Barisan bilangan asli. Angka

Selanjutnya

Selanjutnya- Ini perlengkapan elemen dari beberapa himpunan:

• untuk setiap bilangan asli Anda dapat menentukan elemen dari himpunan tertentu;
• nomor ini adalah nomor suatu unsur dan menunjukkan kedudukan unsur tersebut dalam barisan;
• Untuk setiap elemen (anggota) suatu barisan, Anda dapat menentukan elemen berikutnya dari barisan tersebut.

Jadi urutannya ternyata hasilnya konsisten pemilihan elemen suatu himpunan tertentu. Dan, jika himpunan elemen mana pun berhingga, dan kita berbicara tentang sampel dengan volume terbatas, maka barisan tersebut akan menjadi sampel dengan volume tak terbatas.

Suatu barisan pada dasarnya adalah pemetaan, jadi jangan bingung dengan himpunan yang “berjalan melalui” barisan tersebut.

Dalam matematika, banyak barisan berbeda yang dipertimbangkan:

• deret waktu yang bersifat numerik dan non-numerik;
• barisan elemen ruang metrik
• rangkaian elemen ruang fungsional
• urutan keadaan sistem kendali dan mesin.

Tujuan mempelajari semua barisan yang mungkin adalah untuk mencari pola, memprediksi keadaan masa depan, dan menghasilkan barisan.

Definisi

Biarkan sekumpulan elemen tertentu yang sifatnya sewenang-wenang diberikan. | Pemetaan apa pun dari himpunan bilangan asli ke himpunan tertentu disebut urutan(elemen himpunan).

Bayangan suatu bilangan asli, yaitu unsurnya, disebut - th anggota atau elemen urutan, dan nomor urut suatu anggota barisan adalah indeksnya.

Definisi terkait

• Jika kita mengambil barisan bilangan asli yang meningkat, maka itu dapat dianggap sebagai barisan indeks dari beberapa barisan: jika kita mengambil elemen barisan asli dengan indeks yang sesuai (diambil dari barisan bilangan asli yang meningkat), maka kita bisa lagi mendapatkan urutan yang dipanggil selanjutnya urutan yang diberikan.

Komentar

• Dalam analisis matematis, konsep penting adalah limit suatu barisan bilangan.

Sebutan

Urutan formulir

Merupakan kebiasaan untuk menulis secara ringkas menggunakan tanda kurung:

Tanda kurung kurawal terkadang digunakan:

Dengan memberikan kebebasan berpendapat, kita juga dapat mempertimbangkan rangkaian bentuk yang terbatas

yang mewakili bayangan segmen awal barisan bilangan asli.

Lihat juga

Yayasan Wikimedia.

Sinonim

Lihat apa itu "Urutan" di kamus lain:

SELANJUTNYA. Dalam artikel I.V. Kireevsky “The Nineteenth Century” (1830) kita membaca: “Sejak jatuhnya Kekaisaran Romawi hingga zaman kita, pencerahan Eropa tampak bagi kita dalam perkembangan bertahap dan dalam urutan yang berkelanjutan” (vol. 1, hal. ... ... Sejarah kata-kata URUTAN, urutan, jamak. tidak, perempuan (buku). terganggu kata benda untuk berurutan. Serangkaian peristiwa. Konsistensi dalam perubahan arus. Konsistensi dalam penalaran. Kamus penjelasan Ushakov.... ...

Kamus Penjelasan Ushakov Keteguhan, kontinuitas, logika; baris, perkembangan, kesimpulan, seri, string, putaran, rantai, rantai, kaskade, lari estafet; ketekunan, validitas, himpunan, metodis, pengaturan, harmoni, keuletan, urutan, koneksi, antrian,... ...

URUTAN, angka-angka atau unsur-unsur yang disusun secara terorganisir. Barisan dapat berhingga (mempunyai jumlah anggota yang terbatas) atau tidak berhingga, misalnya barisan lengkap bilangan asli 1, 2, 3, 4....... ... Kamus ensiklopedis ilmiah dan teknis

URUTAN, sekumpulan bilangan (ekspresi matematika, dll.; kata mereka: unsur apa pun), diberi nomor dengan bilangan asli. Barisan tersebut dituliskan sebagai x1, x2,..., xn,... atau disingkat (xi) ... Ensiklopedia modern

Salah satu konsep dasar matematika. Barisan tersebut dibentuk oleh unsur-unsur alam apa saja, diberi nomor dengan bilangan asli 1, 2, ..., n, ..., dan ditulis x1, x2, ..., xn, ... atau disingkat (xn) . .. Kamus Ensiklopedis Besar

Selanjutnya- URUTAN, sekumpulan angka (ekspresi matematika, dll.; kata mereka: elemen apa pun), diberi nomor dengan bilangan asli. Barisannya ditulis x1, x2,…, xn,… atau disingkat (xi). ... Kamus Ensiklopedis Bergambar

URUTAN, dan, perempuan. 1. Lihat berurutan. 2. Dalam matematika: himpunan bilangan tak terhingga. Kamus penjelasan Ozhegov. S.I. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949 1992 … Kamus Penjelasan Ozhegov

Bahasa inggris suksesi/urutan; Jerman Konsekuensinya. 1. Urutan satu demi satu. 2. Salah satu konsep dasar matematika. 3. Kualitas berpikir logis yang benar, dimana penalarannya bebas dari kontradiksi internal antara satu dan lainnya... ... Ensiklopedia Sosiologi

Selanjutnya- “suatu fungsi yang didefinisikan pada himpunan bilangan asli, himpunan nilainya dapat terdiri dari unsur-unsur apa pun: bilangan, titik, fungsi, vektor, himpunan, variabel acak, dll., diberi nomor dengan bilangan asli.. . Kamus ekonomi-matematika

Buku

• Kami membangun urutan. anak kucing. 2-3 tahun. Permainan "Anak Kucing". Kami membangun urutan. tingkat 1. Seri "Pendidikan prasekolah". Anak kucing yang ceria memutuskan untuk berjemur di pantai! Tapi mereka tidak bisa membagi tempat. Bantu mereka...

Angka yang paling sederhana adalah bilangan asli. Mereka digunakan dalam kehidupan sehari-hari untuk menghitung objek, yaitu untuk menghitung jumlah dan urutannya.

Apa yang dimaksud dengan bilangan asli: bilangan asli sebutkan nomor-nomor yang biasa digunakan menghitung item atau untuk menunjukkan nomor seri item apa pun dari semua homogen item.

Bilangan asliadalah angka yang dimulai dari satu. Mereka terbentuk secara alami saat menghitung.Misalnya, 1,2,3,4,5... -bilangan asli pertama.

Bilangan asli terkecil- satu. Tidak ada bilangan asli terbesar. Saat menghitung jumlahnya Nol tidak digunakan, jadi nol adalah bilangan asli.

Deret bilangan asli adalah barisan semua bilangan asli. Penulisan bilangan asli:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

Pada deret natural, setiap bilangan lebih besar satu per satu dari bilangan sebelumnya.

Berapa banyak bilangan yang ada pada deret natural? Deret natural tidak terbatas; bilangan asli terbesar tidak ada.

Desimal karena 10 satuan angka apa pun membentuk 1 satuan angka tertinggi. Secara posisional demikian bagaimana arti suatu angka bergantung pada tempatnya dalam angka tersebut, mis. dari kategori tempat penulisannya.

Kelas bilangan asli.

Bilangan asli apa pun dapat ditulis menggunakan 10 angka Arab:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Untuk membaca bilangan asli dibagi mulai dari kanan menjadi kelompok yang masing-masing terdiri dari 3 angka. 3 pertama bilangan disebelah kanan merupakan golongan satuan, 3 berikutnya merupakan golongan ribuan, kemudian golongan jutaan, milyar dansegera. Masing-masing digit suatu kelas disebut itsmemulangkan.

Perbandingan bilangan asli.

Dari 2 bilangan asli, yang lebih kecil adalah bilangan yang dipanggil tadi saat menghitung. Misalnya, nomor 7 lebih sedikit 11 (tulis seperti ini:7 < 11 ). Bila suatu bilangan lebih besar dari bilangan kedua, maka ditulis seperti ini:386 > 99 .

Tabel angka dan kelas angka.

Matematika adalah ilmu yang membangun dunia. Baik ilmuwan maupun orang biasa - tidak ada yang bisa hidup tanpanya. Pertama, anak kecil diajari berhitung, kemudian menjumlahkan, mengurangi, mengalikan, dan membagi; di sekolah menengah, simbol huruf ikut berperan, dan di sekolah menengah hal itu tidak bisa lagi dihindari.

Tapi hari ini kita akan berbicara tentang dasar semua matematika yang dikenal. Tentang komunitas angka yang disebut “batas urutan”.

Apa itu barisan dan dimana batasnya?

Arti kata “urutan” tidak sulit untuk ditafsirkan. Ini adalah susunan sesuatu di mana seseorang atau sesuatu ditempatkan dalam urutan atau antrian tertentu. Misalnya antrian tiket ke kebun binatang yang berurutan. Dan hanya ada satu! Jika misalnya Anda melihat antrian di toko, ini adalah satu urutan. Dan jika satu orang dari antrian ini tiba-tiba keluar, maka ini adalah antrian yang berbeda, urutan yang berbeda.

Kata "batas" juga mudah diartikan - ini adalah akhir dari sesuatu. Namun, dalam matematika, limit suatu barisan adalah nilai-nilai pada garis bilangan yang cenderung menjadi suatu barisan bilangan. Mengapa ia berjuang dan tidak berakhir? Sederhana saja, garis bilangan tidak memiliki akhir, dan sebagian besar barisan, seperti sinar, hanya memiliki permulaan dan terlihat seperti ini:

x 1, x 2, x 3,...x n...

Oleh karena itu definisi barisan adalah fungsi dari argumen natural. Dengan kata sederhana, ini adalah rangkaian anggota himpunan tertentu.

Bagaimana barisan bilangan dibangun?

Contoh sederhana barisan bilangan mungkin terlihat seperti ini: 1, 2, 3, 4, …n…

Dalam kebanyakan kasus, untuk tujuan praktis, barisan dibuat dari angka-angka, dan setiap anggota deret berikutnya, dinotasikan dengan X, memiliki namanya sendiri. Misalnya:

x 1 adalah anggota pertama barisan tersebut;

x 2 adalah suku kedua barisan tersebut;

x 3 adalah suku ketiga;

x n adalah suku ke-n.

Dalam metode praktis, barisan diberikan oleh rumus umum yang didalamnya terdapat variabel tertentu. Misalnya:

X n =3n, maka rangkaian angkanya sendiri akan terlihat seperti ini:

Perlu diingat bahwa saat menulis barisan secara umum, Anda dapat menggunakan huruf latin apa saja, bukan hanya X. Misalnya: y, z, k, dst.

Perkembangan aritmatika sebagai bagian dari barisan

Sebelum mencari limit barisan, ada baiknya kita menyelami lebih dalam konsep barisan bilangan yang ditemui semua orang ketika masih duduk di bangku sekolah menengah pertama. Perkembangan aritmatika adalah barisan bilangan yang selisih suku-suku yang berdekatan adalah tetap.

Soal: “Misalkan a 1 = 15, dan langkah perkembangan deret bilangan d = 4. Buatlah 4 suku pertama deret ini"

Penyelesaian: a 1 = 15 (dengan syarat) adalah suku pertama barisan (deret bilangan).

dan 2 = 15+4=19 adalah suku kedua barisan tersebut.

dan 3 =19+4=23 adalah suku ketiga.

dan 4 =23+4=27 adalah suku keempat.

Namun, dengan menggunakan metode ini sulit untuk mencapai nilai yang besar, misalnya hingga 125. . Khusus untuk kasus seperti itu, rumus yang mudah untuk latihan diturunkan: a n =a 1 +d(n-1). Dalam hal ini, 125 =15+4(125-1)=511.

Jenis urutan

Sebagian besar rangkaiannya tidak ada habisnya, perlu diingat seumur hidup Anda. Ada dua jenis deret angka yang menarik. Yang pertama diberikan oleh rumus a n =(-1) n. Matematikawan sering menyebut barisan ini sebagai flasher. Mengapa? Mari kita periksa seri nomornya.

1, 1, -1, 1, -1, 1, dst. Dengan contoh seperti ini, terlihat jelas bahwa bilangan yang berurutan dapat dengan mudah diulang.

Urutan faktorial. Mudah ditebak - rumus yang mendefinisikan barisan mengandung faktorial. Contoh: n = (n+1)!

Maka urutannya akan seperti ini:

a 2 = 1x2x3 = 6;

dan 3 = 1x2x3x4 = 24, dst.

Barisan yang didefinisikan oleh suatu barisan aritmatika disebut menurun tak terhingga jika pertidaksamaan -1 terpenuhi untuk semua sukunya

dan 3 = - 1/8, dst.

Bahkan ada barisan yang terdiri dari nomor yang sama. Jadi, n =6 terdiri dari angka enam yang jumlahnya tak terhingga.

Menentukan Batas Urutan

Batasan barisan telah lama ada dalam matematika. Tentu saja, mereka berhak mendapatkan desain yang kompeten. Jadi, saatnya mempelajari definisi limit barisan. Pertama, mari kita lihat limit fungsi linier secara detail:

1. Semua limit disingkat lim.
2. Notasi limit terdiri dari singkatan lim, variabel apa pun yang cenderung ke suatu bilangan tertentu, nol atau tak terhingga, serta fungsi itu sendiri.

Mudah untuk dipahami bahwa definisi limit suatu barisan dapat dirumuskan sebagai berikut: ini adalah bilangan tertentu yang didekati oleh semua anggota barisan secara tak terhingga. Contoh sederhana: ax = 4x+1. Maka urutannya sendiri akan terlihat seperti ini.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Jadi, barisan ini akan bertambah tanpa batas, artinya limitnya sama dengan tak terhingga sebagai x→∞, dan harus ditulis seperti ini:

Jika kita mengambil barisan yang serupa, tetapi x cenderung 1, kita peroleh:

Dan rangkaian angkanya akan seperti ini: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, dst. Setiap kali Anda perlu mengganti angka yang mendekati satu (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Dari deret ini terlihat limit fungsinya adalah lima.

Dari bagian ini perlu diingat apa itu limit suatu barisan bilangan, pengertian dan cara penyelesaian masalah sederhana.

Sebutan umum untuk limit barisan

Setelah mempertimbangkan limit suatu barisan bilangan, definisi dan contohnya, Anda dapat melanjutkan ke topik yang lebih kompleks. Tentu saja semua limit barisan dapat dirumuskan dengan satu rumus, yang biasanya dianalisis pada semester pertama.

Lantas, apa maksud dari rangkaian huruf, modul, dan tanda pertidaksamaan tersebut?

∀ adalah bilangan universal, menggantikan frasa “untuk semua”, “untuk segalanya”, dll.

∃ merupakan bilangan eksistensial, dalam hal ini berarti ada suatu nilai N yang termasuk dalam himpunan bilangan asli.

Tongkat vertikal panjang yang mengikuti N berarti himpunan N yang diberikan adalah “sehingga”. Dalam praktiknya, ini bisa berarti “sehingga”, “sehingga”, dll.

Untuk memperkuat materi, bacalah rumusnya dengan lantang.

Ketidakpastian dan kepastian batas

Metode mencari limit barisan yang telah dibahas di atas, meskipun mudah digunakan, namun dalam praktiknya tidak begitu rasional. Coba cari limit fungsi ini:

Jika kita mengganti nilai “x” yang berbeda (bertambah setiap kali: 10, 100, 1000, dst.), maka kita mendapatkan ∞ pada pembilangnya, tetapi juga ∞ pada penyebutnya. Ini menghasilkan pecahan yang agak aneh:

Tapi benarkah demikian? Menghitung limit suatu barisan bilangan dalam hal ini sepertinya cukup mudah. Dimungkinkan untuk membiarkan semuanya apa adanya, karena jawabannya sudah siap, dan diterima dalam kondisi yang wajar, tetapi ada cara lain khusus untuk kasus seperti itu.

Pertama, mari kita cari pangkat tertinggi pada pembilang pecahan - yaitu 1, karena x dapat direpresentasikan sebagai x 1.

Sekarang mari kita cari pangkat tertinggi pada penyebutnya. Juga 1.

Mari kita bagi pembilang dan penyebutnya dengan variabel sampai pangkat tertinggi. Dalam hal ini, bagilah pecahan tersebut dengan x 1.

Selanjutnya, kita akan mencari nilai yang cenderung dimiliki setiap suku yang mengandung suatu variabel. Dalam hal ini, pecahan dipertimbangkan. Karena x→∞, nilai setiap pecahan cenderung nol. Saat mengirimkan karya Anda secara tertulis, Anda harus membuat catatan kaki berikut:

Ini menghasilkan ekspresi berikut:

Tentu saja pecahan yang mengandung x tidak menjadi nol! Tetapi nilainya sangat kecil sehingga diperbolehkan untuk tidak memperhitungkannya dalam perhitungan. Faktanya, x tidak akan pernah sama dengan 0 dalam kasus ini, karena Anda tidak dapat membaginya dengan nol.

Apa itu lingkungan sekitar?

Misalkan sang profesor mempunyai barisan kompleks, yang tentu saja diberikan oleh rumus yang sama rumitnya. Profesor sudah menemukan jawabannya, tapi benarkah? Bagaimanapun, semua orang melakukan kesalahan.

Auguste Cauchy pernah menemukan cara terbaik untuk membuktikan batas barisan. Metodenya disebut manipulasi lingkungan.

Misalkan ada suatu titik a, lingkungannya di kedua arah pada garis bilangan sama dengan ε (“epsilon”). Karena variabel terakhir adalah jarak, maka nilainya selalu positif.

Sekarang mari kita definisikan suatu barisan x n dan asumsikan bahwa suku kesepuluh barisan tersebut (x 10) termasuk dalam lingkungan a. Bagaimana kita bisa menulis fakta ini dalam bahasa matematika?

Misalkan x 10 berada di sebelah kanan titik a, maka jarak x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Sekarang saatnya menjelaskan secara praktik rumus yang dibahas di atas. Boleh dikatakan suatu bilangan a sebagai titik akhir suatu barisan jika pada salah satu limitnya terdapat pertidaksamaan ε>0, dan seluruh lingkungan mempunyai bilangan asli N sendiri, sehingga semua anggota barisan dengan bilangan yang lebih tinggi akan berada di dalam barisan |x n - a|< ε.

Dengan pengetahuan seperti itu, mudah untuk menyelesaikan limit barisan dan membuktikan atau menyangkal jawaban yang sudah jadi.

Teorema

Teorema tentang limit barisan merupakan komponen penting dari teori, yang tanpanya praktik tidak mungkin dilakukan. Hanya ada empat teorema utama, mengingat teorema mana yang dapat membuat penyelesaian atau pembuktian menjadi lebih mudah:

1. Keunikan limit suatu barisan. Urutan apa pun hanya dapat memiliki satu batasan atau tidak memiliki batasan sama sekali. Contoh yang sama dengan antrian yang hanya memiliki satu ujung.
2. Jika suatu barisan bilangan mempunyai limit, maka barisan bilangan tersebut berbatas.
3. Limit jumlah (selisih, hasil kali) barisan-barisan tersebut sama dengan jumlah (selisih, hasil kali) limitnya.
4. Limit hasil bagi dua barisan sama dengan hasil bagi limit jika dan hanya jika penyebutnya tidak hilang.

Bukti urutan

Terkadang Anda perlu menyelesaikan soal invers, untuk membuktikan limit barisan numerik tertentu. Mari kita lihat sebuah contoh.

Buktikan bahwa limit barisan yang diberikan rumus tersebut adalah nol.

Menurut aturan yang dibahas di atas, untuk barisan apa pun, pertidaksamaan |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Mari kita nyatakan n melalui “epsilon” untuk menunjukkan keberadaan suatu bilangan tertentu dan membuktikan adanya limit barisan tersebut.

Pada titik ini, penting untuk diingat bahwa “epsilon” dan “en” adalah bilangan positif dan tidak sama dengan nol. Kini transformasi lebih lanjut dapat dilanjutkan dengan menggunakan pengetahuan tentang kesenjangan yang diperoleh di sekolah menengah.

Bagaimana hasilnya n > -3 + 1/ε. Karena perlu diingat bahwa kita berbicara tentang bilangan asli, hasilnya dapat dibulatkan dengan memasukkannya ke dalam tanda kurung siku. Dengan demikian, terbukti bahwa untuk setiap nilai lingkungan “epsilon” dari titik a = 0, ditemukan suatu nilai yang memenuhi pertidaksamaan awal. Dari sini kita dapat dengan aman mengatakan bahwa bilangan a adalah limit suatu barisan tertentu. Q.E.D.

Metode praktis ini dapat digunakan untuk membuktikan limit suatu barisan numerik, tidak peduli betapa rumitnya barisan tersebut pada pandangan pertama. Yang penting jangan panik saat melihat tugas.

Atau mungkin dia tidak ada di sana?

Adanya batas konsistensi tidak diperlukan dalam praktiknya. Anda dapat dengan mudah menemukan rangkaian angka yang benar-benar tidak ada habisnya. Misalnya, “lampu berkedip” yang sama x n = (-1) n. Jelaslah bahwa barisan yang hanya terdiri dari dua digit, diulang secara siklis, tidak dapat mempunyai limit.

Cerita yang sama diulangi dengan barisan yang terdiri dari satu bilangan, bilangan pecahan, yang memiliki ketidakpastian urutan apa pun selama perhitungan (0/0, ∞/∞, ∞/0, dll.). Namun perlu diingat bahwa perhitungan yang salah juga terjadi. Terkadang memeriksa ulang solusi Anda sendiri akan membantu Anda menemukan batas urutannya.

Urutan monotonik

Beberapa contoh barisan dan metode penyelesaiannya telah dibahas di atas, dan sekarang mari kita coba mengambil kasus yang lebih spesifik dan menyebutnya sebagai “deretan monotonik”.

Definisi: barisan apa pun dapat disebut meningkat secara monoton jika terjadi pertidaksamaan tegas x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Selain kedua kondisi tersebut, terdapat pula ketimpangan non-ketat yang serupa. Dengan demikian, x n ≤ x n +1 (urutan tidak menurun) dan x n ≥ x n +1 (urutan tidak bertambah).

Namun lebih mudah untuk memahami hal ini dengan contoh.

Barisan yang diberikan oleh rumus x n = 2+n membentuk barisan bilangan berikut: 4, 5, 6, dst.

Dan jika kita ambil x n =1/n, kita mendapatkan deretnya: 1/3, ¼, 1/5, dst. Ini adalah barisan menurun secara monoton.

Batas suatu barisan yang konvergen dan berbatas

Barisan berbatas adalah barisan yang mempunyai limit. Barisan konvergen adalah barisan bilangan yang mempunyai limit yang sangat kecil.

Jadi, limit suatu barisan berbatas adalah sembarang bilangan real atau bilangan kompleks. Ingatlah bahwa hanya ada satu batasan.

Limit barisan konvergen adalah besaran yang sangat kecil (nyata atau kompleks). Jika digambarkan diagram barisan, maka pada titik tertentu akan tampak menyatu, cenderung berubah menjadi nilai tertentu. Oleh karena itu namanya barisan konvergen.

Batas barisan monotonik

Mungkin ada batasan atau tidak untuk urutan seperti itu. Pertama, penting untuk memahami kapan batas itu ada; dari sini Anda bisa mulai membuktikan tidak adanya batas.

Di antara barisan monotonik, dibedakan konvergen dan divergen. Konvergen adalah barisan yang dibentuk oleh himpunan x dan mempunyai limit nyata atau kompleks pada himpunan tersebut. Divergen adalah barisan yang tidak mempunyai limit pada himpunannya (baik real maupun kompleks).

Selain itu, barisan tersebut konvergen jika, dalam representasi geometri, batas atas dan batas bawahnya bertemu.

Limit suatu barisan konvergen dalam banyak kasus bisa bernilai nol, karena setiap barisan yang sangat kecil mempunyai limit yang diketahui (nol).

Apapun barisan konvergen yang Anda ambil, semuanya berbatas, tetapi tidak semua barisan berbatas konvergen.

Jumlah, selisih, hasil kali dua barisan yang konvergen juga merupakan barisan yang konvergen. Namun, hasil bagi juga bisa konvergen jika terdefinisi!

Berbagai tindakan dengan batasan

Batas barisan sama pentingnya (dalam banyak kasus) dengan angka dan angka: 1, 2, 15, 24, 362, dst. Ternyata beberapa operasi dapat dilakukan dengan batasan.

Pertama, seperti bilangan dan bilangan, limit suatu barisan dapat dijumlahkan dan dikurangi. Berdasarkan teorema ketiga tentang limit barisan, persamaan berikut berlaku: limit jumlah barisan sama dengan jumlah limitnya.

Kedua, berdasarkan teorema keempat tentang limit barisan, persamaan berikut ini benar: limit hasil kali banyaknya barisan ke-n sama dengan hasil kali limitnya. Hal yang sama berlaku untuk pembagian: limit hasil bagi dua barisan sama dengan hasil bagi limitnya, asalkan limitnya tidak nol. Lagi pula, jika limit barisan sama dengan nol, maka pembagian dengan nol akan menghasilkan hasil yang tidak mungkin.

Sifat-sifat besaran barisan

Tampaknya limit barisan numerik telah dibahas secara rinci, tetapi frasa seperti bilangan “sangat kecil” dan “sangat besar” disebutkan lebih dari satu kali. Jelasnya, jika ada barisan 1/x, di mana x→∞, maka pecahan tersebut sangat kecil, dan jika barisan tersebut sama, tetapi limitnya cenderung nol (x→0), maka pecahan tersebut menjadi nilai yang sangat besar. Dan besaran tersebut memiliki ciri khas tersendiri. Sifat-sifat limit suatu barisan yang bernilai kecil atau besar adalah sebagai berikut:

1. Jumlah suatu bilangan berapapun dari besaran kecil juga akan menjadi besaran kecil.
2. Jumlah sejumlah besaran yang besar akan menjadi besaran yang tak terhingga.
3. Hasil kali dari jumlah yang sangat kecil adalah sangat kecil.
4. Hasil kali sejumlah besar bilangan besar adalah tak terhingga besarnya.
5. Jika barisan asal cenderung ke bilangan yang sangat besar, maka inversnya akan sangat kecil dan cenderung ke nol.

Faktanya, menghitung limit suatu barisan bukanlah tugas yang sulit jika Anda mengetahui algoritma sederhananya. Namun batas konsistensi merupakan topik yang membutuhkan perhatian dan ketekunan yang maksimal. Tentu saja, cukup memahami esensi solusi dari ekspresi tersebut. Memulai dari yang kecil, Anda dapat mencapai pencapaian yang luar biasa seiring berjalannya waktu.