Jika suatu barisan konvergen ke suatu bilangan berhingga a, maka tulislah
.
Sebelumnya kami telah mempertimbangkan barisan yang sangat besar. Kami berasumsi bahwa mereka konvergen dan menunjukkan batasnya dengan simbol dan . Simbol-simbol ini mewakili tanpa henti titik-titik terpencil

. Mereka tidak termasuk dalam himpunan bilangan real. Namun konsep limit memungkinkan kita memperkenalkan titik-titik tersebut dan menyediakan alat untuk mempelajari sifat-sifatnya menggunakan bilangan real.
Definisi Arahkan ke tak terhingga
, atau tak bertanda tak terhingga, adalah batas ke arah kecenderungan barisan yang sangat besar. Arahkan ke tak terhingga ditambah tak terhingga
, adalah batas kecenderungan suatu barisan yang sangat besar dengan suku-suku positif. Arahkan ke tak terhingga dikurangi tak terhingga

, adalah batas kecenderungan suatu barisan yang sangat besar dengan suku-suku negatif. Untuk siapa pun bilangan real
;
.

a terdapat ketidaksetaraan berikut: Dengan menggunakan bilangan real, kami memperkenalkan konsep tersebut.
lingkungan suatu titik di tak terhingga
Lingkungan suatu titik disebut himpunan.
Terakhir, lingkungan suatu titik disebut himpunan.

Di sini M adalah bilangan real yang besar dan sembarang. Jadi, kami telah memperluas himpunan bilangan real dengan memasukkan elemen baru ke dalamnya. Dalam hal ini, ada:

definisi berikut Garis bilangan diperpanjang atau himpunan bilangan real yang diperluas
.

adalah himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan elemen dan : Pertama, kita akan menuliskan sifat-sifat titik dan . Selanjutnya kami mempertimbangkan masalah yang ketat

definisi matematika

operasi untuk titik-titik ini dan bukti sifat-sifat ini..
; ;
; ;

Sifat-sifat titik di tak terhingga.
; ; ;
;
;
; ; .

Jumlah dan selisihnya.
Produk dan hasil bagi
; ;
; ; ; .
Hubungan dengan bilangan real > 0 Misalkan a adalah bilangan real sembarang. Kemudian
; ; .
Hubungan dengan bilangan real < 0 Misalkan a adalah bilangan real sembarang. Kemudian
; .

Biarkan a.
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

.

Kemudian

Operasi yang tidak ditentukan

Bukti sifat-sifat titik di tak terhingga jumlah dua poin
c = a + b,
termasuk dalam himpunan bilangan real yang diperluas,
,
kami akan menyebut batasnya
,
dimana dan adalah barisan sembarang yang mempunyai batas
Dan .

Operasi pengurangan, perkalian dan pembagian didefinisikan dengan cara yang sama. Hanya saja, dalam hal pembagian, unsur-unsur penyebut pecahan tidak boleh sama dengan nol.
Maka selisih dua poin:
- ini batasnya: .
Produk poin:
- ini batasnya: .
Pribadi:
- ini batasnya: .
Di sini dan adalah barisan sembarang yang limitnya berturut-turut adalah a dan b. DI DALAM kasus terakhir, .

Bukti properti

Untuk membuktikan sifat-sifat titik di tak terhingga, kita perlu menggunakan sifat-sifat barisan yang besarnya tak terhingga.

Pertimbangkan propertinya:
.
Untuk membuktikannya, kita harus menunjukkannya
,

Dengan kata lain, kita perlu membuktikan bahwa jumlah dua barisan yang konvergen hingga tak terhingga akan konvergen hingga tak terhingga.

1 ketidaksetaraan berikut terpenuhi:
;
.
Kemudian untuk dan kita memiliki:
.
Mari kita jelaskan.
Kemudian
pada ,
Di mana .

Artinya.

Sifat-sifat lain dapat dibuktikan dengan cara serupa. Sebagai contoh, kami memberikan satu bukti lagi.
.
Mari kita buktikan bahwa:
,
Untuk melakukan ini kita harus menunjukkannya

dimana dan adalah barisan sembarang, dengan limit dan .

Artinya, kita perlu membuktikan bahwa hasil kali dua barisan yang besarnya tak terhingga adalah barisan yang besarnya tak terhingga. 1 ketidaksetaraan berikut terpenuhi:
;
.
Kemudian untuk dan kita memiliki:
.
Mari kita jelaskan.
Kemudian
pada ,
Di mana .

Mari kita buktikan. Karena dan , maka terdapat beberapa fungsi dan , jadi untuk sembarang bilangan positif M

Operasi yang tidak ditentukan Bagian operasi matematika

dengan titik-titik di tak terhingga tidak terdefinisi. Untuk menunjukkan ketidakpastiannya, perlu diberikan beberapa kasus khusus ketika hasil operasi bergantung pada pilihan barisan yang termasuk di dalamnya.
.
Pertimbangkan operasi ini:

Mudah untuk menunjukkan bahwa jika dan , maka limit jumlah barisan bergantung pada pilihan barisan dan .

Memang benar, mari kita ambil.

Batas barisan tersebut adalah.

Batasan jumlah.

sama dengan tak terhingga. Sekarang mari kita ambil. Limit barisan-barisan tersebut juga sama.

Tapi batasan jumlahnya

. Mereka tidak termasuk dalam himpunan bilangan real. Namun konsep limit memungkinkan kita memperkenalkan titik-titik tersebut dan menyediakan alat untuk mempelajari sifat-sifatnya menggunakan bilangan real.
sama dengan nol 0 Artinya, asalkan dan , nilai batas jumlah dapat diambil
.
arti yang berbeda 1 . Oleh karena itu operasinya tidak ditentukan. 2 Dengan cara yang sama, Anda dapat menunjukkan ketidakpastian dari sisa operasi yang disajikan di atas.

Lingkungan titik nyata x 0 Setiap interval terbuka yang memuat titik ini disebut: 0 Di sini ε
.

dan ε 0 adalah lingkungan titik ini dimana titik x itu sendiri dikecualikan 0 :
.

Lingkungan titik akhir

Pada awalnya, definisi lingkungan suatu titik diberikan. Hal ini ditunjuk sebagai .
(1) .
Namun Anda dapat secara eksplisit menunjukkan bahwa lingkungan tersebut bergantung pada dua angka menggunakan argumen yang sesuai:

Artinya, lingkungan adalah sekumpulan titik-titik yang termasuk dalam interval terbuka. 1 Menyamakan ε 2 ke ε
(2) .
, kita mendapatkan epsilon - lingkungan:
Lingkungan epsilon adalah himpunan titik-titik yang termasuk dalam interval terbuka dengan ujung-ujung yang berjarak sama.

Tentu saja, huruf epsilon dapat diganti dengan yang lain dan mempertimbangkan δ - lingkungan, σ - lingkungan, dll.

Dalam teori limit, seseorang dapat menggunakan definisi ketetanggaan berdasarkan himpunan (1) dan himpunan (2). Menggunakan salah satu dari lingkungan ini memberikan hasil yang setara (lihat). Tetapi definisi (2) lebih sederhana, sehingga sering digunakan epsilon - lingkungan suatu titik yang ditentukan dari (2). Konsep lingkungan sebelah kiri, sebelah kanan, dan tertusuk juga banyak digunakan. titik akhir

. Berikut definisinya. 0 Lingkungan kiri dari titik nyata x adalah interval setengah terbuka yang terletak di sumbu nyata 0 di sebelah kiri titik x
;
.

, termasuk poin itu sendiri: 0 Lingkungan sisi kanan dari titik nyata x 0 di sebelah kiri titik x
;
.

adalah interval setengah terbuka yang terletak di sebelah kanan titik x

Lingkungan titik akhir yang tertusuk 0 Lingkungan tertusuk di titik x

- ini adalah lingkungan yang sama dimana titik itu sendiri dikecualikan. Mereka ditandai dengan lingkaran di atas huruf itu. Berikut definisinya. 0 :
.

Lingkungan titik x yang tertusuk 0 :
;
.

Epsilon tertusuk - lingkungan titik x:
;
.

Lingkungan sisi kiri yang menusuk:
;
.

Sekitar sisi kanan tertusuk

Lingkungan titik-titik di tak terhingga Seiring dengan titik akhir, lingkungan titik-titik di tak terhingga juga diperkenalkan. Semuanya tertusuk karena tidak ada bilangan real di tak terhingga (titik di tak terhingga didefinisikan sebagai limit di tak terhingga).

.
;
;
.

urutan besar
.
Lingkungan titik-titik di tak terhingga dapat ditentukan seperti ini:

Namun alih-alih M, kita menggunakan , sehingga lingkungan dengan ε lebih kecil merupakan subset dari lingkungan dengan ε lebih besar, seperti untuk lingkungan titik akhir.

Properti lingkungan Selanjutnya, kita menggunakan sifat nyata dari lingkungan suatu titik (berhingga atau tak terhingga). Itu terletak pada kenyataan bahwa lingkungan titik-titik dengan nilai yang lebih kecil

Biarlah ada titik akhir atau titik yang jauhnya tak terhingga. Dan biarkan saja.
Kemudian
;
;
;
;
;
;
;
.

Hal sebaliknya juga benar.

Kesetaraan definisi limit suatu fungsi menurut Cauchy

Sekarang kita akan menunjukkan bahwa dalam menentukan limit suatu fungsi menurut Cauchy, Anda dapat menggunakan lingkungan sembarang dan lingkungan dengan ujung-ujung yang berjarak sama.

Dalil
Definisi Cauchy tentang limit suatu fungsi yang menggunakan lingkungan sembarang dan lingkungan dengan ujung-ujung yang berjarak sama adalah ekuivalen.

Bukti

Mari kita rumuskan definisi pertama limit suatu fungsi.
Bilangan a adalah limit suatu fungsi di suatu titik (berhingga atau jauhnya tak terhingga), jika untuk sembarang angka positif ada nomor-nomor yang bergantung pada dan untuk semua , termasuk dalam lingkungan yang sesuai dari titik a:
.

Mari kita rumuskan definisi kedua dari limit suatu fungsi.
Suatu bilangan a adalah limit suatu fungsi di suatu titik jika untuk sembarang bilangan positif terdapat bilangan yang bergantung pada bilangan tersebut untuk semua:
.

Bukti 1 ⇒ 2

Mari kita buktikan bahwa jika suatu bilangan a merupakan limit suatu fungsi menurut definisi pertama, maka bilangan tersebut juga merupakan limit definisi kedua.

Biarkan definisi pertama dipenuhi. Artinya ada fungsi dan , jadi untuk sembarang bilangan positif berlaku:
di, di mana.

Karena angka-angkanya berubah-ubah, kami menyamakannya:
.
Lalu ada fungsi seperti itu dan , jadi untuk semua hal berikut ini berlaku:
di, di mana.

Perhatikan itu.
Misalkan bilangan positif terkecil dan .
.
Kemudian, sesuai dengan apa yang disebutkan di atas,

Jika, maka.
di, di mana.
Artinya, kami menemukan fungsi seperti itu, jadi untuk semua fungsi berikut ini berlaku:

Artinya bilangan a adalah limit fungsi menurut definisi kedua.

Bukti 2 ⇒ 1

Mari kita buktikan bahwa jika suatu bilangan a merupakan limit suatu fungsi menurut definisi ke-2, maka bilangan tersebut juga merupakan limit menurut definisi ke-1.
.

Biarkan definisi kedua terpenuhi. Mari kita ambil dua bilangan positif dan .
.

Dan biarlah itu menjadi yang terkecil di antara mereka. Kemudian, menurut definisi kedua, ada fungsi seperti itu, sehingga untuk sembarang bilangan positif dan untuk semua, maka:
.

Namun menurut, .

Oleh karena itu, dari berikut ini

Lalu untuk sembarang bilangan positif dan , kita temukan dua bilangan, jadi untuk semua :
Artinya bilangan a merupakan limit menurut definisi pertama. Teorema tersebut terbukti. Sastra bekas:

L.D. Kudryavtsev. Dengan baik

analisis matematistitik tunggal, kutub, atau titik tunggal pokok yang dapat dilepasfungsi tergantung padaterbatas, tidak terbatas atau tidak ada .

Mari kita masukkan dan, maka itu akan menjadi analitik di lingkungan titik tertentu. Yang terakhir akan menjadi titik tunggal yang bertipe sama dengan for. Perluasan lingkungan Laurent dapat diperoleh dengan substitusi sederhana dalam perluasan lingkungan Laurent. Namun dengan penggantian seperti itu, part yang benar diganti dengan part utama, begitu pula sebaliknya. Jadi, ini adil

Teorema 1. Dalam kasus singularitas yang dapat dilepas secara tak terhingga titik terpencil, perluasan fungsi Laurent di sekitar titik ini tidak mengandung derajat positif, dalam kasus tiangberisi jumlah yang terbatas, dan dalam kasus inifitur penting - tak terbatas.

Jika sudah tepat sasaran dapat dilepas fitur, biasanya dikatakan demikiananalitik di tak terhingga, dan terima. Dalam hal ini, fungsi tersebut jelas dibatasi di lingkungan suatu titik.

Biarkan fungsinya menjadi analitik dalam bidang lengkap. Dari analitik suatu fungsi pada suatu titik tak terhingga, maka fungsi tersebut dibatasi di sekitar titik tersebut; biarkan di. Di sisi lain, dari analitik hingga lingkaran setan mengikuti batasannya dalam lingkaran ini; biarlah itu ada di dalamnya. Namun fungsinya terbatas pada keseluruhan bidang: untuk semua orang yang kita miliki. Jadi, teorema Liouvilledapat diberikan bentuk berikut.

Teorema 2. Jika suatu fungsi bersifat analitik pada bidang penuh, maka fungsi tersebut konstan.

Sekarang mari kita perkenalkan konsepnyaresidu di tak terhingga. Biarkan fungsinya menjadi analitik di lingkungan suatu titik (kecuali, mungkin, titik itu sendiri); di bawahmengurangkan fungsi di tak terhingga memahami

dimana sebuah lingkaran cukup besar dilintasi searah jarum jam (sehingga lingkaran titiknya tetap berada di kiri).

Dari definisi ini dapat disimpulkan bahwa residu suatu fungsi di tak terhingga sama dengan koefisien di dalam pemuaian Laurentnya di sekitar suatu titik, yang diambil dengan tanda berlawanan:

Teorema 3. Jika suatu fungsi mempunyai jumlah titik tunggal yang berhingga pada bidang lengkapnya, maka jumlah semua residunya, termasuk residu di tak terhingga, sama dengan nol.

Bukti. Faktanya, biarkan a 1 ,…an titik tunggal terakhir dari fungsi tersebut dan - lingkaran yang memuat semuanya di dalamnya. Berdasarkan sifat integral, teorema residu, dan definisi residu pada suatu titik tak terhingga, kita memperoleh:

Dll.

Penerapan teori residu pada perhitungan integral.

Misalkan kita perlu menghitung integral dari fungsi nyata sepanjang beberapa segmen (terbatas atau tak terbatas) ( a,b) sumbu x. Mari kita tambahkan (a , b ) beberapa kurva yang berbatasan dengan ( a, b ) wilayah, dan melanjutkan secara analitis di.

Kami menerapkan teorema residu pada kelanjutan analitik yang dibangun:

(1)

Jika integral dapat dihitung atau dinyatakan dalam integral yang diinginkan, maka masalah perhitungan terselesaikan.

Dalam kasus segmen tak terhingga ( a, b ) biasanya mempertimbangkan keluarga kontur integrasi yang meluas tak terhingga, yang dibangun sedemikian rupa sehingga, sebagai hasil dari melewati batas, kita memperoleh integral atas ( a, b ). Dalam hal ini, integral atas pada relasi (1) tidak dapat dihitung, tetapi hanya dapat dicari limitnya, yang sering kali ternyata nol.

Berikut ini sangat berguna:

Lemma (Yordania). Jika pada suatu barisan busur lingkaran,(, A tetap) fungsinya cenderung nol secara seragam terhadap, maka untuk

. (2)

Bukti. Mari kita tunjukkan

Berdasarkan kondisi lemma, kapan juga cenderung nol, dan Misalkan sebuah >0; pada busur AB dan CD yang kita miliki.

Akibatnya, integral busur AB, CD cenderung nol pada.

Karena pertidaksamaan tersebut berlaku untuk , maka pada busur MENJADI

Oleh karena itu, dan dengan demikian juga cenderung nol pada. Jika di busur SE Jika sudut kutub dihitung searah jarum jam, maka akan diperoleh perkiraan yang sama. Dalam hal pembuktiannya disederhanakan, karena tidak perlu memperkirakan integral pada busur AB dan CD. Lemmanya terbukti.

Catatan 1. Urutan busur lingkaran pada lemma dapat diganti keluarga busur

kemudian, jika fungsi di cenderung nol secara seragam terhadap maka untuk

. (3)

Buktinya masih ada.

Catatan 2. Mari kita ganti variabelnya: iz=p , maka busur lingkaran lemma akan digantikan oleh busur, dan kita memperolehnya untuk fungsi apa pun F(hal ), cenderung nol sebagai relatif seragam dan untuk sembarang positif T

. (4)

Mengganti p pada (4) dengan (-p ) kita mendapatkannya dalam kondisi yang sama untuk

, (5)

dimana busur lingkaran (lihat gambar).

Mari kita lihat contoh penghitungan integral.

Contoh 1. .

Mari kita pilih fungsi tambahan. Karena memenuhi pertidaksamaan, maka secara seragam cenderung ke nol as, dan berdasarkan lemma Jordan, as

Karena kita mempunyai teorema residu

Dalam batasnya kita mendapatkan:

Memisahkan bagian nyata dan menggunakan paritas fungsi, kita temukan

Contoh 2. Untuk menghitung integral

Mari kita ambil fungsi tambahan. Kontur integrasi melewati titik singular z =0. Dengan teorema Cauchy

Dari lemma Jordan jelas bahwa. Untuk memperkirakannya, pertimbangkan perluasan Laurent di sekitar titik tersebut z =0

dimana teratur pada suatu titik z =0 fungsi. Dari sini jelas bahwa

Dengan demikian, teorema Cauchy dapat ditulis ulang menjadi

Mengganti integral pertama x kali x , kami menemukan bahwa itu sama, jadi kami punya

Pada batas pada dan akhirnya:

. (7)

Contoh 3. Hitung integralnya

Mari kita perkenalkan fungsi tambahan dan pilih kontur integrasi sama seperti pada contoh sebelumnya. Dalam kontur ini, logaritma memungkinkan identifikasi cabang bernilai tunggal. Misalkan menunjukkan cabang yang ditentukan oleh pertidaksamaan. Fungsinya ada pada intinya z = saya tiang orde kedua dengan residu

Dengan teorema residu.

Bilamana, dimulai dari beberapa yang cukup besar R , karena itu, .

Demikian pula untuk memulai dari yang cukup kecil r, oleh karena itu

Pada integral pertama setelah penggantian z=-x kita mendapatkan:

dan dengan demikian dalam batas yang kita miliki:

Membandingkan bagian nyata dan bagian imajiner menghasilkan:

, .

Contoh 4. Untuk integral

Mari pilih fungsi bantu dan kontur yang ditunjukkan pada gambar. Di dalam konturnya tidak ambigu, jika kita berasumsi demikian.

Di tepi atas dan bawah potongan yang termasuk dalam kontur ini, ia mengambil nilai dan, oleh karena itu, integralnya saling menghilangkan, yang memungkinkan untuk menghitung integral yang diperlukan. Di dalam kontur terdapat dua kutub fungsi orde pertama dengan residu masing-masing sama dengan:

Di mana. Menerapkan teorema residu, kita mendapatkan:

Sesuai dengan hal di atas, kami memiliki:

Sama seperti pada contoh sebelumnya, kita buktikan bahwa, dan kemudian pada limitnya, kita akan mendapatkan:

Dari sini, dengan membandingkan bagian imajiner, kita memperoleh:

Contoh 5. Hitung nilai pokok integral khusus

Mari pilih fungsi bantu dan kontur yang ditunjukkan pada gambar. Di dalam kontur fungsinya teratur. Di tepi bawah potongan sepanjang sumbu semi positif. Jadi, menurut teorema Cauchy:

(8).

Yang jelas, kapan dan kapan. Sepanjang, kita punya, masing-masing, dan, di mana berubah dari 0 ke dan dari ke masing-masing. Karena itu,

Melewati (8) ke batas di, kita peroleh

dimana integral yang diperlukan sama dengan

Contoh 6. Hitung integralnya

Mari kita pertimbangkan fungsinya. Mari kita potong*) .

Mari kita jelaskan. Saat berjalan berlawanan arah jarum jam di sekitar jalur tertutup (lihat gambar, garis putus-putus) dan mendapat kenaikan,

oleh karena itu, arg f (z )=( 1 +2  2 )/3 juga bertambah. Jadi, dalam tampilan potongannya, fungsi tersebut terbagi menjadi 3 cabang beraturan, berbeda satu sama lain dalam pilihan elemen awal fungsi, yaitu. nilai pada suatu saat.

Kita akan mempertimbangkan cabang fungsi yang ada di sisi atas potongan (-1,1). nilai-nilai positif, dan ambil konturnya,

___________________

*) Sebenarnya, ada dua potongan yang dibuat: dan, bagaimanapun, pada sumbu x di sebelah kanan titik x =1 fungsi kontinu: di atas potongan, di bawah potongan.

ditunjukkan pada gambar. Di pantai saya punya, mis. , di pantai II (setelah berkeliling titik z =1 searah jarum jam) (yaitu), yaitu. , integral di atas lingkaran dan, tentu saja, cenderung nol**) pada. Oleh karena itu, berdasarkan teorema Cauchy untuk domain terhubung perkalian

Untuk perhitungannya, kita menggunakan perluasan cabang 1/ di sekitar titik tak terhingga. Mari kita keluarkan dari bawah tanda akar, lalu kita dapatkan di mana dan merupakan cabang-cabang dari fungsi-fungsi ini, positif pada segmen (1,) dari sumbu real.

pada segmen sumbu nyata. Memperluas yang terakhir menggunakan rumus binomial:

kita temukan sisa cabang yang dipilih 1/ pada titik tak terhingga: (koefisien pada 1/ z dengan tanda sebaliknya). Tetapi integralnya sama dengan saldo ini dikalikan dengan, yaitu. akhirnya kita punya tempat

Contoh 7. Perhatikan integralnya.

__________________

**) Misalkan integral atas. Yang kita miliki, yaitu.

Mari kita simpulkan, jadi,

Di dalam lingkaran, integran mempunyai satu kutub II memesan dengan potongan

Dengan teorema residu yang kita miliki

Contoh 8. Mari kita hitung integralnya dengan cara yang sama

Setelah substitusi kita mempunyai:

Salah satu kutub integrand terletak di dalam lingkaran satuan, dan yang lainnya berada di luarnya, karena sifat akarnya persamaan kuadrat, dan berdasarkan kondisinya, akar-akar ini nyata dan berbeda. Jadi, dengan teorema residu

(9)

dimana letak tiang di dalam lingkaran. Karena sisi kanan(9) valid, maka memberikan integral yang diperlukan

Definisi. Arahkan ke tak terhingga bidang kompleks ditelepon titik tunggal yang terisolasi jelas fungsi analitisF(z), Jika di luar lingkaran dengan radius tertentu R,

itu. karena , tidak ada titik tunggal berhingga dari fungsi tersebut F(z).

Untuk mempelajari fungsi di suatu titik tak terhingga, kita melakukan penggantian
Fungsi

akan memiliki singularitas pada intinya ζ = 0, dan titik ini akan diisolasi, karena

di dalam lingkaran
Tidak ada poin khusus lainnya sesuai kondisi. Bersikap analitis dalam hal ini

lingkaran (kecuali yang disebut ζ = 0), fungsi
dapat diperluas dalam seri Laurent dalam kekuatan ζ . Klasifikasi yang dijelaskan pada paragraf sebelumnya tetap tidak berubah.

Namun jika kita kembali ke variabel aslinya z, lalu seri dalam pangkat positif dan negatif z'bertukar' tempat. Itu. Klasifikasi titik-titik di tak terhingga akan terlihat seperti ini:

Contoh. 1.
. z = Dot Saya

2.
− tiang orde ke-3. z = ∞ . Dot − secara signifikan.

titik tunggal

§18. Residu fungsi analitik pada titik tunggal terisolasi. z Biarkan intinya

F(z 0 adalah titik tunggal terisolasi dari fungsi analitik bernilai tunggal F(z) . Menurut sebelumnya, di sekitar titik ini
) dapat diwakili secara unik oleh deret Laurent:

Definisi.Di mana Deduksi F(z fungsi analitis z 0

) pada titik tunggal yang terisolasi bilangan kompleks, sama dengan nilai integral
, diambil dalam arah positif sepanjang kontur tertutup apa pun yang terletak dalam domain analitik fungsi dan mengandung satu titik tunggal di dalamnya z 0 .

Pengurangan ditunjukkan dengan simbol Res [F(z),z 0 ].

Sangat mudah untuk melihat bahwa residu pada titik tunggal beraturan atau titik tunggal yang dapat dipindahkan sama dengan nol.

Pada titik kutub atau titik tunggal, residunya sama dengan koefisien Dengan-1 baris Laurent:

.

Contoh. Temukan residu suatu fungsi
.

(Biarlah mudah untuk melihatnya

koefisien Dengan-1 diperoleh dengan mengalikan suku dengan N= 0:Res[ F(z),Dot ] =
}

Seringkali dimungkinkan untuk menghitung sisa fungsi di atas dengan cara yang sederhana. Biarkan fungsinya F(z) sudah termasuk. z 0 tiang orde pertama. Dalam hal ini, perluasan fungsi dalam deret Laurent berbentuk (§16):. Mari kita kalikan persamaan ini dengan (z−z 0) dan menuju ke limit di
. Hasilnya kita mendapatkan: Res[ F(z),z 0 ] =
Jadi, di

Dalam contoh terakhir kita memiliki Res[ F(z),Dot ] =
.

Untuk menghitung residu pada kutub orde tinggi, kalikan fungsinya

pada
(M− urutan kutub) dan bedakan deret yang dihasilkan ( M − 1) kali.

Dalam hal ini kita memiliki: Res[ F(z),z 0 ]

Contoh. Temukan residu suatu fungsi
di titik z= −1.

{Res[ F(z), −1] }

Kita mendefinisikan lingkungan titik ini sebagai bagian luar lingkaran yang berpusat di titik asal: kamu (∞, ε ) = {z ∈ | |z | > ε). Dot z = ∞ adalah titik tunggal terisolasi dari fungsi analitik w = F (z ), jika di suatu lingkungan titik ini tidak ada titik tunggal lain dari fungsi ini. Untuk menentukan jenis titik tunggal ini, kita melakukan perubahan pada variabel, dan titik z = ∞ langsung ke pokok persoalan z 1 = 0, fungsi w = F (z ) akan mengambil formulir . Jenis titik tunggal z = ∞ fungsi w = F (z ) kita akan menyebut jenis titik tunggal z 1 = 0 fungsi w = φ (z 1). Jika perluasan fungsinya w = F (z ) secara bertahap z di sekitar suatu titik z = ∞, yaitu pada nilai modulus yang cukup besar z , memiliki bentuk , lalu, menggantikan z aktif, kami akan menerima. Jadi, dengan perubahan variabel seperti itu, bagian utama dan reguler dari deret Laurent berpindah tempat, dan jenis titik tunggalnya z = ∞ ditentukan oleh banyaknya suku pada bagian kanan perluasan fungsi deret Laurent dalam pangkat z di sekitar suatu titik z = 0. Oleh karena itu
1. Poin z = ∞ adalah titik tunggal yang dapat dipindahkan jika perluasan ini tidak memuat bagian yang benar (kecuali, mungkin, untuk suku tersebut A 0);
2. Poin z = ∞ - tiang N -urutan jika bagian kanan diakhiri dengan istilah Sebuah · z n ;
3. Poin z = ∞ pada dasarnya adalah titik tunggal jika bagian beraturannya mengandung banyak suku tak terhingga.

Dalam hal ini, kriteria jenis titik tunggal berdasarkan nilainya tetap berlaku: jika z= ∞ adalah titik tunggal yang dapat dipindahkan, maka limit tersebut ada dan berhingga jika z= ∞ adalah kutub, maka limitnya tidak terhingga jika z= ∞ pada dasarnya adalah titik tunggal, maka batas ini tidak ada (tidak terbatas dan tidak terbatas).

Contoh: 1. F (z ) = -5 + 3z 2 - z 6. Fungsi tersebut sudah memiliki pangkat polinomial z , oleh karena itu, derajat tertinggi adalah yang keenam z
Hasil yang sama dapat diperoleh dengan cara lain. Kami akan menggantinya z aktif, kalau begitu . Untuk fungsi φ (z 1) poin z 1 = 0 adalah kutub orde keenam, oleh karena itu untuk F (z ) poin z = ∞ - kutub orde keenam.
2. . Untuk fungsi ini, dapatkan perluasan daya z sulit, jadi mari kita temukan: ; batasnya ada dan terbatas, jadi intinya z
3. . Bagian yang benar dari perluasan daya z mengandung banyak istilah yang tak terhingga, jadi z = ∞ pada dasarnya adalah titik tunggal. Jika tidak, fakta ini dapat ditentukan berdasarkan fakta bahwa fakta tersebut tidak ada.

Residu suatu fungsi pada titik tunggal yang jauhnya tak terhingga.

Untuk poin tunggal terakhir A , Di mana γ - sirkuit yang tidak berisi orang lain kecuali A , titik tunggal, dilintasi sedemikian rupa sehingga luas yang dibatasi olehnya dan memuat titik tunggal tersebut tetap berada di sebelah kiri (berlawanan arah jarum jam).

Mari kita definisikan dengan cara yang serupa: , dimana Γ − adalah kontur yang membatasi lingkungan tersebut kamu (∞, R ) poin z = ∞, yang tidak mengandung titik tunggal lainnya, dan dapat dilalui sehingga lingkungan ini tetap berada di sebelah kiri (yaitu searah jarum jam). Jadi, semua titik tunggal (final) lain dari fungsi tersebut harus ditempatkan di dalam kontur Γ − . Mari kita ubah arah melintasi kontur Γ − : . Menurut teorema utama tentang residu , di mana penjumlahan dilakukan pada semua titik tunggal berhingga. Oleh karena itu, akhirnya

,

itu. residu pada titik tunggal yang jauhnya tak terhingga sama dengan jumlahnya residu pada semua titik tunggal berhingga, diambil dengan tanda berlawanan.

Akibatnya, ada teorema jumlah total: jika berfungsi w = F (z ) bersifat analitik di semua bagian pesawat DENGAN , kecuali nomor terbatas poin tunggal z 1 , z 2 , z 3 , …,zk , maka jumlah residu di semua titik tunggal berhingga dan residu di tak terhingga adalah nol.

Perhatikan bahwa jika z = ∞ adalah titik tunggal yang dapat dipindahkan, maka residu pada titik tersebut dapat berbeda dari nol. Jadi untuk fungsinya tentu saja; z = 0 adalah satu-satunya titik tunggal berhingga dari fungsi ini, jadi , terlepas dari kenyataan bahwa, mis. z = ∞ adalah titik tunggal yang dapat dipindahkan.