Misalnya, untuk trinomial \(3x^2+2x-7\), diskriminannya akan sama dengan \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Dan untuk trinomial \(x^2-5x+11\), akan sama dengan \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Diskriminan dilambangkan dengan huruf \(D\) dan sering digunakan dalam penyelesaian. Selain itu, berdasarkan nilai diskriminannya, Anda dapat memahami kira-kira seperti apa grafiknya (lihat di bawah).

Diskriminan dan akar persamaan

Nilai diskriminan menunjukkan banyaknya persamaan kuadrat:
- jika \(D\) positif, persamaannya mempunyai dua akar;
- jika \(D\) sama dengan nol – hanya ada satu akar;
- jika \(D\) negatif, tidak ada akar.

Hal ini tidak perlu diajarkan, tidak sulit untuk sampai pada kesimpulan seperti itu, cukup dengan mengetahui bahwa dari diskriminan (yaitu, \(\sqrt(D)\) termasuk dalam rumus menghitung akar-akar persamaan : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dan \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D ))(2a)\) Mari kita lihat setiap kasus secara lebih rinci.

Jika diskriminannya positif

Dalam hal ini, akarnya adalah beberapa nomor positif, artinya \(x_(1)\) dan \(x_(2)\) mempunyai arti yang berbeda, karena pada rumus pertama \(\sqrt(D)\) ditambah, dan pada rumus kedua dikurangi. Dan kami memiliki dua akar yang berbeda.

Contoh : Mencari akar-akar persamaan \(x^2+2x-3=0\)
Larutan :

Menjawab : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Jika diskriminannya nol

Dan berapa banyak akar yang akan ada jika diskriminan sama dengan nol? Mari kita beralasan.

Rumus akarnya terlihat seperti ini: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dan \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Dan jika diskriminannya nol, maka akarnya juga nol. Maka ternyata:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Artinya, nilai akar-akar persamaan akan berhimpitan, karena penjumlahan atau pengurangan nol tidak mengubah apa pun.

Contoh : Mencari akar-akar persamaan \(x^2-4x+4=0\)
Larutan :

Menjawab : \(x=2\)

Persamaan kuadrat. Diskriminan. Solusi, contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Jenis persamaan kuadrat

Apa itu persamaan kuadrat? Seperti apa bentuknya? Dalam ketentuan persamaan kuadrat kata kuncinya adalah "persegi". Artinya dalam persamaan Perlu harus ada x kuadratnya. Selain itu, persamaan tersebut mungkin (atau mungkin tidak!) hanya berisi X (pangkat satu) dan hanya sebuah angka (anggota bebas). Dan tidak boleh ada X yang pangkatnya lebih besar dari dua.

Berbicara bahasa matematika, persamaan kuadrat adalah persamaan yang bentuknya:

Di Sini a, b dan c- beberapa nomor. b dan c- tentu saja, tapi A– apa pun selain nol. Misalnya:

Di Sini A =1; B = 3; C = -4

Di Sini A =2; B = -0,5; C = 2,2

Di Sini A =-3; B = 6; C = -18

Nah, Anda mengerti...

Dalam persamaan kuadrat di sebelah kiri ada set lengkap anggota. X dikuadratkan dengan koefisien A, x pangkat pertama dengan koefisien B Dan anggota bebas s.

Persamaan kuadrat seperti ini disebut penuh.

Dan jika B= 0, apa yang kita dapat? Kita punya X akan hilang pada pangkat pertama. Ini terjadi jika dikalikan dengan nol.) Ternyata, misalnya:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Dan seterusnya. Dan jika kedua koefisien B Dan C sama dengan nol, maka lebih sederhana lagi:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Persamaan dimana ada sesuatu yang hilang disebut persamaan kuadrat tidak lengkap. Ini cukup logis.) Perlu diketahui bahwa x kuadrat ada di semua persamaan.

Ngomong-ngomong, kenapa A tidak bisa sama dengan nol? Dan Anda malah menggantikannya A nol.) X kuadrat kita akan hilang! Persamaannya akan menjadi linier. Dan solusinya sangat berbeda...

Itu semua tipe utama persamaan kuadrat. Lengkap dan tidak lengkap.

Memecahkan persamaan kuadrat.

Memecahkan persamaan kuadrat lengkap.

Persamaan kuadrat mudah diselesaikan. Sesuai rumus dan jelas aturan sederhana. Pada tahap pertama itu perlu persamaan yang diberikan menuju ke tampilan standar, yaitu ke formulir:

Jika persamaan sudah diberikan kepada Anda dalam bentuk ini, Anda tidak perlu melakukan tahap pertama.) Yang utama adalah menentukan semua koefisien dengan benar, A, B Dan C.

Rumus mencari akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

Ekspresi di bawah tanda akar disebut diskriminan. Tapi lebih banyak tentang dia di bawah. Seperti yang Anda lihat, untuk mencari X, kami menggunakan hanya a, b dan c. Itu. koefisien dari persamaan kuadrat. Ganti saja nilainya dengan hati-hati a, b dan c Kami menghitung ke dalam rumus ini. Mari kita gantikan dengan tandamu sendiri! Misalnya dalam persamaan:

A =1; B = 3; C= -4. Di sini kami menuliskannya:

Contohnya hampir terpecahkan:

Inilah jawabannya.

Semuanya sangat sederhana. Dan menurut Anda tidak mungkin membuat kesalahan? Ya, bagaimana...

Kesalahan paling umum adalah kebingungan dengan nilai-nilai tanda a, b dan c. Atau lebih tepatnya, bukan dengan tanda-tandanya (di mana harus bingung?), tetapi dengan substitusi nilai-nilai negatif ke dalam rumus menghitung akar-akarnya. Menghemat di sini entri terperinci rumus dengan angka tertentu. Jika ada masalah dalam perhitungan, lakukan itu!

Misalkan kita perlu menyelesaikan contoh berikut:

Di Sini A = -6; B = -5; C = -1

Katakanlah Anda tahu bahwa Anda jarang mendapatkan jawaban untuk pertama kalinya.

Yah, jangan malas. Diperlukan waktu sekitar 30 detik untuk menulis baris tambahan dan jumlah kesalahan akan menurun tajam. Jadi kami menulis secara detail, dengan semua tanda kurung dan tanda:

Tampaknya sangat sulit untuk menulis dengan hati-hati. Tapi sepertinya hanya itu saja. Cobalah. Ya, atau pilih. Mana yang lebih baik, cepat atau benar?

Selain itu, aku akan membuatmu bahagia. Setelah beberapa saat, tidak perlu menuliskan semuanya dengan hati-hati. Ini akan berjalan dengan sendirinya. Apalagi jika Anda menggunakan teknik praktis yang dijelaskan di bawah ini. Contoh jahat dengan banyak kekurangan ini dapat diselesaikan dengan mudah dan tanpa kesalahan!

Namun seringkali persamaan kuadrat terlihat sedikit berbeda. Misalnya seperti ini: Apakah Anda mengenalinya?) Ya! Ini.

persamaan kuadrat tidak lengkap

Memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap. a, b dan c.

Mereka juga dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus umum. Anda hanya perlu memahami dengan benar apa persamaannya di sini. Sudahkah Anda menemukan jawabannya? Pada contoh pertama sebuah = 1; b = -4; C A ? Itu tidak ada sama sekali! Ya, itu benar. Dalam matematika, ini berarti bahwa c = 0 ! Itu saja. Gantikan nol ke dalam rumus C, dan kita akan berhasil. Sama dengan contoh kedua. Hanya saja kita tidak punya nol di sini Dengan B !

, A Namun persamaan kuadrat tidak lengkap dapat diselesaikan dengan lebih sederhana. Tanpa formula apa pun. Mari kita pertimbangkan yang pertama persamaan yang tidak lengkap

. Apa yang bisa kamu lakukan di sisi kiri? Anda dapat mengeluarkan X dari tanda kurung! Mari kita keluarkan.
Dan bagaimana dengan ini? Dan fakta bahwa hasil kali sama dengan nol jika dan hanya jika salah satu faktornya sama dengan nol! Tidak percaya padaku? Oke, lalu tentukan dua bilangan bukan nol yang jika dikalikan akan menghasilkan nol!
Tidak bekerja? Itu dia... Oleh karena itu, kami dengan percaya diri dapat menulis:, x 1 = 0.

x 2 = 4 Semua. Ini akan menjadi akar persamaan kita. Keduanya cocok. Saat mengganti salah satu dari mereka ke dalam persamaan asli , kita mendapatkan identitas yang benar 0 = 0. Seperti yang Anda lihat, penyelesaiannya jauh lebih sederhana daripada menggunakan rumus umum. Izinkan saya mencatat, omong-omong, X mana yang akan menjadi yang pertama dan mana yang kedua - sama sekali tidak peduli. Lebih mudah untuk menulis secara berurutan, x 1 - apa yang lebih kecil dan x 2

- apa yang lebih besar. Persamaan kedua juga dapat diselesaikan secara sederhana. Pindahkan 9 ke sisi kanan

Yang tersisa hanyalah mengekstrak root dari 9, dan selesai. Ternyata:

Juga dua akar . x 1 = -3, x 2 = 3.

Beginilah cara menyelesaikan semua persamaan kuadrat tidak lengkap. Baik dengan menempatkan X di luar tanda kurung, atau cukup dengan memindahkan bilangan tersebut ke kanan lalu mengekstrak akarnya.
Sangat sulit untuk mengacaukan teknik-teknik ini. Hanya karena dalam kasus pertama Anda harus mengekstrak root X, yang entah bagaimana tidak dapat dipahami, dan dalam kasus kedua tidak ada yang perlu dikeluarkan dari tanda kurung...

Diskriminan. Rumus diskriminan.

Kata ajaib diskriminan ! Jarang ada siswa SMA yang belum mendengar kata ini! Ungkapan “kita menyelesaikan masalah melalui pihak yang diskriminan” menginspirasi keyakinan dan kepastian. Karena tidak perlu mengharapkan tipu muslihat dari pihak yang diskriminan! Sederhana dan bebas masalah untuk digunakan.) Saya paling mengingatkan Anda pada hal itu rumus umum untuk solusi setiap persamaan kuadrat:

Ekspresi di bawah tanda akar disebut diskriminan. Biasanya diskriminan dilambangkan dengan huruf D. Rumus diskriminan:

D = b 2 - 4ac

Dan apa yang luar biasa dari ungkapan ini? Mengapa itu pantas nama khusus? Apa pengertian diskriminan? Lagipula -B, atau 2a dalam rumus ini mereka tidak secara khusus menyebutnya apa pun… Huruf dan huruf.

Inilah masalahnya. Saat menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus ini, hal itu mungkin hanya tiga kasus.

1. Diskriminannya positif. Ini berarti root dapat diekstraksi darinya. Apakah akarnya diekstraksi dengan baik atau buruk adalah pertanyaan lain. Yang penting adalah apa yang diekstraksi secara prinsip. Maka persamaan kuadrat Anda memiliki dua akar. Dua solusi berbeda.

2. Diskriminannya adalah nol. Maka Anda akan memiliki satu solusi. Karena penjumlahan atau pengurangan nol pada pembilangnya tidak mengubah apapun. Sebenarnya, ini bukan satu akar, tapi dua identik. Namun, dalam versi yang disederhanakan, hal itu biasa dibicarakan satu solusi.

3. Diskriminannya negatif. Akar kuadrat dari suatu bilangan negatif tidak dapat diambil. Baiklah. Artinya tidak ada solusi.

Jujur saja, kapan solusi sederhana persamaan kuadrat, konsep diskriminan tidak terlalu diperlukan. Kami mengganti nilai koefisien ke dalam rumus dan menghitung. Segala sesuatu terjadi di sana dengan sendirinya, dua akar, satu, dan tidak ada satu pun. Namun, ketika menyelesaikan lebih banyak tugas-tugas sulit, tanpa sepengetahuan arti dan rumus diskriminan tidak cukup. Terutama pada persamaan dengan parameter. Persamaan tersebut adalah aerobatik untuk Ujian Negara dan Ujian Negara Terpadu!)

Jadi, cara menyelesaikan persamaan kuadrat melalui diskriminan yang Anda ingat. Atau Anda telah mempelajarinya, yang juga tidak buruk.) Anda tahu cara menentukan dengan benar a, b dan c. Apa kamu tau bagaimana caranya? dengan penuh perhatian substitusikan ke dalam rumus akar dan dengan penuh perhatian hitung hasilnya. Apa kamu mengerti itu kata kunci Di Sini - dengan penuh perhatian?

Sekarang perhatikan teknik praktis yang secara signifikan mengurangi jumlah kesalahan. Hal yang sama karena kurangnya perhatian... Yang kemudian menjadi menyakitkan dan menyinggung...

Janji pertama . Jangan malas sebelum menyelesaikan persamaan kuadrat dan membawanya ke bentuk standar. Apa artinya ini?
Katakanlah setelah semua transformasi Anda mendapatkan persamaan berikut:

Jangan terburu-buru menulis rumus akarnya! Anda hampir pasti akan mendapatkan peluang yang tertukar a, b dan c. Buatlah contoh dengan benar. Pertama, X kuadrat, lalu tanpa kuadrat, lalu suku bebas. Seperti ini:

Dan sekali lagi, jangan terburu-buru! Tanda minus di depan tanda X kuadrat benar-benar bisa membuat Anda kesal. Gampang lupa... Singkirkan minusnya. Bagaimana? Ya, seperti yang diajarkan pada topik sebelumnya! Kita perlu mengalikan seluruh persamaan dengan -1. Kita mendapatkan:

Namun sekarang Anda dapat dengan aman menuliskan rumus akar-akarnya, menghitung diskriminannya, dan menyelesaikan penyelesaian contohnya. Putuskan sendiri.

Anda sekarang seharusnya memiliki akar 2 dan -1. Penerimaan kedua. Periksa akarnya! Menurut teorema Vieta. Jangan takut, saya akan menjelaskan semuanya! Memeriksa hal terakhir persamaannya. Itu. yang kami gunakan untuk menuliskan rumus akar. Jika (seperti dalam contoh ini) koefisien sebuah = 1 , pengecekan rootnya mudah. Cukup dengan memperbanyaknya. Hasilnya harus menjadi anggota gratis, mis. dalam kasus kami -2. Harap diperhatikan, bukan 2, tapi -2! Anggota gratis dengan tandamu

. Jika tidak berhasil, itu berarti Anda telah melakukan kesalahan di suatu tempat. Cari kesalahannya. B Jika berhasil, Anda perlu menambahkan akarnya. Pemeriksaan terakhir dan terakhir. Koefisiennya seharusnya Dengan di depan B akrab. Dalam kasus kita -1+2 = +1. Sebuah koefisien
, yang sebelum X, sama dengan -1. Jadi semuanya benar! Sayangnya hal ini sangat sederhana hanya untuk contoh di mana x kuadrat murni, dengan koefisien sebuah = 1.

Tapi setidaknya periksa persamaan seperti itu! Kesalahan akan semakin sedikit. Penerimaan ketiga . Jika persamaan Anda punya peluang pecahan , - singkirkan pecahan! Kalikan persamaannya dengan faktor persekutuan

, seperti yang dijelaskan dalam pelajaran "Bagaimana menyelesaikan persamaan? Transformasi identik." Saat bekerja dengan pecahan, kesalahan terus terjadi karena alasan tertentu...

Ngomong-ngomong, saya berjanji untuk menyederhanakan contoh jahat dengan banyak kekurangan. Silakan! Ini dia.

Agar tidak bingung dengan minusnya, kita kalikan persamaannya dengan -1. Kita mendapatkan:

Itu saja! Menyelesaikannya adalah suatu kesenangan!

Jadi, mari kita rangkum topiknya.:

Saran praktis 1. Sebelum menyelesaikannya, kita membawa persamaan kuadrat ke bentuk standar dan membangunnya.

Benar

3. Jika koefisiennya pecahan, kita hilangkan pecahan tersebut dengan mengalikan seluruh persamaan dengan faktor yang bersesuaian.

4. Jika x kuadrat murni, maka koefisiennya sama dengan satu, solusinya dapat dengan mudah diverifikasi menggunakan teorema Vieta. Lakukan!

Sekarang kita bisa memutuskan.)

Selesaikan persamaan:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Jawaban (berantakan):

Oleh karena itu, kami dengan percaya diri dapat menulis:
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - nomor berapa pun

x 1 = -3
x 2 = 3

tidak ada solusi

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Apakah semuanya cocok? Besar! Persamaan kuadrat bukanlah kesukaan Anda sakit kepala. Tiga yang pertama berhasil, tetapi sisanya tidak? Maka masalahnya bukan pada persamaan kuadrat. Masalahnya ada pada transformasi persamaan yang identik. Coba lihat linknya, sangat membantu.

Tidak cukup berhasil? Atau tidak berhasil sama sekali? Kemudian Bagian 555 akan membantu Anda. Ditampilkan utama kesalahan dalam penyelesaiannya. Tentu saja, ini juga berbicara tentang kegunaannya transformasi identitas dalam keputusan tersebut persamaan yang berbeda. Sangat membantu!

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Saya berharap setelah mempelajari artikel ini Anda dapat mempelajari cara mencari akar-akar persamaan kuadrat lengkap.

Dengan menggunakan diskriminan, hanya persamaan kuadrat lengkap yang diselesaikan; untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap, metode lain digunakan, yang dapat Anda temukan di artikel “Menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap.”

Persamaan kuadrat apa yang disebut lengkap? Ini persamaan bentuk ax 2 + b x + c = 0, dimana koefisien a, b dan c tidak sama dengan nol. Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, kita perlu menghitung diskriminan D.

D = b 2 – 4ac.

Tergantung pada nilai diskriminannya, kami akan menuliskan jawabannya.

Jika diskriminannya adalah bilangan negatif (D< 0),то корней нет.

Jika diskriminannya nol, maka x = (-b)/2a. Jika diskriminannya adalah bilangan positif (D > 0),

maka x 1 = (-b - √D)/2a, dan x 2 = (-b + √D)/2a.

Misalnya. Selesaikan persamaannya - apa yang lebih kecil dan– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Jawaban: 2.

Selesaikan Persamaan 2 - apa yang lebih kecil dan + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Jawaban: tidak ada akar.

Selesaikan Persamaan 2 - apa yang lebih kecil dan + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Jawaban: – 3,5; 1.

Jadi mari kita bayangkan penyelesaian persamaan kuadrat lengkap menggunakan diagram pada Gambar 1.

Dengan menggunakan rumus ini, Anda dapat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap apa pun. Anda hanya perlu berhati-hati persamaan ditulis sebagai polinomial dari bentuk standar

A - apa yang lebih kecil dan + bx + c, jika tidak, Anda mungkin membuat kesalahan. Misalnya, saat menulis persamaan x + 3 + 2x 2 = 0, Anda mungkin salah menentukannya

a = 1, b = 3 dan c = 2. Maka

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 dan persamaan tersebut mempunyai dua akar. Dan ini tidak benar. (Lihat solusi contoh 2 di atas).

Oleh karena itu, jika persamaan tersebut tidak ditulis sebagai polinomial berbentuk standar, maka persamaan kuadrat lengkap tersebut harus ditulis terlebih dahulu sebagai polinomial berbentuk standar (monomial dengan indikator tertinggi derajat, yaitu A - apa yang lebih kecil dan , lalu dengan lebih sedikit – bx dan kemudian menjadi anggota gratis Dengan.

Saat menyelesaikan persamaan kuadrat tereduksi dan persamaan kuadrat dengan koefisien genap pada suku kedua, Anda dapat menggunakan rumus lain. Mari berkenalan dengan rumus-rumus ini. Jika dalam persamaan kuadrat lengkap suku kedua memiliki koefisien genap (b = 2k), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan menggunakan rumus yang ditunjukkan pada diagram pada Gambar 2.

Persamaan kuadrat lengkap disebut tereduksi jika koefisiennya di - apa yang lebih kecil dan sama dengan satu dan persamaannya berbentuk x 2 + piksel + q = 0. Persamaan seperti itu dapat diberikan untuk penyelesaian, atau dapat diperoleh dengan membagi semua koefisien persamaan dengan koefisiennya A, berdiri di - apa yang lebih kecil dan .

Gambar 3 menunjukkan diagram penyelesaian kuadrat tereduksi
persamaan. Mari kita lihat contoh penerapan rumus yang dibahas pada artikel ini.

Contoh. Selesaikan persamaannya

3- apa yang lebih kecil dan + 6x – 6 = 0.

Mari selesaikan persamaan ini menggunakan rumus yang ditunjukkan pada diagram di Gambar 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Jawaban: –1 – √3; –1 + √3

Dapat diketahui bahwa koefisien x pada persamaan ini bilangan genap, yaitu b = 6 atau b = 2k, maka k = 3. Maka mari kita coba menyelesaikan persamaan tersebut menggunakan rumus yang diberikan pada diagram gambar D 1 = 3 2 – 3 (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Jawaban: –1 – √3; –1 + √3. Perhatikan bahwa semua koefisien dalam persamaan kuadrat ini habis dibagi 3 dan dengan melakukan pembagian tersebut, kita mendapatkan persamaan kuadrat tereduksi x 2 + 2x – 2 = 0 Selesaikan persamaan ini menggunakan rumus kuadrat tereduksi
persamaan gambar 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Jawaban: –1 – √3; –1 + √3.

Seperti yang bisa kita lihat, saat menyelesaikan persamaan ini dengan berbagai formula kami menerima jawaban yang sama. Oleh karena itu, setelah menguasai rumus-rumus yang ditunjukkan pada diagram pada Gambar 1 secara menyeluruh, Anda akan selalu dapat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap apa pun.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Persamaan kuadrat - mudah dipecahkan! *Selanjutnya disebut “KU”. Teman-teman, tampaknya tidak ada yang lebih sederhana dalam matematika selain menyelesaikan persamaan seperti itu. Tapi sesuatu memberitahuku bahwa banyak orang mempunyai masalah dengannya. Saya memutuskan untuk melihat berapa banyak tayangan berdasarkan permintaan yang diberikan Yandex per bulan. Inilah yang terjadi, lihat:

Apa artinya? Artinya ada sekitar 70.000 orang per bulan yang melakukan penelusuran informasi ini, apa hubungannya musim panas ini dengan itu, dan apa yang akan terjadi di antaranya tahun ajaran— akan ada permintaan dua kali lebih banyak. Hal ini tidak mengherankan, karena para lelaki dan perempuan yang sudah lama lulus sekolah dan sedang mempersiapkan diri untuk Ujian Negara Bersatu sedang mencari informasi ini, dan anak-anak sekolah juga berusaha untuk menyegarkan ingatan mereka.

Terlepas dari kenyataan bahwa ada banyak situs yang memberi tahu Anda cara menyelesaikan persamaan ini, saya memutuskan untuk juga berkontribusi dan menerbitkan materinya. Pertama, saya ingin pengunjung datang ke situs saya berdasarkan permintaan ini; kedua, pada artikel lain, ketika topik “KU” muncul, saya akan memberikan link ke artikel ini; ketiga, saya akan memberi tahu Anda lebih banyak tentang solusinya daripada yang biasanya disebutkan di situs lain. Mari kita mulai! Isi artikel:

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang bentuknya:

dimana koefisien a,Bdan dengan angka sewenang-wenang, di mana a≠0.

DI DALAM kursus sekolah materi diberikan dalam bentuk berikut - persamaan secara konvensional dibagi menjadi tiga kelas:

1. Mereka mempunyai dua akar.

2. *Hanya memiliki satu akar.

3. Mereka tidak mempunyai akar. Perlu dicatat secara khusus di sini bahwa mereka tidak memiliki akar yang nyata

Bagaimana cara menghitung akar? Hanya!

Kami menghitung diskriminannya. Di bawah kata “mengerikan” ini terdapat rumus yang sangat sederhana:

Rumus akarnya adalah sebagai berikut:

*Anda perlu hafal rumus ini.

Anda dapat langsung menuliskan dan menyelesaikannya:

Contoh:

1. Jika D > 0, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar.

2. Jika D = 0, maka persamaan tersebut mempunyai satu akar.

3. Jika D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Mari kita lihat persamaannya:

Dalam hal ini, ketika diskriminan sama dengan nol, dalam pelajaran sekolah dikatakan bahwa satu akar diperoleh, di sini sama dengan sembilan. Semuanya benar, memang benar, tapi...

Gagasan ini agak salah. Faktanya, ada dua akar. Ya, ya, jangan kaget, Anda mendapatkan dua akar yang sama, dan agar tepat secara matematis, maka jawabannya harus menulis dua akar:

x 1 = 3 x 2 = 3

Tapi memang begitu - sebuah penyimpangan kecil. Di sekolah Anda dapat menuliskannya dan mengatakan bahwa akarnya hanya satu.

Sekarang contoh berikutnya:

Seperti yang kita ketahui, akar suatu bilangan negatif tidak dapat diambil, sehingga penyelesaiannya masuk pada kasus ini TIDAK.

Itulah keseluruhan proses pengambilan keputusan.

Fungsi kuadrat.

Ini menunjukkan seperti apa solusinya secara geometris. Hal ini sangat penting untuk dipahami (di masa depan, di salah satu artikel kami akan menganalisis secara rinci solusi pertidaksamaan kuadrat).

Ini adalah fungsi dari formulir:

dimana x dan y adalah variabel

a, b, c – nomor yang diberikan, dimana a ≠ 0

Grafiknya adalah parabola:

Artinya, menyelesaikan persamaan kuadrat di “y” sama dengan nol kita cari titik potong parabola dengan sumbu x. Terdapat dua titik (diskriminan positif), satu (diskriminan nol) dan tidak ada (diskriminan negatif). Detail tentang fungsi kuadrat Anda dapat melihat artikel oleh Inna Feldman.

Mari kita lihat contohnya:

Contoh 1: Selesaikan 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Jawaban: x 1 = 8 x 2 = –12

*Ruas kiri dan kanan persamaan dapat langsung dibagi 2, yaitu menyederhanakannya. Perhitungan akan lebih mudah.

Contoh 2: Memutuskan x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Kami menemukan bahwa x 1 = 11 dan x 2 = 11

Boleh menuliskan x = 11 pada jawaban.

Jawaban: x = 11

Contoh 3: Memutuskan x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminannya negatif, tidak ada solusi dalam bilangan real.

Jawaban: tidak ada solusi

Diskriminannya negatif. Ada solusinya!

Di sini kita akan berbicara tentang menyelesaikan persamaan jika ternyata diskriminan negatif. Apakah kamu mengetahui sesuatu tentang bilangan kompleks? Saya tidak akan berbicara secara rinci di sini tentang mengapa dan di mana mereka muncul dan apa adanya peran tertentu dan kebutuhan akan matematika, ini adalah topik untuk artikel besar yang terpisah.

Konsep bilangan kompleks.

Sedikit teori.

Bilangan kompleks z adalah bilangan yang bentuknya

z = a + dua

di mana a dan b berada bilangan real, saya disebut satuan imajiner.

a+bi – ini adalah NOMOR TUNGGAL, bukan tambahan.

Satuan imajiner sama dengan akar dari minus satu:

Sekarang perhatikan persamaannya:

Kami mendapatkan dua akar konjugasi.

Persamaan kuadrat tidak lengkap.

Mari kita pertimbangkan kasus khusus, yaitu ketika koefisien “b” atau “c” sama dengan nol (atau keduanya sama dengan nol). Masalah-masalah tersebut dapat diselesaikan dengan mudah tanpa adanya masalah yang bersifat diskriminatif.

Kasus 1. Koefisien b = 0.

Persamaannya menjadi:

Mari bertransformasi:

Contoh:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Kasus 2. Koefisien c = 0.

Persamaannya menjadi:

Mari kita transformasikan dan faktorkan:

*Perkaliannya sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol.

Contoh:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 atau x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Kasus 3. Koefisien b = 0 dan c = 0.

Di sini jelas bahwa solusi persamaan tersebut akan selalu x = 0.

Sifat dan pola koefisien yang berguna.

Ada properti yang memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan dengan koefisien besar.

AX 2 + bx+ C=0 kesetaraan berlaku

A + B+ c = 0, Itu

- jika untuk koefisien persamaan AX 2 + bx+ C=0 kesetaraan berlaku

A+ c =B, Itu

Properti ini membantu untuk memutuskan tipe tertentu persamaan

Contoh 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Jumlah peluangnya adalah 5001+( – 4995)+(– 6) = 0 yang artinya

Contoh 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Kesetaraan berlaku A+ c =B, Cara

Keteraturan koefisien.

1. Jika dalam persamaan ax 2 + bx + c = 0 koefisien “b” sama dengan (a 2 +1), dan koefisien “c” secara numerik sama dengan koefisien “a”, maka akar-akarnya sama

kapak 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Contoh. Perhatikan persamaan 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Jika pada persamaan ax 2 – bx + c = 0 koefisien “b” sama dengan (a 2 +1), dan koefisien “c” secara numerik sama dengan koefisien “a”, maka akar-akarnya sama

kapak 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = ax 2 = 1/a.

Contoh. Perhatikan persamaan 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jika dalam Persamaan. kapak 2 + bx – c = 0 koefisien “b” sama dengan (a 2 – 1), dan koefisien “c” secara numerik sama dengan koefisien “a”, maka akar-akarnya sama

kapak 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – ax 2 = 1/a.

Contoh. Perhatikan persamaan 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Jika pada persamaan ax 2 – bx – c = 0 koefisien “b” sama dengan (a 2 – 1), dan koefisien c secara numerik sama dengan koefisien “a”, maka akar-akarnya sama

kapak 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = ax 2 = – 1/a.

Contoh. Perhatikan persamaan 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

teorema Vieta.

Teorema Vieta dinamai menurut nama yang terkenal Matematikawan Perancis François Vieta. Dengan menggunakan teorema Vieta, kita dapat menyatakan jumlah dan hasil kali akar-akar KU sembarang dalam bentuk koefisiennya.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Secara total, angka 14 hanya menghasilkan 5 dan 9. Inilah akar-akarnya. Dengan keterampilan tertentu, dengan menggunakan teorema yang disajikan, Anda dapat menyelesaikan banyak persamaan kuadrat secara lisan dengan segera.

Teorema Vieta, sebagai tambahan. Hal ini berguna karena setelah menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara biasa (melalui diskriminan), akar-akar yang dihasilkan dapat diperiksa. Saya sarankan melakukan ini selalu.

METODE TRANSPORTASI

Dengan metode ini, koefisien “a” dikalikan dengan suku bebas, seolah-olah “dilemparkan” ke sana, oleh karena itu disebut metode "transfer". Metode ini digunakan jika akar persamaan dapat dengan mudah ditemukan menggunakan teorema Vieta dan, yang terpenting, jika diskriminannya adalah kuadrat eksak.

Jika A± b+c≠ 0, maka digunakan teknik transfer, misalnya:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Dengan menggunakan teorema Vieta pada persamaan (2), mudah untuk menentukan bahwa x 1 = 10 x 2 = 1

Akar-akar persamaan yang dihasilkan harus dibagi 2 (karena keduanya “dilempar” dari x 2), kita peroleh

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Apa alasannya? Lihat apa yang terjadi.

Diskriminan persamaan (1) dan (2) adalah sama:

Jika Anda melihat akar persamaannya, Anda hanya mendapatkan penyebut yang berbeda, dan hasilnya sangat bergantung pada koefisien x 2:

Yang kedua (dimodifikasi) memiliki akar yang 2 kali lebih besar.

Oleh karena itu, kami membagi hasilnya dengan 2.

*Jika kita memutar ulang ketiganya, kita akan membagi hasilnya dengan 3, dst.

Jawaban: x 1 = 5 x 2 = 0,5

persegi. ur-ie dan Ujian Negara Bersatu.

Saya akan ceritakan secara singkat tentang pentingnya - ANDA HARUS DAPAT MEMUTUSKAN dengan cepat dan tanpa berpikir panjang, Anda perlu hafal rumus akar dan diskriminan. Banyak masalah yang termasuk dalam tugas-tugas Unified State Examination direduksi menjadi penyelesaian persamaan kuadrat (termasuk geometri).

Sesuatu yang perlu diperhatikan!

1. Bentuk penulisan persamaan dapat bersifat “implisit”. Misalnya, entri berikut ini dimungkinkan:

15+ 9x 2 - 45x = 0 atau 15x+42+9x 2 - 45x=0 atau 15 -5x+10x 2 = 0.

Anda perlu membawanya ke bentuk standar (agar tidak bingung saat menyelesaikannya).

2. Ingatlah bahwa x adalah besaran yang tidak diketahui dan dapat dilambangkan dengan huruf lain - t, q, p, h dan lain-lain.