Bilangan dan pengukuran rasional. Definisi bilangan rasional

Bilangan asli

Pengertian bilangan asli adalah bilangan bulat positif. Bilangan asli digunakan untuk menghitung benda dan banyak tujuan lainnya. Ini angka-angkanya:

Ini adalah rangkaian angka alami.
Apakah nol termasuk bilangan asli? Tidak, nol bukanlah bilangan asli.
Berapa banyak bilangan asli ada? Ada himpunan tak terbatas bilangan asli.
Berapakah bilangan asli terkecil? Satu adalah bilangan asli terkecil.
Berapakah bilangan asli terbesar? Tidak mungkin untuk menunjukkannya, karena jumlah bilangan asli tidak terhingga.

Jumlah bilangan asli adalah bilangan asli. Jadi, penjumlahan bilangan asli a dan b:

Hasil kali bilangan asli adalah bilangan asli. Jadi, hasil kali bilangan asli a dan b:

c selalu merupakan bilangan asli.

Selisih bilangan asli Tidak selalu ada bilangan asli. Jika minuend lebih besar dari pengurang, maka selisih bilangan asli tersebut merupakan bilangan asli, sebaliknya bukan.

Hasil bagi bilangan asli tidak selalu merupakan bilangan asli. Jika untuk bilangan asli a dan b

dimana c adalah bilangan asli, artinya a habis dibagi b. Dalam contoh ini, a adalah pembagiannya, b adalah pembaginya, dan c adalah hasil bagi.

Pembagi bilangan asli adalah bilangan asli yang bilangan pertamanya habis dibagi seluruhnya.

Setiap bilangan asli habis dibagi satu dan dirinya sendiri.

Bilangan asli prima hanya dapat dibagi oleh satu dan dirinya sendiri. Di sini yang kami maksud adalah terbagi seluruhnya. Contoh, angka 2; 3; 5; 7 hanya habis dibagi satu dan dirinya sendiri. Ini adalah bilangan asli sederhana.

Satu tidak dianggap sebagai bilangan prima.

Bilangan yang lebih besar dari satu dan bukan bilangan prima disebut bilangan komposit. Contoh bilangan komposit:

Satu tidak dianggap sebagai bilangan komposit.

Himpunan bilangan asli adalah satu, bilangan prima dan bilangan komposit.

Himpunan bilangan asli dilambangkan huruf latin N.

Sifat-sifat penjumlahan dan perkalian bilangan asli:

sifat komutatif penjumlahan

properti asosiatif tambahan

(a + b) + c = a + (b + c);

sifat komutatif perkalian

sifat asosiatif perkalian

(ab) c = a (bc);

properti distributif perkalian

A (b + c) = ab + ac;

bilangan bulat

Bilangan bulat adalah bilangan asli, nol, dan kebalikan dari bilangan asli.

Kebalikan dari bilangan asli adalah bilangan bulat negatif, contoh:

1; -2; -3; -4;...

Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan huruf latin Z.

Angka rasional

Angka rasional Ini adalah bilangan bulat dan pecahan.

Bilangan rasional apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan periodik. Contoh:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Dari contoh-contoh tersebut jelas bahwa bilangan bulat apa pun adalah pecahan periodik dengan periode nol.

Bilangan rasional apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan m/n, dengan m adalah bilangan bulat nomor, n alami nomor. Mari kita bayangkan angka 3,(6) dari contoh sebelumnya sebagai pecahan.

) adalah bilangan dengan positif atau tanda negatif(bilangan bulat dan pecahan) dan nol. Konsep bilangan rasional yang lebih tepat adalah sebagai berikut:

Angka rasional- nomor yang diwakili pecahan biasa M N, di mana pembilangnya M adalah bilangan bulat, dan penyebutnya N- bilangan asli, misalnya 2/3.

Tak ada habisnya pecahan non-periodik TIDAK termasuk dalam himpunan bilangan rasional.

a/b, Di mana A∈ Z (A milik bilangan bulat), B∈ N (B milik bilangan asli).

Menggunakan bilangan rasional dalam kehidupan nyata.

DI DALAM kehidupan nyata himpunan bilangan rasional digunakan untuk menghitung bagian dari beberapa benda habis dibagi bilangan bulat, Misalnya, kue atau makanan lain yang dipotong-potong sebelum dikonsumsi, atau untuk memperkirakan secara kasar hubungan spasial benda-benda yang diperluas.

Sifat-sifat bilangan rasional.

Sifat dasar bilangan rasional.

1. Ketertiban A Dan B ada aturan yang memungkinkan Anda mengidentifikasi dengan jelas 1 dan hanya satu dari 3 hubungan di antara keduanya: “<», «>" atau "=". Ini adalah aturannya - aturan pemesanan dan merumuskannya seperti ini:

• 2 bilangan positif a=m a /n a Dan b=m b /n b dihubungkan dengan hubungan yang sama seperti 2 bilangan bulat m a⋅ nb Dan m b⋅ tidak;
• 2 angka negatif A Dan B berhubungan dengan perbandingan yang sama dengan 2 bilangan positif |b| Dan |sebuah|;
• Kapan A positif dan B- negatif, kalau begitu a>b.

∀ a,b∈ T(a ∨ a>b∨ sebuah=b)

2. Operasi penambahan. Untuk semua bilangan rasional A Dan B Ada aturan penjumlahan, yang mengasosiasikannya dengan bilangan rasional tertentu C. Pada saat yang sama, nomor itu sendiri C- Ini jumlah angka A Dan B dan itu dilambangkan sebagai (a+b) penjumlahan.

Aturan Penjumlahan terlihat seperti ini:

m a/n a + m b/nb =(m a⋅ n b + m b⋅ tidak)/(tidak⋅ nb).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Operasi perkalian. Untuk semua bilangan rasional A Dan B Ada aturan perkalian, ia mengasosiasikannya dengan bilangan rasional tertentu C. Nomor c dipanggil bekerja angka A Dan B dan menunjukkan (a⋅b), dan proses menemukan nomor ini disebut perkalian.

Aturan perkalian terlihat seperti ini: m dan n a⋅ mbnb =m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Transitivitas hubungan keteraturan. Untuk tiga bilangan rasional apa pun A, B Dan C Jika A lebih sedikit B Dan B lebih sedikit C, Itu A lebih sedikit C, dan jika A sama B Dan B sama C, Itu A sama C.

∀ a,b,c∈ T(a ∧ B ⇒ A ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Komutatifitas penjumlahan. Mengubah tempat suku-suku rasional tidak mengubah jumlah.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. Asosiatif tambahan. Urutan penjumlahan 3 bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Kehadiran nol. Ada bilangan rasional 0, bilangan rasional lainnya dipertahankan saat dijumlahkan.

∃ 0 ∈ Q∀ A∈ Q a+0=a

8. Kehadiran angka yang berlawanan. Setiap bilangan rasional mempunyai bilangan rasional yang berlawanan, dan bila dijumlahkan hasilnya adalah 0.

∀ A∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Komutatifitas perkalian. Mengganti tempat faktor rasional tidak mengubah produk.

∀ a,b∈ Pertanyaan a⋅ b=b⋅ A

10. Asosiatif perkalian. Urutan perkalian 3 bilangan rasional tidak berpengaruh pada hasil.

∀ a,b,c∈ T(a⋅ B)⋅ c=a⋅ (B⋅ C)

11. Ketersediaan satuan. Ada bilangan rasional 1, bilangan rasional lainnya dipertahankan dalam proses perkalian.

∃ 1 ∈ Q∀ A∈ Pertanyaan a⋅ 1=sebuah

12. Tersedianya nomor timbal balik . Setiap bilangan rasional selain nol mempunyai bilangan rasional invers, jika dikalikan maka kita memperoleh 1 .

∀ A∈ Q∃ sebuah−1∈ Pertanyaan a⋅ a−1=1

13. Distribusi perkalian relatif terhadap penjumlahan. Operasi perkalian berkaitan dengan penjumlahan menggunakan hukum distributif:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ C

14. Hubungan antara relasi pesanan dan operasi penjumlahan. Ke kiri dan sisi kanan ketimpangan rasional tambahkan bilangan rasional yang sama.

∀ a,b,c∈ Pertanyaan a ⇒ a+c

15. Hubungan antara relasi urutan dan operasi perkalian. Ruas kiri dan kanan suatu pertidaksamaan rasional dapat dikalikan dengan bilangan rasional non-negatif yang sama.

∀ a,b,c∈ Qc>0∧ A ⇒ A⋅ C ⋅ C

16. Aksioma Archimedes. Apapun bilangan rasionalnya A, mudah untuk mengambil begitu banyak satuan sehingga jumlahnya akan lebih besar A.

) adalah bilangan yang bertanda positif atau negatif (bilangan bulat dan pecahan) dan nol. Konsep bilangan rasional yang lebih tepat adalah sebagai berikut:

Angka rasional- bilangan yang direpresentasikan sebagai pecahan biasa M N, di mana pembilangnya M adalah bilangan bulat, dan penyebutnya N- bilangan asli, misalnya 2/3.

Pecahan non-periodik tak hingga TIDAK termasuk dalam himpunan bilangan rasional.

a/b, Di mana A∈ Z (A milik bilangan bulat), B∈ N (B milik bilangan asli).

Menggunakan bilangan rasional dalam kehidupan nyata.

Dalam kehidupan nyata, himpunan bilangan rasional digunakan untuk menghitung bagian dari beberapa benda yang habis dibagi bilangan bulat, Misalnya, kue atau makanan lain yang dipotong-potong sebelum dikonsumsi, atau untuk memperkirakan secara kasar hubungan spasial benda-benda yang diperluas.

Sifat-sifat bilangan rasional.

Sifat dasar bilangan rasional.

1. Ketertiban A Dan B ada aturan yang memungkinkan Anda mengidentifikasi dengan jelas 1 dan hanya satu dari 3 hubungan di antara keduanya: “<», «>" atau "=". Ini adalah aturannya - aturan pemesanan dan merumuskannya seperti ini:

• 2 bilangan positif a=m a /n a Dan b=m b /n b dihubungkan dengan hubungan yang sama seperti 2 bilangan bulat m a⋅ nb Dan m b⋅ tidak;
• 2 angka negatif A Dan B berhubungan dengan perbandingan yang sama dengan 2 bilangan positif |b| Dan |sebuah|;
• Kapan A positif dan B- negatif, kalau begitu a>b.

∀ a,b∈ T(a ∨ a>b∨ sebuah=b)

2. Operasi penambahan. Untuk semua bilangan rasional A Dan B Ada aturan penjumlahan, yang mengasosiasikannya dengan bilangan rasional tertentu C. Pada saat yang sama, nomor itu sendiri C- Ini jumlah angka A Dan B dan itu dilambangkan sebagai (a+b) penjumlahan.

Aturan Penjumlahan terlihat seperti ini:

m a/n a + m b/nb =(m a⋅ n b + m b⋅ tidak)/(tidak⋅ nb).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Operasi perkalian. Untuk semua bilangan rasional A Dan B Ada aturan perkalian, ia mengasosiasikannya dengan bilangan rasional tertentu C. Nomor c dipanggil bekerja angka A Dan B dan menunjukkan (a⋅b), dan proses menemukan nomor ini disebut perkalian.

Aturan perkalian terlihat seperti ini: m dan n a⋅ mbnb =m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Transitivitas hubungan keteraturan. Untuk tiga bilangan rasional apa pun A, B Dan C Jika A lebih sedikit B Dan B lebih sedikit C, Itu A lebih sedikit C, dan jika A sama B Dan B sama C, Itu A sama C.

∀ a,b,c∈ T(a ∧ B ⇒ A ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Komutatifitas penjumlahan. Mengubah tempat suku-suku rasional tidak mengubah jumlah.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. Asosiatif tambahan. Urutan penjumlahan 3 bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Kehadiran nol. Ada bilangan rasional 0, bilangan rasional lainnya dipertahankan saat dijumlahkan.

∃ 0 ∈ Q∀ A∈ Q a+0=a

8. Kehadiran angka yang berlawanan. Setiap bilangan rasional mempunyai bilangan rasional yang berlawanan, dan bila dijumlahkan hasilnya adalah 0.

∀ A∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Komutatifitas perkalian. Mengganti tempat faktor rasional tidak mengubah produk.

∀ a,b∈ Pertanyaan a⋅ b=b⋅ A

10. Asosiatif perkalian. Urutan perkalian 3 bilangan rasional tidak berpengaruh pada hasil.

∀ a,b,c∈ T(a⋅ B)⋅ c=a⋅ (B⋅ C)

11. Ketersediaan satuan. Ada bilangan rasional 1, bilangan rasional lainnya dipertahankan dalam proses perkalian.

∃ 1 ∈ Q∀ A∈ Pertanyaan a⋅ 1=sebuah

12. Kehadiran nomor timbal balik. Setiap bilangan rasional selain nol mempunyai bilangan rasional invers, jika dikalikan maka kita memperoleh 1 .

∀ A∈ Q∃ sebuah−1∈ Pertanyaan a⋅ a−1=1

13. Distribusi perkalian relatif terhadap penjumlahan. Operasi perkalian berkaitan dengan penjumlahan menggunakan hukum distributif:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ C

14. Hubungan antara relasi pesanan dan operasi penjumlahan. Bilangan rasional yang sama ditambahkan pada ruas kiri dan kanan pertidaksamaan rasional.

∀ a,b,c∈ Pertanyaan a ⇒ a+c

15. Hubungan antara relasi urutan dan operasi perkalian. Ruas kiri dan kanan suatu pertidaksamaan rasional dapat dikalikan dengan bilangan rasional non-negatif yang sama.

∀ a,b,c∈ Qc>0∧ A ⇒ A⋅ C ⋅ C

16. Aksioma Archimedes. Apapun bilangan rasionalnya A, mudah untuk mengambil begitu banyak satuan sehingga jumlahnya akan lebih besar A.

Topik bilangan rasional cukup luas. Anda dapat membicarakannya tanpa henti dan menulis keseluruhan karya, setiap kali dikejutkan oleh fitur-fitur baru.

Untuk menghindari kesalahan di kemudian hari, pelajaran ini kita akan membahas lebih dalam topik bilangan rasional dan mengambil pelajaran darinya informasi yang diperlukan dan mari kita lanjutkan.

Berapakah bilangan rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan, dimana A- ini adalah pembilang pecahan, B adalah penyebut pecahan. Lebih-lebih lagi B tidak boleh nol karena pembagian dengan nol tidak diperbolehkan.

Bilangan rasional mencakup kategori bilangan berikut:

• bilangan bulat (misalnya −2, −1, 0 1, 2, dst.)

• pecahan desimal (misalnya 0,2, dst.)

• pecahan periodik tak hingga (misalnya 0, (3), dst.)

Setiap angka dalam kategori ini dapat direpresentasikan sebagai pecahan.

Contoh 1. Bilangan bulat 2 dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Artinya angka 2 tidak hanya berlaku untuk bilangan bulat, tetapi juga bilangan rasional.

Contoh 2. Bilangan campuran dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Fraksi ini diperoleh dengan mengkonversi bilangan campuran menjadi pecahan biasa

Cara nomor campuran mengacu pada bilangan rasional.

Contoh 3. Desimal 0,2 dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Pecahan ini diperoleh dengan mengubah pecahan desimal 0,2 menjadi pecahan biasa. Jika Anda mengalami kesulitan saat ini, ulangi topiknya.

Karena desimal 0,2 dapat direpresentasikan sebagai pecahan, yang artinya juga termasuk bilangan rasional.

Contoh 4. Pecahan periodik tak hingga 0, (3) dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Pecahan ini diperoleh dengan mengubah pecahan periodik murni menjadi pecahan biasa. Jika Anda mengalami kesulitan saat ini, ulangi topiknya.

Karena pecahan periodik tak hingga 0, (3) dapat direpresentasikan sebagai pecahan, artinya pecahan tersebut juga termasuk bilangan rasional.

Di masa mendatang, kami akan semakin sering menyebut semua bilangan yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan dengan satu frasa - bilangan rasional.

Bilangan rasional pada garis koordinat

Kami melihat garis koordinat ketika kami mempelajari bilangan negatif. Ingatlah bahwa ini adalah garis lurus dengan banyak titik terletak. Sepertinya ini:

Gambar ini menunjukkan potongan kecil garis koordinat dari −5 hingga 5.

Menandai bilangan bulat berbentuk 2, 0, −3 pada garis koordinat tidaklah sulit.

Segalanya menjadi lebih menarik dengan bilangan lain: dengan pecahan biasa, bilangan campuran, desimal, dll. Angka-angka ini terletak di antara bilangan bulat dan jumlahnya tak terhingga banyaknya.

Misalnya, tandai bilangan rasional pada garis koordinat. Nomor ini terletak tepat di antara nol dan satu

Mari kita coba memahami mengapa pecahan tiba-tiba berada di antara nol dan satu.

Seperti disebutkan di atas, di antara bilangan bulat terdapat bilangan lain - pecahan biasa, desimal, bilangan campuran, dll. Misalnya, jika Anda memperbesar suatu bagian garis koordinat dari 0 menjadi 1, Anda dapat melihat gambar berikut

Terlihat bahwa di antara bilangan bulat 0 dan 1 terdapat bilangan rasional lain, yaitu pecahan desimal yang sudah dikenal. Di sini Anda dapat melihat pecahan kami, yang letaknya sama dengan pecahan desimal 0,5. Pemeriksaan yang cermat terhadap gambar ini memberikan jawaban atas pertanyaan mengapa pecahan terletak tepat di sana.

Pecahan berarti membagi 1 dengan 2. Dan jika kita membagi 1 dengan 2, kita mendapatkan 0,5

Pecahan desimal 0,5 dapat disamarkan sebagai pecahan lainnya. Dari sifat dasar pecahan kita mengetahui bahwa jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama, maka nilai pecahan tersebut tidak berubah.

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan dengan suatu bilangan, misalnya dengan bilangan 4, maka kita memperoleh pecahan baru, dan pecahan tersebut juga sama dengan 0,5

Artinya pada garis koordinat pecahan tersebut dapat ditempatkan pada tempat yang sama dimana pecahan itu berada

Contoh 2. Mari kita coba menandai bilangan rasional pada koordinat. Angka ini terletak persis di antara angka 1 dan 2

Nilai pecahan adalah 1,5

Jika kita memperbesar bagian garis koordinat dari 1 menjadi 2, kita akan melihat gambar berikut:

Terlihat bahwa di antara bilangan bulat 1 dan 2 terdapat bilangan rasional lain, yaitu pecahan desimal yang sudah dikenal. Di sini Anda dapat melihat pecahan kami, yang letaknya sama dengan pecahan desimal 1,5.

Kami memperbesar segmen tertentu pada garis koordinat untuk melihat sisa angka yang terletak pada segmen tersebut. Hasilnya, kami menemukan pecahan desimal yang memiliki satu digit setelah koma desimal.

Tapi ternyata tidak angka tunggal, berbaring di segmen ini. Ada banyak sekali bilangan yang terletak pada garis koordinat.

Tidak sulit untuk menebak bahwa di antara pecahan desimal yang memiliki satu angka setelah koma, terdapat pecahan desimal lain yang memiliki dua angka setelah koma. Dengan kata lain, seperseratus segmen.

Misalnya, mari kita coba melihat bilangan yang terletak di antara pecahan desimal 0,1 dan 0,2

Contoh lain. Pecahan desimal yang memiliki dua digit setelah koma dan terletak di antara nol dan bilangan rasional 0,1 terlihat seperti ini:

Contoh 3. Mari kita tandai bilangan rasional pada garis koordinat. Bilangan rasional ini akan mendekati nol

Nilai pecahannya adalah 0,02

Jika kita menaikkan segmen dari 0 menjadi 0,1, kita akan melihat dengan tepat di mana letak bilangan rasional

Terlihat bilangan rasional kita terletak di tempat yang sama dengan pecahan desimal 0,02.

Contoh 4. Mari kita tandai bilangan rasional 0 pada garis koordinat, (3)

Bilangan rasional 0, (3) adalah pecahan periodik tak hingga. Miliknya bagian pecahan tidak pernah berakhir, tidak ada habisnya

Dan karena bilangan 0,(3) mempunyai bagian pecahan yang tak terhingga, artinya kita tidak akan dapat menemukan tempat yang tepat pada garis koordinat dimana bilangan tersebut berada. Kami hanya dapat menunjukkan kira-kira tempat ini.

Bilangan rasional 0,33333... akan terletak sangat dekat dengan pecahan desimal biasa 0,3

Angka ini tidak menunjukkan letak pasti dari angka 0,(3). Ini hanyalah ilustrasi untuk menunjukkan seberapa dekat pecahan periodik 0.(3) dengan pecahan desimal biasa 0,3.

Contoh 5. Mari kita tandai bilangan rasional pada garis koordinat. Bilangan rasional ini akan terletak di tengah-tengah antara bilangan 2 dan 3

Ini adalah 2 (dua bilangan bulat) dan (satu detik). Pecahan juga disebut “setengah”. Oleh karena itu, kami menandai dua segmen utuh dan setengah segmen lainnya pada garis koordinat.

Jika kita mengubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa, kita mendapatkan pecahan biasa. Pecahan pada garis koordinat ini akan ditempatkan pada tempat yang sama dengan pecahan tersebut

Nilai pecahannya adalah 2,5

Jika kita menambah bagian garis koordinat dari 2 menjadi 3, kita akan melihat gambar berikut:

Terlihat bilangan rasional kita terletak di tempat yang sama dengan pecahan desimal 2,5

Minus sebelum bilangan rasional

Pada pelajaran sebelumnya, kita telah mempelajari cara membagi bilangan bulat. Bilangan positif dan negatif dapat bertindak sebagai pembagi dan pembagi.

Mari kita pertimbangkan ekspresi paling sederhana

(−6) : 2 = −3

DI DALAM ekspresi ini pembagian (−6) adalah bilangan negatif.

Sekarang perhatikan ekspresi kedua

6: (−2) = −3

Di sini pembagi (−2) sudah menjadi bilangan negatif. Namun dalam kedua kasus tersebut kami mendapatkan jawaban yang sama -3.

Mengingat pembagian apa pun dapat ditulis sebagai pecahan, kita juga dapat menuliskan contoh yang dibahas di atas sebagai pecahan:

Dan karena kedua kasus tersebut nilai pecahannya sama, maka minus pada pembilang atau penyebutnya dapat disamakan dengan menempatkannya di depan pecahan.

Oleh karena itu, Anda dapat memberi tanda sama dengan di antara ekspresi dan dan karena keduanya memiliki arti yang sama

Nantinya, saat mengerjakan pecahan, jika kita menemukan minus pada pembilang atau penyebutnya, kita akan menjadikan minus tersebut sama dengan menempatkannya di depan pecahan.

Berlawanan dengan bilangan rasional

Seperti bilangan bulat, bilangan rasional mempunyai bilangan kebalikannya.

Misalnya untuk bilangan rasional nomor berlawanan adalah . Letaknya pada garis koordinat simetris terhadap letak relatif terhadap asal koordinat. Dengan kata lain, kedua bilangan tersebut berjarak sama dari titik asal

Mengubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa

Kita tahu bahwa untuk mengubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa, kita perlu mengalikan seluruh bagian dengan penyebut bagian pecahan dan menambahkannya ke pembilang bagian pecahan. Angka yang dihasilkan akan menjadi pembilang pecahan baru, namun penyebutnya tetap sama.

Misalnya, mari kita ubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa

Kalikan seluruh bagian dengan penyebut bagian pecahan dan tambahkan pembilang bagian pecahan:

Mari kita hitung ekspresi ini:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Angka 5 yang dihasilkan akan menjadi pembilang pecahan baru, tetapi penyebutnya tetap sama:

Prosedur ini selengkapnya ditulis sebagai berikut:

Untuk mengembalikan bilangan campuran asli, cukup dengan memilih seluruh bagian dalam pecahan

Namun cara mengubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa ini hanya berlaku jika bilangan campurannya positif. Untuk angka negatif metode ini tidak akan berhasil.

Mari kita pertimbangkan pecahannya. Mari kita pilih seluruh bagian dari pecahan ini. Kami mengerti

Untuk mengembalikan pecahan asli, Anda perlu mengubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa. Namun jika kita menggunakan aturan lama, yaitu mengalikan seluruh bagian dengan penyebut bagian pecahan dan menambahkan pembilang bagian pecahan ke bilangan yang dihasilkan, kita mendapatkan kontradiksi berikut:

Kita mendapat pecahan, padahal seharusnya kita mendapat pecahan.

Kami menyimpulkan bahwa bilangan campuran salah diubah menjadi pecahan biasa

Untuk mengubah bilangan campuran negatif menjadi pecahan biasa dengan benar, Anda perlu mengalikan seluruh bagian dengan penyebut bagian pecahan, dan dari bilangan yang dihasilkan mengurangi pembilang bagian pecahan. Dalam hal ini, semuanya akan sesuai dengan keinginan kita

Bilangan campuran negatif merupakan kebalikan dari bilangan campuran. Jika bilangan campuran positif letaknya di sebelah kanan dan bentuknya seperti ini

Angka rasional

Perempat

1. Ketertiban. A Dan B ada aturan yang memungkinkan Anda mengidentifikasi secara unik satu dan hanya satu dari tiga hubungan di antara keduanya: “< », « >" atau " = ". Aturan ini disebut aturan pemesanan dan dirumuskan sebagai berikut: dua bilangan non-negatif dan dihubungkan dengan hubungan yang sama seperti dua bilangan bulat dan ; dua bilangan non-positif A Dan B dihubungkan dengan hubungan yang sama seperti dua bilangan bukan negatif dan ; jika tiba-tiba A bukan negatif, tapi B- negatif, kalau begitu A > B.

   

   src="/gambar/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

2. Menjumlahkan Pecahan Operasi penambahan. A Dan B Untuk bilangan rasional apa pun aturan penjumlahan C ada yang disebut C. Pada saat yang sama, nomor itu sendiri ditelepon angka A Dan B jumlah dan dilambangkan dengan , dan proses mencari bilangan tersebut disebut penjumlahan .
3. . Aturan penjumlahan memiliki bentuk sebagai berikut: Operasi penambahan. A Dan B Untuk bilangan rasional apa pun aturan perkalian Operasi perkalian. C ada yang disebut C. Pada saat yang sama, nomor itu sendiri bekerja angka A Dan B, yang memberi mereka bilangan rasional dan dilambangkan dengan , dan proses mencari bilangan tersebut disebut juga perkalian .
4. Transitivitas hubungan keteraturan.. Aturan perkaliannya terlihat seperti ini: A , B Dan C Untuk tiga bilangan rasional apa pun A Jika B Dan B Jika C lebih sedikit A Jika C, Itu A, dan jika B Dan B, dan jika C lebih sedikit A, dan jika C sama
5. . 6435">Komutatifitas penjumlahan. Mengubah tempat suku-suku rasional tidak mengubah jumlah. Asosiatif penjumlahan. Memesan
6. menambahkan tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.
7. Kehadiran nol. Ada bilangan rasional 0 yang mempertahankan bilangan rasional lainnya ketika dijumlahkan.
8. Kehadiran angka yang berlawanan. Setiap bilangan rasional mempunyai bilangan rasional yang berlawanan, yang bila dijumlahkan menghasilkan 0.
9. Komutatifitas perkalian. Mengganti tempat faktor rasional tidak mengubah produk.
10. Asosiatif perkalian. Urutan perkalian tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.
11. Ketersediaan satuan. Ada bilangan rasional 1 yang mempertahankan bilangan rasional lainnya ketika dikalikan.
12. Kehadiran nomor timbal balik. Setiap bilangan rasional memiliki bilangan rasional terbalik, yang bila dikalikan dengan menghasilkan 1.
13. Distribusi perkalian relatif terhadap penjumlahan. Operasi perkalian dikoordinasikan dengan operasi penjumlahan melalui hukum distribusi:
14. Koneksi hubungan urutan dengan operasi penjumlahan. Bilangan rasional yang sama dapat dijumlahkan pada ruas kiri dan kanan suatu pertidaksamaan rasional. A/gambar/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> A Aksioma Archimedes.

Apapun bilangan rasionalnya

, Anda dapat mengambil begitu banyak unit hingga jumlahnya melebihi

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Keterhitungan suatu himpunan

Penomoran bilangan rasional

Untuk memperkirakan jumlah bilangan rasional, Anda perlu mencari kardinalitas himpunannya. Mudah untuk membuktikan bahwa himpunan bilangan rasional dapat dihitung. Untuk melakukan ini, cukup dengan memberikan algoritma yang menghitung bilangan rasional, yaitu menetapkan bijeksi antara himpunan bilangan rasional dan bilangan asli.

Algoritma yang paling sederhana terlihat seperti ini. Tabel tanpa akhir tercipta pecahan biasa, pada masing-masing Saya-baris ke-th di masing-masing J kolom ke-th tempat pecahan berada. Untuk lebih jelasnya, diasumsikan baris dan kolom tabel ini diberi nomor mulai dari satu. Sel tabel dilambangkan dengan , dimana Saya- nomor baris tabel tempat sel berada, dan J- nomor kolom.

Tabel yang dihasilkan dilintasi menggunakan “ular” sesuai dengan algoritma formal berikut.

Aturan ini dicari dari atas ke bawah dan posisi selanjutnya dipilih berdasarkan pertandingan pertama.

Dalam proses penjelajahan tersebut, setiap bilangan rasional baru dikaitkan dengan bilangan asli lainnya. Artinya, pecahan 1/1 diberi nomor 1, pecahan 2/1 diberi nomor 2, dan seterusnya. Perlu dicatat bahwa hanya pecahan yang tidak dapat direduksi. Tanda formal dari sifat tak tereduksi adalah pembagi persekutuan terbesar dari pembilang dan penyebut suatu pecahan sama dengan satu.

Dengan mengikuti algoritma ini, kita dapat menghitung semua bilangan rasional positif. Artinya himpunan bilangan rasional positif dapat dihitung. Sangat mudah untuk membuat bijeksi antara himpunan bilangan rasional positif dan negatif hanya dengan menetapkan kebalikannya pada setiap bilangan rasional. Itu. himpunan bilangan rasional negatif juga dapat dihitung. Persatuan mereka juga dapat dihitung berdasarkan sifat himpunan yang dapat dihitung. Himpunan bilangan rasional juga dapat dihitung sebagai gabungan suatu himpunan terhitung dengan himpunan berhingga.

Pernyataan tentang keterhitungan himpunan bilangan rasional mungkin menimbulkan kebingungan, karena sekilas tampak himpunan bilangan rasional jauh lebih luas daripada himpunan bilangan asli. Faktanya, hal ini tidak terjadi dan terdapat cukup bilangan asli untuk menghitung semua bilangan rasional.

Kurangnya bilangan rasional

Sisi miring segitiga tersebut tidak dapat dinyatakan dengan bilangan rasional apa pun

Bilangan rasional berbentuk 1 / N secara luas N jumlah kecil yang sewenang-wenang dapat diukur. Fakta ini menciptakan kesan yang menyesatkan bahwa bilangan rasional dapat digunakan untuk mengukur jarak geometri apa pun. Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa ini tidak benar.

Catatan

Literatur

• I. Kushnir. Buku pegangan matematika untuk anak sekolah. - Kyiv: ASTARTA, 1998. - 520 hal.
• P.S.Alexandrov. Pengantar teori himpunan dan topologi umum. - M.: bab. ed. fisika dan matematika menyala. ed. "Ilmu Pengetahuan", 1977
• I.L.Khmelnitsky. Pengantar teori sistem aljabar

Tautan

Yayasan Wikimedia.