Пример. Вернёмся к примеру (1.13 ):

x = 1 + 12t 3t2

(координата измеряется в метрах, время в секундах). Последовательно дифференцируя два раза, получаем:

vx = x = 12 6t;

ax = vx = 6:

Как видим, ускорение постоянно по модулю и равно 6 м/с2 . Направлено ускорение в сторону, противоположную оси X.

Приведённый пример есть случай равноускоренного движения, при котором модуль и направление ускорения неизменны. Равноускоренное движение один из важнейших и часто встречающихся видов движения в механике.

Из данного примера нетрудно понять, что при равноускоренном движении проекция скорости является линейной функцией времени, а координата квадратичной функцией. Мы поговорим об этом более подробно в соответствующем разделе, посвящённом равноускоренному движению.

Пример. Рассмотрим более экзотический случай:

x = 2 + 3t 4t2 + 5t3 :

Дифференцируем:

vx = x = 3 8t + 15t2 ;

ax = vx = 8 + 30t:

Данное движение не является равноускоренным: ускорение зависит от времени.

Пример. Пусть тело движется вдоль оси X по следующему закону:

Мы видим, что координата тела периодически изменяется, находясь в пределах от 5 до 5. Данное движение является примером гармонических колебаний, когда координата меняется со временем по закону синуса.

Дифференцируем дважды:

vx = x = 5 cos 2t 2 = 10 cos 2t;

ax = vx = 20 sin 2t:

Проекция скорости меняется по закону косинуса, а проекция ускорения снова по закону синуса. Величина ax пропорциональна координате x и противоположна ей по знаку (а именно, ax = 4x); вообще, соотношение вида ax = !2 x характерно для гармонических колебаний.

1.2.8 Закон сложения скоростей

Пусть имеются две системы отсчёта. Одна из них связана с неподвижным телом отсчёта O. Эту систему отсчёта обозначим K и будем называть неподвижной.

Вторая система отсчёта, обозначаемая K0 , связана с телом отсчёта O0 , которое движется относительно тела O со скоростью ~u. Эту систему отсчёта называем движущейся. Дополнительно

предполагаем, что координатные оси системы K0 перемещаются параллельно самим себе (нет вращения системы координат), так что вектор ~u можно считать скоростью движущейся системы относительно неподвижной.

Неподвижная система отсчёта K обычно связана с землёй. Если поезд плавно едет по рельсам со скоростью ~u, то система отсчёта, связанная с вагоном поезда, будет движущейся системой отсчёта K0 .

Заметим, что скорость любой точки вагона3 равна ~u. Если муха неподвижно сидит в некоторой точке вагона, то относительно земли муха движется со скоростью ~u. Муха переносится вагоном, и потому скорость ~u движущейся системы относительно неподвижной называется переносной скоростью.

Предположим теперь, что муха поползла по вагону. Тогда появляются ещё две скорости, которые нужно рассмотреть.

Скорость мухи относительно вагона (то есть в движущейся системе K0 ) обозначается ~v0 и

называется относительной скоростью.

Скорость мухи относительно земли (то есть в неподвижной системе K) обозначается ~v и

называется абсолютной скоростью.

Выясним, как связаны друг с другом эти три скорости абсолютная, относительная и переносная.

На рис. 1.11 муха обозначена точкой M. Далее:

~r радиус-вектор точки M в неподвижной системе K; ~r0 радиус-вектор точки M в движущейся системе K0 ;

~ радиус-вектор тела отсчёта0 в неподвижной системе.

Рис. 1.11. К выводу закона сложения скоростей

Как видно из рисунка,

~ 0 ~r = R + ~r:

Дифференцируя это равенство, получим:

Производная d~r=dt есть скорость точки M в системе K, то есть абсолютная скорость:

d~r dt = ~v:

Аналогично, производная d~r 0 =dt есть скорость точки M в системе K0 , то есть относительная

скорость:

d~r dt 0 = ~v0 :

3 Кроме вращающихся колёс, но их мы не берём во внимание.

А что такое ~ ? Это скорость точки0 в неподвижной системе, то есть переносная dR=dt O

скорость ~u движущейся системы относительно неподвижной:

dR dt = ~u:

В результате из (1.28 ) получаем:

~v = ~u + ~v 0 :

Закон сложения скоростей. Скорость точки относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости движущейся системы и скорости точки относительно движущейся системы. Иными словами, абсолютная скорость есть сумма переносной и относительной скоростей.

Таким образом, если муха ползёт по движущемуся вагону, то скорость мухи относительно земли равна векторной сумме скорости вагона и скорости мухи относительно вагона. Интуитивно очевидный результат!

1.2.9 Виды механического движения

Простейшими видами механического движения материальной точки являются равномерное и прямолинейное движения.

Движение называется равномерным, если модуль вектора скорости остаётся постоянным (направление скорости при этом может меняться).

Движение называется прямолинейным, если оно происходит вдоль некоторой прямой (величина скорости при этом может меняться). Иными словами, траекторией прямолинейного движения служит прямая линия.

Например, автомобиль, который едет с постоянной скоростью по извилистой дороге, совершает равномерное (но не прямолинейное) движение. Автомобиль, разгоняющийся на прямом участке шоссе, совершает прямолинейное (но не равномерное) движение.

А вот если при движении тела остаются постоянными как модуль скорости, так и её направление, то движение называется равномерным прямолинейным. Итак:

равномерное движение, j~vj = const;

равномерное прямолинейное движение, ~v = const.

Важнейшим частным случаем неравномерного движения является равноускоренное движение, при котором остаются постоянными модуль и направление вектора ускорения:

равноускоренное движение, ~a = const.

Наряду с материальной точкой в механике рассматривается ещё одна идеализация твёрдое тело.

Твёрдое тело это система материальных точек, расстояния между которыми не меняются со временем. Модель твёрдого тела применяется в тех случаях, когда мы не можем пренебречь размерами тела, но можем не принимать во внимание изменение размеров и формы тела в процессе движения.

Простейшими видами механического движения твёрдого тела являются поступательное и вращательное движения.

Движение тела называется поступательным, если всякая прямая, соединяющая две какиелибо точки тела, перемещается параллельно своему первоначальному направлению. При поступательном движении траектории всех точек тела идентичны: они получаются друг из друга параллельным сдвигом.

Так, на рис. 1.12 показано поступательное движение серого квадрата. Произвольно взятый зелёный отрезок этого квадрата перемещается параллельно самому себе. Траектории концов отрезка изображены синими пунктирными линиями.

Рис. 1.12. Поступательное движение

Движение тела называется вращательным, если все его точки описывают окружности, лежащие в параллельных плоскостях. При этом центры данных окружностей лежат на одной прямой, которая перпендикулярна всем этим плоскостям и называется осью вращения.

На рис. 1.13 изображён шар, вращающийся вокруг вертикальной оси. Так обычно рисуют земной шар в соответствующих задачах динамики.

Рис. 1.13. Вращательное движение

Закон сложения скоростей в релятивистской механике

Пусть относительно системы К′ материальная точка движется со скоростью u′ (Рис. 2.3.2). Найдем скоростьu материальной точки относительно системы К . Проекции скоростей u и u ′ на оси координат в системах К и К′ соответственно можно представить следующим образом:

, , , , , . (2.3.10)

Согласно преобразованиям Лоренца (4 – 7),

, , , . (2.3.11)

Подставив выражения (2.3.11) в (2.3.10), поcле преобразований получим релятивистский закон сложения скоростей:

, (2.3.12)

, (2.3.13)

. (2.3.14)

Если скорости v и u малы по сравнению со скоростью света, то выражения (2.3.12) – (2.3.14) переходят в закон сложения скоростей в классической механике:

, , . (2.3.15)

Пусть материальная точка движется параллельно оси х .

Тогда и релятивистский закон сложения скоростей (2.3.12) принимает вид:

. (2.3.16)

Если в системе К′ , то в системе К ,

т.е. при сложении двух скоростей результирующая скорость оказалась равной скорости света в вакууме, что является подтверждением второго постулата Эйнштейна.

Интервал

Пусть в системе отсчета К происходят два события: первое – в точке с координатами x 1 , y 1 , z 1 в момент времени t 1,

второе – в точке с координатами x 2 , y 2 , z 2 в момент времени t 2 . Каждому событию в четырехмерном пространстве-времени соответствует точка (x ,y ,z ,t ), которую называют мировой точкой. Величину

называют интервалом между этими событиями или интервалом между двумя точками (x 1 ,y 1 ,z 1 ,t 1 ) и (x 2 ,y 2 ,z 2 ,t 2 ) в четырехмерном пространстве-времени. Можно показать, используя преобразования Лоренца, что эта величина имеет одно и то же значение во всех системах отсчета, т.е. является инвариантом преобразований Лоренца.

Обозначим промежуток времени между событиями t 2 – t 1 = =t 12 , а пространственное расстояние между точками, в кото-рых происходят события .

Тогда интервал примет вид .

Пусть первое событие состоит в том, что в момент времени t 1 из точки (x 1 ,y 1 ,z 1 ) испускается световой сигнал, а второе – в том, что в момент времени t 2 этот сигнал принимается в точке (x 2 ,y 2 ,z 2 ). Сигнал распространяется со скоростью света, поэтому l 12 = ct 12 . Интервал для этого случая s 12 = 0. Такой интервал называется нулевым. Нулевой интервал существует между событиями, которые могут быть связаны сигналом, распространяющимся со скоростью света. При нулевом интервале события могут быть связаны между собой причинно-следственной связью в любой системе отсчета.

Если l 12 > ct 12 , то рассматриваемые события не могут оказывать влияния друг на друга, т.е. между ними не может существовать причинно-следственной связи, так как никакой сигнал, никакое воздействие не могут распространяться со скоростью большей, чем скорость света в вакууме. Интервал в этом случае будет мнимым. Мнимые интервалы называются пространственноподобными . События, разделенные мнимым интервалом, ни в какой системе отсчета не могут происходить в одной точке, так как в этом случае в этой системе отсчета интервал стал бы вещественным (l 12 = 0). А в силу инвариантности интервал во всех системах отсчета должен оставаться мнимым. Для событий, разделенных пространственноподобным интервалом, можно найти систему отсчета, в которой они происходят в одно время (t 12 =0).

Если l 12 < ct 12 , то интервал оказывается вещественным. Такие интервалы называются времениподобными . События, разделенные времениподобным интервалом, могут быть причинно связанными друг с другом. Такие события ни в одной системе отсчета не могут происходить в одно и то же время (t 12 = 0), так как в этом случае интервал стал бы мнимым. Но для этих событий существует система отсчета, в которой они происходят в одной точке (l 12 = 0).

Преобразования Лоренца дают нам возможность вычислять изменение координат события при переходе от одной системы отсчета к другой. Поставим теперь вопрос о том, как при изменении системы отсчета будет меняться скорость одного и того же тела?

В классической механике, как известно, скорость тела просто складывается со скоростью системы отсчета. Сейчас мы убедимся, что в теории относительности скорость преобразуется по более сложному закону.

Мы снова ограничимся рассмотрением одномерного случая. Пусть две системы отсчета S и S` «наблюдают» за движением некоторого тела, которое перемещается равномерно и прямолинейно параллельно осям х и х` обеих систем отсчета. Пусть скорость тела, измеренная системой отсчета S , есть и ; скорость того же тела, измеренную системой S`, обозначим через и` . Буквой v будем по-прежнему обозначать скорость системы S ` относительно S .

Допустим, что с нашим телом происходят два события, координаты которых в системе S суть x 1 ,t 1 , и х 2 , t 2 . Координаты тех же событий в системе S ` пусть будут х` 1 , t ` 1 ; x` 2 , t` 2 . Но скорость тела есть отнощение пройденного телом пути к соответствующему промежутку времени; поэтому, чтобы найти скорость тела в той и другой системах отсчета, нужно разность пространственных координат обоих событий разделить на разность временных координат

которую можно, как всегда, получить из релятивистской, если скорость света считать бесконечной. Ту же формулу можно записать в виде

Для небольших, «обычных» скоростей обе формулы— релятивистская и классическая — дают практически совпадающие результаты, в чем читатель при желании легко сможет убедиться. Но при скоростях, близких к скорости света, разница становится весьма ощутимой. Так, если v=150 000 км/сек , u`=200 000 км/ с ек, км/сек релятивистская формула дает u = 262 500 км/ с ек.

S со скоростью v = 150 000 км/сек. S ` дает результат u =200 000 км/сек. км/ с ек.


км/сек, а второго — 200 000 км/сек, км .

с. Не представляет никакого труда доказать это утверждение вполне строго. Действительно, легко проверить.

Для небольших, «обычных» скоростей обе формулы— релятивистская и классическая — дают практически совпадающие результаты, в чем читатель при желании легко сможет убедиться. Но при скоростях, близких к скорости света, разница становится весьма ощутимой. Так, если v=150 000 км/сек , u`=200 000 км/ с ек, то вместо классического результата u = 350 000 км/сек релятивистская формула дает u = 262 500 км/ с ек. Согласно смыслу формулы сложения скоростей, этот результат означает следующее.

Пусть система отсчета S` движется относительно системы отсчета S со скоростью v = 150 000 км/сек. Пусть в том же направлении движется тело, причем измерение его скорости системой отсчета S ` дает результат u` =200 000 км/сек. Если теперь измерить скорость того же тела с помощью системы отсчета S то получится u=262 500 км/ с ек.


Следует подчеркнуть, что полученная нами формула предназначена именно для пересчета величины скорости одного и того же тела от одной системы отсчета к другой, а отнюдь не для вычисления «скорости сближения» или «удаления» двух тел. Если мы из одной и той же системы отсчета наблюдаем два движущихся навстречу друг другу тела, причем скорость одного тела равна 150 000 км/сек, а второго — 200 000 км/сек, то расстояние между этими телами каждую секунду будет уменьшаться на 350 000 км . Теория относительности не упраздняет законов арифметики.

Читатель уже понял, конечно, что, применяя эту формулу к скоростям, не превосходящим скорость света, мы снова получим скорость, не превосходящую с. Не представляет никакого труда доказать это утверждение вполне строго. Действительно, легко проверить, что имеет место равенство

Так как и` ≤ с и v < c , то в правой части равенства числитель и знаменатель, а с ними и вся дробь, неотрицательны. Поэтому квадратная скобка меньше единицы, а потому и ≤ с .
Если и ` = с , то и и= с. Это есть не что иное, как закон постоянства скорости света. Не следует, конечно, рассматривать этот вывод как «доказательство» или хотя бы «подтверждение» постулата постоянства скорости света. Ведь мы с самого начала исходили из этого постулата и неудивительно, что пришли к результату, который ему не противоречит, в противном случае этот постулат был бы опровергнут путем доказательства от противного. Вместе с тем мы видим, что закон сложения скоростей эквивалентен постулату постоянства скорости света, каждое из этих двух утверждений логически вытекает из другого (и остальных постулатов теории относительности).

При выводе закона сложения скоростей мы предполагали, что скорость тела параллельна относительной скорости систем отсчета. Этого предположения можно было ие делать, но тогда наша формула относилась бы лишь к той компоненте скорости, которая направлена по оси x, и формулу следовало бы записать в виде

С помощью этих формул мы разберем явление аберрации (см. § 3). Ограничимся лишь простейшим случаем. Пусть некоторое светило в системе отсчета S неподвижно, пусть, далее, система отсчета S ` движется относительно системы S со скоростью v и пусть наблюдатель, движущийся вместе с S`, принимает лучи света от светила как раз в тот момент, когда оно находится у него точно над головой (рис. 21). Составляющие скорости этого луча в системе S будут
u x = 0, u y = 0, u x = -c.

Для системы отсчета S` наши формулы дают
u` x = -v, u` y = 0,
u` z = -c √ (1 - v 2 /c 2 )
Мы получим тангенс угла наклона луча к оси z`, если разделим и` х на и` z :
tg α = и` х / и` z = (v/c) / √(1 - v 2 /c 2)

Если скорость v не очень велика, то можно применить известную нам приближенную формулу, с помощью которой получаем
tg α = v/c + 1/2*v 2 /c 2 .
Первое слагаемое представляет собой хорошо известный классический результат; второе слагаемое есть релятивистская поправка.

Орбитальная скорость Земли равна примерно 30 км/сек, так что (v / c ) = 1 0 -4 . Для малых углов тангенс равен самому углу, измеренному в радианах; так как радиан содержит круглым счетом 200 000 угловых секунд, то получаем для угла аберрации:
α = 20°
Релятивистская поправка в 20 000 000 раз меньше и лежит далеко за пределами точности астрономических измерений. Вследствие аберрации звезды описывают ежегодно на небе эллипсы с большой полуосью в 20".

Когда мы смотрим на движущееся тело, мы видим его не там, где оно находится в данный момент, а там, где оно было несколько раньше, ибо свету нужно некоторое время, чтобы Дойти от тела до наших глаз. Это явление с точки зрения теории относительности эквивалентно аберрации и сводится к ней при переходе к той системе отсчета, в которой рассматриваемое тело неподвижно. На основании этого простого соображения мы можем получить формулу аберрации совершенно элементарным путем, не прибегая к релятивистскому закону сложения скоростей.

Пусть наше светило движется параллельно земной поверхности справа налево (рис. 22). Когда оно прибывает в точку А, наблюдатель, находящийся точно под ним в точке С, видит его еще в точке В. Если скорость светила равна v , а промежуток времени, в течение которого оно проходит отрезок А В , равен Δt , то

AB = Δt ,
BC = c Δt ,

sin α = AB/BC = v/c.

Но тогда, согласно формуле тригонометрии,

что и требовалось доказать. Заметим, что в классической кинематике эти две точки зрения не эквивалентны.

Интересен также следующий вопрос. Как известно, в классической кинематике скорости складываются по правилу параллелограмма. Мы заменили этот закон другим, более сложным. Значит ли это, что в теории относительности скорость уже не есть вектор?

Во-первых, то обстоятельство, что u ≠ u `+ v (жирными буквами мы обозначаем векторы), само по себе не дает еще оснований отрицать векторную природу скорости. Из двух данных векторов третий вектор можно получить не только путем их сложения, а, например, путем векторного умножения, и вообще бесчисленным множеством способов. Ниоткуда не следует, что при перемене системы отсчета векторы и` и v обязаны именно складываться. И действительно, существует формула, выражающая и через и` и v с помощью операций векторного исчисления:

В связи с этим следует признать, что название «закон сложения скоростей» не совсем удачно; правильнее говорить, как это и делают некоторые авторы, не о сложении, а о преобразовании скорости при перемене системы отсчета.

Во-вторых, и в теории относительности можно указать случаи, когда скорости складываются по-прежнему векторно. Пусть, например, тело двигалось в течение некоторого промежутка времени Δt со скоростью u 1 , а затем — такой же отрезок времени со скоростью u 2 . Это сложное движение можно заменить движением с постоянной скоростью u = u 1 + u 2 . Здесь скорости u 1 и u 2 складываются, как векторы, по правилу параллелограмма; теория относительности не вносит здесь никаких изменений.
Следует вообще заметить, что большинство «парадоксов» теории относительности связано так или иначе с изменением системы отсчета. Если рассматривать явления в одной и той же системе отсчета, то вносимые теорией относительности изменения в их закономерности далеко не столь кардинальны, как часто думают.

Отметим еще, что естественным обобщением обычных трехмерных векторов в теории относительности являются векторы четырехмерные; при перемене системы отсчета они преобразуются по формулам Лоренца. Кроме трех пространственных компонент, они имеют компоненту временную. В частности, можно рассматривать четырехмерный вектор скорости. Пространственная «часть» этого вектора, однако, не совпадает с обычной трехмерной скоростью, и вообще четырехмерная скорость по своим свойствам заметно отличается от трехмерной. В частности, сумма двух четырехмерных скоростей не будет уже, вообще говоря, скоростью.

Пусть тело в системе отсчета K" обладает скоростью v", направленной по оси x" (и x): . В системе отсчетаK скорость этого тела будет
. Выясним каково соотношение между скоростямиv" и v. Рассмотрим производную как отношение дифференциалов dx и dt, которые найдем, используя преобразования Лоренца:

Разделим числитель и знаменатель правой части на dt" и получим

т.е. в отличие от преобразований Галилея суммарная скорость не равна сумме скоростей, а в
раз ниже. Пусть тело движется в ракете со скоростью светаv" x = c, а ракета движется со скоростью света относительно неподвижной системы координат v 0 = c. С какой скоростью v x движется тело относительно неподвижной системы координат?

По преобразованию Галилея эта скорость v = v" x + v 0 = 2c. По преобразованию Лоренца

Понятие о релятивистской динамике. Законы взаимосвязи массы и энергии. Полная и кинетическая энергия. Соотношение между полной энергией и импульсом частицы.

Движение не слишком малых тел с не очень высокими скоростями подчиняется законам классической механики. В конце XIX века экспериментально установлено, что масса тела m не является неизменной величиной, а зависит от скорости v его движения. Эта зависимость имеет вид

где m 0 – масса покоя.

Если v = 300 км/с, то v 2 /c 2 = 1∙ 10 -6 и m > m 0 на величину 5 ∙ 10 -7 m 0 .

Отказ от одного из основных положений (m= const) классической механики привел к необходимости критического анализа и ряда других его основ. Выражение импульса в релятивистской динамике имеет вид

Законы механики сохраняют свой вид и в релятивистской динамике. Изменение импульса d(mv) равно импульсу силы Fdt

dp = d(mv) = F dt.

Отсюда dp/dt = F- есть выражение основного закона релятивистской динамики для материальной точки.

В обоих случаях входящая в эти выражения масса является переменной величиной (m ≠ const) и ее также необходимо дифференцировать по времени.

Установим связь между массой и энергией. Возрастание энергии, так же как и в классической механике, вызывается работой силы F. Следовательно, dE = Fds. Разделив левую и правую части на dt, получим

Подставляем сюда

Умножив левую и правую части полученного равенства на dt , получим

Из выражения для массы
определим

.

Продифференцируем выражение v 2 .

Подставим v 2 и d(v 2) в выражение для dE

Интегрируя это выражение, получим E = mc 2 .

Полная энергия системы Е равна произведению массы на квадрат скорости света в вакууме. Связь между энергией и импульсом для частиц не имеющих массы покоя в релятивистской динамике дается соотношением

которое легко получить математически: E=mc 2 ,p=mv. Возведем оба равенства в квадрат и обе части второго домножим на с 2

E 2 = m 2 c 4 , p 2 c 2 = m 2 v 2 c 2 .

Вычтем почленно из первого равенства второе

E 2 – p 2 c 2 = m 2 c 4 -m 2 v 2 c 2 = m 2 c 4 (1-v 2 / c 2).

Учитывая, что
получим

Так как масса покоя m 0 и скорость света с величины, инвариантные к преобразованиям Лоренца, то соотношение (E 2 - p 2 c 2) также инвариантно к преобразованиям Лоренца. Из этого соотношения получим выражение для полной энергии

Таким образом, из этого уравнения можно сделать вывод:

энергией обладают и материальные частицы, не имеющие массы покоя (фотоны, нейтрино). Для этих частиц формула связи энергии и импульса имеет вид E = pc.

Из приведенных выше преобразований получили dE=c 2 dm. Интегрирование левой части в пределах от E 0 до Е, а правой от m 0 до m, дает

E – E 0 = c 2 (m – m 0) = mc 2 – m 0 c 2 ,

где E = mc 2 - полная энергия материальной точки,

E 0 =m 0 c 2 - энергия покоя материальной точки.

Разность Е – Е 0 есть кинетическая энергия Т материальной точки.

При скоростях v « c , разложим
в ряд:

=
.

Учитывая, что v « c, ограничимся первыми двумя членами в ряду.

Тогда

т.е. при скоростях v много меньших скорости света в вакууме релятивистская формула кинетической энергии обращается в классическую формулу для кинетической энергии
.