Merumuskan sifat-sifat dasar integral. Sifat-sifat integral yang paling sederhana

Rumus dasar integrasi diperoleh dengan membalik rumus turunan, oleh karena itu sebelum mulai mempelajari topik yang dibahas, sebaiknya ulangi rumus diferensiasi 1 fungsi dasar (yaitu ingat tabel turunan).

Setelah mengenal konsep antiturunan, pengertian integral tak tentu, dan membandingkan operasi diferensiasi dan integrasi, siswa hendaknya memperhatikan fakta bahwa operasi integrasi bersifat multinilai, karena memberikan himpunan antiturunan tak terhingga pada interval yang dipertimbangkan. Namun pada kenyataannya, masalah menemukan hanya satu antiturunan telah terpecahkan, karena semua antiturunan dari suatu fungsi tertentu berbeda satu sama lain dengan nilai konstan

Di mana C– nilai sewenang-wenang 2.

Pertanyaan tes mandiri.

Berikan definisi fungsi antiturunan.

Apa yang dimaksud dengan integral tak tentu?

Apa itu fungsi integran?

Apa itu integran?

Tunjukkan makna geometris dari keluarga fungsi antiturunan.

6. Dalam keluarga tersebut, tentukan kurva yang melalui suatu titik

2. Sifat-sifat integral tak tentu.

TABEL INTEGRAL SEDERHANA

Di sini siswa diharuskan mempelajari sifat-sifat integral tak tentu berikut ini.

Milik 1. Turunan integral tak tentu sama dengan integral fungsi ke-3 (menurut definisi)

Milik 2. Diferensial integral sama dengan integran

itu. jika tanda diferensialnya terletak sebelum tanda integral, maka keduanya saling menghilangkan.

Milik 3. Jika tanda integral berada sebelum tanda diferensial, maka keduanya saling menghilangkan, dan nilai konstanta sembarang ditambahkan ke fungsi tersebut

Milik 4. Selisih dua antiturunan yang fungsinya sama adalah nilai konstan.

Milik 5. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari bawah tanda integral

Di mana A– bilangan konstan.

Omong-omong, sifat ini mudah dibuktikan dengan membedakan kedua ruas persamaan (2.4) dengan memperhitungkan sifat 2.

Milik 6. Integral jumlah (selisih) suatu fungsi sama dengan jumlah (selisih) integral fungsi-fungsi tersebut (jika ada secara terpisah)

Sifat ini juga mudah dibuktikan dengan diferensiasi.

Generalisasi alami properti 6

. (2.6)

Mengingat integrasi sebagai kebalikan dari diferensiasi, langsung dari tabel turunan paling sederhana kita dapat memperoleh tabel integral paling sederhana berikut.

Tabel integral tak tentu yang paling sederhana

1. , dimana, (2.7)

2. , dimana, (2.8)

4. , dimana,, (2.10)

9. , (2.15)

10. . (2.16)

Rumus (2.7) – (2.16) integral tak tentu yang paling sederhana harus dihafal. Pengetahuan tentang hal-hal tersebut memang diperlukan, namun jauh dari cukup untuk mempelajari cara berintegrasi. Keterampilan berkelanjutan dalam integrasi dapat dicapai hanya dengan memecahkan sejumlah masalah yang cukup besar (biasanya sekitar 150–200 contoh dari berbagai jenis).

Di bawah ini adalah contoh penyederhanaan integral dengan mengkonversikannya ke jumlah integral yang diketahui (2.7) – (2.16) dari tabel di atas.

Contoh 1.

.

Biarkan fungsinya kamu = F(X) didefinisikan pada interval [ A, B ], A < B. Mari lakukan operasi berikut:

1) mari kita berpisah [ A, B] titik A = X 0 < X 1 < ... < X Saya- 1 < X Saya < ... < X N = B pada N segmen parsial [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X Saya- 1 , X Saya ], ..., [X N- 1 , X N ];

2) di setiap segmen parsial [ X Saya- 1 , X Saya ], Saya = 1, 2, ... N, pilih titik sembarang dan hitung nilai fungsi pada titik ini: F(z saya ) ;

3) temukan karya-karyanya F(z saya ) · Δ X Saya , dimana adalah panjang sebagian segmen [ X Saya- 1 , X Saya ], Saya = 1, 2, ... N;

4) ayo berbaikan jumlah integral fungsi kamu = F(X) pada segmen [ A, B ]:

Dari sudut pandang geometri, jumlah σ ini adalah jumlah luas persegi panjang yang alasnya merupakan ruas-ruas parsial [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X Saya- 1 , X Saya ], ..., [X N- 1 , X N ], dan tingginya sama F(z 1 ) , F(z 2 ), ..., F(z n) sesuai (Gbr. 1). Mari kita nyatakan dengan λ panjang segmen parsial terpanjang:

5) tentukan limit jumlah integral kapan λ → 0.

Definisi. Jika terdapat limit berhingga dari jumlah integral (1) dan tidak bergantung pada cara pembagian segmen tersebut [ A, B] ke segmen parsial, atau dari pemilihan titik z saya di dalamnya, maka batas ini disebut integral tertentu dari fungsi kamu = F(X) pada segmen [ A, B] dan dilambangkan

Dengan demikian,

Dalam hal ini fungsinya F(X) dipanggil terintegrasi pada [ A, B]. Angka A Dan B masing-masing disebut batas bawah dan batas atas integrasi, F(X) – fungsi integran, F(X ) dx– ekspresi integran, X– variabel integrasi; segmen [ A, B] disebut interval integrasi.

Teorema 1. Jika fungsinya kamu = F(X) kontinu pada interval [ A, B], maka dapat diintegrasikan pada interval ini.

Integral tertentu yang batas integrasinya sama sama dengan nol:

Jika A > B, maka, menurut definisi, kami berasumsi

2. Arti geometris integral tertentu

Biarkan di segmen [ A, B] fungsi non-negatif kontinu ditentukan kamu = F(X ) . Trapesium lengkung adalah bangun datar yang dibatasi di atas oleh grafik suatu fungsi kamu = F(X), dari bawah - sepanjang sumbu Sapi, ke kiri dan kanan - garis lurus x = sebuah Dan x = b(Gbr. 2).

Integral pasti dari fungsi non-negatif kamu = F(X) dari sudut pandang geometris sama dengan luas trapesium lengkung yang dibatasi di atasnya oleh grafik fungsi kamu = F(X) , kiri dan kanan – ruas garis x = sebuah Dan x = b, dari bawah - segmen sumbu Sapi.

3. Sifat dasar integral tertentu

1. Nilai integral tertentu tidak bergantung pada penunjukan variabel integrasi:

2. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda integral tertentu:

3. Integral pasti dari jumlah aljabar dua fungsi sama dengan jumlah aljabar integral tentu dari fungsi-fungsi tersebut:

4.Jika berfungsi kamu = F(X) dapat diintegrasikan pada [ A, B] Dan A < B < C, Itu

5. (teorema nilai rata-rata). Jika fungsinya kamu = F(X) kontinu pada interval [ A, B], maka pada ruas ini terdapat titik sedemikian rupa

4. Rumus Newton–Leibniz

Teorema 2. Jika fungsinya kamu = F(X) kontinu pada interval [ A, B] Dan F(X) adalah salah satu antiturunannya pada segmen ini, maka rumus berikut ini valid:

yang disebut Rumus Newton–Leibniz. Perbedaan F(B) - F(A) biasanya ditulis sebagai berikut:

dimana simbol tersebut disebut double wildcard.

Jadi rumus (2) dapat ditulis sebagai:

Contoh 1. Hitung integral

Larutan. Untuk integran F(X ) = X 2 antiturunan sewenang-wenang memiliki bentuk

Karena antiturunan apa pun dapat digunakan dalam rumus Newton-Leibniz, untuk menghitung integral kita ambil antiturunan yang bentuknya paling sederhana:

5. Perubahan variabel pada integral tertentu

Teorema 3. Biarkan fungsinya kamu = F(X) kontinu pada interval [ A, B]. Jika:

1) fungsi X = φ ( T) dan turunannya φ "( T) kontinu di ;

2) sekumpulan nilai fungsi X = φ ( T) untuk adalah segmen [ A, B ];

3) φ ( A) = A, φ ( B) = B, maka rumus tersebut valid

yang disebut rumus untuk mengubah suatu variabel dalam integral tertentu .

Berbeda dengan integral tak tentu, dalam hal ini tidak perlu untuk kembali ke variabel integrasi asli - cukup temukan batas integrasi baru α dan β (untuk ini, Anda perlu menyelesaikan variabelnya T persamaan φ ( T) = A dan φ ( T) = B).

Alih-alih substitusi X = φ ( T) Anda dapat menggunakan substitusi T = G(X) . Dalam hal ini, menemukan batas integrasi baru atas suatu variabel T menyederhanakan: α = G(A) , β = G(B) .

Contoh 2. Hitung integral

Larutan. Mari perkenalkan variabel baru menggunakan rumus. Dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan, kita memperoleh 1 + x = T 2 , Di mana x = T 2 - 1, dx = (T 2 - 1)"dt= 2tdt. Kami menemukan batasan baru dalam integrasi. Untuk melakukan ini, mari kita gantikan batasan lama ke dalam rumus x = 3 dan x = 8. Kita mendapatkan : , dari mana T= 2 dan = 2; , Di mana T= 3 dan β = 3. Jadi,

Contoh 3. Menghitung

Larutan. Membiarkan kamu= mencatat X, Kemudian , ay = X. Menurut rumus (4)

Tugas utama kalkulus diferensial adalah mencari turunannya F'(X) atau diferensial df=F'(X)dx fungsi F(X). Dalam kalkulus integral, masalah invers terpecahkan. Menurut fungsi yang diberikan F(X) Anda perlu menemukan fungsi seperti itu F(X), Apa F'(x)=F(X) atau dF(x)=F'(X)dx=F(X)dx.

Dengan demikian, tugas utama kalkulus integral adalah pemulihan fungsi F(X) dengan turunan (diferensial) yang diketahui dari fungsi ini. Kalkulus integral memiliki banyak aplikasi dalam geometri, mekanika, fisika dan teknologi. Ini memberikan metode umum untuk mencari luas, volume, pusat gravitasi, dll.

Definisi. FungsiF(x), , disebut antiturunan dari fungsi tersebutF(x) pada himpunan X jika terdiferensiasi untuk sembarang danF'(x)=F(x) ataudF(x)=F(X)dx.

Dalil. Setiap garis kontinu pada interval [A;b] fungsiF(x) memiliki antiturunan pada segmen iniF(x).

Dalil. JikaF 1 (x) danF 2 (x) – dua antiturunan berbeda dengan fungsi yang samaF(x) pada himpunan x, maka keduanya berbeda satu sama lain dengan suku konstan, yaitu.F 2 (x)=F 1x)+C, dimana C adalah konstanta.

Integral tak tentu, sifat-sifatnya.

Definisi. KeseluruhanF(x)+Dari semua fungsi antiturunanF(x) pada himpunan X disebut integral tak tentu dan dilambangkan dengan:

Dalam rumus (1) F(X)dx ditelepon ekspresi integran,F(x) – fungsi integran, x – variabel integrasi, A C – konstanta integrasi.

Mari kita perhatikan sifat-sifat integral tak tentu yang mengikuti definisinya.

1. Turunan integral tak tentu sama dengan integran, selisih integral tak tentu sama dengan integran:

2. Integral tak tentu dari diferensial suatu fungsi sama dengan jumlah fungsi ini dan konstanta sembarang:

3. Faktor konstanta a (a≠0) dapat diambil sebagai tanda integral tak tentu:

4. Integral tak tentu dari jumlah aljabar sejumlah fungsi berhingga sama dengan jumlah aljabar integral fungsi-fungsi ini:

5. JikaF(x) – antiturunan dari fungsi tersebutF(x), maka:

6 (invarian rumus integrasi). Rumus integrasi apa pun akan mempertahankan bentuknya jika variabel integrasi diganti dengan fungsi terdiferensiasi dari variabel ini:

Di manau adalah fungsi terdiferensiasi.

Tabel integral tak tentu.

Mari kita memberi aturan dasar untuk mengintegrasikan fungsi.

Mari kita memberi tabel integral tak tentu dasar.(Perhatikan bahwa di sini, seperti dalam kalkulus diferensial, hurufnya kamu dapat ditetapkan sebagai variabel independen (kamu=X), dan fungsi dari variabel bebas (kamu=kamu(X)).)

Integral 1 – 17 disebut datar.

Beberapa rumus di atas pada tabel integral, yang tidak memiliki analogi pada tabel turunan, diverifikasi dengan membedakan ruas kanannya.

Perubahan variabel dan integrasi bagian-bagian dalam integral tak tentu.

Integrasi dengan substitusi (penggantian variabel). Biarkan integralnya perlu dihitung

Dalil. Biarkan fungsinyax=φ(t) terdefinisi dan terdiferensiasi pada himpunan T tertentu dan misalkan X adalah himpunan nilai dari fungsi tersebut di mana fungsi tersebut didefinisikanF(X). Lalu jika pada himpunan X fungsinyaF(

Integral antiturunan dan integral tak tentu.

Antiturunan suatu fungsi f(x) pada interval (a; b) adalah fungsi F(x) sedemikian rupa sehingga persamaannya berlaku untuk sembarang x dari interval tertentu.

Jika kita memperhitungkan fakta bahwa turunan dari konstanta C sama dengan nol, maka persamaan tersebut benar . Jadi, fungsi f(x) memiliki himpunan antiturunan F(x)+C, untuk konstanta sembarang C, dan antiturunan ini berbeda satu sama lain dengan nilai konstanta sembarang.

Seluruh himpunan antiturunan dari fungsi f(x) disebut integral tak tentu dari fungsi ini dan dilambangkan .

Ekspresi tersebut disebut integran, dan f(x) disebut integran. Integran mewakili diferensial dari fungsi f(x).

Tindakan mencari fungsi yang tidak diketahui berdasarkan diferensialnya disebut integrasi tak tentu, karena hasil integrasinya bukan hanya satu fungsi F(x), melainkan himpunan antiturunannya F(x)+C.

Integral tabel

Sifat-sifat integral yang paling sederhana

1. Turunan hasil integrasi sama dengan integran.

2. Integral tak tentu dari diferensial suatu fungsi sama dengan jumlah fungsi itu sendiri dan konstanta sembarang.

3. Koefisien dapat dikeluarkan dari tanda integral tak tentu.

4. Integral tak tentu jumlah/selisih fungsi sama dengan jumlah/selisih integral tak tentu fungsi.

Persamaan antara sifat pertama dan kedua integral tak tentu diberikan untuk klarifikasi.

Untuk membuktikan sifat ketiga dan keempat, cukup mencari turunan ruas kanan persamaan:

Turunan ini sama dengan integran, yang merupakan pembuktian sifat pertama. Ini juga digunakan dalam transisi terakhir.

Jadi, masalah integrasi adalah kebalikan dari masalah diferensiasi, dan terdapat hubungan yang sangat erat antara masalah-masalah ini:

properti pertama memungkinkan seseorang untuk memeriksa integrasi. Untuk mengecek kebenaran integrasi yang dilakukan cukup dengan menghitung turunan dari hasil yang diperoleh. Jika fungsi yang diperoleh dari hasil diferensiasi ternyata sama dengan integran, berarti integrasi telah dilakukan dengan benar;

sifat kedua dari integral tak tentu memungkinkan seseorang menemukan antiturunannya dari diferensial suatu fungsi yang diketahui. Perhitungan langsung integral tak tentu didasarkan pada sifat ini.

1.4.Invariansi bentuk integrasi.

Integrasi invarian adalah jenis integrasi untuk fungsi yang argumennya merupakan elemen grup atau titik dalam ruang homogen (titik mana pun dalam ruang tersebut dapat dipindahkan ke titik lain melalui tindakan grup tertentu).

fungsi f(x) direduksi menjadi menghitung integral bentuk diferensial f.w, dimana

Rumus eksplisit untuk r(x) diberikan di bawah ini. Syarat perjanjian itu berbentuk .

disini Tg berarti operator shift pada X menggunakan gОG: Tgf(x)=f(g-1x). Misalkan X=G adalah sebuah topologi, sebuah grup yang bekerja pada dirinya sendiri dengan menggeser ke kiri. saya.dan. ada jika dan hanya jika G kompak secara lokal (khususnya, pada grup berdimensi tak hingga I.I. tidak ada). Untuk subset dari I. dan. fungsi karakteristik cA (sama dengan 1 di A dan 0 di luar A) menentukan ukuran Xaar kiri m(A). Sifat yang menentukan dari ukuran ini adalah invariansinya pada pergeseran kiri: m(g-1A)=m(A) untuk semua gОG. Ukuran Haar kiri pada suatu grup didefinisikan secara unik hingga faktor skalar positif. Jika ukuran Haar m diketahui, maka I. dan. fungsi f diberikan oleh rumus . Ukuran Haar yang tepat memiliki sifat serupa. Terdapat homomorfisme kontinu (peta yang melestarikan properti grup) DG dari grup G ke dalam posisi grup (sehubungan dengan perkalian). nomor untuk yang mana

dimana dmr dan dmi adalah ukuran Haar kanan dan kiri. Fungsi DG(g) dipanggil modul grup G. Jika , maka grup G disebut. unimodular; dalam hal ini ukuran Haar kanan dan kiri bertepatan. Gugus padat, semisederhana, dan nilpoten (khususnya komutatif) bersifat unimodular. Jika G adalah grup Lie berdimensi n dan q1,...,qn adalah basis dalam ruang bentuk 1 invarian kiri di G, maka ukuran Haar kiri di G diberikan oleh bentuk-n. Dalam koordinat lokal untuk perhitungan

bentuk qi, Anda dapat menggunakan realisasi matriks apa pun dari grup G: matriks 1-bentuk g-1dg dibiarkan invarian, dan koefisiennya. adalah bentuk skalar 1 invarian kiri dari mana basis yang diperlukan dipilih. Misalnya, grup matriks lengkap GL(n, R) adalah unimodular dan ukuran Haar pada grup tersebut diberikan dalam bentuk. Membiarkan X=G/H adalah ruang homogen dimana grup kompak lokal G adalah grup transformasi, dan subgrup tertutup H adalah penstabil suatu titik tertentu. Agar i.i. ada di X, perlu dan cukup bahwa untuk semua hОH persamaan DG(h)=DH(h) berlaku. Hal ini khususnya berlaku jika H kompak atau semisederhana. Teori lengkap I. dan. tidak ada pada manifold berdimensi tak hingga.

Mengganti variabel.

Fungsi antiturunan dan integral tak tentu

Fakta 1. Integrasi adalah kebalikan dari diferensiasi, yaitu memulihkan suatu fungsi dari turunan yang diketahui dari fungsi tersebut. Fungsinya dipulihkan F(X) dipanggil antiturunan untuk fungsi F(X).

Definisi 1. Fungsi F(X F(X) pada interval tertentu X, jika untuk semua nilai X dari interval ini persamaan berlaku F "(X)=F(X), yaitu fungsi ini F(X) adalah turunan dari fungsi antiturunan F(X). .

Misalnya saja fungsinya F(X) = dosa X merupakan antiturunan dari fungsi tersebut F(X) = karena X pada seluruh garis bilangan, karena untuk sembarang nilai x (dosa X)" = (kos X) .

Definisi 2. Integral tak tentu suatu fungsi F(X) adalah himpunan semua antiturunannya. Dalam hal ini, notasi digunakan

∫

F(X)dx

dimana tandanya ∫ disebut tanda integral, fungsi F(X) – fungsi integran, dan F(X)dx – ekspresi integran.

Jadi, jika F(X) – beberapa antiturunan untuk F(X) , Itu

∫

F(X)dx = F(X) +C

Di mana C - konstanta sembarang (konstanta).

Untuk memahami pengertian himpunan antiturunan suatu fungsi sebagai integral tak tentu, analogi berikut ini tepat. Biarlah ada pintu (pintu kayu tradisional). Fungsinya adalah “menjadi pintu”. Pintunya terbuat dari apa? Terbuat dari kayu. Artinya himpunan antiturunan dari integral fungsi “menjadi pintu”, yaitu integral tak tentu, adalah fungsi “menjadi pohon + C”, dimana C adalah konstanta, yang dalam konteks ini dapat menunjukkan, misalnya, jenis pohon. Seperti halnya sebuah pintu dibuat dari kayu dengan menggunakan beberapa alat, maka turunan suatu fungsi “dibuat” dari fungsi antiturunan dengan menggunakan rumus yang kita pelajari saat mempelajari turunannya .

Kemudian tabel fungsi benda-benda biasa dan antiturunannya yang sesuai (“menjadi pintu” - “menjadi pohon”, “menjadi sendok” - “menjadi logam”, dll.) mirip dengan tabel dasar integral tak tentu, yang akan diberikan di bawah ini. Tabel integral tak tentu mencantumkan fungsi-fungsi umum dengan indikasi antiturunan dari mana fungsi-fungsi ini “dibuat”. Pada bagian soal mencari integral tak tentu, diberikan integran yang dapat diintegrasikan secara langsung tanpa banyak usaha, yaitu dengan menggunakan tabel integral tak tentu. Dalam permasalahan yang lebih kompleks, integran harus ditransformasikan terlebih dahulu agar integral tabel dapat digunakan.

Fakta 2. Saat memulihkan suatu fungsi sebagai antiturunan, kita harus memperhitungkan konstanta sembarang (konstanta) C, dan agar tidak menulis daftar antiturunan dengan berbagai konstanta dari 1 hingga tak terhingga, Anda perlu menulis himpunan antiturunan dengan konstanta sembarang C, misalnya seperti ini: 5 X³+C. Jadi, konstanta sembarang (konstanta) termasuk dalam ekspresi antiturunan, karena antiturunan dapat berupa fungsi, misalnya 5 X³+4 atau 5 X³+3 dan ketika dibedakan, 4 atau 3, atau konstanta lainnya menjadi nol.

Mari kita ajukan masalah integrasi: untuk fungsi ini F(X) temukan fungsi seperti itu F(X), turunannya siapa sama dengan F(X).

Contoh 1. Temukan himpunan antiturunan suatu fungsi

Larutan. Untuk fungsi ini, antiturunannya adalah fungsi tersebut

Fungsi F(X) disebut antiturunan untuk fungsi tersebut F(X), jika turunannya F(X) sama dengan F(X), atau, yang merupakan hal yang sama, diferensial F(X) sama F(X) dx, yaitu

(2)

Oleh karena itu, fungsi tersebut merupakan antiturunan dari fungsi tersebut. Namun, ini bukan satu-satunya antiturunan untuk . Mereka juga berfungsi sebagai fungsi

Di mana DENGAN– konstanta sewenang-wenang. Hal ini dapat dibuktikan dengan diferensiasi.

Jadi, jika ada satu antiturunan untuk suatu fungsi, maka untuk fungsi tersebut terdapat antiturunan yang jumlahnya tak terhingga dan berbeda suku konstan. Semua antiturunan suatu fungsi ditulis dalam bentuk di atas. Ini mengikuti teorema berikut.

Teorema (pernyataan formal fakta 2). Jika F(X) – antiturunan untuk fungsi tersebut F(X) pada interval tertentu X, lalu antiturunan lainnya untuk F(X) pada interval yang sama dapat direpresentasikan dalam bentuk F(X) + C, Di mana DENGAN– konstanta sewenang-wenang.

Pada contoh berikut, kita beralih ke tabel integral, yang akan diberikan pada paragraf 3, setelah sifat-sifat integral tak tentu. Kami melakukan ini sebelum membaca keseluruhan tabel agar intisari di atas jelas. Dan setelah tabel dan properti, kami akan menggunakannya secara keseluruhan selama integrasi.

Contoh 2. Temukan kumpulan fungsi antiturunan:

Larutan. Kami menemukan kumpulan fungsi antiturunan dari mana fungsi-fungsi ini “dibuat”. Ketika menyebutkan rumus-rumus dari tabel integral, untuk saat ini terima saja rumus-rumus tersebut di sana, dan kita akan mempelajari tabel integral tak tentu itu sendiri lebih jauh.

1) Menerapkan rumus (7) dari tabel integral untuk N= 3, kita peroleh

2) Menggunakan rumus (10) dari tabel integral untuk N= 1/3, kita punya

3) Sejak

maka menurut rumus (7) dengan N= -1/4 kita temukan

Bukan fungsi itu sendiri yang ditulis di bawah tanda integral. F, dan produknya dengan diferensial dx. Hal ini dilakukan terutama untuk menunjukkan variabel mana yang dicari antiturunannya. Misalnya,

, ;

di sini dalam kedua kasus integrannya sama dengan , tetapi integral tak tentu dalam kasus yang dipertimbangkan ternyata berbeda. Dalam kasus pertama, fungsi ini dianggap sebagai fungsi variabel X, dan yang kedua - sebagai fungsi dari z .

Proses mencari integral tak tentu suatu fungsi disebut mengintegrasikan fungsi tersebut.

Arti geometris dari integral tak tentu

Misalkan kita perlu mencari kurva kamu=F(x) dan kita telah mengetahui bahwa garis singgung sudut singgung pada setiap titiknya merupakan fungsi tertentu f(x) absis titik ini.

Menurut arti geometri turunannya, garis singgung sudut kemiringan garis singgung pada suatu titik tertentu pada kurva kamu=F(x) sama dengan nilai turunannya F"(x). Jadi kita perlu menemukan fungsi seperti itu F(x), untuk itu F"(x)=f(x). Fungsi yang diperlukan dalam tugas F(x) adalah antiturunan dari f(x). Kondisi permasalahan dipenuhi bukan oleh satu kurva, namun oleh sekelompok kurva. kamu=F(x)- salah satu kurva ini, dan kurva lainnya dapat diperoleh darinya dengan translasi paralel sepanjang sumbu Oi.

Sebut saja grafik fungsi antiturunan dari f(x) kurva integral. Jika F"(x)=f(x), maka grafik fungsinya kamu=F(x) ada kurva integral.

Fakta 3. Integral tak tentu secara geometris diwakili oleh keluarga semua kurva integral , seperti pada gambar di bawah ini. Jarak setiap kurva dari titik asal koordinat ditentukan oleh konstanta integrasi sembarang C.

Sifat-sifat integral tak tentu

Fakta 4. Teorema 1. Turunan integral tak tentu sama dengan integran, dan diferensialnya sama dengan integran.

Fakta 5. Teorema 2. Integral tak tentu dari diferensial suatu fungsi F(X) sama dengan fungsinya F(X) hingga suku konstan , yaitu

(3)

Teorema 1 dan 2 menunjukkan bahwa diferensiasi dan integrasi merupakan operasi yang saling berbanding terbalik.

Fakta 6. Teorema 3. Faktor konstanta integran dapat dikeluarkan dari tanda integral tak tentu , yaitu