Az iskolai tananyagban a geometria órákon különféle típusú négyszögekkel kell foglalkozni: rombuszokkal, paralelogrammákkal, téglalapokkal, trapézokkal, négyzetekkel. A legelső alakzatok, amelyeket tanulmányozni kell, a téglalap és a négyzet.

Tehát mi az a téglalap? Az általános iskola 2. osztályának meghatározása így fog kinézni: ez egy négyszög, amelyben mind a négy sarok megfelelő. Könnyű elképzelni, hogy néz ki egy téglalap: ez egy 4 derékszögű figura, amelynek oldalai páronként párhuzamosak egymással.

Kapcsolatban áll

Hogyan értsük meg a következő geometriai feladat megoldása során, hogy milyen négyszöggel van dolgunk? Három fő jellemzője van, amellyel pontosan meghatározhatja, hogy téglalapról beszélünk. Nevezzük őket:

• az ábra egy négyszög, amelynek három szöge egyenlő 90°-kal;
• a bemutatott négyszög egyenlő átlójú paralelogramma;
• paralelogramma, amelynek legalább egy derékszöge van.

Érdekes tudni: mi a konvex, annak jellemzői és jelei.

Mivel a téglalap paralelogramma (azaz olyan négyszög, amelynek páronként párhuzamos ellentétes oldalai vannak), így minden tulajdonsága és jellemzője teljesül számára.

Képletek az oldalak hosszának kiszámításához

téglalapban a szemközti oldalak egyenlőek és egymással párhuzamosak. A hosszabb oldalt általában hossznak (a-val jelölve), a rövidebb oldalt szélességnek (b-vel) nevezzük. A képen látható téglalapban a hosszúságok AB és CD oldalak, a szélességek pedig AC és B.D. Ezek szintén merőlegesek az alapokra (azaz magasságok).

Az oldalak megtalálásához használhatja az alábbi képleteket. Konvenciók vannak bennük: a - a téglalap hossza, b - szélessége, d - az átló (két egymással szemben fekvő szög csúcsait összekötő szakasz), S - az ábra területe, P - a kerület, α - az átló és a hossz közötti szög, β mindkét átló által alkotott hegyesszög. Az oldalak hosszának meghatározásának módjai:

• Az átló és az ismert oldal használatával: a \u003d √ (d ² - b ²), b \u003d √ (d ² - a ²).
• Az ábra területe és az egyik oldala szerint: a = S / b, b = S / a.
• A kerület és az ismert oldal felhasználásával: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• Az átlón és a hosszon át: a = d sinα, b = d cosα.
• Az átlón és a β szögön keresztül: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Kerület és terület

A négyszög kerületét ún az összes oldala hosszának összege. A kerület kiszámításához a következő képletek használhatók:

• Mindkét oldalon keresztül: P = 2 (a + b).
• A területen és az egyik oldalon keresztül: P \u003d (2S + 2a ²) / a, P \u003d (2S + 2b ²) / b.

A terület egy kerülettel határolt tér. A terület kiszámításának három fő módja:

• Mindkét oldal hosszán keresztül: S = a*b.
• A kerület és bármely ismert oldal használatával: S \u003d (Pa - 2 a ²) / 2; S = (Pb - 2b²) / 2.
• Átlósan és β szög: S = 0,5 d² sinβ.

Az iskolai matematika tantárgy feladataiban gyakran megkövetelik a jó ismerete egy téglalap átlóinak tulajdonságai. Felsoroljuk a főbbeket:

1. Az átlók egyenlőek egymással, és metszéspontjuknál két egyenlő szegmensre vannak osztva.
2. Az átlót a két oldal összegének négyzetének gyökeként határozzuk meg (a Pitagorasz-tételből következik).
3. Az átló a téglalapot két derékszögű háromszögre osztja.
4. A metszéspont egybeesik a körülírt kör középpontjával, maguk az átlók pedig egybeesnek az átmérőjével.

Az átló hosszának kiszámításához a következő képleteket használjuk:

• Az ábra hosszának és szélességének felhasználásával: d = √ (a ² + b ²).
• A négyszög köré körülírt kör sugarát használva: d = 2 R.

A négyzet definíciója és tulajdonságai

A négyzet egy rombusz, paralelogramma vagy téglalap speciális esete. Különbsége ezektől az ábráktól az, hogy minden szöge derékszögű, és mind a négy oldala egyenlő. A négyzet szabályos négyszög.

A négyszöget négyzetnek nevezzük a következő esetekben:

1. Ha olyan téglalapról van szó, amelynek a hossza és b szélessége egyenlő.
2. Ha ez egy rombusz egyenlő hosszúságú átlókkal és négy derékszöggel.

A négyzet tulajdonságai közé tartozik a téglalaphoz kapcsolódó összes korábban tárgyalt tulajdonság, valamint a következők:

1. Az átlók merőlegesek egymásra (rombusz tulajdonsága).
2. A metszéspont egybeesik a beírt kör középpontjával.
3. Mindkét átló a négyszöget négy azonos derékszögű és egyenlő szárú háromszögre osztja.

Íme néhány gyakran használt képlet négyzet kerületének, területének és elemeinek kiszámítása:

• d átló = a √2.
• Kerület P = 4 a.
• S terület = a².
• A körülírt kör sugara az átló fele: R = 0,5 a √2.
• A beírt kör sugara az oldalhossz fele: r = a / 2.

Mintakérdések és feladatok

Elemezzünk néhány kérdést, amelyekkel az iskolai matematika tanulása során találkozhat, és oldjunk meg néhány egyszerű feladatot.

1. feladat. Hogyan fog megváltozni egy téglalap területe, ha az oldalak hosszát megháromszorozzuk?

Megoldás : Jelöljük az eredeti ábra területét S0-nak, a négyszög területét pedig háromszoros oldalhosszúsággal - S1. A korábban vizsgált képlet szerint kapjuk: S0 = ab. Most növeljük meg a hosszt és a szélességet háromszorosára, és írjuk fel: S1= 3 a 3 b = 9 ab. S0 és S1 összehasonlítása során nyilvánvalóvá válik, hogy a második terület 9-szer nagyobb, mint az első.

1. kérdés: A derékszögű négyszög négyzet?

Megoldás : A definícióból következik, hogy egy derékszögű alak csak akkor négyzet, ha minden oldalának hossza egyenlő. Ellenkező esetben az ábra egy téglalap.

2. feladat. Egy téglalap átlói 60 fokos szöget zárnak be. A téglalap szélessége 8. Számítsa ki, mekkora az átlója!

Megoldás: Emlékezzünk vissza, hogy az átlókat a metszéspont felezi. Tehát egy egyenlő szárú háromszöggel van dolgunk, amelynek csúcsa 60°-os szöget zár be. Mivel a háromszög egyenlő szárú, az alapnál lévő szögek is azonosak lesznek. Egyszerű számításokkal azt kapjuk, hogy mindegyik egyenlő 60 °-kal. Ebből következik, hogy a háromszög egyenlő oldalú. Az általunk ismert szélesség a háromszög alapja, tehát az átló fele is 8, a teljes átló hossza pedig ennek kétszerese és egyenlő 16-tal.

2. kérdés: Egy téglalap minden oldala egyenlő vagy nem?

Megoldás : Elegendő emlékeztetni arra, hogy egy négyzet minden oldalának egyenlőnek kell lennie, ami a téglalap speciális esete. Minden más esetben elegendő feltétel legalább 3 derékszög megléte. A felek egyenjogúsága nem kötelező szempont.

3. feladat. A négyzet területe ismert, és egyenlő 289-cel. Határozza meg a beírt és körülírt körök sugarát.

Megoldás : A négyzet képletei szerint a következő számításokat hajtjuk végre:

• Határozzuk meg, hogy a négyzet fő elemei mivel egyenlők: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
• Számítsuk ki, hogy mekkora a négyszög körül leírt kör sugara: R = 0,5 d = 8,5√2.
• Határozzuk meg a beírt kör sugarát: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.

Meghatározás. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak.

Ingatlan. A paralelogrammában a szemközti oldalak egyenlőek és a szemközti szögek egyenlőek.

Ingatlan. A paralelogramma átlóit a metszéspont felezi.

1 paralelogramma jele. Ha egy négyszög két oldala egyenlő és párhuzamos, akkor a négyszög paralelogramma.

2 paralelogramma jele. Ha egy négyszög szemközti oldalai páronként egyenlőek, akkor a négyszög paralelogramma.

paralelogramma 3 jele. Ha egy négyszögben az átlók metszik egymást, és a metszéspontot felezzük, akkor ez a négyszög paralelogramma.

Meghatározás. A trapéz olyan négyszög, amelynek két oldala párhuzamos, a másik két oldala nem párhuzamos. Párhuzamos oldalak ún okokból.

A trapéz ún egyenlő szárú (egyenlő szárú) ha oldalai egyenlők. Egy egyenlő szárú trapézban az alapoknál egyenlő szögek egyenlőek.

négyszögletes.

a trapéz középvonala. A középső vonal párhuzamos az alapokkal és egyenlő azok felével.

Téglalap

Meghatározás.

Ingatlan. Egy téglalap átlói egyenlőek.

Téglalap jel. Ha egy paralelogramma átlói egyenlőek, akkor a paralelogramma téglalap.

Meghatározás.

Ingatlan. A rombusz átlói egymásra merőlegesek, és felezik a szögeit.

Meghatározás.

A négyzet egy bizonyos típusú téglalap, és egy bizonyos típusú rombusz is. Ezért minden tulajdonsága megvan.

Tulajdonságok:
1. A négyzet minden sarka jobbra esik

Az összes szabályt négyszögbe zárja

Kulcsszavak:
négyszög, konvex, szögek összege, négyszög területe

négyszögábrát nevezzük, amely négy pontból és négy, ezeket sorba kötõ szakaszból áll. Ebben az esetben ezek közül a pontok közül három nem lehet egy egyenesen, és az őket összekötő szakaszok nem metszhetik egymást.

• A négyszög csúcsait ún szomszédos ha azok valamelyik oldalának a végei.
• Csúcsok, amelyek nem szomszédok , hívott szemben .
• A négyszög ellentétes csúcsait összekötő szakaszokat nevezzük Diagonal vonalok .
• A négyszög azon oldalait, amelyek ugyanabból a csúcsból származnak, nevezzük szomszédos a felek.
• Azokat az oldalakat, amelyeknek nincs közös vége, ún szemben a felek.
• A négyszöget ún konvex , ha valamelyik oldalát tartalmazó egyeneshez képest egy félsíkban helyezkedik el.

A négyszögek fajtái

1. Paralelogramma Négyszög, amelynek ellentétes oldalai párhuzamosak
   • Téglalap minden derékszögű paralelogramma
   • Rombusz - paralelogramma, amelynek minden oldala egyenlő
   • Négyzet - egy téglalap, amelynek minden oldala egyenlő
2. Trapéz - olyan négyszög, amelyben két oldal párhuzamos, a másik két oldal pedig nem párhuzamos
3. Deltoid Olyan négyszög, amelynek két szomszédos oldalpárja egyenlő

Négyszögek

négyszögábrát nevezzük, amely négy pontból és négy, ezeket sorba kötõ szakaszból áll. Ebben az esetben a pontok közül három nem esik ugyanazon az egyenesen, és az őket összekötő szakaszok nem metszik egymást.

szemben. szemben.

A négyszögek fajtái

Paralelogramma

Paralelogramma négyszögnek nevezzük, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak.

A paralelogramma tulajdonságai

• az ellentétes oldalak egyenlőek;
• ellentétes szögek egyenlőek;
• az átlók négyzeteinek összege egyenlő az összes oldal négyzeteinek összegével:

A párhuzamos diagram jellemzői

Trapéz Négyszöget nevezünk, amelyben két szemközti oldal párhuzamos, a másik kettő pedig nem párhuzamos.

A trapéz párhuzamos oldalait annak nevezzük okokbólés a nem párhuzamos oldalak oldalain. Az oldalak felezőpontjait összekötő szakaszt ún középső vonal.

A trapéz ún egyenlő szárú(vagy egyenlő szárú), ha oldalai egyenlők.

Egy derékszögű trapézt nevezünk négyszögletes.

Trapéz tulajdonságai

A trapéz jelei

Téglalap

Téglalap Paralelogrammának nevezzük, ha minden szög derékszög.

Téglalap tulajdonságai

Téglalap jellemzők

A paralelogramma téglalap, ha:

1. Az egyik sarka megfelelő.
2. Átlói egyenlők.

Rombusz Akkor hívunk paralelogrammát, ha minden oldal egyenlő.

Rombusz tulajdonságai

• a paralelogramma összes tulajdonsága;
• az átlók merőlegesek;

Rombusz jelei

Négyzet Olyan téglalapot nevezünk, amelynek minden oldala egyenlő.

Négyzet alakú ingatlanok

• a négyzet minden sarka helyes;
• a négyzet átlói egyenlőek, egymásra merőlegesek, a metszéspont ketté, a négyzet sarkai pedig felezve.

Négyzet alakú jelek

Alapképletek

S=d 1 d 2 bűn

Paralelogramma
aés b- szomszédos felek; - a köztük lévő szög; h a - magasság oldalra a.

S = ab sin

S=d 1 d 2 bűn

Trapéz
aés b- indok; h- a köztük lévő távolság; l- középső vonal .

Téglalap

S=d 1 d 2 bűn

S = a 2 bűn

S=d 1 d 2

Négyzet
d- átlós.

www.univer.omsk.su

A négyszögek tulajdonságai. A négyszögek fajtái. Tetszőleges négyszögek tulajdonságai. A paralelogramma tulajdonságai. A rombusz tulajdonságai. Téglalap tulajdonságai. Négyzet alakú ingatlanok. trapéz tulajdonságai. Körülbelül 7-9 évfolyam (13-15 éves)

A négyszögek tulajdonságai. A négyszögek fajtái. Tetszőleges négyszögek tulajdonságai.
A paralelogramma tulajdonságai. A rombusz tulajdonságai. Téglalap tulajdonságai. Négyzet alakú ingatlanok. trapéz tulajdonságai.

A négyszögek típusai:

• Paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak

• Rombusz paralelogramma, amelynek minden oldala egyenlő.

• Téglalap egy paralelogramma, amelynek minden derékszöge van.

• Négyzet egy téglalap, amelynek minden oldala egyenlő.

Tetszőleges négyszögek tulajdonságai:

A paralelogramma tulajdonságai:

A rombusz tulajdonságai:

A téglalap tulajdonságai:

Négyzet tulajdonságai:

A trapéz tulajdonságai:

Tanácsadás és műszaki
oldal támogatása: Zavarka Team

Az összes szabályt négyszögbe zárja

Nem euklideszi geometria, a geometriához hasonló geometria Eukleidész annyiban, hogy meghatározza az alakok mozgását, de abban különbözik az euklideszi geometriától, hogy öt posztulátuma közül egyet (második vagy ötödik) a tagadása helyettesíti. Az egyik euklideszi posztulátum megtagadása (1825) jelentős gondolattörténeti esemény volt, mert ez volt az első lépés afelé. relativitás-elmélet.

Eukleidész második posztulátuma azt állítja bármely vonalszakasz korlátlanul meghosszabbítható. Eukleidész láthatóan úgy gondolta, hogy ez a posztulátum azt az állítást is tartalmazza, hogy az egyenes végtelen hosszúságú. azonban Az "elliptikus" geometriában minden egyenes véges, és a körhöz hasonlóan zárt.

Az ötödik posztulátum kimondja, hogy ha egy egyenes úgy metszik két adott egyenest, hogy az egyik oldalán lévő két belső szög összege kisebb, mint két derékszög, akkor ez a két egyenes, ha korlátlanul meghosszabbodik, azon az oldalon metszi egymást, ahol ezek a szögek kisebbek, mint két egyenes összege. De a "hiperbolikus" geometriában létezhet egy CB egyenes (lásd az ábrát), amely a C pontban merőleges egy adott r egyenesre, és egy másik s egyenest hegyesszögben metsz a B pontban, de ennek ellenére a végtelen r és s soha nem fog keresztezni .

Ezekből az átdolgozott posztulátumokból az következett, hogy egy háromszög szögeinek összege, amely euklideszi geometriában 180°, elliptikus geometriában 180°-nál nagyobb, hiperbolikus geometriában pedig 180°-nál kisebb.

Négyszög

Négyszög egy sokszög, amely négy csúcsot és négy oldalt tartalmaz.

Négyszög, geometriai alakzat - négy sarkú sokszög, valamint bármilyen tárgy, ilyen formájú eszköz.

A négyszög két nem szomszédos oldalát nevezzük szemben. Két nem szomszédos csúcsot is hívnak szemben.

A négyszögek konvexek (mint az ABCD) és
nem domború (A 1 B 1 C 1 D 1).

A négyszögek fajtái

• Paralelogramma- olyan négyszög, amelyben minden szemközti oldal párhuzamos;
• Téglalap- minden derékszögű négyszög;
• Rombusz- négyszög, amelyben minden oldal egyenlő;
• Négyzet- olyan négyszög, amelyben minden szög derékszögű és minden oldal egyenlő;
• Trapéz- négyszög, amelynek két szemközti oldala párhuzamos;
• Deltoid Olyan négyszög, amelynek két szomszédos oldalpárja egyenlő.

Paralelogramma

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak.

Parallelogramma (a görög parallelos - párhuzamos és gramme - egyenes szóból), azaz párhuzamos egyeneseken fekszik. A paralelogramma speciális esetei a téglalap, a négyzet és a rombusz.

• az ellentétes oldalak egyenlőek;
• ellentétes szögek egyenlőek;
• a metszéspont átlóit ketté kell osztani;
• az egyik oldallal szomszédos szögek összege 180°;
• az átlók négyzeteinek összege egyenlő az összes oldal négyzetösszegével.

A négyszög paralelogramma, ha:

1. Két szemközti oldala egyenlő és párhuzamos.
2. A szemközti oldalak páronként egyenlőek.
3. Az ellentétes szögek páronként egyenlőek.
4. A metszéspont átlóit ketté kell osztani.

Téglalap

A téglalap egy olyan paralelogramma, amelynek minden derékszöge van.

• az ellentétes oldalak egyenlőek;
• ellentétes szögek egyenlőek;
• a metszéspont átlóit ketté kell osztani;
• az egyik oldallal szomszédos szögek összege 180°;
• az átlók egyenlők.

A paralelogramma téglalap, ha:

1. Az egyik sarka megfelelő.
2. Átlói egyenlők.

A rombusz olyan paralelogramma, amelynek minden oldala egyenlő.

• az ellentétes oldalak egyenlőek;
• ellentétes szögek egyenlőek;
• a metszéspont átlóit ketté kell osztani;
• az egyik oldallal szomszédos szögek összege 180°;
• az átlók négyzeteinek összege egyenlő az összes oldal négyzetösszegével;
• az átlók merőlegesek;
• az átlók a szögfelezők.

A paralelogramma rombusz, ha:

1. Két szomszédos oldala egyenlő.
2. Átlói merőlegesek.
3. Az egyik átló a szögfelezője.

A négyzet olyan téglalap, amelynek minden oldala egyenlő.

• a négyzet minden sarka helyes;
• a négyzet átlói egyenlőek, egymásra merőlegesek, a metszéspont ketté, a négyzet sarkai pedig felezve.

1. A téglalap négyzet, ha van valamilyen rombusz jellemzője.

A trapéz olyan négyszög, amelyben két szemközti oldal párhuzamos, a másik kettő pedig nem párhuzamos.

A trapéz párhuzamos oldalait alapjainak, a nem párhuzamos oldalait pedig oldalainak nevezzük. Az oldalak felezőpontjait összekötő szakaszt középvonalnak nevezzük.

Egy trapézt egyenlő szárúnak (vagy egyenlő szárúnak) nevezünk, ha az oldalai egyenlőek.

Az egy derékszögű trapézt derékszögű trapéznek nevezzük.

• középvonala párhuzamos az alapokkal és egyenlő azok felével;
• ha a trapéz egyenlő szárú, akkor az átlói egyenlőek és az alapnál lévő szögek egyenlőek;
• ha a trapéz egyenlő szárú, akkor kör írható le körülötte;
• ha az alapok összege egyenlő az oldalak összegével, akkor kör írható bele.

1. Egy négyszög trapéz, ha párhuzamos oldalai nem egyenlőek

Deltoid Egy négyszög, amelynek két oldala egyforma hosszú. A paralelogrammától eltérően két pár szomszédos oldal nem egyenlő, hanem két pár szomszédos oldal. A deltoid sárkány alakú.

• Az egyenlőtlen hosszúságú oldalak közötti szögek egyenlőek.
• A deltoid átlói (vagy nyúlványaik) derékszögben metszik egymást.
• Bármely konvex deltoidba kör írható, ezen kívül, ha a deltoid nem rombusz, akkor van még egy kör, amely érinti mind a négy oldal kiterjesztését. Egy nem domború deltoid esetében meg lehet alkotni egy kört, amely két nagyobb oldalt és két kisebb oldal kiterjesztését érinti, és egy kört, amely két kisebb oldalt és két nagyobb oldal kiterjesztését érinti.

• Ha a deltoid egyenlőtlen oldalai közötti szög egyenes, akkor abba kör írható (a leírt deltoid).
• Ha a deltoid két szemközti oldala egyenlő, akkor az ilyen deltoid egy rombusz.
• Ha a deltoid két szemközti oldala és mindkét átlója egyenlő, akkor a deltoid négyzet. Az egyenlő átlójú, feliratos deltoid is négyzet.

A geometria megjelenése az ókorba nyúlik vissza, és az emberi tevékenység gyakorlati szükségletei miatt következett be (földmérési igény, különféle testek térfogatának mérése stb.).

A legegyszerűbb geometriai információkat és fogalmakat az ókori Egyiptomban ismerték. Ebben az időszakban a geometriai állításokat bizonyítás nélkül megadott szabályok formájában fogalmazták meg.

A Kr.e. 7. századtól e. a Kr.u. 1. századig e. a geometria mint tudomány gyorsan fejlődött az ókori Görögországban. Ebben az időszakban nemcsak a különféle geometriai információk felhalmozása zajlott, hanem a geometriai állítások bizonyításának módszertana is kidolgozásra került, és megtörténtek az első kísérletek a geometria alapvető elsődleges rendelkezéseinek (axiómáinak) megfogalmazására, amelyekből számos különböző geometriai. Az állítások tisztán logikai érveléssel származnak. A geometria fejlettségi szintje az ókori Görögországban tükröződik Eukleidész „Kezdetek” című művében.

Ebben a könyvben először tettek kísérletet arra, hogy meghatározatlan geometriai alapfogalmak és axiómák (posztulátumok) alapján a planimetria szisztematikus felépítését adja meg.

A matematika történetében különleges helyet foglal el Eukleidész ötödik posztulátuma (a párhuzamos egyenesek axiómája). A matematikusok sokáig sikertelenül próbálták levezetni az ötödik posztulátumot Eukleidész többi posztulátumából, és csak a 19. század közepén, N. I. Lobacsevszkij, B. Riemann és J. Boyai tanulmányainak köszönhetően vált világossá, hogy az ötödik posztulátum nem vezethető le a többiből, és nem az Eukleidész által javasolt axiómarendszer az egyetlen lehetséges.

Euklidész „elemei” óriási hatással voltak a matematika fejlődésére. Ez a könyv több mint kétezer éve nemcsak a geometria tankönyve, hanem számos matematikai tanulmány kiindulópontjaként szolgált, amelyek eredményeként a matematika új, önálló ágai keletkeztek.

A geometria szisztematikus felépítése általában a következő terv szerint történik:

ÉN. Felsoroljuk a fő geometriai fogalmakat, amelyeket definíciók nélkül vezetünk be.

II. Adjuk a geometria axiómáinak megfogalmazását.

III. Axiómák és geometriai alapfogalmak alapján további geometriai fogalmak és tételek fogalmazódnak meg.

1. A nemeuklideszi geometria név eredete?
2. Milyen alakzatokat nevezünk négyszögeknek?
3. A paralelogramma tulajdonságai?
4. A négyszögek típusai?

A felhasznált források listája

1. A.G. Tsypkin. Matematika kézikönyve
2. „Egységes államvizsga 2006. Matematika. Oktatási és képzési anyagok a diákok felkészítéséhez / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "A M. I. Scanavi által szerkesztett gyűjtemény matematikai főbb versenyfeladatainak megoldása"

Dolgozunk a leckén

Felvethet egy kérdést a modern oktatással kapcsolatban, megfogalmazhat egy ötletet vagy megoldhat egy sürgős problémát a címen Oktatási Fórum ahol a friss gondolatok és cselekvések oktatási tanácsa találkozik nemzetközi szinten. Miután létrehozta blog, Nemcsak hozzáértő tanári státuszát javítja, hanem jelentős mértékben hozzájárul a jövő iskolájának fejlődéséhez is. Oktatási Vezetők Céhe megnyitja az ajtót a legkiválóbb szakemberek előtt, és együttműködésre hívja Önt a világ legjobb iskoláinak létrehozása érdekében.

Népszerű:

• 282. cikk Gyűlölet vagy ellenségeskedés, valamint az emberi méltóság megaláztatása
• Társasági vagyonadó kalkulátor A társasági vagyonadó kiszámítása Változott az előlegfizetés számítási formája. A 2017. első félévi beszámolóval kezdődően a társasági vagyonadó számítása […]
• Az ökológia törvényei A populációk és közösségek több mint 100 éves átfogó tanulmányozása során hatalmas mennyiségű tény halmozódott fel. Közülük - nagy számban, amelyek véletlenszerű vagy szabálytalan jelenségeket és folyamatokat tükröznek. De nem […]
• Nyugdíjbiztosítási lehetőségek a kötelező nyugdíjbiztosítási rendszerben 2015 végéig az 1967-ben született és annál fiatalabb állampolgárok választhattak: tovább képeznek nyugdíj-előtakarékosságot vagy […]
• A Földművelésügyi Minisztérium rendelete 549 Bejegyezve az Orosz Föderáció Igazságügyi Minisztériumában 2009. március 5-én N 13476 AZ OROSZ FÖDERÁCIÓ MEZŐGAZDASÁGI MINISZTÉRIUMA, 2008. december 16-án N 532 AZ OSZTÁLYOSÍTÁS OSZTÁLYOSÍTÁSÁNAK JÓVÁHAGYÁSÁRÓL ERDŐK ÉS […]
• A fogyatékkal élő gyermekek nyugdíjának emelése 2018. január 1-től Az állampolgárok nyugdíjbiztosítása az államot terhelő kötelezettség. Ezt az ország törvénykönyve – az Alkotmány – tartalmazza. A fogyatékkal élők között, akiknek szükségük van […]
• A JSC RZD JSC "RUSSAN RAILWAYS" belső rendi szabályzata 2012. július 26-i N 87 SZÁMÚ RENDELÉS A REGIONÁLIS SZOLGÁLTATÁSOK ÉS AZ UTASSZÁLLÍTÁSOK FEJLESZTÉSI OSZTÁLYA BELSŐ MUNKAVÉGZÉSI SZABÁLYZATÁNAK JÓVÁHAGYÁSÁRÓL
• A komte pozitivizmus, mint filozófiai mozgalom 3 szakaszának törvénye abból a felfogásból indul ki, hogy a világról, az emberről és a társadalomról szóló tudás zömét speciális tudományokban szerzik meg, és hogy a „pozitív” tudománynak fel kell hagynia a kísérletekkel […]

Ma egy geometriai alakzatot fogunk figyelembe venni - egy négyszöget. Ennek az alaknak a nevéből már világossá válik, hogy ennek az alaknak négy sarka van. De az ábra többi jellemzőjét és tulajdonságait az alábbiakban megvizsgáljuk.

Mi az a négyszög

A négyszög olyan sokszög, amely négy pontból (csúcsból) és négy szakaszból (oldalból) áll, amelyek ezeket a pontokat páronként összekötik. Egy négyszög területe az átlói és a köztük lévő szög szorzatának a fele.

A négyszög olyan sokszög, amelynek négy csúcsa van, amelyek közül három nem ugyanazon az egyenesen fekszik.

A négyszögek fajtái

• Azt a négyszöget, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak, paralelogrammának nevezzük.
• Trapéznek nevezzük azt a négyszöget, amelyben két szemközti oldal párhuzamos, a másik kettő pedig nem.
• A derékszögű négyszög téglalap.
• Az a négyszög, amelynek minden oldala egyenlő, rombusz.
• Négyzetnek nevezzük azt a négyszöget, amelynek minden oldala egyenlő, és minden szöge derékszögű.

A négyszög lehet:

önmagát metsző

nem domború

konvex

Önmetsző négyszög olyan négyszög, amelynek bármelyik oldalán van metszéspont (az ábrán kékkel).

Nem konvex négyszög olyan négyszög, amelyben az egyik belső szög nagyobb, mint 180 f (az ábrán narancssárga színnel jelölve).

Szögek összege minden olyan négyszög, amely nem metszi önmagát, mindig 360 fokkal egyenlő.

A négyszögek speciális típusai

A négyszögek további tulajdonságokkal rendelkezhetnek, amelyek speciális geometriai alakzatokat alkotnak:

• Paralelogramma
• Téglalap
• Négyzet
• Trapéz
• Deltoid
• Ellenparallelogramma

Négyszög és kör

Kör köré írt négyszög (négyszögbe írt kör).

A körülírt négyszög fő tulajdonsága:

Négyszög akkor és csak akkor írható körbe, ha a szemközti oldalak hosszának összege egyenlő.

Körbe írt négyszög (négyszög köré írt kör)

A beírt négyszög fő tulajdonsága:

Négyszög akkor és csak akkor írható be a körbe, ha a szemközti szögek összege 180 fok.

Négyszög oldalhossz tulajdonságai

A négyszög bármely két oldalának különbségi modulusa nem haladja meg másik két oldalának összegét.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

Fontos. Az egyenlőtlenség igaz a négyszög oldalainak bármely kombinációjára. Az ábra kizárólag a könnyebb érthetőség érdekében készült.

Bármelyik négyszögben három oldala hosszának összege nem kisebb, mint a negyedik oldal hossza.

Fontos. Az iskolai tantervön belüli problémák megoldása során szigorú egyenlőtlenséget alkalmazhat (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Meghatározás. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak.

Ingatlan. A paralelogrammában a szemközti oldalak egyenlőek és a szemközti szögek egyenlőek.

Ingatlan. A paralelogramma átlóit a metszéspont felezi.

1 paralelogramma jele. Ha egy négyszög két oldala egyenlő és párhuzamos, akkor a négyszög paralelogramma.

2 paralelogramma jele. Ha egy négyszög szemközti oldalai páronként egyenlőek, akkor a négyszög paralelogramma.

paralelogramma 3 jele. Ha egy négyszögben az átlók metszik egymást, és a metszéspontot felezzük, akkor ez a négyszög paralelogramma.

Meghatározás. A trapéz olyan négyszög, amelynek két oldala párhuzamos, a másik két oldala nem párhuzamos. Párhuzamos oldalak ún okokból.

A trapéz ún egyenlő szárú (egyenlő szárú) ha oldalai egyenlők. Egy egyenlő szárú trapézban az alapoknál egyenlő szögek egyenlőek.

Egy derékszögű trapézt nevezünk négyszögletes.

Az oldalak felezőpontjait összekötő szakaszt ún a trapéz középvonala. A középső vonal párhuzamos az alapokkal és egyenlő azok felével.

Meghatározás. A téglalap egy olyan paralelogramma, amelynek minden derékszöge van.

Ingatlan. Egy téglalap átlói egyenlőek.

Téglalap jel. Ha egy paralelogramma átlói egyenlőek, akkor ez a paralelogramma téglalap.

Meghatározás. A rombusz olyan paralelogramma, amelynek minden oldala egyenlő.

Ingatlan. A rombusz átlói egymásra merőlegesek, és felezik a szögeit.

Meghatározás. A négyzet olyan téglalap, amelynek minden oldala egyenlő.

A négyzet egy bizonyos típusú téglalap, és egy bizonyos típusú rombusz is. Ezért minden tulajdonsága megvan.

Tulajdonságok:
1. A négyzet minden sarka jobbra esik

2. A négyzet átlói egyenlőek, egymásra merőlegesek, a metszéspontot ketté kell osztani, a négyzet sarkait pedig ketté kell osztani.

Négy sarokkal és négy oldallal. A négyszöget egy zárt vonallánc alkotja, amely négy láncszemből és a sík azon részéből áll, amely a vonalláncon belül van.

A négyszög jelölését a csúcsaiban lévő betűk alkotják, sorrendben elnevezve azokat. Például azt mondják vagy írják: négyszög ABCD :

Egy négyszögben ABCD pontokat A, B, Cés D- ez négyszög csúcsok, szegmensek AB, időszámításunk előtt, CDés DA - oldalain.

Az azonos oldalhoz tartozó csúcsokat nevezzük szomszédos, a nem szomszédos csúcsokat hívjuk szemben:

Egy négyszögben ABCD csúcsok Aés B, Bés C, Cés D, Dés A szomszédosak, és a csúcsok Aés C, Bés D- szemben. A szomszédos csúcsokban fekvő szögeket szomszédosnak is nevezik, az ellentétes csúcsoknál pedig átellenesnek.

A négyszög oldalai páronként is feloszthatók szomszédos és ellentétes oldalakra: azokat az oldalakat, amelyeknek közös csúcsuk van, ún. szomszédos(vagy összefüggő), oldalak, amelyeknek nincs közös csúcsuk - szemben:

A felek ABés időszámításunk előtt, időszámításunk előttés CD, CDés DA, DAés AB szomszédosak, és az oldalak ABés DC, HIRDETÉSés időszámításunk előtt- szemben.

Ha az ellentétes csúcsokat egy szegmens köti össze, akkor egy ilyen szakaszt hívunk meg a négyszög átlója. Ha figyelembe vesszük, hogy a négyszögben csak két pár ellentétes csúcs van, akkor csak két átló lehet:

Szegmensek ACés BD- Diagonal vonalok.

Tekintsük a konvex négyszögek fő típusait:

• Trapéz- olyan négyszög, amelyben az egyik ellentétes oldalpár párhuzamos egymással, és a másik pár nem párhuzamos.
  • Egyenlőszárú trapéz- egy trapéz, amelynek oldalai egyenlőek.
  • Téglalap alakú trapéz Az egyik derékszögű trapéz.
• Paralelogramma Olyan négyszög, amelyben mindkét szemközti oldalpár párhuzamos egymással.
  • Téglalap Olyan paralelogramma, amelyben minden szög egyenlő.
  • Rombusz Egy paralelogramma, amelynek minden oldala egyenlő.
  • Négyzet Egyenlő oldalú és szögű paralelogramma. A téglalap és a rombusz is lehet négyzet.

Konvex négyszögek saroktulajdonságai

Minden konvex négyszög a következő két tulajdonsággal rendelkezik:

1. Bármilyen 180°-nál kisebb belső szög.
2. A belső szögek összege 360°.