Ilmu Matematika. Periode matematika variabel

Sifat-sifat ideal dari objek yang diteliti dirumuskan dalam bentuk aksioma, atau dicantumkan dalam definisi yang sesuai. objek matematika. Kemudian, menurut aturan inferensi logis yang ketat, sifat-sifat sebenarnya lainnya (teorema) disimpulkan dari sifat-sifat ini. Teori ini bersama-sama membentuk model matematika dari objek yang diteliti. Jadi, pada awalnya, berdasarkan hubungan spasial dan kuantitatif, matematika menerima hubungan yang lebih abstrak, yang kajiannya juga menjadi subjeknya matematika modern.

Secara tradisional, matematika dibagi menjadi teori, yang melakukan analisis mendalam terhadap struktur intra-matematika, dan terapan, yang memberikan modelnya kepada disiplin ilmu dan teknik lain, beberapa di antaranya menempati posisi yang berbatasan dengan matematika. Secara khusus, logika formal dapat dianggap sebagai bagian dari ilmu filsafat dan sebagai bagian dari ilmu matematika; mekanika - baik fisika dan matematika; ilmu Komputer, teknologi komputer dan algoritmik berhubungan dengan ilmu teknik dan matematika, dll. Banyak yang telah dikemukakan dalam literatur definisi yang berbeda matematika (lihat).

Etimologi

Kata “matematika” berasal dari bahasa Yunani kuno. μάθημα (matematika), yang artinya mempelajari, pengetahuan, sains, dll.-Yunani. μαθηματικός (matematika), arti aslinya reseptif, sukses, Nanti relevan untuk dipelajari, selanjutnya berhubungan dengan matematika. Secara khusus, μαθηματικὴ τέχνη (matematikaḗ tékhnē), dalam bahasa Latin ah matematika, cara seni matematika.

Definisi

Bidang matematika hanya mencakup ilmu-ilmu yang mempertimbangkan keteraturan atau ukuran, dan sama sekali tidak penting apakah itu angka, angka, bintang, suara, atau apa pun yang menjadi dasar pengukuran tersebut. Oleh karena itu, pasti ada beberapa ilmu pengetahuan umum, yang menjelaskan segala sesuatu yang berkaitan dengan keteraturan dan ukuran, tanpa masuk ke dalam kajian mata pelajaran tertentu, dan ilmu ini hendaknya disebut bukan asing, melainkan nama lama Matematika Universal yang sudah mulai digunakan.

DI DALAM zaman Soviet Definisi TSB yang diberikan oleh A.N. Kolmogorov dianggap klasik:

Matematika... ilmu tentang hubungan kuantitatif dan bentuk spasial dunia nyata.

Esensi matematika... kini dihadirkan sebagai doktrin tentang hubungan antar objek, yang tidak diketahui apa pun kecuali beberapa sifat yang mendeskripsikannya - tepatnya sifat-sifat yang, sebagai aksioma, menjadi dasar teori... Matematika adalah satu set bentuk-bentuk abstrak- struktur matematika.

Mari kita berikan beberapa definisi yang lebih modern.

Matematika teoretis (“murni”) modern adalah ilmu tentang struktur matematika, invarian matematika dari berbagai sistem dan proses.

Matematika merupakan ilmu yang memberikan kemungkinan untuk menghitung model yang dapat direduksi menjadi bentuk standar (kanonik). Ilmu menemukan solusi model analitik (analisis) melalui transformasi formal.

Bagian matematika

1. Matematika caranya disiplin akademis dibagi menjadi Federasi Rusia untuk matematika dasar, dipelajari di sekolah menengah dan dibentuk oleh disiplin ilmu:

• geometri dasar: planimetri dan stereometri
• teori fungsi dasar dan elemen analisis

4. American Mathematical Society (AMS) telah mengembangkan standarnya sendiri untuk mengklasifikasikan cabang-cabang matematika. Namanya Klasifikasi Mata Pelajaran Matematika. Standar ini diperbarui secara berkala. Versi saat ini adalah MSC 2010. Versi sebelumnya adalah MSC 2000.

Sebutan

Karena matematika berhubungan dengan struktur yang sangat bervariasi dan cukup kompleks, maka sistem notasinya juga sangat kompleks. Sistem modern pencatatan rumus dibentuk berdasarkan tradisi aljabar Eropa, serta analisis matematis (konsep fungsi, turunan, dll). Sejak dahulu kala, geometri telah menggunakan representasi visual (geometris). Dalam matematika modern, kompleks sistem grafis notasi (seperti diagram komutatif), notasi berbasis grafik juga sering digunakan.

Sejarah Singkat

Perkembangan matematika bertumpu pada menulis dan kemampuan menulis angka. Mungkin, orang zaman dahulu pertama kali menyatakan besaran dengan menggambar garis di tanah atau menggoreskannya pada kayu. Suku Inca kuno, tidak memiliki sistem penulisan lain, merepresentasikan dan menyimpan data numerik menggunakan sistem yang kompleks simpul tali, yang disebut kipu. Ada banyak sistem bilangan yang berbeda. Catatan angka pertama yang diketahui ditemukan di Papirus Ahmes, yang dibuat oleh orang Mesir di Kerajaan Tengah. Peradaban Indus mengembangkan sistem bilangan desimal modern dengan memasukkan konsep nol.

Secara historis, disiplin matematika dasar muncul dari kebutuhan untuk melakukan perhitungan di bidang komersial, dalam mengukur tanah dan untuk memprediksi fenomena astronomi dan, kemudian, untuk memecahkan masalah baru. masalah fisik. Masing-masing bidang ini memainkan peran besar dalam perkembangan matematika secara luas, yang terdiri dari studi tentang struktur, ruang, dan perubahan.

Filsafat matematika

Tujuan dan metode

Matematika mempelajari benda-benda imajiner, ideal, dan hubungan antar benda tersebut dengan menggunakan bahasa formal. DI DALAM kasus umum konsep matematika dan teorema belum tentu memiliki korespondensi dengan apa pun di dunia fisik. Tugas utama cabang matematika terapan - untuk membuat model matematika yang cukup sesuai dengan apa yang sedang dipelajari objek nyata. Tugas seorang ahli matematika teoretis adalah menyediakan seperangkat sarana yang memadai untuk mencapai tujuan ini.

Isi matematika dapat diartikan sebagai suatu sistem model matematika dan alat untuk membuatnya. Model suatu objek tidak memperhitungkan seluruh ciri-cirinya, melainkan hanya ciri-ciri yang paling diperlukan untuk keperluan penelitian (ideal). Misalnya saja belajar sifat fisik oranye, kita dapat mengabstraksi warna dan rasanya dan membayangkannya (meskipun tidak sepenuhnya akurat) sebagai sebuah bola. Jika kita perlu memahami berapa banyak jeruk yang akan kita peroleh jika kita menjumlahkan dua dan tiga, maka kita dapat mengabstraksikan bentuknya, meninggalkan model hanya dengan satu karakteristik - kuantitas. Abstraksi dan pembentukan hubungan antar objek di pandangan umum- salah satu arah utama kreativitas matematika.

Arah lain, selain abstraksi, adalah generalisasi. Misalnya menggeneralisasi konsep “ruang” menjadi ruang berdimensi n. " Luar angkasa adalah penemuan matematika. Namun, ini adalah penemuan yang sangat cerdik yang membantu memahami fenomena yang rumit secara matematis».

Kajian objek intramatematis biasanya dilakukan dengan menggunakan metode aksiomatik: pertama, daftar konsep dasar dan aksioma dirumuskan untuk objek yang diteliti, kemudian diperoleh teorema yang bermakna dari aksioma tersebut menggunakan aturan inferensi, yang bersama-sama membentuk model matematika.

Alasan

Pertanyaan tentang hakikat dan landasan matematika telah dibahas sejak zaman Plato. Sejak abad ke-20, terdapat kesepakatan komparatif mengenai apa yang dianggap sebagai pembuktian matematis yang teliti, namun hanya ada sedikit kesepakatan mengenai apa yang dianggap benar secara inheren dalam matematika. Hal ini menyebabkan ketidaksepakatan baik dalam pertanyaan aksiomatik dan interkoneksi cabang-cabang matematika, dan dalam pilihan sistem logika yang harus digunakan dalam pembuktian.

Selain pendekatan skeptis, pendekatan berikut terhadap masalah ini juga diketahui.

Pendekatan teori himpunan

Diusulkan untuk mempertimbangkan semua objek matematika dalam kerangka teori himpunan, paling sering dengan aksiomatik Zermelo-Frenkel (walaupun ada banyak objek lain yang setara dengannya). Pendekatan ini telah dianggap dominan sejak pertengahan abad ke-20, namun kenyataannya sebagian besar karya matematika tidak bertujuan untuk menerjemahkan pernyataan mereka secara ketat ke dalam bahasa teori himpunan, namun beroperasi dengan konsep dan fakta yang ditetapkan dalam beberapa bidang matematika. Jadi, jika ditemukan kontradiksi dalam teori himpunan, hal ini tidak berarti sebagian besar hasil tidak valid.

Logika

Pendekatan ini mengasumsikan pengetikan objek matematika yang ketat. Banyak paradoks, yang dihindari dalam teori himpunan hanya dengan trik khusus, ternyata pada prinsipnya tidak mungkin.

Formalisme

Pendekatan ini melibatkan studi sistem formal berdasarkan logika klasik.

Intuitionisme

Intuitionisme berasumsi bahwa matematika didasarkan pada logika intuisionistik, yang alat pembuktiannya lebih terbatas (tetapi diyakini lebih dapat diandalkan). Intuitionisme menolak pembuktian dengan kontradiksi, banyak pembuktian non-konstruktif menjadi mustahil, dan banyak permasalahan dalam teori himpunan menjadi tidak bermakna (tidak dapat diformalkan).

Matematika konstruktif

Matematika konstruktif adalah suatu gerakan dalam matematika yang dekat dengan intuisionisme yang mempelajari konstruksi konstruktif [ menjelaskan] . Menurut kriteria konstruktif - “ ada berarti dibangun" Kriteria konstruktifitas merupakan persyaratan yang lebih kuat dibandingkan kriteria konsistensi.

Topik utama

Angka

Konsep "bilangan" awalnya mengacu pada bilangan asli. Kemudian secara bertahap diperluas ke bilangan bulat, rasional, nyata, kompleks dan lainnya.

Transformasi

Matematika diskrit

Kode dalam sistem klasifikasi pengetahuan

Layanan daring

Ada jumlah besar situs yang menyediakan layanan perhitungan matematis. Kebanyakan dari mereka berbahasa Inggris. Di antara yang berbahasa Rusia, kita dapat mencatat layanan kueri matematika mesin pencari Nigma.

Lihat juga

Catatan

1. Ensiklopedia Britannica
2. Kamus Online Webster
3. Bab 2. Matematika sebagai bahasa sains. Siberia universitas terbuka. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2 Februari 2012. Diakses tanggal 5 Oktober 2010.
4. Kamus Besar Yunani Kuno (αω)
5. Kamus bahasa Rusia abad XI-XVII. Edisi 9 / Bab. ed. F.P.Filin. - M.: Nauka, 1982. - Hlm.41.
6. Descartes R. Aturan untuk membimbing pikiran. M.-L.: Sotsekgiz, 1936.
7. Lihat : Matematika tsb
8. Marx K., Engels F. Esai. edisi ke-2. T.20.Hal.37.
9. Bourbaki N. Arsitektur matematika. Esai tentang sejarah matematika / Terjemahan oleh I.G. Bashmakova, ed. K.A. Rybnikova. M.: IL, 1963.S.32, 258.
10. Kaziev V.M. Pengantar Matematika
11. Mukhin O.I. Pemodelan Sistem tutorial. Izin: RCI PSTU.
12. Hermann Weil // Klein M.. - M.: Mir, 1984. - Hal.16.
13. Negara standar pendidikan lebih tinggi pendidikan kejuruan. Khusus 01.01.00. "Matematika". Kualifikasi - Ahli Matematika. Moskow, 2000 (Disusun di bawah arahan O.B. Lupanov)
14. Nomenklatur spesialisasi pekerja ilmiah, disetujui atas perintah Kementerian Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Rusia tanggal 25 Februari 2009 No. 59
15. UDC 51 Matematika
16. Ya.S.Burov, S.M.Nikolsky. Elemen aljabar linier Dan geometri analitik. M.: Nauka, 1988.Hal.44.
17. N.I.Kondakov. Buku referensi kamus logis. M.: Nauka, 1975.Hal.259.
18. G.I.Ruzavin. Tentang hakikat pengetahuan matematika. M.: 1968.
19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
20. Misalnya: http://mathworld.wolfram.com

Literatur

• //
• // Kamus Ensiklopedis Brockhaus dan Efron: Dalam 86 volume (82 volume dan 4 tambahan). - Sankt Peterburg. , 1890-1907.
• Ensiklopedia Matematika (5 volume), 1980-an. // Buku referensi umum dan khusus matematika di EqWorld
• Kondakov N.I. Buku referensi kamus logis. M.: Nauka, 1975.
• Ensiklopedia Ilmu Matematika dan Penerapannya (Jerman) 1899-1934. (survei terbesar literatur abad ke-19)

• G.Korn, T.Korn. Buku Pegangan Matematika untuk Ilmuwan dan Insinyur M., 1973.

• Klein M. Matematika. Hilangnya kepastian. - M.: Mir, 1984.
• Klein M. Matematika. Cari kebenaran. M.: Mir, 1988.
• Klein F. Matematika dasar dari sudut pandang yang lebih tinggi.

• Jilid I. Aritmatika. Aljabar. Analisis M.: Nauka, 1987. 432 hal.
• Jilid II. Geometri M.: Nauka, 1987. 416 hal.

• Berani R., G. Robbins. Apa itu matematika? edisi ke-3, putaran. dan tambahan - M.: 2001. 568 hal.
• Pisarevsky B.M., Kharin V.T. Tentang matematika, ahli matematika dan banyak lagi. - M.: Binom. Laboratorium Pengetahuan, 2012. - 302 hal.
• Poincare A. Sains dan metode (Rusia) (Prancis)

Hingga saat ini, belum ada jawaban yang jelas terhadap pertanyaan apa itu matematika, padahal ilmu ini sudah ada sejak lama, hampir pada awal mula peradaban. Seiring berjalannya waktu, hal ini telah diperkaya, menjadi semakin mapan dan diperbarui seiring dengan hukum dunia sekitar.

Berkat perluasan dan perubahan hubungan multifaset antara matematika dan praktik, umat manusia diberi kesempatan unik untuk menemukan dan menggunakan hukum alam tertentu. DI DALAM waktu saat ini ini benar-benar mesin teknologi dan sains yang hebat dan kuat.

Banyak orang yang tertarik dengan hal ini, namun tidak mudah menjawab pertanyaan ini. Tentu saja setiap orang bisa memberikan jawabannya masing-masing, tergantung levelnya pengetahuan matematika. Untuk siswa sekolah menengah atas ini adalah nama umum untuk aritmatika, aljabar, geometri dan prinsip-prinsip analisis. Untuk siswa universitas teknik ini adalah ilmu yang terdiri dari beberapa lusin bagian terpisah.

Perlu dicatat bahwa jumlah bagian tersebut terus meningkat dari waktu ke waktu, karena seiring berkembangnya matematika modern, ia terus diperkaya dengan informasi baru. Nah, bagi anak kecil ilmu ini terletak pada kemampuan berhitung. Namun, seluruh hidup kita terkait erat dengan penyelesaian berbagai masalah matematika.

Mirip dengan definisi matematika, tidak ada definisi jelas yang diterima secara umum tentang subjek ilmu ini. Dahulu diyakini bahwa solusi dari permasalahan tersebut adalah dengan mengukur besaran atau angka. Namun setelah beberapa waktu, muncul definisi matematika sebagai ilmu yang mempelajari besaran tak terhingga.

Dunia modern memandang matematika sebagai ilmu tentang struktur matematika. Istilah ini diperkenalkan oleh kelompok tersebut matematikawan Perancis, dikenal dunia dengan nama samaran Bourbaki.

Ilmu ini bukanlah ciptaan pemikiran yang sembarangan. Ini menampilkan dunia objektif dengan cara yang agak abstrak. Kajiannya didasarkan pada konsep-konsep yang diperoleh dengan mengabstraksikan fenomena secara langsung dunia nyata dan, sebagai tambahan, dari abstraksi sebelumnya.

Munculnya abstraksi-abstraksi tersebut erat kaitannya dengan kenyataan. Apalagi setelah memutuskan satu atau lain hal masalah matematika hasilnya dicatat dan kemudian diterapkan pada berbagai fenomena, sifat fisik yang berbeda secara signifikan satu sama lain.

Misalnya, mempelajari matematika sering kali berujung pada penyelesaian tugas-tugas tertentu: pertumbuhan bakteri, perubahan tekanan atmosfer, atau cara menentukan laju peluruhan radioaktif. Dalam hal ini, solusi untuk semua masalah ini bermuara pada hal yang sama. persamaan diferensial.

Keabstrakan seperti itu cukup sulit tidak hanya untuk dipahami, tetapi juga untuk dirasakan oleh orang dewasa, terlebih lagi bagi seorang siswa. Inilah sebabnya mengapa sangat penting untuk membuat pembelajaran matematika dapat diakses oleh semua orang. Dan hal ini memerlukan keseimbangan antara kekhususan dan abstraksi, intuisi dan ketelitian, tanpa kehilangan kemudahan penjelasannya konsep yang kompleks.

Tentu saja, saat ini sulit untuk menemukan seseorang yang tidak memiliki gagasan tentang apa itu matematika. Namun, pada umumnya, banyak orang yang salah mengira bahwa ini hanyalah aritmatika, yang melibatkan studi tentang bilangan dan operasi tertentu, seperti perkalian atau pembagian, dengan bantuannya.

Namun jika ditelusuri lebih dalam ilmu ini, Anda dapat memahami bahwa sebenarnya konsep ini jauh lebih komprehensif. Bagaimanapun, matematika adalah cara unik untuk menggambarkan dunia dan menggabungkan beberapa bagiannya dengan bagian lainnya. DI DALAM simbol matematika, menggambarkan Alam Semesta, hubungan antar angka diungkapkan.

Tapi ini adalah pertanyaan terpisah. Proses ini membutuhkan kesabaran, keinginan dan perhatian. Namun, semuanya tidak terlalu rumit. Adalah umum bagi setiap orang untuk unggul dalam matematika, karena “indra bilangan” telah terbukti merupakan kemampuan bawaan.

Sayangnya menghafal aksioma, teorema dan rumus tidak akan membuahkan hasil. Yang utama adalah memahami esensi teori matematika dan hukum-hukumnya. DAN perhatian khusus memerlukan kemampuan menarik kesimpulan dari pernyataan yang telah dibuat.

Matematika muncul sejak lama sekali. Pria itu mengumpulkan buah-buahan, menggali buah-buahan, menangkap ikan, dan menyimpan semuanya untuk musim dingin. Untuk memahami berapa banyak makanan yang disimpan, manusia menciptakan penghitungan. Dari sinilah matematika mulai muncul.

Kemudian manusia mulai bertani. Penting untuk mengukur bidang tanah, membangun rumah, dan mengukur waktu.

Artinya, seseorang perlu menggunakan hubungan kuantitatif dunia nyata. Tentukan berapa banyak hasil panen yang telah dipanen, berapa luas lahan bangunan, atau berapa luas luas langit dengan jumlah bintang terang tertentu.

Selain itu, manusia mulai menentukan bentuk-bentuk: matahari bulat, kotak persegi, danau lonjong, dan bagaimana letak benda-benda tersebut di luar angkasa. Artinya, seseorang menjadi tertarik pada bentuk spasial dunia nyata.

Jadi, konsepnya matematika dapat didefinisikan sebagai ilmu tentang hubungan kuantitatif dan bentuk spasial dunia nyata.

Saat ini, tidak ada satu profesi pun yang dapat dilakukan tanpa matematika. Matematikawan Jerman terkenal Carl Friedrich Gauss, yang dijuluki “Raja Matematika”, pernah berkata:

“Matematika adalah ratunya sains, aritmatika adalah ratunya matematika.”

Kata "aritmatika" berasal dari kata Yunani "arithmos" - "angka".

Dengan demikian, hitung adalah cabang matematika yang mempelajari bilangan dan operasinya.

DI DALAM sekolah dasar Pertama-tama, mereka belajar aritmatika.

Bagaimana ilmu ini berkembang, mari kita telusuri pertanyaan ini.

Masa lahirnya matematika

Periode utama akumulasi pengetahuan matematika dianggap sebelum abad ke-5 SM.

Orang pertama yang mulai membuktikan proposisi matematika - pemikir Yunani kuno, yang hidup pada abad ke-7 SM, diperkirakan tahun 625 - 545. Filsuf ini melakukan perjalanan ke negara-negara Timur. Tradisi mengatakan bahwa ia belajar dengan para pendeta Mesir dan orang Kasdim Babilonia.

Thales dari Miletus membawa konsep pertama geometri dasar dari Mesir ke Yunani: apa itu diameter, apa yang menentukan segitiga, dan sebagainya. Dia memperkirakan gerhana matahari, merancang struktur teknik.

Selama periode ini, aritmatika secara bertahap berkembang, astronomi dan geometri berkembang. Aljabar dan trigonometri lahir.

Periode matematika dasar

Periode ini dimulai dari VI SM. Kini matematika muncul sebagai ilmu yang memiliki teori dan pembuktian. Teori bilangan, doktrin besaran dan pengukurannya, muncul.

Paling matematikawan terkenal kali ini adalah Euclid. Dia hidup pada abad ke-3 SM. Orang ini adalah penulis risalah teoretis pertama tentang matematika yang sampai kepada kita.

Dalam karya Euclid, dasar-dasar yang disebut geometri Euclidean diberikan - ini adalah aksioma yang bertumpu pada konsep dasar, seperti.

Selama matematika dasar lahirlah teori bilangan, serta doktrin besaran dan pengukurannya. Untuk pertama kalinya negatif dan bilangan irasional.

Pada akhir periode ini, penciptaan aljabar sebagai kalkulus literal diamati. Ilmu “aljabar” sendiri muncul di kalangan orang Arab sebagai ilmu penyelesaian persamaan. Kata “aljabar” yang diterjemahkan dari bahasa Arab berarti “restorasi”, yaitu transfer nilai-nilai negatif ke sisi lain persamaan.

Periode matematika variabel

Pendiri periode ini dianggap Rene Descartes, yang hidup pada abad ke-17 Masehi. Dalam tulisannya, Descartes pertama kali memperkenalkan konsep besaran variabel.

Berkat ini, para ilmuwan beralih dari belajar nilai konstan untuk mempelajari ketergantungan antar variabel dan ke deskripsi matematika gerakan.

Periode ini paling jelas ditandai oleh Friedrich Engels, dalam tulisannya ia menulis:

“Titik balik dalam matematika adalah variabel Cartesian. Berkat ini, gerak dan dialektika memasuki matematika, dan berkat ini, kalkulus diferensial dan integral segera menjadi penting, yang segera muncul, dan yang, pada umumnya, diselesaikan dan tidak ditemukan oleh Newton dan Leibniz.”

Periode matematika modern

Pukul 20 tahun XIX abad Nikolai Ivanovich Lobachevsky menjadi pendiri apa yang disebut geometri non-Euclidean.

Mulai saat ini perkembangan cabang terpenting matematika modern dimulai. Seperti teori probabilitas, teori himpunan, statistik matematika dan lain sebagainya.

Semua penemuan dan penelitian ini dapat diterapkan secara luas daerah yang berbeda sains.

Dan saat ini ilmu matematika berkembang pesat, pokok bahasan matematika semakin meluas termasuk bentuk dan hubungan baru, teorema baru dibuktikan, dan konsep dasar semakin mendalam.

MATEMATIKA – ilmu tentang hubungan kuantitatif dan bentuk spasial dunia nyata; kata Yunani(matematika) berasal dari kata Yunani (mathema), yang berarti “pengetahuan”, “sains”.

Matematika muncul pada zaman dahulu dari kebutuhan praktis manusia. Isi dan karakternya telah berubah sepanjang sejarah dan terus berubah hingga saat ini. Dari mata pelajaran utama konsep bilangan bulat positif, serta dari konsep ruas garis sebagai jarak terpendek antara dua titik tersebut, matematika melalui jalur perkembangan yang panjang sebelum menjadi ilmu abstrak metode tertentu riset.

Pemahaman modern tentang bentuk spasial sangat luas. Ini mencakup, bersama dengan objek geometris ruang tiga dimensi (garis lurus, lingkaran, segitiga, kerucut, silinder, bola, dll.), juga berbagai generalisasi - konsep ruang multidimensi dan dimensi tak terbatas, serta objek geometris di mereka, dan masih banyak lagi. Dengan cara yang sama, hubungan kuantitatif kini dinyatakan tidak hanya dengan bilangan bulat positif atau bilangan rasional, tetapi juga dengan bantuan bilangan kompleks, vektor, fungsi dll. Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi memaksa matematika untuk terus memperluas gagasannya tentang bentuk spasial dan hubungan kuantitatif.

Konsep matematika diabstraksi dari fenomena dan objek tertentu; mereka diperoleh sebagai hasil abstraksi dari fitur berkualitas, khusus untuk dari lingkaran ini fenomena dan objek. Keadaan ini sangat penting untuk penerapan matematika. Angka 2 tidak dapat dipisahkan dengan isi pokok bahasan tertentu. Ini bisa merujuk pada dua apel, atau dua buku, atau dua pemikiran. Ia memperlakukan semua ini dan objek lainnya yang tak terhitung jumlahnya dengan sama baiknya. Sama persis sifat geometris bola tidak berubah karena terbuat dari kaca, baja atau stearin. Tentu saja, mengabstraksi sifat-sifat suatu benda memiskinkan pengetahuan kita tentang benda tersebut, tentang ciri-ciri materialnya. Pada saat yang sama, justru gangguan inilah yang terjadi properti khusus objek individu memberikan kesamaan pada konsep, merek kemungkinan penggunaan matematika hingga fenomena alam material yang paling beragam. Dengan demikian, hukum matematika yang sama, peralatan matematika yang sama dapat diterapkan dengan cukup memuaskan pada deskripsi fenomena alam, proses teknis, serta ekonomi dan sosial.

Abstraksi konsep tidak fitur luar biasa matematika; ilmiah apa pun dan konsep umum membawa dalam dirinya unsur abstraksi dari sifat-sifat benda tertentu. Namun dalam matematika, proses abstraksi berjalan lebih jauh dari pada di dalam ilmu pengetahuan Alam; Dalam matematika, proses membangun abstraksi pada tingkat yang berbeda banyak digunakan. Ya, konsepnya kelompok muncul dengan mengabstraksi dari beberapa properti kumpulan angka dan lainnya konsep abstrak. Matematika juga dicirikan oleh metode memperoleh hasilnya. Jika seorang ilmuwan alam terus-menerus menggunakan pengalaman untuk membuktikan posisinya, maka seorang ahli matematika membuktikan hasilnya hanya melalui penalaran logis. Dalam matematika, tidak ada satu hasil pun yang dapat dianggap terbukti sampai diperlukan pembuktian logis, bahkan jika eksperimen khusus memberikan konfirmasi atas hasil tersebut. Pada saat yang sama kebenarannya teori matematika juga lulus ujian latihan, tetapi ujian ini lulus karakter khusus: konsep-konsep dasar matematika terbentuk sebagai hasil kristalisasi jangka panjang dari kebutuhan latihan tertentu; aturan logika sendiri baru dikembangkan setelah ribuan tahun mengamati jalannya proses di alam; Perumusan teorema dan rumusan masalah dalam matematika juga timbul dari kebutuhan latihan. Matematika muncul dari kebutuhan praktis, dan hubungannya dengan praktik menjadi semakin beragam dan mendalam seiring berjalannya waktu.

Pada prinsipnya matematika dapat diterapkan untuk mempelajari segala jenis gerak, berbagai macam fenomena. Faktanya, perannya dalam berbagai bidang ilmiah dan kegiatan praktis tidak sama. Peran matematika dalam perkembangan fisika modern, kimia, banyak bidang teknologi, secara umum ketika mempelajari fenomena-fenomena tersebut di mana bahkan abstraksi signifikan dari ciri-ciri kualitatif spesifiknya memungkinkan seseorang untuk secara akurat memahami pola kuantitatif dan spasial yang melekat di dalamnya. Untuk contoh - matematika studi tentang pergerakan benda langit, berdasarkan abstraksi signifikan dari ciri aslinya (benda, misalnya, dipertimbangkan poin materi), memimpin dan mengarah pada kebetulan yang sangat baik dengan gerakan mereka yang sebenarnya. Atas dasar ini, dimungkinkan tidak hanya untuk melakukan perhitungan awal fenomena langit(gerhana, posisi planet, dll.), tetapi juga melalui penyimpangan pergerakan sebenarnya dari pergerakan yang dihitung untuk memprediksi keberadaan planet yang belum pernah diamati sebelumnya (Pluto ditemukan dengan cara ini pada tahun 1930, Neptunus pada tahun 1846). Tempat yang lebih kecil namun tetap signifikan ditempati oleh matematika dalam ilmu-ilmu seperti ekonomi, biologi, dan kedokteran. Keunikan kualitatif dari fenomena yang dipelajari dalam ilmu-ilmu ini begitu besar dan sangat mempengaruhi sifat alirannya sehingga analisis matematis masih dapat memainkan peran yang lebih rendah. Yang sangat penting bagi ilmu sosial dan biologi adalah statistik matematika. Matematika sendiri juga berkembang di bawah pengaruh kebutuhan ilmu pengetahuan alam, teknologi, dan ekonomi. Ya untuk beberapa tahun terakhir Sejumlah disiplin matematika dibentuk berdasarkan permintaan praktis: teori informasi, teori permainan dll.

Jelas bahwa transisi dari satu tahap pengetahuan tentang fenomena ke tahap berikutnya yang lebih akurat memberikan tuntutan baru pada matematika dan mengarah pada penciptaan konsep-konsep baru dan metode penelitian baru. Dengan demikian, persyaratan astronomi, yang beralih dari pengetahuan deskriptif murni ke pengetahuan eksakta, mengarah pada pengembangan konsep-konsep dasar trigonometri: pada abad ke-2 SM ilmuwan Yunani kuno Hipparchus menyusun tabel akord yang sesuai dengan tabel sinus modern; ilmuwan Yunani kuno pada abad ke-1 Menelaus dan pada abad ke-2 Claudius Ptolemy menciptakan fondasinya trigonometri bola. Meningkatnya minat terhadap studi gerak, yang disebabkan oleh perkembangan manufaktur, navigasi, artileri, dll., pada abad ke-17 mengarah pada penciptaan konsep-konsep tersebut. analisis matematis, perkembangan matematika baru. Implementasi yang luas metode matematika dalam studi fenomena alam (terutama astronomi dan fisika) dan perkembangan teknologi (terutama teknik mesin) menyebabkan perkembangan pesat pada abad ke-18 dan ke-19. mekanika teoritis dan teori persamaan diferensial. Pengembangan ide struktur molekul hal ini telah menyebabkan perkembangan pesat teori probabilitas. Saat ini, kita bisa menelusuri kemunculan arah baru dengan menggunakan banyak contoh. penelitian matematika. Keberhasilan tersebut harus diakui sebagai keberhasilan yang sangat signifikan matematika komputasi dan teknologi komputer serta transformasi yang dihasilkannya di banyak cabang matematika.

Sketsa sejarah. Dalam sejarah matematika, empat periode dengan perbedaan kualitatif yang signifikan dapat diidentifikasi. Sulit untuk membagi periode-periode ini dengan tepat, karena masing-masing periode berikutnya berkembang dalam periode sebelumnya dan oleh karena itu terdapat tahap-tahap transisi yang cukup signifikan ketika ide-ide baru baru saja muncul dan belum menjadi pedoman baik dalam matematika itu sendiri maupun dalam penerapannya.

1) Masa lahirnya matematika sebagai ilmu yang mandiri disiplin ilmu; awal periode ini hilang dalam kedalaman sejarah; itu berlangsung sampai sekitar 6-5 abad SM. e.

2) Masa matematika dasar, matematika besaran tetap; hal ini berlanjut hingga kira-kira akhir abad ke-17, ketika perkembangan matematika baru yang “lebih tinggi” telah berkembang cukup jauh.

3) Periode matematika variabel; ditandai dengan penciptaan dan pengembangan analisis matematis, studi tentang proses pergerakan dan perkembangannya.

4) Periode matematika modern; ditandai dengan studi yang sadar dan sistematis jenis yang mungkin hubungan kuantitatif dan bentuk spasial. Studi geometri bukan hanya yang nyata ruang tiga dimensi, tetapi juga bentuk spasial yang serupa dengannya. DI DALAM analisis matematis variabel dianggap tidak hanya bergantung pada argumen numerik, tetapi juga dari beberapa baris (fungsi), yang mengarah ke konsep fungsionalitas Dan operator. Aljabar berubah menjadi teori operasi aljabar pada unsur-unsur yang sifatnya sewenang-wenang. Andai saja operasi ini dapat dilakukan terhadap mereka. Permulaan periode ini tentu saja dapat dikaitkan dengan paruh pertama abad ke-19.

DI DALAM Dunia kuno informasi matematika awalnya dimasukkan sebagai bagian integral dari pengetahuan para pendeta dan pejabat pemerintah. Ketersediaan informasi ini, sebagaimana dapat dinilai dari tablet tanah liat Babilonia dan Mesir yang sudah diuraikan papirus matematika, relatif besar. Terdapat bukti bahwa seribu tahun sebelum ilmuwan Yunani kuno Pythagoras, di Mesopotamia tidak hanya teori Pythagoras dikenal, namun masalah menemukan semua segitiga siku-siku dengan sisi bilangan bulat juga terpecahkan. Namun, sebagian besar dokumen pada masa itu adalah kumpulan aturan untuk produksi yang paling sederhana operasi aritmatika, serta untuk menghitung luas bangun dan volume benda. Tabel juga telah dilestarikan berbagai jenis untuk memudahkan perhitungan ini. Dalam semua manual, aturan tidak dirumuskan, tetapi dijelaskan dalam contoh yang sering terjadi. Transformasi matematika menjadi ilmu yang diformalkan dengan mapan metode deduktif konstruksi terjadi di Yunani Kuno. Di sana, kreativitas matematika tidak lagi mempunyai nama. Praktis aritmatika dan geometri di Yunani Kuno memiliki tingkat perkembangan yang tinggi. Awal mula geometri Yunani dikaitkan dengan nama Thales dari Miletus (akhir abad ke-7 SM - awal abad ke-6 SM), yang membawa ilmu pengetahuan utama dari Mesir. Di sekolah Pythagoras dari Samos (abad ke-6 SM), pembagian bilangan dipelajari, perkembangan paling sederhana diringkas, bilangan sempurna dipelajari, dan dipertimbangkan. berbagai jenis rata-rata (rata-rata aritmatika, rata-rata geometri, rata-rata harmonik), ditemukan kembali bilangan Pythagoras(tiga kali lipat bilangan bulat yang dapat menjadi sisi segitiga siku-siku). Pada abad ke 5-6 SM. masalah-masalah kuno yang terkenal muncul - mengkuadratkan lingkaran, membagi tiga sudut, menggandakan kubus, dan bilangan irasional pertama dibangun. Buku teks geometri sistematis pertama dikaitkan dengan Hippocrates dari Chios (paruh kedua abad ke-5 SM). Keberhasilan signifikan aliran Platonis terkait dengan upayanya penjelasan rasional struktur materi di Alam Semesta, - mencari semuanya polihedra biasa. Di perbatasan abad ke-5 dan ke-4 SM. Democritus, berdasarkan konsep atom, mengusulkan metode untuk menentukan volume benda. Metode ini dapat dianggap sebagai prototipe dari metode yang sangat kecil. Pada abad ke-4 SM. Eudoxus dari Cnidus mengembangkan teori proporsi. Abad ke-3 SM ditandai dengan intensitas kreativitas matematika terbesar. (Abad ke-1 yang disebut era Aleksandria). Pada abad ke-3 SM. matematikawan seperti Euclid, Archimedes, Apollonius dari Perga, Eratosthenes bekerja; kemudian – Heron (abad ke-1 M) Diophantus (abad ke-3). Dalam Elemennya, Euclid mengumpulkan dan melakukan revisi logis akhir atas pencapaian di bidang geometri; pada saat yang sama, ia meletakkan dasar-dasar teori bilangan. Prestasi utama Archimedes dalam geometri adalah penentuan berbagai luas dan volume. Diophantus terutama mempelajari solusi persamaan secara rasional angka positif. Sejak akhir abad ke-3, kemunduran matematika Yunani dimulai.

Matematika mencapai perkembangan signifikan di Tiongkok kuno dan India. Matematikawan Tiongkok dicirikan oleh teknik komputasi yang tinggi dan minat terhadap perkembangan umum metode aljabar. Pada abad ke 2-1 SM. "Matematikawan dalam Sembilan Buku" telah ditulis. Ini berisi teknik ekstraksi yang sama akar kuadrat, yang diatur dalam sekolah modern: metode untuk menyelesaikan sistem linier persamaan aljabar, rumusan aritmatika dari teorema Pythagoras.

Matematika India, yang berkembang pada abad ke-5 hingga ke-12, dikreditkan dengan penggunaan penomoran desimal modern, serta nol untuk menunjukkan tidak adanya satuan dengan pangkat tertentu, dan manfaat dari pengembangan aljabar yang jauh lebih luas daripada Diophantus, beroperasi tidak hanya dengan bilangan rasional positif, tetapi juga dengan bilangan negatif dan irasional.

Penaklukan Arab menyebabkan Asia Tengah ke Semenanjung Iberia ilmuwan selama abad ke 9-15 digunakan Arab. Pada abad ke-9, ilmuwan Asia Tengah al-Khwarizmi pertama kali menguraikan aljabar sebagai ilmu pengetahuan yang mandiri. Selama periode ini banyak masalah geometri menerima rumusan aljabar. Al-Battani dari Suriah memperkenalkan fungsi trigonometri sinus, tangen dan kotangen. Ilmuwan Samarkand al-Kashi (abad ke-15) memperkenalkannya desimal dan memberikan pemaparan sistematis, merumuskan rumus binomial Newton.

Intinya periode baru Perkembangan matematika dimulai pada abad ke-17, ketika gagasan gerak dan perubahan jelas masuk ke dalam matematika. Pertimbangan variabel dan hubungan antar variabel memunculkan konsep fungsi, turunan dan integral Kalkulus diferensial, Kalkulus integral, hingga munculnya disiplin matematika baru - analisis matematika.

Dari akhir abad ke-18 hingga awal abad ke-19, sejumlah ciri baru yang signifikan terlihat dalam perkembangan matematika. Ciri yang paling khas dari mereka adalah minat terhadap revisi kritis sejumlah persoalan dasar matematika. Gagasan yang tidak jelas tentang bilangan yang sangat kecil telah digantikan oleh rumusan yang tepat terkait dengan konsep limit.

Dalam aljabar pada abad ke-19, pertanyaan tentang kemungkinan penyelesaian persamaan aljabar secara radikal diklarifikasi (ilmuwan Norwegia N. Abel, ilmuwan Prancis E. Galois).

Pada abad ke-19 dan ke-20 metode numerik matematikawan tumbuh menjadi cabang independen - matematika komputasi. Aplikasi penting untuk yang baru teknologi komputer menemukan cabang yang berkembang pada abad ke-19 dan ke-20 matematika - matematika logika.

Materi disiapkan oleh O.V. Leshchenko, seorang guru matematika.