Tindakan dengan pecahan.
Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)
Jadi, apa itu pecahan, jenis pecahan, transformasi - kita ingat. Mari kita ke permasalahan utama.
Apa yang dapat kamu lakukan dengan pecahan? Ya, semuanya sama dengan angka biasa. Menambah, mengurangi, mengalikan, membagi.
Semua tindakan ini dengan desimal mengerjakan pecahan tidak berbeda dengan mengerjakan bilangan bulat. Sebenarnya, itulah kelebihannya, desimal. Satu-satunya hal adalah Anda harus meletakkan koma dengan benar.
Nomor campuran, seperti yang sudah saya katakan, tidak banyak berguna untuk sebagian besar tindakan. Mereka masih perlu diubah menjadi pecahan biasa.
Tapi tindakan dengan pecahan biasa mereka akan lebih licik. Dan yang lebih penting! Izinkan saya mengingatkan Anda: semua tindakan dengan ekspresi pecahan dengan huruf, sinus, tidak diketahui, dan sebagainya tidak ada bedanya dengan tindakan dengan pecahan biasa! Operasi pecahan biasa adalah dasar dari semua aljabar. Karena alasan inilah kami akan menganalisis semua aritmatika ini dengan sangat rinci di sini.
Penjumlahan dan pengurangan pecahan.
Tambahkan (kurangi) pecahan dari penyebut yang sama semua orang bisa (saya sangat berharap!). Baiklah, izinkan saya mengingatkan mereka yang benar-benar lupa: ketika menjumlahkan (mengurangi), penyebutnya tidak berubah. Pembilangnya dijumlahkan (dikurangi) untuk mendapatkan pembilang hasilnya. Jenis:
Singkatnya, di pandangan umum:
Bagaimana jika penyebutnya berbeda? Kemudian, dengan menggunakan sifat dasar pecahan (ini berguna lagi!), kita buat penyebutnya sama! Misalnya:
Di sini kita harus membuat pecahan 4/10 dari pecahan 2/5. Tujuannya semata-mata untuk membuat penyebutnya sama. Izinkan saya mencatat, untuk berjaga-jaga, bahwa 2/5 dan 4/10 adalah pecahan yang sama! Cuma 2/5 saja yang merepotkan kami, dan 4/10 oke banget.
Omong-omong, inilah inti dari penyelesaian masalah matematika apa pun. Ketika kita dari tidak nyaman kami melakukan ekspresi hal yang sama, tetapi lebih nyaman untuk diselesaikan.
Contoh lain:
Situasinya serupa. Di sini kita membuat 48 dari 16. Dengan perkalian sederhana di 3. Ini semua jelas. Tapi kami menemukan sesuatu seperti:
Bagaimana menjadi?! Sulit untuk mendapatkan sembilan dari tujuh! Tapi kami pintar, kami tahu aturannya! Mari bertransformasi setiap pecahan agar penyebutnya sama. Ini disebut “mari kita memimpin penyebut yang sama»:
Wow! Bagaimana saya tahu tentang 63? Sangat sederhana! 63 adalah bilangan yang habis dibagi 7 dan 9 sekaligus. Bilangan seperti itu selalu dapat diperoleh dengan mengalikan penyebutnya. Misalnya kita mengalikan suatu bilangan dengan 7, maka hasilnya pasti habis dibagi 7!
Jika perlu menjumlahkan (mengurangi) beberapa pecahan, tidak perlu berpasangan, selangkah demi selangkah. Anda hanya perlu mencari penyebut yang sama untuk semua pecahan dan mengurangi setiap pecahan ke penyebut yang sama. Misalnya:
Dan apa persamaannya? Tentu saja Anda bisa mengalikan 2, 4, 8, dan 16. Kita mendapatkan 1024. Mimpi buruk. Lebih mudah untuk memperkirakan bahwa bilangan 16 habis dibagi 2, 4, dan 8. Oleh karena itu, dari bilangan-bilangan tersebut mudah untuk mendapatkan 16. Bilangan ini akan menjadi penyebut yang sama. Mari kita ubah 1/2 menjadi 16/8, 3/4 menjadi 16/12, dan seterusnya.
Ngomong-ngomong, jika kita mengambil 1024 sebagai penyebut yang sama, semuanya akan beres, pada akhirnya semuanya akan berkurang. Tapi tidak semua orang bisa mencapai tujuan ini, karena perhitungannya...
Selesaikan sendiri contohnya. Bukan semacam logaritma... Seharusnya 29/16.
Jadi penjumlahan (pengurangan) pecahan sudah jelas ya, semoga? Tentu saja, lebih mudah untuk bekerja dalam versi yang dipersingkat, dengan pengganda tambahan. Namun kesenangan ini tersedia bagi mereka yang telah bekerja dengan jujur kelas junior... Dan aku tidak melupakan apa pun.
Dan sekarang kita akan melakukan tindakan yang sama, tetapi tidak dengan pecahan, tetapi dengan ekspresi pecahan. Rake baru akan ditemukan di sini ya...
Jadi kita perlu menambahkan dua ekspresi pecahan:
Kita perlu menyamakan penyebutnya. Dan hanya dengan bantuan perkalian! Inilah yang ditentukan oleh sifat utama pecahan. Oleh karena itu, saya tidak dapat menjumlahkan satu pada X pada pecahan pertama penyebutnya. (itu akan menyenangkan!). Tetapi jika Anda mengalikan penyebutnya, Anda lihat, semuanya bertambah! Jadi kita tuliskan garis pecahan di atas ruang kosong Biarkan saja, lalu tambahkan, dan tuliskan hasil kali penyebutnya di bawah ini agar tidak lupa:
Dan, tentu saja, kami tidak mengalikan apa pun di ruas kanan, kami tidak membuka tanda kurung! Dan sekarang, dengan melihat penyebut yang sama di sisi kanan, kita menyadari: untuk mendapatkan penyebut x(x+1) pada pecahan pertama, kamu perlu mengalikan pembilang dan penyebut pecahan ini dengan (x+1) . Dan di pecahan kedua - ke x. Inilah yang Anda dapatkan:
Memperhatikan! Berikut tanda kurungnya! Ini adalah penggaruk yang diinjak banyak orang. Bukan tanda kurung, tentu saja, tapi ketidakhadirannya. Tanda kurung muncul karena kita sedang mengalikan semua pembilang dan semua penyebut! Dan bukan bagian masing-masing...
Pada pembilang sebelah kanan kita tuliskan jumlah pembilangnya, semuanya seperti pada pecahan bilangan, kemudian kita buka tanda kurung pada pembilang sebelah kanan, yaitu. Kami mengalikan semuanya dan memberikan yang serupa. Tidak perlu membuka tanda kurung pada penyebut atau mengalikan apapun! Secara umum, dalam penyebut (apa pun), produknya selalu lebih bagus! Kami mendapatkan:
Jadi kami mendapat jawabannya. Prosesnya kelihatannya panjang dan sulit, tapi tergantung latihan. Setelah Anda menyelesaikan contoh, biasakan, semuanya akan menjadi sederhana. Mereka yang telah menguasai pecahan pada waktunya melakukan semua operasi ini dengan satu tangan kiri, secara otomatis!
Dan satu catatan lagi. Banyak orang yang pandai menangani pecahan, tetapi terjebak pada contoh utuh angka. Misal: 2 + 1/2 + 3/4= ? Di mana mengencangkan dua bagian? Anda tidak perlu mengencangkannya di mana pun, Anda perlu membuat pecahan dari dua. Itu tidak mudah, tapi sangat sederhana! 2=2/1. Seperti ini. Bilangan bulat apa pun dapat ditulis sebagai pecahan. Pembilangnya adalah bilangan itu sendiri, penyebutnya adalah satu. 7 adalah 7/1, 3 adalah 3/1 dan seterusnya. Sama halnya dengan huruf. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, dst. Dan kemudian kami mengerjakan pecahan ini sesuai dengan semua aturan.
Nah, pengetahuan tentang penjumlahan dan pengurangan pecahan pun disegarkan kembali. Konversi pecahan dari satu jenis ke jenis lainnya dilakukan secara berulang-ulang. Anda juga bisa diperiksa. Bisakah kita menyelesaikannya sedikit?)
Menghitung:
Jawaban (berantakan):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Perkalian/pembagian pecahan - pada pelajaran berikutnya. Ada juga tugas untuk semua operasi dengan pecahan.
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.
Memperhatikan! Sebelum menulis jawaban akhir Anda, lihat apakah Anda dapat mempersingkat pecahan yang Anda terima.
Mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama, contoh:
,
,
Mengurangi pecahan biasa dari satu.
Jika suatu pecahan perlu dikurangkan dari suatu satuan, maka satuannya diubah menjadi pecahan biasa, penyebutnya adalah sama dengan penyebutnya pecahan yang dikurangkan.
Contoh mengurangkan pecahan biasa dari satu:
Penyebut pecahan yang akan dikurangkan = 7 , yaitu, kita menyatakan satu sebagai pecahan biasa 7/7 dan mengurangkannya sesuai dengan aturan pengurangan pecahan yang penyebutnya sama.
Mengurangi pecahan biasa dari suatu bilangan bulat.
Aturan pengurangan pecahan - benar dari bilangan bulat (bilangan asli):
- Kami menerjemahkan pecahan yang diberikan, yang berisi bagian bilangan bulat, menjadi bagian yang salah. Kami mendapatkan persyaratan normal (tidak masalah jika itu bersama penyebut yang berbeda), yang kami hitung sesuai aturan yang diberikan di atas;
- Selanjutnya kita hitung selisih pecahan yang kita terima. Hasilnya, kita hampir akan menemukan jawabannya;
- Kami melaksanakan konversi terbalik, yaitu, kita menghilangkan pecahan biasa - kita memilih seluruh bagian dalam pecahan.
Kurangi pecahan biasa dari bilangan bulat: nyatakan bilangan asli sebagai bilangan campuran. Itu. Kita mengambil satu bilangan asli dan mengubahnya menjadi bentuk pecahan biasa, penyebutnya sama dengan pecahan yang dikurangkan.
Contoh pengurangan pecahan:
Dalam contoh ini, kita mengganti satu dengan pecahan biasa 7/7 dan bukannya 3, kita menulisnya nomor campuran dan pecahan dikurangkan dari bagian pecahan.
Pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda.
Atau, dengan kata lain, mengurangkan pecahan yang berbeda.
Aturan pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda. Untuk mengurangkan pecahan yang penyebutnya berbeda, pertama-tama perlu untuk mengurangi pecahan tersebut ke penyebut terkecil (LCD), dan baru setelah itu, melakukan pengurangan seperti pada pecahan dengan penyebut yang sama.
Penyebut yang sama dari beberapa pecahan adalah KPK (kelipatan persekutuan terkecil) bilangan asli, yang merupakan penyebut pecahan tersebut.
Perhatian! Jika di pecahan akhir pembilang dan penyebut mempunyai faktor persekutuan, maka pecahan tersebut harus dikurangi. Pecahan biasa paling baik direpresentasikan sebagai pecahan campuran. Membiarkan hasil pengurangan tanpa mengurangi pecahan jika memungkinkan adalah penyelesaian contoh yang tidak lengkap!
Tata cara mengurangkan pecahan yang penyebutnya berbeda.
- temukan KPK untuk semua penyebut;
- masukkan faktor tambahan untuk semua pecahan;
- kalikan semua pembilang dengan faktor tambahan;
- Kami menulis hasil perkalian ke dalam pembilangnya, menandatangani penyebut yang sama di bawah semua pecahan;
- kurangi pembilang pecahan, tandatangani penyebut yang sama di bawah selisihnya.
Demikian pula penjumlahan dan pengurangan pecahan dilakukan jika pembilangnya ada huruf.
Pengurangan pecahan, contoh:
Pengurangan pecahan campuran.
Pada pengurangan pecahan campuran(angka) secara terpisah, bagian bilangan bulat dikurangi dari bagian bilangan bulat, dan bagian pecahan dikurangi dari bagian pecahan.
Opsi pertama untuk mengurangkan pecahan campuran.
Jika kamu bagian pecahan identik penyebut dan pembilang bagian pecahan dari pengurang (kita kurangi) ≥ pembilang bagian pecahan dari pengurang (kita kurangi).
Misalnya:
Pilihan kedua untuk mengurangkan pecahan campuran.
Ketika bagian pecahan berbeda penyebut. Pertama, kita bawa bagian pecahan ke penyebut yang sama, lalu kurangi bagian bilangan bulat dari bagian bilangan bulat, dan bagian pecahan dari bagian pecahan.
Misalnya:
Pilihan ketiga untuk mengurangkan pecahan campuran.
Bagian pecahan dari minuend lebih kecil dari bagian pecahan dari pengurangnya.
Contoh:
Karena Bagian pecahan mempunyai penyebut yang berbeda-beda, artinya, seperti pada pilihan kedua, pertama-tama kita bawa pecahan biasa ke penyebut yang sama.
Pembilang bagian pecahan dari pengurangannya lebih kecil dari pembilang bagian pecahan dari pengurangnya.3 < 14. Artinya kita mengambil satuan dari seluruh bagian dan mereduksi satuan tersebut menjadi pecahan biasa yang penyebut dan pembilangnya sama. = 18.
Pada pembilang sebelah kanan kita tulis jumlah pembilangnya, kemudian kita buka tanda kurung pada pembilang sebelah kanan, yaitu kita mengalikan semuanya dan memberikan yang serupa. Kami tidak membuka tanda kurung pada penyebutnya. Merupakan kebiasaan untuk membiarkan hasil kali dalam penyebutnya. Kami mendapatkan:
Menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama
Ada dua jenis penjumlahan pecahan:
- Menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama
- Menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda
Pertama, mari kita pelajari penjumlahan pecahan yang penyebutnya sama. Semuanya sederhana di sini. Untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama, Anda perlu menjumlahkan pembilangnya dan membiarkan penyebutnya tidak berubah. Misalnya kita menjumlahkan pecahan dan . Tambahkan pembilangnya dan biarkan penyebutnya tidak berubah:
Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita mengingat pizza yang dibagi menjadi empat bagian. Jika Anda menambahkan pizza ke pizza, Anda mendapatkan pizza:
Contoh 2. Tambahkan pecahan dan .
Jawabannya adalah tidak pecahan yang tepat. Ketika tugas selesai, merupakan kebiasaan untuk membuang pecahan biasa. Untuk menghilangkan pecahan biasa, Anda harus memilih seluruh bagiannya. Dalam kasus kami seluruh bagian menonjol dengan mudah - dua dibagi dua sama dengan satu:
Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita mengingat tentang pizza yang dibagi menjadi dua bagian. Jika Anda menambahkan lebih banyak pizza ke dalam pizza, Anda mendapatkan satu pizza utuh:
Contoh 3. Tambahkan pecahan dan .
Sekali lagi, kita menjumlahkan pembilangnya dan membiarkan penyebutnya tidak berubah:
Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita mengingat pizza yang dibagi menjadi tiga bagian. Jika Anda menambahkan lebih banyak pizza ke dalam pizza, Anda mendapatkan pizza:
Contoh 4. Temukan nilai sebuah ekspresi
Contoh ini diselesaikan dengan cara yang persis sama seperti contoh sebelumnya. Pembilangnya harus dijumlahkan dan penyebutnya tidak diubah:
Mari kita coba menggambarkan solusi kita menggunakan gambar. Jika Anda menambahkan pizza ke dalam pizza dan menambahkan lebih banyak pizza, Anda mendapatkan 1 pizza utuh dan lebih banyak pizza.
Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit dalam menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama. Cukup memahami aturan berikut:
- Untuk menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama, Anda perlu menjumlahkan pembilangnya dan membiarkan penyebutnya tidak berubah;
Menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda
Sekarang mari kita belajar cara menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda. Saat menjumlahkan pecahan, penyebut pecahan harus sama. Namun keduanya tidak selalu sama.
Misalnya pecahan bisa dijumlahkan karena penyebutnya sama.
Namun pecahan tidak dapat langsung dijumlahkan, karena pecahan tersebut mempunyai penyebut yang berbeda. Dalam kasus seperti itu, pecahan harus direduksi menjadi penyebut (yang sama).
Ada beberapa cara untuk mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama. Hari ini kita hanya akan melihat salah satunya, karena metode lainnya mungkin tampak rumit bagi pemula.
Inti dari metode ini adalah mencari KPK dari kedua pecahan terlebih dahulu. KPK kemudian dibagi dengan penyebut pecahan pertama untuk mendapatkan faktor tambahan pertama. Mereka melakukan hal yang sama dengan pecahan kedua - KPK dibagi dengan penyebut pecahan kedua dan diperoleh faktor tambahan kedua.
Pembilang dan penyebut pecahan kemudian dikalikan dengan faktor tambahannya. Akibat tindakan tersebut, pecahan yang penyebutnya berbeda diubah menjadi pecahan yang penyebutnya sama. Dan kita sudah tahu cara menjumlahkan pecahan tersebut.
Contoh 1. Mari kita jumlahkan pecahan dan
Pertama-tama, kita mencari kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut kedua pecahan. Penyebut pecahan pertama adalah angka 3, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 2. Kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan tersebut adalah 6
KPK (2 dan 3) = 6
Sekarang mari kita kembali ke pecahan dan . Pertama, bagi KPK dengan penyebut pecahan pertama dan dapatkan faktor tambahan pertama. KPK adalah angka 6, dan penyebut pecahan pertama adalah angka 3. Bagi 6 dengan 3, kita mendapat 2.
Angka 2 yang dihasilkan adalah pengali tambahan pertama. Kami menuliskannya ke pecahan pertama. Untuk melakukannya, buatlah garis miring kecil di atas pecahan dan tuliskan faktor tambahan yang terdapat di atasnya:
Kami melakukan hal yang sama dengan pecahan kedua. Kita bagi KPK dengan penyebut pecahan kedua dan mendapatkan faktor tambahan kedua. KPK adalah angka 6, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 2. Bagi 6 dengan 2, kita mendapat 3.
Angka 3 yang dihasilkan adalah pengali tambahan kedua. Kami menuliskannya ke pecahan kedua. Sekali lagi, kita membuat garis miring kecil di atas pecahan kedua dan menuliskan faktor tambahan yang terdapat di atasnya:
Sekarang kami telah menyiapkan segalanya untuk penambahan. Tetap mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan faktor tambahannya:
Perhatikan baik-baik apa yang telah kita capai. Kami sampai pada kesimpulan bahwa pecahan yang penyebutnya berbeda berubah menjadi pecahan yang penyebutnya sama. Dan kita sudah tahu cara menjumlahkan pecahan tersebut. Mari kita ambil contoh ini sampai akhir:
Ini melengkapi contohnya. Ternyata menambah.
Mari kita coba menggambarkan solusi kita menggunakan gambar. Jika Anda menambahkan pizza ke dalam pizza, Anda mendapatkan satu pizza utuh dan seperenam pizza lagi:
Pengurangan pecahan menjadi penyebut yang sama juga dapat digambarkan dengan menggunakan gambar. Mengurangi pecahan dan menjadi penyebut yang sama, kita mendapatkan pecahan dan . Kedua pecahan ini akan diwakili oleh potongan pizza yang sama. Satu-satunya perbedaan adalah kali ini mereka akan dibagi menjadi bagian yang sama (dikurangi menjadi penyebut yang sama).
Gambar pertama mewakili pecahan (empat bagian dari enam), dan gambar kedua mewakili pecahan (tiga bagian dari enam). Dengan menambahkan potongan-potongan ini, kita mendapatkan (tujuh dari enam bagian). Pecahan ini tidak wajar, jadi kami menyorot seluruh bagiannya. Hasilnya, kami mendapat (satu pizza utuh dan satu lagi pizza keenam).
Harap dicatat bahwa kami telah menjelaskan contoh ini terlalu detail. DI DALAM lembaga pendidikan Bukan kebiasaan menulis sedetail itu. Anda harus dapat dengan cepat mencari KPK dari kedua penyebut dan faktor tambahannya, serta dengan cepat mengalikan faktor tambahan yang ditemukan dengan pembilang dan penyebutnya. Saat di sekolah, kita harus menulis contoh ini sebagai berikut:
Tapi ada juga sisi sebaliknya medali. Jika Anda tidak mengerjakan matematika pada tahap pertama pembelajaran catatan rinci, lalu pertanyaan semacam itu mulai bermunculan “Dari mana asalnya angka itu?”, “Mengapa pecahan tiba-tiba berubah menjadi pecahan yang sama sekali berbeda? «.
Untuk mempermudah menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda, Anda dapat menggunakan petunjuk langkah demi langkah berikut:
- Temukan KPK dari penyebut pecahan;
- Bagilah KPK dengan penyebut setiap pecahan dan dapatkan faktor tambahan untuk setiap pecahan;
- Kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan faktor tambahannya;
- Menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama;
- Jika jawabannya ternyata pecahan biasa, sorot seluruh bagiannya;
Contoh 2. Temukan nilai sebuah ekspresi 
.
Mari gunakan instruksi yang diberikan di atas.
Langkah 1. Temukan KPK dari penyebut pecahan tersebut
Tentukan KPK dari penyebut kedua pecahan tersebut. Penyebut pecahan adalah angka 2, 3 dan 4
Langkah 2. Bagilah KPK dengan penyebut setiap pecahan dan dapatkan faktor tambahan untuk setiap pecahan
Bagilah KPK dengan penyebut pecahan pertama. KPK adalah angka 12, dan penyebut pecahan pertama adalah angka 2. Bagi 12 dengan 2, kita mendapat 6. Kita mendapat faktor tambahan pertama 6. Kita tuliskan di atas pecahan pertama:
Sekarang kita bagi KPK dengan penyebut pecahan kedua. KPK adalah bilangan 12, dan penyebut pecahan kedua adalah bilangan 3. Bagi 12 dengan 3, kita mendapat 4. Kita mendapat faktor tambahan kedua 4. Kita tuliskan di atas pecahan kedua:
Sekarang kita bagi KPK dengan penyebut pecahan ketiga. KPK adalah angka 12, dan penyebut pecahan ketiga adalah angka 4. Bagi 12 dengan 4, kita mendapat 3. Kita mendapat faktor tambahan ketiga 3. Kita tuliskan di atas pecahan ketiga:
Langkah 3. Kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan faktor tambahannya
Kalikan pembilang dan penyebutnya dengan faktor tambahannya:
Langkah 4. Jumlahkan pecahan yang penyebutnya sama
Kami sampai pada kesimpulan bahwa pecahan yang penyebutnya berbeda berubah menjadi pecahan yang penyebutnya sama (bersama). Yang tersisa hanyalah menjumlahkan pecahan-pecahan ini. Tambahkan itu:
Penambahannya tidak muat pada satu baris, jadi kami memindahkan ekspresi yang tersisa ke baris berikutnya. Ini diperbolehkan dalam matematika. Jika suatu ekspresi tidak muat pada satu baris, maka ekspresi tersebut dipindahkan ke baris berikutnya, dan perlu memberi tanda sama dengan (=) di akhir baris pertama dan di awal baris baru. Tanda sama dengan pada baris kedua menunjukkan bahwa ini merupakan kelanjutan dari ekspresi pada baris pertama.
Langkah 5. Jika jawabannya ternyata pecahan biasa, pilih seluruh bagiannya
Jawaban kami ternyata merupakan pecahan biasa. Kita harus menyoroti keseluruhan bagiannya. Kami menyoroti:
Kami menerima jawaban
Pengurangan pecahan yang penyebutnya sama
Ada dua jenis pengurangan pecahan:
- Pengurangan pecahan yang penyebutnya sama
- Pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda
Pertama, mari kita pelajari cara mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama. Semuanya sederhana di sini. Untuk mengurangkan pecahan lain dari satu pecahan, Anda perlu mengurangi pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, tetapi biarkan penyebutnya tetap sama.
Misalnya, mari kita cari nilai ekspresi . Untuk menyelesaikan contoh ini, Anda perlu mengurangi pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah. Ayo lakukan ini:
Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita mengingat pizza yang dibagi menjadi empat bagian. Jika Anda memotong pizza dari pizza, Anda mendapatkan pizza:
Contoh 2. Temukan nilai ekspresi.
Sekali lagi, kurangi pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan biarkan penyebutnya tidak berubah:
Contoh ini dapat dengan mudah dipahami jika kita mengingat pizza yang dibagi menjadi tiga bagian. Jika Anda memotong pizza dari pizza, Anda mendapatkan pizza:
Contoh 3. Temukan nilai sebuah ekspresi 
Contoh ini diselesaikan dengan cara yang persis sama seperti contoh sebelumnya. Dari pembilang pecahan pertama, kurangi pembilang pecahan yang tersisa:
Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit dalam mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama. Cukup memahami aturan berikut:
- Untuk mengurangkan pecahan lain dari satu pecahan, Anda perlu mengurangkan pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah;
- Jika jawabannya ternyata pecahan biasa, maka Anda perlu menyorot seluruh bagiannya.
Pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda
Misalnya, Anda dapat mengurangkan pecahan dari suatu pecahan karena pecahan tersebut mempunyai penyebut yang sama. Namun Anda tidak dapat mengurangkan pecahan dari pecahan, karena pecahan tersebut memiliki penyebut yang berbeda. Dalam kasus seperti itu, pecahan harus direduksi menjadi penyebut (yang sama).
Penyebut yang sama ditemukan menggunakan prinsip yang sama yang kita gunakan saat menjumlahkan pecahan dengan penyebut berbeda. Pertama-tama, cari KPK dari penyebut kedua pecahan tersebut. Kemudian KPK dibagi dengan penyebut pecahan pertama dan diperoleh faktor tambahan pertama yang ditulis di atas pecahan pertama. Demikian pula KPK dibagi dengan penyebut pecahan kedua dan diperoleh faktor tambahan kedua yang ditulis di atas pecahan kedua.
Pecahan tersebut kemudian dikalikan dengan faktor tambahannya. Dari hasil operasi tersebut, pecahan yang penyebutnya berbeda diubah menjadi pecahan yang penyebutnya sama. Dan kita sudah tahu cara mengurangkan pecahan tersebut.
Contoh 1. Temukan arti dari ungkapan:
Pecahan-pecahan ini mempunyai penyebut yang berbeda-beda, sehingga perlu direduksi menjadi penyebut yang sama.
Pertama kita cari KPK dari penyebut kedua pecahan tersebut. Penyebut pecahan pertama adalah angka 3, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 4. Kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan tersebut adalah 12
KPK (3 dan 4) = 12
Sekarang mari kita kembali ke pecahan dan
Mari kita cari faktor tambahan untuk pecahan pertama. Caranya, bagilah KPK dengan penyebut pecahan pertama. KPK adalah angka 12, dan penyebut pecahan pertama adalah angka 3. Bagi 12 dengan 3, kita mendapat 4. Tulislah empat di atas pecahan pertama:
Kami melakukan hal yang sama dengan pecahan kedua. Bagilah KPK dengan penyebut pecahan kedua. KPK adalah angka 12, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 4. Bagi 12 dengan 4, kita mendapat 3. Tuliskan tiga pada pecahan kedua:
Sekarang kita siap untuk pengurangan. Tetap mengalikan pecahan dengan faktor tambahannya:
Kami sampai pada kesimpulan bahwa pecahan yang penyebutnya berbeda berubah menjadi pecahan yang penyebutnya sama. Dan kita sudah tahu cara mengurangkan pecahan tersebut. Mari kita ambil contoh ini sampai akhir:
Kami menerima jawaban
Mari kita coba menggambarkan solusi kita menggunakan gambar. Jika Anda memotong pizza dari pizza, Anda mendapatkan pizza
Ini versi rinci solusi. Jika kita di sekolah, kita harus menyelesaikan contoh ini dengan lebih singkat. Solusinya akan terlihat seperti ini:
Pengurangan pecahan menjadi penyebut yang sama juga dapat digambarkan dengan menggunakan gambar. Mengurangi pecahan-pecahan ini menjadi penyebut yang sama, kita mendapatkan pecahan dan . Pecahan berikut akan diwakili oleh potongan pizza yang sama, namun kali ini akan dibagi menjadi bagian yang sama (dikurangi menjadi penyebut yang sama):
Gambar pertama menunjukkan pecahan (delapan dari dua belas), dan gambar kedua menunjukkan pecahan (tiga dari dua belas). Dengan memotong tiga bagian dari delapan bagian, kita mendapatkan lima bagian dari dua belas. Pecahan menggambarkan lima bagian ini.
Contoh 2. Temukan nilai sebuah ekspresi 
Pecahan-pecahan ini memiliki penyebut yang berbeda, jadi pertama-tama Anda harus mereduksinya menjadi penyebut (yang sama).
Mari kita cari KPK dari penyebut pecahan tersebut.
Penyebut pecahan adalah angka 10, 3 dan 5. Kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka tersebut adalah 30
KPK(10, 3, 5) = 30
Sekarang kita mencari faktor tambahan untuk setiap pecahan. Caranya, bagilah KPK dengan penyebut setiap pecahan.
Mari kita cari faktor tambahan untuk pecahan pertama. KPK adalah angka 30, dan penyebut pecahan pertama adalah angka 10. Bagi 30 dengan 10, kita mendapat faktor tambahan pertama 3. Kita tuliskan di atas pecahan pertama:
Sekarang kita cari faktor tambahan untuk pecahan kedua. Bagilah KPK dengan penyebut pecahan kedua. KPK adalah angka 30, dan penyebut pecahan kedua adalah angka 3. Bagi 30 dengan 3, kita mendapat faktor tambahan kedua 10. Kita tuliskan di atas pecahan kedua:
Sekarang kita cari faktor tambahan untuk pecahan ketiga. Bagilah KPK dengan penyebut pecahan ketiga. KPK adalah angka 30, dan penyebut pecahan ketiga adalah angka 5. Bagi 30 dengan 5, kita mendapat faktor tambahan ketiga 6. Kita tuliskan di atas pecahan ketiga:
Sekarang semuanya siap untuk pengurangan. Tetap mengalikan pecahan dengan faktor tambahannya:
Kami sampai pada kesimpulan bahwa pecahan yang penyebutnya berbeda berubah menjadi pecahan yang penyebutnya sama (bersama). Dan kita sudah tahu cara mengurangkan pecahan tersebut. Mari selesaikan contoh ini.
Kelanjutan contoh tidak akan muat pada satu baris, jadi kelanjutannya kita pindahkan ke baris berikutnya. Jangan lupa tentang tanda sama dengan (=) pada baris baru:
Jawabannya ternyata pecahan biasa, dan semuanya tampak cocok untuk kita, tetapi terlalu rumit dan jelek. Kita harus membuatnya lebih sederhana. Apa yang bisa dilakukan? Anda dapat mempersingkat pecahan ini.
Untuk mengurangi pecahan, Anda perlu membagi pembilang dan penyebutnya dengan (PBB) angka 20 dan 30.
Jadi, kita cari KPK dari angka 20 dan 30:
Sekarang kita kembali ke contoh kita dan membagi pembilang dan penyebut pecahan dengan gcd yang ditemukan, yaitu dengan 10
Kami menerima jawaban
Mengalikan pecahan dengan angka
Untuk mengalikan pecahan dengan suatu angka, Anda perlu mengalikan pembilang pecahan tertentu dengan angka tersebut dan membiarkan penyebutnya tetap sama.
Contoh 1. Kalikan pecahan dengan angka 1.
Kalikan pembilang pecahan dengan angka 1
Pencatatannya dapat dipahami sebagai pengambilan setengah 1 kali. Misalnya, jika Anda makan pizza sekali, Anda mendapat pizza
Dari hukum perkalian kita mengetahui bahwa jika perkalian dan faktornya ditukar, hasil perkaliannya tidak akan berubah. Jika ekspresi ditulis sebagai , maka hasil kali tetap sama dengan . Sekali lagi, aturan mengalikan bilangan bulat dan pecahan berlaku:
Notasi ini dapat dipahami sebagai mengambil setengah dari satu. Misalnya, jika ada 1 pizza utuh dan kita ambil setengahnya, maka kita akan mendapatkan pizza:
Contoh 2. Temukan nilai sebuah ekspresi
Kalikan pembilang pecahan dengan 4
Jawabannya adalah pecahan biasa. Mari kita soroti seluruh bagiannya:
Ungkapan tersebut dapat dipahami sebagai mengambil dua perempat sebanyak 4 kali. Misalnya, jika Anda mengambil 4 pizza, Anda akan mendapatkan dua pizza utuh
Dan jika kita menukar pengganda dan pengganda, kita mendapatkan ekspresi . Ini juga akan sama dengan 2. Ungkapan ini dapat dipahami sebagai mengambil dua pizza dari empat pizza utuh:
Mengalikan pecahan
Untuk mengalikan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebutnya. Jika jawabannya ternyata pecahan biasa, Anda perlu menyorot seluruh bagiannya.
Contoh 1. Temukan nilai ekspresi.
Kami menerima jawaban. Disarankan untuk mengurangi pecahan yang diberikan. Pecahannya bisa dikurangi 2. Lalu keputusan akhir akan mengambil bentuk berikut:
Ungkapan tersebut dapat dipahami sebagai mengambil pizza dari setengah pizza. Katakanlah kita mempunyai setengah pizza:
Bagaimana cara mengambil dua pertiga dari separuh ini? Pertama, Anda perlu membagi setengahnya menjadi tiga bagian yang sama:
Dan ambil dua dari tiga bagian ini:
Kami akan membuat pizza. Ingat seperti apa pizza yang dibagi menjadi tiga bagian:
Satu potong pizza ini dan dua potong yang kami ambil akan memiliki dimensi yang sama:
Dengan kata lain, yang sedang kita bicarakan tentang pizza ukuran yang sama. Oleh karena itu, nilai dari ekspresi tersebut adalah
Contoh 2. Temukan nilai sebuah ekspresi
Kalikan pembilang pecahan pertama dengan pembilang pecahan kedua, dan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua:
Jawabannya adalah pecahan biasa. Mari kita soroti seluruh bagiannya:
Contoh 3. Temukan nilai sebuah ekspresi
Kalikan pembilang pecahan pertama dengan pembilang pecahan kedua, dan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua:
Jawabannya ternyata pecahan biasa, tapi alangkah baiknya jika dipersingkat. Untuk mengurangi pecahan ini, Anda perlu membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan yang terbesar pembagi persekutuan(GCD) nomor 105 dan 450.
Jadi, mari kita cari KPK dari angka 105 dan 450:
Sekarang kita bagi pembilang dan penyebut jawaban kita dengan gcd yang sudah kita temukan sekarang, yaitu dengan 15
Mewakili bilangan bulat sebagai pecahan
Bilangan bulat apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Misalnya, angka 5 dapat direpresentasikan sebagai . Ini tidak akan mengubah arti dari lima, karena ungkapan tersebut berarti “angka lima dibagi satu”, dan ini, seperti kita ketahui, sama dengan lima:
Nomor timbal balik
Sekarang kita akan berkenalan dengan sangat topik yang menarik dalam matematika. Ini disebut "bilangan terbalik".
Definisi. Balik ke angkaA adalah bilangan yang jika dikalikan denganA memberikan satu.
Mari kita gantikan definisi ini dengan variabel A nomor 5 dan coba baca definisinya:
Balik ke angka 5 adalah bilangan yang jika dikalikan dengan 5 memberikan satu.
Mungkinkah menemukan bilangan yang jika dikalikan 5 akan menghasilkan satu? Ternyata hal itu mungkin. Mari kita bayangkan lima sebagai pecahan:
Kemudian kalikan pecahan ini dengan pecahan itu sendiri, cukup tukar pembilang dan penyebutnya. Dengan kata lain, mari kita kalikan pecahan dengan pecahan itu sendiri, hanya terbalik:
Apa yang akan terjadi akibat hal ini? Jika kita terus menyelesaikan contoh ini, kita mendapatkan satu:
Artinya kebalikan dari bilangan 5 adalah bilangan , karena jika dikalikan 5 maka didapat satu.
Kebalikan dari bilangan bulat lainnya juga dapat ditemukan.
Anda juga dapat mencari kebalikan dari pecahan lainnya. Untuk melakukan ini, balikkan saja.
Membagi pecahan dengan angka
Katakanlah kita mempunyai setengah pizza:
Mari kita bagi rata menjadi dua. Berapa banyak pizza yang didapat setiap orang?
Terlihat bahwa setelah membagi separuh pizza, diperoleh dua bagian yang sama besar, yang masing-masing merupakan pizza. Jadi semua orang mendapat pizza.
Pembagian pecahan dilakukan dengan menggunakan timbal balik. Nomor timbal balik memungkinkan Anda mengganti pembagian dengan perkalian.
Untuk membagi pecahan dengan suatu bilangan, Anda perlu mengalikan pecahan tersebut dengan kebalikan dari pembaginya.
Dengan menggunakan aturan ini, kita akan menuliskan pembagian separuh pizza kita menjadi dua bagian.
Jadi, Anda perlu membagi pecahan dengan angka 2. Di sini yang membagi adalah pecahan dan pembaginya adalah angka 2.
Untuk membagi pecahan dengan angka 2, Anda perlu mengalikan pecahan tersebut dengan kebalikan dari pembagi 2. Kebalikan dari pembagi 2 adalah pecahan. Jadi, Anda perlu mengalikannya
Pecahan adalah angka biasa, mereka juga dapat ditambahkan dan dikurangi. Namun karena mengandung penyebut yang lebih besar aturan yang rumit daripada bilangan bulat.
Mari kita perhatikan kasus paling sederhana, ketika ada dua pecahan yang penyebutnya sama. Kemudian:
Untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama, Anda perlu menjumlahkan pembilangnya dan membiarkan penyebutnya tidak berubah.
Untuk mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama, Anda perlu mengurangkan pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan membiarkan penyebutnya tidak berubah.
Dalam setiap ekspresi, penyebut pecahannya sama. Berdasarkan definisi penjumlahan dan pengurangan pecahan kita peroleh:
Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit: kita cukup menambah atau mengurangi pembilangnya dan selesai.
Tapi bahkan dalam keadaan seperti itu tindakan sederhana orang berhasil membuat kesalahan. Yang paling sering dilupakan adalah penyebutnya tidak berubah. Misalnya, ketika mereka dijumlahkan, mereka juga mulai bertambah, dan ini pada dasarnya salah.
Menyingkirkan kebiasaan buruk Menjumlahkan penyebutnya cukup sederhana. Cobalah hal yang sama saat mengurangi. Akibatnya, penyebutnya akan menjadi nol, dan pecahan tersebut (tiba-tiba!) kehilangan maknanya.
Oleh karena itu, ingatlah sekali dan untuk selamanya: saat menjumlahkan dan mengurangi, penyebutnya tidak berubah!
Selain itu, banyak orang melakukan kesalahan saat menambahkan beberapa pecahan negatif. Ada kebingungan dengan tanda-tandanya: di mana harus memberi tanda minus dan di mana harus memberi tanda plus.
Masalah ini juga sangat mudah untuk diatasi. Perlu diingat bahwa minus sebelum tanda pecahan selalu dapat dipindahkan ke pembilangnya - dan sebaliknya. Dan tentu saja, jangan lupakan dua aturan sederhana:
- Ditambah dengan minus menghasilkan minus;
- Dua hal negatif menjadi afirmatif.
Mari kita lihat semua ini dengan contoh spesifik:
Tugas. Temukan arti dari ungkapan:
Dalam kasus pertama, semuanya sederhana, tetapi dalam kasus kedua, mari tambahkan minus pada pembilang pecahan:
Apa yang harus dilakukan jika penyebutnya berbeda
Anda tidak dapat menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda secara langsung. Setidaknya, metode ini tidak saya ketahui. Namun pecahan asal selalu dapat ditulis ulang sehingga penyebutnya menjadi sama.
Ada banyak cara untuk mengkonversi pecahan. Tiga di antaranya dibahas dalam pelajaran “ Mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama", jadi kami tidak akan membahasnya di sini. Mari kita lihat beberapa contoh:
Tugas. Temukan arti dari ungkapan:
Dalam kasus pertama, kita mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama menggunakan metode “saling silang”. Yang kedua kita akan mencari NOC. Perhatikan bahwa 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Faktor terakhir pada pemuaian ini adalah sama, dan faktor pertama relatif prima. Jadi KPK(6, 9) = 2 3 3 = 18.
Apa yang harus dilakukan jika pecahan mempunyai bagian bilangan bulat
Saya dapat menyenangkan Anda: memiliki penyebut yang berbeda dalam pecahan bukanlah hal yang paling banyak kejahatan besar. Banyak lebih banyak kesalahan terjadi ketika bagian bilangan bulat diisolasi dalam suku pecahan.
Tentu saja, pecahan semacam itu memiliki algoritma penjumlahan dan pengurangannya sendiri, tetapi cukup rumit dan memerlukan perhitungan studi yang panjang. Penggunaan yang lebih baik diagram sederhana, diberikan di bawah ini:
- Ubah semua pecahan yang mengandung bagian bilangan bulat menjadi pecahan biasa. Kami memperoleh suku-suku normal (bahkan dengan penyebut berbeda), yang dihitung menurut aturan yang dibahas di atas;
- Sebenarnya menghitung jumlah atau selisih pecahan yang dihasilkan. Hasilnya, secara praktis kita akan menemukan jawabannya;
- Jika hanya ini yang diperlukan dalam soal, kami melakukan transformasi terbalik, yaitu. Kita menghilangkan pecahan biasa dengan menyorot seluruh bagiannya.
Aturan untuk transisi ke pecahan biasa dan memilih seluruh bagian dijelaskan secara rinci dalam pelajaran “ Apa itu pecahan bilangan" Jika Anda tidak ingat, pastikan untuk mengulanginya. Contoh:
Tugas. Temukan arti dari ungkapan:
Semuanya sederhana di sini. Penyebut dalam setiap ekspresi adalah sama, jadi yang tersisa hanyalah mengubah semua pecahan menjadi pecahan biasa dan menghitungnya. Kami memiliki:
Untuk menyederhanakan perhitungan, saya telah melewatkan beberapa langkah yang jelas pada contoh terakhir.
Catatan kecil tentang dua contoh terbaru, di mana pecahan dengan bagian bilangan bulat yang disorot akan dikurangi. Tanda minus sebelum pecahan kedua berarti seluruh pecahan yang dikurangi, dan bukan hanya sebagian saja.
Baca kembali kalimat ini, lihat contohnya - dan pikirkanlah. Di sinilah para pemula mengakuinya jumlah yang sangat besar kesalahan. Mereka senang memberikan tugas seperti itu tes. Anda juga akan menemukannya beberapa kali dalam tes untuk pelajaran ini, yang akan segera diterbitkan.
Ringkasan: skema perhitungan umum
Kesimpulannya saya akan memberikan algoritma umum, yang akan membantu Anda menemukan jumlah atau selisih dua pecahan atau lebih:
- Jika satu atau lebih pecahan mempunyai bagian bilangan bulat, ubahlah pecahan tersebut menjadi pecahan biasa;
- Bawa semua pecahan ke penyebut yang sama dengan cara apa pun yang nyaman bagi Anda (kecuali, tentu saja, penulis soal melakukan ini);
- Menambah atau mengurangi bilangan yang dihasilkan sesuai dengan aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan yang penyebutnya sama;
- Jika memungkinkan, persingkat hasilnya. Jika pecahannya salah, pilih seluruh bagiannya.
Ingatlah bahwa lebih baik menyorot seluruh bagian di akhir soal, tepat sebelum menuliskan jawabannya.
