Contoh penyelesaian persamaan menggunakan teorema Vieta. Teorema Vieta untuk persamaan kuadrat dan persamaan lainnya

Antara akar dan koefisien persamaan kuadrat, selain rumus akar, terdapat hubungan berguna lainnya yang diberikan teorema Vieta. Pada artikel kali ini kami akan memberikan rumusan dan pembuktian teorema Vieta untuk persamaan kuadrat. Selanjutnya kita perhatikan teorema kebalikan dari teorema Vieta. Setelah ini, kami akan menganalisis solusi yang paling banyak contoh yang khas. Terakhir, kami menuliskan rumus Vieta yang mendefinisikan hubungan antara akar-akar real persamaan aljabar derajat n dan koefisiennya.

Navigasi halaman.

Teorema Vieta, rumusan, pembuktian

Dari rumus akar-akar persamaan kuadrat a·x 2 +b·x+c=0 yang berbentuk D=b 2 −4·a·c, diperoleh relasi sebagai berikut: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Hasil ini dikonfirmasi teorema Vieta:

Dalil.

Jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat a x 2 +b x+c=0, maka jumlah akar-akarnya sama dengan perbandingan koefisien b dan a yang diambil dari tanda yang berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan perbandingan koefisien c dan a, yaitu .

Bukti.

Kita akan melakukan pembuktian teorema Vieta sesuai dengan skema berikut: kita akan menyusun jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat menggunakan formula terkenal akar, setelah itu kita transformasikan ekspresi yang dihasilkan dan pastikan ekspresi tersebut masing-masing sama dengan −b/a dan c/a.

Mari kita mulai dengan menjumlahkan akar-akarnya dan menyusunnya. Sekarang kita reduksi pecahannya menjadi penyebut yang sama, kita punya. Di pembilang pecahan yang dihasilkan, setelah itu :. Akhirnya, setelah pada tanggal 2, kita mendapatkan . Ini membuktikan hubungan pertama teorema Vieta untuk jumlah akar persamaan kuadrat. Mari kita beralih ke yang kedua.

Kami menyusun produk dari akar-akar persamaan kuadrat: . Menurut aturan perkalian pecahan, potongan terakhir dapat ditulis sebagai. Sekarang kita mengalikan tanda kurung dengan tanda kurung pada pembilangnya, tetapi akan lebih cepat untuk menciutkan hasil kali ini rumus selisih kuadrat, Jadi . Kemudian, mengingatnya, kami melakukan transisi berikutnya. Dan karena diskriminan persamaan kuadrat sesuai dengan rumus D=b 2 −4·a·c, maka alih-alih D pada pecahan terakhir kita dapat mensubstitusikan b 2 −4·a·c, kita peroleh. Setelah membuka tanda kurung dan casting istilah serupa kita sampai pada pecahan , dan pengurangannya sebesar 4·a menghasilkan . Ini membuktikan hubungan kedua teorema Vieta untuk hasil kali akar.

Jika kita menghilangkan penjelasannya, maka bukti teorema Vieta akan berbentuk singkat:
,
.

Tetap hanya untuk dicatat kapan sama dengan nol Persamaan kuadrat diskriminan mempunyai satu akar. Namun jika kita asumsikan persamaan dalam kasus ini ada dua akar yang identik, maka persamaan dari teorema Vieta juga berlaku. Memang, ketika D=0 akar persamaan kuadrat sama dengan , maka dan , dan karena D=0, yaitu, b 2 −4·a·c=0, maka b 2 =4·a·c, maka .

Dalam praktiknya, teorema Vieta paling sering digunakan dalam kaitannya dengan persamaan kuadrat tereduksi (dengan koefisien utama a sama dengan 1) dalam bentuk x 2 +p·x+q=0. Kadang-kadang dirumuskan untuk persamaan kuadrat jenis ini saja, yang tidak membatasi keumumannya, karena persamaan kuadrat apa pun dapat diganti dengan persamaan ekuivalen dengan membagi kedua ruasnya dengan bilangan bukan nol a. Mari kita berikan rumusan teorema Vieta yang sesuai:

Dalil.

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 +p x+q=0 sama dengan koefisien x yang diambil dengan tanda berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebas, yaitu x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Teorema kebalikan dari teorema Vieta

Rumusan kedua teorema Vieta yang diberikan pada paragraf sebelumnya menunjukkan bahwa jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 +p x+q=0, maka relasi x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. Sebaliknya, dari relasi tertulis x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q maka x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x 2 +p x+q=0. Dengan kata lain, kebalikan dari teorema Vieta benar. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorema dan buktikan.

Dalil.

Jika bilangan x 1 dan x 2 sedemikian rupa sehingga x 1 +x 2 =−p dan x 1 · x 2 =q, maka x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 +p · x+q =0.

Bukti.

Setelah koefisien p dan q pada persamaan x 2 +p·x+q=0 diganti dengan persamaannya melalui x 1 dan x 2, maka persamaan tersebut diubah menjadi persamaan ekuivalen.

Mari kita substitusikan bilangan x 1 sebagai ganti x ke dalam persamaan yang dihasilkan, dan kita mendapatkan persamaannya x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, yang untuk setiap x 1 dan x 2 mewakili persamaan numerik yang benar 0=0, karena x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Oleh karena itu, x 1 adalah akar persamaan x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, artinya x 1 adalah akar persamaan ekuivalen x 2 +p·x+q=0.

Jika dalam persamaan x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 gantikan bilangan x 2 dengan x, kita peroleh persamaannya x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Ini adalah persamaan yang sebenarnya x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Oleh karena itu, x 2 juga merupakan akar persamaan x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, dan oleh karena itu persamaan x 2 +p·x+q=0.

Ini melengkapi pembuktian teorema yang bertentangan dengan teorema Vieta.

Contoh penggunaan teorema Vieta

Saatnya berbicara tentang penerapan praktis teorema Vieta dan teorema kebalikannya. Pada bagian ini kita akan menganalisis solusi untuk beberapa contoh yang paling umum.

Mari kita mulai dengan menerapkan teorema kebalikan dari teorema Vieta. Lebih mudah digunakan untuk memeriksa apakah dua bilangan tertentu merupakan akar persamaan kuadrat tertentu. Dalam hal ini, jumlah dan selisihnya dihitung, setelah itu validitas hubungan diperiksa. Jika kedua hubungan ini terpenuhi, maka berdasarkan teorema kebalikan dari teorema Vieta, disimpulkan bahwa bilangan-bilangan tersebut adalah akar-akar persamaan. Jika setidaknya salah satu hubungan tidak terpenuhi, maka bilangan-bilangan tersebut bukan akar-akar persamaan kuadrat. Pendekatan ini dapat digunakan ketika menyelesaikan persamaan kuadrat untuk memeriksa akar-akar yang ditemukan.

Contoh.

Pasangan bilangan 1) x 1 =−5, x 2 =3, atau 2) atau 3) manakah yang merupakan pasangan akar persamaan kuadrat 4 x 2 −16 x+9=0?

Larutan.

Koefisien persamaan kuadrat 4 x 2 −16 x+9=0 adalah a=4, b=−16, c=9. Menurut teorema Vieta, jumlah akar-akar persamaan kuadrat harus sama dengan −b/a, yaitu 16/4=4, dan hasil kali akar-akarnya harus sama dengan c/a, yaitu 9 /4.

Sekarang mari kita hitung jumlah dan hasil kali angka-angka di masing-masing ketiganya pasangan yang diberikan, dan bandingkan dengan nilai yang baru saja diperoleh.

Dalam kasus pertama kita memiliki x 1 +x 2 =−5+3=−2. Nilai yang dihasilkan berbeda dengan 4 sehingga tidak dapat dilakukan verifikasi lebih lanjut, namun dengan menggunakan teorema kebalikan dari teorema Vieta, kita dapat langsung menyimpulkan bahwa pasangan bilangan pertama bukanlah pasangan akar persamaan kuadrat yang diberikan.

Mari beralih ke kasus kedua. Di sini, syarat pertama terpenuhi. Kami memeriksa kondisi kedua: nilai yang dihasilkan berbeda dari 9/4. Oleh karena itu, pasangan bilangan kedua tersebut bukan merupakan pasangan akar persamaan kuadrat.

Tinggal kasus terakhir. Di sini dan. Kedua syarat tersebut terpenuhi, jadi bilangan x 1 dan x 2 ini adalah akar-akar persamaan kuadrat yang diberikan.

Menjawab:

Kebalikan teorema Vieta dapat digunakan dalam praktik untuk mencari akar persamaan kuadrat. Biasanya, akar bilangan bulat dari persamaan kuadrat tertentu dengan koefisien bilangan bulat dipilih, karena dalam kasus lain hal ini cukup sulit dilakukan. Dalam hal ini, mereka menggunakan fakta bahwa jika jumlah dua bilangan sama dengan koefisien kedua persamaan kuadrat, diambil dengan tanda minus, dan hasil kali bilangan-bilangan tersebut sama dengan suku bebas, maka bilangan-bilangan tersebut adalah akar persamaan kuadrat ini. Mari kita pahami ini dengan sebuah contoh.

Mari kita ambil persamaan kuadrat x 2 −5 x+6=0. Agar bilangan x 1 dan x 2 menjadi akar-akar persamaan ini, dua persamaan harus dipenuhi: x 1 + x 2 =5 dan x 1 · x 2 =6. Yang tersisa hanyalah memilih nomor tersebut. DI DALAM dalam hal ini ini cukup mudah dilakukan: bilangan tersebut adalah 2 dan 3, karena 2+3=5 dan 2·3=6. Jadi, 2 dan 3 adalah akar-akar persamaan kuadrat ini.

Teorema kebalikan dari teorema Vieta sangat mudah digunakan untuk mencari akar kedua dari persamaan kuadrat tertentu ketika salah satu akar sudah diketahui atau jelas. Dalam hal ini, akar kedua dapat ditemukan dari relasi mana pun.

Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadrat 512 x 2 −509 x −3=0. Di sini mudah untuk melihat bahwa kesatuan adalah akar persamaan, karena jumlah koefisien persamaan kuadrat ini sama dengan nol. Jadi x 1 =1. Akar kedua x 2 dapat dicari, misalnya, dari relasi x 1 ·x 2 =c/a. Kita mempunyai 1 x 2 =−3/512, dan x 2 =−3/512. Beginilah cara kami menentukan kedua akar persamaan kuadrat: 1 dan −3/512.

Jelas bahwa pemilihan akar hanya disarankan pada sebagian besar tanaman kasus sederhana. Dalam kasus lain, untuk mencari akar, Anda dapat menggunakan rumus akar persamaan kuadrat melalui diskriminan.

Satu hal lagi aplikasi praktis Teorema tersebut, kebalikan dari teorema Vieta, terdiri dari penyusunan persamaan kuadrat dengan akar-akar x 1 dan x 2. Untuk melakukan ini, cukup menghitung jumlah akar-akar, yang menghasilkan koefisien x dengan tanda kebalikan dari persamaan kuadrat yang diberikan, dan hasil kali akar-akar, yang menghasilkan anggota bebas.

Contoh.

Tulis persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah −11 dan 23.

Larutan.

Mari kita nyatakan x 1 =−11 dan x 2 =23. Kita menghitung jumlah dan hasil kali bilangan-bilangan berikut: x 1 +x 2 =12 dan x 1 ·x 2 =−253. Karena itu, nomor yang ditentukan adalah akar persamaan kuadrat tereduksi dengan koefisien kedua −12 dan suku bebas −253. Artinya, x 2 −12·x−253=0 adalah persamaan yang diperlukan.

Menjawab:

x 2 −12·x−253=0 .

Teorema Vieta sangat sering digunakan ketika menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan tanda-tanda akar persamaan kuadrat. Bagaimana hubungan teorema Vieta dengan tanda-tanda akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 +p·x+q=0? Berikut dua pernyataan yang relevan:

Jika titik potong q adalah bilangan positif dan persamaan kuadrat mempunyai akar real, maka keduanya positif atau keduanya negatif.
Jika suku bebas q bilangan negatif dan persamaan kuadrat mempunyai akar-akar real, maka tanda-tandanya berbeda, dengan kata lain akar yang satu positif dan akar yang lain negatif.

Pernyataan ini mengikuti rumus x 1 · x 2 =q, serta aturan perkalian positif, angka negatif dan angka dengan tanda berbeda. Mari kita lihat contoh penerapannya.

Contoh.

R itu positif. Dengan menggunakan rumus diskriminan kita mencari D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, nilai dari ekspresi r 2 +8 positif untuk sembarang r nyata, jadi D>0 untuk sembarang r nyata. Akibatnya, persamaan kuadrat asli memiliki dua akar untuk persamaan apa pun nilai-nilai nyata parameter r.

Sekarang mari kita cari tahu kapan akarnya tanda-tanda yang berbeda. Jika tanda-tanda akar-akarnya berbeda, maka hasil kali keduanya negatif, dan menurut teorema Vieta, hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tereduksi sama dengan suku bebas. Oleh karena itu, kami tertarik pada nilai r yang suku bebasnya r−1 negatif. Jadi, untuk mencari nilai r yang kita minati, kita perlu memutuskan ketimpangan linier r−1<0 , откуда находим r<1 .

Menjawab:

di sungai<1 .

rumus Vieta

Di atas kita berbicara tentang teorema Vieta untuk persamaan kuadrat dan menganalisis hubungan yang ditegaskannya. Namun ada rumus yang menghubungkan akar real dan koefisien tidak hanya persamaan kuadrat, tetapi juga persamaan kubik, persamaan derajat keempat, dan secara umum, persamaan aljabar derajat n. Mereka dipanggil Rumus Vieta.

Mari kita tulis rumus Vieta untuk persamaan aljabar derajat n berbentuk, dan asumsikan persamaan tersebut mempunyai n akar real x 1, x 2, ..., x n (di antara mereka mungkin ada yang bertepatan):

Rumus Vieta bisa didapatkan teorema penguraian polinomial menjadi faktor linier, serta definisi polinomial yang sama melalui persamaan semua koefisien yang bersesuaian. Jadi polinomial dan pemuaiannya menjadi faktor linier bentuknya adalah sama. Membuka tanda kurung pada hasil kali terakhir dan menyamakan koefisien yang sesuai, kita memperoleh rumus Vieta.

Khususnya, untuk n=2 kita mempunyai rumus Vieta yang sudah familiar untuk persamaan kuadrat.

Untuk persamaan kubik, rumus Vieta berbentuk

Perlu dicatat bahwa di sisi kiri rumus Vieta terdapat apa yang disebut rumus dasar polinomial simetris.

Referensi.

Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Dalam 2 jam. Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / A.G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
Aljabar dan awal analisis matematis. kelas 10: buku teks. untuk pendidikan umum institusi: dasar dan profil. level / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; diedit oleh A.B.Zhizhchenko. - edisi ke-3. - M.: Pendidikan, 2010.- 368 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Pertama, mari kita rumuskan teorema itu sendiri: Misalkan persamaan kuadrat tereduksi berbentuk x^2+b*x + c = 0. Katakanlah persamaan ini mempunyai akar-akar x1 dan x2. Maka menurut teorema tersebut, pernyataan berikut ini valid:

1) Jumlah akar-akar x1 dan x2 akan sama dengan nilai negatif koefisien b.

2) Hasil kali dari akar-akar ini akan menghasilkan koefisien c.

Tapi apa persamaan yang diberikan?

Persamaan kuadrat tereduksi adalah persamaan kuadrat yang koefisien derajat tertingginya sama dengan satu, yaitu. ini adalah persamaan berbentuk x^2 + b*x + c = 0. (dan persamaan a*x^2 + b*x + c = 0 tidak tereduksi). Dengan kata lain, untuk membawa persamaan ke bentuk tertentu, kita harus membagi persamaan tersebut dengan koefisien pangkat tertinggi (a). Tugasnya adalah membawa persamaan ini ke bentuk berikut:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Membagi setiap persamaan dengan koefisien derajat tertinggi, kita memperoleh:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.

Seperti yang dapat Anda lihat dari contoh, bahkan persamaan yang mengandung pecahan dapat direduksi menjadi bentuk tertentu.

Menggunakan teorema Vieta

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

kita mendapatkan akarnya: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

sebagai hasilnya kita mendapatkan akar-akarnya: x1 = -2 ; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

kita mendapatkan akar-akarnya: x1 = −1; x2 = −4.

Arti teorema Vieta

Teorema Vieta memungkinkan kita menyelesaikan persamaan tereduksi kuadrat apa pun dalam waktu hampir detik. Pada pandangan pertama, ini tampaknya merupakan tugas yang agak sulit, namun setelah 5 10 persamaan, Anda dapat langsung belajar melihat akar-akarnya.

Dari contoh yang diberikan, dan dengan menggunakan teorema, terlihat jelas bagaimana penyelesaian persamaan kuadrat dapat disederhanakan secara signifikan, karena dengan menggunakan teorema ini, Anda dapat menyelesaikan persamaan kuadrat secara praktis tanpa perhitungan yang rumit dan menghitung diskriminan, dan seperti yang Anda ketahui, the semakin sedikit perhitungan, semakin sulit membuat kesalahan, dan ini penting.

Dalam semua contoh, kami menggunakan aturan ini berdasarkan dua asumsi penting:

Persamaan yang diberikan, yaitu. koefisien derajat tertinggi sama dengan satu (kondisi ini mudah dihindari. Anda dapat menggunakan bentuk persamaan tak tereduksi, maka pernyataan berikut akan valid x1+x2=-b/a; x1*x2=c/ a, tapi biasanya lebih sulit diselesaikan :))

Jika suatu persamaan mempunyai dua akar yang berbeda. Kami berasumsi bahwa pertidaksamaan tersebut benar dan diskriminannya lebih besar dari nol.

Oleh karena itu, kita dapat membuat algoritma solusi umum menggunakan teorema Vieta.

Algoritma solusi umum menggunakan teorema Vieta

Kita mereduksi persamaan kuadrat menjadi bentuk tereduksi jika persamaan tersebut diberikan kepada kita dalam bentuk tidak tereduksi. Apabila koefisien-koefisien persamaan kuadrat yang sebelumnya kita sajikan ternyata berupa pecahan (bukan desimal), maka dalam hal ini persamaan kita harus diselesaikan melalui diskriminan.

Ada juga kasus ketika kembali ke persamaan awal memungkinkan kita bekerja dengan angka yang “nyaman”.

Ada banyak teknik khusus dalam matematika persamaan kuadrat diselesaikan dengan sangat cepat dan tanpa diskriminatif. Selain itu, dengan pelatihan yang tepat, banyak yang mulai menyelesaikan persamaan kuadrat secara lisan, yang secara harfiah berarti “pada pandangan pertama”.

Sayangnya, dalam kursus matematika sekolah modern, teknologi seperti itu hampir tidak dipelajari. Tapi kamu perlu tahu! Dan hari ini kita akan melihat salah satu teknik ini - teorema Vieta. Pertama, mari kita perkenalkan definisi baru.

Persamaan kuadrat yang berbentuk x 2 + bx + c = 0 disebut tereduksi. Harap dicatat bahwa koefisien untuk x 2 adalah 1. Tidak ada batasan lain pada koefisien.

x 2 + 7x + 12 = 0 adalah persamaan kuadrat tereduksi;
x 2 − 5x + 6 = 0 - juga dikurangi;
2x 2 − 6x + 8 = 0 - tetapi ini tidak diberikan sama sekali, karena koefisien x 2 sama dengan 2.

Tentu saja, persamaan kuadrat apa pun yang berbentuk ax 2 + bx + c = 0 dapat direduksi - cukup bagi semua koefisien dengan bilangan a. Kita selalu bisa melakukan ini, karena definisi persamaan kuadrat menyiratkan bahwa a ≠ 0.

Benar, transformasi ini tidak selalu berguna untuk menemukan akarnya. Di bawah ini kita akan memastikan bahwa hal ini harus dilakukan hanya jika dalam persamaan akhir yang diberikan oleh kuadrat semua koefisiennya adalah bilangan bulat. Untuk saat ini, mari kita lihat contoh paling sederhana:

Tugas. Ubah persamaan kuadrat menjadi persamaan tereduksi:

3x 2 − 12x + 18 = 0;

−4x 2 + 32x + 16 = 0;

1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;

2x 2 + 7x − 11 = 0.

Mari kita bagi setiap persamaan dengan koefisien variabel x 2. Kami mendapatkan:

3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - membagi semuanya dengan 3;
−4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - dibagi −4;
1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - dibagi 1,5, semua koefisien menjadi bilangan bulat;
2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - dibagi 2. Dalam hal ini, koefisien pecahan muncul.

Seperti yang Anda lihat, persamaan kuadrat di atas dapat memiliki koefisien bilangan bulat meskipun persamaan aslinya berisi pecahan.

Sekarang mari kita rumuskan teorema utama yang sebenarnya memperkenalkan konsep persamaan kuadrat tereduksi:

teorema Vieta. Perhatikan persamaan kuadrat tereduksi berbentuk x 2 + bx + c = 0. Misalkan persamaan ini mempunyai akar real x 1 dan x 2. Dalam hal ini, pernyataan berikut ini benar:

x 1 + x 2 = −b. Dengan kata lain, jumlah akar-akar persamaan kuadrat yang diberikan sama dengan koefisien variabel x, yang diambil dengan tanda berlawanan;

x 1 x 2 = c. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat sama dengan koefisien bebas.

Contoh. Untuk mempermudah, kami hanya akan mempertimbangkan persamaan kuadrat di atas yang tidak memerlukan transformasi tambahan:

x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; akar: x 1 = 4; x 2 = 5;
x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; akar: x 1 = 3; x 2 = −5;
x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; akar: x 1 = −1; x 2 = −4.

Teorema Vieta memberi kita informasi tambahan tentang akar persamaan kuadrat. Pada pandangan pertama, ini mungkin tampak sulit, tetapi bahkan dengan pelatihan minimal Anda akan belajar “melihat” akarnya dan menebaknya dalam hitungan detik.

Tugas. Selesaikan persamaan kuadrat:

x 2 − 9x + 14 = 0;

x 2 − 12x + 27 = 0;

3x 2 + 33x + 30 = 0;

−7x 2 + 77x − 210 = 0.

Mari kita coba menuliskan koefisiennya menggunakan teorema Vieta dan “menebak” akar-akarnya:

x 2 − 9x + 14 = 0 adalah persamaan kuadrat tereduksi.
Berdasarkan teorema Vieta kita mempunyai: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Sangat mudah untuk melihat bahwa akar-akarnya adalah bilangan 2 dan 7;
x 2 − 12x + 27 = 0 - juga dikurangi.
Berdasarkan teorema Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Jadi akar-akarnya: 3 dan 9;
3x 2 + 33x + 30 = 0 - persamaan ini tidak tereduksi. Namun kita akan memperbaikinya sekarang dengan membagi kedua ruas persamaan dengan koefisien a = 3. Kita mendapatkan: x 2 + 11x + 10 = 0.
Kita menyelesaikannya menggunakan teorema Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ akar: −10 dan −1;
−7x 2 + 77x − 210 = 0 - sekali lagi koefisien untuk x 2 tidak sama dengan 1, mis. persamaan tidak diberikan. Kami membagi semuanya dengan angka a = −7. Kita peroleh: x 2 − 11x + 30 = 0.
Berdasarkan teorema Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Dari persamaan ini mudah untuk menebak akar-akarnya: 5 dan 6.

Dari alasan di atas terlihat jelas bagaimana teorema Vieta menyederhanakan penyelesaian persamaan kuadrat. Tidak ada perhitungan rumit, tidak ada akar aritmatika dan pecahan. Dan kami bahkan tidak memerlukan diskriminan (lihat pelajaran “Menyelesaikan persamaan kuadrat”).

Tentu saja, dalam semua refleksi kami, kami berangkat dari dua asumsi penting, yang secara umum tidak selalu terpenuhi dalam masalah nyata:

Persamaan kuadrat direduksi, yaitu. koefisien untuk x 2 adalah 1;
Persamaan tersebut memiliki dua akar yang berbeda. Dari sudut pandang aljabar, dalam hal ini diskriminannya adalah D > 0 - pada kenyataannya, awalnya kita berasumsi bahwa pertidaksamaan ini benar.

Namun, dalam masalah matematika yang khas, kondisi ini terpenuhi. Jika perhitungan menghasilkan persamaan kuadrat yang “buruk” (koefisien x 2 berbeda dari 1), hal ini dapat dengan mudah diperbaiki - lihat contoh di awal pelajaran. Saya biasanya diam tentang akarnya: masalah macam apa yang tidak ada jawabannya? Tentu saja akan ada akarnya.

Jadi, skema umum penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta adalah sebagai berikut:

Kurangi persamaan kuadrat menjadi persamaan yang diberikan, jika hal ini belum dilakukan dalam rumusan masalah;
Jika koefisien persamaan kuadrat di atas adalah pecahan, kita selesaikan dengan menggunakan diskriminan. Anda bahkan dapat kembali ke persamaan awal untuk mengerjakan angka-angka yang lebih "praktis";
Dalam kasus koefisien bilangan bulat, kita menyelesaikan persamaan menggunakan teorema Vieta;
Jika Anda tidak dapat menebak akar-akarnya dalam beberapa detik, lupakan teorema Vieta dan selesaikan menggunakan diskriminan.

Tugas. Selesaikan persamaan: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Jadi, di hadapan kita ada persamaan yang tidak tereduksi, karena koefisien a = 5. Bagi semuanya dengan 5, kita peroleh: x 2 − 7x + 10 = 0.

Semua koefisien persamaan kuadrat adalah bilangan bulat - mari kita coba menyelesaikannya menggunakan teorema Vieta. Kita mempunyai: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. Dalam hal ini, akar-akarnya mudah ditebak - yaitu 2 dan 5. Tidak perlu menghitung menggunakan diskriminan.

Tugas. Selesaikan persamaan: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Mari kita lihat: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - persamaan ini tidak tereduksi, mari kita bagi kedua ruas dengan koefisien a = −5. Kita mendapatkan: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - persamaan dengan koefisien pecahan.

Lebih baik kembali ke persamaan awal dan menghitung melalui diskriminan: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.

Tugas. Selesaikan persamaan: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Pertama, kita bagi semuanya dengan koefisien a = 2. Kita peroleh persamaan x 2 + 5x − 300 = 0.

Ini adalah persamaan tereduksi, menurut teorema Vieta kita mempunyai: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. Sulit untuk menebak akar persamaan kuadrat dalam kasus ini - secara pribadi, saya benar-benar mengalami kebuntuan ketika menyelesaikan masalah ini.

Anda harus mencari akar melalui diskriminan: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Jika Anda tidak ingat akar diskriminannya, saya perhatikan saja 1225: 25 = 49. Jadi, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Sekarang setelah akar diskriminan diketahui, menyelesaikan persamaan tersebut tidaklah sulit. Kita mendapatkan: x 1 = 15; x 2 = −20.

Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah dengan menggunakan rumus VIET, yang dinamai FRANCOIS VIETTE.

Dia adalah seorang pengacara terkenal yang melayani raja Perancis pada abad ke-16. Di waktu luangnya ia belajar astronomi dan matematika. Dia membangun hubungan antara akar dan koefisien persamaan kuadrat.

Keuntungan rumusnya:

1 . Dengan menerapkan rumus tersebut, Anda dapat dengan cepat menemukan solusinya. Karena koefisien kedua tidak perlu dimasukkan ke dalam kuadrat, lalu kurangi 4ac, cari diskriminannya, dan substitusikan nilainya ke dalam rumus untuk mencari akar-akarnya.

2 . Tanpa solusi, Anda dapat menentukan tanda-tanda akar dan memilih nilai-nilai akar.

3 . Setelah memecahkan sistem dua catatan, tidak sulit untuk menemukan akarnya sendiri. Pada persamaan kuadrat di atas, jumlah akar-akarnya sama dengan nilai koefisien kedua yang bertanda minus. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat di atas sama dengan nilai koefisien ketiga.

4 . Dengan menggunakan akar-akar ini, tuliskan persamaan kuadrat, yaitu selesaikan soal inversnya. Misalnya, metode ini digunakan ketika memecahkan masalah mekanika teoretis.

5 . Akan lebih mudah untuk menggunakan rumus ketika koefisien utama sama dengan satu.

Kekurangan:

1 . Rumusnya tidak universal.

Teorema Vieta kelas 8

Rumus
Jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 + px + q = 0, maka:

Contoh
x 1 = -1; x 2 = 3 - akar persamaan x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Teorema kebalikan

Rumus
Jika bilangan x 1, x 2, p, q dihubungkan dengan syarat:

Maka x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan x 2 + px + q = 0.

Contoh
Mari kita buat persamaan kuadrat menggunakan akar-akarnya:

X 1 = 2 - ? 3 dan x 2 = 2 + ? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; hal = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

Persamaan yang diperlukan berbentuk: x 2 - 4x + 1 = 0.

Persamaan kuadrat lengkap apa pun kapak 2 + bx + c = 0 dapat diingat x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, jika setiap suku dibagi terlebih dahulu dengan koefisien a sebelumnya x 2. Dan jika kita memperkenalkan notasi baru (b/a) = hal Dan (c/a) = q, maka kita akan mendapatkan persamaannya x 2 + piksel + q = 0, yang dalam matematika disebut persamaan kuadrat yang diberikan.

Akar persamaan kuadrat tereduksi dan koefisiennya P Dan Q terhubung satu sama lain. Hal ini telah dikonfirmasi teorema Vieta, dinamai menurut ahli matematika Perancis Francois Vieta, yang hidup pada akhir abad ke-16.

Dalil. Jumlah akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 + piksel + q = 0 sama dengan koefisien kedua P, diambil dengan tanda yang berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya - dengan suku bebas Q.

Mari kita tuliskan hubungan ini dalam bentuk berikut:

Membiarkan x 1 Dan x 2 akar-akar yang berbeda dari persamaan yang diberikan x 2 + piksel + q = 0. Menurut teorema Vieta x 1 + x 2 = -p Dan x 1 x 2 = q.

Untuk membuktikannya, substitusikan masing-masing akar x 1 dan x 2 ke dalam persamaan. Kami mendapatkan dua persamaan sejati:

x 1 2 + piksel 1 + q = 0

x 2 2 + piksel 2 + q = 0

Mari kita kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama. Kami mendapatkan:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Kita perluas dua suku pertama menggunakan rumus selisih kuadrat:

(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0

Syaratnya, akar-akar x 1 dan x 2 berbeda. Oleh karena itu, kita dapat mereduksi persamaan tersebut menjadi (x 1 – x 2) ≠ 0 dan menyatakan p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Kesetaraan pertama telah terbukti.

Untuk membuktikan persamaan kedua, kita substitusikan ke persamaan pertama

x 1 2 + px 1 + q = 0 sebagai ganti koefisien p, bilangan yang sama adalah (x 1 + x 2):

x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

Mengubah ruas kiri persamaan, kita memperoleh:

x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;

x 1 x 2 = q, yang perlu dibuktikan.

Teorema Vieta bagus karena Bahkan tanpa mengetahui akar-akar persamaan kuadrat, kita dapat menghitung jumlah dan hasil kali persamaan tersebut .

Teorema Vieta membantu menentukan akar bilangan bulat dari persamaan kuadrat tertentu. Namun bagi banyak siswa, hal ini menimbulkan kesulitan karena mereka tidak mengetahui algoritma tindakan yang jelas, terutama jika akar-akar persamaan memiliki tanda yang berbeda.

Jadi persamaan kuadrat di atas berbentuk x 2 + px + q = 0, dimana x 1 dan x 2 adalah akar-akarnya. Menurut teorema Vieta, x 1 + x 2 = -p dan x 1 · x 2 = q.

Kesimpulan berikut dapat diambil.

Jika suku terakhir persamaan diawali dengan tanda minus, maka akar-akar x 1 dan x 2 mempunyai tanda yang berbeda. Selain itu, tanda akar yang lebih kecil bertepatan dengan tanda koefisien kedua dalam persamaan tersebut.

Berdasarkan fakta bahwa ketika menjumlahkan bilangan dengan tanda berbeda, modulusnya dikurangi, dan tanda bilangan modulo yang lebih besar ditempatkan di depan hasil yang dihasilkan, Anda harus melanjutkan sebagai berikut:

tentukan faktor-faktor bilangan q sedemikian rupa sehingga selisihnya sama dengan bilangan p;
letakkan tanda koefisien kedua persamaan di depan angka yang lebih kecil; akar kedua akan memiliki tanda sebaliknya.

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh 1.

Selesaikan persamaan x 2 – 2x – 15 = 0.

Larutan.

Mari kita coba menyelesaikan persamaan ini menggunakan aturan yang diusulkan di atas. Maka kita dapat mengatakan dengan pasti bahwa persamaan ini akan mempunyai dua akar yang berbeda, karena D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.

Sekarang, dari semua faktor bilangan 15 (1 dan 15, 3 dan 5), kita pilih yang selisihnya 2. Ini akan menjadi bilangan 3 dan 5. Kita beri tanda minus di depan bilangan yang lebih kecil, yaitu. tanda koefisien kedua persamaan. Jadi, kita memperoleh akar-akar persamaan x 1 = -3 dan x 2 = 5.

Menjawab. x 1 = -3 dan x 2 = 5.

Contoh 2.

Selesaikan persamaan x 2 + 5x – 6 = 0.

Larutan.

Mari kita periksa apakah persamaan ini mempunyai akar. Untuk melakukan ini, kami menemukan diskriminan:

D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Persamaan tersebut mempunyai dua akar yang berbeda.

Faktor kemungkinan dari bilangan 6 adalah 2 dan 3, 6 dan 1. Selisihnya adalah 5 untuk pasangan 6 dan 1. Dalam contoh ini, koefisien suku kedua mempunyai tanda tambah, oleh karena itu jumlah yang lebih kecil akan memiliki tanda yang sama. Namun sebelum angka kedua akan ada tanda minus.

Jawaban: x 1 = -6 dan x 2 = 1.

Teorema Vieta juga dapat dituliskan untuk persamaan kuadrat lengkap. Jadi, jika persamaan kuadrat kapak 2 + bx + c = 0 mempunyai akar x 1 dan x 2, maka persamaannya berlaku

x 1 + x 2 = -(b/a) Dan x 1 x 2 = (c/a). Namun penerapan teorema ini pada persamaan kuadrat lengkap cukup bermasalah, karena jika ada akar, setidaknya salah satunya adalah bilangan pecahan. Dan mengerjakan pemilihan pecahan cukup sulit. Tapi masih ada jalan keluarnya.

Perhatikan persamaan kuadrat lengkap ax 2 + bx + c = 0. Kalikan ruas kiri dan kanannya dengan koefisien a. Persamaannya akan berbentuk (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Sekarang mari kita perkenalkan variabel baru, misalnya t = ax.

Dalam hal ini, persamaan yang dihasilkan akan berubah menjadi persamaan kuadrat tereduksi berbentuk t 2 + bt + ac = 0, yang akar-akarnya t 1 dan t 2 (jika ada) dapat ditentukan dengan teorema Vieta.

Dalam hal ini, akar-akar persamaan kuadrat aslinya adalah

x 1 = (t 1 / a) dan x 2 = (t 2 / a).

Contoh 3.

Selesaikan persamaan 15x 2 – 11x + 2 = 0.

Larutan.

Kompilasi persamaan bantu. Mari kalikan setiap suku persamaan dengan 15:

15 2 x 2 – 11 15x + 15 2 = 0.

Kita lakukan penggantian t = 15x. Kami memiliki:

t 2 – 11t + 30 = 0.

Menurut teorema Vieta, akarnya persamaan yang diberikan akan menjadi t 1 = 5 dan t 2 = 6.

Kita kembali ke penggantian t = 15x:

5 = 15x atau 6 = 15x. Jadi x 1 = 5/15 dan x 2 = 6/15. Kita kurangi dan dapatkan jawaban akhir: x 1 = 1/3 dan x 2 = 2/5.