1. Konsep dasar teori medan

Teori lapangan mendasari banyak konsep fisika modern, mekanika, matematika. Konsep utamanya adalah gradien, aliran, potensial, rotor, divergensi, sirkulasi, dll. Konsep-konsep ini juga penting dalam menguasai ide-ide dasar. analisis matematis fungsi dari banyak variabel.

Bidang adalah suatu wilayah ruang G, yang pada setiap titiknya ditentukan nilai besaran tertentu.

DI DALAM masalah fisik Biasanya ada dua jenis besaran: skalar dan vektor. Sesuai dengan ini, dua jenis bidang dipertimbangkan.

Jika setiap titik M di wilayah ini dikaitkan dengan bilangan tertentu U(M), dikatakan demikian di

luas diberikan (ditentukan) bidang skalar. Contoh medan skalar adalah medan suhu di dalam suatu benda yang dipanaskan (di setiap titik M benda tersebut suhu yang sesuai U (M) ditentukan), medan

iluminasi yang diciptakan oleh sumber cahaya apa pun. Biarkan sistem diperbaiki di luar angkasa

koordinat titik M dalam sistem koordinat ini. Nilai fungsiU(x,y,z) bertepatan dengan nilai bidangU(M),

oleh karena itu, simbol yang sama dipertahankan untuknya.

Jika setiap titik M pada luas tertentu dihubungkan dengan vektor tertentu (M), maka dikatakan demikian

bidang vektor ditentukan. Salah satu contoh medan vektor adalah medan kecepatan aliran fluida stasioner. Didefinisikan sebagai berikut: misalkan daerah G diisi dengan zat cair yang mengalir pada setiap titik c

beberapa kecepatan v, tidak bergantung pada waktu (tapi

berbeda, secara umum, di poin yang berbeda); Dengan menugaskan vektorv (M) ke setiap titik M dari G, kita memperoleh medan vektor yang disebut medan kecepatan.

Jika a(M) adalah suatu bidang vektor di

ruang, maka dengan mengambil sistem koordinat Cartesius persegi panjang tetap di ruang ini, kita bisa

mewakili a(M) sebagai tripel skalar terurut

fungsi: a (M) = (P (x,y,z),Q (x,y,z),R (x,y,z)). Ini

Jika fungsi U(M) (ora(M)) tidak bergantung pada

waktu, maka bidang skalar (vektor) disebut stasioner; bidang yang berubah seiring waktu disebut non-stasioner. Di bawah ini kami hanya akan mempertimbangkan bidang stasioner.

2. Ciri-ciri dasar bidang skalar dan vektor

Vektor yang koordinatnya merupakan nilai turunan parsial fungsi U (x,y,z) di titik

M (x,y,z) disebut gradien fungsi dan dilambangkan

lulusanU (x,y,z), mis.
	∂U(M)	∂U(M)	∂U(M)
lulusanU (x ,y ,z ) =	∂U(M)	∂U(M)	∂U(M)
	∂x	∂y	∂z

Diketahui gradien di titik M menentukan arah kenaikan tercepat pada fungsi U (x,y,z). Mereka mengatakan bahwa medan skalar yang dihasilkan U

bidang gradien vektor U.

Garis gradienbidang skalar U(M) dipanggil

setiap kurva yang garis singgungnya pada setiap titik berarah sepanjang gradU pada titik tersebut.

Jadi, garis gradien bidang adalah garis-garis di mana bidang berubah paling cepat.

Untuk merumuskan sifat lain dari gradien, mari kita ingat kembali definisi permukaan datar.

Permukaan rata fungsi (bidang)U =U (x,y,z)

adalah permukaan di mana fungsi (bidang) dipertahankan nilai konstan. Persamaan permukaan datar berbentuk U (x,y,z) =C.

Jadi, pada setiap titik medan, gradien diarahkan sepanjang garis normal ke permukaan datar yang melalui titik tersebut.

Aliran Π bidang vektor a = (P ,Q ,R ) melalui

permukaan σ disebut integral permukaan

∫∫ (P cosα + Q cosβ + R cosγ )dS

atau singkatnya ∫∫ a n dS, dimana melalui n = (cosα, cosβ, cosγ)

ditunjuk vektor satuan normal terhadap permukaan σ, menentukan sisinya.

Divergensi bidang vektora (M) in
		sebuah ns
disebut batas

	v→ 0
wilayah Ω G mengandung		titik M, dan σ
wilayah Ω, yang dilambangkan dengan diva(M).
Jika pribadi	turunan		∂P,	∂Q,	∂R
			∂x	∂y	∂z

kalau begitu, itu kontinu

∂P+

∂Q+

∂R.

div a(M) =

∂x

∂y

∂z

Rotor (atau pusaran) bidang vektora = (P,Q,R)

vektor berikutnya disebut

∂R

∂Q

∂P

∂R

∂Q

∂P

membusuk a

∂y

∂z

∂x

∂y

Lebih mudah untuk menulis ikal bidang vektor dalam bentuk

penentu simbolis

membusuk a =

∂x

∂y

∂z

dimana di bawah perkalian salah satu simbol

∂x

∂z

∂y

beberapa

dipahami

eksekusi

sesuai

operasi

diferensiasi

(Misalnya,

Q berarti

∂Q

∂x

Misalkan L adalah kurva tertutup dalam domain Ω. Integral

∫ P dx+ Q dy+ R dz

disebut sirkulasi lapangana = (P ,Q ,R )

sepanjang kurva L dan

dilambangkan dengan

∫ dan r,

d r = (dx, dy, dz) .

3. Rumus Stokes dan Ostrogradsky-Gauss

Mari kita nyatakan dengan L suatu kontur tertutup tertentu, dan σ permukaan yang direntang oleh kontur tersebut.

Diasumsikan bahwa pilihan arah pada kontur konsisten dengan pilihan sisi permukaan (saat melintasi kontur pada arah yang dipilih, sisi yang dipilih berada di sebelah kiri).

Rumus Stokes mengatakan bahwa sirkulasi medan vektor sepanjang kontur tertentu sama dengan fluks rotor medan vektor melalui permukaan yang direntangkan pada kontur tersebut.

Biarkan sekarang Ω ditutup wilayah terbatas, aσ adalah batas area ini. Maka itu adil

σ Ω

Ingatlah bahwa integral permukaan di sisi kiri rumus (5) diambil sesuai dengan di luar permukaan σ.

Rumus Ostrogradsky-Gauss berarti demikian integral rangkap tiga di atas area dari divergensi medan vektor sama dengan aliran bidang ini melalui permukaan yang membatasi area ini.

4. Operator Hamilton. Beberapa jenis bidang skalar dan vektor

Matematikawan dan mekanik Inggris Hamilton memperkenalkan operator diferensial vektor


∂x	∂y	∂z

disebut operator nabla.

Perlu segera dicatat bahwa analogi antara vektor simbolik dan vektor “nyata” tidaklah demikian

menyelesaikan. Yakni rumus yang mengandung vektor simbolik mirip dengan rumus biasa aljabar vektor dalam hal tidak memuat karya variabel(skalar dan vektor), yaitu sampai Anda harus menerapkan diferensiasi yang termasuk dalam operasi pada hasil kali besaran variabel.

Menggunakan vektor nabla, gradien bidang skalar

Kemanfaatan memperkenalkan vektor simbolik terletak pada kenyataan bahwa dengan bantuannya akan lebih mudah untuk memperoleh dan menulis berbagai formula analisis vektor.

Mari kita tunjukkan ini dengan contoh.

Soal 1. Buktikan bahwa gradien medan skalar U (M) rotor sama dengan 0, yaitu rot(gradU) = 0.

Mari kita buktikan persamaan ini terlebih dahulu tanpa menggunakan operator Hamilton. Dengan demikian,

membusuk(lulusanU) = membusuk	∂U(M)	, ∂U (M) ,	∂U (M) =

	∂x	∂y	∂z

∂ ∂

= ∂ x∂ y∂ U∂ U

∂x∂y

∂z

∂U

∂z ∂y

∂x ∂z

∂y ∂z

∂z ∂x

∂z

∂y ∂x

∂x ∂y

k = 0,

karena, menurut teorema Schwarz, turunan campuran kontinu adalah sama.

Sekarang, dengan menggunakan bentuk penulisan gradien (7) dan rotor (9), kita mendapatkan rot(gradU ) =× U .

Karena vektor U (hasil kali suatu vektor dan skalar U) segaris terhadap vektor tersebut, maka vektornya

produknya 0.

Tugas 2. Tuliskan divergensi div gradien bidang skalar(gradU ) menggunakan.

Membentuk perbedaan dari gradU, kita dapatkan

div(lulusanU) = div	∂ kamu s i + ∂ kamu s j +		∂ U k s =

∂x		∂y	∂z

= ∂ 2 U + ∂ 2 U + ∂ 2 U . ∂ x 2∂ y 2∂ z 2

Operator	∂2	∂2	∂2	disebut operator
	∂x2	∂y 2	∂z 2

Laplace dan dilambangkan dengan simbol:

= ∂ 2+ ∂ 2+ ∂ 2. ∂ x 2∂ y 2∂ z 2

Karena skalar kuadrat dari suatu vektor sama dengan persegi modulusnya, maka = 2. Jadi, div(gradU ) =2 U .

Bidang vektor a (M) disebut potensial,

jika dapat direpresentasikan sebagai gradien suatu bidang skalar U(M):

a = lulusanU .

Medan skalar U sendiri disebut potensial medan vektora.

Agar bidang vektor a(M) menjadi

Perlunya memenuhi persamaan (10) telah terbukti (lihat Masalah 1 yang dibahas di atas).

Potensi medan vektor dapat dicari dengan menggunakan rumus


U (M) = ∫ P(x, y, z) dx+ ∫ Q(x0 , y, z) dy+ ∫ R(x0 , y0 , z) dz+ C,

dimana (x 0 ,kamu 0 ,z 0 ) - titik sewenang-wenang daerah G.

Bidang vektor a(M), yang divergensinya

identik dengan nol, disebut solenoidal (tubular).

Untuk merumuskan salah satunya properti yang paling penting bidang solenoidal, kami memperkenalkan konsep garis vektor dan tabung vektor.

Garis L yang terletak di G disebut vektor

garis jika pada setiap titik garis tersebut arah garis singgungnya bertepatan dengan arah medan vektor pada titik tersebut.

Diketahui bahwa garis vektor merupakan kurva integral dari sistem persamaan diferensial

Khususnya, jika medan vektor adalah medan kecepatan aliran fluida stasioner, maka garis vektornya adalah lintasan partikel fluida.

Tabung vektor adalah himpunan tertutup Φ titik-titik di suatu wilayah G, yang di dalamnya medan vektor a (M) ditentukan sedemikian rupa sehingga di mana pun pada permukaan batasnya, vektor normal n ortogonal terhadap (M).

Sebuah tabung vektor terdiri dari garis-garis medan vektor a(M). Suatu garis vektor seluruhnya terdapat dalam Φ if

satu titik garis terdapat pada Φ.

Intensitas tabung Φ pada suatu bagian adalah fluks medan (M) yang melalui bagian tersebut.

Jika medannya bersifat solenoida, maka hukum kekekalan intensitas tabung vektor terpenuhi.

Untuk medan kecepatan v(M) dari fluida yang tidak dapat dimampatkan tanpa adanya sink dan sumber (yaitu, pada kondisi divv(M) = 0), hukum kekekalan intensitas vektor

tabung dapat dirumuskan sebagai berikut: banyaknya zat cair yang mengalir per satuan waktu melalui suatu bagian tabung vektor adalah sama untuk semua bagiannya.

Di bawah ini beberapa tugas-tugas khas dengan solusi.

Tugas 3. Temukan permukaan tingkat medan skalar

U (M) = x2 + y2 − z.

permukaan rata adalah keluarga paraboloid elips yang sumbu simetrinya adalah sumbu Oz.

Tugas 4.

Di bidang skalar U (M ) = xy 2 + z 2 temukan

gradien di titik M 0 (2,1,− 1) .

Mari kita temukan nilainya

turunan parsial

kamu (M) di titik M 0:

∂U

|M 0 =kamu 2 |M 0 = 12 = 1,

∂U

|M 0 = 2xy |M 0 = 2 2 1 = 4,

∂x

∂y

∂U

2 (− 1) =− 2.

∂z

Karena itu,

lulusanU (M 0 ) =si + 4s j − 2k s .

Hitung divergensi bidang vektor

a(M) = 2 xy2 i− yz j+ 3 z2 k

di titik M 0 (1,− 2,1) .

P = 2xy 2 ,Q =− yz ,R = 3z 2 . Mari kita temukan nilainya

turunan parsial yang bersesuaian di titik M 0:

∂P|

2 tahun 2 |

2 (− 2)2 = 8,

∂Q

= − z |

= − 1,

∂x

∂y

Anda juga dapat menggunakan operator "nabla" untuk operasinya:

Di sini diperhitungkan bahwa produk vektor operator collinear sama dengan nol. Diusulkan untuk memperoleh hasil yang sama dengan diferensiasi langsung.

Dari hasil yang diperoleh dapat diperoleh konsekuensi penting. Pertimbangkan beberapa kurva tertutup L dan regangkan permukaan sembarang ke atasnya S.

Dengan menggunakan teorema Stokes, kita dapat menulis

Mari kita rumuskan hasil yang diperoleh dalam bentuk teorema:

Teorema 1. Sirkulasi medan vektor sepanjang kontur tertutup sama dengan nol.

Akibat wajar 1. Integral lengkung pada gradien fungsi skalar tidak bergantung pada pilihan jalur integrasi dan sepenuhnya ditentukan oleh awal dan titik akhir jalur integrasi.

Bukti. Mari kita membuat gambar.

Mari lakukan transformasi paling sederhana

Karena itu

Artinya integrand adalah diferensial penuh. Oleh karena itu, nilai integral hanya bergantung pada pilihan titik A dan B:

Mari kita hitung operasinya. Untuk melakukan ini, kita menggunakan rumus perkalian vektor ganda yang diketahui dari aljabar vektor

Mari kita tulis ulang rumus ini dalam bentuk yang lebih nyaman bagi kita

Transformasi dilakukan agar pada rumus selanjutnya operator “nabla” tidak muncul di posisi terakhir. Dalam istilah operator "nabla" yang kita dapatkan

(Apa yang akan terjadi jika kita menggunakan rumus biasa untuk perkalian silang ganda?)

Dengan menggunakan notasi operator Laplace, kita dapat menulis

Kami memiliki sistem tiga hubungan diferensial yang ditulis untuk komponen vektor F.

Kami melihat operasi dasar diferensial orde kedua. Di masa depan kami akan menggunakannya untuk menyelesaikan berbagai masalah.

rumus Green

Mari kita dapatkan beberapa rumus lagi umum, yang menghubungkan properti berbagai fungsi dan banyak digunakan dalam aplikasi. Mari kita tulis rumus Gauss-Ostrogradsky

Biarkan dan menjadi dua sewenang-wenang fungsi skalar. Ayo taruh

Kemudian teorema Gauss-Ostrogradsky terbentuk

Anda bisa menuliskannya

Di sini notasi diperkenalkan

untuk turunan suatu fungsi searah

Setelah mensubstitusi ekspresi ini ke dalam rumus Gauss-Ostrogradsky yang dimodifikasi, kita memperoleh

Rumus ini disebut rumus pertama Green.

Begitu pula jika kita memasang

kemudian rumus pertama Green mengambil bentuk

Mengurangi rumus yang sesuai, kita dapatkan

Rumus ini disebut rumus Green yang kedua.

Dengan menggunakan rumus Green, dimungkinkan untuk memperoleh hubungan antara nilai fungsi pada titik dalam volume yang dipilih dan pada batasnya.

Teorema 1. Nilai fungsi di titik dalam wilayah T, dibatasi oleh permukaan S, ditentukan oleh rumus

jarak antar titik dan. Bukti. Pertimbangkan sebuah titik dan kelilingi dengan titik kecil permukaan bola radius

Karakteristik terpenting dari medan vektor adalah rotor dan divergensi. Dalam paragraf ini kita akan melihat deskripsi matematika karakteristik bidang vektor ini dan metode penghitungannya menggunakan operasi diferensial. Dalam hal ini, kita hanya akan menggunakan sistem koordinat kartesius. Lagi definisi penuh divergensi dan rotor dan mereka arti fisik Kita akan melihatnya di bab berikutnya. Perhitungan besaran-besaran ini dalam sistem koordinat lengkung akan kita bahas nanti.

Mari kita pertimbangkan bidang vektor yang didefinisikan dalam ruang tiga dimensi.

Definisi 1. Divergensi suatu bidang vektor adalah bilangan yang ditentukan oleh ekspresi

Diasumsikan bahwa turunan parsial yang bersesuaian ada pada titik yang ditinjau. Divergensi suatu bidang vektor, seperti halnya gradien, dapat ditulis menggunakan operator nabla

Di sini divergensi direpresentasikan sebagai produk titik vektor dan F. Mari kita perhatikan tanpa bukti bahwa divergensi menggambarkan kepadatan sumber yang menciptakan medan.

Contoh 1. Hitung divergensi medan vektor di suatu titik.

Definisi 2. Keriting suatu bidang vektor adalah vektor yang didefinisikan oleh ekspresi

Perhatikan bahwa dalam jumlah yang disajikan, indeks dalam suku-suku yang berdekatan berubah sesuai dengan aturan permutasi melingkar, dengan mempertimbangkan aturan tersebut.

Curl suatu bidang vektor dapat ditulis dengan menggunakan operator nabla

Rotor mencirikan kecenderungan medan vektor untuk berputar atau berputar, sehingga kadang-kadang disebut pusaran dan diberi sebutan keritingF.

Contoh 1. Hitung lengkungan medan vektor di suatu titik.

Terkadang ada kebutuhan untuk menghitung gradien bidang vektor. Dalam hal ini, gradien dari setiap komponen bidang vektor dihitung. Hasilnya adalah tensor peringkat kedua, yang menentukan gradien vektor. Tensor ini dapat digambarkan dengan matriks

Untuk mendeskripsikan objek seperti itu, akan lebih mudah untuk menggunakan notasi tensor

percaya. Menggunakan metode tensor menyederhanakan operasi matematika atas benda-benda tersebut. Penjelasan rinci tentang peralatan kalkulus tensor diberikan dalam mata kuliah “Dasar-Dasar Analisis Tensor”, yang diajarkan secara paralel dengan mata kuliah “Bab Tambahan Matematika Tinggi”.

Contoh 1. Hitung gradien bidang vektor.

Larutan. Untuk perhitungannya kami menggunakan notasi tensor. Kita punya

Di sini simbol Kronecker adalah matriks identitas.

Contoh 2. Hitung gradien bidang skalar dan bandingkan ekspresi dan.

Beberapa properti dari operator nabla

Sebelumnya kami memperkenalkan operator diferensiasi vektor

Dengan menggunakan operator ini, kami menuliskan operasi diferensial utama di bidang tensor:

Operator tersebut merupakan generalisasi dari operator diferensiasi dan memiliki sifat turunan yang sesuai:

1) turunan dari jumlah tersebut sama dengan jumlah dari turunannya

2) faktor konstan dapat dikeluarkan sebagai tanda operator

Diterjemahkan ke dalam bahasa fungsi vektor, sifat-sifat ini berbentuk:

Rumus-rumus ini diturunkan dengan cara yang sama seperti rumus-rumus terkait untuk turunan suatu fungsi suatu variabel.

Penggunaan operator Hamilton memungkinkan kita menyederhanakan banyak operasi yang terkait dengan diferensiasi di bidang tensor. Namun perlu diingat bahwa operator ini merupakan operator vektor dan harus ditangani dengan hati-hati. Mari kita lihat beberapa aplikasi dari operator ini. Dalam hal ini, rumus terkait ditulis menggunakan operator Hamilton dan notasi konvensional.

Rotor (matematika)

Rotor, atau pusaran adalah operator diferensial vektor pada bidang vektor.

Ditunjuk

(dalam sastra berbahasa Rusia) atau

(dalam sastra Inggris),

dan juga sebagai perkalian vektor dari operator diferensial dengan bidang vektor:

Hasil tindakan operator ini pada bidang vektor tertentu F ditelepon rotor lapangan F atau, singkatnya, adil rotor F dan mewakili bidang vektor baru:

Bidang busuk F(panjang dan arah pembusukan vektor F pada setiap titik dalam ruang) mencirikan komponen rotasi medan F masing-masing di setiap titik.

Gambar intuitif

Jika ay(x,y,z) adalah bidang kecepatan gas (atau aliran cairan), lalu busuk v- vektor yang sebanding dengan vektor kecepatan sudut dari setitik debu (atau bola) yang sangat kecil dan ringan yang terletak di aliran (dan terbawa oleh pergerakan gas atau cairan; meskipun pusat bola dapat diperbaiki jika diinginkan, sebagai asalkan dapat berputar bebas di sekelilingnya).

Secara khusus busuk v = 2 ω , Di mana ω - kecepatan sudut ini.

Untuk ilustrasi sederhana tentang fakta ini, lihat di bawah.

Analogi ini dapat dirumuskan dengan cukup ketat (lihat di bawah). Definisi dasar melalui sirkulasi (diberikan pada paragraf berikutnya) dapat dianggap setara dengan yang diperoleh dengan cara ini.

Definisi matematika

Curl suatu bidang vektor adalah suatu vektor yang proyeksinya pada setiap arahnya N adalah limit hubungan sirkulasi suatu medan vektor sepanjang suatu kontur L, yang merupakan tepi bidang datar Δ S, tegak lurus terhadap arah ini, terhadap luas luas tertentu, bila luas luas cenderung nol, dan luas itu sendiri berkontraksi ke suatu titik:

Arah traversal kontur dipilih sehingga ketika melihat ke arah kontur L berjalan searah jarum jam.

Dalam tiga dimensi sistem kartesius koordinat rotor (seperti yang didefinisikan di atas) dihitung sebagai berikut (di sini F- menunjukkan bidang vektor tertentu dengan komponen Cartesian, dan - vektor satuan koordinat Cartesian):

Untuk memudahkan, kita dapat menyatakan rotor secara formal sebagai perkalian vektor dari operator nabla (di sebelah kiri) dan medan vektor:

(Persamaan terakhir secara formal mewakili produk vektor sebagai determinan.)

Definisi terkait

Bidang vektor yang rotornya sama dengan nol pada titik mana pun disebut tidak rasional dan adalah potensi. Karena kondisi ini perlu dan cukup untuk satu sama lain, kedua istilah tersebut merupakan sinonim praktis. (Namun, hal ini hanya berlaku untuk kasus bidang yang ditentukan pada domain yang terhubung sederhana).

Untuk lebih jelasnya tentang persyaratan timbal balik dari potensi dan sifat irrotasional bidang, lihat di bawah (Sifat dasar).

Sebaliknya, bidang yang ikalnya tidak sama dengan nol biasanya disebut pusaran , bidang seperti itu tidak mungkin potensial.

Generalisasi

Generalisasi paling langsung dari rotor sebagaimana diterapkan pada bidang vektor (dan vektor semu) yang didefinisikan pada ruang berdimensi sembarang (asalkan dimensi ruang tersebut bertepatan dengan dimensi vektor bidang) adalah sebagai berikut:

dengan indeks M Dan N dari 1 hingga dimensi ruang.

Ini juga dapat ditulis sebagai produk eksternal:

Dalam hal ini, rotor merupakan medan tensor antisimetris valensi dua.

Dalam kasus dimensi 3, konvolusi tensor ini dengan simbol Levi-Civita menghasilkan definisi biasa rotor tiga dimensi diberikan dalam artikel di atas.

Untuk ruang dua dimensi, sebagai tambahan, jika diinginkan, rumus serupa dengan produk skalar semu dapat digunakan (rotor tersebut akan menjadi skalar semu, bertepatan dengan proyeksi produk vektor tradisional ke sumbu ortogonal terhadap dua dimensi yang diberikan. ruang dimensi - jika kita menganggap ruang dua dimensi tertanam dalam ruang tiga dimensi, sehingga produk vektor tradisional memiliki makna).

Rotor dalam sistem koordinat kartesius. Gambar intuitif