Tadinya saya ingin memasukkan teknik penyebut yang sama pada bagian Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan. Namun ternyata ada begitu banyak informasi, dan pentingnya informasi tersebut begitu besar (bagaimanapun juga, tidak hanya pecahan numerik yang memiliki penyebut yang sama), sehingga lebih baik mempelajari masalah ini secara terpisah.
Jadi, misalkan kita mempunyai dua pecahan yang penyebutnya berbeda. Dan kami ingin memastikan bahwa penyebutnya sama. Properti dasar pecahan datang untuk menyelamatkan, yang, izinkan saya mengingatkan Anda, terdengar seperti ini:
Pecahan tidak akan berubah jika pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan angka yang sama selain nol.
Jadi, jika Anda memilih faktor-faktornya dengan benar, penyebut pecahan akan menjadi sama - proses ini disebut pengurangan ke penyebut yang sama. Dan bilangan-bilangan yang diperlukan, yang “meratakan” penyebutnya, disebut faktor tambahan.
Mengapa kita perlu mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama? Berikut ini beberapa alasannya:
- Penjumlahan dan pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda. Tidak ada cara lain untuk melakukan operasi ini;
- Membandingkan pecahan. Terkadang pengurangan ke penyebut yang sama sangat menyederhanakan tugas ini;
- Menyelesaikan masalah yang melibatkan pecahan dan persentase. Persentase pada dasarnya adalah ekspresi biasa yang mengandung pecahan.
Ada banyak cara untuk mencari bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan tersebut akan membuat penyebut pecahan menjadi sama. Kami hanya akan mempertimbangkan tiga di antaranya - dalam urutan peningkatan kompleksitas dan, dalam arti tertentu, efektivitas.
Perkalian silang
Metode paling sederhana dan paling dapat diandalkan, yang dijamin dapat menyamakan penyebutnya. Kita akan bertindak “dengan cepat”: kita mengalikan pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua, dan pecahan kedua dengan penyebut pecahan pertama. Hasilnya, penyebut kedua pecahan akan sama dengan hasil kali penyebut aslinya. Lihatlah:
Sebagai faktor tambahan, perhatikan penyebut pecahan yang berdekatan. Kami mendapatkan:
Ya, sesederhana itu. Jika Anda baru mulai mempelajari pecahan, lebih baik bekerja menggunakan metode ini - dengan cara ini Anda akan memastikan diri Anda dari banyak kesalahan dan dijamin mendapatkan hasilnya.
Satu-satunya kekurangan dari cara ini adalah Anda harus banyak menghitung, karena penyebutnya dikalikan “sepenuhnya”, dan hasilnya bisa berupa angka yang sangat besar. Ini adalah harga yang harus dibayar untuk keandalan.
Metode Pembagi Umum
Teknik ini membantu mengurangi perhitungan secara signifikan, namun sayangnya, teknik ini jarang digunakan. Caranya adalah sebagai berikut:
- Sebelum melanjutkan langsung (yaitu menggunakan metode saling silang), lihatlah penyebutnya. Mungkin salah satunya (yang lebih besar) terbagi menjadi yang lain.
- Bilangan hasil pembagian ini akan menjadi faktor penjumlahan bagi pecahan yang penyebutnya lebih kecil.
- Dalam hal ini, pecahan dengan penyebut besar tidak perlu dikalikan dengan apa pun - di sinilah letak penghematannya. Pada saat yang sama, kemungkinan kesalahan berkurang tajam.
Tugas. Temukan arti dari ekspresi:
Perhatikan bahwa 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Karena dalam kedua kasus satu penyebut dibagi tanpa sisa oleh penyebut lainnya, kita menggunakan metode faktor persekutuan. Kami memiliki:
Perhatikan bahwa pecahan kedua tidak dikalikan sama sekali. Faktanya, kami memotong jumlah komputasi menjadi setengahnya!
Ngomong-ngomong, saya tidak mengambil pecahan dalam contoh ini secara kebetulan. Jika Anda tertarik, coba hitung dengan metode silang-silang. Setelah reduksi, jawabannya akan sama, tetapi pekerjaan akan lebih banyak.
Ini adalah metode pembagi persekutuan, tetapi, sekali lagi, metode ini hanya dapat digunakan jika salah satu penyebutnya dibagi dengan penyebut lainnya tanpa sisa. Hal ini sangat jarang terjadi.
Metode kelipatan persekutuan terkecil
Saat kita mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama, pada dasarnya kita mencoba mencari bilangan yang habis dibagi masing-masing penyebutnya. Kemudian kita bawa penyebut kedua pecahan ke bilangan ini.
Ada banyak bilangan seperti itu, dan bilangan terkecil belum tentu sama dengan hasil kali langsung penyebut pecahan aslinya, seperti yang diasumsikan dalam metode “saling silang”.
Misalnya untuk penyebut 8 dan 12, angka 24 cukup cocok, karena 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Jumlah ini jauh lebih sedikit dibandingkan hasil kali 8 · 12 = 96.
Bilangan terkecil yang habis dibagi masing-masing penyebutnya disebut kelipatan persekutuan terkecil (KPK).
Notasi: Kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b dilambangkan dengan KPK(a ; b) . Misalnya KPK(16, 24) = 48 ; KPK(8; 12) = 24 .
Jika Anda berhasil menemukan angka seperti itu, jumlah total perhitungannya akan menjadi minimal. Lihatlah contohnya:
Tugas. Temukan arti dari ekspresi:
Perhatikan bahwa 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktor 2 dan 3 bersifat koprima (tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1), dan faktor 117 adalah faktor persekutuan. Jadi KPK(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Demikian pula 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 dan 4 bersifat koprima, dan faktor 5 bersifat persekutuan. Jadi KPK(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Sekarang mari kita bawa pecahan ke penyebut yang sama:
Perhatikan betapa bermanfaatnya memfaktorkan penyebut aslinya:
- Setelah menemukan faktor-faktor yang identik, kami segera sampai pada kelipatan persekutuan terkecil, yang, secara umum, merupakan soal yang tidak sepele;
- Dari perluasan yang dihasilkan, Anda dapat mengetahui faktor mana yang “hilang” di setiap pecahan. Misalnya 234 · 3 = 702, maka untuk pecahan pertama faktor tambahannya adalah 3.
Untuk memahami seberapa besar perbedaan yang dihasilkan oleh metode kelipatan persekutuan terkecil, cobalah menghitung contoh-contoh yang sama menggunakan metode silang-silang. Tentu saja tanpa kalkulator. Saya pikir setelah ini komentar tidak diperlukan lagi.
Jangan berpikir bahwa tidak akan ada pecahan kompleks seperti itu di contoh nyata. Mereka bertemu setiap saat, dan tugas di atas bukanlah batasnya!
Satu-satunya masalah adalah bagaimana menemukan NOC ini. Terkadang segala sesuatu dapat ditemukan dalam beberapa detik, secara harfiah “dengan mata”, tetapi secara umum ini adalah tugas komputasi kompleks yang memerlukan pertimbangan tersendiri. Kami tidak akan membahasnya di sini.
Metode ini masuk akal jika derajat polinomialnya tidak lebih rendah dari dua. Dalam hal ini, faktor persekutuannya tidak hanya berupa binomial derajat pertama, tetapi juga derajat yang lebih tinggi.
Untuk menemukan kesamaan faktor syarat polinomial, perlu dilakukan sejumlah transformasi. Binomial atau monomial paling sederhana yang dapat dikeluarkan dari tanda kurung akan menjadi salah satu akar polinomial tersebut. Jelasnya, dalam kasus ketika suatu polinomial tidak memiliki suku bebas, akan ada yang tidak diketahui pada derajat pertama - polinomial yang sama dengan 0.
Yang lebih sulit untuk menemukan faktor persekutuan adalah ketika suku bebasnya tidak sama dengan nol. Kemudian metode seleksi atau pengelompokan sederhana dapat diterapkan. Misalnya, semua akar suatu polinomial adalah rasional, dan semua koefisien polinomial tersebut adalah bilangan bulat: y^4 + 3 y³ – y² – 9 y – 18.
Tuliskan semua pembagi bilangan bulat dari suku bebas tersebut. Jika suatu polinomial mempunyai akar-akar rasional, maka polinomial tersebut termasuk di antara akar-akar tersebut. Dari hasil seleksi diperoleh akar 2 dan -3. Artinya faktor persekutuan polinomial ini adalah binomial (y - 2) dan (y + 3).
Metode pemfaktoran persekutuan merupakan salah satu komponen faktorisasi. Cara yang dijelaskan di atas dapat diterapkan jika koefisien derajat tertinggi adalah 1. Jika tidak, maka harus dilakukan serangkaian transformasi terlebih dahulu. Misalnya: 2y³ + 19 y² + 41 y + 15.
Lakukan substitusi pada bentuk t = 2³·y³. Caranya, kalikan semua koefisien polinomialnya dengan 4: 2³·y³ + 19·2²·y² + 82·2·y + 60. Setelah penggantian: t³ + 19·t² + 82·t + 60. Sekarang, untuk cari faktor persekutuannya, kita terapkan cara di atas.
Selain itu, metode yang efektif untuk mencari faktor persekutuan adalah dengan unsur polinomial. Ini sangat berguna ketika metode pertama tidak berhasil, mis. Polinomial tidak memiliki akar rasional. Namun, pengelompokan tidak selalu terlihat jelas. Contoh: Polinomial y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 tidak mempunyai akar bilangan bulat.
Gunakan pengelompokan: y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 = y^4 + 4 y³ – 2 y² + y² – 8 y – 2 = (y^4 – 2 y²) + ( 4 y³ – 8 y) + y² – 2 = (y² - 2)*(y² + 4 y + 1).
Perkalian dan pembagian, sama seperti penjumlahan dan pengurangan, adalah operasi aritmatika dasar. Tanpa belajar memecahkan contoh perkalian dan pembagian, seseorang akan menghadapi banyak kesulitan tidak hanya ketika mempelajari cabang matematika yang lebih kompleks, tetapi bahkan dalam urusan sehari-hari yang paling biasa sekalipun. Perkalian dan pembagian berkaitan erat, dan komponen contoh dan soal yang tidak diketahui yang melibatkan salah satu operasi ini dihitung menggunakan operasi lainnya. Pada saat yang sama, perlu dipahami dengan jelas bahwa ketika menyelesaikan contoh, sama sekali tidak ada bedanya objek mana yang Anda bagi atau kalikan.
Anda akan membutuhkan
- - tabel perkalian;
- - kalkulator atau selembar kertas dan pensil.
instruksi
Tuliskan contoh yang Anda butuhkan. Beri label pada hal yang tidak diketahui faktor seperti x. Contohnya mungkin terlihat seperti ini: a*x=b. Alih-alih faktor a dan hasil kali b dalam contoh, bisa ada angka atau apa saja. Ingat prinsip dasar perkalian: mengubah tempat faktor tidak mengubah hasil kali. Sangat tidak diketahui faktor x dapat ditempatkan di mana saja.
Untuk menemukan hal yang tidak diketahui faktor dalam contoh di mana hanya ada dua faktor, Anda hanya perlu membagi hasil kali dengan faktor yang diketahui faktor. Artinya, hal ini dilakukan sebagai berikut: x=b/a. Jika Anda kesulitan mengoperasikan besaran abstrak, coba bayangkan permasalahan ini dalam bentuk benda konkrit. Anda, Anda hanya mempunyai apel dan berapa banyak yang akan Anda makan, tetapi Anda tidak tahu berapa banyak apel yang akan diperoleh setiap orang. Misalnya, Anda mempunyai 5 anggota keluarga, dan terdapat 15 apel. Tentukan jumlah apel yang dimaksudkan untuk masing-masing apel sebagai x. Maka persamaannya akan terlihat seperti ini: 5(apel)*x=15(apel). Tidak dikenal faktor Caranya sama seperti pada persamaan huruf yaitu membagi 15 buah apel kepada lima anggota keluarga, pada akhirnya ternyata masing-masing memakan 3 buah apel.
Dengan cara yang sama hal yang tidak diketahui ditemukan faktor dengan banyaknya faktor. Misalnya, contohnya terlihat seperti a*b*c*x*=d. Secara teori, temukan dengan faktor itu mungkin dengan cara yang sama seperti pada contoh selanjutnya: x=d/a*b*c. Namun Anda dapat membawa persamaan tersebut ke bentuk yang lebih sederhana dengan menyatakan hasil kali faktor-faktor yang diketahui dengan huruf lain - misalnya, m. Carilah persamaan m dengan mengalikan bilangan a, b dan c: m=a*b*c. Maka seluruh contoh dapat direpresentasikan sebagai m*x=d, dan besaran yang tidak diketahui akan sama dengan x=d/m.
Jika diketahui faktor dan hasil perkaliannya adalah pecahan, contohnya diselesaikan dengan cara yang persis sama seperti dengan . Namun dalam hal ini Anda perlu mengingat tindakannya. Saat mengalikan pecahan, pembilang dan penyebutnya dikalikan. Saat membagi pecahan, pembilang pembagian dikalikan dengan penyebut pembagi, dan penyebut pembagian dikalikan dengan pembilang pembagi. Artinya, dalam hal ini contohnya akan terlihat seperti ini: a/b*x=c/d. Untuk mencari besaran yang tidak diketahui, Anda perlu membagi hasil kali dengan jumlah yang diketahui faktor. Artinya, x=a/b:c/d =a*d/b*c.
Video tentang topik tersebut
Harap diperhatikan
Saat menyelesaikan contoh dengan pecahan, pecahan dari faktor yang diketahui dapat dengan mudah dibalik dan tindakan dilakukan sebagai perkalian pecahan.
Polinomial adalah jumlah monomial. Monomial adalah hasil kali beberapa faktor, baik berupa angka maupun huruf. Derajat tidak diketahui berapa kali dikalikan dengan dirinya sendiri.
instruksi
Harap berikan jika belum dilakukan. Monomial serupa adalah monomial dengan jenis yang sama, yaitu monomial dengan ketidakpastian yang sama pada derajat yang sama.
Ambil contoh, polinomial 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y². Polinomial ini memiliki dua hal yang tidak diketahui - x dan y.
Hubungkan monomial serupa. Monomial dengan pangkat kedua y dan pangkat ketiga x akan berbentuk y²*x³, dan monomial dengan pangkat keempat y akan batal. Ternyata y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³.
Ambil y sebagai huruf utama yang tidak diketahui. Temukan derajat maksimum untuk y yang tidak diketahui. Ini adalah monomial y²*x³ dan, karenanya, derajat 2.
Menarik kesimpulan. Derajat polinomial 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² di x sama dengan tiga, dan di y sama dengan dua.
Temukan gelarnya polinomial√x+5*y kali y. Itu sama dengan derajat maksimum y, yaitu satu.
Temukan gelarnya polinomial√x+5*y dalam x. X yang tidak diketahui letaknya, artinya derajatnya adalah pecahan. Karena akarnya adalah akar kuadrat, maka pangkat x adalah 1/2.
Menarik kesimpulan. Untuk polinomial√x+5*y pangkat x adalah 1/2 dan pangkat y adalah 1.
Video tentang topik tersebut
Penyederhanaan ekspresi aljabar diperlukan dalam banyak bidang matematika, termasuk penyelesaian persamaan tingkat tinggi, diferensiasi dan integrasi. Beberapa metode yang digunakan, termasuk faktorisasi. Untuk menerapkan metode ini, Anda perlu mencari dan membuat generalisasinya faktor untuk tanda kurung.
Sebagian besar operasi pecahan aljabar, seperti penjumlahan dan pengurangan, memerlukan pengurangan pecahan tersebut terlebih dahulu menjadi penyebut yang sama. Penyebut seperti itu juga sering disebut sebagai “penyebut yang sama”. Dalam topik ini, kita akan melihat definisi konsep “penyebut persekutuan pecahan aljabar” dan “penyebut persekutuan terkecil pecahan aljabar (LCD)”, pertimbangkan algoritma untuk mencari penyebut persekutuan poin demi poin dan menyelesaikan beberapa masalah pada topik.
Yandex.RTB RA-339285-1
Penyebut umum pecahan aljabar
Jika kita berbicara tentang pecahan biasa, maka penyebutnya adalah bilangan yang habis dibagi salah satu penyebut pecahan aslinya. Untuk pecahan biasa 1 2 Dan 5 9 angka 36 dapat menjadi penyebut yang sama, karena habis dibagi 2 dan 9 tanpa sisa.
Penyebut pecahan aljabar ditentukan dengan cara yang sama, hanya polinomial yang digunakan sebagai pengganti angka, karena polinomial adalah pembilang dan penyebut pecahan aljabar.
Definisi 1
Penyebut umum suatu pecahan aljabar adalah polinomial yang habis dibagi penyebut suatu pecahan.
Karena kekhasan pecahan aljabar, yang akan dibahas di bawah, kita sering kali berurusan dengan penyebut yang sama yang direpresentasikan sebagai hasil kali, bukan sebagai polinomial standar.
Contoh 1
Polinomial ditulis sebagai produk 3 x 2 (x + 1), sesuai dengan polinomial bentuk standar 3x3 + 3x2. Polinomial ini dapat menjadi penyebut pecahan aljabar 2 x, - 3 x y x 2 dan y + 3 x + 1, karena habis dibagi X, pada x 2 dan seterusnya x+1. Informasi tentang pembagian polinomial tersedia di topik terkait di sumber kami.
Penyebut terkecil (LCD)
Untuk pecahan aljabar tertentu, jumlah penyebutnya bisa tidak terbatas.
Contoh 2
Mari kita ambil contoh pecahan 1 2 x dan x + 1 x 2 + 3. Persamaan mereka adalah 2 x (x 2 + 3), serta − 2 x (x 2 + 3), serta x (x 2 + 3), serta 6, 4 x (x 2 + 3) (kamu + kamu 4), serta − 31 x 5 (x 2 + 3) 3, dll.
Saat menyelesaikan soal, Anda dapat mempermudah pekerjaan Anda dengan menggunakan penyebut yang sama, yang memiliki bentuk paling sederhana di antara seluruh himpunan penyebut. Penyebut ini sering disebut sebagai penyebut terkecil.
Definisi 2
Penyebut terkecil pecahan aljabar adalah penyebut pecahan aljabar yang mempunyai bentuk paling sederhana.
Omong-omong, istilah "penyebut yang sama terendah" tidak diterima secara umum, jadi lebih baik kita membatasi diri pada istilah "penyebut yang sama". Dan inilah alasannya.
Sebelumnya kami memusatkan perhatian Anda pada frasa “penyebut yang paling sederhana”. Arti utama dari frasa ini adalah sebagai berikut: penyebut bentuk paling sederhana harus membagi tanpa sisa penyebut umum lainnya dari data dalam kondisi soal pecahan aljabar. Dalam hal ini, dalam hasil kali, yang merupakan penyebut pecahan yang sama, berbagai koefisien numerik dapat digunakan.
Contoh 3
Mari kita ambil pecahan 1 2 · x dan x + 1 x 2 + 3 . Kita telah mengetahui bahwa akan lebih mudah bagi kita untuk bekerja dengan penyebut yang sama dalam bentuk 2 · x · (x 2 + 3). Juga, penyebut yang sama untuk kedua pecahan ini bisa jadi x (x 2 + 3), yang tidak mengandung koefisien numerik. Pertanyaannya adalah manakah di antara dua penyebut yang sama ini yang dianggap sebagai penyebut terkecil dari pecahan tersebut. Tidak ada jawaban pasti, oleh karena itu lebih tepat berbicara tentang penyebut yang sama, dan bekerja dengan opsi yang paling nyaman untuk digunakan. Jadi, kita bisa menggunakan penyebut yang sama seperti x 2 (x 2 + 3) (kamu + kamu 4) atau − 15 x 5 (x 2 + 3) 3, yang memiliki tampilan lebih kompleks, namun mungkin lebih sulit untuk melakukan tindakan dengannya.
Menemukan penyebut pecahan aljabar: algoritma tindakan
Misalkan kita mempunyai beberapa pecahan aljabar yang perlu dicari penyebutnya. Untuk mengatasi masalah ini kita dapat menggunakan algoritma tindakan berikut. Pertama kita perlu memfaktorkan penyebut pecahan aslinya. Kemudian kami membuat sebuah karya yang secara berurutan kami sertakan:
- semua faktor dari penyebut pecahan pertama beserta pangkatnya;
- semua faktor yang ada pada penyebut pecahan kedua, tetapi tidak ada dalam hasil kali tertulis atau derajatnya tidak mencukupi;
- semua faktor yang hilang dari penyebut pecahan ketiga, dan seterusnya.
Produk yang dihasilkan akan menjadi penyebut pecahan aljabar.
Sebagai faktor hasil kali, kita dapat mengambil semua penyebut pecahan yang diberikan dalam rumusan masalah. Namun pengganda yang akan kita peroleh pada akhirnya akan jauh dari arti NCD dan penggunaannya menjadi tidak rasional.
Contoh 4
Tentukan penyebut pecahan 1 x 2 y, 5 x + 1 dan y - 3 x 5 y.
Larutan
Dalam hal ini, kita tidak perlu memfaktorkan penyebut pecahan aslinya. Oleh karena itu, kami akan mulai menerapkan algoritma tersebut dengan menyusun karya.
Dari penyebut pecahan pertama kita ambil pengalinya x 2 tahun, dari penyebut pecahan kedua, pengalinya x+1. Kami mendapatkan produknya x 2 tahun (x + 1).
Penyebut pecahan ketiga bisa memberi kita pengali x 5 tahun Namun, produk yang kami kompilasi sebelumnya sudah memiliki faktor x 2 Dan kamu. Oleh karena itu, kami menambahkan lebih banyak x 5 − 2 = x 3. Kami mendapatkan produknya x 2 tahun (x + 1) x 3, yang dapat direduksi menjadi bentuk x 5 tahun (x + 1). Ini akan menjadi NOZ pecahan aljabar kita.
Menjawab: x 5 · kamu · (x + 1) .
Sekarang mari kita lihat contoh soal yang penyebut pecahan aljabar mengandung faktor bilangan bulat. Dalam kasus seperti ini, kami juga mengikuti algoritme, setelah sebelumnya menguraikan faktor bilangan bulat menjadi faktor sederhana.
Contoh 5
Tentukan penyebut pecahan 1 12 x dan 1 90 x 2.
Larutan
Membagi bilangan penyebut pecahan menjadi faktor prima, kita mendapatkan 1 2 2 3 x dan 1 2 3 2 5 x 2. Sekarang kita dapat melanjutkan ke kompilasi penyebut yang sama. Untuk melakukan ini, dari penyebut pecahan pertama kita ambil produknya 2 2 3x dan tambahkan faktor 3, 5 dan X dari penyebut pecahan kedua. Kami mengerti 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. Ini adalah persamaan kita.
Menjawab: 180x2.
Jika Anda mencermati hasil dari dua contoh yang dianalisis, Anda akan melihat bahwa penyebut pecahan yang sama berisi semua faktor yang ada pada pemuaian penyebutnya, dan jika ada faktor tertentu pada beberapa penyebut, maka faktor tersebut diambil. dengan eksponen terbesar yang tersedia. Dan jika penyebutnya mempunyai koefisien bilangan bulat, maka penyebut persekutuannya memuat faktor numerik yang sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari koefisien numerik tersebut.
Contoh 6
Penyebut kedua pecahan aljabar 1 12 x dan 1 90 x 2 mempunyai faktor X. Dalam kasus kedua, faktor x dikuadratkan. Untuk membuat penyebut yang sama, kita perlu memanfaatkan faktor ini semaksimal mungkin, yaitu. x 2. Tidak ada pengganda lain dengan variabel. Koefisien numerik bilangan bulat dari pecahan asal 12 Dan 90 , dan kelipatan persekutuan terkecilnya adalah 180 . Ternyata penyebut umum yang diinginkan sudah berbentuk 180x2.
Sekarang kita dapat menuliskan algoritma lain untuk mencari faktor persekutuan pecahan aljabar. Untuk ini kami:
- faktorkan penyebut semua pecahan;
- kita menyusun hasil perkalian semua faktor huruf (jika ada faktor dalam beberapa perluasan, kita ambil opsi dengan eksponen terbesar);
- kami menambahkan KPK dari koefisien numerik ekspansi ke produk yang dihasilkan.
Algoritma yang diberikan adalah setara, sehingga salah satu dari algoritma tersebut dapat digunakan untuk memecahkan masalah. Penting untuk memperhatikan detailnya.
Ada kalanya faktor persekutuan dalam penyebut pecahan mungkin tidak terlihat di balik koefisien numerik. Di sini disarankan untuk terlebih dahulu menempatkan koefisien numerik pada pangkat yang lebih tinggi dari variabel di luar tanda kurung pada setiap faktor yang ada dalam penyebutnya.
Contoh 7
Berapakah penyebut pecahan 3 5 - x dan 5 - x · y 2 2 · x - 10?
Larutan
Dalam kasus pertama, minus satu harus dikeluarkan dari tanda kurung. Kita peroleh 3 - x - 5 . Kita kalikan pembilang dan penyebutnya dengan - 1 untuk menghilangkan minus pada penyebutnya: - 3 x - 5.
Dalam kasus kedua, kita keluarkan keduanya dari tanda kurung. Hal ini memungkinkan kita memperoleh pecahan 5 - x · y 2 2 · x - 5.
Jelaslah bahwa penyebut pecahan aljabar ini - 3 x - 5 dan 5 - x · y 2 2 · x - 5 adalah 2 (x − 5).
Menjawab:2 (x − 5).
Data dalam kondisi soal pecahan mungkin mempunyai koefisien pecahan. Dalam kasus ini, Anda harus menghilangkan koefisien pecahan terlebih dahulu dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan angka tertentu.
Contoh 8
Sederhanakan pecahan aljabar 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 dan - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 lalu tentukan penyebutnya.
Larutan
Mari kita hilangkan koefisien pecahan dengan mengalikan pembilang dan penyebut pada kasus pertama dengan 14, dalam kasus kedua dengan 3. Kami mendapatkan:
1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 dan - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .
Setelah transformasi dilakukan, menjadi jelas bahwa penyebutnya adalah 2 (x 2 + 2).
Menjawab: 2 (x 2 + 2).
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, sorot teks tersebut dan tekan Ctrl+Enter
Untuk menyelesaikan contoh pecahan, Anda harus bisa mencari penyebut terkecilnya. Di bawah ini adalah instruksi rinci.
Cara menemukan penyebut terkecil yang sama - konsep
Penyebut terkecil (LCD), dengan kata sederhana, adalah bilangan minimum yang habis dibagi penyebut semua pecahan dalam contoh yang diberikan. Dengan kata lain disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK). NOS hanya digunakan jika penyebut pecahannya berbeda.
Cara menemukan penyebut terkecil - contoh
Mari kita lihat contoh menemukan NOC.
Hitung: 3/5 + 2/15.
Solusi (Urutan tindakan):
- Kami melihat penyebut pecahan, memastikan bahwa penyebutnya berbeda dan ungkapannya disingkat mungkin.
- Kita mencari bilangan terkecil yang habis dibagi 5 dan 15. Bilangan tersebut adalah 15. Jadi, 3/5 + 2/15 = ?/15.
- Kami menemukan penyebutnya. Apa yang ada di pembilangnya? Pengganda tambahan akan membantu kita mengetahui hal ini. Faktor tambahannya adalah bilangan yang diperoleh dengan membagi NZ dengan penyebut suatu pecahan tertentu. Untuk pecahan 3/5, faktor tambahannya adalah 3, karena 15/5 = 3. Untuk pecahan kedua, faktor tambahannya adalah 1, karena 15/15 = 1.
- Setelah mengetahui faktor tambahannya, kita mengalikannya dengan pembilang pecahan dan menjumlahkan nilai yang dihasilkan. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 15/11.
Jawaban: 3/5 + 2/15 = 15/11.
Jika pada contoh tersebut bukan 2, melainkan 3 pecahan atau lebih yang dijumlahkan atau dikurangkan, maka pada NCD harus dicari pecahan sebanyak yang diberikan.
Hitung: 1/2 – 5/12 + 3/6
Solusi (urutan tindakan):
- Menemukan penyebut persekutuan terkecil. Bilangan minimal yang habis dibagi 2, 12 dan 6 adalah 12.
- Kita peroleh: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
- Kami mencari pengganda tambahan. Untuk 1/2 – 6; untuk 12/5 – 1; untuk 3/6 – 2.
- Kita kalikan dengan pembilangnya dan berikan tanda yang sesuai: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.
Jawaban: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.
Untuk mereduksi pecahan menjadi penyebut persekutuan terkecil, Anda perlu: 1) mencari kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut pecahan yang diberikan, itu akan menjadi penyebut persekutuan terkecil. 2) mencari faktor tambahan setiap pecahan dengan membagi penyebut baru dengan penyebut setiap pecahan. 3) mengalikan pembilang dan penyebut setiap pecahan dengan faktor tambahannya.
Contoh. Kurangi pecahan berikut ke penyebut terkecilnya.
Kita mencari kelipatan persekutuan terkecil dari penyebutnya: KPK(5; 4) = 20, karena 20 adalah bilangan terkecil yang habis dibagi 5 dan 4. Tentukan faktor tambahan 4 (20) untuk pecahan pertama : 5=4). Untuk pecahan ke-2 faktor tambahannya adalah 5 (20 : 4=5). Kita mengalikan pembilang dan penyebut pecahan ke-1 dengan 4, dan pembilang serta penyebut pecahan ke-2 dengan 5. Kita turunkan pecahan-pecahan ini ke penyebut terkecil ( 20 ).
Penyebut persekutuan terkecil dari pecahan-pecahan ini adalah angka 8, karena 8 habis dibagi 4 dan dirinya sendiri. Tidak ada faktor tambahan untuk pecahan ke-1 (atau bisa dikatakan sama dengan satu), untuk pecahan ke-2 faktor tambahannya adalah 2 (8 : 4=2). Kita kalikan pembilang dan penyebut pecahan ke-2 dengan 2. Pecahan-pecahan ini kita turunkan menjadi penyebut terkecil ( 8 ).
Pecahan-pecahan ini bukannya tidak dapat direduksi.
Mari kita kurangi pecahan pertama dengan 4, dan kurangi pecahan kedua dengan 2. ( lihat contoh pengurangan pecahan biasa: Peta Situs → 5.4.2. Contoh pengurangan pecahan biasa). Temukan LOCnya (16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Pengganda tambahan pecahan pertama adalah 5 (80 : 16=5). Faktor penjumlahan pecahan ke-2 adalah 4 (80 : 20=4). Kita mengalikan pembilang dan penyebut pecahan ke-1 dengan 5, dan pembilang serta penyebut pecahan ke-2 dengan 4. Pecahan-pecahan ini kita turunkan menjadi penyebut terkecil ( 80 ).
Kami menemukan penyebut persekutuan terendah NCD(5 ; 6 dan 15)=NOK(5 ; 6 dan 15)=30. Faktor tambahan pada pecahan pertama adalah 6 (30 : 5=6), faktor tambahan pada pecahan ke-2 adalah 5 (30 : 6=5), faktor tambahan pada pecahan ke-3 adalah 2 (30 : 15=2). Kita kalikan pembilang dan penyebut pecahan ke-1 dengan 6, pembilang dan penyebut pecahan ke-2 dengan 5, pembilang dan penyebut pecahan ke-3 dengan 2. Pecahan-pecahan ini kita turunkan menjadi penyebut terkecil ( 30 ).
Halaman 1 dari 1 1
