Для операции можно также использовать оператор "набла":

Здесь учтено, что векторное произведение коллинеарных операторов равно нулю. Предлагается получить этот же результат путем непосредственного дифференцирования.

Из полученного результата можно получить важное следствие. Рассмотрим некоторую замкнутую кривую L и натянем на нее произвольную поверхность S .

Используя теорему Стокса, можем записать

Полученный результат сформулируем в виде теоремы:

Теорема 1. Циркуляция векторного поля по любому замкнутому контуру равна нулю.

Следствие 1. Криволинейный интеграл от градиента скалярной функции не зависит от выбора пути интегрирования и полностью определяется начальной и конечной точками линии интегрирования.

Доказательство. Сделаем рисунок.

Выполним простейшие преобразования

Следовательно

Это означает, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом. Следовательно, величина интеграла зависит только от выбора точек А и В:

Вычислим операцию. Для этого используем известную из векторной алгебры формулу для двойного векторного произведения

Перепишем эту формулу в более удобном для нас виде

Преобразование сделано так, чтобы в дальнейших формулах оператор "набла" не стоял на последней позиции. В терминах оператора "набла" получим

(Что было бы, если использовать обычную формулу для двойного векторного произведения?)

Используя обозначение оператора Лапласа, можно записать

Имеем систему трех дифференциальных соотношений, записанных для компонент вектора F .

Мы рассмотрели основные дифференциальные операции второго порядка. В дальнейшем будем их использовать при решении различных задач.

Формулы Грина

Получим еще несколько формул общего характера, которые связывают свойства различных функций и широко используются в приложениях. Запишем формулу Гаусса-Остроградского

Пусть и - две произвольные скалярные функции. Положим

Тогда теорема Гаусса-Остроградского принимает вид

Можно записать

Здесь введено обозначение

для производной функции по направлению

После подстановки этих выражений в видоизмененную формулу Гаусса-Остроградского получим

Эта формула называется первой формулой Грина.

Аналогично, если положить

то первая формула Грина примет вид

Вычитая соответствующие формулы, получим

Эта формула называется второй формулой Грина.

Используя формулы Грина, можно получить связи между значениями функции во внутренних точках выделенного объема и на границах.

Теорема 1. Значение функции во внутренней точке области Т , ограниченной поверхностью S , определяется формулой

расстояние между точками и. Доказательство. Рассмотрим точку и окружим ее маленькой сферической поверхностью радиуса

1. Основные понятия теории поля

Теория поля лежит в основе многих представлений современной физики, механики, математики. Основными ее понятиями являются градиент, поток, потенциал, ротор, дивергенция, циркуляция и др. Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа функций многих переменных.

Полем называется областьG пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины.

В физических задачах обычно встречаются величины двух типов: скаляры и векторы. В соответствии с этим рассматривают два вида полей.

Если каждой точке M этой области поставлено в соответствие некоторое числоU (M ) , говорят, что в

области задано (определено) скалярное поле. Примерами скалярных полей являются поле температур внутри некоторого нагретого тела (в каждой точкеM этого тела задана соответствующая температураU (M )), поле

освещённости, создаваемое каким-либо источником света. Пусть в пространстве фиксирована система

координаты точки M в этой системе координат. Значения функцииU (x ,y ,z ) совпадают со значениями поляU (M ) ,

поэтому для неё сохранён тот же символ.

Если каждой точке M этой области поставлен в соответствие определённый векторa (M ) , говорят, что

задано векторное поле. Один из примеров векторных полей - это поле скоростей стационарного потока жидкости. Оно определяется так: пусть областьG заполнена жидкостью, текущей в каждой точке с

некоторой скоростью v , не зависящей от времени (но

различной, вообще говоря, в разных точках); поставив в соответствие каждой точке M изG векторv (M ) , мы получим векторное поле, называемое полем скоростей.

Если a (M ) - некоторое векторное поле в

пространстве, то взяв в этом пространстве фиксированную прямоугольную декартову систему координат, можно

представить a (M ) как упорядоченную тройку скалярных

функций: a (M ) = (P (x ,y ,z ),Q (x ,y ,z ),R (x ,y ,z )) . Эти

Если функция U (M ) (илиa (M )) не зависит от

времени, то скалярное (векторное) поле называется стационарным ; поле, которое меняется с течением времени, называется нестационарным. Далее будем рассматривать только стационарные поля.

2. Основные характеристики скалярного и векторного полей

Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции U (x ,y ,z ) в точке

M (x ,y ,z ) , называютградиентом функции и обозначают

Известно, что градиент задаёт в точке M направление наибыстрейшего возрастания функцииU (x ,y ,z ) . Говорят, что скалярное полеU порождает

векторное поле градиента U .

Линией градиента скалярного поляU (M ) называют

всякую кривую, касательная к которой в каждой точке направлена по gradU в этой точке.

Таким образом, линии градиента поля - это те линии, вдоль которых поле меняется быстрее всего.

Чтобы сформулировать ещё одно свойство градиента, напомним определение поверхности уровня.

Поверхностью уровня функции (поля)U =U (x ,y ,z )

называется поверхность, на которой функция (поле) сохраняет постоянное значение. Уравнение поверхности уровня имеет вид U (x ,y ,z ) =C .

Таким образом, в каждой точке поля градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку.

Потоком Π векторного поляa = (P ,Q ,R ) через

поверхность σ называется поверхностный интеграл

∫∫ (P cosα + Q cosβ + R cosγ )dS

или, короче, ∫∫ a n dS , где черезn = (cosα , cosβ , cosγ )

обозначили единичный вектор нормали к поверхности σ , определяющий её сторону.

непрерывны, то

3. Формулы Стокса и Остроградского-Гаусса

Обозначим через L -- некоторый замкнутый контур, аσ -- поверхность, натянутая на этот контур.

Предполагается, что выбор направления на контуре согласован с выбором стороны поверхности (при обходе контура в выбранном направлении выбранная сторона находится слева).

Формула Стокса говорит о том, что циркуляция векторного поля вдоль некоторого контура равна потоку ротора векторного поля через поверхность, натянутую на этот контур.

Пусть теперь Ω - некоторая замкнутая ограниченная область, аσ - граница этой области. Тогда справедлива

σ Ω

Напомним, что поверхностный интеграл в левой части формулы (5) берется по внешней стороне поверхности σ .

Формула Остроградского-Гаусса означает, что тройной интеграл по области от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через поверхность, ограничивающую данную область.

4. Оператор Гамильтона. Некоторые виды скалярных и векторных полей

Английским математиком и механиком Гамильтоном был введён векторный дифференциальный оператор

называемый оператором набла.

Следует сразу отметить, что аналогия между символическим вектором и "настоящими" векторами не

полная. Именно, формулы, содержащие символический вектор, аналогичны обычным формулам векторной алгебры в том случае, если они не содержат произведений переменных величин (скалярных и векторных), то есть до тех пор, пока не приходится применять входящие в операции дифференцирования к произведению переменных величин.

Используя набла-вектор, градиент скалярного поля

Целесообразность введения символического векторасостоит в том, что с его помощью удобно получать и записывать различные формулы векторного анализа.

Продемонстрируем сказанное на примерах.

Задача 1. Доказать, что ротор градиента скалярного поляU (M ) равен 0 , то есть rot(gradU ) = 0.

Докажем сначала это равенство, не используя оператор Гамильтона. Таким образом,

∂ ∂

= ∂ x∂ y∂ U∂ U

∂ x∂ y

поскольку по теореме Шварца непрерывные смешанные производные равны.

Теперь, используя форму записи градиента (7) и ротора (9) через, имеем rot(gradU ) =× U .

Так как вектор U (произведение вектора на скалярU ) коллинеарен вектору, то их векторное

произведение равно 0 .

Задача 2. Записать дивергенцию градиента скалярного поля div(gradU ) , используя.

Образуя дивергенцию от gradU , получим

= ∂ 2 U + ∂ 2 U + ∂ 2 U . ∂ x 2∂ y 2∂ z 2

Лапласа и обозначают символом:

= ∂ 2+ ∂ 2+ ∂ 2. ∂ x 2∂ y 2∂ z 2

Поскольку скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то = 2 . Таким образом, div(gradU ) =2 U .

Векторное поле a (M ) называетсяпотенциальным,

если его можно представить как градиент некоторого скалярного поля U (M ) :

a = gradU .

Само скалярное поле U называется при этом потенциалом векторного поляa .

Для того, чтобы векторное поле a (M ) было

Необходимость выполнения равенства (10) доказана (см. задачу 1, рассмотренную выше).

Потенциал векторного поля можно найти по формуле

где (x 0 ,y 0 ,z 0 ) - произвольная точка областиG .

Векторное поле a (M ) , дивергенция которого

тождественно равна нулю, называется соленоидальным (трубчатым).

Для того чтобы сформулировать одно из важнейших свойств соленоидального поля, введём понятия векторной линии и векторной трубки.

Линия L , лежащая вG называетсявекторной

линией , если в каждой точке этой линии направление касательной к ней совпадает с направлением векторного поля в этой точке.

Известно, что векторная линия является интегральной кривой системы дифференциальных уравнений

В частности, если векторное поле есть поле скоростей стационарного потока жидкости, то его векторные линии -- это траектории частиц жидкости.

Векторная трубка - это замкнутое множество Φ точек областиG , в котором задано векторное полеa (M ) , такое, что всюду на его граничной поверхности вектор нормалиn ортогоналенa (M ) .

Векторная трубка состоит из векторных линий поля a (M ) . Векторная линия целиком содержится вΦ , если

одна точка линии содержится в Φ .

Интенсивностью трубкиΦ в сечении называется поток поляa (M ) через это сечение.

Если поле соленоидальное, то выполняется закон сохранения интенсивности векторной трубки.

Для поля скоростей v (M ) несжимаемой жидкости приs отсутствии стоков и источников (то есть при условии divv (M ) = 0) закон сохранения интенсивности векторной

трубки можно сформулировать таким образом: количество жидкости, протекающей за единицу времени через сечение векторной трубки, одно и то же для всех ee сечений.

Ниже приводятся некоторые типичные задачи с решениями.

Задача 3 . Найти поверхности уровня скалярного поля

U (M) = x2 + y2 − z.

поверхности уровня представляют собой семейство эллиптических параболоидов, осью симметрии которых является ось Oz .

Задача 4.

В скалярном поле U (M ) =xy 2 + z 2 найти

градиент в точке M 0 (2,1,− 1) .

Найдем значения

частных производных

U (M ) в точкеM 0 :

∂U

|M 0 =y 2 |M 0 = 12 = 1,

∂U

|M 0 = 2xy |M 0 = 2 2 1 = 4,

∂x

∂y

∂U

2 (− 1) =− 2.

∂z

Следовательно,

gradU (M 0 ) =s i + 4s j − 2k s .

Вычислить дивергенцию векторного поля

a(M) = 2 xy2 i− yz j+ 3 z2 k

в точке M 0 (1,− 2,1) .

P = 2xy 2 ,Q =− yz ,R = 3z 2 . Найдём значение

соответствующих частных производных в точке M 0 :

∂ P|

2 y 2 |

2 (− 2)2 = 8,

∂Q

= − z |

= − 1,

∂x

∂y

Ротор (математика) Ро́тор , или вихрь - векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Обозначается (в русскоязычной литературе) или (в англоязычной литературе), а также - как векторное умножение дифференциального оператора набла на векторное поле: Результат действия этого оператора на конкретное векторное поле F называется ротором поля F или, короче, просто ротором F и представляет собой новое векторное поле: Поле rot F (длина и направление вектора rot F в каждой точке пространства) характеризует в некотором смысле вращательную составляющую поля F соответственно в каждой точке. Интуитивный образ Если v (x,y,z) - поле скорости движения газа (или течения жидкости), то rot v - вектор, пропорциональный вектору угловой скорости очень маленькой и лёгкой пылинки (или шарика), находящегося в потоке (и увлекаемого движением газа или жидкости; хотя центр шарика можно при желании закрепить, лишь бы он мог вокруг него свободно вращаться). Конкретно rot v = 2 ω , где ω - эта угловая скорость. Простую иллюстрацию этого факта - см. ниже. Эта аналогия может быть сформулирована вполне строго (см. ниже). Основное определение через циркуляцию (данное в следующем параграфе) можно считать эквивалентным полученному таким образом. Математическое определение Ротор векторного поля - есть вектор, проекция которого на каждое направлениеn есть предел отношения циркуляции векторного поля по контуру L , являющемуся краем плоской площадки ΔS , перпендикулярной этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку: . Направление обхода контура выбирается так, чтобы, если смотреть в направлении , контур L обходился по часовой стрелке . В трёхмерной декартовой системе координат ротор (в соответствии с определением выше) вычисляется следующим образом (здесь F - обозначено некое векторное поле с декартовыми компонентами , а - орты декартовых координат): Для удобства можно формально представлять ротор как векторное произведение оператора набла(слева) и векторного поля: (Последнее равенство формально представляет векторное произведение как определитель). Связанные определения Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется безвихревым и является потенциальным . Поскольку эти условия являются друг для друга необходимыми и достаточными, оба термина являются практическими синонимами. (Впрочем, это верно только для случая полей, определённых на односвязной области). Чуть подробнее о взаимной обусловленности потенциальности и безвихревого характера поля - см. ниже (Основные свойства). Напротив, поле, ротор которого не равен нулю, называется обычно вихревым , такое поле не может быть потенциальным. Обобщение Наиболее прямое обобщение ротора применительно к векторным (и псевдовекторным) полям, определённым на пространствах произвольной размерности (при условии совпадения размерности пространства с размерностью вектора поля) такое при индексах m и n от 1 до размерности пространства. Это же может быть записано как внешнее произведение: При этом ротор есть антисимметричное тензорное поле валентности два. В случае размерности 3 свертка этого тензора с символом Леви-Чивиты даёт обычное определение трехмерного ротора, приведённое в статье выше. Для двумерного пространства может быть вдобавок при желании использована аналогичная формула с псевдоскалярным произведением (такой ротор будет псевдоскаляром, совпадающим с проекцией традиционного векторного произведения на ось, ортогональную данному двумерному пространству - если считать при этом двумерное пространство вложенным в некое трехмерное, чтобы традиционное векторное произведение имело смысл). Важнейшими характеристиками векторного поля являются ротор и дивергенция. В этом параграфе мы рассмотрим математическое описание этих характеристик векторных поле и методы их вычисления с помощью дифференциальных операций. При этом мы будем использовать только декартову систему координат. Более полное определение дивергенции и ротора и их физический смысл рассмотрим в следующей главе. Вычисление этих величин в криволинейных системах координат рассмотрим позже. Рассмотрим векторное поле, заданное в трехмерном пространстве. Определение 1. Дивергенцией векторного поля называется число, которое определяется выражением При этом предполагается, что соответствующие частные производные существуют в рассматриваемой точке. Дивергенцию векторного поля, так же, как и градиент, можно записать, используя оператор набла Здесь дивергенция представлена как скалярное произведение векторов и F . Отметим без доказательства, что дивергенция описывает плотность источников, создающих поле. Пример 1. Вычислить дивергенцию векторного поля в точке. Определение 2. Ротором векторного поля называется вектор, который определяется выражением Отметим, что в представленной сумме индексы в соседних слагаемых изменяются согласно правилу круговой перестановки с учетом правила. Ротор векторного поля можно записать с помощью оператора набла Ротор характеризует тенденцию к вращению или завихрению векторного поля, поэтому иногда его называют вихрем и обозначают curlF . Пример 1. Вычислить ротор векторного поля в точке. Иногда возникает необходимость вычисления градиента векторного поля. В этом случае вычисляется градиент от каждой компоненты векторного поля. В результате получается тензор второго ранга, которым и определяется градиент вектора. Этот тензор можно описать матрицей Для описания таких объектов удобно использовать тензорные обозначения полагая. Использование тензорных методов упрощает математические операции над такими объектами. Детальное изложение аппарата тензорного исчисления дается в курсе «Основы тензорного анализа», который читается параллельно курсу «Дополнительные главы высшей математики». Пример 1. Вычислить градиент векторного поля. Решение. Для вычислений используем тензорные обозначения. Имеем Здесь символ Кронекера, - единичная матрица. Пример 2. Вычислить градиент скалярного поля и сравнить выражения и. Некоторые свойства оператора набла Ранее мы ввели оператор векторного дифференцирования С помощью этого оператора мы записали основные дифференциальные операции в тензорных полях: Оператор является обобщением оператора дифференцирования и обладает соответствующими свойствами производной: 1) производная суммы равна сумме производных 2) постоянный множитель можно выносить за знак оператора В переводе на язык векторных функций эти свойства имеют вид: Выводятся эти формулы так же, как и соответствующие формулы для производных функции одной переменной. Использование оператора Гамильтона позволяет упростить многие операции, связанные с дифференцированием в тензорных полях. Однако следует иметь в виду, что этот оператор векторный и с ним надо обращаться аккуратно. Рассмотрим некоторые применения этого оператора. При этом соответствующие формулы записываются как с помощью оператора Гамильтона, так и в обычных обозначениях. Понравилась статья? Поделитесь с друзьями! Поделиться в Facebook Читайте также Урал - география, презентации населены хищниками: бурыми медведями, волками Партизанское и подпольное движение «Конь с розовой гривой Конь с розовой гривой санька Тривиальный Что значит тривиальный Сочинение на тему: Степа дрова колет Соченение тему степа дрова колет Формирование мембраноатакующего комплекса и его роль в лизисе клетки Информационный проект «Охранять природу – значит охранять Родину Краткий пересказ японские трехстишия хокку Наверх