Specialus diferencialinės lygties sprendimas, atitinkantis pradines sąlygas. Diferencialinės lygtys

Taikymas

Diferencialinių lygčių sprendimas internete svetainėje, kad studentai galėtų konsoliduoti apžvelgtą medžiagą. Ir lavinti savo praktinius įgūdžius. Diferencialinės lygtys internete. Difurai internetu, matematikos sprendimas internetu. Žingsnis po žingsnio matematikos problemų sprendimai internete. Diferencialinės lygties tvarka arba laipsnis yra aukščiausia į ją įtrauktų išvestinių eilė. Diferencialinės lygtys internete. Diferencialinės lygties sprendimo procesas vadinamas integravimu. Diferencialinės lygties integravimo problema laikoma išspręsta, jei nežinomos funkcijos radimas gali būti nukreiptas į kvadratūrą, nepaisant to, ar gautas integralas galutine forma išreiškiamas žinomomis funkcijomis, ar ne. Žingsnis po žingsnio diferencialinių lygčių sprendimas internete. Visas diferencialines lygtis galima suskirstyti į įprastas diferencialines lygtis (ODE), apimančias tik vieno argumento funkcijas (ir jų išvestines), ir dalines diferencialines lygtis (PDE), kuriose įvesties funkcijos priklauso nuo daugelio kintamųjų. Diferencialinės lygtys internete. Taip pat yra stochastinių diferencialinių lygčių (SDE), kurios apima atsitiktinius procesus. Žingsnis po žingsnio diferencialinių lygčių sprendimas internete. Priklausomai nuo išvestinių, funkcijų ir nepriklausomų kintamųjų derinių, diferencialinės lygtys skirstomos į tiesines ir netiesines, su pastoviais arba kintamaisiais koeficientais, vienarūšes arba nehomogeniškas. Dėl pritaikymo svarbos kvazilinijinės (tiesinės aukštesnių išvestinių atžvilgiu) dalinės diferencialinės lygtys priskiriamos atskirai klasei. Diferencialinių lygčių sprendiniai skirstomi į bendruosius ir specialiuosius. Diferencialinės lygtys internete. Bendrieji sprendiniai apima neapibrėžtas konstantas, o dalinėms diferencialinėms lygtims – savavališkas nepriklausomų kintamųjų funkcijas, kurias galima patikslinti iš papildomų integravimo sąlygų (paprastų diferencialinių lygčių pradinės sąlygos, dalinių diferencialinių lygčių pradinės ir ribinės sąlygos). Žingsnis po žingsnio diferencialinių lygčių sprendimas internete. Nustačius nurodytų pastovių ir neapibrėžtų funkcijų tipą, sprendiniai tampa specifiniai. Ieškant įprastų diferencialinių lygčių sprendimų, buvo sukurta specialiųjų funkcijų klasė - funkcijos, dažnai pasitaikančios programose, kurių negalima išreikšti žinomomis elementariomis funkcijomis. Diferencialinės lygtys internete. Buvo išsamiai ištirtos jų savybės, sudarytos verčių lentelės, nustatyti tarpusavio ryšiai ir kt. . Galima ištirti surašytų skaičių aibę. Geriausias atsakymas į pateiktą problemą. Kaip pirmą aproksimaciją rasti išeinantį vektorių į konvergencijos sritį apie diferencialines lygtis, neišsiaiškinus viršutinės ribos. Pasirinkimas akivaizdus didinant matematines funkcijas. Yra progresyvus metodas, viršijantis tyrimo lygį. Suderinimas su pradine problemos sąlyga, diferencialinių lygčių sprendimas padės rasti unikaliai pasirinktą reikšmę. Gali būti, kad jis iš karto gali atpažinti nežinomąjį. Kaip ir ankstesniame matematinės problemos sprendimo pavyzdyje, tiesinės diferencialinės lygtys yra atsakymas į konkrečią problemą, iškeltą per nurodytą laikotarpį. Tyrimo tvarkos palaikymas nėra lokaliai nustatytas. Bus taip, kad kiekvienam mokiniui bus rastas pavyzdys ir diferencialinių lygčių sprendimą nustatys atsakingam asmeniui priskirtas asmuo bent iš dviejų reikšmių. Paimkite tam tikro segmento bendrosios vertės funkciją ir perspėkite, išilgai kurios ašies bus pertrauka. Studijuojant diferencialines lygtis internete, galima vienareikšmiškai parodyti, koks svarbus yra rezultatas, jei jį numato pradinės sąlygos. Neįmanoma iškirpti srities iš funkcijos apibrėžimo, nes nėra vietos užduoties apibrėžimo. Iš lygčių sistemos rastas atsakymas turi kintamąjį, kuris yra skaičiuojamas bendrąja prasme, tačiau diferencialinę lygtį išspręsti internetu natūraliai bus galima ir be šio minėtos sąlygos nustatymo veiksmo. Šalia segmento intervalo matosi, kaip diferencialinių lygčių sprendimas internetu gali pakelti tyrimo rezultatą teigiama linkme tuo momentu, kai nutrūksta studentų žinios. Geriausias dalykas ne visada ateina iš visuotinai priimto požiūrio į verslą. 2x lygyje naudinga peržiūrėti visas būtinas tiesines diferencialines lygtis natūralioje vaizdinėje, tačiau gebėjimas apskaičiuoti skaitinę reikšmę pagerins žinias. Pagal bet kurį matematikos metodą yra diferencialinių lygčių, kurios pateikiamos skirtingo pobūdžio išraiškomis, pavyzdžiui, vienarūšėmis arba sudėtingomis. Atlikus bendrą funkcijos tyrimo analizę, tampa aišku, kad diferencialų kaip galimybių visumos sprendimas reiškia aiškią reikšmių klaidą. Tiesa jame slypi erdvėje virš abscisių linijų. Kai kur sudėtingos funkcijos apibrėžimo srityje, tam tikru jos apibrėžimo tašku, tiesinės diferencialinės lygtys galės pateikti atsakymą analitine forma. tai yra bendrais bruožais kaip esmė. Niekas nepasikeičia, kai pakeičiate kintamąjį. Tačiau į atsakymą reikia žiūrėti su ypatingu susidomėjimu. Iš esmės skaičiuotuvas galiausiai pakeičia ryšį, tai yra, kaip diferencialinių lygčių sprendimas yra proporcingas pasaulinei reikšmei ir nurodomas norimo sprendimo ribose. Kai kuriais atvejais didžiulis įspėjimas apie klaidą yra neišvengiamas. Internetinės diferencialinės lygtys įgyvendina bendrą problemos idėją, tačiau galiausiai būtina kuo greičiau numatyti teigiamus vektorinio produkto aspektus. Matematikoje klaidų teorijos atvejai nėra neįprasti. Patikrinimo tikrai prireiks. Natūralu, kad šią teisę geriau suteikti savo srities profesionalams ir jie padės išspręsti diferencialinę lygtį internete, nes jų patirtis yra didžiulė ir teigiama. Figūrų paviršių ir ploto skirtumas yra toks, kad ne diferencialinių lygčių sprendimas internete leis matyti, o nesikertančių objektų rinkinys yra toks, kad linija būtų lygiagreti ašiai. Dėl to galite gauti dvigubai daugiau verčių. Nors ir nėra aiškus, mūsų supratimas apie formalaus žymėjimo teisingumą apima tiesines diferencialines lygtis tiek žiūrėjimo srityje, tiek dėl tyčinio rezultato kokybės pervertinimo. Keletą kartų peržiūrima panelinė diskusija visus studentus dominančia tema. Viso paskaitų kurso tyrimo metu didelį dėmesį skirsime diferencialinėms lygtims ir susijusioms mokslinių tyrimų sritims, jei tai neprieštarauja tiesai. Kelionės pradžioje galima išvengti daugelio žingsnių. Jei diferencialinių lygčių sprendimas studentams vis dar iš esmės yra naujas dalykas, tai sena visiškai neužmiršta, o sparčiai vystosi į ateitį. Iš pradžių matematikos uždavinio sąlygos skiriasi, tačiau tai nurodyta pastraipoje dešinėje. Praėjus apibrėžime nurodytam laikui, negalima atmesti proporcingos priklausomybės rezultato įvairiose vektoriaus judėjimo plokštumose galimybės. Tokį paprastą atvejį galima ištaisyti taip pat, kaip tiesinės diferencialinės lygtys aprašomos skaičiuotuvu bendra forma, tai bus greičiau ir skaičiavimų poslinkis nesukels klaidingos nuomonės. Tik penki atvejai, pavadinti pagal teoriją, gali peržengti to, kas vyksta, ribas. Mūsų diferencialinių lygčių sprendimas padės rankiniu būdu apskaičiuoti reikšmę skaičiais jau pirmuosiuose funkcijų erdvės skaidymo etapuose. Tinkamose vietose reikia pavaizduoti keturių linijų sąlyčio tašką bendra prasme. Bet jei turėsite pakeisti užduotį, bus lengva sulyginti sudėtingumą. Pradinių duomenų pakanka suprojektuoti gretimą koją, o internetinės diferencialinės lygtys atrodo išlygiuotos kairėje, o paviršius yra vienpusis nukreiptas į vektoriaus rotorių. Virš viršutinės ribos galimos skaitinės reikšmės, viršijančios nurodytą sąlygą. Galima atsižvelgti į matematinę formulę ir išspręsti diferencialinę lygtį internetu, naudojant tris nežinomuosius bendrojoje proporcijos reikšmėje. Vietinis skaičiavimo metodas pripažįstamas galiojančiu. Santykiniame plokštumos judėjime koordinačių sistema yra stačiakampė. Bendras diferencialinių lygčių sprendimas internete leidžia nedviprasmiškai padaryti išvadą, kad būtų galima skaičiuoti matricos apibrėžimus visoje tiesėje, esančioje virš aiškiai nurodytos funkcijos grafiko. Sprendimas aiškiai matomas, jei judesio vektorių pritaikysite trijų pusrutulių sąlyčio taškui. Cilindras gaunamas sukant stačiakampį aplink šoną ir tiesinės diferencialinės lygtys galės parodyti taško judėjimo kryptį pagal pateiktas jo judėjimo dėsnio išraiškas. Pradiniai duomenys yra teisingi, o matematikos uždavinys yra sukeičiamas viena paprasta sąlyga. Tačiau dėl aplinkybių, dėl keliamos papildomos užduoties sudėtingumo, diferencialinės lygtys supaprastina skaitmeninių erdvių skaičiavimo procesą trimatės erdvės lygyje. Nesunku įrodyti priešingai, bet to galima išvengti, kaip pateiktame pavyzdyje. Aukštojoje matematikoje pateikiami tokie punktai: kai uždavinys redukuojamas į supaprastintą formą, jai reikia skirti kuo daugiau mokinių pastangų. Atsižvelgiama į linijas, esančias viena ant kitos. Skirtumų sprendimas vis dar atnaujina minėto metodo pranašumą lenkta linija. Jei pirmiausia atpažinsite kažką, ko jums nereikia, matematinė formulė sukurs naują išraiškos reikšmę. Tikslas – optimalus požiūris į profesoriaus iškeltų uždavinių sprendimą. Neturėtumėte manyti, kad tiesinės diferencialinės lygtys supaprastinta forma viršys laukiamą rezultatą. Ant baigtinės sudėties paviršiaus dedame tris vektorius. statmenos viena kitai. Apskaičiuokime produktą. Sudėkime didesnį skaičių simbolių ir iš gautos išraiškos išrašykime visus funkcijos kintamuosius. Yra proporcija. Keli veiksmai prieš skaičiavimo pabaigą neduos vienareikšmiško atsakymo į diferencialinių lygčių sprendimą iš karto, o tik po to, kai išilgai y ašies praeis nustatytas laikas. Į kairę nuo nutrūkimo taško, netiesiogiai nurodyto iš funkcijos, nubrėžiame ašį, statmeną geriausiai didėjančiam vektoriui, ir pateikiame internetines diferencialines lygtis pagal mažiausią matematinio objekto apatinio paviršiaus ribinę vertę. Funkcijos pertraukos srityje pridedame papildomą argumentą. Dešinėje nuo taškų, kuriuose yra kreivė, formulės, kurias parašėme, kad sumažintume iki bendro vardiklio, padės išspręsti diferencialinę lygtį internete. Mes laikysimės vienintelio teisingo požiūrio, kuris nušvies neišspręstas problemas nuo teorijos iki praktikos, bendru atveju vienareikšmiškai. Duotų taškų koordinačių kryptimi nukreiptos linijos niekada neuždarė kraštutinės kvadrato padėties, tačiau diferencialinių lygčių sprendimas internetu padės studentams, mums ir tik pradedantiesiems šioje srityje studijuoti matematiką. Kalbame apie galimybę pakeisti vertės argumentą į visas reikšmingas vieno lauko eilutes. Iš principo, kaip ir galima tikėtis, mūsų tiesinės diferencialinės lygtys yra kažkas išskirtos į vieną pateiktos reikšmės sąvoką. Norėdami padėti studentams, vienas geriausių skaičiuoklių tarp panašių paslaugų. Išklausykite visus kursus ir išsirinkite sau tinkamiausią.

Mokymo įstaiga „Baltarusijos valstybė

Žemės ūkio akademija“

Aukštosios matematikos katedra

PIRMOSIOS EILĖS DIFERENCINĖS LYGTYBĖS

Paskaitų konspektas buhalterinės apskaitos studentams

neakivaizdinė mokymo forma (NISPO)

Gorkis, 2013 m

Pirmosios eilės diferencialinės lygtys

Diferencialinės lygties samprata. Bendrieji ir specialieji sprendimai

Tiriant įvairius reiškinius, dažnai nepavyksta rasti dėsnio, kuris tiesiogiai susieja nepriklausomą kintamąjį ir norimą funkciją, tačiau galima nustatyti ryšį tarp norimos funkcijos ir jos išvestinių.

Vadinamas ryšys, jungiantis nepriklausomą kintamąjį, norimą funkciją ir jos išvestinius diferencialinė lygtis :

Čia x- nepriklausomas kintamasis, y– reikalinga funkcija,
- norimos funkcijos dariniai. Šiuo atveju ryšys (1) turi turėti bent vieną išvestinę.

Diferencialinės lygties tvarka vadinama aukščiausios išvestinės, įtrauktos į lygtį, tvarka.

Apsvarstykite diferencialinę lygtį

. (2)

Kadangi ši lygtis apima tik pirmos eilės išvestinę, ji vadinama yra pirmos eilės diferencialinė lygtis.

Jei (2) lygtis gali būti išspręsta išvestinės atžvilgiu ir užrašoma forma

, (3)

tada tokia lygtis vadinama pirmosios eilės diferencialine lygtimi normaliąja forma.

Daugeliu atvejų patartina atsižvelgti į formos lygtį

kuris vadinamas pirmos eilės diferencialinė lygtis, parašyta diferencine forma.

Nes
, tada (3) lygtį galima parašyti forma
arba
, kur galime suskaičiuoti
Ir
. Tai reiškia, kad (3) lygtis paverčiama lygtimi (4).

Parašykime (4) lygtį į formą
. Tada
,
,
, kur galime suskaičiuoti
, t.y. gaunama (3) formos lygtis. Taigi (3) ir (4) lygtys yra lygiavertės.

Diferencialinės lygties sprendimas (2) arba (3) vadinama bet kokia funkcija
, kuri, pakeitus ją į (2) arba (3) lygtį, paverčia ją tapatybe:

arba
.

Visų diferencialinės lygties sprendinių paieškos procesas vadinamas jo integracija , ir sprendimo grafikas
vadinama diferencialinė lygtis integralinė kreivė šią lygtį.

Jei diferencialinės lygties sprendimas gaunamas numanoma forma
, tada jis vadinamas integralas šios diferencialinės lygties.

Bendras sprendimas pirmos eilės diferencialinė lygtis yra formos funkcijų šeima
, priklausomai nuo savavališkos konstantos SU, kurių kiekvienas yra duotosios diferencialinės lygties sprendimas bet kuriai leistinai savavališkos konstantos vertei SU. Taigi diferencialinė lygtis turi begalinį sprendinių skaičių.

Privatus sprendimas Diferencialinė lygtis yra sprendinys, gautas iš bendrosios sprendinių formulės tam tikrai savavališkos konstantos reikšmei SU, įskaitant
.

Koši problema ir jos geometrinė interpretacija

(2) lygtis turi begalinį sprendinių skaičių. Norint iš šio rinkinio pasirinkti vieną sprendimą, kuris vadinamas privačiu, reikia nustatyti keletą papildomų sąlygų.

Tai vadinama konkretaus (2) lygties sprendimo paieškos tam tikromis sąlygomis problema Cauchy problema . Ši problema yra viena iš svarbiausių diferencialinių lygčių teorijoje.

Koši problema suformuluota taip: tarp visų (2) lygties sprendinių raskite tokį sprendimą
, kurioje funkcija
paima nurodytą skaitinę reikšmę , jei nepriklausomas kintamasis x paima nurodytą skaitinę reikšmę , t.y.

,
, (5)

Kur D– funkcijos apibrėžimo sritis
.

Reikšmė paskambino pradinė funkcijos reikšmė , A – pradinė nepriklausomo kintamojo reikšmė . Sąlyga (5) vadinama pradinė būklė arba Kauchinė būklė .

Geometriniu požiūriu diferencialinės lygties (2) Koši uždavinys gali būti suformuluotas taip: iš lygties (2) integralinių kreivių rinkinio pasirinkite tą, kuri eina per nurodytą tašką
.

Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais

Vienas iš paprasčiausių diferencialinių lygčių tipų yra pirmos eilės diferencialinė lygtis, kurioje nėra norimos funkcijos:

. (6)

Atsižvelgiant į tai
, rašome lygtį formoje
arba
. Integravę abi paskutinės lygties puses, gauname:
arba

. (7)

Taigi (7) yra bendras (6) lygties sprendimas.

1 pavyzdys . Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą
.

Sprendimas . Parašykime lygtį į formą
arba
. Integruokime abi gautos lygties puses:
,
. Pagaliau užsirašysime
.

2 pavyzdys . Raskite lygties sprendimą
atsižvelgiant į tai
.

Sprendimas . Raskime bendrą lygties sprendimą:
,
,
,
. Pagal sąlygą
,
. Pakeiskime bendrą sprendimą:
arba
. Rastą savavališkos konstantos reikšmę pakeičiame į bendro sprendimo formulę:
. Tai yra tam tikras diferencialinės lygties sprendimas, atitinkantis nurodytą sąlygą.

Lygtis

(8)

Skambino pirmos eilės diferencialinė lygtis, kurioje nėra nepriklausomo kintamojo . Parašykime tai formoje
arba
. Integruokime abi paskutinės lygties puses:
arba
- bendrasis (8) lygties sprendinys.

Pavyzdys . Raskite bendrąjį lygties sprendimą
.

Sprendimas . Parašykime šią lygtį tokia forma:
arba
. Tada
,
,
,
. Taigi,
yra šios lygties bendrasis sprendinys.

Formos lygtis

(9)

integruoja naudojant kintamųjų atskyrimą. Norėdami tai padaryti, rašome lygtį formoje
, o tada, naudodami daugybos ir dalybos operacijas, pateikiame ją į tokią formą, kad viena dalis apima tik funkciją X ir diferencialas dx, o antroje dalyje – funkcija adresu ir diferencialas dy. Norėdami tai padaryti, abi lygties puses reikia padauginti iš dx ir padalinti iš
. Dėl to gauname lygtį

, (10)

kuriame kintamieji X Ir adresu atskirtas. Integruokime abi (10) lygties puses:
. Gautas ryšys yra (9) lygties bendrasis integralas.

3 pavyzdys . Integruoti lygtį
.

Sprendimas . Transformuokime lygtį ir atskirkime kintamuosius:
,
. Integruokime:
,
arba yra šios lygties bendrasis integralas.
.

Tegu lygtis pateikiama forma

Ši lygtis vadinama pirmos eilės diferencialinė lygtis su atskiriamais kintamaisiais simetriška forma.

Norėdami atskirti kintamuosius, turite padalyti abi lygties puses iš
:

. (12)

Gauta lygtis vadinama atskirta diferencialinė lygtis . Integruokime (12) lygtį:

.(13)

Ryšys (13) yra bendrasis diferencialinės lygties (11) integralas.

4 pavyzdys . Integruokite diferencialinę lygtį.

Sprendimas . Parašykime lygtį į formą

ir padalykite abi dalis iš
,
. Gauta lygtis:
yra atskirta kintamųjų lygtis. Integruokime:

,
,

,
. Paskutinė lygybė yra šios diferencialinės lygties bendrasis integralas.

5 pavyzdys . Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą
, tenkinantis sąlygą
.

Sprendimas . Atsižvelgiant į tai
, rašome lygtį formoje
arba
. Atskirkime kintamuosius:
. Integruokime šią lygtį:
,
,
. Gautas ryšys yra bendrasis šios lygties integralas. Pagal sąlygą
. Pakeiskime jį į bendrąjį integralą ir raskime SU:
,SU=1. Tada išraiška
yra duotosios diferencialinės lygties dalinis sprendinys, parašytas kaip dalinis integralas.

Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys

Lygtis

(14)

paskambino pirmos eilės tiesinė diferencialinė lygtis . Nežinoma funkcija
ir jos išvestinė į šią lygtį patenka tiesiškai, o funkcijos
Ir
tęstinis.

Jeigu
, tada lygtis

(15)

paskambino linijinis vienalytis . Jeigu
, tada vadinama (14) lygtis linijinis nehomogeniškas .

Norint rasti (14) lygties sprendimą, paprastai naudojamasi pakeitimo metodas (Bernoulli) , kurio esmė tokia.

Ieškosime (14) lygties sprendinio dviejų funkcijų sandaugos pavidalu

, (16)

Kur
Ir
- kai kurios nuolatinės funkcijos. Pakeiskime
ir išvestinė
į (14) lygtį:

Funkcija v parinksime taip, kad sąlyga būtų patenkinta
.
Tada

. Taigi, norint rasti (14) lygties sprendimą, būtina išspręsti diferencialinių lygčių sistemą
,
,
,
,
Pirmoji sistemos lygtis yra tiesinė vienalytė lygtis ir gali būti išspręsta kintamųjų atskyrimo metodu:
. Kaip funkcija SU=1:
galite paimti vieną iš homogeninės lygties dalinių sprendinių, t.y. adresu
arba
. Pakeiskime antrąją sistemos lygtį:
.Tada
.

. Taigi bendras pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygties sprendimas turi formą 6 pavyzdys
.

Sprendimas . Išspręskite lygtį
. Tada
. Lygties sprendimo ieškosime formoje

arba
. Pakeiskime į lygtį: v. Funkcija
. Tada
pasirinkti taip, kad galiotų lygybė
,
,
,
,. Pakeiskime į lygtį: v. Išspręskime pirmąją iš šių lygčių naudodami kintamųjų atskyrimo metodą:
,
,
,
Pakeiskime antrąją lygtį:
.

. Bendras šios lygties sprendimas yra

Žinių savikontrolės klausimai

Kas yra diferencialinė lygtis?

Kokia yra diferencialinės lygties tvarka?

Kuri diferencialinė lygtis vadinama pirmos eilės diferencialine lygtimi?

Kaip pirmos eilės diferencialinė lygtis rašoma diferencine forma?

Koks yra diferencialinės lygties sprendimas?

Kas yra integralinė kreivė?

Koks yra bendras pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendimas?

Kas vadinama daliniu diferencialinės lygties sprendiniu?

Kaip suformuluota Koši problema pirmosios eilės diferencialinei lygčiai?

Kokia yra Koši problemos geometrinė interpretacija?

Kaip parašyti diferencialinę lygtį su atskiriamais kintamaisiais simetriška forma?

Kuri lygtis vadinama pirmos eilės tiesine diferencialine lygtimi?

Kokiu būdu galima išspręsti pirmos eilės tiesinę diferencialinę lygtį ir kokia šio metodo esmė?

Savarankiško darbo užduotys

Išspręskite diferencialines lygtis su atskiriamais kintamaisiais:
A)
;

;
b)
.

Išspręskite diferencialines lygtis su atskiriamais kintamaisiais:
A)
;
;

G)
2. Išspręskite pirmosios eilės tiesines diferencialines lygtis:
.

; V)

G) ;

Be įprastų, tiriamos ir dalinės diferencialinės lygtys. Tai lygtys, susijusios su nepriklausomais kintamaisiais, nežinoma šių kintamųjų funkcija ir jos dalinės išvestinės tų pačių kintamųjų atžvilgiu. Bet mes tik apsvarstysime įprastos diferencialinės lygtys ir todėl trumpumo dėlei praleisime žodį „įprastas“.

Diferencialinių lygčių pavyzdžiai:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

(1) lygtis yra ketvirtos eilės, (2) lygtis yra trečios eilės, (3) ir (4) lygtys yra antros eilės, (5) lygtis yra pirmos eilės.

Diferencialinė lygtis n eilėje nebūtinai turi būti aiški funkcija, visos jos išvestinės nuo pirmosios iki n-osios eilės ir nepriklausomas kintamasis. Jame negali būti aiškių tam tikrų eilučių išvestinių, funkcijos ar nepriklausomo kintamojo.

Pavyzdžiui, (1) lygtyje aiškiai nėra trečios ir antros eilės išvestinių, taip pat funkcijos; (2) lygtyje - antros eilės išvestinė ir funkcija; (4) lygtyje – nepriklausomas kintamasis; (5) lygtyje – funkcijos. Tik (3) lygtyje yra aiškiai visos išvestinės, funkcija ir nepriklausomas kintamasis.

Diferencialinės lygties sprendimas kiekviena funkcija vadinama y = f(x), kai pakeičiama į lygtį, ji virsta tapatybe.

Diferencialinės lygties sprendimo paieškos procesas vadinamas jo integracija.

1 pavyzdys. Raskite diferencialinės lygties sprendimą.

Sprendimas. Parašykime šią lygtį į formą . Sprendimas yra surasti funkciją iš jos išvestinės. Pradinė funkcija, kaip žinoma iš integralinio skaičiavimo, yra antiderivatinė, t.y.

Štai viskas šios diferencialinės lygties sprendimas . Keistis joje C, gausime skirtingus sprendimus. Išsiaiškinome, kad pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendinių yra be galo daug.

Bendrasis diferencialinės lygties sprendimas n eilė yra jos sprendimas, aiškiai išreikštas nežinomos funkcijos atžvilgiu ir turintis n nepriklausomos savavališkos konstantos, t.y.

1 pavyzdyje pateiktos diferencialinės lygties sprendimas yra bendras.

Dalinis diferencialinės lygties sprendimas vadinamas sprendimas, kuriame savavališkoms konstantoms suteikiamos konkrečios skaitinės reikšmės.

2 pavyzdys. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą ir konkretų sprendimą .

Sprendimas. Integruokime abi lygties puses tiek kartų, kiek lygi diferencialinės lygties tvarkai.

Dėl to gavome bendrą sprendimą -

pateiktos trečios eilės diferencialinės lygties.

Dabar suraskime konkretų sprendimą nurodytomis sąlygomis. Norėdami tai padaryti, pakeiskite jų reikšmes vietoj savavališkų koeficientų ir gaukite

Jei, be diferencialinės lygties, pradinė sąlyga pateikiama forma , tada tokia problema vadinama Cauchy problema . Pakeiskite reikšmes ir į bendrą lygties sprendimą ir raskite savavališkos konstantos reikšmę C, o tada konkretus rastos reikšmės lygties sprendimas C. Tai yra Koši problemos sprendimas.

3 pavyzdys. Išspręskite Koši uždavinį diferencialinei lygčiai iš 1 pavyzdžio subjekto .

Sprendimas. Pradinės sąlygos reikšmes pakeisime bendruoju sprendimu y = 3, x= 1. Gauname

Užrašome šios pirmos eilės diferencialinės lygties Koši uždavinio sprendimą:

Norint išspręsti diferencialines lygtis, net ir pačias paprasčiausias, reikia gerų integravimo ir išvestinių įgūdžių, įskaitant sudėtingas funkcijas. Tai galima pamatyti toliau pateiktame pavyzdyje.

4 pavyzdys. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą.

Sprendimas. Lygtis parašyta tokia forma, kad galėtumėte iškart integruoti abi puses.

Taikome integravimo keičiant kintamąjį metodą (pakeitimą). Tebūnie tada.

Privaloma paimti dx o dabar – dėmesys – tai darome pagal sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisykles, kadangi x ir yra sudėtinga funkcija („obuolys“ yra kvadratinės šaknies ištraukimas arba, kas yra tas pats, padidinimas iki „pusės“, o „malta mėsa“ yra pati išraiška po šaknimi):

Mes randame integralą:

Grįžtant prie kintamojo x, gauname:

Tai yra bendras šios pirmojo laipsnio diferencialinės lygties sprendimas.

Sprendžiant diferencialines lygtis reikės ne tik ankstesnių aukštosios matematikos skyrių įgūdžių, bet ir pradinės, tai yra mokyklinės matematikos. Kaip jau minėta, bet kokios eilės diferencialinėje lygtyje gali nebūti nepriklausomo kintamojo, ty kintamojo x. Išspręsti šią problemą padės mokyklos žinios apie proporcijas, kurios nebuvo pamirštos (tačiau, priklausomai nuo to, kas). Tai yra kitas pavyzdys.

Panagrinėkime antros eilės tiesinę vienalytę lygtį, t.y. lygtis

ir nustatyti kai kurias jo sprendinių savybes.

1 nuosavybė
Jei yra tiesinės vienalytės lygties sprendimas, tada C, Kur C- savavališka konstanta, yra tos pačios lygties sprendimas.
Įrodymas.
Pakeitimas į kairę nagrinėjamos lygties pusę C, gauname: ,
bet, nes
yra pradinės lygties sprendimas.

Vadinasi,

ir šios savybės pagrįstumas įrodytas.
2 nuosavybė
Įrodymas.
Leiskite ir būti nagrinėjamos lygties sprendiniais
Ir .
Dabar pakeitę + į nagrinėjamą lygtį, turėsime:
, t.y.
+ yra pradinės lygties sprendimas. Iš įrodytų savybių matyti, kad žinant du konkrečius antros eilės tiesinės vienalytės lygties sprendinius, galime gauti sprendimą
, priklausomai nuo dviejų savavališkų konstantų, t.y. iš konstantų skaičiaus, kad antros eilės lygtis turi turėti bendrąjį sprendinį. Bet ar šis sprendimas bus bendras, t.y. Ar galima patenkinti savavališkai pateiktas pradines sąlygas pasirinkus savavališkas konstantas?

Atsakydami į šį klausimą naudosime tiesinės funkcijų nepriklausomybės sąvoką, kurią galima apibrėžti taip. Dvi funkcijos vadinamos tiesiškai nepriklausomas
.
tam tikrame intervale, jei jų santykis šiame intervale nėra pastovus, t.y. Jeigu Kitu atveju funkcijos iškviečiamos.
tiesiškai priklausomas

Kitaip tariant, sakoma, kad dvi funkcijos tiesiškai priklauso nuo tam tikro intervalo, jei nuo viso intervalo.

Pavyzdžiai 1 1. Funkcijos y x = e 2 ir y = e -x
.
yra tiesiškai nepriklausomi visoms x reikšmėms, nes 1 1. Funkcijos y x = e 2 2. Funkcijos y x = 5 e
.

tiesiškai priklausomas, nes

1 teorema. Jei funkcijos ir yra tiesiškai priklausomos nuo tam tikro intervalo, vadinasi determinantas Vronskio determinantas

Įrodymas.

duotos funkcijos yra identiškai lygios nuliui šiame intervale.
,
Jeigu
kur , tada ir .
.
Vadinasi,

Teorema įrodyta.
komentuoti. Vronskio determinantas, esantis nagrinėjamoje teoremoje, paprastai žymimas raide W .
arba simboliai

Jei funkcijos yra antros eilės tiesinės vienalytės lygties sprendiniai, tai joms galioja sekanti atvirkštinė ir, be to, stipresnė teorema.

2 teorema.

Įrodymas.

Jei Vronskio determinantas, sudarytas sprendiniams ir antros eilės tiesinei homogeninei lygčiai, išnyksta bent viename taške, tai šie sprendiniai yra tiesiškai priklausomi.
Tegul Vronskio determinantas išnyksta taške, t.y.
=0,

ir tegul ir .
Apsvarstykite tiesinę homogeninę sistemą
palyginti nežinomas ir ., t.y. sutampa su , todėl lygus nuliui. Todėl sistema turi nulinį sprendimą ir (ir nėra lygūs nuliui). Naudodami šias reikšmes ir apsvarstykite funkciją .
Ši funkcija yra tos pačios lygties sprendimas kaip ir funkcijos. y=0.
Be to, ši funkcija tenkina nulines pradines sąlygas: , nes Ir .
,
Kita vertus, akivaizdu, kad lygties, tenkinančios nulines pradines sąlygas, sprendimas yra funkcija

Dėl sprendimo unikalumo turime:

. palyginti nežinomas ir .Iš kur tai seka xtie. funkcijos ir yra tiesiškai priklausomos. Teorema įrodyta.

Pasekmės.

1. Jei teoremose esantis Wronskio determinantas yra lygus nuliui tam tikrai reikšmei

, tada jis yra lygus nuliui bet kuriai vertei

nuo nagrinėjamo intervalo.

Įrodymas.

2. Jei sprendiniai yra tiesiškai nepriklausomi, tai Vronskio determinantas neišnyksta nė viename nagrinėjamo intervalo taške.
3. Jei Vronskio determinantas bent viename taške yra nelygus nuliui, tai sprendiniai yra tiesiškai nepriklausomi.
3 teorema.
Jei ir yra du tiesiškai nepriklausomi vienalytės antrosios eilės lygties sprendiniai, tai funkcija , kur ir yra savavališkos konstantos, yra bendras šios lygties sprendimas.
.
Kaip žinoma, funkcija yra nagrinėjamos lygties sprendimas bet kurioms ir reikšmėms.

Dabar įrodykime, kad ir kokios būtų pradinės sąlygos palyginti nežinomas ir . ir ,

; .

galima pasirinkti savavališkų konstantų reikšmes ir taip, kad atitinkamas konkretus sprendimas atitiktų nurodytas pradines sąlygas.

Kitaip tariant, sakoma, kad dvi funkcijos tiesiškai priklauso nuo tam tikro intervalo, jei nuo viso intervalo.

1 pavyzdys.

Pradines sąlygas pakeitę lygybėmis, gauname lygčių sistemą
Iš šios sistemos galima nustatyti ir , kadangi šios sistemos determinantas
.

yra Vronskio determinantas

2 pavyzdys.

ir todėl nėra lygus nuliui (dėl sprendinių ir tiesinės nepriklausomybės). 1 Konkretus sprendimas su gautomis reikšmėmis ir atitinka nurodytas pradines sąlygas. Taigi teorema įrodyta. x Bendrasis lygties sprendimas yra sprendimas . 2 Konkretus sprendimas su gautomis reikšmėmis ir atitinka nurodytas pradines sąlygas. Taigi teorema įrodyta. tikrai, Todėl funkcijos sinx ir cosx yra tiesiškai nepriklausomos. .

3 pavyzdys.

Tai galima patikrinti įvertinus šių funkcijų ryšį: Sprendimas y = C
e

+C
.

-x

Mes nustatėme, kad tiesinės vienalytės antros eilės lygties bendrąjį sprendinį galima gauti žinant bet kuriuos du tiesiškai nepriklausomus dalinius šios lygties sprendinius. Tačiau nėra bendrų metodų, kaip rasti tokius dalinius galutinius lygčių su kintamaisiais koeficientais sprendinius. Lygtims su pastoviais koeficientais toks metodas egzistuoja ir bus aptartas vėliau.