નોંધપાત્ર ત્રિકોણ રસપ્રદ તથ્યો દર્શાવે છે. સંશોધન કાર્ય "ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓ

રશિયન ફેડરેશનનું શિક્ષણ અને વિજ્ઞાન મંત્રાલય ફેડરલ સ્ટેટ બજેટરી શૈક્ષણિક સંસ્થા ઓફ હાયર પ્રોફેશનલ એજ્યુકેશન

"મેગ્નિટોગોર્સ્ક સ્ટેટ યુનિવર્સિટી"

ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતની ફેકલ્ટી

બીજગણિત અને ભૂમિતિ વિભાગ

કોર્સ વર્ક

ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓ

દ્વારા પૂર્ણ: જૂથ 41 ના વિદ્યાર્થી

વક્રમીવા એ.એમ.

વૈજ્ઞાનિક નિર્દેશક

વેલીકીખ એ.એસ.

મેગ્નિટોગોર્સ્ક 2014

પરિચય

ઐતિહાસિક રીતે, ભૂમિતિ ત્રિકોણથી શરૂ થઈ હતી, તેથી અઢી સહસ્ત્રાબ્દીથી ત્રિકોણ ભૂમિતિનું પ્રતીક રહ્યું છે; પરંતુ તે માત્ર એક પ્રતીક નથી, તે ભૂમિતિનો અણુ છે.

ત્રિકોણને ભૂમિતિનો અણુ કેમ ગણી શકાય? કારણ કે અગાઉના ખ્યાલો - બિંદુ, સીધી રેખા અને કોણ - પ્રમેય અને સમસ્યાઓના સંકળાયેલ સમૂહ સાથે અસ્પષ્ટ અને અમૂર્ત અમૂર્ત છે. તેથી, આજે શાળાની ભૂમિતિ માત્ર ત્યારે જ રસપ્રદ અને અર્થપૂર્ણ બની શકે છે, જ્યારે તે ત્રિકોણનો ઊંડો અને વ્યાપક અભ્યાસ સમાવે ત્યારે જ તે યોગ્ય ભૂમિતિ બની શકે છે.

આશ્ચર્યજનક રીતે, ત્રિકોણ, તેની સ્પષ્ટ સરળતા હોવા છતાં, અભ્યાસનો અખૂટ પદાર્થ છે - કોઈ પણ, આપણા સમયમાં પણ, એવું કહેવાની હિંમત કરતું નથી કે તેઓએ ત્રિકોણના તમામ ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કર્યો છે અને જાણ્યો છે.

આનો અર્થ એ છે કે ત્રિકોણની ભૂમિતિના ઊંડા અભ્યાસ વિના શાળા ભૂમિતિનો અભ્યાસ હાથ ધરી શકાતો નથી; અભ્યાસના પદાર્થ તરીકે ત્રિકોણની વિવિધતાને ધ્યાનમાં રાખીને - અને તેથી, તેનો અભ્યાસ કરવા માટેની વિવિધ પદ્ધતિઓનો સ્ત્રોત - ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓની ભૂમિતિના અભ્યાસ માટે સામગ્રી પસંદ કરવી અને વિકસાવવી જરૂરી છે. તદુપરાંત, આ સામગ્રીની પસંદગી કરતી વખતે, વ્યક્તિએ ફક્ત રાજ્યના શૈક્ષણિક ધોરણ દ્વારા શાળાના અભ્યાસક્રમમાં પૂરા પાડવામાં આવેલ નોંધપાત્ર મુદ્દાઓ સુધી મર્યાદિત ન રહેવું જોઈએ, જેમ કે અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર (દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ), કેન્દ્રનું કેન્દ્ર. પરિપત્ર (દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ), મધ્યના આંતરછેદનું બિંદુ, ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ. પરંતુ ત્રિકોણની પ્રકૃતિમાં ઊંડાણપૂર્વક પ્રવેશ કરવા અને તેની અખૂટતાને સમજવા માટે, ત્રિકોણના શક્ય તેટલા નોંધપાત્ર મુદ્દાઓ વિશે વિચારો હોવા જરૂરી છે. ભૌમિતિક પદાર્થ તરીકે ત્રિકોણની અખૂટતા ઉપરાંત, અભ્યાસના પદાર્થ તરીકે ત્રિકોણની સૌથી અદ્ભુત મિલકતની નોંધ લેવી જરૂરી છે: ત્રિકોણની ભૂમિતિનો અભ્યાસ તેના કોઈપણ ગુણધર્મોના અભ્યાસ સાથે શરૂ થઈ શકે છે, તેને આધાર તરીકે લેવું; પછી ત્રિકોણનો અભ્યાસ કરવાની પદ્ધતિ એવી રીતે બાંધી શકાય કે ત્રિકોણના અન્ય તમામ ગુણધર્મો આના આધારે બાંધી શકાય. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તમે ત્રિકોણનો અભ્યાસ ક્યાંથી શરૂ કરો છો તે કોઈ બાબત નથી, તમે હંમેશા આ અદ્ભુત આકૃતિની કોઈપણ ઊંડાઈ સુધી પહોંચી શકો છો. પરંતુ પછી - એક વિકલ્પ તરીકે - તમે ત્રિકોણના નોંધપાત્ર મુદ્દાઓનો અભ્યાસ કરીને તેનો અભ્યાસ શરૂ કરી શકો છો.

અભ્યાસક્રમ કાર્યનો હેતુ ત્રિકોણના નોંધપાત્ર મુદ્દાઓનો અભ્યાસ કરવાનો છે. આ ધ્યેય હાંસલ કરવા માટે, નીચેના કાર્યો હલ કરવા જરૂરી છે:

· દ્વિભાજક, મધ્ય, ઊંચાઈ, લંબરૂપ દ્વિભાજક અને તેમના ગુણધર્મોની વિભાવનાઓનો અભ્યાસ કરો.

· જર્ગોન પોઈન્ટ, યુલર સર્કલ અને યુલર લાઇનને ધ્યાનમાં લો, જેનો અભ્યાસ શાળામાં થતો નથી.

પ્રકરણ 1. ત્રિકોણનું દ્વિભાજક, ત્રિકોણના અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર. ત્રિકોણના દ્વિભાજકના ગુણધર્મો. Gergonna બિંદુ

1 ત્રિકોણના અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર

ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓ એવા બિંદુઓ છે જેનું સ્થાન વિશિષ્ટ રીતે ત્રિકોણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે અને તે ત્રિકોણની બાજુઓ અને શિરોબિંદુઓ કયા ક્રમમાં લેવામાં આવે છે તેના પર નિર્ભર નથી.

ત્રિકોણનો દ્વિભાજક એ ત્રિકોણના ખૂણાનો દ્વિભાજક ભાગ છે જે શિરોબિંદુને વિરુદ્ધ બાજુના બિંદુ સાથે જોડે છે.

પ્રમેય. અવિકસિત કોણના દ્વિભાજકનો દરેક બિંદુ તેની બાજુઓથી સમાન અંતર (એટલે ​​​​કે, ત્રિકોણની બાજુઓ ધરાવતી રેખાઓથી સમાન અંતર) છે. તેનાથી વિપરિત: કોણની અંદર અને કોણની બાજુઓથી સમાન અંતરે આવેલ દરેક બિંદુ તેના દ્વિભાજક પર આવેલું છે.

પુરાવો. 1) કોણ BAC ના દ્વિભાજક પર એક મનસ્વી બિંદુ M લો, MK અને ML ને સીધી રેખાઓ AB અને AC તરફ દોરો અને સાબિત કરો કે MK = ML. જમણા ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લો ?એએમકે અને ?એએમએલ. તેઓ કર્ણ અને તીવ્ર કોણમાં સમાન છે (AM - સામાન્ય કર્ણ, 1 = 2 સંમેલન દ્વારા). તેથી, MK=ML.

) બિંદુ M ને તમારી અંદર રહેવા દો અને તેની બાજુઓ AB અને AC થી સમાન દૂર રહો. ચાલો સાબિત કરીએ કે કિરણ AM એ દ્વિભાજક BAC છે. ચાલો કાટખૂણે MK અને ML ને સીધી રેખાઓ AB અને AC તરફ દોરીએ. કાટકોણ ત્રિકોણ AKM અને ALM કર્ણો અને પગમાં સમાન છે (AM એ સામાન્ય કર્ણ છે, MK = ML સંમેલન દ્વારા). તેથી, 1 = 2. પરંતુ આનો અર્થ એ છે કે કિરણ AM એ BAC નો દ્વિભાજક છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પરિણામ. ત્રિકોણના દ્વિભાજકો એક બિંદુ (અંતવર્તુળનું કેન્દ્ર અને કેન્દ્ર) પર છેદે છે.

ચાલો O અક્ષર દ્વારા ત્રિકોણ ABC ના દ્વિભાજકો AA1 અને BB1 ના આંતરછેદના બિંદુને સૂચિત કરીએ અને આ બિંદુથી લંબ OK, OL અને OM, અનુક્રમે, AB, BC અને CA ની સીધી રેખાઓ તરફ દોરીએ. પ્રમેય મુજબ (અવિકસિત ખૂણાના દ્વિભાજકનો દરેક બિંદુ તેની બાજુઓથી સમાન છે. તેનાથી વિપરીત: કોણની અંદર રહેલો દરેક બિંદુ અને કોણની બાજુઓથી સમાન અંતર તેના દ્વિભાજક પર આવેલું છે) આપણે કહીએ છીએ કે OK = OM અને OK = ઓ.એલ. તેથી, OM = OL, એટલે કે, બિંદુ O એ ACB બાજુઓથી સમાન છે અને તેથી, આ ખૂણાના દ્વિભાજક CC1 પર આવેલું છે. તેથી, ત્રણેય દ્વિભાજકો ?ABC બિંદુ O પર છેદે છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

વર્તુળ દ્વિભાજક ત્રિકોણ રેખા

1.2 ત્રિકોણના દ્વિભાજકના ગુણધર્મો

કોઈપણ ખૂણાના દ્વિભાજક BD (ફિગ. 1.1). ?ABC વિરુદ્ધ બાજુને ત્રિકોણની બાજુની બાજુઓના પ્રમાણમાં AD અને CD ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે.

આપણે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે જો ABD = DBC, તો AD: DC = AB: BC.

ચાલો સીઈ હાથ ધરીએ || બાજુ AB ના ચાલુ સાથે બિંદુ E પર આંતરછેદ સુધી BD. પછી, ઘણી સમાંતર રેખાઓ દ્વારા છેદાયેલી રેખાઓ પર બનેલા ભાગોના પ્રમાણ પરના પ્રમેય મુજબ, આપણી પાસે પ્રમાણ હશે: AD: DC = AB: BE. આ પ્રમાણમાંથી સાબિત કરવાની જરૂર છે તે તરફ જવા માટે, તે શોધવું પૂરતું છે કે BE = BC, એટલે કે તે ?બધા સમદ્વિબાજુ. આ ત્રિકોણમાં E = ABD (સમાંતર રેખાઓ સાથે અનુરૂપ ખૂણા તરીકે) અને ALL = DBC (સમાન સમાંતર રેખાઓ સાથે ક્રોસવાઇઝ ખૂણા તરીકે).

પરંતુ શરત દ્વારા ABD = DBC; આનો અર્થ E = ALL છે, અને તેથી સમાન ખૂણાઓ સામે આવેલા BE અને BC બાજુઓ પણ સમાન છે.

હવે, BC સાથે ઉપર લખેલા પ્રમાણમાં BE ને બદલીને, આપણે પ્રમાણ પ્રાપ્ત કરીએ છીએ જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

20 ત્રિકોણના આંતરિક અને અડીને આવેલા ખૂણાઓના દ્વિભાજકો લંબ છે.

પુરાવો. BD એ ABC (ફિગ. 1.2) નું દ્વિભાજક છે, અને BE સ્પષ્ટ આંતરિક કોણને અડીને બાહ્ય CBF ના દ્વિભાજક છે, ?ABC. પછી જો આપણે ABD = DBC = દર્શાવીએ ?, CBE = EBF = ?, પછી 2 ? + 2?= 1800 અને આમ ?+ ?= 900. અને આનો અર્થ એ થયો કે BD? BE.

30 ત્રિકોણના બાહ્ય કોણનો દ્વિભાજક સામેની બાજુને બાજુની બાજુઓના પ્રમાણસર ભાગોમાં બાહ્ય રીતે વિભાજીત કરે છે.

(ફિગ.1.3) AB: BC = AD: DC, ?AED~ ?CBD, AE/BC = AD/DC = AE/BC.

40 ત્રિકોણના કોઈપણ ખૂણાનો દ્વિભાજક ત્રિકોણની બાજુની બાજુઓના પ્રમાણસર ભાગોમાં વિરુદ્ધ બાજુને વિભાજિત કરે છે.

પુરાવો. ચાલો વિચાર કરીએ ?ABC. નિશ્ચિતતા માટે, દ્વિભાજક CAB ને બિંદુ D (ફિગ. 1.4) પર બાજુ BC ને છેદવા દો. ચાલો બતાવીએ કે BD: DC = AB: AC. આ કરવા માટે, બિંદુ C દ્વારા રેખા AB ની સમાંતર રેખા દોરો અને E દ્વારા આ રેખા AD ના આંતરછેદ બિંદુને દર્શાવો. પછી DAB=DEC, ABD=ECD અને તેથી ?DAB~ ?ત્રિકોણની સમાનતાના પ્રથમ માપદંડ પર આધારિત DEC. આગળ, કિરણ AD એ દ્વિભાજક CAD હોવાથી, પછી CAE = EAB = AEC અને તેથી, ?ECA સમદ્વિબાજુ. તેથી AC=CE. પરંતુ આ કિસ્સામાં, સમાનતામાંથી ?DAB અને ?DEC તે BD: DC=AB: CE =AB: AC ને અનુસરે છે, અને આ સાબિત કરવાની જરૂર હતી.

જો ત્રિકોણના બાહ્ય ખૂણાનો દ્વિભાજક આ ખૂણાના શિરોબિંદુની વિરુદ્ધ બાજુના વિસ્તરણને છેદે છે, તો પરિણામી આંતરછેદ બિંદુથી વિરુદ્ધ બાજુના છેડા સુધીના ભાગો ત્રિકોણની નજીકની બાજુઓના પ્રમાણસર છે.

પુરાવો. ચાલો વિચાર કરીએ ?ABC. F એ બાજુ CA ના વિસ્તરણ પર એક બિંદુ છે, D એ બાજુ CB (ફિગ. 1.5) ના વિસ્તરણ સાથે બાહ્ય ત્રિકોણ BAF ના દ્વિભાજકના આંતરછેદનું બિંદુ છે. ચાલો બતાવીએ કે DC:DB=AC:AB. ખરેખર, ચાલો બિંદુ C દ્વારા રેખા AB ની સમાંતર રેખા દોરીએ અને E દ્વારા રેખા DA સાથે આ રેખાના આંતરછેદના બિંદુને સૂચવીએ. પછી ત્રિકોણ ADB ~ ?EDC અને તેથી DC:DB=EC:AB. અને ત્યારથી ?EAC = ?ખરાબ = ?CEA, પછી સમદ્વિબાજુમાં ?CEA બાજુ AC=EC અને, આમ, DC:DB=AC:AB, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

3 દ્વિભાજકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

સમસ્યા 1. O માં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર બનવા દો ?ABC, CAB = ?. સાબિત કરો કે COB = 900 +? /2.

ઉકેલ. O એ અંકિતનું કેન્દ્ર હોવાથી ?વર્તુળનું ABC (આકૃતિ 1.6), પછી કિરણો BO અને CO અનુક્રમે ABC અને BCA દ્વિભાજક છે. અને પછી COB = 1800 - (OBC + BCO) = 1800 - (ABC + BCA)/2 = 1800 -(1800 - ?)/2 = 900 + ?/2, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

સમસ્યા 2. O એ વિશે વર્ણવેલ કેન્દ્રમાં રહેવા દો ?વર્તુળનો ABC, H એ BC ની બાજુએ દોરેલી ઊંચાઈનો આધાર છે. સાબિત કરો કે દ્વિભાજક CAB પણ દ્વિભાજક છે? OAH.

AD એ CAB નો દ્વિભાજક છે, AE એ પરિઘનો વ્યાસ છે ?વર્તુળનું ABC (ફિગ. 1.7, 1.8). જો ?ABC તીવ્ર છે (ફિગ. 1.7) અને તેથી, ABC<900, то так как ABC = AEC= ½ એસી આર્ક્સ, અને ?BHA અને ?ECA લંબચોરસ (BHA =ECA = 900), પછી ?BHA~ ?ECA અને તેથી CAO = CAE =HAB. આગળ, BAD અને CAD શરત દ્વારા સમાન છે, તેથી HAD = BAD - BAH =CAD - CAE = EAD = OAD. ચાલો હવે ABC = 900. આ કિસ્સામાં, ઊંચાઈ AH બાજુ AB સાથે એકરુપ થાય છે, પછી બિંદુ O એ કર્પોટેન્યુસ AC નો હશે અને તેથી સમસ્યા નિવેદનની માન્યતા સ્પષ્ટ છે.

ચાલો કેસને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે ABC > 900 (ફિગ. 1.8). અહીં ચતુર્ભુજ ABCE એક વર્તુળમાં અંકિત છે અને તેથી AEC = 1800 - ABC. બીજી બાજુ, ABH = 1800 - ABC, એટલે કે. AEC = ABH. અને ત્યારથી ?BHA અને ?ECA લંબચોરસ છે અને તેથી, HAB = 900 - ABH = 900 - AEC = EAC, પછી HAD = HAB + BAD = EAC + CAD = EAD = OAD. BAC અને ACB અસ્પષ્ટ હોય તેવા કિસ્સાઓ સમાન રીતે ગણવામાં આવે છે. ?

4 પોઇન્ટ ગેર્ગોન્ના

ગેર્ગોન બિંદુ એ વિભાગોના આંતરછેદનું બિંદુ છે જે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓને આ શિરોબિંદુઓ અને ત્રિકોણના અંકિત વર્તુળની વિરુદ્ધ બાજુઓના સ્પર્શના બિંદુઓ સાથે જોડે છે.

બિંદુ O એ ત્રિકોણ ABC ના વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. વર્તુળને અનુક્રમે D, E અને F બિંદુઓ પર ત્રિકોણ BC, AC અને ABની બાજુઓને સ્પર્શ કરવા દો. ગેર્ગોન બિંદુ એ AD, BE અને CF સેગમેન્ટ્સનું આંતરછેદ બિંદુ છે. બિંદુ O ને અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર બનવા દો ?ABC. વર્તુળને અનુક્રમે D, E અને F બિંદુઓ પર ત્રિકોણ BC, AC અને ABની બાજુઓને સ્પર્શ કરવા દો. ગેર્ગોન બિંદુ એ AD, BE અને CF સેગમેન્ટ્સનું આંતરછેદ બિંદુ છે.

ચાલો સાબિત કરીએ કે આ ત્રણ સેગમેન્ટ્સ વાસ્તવમાં એક બિંદુ પર છેદે છે. નોંધ કરો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર એ કોણ દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ છે ?ABC, અને વર્તુળની ત્રિજ્યા OD, OE અને OF છે ?ત્રિકોણની બાજુઓ. આમ, આપણી પાસે સમાન ત્રિકોણની ત્રણ જોડી છે (AFO અને AEO, BFO અને BDO, CDO અને CEO).

AF?BD કામ કરે છે? CE અને AE? BE? CF સમાન છે, કારણ કે BF = BD, CD = CE, AE = AF, તેથી, આ ઉત્પાદનોનો ગુણોત્તર સમાન છે, અને Ceva ના પ્રમેય દ્વારા (બિંદુ A1, B1, C1 ને BC, AC અને AB બાજુઓ પર રહેવા દો? ABC, અનુક્રમે AA1 , BB1 અને CC1 ને એક બિંદુ પર છેદે

(આપણે ત્રિકોણની આસપાસ ઘડિયાળની દિશામાં જઈએ છીએ)), વિભાગો એક બિંદુ પર છેદે છે.

અંકિત વર્તુળના ગુણધર્મો:

એક વર્તુળ ત્રિકોણમાં લખેલું કહેવાય છે જો તે તેની બધી બાજુઓને સ્પર્શે છે.

કોઈપણ ત્રિકોણમાં વર્તુળ લખી શકાય છે.

આપેલ: ABC - આ ત્રિકોણ, O - દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ, M, L અને K - ત્રિકોણની બાજુઓ સાથે વર્તુળના સ્પર્શના બિંદુઓ (ફિગ. 1.11).

સાબિત કરો: O એ ABC માં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.

પુરાવો. ચાલો બિંદુ O થી AB, BC અને CA ની બાજુઓ તરફ અનુક્રમે OK, OL અને OM લંબ દોરીએ (ફિગ. 1.11). કારણ કે બિંદુ O એ ત્રિકોણ ABC ની બાજુઓથી સમાન છે, તો OK = OL = OM. તેથી, ત્રિજ્યા OK ના કેન્દ્ર O સાથેનું વર્તુળ K, L, M બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. ત્રિકોણ ABC ની બાજુઓ આ વર્તુળને K, L, M બિંદુઓ પર સ્પર્શે છે, કારણ કે તે ત્રિજ્યા OK, OL અને OM પર લંબ છે. આનો અર્થ એ છે કે ત્રિજ્યા ઓકેના કેન્દ્ર સાથેનું વર્તુળ ABC ત્રિકોણમાં અંકિત થયેલ છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર તેના દ્વિભાજકોનું આંતરછેદ બિંદુ છે.

ABC આપવા દો, O એ તેમાં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે, D, E અને F એ બાજુઓ સાથે વર્તુળના સંપર્કના બિંદુઓ છે (ફિગ. 1.12). ? AEO = ? કર્ણ અને પગ પર AOD (EO = OD - ત્રિજ્યા તરીકે, AO - કુલ). ત્રિકોણની સમાનતામાંથી, શું થાય છે? OAD = ? O.A.E. તેથી AO એ કોણ EAD નો દ્વિભાજક છે. તે એ જ રીતે સાબિત થાય છે કે બિંદુ O ત્રિકોણના અન્ય બે દ્વિભાજકો પર આવેલું છે.

સ્પર્શક બિંદુ તરફ દોરેલી ત્રિજ્યા સ્પર્શકને લંબરૂપ છે.

પુરાવો. આસપાસના (O; R)ને આપેલ વર્તુળ (ફિગ. 1.13) રહેવા દો, સીધી રેખા a તેને બિંદુ P પર સ્પર્શે છે. ત્રિજ્યા OP ને a ની લંબ ન હોવા દો. ચાલો બિંદુ O થી સ્પર્શક સુધી લંબ OD દોરીએ. સ્પર્શકની વ્યાખ્યા મુજબ, બિંદુ P સિવાયના તેના તમામ બિંદુઓ અને ખાસ કરીને બિંદુ D, વર્તુળની બહાર આવેલા છે. તેથી, કાટખૂણે OD ની લંબાઈ ત્રાંસી OP ની લંબાઈ R કરતા વધારે છે. આ ત્રાંસી મિલકતનો વિરોધાભાસ કરે છે, અને પરિણામી વિરોધાભાસ નિવેદનને સાબિત કરે છે.

પ્રકરણ 2. ત્રિકોણના 3 નોંધપાત્ર બિંદુઓ, યુલરનું વર્તુળ, યુલરની સીધી રેખા.

1 ત્રિકોણના પરિઘનું કેન્દ્ર

સેગમેન્ટ માટે લંબરૂપ દ્વિભાજક એ સેગમેન્ટની મધ્યમાંથી પસાર થતી અને તેની પર લંબરૂપ રેખા છે.

પ્રમેય. સેગમેન્ટના કાટખૂણે દ્વિભાજકનો દરેક બિંદુ તે સેગમેન્ટના છેડાથી સમાન અંતરે છે. તેનાથી વિપરિત: સેગમેન્ટના છેડાથી સમાન અંતરે આવેલ દરેક બિંદુ તેના પર લંબરૂપ દ્વિભાજક પર આવેલું છે.

પુરાવો. સીધી રેખા m એ સેગમેન્ટ AB માટે લંબ દ્વિભાજક છે અને બિંદુ O એ સેગમેન્ટનો મધ્યબિંદુ છે.

ચાલો સીધી રેખા m ના મનસ્વી બિંદુ M ને ધ્યાનમાં લઈએ અને સાબિત કરીએ કે AM=BM. જો બિંદુ M બિંદુ O સાથે એકરુપ હોય, તો આ સમાનતા સાચી છે, કારણ કે O એ સેગમેન્ટ AB નો મધ્યબિંદુ છે. ચાલો M અને O ને જુદા જુદા બિંદુઓ હોઈએ. લંબચોરસ ?OAM અને ?OBM બે પગ પર સમાન છે (OA = OB, OM એ સામાન્ય પગ છે), તેથી AM = BM.

) એક મનસ્વી બિંદુ N ને ધ્યાનમાં લો, જે સેગમેન્ટ AB ના છેડાથી સમાન છે, અને સાબિત કરો કે બિંદુ N રેખા m પર આવેલો છે. જો N એ રેખા AB પરનો એક બિંદુ છે, તો તે સેગમેન્ટ AB ના મધ્યબિંદુ O સાથે એકરુપ છે અને તેથી તે રેખા m પર આવેલું છે. જો બિંદુ N રેખા AB પર ન આવે, તો પછી ધ્યાનમાં લો ?ANB, જે સમદ્વિબાજુ છે, કારણ કે AN=BN. સેગમેન્ટ NO એ આ ત્રિકોણનો મધ્યક છે અને તેથી ઊંચાઈ. આમ, NO એ AB ને લંબ છે, તેથી રેખાઓ ON અને m એકરૂપ થાય છે, અને તેથી, N એ રેખા m નો એક બિંદુ છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પરિણામ. ત્રિકોણની બાજુઓ પર લંબરૂપ દ્વિભાજકો એક બિંદુ (વર્તુળનું કેન્દ્ર) પર છેદે છે.

ચાલો AB અને BC ની બાજુઓ માટે દ્વિભાજીય લંબ m અને n ના આંતરછેદના બિંદુ O ને સૂચવીએ. ?ABC. પ્રમેય મુજબ (એક સેગમેન્ટના કાટખૂણે દ્વિભાજકનો પ્રત્યેક બિંદુ આ ખંડના છેડાથી સમાન છે. તેનાથી વિપરિત: સેગમેન્ટના છેડાથી સમાન અંતરે આવેલ દરેક બિંદુ તેના કાટખૂણે દ્વિભાજક પર આવેલું છે.) આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે OB = OA અને OB = OC તેથી: OA = OC, એટલે કે, બિંદુ O એ સેગમેન્ટ AC ના છેડાથી સમાન અંતરે છે અને તેથી, આ સેગમેન્ટના લંબ દ્વિભાજક p પર આવેલું છે. તેથી, ત્રણેય દ્વિભાજકો m, n અને p બાજુઓ પર ?ABC બિંદુ O પર છેદે છે.

તીવ્ર ત્રિકોણ માટે આ બિંદુ અંદર આવેલું છે, સ્થૂળ ત્રિકોણ માટે તે ત્રિકોણની બહાર આવેલું છે, કાટકોણ ત્રિકોણ માટે તે કર્ણોની મધ્યમાં આવેલું છે.

ત્રિકોણના લંબ દ્વિભાજકની મિલકત:

રેખાઓ કે જેના પર ત્રિકોણના આંતરિક અને બાહ્ય ખૂણાઓના દ્વિભાજકો આવેલા છે, એક શિરોબિંદુમાંથી બહાર નીકળીને, ત્રિકોણની આસપાસના વર્તુળના વ્યાસથી વિરુદ્ધ બિંદુઓથી વિરુદ્ધ બાજુ તરફ લંબરૂપ મધ્યમાર્ગ સાથે છેદે છે.

પુરાવો. ઉદાહરણ તરીકે, દ્વિભાજક ABC એ વર્ણવેલ એકને છેદે છે ?બિંદુ D પર ABC વર્તુળ (ફિગ. 2.1). પછી અંકિત ABD અને DBC સમાન હોવાથી AD = ચાપ DC. પરંતુ લંબ દ્વિભાજક થી બાજુ AC પણ ચાપ AC ને વિભાજિત કરે છે, તેથી બિંદુ D પણ આ લંબ દ્વિભાજકનો હશે. આગળ, ફકરા 1.3 માંથી 30 ગુણધર્મ દ્વારા ABC ને અડીને આવેલ દ્વિભાજક BD ABC, બાદમાં વર્તુળને એક બિંદુએ છેદશે જે બિંદુ D ની વિરુદ્ધ છે, કારણ કે એક અંકિત જમણો ખૂણો હંમેશા વ્યાસ પર રહે છે.

2 ત્રિકોણના વર્તુળનું ઓર્થોસેન્ટર

ઊંચાઈ એ ત્રિકોણના શિરોબિંદુથી વિરુદ્ધ બાજુ ધરાવતી સીધી રેખા તરફ દોરવામાં આવેલ લંબ છે.

ત્રિકોણની ઊંચાઈ (અથવા તેમના વિસ્તરણ) એક બિંદુ (ઓર્થોસેન્ટર) પર છેદે છે.

પુરાવો. મનસ્વી ધ્યાનમાં લો ?ABC અને સાબિત કરો કે રેખાઓ AA1, BB1, CC1, તેની ઊંચાઈ ધરાવતી, એક બિંદુ પર છેદે છે. ચાલો દરેક શિરોબિંદુમાંથી પસાર થઈએ ?ABC એ વિરુદ્ધ બાજુની સમાંતર સીધી રેખા છે. અમને મળે છે ?A2B2C2. બિંદુઓ A, B અને C આ ત્રિકોણના મધ્યબિંદુઓ છે. ખરેખર, AB=A2C અને AB=CB2 એ ABA2C અને ABCB2 સમાંતરગ્રામની વિરુદ્ધ બાજુઓ જેવા છે, તેથી A2C=CB2. એ જ રીતે, C2A=AB2 અને C2B=BA2. વધુમાં, બાંધકામમાંથી નીચે મુજબ, CC1 એ A2B2 માટે લંબ છે, AA1 એ B2C2 માટે લંબ છે અને BB1 એ A2C2 માટે લંબ છે. આમ, રેખાઓ AA1, BB1 અને CC1 એ બાજુઓ પર લંબરૂપ દ્વિભાજકો છે ?A2B2C2. તેથી, તેઓ એક બિંદુ પર છેદે છે.

ત્રિકોણના પ્રકાર પર આધાર રાખીને, ઓર્થોસેન્ટર ત્રિકોણની અંદર તીવ્ર ખૂણામાં હોઈ શકે છે, તેની બહાર - સ્થૂળ ખૂણામાં અથવા શિરોબિંદુ સાથે એકરુપ હોય છે, લંબચોરસમાં તે જમણા ખૂણા પર શિરોબિંદુ સાથે એકરુપ હોય છે.

ત્રિકોણની ઊંચાઈના ગુણધર્મો:

એક્યુટ ત્રિકોણના બે ઊંચાઈના પાયાને જોડતો સેગમેન્ટ તેમાંથી આપેલ સમાન ત્રિકોણને કાપી નાખે છે, જેમાં સામાન્ય કોણના કોસાઈન સમાન સમાનતા ગુણાંક હોય છે.

પુરાવો. AA1, BB1, CC1 એ એક્યુટ ત્રિકોણ ABC, અને ABC = ની ઊંચાઈ છે. ?(ફિગ. 2.2). કાટકોણ ત્રિકોણ BA1A અને CC1B સમાન છે ?, તેથી તેઓ સમાન છે, જેનો અર્થ થાય છે BA1/BA = BC1/BC = cos ?. તે અનુસરે છે કે BA1/BC1=BA/BC = cos ?, એટલે કે વી ?C1BA1 અને ?ABC બાજુઓ સામાન્યને અડીને ??C1BA1~ ?ABC, cos સમાન સમાનતા ગુણાંક સાથે ?. તેવી જ રીતે તે સાબિત થાય છે ?A1CB1~ ?સમાનતા ગુણાંક સાથે ABC cos BCA, અને ?B1AC1~ ?સમાનતા ગુણાંક cos CAB સાથે ABC.

કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણાકારમાં ઘટતી ઉંચાઈ તેને બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે જે એકબીજાની જેમ અને મૂળ ત્રિકોણ સમાન હોય છે.

પુરાવો. એક લંબચોરસ ધ્યાનમાં લો ?ABC, જે ધરાવે છે ?BCA = 900, અને CD તેની ઊંચાઈ છે (ફિગ. 2.3).

પછી સમાનતા ?એડીસી અને ?BDC અનુસરે છે, ઉદાહરણ તરીકે, AD/CD = CD/DB થી, બે પગની પ્રમાણસરતા દ્વારા જમણા ત્રિકોણની સમાનતાના સંકેત પરથી. દરેક કાટકોણ ADC અને BDC મૂળ કાટકોણ ત્રિકોણ સમાન છે, ઓછામાં ઓછા બે ખૂણા પર સમાનતા પર આધારિત છે.

એલિવેશન પ્રોપર્ટીઝનો ઉપયોગ કરતી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

સમસ્યા 1. સાબિત કરો કે ત્રિકોણ, જેમાંથી એક શિરોબિંદુ આપેલ સ્થૂળ ત્રિકોણનું શિરોબિંદુ છે, અને અન્ય બે શિરોબિંદુઓ સ્થૂળ ત્રિકોણની ઊંચાઈના પાયા છે, જે તેના અન્ય બે શિરોબિંદુઓમાંથી અવગણવામાં આવે છે, તે સમાન છે. પ્રથમ શિરોબિંદુ પર કોણના કોસાઇનના મોડ્યુલસની સમાનતા ગુણાંક સાથે આપેલ ત્રિકોણ.

ઉકેલ. એક સ્થૂળતાનો વિચાર કરો ?મૂંગું CAB સાથે ABC. AA1, BB1, CC1 ને તેની ઊંચાઈ (ફિગ. 2.4, 2.5, 2.6) રહેવા દો અને CAB = ?, ABC = ? , BCA = ?.

એ હકીકતનો પુરાવો કે ?C1BA1~ ?ABC (ફિગ. 2.4) સમાનતા ગુણાંક સાથે k = cos ?, મિલકત 1, ફકરો 2.2 ના પુરાવામાં કરવામાં આવેલા તર્કને સંપૂર્ણપણે પુનરાવર્તિત કરે છે.

ચાલો તે સાબિત કરીએ ?A1CB~ ?ABC (ફિગ. 2.5) સમાનતા ગુણાંક સાથે k1= cos ?, એ ?B1AC1~ ?સમાનતા ગુણાંક સાથે ABC (ફિગ. 2.6) k2 = |cos? |.

ખરેખર, કાટકોણ CA1A અને CB1B એક સમાન કોણ ધરાવે છે ?અને તેથી સમાન. તે અનુસરે છે કે B1C/ BC = A1C / AC= cos ?અને, તેથી, B1C/ A1C = BC / AC = cos ?, એટલે કે A1CB1 અને ABC ત્રિકોણમાં બાજુઓ એક સામાન્ય બનાવે છે ??, પ્રમાણસર છે. અને પછી, ત્રિકોણની સમાનતાના બીજા માપદંડ અનુસાર ?A1CB~ ?ABC, સમાનતા ગુણાંક સાથે k1= cos ?. છેલ્લા કેસ માટે (ફિગ. 2.6), પછી જમણા ત્રિકોણની વિચારણામાંથી ?BB1A અને ?BAB1 અને C1AC સમાન ઊભી ખૂણા સાથે CC1A તે અનુસરે છે કે તેઓ સમાન છે અને તેથી B1A / BA = C1A / CA = cos (1800 - ?) = |cos ?|, ત્યારથી ??- મંદબુદ્ધિ. તેથી B1A / C1A = BA /CA = |cos ?| અને આમ ત્રિકોણમાં ?B1AC1 અને ?સમાન ખૂણા બનાવતી ABC બાજુઓ પ્રમાણસર છે. અને આનો અર્થ એ છે કે ?B1AC1~ ?સમાનતા ગુણાંક સાથે ABC k2 = |cos? |.

સમસ્યા 2. સાબિત કરો કે જો બિંદુ O એ તીવ્ર ત્રિકોણ ABC ની ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ છે, તો ABC + AOC = 1800, BCA + BOA = 1800, CAB + COB = 1800.

ઉકેલ. ચાલો પ્રોબ્લેમ સ્ટેટમેન્ટમાં આપેલા ફોર્મ્યુલામાંથી પહેલાની માન્યતા સાબિત કરીએ. બાકીના બે સૂત્રોની માન્યતા સમાન રીતે સાબિત થાય છે. તો ચાલો ABC = ?, AOC = ?. A1, B1 અને C1 એ અનુક્રમે A, B અને C શિરોબિંદુઓમાંથી દોરેલા ત્રિકોણની ઊંચાઈના પાયા છે (ફિગ. 2.7). પછી જમણો ત્રિકોણ BC1C માંથી તે અનુસરે છે કે BCC1 = 900 - ?અને આમ કાટકોણ ત્રિકોણમાં OA1C કોણ COA1 બરાબર છે ?. પણ AOC + COA1 = ખૂણાઓનો સરવાળો ? + ?સીધો કોણ આપે છે અને તેથી AOC + COA1 = AOC + ABC = 1800, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

સમસ્યા 3. સાબિત કરો કે તીવ્ર ત્રિકોણની ઊંચાઈ એ ત્રિકોણના ખૂણાઓના દ્વિભાજકો છે જેના શિરોબિંદુઓ આ ત્રિકોણની ઊંચાઈના પાયા છે.

છે.2.8

ઉકેલ. AA1, BB1, CC1 એ એક્યુટ ત્રિકોણ ABC ની ઊંચાઈ હોવા દો અને CAB = દો ?(ફિગ. 2.8). ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો સાબિત કરીએ કે ઊંચાઈ AA1 એ કોણ C1A1B1 નું દ્વિભાજક છે. ખરેખર, કારણ કે ત્રિકોણ C1BA1 અને ABC સમાન છે (ગુણધર્મ 1), તો BA1C1 = ?અને તેથી, C1A1A = 900 - ?. A1CB1 અને ABC ત્રિકોણની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે AA1B1 = 900 - ?અને તેથી C1A1A = AA1B1= 900 - ?. પરંતુ આનો અર્થ એ છે કે AA1 એ કોણ C1A1B1 નો દ્વિભાજક છે. એ જ રીતે, તે સાબિત થાય છે કે ત્રિકોણ ABC ની અન્ય બે ઊંચાઈ એ ત્રિકોણ A1B1C1 ના અન્ય બે અનુરૂપ ખૂણાઓના દ્વિભાજકો છે.

3 ત્રિકોણના વર્તુળનું ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર

ત્રિકોણનો મધ્યક એ ત્રિકોણના કોઈપણ શિરોબિંદુને વિરુદ્ધ બાજુના મધ્યબિંદુ સાથે જોડતો ખંડ છે.

પ્રમેય. ત્રિકોણનો મધ્યક એક બિંદુ (ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર) પર છેદે છે.

પુરાવો. ચાલો મનસ્વી ગણીએ? ABC.

ચાલો O અક્ષર વડે મધ્યક AA1 અને BB1 ના આંતરછેદ બિંદુને સૂચિત કરીએ અને આ ત્રિકોણની મધ્ય રેખા A1B1 દોરીએ. સેગમેન્ટ A1B1 બાજુ AB ની સમાંતર છે, તેથી 1 = 2 અને 3 = 4. તેથી, ?AOB અને ?A1OB1 બે ખૂણા પર સમાન છે, અને તેથી, તેમની બાજુઓ પ્રમાણસર છે: AO:A1O=BO:B1O=AB:A1B1. પરંતુ AB=2A1B1, તેથી AO=2A1O અને BO=2B1O. આમ, મધ્ય AA1 અને BB1 ના આંતરછેદનો બિંદુ O શિરોબિંદુમાંથી ગણીને તેમાંથી દરેકને 2:1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજીત કરે છે.

તે જ રીતે સાબિત થયું છે કે મધ્યસ્થ BB1 અને CC1 ના આંતરછેદ બિંદુ તેમાંથી દરેકને શિરોબિંદુમાંથી ગણીને ગુણોત્તર 2:1 માં વિભાજિત કરે છે, અને તેથી, બિંદુ O સાથે એકરુપ થાય છે અને તેના દ્વારા ગુણોત્તર 2:1 માં વિભાજિત થાય છે, શિરોબિંદુમાંથી ગણતરી.

ત્રિકોણના મધ્યના ગુણધર્મો:

10 ત્રિકોણના મધ્યકો એક બિંદુ પર છેદે છે અને શિરોબિંદુથી ગણીને 2:1 ના ગુણોત્તરમાં છેદન બિંદુ દ્વારા વિભાજિત થાય છે.

આપેલ: ?ABC, AA1, BB1 - મધ્યક.

સાબિત કરો: AO:OA1=VO:OB1=2:1

પુરાવો. ચાલો મધ્યમ રેખા A1B1 ||AB, A1B1=1/2 AB ના ગુણધર્મ અનુસાર મધ્યમ રેખા A1B1 (ફિગ. 2.10) દોરીએ. A1B1 થી || AB, પછી 1 = 2 સમાંતર રેખાઓ AB અને A1B1 અને સેકન્ટ AA1 સાથે ક્રોસવાઇઝ પડેલું છે. 3 = 4 સમાંતર રેખાઓ A1B1 અને AB અને સીકન્ટ BB1 સાથે ક્રોસવાઇઝ પડેલી છે.

આથી, ?AOB ~ ?A1OB1 બે ખૂણાઓની સમાનતા દ્વારા, જેનો અર્થ છે કે બાજુઓ પ્રમાણસર છે: AO/A1O = OB/OB1 = AB/A1B = 2/1, AO/A1O = 2/1; OB/OB1 = 2/1.

મધ્યક ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળના બે ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરે છે.

પુરાવો. BD - મધ્યક ?ABC (ફિગ. 2.11), BE - તેની ઊંચાઈ. પછી ?એબીડી અને ?DBC કદમાં સમાન છે કારણ કે તેમની પાસે અનુક્રમે AD અને DC સમાન પાયા છે અને સામાન્ય ઊંચાઈ BE છે.

સમગ્ર ત્રિકોણ તેના મધ્યક દ્વારા છ સમાન ત્રિકોણમાં વહેંચાયેલું છે.

જો, ત્રિકોણના મધ્યકને ચાલુ રાખવા પર, ત્રિકોણની બાજુની મધ્યમાંથી મધ્યની લંબાઈ સમાન એક સેગમેન્ટને અલગ કરવામાં આવે છે, તો આ ખંડનો અંતિમ બિંદુ અને ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ તેના શિરોબિંદુઓ છે. સમાંતરગ્રામ.

પુરાવો. D એ બાજુ BC નો મધ્યબિંદુ છે ?ABC (ફિગ. 2.12), E એ રેખા AD પર એક બિંદુ છે જેમ કે DE=AD. પછી, તેમના આંતરછેદના બિંદુ D પર ચતુર્ભુજ ABEC ના કર્ણ AE અને BC દ્વિભાજિત હોવાથી, તે ગુણધર્મ 13.4 પરથી અનુસરે છે કે ચતુર્ભુજ ABEC એ સમાંતરગ્રામ છે.

મધ્યકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓનું નિરાકરણ:

સમસ્યા 1. સાબિત કરો કે જો O એ મધ્યકનો આંતરછેદ બિંદુ છે ?એબીસી પછી ?A.O.B. ?BOC અને ?AOC કદમાં સમાન છે.

ઉકેલ. AA1 અને BB1 ને મધ્યક બનવા દો ?ABC(ફિગ. 2.13). ચાલો વિચાર કરીએ ?AOB અને ?બીઓસી. તે સ્પષ્ટ છે કે એસ ?AOB = એસ ?AB1B-S ?AB1O, S ?BOC=S ?BB1C-S ?OB1C. પરંતુ મિલકત 2 દ્વારા અમે એસ ?AB1B=S ?BB1C, એસ ?AOB = એસ ?OB1C, જેનો અર્થ છે કે એસ ?AOB = એસ ?બીઓસી. સમાનતા એસ ?AOB = એસ ?AOC.

સમસ્યા 2. સાબિત કરો કે જો બિંદુ O અંદર આવેલું છે ?એબીસી અને ?A.O.B. ?BOC અને ?AOC એ ક્ષેત્રફળમાં સમાન છે, તો પછી O એ મધ્યના આંતરછેદનું બિંદુ છે? ABC.

ઉકેલ. ચાલો વિચાર કરીએ ?ABC (2.14) અને ધારો કે બિંદુ O મધ્ય BB1 પર આવેલો નથી. ત્યાર બાદ OB1 એ મધ્યક છે ?AOC પછી એસ ?AOB1 = S ?B1OC , અને ત્યારથી શરત દ્વારા S ?AOB = એસ ?બીઓસી, પછી એસ ?AB1OB = S ?BOB1C. પરંતુ આ ન હોઈ શકે, કારણ કે એસ ?ABB1 = એસ ?B1BC. પરિણામી વિરોધાભાસનો અર્થ છે કે બિંદુ O મધ્ય BB1 પર આવેલું છે. એ જ રીતે, તે સાબિત થાય છે કે બિંદુ O અન્ય બે મધ્યકોનો છે ?ABC. તે અનુસરે છે કે બિંદુ O એ ખરેખર ત્રણ મધ્યના આંતરછેદનું બિંદુ છે? ABC.

સમસ્યા 3. સાબિત કરો કે જો માં ?ABC બાજુઓ AB અને BC સમાન નથી, પછી તેનો દ્વિભાજક BD મધ્ય BM અને ઊંચાઈ BH વચ્ચે આવેલો છે.

પુરાવો. વિશે વર્ણન કરીએ ?ABC એ એક વર્તુળ છે અને તેના દ્વિભાજક BDને ત્યાં સુધી વિસ્તરે છે જ્યાં સુધી તે વર્તુળને K બિંદુ પર છેદે નહીં. સેગમેન્ટ AC સુધીનો લંબબિંદુ બિંદુ K (ગુણધર્મ 1, ફકરા 2.1 માંથી)માંથી પસાર થશે, જે મધ્ય સાથે સામાન્ય બિંદુ M ધરાવે છે સેગમેન્ટ્સ BH અને MK સમાંતર છે, અને બિંદુઓ B અને K રેખા AC ની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર આવેલા છે, પછી BK અને AC સેગમેન્ટ્સનો આંતરછેદ બિંદુ HM સેગમેન્ટનો છે, અને આ જરૂરી સાબિત કરે છે.

સમસ્યા 4. B ?ABC મધ્ય BM એ બાજુ AB ના કદના અડધા છે અને તેની સાથે 400 નો ખૂણો બનાવે છે.

ઉકેલ. ચાલો મધ્ય BM ને બિંદુ M થી આગળ તેની લંબાઈથી વિસ્તારીએ અને બિંદુ D (ફિગ. 2.15) મેળવીએ. AB = 2BM હોવાથી, પછી AB = BD, એટલે કે, ત્રિકોણ ABD સમદ્વિબાજુ છે. તેથી, BAD = BDA = (180o - 40o): 2 = 70o. ચતુર્ભુજ ABCD એ સમાંતરગ્રામ છે કારણ કે તેના કર્ણ તેમના આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા દ્વિભાજિત છે. આનો અર્થ છે CBD = ADB = 700. પછી ABC = ABD + CBD = 1100 જવાબ છે.

સમસ્યા 5. બાજુઓ?ABC a, b, c ની બરાબર છે. બાજુ c (ફિગ. 2.16) તરફ દોરેલા મધ્યકની ગણતરી કરો.

ઉકેલ. ચાલો?ABC ને સમાંતર ACBP બનાવીએ, અને આ સમાંતરગ્રામ પર પ્રમેય 8 લાગુ કરીએ: CP2+AB2 = 2AC2+2BC2, એટલે કે. (2mc)2+c2= 2b2+2a2, જ્યાંથી આપણે શોધીએ છીએ:

2.4 યુલર વર્તુળ. યુલરની રેખા

પ્રમેય. મધ્યસ્થીઓના પાયા, મનસ્વી ત્રિકોણની ઊંચાઈ, તેમજ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓને તેના ઓર્થોસેન્ટર સાથે જોડતા સેગમેન્ટ્સના મધ્યબિંદુઓ સમાન વર્તુળ પર આવેલા છે, જેની ત્રિજ્યા વર્તુળના અડધા ત્રિજ્યા જેટલી છે. ત્રિકોણ આ વર્તુળને નવ-બિંદુ વર્તુળ અથવા યુલરનું વર્તુળ કહેવામાં આવે છે.

પુરાવો. ચાલો મધ્યમ લઈએ? સેગમેન્ટ MN=1/2AB, કારણ કે MN - મધ્ય રેખા? ABC. તે અનુસરે છે કે ટ્રેપેઝોઇડ QLMN સમદ્વિબાજુ છે. વર્તુળ W એ સમદ્વિબાજુ સમદ્વિબાજુ L, M, N ના 3 શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતું હોવાથી, તે ચોથા શિરોબિંદુ Qમાંથી પણ પસાર થશે. એ જ રીતે, તે સાબિત થાય છે કે P W નો છે, R W નો છે.

ચાલો X, Y, Z બિંદુઓ પર આગળ વધીએ. સેગમેન્ટ XL મધ્યરેખા તરીકે BH ને લંબરૂપ છે?AHB. BH સેગમેન્ટ AC ને લંબ છે અને AC LM ને સમાંતર હોવાથી BH LM ને લંબ છે. તેથી, XLM=P/2. તેવી જ રીતે, XNM= P/2.

ચતુષ્કોણ LXNM માં, બે વિરોધી ખૂણા કાટખૂણો છે, તેથી તેની આસપાસ વર્તુળનું વર્ણન કરી શકાય છે. આ વર્તુળ W હશે. તેથી X W નું છે, તેવી જ રીતે Y W નું છે, Z W નું છે.

મધ્યમ?LMN?ABC જેવું જ છે. સમાનતા ગુણાંક 2 છે. તેથી, નવ બિંદુઓના વર્તુળની ત્રિજ્યા R/2 છે.

યુલર વર્તુળના ગુણધર્મો:

નવ બિંદુઓના વર્તુળની ત્રિજ્યા? ABC વિશે પરિક્રમા કરાયેલ વર્તુળના અડધા ત્રિજ્યા જેટલી છે.

નવ બિંદુઓનું વર્તુળ ગુણાંક સાથે ABCની પરિક્રમા સાથે સમાન છે? ½ અને પોઈન્ટ H પર હોમોથેટી સેન્ટર.

પ્રમેય. ઓર્થોસેન્ટર, સેન્ટ્રોઇડ, પરિઘ કેન્દ્ર અને નવ-બિંદુ વર્તુળ કેન્દ્ર સમાન સીધી રેખા પર આવેલું છે. યુલરની સીધી રેખા.

પુરાવો. H ને એબીસી (ફિગ. 2.18) અને O ને ગોળ વર્તુળનું કેન્દ્ર બનવા દો. બાંધકામ દ્વારા, કાટખૂણે દ્વિભાજકો?ABC મધ્યની ઊંચાઈ ધરાવે છે?MNL, એટલે કે O એ એક સાથે ઓર્થોસેન્ટર છે?LMN. ?LMN ~ ?ABC, તેમનો સમાનતા ગુણાંક 2 છે, તેથી BH=2ON.

ચાલો બિંદુઓ H અને O દ્વારા એક સીધી રેખા દોરીએ. આપણને બે સમાન ત્રિકોણ મળે છે?NOG અને?BHG. BH=2ON થી, પછી BG=2GN. પછીનો અર્થ એ છે કે બિંદુ G એ સેન્ટ્રોઇડ છે? ABC. બિંદુ G માટે ગુણોત્તર HG:GO=2:1 સંતુષ્ટ છે.

આગળ TF ને MNL અને F ને HO રેખા સાથે આ કાટખૂણે આંતરછેદનું બિંદુ બનવા દો? ચાલો સમાન ?TGF અને ?NGO ને ધ્યાનમાં લઈએ. બિંદુ G એ?MNL નો સેન્ટ્રોઇડ છે, તેથી?TGF અને?NGO નો સમાનતા ગુણાંક 2 ની બરાબર છે. તેથી OG=2GF અને ત્યારથી HG=2GO, તો HF=FO અને F એ HO ખંડની મધ્યમાં છે.

જો આપણે બીજી બાજુના લંબ દ્વિભાજકને લગતા સમાન તર્કને અમલમાં મૂકીએ? પરંતુ આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ F એ લંબ દ્વિભાજકોનું બિંદુ છે? MNL. આ બિંદુ એ યુલર વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

નિષ્કર્ષ

આ કાર્યમાં, અમે શાળામાં અભ્યાસ કરેલા ત્રિકોણના 4 અદ્ભુત બિંદુઓ અને તેમના ગુણધર્મો જોયા, જેના આધારે આપણે ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરી શકીએ છીએ. ગેર્ગોન બિંદુ, યુલર વર્તુળ અને યુલર સીધી રેખા પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવી હતી.

વપરાયેલ સ્ત્રોતોની યાદી

1.ભૂમિતિ 7-9. માધ્યમિક શાળાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક // અટાનાસ્યાન એલ.એસ., બુતુઝોવ વી.એફ. અને અન્ય - એમ.: એજ્યુકેશન, 1994.

2.એમેલકીન વી.વી. પ્લેન પર ભૂમિતિ: સિદ્ધાંત, સમસ્યાઓ, ઉકેલો: પ્રોક. ગણિત પર એક માર્ગદર્શિકા // વી.વી. એમેલકીન, વી.એલ. રાબ્ત્સેવિચ, વી.એલ. ટિમોખોવિચ - Mn.: "અસાર", 2003.

.વિ. બોલોદુરિન, ઓ.એ. વખ્મ્યાનીના, ટી.એસ. ઇઝમેલોવા // પ્રાથમિક ભૂમિતિ પર મેન્યુઅલ. ઓરેનબર્ગ, OGPI, 1991.

.પ્રસોલોવ વી.જી. પ્લાનિમેટ્રીમાં સમસ્યાઓ. - ચોથી આવૃત્તિ, પૂરક - એમ.: મોસ્કો સેન્ટર ફોર કન્ટીન્યુઈંગ મેથેમેટિકલ એજ્યુકેશન, 2001નું પબ્લિશિંગ હાઉસ.

ત્રિકોણમાં કહેવાતા ચાર નોંધપાત્ર બિંદુઓ છે: મધ્યના આંતરછેદનું બિંદુ. દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ, ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ અને કાટખૂણે દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ. ચાલો તેમાંના દરેકને જોઈએ.

ત્રિકોણ મધ્યનું આંતરછેદ બિંદુ

પ્રમેય 1

ત્રિકોણના મધ્યના આંતરછેદ પર: ત્રિકોણના મધ્યકો એક બિંદુ પર છેદે છે અને શિરોબિંદુથી શરૂ થતા $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા વિભાજિત થાય છે.

પુરાવો.

ત્રિકોણ $ABC$ ને ધ્યાનમાં લો, જ્યાં $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ તેના મધ્યક છે. કારણ કે મધ્યભાગ બાજુઓને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે. ચાલો મધ્ય રેખા $A_1B_1$ (ફિગ. 1) ને ધ્યાનમાં લઈએ.

આકૃતિ 1. ત્રિકોણનો મધ્યક

પ્રમેય 1 દ્વારા, $AB||A_1B_1$ અને $AB=2A_1B_1$, તેથી, $\કોણ ABB_1=\કોણ BB_1A_1,\ \કોણ BAA_1=\કોણ AA_1B_1$. આનો અર્થ એ છે કે ત્રિકોણ $ABM$ અને $A_1B_1M$ ત્રિકોણની સમાનતાના પ્રથમ માપદંડ અનુસાર સમાન છે. પછી

તેવી જ રીતે, તે સાબિત થાય છે

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ત્રિકોણ દ્વિભાજકોનો આંતરછેદ બિંદુ

પ્રમેય 2

ત્રિકોણના દ્વિભાજકોના આંતરછેદ પર: ત્રિકોણના દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે.

પુરાવો.

ત્રિકોણ $ABC$ ને ધ્યાનમાં લો, જ્યાં $AM,\BP,\CK$ તેના દ્વિભાજકો છે. બિંદુ $O$ એ $AM\ અને\BP$ દ્વિભાજકોનો આંતરછેદ બિંદુ બનવા દો. ચાલો આ બિંદુથી ત્રિકોણની બાજુઓ તરફ લંબ દોરીએ (ફિગ. 2).

આકૃતિ 2. ત્રિકોણ દ્વિભાજકો

પ્રમેય 3

અવિકસિત કોણના દ્વિભાજકનો દરેક બિંદુ તેની બાજુઓથી સમાન છે.

પ્રમેય 3 દ્વારા, અમારી પાસે છે: $OX=OZ,\ OX=OY$. તેથી, $OY=OZ$. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ $O$ એ કોણ $ACB$ની બાજુઓથી સમાન છે અને તેથી, તેના દ્વિભાજક $CK$ પર આવેલો છે.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ત્રિકોણના લંબ દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ

પ્રમેય 4

ત્રિકોણની બાજુઓ પર લંબરૂપ દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે.

પુરાવો.

એક ત્રિકોણ $ABC$ આપીએ, $n,\m,\p$ તેના લંબ દ્વિભાજકો. બિંદુ $O$ એ દ્વિભાજીય લંબરૂપ $n\ અને\ m$ (ફિગ. 3) ના આંતરછેદ બિંદુ બનવા દો.

આકૃતિ 3. ત્રિકોણના લંબ દ્વિભાજકો

તેને સાબિત કરવા માટે, અમને નીચેના પ્રમેયની જરૂર છે.

પ્રમેય 5

સેગમેન્ટમાં લંબરૂપ દ્વિભાજકનો પ્રત્યેક બિંદુ સેગમેન્ટના છેડાથી સમાન છે.

પ્રમેય 3 દ્વારા, અમારી પાસે છે: $OB=OC,\ OB=OA$. તેથી, $OA=OC$. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ $O$ એ સેગમેન્ટ $AC$ના છેડાથી સમાન દૂર છે અને તેથી, તેના લંબરૂપ દ્વિભાજક $p$ પર આવેલો છે.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ત્રિકોણની ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ

પ્રમેય 6

ત્રિકોણની ઊંચાઈઓ અથવા તેમના વિસ્તરણ એક બિંદુ પર છેદે છે.

પુરાવો.

ત્રિકોણ $ABC$ ને ધ્યાનમાં લો, જ્યાં $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ તેની ઊંચાઈ છે. ચાલો શિરોબિંદુની વિરુદ્ધ બાજુની સમાંતર ત્રિકોણના દરેક શિરોબિંદુ દ્વારા એક સીધી રેખા દોરીએ. અમને એક નવો ત્રિકોણ $A_2B_2C_2$ (ફિગ. 4) મળે છે.

આકૃતિ 4. ત્રિકોણની ઊંચાઈ

કારણ કે $AC_2BC$ અને $B_2ABC$ એક સામાન્ય બાજુ સાથેના સમાંતરગ્રામ છે, તો $AC_2=AB_2$, એટલે કે, બિંદુ $A$ એ બાજુ $C_2B_2$ નો મધ્યબિંદુ છે. એ જ રીતે, અમે શોધીએ છીએ કે બિંદુ $B$ એ બાજુ $C_2A_2$નું મધ્યબિંદુ છે, અને બિંદુ $C$ એ બાજુ $A_2B_2$નું મધ્યબિંદુ છે. બાંધકામમાંથી અમારી પાસે તે $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$ છે. તેથી, $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ એ ત્રિકોણ $A_2B_2C_2$ ના લંબ દ્વિભાજકો છે. પછી, પ્રમેય 4 દ્વારા, આપણી પાસે છે કે ઊંચાઈ $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ એક બિંદુ પર છેદે છે.

લિસ્કિન્સકી જિલ્લો, મ્યુનિસિપલ શૈક્ષણિક સંસ્થા અનોશકિન્સકાયા માધ્યમિક શાળા.

ગણિતના શિક્ષક સ્મોર્ચકોવા ઇ.બી.

પ્રોજેક્ટનો ઉદ્દેશ્ય: ભૂમિતિ પરના વિવિધ સાહિત્યનો ઉપયોગ કરવાનું શીખો, “ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓ” વિષયના વધુ વિગતવાર અભ્યાસ માટે સંદર્ભ સામગ્રીનો ઉપયોગ કરો, વિષયની વધુ સંપૂર્ણ સમજ આપો, ભાષણો દરમિયાન અને પાઠોમાં નિદર્શન માટે આ વિષય પર પ્રસ્તુતિ તૈયાર કરો.

ભૂમિતિ સાથે શરૂ થાય છેત્રિકોણ તે પહેલેથી જ અઢી છેનવી સહસ્ત્રાબ્દી, ત્રિકોણ ભૂમિતિના પ્રતીક જેવું છે; પરંતુ તે માત્ર પ્રતીક જ નથી, ત્રિકોણ એ ભૂમિતિનો અણુ છે.અને આજે પણ શાળાની ભૂમિતિ રસપ્રદ બની રહી છે અનેઅર્થપૂર્ણ, શરૂઆતથી જ ભૂમિતિ યોગ્ય બને છેત્રિકોણનો દેખાવ. અગાઉના ખ્યાલો - બિંદુ, સીધાઆહ, કોણ - અસ્પષ્ટ અમૂર્ત લાગે છે, પરંતુ ચાલુ છેપ્રમેય અને તેમની સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓનું વિશ્લેષણ ખાલી કંટાળાજનક છે.

પહેલેથી જ તેના વિકાસના પ્રથમ પગલાથી, માણસ, અને ખાસ કરીને આધુનિક માણસ, તમામ પ્રકારની ભૌમિતિક વસ્તુઓ - આકૃતિઓ અને શરીરનો સામનો કરી રહ્યો છે. એવા કિસ્સાઓ છે જ્યારે નાની ઉંમરે વ્યક્તિ, જો નાનપણમાં ન હોય તો, વય ભૂમિતિમાં રસ લે છે અને સ્વતંત્ર ભૌમિતિક શોધ પણ કરે છે. આમ, નાનો બ્લેઝ પાસ્કલ "ભૂમિતિની રમત" લઈને આવ્યો, જેમાં "સિક્કા" - વર્તુળો, "કોક્ડ હેટ્સ" - ત્રિકોણ, "કોષ્ટકો" - લંબચોરસ, "લાકડીઓ" - સેગમેન્ટ્સ સામેલ છે. તેમના પિતા, જેમને ગણિતનું સંપૂર્ણ જ્ઞાન હતું, તેમણે તેમના પુત્રને ભણાવતા વિષયોમાંથી ગણિતને પ્રથમ નિર્ણાયક રીતે બાકાત રાખ્યું, કારણ કે નાના બ્લેઈઝની તબિયત સારી ન હતી. જો કે, તેના પુત્રના જુસ્સાને શોધી કાઢ્યા પછી, તેણે તેને રહસ્યમય ભૂમિતિ વિશે કંઈક કહ્યું, અને જ્યારે તેણે બ્લેસને તે ક્ષણે પકડ્યો જ્યારે તેણે શોધી કાઢ્યું કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ બે કાટખૂણો ઉમેરે છે, ત્યારે સ્પર્શેલા પિતાએ તેના 12 વર્ષના બાળકને કહ્યું. પુત્ર ઘરની લાઇબ્રેરીમાં સંગ્રહિત ગણિતના પુસ્તકો સુધી પહોંચે છે.

ત્રિકોણ અખૂટ છે - તેના નવા ગુણધર્મો સતત શોધવામાં આવે છે. તેના તમામ જાણીતા ગુણધર્મો વિશે વાત કરવા માટે, તમારે મહાન જ્ઞાનકોશના વોલ્યુમ સાથે તુલનાત્મક વોલ્યુમની જરૂર છે. તેમાંના કેટલાક વિશે, અથવા બદલે, કેટલાક વિશે અદ્ભુત મુદ્દાઓ,ત્રિકોણ સાથે સંબંધિત, અમે તમને કહેવા માંગીએ છીએ.

ચાલો આપણે સૌ પ્રથમ “ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓ” અભિવ્યક્તિનો અર્થ સમજાવીએ. આપણે બધા જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના આંતરિક ખૂણાઓના દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે - આ ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર. એ જ રીતે, મધ્યક, ત્રિકોણની ઊંચાઈ અને તેની બાજુઓ પરના દ્વિભાજીય લંબ એક બિંદુ પર છેદે છે.

સૂચિબદ્ધ ત્રિવિધ રેખાઓના આંતરછેદથી પરિણમેલા બિંદુઓ, અલબત્ત, નોંધપાત્ર છે (છેવટે, ત્રણ રેખાઓ, નિયમ તરીકે, ત્રણ જુદા જુદા બિંદુઓ પર છેદે છે). અન્ય પ્રકારના નોંધપાત્ર બિંદુઓ પણ શક્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે, એવા બિંદુઓ કે જેના પર ત્રિકોણના તમામ બિંદુઓ માટે વ્યાખ્યાયિત કરેલ અમુક કાર્ય સીમા સુધી પહોંચે છે. બીજી બાજુ, "ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓ" ની વિભાવનાનું ઔપચારિક-ગાણિતિક સ્તરને બદલે સાહિત્યિક-ભાવનાત્મક સ્તરે અર્થઘટન કરવું જોઈએ. એક જાણીતો સોફિઝમ છે જે "સાબિત કરે છે" કે બધી કુદરતી સંખ્યાઓ "રસપ્રદ" છે. (માની લઈએ કે "અરુચિકર" સંખ્યાઓ છે, ચાલો તેમાંથી સૌથી નાની લઈએ. નિઃશંકપણે, આ સંખ્યા "રસપ્રદ" છે: તે ફક્ત એટલા માટે રસપ્રદ છે કારણ કે તે "અરુચિકર" સંખ્યાઓમાં સૌથી નાની છે.) સમાન તર્ક, "સાબિત" કરે છે કે ત્રિકોણના તમામ બિંદુઓ "નોંધપાત્ર" છે, અમારા કિસ્સામાં બનાવી શકાય છે. ચાલો કેટલાક ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લઈએ.

વર્તુળ કેન્દ્ર

ચાલો સાબિત કરીએ કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓથી એક બિંદુ સમાન છે, અથવા, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ત્યાં એક વર્તુળ પસાર થાય છેત્રિકોણના ત્રણ શિરોબિંદુઓ દ્વારા.પોઈન્ટથી સમાન અંતરે આવેલા પોઈન્ટનું સ્થાન એઅને માં,સેગમેન્ટને લંબ છે એબી,તેના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થવું (સેગમેન્ટમાં લંબરૂપ દ્વિભાજક એબી).મુદ્દાને ધ્યાનમાં લો વિશે,જેના પર ખંડોના લંબના દ્વિભાજકો એકબીજાને છેદે છે એબીઅને સૂર્ય.ડોટ વિશેપોઈન્ટ A અને B, તેમજ પોઈન્ટથી સમાન અંતર INઅને સાથે.તેથી તે બિંદુઓથી સમાન અંતરે છે એઅને સાથે,એટલે કે તે સેગમેન્ટના લંબ દ્વિભાજક પર પણ આવેલું છે એસી(ફિગ. 50).

કેન્દ્ર વિશેજો ત્રિકોણ તીવ્ર હોય તો જ પરિઘ ત્રિકોણની અંદર રહે છે. જો ત્રિકોણ કાટખૂણે હોય, તો બિંદુ વિશેકર્ણોની મધ્ય સાથે એકરુપ છે,

અને જો શિરોબિંદુ પર કોણ સાથેમંદબુદ્ધિ પછી સીધા એબીબિંદુઓ O અને C અલગ કરે છે.

જો Δ માં ABCસર્વોચ્ચ કોણ સાથેતીક્ષ્ણ પછી બાજુ એબીબિંદુ O થી 2 ના સમાન ખૂણા પર દૃશ્યમાન <. AOB લખેલા કરતાં બમણું < એસીબી , સમાન ચાપ પર આરામ. જો <. સી મૂર્ખ પછી બાજુ એબીબિંદુ પરથી દૃશ્યમાન વિશે 360° - 2 ના સમાન ખૂણા પર<С. Воспользовавшись этим, легко доказать теорему синусов: એબી =2 Rsin સાથે,જ્યાં આર- ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા Δ એબીસી.હકીકતમાં, દો સાથે 1 - બાજુની મધ્યમાં એબી.પછી એસી 1 = AOપાપ <. AOC 1 = આર sin C, તેથી એબી =2 A.C. 1 =2 આર sin C. સાઈન પ્રમેયને બીજી રીતે ઘડી શકાય છે: "ત્રિકોણની પ્રથમ બાજુ પર લંબરૂપ વર્તુળના વ્યાસનું પ્રક્ષેપણ બીજી બાજુ ધરાવતી સીધી રેખા પર ત્રીજી બાજુ સમાન છે." આ બોજારૂપ નિવેદન વાસ્તવમાં માત્ર સાઇન્સનું પ્રમેય છે.

ગણિતમાં, ઘણીવાર એવું બને છે કે સંપૂર્ણપણે અલગ રીતે વ્યાખ્યાયિત વસ્તુઓ સમાન હોય છે. ચાલો એક ઉદાહરણ સાથે આ બતાવીએ.

A 1, B 1 અને C 1 ને બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ બનવા દો વીએસ, એસ એઅને એબી.તે સાબિત કરી શકાય છે કે વર્તુળો Δ AB 1 C 1 વિશે પરિક્રમા કરે છે , Δ એ 1 બી.સી. 1 અને Δ એ 1 બી 1 સી , એક બિંદુ પર છેદે છે, અને આ બિંદુ પરિઘનું કેન્દ્ર છે Δ ABC(ફિગ. 51). તેથી, આપણી પાસે બે દેખીતી રીતે સંપૂર્ણપણે અલગ બિંદુઓ છે: બાજુઓ પર દ્વિભાજક કાટખૂણે આંતરછેદનું બિંદુ Δ ABCઅને ઘેરાયેલા વર્તુળોના આંતરછેદ બિંદુ Δ એબી 1 સાથે 1 , Δ AiBCi અને Δ AiBiC . પરંતુ તે તારણ આપે છે કે કેટલાક કારણોસર આ બે બિંદુઓ એકરૂપ છે!

ચાલો, જો કે, વચન આપેલ સાબિતીનું પાલન કરીએ. તે સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે કે પરિઘનું કેન્દ્ર O Δ છે ABCΔ વિશે ઘેરાયેલ વર્તુળો પર આવેલું છે એબી 1 સાથે 1 , Δ એ iBCi અને Δ એ 1 બી 1 સી . ખૂણો ઓબી 1 એઅને ઓએસ 1 એસીધી રેખાઓ, તેથી બિંદુઓ IN 1 અને સાથે 1 વ્યાસવાળા વર્તુળ પર સૂઈ જાઓ OA,જેનો અર્થ થાય છે કે બિંદુ O Δ ની આસપાસના વર્તુળ પર આવેલું છે એબી 1 સી 1 . Δ માટે AiBCi અને Δ એ 1 IN 1 સાથેસાબિતી સમાન છે.

સાબિત થયેલ નિવેદન એ ખૂબ જ રસપ્રદ પ્રમેયનો વિશેષ કેસ છે: જો બાજુઓ પરAB, BCઅનેએસ.એત્રિકોણABCમનસ્વી મુદ્દાઓ લેવામાં આવે છેસાથે 1 , એ 1 અનેIN 1 , પછી વર્ણવેલવર્તુળ Δએબી 1 સાથે 1 , ΔA 1 સૂર્ય 1 અને Δએ 1 IN 1 સાથે એકમાં છેદેબિંદુ

ચાલો વર્તુળના કેન્દ્રને લગતી એક છેલ્લી ટિપ્પણી કરીએ. પ્રત્યક્ષ એ 1 IN 1 અને એબીસમાંતર છે, તેથી ઓએસ 1 લંબ એ 1 IN 1 તેવી જ રીતે ઓબી 1 લંબ એ 1 સી 1 અને ઓએ 1 લંબ IN 1 સાથે 1 , એટલે કે વિશે- ત્રિકોણની ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ એ 1 બી 1 સાથે 1 ... જરા થોભો! આપણે હજી સુધી સાબિત કર્યું નથી કે ત્રિકોણની ઊંચાઈ એક બિંદુ પર છેદે છે. શું આ સાબિત કરવાનો કોઈ રસ્તો નથી? અમે પછીથી આ વાતચીત પર પાછા આવીશું.

ઇન્ડિક સર્કલનું કેન્દ્ર

ચાલો સાબિત કરીએ કે કોણ દ્વિભાજકો Δ ABCએક બિંદુ પર છેદે. કોણ દ્વિભાજકોના આંતરછેદના બિંદુ O ને ધ્યાનમાં લો એ અને બી.કોઈપણ કોણ દ્વિભાજક બિંદુઓ એ સીધી રેખાઓથી સમાન અંતર એબીઅને એસી,અને કોણ દ્વિભાજકનો કોઈપણ બિંદુ બી સીધી રેખાઓથી સમાન અંતર એબીઅને સૂર્યતેથી બિંદુ O એ રેખાઓથી સમાન અંતરે છે એસીઅને સૂર્યએટલે કે, તે કોણ C ના દ્વિભાજક પર આવેલું છે. બિંદુ O સીધી રેખાઓથી સમાન અંતરે છે AB, BCઅને SA,આનો અર્થ એ છે કે કેન્દ્ર સાથે એક વર્તુળ છે વિશે,આ રેખાઓ પર સ્પર્શક છે, અને સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુઓ બાજુઓ પર સ્થિત છે, અને તેમના વિસ્તરણ પર નહીં. હકીકતમાં, શિરોબિંદુઓ પરના ખૂણા એ અને બીΔ AOBતીક્ષ્ણ, તેથી સીધી રેખા પર બિંદુ O નો પ્રક્ષેપણ એબીસેગમેન્ટની અંદર આવેલું છે એબી.પક્ષો માટે સૂર્યઅને એસ.એસાબિતી સમાન છે.

દો એ 1 , IN 1 અને સાથે 1 - બાજુઓ સાથે ત્રિકોણના અંકિત વર્તુળના સંપર્કના બિંદુઓ VS, SAઅને એબી(ફિગ. 52). પછી એબી 1 =AC 1 , બી.સી. 1 = બી.એ. 1 અને એસ.એ 1 = એસ.વી 1 . વધુમાં, કોણ બી 1 એ 1 સી 1 સમદ્વિબાજુના આધાર પરના ખૂણાઓ Δ સમાન એબી 1 સાથે 1 (સ્પર્શક અને તાર વચ્ચેના ખૂણા પરના પ્રમેય દ્વારા), વગેરે. કોણ માટે બી 1 સી 1 એ 1 અને કોણ એ 1 બી 1 સી 1 સાબિતી સમાન છે.

કોઈપણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના પાયા પરના ખૂણાઓ તીવ્ર હોય છે, તેથી Δ A 1 B 1 C 1 એ કોઈપણ Δ ABC માટે તીવ્ર હોય છે.

જો x = એબી 1 , y = બી.સી. 1 અને z = સી.એ. 1 , તે x+y = c,y + z = a અને z + x = b , જ્યાં એ,b અને સાથે- બાજુની લંબાઈ Δ ABC.પ્રથમ બે સમાનતા ઉમેરીને અને તેમાંથી ત્રીજી બાદબાકી કરવાથી, આપણને મળે છે y= (a+c-c)/2. તેવી જ રીતે x=(b+c-a)/2અને z =(a+b-c)/2.એ નોંધવું જોઇએ કે ચતુષ્કોણ માટે આવા તર્ક ઇચ્છિત પરિણામ તરફ દોરી જશે નહીં, કારણ કે સમીકરણોની અનુરૂપ સિસ્ટમ

કાં તો તેનો કોઈ ઉકેલ નથી, અથવા તેમની પાસે અનંત સંખ્યામાં છે. હકીકતમાં, જો x+y=a,y + z = b , z + t = c અને t + x = ડી , તે y=a-X,z = b -y = b - a+xઅને t = c - b + a -X,અને સમાનતામાંથી t + x = ડી તે અનુસરે છે a + c = b + ડી . તેથી જો a+c એ b+ ની બરાબર નથી ડી , પછી સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલ નથી, અને જો a + c = b + ડી , તે એક્સમનસ્વી રીતે પસંદ કરી શકાય છે, અને y,z , t દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે એક્સ.

ચાલો ત્રિકોણ માટેના સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલની વિશિષ્ટતા પર પાછા ફરીએ. તેનો ઉપયોગ કરીને, અમે નીચેના વિધાનને સાબિત કરી શકીએ છીએ: A, B અને C કેન્દ્રો ધરાવતા વર્તુળોને A 1 બિંદુઓ પર બાહ્ય રીતે સ્પર્શ કરવા દો, IN 1 અને સાથે 1 (ફિગ. 53). પછી વર્તુળ Δ એ 1 બી 1 સી 1 Δ માં અંકિત ABC.હકીકતમાં, જો x, yઅને z - વર્તુળોની ત્રિજ્યા; a , b અને સાથે- બાજુની લંબાઈ Δ ABC,તે x+y = c,y + z = a , y + x = b .

ચાલો કેન્દ્રના ત્રણ ગુણધર્મો સાબિત કરીએ વિશેઅંકિત વર્તુળ Δ ABC .

1. જો કોણ દ્વિભાજક ચાલુ રહે છે સાથેપરિઘ Δ ને છેદે છે ABCબિંદુ પર એમ,તે MA=MV=MO(ફિગ. 54).

ચાલો આપણે સાબિત કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, તે Δ માં AMOશિરોબિંદુ A અને O પરના ખૂણાઓ વાસ્તવમાં સમાન છે.<OAM = < OAB + < BAM અને < એઓએમ =< O.A.C. +<А CO , < OAB=<ОАС અને< તમે = તમે<ВСМ = < ACO . આથી, AM=MO.તેવી જ રીતે VM=MO.

2. જો એબી- સમદ્વિબાજુનો આધાર Δ ABC,પછી બાજુઓ પર વર્તુળ સ્પર્શક<એસીબી બિંદુઓ પર A અને B,બિંદુ O (ફિગ. 55)માંથી પસાર થાય છે.

O" ને (નાના) ચાપનું મધ્યબિંદુ બનવા દો એબીપ્રશ્નમાં વર્તુળ. સ્પર્શક અને તાર વચ્ચેના ખૂણાના ગુણધર્મ દ્વારા<CAO "= <О"ВА= <О"АВ, એટલે કે બિંદુ O" દ્વિભાજક પર આવેલું છે < એ . તેવી જ રીતે, તે બતાવી શકાય છે કે તે દ્વિભાજક પર આવેલું છે < બી , એટલે કે O" = O.

3. જો બિંદુ Oમાંથી પસાર થતી રેખા બાજુની સમાંતર હોય એબી,બાજુઓને પાર કરે છે સૂર્યઅને એસ.એબિંદુઓ પર એ 1 અને IN 1 , તે એ 1 બી 1 = એ 1 બી + એબી 1 .

ચાલો તે સાબિત કરીએ Δ એબી 1 ઓ સમદ્વિબાજુ ખરેખર, < બી 1 ઓ.એ. = < OAB = < બી 1 એ.ઓ. (ફિગ. 56). એ કારણે એબી 1 = બી 1 0. તેવી જ રીતે એ 1 બી = એ 1 ઓ , મતલબ કે એ 1 બી 1 = એ 1 O+ઓ.બી. 1 = એ 1 બી + એબી 1 .

Δ માં આવવા દો ABCશિરોબિંદુ ખૂણા A, B અને Cα, β, γ સમાન છે . ચાલો કોણ બાજુએ છે તેની ગણતરી કરીએ એબીબિંદુ O થી દૃશ્યમાન. ખૂણાઓથી Δ જેએસસી બીશિરોબિંદુઓ પર A અને B સમાન α/2 અને β/2 છે, પછી

< AOB = 180°- (α+β)/2=180°- (180°- γ)/2=90° +γ/2. આ

સૂત્ર ઘણી સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં ઉપયોગી થઈ શકે છે.

ચાલો આપણે શોધી કાઢીએ, ઉદાહરણ તરીકે, કયા કિસ્સામાં બાજુઓ દ્વારા ચતુર્ભુજ રચાય છે એસીઅને સૂર્યઅને દ્વિભાજકો એએ 1 અને બીબી 1 , કોતરેલ છે. ચતુષ્કોણ ઓ.એ. 1 સી.બી. 1 જો અને માત્ર જો < એ 1 સી.બી. 1 +

γ+(90° +γ/2) =180°, જેનો અર્થ છે γ = 60°. આ કિસ્સામાં તાર ઓ.એ. 1

અને ઓબી 1 ચતુષ્કોણનું પરિઘ ઓએ 1 NE 1 સમાન છે કારણ કે તેમની પાસે સમાન ખૂણા છે OCA 1 અને મીઠું 1 .

અંકિત વર્તુળ Δ ABCઆંતરિક બિંદુઓ પર તેની બાજુઓને સ્પર્શે છે. ચાલો જાણીએ કે ત્રણ રેખાઓને સ્પર્શતા વર્તુળો કયા પ્રકારના છે AB, BCઅને એસ.એ.બે છેદતી રેખાઓના વર્તુળ સ્પર્શકનું કેન્દ્ર મૂળ રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાઓને દ્વિભાજિત કરતી બે રેખાઓમાંથી એક પર રહેલું છે. તેથી, વર્તુળોના કેન્દ્રો સીધી રેખાઓને સ્પર્શે છે AB, BCઅને એસ એ,ત્રિકોણ (અથવા તેમના વિસ્તરણ) ના બાહ્ય અથવા આંતરિક ખૂણાના દ્વિભાજકો પર આવેલા છે. આંતરિક કોણનો દ્વિભાજક કોઈપણ બે બાહ્ય કોણ દ્વિભાજકોના આંતરછેદ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. આ વિધાનનો પુરાવો આંતરિક ખૂણાઓના દ્વિભાજકો માટે અનુરૂપ નિવેદનના પુરાવાને શબ્દશઃ પુનરાવર્તન કરે છે. પરિણામે, અમને O કેન્દ્રો સાથે 4 વર્તુળો મળે છે, વિશે એ , ઓહઅને વિશે સાથે (ફિગ. 57). કેન્દ્ર સાથે વર્તુળ વિશે એ બાજુને સ્પર્શે છે સૂર્યઅને

પક્ષોની ચાલુતા એબીઅને એસી;આ વર્તુળ કહેવાય છે uninscribed પરિઘ Δ ABC.ત્રિકોણના વર્તુળની ત્રિજ્યા સામાન્ય રીતે r દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને વર્તુળોની ત્રિજ્યા r દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે એ , જી bઅને જી સાથે . નીચે આપેલા સંબંધો અંકિત અને વર્તુળ વર્તુળોની ત્રિજ્યા વચ્ચે ધરાવે છે:

જી / જી એસ =(р-с)/р અનેજી જી સાથે =(p - a) (p - b),જ્યાં આર- અર્ધ-પરિમિતિ Δ ABC.ચાલો તે સાબિત કરીએ. K અને L એ અંકિતના સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુઓ બનવા દો અને રેખા સાથેનું વર્તુળ કરો સૂર્ય(ફિગ. 58). જમણો ત્રિકોણ જ્યુસઅને CO c એલ સમાન છે, તેથી

જી / જી એસ =ઓકે/ઓ સાથે એલ = સી.કે / સી.એલ. .. તે અગાઉ સાબિત થયું હતું કે SC = (a+b-c)/2=p-c.

તે તપાસવાનું બાકી છે સી.એલ. = પી .

દો એમઅને આર- સીધી રેખાઓ સાથેના વર્તુળના સ્પર્શના બિંદુઓ એબીઅને એસી.પછી

CL= (CL+CP)/ 2 = (CB+BL+CA+AP)/2 = (CB+BM + CA+AM)/2 =આર

સંબંધ સાબિત કરવા માટે આરઆર c =(પી - a )(પી - b ) જમણા ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લો એલ.ઓ. સી બી અને KVO,જે સમાન છે કારણ કે

<ઓબીકે +< ઓ સી બી.એલ. =(<СВА + <АВ એલ )/2=90°.

અર્થ, L O s /ВL =BK /KO, એટલે કે. આરઆર c = કે.ઓ. · એલ.ઓ. c = બી.કે. · બી.એલ. . તે નોંધવાનું રહે છે VK=(a + c - b )/2= પી - b અને બી.એલ. = સી.એલ. - સી.બી. = પી - a .

ચાલો આપણે એક વધુ રસપ્રદ મિલકતની નોંધ લઈએ (પહેલેથી જ વાસ્તવમાં રસ્તામાં સાબિત થયેલ છે). કોતરેલ અને ગોળને બાજુને સ્પર્શવા દો એબીબિંદુઓ પર એનઅને એમ(ફિગ. 58). પછી એ.એમ. = બી.એન . ખરેખર, બી.એન = પી - b અને AM=AR=SR-AS=p - c.

ગુણોત્તર આરઆર c =(પી - એ)(પી-વી ) અને આર p=આર સાથે (આર-c) હેરોનનું સૂત્ર મેળવવા માટે વાપરી શકાય છે એસ 2 = પી (પી - a )(પી - b )(પી - c ), જ્યાં એસ - ત્રિકોણનો વિસ્તાર. આ ગુણોત્તરનો ગુણાકાર કરવાથી, આપણને મળે છે આર 2 પી =(પી - a )(પી - b )(પી - c ). તે તપાસવાનું બાકી છે એસ = પીઆર . Δ કાપીને આ કરવાનું સરળ છે ABCપર ΔAOB, ΔBOSઅને ΔSOA.

મધ્ય આંતરછેદ બિંદુ

ચાલો સાબિત કરીએ કે ત્રિકોણના મધ્યકો એક બિંદુ પર છેદે છે. આ માટે, મુદ્દાને ધ્યાનમાં લો એમ,જ્યાં મધ્યક એકબીજાને છેદે છે એએ 1 અને બીબી 1 . ચાલો Δ માં હાથ ધરીએ BB1Sમધ્ય રેખા એ 1 એ 2 , સમાંતર બીબી 1 (ફિગ. 59). પછી એ 1 એમ : એ.એમ. = બી 1 એ 2 : એબી 1 = બી 1 એ 2 : બી 1 સી = બી.એ. 1 :VS=1:2,એટલે કે, મધ્યના આંતરછેદનું બિંદુ બીબી 1 અને એએ 1 મધ્યને વિભાજિત કરે છે એએ 1 1:2 ના ગુણોત્તરમાં. એ જ રીતે, મધ્યકનો આંતરછેદ બિંદુ એસ.એસ 1 અને એએ 1 મધ્યને વિભાજિત કરે છે એએ 1 1:2 ના ગુણોત્તરમાં. તેથી, મધ્યકનો આંતરછેદ બિંદુ એએ 1 અને બીબી 1 મધ્યના આંતરછેદ બિંદુ સાથે એકરુપ છે એએ 1 અને એસ.એસ 1 .

જો ત્રિકોણના મધ્યકનો આંતરછેદ બિંદુ શિરોબિંદુઓ સાથે જોડાયેલ હોય, તો ત્રિકોણ સમાન ક્ષેત્રફળના ત્રણ ત્રિકોણમાં વિભાજિત થશે. ખરેખર, તે સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે કે જો આર- મધ્યનો કોઈપણ બિંદુ એએ 1 વી ABC,પછી વિસ્તાર ΔAVRઅને ΔACPસમાન છે. છેવટે, મધ્યક એએ 1 અને આરએ 1 Δ માં ABCઅને Δ આરવીએસતેમને સમાન વિસ્તારના ત્રિકોણમાં કાપો.

વાતચીતનું નિવેદન પણ સાચું છે: જો અમુક બિંદુ માટે આર,અંદર પડેલો Δ ABC,વિસ્તાર Δ AVR, Δ બુધવારેઅને ΔSARસમાન છે, પછી આર- મધ્યના આંતરછેદનું બિંદુ. હકીકતમાં, વિસ્તારોની સમાનતામાંથી ΔAVRઅને ΔHRVતે અનુસરે છે કે બિંદુ A અને C થી સીધી રેખા સુધીનું અંતર વી.આરસમાન છે, જેનો અર્થ થાય છે વી.આરસેગમેન્ટની મધ્યમાંથી પસાર થાય છે એસી.માટે એઆરઅને એસ.આરસાબિતી સમાન છે.

ત્રિકોણના ક્ષેત્રોની સમાનતા કે જેમાં મધ્યક ત્રિકોણને વિભાજિત કરે છે તે અમને નીચે પ્રમાણે મધ્યકથી બનેલા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર શોધવાની મંજૂરી આપે છે. ΔABC,Δ પોતે જ S વિસ્તાર માટે ABC.દો એમ- મધ્યના આંતરછેદ બિંદુ Δ એબીસી;બિંદુ એ"સપ્રમાણ એબિંદુ સંબંધિત એમ(ફિગ. 60)

એક તરફ, વિસ્તાર ΔA"MS S/3 ની બરાબર. બીજી બાજુ, આ ત્રિકોણ સેગમેન્ટ્સથી બનેલો છે, જેમાંથી દરેકની લંબાઈ અનુરૂપ મધ્યની લંબાઈના 2/3 જેટલી છે, તેથી તેનો વિસ્તાર

બરાબર (2/3) 2 s = 4s /9. આથી, s =3 એસ /4.

મધ્યના આંતરછેદ બિંદુની એક ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ મિલકત એ છે કે તેમાંથી ત્રિકોણના શિરોબિંદુ સુધી જતા ત્રણ વેક્ટરનો સરવાળો શૂન્ય બરાબર છે. ચાલો પહેલા તેની નોંધ લઈએ AM=1/3(AB+AC), ક્યાં એમ- મધ્યના આંતરછેદ બિંદુ Δ ABC . હકીકતમાં, જો

એ.બી.એ "સાથે- સમાંતરગ્રામ, પછી AA"=AB+ACઅને AM=1/3AA"એ કારણે MA+MV+MC=1/3(BA+SA+AB + SV + AC + BC) = 0.

તે પણ સ્પષ્ટ છે કે માત્ર મધ્યના આંતરછેદના બિંદુમાં આ ગુણધર્મ છે, કારણ કે જો એક્સ - પછી કોઈપણ અન્ય બિંદુ

HA+XB+XC=(XM+MA)+(XM+MV)+(XM+MS)=3ХМ..

ત્રિકોણના મધ્યબિંદુના આંતરછેદના બિંદુના આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને, આપણે નીચેના વિધાનને સાબિત કરી શકીએ છીએ: બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ પર શિરોબિંદુઓ સાથે ત્રિકોણના મધ્યના આંતરછેદનું બિંદુ એબી,સીડી અને ઇએફ ષટ્કોણ ABCDEF બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ પર શિરોબિંદુઓ સાથે ત્રિકોણના મધ્યના આંતરછેદના બિંદુ સાથે સુસંગત છે સૂર્યડી.ઇ અને એફ.એ. . હકીકતમાં, એ હકીકતનો લાભ લઈને જો, ઉદાહરણ તરીકે, આર- સેગમેન્ટની મધ્યમાં એબી,પછી કોઈપણ બિંદુ માટે એક્સ સમાનતા સાચી છે HA+ HB=2ХР,તે સાબિત કરવું સહેલું છે કે વિચારણા હેઠળના બંને ત્રિકોણના મધ્યના આંતરછેદ બિંદુઓમાં ગુણધર્મ છે કે તેમાંથી ષટ્કોણના શિરોબિંદુઓ તરફ જતા વેક્ટરનો સરવાળો શૂન્ય બરાબર છે. તેથી, આ બિંદુઓ એકરુપ છે.

મધ્યના આંતરછેદ બિંદુમાં એક ગુણધર્મ હોય છે જે તેને ત્રિકોણના અન્ય નોંધપાત્ર બિંદુઓથી તીવ્ર રીતે અલગ પાડે છે: જો Δ A"B"C"એક પ્રક્ષેપણ છે ΔABCપ્લેન પર, પછી મધ્યના આંતરછેદ બિંદુ Δ A "B" C" મધ્યના આંતરછેદ બિંદુનું પ્રક્ષેપણ છે ΔABCએ જ પ્લેનમાં. આ સહેલાઈથી એ હકીકતને અનુસરે છે કે જ્યારે પ્રોજેક્ટિંગ થાય છે, ત્યારે સેગમેન્ટનો મધ્ય ભાગ તેના પ્રક્ષેપણની મધ્યમાં જાય છે, જેનો અર્થ છે કે ત્રિકોણનો મધ્યક તેના પ્રક્ષેપણના મધ્યમાં જાય છે. ન તો દ્વિભાજક કે ઊંચાઈ પાસે આ ગુણધર્મ છે.

એ નોંધવું જોઈએ કે ત્રિકોણના મધ્યકનું આંતરછેદનું બિંદુ તેના દળનું કેન્દ્ર છે, ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર સ્થિત સમાન સમૂહ સાથેના ત્રણ ભૌતિક બિંદુઓની સિસ્ટમના દળનું કેન્દ્ર અને દળનું કેન્દ્ર બંને છે. આપેલ ત્રિકોણના આકારની પ્લેટ. ત્રિકોણની સંતુલન સ્થિતિ મનસ્વી બિંદુ પર હિન્જ્ડ છે એક્સ , ત્યાં એક સ્થિતિ હશે જેમાં બીમ હશે એચ.એમપૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત. મધ્યના આંતરછેદ બિંદુ પર હિન્જ્ડ ત્રિકોણ માટે, કોઈપણ સ્થિતિ એ સંતુલન સ્થિતિ છે. વધુમાં, એક ત્રિકોણ જેનો મધ્ય આંતરછેદ બિંદુ સોયની ટોચ પર રહેલો છે તે પણ સંતુલન સ્થિતિમાં હશે.

ઉંચાઈનો આંતરછેદ બિંદુ

સાબિત કરવા માટે કે ઊંચાઈ Δ ABCએક બિંદુએ છેદે છે, વિભાગના અંતે દર્શાવેલ પુરાવાના માર્ગને યાદ કરો “Center of the Circumscribed Circle”. ચાલો તમને શિખરો પર લઈ જઈએ A, Bઅને સાથેવિરુદ્ધ બાજુઓની સમાંતર સીધી રેખાઓ; આ રેખાઓ Δ બનાવે છે એ 1 IN 1 સાથે 1 (ફિગ. 61). ઊંચાઈ Δ ABCબાજુઓના લંબ દ્વિભાજકો છે ΔA 1 બી 1 સી 1 . પરિણામે, તેઓ એક બિંદુએ છેદે છે - પરિઘનું કેન્દ્ર ΔA 1 બી 1 સી 1 . ત્રિકોણની ઊંચાઈના આંતરછેદના બિંદુને ક્યારેક તેના કહેવામાં આવે છે ઓર્થોસેન્ટર

-

તે તપાસવું સરળ છે કે જો H એ ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ છે Δ ABC,તે A, Bઅને સાથે -ઊંચાઈ આંતરછેદ બિંદુઓ Δ VNS, ΔSNAઅને Δ ANVઅનુક્રમે

તે પણ સ્પષ્ટ છે<ABC + < A.H.C. = 180° કારણ કે < બી.એ. 1 એચ = < બી.સી. 1 એચ =90° (એ 1 અને સી 1 - ઊંચાઈના પાયા). જો બિંદુ એચ 1 સીધી રેખાની તુલનામાં બિંદુ H માટે સપ્રમાણ એસી,પછી ચતુર્ભુજ ABCN 1 અંકિત તેથી, ઘેરાયેલા વર્તુળોની ત્રિજ્યા Δ ABCઅને Δ એએન એસસમાન છે અને આ વર્તુળો બાજુના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે એસી(ફિગ. 62). હવે તે સાબિત કરવું સરળ છે

AN=a|ctg A|, જ્યાં a=BC.ખરેખર,

AH=2Rપાપ< ACH=2R|cos એ| =a|ctg A| .

ચાલો સરળતા માટે માની લઈએ કે ΔABCતીવ્ર-કોણ અને Δ ને ધ્યાનમાં લો એ 1 બી 1 સી 1 , તેની ઊંચાઈના પાયા દ્વારા રચાય છે. તે તારણ આપે છે કે અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર Δ એ 1 બી 1 સી 1 ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ છે Δ ABC,અને વર્તુળોના કેન્દ્રો

ΔA 1 બી 1 સી 1 Δ ના શિરોબિંદુઓ છે ABC(ફિગ. 63). પોઈન્ટ એ 1 અને IN 1 સીએચ(ખૂણાઓ થી એનવી 1 એસ અને ચાલુ 1 સાથેસીધા), તેથી < એચ.એ. 1 બી 1 = < HCB 1 . તેવી જ રીતે<એચ.એ. 1 સી 1 = < એચબીસી 1 . અને ત્યારથી<HCB 1 = =< એચબીસી 1 તે એ 1 A -દ્વિભાજક<IN 1 એ 1 સાથે 1 .

દો એન- ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ એએ 1 , બી.બી 1 અને સીસી 1 ત્રિકોણ ABC . પોઈન્ટ એ 1 અને IN 1 વ્યાસવાળા વર્તુળ પર સૂઈ જાઓ એબી,એ કારણે એ.એચ. · એ 1 એચ = બી.એચ. · બી 1 એચ . તેવી જ રીતે વી.એનબી 1 એચ =CH ·C 1 એન.

એક્યુટ ત્રિકોણ માટે, કન્વર્સ સ્ટેટમેન્ટ પણ સાચું છે: જો પોઈન્ટ A 1 હોય, બી 1 અને સી 1 બાજુઓ પર સૂવું VS, SAઅને AB એક્યુટ-કોણ Δ એબીસી અનેસેગમેન્ટ્સ એએ 1 , બી.બી 1 અને એસ.એસ 1 એક બિંદુ પર છેદે આર,અને એઆર એ 1 Р=ВР·В 1 P=SR·S 1 આર,તે આર- ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ. હકીકતમાં, સમાનતામાંથી

AP · A 1 P = BP · B 1 P

તે પોઈન્ટ કે અનુસરે છે A, B, A 1 અને IN 1 વ્યાસ સાથે સમાન વર્તુળ પર સૂઈ જાઓ એબી,મતલબ કે < એબી 1 બી = < બી.એ. 1 એ =γ. તેવી જ રીતે < ACiC =< CAiA = β અને <СВ 1 B=<ВС 1 C= α (ફિગ. 64). તે પણ સ્પષ્ટ છે કે α + β= સીસી 1 એ = l 80°, β+γ=180° અને γ + α = 180°. તેથી, α = β=γ=90°.

ત્રિકોણની ઊંચાઈના આંતરછેદના બિંદુને બીજી ખૂબ જ રસપ્રદ રીતે નક્કી કરી શકાય છે, પરંતુ આ માટે આપણને વેક્ટરની વિભાવનાઓ અને વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદનની જરૂર છે.

દો વિશે- વર્તુળનું કેન્દ્ર Δ ABC.વેક્ટર સરવાળો ઓ એ+ ઓ.બી. + ઓએસકેટલાક વેક્ટર છે, તેથી ત્યાં આવા બિંદુ છે આર,શું અથવા = OA + OB+OS.તે તારણ આપે છે કે આર- ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ Δ એબીસી!

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, તે સાબિત કરીએ એપી લંબ બી.સી. . તે સ્પષ્ટ છે કે AR=AO+

+op=ao+(oa+ov+os)=ov+os અને all= -ov+os. તેથી, વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદન એઆરઅને સૂર્યબરાબર ઓએસ 2 - ઓ.બી. 2 = આર 2 - આર 2 =0, એટલે કે આ વેક્ટર લંબરૂપ છે.

ત્રિકોણના ઓર્થોસેન્ટરની આ મિલકત અમને સ્પષ્ટ નિવેદનોથી કેટલાક દૂર સાબિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચતુષ્કોણનો વિચાર કરો એ બી સી ડી , વર્તુળમાં અંકિત. દો Na, Nv, Nsઅને એચ ડી - ઓર્થોસેન્ટર્સ Δ BCD , Δ સીડીએ , Δ ડીએબી અને Δ ABC અનુક્રમે પછી સેગમેન્ટ્સના મધ્યબિંદુઓ એ.એન એ , VN, CH સાથે , ડી.એચ. ડી મેળ ખાય છે. હકીકતમાં, જો વિશેવર્તુળનું કેન્દ્ર છે, અને એમ- સેગમેન્ટની મધ્યમાં એ.એન એ , તે OM=1/2(0A + OH એ )= =1/2(OA + OB+OS+Oડી ) . અન્ય ત્રણ વિભાગોના મધ્યબિંદુઓ માટે આપણે બરાબર સમાન સમીકરણો મેળવીએ છીએ.

યુલર ડાયરેક્ટ

અદ્ભુત બિંદુઓની સૌથી આકર્ષક મિલકત છેકોણ એ છે કે તેમાંના કેટલાક એકબીજા સાથે જોડાયેલા છેચોક્કસ ગુણોત્તર દ્વારા. ઉદાહરણ તરીકે, આંતરછેદ બિંદુમધ્યક એમ, ઊંચાઈ H ના આંતરછેદનું બિંદુ અને ઘેરાયેલા વર્તુળનું કેન્દ્રગુણધર્મો O સમાન સીધી રેખા અને બિંદુ પર આવેલા છેએમસેગમેન્ટને વિભાજિત કરે છે HE જેથી સંબંધ માન્ય રહેOM:MN= 1:2. આ પ્રમેય 1765 માં લિયોનહાર્ડ યુલર દ્વારા સાબિત કરવામાં આવ્યો હતો, જેમણેતેમની અથાક પ્રવૃત્તિ સાથે, તેમણે ગણિતના ઘણા ક્ષેત્રોનો નોંધપાત્ર વિકાસ કર્યો અને તેની ઘણી નવી શાખાઓનો પાયો નાખ્યો. તેનો જન્મ 1707માં સ્વિટ્ઝર્લેન્ડમાં થયો હતો. 20 વર્ષની ઉંમરે, યુલરે ભલામણ કરીબર્નોલી ભાઈઓને સેન્ટ પીટર્સબર્ગ આવવાનું આમંત્રણ મળ્યુંબર્ગ, જ્યાં થોડા સમય પહેલા એકેડેમીનું આયોજન કરવામાં આવ્યું હતું. INરશિયામાં 1740 ના અંતમાં અન્ના લિયોપોલની સત્તામાં વધારો થવાના સંબંધમાંડોવના, એક ચિંતાજનક પરિસ્થિતિ વિકસિત થઈ, અને યુલર ત્યાં ગયોબર્લિન. 25 વર્ષ પછી, તે ફરીથી રશિયા પાછો ફર્યો, કુલયુલર 30 વર્ષથી વધુ સમયથી સેન્ટ પીટર્સબર્ગમાં રહેતા હતા. જ્યારે બર્લીમાંના, યુલરે રશિયન એકેડેમી સાથે ગાઢ સંપર્ક જાળવી રાખ્યો હતો અને હતોતેના માનદ સભ્ય. બર્લિનથી યુલરે લોમોનો સાથે પત્રવ્યવહાર કર્યોઘુવડ તેમનો પત્રવ્યવહાર નીચે મુજબ શરૂ થયો. 1747 માં, લોમોનોસોવ પ્રોફેસર તરીકે ચૂંટાયા હતા, એટલે કે, એકેડેમીના સંપૂર્ણ સભ્ય; મહારાણીએ આ ચૂંટણીને મંજૂરી આપી. એના પછીપ્રતિક્રિયાવાદી એકેડેમીના અધિકારી શુમાકર, જે કાયદાને સખત રીતે નફરત કરે છેમોનોસોવ, તેમના વિશે માહિતી મેળવવાની આશામાં, યુલરને તેમનું કાર્ય મોકલ્યુંખરાબ સમીક્ષા. (યુલર લોમોનોસોવ કરતાં માત્ર 4 વર્ષ મોટો હતો,પરંતુ તેની વૈજ્ઞાનિક સત્તા તે સમય સુધીમાં ઘણી ઊંચી હતી.)તેમની સમીક્ષામાં, યુલરે લખ્યું: “આ બધી કૃતિઓ માત્ર સારી નથીshi, પણ ઉત્તમ, કારણ કે તે ભૌતિક અને રાસાયણિક સમજાવે છેસૌથી જરૂરી અને મુશ્કેલ બાબતો, જે સંપૂર્ણપણે અજાણ છે અને અર્થઘટન અશક્ય હતુંસૌથી વિનોદી અને વિદ્વાન માટેપ્રખ્યાત લોકો, આવા સ્થાપક સાથેએવી વસ્તુ કે જેના વિશે મને ખાતરી છેતેના પુરાવાની ચોકસાઈ...વ્યક્તિએ બધું જ ઈચ્છવું જોઈએકઈ અકાદમીઓ આવી આવિષ્કારો બતાવવામાં સક્ષમ હતી કેજે શ્રી લોમોએ બતાવ્યુંનાક."

ચાલો પુરાવા તરફ આગળ વધીએ યુલરનું પ્રમેય.ચાલો વિચાર કરીએ Δ એ 1 બી 1 સી 1 માં શિરોબિંદુઓ સાથે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ Δ એબીસી;દો એચ 1 અને એચ - તેમના ઓર્થોસેન્ટર્સ (ફિગ. 65). બિંદુ H 1 કેન્દ્ર સાથે એકરુપ છે વિશેપરિઘ Δ ABC.ચાલો તે સાબિત કરીએ Δ સી 1 એચ 1 એમ =Δ CHM . ખરેખર, મધ્યના આંતરછેદ બિંદુની મિલકત દ્વારા સાથે 1 એમ: CM = 1:2, સમાનતા ગુણાંક Δ એ 1 બી 1 સી 1 અને Δ ABC 2 બરાબર છે, તેથી સી 1 એચ 1 : સીએચ =1:2, ઉપરાંત,<એચ 1 સી 1 એમ =<НСМ (સી 1 એચ 1 || સીએચ ). તેથી,< સી 1 એમ.એચ. 1 = < SMN,જેનો અર્થ થાય છે બિંદુ એમસેગમેન્ટ પર આવેલું છે એચ 1 એચ . ઉપરાંત, એચ 1 એમ : એમ.એચ. =1:2, સમાનતા ગુણાંક Δ થી સી 1 એચ 1 એમ અને Δ SNM 2 બરાબર છે.

નવ બિંદુઓનું વર્તુળ

1765 માં, યુલરે શોધ્યું કે ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ અને તેની ઊંચાઈના પાયા એક જ વર્તુળ પર આવેલા છે. આપણે ત્રિકોણની આ મિલકત પણ સાબિત કરીશું.

B 2 ને ઉપરથી ઘટેલી ઊંચાઈનો આધાર બનવા દો INપર
બાજુ એસી.પોઈન્ટ INઅને B 2 સીધી રેખા વિશે સપ્રમાણ છે એ 1 સાથે 1
(ફિગ. 66). તેથી, Δ એ 1 IN 2 સાથે 1 = Δ એ 1 બી.સી. t = Δ એ 1 બી 1 સી 1 , એ કારણે < એ 1 બી 2 સી 1 = <А 1 IN 1 સાથે 1 , જેનો અર્થ થાય છે બિંદુ IN 2 વર્ણવેલ પર આવેલું છે
વર્તુળ ΔA 1 IN 1 સાથે 1 . ઊંચાઈના બાકીના પાયા માટે સાબિતી સમાન છે. "

ત્યારબાદ, એવું જાણવા મળ્યું કે સમાન વર્તુળ પર વધુ ત્રણ બિંદુઓ આવેલા છે - ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ સાથે ઓર્થોસેન્ટરને જોડતા વિભાગોના મધ્યબિંદુઓ. તે શું છે નવ બિંદુઓનું વર્તુળ.

દો એઝઅને NW- સેગમેન્ટ્સના મધ્યબિંદુઓ એ.એનઅને સીએચ, એસ 2 - ઊંચાઈનો આધાર ટોચ પરથી નીચે ગયો સાથેપર એબી(ફિગ. 67). ચાલો પહેલા તે સાબિત કરીએ એ 1 સી 1 એ 3 સી 3 - લંબચોરસ. આ સરળતાથી હકીકત પરથી અનુસરે છે કે એ 1 NWઅને એ 3 સી 1 - મધ્ય રેખાઓ Δ વીએસએનઅને ΔAVN,એ એ 1 સી 1 અને એ 3 NW- મધ્ય રેખાઓ Δ ABCઅને Δ ASN.તેથી પોઈન્ટ એ 1 અને એઝવ્યાસવાળા વર્તુળ પર સૂઈ જાઓ સાથે 1 NW,અને ત્યારથી એઝઅને NWબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળ પર સૂઈ જાઓ એ 1, સી 1 અને સી 2. આ વર્તુળ યુલર દ્વારા ગણવામાં આવતા વર્તુળ સાથે એકરુપ છે (જો Δ ABCસમદ્વિબાજુ નથી). એક બિંદુ માટે Vzસાબિતી સમાન છે.

ટોરીસેલી પોઈન્ટ

મનસ્વી ચતુષ્કોણની અંદર એ બી સી ડી તે બિંદુ શોધવાનું સરળ છે જેના શિરોબિંદુઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો સૌથી નાનો છે. આવા બિંદુ એક બિંદુ છે વિશેતેના કર્ણનું આંતરછેદ. હકીકતમાં, જો એક્સ - પછી કોઈપણ અન્ય બિંદુ AH+HS≥AC=AO+OSઅને BX + એક્સડી ≥ બી.ડી = બી.ઓ. + ઓ.ડી. , અને ઓછામાં ઓછી એક અસમાનતા કડક છે. ત્રિકોણ માટે, સમાન સમસ્યા હલ કરવી વધુ મુશ્કેલ છે; હવે આપણે તેને હલ કરવા માટે આગળ વધીશું. સરળતા માટે, અમે તીવ્ર ત્રિકોણના કેસને ધ્યાનમાં લઈશું.

દો એમ- એક્યુટ-કોણ Δ ની અંદર અમુક બિંદુ ABC.ચાલો તેને ફેરવીએ Δ એબીસીબિંદુ સાથે એમબિંદુની આસપાસ 60° એ(ફિગ. 68). (વધુ સ્પષ્ટ રીતે, ચાલો બી, સીઅને M"- પોઈન્ટની છબીઓ બી, સીઅને એમજ્યારે બિંદુની આસપાસ 60° ફેરવવામાં આવે છે એ.)પછી AM+VM+SM=MM"+બી.એમ. + સી " એમ ", AM=MM",તેથી ΔAMM તરીકે"- સમદ્વિબાજુ (AM=AM")અને<MAM" = 60°. સમાનતાની જમણી બાજુ તૂટેલી રેખાની લંબાઈ છે VMM"S" ; જ્યારે આ તૂટેલી લાઇન સૌથી નાની હશે

સેગમેન્ટ સાથે એકરુપ છે સૂર્ય" . આ બાબતે<. A.M.B. = 180° -<AMM" = 120° અને<АМС = <એ.એમ. " સી - 180°-<એ.એમ. " એમ = 120°, એટલે કે બાજુઓ AB, BCઅને SA બિંદુ પરથી દેખાય છે એમ 120°ના ખૂણા પર. આવા બિંદુ એમકહેવાય છે ટોરીસેલી બિંદુત્રિકોણ ABC .

જો કે, ચાલો સાબિત કરીએ કે તીવ્ર ત્રિકોણની અંદર હંમેશા એક બિંદુ હોય છે એમ,જેમાંથી દરેક બાજુ 120°ના ખૂણા પર દેખાય છે. ચાલો તેને બાજુ પર બનાવીએ એબીત્રિકોણ ABC બાહ્ય રીતે યોગ્ય Δ ABC 1 (ફિગ. 69). દો એમ- ઘેરાયેલા વર્તુળના આંતરછેદનું બિંદુ ΔABC 1 અને સીધા એસ.એસ 1 . પછી ABC 1 =60°અને ABCબિંદુ પરથી દૃશ્યમાન એમ 120°ના ખૂણા પર. આ દલીલોને થોડે આગળ ચાલુ રાખીને, આપણે ટોરીસેલી બિંદુની બીજી વ્યાખ્યા મેળવી શકીએ છીએ. ચાલો નિયમિત ત્રિકોણ બનાવીએ એ 1 સૂર્યઅને એબી 1 સાથેસશસ્ત્ર દળોની બાજુઓ પર પણ અને એસી.ચાલો સાબિત કરીએ કે બિંદુ M પણ રેખા પર આવેલો છે એએ 1 . ખરેખર, સમયગાળો એમપરિઘ Δ પર આવેલું છે એ 1 બી.સી. , એ કારણે<એ 1 એમ.બી. = < એ 1 સી.બી. = 60°,મતલબ કે<એ 1 MV+<. B.M.A. = 180°. તેવી જ રીતે બિંદુ એમસીધી રેખા પર આવેલું છે બીબી 1 (ફિગ. 69).

અંદર Δ ABCત્યાં એક બિંદુ M છે જેમાંથી તેની બાજુઓ 120°ના ખૂણા પર દેખાય છે, કારણ કે ઘેરાયેલા વર્તુળો Δ ABC 1 , Δ એબી i સી અને Δ એ 1 સૂર્યએક કરતાં વધુ સામાન્ય બિંદુ હોઈ શકે નહીં.

ચાલો હવે ટોરિસેલી બિંદુનું ભૌતિક (યાંત્રિક) અર્થઘટન આપીએ. ચાલો શિરોબિંદુઓ પર Δ ને ઠીક કરીએ ABCરિંગ્સ, અમે તેમાંથી ત્રણ દોરડાઓ પસાર કરીએ છીએ, જેનો એક છેડો બંધાયેલ છે, અને સમાન સમૂહનો ભાર બીજા છેડા સાથે જોડાયેલ છે (ફિગ. 70). જો x = MA, y = MV,z = એમ.સી. અને એદરેક થ્રેડની લંબાઈ છે, તો વિચારણા હેઠળની સિસ્ટમની સંભવિત ઊર્જા m બરાબર છે g (x -એ)+ મી g (y - a )+ મિલિગ્રામ (z --A).સંતુલન સ્થિતિ પર, સંભવિત ઊર્જાનું મૂલ્ય સૌથી નાનું હોય છે, તેથી સરવાળા x+y+z નું મૂલ્ય પણ સૌથી નાનું હોય છે. બીજી બાજુ, સંતુલન સ્થિતિમાં બિંદુ પરના દળોનું પરિણામ એમશૂન્ય બરાબર. આ દળો નિરપેક્ષ તીવ્રતામાં સમાન છે, તેથી બળ વેક્ટર વચ્ચેના જોડી પ્રમાણેના ખૂણા 120° જેટલા છે.

અસ્પષ્ટ ત્રિકોણના કિસ્સામાં વસ્તુઓ કેવી રીતે ઊભી થાય છે તે કહેવાનું બાકી છે. જો સ્થૂળ કોણ 120° કરતા ઓછું હોય, તો અગાઉની બધી દલીલો માન્ય રહેશે. અને જો સ્થૂળ ખૂણો 120° કરતા મોટો અથવા બરાબર હોય, તો ત્રિકોણના બિંદુથી તેના શિરોબિંદુઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો સૌથી નાનો હશે જ્યારે આ બિંદુ સ્થૂળ કોણનું શિરોબિંદુ હશે.

બ્રોકાર્ડના મુદ્દા

બ્રોકાર્ડ પોઈન્ટ Δ ABCઆવા આંતરિક બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે આરઅને પ્ર , શું<એબીપી = <. BCP =< CAP અને<. QAB = <. QBC = < QCA (એક સમભુજ ત્રિકોણ માટે, બ્રોકાર્ડ બિંદુઓ એક બિંદુમાં ભળી જાય છે). ચાલો તે સાબિત કરીએ કે કોઈપણ Δ ની અંદર ABCએક બિંદુ છે આર,જરૂરી મિલકત ધરાવવી (એક બિંદુ માટે પ્ર પુરાવા સમાન છે). ચાલો પહેલા બ્રોકાર્ડ પોઈન્ટની વ્યાખ્યા એક અલગ સ્વરૂપમાં ઘડીએ. ચાલો આકૃતિ 71 માં બતાવ્યા પ્રમાણે કોણનાં મૂલ્યો સૂચવીએ. ત્યારથી<ARV=180° - a+x-y,સમાનતા x=yસમાનતા સમાન છે<એપીબી =180°-< . એ . આથી, આર- બિંદુ Δ ABC,કઈ બાજુઓથી એબી,
સૂર્યઅને એસ.એ 180°ના ખૂણા પર દૃશ્યમાન -<. એ , 180°-<બી , 180°-<સાથે.
આવા બિંદુ નીચે પ્રમાણે બનાવી શકાય છે. ચાલો આગળ વધીએ
બાજુ સૂર્યત્રિકોણ ABCસમાન ત્રિકોણ CA1B
આકૃતિ 72 માં બતાવ્યા પ્રમાણે. ચાલો સાબિત કરીએ કે સીધી રેખાના આંતરછેદનો બિંદુ P AA1અને પરિઘ ΔA1BCપછી માંગ્યું. હકિકતમાં,<બીપીસી =18 ઓ ° - β અને<એપીબી = 180°-<એ t પી.બી. = 180° -<એ 1 સી.બી. = l 80°- એ.ચાલો આગળ એક જ રીતે બાજુઓ પર સમાન ત્રિકોણ બનાવીએ એસીઅને એબી(ફિગ. 73). કારણ કે<. એપીબી = 180° - એ,બિંદુ આરપરિઘ Δ પર પણ આવેલું છે ABC 1 આથી,<બીપીસી 1 = <બી.એ.સી 1 = β, જેનો અર્થ થાય છે બિંદુ
આરસેગમેન્ટ પર આવેલું છે એસ.એસ 1 . તે સેગમેન્ટ પર સમાન રીતે આવેલું છે બીબી 1 ,
એટલે કે આર -વિભાગોના આંતરછેદનું બિંદુ એએ 1 , બી.બી 1 અને એસ.એસ 1 .

બ્રોકાર્ડનો મુદ્દો આરનીચેની રસપ્રદ મિલકત છે. સીધા દો AR, VRઅને એસ.આરઘેરાયેલ વર્તુળ ΔABC ને છેદે છે

પોઈન્ટ A 1, B 1 અને C 1 પર (ફિગ. 74). પછી Δ ABC = Δ બી 1 સાથે 1 એ 1 .INહકિકતમાં,<. એ 1 બી 1 સી 1 = < એ 1 બી 1 બી + < BB 1 C 1 =<એ 1 એબી +<В સીસી 1 =<એ 1 એબી + +< એ 1 A.C. =<.ВАС, બ્રોકાર્ડ બિંદુ ΔABC ની મિલકત દ્વારા, ખૂણા BCC 1 અને A 1 AC સમાન છે, જેનો અર્થ થાય છે એ 1 સી 1 = બી.સી. . બાકીની બાજુઓની સમાનતા Δ ABCઅને Δ B 1 C 1 A 1 એ જ રીતે તપાસવામાં આવે છે.

અમે ધ્યાનમાં લીધેલા તમામ કેસોમાં, રેખાઓના અનુરૂપ ત્રિવિધ રેખાઓ એક બિંદુ પર છેદે છે તે પુરાવાનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવી શકે છે. સેવાના પ્રમેય.અમે આ પ્રમેય ઘડીશું.

પ્રમેય. તેને બાજુઓ પર રહેવા દો AB, BCઅને એસ એત્રિકોણ ABC પોઈન્ટ લેવામાં આવ્યા છે સાથે 1 , એ 1 અને IN 1 અનુક્રમે પ્રત્યક્ષ એએ 1 , બી.બી 1 અને એસ.એસ 1 એક બિંદુ પર છેદે જો અને માત્ર જો

AC 1 / C 1 V VA 1 / A 1 C SV 1 / V 1 A = 1.

પ્રમેયનો પુરાવો 7-9 ગ્રેડ માટેના પાઠ્યપુસ્તકમાં L.S. 300 પર આપવામાં આવ્યો છે.

સાહિત્ય.

1.અતનસ્યાન એલ.એસ. ભૂમિતિ 7-9.- એમ.: શિક્ષણ, 2000.

2. કિસેલેવ એ.પી. પ્રાથમિક ભૂમિતિ - એમ.: શિક્ષણ, 1980.

3. નિકોલ્સ્કાયા I.L. ગણિતમાં વૈકલ્પિક અભ્યાસક્રમ. એમ.: શિક્ષણ, 1991.

4. એક યુવાન ગણિતશાસ્ત્રીનો જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ.. કોમ્પ. એ.પી.સાવિન.-એમ.: શિક્ષણ શાસ્ત્ર, 1989.

ચાર નોંધપાત્ર મુદ્દાઓ

ત્રિકોણ

ભૂમિતિ

8 મી ગ્રેડ

સાખારોવા નતાલિયા ઇવાનોવના

સિમ્ફેરોપોલની MBOU માધ્યમિક શાળા નં. 28

• ત્રિકોણ મધ્યનું આંતરછેદ બિંદુ
• ત્રિકોણ દ્વિભાજકોનો આંતરછેદ બિંદુ
• ત્રિકોણની ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ
• ત્રિકોણના લંબરૂપ મધ્યના આંતરછેદનું બિંદુ

મધ્યક

મધ્યક (BD)ત્રિકોણનો તે ભાગ છે જે ત્રિકોણના શિરોબિંદુને વિરુદ્ધ બાજુના મધ્યબિંદુ સાથે જોડે છે.

મધ્યકત્રિકોણ એકબીજાને છેદે છે એક તબક્કે (ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રત્રિકોણ) અને શિરોબિંદુમાંથી ગણતરી કરીને 2: 1 ના ગુણોત્તરમાં આ બિંદુ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

બિસેક્ટર

દ્વિભાજક (એડી)ત્રિકોણનો ત્રિકોણ એ ત્રિકોણના આંતરિક કોણનો દ્વિભાજક ભાગ છે. ∟ ખરાબ = ∟CAD.

દરેક બિંદુ દ્વિભાજકોઅવિકસિત કોણ તેની બાજુઓથી સમાન છે.

પાછળ: કોણની અંદર અને કોણની બાજુઓથી સમાન અંતરે આવેલ દરેક બિંદુ તેના પર આવેલું છે દ્વિભાજક

બધા દ્વિભાજકોત્રિકોણ એક બિંદુ પર છેદે છે - અંકિતનું કેન્દ્ર ત્રિકોણમાં વર્તુળો

વર્તુળની ત્રિજ્યા (OM) એ ત્રિકોણની બાજુમાં કેન્દ્ર (TO) થી નીચે ઉતરેલો લંબ છે

ઊંચાઈ

ઊંચાઈ (CD)ત્રિકોણનો એક લંબ ભાગ છે જે ત્રિકોણના શિરોબિંદુમાંથી વિરુદ્ધ બાજુ ધરાવતી રેખા પર દોરવામાં આવે છે.

ઊંચાઈત્રિકોણ (અથવા તેમના વિસ્તરણ) છેદે છે એક બિંદુ

મધ્ય કાટખૂણે

લંબ દ્વિભાજક (DF)ત્રિકોણની એક બાજુને લંબરૂપ અને તેને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરતી સીધી રેખા કહેવાય છે.

દરેક બિંદુ લંબ દ્વિભાજક(m) એક સેગમેન્ટ આ સેગમેન્ટના છેડાથી સમાન અંતરે છે.

પાછળ: સેગમેન્ટના છેડાથી સમાન અંતરે આવેલ દરેક બિંદુ મધ્યબિંદુ પર આવેલું છે લંબતેને.

ત્રિકોણની બાજુઓના તમામ લંબ દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે - વર્ણવેલ કેન્દ્ર ત્રિકોણની નજીક વર્તુળ .

પરિપત્રની ત્રિજ્યા એ વર્તુળના કેન્દ્રથી ત્રિકોણના કોઈપણ શિરોબિંદુ (OA) સુધીનું અંતર છે.

પાનું 177 નંબર 675 (રેખાંકન)

ગૃહ કાર્ય

પૃષ્ઠ 173 § 3 વ્યાખ્યાઓ અને પ્રમેય 177 નંબર 675 (સમાપ્ત)

બરાનોવા એલેના

આ કાર્ય ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓ, તેમના ગુણધર્મો અને પેટર્નની તપાસ કરે છે, જેમ કે નવ-બિંદુ વર્તુળ અને યુલર સીધી રેખા. યુલરની સીધી રેખા અને નવ-બિંદુ વર્તુળની શોધની ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ આપવામાં આવી છે. મારા પ્રોજેક્ટની અરજીની વ્યવહારિક દિશા સૂચિત છે.

ડાઉનલોડ કરો:

પૂર્વાવલોકન:

પ્રસ્તુતિ પૂર્વાવલોકનોનો ઉપયોગ કરવા માટે, એક Google એકાઉન્ટ બનાવો અને તેમાં લોગ ઇન કરો: https://accounts.google.com

સ્લાઇડ કૅપ્શન્સ:

"ત્રિકોણના અદ્ભુત બિંદુઓ." (ગણિતના લાગુ અને મૂળભૂત પ્રશ્નો) એલેના બરાનોવા 8મું ધોરણ, MKOU “માધ્યમિક શાળા નં. 20” Pos. Novoizobilny, Dukhanina Tatyana Vasilievna, ગણિતના શિક્ષક, મ્યુનિસિપલ શૈક્ષણિક સંસ્થા "માધ્યમિક શાળા નંબર 20" Novoizobilny ગામ 2013. મ્યુનિસિપલ સરકારી શૈક્ષણિક સંસ્થા "માધ્યમિક શાળા નંબર 20"

ધ્યેય: તેના નોંધપાત્ર બિંદુઓ માટે ત્રિકોણનો અભ્યાસ કરો, તેમના વર્ગીકરણ અને ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરો. ઉદ્દેશ્યો: 1. જરૂરી સાહિત્યનો અભ્યાસ કરો 2. ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓના વર્ગીકરણનો અભ્યાસ કરો 3.. ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓના ગુણધર્મોથી પરિચિત થાઓ 4. ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓનું નિર્માણ કરવામાં સમર્થ થાઓ. 5. નોંધપાત્ર મુદ્દાઓના અવકાશનું અન્વેષણ કરો. અભ્યાસનો હેતુ - ગણિતનો વિભાગ - ભૂમિતિ અભ્યાસનો વિષય - ત્રિકોણ સુસંગતતા: ત્રિકોણ, તેના નોંધપાત્ર બિંદુઓના ગુણધર્મો વિશે તમારા જ્ઞાનને વિસ્તૃત કરો. પૂર્વધારણા: ત્રિકોણ અને પ્રકૃતિ વચ્ચેનું જોડાણ

કાટખૂણે દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ તે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે છે અને તે પરિઘ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. ત્રિકોણ વિશે વર્તુળો, જેના શિરોબિંદુઓ ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ છે અને ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ એક બિંદુ પર છેદે છે, જે લંબરૂપ દ્વિભાજકોના આંતરછેદના બિંદુ સાથે એકરુપ છે.

દ્વિભાજકોનો આંતરછેદ બિંદુ ત્રિકોણના દ્વિભાજકોનો આંતરછેદ બિંદુ ત્રિકોણની બાજુઓથી સમાન છે. OM=OA=OB

ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ ત્રિકોણના દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ, જેના શિરોબિંદુઓ ઊંચાઈના પાયા છે, તે ત્રિકોણની ઊંચાઈઓના આંતરછેદના બિંદુ સાથે એકરુપ છે.

મધ્યકનો આંતરછેદ બિંદુ ત્રિકોણના મધ્યક એક બિંદુ પર છેદે છે, જે શિરોબિંદુમાંથી ગણીને દરેક મધ્યકને 2:1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. જો મધ્યકનો આંતરછેદ બિંદુ શિરોબિંદુઓ સાથે જોડાયેલ હોય, તો ત્રિકોણ સમાન ક્ષેત્રફળના ત્રણ ત્રિકોણમાં વિભાજિત થશે. મધ્યસ્થીઓના આંતરછેદ બિંદુની એક મહત્વપૂર્ણ મિલકત એ હકીકત છે કે વેક્ટરનો સરવાળો, જેની શરૂઆત મધ્યકનો આંતરછેદ બિંદુ છે અને છેડા ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે, તે શૂન્ય M1 N C B A m2 m3 M1 બરાબર છે. N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3

ટોરીસેલી પોઈન્ટ નોંધ: જો ત્રિકોણના બધા ખૂણા 120 કરતા ઓછા હોય તો ટોરીસેલી પોઈન્ટ અસ્તિત્વમાં છે.

નવ બિંદુઓનું વર્તુળ B1, A1, C1 – ઊંચાઈના પાયા; A2, B2, C2 – અનુરૂપ બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ; A3, B3, C3, સેગમેન્ટ્સ AN, VN અને CH ના મધ્યબિંદુઓ છે.

યુલરની સીધી રેખા મધ્યના આંતરછેદનું બિંદુ, ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ, નવ બિંદુઓના વર્તુળનું કેન્દ્ર એક સીધી રેખા પર આવેલું છે, જેને આ પેટર્ન નક્કી કરનાર ગણિતશાસ્ત્રીના માનમાં યુલરની સીધી રેખા કહેવામાં આવે છે.

નોંધપાત્ર બિંદુઓની શોધના ઇતિહાસમાંથી થોડુંક 1765 માં, યુલરે શોધ્યું કે ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ અને તેની ઊંચાઈના પાયા એક જ વર્તુળ પર આવેલા છે. ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓની સૌથી આશ્ચર્યજનક મિલકત એ છે કે તેમાંના કેટલાક ચોક્કસ ગુણોત્તર દ્વારા એકબીજા સાથે જોડાયેલા છે. મધ્યવર્તી M નો આંતરછેદ બિંદુ, ઊંચાઈ H નો આંતરછેદ બિંદુ, અને પરિઘ O નું કેન્દ્ર સમાન સીધી રેખા પર આવેલું છે, અને બિંદુ M સેગમેન્ટ OH ને વિભાજિત કરે છે જેથી સંબંધ OM: OH = 1: 2 છે આ પ્રમેય 1765 માં લિયોનહાર્ડ યુલર દ્વારા સાબિત થયું હતું.

ભૂમિતિ અને પ્રકૃતિ વચ્ચેનું જોડાણ. આ સ્થિતિમાં, સંભવિત ઉર્જાનું મૂલ્ય સૌથી નાનું છે અને MA+MB+MC સેગમેન્ટ્સનો સરવાળો સૌથી નાનો હશે, અને ટોરીસેલી બિંદુની શરૂઆત સાથે આ સેગમેન્ટ્સ પર પડેલા વેક્ટરનો સરવાળો શૂન્યના બરાબર હશે.

તારણો મેં શીખ્યા કે હું જાણું છું કે ઊંચાઈઓ, મધ્યક, દ્વિભાજકો અને લંબ દ્વિભાજકોના આંતરછેદના અદ્ભુત બિંદુઓ ઉપરાંત, ત્રિકોણના અદ્ભુત બિંદુઓ અને રેખાઓ પણ છે. હું મારી શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓમાં આ વિષય પર મેળવેલા જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરી શકીશ, અમુક સમસ્યાઓ માટે સ્વતંત્ર રીતે પ્રમેય લાગુ કરી શકીશ અને શીખેલા પ્રમેયને વાસ્તવિક પરિસ્થિતિમાં લાગુ કરી શકીશ. હું માનું છું કે ગણિત શીખવામાં ત્રિકોણના અદ્ભુત બિંદુઓ અને રેખાઓનો ઉપયોગ અસરકારક છે. તેમને જાણવું એ ઘણા કાર્યોના ઉકેલને નોંધપાત્ર રીતે ઝડપી બનાવે છે. સૂચિત સામગ્રીનો ઉપયોગ ગણિતના પાઠમાં અને ધોરણ 5-9ના વિદ્યાર્થીઓ માટે અભ્યાસેતર પ્રવૃત્તિઓ બંનેમાં થઈ શકે છે.

પૂર્વાવલોકન:

પૂર્વાવલોકનનો ઉપયોગ કરવા માટે, એક Google એકાઉન્ટ બનાવો અને સાઇન ઇન કરો: