Apa ekspresi identik itu? Transformasi identitas

§ 2. Ekspresi identik, identitas. Transformasi ekspresi yang identik. Bukti identitas

Mari kita cari nilai ekspresi 2(x - 1) 2x - 2 untuk nilai variabel x yang diberikan. Mari kita tuliskan hasilnya dalam tabel:

Kita dapat sampai pada kesimpulan bahwa nilai ekspresi 2(x - 1) 2x - 2 untuk setiap nilai variabel x adalah sama satu sama lain. Menurut sifat distribusi perkalian terhadap pengurangan, 2(x - 1) = 2x - 2. Oleh karena itu, untuk nilai lain dari variabel x, nilai ekspresi 2(x - 1) 2x - 2 juga akan menjadi setara satu sama lain. Ekspresi seperti itu disebut sama secara identik.

Misalnya, ekspresi 2x + 3x dan 5x adalah sinonim, karena untuk setiap nilai variabel x ekspresi ini memperoleh nilai yang sama (ini mengikuti sifat distributif perkalian relatif terhadap penjumlahan, karena 2x + 3x = 5x).

Sekarang mari kita perhatikan ekspresi 3x + 2y dan 5xy. Jika x = 1 dan b = 1, maka nilai-nilai yang bersesuaian dari ekspresi ini sama satu sama lain:

3x + 2y =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Namun, Anda dapat menentukan nilai x dan y yang nilai ekspresi ini tidak akan sama satu sama lain. Misalnya jika x = 2; y = 0, maka

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Akibatnya, ada nilai variabel yang nilai ekspresi 3x + 2y dan 5xy yang bersesuaian tidak sama satu sama lain. Oleh karena itu, ekspresi 3x + 2y dan 5xy tidak identik sama.

Berdasarkan penjelasan di atas, identitas khususnya adalah persamaan: 2(x - 1) = 2x - 2 dan 2x + 3x = 5x.

Identitas adalah setiap persamaan yang menggambarkan sifat-sifat operasi bilangan yang diketahui. Misalnya,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Identitas mencakup persamaan berikut:

sebuah + 0 = sebuah; sebuah ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Jika kita menggabungkan suku-suku serupa dalam ekspresi -5x + 2x - 9, kita mendapatkan bahwa 5x + 2x - 9 = 7x - 9. Dalam hal ini, mereka mengatakan bahwa ekspresi 5x + 2x - 9 digantikan oleh ekspresi yang sama 7x - 9.

Transformasi identik ekspresi dengan variabel dilakukan dengan menggunakan properti operasi pada bilangan. Khususnya transformasi identik dengan tanda kurung buka, pembuatan suku serupa, dan sejenisnya.

Transformasi identik harus dilakukan ketika menyederhanakan suatu ekspresi, yaitu mengganti ekspresi tertentu dengan ekspresi yang identik sama, sehingga notasinya menjadi lebih pendek.

Contoh 1. Sederhanakan ekspresi:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 juta;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 X - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - A + 2 B + 3 B - A= 3a + 5b + 2.

Untuk membuktikan bahwa persamaan adalah suatu identitas (dengan kata lain, untuk membuktikan identitas digunakan transformasi ekspresi yang identik.

Anda dapat membuktikan identitas dengan salah satu cara berikut:

• melakukan transformasi identik pada sisi kirinya, sehingga mereduksinya menjadi bentuk sisi kanan;
• melakukan transformasi identik pada sisi kanannya, sehingga mereduksinya menjadi bentuk sisi kiri;
• melakukan transformasi identik pada kedua bagiannya, sehingga menaikkan kedua bagian ke ekspresi yang sama.

Contoh 2. Buktikan identitasnya:

1) 2x - (x + 5) - 11 = x - 16;

2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

R a s i z a n i .

1) Ubah ruas kiri persamaan ini:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Melalui transformasi identitas, ekspresi pada ruas kiri persamaan direduksi menjadi bentuk ruas kanan dan dengan demikian membuktikan bahwa persamaan tersebut adalah suatu identitas.

2) Transformasikan ruas kanan persamaan ini:

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10a - 15 B - 14a + 35 B= 20b - 4a.

Melalui transformasi identitas, sisi kanan persamaan direduksi menjadi bentuk sisi kiri dan dengan demikian membuktikan bahwa persamaan tersebut adalah sebuah identitas.

3) Dalam hal ini, akan lebih mudah untuk menyederhanakan ruas kiri dan kanan persamaan dan membandingkan hasilnya:

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 = 26x - 44;

13(2x - 5) + 21 = 26x - 65 + 21 = 26x - 44.

Melalui transformasi identik, ruas kiri dan kanan persamaan direduksi menjadi bentuk yang sama: 26x - 44. Oleh karena itu, persamaan tersebut merupakan suatu identitas.

Ekspresi apa yang disebut identik? Berikan contoh ekspresi identik. Kesetaraan seperti apa yang disebut identitas? Berikan contoh identitas. Apa yang disebut transformasi identitas suatu ekspresi? Bagaimana cara membuktikan identitas?

1. (Secara lisan) Atau ada ungkapan-ungkapan yang identik sama:

1) 2a + a dan 3a;

2) 7x+6 dan 6+7x;

3) x + x + x dan x 3 ;

4) 2(x - 2) dan 2x - 4;

5) m - n dan n - m;

6) 2a ∙ p dan 2p ∙ a?

1. Apakah ekspresi-ekspresinya sama persis:

1) 7x - 2x dan 5x;

2) 5a - 4 dan 4 - 5a;

3) 4m+n dan n+4m;

4) a + a dan a 2;

5) 3(a - 4) dan 3a - 12;

6) 5m ∙ n dan 5m + n?

1. (Secara verbal) adalah persamaan identitas Lee:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7р - 1 = -1 + 7р;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

1. Perluas tanda kurung:

1. Perluas tanda kurung:

1. Gabungkan istilah serupa:

1. Sebutkan beberapa ekspresi yang identik dengan ekspresi 2a + 3a.
2. Sederhanakan ekspresi menggunakan permutasi dan sifat ikat perkalian:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4р∙(-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 gram);

4)- x ∙<-7у).

1. Sederhanakan ekspresi:

1) -2р ∙ 3,5;

2) 7a∙(-1.2);

3) 0,2 x ∙ (-3у);

4) - 1 m ∙ (-3n).

1. (Lisan) Sederhanakan ekspresi:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a∙(-2b).

1. Gabungkan istilah serupa:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7s + 1,9g + 6,9s - 1,7g.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3(2р - 7) - 2(r - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

1. Buka tanda kurung dan gabungkan istilah serupa:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2(3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6 x + 0,4(x - 20), jika x = 2,4;

2) 1,3(2a - 1) - 16,4, jika a = 10;

3) 1,2(m - 5) - 1,8(10 - m), jika m = -3,7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y, jika x = -1, y = 1.

1. Sederhanakan ekspresi dan temukan artinya:

1) 0,7 x + 0,3(x - 4), jika x = -0,7;

2) 1,7(y - 11) - 16,3, jika b = 20;

3) 0,6(2a - 14) - 0,4(5a - 1), jika a = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n, jika m = 1,8; n = -0,9.

1. Buktikan identitasnya:

1) -(2x - y)=y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) c - 2 = 5(c + 2) - 4(c + 3).

1. Buktikan identitasnya:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

1. Panjang salah satu sisi segitiga adalah satu cm, dan panjang kedua sisi lainnya lebih besar 2 cm. Tuliskan keliling segitiga sebagai ekspresi dan sederhanakan ekspresi tersebut.
2. Lebar persegi panjang tersebut adalah x cm dan panjangnya lebih besar 3 cm dari lebarnya. Tuliskan keliling persegi panjang sebagai ekspresi dan sederhanakan ekspresi tersebut.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4р - (3р - (2р - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6a - b) - (4 a – 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

1. Buka tanda kurung dan sederhanakan ekspresi:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5 tahun - (6 tahun - (7 tahun - (8 tahun - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a – 1b).

1. Buktikan identitasnya:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) -(- 3p) - (-(8 - 5p)) = 2(4 - r);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

1. Buktikan identitasnya:

1) 12a - ((8a - 16)) = -4(4 - 5a);

2) 4(x + kamu -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. Buktikan bahwa arti dari ungkapan tersebut

1.8(m - 2) + 1.4(2 - m) + 0.2(1.7 - 2m) tidak bergantung pada nilai variabel.

1. Buktikan bahwa untuk setiap nilai variabel, nilai ekspresi

a - (a - (5a + 2)) - 5(a - 8)

adalah nomor yang sama.

1. Buktikan jumlah tiga bilangan genap berurutan habis dibagi 6.
2. Buktikan bahwa jika n bilangan asli, maka nilai persamaan -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) adalah bilangan genap.

Latihan untuk diulang

1. Suatu paduan dengan berat 1,6 kg mengandung 15% tembaga. Berapa kg tembaga yang terkandung dalam paduan ini?
2. Berapa persenkah angka 20 nya :

1) persegi;

1. Wisatawan tersebut berjalan kaki selama 2 jam dan mengendarai sepeda selama 3 jam. Total turis menempuh jarak 56 km. Hitunglah kecepatan turis tersebut mengendarai sepeda, jika kecepatannya 12 km/jam lebih besar dari kecepatan berjalannya.

Tugas menarik untuk siswa malas

1. 11 tim berpartisipasi dalam kejuaraan sepak bola kota. Setiap tim memainkan satu pertandingan melawan yang lain. Buktikan bahwa pada setiap momen kompetisi terdapat tim yang telah memainkan jumlah pertandingan genap pada saat itu atau belum memainkan satu pun pertandingan.

Setelah kita memahami konsep identitas, kita dapat melanjutkan mempelajari ekspresi identik yang setara. Tujuan artikel ini adalah untuk menjelaskan apa itu dan menunjukkan dengan contoh ekspresi mana yang identik dengan ekspresi lainnya.

Yandex.RTB RA-339285-1

Ekspresi yang identik sama: definisi

Konsep ekspresi identik yang sama biasanya dipelajari bersama dengan konsep identitas itu sendiri sebagai bagian dari kursus aljabar sekolah. Berikut adalah definisi dasar yang diambil dari salah satu buku teks:

Definisi 1

Sama persis satu sama lain akan ada ekspresi seperti itu, yang nilainya akan sama untuk setiap kemungkinan nilai variabel yang termasuk dalam komposisinya.

Juga, ekspresi numerik yang sesuai dengan nilai yang sama dianggap sama.

Ini adalah definisi yang cukup luas yang berlaku untuk semua ekspresi bilangan bulat yang maknanya tidak berubah ketika nilai variabel berubah. Namun, definisi ini kemudian perlu diperjelas, karena selain bilangan bulat, ada jenis ekspresi lain yang tidak masuk akal dengan variabel tertentu. Hal ini menimbulkan konsep diterima dan tidaknya nilai variabel tertentu, serta perlunya menentukan kisaran nilai yang diperbolehkan. Mari kita merumuskan definisi yang lebih baik.

Definisi 2

Ekspresi yang identik sama– ini adalah ekspresi yang nilainya sama satu sama lain untuk setiap nilai yang diizinkan dari variabel yang termasuk dalam komposisinya. Ekspresi numerik akan sama satu sama lain asalkan memiliki nilai yang sama.

Ungkapan "untuk setiap nilai variabel yang valid" menunjukkan semua nilai variabel yang kedua ekspresi tersebut masuk akal. Kami akan menjelaskan hal ini nanti ketika kami memberikan contoh ekspresi yang identik sama.

Anda juga dapat memberikan definisi berikut:

Definisi 3

Ekspresi yang sama identik adalah ekspresi yang terletak pada identitas yang sama di sisi kiri dan kanan.

Contoh ekspresi yang identik satu sama lain

Dengan menggunakan definisi yang diberikan di atas, mari kita lihat beberapa contoh ekspresi tersebut.

Mari kita mulai dengan ekspresi numerik.

Contoh 1

Jadi, 2 + 4 dan 4 + 2 akan sama satu sama lain, karena hasilnya akan sama (6 dan 6).

Contoh 2

Dengan cara yang sama, ekspresi 3 dan 30 sama persis: 10, (2 2) 3 dan 2 6 (untuk menghitung nilai ekspresi terakhir, Anda perlu mengetahui sifat-sifat derajat).

Contoh 3

Namun ekspresi 4 - 2 dan 9 - 1 tidak akan sama, karena nilainya berbeda.

Mari beralih ke contoh ekspresi literal. a + b dan b + a akan sama identik, dan ini tidak bergantung pada nilai variabel (persamaan ekspresi dalam hal ini ditentukan oleh sifat komutatif penjumlahan).

Contoh 4

Misalnya a sama dengan 4 dan b sama dengan 5, maka hasilnya akan tetap sama.

Contoh lain ekspresi identik dengan huruf adalah 0 · x · y · z dan 0 . Berapapun nilai variabel dalam hal ini, jika dikalikan dengan 0 akan menghasilkan 0. Ekspresi tak setara adalah 6 · x dan 8 · x, karena keduanya tidak akan sama untuk x apa pun.

Jika rentang nilai yang diperbolehkan dari variabel-variabel tersebut bertepatan, misalnya dalam ekspresi a + 6 dan 6 + a atau a · b · 0 dan 0, atau x 4 dan x, dan nilai-nilai ekspresi itu sendiri sama untuk variabel apa pun, maka ekspresi tersebut dianggap sama. Jadi, a + 8 = 8 + a untuk sembarang nilai a, dan a · b · 0 = 0 juga, karena mengalikan bilangan apa pun dengan 0 akan menghasilkan 0. Ekspresi x 4 dan x akan sama persis untuk setiap x dari interval [ 0 , + ∞) .

Namun rentang nilai valid dalam satu ekspresi mungkin berbeda dari rentang lainnya.

Contoh 5

Sebagai contoh, mari kita ambil dua ekspresi: x − 1 dan x - 1 · x x. Untuk yang pertama, kisaran nilai x yang diizinkan adalah seluruh himpunan bilangan real, dan untuk yang kedua - himpunan semua bilangan real, kecuali nol, karena kita akan mendapatkan 0 di penyebutnya, dan pembagian seperti itu tidak ditentukan. Kedua ekspresi ini memiliki rentang nilai yang sama yang dibentuk oleh perpotongan dua rentang terpisah. Kita dapat menyimpulkan bahwa kedua ekspresi x - 1 · x x dan x − 1 akan masuk akal untuk semua nilai riil variabel, kecuali 0.

Sifat dasar pecahan juga memungkinkan kita menyimpulkan bahwa x - 1 x x dan x − 1 akan sama untuk setiap x yang bukan 0. Ini berarti bahwa pada kisaran umum nilai yang diizinkan, ekspresi-ekspresi ini akan sama satu sama lain, tetapi untuk x nyata apa pun kita tidak dapat berbicara tentang kesetaraan yang identik.

Jika kita mengganti satu ekspresi dengan ekspresi lain yang identik, maka proses ini disebut transformasi identitas. Konsep ini sangat penting, dan kami akan membicarakannya secara rinci di materi terpisah.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Setelah memperoleh gambaran tentang identitas, masuk akal untuk melanjutkan ke perkenalan. Pada artikel ini kami akan menjawab pertanyaan tentang apa itu ekspresi yang identik sama, dan juga menggunakan contoh untuk memahami ekspresi mana yang identik sama dan mana yang tidak.

Navigasi halaman.

Apa ekspresi yang identik dan setara?

Definisi ekspresi identik yang sama diberikan secara paralel dengan definisi identitas. Hal ini terjadi pada kelas aljabar kelas 7. Dalam buku teks aljabar kelas 7 karya penulis Yu.N. Makarychev diberikan rumusan sebagai berikut:

Definisi.

– ini adalah ekspresi yang nilainya sama untuk setiap nilai variabel yang termasuk di dalamnya. Ekspresi numerik yang memiliki nilai identik disebut juga sama identik.

Definisi ini digunakan hingga kelas 8; definisi ini berlaku untuk ekspresi bilangan bulat, karena masuk akal untuk nilai apa pun dari variabel yang disertakan di dalamnya. Dan di kelas 8, definisi ekspresi identik yang sama diperjelas. Mari kita jelaskan apa hubungannya ini.

Di kelas 8, studi tentang jenis ekspresi lain dimulai, yang, tidak seperti ekspresi utuh, mungkin tidak masuk akal untuk beberapa nilai variabel. Hal ini memaksa kita untuk memperkenalkan definisi nilai variabel yang diperbolehkan dan tidak dapat diterima, serta kisaran nilai yang diperbolehkan dari nilai variabel variabel, dan, sebagai konsekuensinya, untuk memperjelas definisi ekspresi identik yang sama.

Definisi.

Dua ekspresi yang nilainya sama untuk semua nilai yang diizinkan dari variabel yang termasuk di dalamnya disebut ekspresi yang identik sama. Dua ekspresi numerik yang memiliki nilai yang sama disebut sama identik.

Dalam definisi ekspresi yang identik dan setara ini, perlu diperjelas arti frasa “untuk semua nilai yang diizinkan dari variabel yang termasuk di dalamnya”. Ini menyiratkan semua nilai variabel yang kedua ekspresi identiknya masuk akal pada saat yang bersamaan. Kami akan menjelaskan ide ini di paragraf berikutnya dengan melihat contoh.

Definisi ekspresi identik yang sama dalam buku teks A.G. Mordkovich diberikan sedikit berbeda:

Definisi.

Ekspresi yang identik sama– ini adalah ekspresi di sisi kiri dan kanan identitas.

Arti dari definisi ini dan definisi sebelumnya adalah sama.

Contoh ekspresi yang identik sama

Definisi yang diperkenalkan pada paragraf sebelumnya memungkinkan kita untuk memberi contoh ekspresi yang identik sama.

Mari kita mulai dengan ekspresi numerik yang identik. Ekspresi numerik 1+2 dan 2+1 sama identik, karena keduanya bersesuaian dengan nilai yang sama 3 dan 3. Ekspresi 5 dan 30:6 juga identik sama, begitu pula ekspresi (2 2) 3 dan 2 6 (nilai ekspresi terakhir adalah sama berdasarkan ). Tetapi ekspresi numerik 3+2 dan 3−2 tidak sama persis, karena keduanya sesuai dengan nilai 5 dan 1, dan keduanya tidak sama.

Sekarang mari kita berikan contoh ekspresi identik yang sama dengan variabel. Ini adalah ekspresi a+b dan b+a. Memang, untuk setiap nilai variabel a dan b, ekspresi tertulisnya mengambil nilai yang sama (sebagai berikut dari angkanya). Misalnya, dengan a=1 dan b=2 kita memiliki a+b=1+2=3 dan b+a=2+1=3 . Untuk nilai lain dari variabel a dan b, kita juga akan memperoleh nilai yang sama dari ekspresi ini. Ekspresi 0·x·y·z dan 0 juga identik sama untuk semua nilai variabel x, y dan z. Tetapi ekspresi 2 x dan 3 x tidak sama persis, karena, misalnya, ketika x=1 nilainya tidak sama. Memang benar, untuk x=1, ekspresi 2 x sama dengan 2 x 1=2, dan ekspresi 3 x sama dengan 3 x 1=3.

Ketika rentang nilai variabel yang diizinkan dalam ekspresi bertepatan, seperti, misalnya, dalam ekspresi a+1 dan 1+a, atau a·b·0 dan 0, atau dan, dan nilai ekspresi ini sama untuk semua nilai variabel dari area ini, maka semuanya jelas di sini - ekspresi ini sama untuk semua nilai yang diizinkan dari variabel yang termasuk di dalamnya. Jadi a+1≡1+a untuk sembarang a, ekspresi a·b·0 dan 0 identik sama untuk semua nilai variabel a dan b, dan ekspresi dan identik sama untuk semua x dari ; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-17. - M.: Pendidikan, 2008. - 240 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Saat mempelajari aljabar, kami menemukan konsep polinomial (misalnya ($y-x$,$\ 2x^2-2x$, dll.) dan pecahan aljabar (misalnya $\frac(x+5)(x)$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$, dll.) Kesamaan konsep ini adalah polinomial dan pecahan aljabar mengandung variabel dan nilai numerik , dan aritmatika dilakukan. tindakan: penjumlahan, pengurangan, perkalian, eksponensial. Perbedaan antara konsep-konsep ini adalah bahwa dalam polinomial pembagian dengan suatu variabel tidak dilakukan, tetapi dalam pecahan aljabar pembagian dengan suatu variabel dapat dilakukan.

Polinomial dan pecahan aljabar disebut ekspresi aljabar rasional dalam matematika. Tetapi polinomial adalah ekspresi rasional bilangan bulat, dan pecahan aljabar adalah ekspresi rasional pecahan.

Anda dapat memperoleh seluruh ekspresi aljabar dari ekspresi rasional pecahan menggunakan transformasi identitas, yang dalam hal ini akan menjadi sifat utama pecahan - reduksi pecahan. Mari kita periksa ini dalam praktiknya:

Contoh 1

Konversi:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Larutan: Persamaan rasional pecahan ini dapat diubah dengan menggunakan sifat dasar reduksi pecahan, yaitu. membagi pembilang dan penyebut dengan angka atau ekspresi yang sama selain $0$.

Pecahan ini tidak dapat langsung dikurangi; pembilangnya harus diubah.

Mari kita ubah ekspresi menjadi pembilang pecahan, untuk ini kita menggunakan rumus kuadrat selisihnya: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Pecahannya terlihat seperti ini

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\kiri(x-2\kanan)(x-2))(x-2)\]

Sekarang kita melihat bahwa pembilang dan penyebutnya mempunyai faktor persekutuan - ini adalah ekspresi $x-2$, yang dengannya kita akan mengurangi pecahan tersebut

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\kiri(x-2\kanan)(x-2))(x-2)=x-2\]

Setelah reduksi, kami menemukan bahwa ekspresi rasional pecahan asli $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ menjadi polinomial $x-2$, yaitu. seluruhnya rasional.

Sekarang mari kita perhatikan fakta bahwa ekspresi $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ dan $x-2\ $ dapat dianggap identik tidak untuk semua nilai variabel, Karena agar ekspresi rasional pecahan ada dan dapat direduksi dengan polinomial $x-2$, penyebut pecahan tidak boleh sama dengan $0$ (begitu pula dengan faktor pengurangannya. Dalam hal ini Misalnya, penyebut dan faktornya sama, namun hal ini tidak selalu terjadi).

Nilai variabel di mana pecahan aljabar akan ada disebut nilai variabel yang diizinkan.

Mari kita beri syarat pada penyebut pecahan: $x-2≠0$, lalu $x≠2$.

Artinya ekspresi $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ dan $x-2$ identik untuk semua nilai variabel kecuali $2$.

Definisi 1

Sama persis ekspresi adalah ekspresi yang sama untuk semua nilai valid variabel.

Transformasi identik adalah setiap penggantian ekspresi asli dengan ekspresi yang identik sama. Transformasi tersebut meliputi melakukan tindakan: penjumlahan, pengurangan, perkalian, mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung, membawa pecahan aljabar ke penyebut yang sama, mengurangi pecahan aljabar, membawa pecahan yang serupa. istilah, dll. Perlu diperhatikan bahwa sejumlah transformasi, seperti reduksi, reduksi suku-suku serupa, dapat mengubah nilai variabel yang diizinkan.

Teknik yang digunakan untuk membuktikan identitas

Bawa sisi kiri identitas ke kanan atau sebaliknya menggunakan transformasi identitas

Kurangi kedua ruas menjadi ekspresi yang sama menggunakan transformasi identik

Pindahkan ekspresi di satu bagian ekspresi ke bagian lain dan buktikan bahwa selisih yang dihasilkan sama dengan $0$

Manakah dari metode di atas yang digunakan untuk membuktikan identitas tertentu bergantung pada identitas aslinya.

Contoh 2

Buktikan identitasnya $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Larutan: Untuk membuktikan identitas tersebut, kita akan menggunakan cara pertama di atas, yaitu kita mentransformasikan sisi kiri dari identitas tersebut hingga sama dengan sisi kanannya.

Mari kita perhatikan sisi kiri identitas: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$ - ini mewakili selisih dua polinomial. Dalam hal ini, polinomial pertama adalah kuadrat dari jumlah tiga suku. Untuk mengkuadratkan jumlah beberapa suku, kita menggunakan rumus:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Untuk melakukan ini, kita perlu mengalikan suatu bilangan dengan polinomial. Ingatlah bahwa untuk ini kita perlu mengalikan faktor persekutuan di belakang tanda kurung dengan setiap suku polinomial di dalam tanda kurung.

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Sekarang mari kita kembali ke polinomial awal, bentuknya akan menjadi:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Perlu diketahui bahwa sebelum tanda kurung terdapat tanda “-”, artinya ketika tanda kurung dibuka maka semua tanda yang ada di dalam tanda kurung berubah menjadi sebaliknya.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Mari kita sajikan suku-suku serupa, lalu kita peroleh bahwa monomial $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ dan $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ saling meniadakan, yaitu. jumlah mereka adalah $0$.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Artinya melalui transformasi identik kita memperoleh ekspresi identik di sisi kiri identitas aslinya

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Perhatikan bahwa ekspresi yang dihasilkan menunjukkan bahwa identitas asli adalah benar.

Harap dicatat bahwa dalam identitas asli semua nilai variabel diperbolehkan, yang berarti kami membuktikan identitas tersebut menggunakan transformasi identitas, dan ini berlaku untuk semua kemungkinan nilai variabel.