Sekarang mari kita perhatikan beberapa properti produk titik dan norma. Menerapkan pertidaksamaan dan memperhitungkan bahwa kita dapat menulis:

Sekarang mari kita buktikan apa yang disebut aturan segitiga

Kami memiliki:

atau, dengan mempertimbangkan (128), kita memperoleh:

dari mana berikut ini (129).

Sebagai kesimpulan dari masalah ini, kita akan mempertimbangkan pengaruh pilihan sistem koordinat terhadap metrik ruang, yaitu pada ekspresi kuadrat panjang vektor. Mari kita asumsikan bahwa alih-alih Cartesian utama yang kita ambil sistem baru koordinat, dan kami mengambil beberapa vektor independen sebagai vektor utama

Untuk vektor apa pun kita akan memiliki:

dimana komponen-komponennya pada sistem koordinat baru.

Panjang kuadrat vektor ini akan dinyatakan dengan hasil kali skalar vektor dan vektor itu sendiri, yaitu.

Memperluasnya, berdasarkan rumus di atas, kita akan mendapatkan ekspresi berikut untuk kuadrat panjang vektor:

dimana koefisien ditentukan oleh rumus

Ketika ikon-ikon tersebut disusun ulang, mereka jelas-jelas menjadi terkonjugasi, yaitu.

Penjumlahan bentuk (130) dengan koefisien yang memenuhi kondisi (131) biasa disebut bentuk Hermite. Jelas sekali bahwa setiap ekspresi bentuk (130) pada kondisi (131) hanya akan memiliki nilai riil untuk semua kemungkinan kompleks kompleks, karena dengan dua suku jumlah (130) akan terkonjugasi, dan dalam suku bentuk, karena kondisi (131), koefisiennya akan nyata . Selain itu, dengan konstruksi bentuk Hermite di dalam hal ini kita dapat menyatakan bahwa jumlah (130) adalah non-negatif dan akan hilang hanya jika semua orang bernilai nol. Rumus (130) menentukan metrik ruang dalam sistem koordinat baru.

Metrik (130) akan bertepatan dengan metrik (110) yang sesuai sistem kartesius, jika pada atau pada yaitu dengan kata lain jika vektor-vektor yang kita ambil sebagai vektor satuan akan menjadi dosen satuan yang saling ortogonal (panjangnya satu).

Berikut ini, sistem apa pun yang saling ortogonal dan vektor satuan kita akan menyebutnya sistem ortonormal.

Perhatikan juga bahwa jika rumus (113) mendefinisikan transformasi kesatuan untuk komponen-komponen vektor, maka transformasi yang sesuai untuk transisi dari vektor satuan sebelumnya ke vektor satuan baru akan diberikan dalam tabel

kontragradien U. Dalam hal ini, karena (123), tabel ini akan bertepatan dengan tabel U, dan nyata transformasi ortogonal itu hanya akan bertepatan dengan U.

Badan Federal untuk Pendidikan

Institusi pendidikan tinggi negeri pendidikan profesional Institut Pertambangan Negeri St. Petersburg dinamai demikian. G.V

(universitas teknik)

AP Gospodarikov, G.A. Colton, S.A. Khachatryan

Seri Fourier. Integral Fourier.

Kalkulus operasional

Manual pendidikan dan metodologi

SAINT PETERSBURG

UDC 512 + 517.2 (075.80)

Manual pendidikan dan metodologi memberikan kesempatan untuk memperoleh keterampilan praktis dalam menganalisis fungsi menggunakan ekspansi atau representasi deret Fourier dengan integral Fourier dan dimaksudkan untuk pekerjaan mandiri mahasiswa spesialisasi penuh waktu dan paruh waktu.

Manual ini membahas isu-isu utama kalkulus operasional dan berbagai masalah teknis dengan menggunakan dasar-dasar kalkulus operasional.

Editor Ilmiah Prof. . AP Gospodarikov

Peninjau: departemen matematika yang lebih tinggi Universitas Elektroteknik Negeri St. Petersburg No. 1; Doktor Fisika dan Matematika ilmu pengetahuan V.M. Chistyakov(Universitas Politeknik Negeri St. Petersburg).

Gospodarikov A.P.

G723. Seri Fourier. Integral Fourier. Kalkulus operasional: Manual pendidikan dan metodologi / AP Gospodarikov,G.A. Colton,S.A. Khachatryan; Institut Pertambangan Negeri St. Petersburg (Universitas Teknik). Sankt Peterburg, 2005. 102 hal.

ISBN 5-94211-104-9

UDC 512 + 517.2 (075.80)

BBK 22.161.5

Perkenalan

Diketahui dari teori Fourier bahwa dengan adanya pengaruh pada sistem fisik, teknis dan lainnya, hasilnya mengulangi bentuk sinyal masukan awal, hanya berbeda pada faktor skala. Jelas bahwa sistem bereaksi terhadap sinyal tersebut (disebut sinyalnya sendiri) dengan cara yang paling sederhana. Jika sinyal masukan sembarang merupakan kombinasi linier dari sinyalnya sendiri, dan sistemnya linier, maka respons sistem terhadap sinyal sembarang ini adalah jumlah reaksi terhadap sinyalnya sendiri. Dan seterusnya informasi lengkap Informasi tentang suatu sistem dapat diperoleh dari “blok penyusunnya”—respon sistem terhadap sinyal masukannya sendiri. Hal ini dilakukan, misalnya dalam teknik kelistrikan ketika memperkenalkan respon frekuensi sistem (fungsi transfer). Untuk sistem linier dan invarian waktu yang paling sederhana (misalnya, yang dijelaskan dengan persamaan diferensial biasa dengan koefisien konstan), dalam beberapa kasus fungsi eigennya berbentuk harmonik. Dengan cara ini, dimungkinkan untuk memperoleh hasil pengaruh sewenang-wenang pada sistem, jika sistem direpresentasikan sebagai kombinasi harmonik linier (umumnya dalam bentuk deret Fourier atau integral Fourier) . Hal inilah yang menjadi salah satu alasan mengapa dalam teori dan penerapannya perlu menggunakan konsep deret trigonometri (deret Fourier) atau integral Fourier.

Bab 1. Deret Fourier

§ 1. Ruang vektor

Ini dia informasi singkat dari aljabar vektor, diperlukan untuk pemahaman yang lebih baik tentang prinsip dasar teori deret Fourier.

Mari kita perhatikan himpunan vektor geometri (ruang vektor), yang konsep persamaan vektornya diperkenalkan dengan cara biasa, operasi linier(penjumlahan dan pengurangan vektor, perkalian vektor dengan bilangan) dan operasi perkalian skalar vektor.

Mari kita perkenalkan basis ortogonal dalam ruang , yang terdiri dari tiga vektor ortogonal berpasangan ,Dan . vektor gratis
adalah kombinasi linier dari vektor basis:

. (1.1)

Koefisien  Saya (Saya= 1, 2, 3), disebut koordinat vektor relatif terhadap basis
, dapat didefinisikan sebagai berikut. Produk titik suatu vektor dan salah satu vektor basis

.

Karena ortogonalitas basis, produk skalar
pada
, oleh karena itu, di sisi kanan persamaan terakhir hanya satu suku yang bersesuaian bukan nol
, Itu sebabnya
, Di mana

, (1.2)

Di mana
.

Jika vektor Dan diberikan oleh koordinatnya
Dan
, lalu produk skalarnya

.

sejak kapan
produk titik
, maka dalam jumlah ganda hanya suku-suku dengan indeks yang sama yang bukan nol

Khususnya ketika
dari (1.3) berikut ini

. (1.4)

§ 2. Hasil kali dalam dan norma fungsi

Mari kita nyatakan dengan simbol
himpunan fungsi yang kontinu sepotong-sepotong pada interval [ A, B], yaitu fungsi yang mempunyai interval [ A, B] sejumlah titik diskontinuitas jenis pertama yang terbatas dan kontinu di semua titik lain dalam interval ini.

Perkalian titik dari fungsi
nomor yang dipanggil

.

Sifat-sifat hasil kali skalar fungsi sepenuhnya bertepatan dengan sifat-sifat produk skalar vektor:

1.
.

2.
.

3.
.

4.
;
.

Jadi, perkalian titik bergantung secara linier pada komponen-komponennya. Properti ini disebut bilinearitas produk skalar.

Fungsi
disebut ortogonal
pada [ A, B], Jika
.

Norma fungsi
di antaranya [A, B] disebut bilangan non-negatif , yang kuadratnya sama dengan hasil kali skalar fungsi tersebut untuk dirimu sendiri:

.

Sifat-sifat norma suatu fungsi sebagian besar bertepatan dengan properti modul vektor:

1.
.

2. Jika fungsinya
terus menerus pada [ A, B] Dan
, Itu
. Karena
, lalu kapan

,

Di mana
. Membedakan relasi terakhir terhadap dan menerapkan teorema Barrow, kita peroleh
dan, oleh karena itu,
.

3. Tteorema kosinus .


.

Konsekuensi. Jika
, Itu
(Teorema Pythagoras).

4. Teorema Pythagoras yang digeneralisasi. Jika fungsinya (k = = 1, 2, …, N) berpasangan ortogonal pada interval tersebut
, Itu

.

Dengan menggunakan sifat bilinearitas produk skalar, kita peroleh

Karena ortogonalitas fungsinya produk titik
pada
, Itu sebabnya

.

5. NKesetaraan Cauchy – Bunyakovsky
, atau, apa yang sama,

.

Untuk apa pun yang nyata

Dengan demikian, trinomial kuadrat di sisi kiri pertidaksamaan terakhir mempertahankan tanda pada seluruh sumbu real, oleh karena itu bersifat diskriminan
.

Latihan 1. Buktikan sifat-sifat hasil kali skalar fungsi 1-3.

Latihan 2. Tunjukkan validitas pernyataan berikut:

a) fungsi
ortogonal terhadap fungsi
Dan
di antaranya
untuk bilangan bulat apa pun k Dan M;

b) untuk sembarang bilangan bulat k Dan M fungsi
Dan
ortogonal pada interval tersebut
;

c) fungsi
Dan
, dan juga
Dan
pada
ortogonal pada interval
Dan
;

d) fungsi
Dan
tidak ortogonal pada interval tersebut
.

Latihan 3. Dengan menggunakan sifat norma 5, buktikan pertidaksamaan segitiga

.

Produk skalar vektor (selanjutnya disebut SP). Teman-teman terkasih! Ujian matematika mencakup sekelompok masalah penyelesaian vektor. Kami telah mempertimbangkan beberapa masalah. Anda dapat melihatnya di kategori “Vektor”. Secara umum teori vektor tidak rumit, yang utama adalah mempelajarinya secara konsisten. Perhitungan dan operasi dengan vektor di kursus sekolah Matematikanya sederhana, rumusnya tidak rumit. Melihat. Pada artikel kali ini kita akan menganalisis soal-soal SP vektor (termasuk dalam Unified State Examination). Sekarang “perendaman” dalam teori:

H Untuk mencari koordinat suatu vektor, Anda perlu mengurangi koordinat ujungnyakoordinat asal yang sesuai

Dan satu hal lagi:

*Panjang vektor (modulus) ditentukan sebagai berikut:

Rumus ini harus diingat!!!

Mari kita tunjukkan sudut antar vektor:

Jelas bahwa ini dapat bervariasi dari 0 hingga 180 0(atau dalam radian dari 0 hingga Pi).

Kita dapat menarik beberapa kesimpulan tentang tanda hasil kali skalar. Panjang vektornya adalah nilai positif, ini jelas. Artinya, tanda hasil kali skalar bergantung pada nilai kosinus sudut antar vektor.

Kemungkinan kasus:

1. Jika sudut antar vektor lancip (dari 0 0 sampai 90 0), maka kosinus sudut tersebut bernilai positif.

2. Jika sudut antar vektor tumpul (dari 90 0 sampai 180 0), maka kosinus sudut tersebut bernilai negatif.

*Pada nol derajat, yaitu ketika vektor-vektornya mempunyai arah yang sama, kosinus sama dengan satu dan karenanya hasilnya akan positif.

Pada 180 o, yaitu ketika vektor-vektornya memiliki arah berlawanan, cosinus sama dengan minus satu,dan karenanya hasilnya akan negatif.

Sekarang POIN PENTING!

Pada 90 o, yaitu ketika vektor-vektor tegak lurus satu sama lain, kosinusnya sama dengan nol, dan oleh karena itu SP sama dengan nol. Fakta ini (konsekuensi, kesimpulan) digunakan dalam menyelesaikan banyak masalah yang sedang kita bicarakan posisi relatif vektor, termasuk dalam masalah yang termasuk dalam bank terbuka tugas matematika.

Mari kita rumuskan pernyataan: hasil kali skalar sama dengan nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut terletak pada garis tegak lurus.

Jadi, rumus vektor SP:

Jika koordinat vektor-vektor atau koordinat titik-titik awal dan akhir diketahui, maka kita selalu dapat mencari sudut antara vektor-vektor tersebut:

Mari kita pertimbangkan tugasnya:

27724 Tentukan hasil kali skalar vektor a dan b.

Kita dapat mencari hasil kali skalar vektor menggunakan salah satu dari dua rumus:

Sudut antar vektor tidak diketahui, tetapi kita dapat dengan mudah mencari koordinat vektor dan kemudian menggunakan rumus pertama. Karena titik asal kedua vektor berimpit dengan titik asal koordinat, maka koordinat vektor-vektor tersebut sama dengan koordinat ujung-ujungnya, yaitu

Cara mencari koordinat suatu vektor dijelaskan pada.

Kami menghitung:

Jawaban: 40

Mari kita cari koordinat vektornya dan gunakan rumus:

Untuk mencari koordinat suatu vektor, perlu dikurangi koordinat titik awalnya dari koordinat ujung vektor, yang artinya

Kami menghitung produk skalar:

Jawaban: 40

Tentukan sudut antara vektor a dan b. Berikan jawaban Anda dalam derajat.

Misalkan koordinat vektornya berbentuk:

Untuk mencari sudut antar vektor, kita menggunakan rumus hasil kali skalar vektor:

Kosinus sudut antar vektor:

Karena itu:

Koordinat vektor-vektor ini sama:

Mari kita substitusikan ke dalam rumus:

Sudut antar vektor adalah 45 derajat.

Jawaban: 45

Aplikasi. 1. Perkalian titik dari fungsi.

1. Perkalian titik dari fungsi.

Biarkan di segmen [ A, B] diberikan sistem fungsi yang dapat diintegralkan persegi pada [ A, B]:

kamu 0 (X), kamu 1 (X), kamu 2 (X), …, kamu n(X), …, (1)

Mirip dengan cara antar elemen ruang vektor diperkenalkan operasi perkalian titik vektor yang cocok dengan sepasang vektor ruang yang diberikan beberapa nomor - skalar , dan antar elemen sistem fungsi ini kamu saya(X), kamu j(X) dapat didefinisikan pengoperasian produk skalar fungsi, dilambangkan di bawah ini sebagai ( kamu saya(X), kamu j(X)).

Menurut definisi, operasi produk skalar antar elemen X , kamu Dan z beberapa ruang (termasuk antar elemen sistem fungsi) harus dimiliki properti berikut:

Perkalian titik antar elemen ruang fungsi kamu saya(X), kamu j(X) Saya, J= 0, 1, 2,..., dapat diintegrasikan pada [ A, B] dengan kotak, dimasukkan menggunakan operasi integrasi:

Definisi 1. Sistem (1) adalah sistem fungsi ortogonal di segmen [ A, B], jika ada dua fungsi kamu saya(X), kamu j(X), Saya, J= 0, 1, 2, ... dari sistem tertentu
ortogonal (di antara satu sama lain) pada [ A, B].

Definisi 2. Mari kita panggil dua fungsi kamu saya(X), kamu j(X), Saya, J= 0, 1, 2, ... sistem (1)
ortogonal di segmen [ A, B], jika kondisi berikut terpenuhi untuk produk skalarnya:

(4)

Nomor - ditelepon norma fungsi kamu saya(X).

Jika semua berfungsi kamu saya(X) memiliki tarif tunggal , yaitu

aku Saya = 1, Saya = 0, 1, 2, ... (5)

dan sistem fungsi (1) ortogonal terhadap [ A, B], maka sistem seperti itu disebut
ortonormal atau normal sistem ortogonal pada segmen [ A, B].

Jika kondisi normalitas fungsi pada awalnya tidak terpenuhi, dari sistem (1), jika perlu, dapat dipindahkan ke sistem (6), yang tentunya akan normal:

, Saya = 0, 1, 2, ... (6)

Perhatikan bahwa dari properti ortogonalitas elemen dari suatu sistem, mereka seharusnya kemandirian linier , yaitu. pernyataan berikut ini benar: Setiap sistem ortogonal vektor bukan nol(elemen)bebas linier.

2 .Konsep fungsi dasar.

Dari kursus aljabar linier anda tahu bahwa di ruang vektor anda bisa masuk dasar vektor- himpunan vektor sedemikian rupa sehingga vektor apa pun dari ruang vektor tertentu dapat menjadi satu-satunya cara direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis. Pada saat yang sama tidak ada satupun vektor basis yang dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier berhingga dari vektor basis yang tersisa (independensi linier dari vektor basis).

Jadi, misalnya, vektor apa pun ruang tiga dimensi dapat direpresentasikan secara unik sebagai kombinasi linier dari vektor basis :

= .

Di mana A, B, Dan C- beberapa nomor. Dan karena kemandirian linier(ortogonalitas) vektor basis tidak ada satu pun vektor yang dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis yang tersisa.

Mirip dengan di atas, di luar angkasa fungsi polinomial, yaitu dalam ruang polinomial yang derajatnya tidak lebih tinggi dari N:

hal(X) = A 0 + A 1 X + A 2 X 2 + … + sebuah n x n. (7)

suatu dasar dapat diperkenalkan dari polinomial dasar (indikatif) fungsi :

X 0 , X, X 2 , X 3 , …, xn(8)

Selain itu, jelas bahwa fungsi basis (8) bebas linier, yaitu. tidak ada satu pun fungsi basis (8) yang dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari fungsi basis lainnya. Selain itu, jelas bahwa derajat polinomial apa pun tidak lebih tinggi dari N dapat direpresentasikan secara unik dalam bentuk (7), yaitu. berupa kombinasi linier fungsi basis (8).

j i(X) =g Saya(xa) Saya + (xa)saya+ 1 , Saya= 1, 2, …, N(9)

Penjelasan untuk hal ini sebagian diberikan oleh yang terkenal analisis matematis Teorema Weierstrass, yang menyatakan bahwa setiap garis kontinu pada interval [ A, B] fungsi F(X) Mungkin " Bagus» didekati pada segmen ini dengan beberapa polinomial hal(X) derajat N, yaitu. meningkatkan derajatnya N polinomial hal(X), itu selalu bisa sedekat yang Anda suka cocok untuk fungsi berkelanjutan F(X).

Karena polinomial apa pun dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari fungsi polinomial basis tipe (8) atau (9), maka, berdasarkan teorema Weierstrass, suatu fungsi kontinu (yaitu, fungsi terdiferensiasi dua kali yang merupakan solusi) persamaan diferensial orde kedua) dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari fungsi basis (9), yang terdiferensiasi dua kali dan independen linier berpasangan.

Pertanyaan tentang topik tersebut

“Metode penyelesaian perkiraan masalah nilai batas biasa
persamaan diferensial".

(Kuliah 25 - 26)

1. Definisi dasar: Pengaturan linier masalah nilai batas untuk ODE pesanan kedua; jenis dan klasifikasi masalah nilai batas.

2. Metode untuk mengurangi masalah nilai batas menjadi tugas awal : rumusan masalah; metode penampakan; metode pengurangan; metode sapuan diferensial.

3. Metode beda hingga: rumusan masalah; universalitas metode beda hingga untuk memecahkan masalah nilai batas; pemilihan jenis perkiraan turunan untuk mereduksi masalah nilai batas menjadi SALU dengan matriks berstruktur tridiagonal.

4. Metode interpolasi atau metode kolokasi: mencari solusi perkiraan berupa kombinasi linier fungsi basis, persyaratan fungsi basis untuk memenuhi kondisi batas; mencari koefisien kombinasi linier berdasarkan kondisi kebetulan solusi eksak dan perkiraan pada titik kolokasi; pemilihan fungsi dasar.

5. Metode Galerkin- Konsep dasar teori metode Galerkin. Menemukan solusi perkiraan dalam bentuk kombinasi linier fungsi dasar , persyaratan untuk fungsi dasar. Pemilihan koefisien kombinasi linier yang menentukan jenis solusi perkiraan dari kondisi minimalisasi residu , karena penggantian solusi yang tepat masalah diferensial solusi perkiraan yang diinginkan.