Kúpba írt piramis
Egy piramisról azt mondjuk, hogy bele van írva a kúpba, ha az alapja a kúp aljába van írva, és a csúcsa egybeesik a kúp csúcsával. Ebben az esetben azt mondják, hogy a kúp körül van írva a piramis körül.
A kúp akkor és csak akkor írható le a piramis körül, ha az alapja körül kör írható le.
Dia módban a válaszok és a megoldások az egér kattintása után jelennek meg
1. gyakorlat
Határozzuk meg egy szabályos háromszög alakú gúla alapjának oldalát, amely olyan kúpba van írva, amelynek alapsugara 1.
2. gyakorlat
Határozzuk meg egy szabályos négyszögletű gúla alapjának oldalát, amely olyan kúpba van írva, amelynek alapsugara 1.
3. gyakorlat
Határozzuk meg egy szabályos hatszögletű gúla alapjának oldalát, amely olyan kúpba van írva, amelynek alapsugara 1.
Kúp körül körülírt piramis
A piramisról azt mondjuk, hogy körülírt egy kúp, ha az alapja a kúp alapja körül van körülírva, és a csúcsa egybeesik a kúp csúcsával. Ebben az esetben azt mondják, hogy a kúp bele van írva a piramisba.
Kúp akkor és csak akkor írható a piramisba, ha az alapjába kör írható.
1. gyakorlat
Határozzuk meg egy szabályos háromszög alakú gúla alapjának oldalát, amely egy olyan kúp körül van körülírva, amelynek alapsugara 1.
2. gyakorlat
Határozzuk meg egy szabályos négyszög alakú gúla alapjának oldalát, amely egy olyan kúp körül van körülírva, amelynek alapsugara 1.
3. gyakorlat
Határozzuk meg egy szabályos hatszögletű gúla alapjának oldalát, amely egy olyan kúp körül van körülírva, amelynek alapsugara 1.
Kúpba írt gömb
A gömböt kúpba írtnak nevezzük, ha az alap- és oldalfelületét érinti (minden generatrixot érint). Ebben az esetben azt mondják, hogy a kúp körül van írva a gömb körül.
Egy gömb bármely kúpba beleírható (egyenes, kör alakú). Középpontja a kúp magasságában van, sugara pedig megegyezik a háromszögbe írt kör sugarával, amely a kúp tengelyirányú metszete.
Emlékezzünk vissza, hogy a sugár r a háromszögbe írt kört a képlet találja meg
Ahol S- négyzet, p– háromszög félkerete.
1. gyakorlat
Egy gömböt olyan kúpba írunk, amelynek alapsugara 1, generatrixa pedig 2. Keresse meg a sugarát.
Megoldás. Háromszög SAB egyenlő oldalú. Magasság SH egyenlő a Területtel S egyenlő a félperiméterrel p egyenlő 3. A képlet szerint r = S/p kapunk
2. gyakorlat
Egy 1 sugarú gömb van beírva egy olyan kúpba, amelynek alapsugara 2. Határozza meg a kúp magasságát!
Megoldás. Jelöljük h magasság SH kúp A képletből r = S/p nálunk van:
Ahol r = 1, a=FG= 4, p =
Az egyenlet megoldása
3. gyakorlat
A kúp alapjának sugara 1. A generatrix az alap síkjához képest 45 fokos szöget zár be. Határozza meg a beírt gömb sugarát!
Megoldás. Magasság SH kúp egyenlő 1. Generátor.
Félperiméter p egyenlő
A képlet szerint r = S/p, van
4. gyakorlat
A kúp magassága 8, így 10. Határozza meg a beírt gömb sugarát!
Megoldás. A kúp alapjának sugara 6. A háromszög területe SFG egyenlő 48, fél kerülete 16. A képlet szerint r = S/p van r = 3.
Válasz: r = 3.
5. gyakorlat
Lehet-e gömböt illeszteni egy ferde kúpba?
Válasz: Nem.
Csonkakúpba írt gömb
Egy gömbről azt mondjuk, hogy bele van írva egy csonka kúpba, ha érinti annak alap- és oldalfelületét (minden generatrixot érint). Ebben az esetben a csonka kúpról azt mondjuk, hogy egy gömb körül van körülírva.
Egy gömb beleírható egy csonka kúpba, ha a tengelymetszetébe kör írható. Ennek a körnek a sugara egyenlő lesz a beírt gömb sugarával.
1. gyakorlat
Csonka kúpba van beírva egy gömb, amelynek alapsugara 2 és 1. Határozza meg a gömb sugarát és a csonkakúp magasságát!
Megoldás. Nálunk: A 1 B=A 1 O 1 = 2, A 2 B=A 2 O 2 = 1. Ezért A 1 A 2 = 3 , A 1 C= 1.
Így,
2. gyakorlat
Egy 1 sugarú gömb van beírva egy csonka kúpba, amelynek egyik alapjának sugara 2. Határozza meg a második alap sugarát!
Megoldás. Hadd A 1 O 1 = 2. Jelöljük r = A 2 O 2 . Nálunk: A 1 A 2 = 2+ r , A 1 C= 2 – r. A Pitagorasz-tétel szerint van egy egyenlőség, amelyből az következik, hogy az egyenlőség teljesül r, találjuk
3. gyakorlat
Egy csonka kúpban a nagyobb alap sugara 2, a generatrix 60 fokos szögben dől az alap síkjához. Határozza meg a beírt gömb sugarát!
Megoldás. Vegye figyelembe, hogy a kúp tengelyirányú metszete, amelyből a csonka kúpot kapjuk, egy egyenlő oldalú háromszög, amelynek oldala 2. Sugár r egy csonkakúpba írt gömbnek egyenlő az ebbe az egyenlő oldalú háromszögbe írt kör sugara, azaz.
4. gyakorlat
A csonka kúp generatrixa 2, a tengelyirányú szakasz területe 3. Határozza meg a beírt gömb sugarát!
Megoldás. Használjuk a képletet r = S/p, Hol S– axiális metszetfelület, p – fél kerülete A mi esetünkben S= 3. A fél kerület meghatározásához emlékezzünk arra, hogy egy kör körül körülírt négyszög esetén a szemközti oldalak összege egyenlő. Ez azt jelenti, hogy a fél kerülete egyenlő a henger generatrixának kétszeresével, azaz. p = 4. Ezért r = ¾.
5. gyakorlat
Be lehet illeszteni egy gömböt egy csonka ferde kúpba?
Válasz: Nem.
Kúp körül körülírt gömb
Egy gömbről azt mondjuk, hogy körülírt egy kúp, ha a kúp csúcsa és kerülete a gömbön fekszik. Ebben az esetben azt mondják, hogy a kúp bele van írva a gömbbe.
A gömb bármely kúp körül leírható (egyenes, kör alakú). Középpontja a kúp magasságában van, sugara pedig megegyezik a háromszög körül leírt kör sugarával, amely a kúp tengelyirányú metszete.
Emlékezzünk vissza, hogy a sugár R egy háromszög körülírt körét a képlet találja meg
Ahol S- négyzet, a , b , c- a háromszög oldalai.
1. gyakorlat
A kúp köré egy gömb van körülírva, amelynek alapsugara 1 és generatrix 2. Keresse meg a sugarát.
Megoldás. Háromszög SAB egyenlő oldalú oldallal 2. Magasság SH egyenlő a Területtel S egyenlő a képlet szerint R = abc /4 S kapunk
2. gyakorlat
5 sugarú gömb van körülírva egy kúp köré, amelynek alapsugara 4. Határozza meg a magasságot h kúp
Megoldás. megvan OB = 5 , HB = 4. Ezért OH = 3. Figyelembe véve azt SO=OB= 5, megkapjuk h = 8.
Válasz: h = 8.
3. gyakorlat
A kúp alapjának sugara 1. A generatrix az alap síkjához képest 45 fokos szöget zár be. Határozza meg a körülírt gömb sugarát!
Megoldás. Háromszög SAB– téglalap alakú, egyenlő szárú. Ezért a sugár R a körülírt gömbből egyenlő a henger alapjának sugara, azaz. R= 1.
Válasz: R= 1.
4. gyakorlat
A kúp magassága 8, így 10. Határozza meg a körülírt gömb sugarát!
Megoldás. Háromszögben SAB nálunk van: SA=SB= 10, SH= 8. A Pitagorasz-tétel szerint AH = 6 és ezért S= 48. A képlet segítségével R = abc /4 S, megkapjuk
5. gyakorlat
Lehetséges-e leírni egy gömböt egy ferde kúp körül?
Válasz: Igen.
Csonkakúp körül körülírt gömb
Egy gömbről azt mondjuk, hogy körülírt egy csonka kúp, ha a csonka kúp kerülete és alapjai a gömbön fekszenek. Ebben az esetben a csonka terhet a gömbbe írva nevezzük.
Egy gömb leírható egy csonkakúp körül, ha a tengelymetszete körül kör írható le. Ennek a körnek a sugara egyenlő lesz a körülírt gömb sugarával.
1. gyakorlat
Egy gömböt írunk le egy csonka kúp körül, amelynek sugara 2 és 1, generatrixa pedig 2. Keresse meg a sugarát.
Megoldás. Jegyezze meg A 1 O 1 B 2 O 2 és O 1 B 1 B 2 A 2 – rombuszok. Háromszögek A 1 O 1 A 2 , O 1 A 2 B 2 , O 1 B 1 B 2 – egyenlő oldalú, és ezért A 1 B 1 – átmérő. Ezért, R= 2.
Válasz: R= 2,
2. gyakorlat
A csonka kúp kisebbik alapjának sugara 1, a generatrixé 2 és 45°-os szöget zár be a másik alap síkjával. Határozza meg a körülírt gömb sugarát!
Megoldás. megvan A 2 O 2 = 1, A 1 A 2 = 2, O 1 O 2 = , O.O. 1 = O 1 C= 1. Ezért O.O. 2 = 1 + és ezért
3. gyakorlat
A csonkakúp egyik alapjának sugara 4, magassága 7, a körülírt gömb sugara 5. Határozza meg a csonkakúp második alapjának sugarát!
Megoldás. megvan O.O. 1 = 3 , O.O. 2 = 4 és ezért O 2 A 2 = 3.
4. gyakorlat
Határozzuk meg egy olyan csonkakúp köré körülírt gömb sugarát, amelynek alapsugara 2 és 4, magassága pedig 5!
Megoldás. Jelöljük R a körülírt gömb sugara. Majd
Ezt figyelembe véve O 1 O 2 = 6, egyenlőségünk van
Viszonylag megoldani R, találjuk
5. gyakorlat
Leírható-e egy gömb egy csonka ferde kúp körül?
Kúpba írt gúla A gúlát kúpba írtnak nevezzük, ha az alapja a kúp aljába van írva, és a csúcsa egybeesik a kúp csúcsával. Ebben az esetben azt mondják, hogy a kúp körül van írva a piramis körül. Kúpba írt gúla Kúp akkor és csak akkor írható le a gúla körül, ha az alapja körül kör írható le. 1. feladat Keresse meg egy olyan szabályos háromszög alakú gúla alapjának oldalát, amely egy olyan kúpba van írva, amelynek alapsugara egyenlő 1-gyel. Válasz: 3. 2. Feladat. Határozza meg egy olyan szabályos négyszög alakú gúla alapjának oldalát, amely olyan kúpba van írva, amelynek alap átmérője egyenlő 1. Válasz: 2 2. 3. gyakorlat Határozza meg egy olyan szabályos hatszögletű gúla alaplapját, amely egy olyan kúpba van írva, amelynek alapsugara 1. Válasz: 1. Kúp körül körülírt gúla A gúla körülírt kúp körül van, ha az alapja körül van körülírva a kúp körül. a kúp alapja és csúcsa egybeesik a kúp csúcsával. Ebben az esetben azt mondják, hogy a kúp bele van írva a piramisba. Kúp köré körbeírt gúla Kúp akkor és csak akkor írható bele a gúlába, ha az aljába kör írható. 1. gyakorlat Határozza meg egy szabályos háromszög alakú gúla alapjának oldalát, amely egy olyan kúp körül van körülírva, amelynek alapsugara egyenlő 1-gyel. Válasz: 2 3. 2. Feladat Határozza meg a szabályos négyszög alakú gúla alapjának oldalát, amely egy olyan kúp köré van körülírva, amelynek alapsugara 1. Válasz: 2. 3. feladat Keresse meg egy szabályos hatszögletű gúla alapjának oldalát, amely egy olyan kúp körül van körülírva, amelynek alapsugara 1. Válasz: 2 3 3. Kúpba írt gömb A gömböt kúpba írtnak nevezzük, ha érinti az alapját és az oldalfelületét (érinti minden generatrixot). Ebben az esetben azt mondják, hogy a kúp körül van írva a gömb körül. Kúpba írt gömb A gömböt kúpba írtnak nevezzük, ha érinti az alapját és az oldalfelületét (érinti minden generatrixot). Ebben az esetben azt mondják, hogy a kúp körül van írva a gömb körül. Egy gömb bármely kúpba beleírható (egyenes, kör alakú). Középpontja a kúp magasságában van, sugara pedig megegyezik a háromszögbe írt kör sugarával, amely a kúp tengelyirányú metszete. Emlékezzünk vissza, hogy a háromszögbe írt kör r sugarát S az r képlettel találjuk meg, p ahol S a terület, p a háromszög fél kerülete. 1. gyakorlat Egy gömböt írunk egy kúpba, amelynek alapsugara 1 és generatrix 2. Keresse meg a sugarát. Megoldás. A SAB háromszög egyenlő oldalú. Az SH magassága 3. Az S terület egyenlő A p fél kerület egyenlő 3-mal. Az r = S/p képlet segítségével r 3 3 -ot kapunk. 3. 2. gyakorlat Egy 1 sugarú gömböt írunk egy olyan kúpba, amelynek alapsugara 2. Határozza meg a kúp magasságát! Megoldás. Jelölje h a kúp SH magasságát. Az r = S/p képletből kapunk: 2 rp h, a ahol r = 1, a = FG = 4, p = 2 Az egyenlet megoldásával h 8 3 2h 2-t kapunk. 4 óra. 2 4 óra, 2 3. gyakorlat A kúp alapjának sugara 1. A generatrix az alap síkjához képest 45°-os szöget zár be. Határozza meg a beírt gömb sugarát! Megoldás. A kúp SH magassága egyenlő 1. Generátor.2 A p fél kerülete egyenlő 1 Az r = S/p képlet alapján r 1 1 Válasz: r 2 1. 2 2 1. 2. Gyakorlat 4 A kúp magassága 8, generálva 10. Határozza meg a beírt gömbök sugarát! Megoldás. A kúp alapjának sugara 6. Az SFG háromszög területe 48, a fél kerülete 16. Az r = S/p képlet alapján r = 3. Válasz: r = 3. 5. gyakorlat Lehetséges-e gömböt beírni egy ferde kúpba? Válasz: Nem. Csonkakúpba írt gömb A gömbről azt mondjuk, hogy bele van írva egy csonka kúpba, ha érinti annak alapjait és oldalsó felületét (minden generatrixot érint). Ebben az esetben a csonka kúpról azt mondjuk, hogy egy gömb körül van körülírva. Egy gömb beleírható egy csonka kúpba, ha a tengelymetszetébe kör írható. Ennek a körnek a sugara egyenlő lesz a beírt gömb sugarával. 1. gyakorlat Egy gömböt írunk egy csonkakúpba, amelynek alapsugarai 2 és 1. Határozza meg a gömb sugarát és a csonkakúp magasságát! Megoldás. Van: A1B = A1O1= 2, A2B = A2O2= 1. Ezért A1A2 = 3, A1C = 1. O 1O 2 A 2 C A1 A 2 A1 C 2 Így r 2, h 2 2. 2 2 2. 2. gyakorlat Egy 1 sugarú gömböt írunk egy csonka kúpba, az egyik alap sugara 2. Határozza meg a második alap sugarát! Megoldás. Legyen A1O1= 2. Jelöljük r = A2O2. Van: A1A2 = 2+r, A1C = 2 – r. A Pitagorasz-tétel szerint teljesül az O 1 O 2 2 A1 A 2 2 A1 C 2 egyenlőség, amiből az következik, hogy 2 2 4 (r 2) (2 r) teljesül. Megoldva a kapott egyenlet egyenlőségét rre, 1 r-t találunk. 2 3. gyakorlat Csonkakúpban a nagyobb alap sugara 2, a generatrix az alap síkjához képest 60°-os szöget zár be. Határozza meg a beírt gömb sugarát! Megoldás. Figyeljük meg, hogy a kúp tengelyirányú metszete, amelyből a csonkakúpot kapjuk, egy egyenlő oldalú háromszög, amelynek oldala 2. A csonkakúpba írt gömb r sugara megegyezik az ebbe az egyenlő oldalú háromszögbe írt kör sugarával, azaz. 3r. 3 4. gyakorlat A csonkakúp generatrixa 2, a tengelymetszet területe 3. Határozza meg a beírt gömb sugarát! Megoldás. Használjuk az r = S/p képletet, ahol S a tengelyirányú keresztmetszeti terület, p a fél kerület. Esetünkben S = 3. A fél kerület meghatározásához emlékezzünk arra, hogy egy kör körül körülírt négyszög esetén a szemközti oldalak összege egyenlő. Ez azt jelenti, hogy a fél kerülete egyenlő a henger generatrixának kétszeresével, azaz. p = 4. Ezért r = ¾. Válasz: r 3 4 . 5. gyakorlat Lehetséges-e gömböt illeszteni egy csonka ferde kúpba? Válasz: Nem. Kúp körül körülírt gömb A gömbről azt mondjuk, hogy körülírt egy kúp, ha a kúp csúcsa és kerülete a gömbön fekszik. Ebben az esetben azt mondják, hogy a kúp bele van írva a gömbbe. Kúp köré körülírt gömb A gömb bármely kúp körül leírható (egyenes, kör alakú). Középpontja a kúp magasságában van, sugara pedig megegyezik a háromszög körül leírt kör sugarával, amely a kúp tengelyirányú metszete. Emlékezzünk vissza, hogy a háromszögre körülírt kör R sugarát az R a b c , 4S képlet határozza meg, ahol S a terület, a, b, c a háromszög oldalai. 1. gyakorlat Egy gömböt írunk le egy kúp körül, amelynek alapsugara 1, generatrixa pedig 2. Keresse meg a sugarát. Megoldás. A SAB háromszög egyenlő oldalú a 2 oldallal. SH magasság 3. S területe 3. Az R = abc/4S képlet segítségével R 2 3 3 -ot kapunk. 2. gyakorlat Egy 5 sugarú gömböt írunk körül egy kúp köré, amelynek alapsugara 4. Határozza meg a kúp h magasságát! Megoldás. OB = 5, HB = 4. Ezért OH = 3. Ha figyelembe vesszük, hogy SO = OB = 5, akkor h = 8. Válasz: h = 8. 3. feladat A kúp alapjának sugara egyenlő 1. A generatrix az alap síkjához képest 45o-os szögben hajlik. Határozza meg a körülírt gömb sugarát! Megoldás. A SAB háromszög egy téglalap alakú egyenlő szárú háromszög. Következésképpen a körülírt gömb R sugara megegyezik a henger alapjának sugarával, azaz. R = 1. Válasz: R = 1. 4. feladat A kúp magassága 8, így 10. Határozza meg a körülírt gömb sugarát! Megoldás. A SAB háromszögben a következőket kapjuk: SA = SB = 10, SH = 8. A Pitagorasz-tétel alapján AH = 6 és ezért S = 48. Az R = abc/4S képlet segítségével R 25 6-ot kapunk. 5. gyakorlat Leírható-e egy ferde kúp körüli gömb? Válasz: Igen. Csonkakúp körül körülírt gömb A gömbről azt mondjuk, hogy körülírt egy csonka kúp körül, ha a csonkakúp alapjainak körei a gömbön fekszenek. Ebben az esetben a csonka kúpról azt mondjuk, hogy egy gömbbe van beírva. Egy gömb leírható egy csonkakúp körül, ha a tengelymetszete körül kör írható le. Ennek a körnek a sugara egyenlő lesz a körülírt gömb sugarával. 1. gyakorlat Leírunk egy gömböt egy csonka kúp körül, amelynek sugara 2 és 1, a generatrix pedig 2. Keresse meg a sugarát. Megoldás. Vegye figyelembe, hogy az A1O1B2O2 és az O1B1B2A2 rombuszok. Az A1O1A2, O1A2B2, O1B1B2 háromszögek egyenlő oldalúak, ezért A1B1 az átmérő. Ezért R = 2. Válasz: R = 2, 2. gyakorlat A csonkakúp kisebbik alapjának sugara 1, a generatrix 2 és 45°-os szöget zár be a másik alap síkjával. Határozza meg a körülírt gömb sugarát! Megoldás. Van A2O2 = 1, A1A2 = 2, O1O2 = 2, OO1 = O1C = 1. Ezért OO2 = 1 + 2 és ezért R AO2 4 2 2. 3. gyakorlat Egy csonka kúp egyik alapjának sugara 4 , a magassága 7, a sugarú körülírt gömb 5. Határozza meg a csonkakúp második alapjának sugarát! Megoldás. OO1 = 3, OO2 = 4, tehát O2A2 = 3. Válasz: 3. 4. feladat Határozza meg egy olyan csonkakúpra körülírt gömb sugarát, amelynek alapsugara 2 és 4, magassága 5. Megoldás! Jelölje R a körülírt gömb sugarát. Ekkor O O1 R 2 4, OO2 R 2 1. Figyelembe véve, hogy O1O2 = 6, az 5 R 2 4 R 2 1 egyenlőség áll rendelkezésünkre. R-re megoldva R 221 5-öt kapunk. 5. gyakorlat Leírható-e egy gömb egy csonka ferde kúp körül? Válasz: Nem.
Gömb és golyó A gömb a tér minden olyan pontjának halmaza, amely adott távolságra van egy adott ponttól. Az O pontot a gömb középpontjának nevezzük. A gömb középpontját a gömb bármely pontjával összekötő szakaszt a gömb sugarának (R) nevezzük. Az AB egyenest tengelynek, a gömbbel való metszéspontjának A és B pontját pedig a gömb pólusainak nevezzük. a gömb. A gömb húrja a gömb két pontját összekötő szakasz (KN) A gömb átmérője a középpontján átmenő húr (AB) R N K
Golyó A golyó, amelynek középpontja az O pontban van, és az R sugarú, a tér azon pontjainak halmaza, amelyek az O ponttól R-t meg nem haladó távolságra helyezkednek el. A golyó egy gömb által határolt test. Egy golyót úgy alakítunk ki, hogy egy félkört a rögzített átmérője (AB) körül forgatunk. Ezt az átmérőt a golyó tengelyének nevezzük, és a megadott átmérő mindkét vége a golyó pólusa. A golyó felületét gömbnek nevezzük. R A B
A golyónak azt a részét (gömböt), amelyet valamilyen sík (ABC) levág róla, gömbszelvénynek nevezzük. Az ABC kört a gömbszakasz alapjának nevezzük. Az ABC kör N középpontjától a gömbfelülettel való metszéspontig húzott merőleges MN szakaszt a gömbszakasz magasságának nevezzük. Az M pontot a gömbszakasz csúcsának nevezzük. Golyószegmens képlete: V=1/3P 2H(3R-H)
Gömbréteg A gömbnek azt a részét, amely a gömbfelületet metsző, párhuzamos ABC és DEF sík között van, gömbölyű rétegnek nevezzük. Az ABC és DEF körök a gömböv alapjai. A gömböv alapjai közötti NK távolság a magassága.
Kúpba írt gömb Egy gömbről azt mondjuk, hogy kúpba van írva, ha érinti a kúp és alapja összes alkotóelemét. Bármilyen kúpba beleilleszthetsz egy gömböt. A gömb középpontja a kúp tengelyén fekszik, és a kúp tengelyirányú szakaszába írt kör középpontja. A kúpba írt golyó sugarának képletei: R - a beírt golyó sugara, r - a kúp alapjának sugara, l - a kúp generatrixának hossza, H - a kúp magassága, A - dőlésszög a kúp generatrixának az alapjához. l H l r Képletek: R=rtgA/2 R=Hr/(l+r) L r R R O1 A A/2
1. feladat 1. Feladat. Egy r sugarú golyót írunk egy kúpba. Határozzuk meg a kúp térfogatát, ha magassága h. Megoldás: A golyó és a kúp kombinációjának tengelyirányú metszete egy egyenlő szárú PAB háromszög, amelyet egy O középpontú és R sugarú kör köré írunk, PC = h – a kúp magassága, OD PB. A kúp térfogata, mióta vagy honnan ezért, válasz:
2. feladat Egy N magasságú kúpot írunk egy R sugarú golyóba. Határozzuk meg a szöget a kúp generatrixa és az alap síkja között! Tekintsük a golyó átmérőjű metszetét, a b) ábrán látható módon. Mint tudják, az egyenes és a sík közötti szög az egyenes és a síkra való vetülete közötti szög. Esetünkben AB egyenes vonal, AP pedig vetület. VAGY = BP-OV = H-R (ahol H a kúp magassága, R a gömb sugara) Az OAR derékszögű háromszögből a Pitagorasz-tétel segítségével határozzuk meg az AR szárat: R H Válasz: O
Konas A konas egy olyan test, amelyet az egy pontból (a konas csúcsából) kiinduló és egy sík felületen áthaladó sugarak kombinálásával nyernek. Néha a konas egy ilyen test része, amelyet egy sík felület csúcsát és pontjait összekötő összes szegmens kombinálásával nyernek (ez utóbbit ebben az esetben a konas alapjának, a konát pedig ezen az alapon nyugvónak nevezik). Ha a konas alapja egy sokszög, akkor a konas piramissá válik. Egy derékszögű háromszög egyik lába körüli elforgatásával létrehozott geometriai test
A konas elemei és részei A csúcs egy konast képező forgó derékszögű háromszög rögzített hegyesszögű pontja. Az alap a kúpot határoló kör, amelyet az alkotó háromszög mozgatható szára ír le. Az alapra merőleges szakasz magassága, amely áthalad a csúcson, az alkotó háromszög rögzített szárán, valamint ennek a szakasznak a hossza. A körülíró háromszög alapját, befogóját határoló kör csúcsát és egy pontját összekötő szakasz kialakítása. Az oldalfelület a kúpot határoló kúpos felület, amelyet a generáló háromszög befogója alkot. o p A KÚPSUGÁR CSÜCSTENGELY ALÁJÁT KÉPEZŐ OLDALFELÜLET
Csonkakúp A csonkakúp az alapokra merőleges oldal közelében egy téglalap alakú trapéz elforgatásával kialakuló forgástest. O és O1 körök az alapjai, alkotói AA1 egyenlőek egymással, az OO1 egyenes a tengelye, az OO1 szakasz a magassága. Tengelymetszete egyenlő szárú trapéz.
Kapcsolódó definíciók A tetejéről az alap síkjára merőlegesen leejtett szakaszt (valamint egy ilyen szakasz hosszát) a kúp magasságának nevezzük. Az alap tetejét és középpontját összekötő egyenest a kúp tengelyének nevezzük. Circular konas olyan konas, amelynek alapja egy kör. Az ellipszisen, parabolán vagy hiperbolán nyugvó kúpot rendre elliptikus, parabola és hiperbolikus kúpnak nevezzük (ez utóbbi kettőnek végtelen térfogata van). A kúpnak azt a részét, amely az alap és az alappal párhuzamos sík között fekszik, és a teteje és az alapja között helyezkedik el, csonkakúpnak nevezzük.
Körbe írt kúp A golyót poliéderre körülírtnak nevezzük, a golyóba írt poliédert pedig akkor, ha a golyó felülete a poliéder összes csúcsán áthalad. A golyót csonka kúp körül körülírtnak nevezzük, ha az alapok körei (alapkör és csúcs) a golyó felületéhez tartoznak. A poliéderre körülírt golyó középpontja a poliéder minden élére merőleges és azok felezőpontján átmenő síkok metszéspontjában található. A poliéder belsejében, felszínén vagy kívül helyezkedhet el. A kúp akkor írható be egy gömbbe (a gömböt egy kúp körül írjuk le), ha a csúcsa a gömbhöz tartozik, és az alapja egy adott gömb által határolt gömb (AOC) szakasza A gömb mindig leírható egy kúp körül . Középpontja a kúp tengelyén fekszik, és egybeesik a háromszög körül leírt kör középpontjával, amely a kúp tengelyirányú metszete. A B AC O Képletek: R 2 =(H-R) 2 +r 2 A golyó R-sugara r-kúp alapjának sugara H-kúp magassága
Meghatározás. A gömb ún hengerbe írva, kúp, csonka kúp, ha egy henger, kúp, csonkakúp minden generatrixa érinti a gömböt, és a henger, kúp, csonkakúp alapjának minden síkja az alap belsejében fekvő pontban érinti a gömböt.
Ebben az esetben azt mondják, hogy egy gömb körül hengert, kúpot vagy csonka kúpot írnak le.
1. tétel. Kúpba van írva egy gömb.
Be kell bizonyítanunk, hogy a gömb beleírható a kúpba. Mivel tudjuk, hogy a kúp bármely magasságán átmenő szakaszra szimmetrikus, akkor ha bebizonyítjuk, hogy egy kör bármelyik ilyen szakaszba beírható (minden kör középpontja azonos), akkor bebizonyítjuk, hogy egy kör kúpgömbbe írható.
Tekintsük a kúp egy szakaszát, amely átmegy a kúp magasságán.
A kúp keresztmetszete egy egyenlő szárú háromszög lesz, amelynek alapja BC. Az OA magasság is felező lesz. Ezért az O 1 beírt kör középpontja az OA-n lesz (egy kör, mint ismeretes, bármely háromszögbe beírható). És mivel az összes többi vizsgált szakasz egyenlő lesz az ABC-vel, következésképpen a beírt körök középpontjai egybeesnek. Ez azt jelenti, hogy a kúpba O 1 középpontú és O 1 sugarú gömb írható.
2. tétel.Egy gömb akkor és csak akkor írható a hengerbe, ha magassága megegyezik az alapok átmérőjével.
Itt olyan szakaszokat veszünk figyelembe, amelyek téglalap alakúak lesznek. Kör csak négyzetbe írható, ezért a feltétel, hogy a magasság egyenlő legyen az alap átmérőjével.
3. tétel. Egy gömb akkor és csak akkor írható be egy csonka kúpba, ha generatrixa egyenlő az alapok sugarainak összegével.
Kulcsfeladatok.
1. feladat. Két egyforma R sugarú golyó van, amelyek kívülről és síkban érintik egymást. Határozza meg a golyók és a sík érintkezési pontjai közötti távolságot!
Tekintsünk egy metszetet, amely merőleges arra a síkra, amelyen a golyók fekszenek. Mivel ezek a golyók érintik egymást, van egy sík, amelyet a K pontban érintenek. Ez a sík merőleges lesz az első síkra. Ezért az AO 1 K és KO 2 B szögek derékszögek, ezért ABO 2 O 1 téglalap. Ezért AB=2R.
2. feladat. Két R 1 és R 2 sugarú golyó fekszik a síkon, és kívülről érintkezik. Határozza meg a golyók és a sík érintkezési pontjai közötti távolságot!
Tekintsünk egy metszetet, amely merőleges arra a síkra, amelyen a golyók fekszenek. Az A és B pont a golyók és a sík érintkezési pontja. Engedjük le az O 2 K merőlegest AO 1-re. KO 1 = AO 1 -KA. Ha figyelembe vesszük, hogy KA = O 2 B = R 2, és O 1 O 2 = R 1+ R 2, akkor a Pitagorasz-tétel szerint 
. És mivel KABO 2 egy téglalap, akkor KA = AB, ezért 
