Perkalian silang

Metode Pembagi Umum

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Untuk memahami seberapa besar perbedaan yang dihasilkan oleh metode kelipatan persekutuan terkecil, cobalah menghitung contoh-contoh yang sama menggunakan metode silang-silang.

Penyebut umum pecahan

Tentu saja tanpa kalkulator. Saya pikir setelah ini komentar tidak diperlukan lagi.

Lihat juga:

Tadinya saya ingin memasukkan teknik penyebut yang sama pada bagian Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan. Namun ternyata ada begitu banyak informasi, dan pentingnya informasi tersebut begitu besar (bagaimanapun juga, tidak hanya pecahan numerik yang memiliki penyebut yang sama), sehingga lebih baik mempelajari masalah ini secara terpisah.

Jadi, misalkan kita mempunyai dua pecahan yang penyebutnya berbeda. Dan kami ingin memastikan bahwa penyebutnya sama. Properti dasar pecahan datang untuk menyelamatkan, yang, izinkan saya mengingatkan Anda, terdengar seperti ini:

Pecahan tidak akan berubah jika pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan angka yang sama selain nol.

Jadi, jika Anda memilih faktornya dengan benar, penyebut pecahan akan menjadi sama - proses ini disebut. Dan angka-angka yang diperlukan, “meratakan” penyebutnya, dipanggil.

Mengapa kita perlu mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama? Berikut ini beberapa alasannya:

1. Penjumlahan dan pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda. Tidak ada cara lain untuk melakukan operasi ini;
2. Membandingkan pecahan. Terkadang pengurangan ke penyebut yang sama sangat menyederhanakan tugas ini;
3. Menyelesaikan masalah yang melibatkan pecahan dan persentase. Persentase pada dasarnya adalah ekspresi biasa yang mengandung pecahan.

Ada banyak cara untuk mencari bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan tersebut akan membuat penyebut pecahan menjadi sama. Kami hanya akan mempertimbangkan tiga di antaranya - dalam urutan peningkatan kompleksitas dan, dalam arti tertentu, efektivitas.

Perkalian silang

Metode paling sederhana dan paling dapat diandalkan, yang dijamin dapat menyamakan penyebutnya. Kita akan bertindak “dengan cepat”: kita mengalikan pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua, dan pecahan kedua dengan penyebut pecahan pertama. Hasilnya, penyebut kedua pecahan akan sama dengan hasil kali penyebut aslinya. Lihatlah:

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Sebagai faktor tambahan, perhatikan penyebut pecahan yang berdekatan. Kami mendapatkan:

Ya, sesederhana itu. Jika Anda baru mulai mempelajari pecahan, lebih baik bekerja menggunakan metode ini - dengan cara ini Anda akan memastikan diri Anda dari banyak kesalahan dan dijamin mendapatkan hasilnya.

Satu-satunya kekurangan dari cara ini adalah Anda harus banyak menghitung, karena penyebutnya dikalikan “sepenuhnya”, dan hasilnya bisa berupa angka yang sangat besar. Ini adalah harga yang harus dibayar untuk keandalan.

Metode Pembagi Umum

Teknik ini membantu mengurangi perhitungan secara signifikan, namun sayangnya, teknik ini jarang digunakan. Caranya adalah sebagai berikut:

1. Sebelum melanjutkan langsung (yaitu menggunakan metode saling silang), lihatlah penyebutnya. Mungkin salah satunya (yang lebih besar) terbagi menjadi yang lain.
2. Bilangan hasil pembagian ini akan menjadi faktor penjumlahan bagi pecahan yang penyebutnya lebih kecil.
3. Dalam hal ini, pecahan dengan penyebut besar tidak perlu dikalikan dengan apa pun - di sinilah letak penghematannya. Pada saat yang sama, kemungkinan kesalahan berkurang tajam.

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Perhatikan bahwa 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Karena dalam kedua kasus satu penyebut dibagi tanpa sisa oleh penyebut lainnya, kita menggunakan metode faktor persekutuan. Kami memiliki:

Perhatikan bahwa pecahan kedua tidak dikalikan sama sekali. Faktanya, kami memotong jumlah komputasi menjadi setengahnya!

Ngomong-ngomong, saya tidak mengambil pecahan dalam contoh ini secara kebetulan. Jika Anda tertarik, coba hitung dengan metode silang-silang. Setelah reduksi, jawabannya akan sama, tetapi pekerjaan akan lebih banyak.

Ini adalah metode pembagi persekutuan, tetapi, sekali lagi, metode ini hanya dapat digunakan jika salah satu penyebutnya habis dibagi oleh penyebut lainnya tanpa sisa. Hal ini sangat jarang terjadi.

Metode kelipatan persekutuan terkecil

Saat kita mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama, pada dasarnya kita mencoba mencari bilangan yang habis dibagi masing-masing penyebutnya. Kemudian kita bawa penyebut kedua pecahan ke bilangan ini.

Ada banyak bilangan seperti itu, dan bilangan terkecil belum tentu sama dengan hasil kali langsung penyebut pecahan aslinya, seperti yang diasumsikan dalam metode “saling silang”.

Misalnya untuk penyebut 8 dan 12, angka 24 cukup cocok, karena 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Angka ini jauh lebih kecil dibandingkan hasil kali 8 12 = 96.

Bilangan terkecil yang habis dibagi masing-masing penyebutnya disebut (KPK).

Notasi: Kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b dilambangkan dengan KPK(a; b). Misalnya KPK(16, 24) = 48; KPK(8; 12) = 24.

Jika Anda berhasil menemukan angka seperti itu, jumlah total perhitungannya akan menjadi minimal. Lihatlah contohnya:

Cara mencari penyebut persekutuan terkecil

Temukan arti dari ekspresi:

Perhatikan bahwa 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktor 2 dan 3 koprima (tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1), dan faktor 117 persekutuan. Jadi KPK(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Demikian pula 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 dan 4 koprima, dan faktor 5 persekutuan. Jadi KPK(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Sekarang mari kita bawa pecahan ke penyebut yang sama:

Perhatikan betapa bermanfaatnya memfaktorkan penyebut aslinya:

1. Setelah menemukan faktor-faktor yang identik, kami segera sampai pada kelipatan persekutuan terkecil, yang, secara umum, merupakan soal yang tidak sepele;
2. Dari perluasan yang dihasilkan, Anda dapat mengetahui faktor mana yang “hilang” di setiap pecahan. Misalnya 234 · 3 = 702, maka untuk pecahan pertama faktor tambahannya adalah 3.

Jangan berpikir bahwa tidak akan ada pecahan kompleks seperti itu di contoh nyata. Mereka bertemu setiap saat, dan tugas di atas bukanlah batasnya!

Satu-satunya masalah adalah bagaimana menemukan NOC ini. Terkadang segala sesuatu dapat ditemukan dalam beberapa detik, secara harfiah “dengan mata”, tetapi secara umum ini adalah tugas komputasi kompleks yang memerlukan pertimbangan tersendiri. Kami tidak akan membahasnya di sini.

Lihat juga:

Mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama

Tadinya saya ingin memasukkan teknik penyebut yang sama pada bagian Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan. Namun ternyata ada begitu banyak informasi, dan pentingnya informasi tersebut begitu besar (bagaimanapun juga, tidak hanya pecahan numerik yang memiliki penyebut yang sama), sehingga lebih baik mempelajari masalah ini secara terpisah.

Jadi, misalkan kita mempunyai dua pecahan yang penyebutnya berbeda. Dan kami ingin memastikan bahwa penyebutnya sama. Properti dasar pecahan datang untuk menyelamatkan, yang, izinkan saya mengingatkan Anda, terdengar seperti ini:

Pecahan tidak akan berubah jika pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan angka yang sama selain nol.

Jadi, jika Anda memilih faktornya dengan benar, penyebut pecahan akan menjadi sama - proses ini disebut. Dan angka-angka yang diperlukan, “meratakan” penyebutnya, dipanggil.

Mengapa kita perlu mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama?

Penyebut umum, konsep dan definisi.

Berikut ini beberapa alasannya:

1. Penjumlahan dan pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda. Tidak ada cara lain untuk melakukan operasi ini;
2. Membandingkan pecahan. Terkadang pengurangan ke penyebut yang sama sangat menyederhanakan tugas ini;
3. Menyelesaikan masalah yang melibatkan pecahan dan persentase. Persentase pada dasarnya adalah ekspresi biasa yang mengandung pecahan.

Ada banyak cara untuk mencari bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan tersebut akan membuat penyebut pecahan menjadi sama. Kami hanya akan mempertimbangkan tiga di antaranya - dalam urutan peningkatan kompleksitas dan, dalam arti tertentu, efektivitas.

Perkalian silang

Metode paling sederhana dan paling dapat diandalkan, yang dijamin dapat menyamakan penyebutnya. Kita akan bertindak “dengan cepat”: kita mengalikan pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua, dan pecahan kedua dengan penyebut pecahan pertama. Hasilnya, penyebut kedua pecahan akan sama dengan hasil kali penyebut aslinya. Lihatlah:

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Sebagai faktor tambahan, perhatikan penyebut pecahan yang berdekatan. Kami mendapatkan:

Ya, sesederhana itu. Jika Anda baru mulai mempelajari pecahan, lebih baik bekerja menggunakan metode ini - dengan cara ini Anda akan memastikan diri Anda dari banyak kesalahan dan dijamin mendapatkan hasilnya.

Satu-satunya kekurangan dari cara ini adalah Anda harus banyak menghitung, karena penyebutnya dikalikan “sepenuhnya”, dan hasilnya bisa berupa angka yang sangat besar. Ini adalah harga yang harus dibayar untuk keandalan.

Metode Pembagi Umum

Teknik ini membantu mengurangi perhitungan secara signifikan, namun sayangnya, teknik ini jarang digunakan. Caranya adalah sebagai berikut:

1. Sebelum melanjutkan langsung (yaitu menggunakan metode saling silang), lihatlah penyebutnya. Mungkin salah satunya (yang lebih besar) terbagi menjadi yang lain.
2. Bilangan hasil pembagian ini akan menjadi faktor penjumlahan bagi pecahan yang penyebutnya lebih kecil.
3. Dalam hal ini, pecahan dengan penyebut besar tidak perlu dikalikan dengan apa pun - di sinilah letak penghematannya. Pada saat yang sama, kemungkinan kesalahan berkurang tajam.

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Perhatikan bahwa 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Karena dalam kedua kasus satu penyebut dibagi tanpa sisa oleh penyebut lainnya, kita menggunakan metode faktor persekutuan. Kami memiliki:

Perhatikan bahwa pecahan kedua tidak dikalikan sama sekali. Faktanya, kami memotong jumlah komputasi menjadi setengahnya!

Ngomong-ngomong, saya tidak mengambil pecahan dalam contoh ini secara kebetulan. Jika Anda tertarik, coba hitung dengan metode silang-silang. Setelah reduksi, jawabannya akan sama, tetapi pekerjaan akan lebih banyak.

Ini adalah metode pembagi persekutuan, tetapi, sekali lagi, metode ini hanya dapat digunakan jika salah satu penyebutnya habis dibagi oleh penyebut lainnya tanpa sisa. Hal ini sangat jarang terjadi.

Metode kelipatan persekutuan terkecil

Saat kita mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama, pada dasarnya kita mencoba mencari bilangan yang habis dibagi masing-masing penyebutnya. Kemudian kita bawa penyebut kedua pecahan ke bilangan ini.

Ada banyak bilangan seperti itu, dan bilangan terkecil belum tentu sama dengan hasil kali langsung penyebut pecahan aslinya, seperti yang diasumsikan dalam metode “saling silang”.

Misalnya untuk penyebut 8 dan 12, angka 24 cukup cocok, karena 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Angka ini jauh lebih kecil dibandingkan hasil kali 8 12 = 96.

Bilangan terkecil yang habis dibagi masing-masing penyebutnya disebut (KPK).

Notasi: Kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b dilambangkan dengan KPK(a; b). Misalnya KPK(16, 24) = 48; KPK(8; 12) = 24.

Jika Anda berhasil menemukan angka seperti itu, jumlah total perhitungannya akan menjadi minimal. Lihatlah contohnya:

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Perhatikan bahwa 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktor 2 dan 3 koprima (tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1), dan faktor 117 persekutuan. Jadi KPK(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Demikian pula 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 dan 4 koprima, dan faktor 5 persekutuan. Jadi KPK(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Sekarang mari kita bawa pecahan ke penyebut yang sama:

Perhatikan betapa bermanfaatnya memfaktorkan penyebut aslinya:

1. Setelah menemukan faktor-faktor yang identik, kami segera sampai pada kelipatan persekutuan terkecil, yang, secara umum, merupakan soal yang tidak sepele;
2. Dari perluasan yang dihasilkan, Anda dapat mengetahui faktor mana yang “hilang” di setiap pecahan. Misalnya 234 · 3 = 702, maka untuk pecahan pertama faktor tambahannya adalah 3.

Untuk memahami seberapa besar perbedaan yang dihasilkan oleh metode kelipatan persekutuan terkecil, cobalah menghitung contoh-contoh yang sama menggunakan metode silang-silang. Tentu saja tanpa kalkulator. Saya pikir setelah ini komentar tidak diperlukan lagi.

Jangan berpikir bahwa tidak akan ada pecahan kompleks seperti itu di contoh nyata. Mereka bertemu setiap saat, dan tugas di atas bukanlah batasnya!

Satu-satunya masalah adalah bagaimana menemukan NOC ini. Terkadang segala sesuatu dapat ditemukan dalam beberapa detik, secara harfiah “dengan mata”, tetapi secara umum ini adalah tugas komputasi kompleks yang memerlukan pertimbangan tersendiri. Kami tidak akan membahasnya di sini.

Lihat juga:

Mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama

Tadinya saya ingin memasukkan teknik penyebut yang sama pada bagian Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan. Namun ternyata ada begitu banyak informasi, dan pentingnya informasi tersebut begitu besar (bagaimanapun juga, tidak hanya pecahan numerik yang memiliki penyebut yang sama), sehingga lebih baik mempelajari masalah ini secara terpisah.

Jadi, misalkan kita mempunyai dua pecahan yang penyebutnya berbeda. Dan kami ingin memastikan bahwa penyebutnya sama. Properti dasar pecahan datang untuk menyelamatkan, yang, izinkan saya mengingatkan Anda, terdengar seperti ini:

Pecahan tidak akan berubah jika pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan angka yang sama selain nol.

Jadi, jika Anda memilih faktornya dengan benar, penyebut pecahan akan menjadi sama - proses ini disebut. Dan angka-angka yang diperlukan, “meratakan” penyebutnya, dipanggil.

Mengapa kita perlu mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama? Berikut ini beberapa alasannya:

1. Penjumlahan dan pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda. Tidak ada cara lain untuk melakukan operasi ini;
2. Membandingkan pecahan. Terkadang pengurangan ke penyebut yang sama sangat menyederhanakan tugas ini;
3. Menyelesaikan masalah yang melibatkan pecahan dan persentase. Persentase pada dasarnya adalah ekspresi biasa yang mengandung pecahan.

Ada banyak cara untuk mencari bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan tersebut akan membuat penyebut pecahan menjadi sama. Kami hanya akan mempertimbangkan tiga di antaranya - dalam urutan peningkatan kompleksitas dan, dalam arti tertentu, efektivitas.

Perkalian silang

Metode paling sederhana dan paling dapat diandalkan, yang dijamin dapat menyamakan penyebutnya. Kita akan bertindak “dengan cepat”: kita mengalikan pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua, dan pecahan kedua dengan penyebut pecahan pertama. Hasilnya, penyebut kedua pecahan akan sama dengan hasil kali penyebut aslinya.

Lihatlah:

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Sebagai faktor tambahan, perhatikan penyebut pecahan yang berdekatan. Kami mendapatkan:

Ya, sesederhana itu. Jika Anda baru mulai mempelajari pecahan, lebih baik bekerja menggunakan metode ini - dengan cara ini Anda akan memastikan diri Anda dari banyak kesalahan dan dijamin mendapatkan hasilnya.

Satu-satunya kekurangan dari cara ini adalah Anda harus banyak menghitung, karena penyebutnya dikalikan “sepenuhnya”, dan hasilnya bisa berupa angka yang sangat besar. Ini adalah harga yang harus dibayar untuk keandalan.

Metode Pembagi Umum

Teknik ini membantu mengurangi perhitungan secara signifikan, namun sayangnya, teknik ini jarang digunakan. Caranya adalah sebagai berikut:

1. Sebelum melanjutkan langsung (yaitu menggunakan metode saling silang), lihatlah penyebutnya. Mungkin salah satunya (yang lebih besar) terbagi menjadi yang lain.
2. Bilangan hasil pembagian ini akan menjadi faktor penjumlahan bagi pecahan yang penyebutnya lebih kecil.
3. Dalam hal ini, pecahan dengan penyebut besar tidak perlu dikalikan dengan apa pun - di sinilah letak penghematannya. Pada saat yang sama, kemungkinan kesalahan berkurang tajam.

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Perhatikan bahwa 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Karena dalam kedua kasus satu penyebut dibagi tanpa sisa oleh penyebut lainnya, kita menggunakan metode faktor persekutuan. Kami memiliki:

Perhatikan bahwa pecahan kedua tidak dikalikan sama sekali. Faktanya, kami memotong jumlah komputasi menjadi setengahnya!

Ngomong-ngomong, saya tidak mengambil pecahan dalam contoh ini secara kebetulan. Jika Anda tertarik, coba hitung dengan metode silang-silang. Setelah reduksi, jawabannya akan sama, tetapi pekerjaan akan lebih banyak.

Ini adalah metode pembagi persekutuan, tetapi, sekali lagi, metode ini hanya dapat digunakan jika salah satu penyebutnya habis dibagi oleh penyebut lainnya tanpa sisa. Hal ini sangat jarang terjadi.

Metode kelipatan persekutuan terkecil

Saat kita mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama, pada dasarnya kita mencoba mencari bilangan yang habis dibagi masing-masing penyebutnya. Kemudian kita bawa penyebut kedua pecahan ke bilangan ini.

Ada banyak bilangan seperti itu, dan bilangan terkecil belum tentu sama dengan hasil kali langsung penyebut pecahan aslinya, seperti yang diasumsikan dalam metode “saling silang”.

Misalnya untuk penyebut 8 dan 12, angka 24 cukup cocok, karena 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Angka ini jauh lebih kecil dibandingkan hasil kali 8 12 = 96.

Bilangan terkecil yang habis dibagi masing-masing penyebutnya disebut (KPK).

Notasi: Kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b dilambangkan dengan KPK(a; b). Misalnya KPK(16, 24) = 48; KPK(8; 12) = 24.

Jika Anda berhasil menemukan angka seperti itu, jumlah total perhitungannya akan menjadi minimal. Lihatlah contohnya:

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Perhatikan bahwa 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktor 2 dan 3 koprima (tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1), dan faktor 117 persekutuan. Jadi KPK(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Demikian pula 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 dan 4 koprima, dan faktor 5 persekutuan. Jadi KPK(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Sekarang mari kita bawa pecahan ke penyebut yang sama:

Perhatikan betapa bermanfaatnya memfaktorkan penyebut aslinya:

1. Setelah menemukan faktor-faktor yang identik, kami segera sampai pada kelipatan persekutuan terkecil, yang, secara umum, merupakan soal yang tidak sepele;
2. Dari perluasan yang dihasilkan, Anda dapat mengetahui faktor mana yang “hilang” di setiap pecahan. Misalnya 234 · 3 = 702, maka untuk pecahan pertama faktor tambahannya adalah 3.

Untuk memahami seberapa besar perbedaan yang dihasilkan oleh metode kelipatan persekutuan terkecil, cobalah menghitung contoh-contoh yang sama menggunakan metode silang-silang. Tentu saja tanpa kalkulator. Saya pikir setelah ini komentar tidak diperlukan lagi.

Jangan berpikir bahwa tidak akan ada pecahan kompleks seperti itu di contoh nyata. Mereka bertemu setiap saat, dan tugas di atas bukanlah batasnya!

Satu-satunya masalah adalah bagaimana menemukan NOC ini. Terkadang segala sesuatu dapat ditemukan dalam beberapa detik, secara harfiah “dengan mata”, tetapi secara umum ini adalah tugas komputasi kompleks yang memerlukan pertimbangan tersendiri. Kami tidak akan membahasnya di sini.

Lihat juga:

Mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama

Tadinya saya ingin memasukkan teknik penyebut yang sama pada bagian Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan. Namun ternyata ada begitu banyak informasi, dan pentingnya informasi tersebut begitu besar (bagaimanapun juga, tidak hanya pecahan numerik yang memiliki penyebut yang sama), sehingga lebih baik mempelajari masalah ini secara terpisah.

Jadi, misalkan kita mempunyai dua pecahan yang penyebutnya berbeda. Dan kami ingin memastikan bahwa penyebutnya sama. Properti dasar pecahan datang untuk menyelamatkan, yang, izinkan saya mengingatkan Anda, terdengar seperti ini:

Pecahan tidak akan berubah jika pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan angka yang sama selain nol.

Jadi, jika Anda memilih faktornya dengan benar, penyebut pecahan akan menjadi sama - proses ini disebut. Dan angka-angka yang diperlukan, “meratakan” penyebutnya, dipanggil.

Mengapa kita perlu mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama? Berikut ini beberapa alasannya:

1. Penjumlahan dan pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda. Tidak ada cara lain untuk melakukan operasi ini;
2. Membandingkan pecahan. Terkadang pengurangan ke penyebut yang sama sangat menyederhanakan tugas ini;
3. Menyelesaikan masalah yang melibatkan pecahan dan persentase. Persentase pada dasarnya adalah ekspresi biasa yang mengandung pecahan.

Ada banyak cara untuk mencari bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan tersebut akan membuat penyebut pecahan menjadi sama. Kami hanya akan mempertimbangkan tiga di antaranya - dalam urutan peningkatan kompleksitas dan, dalam arti tertentu, efektivitas.

Perkalian silang

Metode paling sederhana dan paling dapat diandalkan, yang dijamin dapat menyamakan penyebutnya. Kita akan bertindak “dengan cepat”: kita mengalikan pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua, dan pecahan kedua dengan penyebut pecahan pertama. Hasilnya, penyebut kedua pecahan akan sama dengan hasil kali penyebut aslinya. Lihatlah:

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Sebagai faktor tambahan, perhatikan penyebut pecahan yang berdekatan. Kami mendapatkan:

Ya, sesederhana itu. Jika Anda baru mulai mempelajari pecahan, lebih baik bekerja menggunakan metode ini - dengan cara ini Anda akan memastikan diri Anda dari banyak kesalahan dan dijamin mendapatkan hasilnya.

Satu-satunya kekurangan dari cara ini adalah Anda harus banyak menghitung, karena penyebutnya dikalikan “sepenuhnya”, dan hasilnya bisa berupa angka yang sangat besar.

Mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama

Ini adalah harga yang harus dibayar untuk keandalan.

Metode Pembagi Umum

Teknik ini membantu mengurangi perhitungan secara signifikan, namun sayangnya, teknik ini jarang digunakan. Caranya adalah sebagai berikut:

1. Sebelum melanjutkan langsung (yaitu menggunakan metode saling silang), lihatlah penyebutnya. Mungkin salah satunya (yang lebih besar) terbagi menjadi yang lain.
2. Bilangan hasil pembagian ini akan menjadi faktor penjumlahan bagi pecahan yang penyebutnya lebih kecil.
3. Dalam hal ini, pecahan dengan penyebut besar tidak perlu dikalikan dengan apa pun - di sinilah letak penghematannya. Pada saat yang sama, kemungkinan kesalahan berkurang tajam.

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Perhatikan bahwa 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Karena dalam kedua kasus satu penyebut dibagi tanpa sisa oleh penyebut lainnya, kita menggunakan metode faktor persekutuan. Kami memiliki:

Perhatikan bahwa pecahan kedua tidak dikalikan sama sekali. Faktanya, kami memotong jumlah komputasi menjadi setengahnya!

Ngomong-ngomong, saya tidak mengambil pecahan dalam contoh ini secara kebetulan. Jika Anda tertarik, coba hitung dengan metode silang-silang. Setelah reduksi, jawabannya akan sama, tetapi pekerjaan akan lebih banyak.

Ini adalah metode pembagi persekutuan, tetapi, sekali lagi, metode ini hanya dapat digunakan jika salah satu penyebutnya habis dibagi oleh penyebut lainnya tanpa sisa. Hal ini sangat jarang terjadi.

Metode kelipatan persekutuan terkecil

Saat kita mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama, pada dasarnya kita mencoba mencari bilangan yang habis dibagi masing-masing penyebutnya. Kemudian kita bawa penyebut kedua pecahan ke bilangan ini.

Ada banyak bilangan seperti itu, dan bilangan terkecil belum tentu sama dengan hasil kali langsung penyebut pecahan aslinya, seperti yang diasumsikan dalam metode “saling silang”.

Misalnya untuk penyebut 8 dan 12, angka 24 cukup cocok, karena 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Angka ini jauh lebih kecil dibandingkan hasil kali 8 12 = 96.

Bilangan terkecil yang habis dibagi masing-masing penyebutnya disebut (KPK).

Notasi: Kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b dilambangkan dengan KPK(a; b). Misalnya KPK(16, 24) = 48; KPK(8; 12) = 24.

Jika Anda berhasil menemukan angka seperti itu, jumlah total perhitungannya akan menjadi minimal. Lihatlah contohnya:

Tugas. Temukan arti dari ekspresi:

Perhatikan bahwa 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktor 2 dan 3 koprima (tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1), dan faktor 117 persekutuan. Jadi KPK(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Demikian pula 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 dan 4 koprima, dan faktor 5 persekutuan. Jadi KPK(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Sekarang mari kita bawa pecahan ke penyebut yang sama:

Perhatikan betapa bermanfaatnya memfaktorkan penyebut aslinya:

1. Setelah menemukan faktor-faktor yang identik, kami segera sampai pada kelipatan persekutuan terkecil, yang, secara umum, merupakan soal yang tidak sepele;
2. Dari perluasan yang dihasilkan, Anda dapat mengetahui faktor mana yang “hilang” di setiap pecahan. Misalnya 234 · 3 = 702, maka untuk pecahan pertama faktor tambahannya adalah 3.

Untuk memahami seberapa besar perbedaan yang dihasilkan oleh metode kelipatan persekutuan terkecil, cobalah menghitung contoh-contoh yang sama menggunakan metode silang-silang. Tentu saja tanpa kalkulator. Saya pikir setelah ini komentar tidak diperlukan lagi.

Jangan berpikir bahwa tidak akan ada pecahan kompleks seperti itu di contoh nyata. Mereka bertemu setiap saat, dan tugas di atas bukanlah batasnya!

Satu-satunya masalah adalah bagaimana menemukan NOC ini. Terkadang segala sesuatu dapat ditemukan dalam beberapa detik, secara harfiah “dengan mata”, tetapi secara umum ini adalah tugas komputasi kompleks yang memerlukan pertimbangan tersendiri. Kami tidak akan membahasnya di sini.

Ekspresi dan soal matematika membutuhkan banyak pengetahuan tambahan. NOC adalah salah satu yang utama, terutama sering digunakan dalam Topik yang dipelajari di sekolah menengah, dan tidak terlalu sulit untuk memahami materi; seseorang yang akrab dengan pangkat dan tabel perkalian tidak akan mengalami kesulitan dalam mengidentifikasi angka-angka yang diperlukan dan menemukan hasil.

Definisi

Kelipatan persekutuan adalah suatu bilangan yang dapat habis dibagi dua bilangan sekaligus (a dan b). Paling sering, angka ini diperoleh dengan mengalikan angka asli a dan b. Bilangan tersebut harus habis dibagi kedua bilangan sekaligus, tanpa penyimpangan.

NOC adalah nama pendek yang diadopsi untuk penunjukan tersebut, dikumpulkan dari huruf pertama.

Cara mendapatkan nomor

Metode perkalian bilangan tidak selalu cocok untuk mencari KPK; metode ini lebih cocok untuk bilangan sederhana satu digit atau dua digit. Merupakan kebiasaan untuk membagi menjadi beberapa faktor; semakin besar angkanya, semakin banyak pula faktornya.

Contoh #1

Sebagai contoh paling sederhana, sekolah biasanya menggunakan bilangan prima, satu digit, atau dua digit. Misalnya, Anda perlu menyelesaikan tugas berikut, mencari kelipatan persekutuan terkecil dari angka 7 dan 3, penyelesaiannya cukup sederhana, cukup kalikan saja. Hasilnya adalah angka 21, tidak ada angka yang lebih kecil.

Contoh No.2

Versi kedua dari tugas ini jauh lebih sulit. Diberikan angka 300 dan 1260, wajib mencari LOC. Untuk mengatasi masalah ini, tindakan berikut diharapkan:

Penguraian bilangan pertama dan kedua menjadi faktor prima. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Tahap pertama selesai.

Tahap kedua melibatkan pengerjaan dengan data yang sudah diperoleh. Setiap angka yang diterima harus ikut serta dalam menghitung hasil akhir. Untuk setiap faktor, jumlah kemunculan terbesar diambil dari bilangan aslinya. KPK adalah suatu bilangan umum, sehingga faktor-faktor dari bilangan tersebut harus terulang di dalamnya, setiap bilangan, bahkan yang ada dalam satu rangkap. Kedua angka awal berisi angka 2, 3 dan 5, dalam pangkat yang berbeda; 7 hanya hadir dalam satu kasus.

Untuk menghitung hasil akhir, Anda perlu memasukkan setiap angka dengan pangkat terbesar ke dalam persamaan. Yang tersisa hanyalah mengalikan dan mendapatkan jawabannya; jika diisi dengan benar, tugas akan dimasukkan ke dalam dua langkah tanpa penjelasan:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Itu masalahnya, jika Anda mencoba menghitung angka yang diperlukan dengan perkalian, maka jawabannya pasti salah, karena 300 * 1260 = 378.000.

Penyelidikan:

6300/300 = 21 - benar;

6300/1260 = 5 - benar.

Kebenaran hasil yang diperoleh ditentukan dengan memeriksa - membagi KPK dengan kedua bilangan asli; jika bilangan tersebut bilangan bulat pada kedua kasus, maka jawabannya benar.

Apa yang dimaksud dengan NOC dalam matematika?

Seperti yang Anda ketahui, tidak ada satu pun fungsi yang tidak berguna dalam matematika, tidak terkecuali fungsi ini. Tujuan paling umum dari bilangan ini adalah untuk mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama. Apa yang biasanya dipelajari di kelas 5-6 sekolah menengah. Ini juga merupakan pembagi umum untuk semua kelipatan, jika kondisi seperti itu ada dalam soal. Ekspresi seperti itu dapat menemukan kelipatan tidak hanya dari dua angka, tetapi juga dari angka yang jauh lebih besar - tiga, lima, dan seterusnya. Semakin banyak angkanya, semakin banyak tindakan dalam tugas tersebut, tetapi hal ini tidak menambah kompleksitas.

Misalnya, jika diberi angka 250, 600, dan 1500, Anda perlu mencari KPK persekutuannya:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - contoh ini menjelaskan faktorisasi secara detail, tanpa pengurangan.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Untuk menyusun ekspresi, perlu disebutkan semua faktor, dalam hal ini diberikan 2, 5, 3 - untuk semua angka ini perlu ditentukan derajat maksimum.

Perhatian: semua faktor harus disederhanakan sepenuhnya, jika mungkin, didekomposisi ke tingkat satu digit.

Penyelidikan:

1) 3000/250 = 12 - benar;

2) 3000/600 = 5 - benar;

3) 3000/1500 = 2 - benar.

Cara ini tidak memerlukan trik atau kemampuan tingkat jenius apa pun, semuanya sederhana dan jelas.

Cara lain

Dalam matematika, banyak hal yang saling berhubungan, banyak hal yang dapat diselesaikan dengan dua cara atau lebih, begitu pula dengan mencari kelipatan persekutuan terkecil, KPK. Metode berikut dapat digunakan untuk bilangan sederhana dua digit dan satu digit. Sebuah tabel dikompilasi di mana pengali dimasukkan secara vertikal, pengali secara horizontal, dan produk ditunjukkan dalam sel-sel kolom yang berpotongan. Anda dapat merefleksikan tabel dengan menggunakan garis, mengambil suatu bilangan dan menuliskan hasil perkalian bilangan tersebut dengan bilangan bulat, dari 1 sampai tak terhingga, terkadang 3-5 poin saja sudah cukup, bilangan kedua dan selanjutnya menjalani proses komputasi yang sama. Semuanya terjadi sampai kelipatan persekutuan ditemukan.

Diberikan angka 30, 35, 42, Anda perlu mencari KPK yang menghubungkan semua angka tersebut:

1) Kelipatan 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, dst.

2) Kelipatan 35 : 70, 105, 140, 175, 210, 245, dst.

3) Kelipatan 42: 84, 126, 168, 210, 252, dst.

Terlihat bahwa semua angkanya sangat berbeda, satu-satunya angka yang umum di antara angka-angka tersebut adalah 210, jadi itu adalah NOC. Di antara proses-proses yang terlibat dalam penghitungan ini, terdapat juga pembagi persekutuan terbesar, yang dihitung berdasarkan prinsip serupa dan sering dijumpai pada soal-soal yang berdekatan. Perbedaannya kecil, tetapi cukup signifikan, KPK melibatkan penghitungan bilangan yang dibagi dengan semua nilai awal yang diberikan, dan GCD melibatkan penghitungan nilai terbesar yang digunakan untuk membagi bilangan asli.

Cara mencari KPK (kelipatan persekutuan terkecil)

Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat adalah bilangan bulat terkecil yang habis dibagi kedua bilangan tersebut tanpa meninggalkan sisa.

Metode 1. Anda dapat mencari KPK secara bergantian untuk setiap bilangan yang diberikan dengan menuliskan semua bilangan yang diperoleh dengan mengalikannya dengan 1, 2, 3, 4, dan seterusnya dalam urutan menaik.

Contoh untuk nomor 6 dan 9.
Kita mengalikan angka 6 secara berurutan dengan 1, 2, 3, 4, 5.
Kami mendapatkan: 6, 12, 18 , 24, 30
Kita mengalikan angka 9 secara berurutan dengan 1, 2, 3, 4, 5.
Kami mendapatkan: 9, 18 , 27, 36, 45
Seperti yang Anda lihat, KPK untuk angka 6 dan 9 akan sama dengan 18.

Metode ini berguna jika kedua bilangan kecil dan mudah untuk mengalikannya dengan barisan bilangan bulat. Namun, ada kalanya Anda perlu mencari KPK untuk bilangan dua digit atau tiga digit, dan juga ketika terdapat tiga atau lebih bilangan awal.

Metode 2. Anda dapat mencari KPK dengan memfaktorkan bilangan asli menjadi faktor prima.
Setelah penguraian, perlu untuk mencoret bilangan identik dari rangkaian faktor prima yang dihasilkan. Sisa angka pertama akan menjadi pengali angka kedua, dan sisa angka kedua akan menjadi pengali angka pertama.

Contoh untuk nomor 75 dan 60.
Kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan 75 dan 60 dapat dicari tanpa menuliskan kelipatan bilangan-bilangan tersebut secara berurutan. Untuk melakukannya, mari kita faktorkan 75 dan 60 menjadi faktor sederhana:
75 = 3 * 5 * 5, sebuah
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Seperti yang Anda lihat, faktor 3 dan 5 muncul di kedua baris. Kami secara mental “mencoretnya”.
Mari kita tuliskan faktor-faktor lain yang termasuk dalam perluasan masing-masing bilangan ini. Saat menguraikan angka 75, tersisa angka 5, dan saat menguraikan angka 60, tersisa 2 * 2
Artinya untuk menentukan KPK bilangan 75 dan 60, kita perlu mengalikan sisa bilangan hasil perluasan 75 (ini 5) dengan 60, dan mengalikan sisa bilangan hasil perluasan 60 (ini 2 * 2) dengan 75. Artinya, untuk memudahkan pemahaman, kita katakan bahwa kita mengalikan “melintang”.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Beginilah cara kita mencari KPK dari bilangan 60 dan 75. Inilah bilangan 300.

Contoh. Tentukan KPK dari bilangan 12, 16, 24
Dalam hal ini, tindakan kita akan menjadi lebih rumit. Tapi pertama-tama, seperti biasa, mari kita memfaktorkan semua angkanya
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Untuk menentukan KPK dengan benar, kita memilih bilangan terkecil dari semua bilangan (ini adalah bilangan 12) dan secara berurutan menelusuri faktor-faktornya, mencoretnya jika setidaknya dalam salah satu baris bilangan lainnya kita menemukan faktor yang sama yang belum telah dicoret.

Langkah 1. Kita melihat bahwa 2 * 2 muncul di semua rangkaian angka. Mari kita coret.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Langkah 2. Pada faktor prima bilangan 12, yang tersisa hanyalah bilangan 3. Namun bilangan tersebut terdapat pada faktor prima bilangan 24. Kita mencoret bilangan 3 dari kedua baris, sedangkan bilangan 16 tidak diharapkan melakukan tindakan apa pun. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Seperti yang Anda lihat, saat menguraikan angka 12, kami “mencoret” semua angka. Artinya penemuan LOC telah selesai. Yang tersisa hanyalah menghitung nilainya.
Untuk bilangan 12, ambil sisa faktor bilangan 16 (berikutnya secara menaik)
12 * 2 * 2 = 48
Ini adalah NOC

Seperti yang Anda lihat, dalam hal ini, mencari KPK agak lebih sulit, tetapi bila Anda perlu mencarinya untuk tiga bilangan atau lebih, metode ini memungkinkan Anda melakukannya lebih cepat. Namun, kedua metode mencari KPK tersebut benar.

Saat menjumlahkan dan mengurangkan pecahan aljabar yang penyebutnya berbeda, pecahan tersebut terlebih dahulu mengarah ke penyebut yang sama. Artinya, mereka menemukan satu penyebut yang habis dibagi dengan penyebut asli setiap pecahan aljabar yang termasuk dalam ekspresi tertentu.

Sebagaimana diketahui, jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan (atau dibagi) dengan angka yang sama selain nol, maka nilai pecahan tersebut tidak akan berubah. Ini adalah sifat utama pecahan. Oleh karena itu, ketika pecahan direduksi menjadi penyebut yang sama, pada dasarnya mereka mengalikan penyebut asli setiap pecahan dengan faktor yang hilang untuk mendapatkan penyebut yang sama. Dalam hal ini, Anda perlu mengalikan pembilang pecahan dengan faktor ini (untuk setiap pecahan berbeda).

Misalnya, diberikan jumlah pecahan aljabar berikut:

Ekspresi tersebut perlu disederhanakan, yaitu menjumlahkan dua pecahan aljabar. Untuk melakukan ini, pertama-tama, Anda perlu membawa suku-suku pecahan ke penyebut yang sama. Langkah pertama adalah mencari monomial yang habis dibagi 3x dan 2y. Dalam hal ini, yang diinginkan adalah yang terkecil, yaitu mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK) untuk 3x dan 2y.

Untuk koefisien dan variabel numerik, KPK dicari secara terpisah. KPK(3, 2) = 6, dan KPK(x, y) = xy. Selanjutnya nilai yang ditemukan dikalikan: 6xy.

Sekarang kita perlu menentukan faktor apa yang perlu kita kalikan 3x untuk mendapatkan 6xy:
6xy 3x = 2y

Artinya, ketika pecahan aljabar pertama direduksi menjadi penyebut yang sama, pembilangnya harus dikalikan dengan 2y (penyebutnya sudah dikalikan saat direduksi menjadi penyebut yang sama). Pengali pembilang pecahan kedua dicari dengan cara yang sama. Itu akan sama dengan 3x.

Jadi kita mendapatkan:

Kemudian Anda dapat bertindak seperti pecahan dengan penyebut yang sama: jumlahkan pembilangnya, dan tuliskan satu penyebut yang sama:

Setelah transformasi, diperoleh ekspresi yang disederhanakan, yaitu satu pecahan aljabar, yang merupakan jumlah dari dua pecahan asli:

Pecahan aljabar dalam ekspresi aslinya mungkin berisi penyebut polinomial, bukan monomial (seperti pada contoh di atas). Dalam hal ini, sebelum mencari penyebut yang sama, Anda harus memfaktorkan penyebutnya (jika memungkinkan). Selanjutnya, penyebut yang sama dikumpulkan dari berbagai faktor. Jika pengalinya beberapa penyebut aslinya, maka diambil satu kali. Jika pengali mempunyai pangkat yang berbeda pada penyebut aslinya, maka pengali tersebut diambil dengan pangkat yang lebih besar. Misalnya:

Di sini polinomial a 2 – b 2 dapat direpresentasikan sebagai produk (a – b)(a + b). Faktor 2a – 2b diperluas menjadi 2(a – b). Jadi, penyebutnya adalah 2(a – b)(a + b).

Mari kita lanjutkan pembicaraan tentang kelipatan persekutuan terkecil, yang kita mulai di bagian “KPK - kelipatan persekutuan terkecil, definisi, contoh.” Pada topik kali ini, kita akan membahas cara mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih, dan kita akan membahas pertanyaan bagaimana mencari KPK dari suatu bilangan negatif.

Yandex.RTB RA-339285-1

Menghitung Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) melalui GCD

Kita telah menetapkan hubungan antara kelipatan persekutuan terkecil dan pembagi persekutuan terbesar. Sekarang mari kita pelajari cara menentukan KPK melalui GCD. Pertama, mari kita cari tahu cara melakukan ini untuk bilangan positif.

Definisi 1

Anda dapat mencari kelipatan persekutuan terkecil melalui pembagi persekutuan terbesar dengan menggunakan rumus KPK (a, b) = a · b: KPK (a, b).

Contoh 1

Anda perlu mencari KPK dari angka 126 dan 70.

Larutan

Misalkan a = 126, b = 70. Mari kita substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus menghitung kelipatan persekutuan terkecil melalui pembagi persekutuan terbesar KPK (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Menemukan KPK dari bilangan 70 dan 126. Untuk ini kita memerlukan algoritma Euclidean: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, maka GCD (126 , 70) = 14 .

Mari kita hitung KPKnya: LCD (126, 70) = 126 70 : KPK (126, 70) = 126 70 : 14 = 630.

Menjawab: KPK(126, 70) = 630.

Contoh 2

Temukan angka 68 dan 34.

Larutan

GCD dalam hal ini tidak sulit ditemukan, karena 68 habis dibagi 34. Mari kita hitung kelipatan persekutuan terkecil dengan rumus: KPK (68, 34) = 68 34: KPK (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Menjawab: KPK(68, 34) = 68.

Dalam contoh ini, kita menggunakan aturan untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan bulat positif a dan b: jika bilangan pertama habis dibagi bilangan kedua, KPK dari bilangan tersebut akan sama dengan bilangan pertama.

Mencari KPK dengan memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima

Sekarang mari kita lihat cara mencari KPK, yang didasarkan pada memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima.

Definisi 2

Untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil, kita perlu melakukan beberapa langkah sederhana:

• kita menyusun produk dari semua faktor prima dari bilangan-bilangan yang kita perlukan untuk mencari KPKnya;
• kami mengecualikan semua faktor prima dari produk yang dihasilkannya;
• hasil kali yang diperoleh setelah menghilangkan faktor prima persekutuan akan sama dengan KPK dari bilangan-bilangan yang diberikan.

Cara mencari kelipatan persekutuan terkecil ini didasarkan pada persamaan KPK (a, b) = a · b: KPK (a, b). Jika dilihat dari rumusnya, menjadi jelas: hasil kali bilangan a dan b sama dengan hasil kali semua faktor yang ikut serta dalam penguraian kedua bilangan tersebut. Dalam hal ini, gcd dua bilangan sama dengan hasil kali semua faktor prima yang ada sekaligus dalam faktorisasi kedua bilangan tersebut.

Contoh 3

Kami memiliki dua angka 75 dan 210. Kita dapat memfaktorkannya sebagai berikut: 75 = 3 5 5 Dan 210 = 2 3 5 7. Jika Anda menyusun hasil kali semua faktor dari dua bilangan asli, Anda mendapatkan: 2 3 3 5 5 5 7.

Jika kita mengecualikan faktor persekutuan pada bilangan 3 dan 5, kita memperoleh hasil kali dengan bentuk berikut: 2 3 5 5 7 = 1050. Hasil kali ini akan menjadi KPK kita untuk angka 75 dan 210.

Contoh 4

Temukan KPK dari angka-angka tersebut 441 Dan 700 , memfaktorkan kedua bilangan menjadi faktor prima.

Larutan

Mari kita cari semua faktor prima dari bilangan-bilangan yang diberikan dalam kondisi:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Kita mendapatkan dua rangkaian angka: 441 = 3 3 7 7 dan 700 = 2 2 5 5 7.

Hasil kali semua faktor yang ikut serta dalam penguraian bilangan-bilangan ini akan berbentuk: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Mari kita cari faktor persekutuannya. Ini adalah angka 7. Mari kita kecualikan dari total produk: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ternyata NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Menjawab: LOC(441, 700) = 44,100.

Mari kita berikan rumusan lain tentang cara mencari KPK dengan menguraikan bilangan menjadi faktor prima.

Definisi 3

Sebelumnya, kami mengecualikan dari jumlah total faktor persekutuan kedua bilangan tersebut. Sekarang kita akan melakukannya secara berbeda:

• Mari kita faktorkan kedua bilangan tersebut menjadi faktor prima:
• tambahkan ke hasil kali faktor prima bilangan pertama dengan faktor bilangan kedua yang hilang;
• kita memperoleh hasil kali, yang akan menjadi KPK yang diinginkan dari dua bilangan.

Contoh 5

Mari kita kembali ke angka 75 dan 210, yang sudah kita cari KPKnya pada salah satu contoh sebelumnya. Mari kita bagi menjadi faktor-faktor sederhana: 75 = 3 5 5 Dan 210 = 2 3 5 7. Untuk produk faktor 3, 5 dan 5 angka 75 tambahkan faktor yang hilang 2 Dan 7 nomor 210. Kami mendapatkan: 2 · 3 · 5 · 5 · 7. Ini adalah KPK dari angka 75 dan 210.

Contoh 6

Perlu menghitung KPK dari angka 84 dan 648.

Larutan

Mari kita faktorkan angka-angka dari kondisi tersebut menjadi faktor sederhana: 84 = 2 2 3 7 Dan 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Mari kita tambahkan ke hasil kali faktor 2, 2, 3 dan 7 angka 84 hilang faktor 2, 3, 3 dan
3 nomor 648. Kami mendapatkan produknya 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Ini adalah kelipatan persekutuan terkecil dari 84 dan 648.

Menjawab: KPK(84, 648) = 4,536.

Mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih

Terlepas dari berapa banyak angka yang kita hadapi, algoritme tindakan kita akan selalu sama: kita akan mencari KPK dari dua angka secara berurutan. Ada teorema untuk kasus ini.

Teorema 1

Anggaplah kita mempunyai bilangan bulat a 1 , a 2 , … , ak. NOC mk bilangan tersebut dicari dengan menghitung secara berurutan m 2 = KPK (a 1, a 2), m 3 = KPK (m 2, a 3), ..., m k = KPK (m k − 1, a k).

Sekarang mari kita lihat bagaimana teorema tersebut dapat diterapkan untuk memecahkan masalah tertentu.

Contoh 7

Anda perlu menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari empat angka 140, 9, 54 dan 250 .

Larutan

Mari kita perkenalkan notasinya: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Mari kita mulai dengan menghitung m 2 = KPK (a 1 , a 2) = KPK (140, 9). Mari kita terapkan algoritma Euclidean untuk menghitung KPK dari bilangan 140 dan 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Didapatkan: KPK (140, 9) = 1, KPK (140, 9) = 140 · 9: KPK (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1,260. Jadi, m 2 = 1,260.

Sekarang mari kita hitung menggunakan algoritma yang sama m 3 = KPK (m 2 , a 3) = KPK (1 260, 54). Selama perhitungan kita memperoleh m 3 = 3 780.

Yang harus kita lakukan hanyalah menghitung m 4 = KPK (m 3 , a 4) = KPK (3 780, 250). Kami mengikuti algoritma yang sama. Kita peroleh m 4 = 94.500.

KPK keempat bilangan pada kondisi contoh adalah 94500.

Menjawab: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Seperti yang Anda lihat, perhitungannya sederhana, tetapi cukup memakan waktu. Untuk menghemat waktu, Anda bisa menggunakan cara lain.

Definisi 4

Kami menawarkan kepada Anda algoritme tindakan berikut:

• kami menguraikan semua bilangan menjadi faktor prima;
• pada hasil kali faktor-faktor bilangan pertama kita tambahkan faktor-faktor yang hilang dari hasil kali bilangan kedua;
• ke hasil kali yang diperoleh pada tahap sebelumnya kita tambahkan faktor-faktor yang hilang dari bilangan ketiga, dst.;
• hasil kali yang dihasilkan akan menjadi kelipatan persekutuan terkecil dari semua bilangan dari kondisi tersebut.

Contoh 8

Anda perlu mencari KPK dari lima bilangan 84, 6, 48, 7, 143.

Larutan

Mari kita faktorkan kelima bilangan tersebut menjadi faktor prima: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Bilangan prima yaitu bilangan 7 tidak dapat difaktorkan menjadi faktor prima. Angka-angka tersebut bertepatan dengan penguraiannya menjadi faktor prima.

Sekarang mari kita ambil hasil kali faktor prima 2, 2, 3 dan 7 dari bilangan 84 dan tambahkan ke dalamnya faktor-faktor yang hilang dari bilangan kedua. Kami menguraikan angka 6 menjadi 2 dan 3. Faktor-faktor ini sudah ada pada hasil kali bilangan pertama. Oleh karena itu, kami menghilangkannya.

Kami terus menambahkan pengganda yang hilang. Mari kita beralih ke bilangan 48, dari hasil kali faktor primanya kita ambil 2 dan 2. Kemudian kita jumlahkan faktor prima 7 dari bilangan keempat dan faktor 11 dan 13 dari bilangan kelima. Kita peroleh: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Ini adalah kelipatan persekutuan terkecil dari lima bilangan asli.

Menjawab: KPK(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan negatif

Untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil suatu bilangan negatif, bilangan-bilangan tersebut harus diganti terlebih dahulu dengan bilangan yang berlawanan tandanya, kemudian perhitungannya harus dilakukan dengan menggunakan algoritma di atas.

Contoh 9

KPK (54, − 34) = KPK (54, 34) dan KPK (− 622, − 46, − 54, − 888) = KPK (622, 46, 54, 888).

Perbuatan tersebut diperbolehkan karena jika kita menerimanya A Dan − sebuah– bilangan berlawanan,
maka himpunan kelipatan suatu bilangan A cocok dengan himpunan kelipatan suatu bilangan − sebuah.

Contoh 10

Penting untuk menghitung KPK dari bilangan negatif − 145 Dan − 45 .

Larutan

Mari kita ganti angkanya − 145 Dan − 45 ke nomor berlawanan mereka 145 Dan 45 . Sekarang dengan menggunakan algoritma tersebut kita menghitung KPK (145, 45) = 145 · 45: KPK (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, setelah sebelumnya ditentukan KPK menggunakan algoritma Euclidean.

Kita mendapatkan KPK dari bilangan-bilangan tersebut adalah − 145 dan − 45 sama 1 305 .

Menjawab: KPK (− 145, − 45) = 1,305.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter