Matematikawan Yakov Perelman: kontribusi terhadap sains. Matematikawan terkenal Rusia Grigory Perelman

PERMAINAN PIKIRAN

Sampai saat ini, matematika tidak menjanjikan ketenaran atau kekayaan bagi “pendeta” nya. Mereka bahkan tidak diberi Hadiah Nobel. Tidak ada nominasi seperti itu. Lagipula, menurut legenda yang sangat populer, istri Nobel pernah berselingkuh dengan seorang ahli matematika. Dan sebagai pembalasan, orang kaya itu merampas rasa hormat dan hadiah uang dari semua saudara mereka yang jahat.

Situasi berubah pada tahun 2000. Institut Matematika Swasta Clay Mathematics Institute memilih tujuh soal yang paling sulit. Dan dia berjanji akan membayar mereka masing-masing satu juta dolar atas keputusan mereka. Mereka memandang para ahli matematika dengan hormat. Pada tahun 2001, film “A Beautiful Mind” bahkan dirilis, karakter utamanya adalah seorang ahli matematika.

Sekarang hanya orang-orang yang jauh dari peradaban yang tidak menyadarinya: salah satu dari jutaan yang dijanjikan - yang pertama - telah diberikan. Hadiah tersebut diberikan kepada warga negara Rusia, penduduk St. Petersburg, Grigory Perelman, karena memecahkan dugaan Poincaré, yang melalui usahanya menjadi sebuah teorema. Pria berjanggut berusia 44 tahun itu telah menyapu hidung seluruh dunia. Dan sekarang hal ini terus membuat dunia – dunia – berada dalam ketegangan. Karena tidak diketahui apakah ahli matematika akan menerima jutaan dolar yang pantas diterimanya atau menolaknya. Masyarakat progresif di banyak negara tentu saja merasa khawatir. Setidaknya surat kabar di semua benua mencatat intrik finansial dan matematika.

Dan dengan latar belakang aktivitas menarik ini - meramal dan membagi uang orang lain - makna pencapaian Perelman entah bagaimana hilang. Presiden Clay Institute, Jim Carlson, tentu saja pernah menyatakan bahwa tujuan dari dana hadiah tersebut bukanlah untuk mencari jawaban, melainkan sebagai upaya untuk meningkatkan pamor ilmu matematika dan untuk menarik minat generasi muda terhadapnya. Tapi tetap saja, apa gunanya?

HIPOTESIS POINCARE - APA ITU?

Teka-teki yang dipecahkan oleh jenius Rusia ini menyentuh dasar-dasar cabang matematika yang disebut topologi. Topologinya sering disebut “geometri lembaran karet”. Ini berkaitan dengan sifat-sifat bentuk geometris yang dipertahankan jika bentuknya diregangkan, dipelintir, atau dibengkokkan. Dengan kata lain, ia berubah bentuk tanpa sobek, terpotong atau direkatkan.

Topologi penting dalam fisika matematika karena memungkinkan kita memahami sifat-sifat ruang. Atau mengevaluasinya tanpa bisa melihat bentuk ruang ini dari luar. Misalnya saja ke Alam Semesta kita.

Saat menjelaskan dugaan Poincaré, mereka memulai seperti ini: bayangkan sebuah bola dua dimensi - ambil piringan karet dan tarik ke atas bola. Sehingga keliling piringan terkumpul pada satu titik. Dengan cara serupa, misalnya, Anda bisa mengikat ransel olahraga dengan tali. Hasilnya adalah sebuah bola: bagi kami - tiga dimensi, tetapi dari sudut pandang matematika - hanya dua dimensi.

Kemudian mereka menawarkan untuk menarik disk yang sama ke dalam donat. Sepertinya itu akan berhasil. Tetapi ujung-ujung disk akan menyatu menjadi lingkaran, yang tidak dapat lagi ditarik ke suatu titik - donat akan terpotong.

Seperti yang ditulis oleh ahli matematika Rusia lainnya, Vladimir Uspensky, dalam buku populernya, “tidak seperti bola dua dimensi, bola tiga dimensi tidak dapat diakses oleh pengamatan langsung kita, dan sulit bagi kita untuk membayangkannya seperti halnya bagi Vasily Ivanovich untuk membayangkannya. trinomial persegi dari lelucon terkenal itu.”

Jadi, menurut hipotesis Poincaré, bola tiga dimensi adalah satu-satunya benda tiga dimensi yang permukaannya dapat ditarik ke satu titik oleh suatu “hypercord” hipotetis.

Jules Henri Poincaré menyarankan hal ini pada tahun 1904. Kini Perelman telah meyakinkan semua orang yang memahami bahwa ahli topologi Perancis itu benar. Dan mengubah hipotesisnya menjadi sebuah teorema.

Buktinya membantu untuk memahami seperti apa bentuk alam semesta kita. Dan hal ini memungkinkan kita untuk berasumsi secara masuk akal bahwa itu adalah bola tiga dimensi yang sama. Namun jika Alam Semesta adalah satu-satunya “sosok” yang dapat dikontrakkan menjadi suatu titik, maka kemungkinan besar ia dapat direntangkan dari suatu titik. Hal ini merupakan konfirmasi tidak langsung terhadap teori Big Bang yang menyatakan bahwa alam semesta berasal dari suatu titik.

Ternyata Perelman, bersama dengan Poincaré, mengecewakan kaum kreasionis - pendukung prinsip ilahi alam semesta. Dan mereka memberikan dukungan kepada kelompok fisikawan materialis.

DAN SAAT INI

Si jenius belum memberikan satu juta dolar

Ahli matematika itu dengan keras kepala menolak berkomunikasi dengan jurnalis. Bagi kami - tentu saja: dia bahkan tidak meninggikan suaranya. Orang Barat - melontarkan komentar melalui pintu yang tertutup. Seperti, tinggalkan aku sendiri. Si jenius sepertinya hanya berkomunikasi dengan presiden Clay Institute, Jim Carlson.

Segera setelah jutaan dolar Grigory Perelman diketahui, Carlson menjawab pertanyaan "Apa yang diputuskan oleh si jenius?" menjawab: “Dia akan memberitahuku pada waktunya.” Artinya, dia mengisyaratkan bahwa dia berhubungan dengan Gregory.

Suatu hari kami menerima pesan baru dari Presiden. Dia dilaporkan ke publik oleh surat kabar Inggris The Telegraph: “Dia mengatakan dia akan memberitahu saya tentang keputusannya suatu saat nanti. Namun dia tidak mengatakan kapan hal ini akan terjadi. Menurutku besok tidak akan baik-baik saja.”

Menurut Presiden, si jenius berbicara datar namun sopan. Itu singkat saja. Untuk membela Perelman, Carlson mencatat: "Tidak setiap hari seseorang bahkan bercanda memikirkan kemungkinan menyerahkan satu juta dolar."

OMONG-OMONG

Kenapa lagi mereka memberi satu juta dolar?

1. Masalah juru masak

Penting untuk menentukan apakah memeriksa kebenaran solusi suatu masalah bisa memakan waktu lebih lama daripada mendapatkan solusi itu sendiri. Tugas logis ini penting bagi spesialis kriptografi - enkripsi data.

2. Hipotesis Riemann

Ada yang disebut bilangan prima, seperti 2, 3, 5, 7, dst., yang hanya habis dibagi sendiri. Berapa jumlah totalnya tidak diketahui. Riemann percaya bahwa hal ini dapat ditentukan dan pola distribusinya dapat ditemukan. Siapapun yang menemukannya juga akan menyediakan layanan kriptografi.

3. Dugaan Birch dan Swinnerton-Dyer

Masalahnya melibatkan penyelesaian persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui dipangkatkan. Kita perlu mencari cara untuk menyelesaikannya, terlepas dari kerumitannya.

4. Dugaan Hodge

Pada abad kedua puluh, ahli matematika menemukan metode untuk mempelajari bentuk benda kompleks. Idenya adalah menggunakan “batu bata” sederhana sebagai pengganti benda itu sendiri, yang direkatkan dan dibentuk serupa. Perlu dibuktikan bahwa hal ini selalu diperbolehkan.

5. Persamaan Navier - Stokes

Patut diingat mereka di pesawat. Persamaan tersebut menggambarkan arus udara yang menahannya di udara. Sekarang persamaan diselesaikan secara kira-kira menggunakan rumus perkiraan. Kita perlu menemukan persamaan eksak dan membuktikan bahwa dalam ruang tiga dimensi terdapat solusi persamaan yang selalu benar.

6. Persamaan Yang - Pabrik

Dalam dunia fisika terdapat hipotesis: jika suatu partikel elementer mempunyai massa, maka ada batas bawahnya. Namun yang mana tidak jelas. Kita harus menemuinya. Ini mungkin tugas yang paling sulit. Untuk mengatasinya, perlu diciptakan “teori segalanya” - persamaan yang menyatukan semua kekuatan dan interaksi di alam. Siapapun yang mampu melakukannya kemungkinan besar akan menerima Hadiah Nobel.

Pencapaian besar terakhir dari matematika murni dianggap sebagai pembuktian dugaan Poincaré yang dilakukan oleh warga St. Petersburg, Grigory Perelman, pada tahun 2002–2003, yang dinyatakan pada tahun 1904 dan menyatakan: “setiap manifold tiga dimensi yang terhubung, terhubung sederhana, kompak tanpa batas adalah homeomorfik ke bidang S 3.”

Ada beberapa istilah dalam kalimat ini yang akan saya coba jelaskan agar makna umumnya jelas bagi non-matematika (saya asumsikan pembaca sudah lulus SMA dan masih ingat beberapa pelajaran matematika sekolahnya).

Mari kita mulai dengan konsep homeomorfisme, yang merupakan inti dari topologi. Secara umum, topologi sering didefinisikan sebagai "geometri karet", yaitu ilmu tentang sifat-sifat gambar geometris yang tidak berubah selama deformasi halus tanpa putus dan direkatkan, atau lebih tepatnya, apakah mungkin untuk membuat satu-ke- korespondensi yang satu dan saling berkesinambungan antara dua benda.

Ide utamanya paling mudah dijelaskan dengan menggunakan contoh klasik mug dan donat. Yang pertama dapat diubah menjadi yang kedua dengan deformasi terus menerus.

Gambar-gambar ini dengan jelas menunjukkan bahwa mug bersifat homeomorfik terhadap donat, dan fakta ini berlaku baik untuk permukaannya (manifold dua dimensi yang disebut torus) dan untuk benda berisi (manifold tiga dimensi dengan tepi).

Mari kita berikan interpretasi terhadap sisa istilah yang muncul dalam rumusan hipotesis.

Manifold tiga dimensi tanpa tepi. Merupakan benda geometris yang setiap titiknya mempunyai lingkungan berbentuk bola tiga dimensi. Contoh manifold 3 mencakup, pertama, seluruh ruang tiga dimensi, dilambangkan dengan R 3 , serta himpunan titik terbuka di R 3 , misalnya bagian dalam torus padat (donat). Jika kita menganggap torus padat tertutup, yaitu menambahkan titik-titik batasnya (permukaan torus), maka kita memperoleh manifold dengan tepi - titik-titik tepi tersebut tidak memiliki lingkungan berbentuk bola, tetapi hanya dalam bentuk dari setengah bola.
Terhubung. Konsep konektivitas di sini adalah yang paling sederhana. Suatu manifold terhubung jika terdiri dari satu bagian, atau, dengan kata lain, dua titik mana pun dapat dihubungkan oleh suatu garis kontinu yang tidak melampaui batas-batasnya.
Cukup terhubung. Konsep keterhubungan lebih kompleks. Artinya, setiap kurva tertutup kontinu yang terletak seluruhnya di dalam manifold tertentu dapat dikontraksi dengan mulus ke suatu titik tanpa meninggalkan manifold tersebut. Misalnya, sebuah bola dua dimensi biasa di R 3 dihubungkan secara sederhana (sebuah karet gelang, yang ditempatkan dengan cara apa pun pada permukaan sebuah apel, dapat ditarik dengan mulus ke satu titik dengan deformasi yang halus tanpa merobek karet gelang dari apel) . Di sisi lain, lingkaran dan torus tidak terhubung begitu saja.
Kompak. Manifold disebut kompak jika salah satu gambar homeomorfiknya mempunyai dimensi terbatas. Misalnya, interval terbuka pada sebuah garis (semua titik pada suatu segmen kecuali ujung-ujungnya) tidak kompak, karena dapat diperpanjang terus menerus hingga garis tak terhingga. Tetapi segmen tertutup (dengan ujung) adalah lipatan kompak dengan batas: untuk setiap deformasi kontinu, ujung-ujungnya mengarah ke beberapa titik tertentu, dan seluruh segmen harus membentuk kurva berbatas yang menghubungkan titik-titik ini.

Dimensi manifold adalah jumlah derajat kebebasan suatu titik yang “hidup” di atasnya. Setiap titik mempunyai lingkungan berupa piringan dengan dimensi yang bersesuaian, yaitu interval garis dalam kasus satu dimensi, lingkaran pada bidang dua dimensi, bola dalam tiga dimensi, dan seterusnya. Dari segi topologi, hanya ada dua manifold terhubung satu dimensi tanpa tepi: garis dan lingkaran. Dari jumlah tersebut, hanya lingkarannya yang kompak.

Contoh ruang yang bukan manifold adalah, misalnya sepasang garis yang berpotongan - lagi pula, pada titik potong dua garis, setiap lingkungan berbentuk salib, tidak ada lingkungan yang berbentuk salib. itu sendiri hanyalah sebuah interval (dan semua titik lainnya memiliki lingkungan seperti itu). Dalam kasus seperti itu, ahli matematika mengatakan bahwa kita berhadapan dengan suatu variasi khusus yang mempunyai satu titik khusus.

Manifold kompak dua dimensi sudah terkenal. Jika kita mempertimbangkan saja berorientasi berjenis-jenis tanpa batas, kemudian dari sudut pandang topologi mereka membentuk daftar yang sederhana, meskipun tak terbatas: dan seterusnya. Masing-masing manifold tersebut diperoleh dari sebuah bola dengan menempelkan beberapa pegangan, yang jumlahnya disebut genus permukaan.

Gambar tersebut menunjukkan permukaan dari genus 0, 1, 2 dan 3. Apa yang membuat bola menonjol dari semua permukaan dalam daftar ini? Ternyata kurva tersebut terhubung secara sederhana: pada sebuah bola, setiap kurva tertutup dapat dikontraksi menjadi suatu titik, namun pada permukaan lain selalu memungkinkan untuk menunjukkan sebuah kurva yang tidak dapat dikontraksi menjadi suatu titik di sepanjang permukaan.

Anehnya, lipatan kompak tiga dimensi tanpa batas dapat diklasifikasikan dalam arti tertentu, yaitu disusun dalam daftar tertentu, meskipun tidak sesederhana dalam kasus dua dimensi, tetapi memiliki struktur yang agak rumit. Namun, bola 3D S 3 menonjol dalam daftar ini sama seperti bola 2D dalam daftar di atas. Fakta bahwa setiap kurva pada S 3 berkontraksi ke suatu titik dibuktikan sesederhana seperti dalam kasus dua dimensi. Namun pernyataan sebaliknya, yaitu bahwa sifat ini unik khususnya untuk bola, yaitu bahwa pada manifold tiga dimensi lainnya terdapat kurva yang tidak dapat dikontrak, sangat sulit dan merupakan isi dari dugaan Poincaré yang sedang kita bicarakan. .

Penting untuk dipahami bahwa keberagaman dapat hidup dengan sendirinya; keberagaman dapat dianggap sebagai suatu objek yang mandiri, tidak bersarang di mana pun. (Bayangkan hidup sebagai makhluk dua dimensi di permukaan bola biasa, tanpa menyadari keberadaan dimensi ketiga.) Untungnya, semua permukaan dua dimensi dalam daftar di atas dapat disarangkan di ruang R3 biasa, sehingga membuatnya lebih mudah untuk memvisualisasikan. Untuk bola tiga dimensi S 3 (dan secara umum untuk manifold tiga dimensi kompak tanpa batas) hal ini tidak lagi terjadi, sehingga diperlukan upaya untuk memahami strukturnya.

Rupanya, cara paling sederhana untuk menjelaskan struktur topologi bola tiga dimensi S 3 adalah dengan menggunakan pemadatan satu titik. Yakni, bola tiga dimensi S 3 adalah pemadatan satu titik dari ruang tiga dimensi biasa (tak terbatas) R 3 .

Mari kita jelaskan dulu konstruksi ini dengan menggunakan contoh sederhana. Mari kita ambil garis lurus biasa yang tak terhingga (analog ruang satu dimensi) dan menambahkan satu titik “jarak tak terhingga” ke dalamnya, dengan asumsi bahwa ketika kita bergerak sepanjang garis lurus ke kanan atau kiri, kita akhirnya sampai ke titik ini. Dari segi topologi, tidak ada perbedaan antara garis tak terhingga dan ruas garis terbuka berbatas (tanpa titik ujung). Segmen seperti itu dapat terus menerus ditekuk dalam bentuk busur, mendekatkan ujungnya dan merekatkan titik yang hilang di persimpangan. Kita jelas akan mendapatkan lingkaran - analogi satu dimensi dari sebuah bola.

Dengan cara yang sama, jika saya mengambil bidang tak hingga dan menambahkan satu titik di tak terhingga, yang cenderung menjadi semua garis lurus pada bidang asal, melewati segala arah, maka kita mendapatkan bola dua dimensi (biasa) S 2. Prosedur ini dapat diamati dengan menggunakan proyeksi stereografik, yang menetapkan setiap titik P pada bola, kecuali kutub utara N, suatu titik tertentu pada bidang P."

Jadi, bola tanpa satu titik secara topologi sama dengan bidang, dan menambahkan satu titik akan mengubah bidang tersebut menjadi bola.

Pada prinsipnya konstruksi yang sama persis berlaku untuk bola tiga dimensi dan ruang tiga dimensi, hanya saja untuk implementasinya perlu memasuki dimensi keempat, dan ini tidak mudah untuk digambarkan dalam sebuah gambar. Oleh karena itu, saya akan membatasi diri pada deskripsi verbal tentang pemadatan ruang satu titik R 3 .

Bayangkan bahwa ke dalam ruang fisik kita (yang kita, mengikuti Newton, anggap sebagai ruang Euclidean tak terbatas dengan tiga koordinat x, y, z) satu titik “di tak terhingga” ditambahkan sedemikian rupa sehingga ketika bergerak dalam garis lurus di sembarang arah Anda sampai di sana (yaitu, setiap garis spasial ditutup menjadi lingkaran). Kemudian kita mendapatkan manifold tiga dimensi yang kompak, yang menurut definisinya adalah bola S 3 .

Sangat mudah untuk memahami bahwa bola S 3 terhubung secara sederhana. Faktanya, setiap kurva tertutup pada bola ini dapat digeser sedikit sehingga tidak melewati titik yang ditambahkan. Kemudian kita mendapatkan sebuah kurva di ruang biasa R 3, yang dengan mudah berkontraksi ke suatu titik melalui homotheties, yaitu kompresi terus menerus di ketiga arah.

Untuk memahami bagaimana struktur varietas S 3, sangatlah penting untuk mempertimbangkan pembagiannya menjadi dua tori padat. Jika kita menghilangkan torus padat dari ruang R 3, maka sesuatu yang tidak terlalu jelas akan tetap ada. Dan jika ruang dipadatkan menjadi sebuah bola, maka pelengkap ini juga berubah menjadi torus padat. Artinya, bola S 3 dibagi menjadi dua tori padat yang memiliki batas yang sama - sebuah torus.

Begini cara Anda memahaminya. Mari kita sematkan torus di R 3 seperti biasa, dalam bentuk donat bulat, dan menggambar garis vertikal - sumbu rotasi donat ini. Kita menggambar bidang sembarang melalui sumbunya; bidang tersebut akan memotong torus padat kita di sepanjang dua lingkaran yang ditunjukkan dengan warna hijau pada gambar, dan bagian tambahan bidang tersebut dibagi menjadi rangkaian lingkaran merah yang berkesinambungan. Ini termasuk poros tengah, yang disorot lebih berani, karena pada bola S 3 garis lurus menutup menjadi lingkaran. Gambar tiga dimensi diperoleh dari gambar dua dimensi ini dengan cara memutar pada suatu sumbu. Satu set lengkap lingkaran yang diputar akan mengisi tubuh tiga dimensi, homeomorfik hingga torus padat, hanya terlihat tidak biasa.

Faktanya, poros tengahnya akan menjadi lingkaran aksial di dalamnya, dan sisanya akan berperan sebagai paralel - lingkaran yang membentuk torus padat biasa.

Untuk membandingkan bola 3, saya akan memberikan contoh lain dari manifold 3 kompak, yaitu torus tiga dimensi. Torus tiga dimensi dapat dibuat sebagai berikut. Mari kita ambil kubus tiga dimensi biasa sebagai bahan awal:

Ia memiliki tiga pasang tepi: kiri dan kanan, atas dan bawah, depan dan belakang. Di setiap pasangan wajah paralel, kami mengidentifikasi secara berpasangan titik-titik yang diperoleh satu sama lain dengan mentransfer sepanjang tepi kubus. Artinya, kita akan berasumsi (secara abstrak murni, tanpa menggunakan deformasi fisik) bahwa, misalnya, A dan A" adalah titik yang sama, dan B dan B" juga merupakan satu titik, tetapi berbeda dari titik A. Semua titik internal kubus Kami akan menganggapnya seperti biasa. Kubus itu sendiri berbentuk manifold dengan tepinya, tetapi setelah pengeleman selesai, tepinya menutup dengan sendirinya dan menghilang. Faktanya, lingkungan titik A dan A" dalam kubus (terletak di sisi kiri dan kanan permukaan yang diarsir) adalah separuh bola, yang, setelah permukaannya direkatkan, bergabung menjadi satu bola utuh, yang berfungsi sebagai lingkungan dari titik yang sesuai dari torus tiga dimensi.

Untuk merasakan struktur 3-torus berdasarkan gagasan sehari-hari tentang ruang fisik, Anda perlu memilih tiga arah yang saling tegak lurus: depan, kiri, dan atas - dan secara mental pertimbangkan, seperti dalam cerita fiksi ilmiah, bahwa ketika bergerak ke salah satu arah ini , dalam waktu yang cukup lama namun terbatas , kita akan kembali ke titik awal, namun dari arah yang berlawanan. Ini juga merupakan “pemadatan ruang”, namun bukan metode satu titik yang digunakan sebelumnya untuk membuat sebuah bola, melainkan metode yang lebih kompleks.

Terdapat jalur yang tidak dapat dikontrak pada torus tiga dimensi; misalnya, ini adalah segmen AA" pada gambar (pada torus mewakili jalur tertutup). Segmen ini tidak dapat dikontrak, karena untuk setiap deformasi kontinu, titik A dan A" harus bergerak sepanjang permukaannya, tetap saling berhadapan ( jika tidak, kurva akan terbuka).

Jadi, kita melihat bahwa ada manifold 3 kompak yang terhubung sederhana dan tidak terhubung sederhana. Perelman membuktikan bahwa manifold yang terhubung secara sederhana adalah tepat satu.

Ide awal dari pembuktiannya adalah dengan menggunakan apa yang disebut “aliran Ricci”: kita mengambil manifold 3 kompak yang terhubung sederhana, memberinya geometri sembarang (yaitu memperkenalkan beberapa metrik dengan jarak dan sudut), dan kemudian mempertimbangkan evolusinya di sepanjang aliran Ricci. Richard Hamilton, yang mengajukan gagasan ini pada tahun 1981, berharap bahwa evolusi ini akan mengubah keberagaman kita menjadi sebuah ruang. Ternyata hal tersebut tidak benar - dalam kasus tiga dimensi, aliran Ricci mampu merusak manifold, yaitu menjadikannya non-manifold (sesuatu yang memiliki titik tunggal, seperti pada contoh garis berpotongan di atas) . Perelman, dengan mengatasi kesulitan teknis yang luar biasa, menggunakan peralatan persamaan diferensial parsial yang berat, berhasil melakukan koreksi pada aliran Ricci di dekat titik tunggal sedemikian rupa sehingga selama evolusi topologi manifold tidak berubah, tidak ada titik tunggal yang muncul, dan pada akhirnya, itu berubah menjadi bola bulat. Namun pada akhirnya kita harus menjelaskan apa itu aliran Ricci. Aliran yang digunakan oleh Hamilton dan Perelman mengacu pada perubahan metrik intrinsik pada manifold abstrak, dan ini cukup sulit untuk dijelaskan, jadi saya akan membatasi diri untuk mendeskripsikan aliran Ricci “eksternal” pada manifold satu dimensi yang tertanam pada bidang.

Mari kita bayangkan sebuah kurva tertutup mulus pada bidang Euclidean, pilih arahnya dan pertimbangkan vektor singgung satuan panjang di setiap titik. Kemudian, ketika mengelilingi kurva ke arah yang dipilih, vektor ini akan berputar dengan kecepatan sudut tertentu, yang disebut kelengkungan. Di tempat yang kurvanya lebih curam, kelengkungannya (dalam nilai absolut) akan lebih besar, dan di tempat yang lebih halus, kelengkungannya akan lebih kecil.

Kita anggap kelengkungan positif jika vektor kecepatan berbelok ke arah bagian dalam bidang, dibagi kurva kita menjadi dua bagian, dan negatif jika berbelok ke luar. Konvensi ini tidak bergantung pada arah lintasan kurva. Pada titik belok yang arah putarannya berubah, kelengkungannya akan menjadi 0. Misalnya, lingkaran berjari-jari 1 memiliki kelengkungan positif konstan sebesar 1 (jika diukur dalam radian).

Sekarang mari kita lupakan vektor singgung dan, sebaliknya, lampirkan pada setiap titik kurva sebuah vektor yang tegak lurus terhadapnya, sama panjangnya dengan kelengkungan pada suatu titik tertentu dan diarahkan ke dalam jika kelengkungannya positif, dan ke luar jika kelengkungannya negatif. , lalu buat setiap titik bergerak searah dengan vektor yang bersesuaian dengan kecepatan sebanding dengan panjangnya. Berikut ini contohnya:

Ternyata setiap kurva tertutup pada bidang berperilaku serupa selama evolusi tersebut, yaitu pada akhirnya berubah menjadi lingkaran. Ini merupakan pembuktian analogi satu dimensi dugaan Poincaré menggunakan aliran Ricci (namun pernyataannya sendiri dalam hal ini sudah jelas, hanya saja metode pembuktiannya menggambarkan apa yang terjadi pada dimensi 3).

Sebagai kesimpulan, mari kita perhatikan bahwa alasan Perelman tidak hanya membuktikan dugaan Poincaré, tetapi juga dugaan geometriisasi Thurston yang jauh lebih umum, yang dalam arti tertentu menggambarkan struktur semua manifold tiga dimensi yang umumnya kompak. Namun topik ini berada di luar cakupan artikel dasar ini.

Karena kurangnya ruang, saya tidak akan berbicara tentang manifold yang tidak dapat diorientasikan, contohnya adalah botol Klein yang terkenal - permukaan yang tidak dapat tertanam di ruang angkasa tanpa perpotongan sendiri.

Pada tahun 1904, Henri Poincaré mengusulkan bahwa objek tiga dimensi apa pun yang memiliki sifat tertentu dari bola-3 dapat diubah menjadi bola-3. Butuh 99 tahun untuk membuktikan hipotesis ini. (Peringatan! Bola tiga dimensi tidak seperti yang Anda pikirkan.) Ahli matematika Rusia membuktikan dugaan Poincaré yang dikemukakan satu abad yang lalu dan menyelesaikan pembuatan katalog bentuk ruang tiga dimensi. Mungkin dia akan menerima bonus $1 juta.

Lihatlah sekeliling. Benda-benda di sekitar Anda, seperti Anda sendiri, adalah kumpulan partikel yang bergerak dalam ruang tiga dimensi (manifold 3), yang membentang ke segala arah selama miliaran tahun cahaya.

Manifold adalah konstruksi matematika. Sejak zaman Galileo dan Kepler, para ilmuwan telah berhasil mendeskripsikan realitas dalam satu cabang matematika atau lainnya. Fisikawan percaya bahwa segala sesuatu di dunia terjadi dalam ruang tiga dimensi dan posisi partikel apa pun dapat ditentukan oleh tiga angka, misalnya lintang, bujur, dan ketinggian (mari kita kesampingkan dulu asumsi yang dibuat dalam teori string bahwa selain itu ke tiga dimensi yang kita amati, ada beberapa tambahan).

Menurut fisika kuantum klasik dan tradisional, ruang adalah tetap dan tidak berubah. Pada saat yang sama, teori relativitas umum menganggapnya sebagai partisipan aktif dalam peristiwa: jarak antara dua titik bergantung pada gelombang gravitasi yang lewat dan seberapa banyak materi dan energi yang berada di dekatnya. Namun dalam fisika Newton dan Einstein, ruang - tak terbatas atau terbatas - bagaimanapun juga adalah manifold 3. Oleh karena itu, untuk memahami sepenuhnya dasar-dasar yang mendasari hampir semua ilmu pengetahuan modern, perlu dipahami sifat-sifat manifold-3 (manifold-4 juga tidak kalah menariknya, karena ruang dan waktu bersama-sama merupakan salah satunya).

Cabang matematika yang mempelajari manifold disebut topologi. Ahli topologi pertama kali mengajukan pertanyaan mendasar: jenis manifold 3 apa yang paling sederhana (yaitu, paling tidak rumit)? Apakah ia memiliki saudara yang sama sederhananya atau unik? Jenis manifold 3 apa yang ada?

Jawaban atas pertanyaan pertama telah diketahui sejak lama: manifold 3 kompak yang paling sederhana adalah ruang yang disebut bola 3 (Manifold non-kompak tidak terbatas atau memiliki tepi. Di bawah ini, hanya manifold kompak yang dipertimbangkan). Dua pertanyaan lainnya masih terbuka selama satu abad. Baru pada tahun 2002 pertanyaan tersebut dijawab oleh ahli matematika Rusia Grigory Perelman, yang tampaknya mampu membuktikan dugaan Poincaré.

Tepat seratus tahun yang lalu, ahli matematika Perancis Henri Poincaré mengusulkan bahwa bola-3 itu unik dan tidak ada manifold-3 kompak lainnya yang memiliki sifat yang membuatnya begitu sederhana. Manifold 3 yang lebih kompleks memiliki batas yang berdiri seperti dinding bata, atau banyak koneksi antar area tertentu, seperti jalur hutan yang bercabang dan kemudian bergabung kembali. Objek tiga dimensi apa pun dengan sifat bola 3 dapat diubah menjadi objek itu sendiri, sehingga bagi ahli topologi, objek tersebut tampak hanyalah salinannya. Pembuktian Perelman juga memungkinkan kita menjawab pertanyaan ketiga dan mengklasifikasikan semua manifold-3 yang ada.

Anda memerlukan imajinasi yang cukup untuk membayangkan 3 bola (lihat MUSIK MULTI-DIMENSI BULAT). Untungnya, ia memiliki banyak kesamaan dengan bola-2, contoh tipikalnya adalah karet balon bundar: ia bersifat dua dimensi, karena setiap titik di atasnya hanya ditentukan oleh dua koordinat - garis lintang dan garis bujur. Jika Anda memeriksa area yang cukup kecil di bawah kaca pembesar yang kuat, itu akan tampak seperti lembaran datar. Bagi seekor serangga kecil yang merayap di atas balon, permukaannya akan tampak datar. Namun jika booger bergerak dalam garis lurus cukup lama, pada akhirnya ia akan kembali ke titik berangkatnya. Dengan cara yang sama, kita akan menganggap 3 bola seukuran Alam Semesta kita sebagai ruang tiga dimensi “biasa”. Jika kita terbang cukup jauh ke suatu arah, pada akhirnya kita akan "mengelilinginya" dan kembali ke titik awal.

Seperti yang sudah Anda duga, bola berdimensi n disebut bola n. Misalnya, bola 1 sudah tidak asing lagi bagi semua orang: ia hanyalah sebuah lingkaran.

Grigory Perelman menyajikan bukti dugaan Poincaré dan penyelesaian program geometriisasi Thurston pada seminar di Universitas Princeton pada bulan April 2003.

Menguji hipotesis

Setengah abad berlalu sebelum masalah dugaan Poincaré muncul. Di tahun 60an abad XX matematikawan telah membuktikan pernyataan serupa untuk bidang lima dimensi atau lebih. Dalam setiap kasus, n-sphere memang merupakan satu-satunya n-manifold yang paling sederhana. Anehnya, ternyata lebih mudah mendapatkan hasil untuk bola multidimensi dibandingkan bola 3 dan 4. Bukti empat dimensi muncul pada tahun 1982. Dan hanya dugaan asli Poincaré tentang bola-3 yang masih belum dikonfirmasi.

Langkah tegas diambil pada November 2002, ketika Grigory Perelman, seorang ahli matematika dari Institut Matematika cabang St. Steklov, mengirimkan artikel tersebut ke situs www.arxiv.org, tempat fisikawan dan matematikawan dari seluruh dunia mendiskusikan hasil kegiatan ilmiah mereka. Ahli topologi segera memahami hubungan antara karya ilmuwan Rusia dan dugaan Poincaré, meskipun penulis tidak menyebutkannya secara langsung. Pada bulan Maret 2003, Perelman menerbitkan artikel kedua dan pada musim semi tahun itu ia mengunjungi Amerika Serikat dan memberikan beberapa seminar di Massachusetts Institute of Technology dan State University of New York di Stony Brook. Beberapa kelompok matematikawan di institut terkemuka segera memulai studi mendetail atas karya yang dikirimkan dan mencari kesalahan.

TINJAUAN: BUKTI HIPOTESIS POINCARES

Selama satu abad penuh, para ahli matematika telah mencoba membuktikan asumsi Henri Poincaré tentang kesederhanaan dan keunikan bola 3 yang luar biasa di antara semua objek tiga dimensi.
Dasar pemikiran dugaan Poincaré akhirnya muncul dalam karya matematikawan muda Rusia Grigory Perelman. Dia juga menyelesaikan program ekstensif klasifikasi manifold tiga dimensi.
Mungkin Alam Semesta kita berbentuk 3 bola. Ada hubungan menarik lainnya antara matematika dan fisika partikel dan relativitas umum.

Di Stony Brook, Perelman memberikan beberapa ceramah selama dua minggu, berbicara tiga sampai enam jam sehari. Beliau menyampaikan materi dengan sangat jelas dan menjawab semua pertanyaan yang muncul. Masih ada satu langkah kecil tersisa sebelum hasil akhir diperoleh, namun tidak diragukan lagi hal itu akan segera terlaksana. Artikel pertama memperkenalkan pembaca pada ide-ide yang mendasarinya dan dianggap sepenuhnya terverifikasi. Artikel kedua membahas isu-isu terapan dan nuansa teknis; itu belum menginspirasi kepercayaan penuh seperti pendahulunya.

Pada tahun 2000, Institut Matematika dinamai. Clay di Cambridge, Massachusetts, telah menetapkan hadiah $1 juta untuk membuktikan masing-masing dari tujuh Masalah Milenium, salah satunya dianggap sebagai dugaan Poincaré. Sebelum seorang ilmuwan dapat mengklaim hadiah tersebut, buktinya harus dipublikasikan dan ditinjau secara cermat selama dua tahun.

Karya Perelman memperluas dan melengkapi program penelitian yang dilakukan pada tahun 90-an. abad terakhir oleh Richard S. Hamilton dari Universitas Columbia. Pada akhir tahun 2003, karya matematikawan Amerika dianugerahi Clay Institute Prize. Perelman berhasil dengan gemilang mengatasi sejumlah kendala yang tak mampu diatasi Hamilton.

Faktanya, bukti Perelman, yang kebenarannya belum dapat dipertanyakan oleh siapa pun, memecahkan lebih banyak masalah daripada dugaan Poincaré itu sendiri. Prosedur geometriisasi yang diusulkan oleh William P. Thurston dari Cornell University memungkinkan klasifikasi lengkap dari manifold-3 berdasarkan pada bola-3, unik dalam kesederhanaannya yang luar biasa. Jika dugaan Poincaré salah, mis. Jika terdapat banyak ruang yang sederhana seperti bola, maka klasifikasi manifold-3 akan berubah menjadi sesuatu yang jauh lebih kompleks. Berkat Perelman dan Thurston, kita memiliki katalog lengkap dari semua bentuk ruang tiga dimensi yang mungkin secara matematis yang dapat dimiliki oleh Alam Semesta kita (jika kita hanya mempertimbangkan ruang tanpa waktu).

Bagel karet

Untuk lebih memahami dugaan Poincaré dan bukti Perelman, Anda harus melihat lebih dekat pada topologi. Dalam cabang matematika ini, bentuk suatu benda tidak menjadi masalah, seolah-olah benda itu terbuat dari adonan yang dapat diregangkan, dikompres, dan dibengkokkan dengan cara apa pun. Mengapa kita harus memikirkan benda atau ruang yang terbuat dari adonan khayalan? Faktanya adalah bahwa bentuk pasti suatu benda – jarak antara semua titiknya – mengacu pada tingkat struktural yang disebut geometri. Dengan memeriksa suatu objek dari suatu adonan, ahli topologi mengidentifikasi sifat dasarnya yang tidak bergantung pada struktur geometris. Mempelajari topologi seperti mencari ciri-ciri paling umum yang dimiliki manusia dengan melihat “manusia plastisin” yang dapat diubah menjadi individu tertentu.

Dalam literatur populer, sering kali ada pernyataan basi bahwa, dari sudut pandang topologi, cangkir tidak berbeda dengan donat. Faktanya, secangkir adonan bisa diubah menjadi donat hanya dengan menghancurkan bahannya, yaitu dengan menghancurkannya. tanpa membutakan apapun atau membuat lubang (lihat TOPOLOGI PERMUKAAN). Sebaliknya, untuk membuat donat dari bola-bola pasti perlu dilubangi atau digulung menjadi silinder dan dibentuk ujungnya, sehingga bola sama sekali bukan donat.

Ahli topologi paling tertarik pada permukaan bola dan donat. Oleh karena itu, alih-alih benda padat, Anda sebaiknya membayangkan balon. Topologinya masih berbeda karena balon berbentuk bola tidak dapat diubah menjadi berbentuk cincin yang disebut torus. Pertama, para ilmuwan memutuskan untuk mencari tahu berapa banyak objek dengan topologi berbeda yang ada dan bagaimana mereka dapat dikarakterisasi. Untuk manifold 2, yang biasa kita sebut permukaan, jawabannya elegan dan sederhana: semuanya ditentukan oleh jumlah “lubang” atau, yang sama, jumlah pegangan (lihat TOPOLOGI PERMUKAAN). akhir abad ke-19. Para ahli matematika menemukan cara mengklasifikasikan permukaan dan menentukan bahwa permukaan yang paling sederhana adalah bola. Tentu saja, para ahli topologi mulai memikirkan tentang manifold-3: apakah bola-3 unik dalam kesederhanaannya? Sejarah pencarian jawaban selama satu abad penuh dengan kesalahan langkah dan bukti yang cacat.

Henri Poincaré membahas masalah ini dengan cermat. Dia adalah salah satu dari dua ahli matematika paling kuat di awal abad ke-20. (yang lainnya adalah David Gilbert). Dia disebut sebagai universalis terakhir - dia berhasil bekerja di semua bidang matematika murni dan terapan. Selain itu, Poincaré memberikan kontribusi yang sangat besar terhadap perkembangan mekanika angkasa, teori elektromagnetisme, serta filsafat ilmu pengetahuan, yang tentangnya ia menulis beberapa buku populer.

Poincaré menjadi pendiri topologi aljabar dan, dengan menggunakan metodenya, pada tahun 1900 ia merumuskan karakteristik topologi suatu objek, yang disebut homotopi. Untuk menentukan homotopi suatu manifold, Anda perlu membenamkan loop tertutup secara mental ke dalamnya (lihat TOPOLOGI PERMUKAAN). Maka Anda harus mencari tahu apakah selalu mungkin untuk mengontraksikan loop ke suatu titik dengan memindahkannya ke dalam manifold. Untuk torus, jawabannya negatif: jika Anda memasang lingkaran di sekeliling keliling torus, Anda tidak akan bisa mengencangkannya sampai pada titik tertentu, karena “lubang” donat akan menghalangi. Homotopi adalah jumlah jalur berbeda yang dapat mencegah kontraksi loop.

MUSIK MULTI-DIMENSI DI BIDANG

Tidak mudah membayangkan 3 bola. Matematikawan yang membuktikan teorema tentang ruang berdimensi lebih tinggi tidak harus membayangkan objek studinya: mereka berurusan dengan sifat-sifat abstrak, dipandu oleh intuisi berdasarkan analogi dengan dimensi yang lebih kecil (analogi tersebut harus diperlakukan dengan hati-hati dan tidak dipahami secara harfiah). Kami juga akan mempertimbangkan 3-bola, berdasarkan properti objek dengan dimensi lebih kecil.

1. Mari kita mulai dengan melihat sebuah lingkaran dan lingkaran di sekelilingnya. Bagi ahli matematika, lingkaran adalah bola dua dimensi, dan lingkaran adalah bola satu dimensi. Selanjutnya, bola dengan ukuran berapa pun adalah benda berisi, mengingatkan pada semangka, dan bola adalah permukaannya, lebih mirip balon. Lingkaran bersifat satu dimensi karena kedudukan suatu titik pada lingkaran tersebut dapat ditentukan dengan satu bilangan.

2. Dari dua lingkaran kita dapat membuat bola dua dimensi, mengubah salah satunya menjadi Belahan Bumi Utara dan yang lainnya menjadi Belahan Bumi Selatan. Yang tersisa hanyalah merekatkannya, dan 2 bola sudah siap.

3. Bayangkan seekor semut merangkak dari Kutub Utara sepanjang lingkaran besar yang dibentuk oleh meridian utama dan meridian ke-180 (kiri). Jika kita memetakan jalurnya ke dua lingkaran asal (di sebelah kanan), kita melihat bahwa serangga tersebut bergerak lurus (1) ke tepi lingkaran utara (a), kemudian melintasi perbatasan, mencapai titik yang sesuai di lingkaran tersebut. lingkaran selatan dan terus mengikuti garis lurus (2 dan 3). Kemudian semut kembali mencapai tepi (b), melintasinya dan kembali menemukan dirinya berada di lingkaran utara, bergegas menuju titik awal - Kutub Utara (4). Perhatikan bahwa saat berkeliling dunia dengan 2 bola, arah pergerakannya terbalik saat berpindah dari satu lingkaran ke lingkaran lainnya.

4. Sekarang perhatikan 2 bola kita dan volume yang dikandungnya (bola tiga dimensi) dan lakukan hal yang sama seperti pada lingkaran dan lingkaran: ambil dua salinan bola dan rekatkan batasnya. Tidak mungkin dan tidak perlu untuk menunjukkan dengan jelas bagaimana bola terdistorsi dalam empat dimensi dan berubah menjadi analogi belahan bumi. Cukup mengetahui titik-titik yang bersesuaian pada permukaan, mis. 2 bola dihubungkan satu sama lain dengan cara yang sama seperti pada lingkaran. Hasil penyambungan dua bola adalah 3 bola – permukaan bola empat dimensi. (Dalam empat dimensi, jika terdapat bola 3 dan bola 4, permukaan suatu benda adalah tiga dimensi.) Sebut saja satu bola sebagai belahan bumi utara dan bola lainnya sebagai belahan bumi selatan. Dengan analogi lingkaran, kutub kini terletak di tengah-tengah bola.

5. Bayangkan bola yang dimaksud adalah ruang kosong yang luas. Katakanlah seorang astronot berangkat dari Kutub Utara dengan roket. Seiring berjalannya waktu, ia mencapai garis khatulistiwa (1), yang kini menjadi bola yang mengelilingi bola utara. Melewatinya, roket memasuki belahan bumi selatan dan bergerak dalam garis lurus melalui pusatnya - Kutub Selatan - ke sisi berlawanan dari ekuator (2 dan 3). Di sana transisi ke belahan bumi utara terjadi lagi, dan pelancong kembali ke Kutub Utara, yaitu. ke titik awal (4). Inilah skenario perjalanan keliling dunia di atas permukaan bola 4 dimensi! Bola tiga dimensi yang dipertimbangkan adalah ruang yang dimaksud dalam dugaan Poincaré. Mungkin Alam Semesta kita sebenarnya berbentuk 3 bola.
Alasannya dapat diperluas ke lima dimensi dan membangun 4 bola, tetapi hal ini sangat sulit untuk dibayangkan. Jika Anda merekatkan dua n-bola di sepanjang (n–1)-bola yang mengelilinginya, Anda akan mendapatkan n-bola yang membatasi bola (n+1).

Pada n-sphere, loop apa pun, bahkan loop yang rumit sekalipun, selalu dapat diurai dan ditarik menjadi satu titik. (Sebuah loop diperbolehkan melewati dirinya sendiri.) Poincaré berasumsi bahwa bola-3 adalah satu-satunya manifold-3 di mana setiap loop dapat dikontrakkan ke suatu titik. Sayangnya, ia tidak pernah mampu membuktikan dugaannya yang kemudian dikenal dengan dugaan Poincaré. Selama seratus tahun terakhir, banyak orang yang menawarkan bukti versi mereka sendiri, namun hanya untuk diyakinkan akan kesalahannya. (Untuk memudahkan pemaparan, saya mengabaikan dua kasus khusus: yang disebut manifold non-orientable dan manifold dengan tepi. Misalnya, bola dengan segmen yang dipotong memiliki tepi, dan loop Möbius tidak hanya memiliki tepi. , tetapi juga tidak dapat diorientasikan.)

Geometrisasi

Analisis Perelman mengenai 3-manifold berkaitan erat dengan prosedur geometriisasi. Geometri berkaitan dengan bentuk sebenarnya suatu benda dan ragamnya, tidak lagi terbuat dari adonan, melainkan dari keramik. Misalnya, cangkir dan donat berbeda secara geometris karena lengkung permukaannya berbeda. Dikatakan bahwa cangkir dan donat adalah dua contoh torus topologi yang diberi bentuk geometris berbeda.

Untuk memahami mengapa Perelman menggunakan geometriisasi, pertimbangkan klasifikasi manifold-2. Setiap permukaan topologi diberi geometri unik yang kelengkungannya didistribusikan secara merata ke seluruh manifold. Misalnya, untuk sebuah bola, permukaannya berbentuk bola sempurna. Kemungkinan geometri lain untuk bola topologi adalah telur, tetapi kelengkungannya tidak merata di semua tempat: ujung yang tajam lebih melengkung daripada ujung yang tumpul.

Manifold 2 membentuk tiga tipe geometri (lihat GEOMETRISASI). Bola mempunyai ciri kelengkungan positif. Torus geometri berbentuk datar dan memiliki kelengkungan nol. Semua manifold 2 lainnya dengan dua atau lebih "lubang" memiliki kelengkungan negatif. Mereka berhubungan dengan permukaan yang mirip dengan pelana, yang melengkung ke atas di depan dan belakang, dan ke bawah di kiri dan kanan. Poincaré mengembangkan klasifikasi geometris (geometrisasi) manifold 2 bersama dengan Paul Koebe dan Felix Klein, yang kemudian diberi nama botol Klein.

Ada keinginan alami untuk menerapkan metode serupa pada manifold 3. Mungkinkah menemukan konfigurasi unik untuk masing-masing konfigurasi di mana kelengkungan akan didistribusikan secara merata ke seluruh variasi?

Ternyata manifold 3 jauh lebih kompleks daripada manifold dua dimensi dan sebagian besar tidak dapat diberi geometri homogen. Mereka harus dibagi menjadi beberapa bagian yang sesuai dengan salah satu dari delapan geometri kanonik. Prosedur ini mirip dengan penguraian suatu bilangan menjadi faktor prima.

TOPOLOGI PERMUKAAN

DALAM TOPOLOGI bentuk persisnya, yaitu. geometri tidak relevan: benda diperlakukan seolah-olah terbuat dari adonan dan dapat diregangkan, dikompresi, dan dipelintir. Namun, tidak ada yang bisa dipotong atau dilem. Jadi, benda apa pun yang berlubang satu, misalnya cangkir kopi (kiri), disamakan dengan donat atau torus (kanan).

Manifold atau permukaan DUA DIMENSI APA PUN (terbatas pada objek kompak yang dapat diorientasikan) dapat dibuat dengan menambahkan pegangan pada bola (a). Mari kita tempel satu dan membuat permukaan jenis pertama, yaitu. torus atau donat (kanan atas), tambahkan yang kedua - kita mendapatkan permukaan jenis ke-2 (b), dll.

Keunikan dari 2-bola di antara permukaannya adalah bahwa setiap loop tertutup yang tertanam di dalamnya dapat dikontrakkan ke titik (a). Pada torus, hal ini dapat dicegah dengan membuat lubang tengah (b). Permukaan apa pun kecuali 2 bola memiliki pegangan yang mencegah loop mengencang. Poincaré menyatakan bahwa bola-3 adalah unik di antara manifold tiga dimensi: hanya pada bola tersebut loop mana pun dapat dikontrakkan ke suatu titik.

Prosedur klasifikasi ini pertama kali diusulkan oleh Thurston pada akhir tahun 70an. abad terakhir. Bersama rekan-rekannya, dia membuktikan sebagian besarnya, tetapi mereka tidak dapat membuktikan beberapa poin penting (termasuk dugaan Poincaré). Apakah 3 bola itu unik? Jawaban yang dapat diandalkan untuk pertanyaan ini pertama kali muncul di artikel Perelman.

Bagaimana manifold dapat digeometrikan dan diberi kelengkungan yang seragam di semua tempat? Anda perlu mengambil beberapa geometri sewenang-wenang dengan berbagai tonjolan dan lekukan, lalu menghaluskan semua penyimpangan. Di awal tahun 90an. abad XX Hamilton mulai menganalisis 3 manifold menggunakan persamaan aliran Ricci, yang diambil dari nama ahli matematika Gregorio Ricci-Curbastro. Hal ini agak mirip dengan persamaan konduksi panas, yang menggambarkan aliran panas yang mengalir dalam suatu benda yang dipanaskan secara tidak merata hingga suhunya menjadi sama di semua tempat. Dengan cara yang sama, persamaan aliran Ricci menentukan perubahan kelengkungan manifold yang mengarah pada penyelarasan semua tonjolan dan ceruk. Misalnya, jika Anda memulai dengan telur, lambat laun telur itu akan menjadi bulat.

GEOMETRISASI

UNTUK MENGKLASIFIKASI 2 manifold, Anda dapat menggunakan penyeragaman atau geometriisasi: berikan geometri tertentu, bentuk kaku. Secara khusus, setiap manifold dapat diubah sehingga kelengkungannya terdistribusi secara merata. Bola (a) berbentuk unik dengan kelengkungan positif konstan: melengkung di mana-mana seperti puncak bukit. Torus (b) dapat dibuat rata, mis. dimana-mana mempunyai kelengkungan nol. Untuk melakukan ini, Anda perlu memotong dan meluruskannya. Silinder yang dihasilkan harus dipotong memanjang dan dibuka hingga membentuk bidang persegi panjang. Dengan kata lain, torus dapat dipetakan ke dalam bidang. Permukaan tipe 2 dan lebih tinggi (c) dapat diberi kelengkungan negatif yang konstan, dan geometrinya akan bergantung pada jumlah pegangan. Di bawah ini adalah permukaan berbentuk pelana dengan kelengkungan negatif konstan.

MENGKLASIFIKASI 3 VARIETAS jauh lebih sulit. Manifold 3 harus dibagi menjadi beberapa bagian, yang masing-masing dapat diubah menjadi salah satu dari delapan geometri 3 dimensi kanonik. Contoh di bawah ini (ditunjukkan sebagai manifold 2 berwarna biru untuk mempermudah) terdiri dari 3 geometri dengan kelengkungan konstan positif (a), nol (b), dan konstan negatif (c), serta “hasil kali” dari a 2 -bola dan lingkaran (d) dan permukaan dengan kelengkungan negatif dan lingkaran (e).

Namun, Hamilton menemui kesulitan tertentu: dalam beberapa kasus, aliran Ricci menyebabkan kompresi manifold dan pembentukan leher yang sangat tipis. (Ini berbeda dengan aliran panas: pada titik jepit suhunya akan sangat tinggi.) Salah satu contohnya adalah manifold berbentuk halter. Bola tersebut tumbuh dengan menarik material dari jembatan, yang mengecil hingga menjadi titik di tengahnya (lihat FITUR COMBATING). Dalam kasus lain, ketika batang tipis menonjol dari manifold, aliran Ricci menyebabkan munculnya apa yang disebut singularitas berbentuk cerutu. Dalam manifold 3 beraturan, lingkungan titik mana pun adalah bagian dari ruang tiga dimensi biasa, yang tidak dapat dikatakan tentang titik jepit tunggal. Karya seorang ahli matematika Rusia membantu mengatasi kesulitan ini.

Pada tahun 1992, setelah mempertahankan tesis Ph.D.nya, Perelman tiba di Amerika Serikat dan menghabiskan beberapa semester di Universitas Negeri New York di Stony Brook, dan kemudian dua tahun di Universitas California di Berkeley. Dia dengan cepat mendapatkan reputasi sebagai bintang yang sedang naik daun, memperoleh beberapa hasil penting dan mendalam di salah satu cabang geometri. Perelman dianugerahi hadiah dari European Mathematical Society (yang dia tolak) dan menerima undangan bergengsi untuk berbicara di Kongres Internasional Matematikawan (yang dia terima).

Pada musim semi tahun 1995, dia ditawari posisi di beberapa institusi matematika terkemuka, namun dia memilih untuk kembali ke kampung halamannya di St. Petersburg dan pada dasarnya menghilang dari pandangan. Selama bertahun-tahun, satu-satunya tanda aktivitasnya adalah surat kepada mantan rekannya yang menunjukkan kesalahan dalam artikel yang mereka terbitkan. Pertanyaan tentang status karyanya tidak terjawab. Dan kemudian pada akhir tahun 2002, beberapa orang menerima email dari Perelman yang memberitahukan mereka tentang artikel yang telah dia kirimkan ke server matematika. Maka dimulailah serangannya terhadap dugaan Poincaré.

FITUR PERJUANGAN

MENCOBA UNTUK MENGGUNAKAN Persamaan aliran Ricci untuk membuktikan dugaan Poincaré dan geometriisasi 3-manifold, para ilmuwan menemui kesulitan yang berhasil diatasi oleh Grigory Perelman. Menggunakan aliran Ricci untuk mengubah bentuk manifold 3 secara bertahap terkadang menghasilkan singularitas. Misalnya, jika suatu bagian suatu benda berbentuk seperti halter (a), tabung di antara bola-bola tersebut dapat terjepit pada suatu bagian titik yang melanggar sifat-sifat manifold (b). Mungkin juga fitur berbentuk cerutu akan muncul.

PERELMAN MENUNJUKKAN, bahwa “operasi” dapat dilakukan pada fitur. Saat manifold mulai terjepit, potong bagian kecil di kedua sisi titik penyempitan (c), tutupi titik potong dengan bola kecil, lalu gunakan aliran Ricci lagi (d). Jika cubitan terjadi lagi, prosedur harus diulang. Perelman juga membuktikan bahwa ciri berbentuk cerutu tidak pernah muncul.

Perelman menambahkan istilah baru pada persamaan aliran Ricci. Perubahan ini tidak menghilangkan masalah kekhasan, namun memungkinkan dilakukannya analisis yang lebih mendalam. Ilmuwan Rusia menunjukkan bahwa operasi “bedah” dapat dilakukan pada manifold berbentuk halter: potong tabung tipis di kedua sisi penyempitan yang muncul dan tutup tabung terbuka yang menonjol dari bola dengan tutup berbentuk bola. Kemudian Anda harus melanjutkan mengubah manifold yang “dioperasikan” sesuai dengan persamaan aliran Ricci, dan menerapkan prosedur di atas untuk semua penyempitan yang muncul. Perelman juga menunjukkan bahwa ciri-ciri berbentuk cerutu tidak bisa muncul. Dengan demikian, manifold-3 apa pun dapat direduksi menjadi sekumpulan bagian dengan geometri homogen.

Ketika aliran Ricci dan "operasi" diterapkan pada semua kemungkinan manifold-3, salah satu dari manifold tersebut, jika sesederhana bola-3 (dengan kata lain, dicirikan oleh homotopi yang sama), harus direduksi menjadi geometri homogen yang sama. sebagai dan 3-bola. Artinya, dari sudut pandang topologi, manifold yang dimaksud adalah 3-sphere. Jadi, 3-bola itu unik.

Nilai artikel Perelman tidak hanya terletak pada bukti dugaan Poincaré, tetapi juga pada metode analisis baru. Para ilmuwan di seluruh dunia sudah menggunakan hasil yang diperoleh ahli matematika Rusia dalam pekerjaan mereka dan menerapkan metode yang dikembangkannya di bidang lain. Ternyata aliran Ricci dikaitkan dengan apa yang disebut kelompok renormalisasi, yang menentukan bagaimana kekuatan interaksi berubah tergantung pada energi tumbukan partikel. Misalnya, pada energi rendah, kekuatan interaksi elektromagnetik ditandai dengan angka 0,0073 (kira-kira 1/137). Namun, ketika dua elektron bertabrakan dengan kecepatan mendekati kecepatan cahaya, gayanya mendekati 0,0078. Matematika yang menjelaskan perubahan gaya fisika sangat mirip dengan matematika yang menjelaskan geometriisasi manifold.

Meningkatkan energi tumbukan setara dengan mempelajari gaya pada jarak yang lebih kecil. Oleh karena itu, kelompok renormalisasi mirip dengan mikroskop dengan faktor perbesaran variabel, yang memungkinkan Anda mempelajari proses pada tingkat detail yang berbeda. Demikian pula aliran Ricci adalah mikroskop untuk melihat manifold. Tonjolan dan cekungan yang terlihat pada satu perbesaran menghilang pada perbesaran lainnya. Kemungkinan besar pada skala panjang Planck (sekitar $10^(–35)$ m) ruang tempat kita tinggal terlihat seperti busa dengan struktur topologi yang kompleks (lihat artikel “Atom Ruang dan Waktu”, “Di Dunia Ilmu Pengetahuan”, No. 4, 2004). Selain itu, persamaan relativitas umum yang menggambarkan karakteristik gravitasi dan struktur skala besar Alam Semesta berkaitan erat dengan persamaan aliran Ricci. Paradoksnya, istilah Perelman yang ditambahkan ke ekspresi yang digunakan oleh Hamilton berasal dari teori string, yang dimaksudkan sebagai teori gravitasi kuantum. Ada kemungkinan bahwa dalam artikel ahli matematika Rusia, para ilmuwan akan menemukan lebih banyak informasi berguna tidak hanya tentang manifold 3 abstrak, tetapi juga tentang ruang tempat kita tinggal.

Graham P. Collins, Ph.D., adalah editor di Scientific American. Informasi lebih lanjut tentang teorema Poincaré tersedia di www.sciam.com/ontheweb.

BACAAN TAMBAHAN:

Dugaan Poincare 99 Tahun Kemudian: Laporan Kemajuan. John W.Milnor. Februari 2003. Tersedia di www.math.sunysb.edu/~jack/PREPRINTS/poiproof.pdf
Jules Henri Poincare '(biografi). Oktober 2003. Tersedia diwww-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Poincare.html
Masalah Milenium. Institut Matematika Tanah Liat: www.claymath.org/millennium/
Catatan dan komentar pada makalah aliran Ricci Perelman. Disusun oleh Bruce Kleiner dan John Lott. Tersedia di www.math.lsa.umich.edu/research/ricciflow/perelman.html
Topologi. Eric W. Weisstein dalam Sumber Daya Web Mathworld-A Wolfram. Tersedia di

Hipotesis Poincare dan ciri-ciri mentalitas Rusia.

Singkatnya: Seorang profesor pengangguran, yang baru berusia 40 tahun, telah memecahkan salah satu dari 7 masalah kemanusiaan yang paling sulit, tinggal di sebuah rumah panel di pinggiran kota bersama ibunya, dan bukannya menerima hadiah yang diberikan oleh semua ahli matematika. di dunia impiannya, dan tambahan satu juta dolar, dia pergi mengumpulkan jamur dan memintanya untuk tidak mengganggunya.

Dan sekarang lebih detailnya:

http://lenta.ru/news/2006/08/16/perelman/

Grigory Perelman, yang membuktikan dugaan Poincaré, menolak berbagai penghargaan dan hadiah uang tunai yang diberikan kepadanya atas pencapaian ini, lapor surat kabar Guardian. Setelah pengujian bukti secara ekstensif, yang berlangsung hampir empat tahun, komunitas ilmiah menyimpulkan bahwa solusi Perelman benar.

Dugaan Poincaré adalah salah satu dari tujuh “masalah milenium” matematika terpenting, yang penyelesaiannya masing-masing diberikan hadiah satu juta dolar oleh Clay Mathematics Institute dengan pers, namun surat kabar diketahui bahwa Perelman tidak mau mengambil uang tersebut. Menurut ahli matematika tersebut, panitia yang memberikan penghargaan tersebut tidak cukup memenuhi syarat untuk mengevaluasi karyanya.

“Tidak aman memiliki satu juta dolar di St. Petersburg,” komunitas profesional dengan bercanda mengemukakan alasan lain atas perilaku Perelman yang tidak biasa. Nigel Hitchin, profesor matematika di Universitas Oxford, mengatakan kepada surat kabar tersebut tentang hal ini.

Minggu depan, menurut rumor, akan diumumkan bahwa Perelman telah dianugerahi Fields Medal internasional paling bergengsi di bidang ini, yang terdiri dari medali berharga dan penghargaan uang. Fields Medal dianggap setara secara matematis dengan Hadiah Nobel. Penghargaan ini diberikan setiap empat tahun di Kongres Matematika Internasional, dan pemenang hadiah tidak boleh berusia lebih dari 40 tahun. Perelman, yang akan berusia empat puluh tahun pada tahun 2006 dan kehilangan kesempatan untuk menerima hadiah ini, juga tidak mau menerima penghargaan ini.

Perelman sudah lama diketahui menghindari acara formal dan tidak suka dikagumi. Namun dalam situasi saat ini, perilaku ilmuwan melampaui eksentrisitas seorang ahli teori. Perelman telah meninggalkan pekerjaan akademisnya dan menolak menjalankan fungsi profesor. Sekarang dia ingin bersembunyi dari pengakuan atas jasanya terhadap matematika - pekerjaan hidupnya.

Grigory Perelman mengerjakan pembuktian teorema Poincaré selama delapan tahun. Pada tahun 2002, ia memposting solusi untuk masalah tersebut di situs pracetak Laboratorium Ilmiah Los Alamos. Hingga saat ini, ia belum pernah mempublikasikan karyanya di jurnal peer-review, yang merupakan prasyarat untuk mendapatkan sebagian besar penghargaan.

Perelman dapat dianggap sebagai contoh standar produk pendidikan Soviet. Ia dilahirkan pada tahun 1966 di Leningrad. Dia masih tinggal di kota ini. Perelman belajar di sekolah khusus No. 239 dengan studi matematika yang mendalam. Dia memenangkan Olimpiade yang tak terhitung jumlahnya. Saya terdaftar dalam matematika dan mekanik di Universitas Negeri Leningrad tanpa ujian. Menerima beasiswa Lenin. Setelah universitas, ia memasuki sekolah pascasarjana di Institut Matematika V.A. Steklov cabang Leningrad, di mana ia tetap bekerja. Pada akhir tahun delapan puluhan, Perelman pindah ke Amerika, mengajar di beberapa universitas, dan kemudian kembali ke tempat asalnya.

Keadaan rumah Count Muravyov di St. Petersburg di Fontanka, tempat Institut Matematika berada, membuat kekurangan perak Perelman sangat tidak mencukupi. Bangunan tersebut, seperti diberitakan surat kabar Izvestia, sewaktu-waktu bisa runtuh dan jatuh ke sungai. Pembelian peralatan komputer (satu-satunya peralatan yang dibutuhkan para ahli matematika) masih dapat dibiayai dengan bantuan berbagai hibah, namun organisasi amal belum siap. untuk membayar restorasi bangunan bersejarah tersebut.

==========================

http://www.newsinfo.ru/news/2006/08/news1325575.php

Seorang ahli matematika pertapa yang membuktikan salah satu hipotesis ilmiah tersulit, teorema Poincaré, tidak kalah misteriusnya dengan permasalahan itu sendiri.

Sedikit yang diketahui tentang dia. Saya masuk institut berdasarkan hasil Olimpiade sekolah dan menerima beasiswa Lenin. Di sekolah khusus St. Petersburg No. 239, ia dikenang sebagai putra Yakov Perelman, penulis buku teks terkenal “Fisika Menghibur.” Foto Grisha Perelman - di dewan yang hebat bersama dengan Lobachevsky dan Leibniz.

“Dia adalah siswa yang sangat baik, hanya dalam pendidikan jasmani... Kalau tidak, pasti ada medali,” kenang gurunya Tamara Efimova, direktur Lyceum Fisika dan Matematika 239 dalam sebuah wawancara dengan Channel One.

Dia selalu mendukung sains murni, menentang formalitas - ini adalah kata-kata mantan guru sekolahnya, salah satu dari sedikit orang yang tetap berhubungan dengan Perelman selama delapan tahun pencariannya. Seperti yang dia katakan, ahli matematika itu harus meninggalkan pekerjaannya karena dia harus menulis artikel dan laporan, dan Poincare menghabiskan seluruh waktunya. Matematika adalah yang utama.

Perelman menghabiskan delapan tahun hidupnya untuk memecahkan salah satu dari tujuh masalah matematika yang tidak dapat dipecahkan. Dia bekerja sendirian, di suatu tempat di loteng, secara diam-diam. Dia mengajar di Amerika untuk menghidupi dirinya sendiri di rumah. Dia meninggalkan pekerjaan yang mengalihkan perhatiannya dari tujuan utama, tidak menjawab panggilan dan tidak berkomunikasi dengan pers.

Satu juta dolar diberikan untuk memecahkan salah satu dari tujuh masalah matematika yang tidak dapat dipecahkan; ini adalah Fields Medal, hadiah Nobel untuk ahli matematika. Grigory Perelman menjadi kandidat utama penerimanya.

Ilmuwan mengetahui hal ini, tetapi tampaknya dia jelas tidak tertarik pada pengakuan moneter. Menurut rekan-rekannya, dia bahkan tidak menyerahkan dokumen untuk penghargaan tersebut.

“Sepengetahuan saya, Grigory Yakovlevich sendiri sama sekali tidak peduli dengan satu juta orang,” kata Ildar Ibragimov, akademisi Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia karena uang ini. Mereka, saya akan khawatir tentang sesuatu yang sama sekali berbeda."

Perelman menerbitkan karya dugaan Poincaré untuk satu-satunya kali tiga tahun lalu di Internet. Kemungkinan besar bukan sebuah karya, melainkan sketsa setebal 39 halaman. Dia tidak setuju untuk menulis laporan yang lebih rinci dengan bukti yang rinci. Bahkan wakil presiden Masyarakat Matematika Dunia, yang secara khusus datang ke St. Petersburg untuk mencari Perelman, gagal melakukan hal ini.

Selama tiga tahun terakhir, tidak ada seorang pun yang dapat menemukan kesalahan dalam perhitungan Perelman, seperti yang disyaratkan oleh peraturan Fields Prize. Q.E.D.

==============================

http://elementy.ru/news/430288

Proses pembuktian dugaan Poincaré kini tampaknya memasuki tahap akhir. Tiga kelompok ahli matematika akhirnya menemukan ide Grigory Perelman dan selama beberapa bulan terakhir telah mempresentasikan versi mereka untuk membuktikan hipotesis ini secara lengkap.

Dugaan yang dirumuskan oleh Poincaré pada tahun 1904 menyatakan bahwa semua permukaan tiga dimensi dalam ruang empat dimensi yang secara homotop setara dengan bola bersifat homeomorfik. Secara sederhana, jika suatu permukaan tiga dimensi agak mirip dengan bola, maka jika disebar, ia hanya akan menjadi bola dan tidak ada yang lain. Untuk rincian mengenai dugaan ini dan sejarah pembuktiannya, bacalah artikel populer Problems of 2000: Poincaré's conjecture di jurnal Computerra.

Untuk bukti dugaan Poincaré, Institut Matematika. Clay dianugerahi hadiah satu juta dolar, yang mungkin tampak mengejutkan: lagi pula, kita berbicara tentang fakta yang sangat pribadi dan tidak menarik. Faktanya, yang penting bagi ahli matematika bukanlah sifat-sifat permukaan tiga dimensi, melainkan fakta bahwa pembuktiannya sendiri sulit dilakukan. Masalah ini merumuskan dalam bentuk terkonsentrasi apa yang tidak dapat dibuktikan dengan menggunakan ide dan metode geometri dan topologi yang sudah ada sebelumnya. Hal ini memungkinkan kita untuk melihat lebih dalam, ke dalam lapisan masalah yang hanya dapat diselesaikan dengan bantuan ide-ide “generasi baru”.

Seperti halnya dengan teorema Fermat, ternyata dugaan Poincaré adalah kasus khusus dari pernyataan yang jauh lebih umum tentang sifat-sifat geometris permukaan tiga dimensi yang berubah-ubah - Dugaan Geometrisasi Thurston, oleh karena itu, upaya para ahli matematika tidak ditujukan memecahkan kasus khusus ini, tetapi untuk membangun pendekatan matematika baru yang dapat mengatasi masalah tersebut.

Terobosan tersebut dilakukan pada tahun 2002-2003 oleh ahli matematika Rusia Grigory Perelman. Dalam tiga artikelnya math.DG/0211159, math.DG/0303109, math.DG/0307245, mengajukan sejumlah ide baru, ia mengembangkan dan menyelesaikan metode yang diusulkan pada tahun 1980-an oleh Richard Hamilton. Dalam karyanya, Perelman mengklaim bahwa teori yang dibangunnya memungkinkan untuk membuktikan tidak hanya dugaan Poincaré, tetapi juga hipotesis geometriisasi.

Inti dari metode ini adalah bahwa untuk objek geometris dimungkinkan untuk mendefinisikan beberapa persamaan “evolusi mulus”, mirip dengan persamaan kelompok renormalisasi dalam fisika teoretis. Permukaan awal akan berubah bentuk selama evolusi ini dan, seperti yang ditunjukkan Perelman, pada akhirnya akan berubah menjadi bola dengan mulus. Kekuatan dari pendekatan ini adalah, dengan melewati semua momen peralihan, Anda dapat segera melihat “ke ketidakterbatasan”, di akhir evolusi, dan menemukan sebuah bola di sana.

Karya Perelman menandai dimulainya intrik. Dalam artikelnya, ia mengembangkan teori umum dan menguraikan poin-poin penting dari pembuktian tidak hanya dugaan Poincaré, tetapi juga hipotesis geometriisasi. Perelman tidak memberikan bukti lengkap secara detail, meski ia mengaku telah membuktikan kedua hipotesis tersebut. Juga pada tahun 2003, Perelman melakukan tur ke Amerika Serikat dengan serangkaian ceramah, di mana dia menjawab pertanyaan teknis dari pendengar dengan jelas dan rinci.

Segera setelah pracetak Perelman diterbitkan, para ahli mulai memeriksa poin-poin penting teorinya, dan belum ada satu pun kesalahan yang ditemukan. Selain itu, selama beberapa tahun terakhir, beberapa tim matematikawan telah mampu menyerap ide-ide yang diajukan Perelman sedemikian rupa sehingga mereka mulai menuliskan bukti lengkapnya “secara lengkap”.

Pada bulan Mei 2006, sebuah makalah oleh B. Kleiner, J. Lott, math.DG/0605667, muncul, di mana diberikan derivasi rinci dari poin-poin yang dihilangkan dalam pembuktian Perelman. (Omong-omong, para penulis ini memelihara halaman web yang didedikasikan untuk artikel Perelman dan karya terkait.)

Kemudian pada bulan Juni 2006, Asian Journal of Mathematics menerbitkan makalah setebal 327 halaman karya matematikawan Tiongkok Huai-Dong Cao dan Xi-Ping Zhu yang berjudul "Bukti lengkap dugaan Poincaré dan geometriisasi - penerapan teori Hamilton-Perelman dari Ricci mengalir." Penulisnya sendiri tidak mengklaim memiliki bukti yang benar-benar baru, namun hanya mengklaim bahwa pendekatan Perelman benar-benar berhasil.

Akhirnya, beberapa hari yang lalu sebuah artikel setebal 473 halaman (atau sudah menjadi buku?) muncul oleh J. W. Morgan, G. Tian, math.DG/0607607, di mana penulisnya, mengikuti jejak Perelman, menyajikan buktinya dugaan Poincaré (dan bukan hipotesis geometriisasi yang lebih umum). John Morgan dianggap sebagai salah satu ahli utama dalam masalah ini, dan setelah karyanya dipublikasikan, tampaknya dugaan Poincaré akhirnya terbukti.

Menariknya, pada awalnya artikel karya matematikawan Tiongkok tersebut hanya didistribusikan dalam versi kertas dengan harga $69, sehingga tidak semua orang berkesempatan untuk melihatnya. Namun keesokan harinya setelah artikel Morgan-Tian muncul di arsip pracetak, versi elektronik artikel tersebut muncul di situs web Asian Journal of Mathematics.

Waktu akan menentukan penyempurnaan bukti Perelman siapa yang lebih akurat dan transparan. Ada kemungkinan di tahun-tahun mendatang akan disederhanakan, seperti yang terjadi pada teorema Fermat. Sejauh ini, kita hanya bisa melihat peningkatan volume publikasi: dari artikel Perelman setebal 30 halaman hingga buku tebal karya Morgan dan Tian, tetapi ini bukan karena rumitnya pembuktian, melainkan karena turunan yang lebih detail. dari semua langkah perantara.

Sementara itu, bukti akhir dari dugaan tersebut dan, mungkin, siapa yang akan dianugerahi Clay Institute Prize diperkirakan akan diumumkan “secara resmi” pada Kongres Internasional Matematikawan di Madrid pada bulan Agustus ini. Selain itu, terdapat rumor bahwa Grigory Perelman akan menjadi salah satu dari empat Peraih Medali Fields, penghargaan tertinggi bagi matematikawan muda.

« Tantangan Milenium", yang dipecahkan oleh seorang jenius matematika Rusia, berkaitan dengan asal usul alam semesta. Tidak semua ahli matematika dapat memahami inti dari teka-teki tersebut...

PERMAINAN PIKIRAN

Situasi berubah pada tahun 2000. Institut Matematika Clay Mathematics swasta memilih tujuh masalah yang paling sulit dan berjanji akan membayar satu juta dolar untuk menyelesaikan masing-masing masalah.

Mereka memandang para ahli matematika dengan hormat. Pada tahun 2001, film “A Beautiful Mind” bahkan dirilis, karakter utamanya adalah seorang ahli matematika.

Pria berjanggut lucu kami yang berusia 44 tahun telah membuat seluruh dunia terpesona dengan hidungnya. Dan sekarang hal ini terus membuat dunia – dunia – berada dalam ketegangan. Karena tidak diketahui apakah ahli matematika akan menerima jutaan dolar yang pantas diterimanya atau menolaknya. Masyarakat progresif di banyak negara tentu saja merasa khawatir. Setidaknya surat kabar di semua benua mencatat intrik finansial dan matematika.

Grisha di masa mudanya - itupun dia adalah seorang jenius.

HIPOTESIS POINCARE - APA ITU?

Topologi penting dalam fisika matematika karena memungkinkan kita memahami sifat-sifat ruang. Atau mengevaluasinya tanpa bisa melihat bentuk ruang ini dari luar. Misalnya saja ke Alam Semesta kita.

Jadi, menurut hipotesis Poincaré, bola tiga dimensi adalah satu-satunya benda tiga dimensi yang permukaannya dapat ditarik ke satu titik oleh suatu “hypercord” hipotetis.

Grigory Perelman: - Coba bayangkan, binomial Newton...

Buktinya membantu untuk memahami seperti apa bentuk alam semesta kita. Dan hal ini memungkinkan kita untuk berasumsi secara masuk akal bahwa itu adalah bola tiga dimensi yang sama.

Namun jika Alam Semesta adalah satu-satunya “sosok” yang dapat dikontrakkan menjadi suatu titik, maka kemungkinan besar ia dapat direntangkan dari suatu titik. Hal ini merupakan konfirmasi tidak langsung terhadap teori Big Bang yang menyatakan bahwa alam semesta berasal dari suatu titik.

Ternyata Perelman, bersama dengan Poincaré, mengecewakan kaum kreasionis - pendukung prinsip ilahi alam semesta. Dan mereka memberikan dukungan kepada kelompok fisikawan materialis.

Matematikawan brilian dari St. Petersburg Grigory Perelman, yang menjadi terkenal di seluruh dunia karena membuktikan dugaan Poincaré, akhirnya menjelaskan penolakannya terhadap hadiah jutaan dolar yang diberikan untuk ini. Menurut Komsomolskaya Pravda, ilmuwan penyendiri itu mengungkapkan dirinya dalam percakapan dengan seorang jurnalis dan produser perusahaan film President-Film, yang, dengan persetujuan Perelman, akan memfilmkan film fitur “Formula of the Universe” tentang dirinya.

Alexander Zabrovsky cukup beruntung bisa berkomunikasi dengan ahli matematika hebat itu - dia meninggalkan Moskow menuju Israel beberapa tahun yang lalu dan menduga pertama kali menghubungi ibu Grigory Yakovlevich melalui komunitas Yahudi di St. Dia berbicara dengan putranya, dan setelah karakterisasinya yang baik, dia setuju untuk bertemu. Ini benar-benar bisa disebut sebuah pencapaian - para jurnalis tidak mampu “menangkap” ilmuwan tersebut, meskipun mereka duduk di depan pintu masuknya selama berhari-hari.

Seperti yang dikatakan Zabrovsky kepada surat kabar tersebut, Perelman memberikan kesan sebagai “orang yang benar-benar waras, sehat, memadai, dan normal”: “Realistis, pragmatis, dan masuk akal, tetapi bukannya tanpa sentimentalitas dan gairah... Segala sesuatu yang dikaitkan dengannya di media, seolah-olah dia "kehilangan akal" - benar-benar omong kosong! Dia tahu persis apa yang dia inginkan dan tahu bagaimana mencapai tujuannya."

Film tersebut, yang mana ahli matematika tersebut menghubungi dan setuju untuk membantu, bukan tentang dirinya sendiri, tetapi tentang kerja sama dan konfrontasi dari tiga sekolah matematika utama dunia: Rusia, Cina, dan Amerika, yang paling maju dalam jalur pembelajaran. dan mengelola Alam Semesta.

Ketika ditanya mengapa Perelman menolak satu juta itu, dia menjawab:

“Saya tahu cara mengendalikan Semesta. Dan beri tahu saya, mengapa saya harus berlari demi satu juta?”

Ilmuwan itu tersinggung dengan sebutannya di pers Rusia

Perelman menjelaskan, ia berkomunikasi dengan jurnalis bukan karena mereka tidak tertarik pada sains, melainkan pada urusan pribadi dan keseharian - mulai dari alasan menolak sejuta hingga soal potong rambut dan kuku.

Dia tidak ingin menghubungi media Rusia secara khusus karena sikap tidak hormat terhadapnya. Misalnya, di media mereka memanggilnya Grisha, dan keakraban seperti itu menyinggung perasaannya.

Grigory Perelman mengatakan, sejak masa sekolahnya ia sudah terbiasa dengan apa yang disebut “melatih otak”. Mengingat bagaimana, sebagai “delegasi” dari Uni Soviet, ia menerima medali emas di Olimpiade Matematika di Budapest, ia berkata: “Kami mencoba memecahkan masalah di mana kemampuan berpikir abstrak merupakan kondisi yang sangat diperlukan.

Gangguan dari logika matematika ini adalah poin utama dari latihan sehari-hari. Untuk menemukan solusi yang tepat, kita perlu membayangkan “bagian dari dunia”.

Sebagai contoh dari masalah yang “sulit dipecahkan” tersebut, ia memberikan hal berikut: “Ingatlah legenda Alkitab tentang bagaimana Yesus Kristus berjalan di atas air dan juga di tanah kering air agar tidak terjatuh.”

Sejak itu, Perelman mengabdikan seluruh aktivitasnya untuk mempelajari masalah mempelajari sifat-sifat ruang tiga dimensi Alam Semesta: “Ini sangat menarik. Saya mencoba merangkul besarnya. dia berpendapat.

Ilmuwan tersebut menulis disertasinya di bawah bimbingan Akademisi Alexandrov. “Topiknya tidak sulit: “Permukaan berbentuk pelana dalam geometri Euclidean.” Dapatkah Anda membayangkan permukaan dengan ukuran yang sama dan jaraknya tidak merata satu sama lain pada jarak tak terhingga? Kita perlu mengukur “lubang” di antara keduanya,” jelas ahli matematika tersebut.

Apa arti penemuan Perelman yang membuat takut badan intelijen dunia?

Pernyataan Poincaré disebut “rumus Alam Semesta” karena pentingnya mempelajari proses fisika kompleks dalam teori alam semesta dan karena memberikan jawaban atas pertanyaan tentang bentuk Alam Semesta. Bukti ini akan memainkan peran besar dalam pengembangan nanoteknologi."

“Saya belajar menghitung kekosongan, bersama rekan-rekan saya kami mempelajari mekanisme untuk mengisi “kekosongan” sosial dan ekonomi, katanya. “Kekosongan ada di mana-mana.

Seperti yang ditulis dalam publikasi tersebut, skala penemuan Grigory Yakovlevich, yang sebenarnya melampaui ilmu pengetahuan dunia saat ini, menjadikannya objek yang selalu menarik bagi badan intelijen, tidak hanya Rusia, tetapi juga asing.

Dia memahami beberapa pengetahuan super yang membantu memahami alam semesta. Dan di sini muncul pertanyaan seperti ini: “Apa yang akan terjadi jika ilmunya diterapkan secara praktis?”

Intinya, badan intelijen perlu mengetahui apakah Perelman, atau lebih tepatnya, pengetahuannya, merupakan ancaman bagi kemanusiaan? Lagi pula, jika dengan bantuan ilmunya kita bisa meruntuhkan Alam Semesta menjadi suatu titik dan kemudian mengembangkannya, lalu kita bisa mati atau terlahir kembali dalam kapasitas yang berbeda? Lalu apakah itu kita? Dan apakah kita perlu mengendalikan Alam Semesta?

DAN SAAT INI

Ibu seorang jenius: “Jangan bertanya kepada kami tentang uang!”

Ketika diketahui bahwa ahli matematika tersebut telah dianugerahi Hadiah Milenium, kerumunan jurnalis berkumpul di depan pintunya. Semua orang ingin mengucapkan selamat secara pribadi kepada Perelman dan mencari tahu apakah dia akan mengambil uang jutaan yang menjadi haknya.

Kami mengetuk pintu tipis itu untuk waktu yang lama (kalau saja kami bisa menggantinya dengan uang bonus), tetapi ahli matematika itu tidak membukanya. Tapi ibunya dengan jelas menandai huruf i tepat di lorong.

“Kami tidak ingin berbicara dengan siapa pun dan kami tidak akan memberikan wawancara apa pun,” teriak Lyubov Leibovna. - Dan jangan ajukan pertanyaan kepada kami tentang bonus dan uang ini.

Orang-orang yang tinggal di pintu masuk yang sama sangat terkejut melihat ketertarikan yang tiba-tiba pada Perelman.

Apakah Grisha kita benar-benar sudah menikah? - salah satu tetangga menyeringai. - Oh, aku menerima hadiah. Lagi. Tidak, dia tidak akan menerimanya. Dia tidak membutuhkan apa pun, dia hidup dengan uang receh, tapi dia bahagia dengan caranya sendiri.

Konon sehari sebelumnya ahli matematika itu terlihat membawa tas penuh belanjaan dari toko. Saya sedang bersiap untuk “mengadakan pengepungan” bersama ibu saya. Terakhir kali pemberitaan heboh di media, Perelman tidak meninggalkan apartemennya selama tiga minggu.

OMONG-OMONG

Kenapa lagi mereka memberi satu juta dolar...

Pada tahun 1998, dengan dana dari miliarder Landon T. Clay, Clay Mathematics Institute didirikan di Cambridge (AS) untuk mempopulerkan matematika. Pada tanggal 24 Mei 2000, para ahli di institut tersebut memilih tujuh masalah yang menurut mereka paling membingungkan. Dan mereka menetapkan satu juta dolar untuk masing-masingnya.

Daftar itu diberi nama .

1. Masalah juru masak

2. Hipotesis Riemann

Ada yang disebut bilangan prima, seperti 2, 3, 5, 7, dst., yang hanya habis dibagi sendiri. Tidak diketahui berapa total jumlahnya. Riemann percaya bahwa hal ini dapat ditentukan dan pola distribusinya dapat ditemukan. Siapapun yang menemukannya juga akan menyediakan layanan kriptografi.

3. Dugaan Birch dan Swinnerton-Dyer

Masalahnya melibatkan penyelesaian persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui dipangkatkan. Kita perlu mencari cara untuk menyelesaikannya, terlepas dari kerumitannya.

4. Dugaan Hodge

5. Persamaan Navier - Stokes

6. Persamaan Yang - Pabrik