Tunjukkan bahwa persamaan ini mendefinisikan fungsi implisit. Turunan dari suatu fungsi yang ditentukan secara implisit

Fungsi implisit ditentukan oleh sistem persamaan

Diberikan sistem persamaan

atau sebentar F(x, y)= 0. (6.7)

Definisi. Sistem(6.7)mendefinisikan fungsi implisit y=f(X)di DÌR n

jika "xÎD:F(x, f(X)) = 0.

Teorema (keberadaan dan keunikan suatu pemetaan yang secara implisit ditentukan oleh sistem persamaan).Membiarkan

1) F saya(x, y)dari (6.4) terdefinisi dan mempunyai turunan parsial kontinu orde pertama, (i= 1,…,p, k= 1,…,n, j= 1,…,p) di sekitar U(M 0)poin M 0 (X 0 ,y 0), X 0 = , kamu 0 =

2) F(M 0)=0,

3) det.

Kemudian di beberapa lingkungan U(X 0)ada fungsi unik (peta) yang didefinisikan di lingkungan ini y = f(X), seperti yang

"xО kamu(X 0) :F(x,f(X))=0dan kamu 0 =f(X 0).

Fungsi ini terdiferensiasi kontinyu di lingkungan titik x 0 .

Mengingat sistemnya

Kami berasumsi bahwa kondisi teorema keberadaan dan keunikan fungsi implisit yang ditentukan oleh sistem persamaan ini terpenuhi. Mari kita nyatakan fungsi ini kamu=f(X) . Kemudian di beberapa lingkungan intinya X 0 identitasnya valid

Membedakan identitas tersebut dengan xj kita dapatkan

= 0.(6.9)

Persamaan ini dapat dituliskan bentuk matriks

atau dalam bentuk diperluas

Perhatikan bahwa transisi dari kesetaraan F(x,f(X))=0k , sesuai dengan aturan diferensiasi untuk kasus kapan X Dan kamu adalah titik-titik ruang satu dimensi. Dengan syarat matriks tersebut tidak tunggal, sehingga persamaan matriks tersebut mempunyai penyelesaian. Dengan demikian, kita dapat mencari turunan parsial orde pertama fungsi implisit. Untuk menemukan perbedaan, kami menyatakannya

mati = , dx =, membedakan persamaan (6.8), kita peroleh

atau dalam bentuk matriks

Diperluas

Seperti halnya turunan parsial, rumus (6.10) memiliki bentuk yang sama seperti pada kasus ruang satu dimensi n= 1, hal= 1. Solusi untuk ini persamaan matriks akan ditulis dalam formulir. Untuk mencari turunan parsial orde kedua, Anda perlu membedakan identitas (6.9) (untuk menghitung diferensial orde kedua, Anda perlu membedakan identitas (6.10)). Jadi, kita dapatkan

melalui mana A istilah yang tidak mengandung persyaratan ditunjukkan.

Matriks koefisien sistem penentuan turunan ini adalah matriks Jacobian.

Rumus serupa dapat diperoleh untuk diferensial. Dalam setiap kasus tersebut akan diperoleh persamaan matriks dengan matriks koefisien yang sama dalam sistem persamaan untuk menentukan turunan atau diferensial yang diinginkan. Hal yang sama akan terjadi pada diferensiasi berikut.

Contoh 1. Temukan, pada suatu titik kamu= 1,v= 1.

Larutan. Bedakan persamaan yang diberikan

Perhatikan bahwa dari kondisi permasalahan maka kita harus mempertimbangkan variabel independen x, kamu. Maka fungsinya akan menjadi z, kamu, v. Jadi, sistem (6.11) harus diselesaikan terhadap hal-hal yang tidak diketahui du, dv, dz. Dalam bentuk matriks tampilannya seperti ini

Mari selesaikan sistem ini menggunakan aturan Cramer. Penentu matriks koefisien

Penentu "pengganti" ketiga untuk dz akan sama (kami menghitungnya dengan memperluas kolom terakhir)

dz = , Dan, .

Mari kita bedakan (6.11) sekali lagi ( x, kamu – variabel independen)

Matriks koefisien sistemnya sama, determinan ketiga

Memecahkan sistem ini, kita memperoleh ekspresi untuk d 2 z di mana Anda dapat menemukan turunan yang diinginkan.

6.3. Pemetaan yang dapat dibedakan

Pemetaan turunan. Tampilan reguler. Diperlukan dan kondisi yang cukup ketergantungan fungsional.

Kita akan belajar mencari turunan dari fungsi yang ditentukan secara implisit, yaitu ditentukan oleh persamaan tertentu yang menghubungkan variabel X Dan kamu. Contoh fungsi yang ditentukan secara implisit:

,

,

Turunan dari fungsi yang ditentukan secara implisit, atau turunan dari fungsi implisit, ditemukan dengan cukup sederhana. Sekarang mari kita lihat aturan dan contoh terkait, lalu cari tahu mengapa hal ini diperlukan secara umum.

Untuk mencari turunan suatu fungsi yang ditentukan secara implisit, Anda perlu membedakan kedua ruas persamaan terhadap x. Suku-suku yang hanya berisi X akan berubah menjadi turunan fungsi biasa dari X. Dan syarat-syarat permainannya perlu dibedakan dengan menggunakan aturan diferensiasi fungsi yang kompleks, karena i adalah fungsi dari x. Sederhananya, hasil turunan suku dengan x akan menghasilkan: turunan fungsi dari y dikalikan dengan turunan dari y. Misalnya turunan suatu suku akan dituliskan , turunan suatu suku akan dituliskan . Selanjutnya, dari semua ini, Anda perlu mengekspresikan “game stroke” ini dan turunan yang diinginkan dari fungsi yang ditentukan secara implisit akan diperoleh. Mari kita lihat ini dengan sebuah contoh.

Contoh 1.

Larutan. Kita bedakan kedua ruas persamaan terhadap x, dengan asumsi i adalah fungsi dari x:

Dari sini kita mendapatkan turunan yang diperlukan dalam tugas:

Sekarang sesuatu tentang sifat ambigu dari fungsi yang ditentukan secara implisit, dan mengapa diperlukan aturan khusus untuk diferensiasinya. Dalam beberapa kasus, Anda dapat memverifikasi bahwa substitusi masuk persamaan yang diberikan(lihat contoh di atas) alih-alih y, ekspresinya melalui x mengarah pada fakta bahwa persamaan ini menjadi identitas. Jadi. Persamaan di atas secara implisit mendefinisikan fungsi-fungsi berikut:

Setelah mensubstitusi ekspresi permainan kuadrat melalui x ke dalam persamaan awal, kita memperoleh identitas:

.

Ekspresi yang kami substitusikan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan permainan.

Jika kita membedakan fungsi eksplisit yang sesuai

maka kita akan mendapatkan jawabannya seperti pada contoh 1 - dari fungsi yang ditentukan secara implisit:

Namun tidak semua fungsi yang ditentukan secara implisit dapat direpresentasikan dalam bentuk kamu = F(X) . Jadi, misalnya, fungsi yang ditentukan secara implisit

tidak diungkapkan melalui fungsi dasar, artinya, persamaan ini tidak dapat diselesaikan sehubungan dengan pemainnya. Oleh karena itu, terdapat aturan untuk mendiferensiasikan suatu fungsi yang ditentukan secara implisit, yang telah kita pelajari dan selanjutnya akan diterapkan secara konsisten dalam contoh lain.

Contoh 2. Temukan turunan dari suatu fungsi yang diberikan secara implisit:

.

Kami menyatakan bilangan prima dan - pada keluaran - turunan dari fungsi yang ditentukan secara implisit:

Contoh 3. Temukan turunan dari suatu fungsi yang diberikan secara implisit:

.

Larutan. Kita bedakan kedua ruas persamaan terhadap x:

.

Contoh 4. Temukan turunan dari suatu fungsi yang diberikan secara implisit:

.

Larutan. Kita bedakan kedua ruas persamaan terhadap x:

.

Kami menyatakan dan memperoleh turunannya:

.

Contoh 5. Temukan turunan dari suatu fungsi yang diberikan secara implisit:

Larutan. Kami mentransfer suku-suku di sisi kanan persamaan ke sisi kiri dan tinggalkan nol di sebelah kanan. Kita bedakan kedua ruas persamaan terhadap x.

Turunan orde tinggi ditemukan dengan diferensiasi berturut-turut dari rumus (1).

Contoh. Tentukan dan jika (x ²+y ²)³-3(x ²+y ²)+1=0.

Larutan. Menunjukkan sisi kiri persamaan ini dengan F(x,y) carilah turunan parsialnya

f"x(x,y)=3(x²+y²)²∙2x-3∙2x=6x[(x²+y²)-1],

f"y(x,y)=3(x²+y²)²∙2y-3∙2y=6y[(x²+y²)-1].

Dari sini, dengan menerapkan rumus (1), kita memperoleh:

.

Untuk mencari turunan kedua, bedakan terhadap X turunan pertama yang ditemukan, dengan mempertimbangkan hal itu pada ada fungsi x:

.

2°. Kasus beberapa variabel independen. Begitu pula jika persamaannya F(x, y, z)=0, Di mana F(x, y, z) - fungsi variabel yang dapat diturunkan x, kamu Dan z, menentukan z sebagai fungsi dari variabel independen X Dan pada Dan Fz(x, y, z)≠ 0, maka turunan parsialnya secara implisit fungsi yang diberikan, secara umum, dapat dicari dengan menggunakan rumus

Cara lain untuk mencari turunan fungsi z adalah sebagai berikut: dengan mendiferensiasikan persamaannya F(x, y, z) = 0, kita mendapatkan:

.

Dari sini kita bisa menentukan dz, dan karena itu.

Contoh. Temukan dan jika x ² - 2kamu²+3z² -yz +kamu =0.

metode pertama. Menunjukkan sisi kiri persamaan ini dengan F(x, y, z), mari kita cari turunan parsialnya F"x(x,y,z)=2x, F"y(x,y,z)=-4y-z+1, F"z(x,y,z)=6z-y.

Menerapkan rumus (2), kita memperoleh:

metode ke-2. Membedakan persamaan ini, kita mendapatkan:

2xdx-4kamumati +6zdz-kamudz-zmati +hari =0

Dari sini kita menentukan dz, yaitu diferensial total dari fungsi implisit:

.

Bandingkan dengan rumus , kami melihatnya

.

3°. Sistem Fungsi Implisit. Jika sistem dua persamaan

mendefinisikan kamu Dan ay sebagai fungsi dari variabel x dan y dan Jacobian

,

maka perbedaan fungsi-fungsi ini (dan turunan parsialnya) dapat dicari dari sistem persamaan

Contoh: Persamaan u+v=x+y, xu+yv=1 menentukan kamu Dan ay sebagai fungsi X Dan pada; menemukan .

Larutan. metode pertama. Membedakan kedua persamaan terhadap x, kita peroleh:

.

Dengan cara serupa kita menemukan:

.

metode ke-2. Dengan diferensiasi kita menemukan dua persamaan yang menghubungkan perbedaan keempat variabel: dua +dv =dx+mati,Xdua +kamudx+kamudv+ayhari =0.

Memecahkan sistem ini untuk perbedaan du Dan dv, kita mendapatkan:

4°. Spesifikasi parametrik fungsi. Jika fungsi dari r variabel X Dan pada diberikan secara parametrik oleh persamaan x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) Dan

,

maka diferensial fungsi ini dapat dicari dari sistem persamaan

Mengetahui perbedaannya dz=p dx+q dy, kita cari turunan parsialnya dan .

Contoh. Fungsi z argumen X Dan pada diberikan oleh persamaan x=u+v, y=u²+v², z=u²+v² (u≠v).

Temukan dan .

Larutan. metode pertama. Dengan diferensiasi kita menemukan tiga persamaan yang menghubungkan perbedaan kelima variabel:

Dari dua persamaan pertama kita menentukan du Dan dv:

.

Mari kita substitusikan nilai yang ditemukan ke dalam persamaan ketiga du Dan dv:

.

metode ke-2. Dari persamaan ketiga yang diberikan kita dapat menemukan:

Mari kita bedakan dulu dua persamaan pertama terhadap X, lalu oleh pada:

Dari sistem pertama kami menemukan: .

Dari sistem kedua kita menemukan: .

Mengganti ekspresi dan ke dalam rumus (5), kita memperoleh:

Mengganti variabel

Saat mengganti variabel dalam ekspresi diferensial, turunan yang termasuk di dalamnya harus dinyatakan dalam turunan lain sesuai dengan aturan untuk mendiferensiasikan fungsi kompleks.

1°. Mengganti variabel dalam ekspresi yang mengandung turunan biasa.

,

percaya.

pada Oleh X melalui turunan dari pada Oleh T. Kami memiliki:

,

.

Substitusikan ekspresi turunan yang ditemukan ke dalam persamaan ini dan gantikan X melalui , kita mendapatkan:

Contoh. Konversi Persamaan

,

menganggapnya sebagai argumen pada, dan untuk fungsi x.

Larutan. Mari kita nyatakan turunan dari pada Oleh X melalui turunan dari X Oleh kamu.

.

Mengganti ekspresi turunan ini ke dalam persamaan ini, kita mendapatkan:

,

atau, akhirnya,

.

Contoh. Konversi Persamaan

pindah ke koordinat kutub

Larutan. Mempertimbangkan R sebagai sebuah fungsi φ , dari rumus (1) kita peroleh:

dх = cosφ dr – r sinφ dφ, dy=sinφ+r cosφ dφ,

Diberikan sistem persamaan

atau sebentarF(X, kamu)=0 (1)

Definisi. Sistem (1) mendefinisikan fungsi yang ditentukan secara implisitkamu= F(X) padaD R N

,

Jika X D : F(X , F(X)) = 0.

Teorema (keberadaan dan keunikan suatu pemetaan yang secara implisit ditentukan oleh sistem persamaan). Membiarkan

Kemudian di beberapa lingkungankamu (X 0 ) ada fungsi unik (peta) yang ditentukan di lingkungan inikamu = F(X), seperti yang

 X kamu (X 0 ) : F(X, F(X))=0 dankamu 0 = F(X 0 ).

Fungsi ini terus menerus terdiferensiasi di beberapa lingkungan titikX 0 .

5. Perhitungan turunan fungsi implisit yang ditentukan oleh sistem persamaan

Mengingat sistemnya

(1)

Kami berasumsi bahwa kondisi teorema keberadaan dan keunikan untuk fungsi implisit yang ditentukan oleh sistem persamaan ini terpenuhi. Mari kita nyatakan fungsi ini kamu= F(X) . Kemudian di beberapa lingkungan intinya X 0 identitasnya valid

(F(x, f(x))=0) (2)

Membedakan identitas tersebut dengan X J kita dapatkan

=0 (3)

Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk matriks

, (3)

atau dalam bentuk diperluas

.

Perhatikan bahwa transisi dari kesetaraan F(X, F(X))=0 Ke
, sesuai dengan aturan diferensiasi untuk kasus kapan X Dan kamu adalah titik-titik ruang satu dimensi. Matriks dengan kondisi tidak merosot, oleh karena itu persamaan matriks
punya solusi
. Dengan cara ini Anda dapat mencari turunan parsial orde pertama dari fungsi implisit . Untuk menemukan perbedaan, kami menyatakannya

mati = ,dx = , membedakan persamaan (2) kita dapatkan

=0 ,

atau dalam bentuk matriks

. (4)

Diperluas

.

Seperti halnya turunan parsial, rumusnya (4) kita mempunyai bentuk yang sama dengan kasus ruang satu dimensi N=1, P=1. Solusi persamaan matriks ini akan ditulis dalam bentuk
. Untuk mencari turunan parsial orde kedua, identitasnya perlu dibedakan (3) (untuk menghitung diferensial orde kedua, Anda perlu membedakan identitasnya (4) ). Jadi, kita dapatkan

,

melalui mana A istilah yang tidak mengandung persyaratan ditunjukkan
.

Matriks koefisien sistem ini untuk menentukan turunannya
berfungsi sebagai matriks Jacobian .

Rumus serupa dapat diperoleh untuk diferensial. Dalam setiap kasus tersebut akan diperoleh persamaan matriks dengan matriks koefisien yang sama dalam sistem persamaan untuk menentukan turunan atau diferensial yang diinginkan. Hal yang sama akan terjadi pada diferensiasi berikut.

Contoh 1. Temukan ,,pada intinya kamu=1, ay=1.

Larutan. Bedakan persamaan yang diberikan

(5)

Perhatikan bahwa sesuai dengan rumusan masalah, kita harus mempertimbangkan variabel independen X, kamu. Maka fungsinya akan menjadi z, kamu, ay. Jadi, sistem (5) harus diselesaikan mengenai hal yang tidak diketahui du, dv, dz . Dalam bentuk matriks tampilannya seperti ini

.

Mari selesaikan sistem ini menggunakan aturan Cramer. Penentu matriks koefisien

, Penentu "pengganti" ketiga untuk dz akan sama (kami menghitungnya dengan memperluas kolom terakhir)

, Kemudian

dz =
, Dan
,
.

Mari kita bedakan (5) sekali lagi ( X, kamu – variabel independen)

Matriks koefisien sistemnya sama, determinan ketiga

Memecahkan sistem ini, kita memperoleh ekspresi untuk D 2 z di mana Anda dapat menemukan turunan yang diinginkan.