સાથે કાર્ડને ફરીથી ગોઠવવાથી કેટલા વિવિધ અક્ષર સંયોજનો મેળવી શકાય છે: K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K?

ઉકેલ: જો બધા અક્ષરો અલગ-અલગ હતા, તો એક તુચ્છ સૂત્ર લાગુ કરવું પડશે, પરંતુ તે સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ છે કે કાર્ડના સૂચિત સેટ માટે કેટલીક મેનીપ્યુલેશન્સ "નિષ્ક્રિયપણે" કામ કરશે, ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે કોઈપણ બે કાર્ડ સ્વેપ કરો છો કોઈપણ શબ્દમાં "K" " અક્ષરો સાથે, તમને તે જ શબ્દ મળશે. તદુપરાંત, ભૌતિક રીતે કાર્ડ્સ ખૂબ જ અલગ હોઈ શકે છે: એક તેના પર છાપેલ "K" અક્ષર સાથે ગોળાકાર હોઈ શકે છે, અન્ય તેના પર દોરેલા "K" અક્ષર સાથે ચોરસ હોઈ શકે છે. પરંતુ કાર્યના અર્થ અનુસાર, આવા કાર્ડ્સ પણ સમાન ગણવામાં આવે છે, કારણ કે શરત અક્ષર સંયોજનો વિશે પૂછે છે.

બધું ખૂબ જ સરળ છે - ફક્ત 11 કાર્ડ્સ, જેમાં પત્રનો સમાવેશ થાય છે:

K - 3 વખત પુનરાવર્તિત;
ઓ - 3 વખત પુનરાવર્તિત;
એલ - 2 વખત પુનરાવર્તિત;
b - 1 વખત પુનરાવર્તિત;
એચ - 1 વખત પુનરાવર્તિત;
અને - 1 વખત પુનરાવર્તિત.

તપાસો: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, જે તપાસવાની જરૂર છે.

સૂત્ર મુજબ પુનરાવર્તનો સાથે ક્રમચયોની સંખ્યા:
વિવિધ અક્ષર સંયોજનો મેળવી શકાય છે. અડધા મિલિયનથી વધુ!

મોટા ફેક્ટોરિયલ મૂલ્યની ઝડપથી ગણતરી કરવા માટે, પ્રમાણભૂત એક્સેલ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે: કોઈપણ કોષમાં દાખલ કરો =FACT(11)અને દબાવો દાખલ કરો.

વ્યવહારમાં, સામાન્ય સૂત્ર ન લખવું અને વધુમાં, એકમ ફેક્ટોરિયલ્સને અવગણવું તે તદ્દન સ્વીકાર્ય છે:

પરંતુ પુનરાવર્તિત પત્રો વિશે પ્રારંભિક ટિપ્પણીઓ જરૂરી છે!

જવાબ આપો: 554400

પુનરાવર્તન સાથેના ક્રમચયોનું બીજું વિશિષ્ટ ઉદાહરણ ચેસ પીસ પ્લેસમેન્ટ સમસ્યામાં જોવા મળે છે, જે વેરહાઉસમાં મળી શકે છે. તૈયાર ઉકેલોઅનુરૂપ પીડીએફમાં. અને સ્વતંત્ર સોલ્યુશન માટે, હું ઓછા ફોર્મ્યુલેટિક કાર્ય સાથે આવ્યો છું:

સમસ્યા 13

એલેક્સી રમતગમત માટે જાય છે, અને અઠવાડિયામાં 4 દિવસ - એથ્લેટિક્સ, 2 દિવસ - તાકાત કસરતો અને 1 દિવસ આરામ કરે છે. તે કેટલી રીતે પોતાના માટે સાપ્તાહિક શેડ્યૂલ બનાવી શકે છે?

સૂત્ર અહીં કામ કરતું નથી કારણ કે તે સાંયોગિક અદલાબદલીને ધ્યાનમાં લે છે (ઉદાહરણ તરીકે, બુધવારની તાકાત કસરતને ગુરુવારની તાકાત કસરતો સાથે અદલાબદલી કરવી). અને ફરીથી - વાસ્તવમાં, સમાન 2 તાકાત તાલીમ સત્રો એકબીજાથી ખૂબ જ અલગ હોઈ શકે છે, પરંતુ કાર્યના સંદર્ભમાં (શેડ્યૂલના દૃષ્ટિકોણથી) તેઓ સમાન તત્વો માનવામાં આવે છે.

પાઠના અંતે બે લીટીનો ઉકેલ અને જવાબ.

પુનરાવર્તનો સાથે સંયોજનો

આ પ્રકારના સંયોજનની લાક્ષણિકતા એ છે કે નમૂના ઘણા જૂથોમાંથી દોરવામાં આવે છે, જેમાંના દરેકમાં સમાન પદાર્થોનો સમાવેશ થાય છે.

આજે દરેક વ્યક્તિએ સખત મહેનત કરી છે, તેથી તમારી જાતને ફ્રેશ કરવાનો સમય છે:

સમસ્યા 14

વિદ્યાર્થી કેન્ટીન કણક, ચીઝકેક અને ડોનટ્સમાં સોસેજ વેચે છે. તમે પાંચ પાઈ કેટલી રીતે ખરીદી શકો છો?

ઉકેલ: પુનરાવર્તનો સાથે સંયોજનો માટેના લાક્ષણિક માપદંડ પર તરત જ ધ્યાન આપો - શરત અનુસાર, તે વસ્તુઓનો સમૂહ નથી જે પસંદગી માટે ઓફર કરવામાં આવે છે, પરંતુ વિવિધ પ્રકારોવસ્તુઓ; એવું માનવામાં આવે છે કે વેચાણ પર ઓછામાં ઓછા પાંચ હોટ ડોગ્સ, 5 ચીઝકેક અને 5 ડોનટ્સ છે. દરેક જૂથમાં પાઈ, અલબત્ત, અલગ-અલગ હોય છે - કારણ કે સંપૂર્ણપણે સમાન ડોનટ્સ ફક્ત કમ્પ્યુટર પર જ સિમ્યુલેટ કરી શકાય છે =) જો કે, સમસ્યાના હેતુ માટે પાઈની શારીરિક લાક્ષણિકતાઓ નોંધપાત્ર નથી, અને હોટ ડોગ્સ / ચીઝકેક / તેમના જૂથોમાં ડોનટ્સ સમાન ગણવામાં આવે છે.

નમૂનામાં શું હોઈ શકે? સૌ પ્રથમ, એ નોંધવું જોઈએ કે નમૂનામાં ચોક્કસપણે સમાન પાઈ હશે (કારણ કે અમે 5 ટુકડાઓ પસંદ કરી રહ્યા છીએ, અને પસંદ કરવા માટે 3 પ્રકારો છે). દરેક સ્વાદ માટે અહીં વિકલ્પો છે: 5 હોટ ડોગ્સ, 5 ચીઝકેક, 5 ડોનટ્સ, 3 હોટ ડોગ્સ + 2 ચીઝકેક, 1 હોટ ડોગ + 2 ચીઝકેક + 2 ડોનટ્સ વગેરે.

"નિયમિત" સંયોજનોની જેમ, પસંદગીમાં પાઈની પસંદગી અને પ્લેસમેન્ટનો ક્રમ કોઈ વાંધો નથી - તમે ફક્ત 5 ટુકડાઓ પસંદ કર્યા છે અને બસ.

અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ પુનરાવર્તનો સાથે સંયોજનોની સંખ્યા:
તમે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને 5 પાઈ ખરીદી શકો છો.

બોન એપેટીટ!

જવાબ આપો: 21

ઘણી સંયુક્ત સમસ્યાઓમાંથી શું નિષ્કર્ષ કાઢી શકાય?

કેટલીકવાર સૌથી મુશ્કેલ વસ્તુ સ્થિતિને સમજવી હોય છે.

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે સમાન ઉદાહરણ:

સમસ્યા 15

વૉલેટમાં એકદમ મોટી સંખ્યામાં 1-, 2-, 5- અને 10-રુબલ સિક્કા છે. વૉલેટમાંથી ત્રણ સિક્કા કેટલી રીતે કાઢી શકાય?

સ્વ-નિયંત્રણ હેતુઓ માટે, કેટલાક સરળ પ્રશ્નોના જવાબ આપો:

1) નમૂનામાં બધા સિક્કા અલગ હોઈ શકે છે?
2) સિક્કાઓના "સૌથી સસ્તા" અને સૌથી "ખર્ચાળ" સંયોજનને નામ આપો.

પાઠના અંતે ઉકેલ અને જવાબો.

મારા અંગત અનુભવ પરથી, હું કહી શકું છું કે પુનરાવર્તનો સાથેના સંયોજનો વ્યવહારમાં દુર્લભ મહેમાન છે, જે નીચેના પ્રકારના સંયોજનો વિશે કહી શકાય નહીં:

પુનરાવર્તનો સાથે પ્લેસમેન્ટ

ઘટકોના સમૂહમાંથી, ઘટકો પસંદ કરવામાં આવે છે, અને દરેક પસંદગીમાં તત્વોનો ક્રમ મહત્વપૂર્ણ છે. અને બધું સારું રહેશે, પરંતુ એક જગ્યાએ અણધારી મજાક એ છે કે આપણે મૂળ સેટના કોઈપણ ઑબ્જેક્ટને આપણે જોઈએ તેટલી વખત પસંદ કરી શકીએ છીએ. અલંકારિક રીતે કહીએ તો, "ભીડ ઘટશે નહીં."

આવું ક્યારે બને? એક લાક્ષણિક ઉદાહરણ એ ઘણી ડિસ્ક સાથેનું સંયોજન લોક છે, પરંતુ તકનીકી વિકાસને લીધે, તેના ડિજિટલ વંશજને ધ્યાનમાં લેવું વધુ સુસંગત છે:

સમસ્યા 16

ચાર-અંકના પિન કોડ કેટલા છે?

ઉકેલ: વાસ્તવમાં, સમસ્યાના ઉકેલ માટે, સંયોજનશાસ્ત્રના નિયમોનું જ્ઞાન પૂરતું છે: તમે પિન કોડનો પ્રથમ અંક પસંદ કરી શકો તે રીતે અનેરીતો - પિન કોડનો બીજો અંક અનેઘણી રીતે - ત્રીજી અનેસમાન નંબર - ચોથો. આમ, સંયોજનોના ગુણાકારના નિયમ અનુસાર, ચાર-અંકનો પિન કોડ આ રીતે બનાવી શકાય છે: રીતે.

અને હવે ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને. શરત અનુસાર, અમને સંખ્યાઓનો સમૂહ ઓફર કરવામાં આવે છે, જેમાંથી નંબરો પસંદ કરીને ગોઠવવામાં આવે છે ચોક્કસ ક્રમમાં, જ્યારે નમૂનામાંની સંખ્યાઓ પુનરાવર્તિત થઈ શકે છે (એટલે ​​​​કે મૂળ સમૂહનો કોઈપણ અંક મનસ્વી સંખ્યામાં વખત વાપરી શકાય છે). પુનરાવર્તનો સાથે પ્લેસમેન્ટની સંખ્યા માટેના સૂત્ર અનુસાર:

જવાબ આપો: 10000

અહીં ધ્યાનમાં શું આવે છે... ...જો PIN કોડ દાખલ કરવાના ત્રીજા અસફળ પ્રયાસ પછી ATM કાર્ડને “ખાઈ જાય છે”, તો પછી તેને રેન્ડમથી ઉપાડવાની શક્યતાઓ ખૂબ જ ઓછી છે.

અને કોણે કહ્યું કે સંયોજનશાસ્ત્રનો કોઈ વ્યવહારિક અર્થ નથી? સાઇટના તમામ વાચકો માટે જ્ઞાનાત્મક કાર્ય:

સમસ્યા 17

રાજ્યના ધોરણ મુજબ, કારની લાઇસન્સ પ્લેટમાં 3 નંબર અને 3 અક્ષરો હોય છે. આ કિસ્સામાં, ત્રણ શૂન્ય સાથેની સંખ્યા અસ્વીકાર્ય છે, અને A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X સેટમાંથી અક્ષરો પસંદ કરવામાં આવે છે. (ફક્ત તે સિરિલિક અક્ષરોનો ઉપયોગ થાય છે જેની જોડણી લેટિન અક્ષરો સાથે એકરુપ હોય છે).

એક પ્રદેશ માટે કેટલી અલગ અલગ લાઇસન્સ પ્લેટ બનાવી શકાય છે?

તેમાંથી ઘણા નથી, માર્ગ દ્વારા. મોટા પ્રદેશોમાં આટલો પૂરતો જથ્થો નથી, અને તેથી તેમના માટે શિલાલેખ RUS માટે ઘણા કોડ્સ છે.

ઉકેલ અને જવાબ પાઠના અંતે છે. સંયોજનશાસ્ત્રના નિયમોનો ઉપયોગ કરવાનું ભૂલશો નહીં ;-) ...હું જે વિશિષ્ટ હતું તે બતાવવા માંગતો હતો, પરંતુ તે વિશિષ્ટ ન હોવાનું બહાર આવ્યું =) મેં વિકિપીડિયા પર જોયું - ત્યાં ગણતરીઓ છે, જોકે ટિપ્પણીઓ વિના. જો કે શૈક્ષણિક હેતુઓ માટે, સંભવતઃ, થોડા લોકોએ તેને હલ કર્યું.

અમારો ઉત્તેજક પાઠ સમાપ્ત થયો છે, અને અંતે હું કહેવા માંગુ છું કે તમે તમારો સમય બગાડ્યો નથી - કારણ કે સંયોજનશાસ્ત્રના સૂત્રો અન્ય મહત્વપૂર્ણ વ્યવહારુ એપ્લિકેશન શોધે છે: તે વિવિધ સમસ્યાઓમાં જોવા મળે છે. સંભાવના સિદ્ધાંત,
અને માં સંભાવનાના શાસ્ત્રીય નિર્ધારણ સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓ- ખાસ કરીને ઘણીવાર =)

તમારી સક્રિય ભાગીદારી બદલ આપ સૌનો આભાર અને ટૂંક સમયમાં મળીશું!

ઉકેલો અને જવાબો:

કાર્ય 2: ઉકેલ: 4 કાર્ડના તમામ સંભવિત ક્રમચયોની સંખ્યા શોધો:

જ્યારે શૂન્ય સાથેનું કાર્ડ 1લા સ્થાને મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે સંખ્યા ત્રણ-અંકની બને છે, તેથી આ સંયોજનોને બાકાત રાખવા જોઈએ. શૂન્યને 1લા સ્થાને રહેવા દો, પછી નીચેના અંકોમાં બાકીના 3 અંકોને અલગ અલગ રીતે ગોઠવી શકાય.

નોંધ : કારણ કે ત્યાં માત્ર થોડા જ કાર્ડ હોવાથી, અહીં તમામ વિકલ્પોની યાદી કરવી સરળ છે:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

આમ, સૂચિત સમૂહમાંથી આપણે બનાવી શકીએ છીએ:
24 – 6 = 18 ચાર-અંકની સંખ્યાઓ
જવાબ આપો : 18

કાર્ય 4: ઉકેલ: આ રીતે તમે 36 માંથી 3 કાર્ડ પસંદ કરી શકો છો.
જવાબ આપો : 7140

કાર્ય 6: ઉકેલ: માર્ગો
બીજો ઉપાય : જે રીતે તમે જૂથમાંથી બે લોકોને પસંદ કરી શકો છો અને અને
2) "સૌથી સસ્તા" સેટમાં 3 રૂબલ સિક્કા છે, અને સૌથી વધુ "ખર્ચાળ" - 3 દસ-રુબલ સિક્કા.

સમસ્યા 17: ઉકેલ: આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને, તમે કાર નંબરનું ડિજિટલ સંયોજન બનાવી શકો છો, જ્યારે તેમાંથી એક (000) બાકાત રાખવો જોઈએ: .
આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને તમે લાયસન્સ પ્લેટ નંબરનું લેટર કોમ્બિનેશન બનાવી શકો છો.
ગુણાકાર સંયોજનોના નિયમ અનુસાર, કુલ બનાવી શકાય છે:
લાઇસન્સ પ્લેટો
(દરેકડિજિટલ સંયોજન સંયુક્ત છે દરેક સાથેઅક્ષર સંયોજન).
જવાબ આપો : 1726272

2017-2018 ગણિત, ગ્રેડ 11 માં તાલીમ કાર્ય

વિકલ્પ 2 (મૂળભૂત)

દરેક કાર્યનો જવાબ અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંક, સંપૂર્ણ સંખ્યા અથવા સંખ્યાઓનો ક્રમ છે. કાર્યના ટેક્સ્ટમાં જવાબ ક્ષેત્રમાં કાર્યોના જવાબો લખો, અને પછી તેમને અનુરૂપ કાર્યની સંખ્યાની જમણી બાજુએ જવાબ ફોર્મ નંબર 1 પર સ્થાનાંતરિત કરો. જો જવાબ નંબરોનો ક્રમ હોય, તો આ ક્રમને જવાબ ફોર્મ નંબર 1 માં લખોકોઈ જગ્યાઓ, અલ્પવિરામ અથવા અન્ય વધારાના અક્ષરો નથી. દરેક નંબર, બાદબાકીનું ચિહ્ન અને અલ્પવિરામ અલગ બોક્સમાં લખો. માપના એકમો લખવાની જરૂર નથી.

1

જવાબ: _________________.

2 . અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

જવાબ: _________________.

3 . શાળામાં, તમામ વિદ્યાર્થીઓમાં છોકરીઓની સંખ્યા 51% છે. જો છોકરાઓ કરતાં 8 વધુ હોય તો આ શાળામાં કેટલી છોકરીઓ છે?

જવાબ: _________________.

4 . ત્રણ સંખ્યાઓનો હાર્મોનિક સરેરાશએ , b અનેસાથે, સૂત્ર દ્વારા ગણતરી કરેલ સંખ્યાઓનો હાર્મોનિક સરેરાશ શોધો

જવાબ: _________________.

5. ગણતરી કરો:

જવાબ: _________________.

6 . સંસ્થાના પુરૂષોના શયનગૃહમાં, દરેક રૂમમાં ત્રણથી વધુ લોકો બેસી શકશે નહીં. શહેરની બહારના 79 વિદ્યાર્થીઓને સમાવવા માટે રૂમની સૌથી નાની સંખ્યા કેટલી છે?

જવાબ: _________________.

7 .સમીકરણનું મૂળ શોધો

જવાબ: _________________.

8 . એપાર્ટમેન્ટમાં બે રૂમ, એક રસોડું, એક કોરિડોર અને બાથરૂમ છે (રેખાંકન જુઓ). પ્રથમ ઓરડો 4 મીટર બાય 4 મીટર, બીજો ઓરડો 4 મીટર બાય 3.5 મીટર, રસોડું 4 મીટર બાય 3.5 મીટર અને બાથરૂમ 1.5 મીટર બાય 2 મીટર છે. તમારો જવાબ ચોરસ મીટરમાં આપો.

જવાબ: _________________.

9 . જથ્થાઓ અને તેમના સંભવિત મૂલ્યો વચ્ચે પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરો: પ્રથમ કૉલમના દરેક ઘટક માટે, બીજા કૉલમમાંથી અનુરૂપ ઘટક પસંદ કરો.

મૂલ્યો મૂલ્યો

એ) ચેસ્ટ ડ્રોઅર વોલ્યુમ 1) 0.75 એલ

બી) કેસ્પિયન સમુદ્રમાં પાણીનું પ્રમાણ 2) 78200 કિ.મી 3

સી) રાયઝેન્કા પેકેજનું વોલ્યુમ 3) 96 એલ

ડી) રેલ્વે કારનું પ્રમાણ 4) 90 મી 3

કોષ્ટકમાં, મૂલ્યને અનુરૂપ દરેક અક્ષર હેઠળ, તેના સંભવિત મૂલ્યની સંખ્યા સૂચવો.

જવાબ:

10 . રશિયન ભાષા ઓલિમ્પિયાડમાં, સહભાગીઓ ત્રણ પ્રેક્ષકોમાં બેઠા છે. પ્રથમ બેમાં દરેકમાં 130 લોકો છે, બાકીના લોકોને અન્ય બિલ્ડિંગમાં અનામત ઓડિટોરિયમમાં લઈ જવામાં આવે છે. ગણતરી કરતી વખતે, તે બહાર આવ્યું કે કુલ 400 સહભાગીઓ હતા. અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરાયેલા સહભાગીએ ફાજલ વર્ગખંડમાં સ્પર્ધા લખી હોવાની સંભાવના શોધો.

જવાબ: _________________.

11 . આકૃતિ ત્રણ દિવસમાં ચોક્કસ શહેરમાં વાતાવરણીય દબાણના મૂલ્યોનો ગ્રાફ બતાવે છે. અઠવાડિયાના દિવસો અને સમય આડી રીતે સૂચવવામાં આવે છે, અને પારાના મિલીમીટરમાં વાતાવરણીય દબાણ મૂલ્યો ઊભી રીતે સૂચવવામાં આવે છે. બુધવારે 12 વાગ્યે વાતાવરણનું દબાણ શોધો. તમારો જવાબ પારાના મિલીમીટરમાં આપો.

જવાબ: ____________.

જવાબ: _________________.

13. ધાર 1 સાથેનો નિયમિત ષટ્કોણ પિરામિડ ધાર 1 સાથે નિયમિત ષટ્કોણ પ્રિઝમ સાથે ગુંદરવાળો હતો જેથી પાયાની કિનારીઓ એકરૂપ થાય. પરિણામી પોલિહેડ્રોન કેટલા ચહેરાઓ ધરાવે છે (આકૃતિમાં અદ્રશ્ય ધાર બતાવેલ નથી)?

જવાબ: _________________.

14. આકૃતિ કાર્યનો ગ્રાફ બતાવે છે પોઈન્ટએ, બી, સી, ડીઅનેઇધરી પર સેટ કરોએક્સ ચાર અંતરાલો. ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને, દરેક અંતરાલને ફંક્શનની લાક્ષણિકતા અથવા તેના વ્યુત્પન્ન સાથે મેચ કરો.

કાર્ય અથવા વ્યુત્પત્તિની લાક્ષણિકતાઓના અંતરાલ

A) (A; B) 1) ફંક્શન સાઇન “–” થી “+” માં બદલાય છે

B) (B; C) 2) વ્યુત્પન્ન ફેરફારોનું ચિહ્ન “–” થી “+” સુધી

બી) (સી;ડી) 3) વ્યુત્પન્ન ફેરફારોનું ચિહ્ન “+” થી “–” સુધી

જી) (ડી; ઇ) 4) કાર્ય હકારાત્મક અને વધી રહ્યું છે

કોષ્ટકમાં, દરેક અક્ષર હેઠળ, અનુરૂપ સંખ્યા સૂચવો.

જવાબ: _________________.

16 . નિયમિત ચતુષ્કોણીય પ્રિઝમના આકારમાં બે બોક્સ આપવામાં આવ્યા છે. પહેલું બૉક્સ બીજા કરતાં સાડા ચાર ગણું નીચું છે, અને બીજું પ્રથમ કરતાં ત્રણ ગણું નાનું છે. પ્રથમ બોક્સનું વોલ્યુમ બીજાના વોલ્યુમ કરતાં કેટલી વાર વધારે છે?

જવાબ: _________________.

17. ડાબા સ્તંભમાં ચાર અસમાનતાઓમાંથી દરેક જમણી સ્તંભમાંના ઉકેલોમાંથી એકને અનુરૂપ છે. અસમાનતાઓ અને તેમના ઉકેલો વચ્ચે પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરો.

અસમાનતા ઉકેલો

એ)

બી)

માં)

જી)

દરેક અક્ષર હેઠળ જવાબમાં આપેલ કોષ્ટકમાં અનુરૂપ ઉકેલ નંબર દાખલ કરો.

જવાબ:

આપેલ શરતો હેઠળ સાચા હોય તેવા વિધાનોને પસંદ કરો.

1) નામવાળી ટીમોમાંથી, કેનેડિયન ટીમે મેડલની સંખ્યામાં બીજું સ્થાન મેળવ્યું.

2) નામવાળી ટીમોમાં, ત્રણ એવી છે જેણે સમાન સંખ્યામાં મેડલ જીત્યા છે.

3) જર્મન ટીમે રશિયન ટીમ કરતા વધુ મેડલ જીત્યા.

4) રશિયન ટીમે અન્ય ત્રણ ટીમોમાંથી દરેક કરતાં વધુ મેડલ જીત્યા.

તમારા જવાબમાં, સાચા વિધાનોની સંખ્યાને ચડતા ક્રમમાં દર્શાવો.

જવાબ: _________________.

19 . યુગલોત્રણ-અંકની સંખ્યાએ નંબર 3 નો સમાવેશ થાય છે; 4; 8; 9, એયુગલોત્રણ-અંકની સંખ્યામાં - નંબર 6 માંથી; 7; 8; 9. તે જાણીતું છે કેIN = 2 એ. નંબર શોધોએ. તમારા જવાબમાં, 3489 નંબર સિવાય, આવી કોઈપણ એક સંખ્યા સૂચવો.

જવાબ: _________________.

20 . લંબચોરસને બે સીધા કટ દ્વારા ચાર નાના લંબચોરસમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. તેમાંથી ત્રણની પરિમિતિ, ઉપરથી ડાબી બાજુથી શરૂ કરીને અને પછી ઘડિયાળની દિશામાં, 17, 15 અને 18 છે. ચોથા લંબચોરસની પરિમિતિ શોધો.

15

?

18

હું Habrahabr વાચકોને "100 Prisoners Escape Puzzle" ના પ્રકાશનનો અનુવાદ ઑફર કરું છું, જે મને DataGenetics વેબસાઈટ પર મળ્યું છે. કૃપા કરીને આ લેખ સંબંધિત કોઈપણ ભૂલો ખાનગી સંદેશાઓમાં મોકલો.

સમસ્યા અનુસાર, જેલમાં 100 કેદીઓ છે, જેમાંથી દરેકનો વ્યક્તિગત નંબર 1 થી 100 સુધીનો છે. જેલર કેદીઓને મુક્ત થવાની તક આપવાનું નક્કી કરે છે અને તેણે શોધેલી પરીક્ષા પાસ કરવાની ઓફર કરે છે. જો બધા કેદીઓ સફળ થાય, તો તેઓ મુક્ત છે, જો ઓછામાં ઓછું એક નિષ્ફળ જાય, તો તે બધા મરી જશે.

કાર્ય

સ્પર્ધા શરૂ થાય છે, જેલર દરેક કેદીને એક પછી એક બોક્સવાળા રૂમમાં લઈ જાય છે અને કેદીઓને કહે છે કે તેઓએ એક બોક્સ શોધવું જોઈએ જેમાં કેદીના નંબર સાથેની નિશાની હશે. કેદીઓ બોક્સ ખોલીને તેમની નંબર પ્લેટ શોધવાનો પ્રયાસ કરે છે. દરેક વ્યક્તિને 50 બોક્સ સુધી ખોલવાની છૂટ છે; જો દરેક કેદીને તેનો નંબર મળે, તો કેદીઓને મુક્ત કરવામાં આવશે, જો તેમાંથી ઓછામાં ઓછો એક 50 પ્રયત્નોમાં તેનો નંબર શોધી શકતો નથી, તો બધા કેદીઓ મરી જશે.

કેદીઓને મુક્ત કરવા માટે, બધા કેદીઓએ પરીક્ષા પાસ કરવી આવશ્યક છે.

તો પછી કેદીઓને માફી મળે તેની શું તક છે?

• કેદી દ્વારા બોક્સ ખોલવામાં આવે અને તેણે ચિહ્ન તપાસ્યા પછી, તેને ફરીથી બોક્સમાં મૂકવામાં આવે છે અને ઢાંકણ ફરીથી બંધ કરવામાં આવે છે;
• સ્થાનો પર પ્લેટ બદલી શકાતી નથી;
• એકવાર પરીક્ષણ શરૂ થઈ જાય પછી કેદીઓ એકબીજા માટે સંકેતો છોડી શકતા નથી અથવા કોઈપણ રીતે એકબીજા સાથે વાર્તાલાપ કરી શકતા નથી;
• પરીક્ષણ શરૂ થાય તે પહેલાં કેદીઓને વ્યૂહરચના પર ચર્ચા કરવાની છૂટ છે.

કેદીઓ માટે શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચના શું છે?

વધારાનો પ્રશ્ન:

જો સાથી કેદીને (પરીક્ષણમાં સહભાગી ન હોય) પરીક્ષણની શરૂઆત પહેલાં ગુપ્ત રૂમમાં પ્રવેશવાની તક મળે, તો તમામ બોક્સમાંના તમામ ચિહ્નોની તપાસ કરો અને (વૈકલ્પિક, પરંતુ જરૂરી નથી) બે બોક્સમાંથી બે ચિહ્નોની અદલાબદલી કરો ( આ કિસ્સામાં, મિત્રને તક મળશે નહીં - કેદીઓને તેની ક્રિયાઓના પરિણામ વિશે જાણ કરવી), કેદીઓની મુક્તિની તકો વધારવા માટે તેણે કઈ વ્યૂહરચના અપનાવવી જોઈએ?

ઉકેલ અસંભવિત છે?

એક કેદીની શક્યતા 50:50 છે. કુલ 100 બોક્સ છે અને તે પોતાની નિશાનીની શોધમાં 50 જેટલા બોક્સ ખોલી શકે છે. જો તે બૉક્સને રેન્ડમ ખોલે છે અને તમામ બૉક્સમાંથી અડધા બૉક્સને ખોલે છે, તો તેને તેની નિશાની બૉક્સના ખુલ્લા અડધા ભાગમાં મળશે, અથવા તેની નિશાની બંધ 50 બૉક્સમાં રહેશે. તેની સફળતાની શક્યતા ½ છે.

ચાલો બે કેદીઓ લઈએ. જો બંને રેન્ડમ બોક્સ પસંદ કરે છે, તો તેમાંના દરેક માટે તકો ½ હશે, અને તે બંને માટે ½x½=¼.
(બે કેદીઓ માટે, ચારમાંથી એક કેસમાં સફળતા મળશે).

ત્રણ કેદીઓ માટે મતભેદ ½ × ½ × ½ = ⅛ હશે.

100 કેદીઓ માટે, મતભેદ છે: ½ × ½ × … ½ × ½ (100 વખત ગુણાકાર).

આ બરાબર છે

Pr ≈ 0.0000000000000000000000000000000008

એટલે કે આ બહુ નાની તક છે. આ સ્થિતિમાં, સંભવતઃ, બધા કેદીઓ મૃત્યુ પામ્યા હશે.

અકલ્પનીય જવાબ

બધા 100 કેદીઓ માટે 30% થી વધુ! હા, બે કેદીઓ માટે આ તકો કરતાં પણ વધુ સારી છે, જો તેઓ રેન્ડમ પર બોક્સ ખોલે. પરંતુ આ કેવી રીતે શક્ય છે?

તે સ્પષ્ટ છે કે દરેક કેદી માટે એક, તકો 50% કરતા વધારે ન હોઈ શકે (છેવટે, કેદીઓ વચ્ચે વાતચીત કરવાનો કોઈ રસ્તો નથી). પરંતુ ભૂલશો નહીં કે માહિતી બોક્સની અંદર પ્લેટોની ગોઠવણીમાં સંગ્રહિત છે. રૂમમાં વ્યક્તિગત કેદીની મુલાકાતો વચ્ચેના સંકેતોને કોઈ પણ વ્યક્તિ શફલ કરતું નથી, તેથી અમે આ માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

ઉકેલ

વ્યૂહરચના અત્યંત સરળ છે. પ્રથમ કેદી તેના કપડાં પર લખેલા નંબર સાથેનું બોક્સ ખોલે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કેદી નંબર 78 નંબર 78 સાથેનું એક બોક્સ ખોલે છે. જો તેને બોક્સની અંદર એક સાઇન પર તેનો નંબર મળે, તો તે મહાન છે! જો નહીં, તો તે “તેના” બોક્સમાં પ્લેટ પરના નંબરને જુએ છે અને પછી તે નંબર સાથેનું આગલું બોક્સ ખોલે છે. બીજું બોક્સ ખોલ્યા પછી, તે આ બોક્સની અંદર પ્લેટનો નંબર જુએ છે અને આ નંબર સાથે ત્રીજો બોક્સ ખોલે છે. આગળ, અમે આ વ્યૂહરચનાને બાકીના બોક્સમાં સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ. સ્પષ્ટતા માટે, ચિત્ર જુઓ:

આખરે, કેદી કાં તો તેનો નંબર શોધી લેશે અથવા 50 બોક્સની મર્યાદા સુધી પહોંચી જશે. પ્રથમ નજરમાં, રેન્ડમ (અને એક વ્યક્તિગત કેદી માટે તે કરે છે) એક બોક્સ પસંદ કરવાની સરખામણીમાં આ અર્થહીન લાગે છે, પરંતુ તમામ 100 કેદીઓ બોક્સના સમાન સેટનો ઉપયોગ કરશે, તે અર્થપૂર્ણ છે.

આ ગણિતની સમસ્યાનું સૌંદર્ય માત્ર પરિણામ જાણવું જ નહીં, સમજવું પણ છે શા માટેઆ વ્યૂહરચના કામ કરે છે.

તો શા માટે વ્યૂહરચના કામ કરે છે?

જો તમે તેના વિશે વિચારો છો, તો બોક્સ બંધ ગોળાકાર સાંકળ બનાવે છે. એક બૉક્સ ફક્ત એક જ સાંકળનો ભાગ હોઈ શકે છે, કારણ કે બૉક્સની અંદર બીજા માટે માત્ર એક જ નિર્દેશક હોય છે અને તે મુજબ, અગાઉના બૉક્સમાં આપેલ બૉક્સ માટે માત્ર એક જ નિર્દેશક હોય છે (પ્રોગ્રામર્સ લિંક કરેલી સૂચિ સાથે સમાનતા જોઈ શકે છે) .

જો બૉક્સ પોતાની તરફ નિર્દેશ કરતું નથી (બૉક્સની સંખ્યા તેમાં પ્લેટની સંખ્યા જેટલી છે), તો તે સાંકળમાં હશે. કેટલીક સાંકળોમાં બે બોક્સ હોય છે, કેટલીક લાંબી હોય છે.

બધા કેદીઓ તેમના કપડા સમાન નંબર સાથેના બોક્સથી શરૂ થતા હોવાથી, તેઓ વ્યાખ્યા પ્રમાણે, તેમની નિશાની ધરાવતી સાંકળ પર મૂકવામાં આવે છે (ત્યાં માત્ર એક જ ચિહ્ન છે જે તે બોક્સ તરફ નિર્દેશ કરે છે).

આ સાંકળ સાથે વર્તુળમાં બૉક્સીસની શોધખોળ કરીને, તેઓ આખરે તેમની નિશાની શોધવાની ખાતરી આપે છે.

માત્ર એક જ પ્રશ્ન રહે છે કે શું તેઓ 50 ચાલમાં તેમની નિશાની શોધી શકશે.

સાંકળ લંબાઈ

જો સૌથી લાંબી સાંકળની મહત્તમ લંબાઈ 50 બોક્સ કરતાં ઓછી હોય, તો બધા કેદીઓ પરીક્ષા પાસ કરશે!

એક સેકન્ડ માટે આ વિશે વિચારો. તે તારણ આપે છે કે પ્લેટોના કોઈપણ લેઆઉટમાં ફક્ત એક જ સાંકળ હોઈ શકે છે જે 50 બૉક્સ કરતાં લાંબી હોય છે (અમારી પાસે ફક્ત 100 બૉક્સ છે, તેથી જો એક સાંકળ 50 કરતાં લાંબી હોય, તો બાકીની સાંકળ અંતમાં 50 કરતાં ઓછી હશે) .

લાંબી સાંકળ સાથે લેઆઉટની શક્યતાઓ

થોડું વધુ ગણિત

લંબાઈ l સાથેની સાંકળ માટે, બોક્સ આ સાંકળની બહાર હોવાની સંભાવના આની બરાબર છે:

સંખ્યાઓના આ સંગ્રહમાં (l-1) છે! ચિહ્નો મૂકવાની રીતો.

બાકીના ચિહ્નો સ્થિત કરી શકાય છે (100-l)! માર્ગો (ભૂલશો નહીં કે સાંકળની લંબાઈ 50 થી વધુ નથી).

આ જોતાં, ક્રમચયોની સંખ્યા કે જેમાં ચોક્કસ લંબાઈની સાંકળ હોય છે: (>50)

તે તારણ આપે છે કે ચિહ્નોને ગોઠવવાની 100(!) રીતો છે, તેથી લંબાઈ l ની સાંકળના અસ્તિત્વની સંભાવના 1/l બરાબર છે. માર્ગ દ્વારા, આ પરિણામ બૉક્સની સંખ્યા પર આધારિત નથી.

જેમ આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ, ત્યાં ફક્ત એક જ વિકલ્પ હોઈ શકે છે જેમાં 50 થી વધુ લંબાઈની સાંકળ હોય છે, તેથી આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સફળતાની સંભાવનાની ગણતરી કરવામાં આવે છે:

પરિણામ

તમામ કેદીઓ તેમના ચિહ્નો શોધી કાઢશે અને પરીક્ષણ પાસ કરશે તેવી સંભાવના 31.18% છે

નીચે l લંબાઈની બધી સાંકળો (x-અક્ષ પર) માટે સંભાવનાઓ (y-અક્ષ પર) દર્શાવતો ગ્રાફ છે. લાલ રંગ બધી "નિષ્ફળતાઓ" દર્શાવે છે (અહીં આપેલ વળાંક માત્ર 1/l ગ્રાફ છે). લીલાનો અર્થ થાય છે "સફળતા" (આલેખના આ ભાગ માટે ગણતરી થોડી વધુ જટિલ છે કારણ કે મહત્તમ લંબાઈ નક્કી કરવાની ઘણી રીતો છે.<50). Общая вероятность складывается из зеленых столбцов в 31.18% шанс на спасение.

હાર્મોનિક નંબર (લેખનો આ ભાગ ગીક્સ માટે છે)

ચાલો મર્યાદાની ગણતરી કરીએ જો 100a બોક્સને બદલે આપણી પાસે મનસ્વી રીતે મોટી સંખ્યામાં બોક્સ હોય (ચાલો ધારીએ કે આપણી પાસે કુલ 2n બોક્સ છે).

Euler-Mascheroni constant એ હાર્મોનિક શ્રેણીના આંશિક સરવાળા અને સંખ્યાના કુદરતી લઘુગણક વચ્ચેના તફાવતની મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ સ્થિરાંક છે.

જેમ જેમ કેદીઓની સંખ્યા વધે છે, જો વોર્ડન કેદીઓને તમામ બોક્સમાંથી અડધો ભાગ ખોલવા દે છે, તો મુક્તિની તક 30.685% થાય છે.

(જો તમે એવો નિર્ણય લીધો હોય કે જેમાં કેદીઓ રેન્ડમલી બોક્સનું અનુમાન લગાવે છે, તો જેમ જેમ કેદીઓની સંખ્યા વધે છે તેમ તેમ મુક્તિની સંભાવના શૂન્ય થઈ જાય છે!)

વધારાનો પ્રશ્ન

હવે આપણે પહેલાથી જ ઉકેલ જાણીએ છીએ, તેથી અહીં વ્યૂહરચના સરળ છે: તેણે તમામ ચિહ્નોનો અભ્યાસ કરવો જોઈએ અને બોક્સની સૌથી લાંબી સાંકળ શોધવી જોઈએ. જો સૌથી લાંબી સાંકળ 50 કરતા ઓછી હોય, તો તેણે પ્લેટો બદલવાની જરૂર નથી અથવા તેને બદલવાની જરૂર નથી જેથી સૌથી લાંબી સાંકળ 50 કરતા વધુ લાંબી ન થાય. જો કે, જો તેને 50 બોક્સ કરતા લાંબી સાંકળ મળે, તો તેણે ચેઈનને બે ટૂંકી સાંકળોમાં વિભાજિત કરવા માટે તે સાંકળમાંથી બે બોક્સની સામગ્રીને સ્વેપ કરવાની જરૂર છે.

આ વ્યૂહરચનાના પરિણામે, ત્યાં કોઈ લાંબી સાંકળો રહેશે નહીં અને તમામ કેદીઓને તેમની નિશાની અને મુક્તિ શોધવાની ખાતરી આપવામાં આવે છે. તેથી, બે ચિહ્નોને અદલાબદલી કરીને, અમે મુક્તિની સંભાવનાને 100% સુધી ઘટાડીએ છીએ!

યાદ રાખો કે લંબચોરસ સમાંતર પાઈપ (અથવા સામાન્ય બોક્સ) નું વોલ્યુમ તેની લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈના ઉત્પાદન જેટલું છે. જો તમારું બોક્સ લંબચોરસ અથવા ચોરસ છે, તો તમારે ફક્ત તેની લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ જાણવાની જરૂર છે. વોલ્યુમ મેળવવા માટે, માપન પરિણામોને ગુણાકાર કરવો જરૂરી છે. સંક્ષિપ્ત સ્વરૂપમાં ગણતરી સૂત્ર ઘણીવાર નીચે પ્રમાણે રજૂ કરવામાં આવે છે: V = L x W x H.
ઉદાહરણ સમસ્યા: "જો બોક્સની લંબાઈ 10 સેમી, પહોળાઈ 4 સેમી અને ઊંચાઈ 5 સેમી છે, તો તેનું કદ શું છે?"
V = L x W x H
V = 10 cm x 4 cm x 5 cm
V = 200 સેમી 3
બોક્સની "ઊંચાઈ" ને "ઊંડાઈ" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમસ્યામાં નીચેની માહિતી શામેલ હોઈ શકે છે: "બૉક્સની લંબાઈ 10 સેમી છે, પહોળાઈ 4 સેમી છે અને ઊંડાઈ 5 સેમી છે."

2
બૉક્સની લંબાઈને માપો. જો તમે ઉપરથી બોક્સને જોશો, તો તે તમારી આંખો સમક્ષ એક લંબચોરસના રૂપમાં દેખાશે. બોક્સની લંબાઈ આ લંબચોરસની સૌથી લાંબી બાજુ હશે. આ બાજુના માપન પરિણામને "લંબાઈ" પરિમાણ માટેના મૂલ્ય તરીકે રેકોર્ડ કરો.
માપ લેતી વખતે, માપના સમાન એકમોનો ઉપયોગ કરવાની ખાતરી કરો. જો તમે એક બાજુ સેન્ટીમીટરમાં માપી હોય, તો બીજી બાજુઓને પણ સેન્ટીમીટરમાં માપવાની જરૂર છે.

3
બૉક્સની પહોળાઈને માપો. બોક્સની પહોળાઈ ઉપરથી દેખાતા લંબચોરસની બીજી, ટૂંકી બાજુ દ્વારા દર્શાવવામાં આવશે. જો તમે લંબાઈ અને પહોળાઈમાં માપેલા બૉક્સની બાજુઓને દૃષ્ટિની રીતે કનેક્ટ કરો છો, તો તે "L" અક્ષરના રૂપમાં દેખાશે. છેલ્લા માપને "પહોળાઈ" તરીકે રેકોર્ડ કરો.
પહોળાઈ હંમેશા બૉક્સની ટૂંકી બાજુ હોય છે.

4
બૉક્સની ઊંચાઈને માપો. આ છેલ્લું પરિમાણ છે જે તમે હજી સુધી માપ્યું નથી. તે બોક્સની ઉપરની ધારથી નીચે સુધીનું અંતર દર્શાવે છે. આ માપને "ઊંચાઈ" તરીકે રેકોર્ડ કરો.
તમે બૉક્સને કઈ બાજુ પર મૂકો છો તેના આધારે, તમે "લંબાઈ", "પહોળાઈ" અથવા "ઊંચાઈ" લેબલ કરો છો તે ચોક્કસ બાજુઓ અલગ હોઈ શકે છે. જો કે, આનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી, તમારે માત્ર ત્રણ અલગ-અલગ બાજુઓથી માપની જરૂર છે.

5
ત્રણ માપના પરિણામોને એકસાથે ગુણાકાર કરો. પહેલેથી જ ઉલ્લેખ કર્યો છે તેમ, વોલ્યુમની ગણતરી માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: V = લંબાઈ x પહોળાઈ x ઊંચાઈ; તેથી, વોલ્યુમ મેળવવા માટે, તમે ફક્ત ત્રણેય બાજુઓનો ગુણાકાર કરો. તમે ગણતરીમાં ઉપયોગમાં લીધેલા માપનના એકમોને સૂચવવાનું સુનિશ્ચિત કરો જેથી તમે ભૂલશો નહીં કે પ્રાપ્ત મૂલ્યોનો બરાબર અર્થ શું છે.

6
વોલ્યુમ માપનના એકમોને નિયુક્ત કરતી વખતે, ત્રીજી શક્તિ "3" સૂચવવાનું ભૂલશો નહીં. ગણતરી કરેલ વોલ્યુમમાં સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ હોય છે, પરંતુ માપનના સાચા એકમો વિના, તમારી ગણતરીઓ અર્થહીન હશે. વોલ્યુમ એકમોને યોગ્ય રીતે પ્રતિબિંબિત કરવા માટે, તેઓને સમઘનમાં દર્શાવવા જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, જો બધી બાજુઓ સેન્ટીમીટરમાં માપવામાં આવી હોય, તો વોલ્યુમ એકમો "cm3" તરીકે બતાવવામાં આવશે.
ઉદાહરણ સમસ્યા: "જો બોક્સ 2 મીટર લાંબું, 1 મીટર પહોળું અને 3 મીટર ઊંચું હોય, તો તેનું કદ શું છે?"
V = L x W x H
V = 2 m x 1 m x 4 m
વી = 8 એમ 3
નોંધ: ઘન જથ્થાના એકમોનો ઉલ્લેખ કરવાથી તમે સમજી શકો છો કે આમાંથી કેટલા ક્યુબ્સ બોક્સની અંદર મૂકી શકાય છે. જો આપણે પાછલા ઉદાહરણનો સંદર્ભ લઈએ, તો આનો અર્થ એ છે કે બૉક્સમાં આઠ ક્યુબિક મીટર ફિટ છે.

અન્ય આકારોના બોક્સના વોલ્યુમની ગણતરી

સિલિન્ડરની માત્રા નક્કી કરો. સિલિન્ડર એ ગોળાકાર ટ્યુબ છે જેમાં બંને છેડે વર્તુળો હોય છે. સિલિન્ડરનું પ્રમાણ નક્કી કરવા માટે, સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે: V = π x r 2 x h, જ્યાં π = 3.14, r એ સિલિન્ડરની ગોળ બાજુની ત્રિજ્યા છે, અને h તેની ઊંચાઈ છે.
ગોળાકાર આધાર સાથે શંકુ અથવા પિરામિડનું પ્રમાણ નક્કી કરવા માટે, સમાન સૂત્રનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, પરંતુ 1/3 દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. એટલે કે, શંકુના જથ્થાની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે: V = 1/3 (π x r 2 x h)

2
પિરામિડનું પ્રમાણ નક્કી કરો. પિરામિડ એ એક આકૃતિ છે જેમાં સપાટ આધાર અને બાજુઓ ટોચ પર એક બિંદુ પર ફેરવાય છે. પિરામિડનું પ્રમાણ નક્કી કરવા માટે, તમારે તેના પાયાના વિસ્તાર અને તેની ઊંચાઈના ઉત્પાદનનો 1/3 ભાગ લેવાની જરૂર છે. એટલે કે, ગણતરી સૂત્ર નીચે મુજબ છે: પિરામિડનું વોલ્યુમ = 1/3 (આધાર વિસ્તાર x ઊંચાઈ).
મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, પિરામિડનો ચોરસ અથવા લંબચોરસ આધાર હોય છે. આવી સ્થિતિમાં, પાયાના ક્ષેત્રફળની ગણતરી પાયાની લંબાઈને પહોળાઈથી ગુણાકાર કરીને કરવામાં આવે છે.

જટિલ આકારોના બોક્સનું વોલ્યુમ નક્કી કરવા માટે, તેના વ્યક્તિગત ભાગોના વોલ્યુમો ઉમેરો. ઉદાહરણ તરીકે, તમારે "L" અક્ષર જેવો આકાર ધરાવતા બોક્સના વોલ્યુમને માપવાની જરૂર પડી શકે છે. આ રીતે બૉક્સમાં માપવા માટે વધુ બાજુઓ હશે. જો તમે આ બૉક્સને બે ભાગોમાં તોડી નાખો છો, તો તમે આ બે ભાગોનું પ્રમાણ પ્રમાણભૂત રીતે માપી શકો છો, અને પછી પરિણામી મૂલ્યો ઉમેરી શકો છો. એલ-આકારના બોક્સના કિસ્સામાં, લાંબા ભાગને એક અલગ લાંબા લંબચોરસ બોક્સ તરીકે અને ટૂંકા ભાગને તેની સાથે જોડાયેલા ચોરસ (અથવા લગભગ ચોરસ) બોક્સ તરીકે ગણી શકાય.
જો તમારા બોક્સમાં ખૂબ જટિલ આકાર છે, તો પછી જાણો કે કોઈપણ આકારની વસ્તુઓનું પ્રમાણ નક્કી કરવા માટે ઘણી રીતો છે.

સંયુક્ત સમસ્યાઓ

1 . કાત્યા, માશા અને ઇરા બોલ સાથે રમી રહ્યા છે. તેમાંના દરેકે એકવાર દરેક મિત્ર તરફ બોલ ફેંકવો જ જોઇએ. દરેક છોકરીએ કેટલી વાર બોલ ફેંકવો જોઈએ? બોલ કેટલી વખત ફેંકવામાં આવશે? જો નીચેના લોકો રમતમાં ભાગ લે તો બોલ કેટલી વખત ફેંકવામાં આવશે તે નક્કી કરો: ચાર બાળકો; પાંચ બાળકો.

2 . આપેલ છે ત્રણ રવેશ અને બે છત, સમાન આકાર ધરાવે છે, પરંતુ વિવિધ રંગોમાં દોરવામાં આવે છે: રવેશ પીળો, વાદળી અને લાલ છે, અને છત વાદળી અને લાલ છે. કયા પ્રકારનાં ઘરો બાંધી શકાય? કુલ કેટલા સંયોજનો છે?

3 . સમાન આકારના ત્રણ ઘરના રવેશ આપ્યા છે: વાદળી, પીળો અને લાલ - અને ત્રણ છત: વાદળી, પીળો અને લાલ. કયા પ્રકારનાં ઘરો બાંધી શકાય? કુલ કેટલા સંયોજનો છે?

4 . ધ્વજ પરની ડિઝાઇન વર્તુળ, ચોરસ, ત્રિકોણ અથવા તારાના રૂપમાં હોઈ શકે છે અને તે લીલા અથવા લાલ રંગના હોઈ શકે છે. કેટલા અલગ અલગ ધ્વજ હોઈ શકે?

5. શાળાની કેન્ટીનમાં બીજા કોર્સ તરીકે બપોરના ભોજન માટે માંસ, કટલેટ અને માછલી તૈયાર કરવામાં આવી હતી. ડેઝર્ટ માટે - આઈસ્ક્રીમ, ફળ અને પાઈ. તમે એક મુખ્ય કોર્સ અને એક ડેઝર્ટ કોર્સ પસંદ કરી શકો છો. લંચના કેટલા જુદા વિકલ્પો છે?

6. બપોરના ભોજન માટે શાળાની કેન્ટીનમાં તેઓએ પ્રથમ કોર્સ તરીકે માંસ અને શાકાહારી સૂપ સાથે સૂપ, બીજા કોર્સ માટે માંસ, કટલેટ અને માછલી અને મીઠાઈ માટે આઈસ્ક્રીમ, ફળ અને પાઈ તૈયાર કરી. ત્રણ કોર્સ ભોજન માટે કેટલા વિવિધ વિકલ્પો છે?

7. ત્રણ વિદ્યાર્થીઓને ખુરશીઓ પર એક પંક્તિમાં કેટલી રીતે બેસાડી શકાય? બધા સંભવિત કેસો લખો.

8 . ચાર (પાંચ) લોકો એક પંક્તિમાં કેટલી રીતે ઊભા રહી શકે?

9 . ત્રણ રસ્તાઓ વિવિધ બાજુઓથી ટેકરી પર ચઢે છે અને ટોચ પર ભેગા થાય છે. ટેકરી ઉપર અને નીચે જવા માટે બહુવિધ માર્ગો બનાવો. જો તમારે અલગ-અલગ રસ્તે ઉપર-નીચે જવું હોય તો એ જ સમસ્યાનો ઉકેલ લાવો.

10 . અકુલોવોથી રાયબ્નિત્સા તરફ જતા ત્રણ રસ્તાઓ અને રાયબ્નિત્સાથી કિટોવો તરફના ચાર રસ્તાઓ છે. તમે અકુલોવોથી કિટોવો વાયા રાયબ્નિત્સા સુધી કેટલી રીતે મુસાફરી કરી શકો છો?

11 . જો ઉચ્ચારણ વ્યંજનથી શરૂ થાય અને સ્વર સાથે સમાપ્ત થાય તો તેને ખુલ્લો કહેવામાં આવે છે. “a”, “b”, “c”, “d”, “e”, “i”, “o” અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને કેટલા ખુલ્લા બે-અક્ષરના સિલેબલ લખી શકાય? આ સિલેબલ લખો.

12. જો 4 બ્લાઉઝ અને 4 સ્કર્ટ હોય તો બ્લાઉઝ અને સ્કર્ટમાંથી કેટલા અલગ અલગ સુટ્સ બનાવી શકાય?

13. જ્યારે પેટ્યા શાળાએ જાય છે, ત્યારે તે કેટલીકવાર તેના એક અથવા વધુ મિત્રોને મળે છે: વાસ્યા, લેન્યા, ટોલ્યા. બધા સંભવિત કેસોની સૂચિ બનાવો જે આવી શકે છે.

14 . નંબર 7 અને 4 નો ઉપયોગ કરીને તમામ સંભવિત બે-અંકની સંખ્યાઓ લખો.

15 . મીશાએ ખરીદવાની યોજના બનાવી: એક પેંસિલ, એક શાસક, એક નોટપેડ અને એક નોટબુક. આજે તેણે માત્ર બે અલગ અલગ વસ્તુઓ ખરીદી હતી. સ્ટોરમાં તેને જરૂરી તમામ શૈક્ષણિક પુરવઠો છે એમ ધારીને મીશા શું ખરીદી શકે?

16 . ચારેય લોકોએ હાથ મિલાવ્યા.

17 કુલ કેટલા હેન્ડશેક હતા?

18 . કેટલી બે-અંકની સંખ્યાઓ છે જેમાં અંક 0 નથી?

19 . 1 અને 2 નંબરોમાંથી બની શકે તેવી તમામ સંભવિત ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ લખો.

20 . 1 અને 2 અંકોથી બનેલી તમામ શક્ય ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ લખો.

21 . 2, 8 અને 5 નંબરનો ઉપયોગ કરતી તમામ સંભવિત બે-અંકની સંખ્યાઓ લખો.

22 . નંબર 3, 7 અને 1 નો ઉપયોગ કરીને કઈ ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ લખી શકાય છે, જો કે નંબરમાં સમાન અંકો ન હોવા જોઈએ? આવી સંખ્યા કેટલી?

23 . 1, 2, 4, 6 અંકોમાંથી કેટલી ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ બનાવી શકાય છે જો કોઈ અંકનો એક કરતા વધુ વખત ઉપયોગ ન થાય? આ સંખ્યાઓમાંથી કેટલા સમ હશે? કેટલા વિષમ?

24 . કારમાં પાંચ સીટ છે. જો તેમાંથી માત્ર બે જ ડ્રાઈવર સીટ લઈ શકે તો પાંચ લોકો આ કારમાં કેટલી રીતે બેસી શકે?

25. વર્ગખંડમાં 5 સિંગલ ડેસ્ક છે. બે (ત્રણ) નવા આવેલા શાળાના બાળકોને તેમના પર કેટલી રીતે બેસાડી શકાય?

26 . આઈ. ક્રાયલોવની દંતકથા "ક્વાર્ટેટ" યાદ રાખો:

તોફાની વાંદરો, ગધેડો, બકરી અને ક્લબ-ફૂટેડ રીંછ ચોકડી રમવાનું શરૂ કર્યું. તેઓ ધનુષ્ય મારે છે, તેઓ લડે છે, પરંતુ કોઈ અર્થ નથી. “રોકો, ભાઈઓ, રોકો! - વાનર બૂમો પાડે છે. - રાહ જુઓ! સંગીત કેવી રીતે ચાલવું જોઈએ? તમે જે રીતે બેસો તે રીતે નથી." આ સંગીતકારો કેટલી અલગ અલગ રીતે બેસવાનો પ્રયાસ કરી શકે છે? શું આ તેમના નાટકની ગુણવત્તામાં સુધારો કરી શકે છે?

27 . છોકરાઓ અને છોકરીઓ સળંગ બેઠકો પર એક પંક્તિમાં બેઠા છે, છોકરાઓ એકી-સંખ્યાવાળી બેઠકો પર અને છોકરીઓ સમ-સંખ્યાવાળી બેઠકો પર બેસે છે. આ કેટલી રીતે કરી શકાય જો:

a) 6 સીટમાં 3 છોકરાઓ અને 3 છોકરીઓ બેઠા છે;

b) 10 સીટમાં 5 છોકરાઓ અને 5 છોકરીઓ બેઠા છે?

28 . ખાલી ચેકર્સ બોર્ડ પર તમારે બે ચેકર્સ મૂકવાની જરૂર છે - કાળો અને સફેદ. તેઓ બોર્ડમાં કેટલા અલગ અલગ હોદ્દા પર કબજો કરી શકે છે?

29. કારના નંબરને બે અક્ષરો અને બે નંબરોથી બનેલા રહેવા દો, ઉદાહરણ તરીકે AB-53. જો તમે 5 અક્ષરો અને 6 સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરો તો તમે કેટલી અલગ અલગ સંખ્યાઓ બનાવી શકો છો?

30 . કાર નંબરમાં ત્રણ અક્ષરો અને ચાર નંબરો હોય છે. ત્યાં કેટલી જુદી જુદી લાઇસન્સ પ્લેટો છે (રશિયન મૂળાક્ષરના 29 અક્ષરોમાંથી ત્રણ અક્ષરો લેવામાં આવ્યા છે)?

31 . ચાલો કહીએ કે તમારે લાઇબ્રેરી, સેવિંગ્સ બેંક, પોસ્ટ ઓફિસમાં જવાની અને તમારા પગરખાં રિપેર કરાવવાની જરૂર છે. ટૂંકો રસ્તો પસંદ કરવા માટે, તમારે બધા સંભવિત વિકલ્પો ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે. જો પુસ્તકાલય, બચત બેંક, પોસ્ટ ઓફિસ અને જૂતા બનાવનાર એકબીજાથી દૂર સ્થિત હોય તો કેટલા સંભવિત માર્ગો છે?

32. ચાલો કહીએ કે તમારે લાઇબ્રેરી, સેવિંગ્સ બેંક, પોસ્ટ ઓફિસમાં જવાની અને તમારા પગરખાં રિપેર કરાવવાની જરૂર છે. ટૂંકો રસ્તો પસંદ કરવા માટે, તમારે બધા સંભવિત વિકલ્પો ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે. જો લાઇબ્રેરી અને પોસ્ટ ઓફિસ નજીકમાં હોય, પરંતુ બચત બેંક અને જૂતા બનાવનારથી ઘણા દૂર હોય તો કેટલા વાજબી રસ્તાઓ છે?

33. ચાર મેગેઝીન અંગે ગાડીમાં મુસાફરી કરી રહેલા મુસાફરોમાં જીણવટભરી ચર્ચા જાગી હતી. તે બહાર આવ્યું છે કે દરેક વ્યક્તિ બે સામયિકો પર સબ્સ્ક્રાઇબ કરે છે, અને બે સામયિકોના દરેક સંભવિત સંયોજનો એક વ્યક્તિ દ્વારા સબ્સ્ક્રાઇબ કરવામાં આવે છે. આ જૂથમાં કેટલા લોકો હતા?

34 . ત્યાં પાંચ સમઘન છે જે ફક્ત રંગમાં એકબીજાથી અલગ છે: 2 લાલ, 1 સફેદ અને 2 કાળો. A અને B બે બોક્સ છે, અને A 2 ક્યુબ ધરાવે છે, અને B 3 ધરાવે છે. આ ક્યુબ્સને A અને B બોક્સમાં કેટલી અલગ અલગ રીતે મૂકી શકાય છે?

35. ઝાર-ફાધરને કાયાકલ્પ કરનારા સફરજન લાવવા માટે, ઇવાન ત્સારેવિચે જાદુઈ બગીચાનો એકમાત્ર સાચો રસ્તો શોધવો જ જોઇએ. ઇવાન ત્સારેવિચ ત્રણ રસ્તાના કાંટા પર એક વૃદ્ધ કાગડોને મળ્યો અને આ તે સલાહ છે જે તેણે તેની પાસેથી સાંભળી:

1) હવે સાચા માર્ગ પર જાઓ;

2) આગલા કાંટો પર, સાચો રસ્તો ન લો;

3) ત્રીજા કાંટા પર, ડાબો રસ્તો ન લો.

ભૂતકાળમાં ઉડતા એક કબૂતરે ઇવાન ત્સારેવિચને કહ્યું કે કાગડાની માત્ર એક જ સલાહ સાચી છે અને તે અલગ-અલગ દિશામાં માર્ગો અનુસરવા જરૂરી છે. અમારા હીરોએ કાર્ય પૂર્ણ કર્યું અને જાદુઈ બગીચામાં સમાપ્ત થયું. તેણે કયો માર્ગ અપનાવ્યો?