• Terjemahan

Properti bilangan prima pertama kali mulai belajar matematika Yunani Kuno. Matematikawan dari aliran Pythagoras (500 - 300 SM) terutama tertarik pada sifat mistik dan numerologi bilangan prima. Merekalah yang pertama kali memunculkan ide tentang angka sempurna dan bersahabat.

Bilangan sempurna mempunyai jumlah pembaginya yang sama dengan bilangan itu sendiri. Misalnya pembagi bilangan 6 adalah 1, 2 dan 3. 1 + 2 + 3 = 6. Pembagi bilangan 28 adalah 1, 2, 4, 7 dan 14. Selain itu, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Bilangan disebut bersahabat jika jumlah pembagi suatu bilangan sama dengan bilangan lain, dan sebaliknya - misalnya 220 dan 284. Kita dapat mengatakan bahwa bilangan sempurna bersahabat dengan bilangan itu sendiri.

Pada masa Elemen Euclid pada tahun 300 SM. beberapa sudah terbukti fakta penting mengenai bilangan prima. Dalam Buku IX Elemen, Euclid membuktikan bahwa ada bilangan prima yang jumlahnya tak terhingga. Omong-omong, ini adalah salah satu contoh pertama penggunaan pembuktian dengan kontradiksi. Dia juga membuktikan Teorema Dasar Aritmatika - setiap bilangan bulat dapat direpresentasikan secara unik sebagai hasil kali bilangan prima.

Ia juga menunjukkan bahwa jika bilangan 2 n -1 bilangan prima, maka bilangan 2 n-1 * (2 n -1) adalah bilangan sempurna. Matematikawan lain, Euler, mampu menunjukkan pada tahun 1747 bahwa semua bilangan sempurna genap dapat ditulis dalam bentuk ini. Sampai hari ini tidak diketahui apakah bilangan ganjil sempurna itu ada.

Pada tahun 200 SM. Eratosthenes Yunani menemukan algoritma untuk menemukan bilangan prima yang disebut Saringan Eratosthenes.

Dan kemudian terjadi terobosan besar dalam sejarah studi bilangan prima, terkait dengan Abad Pertengahan.

Penemuan berikut telah dilakukan pada awal abad ke-17 oleh ahli matematika Fermat. Ia membuktikan dugaan Albert Girard bahwa bilangan prima apa pun berbentuk 4n+1 dapat ditulis secara unik sebagai jumlah dua kuadrat, dan juga merumuskan teorema bahwa bilangan apa pun dapat ditulis sebagai jumlah empat kuadrat.

Dia berkembang metode baru faktorisasi jumlah yang besar, dan mendemonstrasikannya pada bilangan 2027651281 = 44021 × 46061. Ia juga membuktikan Teorema Kecil Fermat: jika p adalah bilangan prima, maka untuk sembarang bilangan bulat a pasti benar bahwa a p = modulo p.

Pernyataan ini membuktikan setengah dari apa yang dikenal sebagai "dugaan Tiongkok" dan berasal dari tahun 2000 yang lalu: bilangan bulat n adalah bilangan prima jika dan hanya jika 2 n -2 habis dibagi n. Hipotesis bagian kedua ternyata salah - misalnya, 2.341 - 2 habis dibagi 341, meskipun bilangan 341 adalah bilangan komposit: 341 = 31 × 11.

Teorema Kecil Fermat menjadi dasar bagi banyak hasil lain dalam teori bilangan dan metode untuk menguji apakah bilangan merupakan bilangan prima - banyak di antaranya masih digunakan hingga saat ini.

Fermat banyak berkorespondensi dengan orang-orang sezamannya, terutama dengan seorang biarawan bernama Maren Mersenne. Dalam salah satu suratnya, ia berhipotesis bahwa bilangan berbentuk 2 n +1 akan selalu prima jika n adalah pangkat dua. Dia mengujinya untuk n = 1, 2, 4, 8 dan 16, dan yakin bahwa dalam kasus di mana n bukan pangkat dua, bilangan tersebut belum tentu prima. Bilangan-bilangan ini disebut bilangan Fermat, dan 100 tahun kemudian Euler menunjukkan bahwa bilangan berikutnya, 2 32 + 1 = 4294967297, habis dibagi 641, dan karenanya bukan bilangan prima.

Bilangan berbentuk 2 n - 1 juga pernah menjadi bahan penelitian, karena mudah untuk menunjukkan bahwa jika n bilangan komposit, maka bilangan itu sendiri juga bilangan komposit. Angka-angka ini disebut bilangan Mersenne karena ia mempelajarinya secara ekstensif.

Namun tidak semua bilangan berbentuk 2 n - 1, dimana n adalah bilangan prima, adalah bilangan prima. Misalnya 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Ini pertama kali ditemukan pada tahun 1536.

Selama bertahun-tahun, bilangan-bilangan semacam ini memberi para matematikawan bilangan prima terbesar yang diketahui. Bahwa M 19 dibuktikan oleh Cataldi pada tahun 1588, dan selama 200 tahun merupakan bilangan prima terbesar yang diketahui, hingga Euler membuktikan bahwa M 31 juga merupakan bilangan prima. Rekor ini bertahan selama seratus tahun berikutnya, dan kemudian Lucas menunjukkan bahwa M 127 adalah bilangan prima (dan ini sudah merupakan bilangan 39 digit), dan setelah itu penelitian dilanjutkan dengan munculnya komputer.

Pada tahun 1952 terbukti keutamaan bilangan M 521, M 607, M 1279, M 2203 dan M 2281.

Pada tahun 2005, 42 bilangan prima Mersenne telah ditemukan. Yang terbesar, M 25964951, terdiri dari 7816230 digit.

Karya Euler berdampak besar pada teori bilangan, termasuk bilangan prima. Dia memperluas Teorema Kecil Fermat dan memperkenalkan fungsi φ. Memfaktorkan bilangan Fermat ke-5 2 32 +1, menemukan 60 pasang bilangan sahabat, dan merumuskannya (tetapi tidak dapat membuktikan) hukum kuadrat timbal balik.

Dialah orang pertama yang memperkenalkan metode analisis matematis dan dikembangkan teori analitis angka. Ia membuktikan bahwa deret harmonik tidak hanya ∑ (1/n), tetapi juga deret yang bentuknya

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Hasil penjumlahan kebalikan bilangan prima juga berbeda. Jumlah n suku deret harmonik tumbuh kira-kira sebesar log(n), dan baris kedua menyimpang lebih lambat sebagai log[ log(n) ]. Artinya, misalnya, jumlahnya timbal balik semua bilangan prima yang ditemukan sampai saat ini hanya akan menghasilkan 4, meskipun deretnya masih berbeda.

Pada pandangan pertama, nampaknya bilangan prima terdistribusi secara acak di antara bilangan bulat. Misalnya, di antara 100 bilangan tepat sebelum 10.000.000 terdapat 9 bilangan prima, dan di antara 100 bilangan tepat setelah nilai ini hanya ada 2. Namun pada segmen yang besar, bilangan prima tersebar cukup merata. Legendre dan Gauss menangani masalah distribusinya. Gauss pernah berkata kepada temannya bahwa dalam waktu luang 15 menit apa pun dia selalu menghitung jumlah bilangan prima pada 1000 bilangan berikutnya. Pada akhir hidupnya, ia telah menghitung semua bilangan prima hingga 3 juta. Legendre dan Gauss sama-sama menghitung bahwa untuk n besar kepadatan prima adalah 1/log(n). Legendre memperkirakan jumlah bilangan prima dalam rentang 1 sampai n sebagai

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Dan Gauss seperti integral logaritma

π(n) = ∫ 1/log(t)dt

Dengan interval integrasi dari 2 hingga n.

Pernyataan tentang massa jenis bilangan prima 1/log(n) dikenal dengan Teorema Distribusi Prima. Mereka mencoba membuktikannya sepanjang abad ke-19, dan kemajuan dicapai oleh Chebyshev dan Riemann. Mereka menghubungkannya dengan hipotesis Riemann, hipotesis yang masih belum terbukti tentang distribusi angka nol pada fungsi Riemann zeta. Kepadatan bilangan prima dibuktikan secara bersamaan oleh Hadamard dan Vallée-Poussin pada tahun 1896.

Masih banyak pertanyaan yang belum terpecahkan dalam teori bilangan prima, beberapa di antaranya sudah berusia ratusan tahun:

• Hipotesis prima kembar adalah tentang pasangan bilangan prima yang jumlahnya tak terhingga dan berbeda satu sama lain sebesar 2
• Dugaan Goldbach: bilangan genap apa pun, dimulai dengan 4, dapat direpresentasikan sebagai jumlah dua bilangan prima
• Apakah ada bilangan prima yang bentuknya n 2 + 1 tak terhingga?
• Apakah selalu mungkin menemukan bilangan prima antara n 2 dan (n + 1) 2? (fakta bahwa selalu ada bilangan prima antara n dan 2n dibuktikan oleh Chebyshev)
• Apakah jumlah bilangan prima Fermat tidak terbatas? Apakah ada bilangan prima Fermat setelah 4?
• apakah itu ada perkembangan aritmatika bilangan prima berurutan untuk panjang tertentu? misalnya untuk panjang 4: 251, 257, 263, 269. Panjang maksimum yang ditemukan adalah 26.
• Apakah ada himpunan tiga bilangan prima berurutan yang jumlahnya tak terhingga dalam barisan aritmatika?
• n 2 - n + 41 adalah bilangan prima untuk 0 ≤ n ≤ 40. Adakah bilangan prima seperti itu yang jumlahnya tak terhingga? Pertanyaan yang sama untuk rumus n 2 - 79 n + 1601. Bilangan-bilangan ini merupakan bilangan prima untuk 0 ≤ n ≤ 79.
• Apakah ada bilangan prima berbentuk n# + 1 yang tak terhingga? (n# adalah hasil perkalian semua bilangan prima yang kurang dari n)
• Apakah ada bilangan prima berbentuk n# -1 yang tak terhingga?
• Apakah ada bilangan prima berbentuk n yang tak terhingga? + 1?
• Apakah ada bilangan prima berbentuk n yang tak terhingga? – 1?
• jika p bilangan prima, apakah 2 p -1 selalu tidak mengandung kuadrat prima di antara faktor-faktornya?
• apakah barisan Fibonacci mengandung bilangan prima yang jumlahnya tak terhingga?

Bilangan prima kembar terbesar adalah 2003663613 × 2 195000 ± 1. Bilangan prima tersebut terdiri dari 58711 digit dan ditemukan pada tahun 2007.

Bilangan prima faktorial terbesar (tipe n!±1) adalah 147855! - 1. Terdiri dari 142891 digit dan ditemukan pada tahun 2002.

Bilangan prima primordial terbesar (bilangan berbentuk n# ± 1) adalah 1098133# + 1.

Definisi 1. Bilangan prima− adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu yang hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri dan 1.

Dengan kata lain, suatu bilangan dikatakan prima jika hanya mempunyai dua bilangan berbeda pembagi alami.

Definisi 2. Setiap bilangan asli yang mempunyai pembagi lain selain bilangan itu sendiri dan bilangan satu disebut sebuah bilangan komposit.

Dengan kata lain, bilangan asli yang bukan bilangan prima disebut bilangan komposit. Dari Definisi 1 berikut ini bilangan komposit mempunyai lebih dari dua pembagi alami. Bilangan 1 bukan bilangan prima dan bukan bilangan komposit karena hanya memiliki satu pembagi 1 dan, sebagai tambahan, banyak teorema mengenai bilangan prima tidak berlaku untuk kesatuan.

Dari Definisi 1 dan 2 dapat disimpulkan bahwa setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 adalah bilangan prima atau bilangan komposit.

Di bawah ini adalah program untuk menampilkan bilangan prima hingga 5000. Isi selnya, klik tombol "Buat" dan tunggu beberapa detik.

Tabel bilangan prima

Penyataan 1. Jika P- bilangan prima dan A bilangan bulat apa pun, lalu salah satunya A dibagi dengan P, atau P Dan A bilangan koprima.

Benar-benar. Jika P Suatu bilangan prima hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri dan 1 jika A tidak habis dibagi P, lalu yang terbesar pembagi persekutuan A Dan P sama dengan 1. Lalu P Dan A bilangan koprima.

Penyataan 2. Jika hasil kali beberapa bilangan adalah bilangan A 1 , A 2 , A 3, ... habis dibagi bilangan prima P, maka setidaknya salah satu angkanya A 1 , A 2 , A 3, ... habis dibagi P.

Benar-benar. Jika tidak ada satupun bilangan yang habis dibagi P, lalu angkanya A 1 , A 2 , A 3, ... akan menjadi bilangan koprima terhadap P. Tapi dari Akibat wajar 3 () berikut ini produk mereka A 1 , A 2 , A 3, ... juga relatif prima terhadap P, yang bertentangan dengan ketentuan pernyataan. Oleh karena itu, paling sedikit salah satu bilangan tersebut habis dibagi P.

Dalil 1. Bilangan komposit apa pun selalu dapat direpresentasikan dan, terlebih lagi, satu-satunya cara sebagai hasil kali sejumlah bilangan prima berhingga.

Bukti. Membiarkan k bilangan komposit, dan biarkan A 1 adalah salah satu pembaginya yang berbeda dari 1 dan dirinya sendiri. Jika A 1 adalah komposit, kemudian memiliki tambahan 1 dan A 1 dan pembagi lainnya A 2. Jika A 2 adalah bilangan komposit, maka ia mempunyai tambahan 1 dan A 2 dan pembagi lainnya A 3. Bernalar dengan cara ini dan memperhitungkan angka-angka itu A 1 , A 2 , A 3 , ... menurun dan seri ini berisi nomor akhir anggota, kita akan mencapai suatu bilangan prima P 1. Kemudian k dapat direpresentasikan dalam bentuk

Misalkan ada dua penguraian suatu bilangan k:

Karena k=p 1 P 2 P 3... habis dibagi bilangan prima Q 1, maka paling sedikit salah satu faktornya, misalnya P 1 habis dibagi Q 1. Tetapi P 1 adalah bilangan prima dan hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri. Karena itu P 1 =Q 1 (karena Q 1 ≠1)

Kemudian dari (2) kita dapat mengecualikan P 1 dan Q 1:

Jadi, kita yakin bahwa setiap bilangan prima yang muncul sebagai faktor pada pemuaian pertama satu kali atau lebih juga muncul pada pemuaian kedua paling sedikit sebanyak kali, dan sebaliknya, bilangan prima apa pun yang muncul sebagai faktor pada pemuaian kedua satu kali atau lebih juga muncul dalam perluasan pertama setidaknya dalam jumlah yang sama. Oleh karena itu, bilangan prima apa pun dimasukkan sebagai faktor dalam kedua perluasan tersebut nomor yang sama kali dan dengan demikian kedua perluasan ini adalah sama.■

Perluasan bilangan komposit k dapat ditulis dalam bentuk berikut

Di mana P 1 , P 2, ... berbagai bilangan prima, α, β, γ ... bilangan bulat positif.

Ekspansi (3) disebut perluasan kanonik angka.

Bilangan prima muncul secara tidak merata dalam rangkaian bilangan asli. Di beberapa bagian baris jumlahnya lebih banyak, di bagian lain - lebih sedikit. Semakin jauh kita melangkah seri angka, bilangan prima yang kurang umum adalah. Timbul pertanyaan, apakah ada bilangan prima terbesar? Matematikawan Yunani kuno Euclid membuktikan bahwa bilangan prima ada tak terhingga banyaknya. Buktinya kami sajikan di bawah ini.

Dalil 2. Jumlah bilangan prima tidak terbatas.

Bukti. Misalkan ada sejumlah bilangan prima yang berhingga, dan biarkan bilangan prima terbesar menjadi P. Mari kita anggap semua angka lebih besar P. Berdasarkan asumsi pernyataan tersebut, bilangan-bilangan tersebut harus bilangan komposit dan harus habis dibagi oleh paling sedikit salah satu bilangan prima. Mari kita pilih bilangan yang merupakan hasil kali semua bilangan prima berikut ditambah 1:

Nomor z lagi P Karena 2p sudah lebih P. P tidak habis dibagi oleh salah satu bilangan prima tersebut, karena bila dibagi masing-masing memberikan sisa 1. Jadi kita sampai pada kontradiksi. Oleh karena itu, jumlah bilangan prima tidak terhingga.

Teorema ini merupakan kasus khusus dari teorema yang lebih umum:

Dalil 3. Biarkan perkembangan aritmatika diberikan

Maka bilangan prima apa pun yang termasuk di dalamnya N, harus disertakan dalam M, oleh karena itu di N yang lain tidak bisa masuk faktor prima, yang tidak termasuk dalam M dan, terlebih lagi, faktor-faktor prima ini N disertakan tidak lebih dari pada M.

Hal sebaliknya juga terjadi. Jika setiap faktor prima suatu bilangan N disertakan setidaknya berkali-kali dalam nomor tersebut M, Itu M dibagi dengan N.

Penyataan 3. Membiarkan A 1 ,A 2 ,A 3,...berbagai bilangan prima yang termasuk di dalamnya M Jadi

Di mana Saya=0,1,...α , J=0,1,...,β ,k=0,1,..., γ . Perhatikan itu saya menerima α nilai +1, β j menerima β nilai +1, γ k menerima γ nilai +1, ... .

Keindahan angka. Antiprima

• Sains Populer

Bilangan 60 mempunyai dua belas pembagi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Semua orang tahu tentang properti yang luar biasa bilangan prima yang hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri dan satu. Angka-angka ini sangat berguna. Bilangan prima yang relatif besar (dari sekitar 10.300) digunakan dalam kriptografi dengan buka dengan kunci, dalam tabel hash, untuk menghasilkan angka pseudo-acak, dll. Selain manfaatnya yang besar untuk peradaban manusia, ini spesial Angka-angkanya luar biasa indah:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199...

Misalnya bilangan 12 mempunyai enam pembagi: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Ini merupakan jumlah yang berlebihan karena

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 (16 > 12)

Sistem duodesimal yang mudah digunakan digunakan dalam beberapa hal sistem moneter, termasuk di kerajaan Rusia kuno(12 setengah rubel = 1 altyn = 2 ryazanka = 3 novgorodka = 4 uang Tver = 6 koin Moskow). Seperti yang Anda lihat, jumlah pembagi yang banyak sangatlah penting kualitas penting dalam kondisi dari mana koin berasal sistem yang berbeda harus direduksi menjadi satu denominasi.

Jumlah berlebihan yang besar berguna di bidang lain. Sebagai contoh, mari kita ambil angka 5040. Ini dalam beberapa hal adalah angka unik, berikut adalah angka pertama dari daftar pembaginya:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 56, 60, 63, 70, 72, 80, 84, 90, 105, 112, 120, 126, 140, 144, 168, 180, 210, 240, 252, 280, 315, 336, 360, 420, 504, 560, 630, 720, 840, 1008, 1260, 1680, 2520, 5040

5040 adalah angka ideal untuk studi perkotaan, politik, sosiologi, dll. Pemikir Athena, Plato, memperhatikan hal ini 2300 tahun yang lalu. Di miliknya pekerjaan mendasar"Hukum" Plato menulis bahwa dalam republik aristokrat yang ideal harus ada 5.040 warga negara, karena jumlah warga negara tersebut dapat dibagi menjadi sejumlah kelompok yang setara, hingga sepuluh, tanpa kecuali. Oleh karena itu, dalam sistem seperti itu akan lebih mudah untuk merencanakan hierarki manajerial dan perwakilan.

Tentu saja ini idealisme dan utopia, tetapi menggunakan angka 5040 sebenarnya sangat nyaman. Jika sebuah kota memiliki 5.040 penduduk, maka akan lebih mudah untuk membaginya menjadi distrik-distrik yang setara, merencanakan sejumlah fasilitas layanan untuk jumlah penduduk yang sama, dan memilih badan perwakilan melalui pemungutan suara.

Bilangan yang sangat kompleks dan sangat mubazir disebut “antiprima”. Jika kita ingin memberikan definisi yang jelas, maka kita dapat mengatakan bahwa bilangan antiprima adalah bilangan bulat positif yang memiliki faktor lebih banyak daripada bilangan bulat yang lebih kecil darinya.

Berdasarkan definisi ini, bilangan antiprima terkecil selain satu adalah 2 (dua pembagi), 4 (tiga pembagi). Berikut ini adalah:

6 (empat pembagi), 12 (enam pembagi), 24, 36, 48, 60 (jumlah menit dalam satu jam), 120, 180, 240, 360 (jumlah derajat dalam lingkaran), 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, 10080, 15120, 20160, 25200, 27720, 45360, 50400

Nomor-nomor inilah yang nyaman digunakan permainan papan dengan kartu, chip, uang, dll. Misalnya, mereka mengizinkan Anda mendistribusikan jumlah kartu, chip, uang yang sama jumlah yang berbeda pemain. Untuk alasan yang sama, mereka mudah digunakan untuk membuat kelas anak sekolah atau siswa - misalnya, untuk membagi mereka menjadi kelompok identik dalam jumlah yang sama untuk menyelesaikan tugas. Untuk jumlah pemain dalam tim olahraga. Untuk jumlah tim di liga. Untuk jumlah penduduk di kota (seperti yang dibahas di atas). Untuk unit administrasi di suatu kota, wilayah, negara.

Seperti dapat dilihat dari contoh, banyak antiprima yang secara de facto sudah digunakan dalam perangkat praktis dan sistem bilangan. Misalnya angka 60 dan 360. Hal ini cukup bisa ditebak mengingat kemudahan yang dimilikinya jumlah besar jangka pembagi garis.

Keindahan antiprima dapat diperdebatkan. Meskipun bilangan prima memang indah, bilangan anti-prima mungkin tampak menjijikkan bagi sebagian orang. Namun ini hanyalah kesan yang dangkal. Mari kita lihat mereka dari sisi lain. Bagaimanapun, dasar dari bilangan-bilangan ini adalah bilangan prima. Dari bilangan prima, seolah-olah dari bahan penyusun, bilangan komposit, bilangan redundan, dan mahkota ciptaan dibuat - bilangan antiprima.

Teorema Dasar Aritmatika menyatakan bahwa bilangan komposit apa pun dapat direpresentasikan sebagai hasil kali beberapa faktor prima. Misalnya,

30 = 2×3×5
550 = 2×5 2×11,

Jadi antiprima juga memiliki keindahan tersendiri.

Bilangan-bilangan itu berbeda-beda: natural, rasional, rasional, bilangan bulat dan pecahan, positif dan negatif, kompleks dan prima, ganjil dan genap, nyata, dll. Dari artikel ini Anda bisa mengetahui apa itu bilangan prima.

Angka apa yang disebut “sederhana” dalam bahasa Inggris?

Seringkali, anak sekolah tidak mengetahui bagaimana menjawab salah satu pertanyaan paling sederhana dalam matematika, tentang apa itu bilangan prima. Mereka sering mengacaukan bilangan prima dengan bilangan asli (yaitu bilangan yang digunakan orang saat menghitung benda, sementara di beberapa sumber dimulai dengan nol, dan di sumber lain dimulai dengan satu). Tapi itu sepenuhnya dua konsep yang berbeda. Bilangan prima adalah bilangan asli, yaitu bilangan bulat dan bilangan positif yang lebih besar dari satu dan hanya mempunyai 2 pembagi alami. Apalagi salah satu pembagi tersebut adalah nomor yang diberikan, dan yang kedua adalah satu. Misalnya, tiga adalah bilangan prima karena tidak dapat dibagi tanpa sisa oleh bilangan lain selain bilangan itu sendiri dan satu.

Bilangan komposit

Kebalikan dari bilangan prima adalah bilangan komposit. Mereka juga alami, juga lebih besar dari satu, tapi bukan dua, tapi lagi jangka pembagi garis. Jadi, misalnya bilangan 4, 6, 8, 9, dst adalah bilangan asli, bilangan komposit, tetapi bukan bilangan prima. Seperti yang Anda lihat, sebagian besar bilangan genap, tetapi tidak semua. Namun “dua” adalah bilangan genap dan “bilangan pertama” dalam rangkaian bilangan prima.

Selanjutnya

Untuk menyusun rangkaian bilangan prima, perlu untuk memilih dari semua bilangan asli, dengan mempertimbangkan definisinya, yaitu, Anda harus bertindak dengan kontradiksi. Penting untuk mempertimbangkan masing-masing yang alami angka positif untuk melihat apakah ia memiliki lebih dari dua pembagi. Mari kita coba membuat deret (deretan) yang terdiri dari bilangan prima. Daftarnya dimulai dengan dua, diikuti dengan tiga, karena hanya habis dibagi dengan dirinya sendiri dan satu. Perhatikan angka empat. Apakah ada pembaginya selain empat dan satu? Ya, bilangan itu adalah 2. Jadi empat bukanlah bilangan prima. Lima juga bilangan prima (tidak habis dibagi bilangan lain, kecuali 1 dan 5), tetapi enam habis dibagi. Dan secara umum, jika Anda mengikuti semua bilangan genap, Anda akan melihat bahwa kecuali “dua”, tidak ada satupun bilangan prima. Dari sini kita menyimpulkan bahwa bilangan genap, kecuali dua, bukanlah bilangan prima. Penemuan lain: semua bilangan habis dibagi tiga, kecuali tiga itu sendiri, baik genap maupun ganjil, juga bukan bilangan prima (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, dst). Begitu pula dengan bilangan yang habis dibagi lima dan tujuh. Keseluruhan jumlahnya juga tidak sederhana. Mari kita rangkum. Jadi, untuk yang sederhana angka satu digit Semua bilangan ganjil disertakan kecuali satu dan sembilan, dan “dua” genap adalah bilangan genap. Puluhan itu sendiri (10, 20,... 40, dst.) tidaklah sederhana. Bilangan prima dua digit, tiga digit, dst. dapat ditentukan berdasarkan prinsip di atas: jika bilangan tersebut tidak memiliki pembagi lain selain dirinya sendiri dan satu.

Teori tentang sifat-sifat bilangan prima

Ada ilmu yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat, termasuk bilangan prima. Ini adalah cabang matematika yang disebut lebih tinggi. Selain sifat-sifat bilangan bulat, ia juga mempelajari sifat-sifat aljabar, angka transendental, serta fungsinya dari berbagai asal terkait dengan aritmatika angka-angka ini. Dalam studi ini, selain SD dan metode aljabar, analitis dan geometris juga digunakan. Secara khusus, “Teori Bilangan” berkaitan dengan studi tentang bilangan prima.

Bilangan prima adalah “bahan penyusun” bilangan asli

Dalam aritmatika ada teorema yang disebut teorema fundamental. Menurutnya, bilangan asli apa pun, kecuali satu, dapat direpresentasikan sebagai suatu produk yang faktor-faktornya merupakan bilangan prima, dan urutan faktor-faktornya unik, artinya cara representasinya juga unik. Ini disebut dekomposisi bilangan asli menjadi faktor prima. Ada nama lain untuk proses ini - faktorisasi bilangan. Berdasarkan hal ini, bilangan prima dapat disebut “bahan bangunan”, “balok” untuk menyusun bilangan asli.

Cari bilangan prima. Tes kesederhanaan

Banyak ilmuwan dari berbagai zaman mencoba menemukan beberapa prinsip (sistem) untuk menemukan daftar bilangan prima. Ilmu pengetahuan mengetahui sistem yang disebut saringan Atkin, saringan Sundartham, dan saringan Eratosthenes. Namun, mereka tidak memberikan hasil yang signifikan, dan kami menggunakan bilangan prima untuk mencarinya pemeriksaan sederhana. Matematikawan juga menciptakan algoritma. Biasanya disebut tes primalitas. Misalnya saja tes yang dikembangkan oleh Rabin dan Miller. Ini digunakan oleh kriptografer. Ada juga tes Kayal-Agrawal-Sasquena. Namun, meskipun cukup akurat, perhitungannya sangat sulit, sehingga mengurangi signifikansi praktisnya.

Apakah himpunan bilangan prima mempunyai limit?

Orang Yunani kuno menulis dalam bukunya “Principles” bahwa himpunan bilangan prima adalah tak terhingga. ilmuwan Euclid. Dia mengatakan ini: “Mari kita bayangkan sejenak bahwa bilangan prima mempunyai batas. Lalu mari kita kalikan satu sama lain, dan tambahkan satu ke hasil perkaliannya. Jumlah yang dihasilkan dari ini tindakan sederhana, tidak dapat dibagi oleh salah satu deret bilangan prima mana pun, karena sisanya selalu satu. Artinya masih ada bilangan lain yang belum termasuk dalam daftar bilangan prima. Oleh karena itu, asumsi kami tidak benar, dan himpunan ini tidak memiliki batas. Selain bukti Euclid, masih ada lagi rumus modern, diberikan oleh matematikawan Swiss abad kedelapan belas Leonhard Euler. Menurutnya, jumlah kebalikan dari jumlah n bilangan pertama bertambah tanpa batas seiring bertambahnya bilangan n. Dan berikut rumus teorema sebaran bilangan prima: (n) bertambah n/ln (n).

Berapakah bilangan prima terbesar?

Leonard Euler yang sama mampu menemukan bilangan prima terbesar pada masanya. Ini adalah 2 31 - 1 = 2147483647. Namun, pada tahun 2013, bilangan prima terbesar lainnya yang paling akurat telah dihitung - 2 57885161 - 1. Ini disebut bilangan Mersenne. Ini berisi sekitar 17 juta digit desimal. Seperti yang Anda lihat, jumlah yang ditemukan oleh ilmuwan abad kedelapan belas jauh lebih kecil dari jumlah ini. Seharusnya begitu, karena Euler melakukan perhitungan ini secara manual, tetapi orang sezaman kita mungkin terbantu olehnya komputer. Apalagi nomor tersebut didapat di Fakultas Matematika salah satu jurusan Amerika. Nomor yang dinamai ilmuwan ini lulus uji primalitas Luc-Lemaire. Namun ilmu pengetahuan tidak mau berhenti sampai disitu saja. Electronic Frontier Foundation, yang didirikan pada tahun 1990 di Amerika Serikat (EFF), telah menawarkan imbalan berupa uang untuk menemukan bilangan prima yang besar. Dan jika hingga tahun 2013 hadiah tersebut diberikan kepada para ilmuwan yang menemukan mereka dari antara 1 dan 10 juta angka desimal, maka saat ini angkanya sudah mencapai 100 juta hingga 1 miliar. Hadiahnya berkisar antara 150 hingga 250 ribu dollar AS.

Nama-nama bilangan prima khusus

Angka-angka yang ditemukan berkat algoritma yang dibuat oleh ilmuwan tertentu dan lulus uji kesederhanaan disebut bilangan istimewa. Berikut beberapa di antaranya:

1. Mersen.

4. Cullen.

6. Pabrik dkk.

Kesederhanaan angka-angka ini, yang dinamai menurut nama para ilmuwan di atas, ditentukan dengan menggunakan tes berikut:

1.Luc-Lemaire.

2. pepina.

3. Risel.

4. Billhart - Lemaire - Selfridge dan lain-lain.

Ilmu pengetahuan modern tidak berhenti di situ, dan mungkin dalam waktu dekat dunia akan mengetahui nama-nama orang yang mampu menerima hadiah $250.000 dengan menemukan bilangan prima terbesar.

Semua bilangan asli, kecuali satu, terbagi menjadi bilangan prima dan komposit. Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya mempunyai dua pembagi: satu dan bilangan itu sendiri. Yang lainnya disebut komposit. Sifat-sifat bilangan prima dipelajari oleh cabang khusus matematika - teori bilangan. Dalam teori ring, bilangan prima berkaitan dengan unsur-unsur yang tidak dapat direduksi.

Berikut barisan bilangan prima yang dimulai dari 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ... dst.

Menurut teorema dasar aritmatika, setiap bilangan asli yang lebih besar dari satu dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan prima. Pada saat yang sama, ini adalah satu-satunya cara untuk merepresentasikan bilangan asli hingga urutan faktornya. Berdasarkan hal tersebut, kita dapat mengatakan bahwa bilangan prima adalah bagian dasar dari bilangan asli.

Representasi bilangan asli ini disebut penguraian bilangan asli menjadi bilangan prima atau faktorisasi suatu bilangan.

Salah satu yang paling kuno dan cara yang efektif Perhitungan bilangan prima adalah “saringan Erasstophenes”.

Praktek telah menunjukkan bahwa setelah menghitung bilangan prima menggunakan saringan Erastophenes, perlu untuk memeriksa apakah bilangan tersebut adalah bilangan prima. Dirancang untuk tujuan ini tes khusus, yang disebut tes primalitas. Algoritme pengujian ini bersifat probabilistik. Mereka paling sering digunakan dalam kriptografi.

Omong-omong, untuk beberapa kelas angka terdapat tes primalitas khusus yang efektif. Misalnya untuk memeriksa primalitas bilangan Mersenne digunakan uji Luc-Lehmer, dan untuk memeriksa primalitas bilangan Fermat digunakan uji Pepin.

Kita semua tahu bahwa jumlahnya tak terhingga banyaknya. Pertanyaan yang tepat muncul: ada berapa bilangan prima? Ada juga bilangan prima yang jumlahnya tak terhingga. Bukti paling kuno dari proposisi ini adalah bukti Euclid, yang dituangkan dalam Elemen. Bukti Euclid terlihat seperti ini:

Bayangkan banyaknya bilangan prima berhingga. Mari kalikan dan tambahkan satu. Bilangan yang dihasilkan tidak dapat dibagi dengan himpunan bilangan prima berhingga mana pun, karena sisa pembagian dengan himpunan bilangan prima tersebut menghasilkan satu. Jadi, bilangan tersebut harus habis dibagi oleh suatu bilangan prima yang tidak termasuk dalam himpunan ini.

Teorema distribusi bilangan prima menyatakan bahwa banyaknya bilangan prima yang kurang dari n, dilambangkan dengan π(n), bertambah sebagai n / ln(n).

Setelah ribuan tahun mempelajari bilangan prima, bilangan prima terbesar yang diketahui adalah 243112609 − 1. Bilangan ini memiliki 12.978.189 angka desimal dan merupakan bilangan prima Mersenne (M43112609). Penemuan ini dilakukan pada tanggal 23 Agustus 2008 pukul Fakultas Matematika Universitas uCLA sebagai bagian dari GIMPS mendistribusikan pencarian untuk proyek bilangan prima Mersenne.

Rumah ciri khas Bilangan Mersenne adalah adanya uji primalitas Luc-Lemaire yang sangat efektif. Dengan bantuannya, Mersenne menjadi primadona jangka waktu yang lama waktu adalah bilangan prima terbesar yang diketahui.

Namun hingga saat ini, banyak pertanyaan mengenai bilangan prima yang belum mendapat jawaban pasti. Pada Kongres Internasional Matematika ke-5, Edmund Landau merumuskan permasalahan pokok dalam bidang bilangan prima:

Masalah Goldbach atau masalah Landau yang pertama adalah perlu dibuktikan atau disangkal bahwa setiap bilangan genap yang lebih besar dari dua dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari dua bilangan prima, dan setiap angka ganjil, lebih besar dari 5, dapat direpresentasikan sebagai jumlah tiga sederhana angka.
Masalah kedua Landau memerlukan jawaban atas pertanyaan: apakah himpunan “kembar prima” - bilangan prima yang selisihnya 2 - tak terhingga?
Dugaan Legendre atau permasalahan ketiga Landau adalah: benarkah antara n2 dan (n+1)2 selalu ada bilangan prima?
Masalah keempat Landau: apakah himpunan bilangan prima berbentuk n2 + 1 tak terhingga?
Selain permasalahan di atas, terdapat pula permasalahan penentuan jumlah yang tak terbatas bilangan prima dalam banyak barisan bilangan bulat seperti bilangan Fibonacci, bilangan Fermat, dll.