Ypatingas diferencialinės lygties sprendimas. Savarankiško darbo užduotys

Mokymo įstaiga „Baltarusijos valstybė

Žemės ūkio akademija“

Aukštosios matematikos katedra

PIRMOSIOS EILĖS DIFERENCINĖS LYGTYBĖS

Paskaitų konspektas buhalterinės apskaitos studentams

neakivaizdinė mokymo forma (NISPO)

Gorkis, 2013 m

Pirmosios eilės diferencialinės lygtys

Diferencialinės lygties samprata. Bendrieji ir specialieji sprendimai

Tiriant įvairius reiškinius, dažnai nepavyksta rasti dėsnio, kuris tiesiogiai susieja nepriklausomą kintamąjį ir norimą funkciją, tačiau galima nustatyti ryšį tarp norimos funkcijos ir jos išvestinių.

Vadinamas ryšys, jungiantis nepriklausomą kintamąjį, norimą funkciją ir jos išvestinius diferencialinė lygtis :

Čia x- nepriklausomas kintamasis, y– reikalinga funkcija,
- norimos funkcijos dariniai. Šiuo atveju ryšys (1) turi turėti bent vieną išvestinę.

Diferencialinės lygties tvarka vadinama aukščiausios išvestinės, įtrauktos į lygtį, tvarka.

Apsvarstykite diferencialinę lygtį

. (2)

Kadangi ši lygtis apima tik pirmos eilės išvestinę, ji vadinama yra pirmos eilės diferencialinė lygtis.

Jei (2) lygtis gali būti išspręsta išvestinės atžvilgiu ir užrašoma forma

, (3)

tada tokia lygtis vadinama pirmosios eilės diferencialine lygtimi normaliąja forma.

Daugeliu atvejų patartina atsižvelgti į formos lygtį

kuris vadinamas pirmos eilės diferencialinė lygtis, parašyta diferencine forma.

Nes
, tada (3) lygtį galima parašyti forma
arba
, kur galime suskaičiuoti
Ir
. Tai reiškia, kad (3) lygtis paverčiama lygtimi (4).

Parašykime (4) lygtį į formą
. Tada
,
,
, kur galime suskaičiuoti
, t.y. gaunama (3) formos lygtis. Taigi (3) ir (4) lygtys yra lygiavertės.

Diferencialinės lygties sprendimas (2) arba (3) vadinama bet kokia funkcija
, kuri, pakeitus ją į (2) arba (3) lygtį, paverčia ją tapatybe:

arba
.

Visų diferencialinės lygties sprendinių paieškos procesas vadinamas jo integracija , ir sprendimo grafikas
vadinama diferencialinė lygtis integralinė kreivė šią lygtį.

Jei diferencialinės lygties sprendimas gaunamas numanoma forma
, tada jis vadinamas integralas šios diferencialinės lygties.

Bendras sprendimas pirmos eilės diferencialinė lygtis yra formos funkcijų šeima
, priklausomai nuo savavališkos konstantos SU, kurių kiekvienas yra duotosios diferencialinės lygties sprendimas bet kuriai leistinai savavališkos konstantos vertei SU. Taigi diferencialinė lygtis turi begalinį sprendinių skaičių.

Privatus sprendimas diferencialinė lygtis yra sprendinys, gautas iš bendrosios sprendinių formulės tam tikrai savavališkos konstantos reikšmei SU, įskaitant
.

Koši problema ir jos geometrinė interpretacija

(2) lygtis turi begalinį sprendinių skaičių. Norint iš šio rinkinio pasirinkti vieną sprendimą, kuris vadinamas privačiu, reikia nustatyti keletą papildomų sąlygų.

Tai vadinama konkretaus (2) lygties sprendimo paieškos tam tikromis sąlygomis problema Cauchy problema . Ši problema yra viena iš svarbiausių diferencialinių lygčių teorijoje.

Koši problema suformuluota taip: tarp visų (2) lygties sprendinių raskite tokį sprendimą
, kurioje funkcija
paima nurodytą skaitinę reikšmę , jei nepriklausomas kintamasis x paima nurodytą skaitinę reikšmę , t.y.

,
, (5)

Kur D– funkcijos apibrėžimo sritis
.

Reikšmė paskambino pradinė funkcijos reikšmė , A – pradinė nepriklausomo kintamojo reikšmė . Sąlyga (5) vadinama pradinė būklė arba Kauchinė būklė .

Geometriniu požiūriu diferencialinės lygties (2) Koši uždavinys gali būti suformuluotas taip: iš lygties (2) integralinių kreivių rinkinio pasirinkite tą, kuri eina per nurodytą tašką
.

Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais

Vienas iš paprasčiausių diferencialinių lygčių tipų yra pirmos eilės diferencialinė lygtis, kurioje nėra norimos funkcijos:

. (6)

Atsižvelgiant į tai
, rašome lygtį formoje
arba
. Integravę abi paskutinės lygties puses, gauname:
arba

. (7)

Taigi (7) yra bendras (6) lygties sprendimas.

1 pavyzdys . Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą
.

Sprendimas . Parašykime lygtį į formą
arba
. Integruokime abi gautos lygties puses:
,
. Pagaliau užsirašysime
.

2 pavyzdys . Raskite lygties sprendimą
atsižvelgiant į tai
.

Sprendimas . Raskime bendrą lygties sprendimą:
,
,
,
. Pagal sąlygą
,
. Pakeiskime bendrą sprendimą:
arba
. Rastą savavališkos konstantos reikšmę pakeičiame į bendro sprendimo formulę:
. Tai yra tam tikras diferencialinės lygties sprendimas, atitinkantis nurodytą sąlygą.

Lygtis

(8)

Skambino pirmos eilės diferencialinė lygtis, kurioje nėra nepriklausomo kintamojo . Parašykime tai formoje
arba
. Integruokime abi paskutinės lygties puses:
arba
- bendrasis (8) lygties sprendinys.

Pavyzdys . Raskite bendrąjį lygties sprendimą
.

Sprendimas . Parašykime šią lygtį tokia forma:
arba
. Tada
,
,
,
. Taigi,
yra šios lygties bendrasis sprendinys.

Formos lygtis

(9)

integruoja naudojant kintamųjų atskyrimą. Norėdami tai padaryti, rašome lygtį formoje
, o tada, naudodami daugybos ir dalybos operacijas, pateikiame ją į tokią formą, kad viena dalis apima tik funkciją X ir diferencialas dx, o antroje dalyje – funkcija adresu ir diferencialas dy. Norėdami tai padaryti, abi lygties puses reikia padauginti iš dx ir padalinti iš
. Dėl to gauname lygtį

, (10)

kuriame kintamieji X Ir adresu atskirtas. Integruokime abi (10) lygties puses:
. Gautas ryšys yra (9) lygties bendrasis integralas.

3 pavyzdys . Integruoti lygtį
.

Sprendimas . Transformuokime lygtį ir atskirkime kintamuosius:
,
. Integruokime:
,
arba yra šios lygties bendrasis integralas.
.

Tegu lygtis pateikiama forma

Ši lygtis vadinama pirmos eilės diferencialinė lygtis su atskiriamais kintamaisiais simetriška forma.

Norėdami atskirti kintamuosius, turite padalyti abi lygties puses iš
:

. (12)

Gauta lygtis vadinama atskirta diferencialinė lygtis . Integruokime (12) lygtį:

.(13)

Ryšys (13) yra bendrasis diferencialinės lygties (11) integralas.

4 pavyzdys . Integruokite diferencialinę lygtį.

Sprendimas . Parašykime lygtį į formą

ir padalykite abi dalis iš
,
. Gauta lygtis:
yra atskirta kintamųjų lygtis. Integruokime:

,
,

,
. Paskutinė lygybė yra šios diferencialinės lygties bendrasis integralas.

5 pavyzdys . Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą
, atitinkančią sąlygą
.

Sprendimas . Atsižvelgiant į tai
, rašome lygtį formoje
arba
. Atskirkime kintamuosius:
. Integruokime šią lygtį:
,
,
. Gautas ryšys yra bendrasis šios lygties integralas. Pagal sąlygą
. Pakeiskime jį į bendrąjį integralą ir raskime SU:
,SU=1. Tada išraiška
yra duotosios diferencialinės lygties dalinis sprendinys, parašytas kaip dalinis integralas.

Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys

Lygtis

(14)

paskambino pirmos eilės tiesinė diferencialinė lygtis . Nežinoma funkcija
ir jo išvestinė į šią lygtį patenka tiesiškai, o funkcijos
Ir
tęstinis.

Jeigu
, tada lygtis

(15)

paskambino linijinis vienalytis . Jeigu
, tada vadinama (14) lygtis linijinis nehomogeniškas .

Norint rasti (14) lygties sprendimą, paprastai naudojamasi pakeitimo metodas (Bernoulli) , kurio esmė tokia.

Ieškosime (14) lygties sprendinio dviejų funkcijų sandaugos pavidalu

, (16)

Kur
Ir
- kai kurios nuolatinės funkcijos. Pakeiskime
ir išvestinė
į (14) lygtį:

Funkcija v parinksime taip, kad sąlyga būtų patenkinta
.
Tada

. Taigi, norint rasti (14) lygties sprendimą, būtina išspręsti diferencialinių lygčių sistemą
,
,
,
,
Pirmoji sistemos lygtis yra tiesinė vienalytė lygtis ir gali būti išspręsta kintamųjų atskyrimo metodu:
. Kaip funkcija SU=1:
galite paimti vieną iš homogeninės lygties dalinių sprendinių, t.y. adresu
arba
. Pakeiskime antrąją sistemos lygtį:
.Tada
.

. Taigi, bendrasis pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygties sprendimas turi formą 6 pavyzdys
.

Sprendimas . Išspręskite lygtį
. Tada
. Formoje ieškosime lygties sprendimo

arba
. Pakeiskime į lygtį: v. Funkcija
. Tada
pasirinkti taip, kad galiotų lygybė
,
,
,
,. Pakeiskime į lygtį: v. Išspręskime pirmąją iš šių lygčių naudodami kintamųjų atskyrimo metodą:
,
,
,
Pakeiskime antrąją lygtį:
.

. Bendras šios lygties sprendimas yra

Žinių savikontrolės klausimai

Kas yra diferencialinė lygtis?

Kokia yra diferencialinės lygties tvarka?

Kuri diferencialinė lygtis vadinama pirmos eilės diferencialine lygtimi?

Kaip pirmos eilės diferencialinė lygtis rašoma diferencine forma?

Koks yra diferencialinės lygties sprendimas?

Kas yra integralinė kreivė?

Koks yra bendras pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendimas?

Kas vadinama daliniu diferencialinės lygties sprendiniu?

Kaip suformuluota Koši problema pirmosios eilės diferencialinei lygčiai?

Kokia yra Koši problemos geometrinė interpretacija?

Kaip parašyti diferencialinę lygtį su atskiriamais kintamaisiais simetriška forma?

Kuri lygtis vadinama pirmos eilės tiesine diferencialine lygtimi?

Kokiu būdu galima išspręsti pirmos eilės tiesinę diferencialinę lygtį ir kokia šio metodo esmė?

Savarankiško darbo užduotys

Išspręskite diferencialines lygtis su atskiriamais kintamaisiais:
A)
;

;
b)
.

Išspręskite diferencialines lygtis su atskiriamais kintamaisiais:
A)
;
;

G)
2. Išspręskite pirmos eilės tiesines diferencialines lygtis:
.

; V) G)

;

Pagrindinės diferencialinių lygčių teorijos sąvokos

Iš mokyklos žinome paprasčiausias lygtis, kuriose reikia rasti nežinomą x. Iš esmės diferencialines lygtis tik šiek tiek skiriasi nuo jų – vietoj kintamojo X juose reikia rasti funkciją y(x) , kuris pavers lygtį tapatybe.

D diferencialines lygtis turi didelę praktinę reikšmę. Tai nėra abstrakti matematika, neturinti ryšio su mus supančiu pasauliu. Daugelis tikrų natūralių procesų aprašomi naudojant diferencialines lygtis. Pavyzdžiui, stygos virpesiai, harmoninio osciliatoriaus judėjimas, naudojant diferencialines lygtis mechanikos uždaviniuose, rasti kūno greitį ir pagreitį. Taip pat DU plačiai naudojami biologijoje, chemijoje, ekonomikoje ir daugelyje kitų mokslų.

Diferencialinė lygtis (DU) yra lygtis, turinti funkcijos y(x), pačios funkcijos, nepriklausomų kintamųjų ir kitų parametrų išvestines įvairiais deriniais.

Yra daug diferencialinių lygčių tipų: paprastosios diferencialinės lygtys, tiesinės ir netiesinės, vienarūšės ir nehomogeninės, pirmosios ir aukštesnės eilės diferencialinės lygtys, dalinės diferencialinės lygtys ir kt.

Diferencialinės lygties sprendimas yra funkcija, paverčianti ją tapatybe. Yra bendri ir specialūs nuotolinio valdymo pulto sprendimai.

Bendras diferencialinės lygties sprendimas yra bendras sprendinių rinkinys, paverčiantis lygtį tapatybe. Dalinis diferencialinės lygties sprendimas yra sprendimas, kuris tenkina papildomas pradžioje nurodytas sąlygas.

Diferencialinės lygties eilės tvarka nustatoma pagal aukščiausią jos išvestinių eilę.

Paprastosios diferencialinės lygtys

Paprastosios diferencialinės lygtys yra lygtys, turinčios vieną nepriklausomą kintamąjį.

Panagrinėkime paprasčiausią įprastą pirmosios eilės diferencialinę lygtį. Tai atrodo taip:

Šią lygtį galima išspręsti tiesiog integruojant jos dešinę pusę.

Tokių lygčių pavyzdžiai:

Atskiriamos lygtys

Apskritai šio tipo lygtis atrodo taip:

Štai pavyzdys:

Spręsdami tokią lygtį, turite atskirti kintamuosius, pateikdami juos į formą:

Po to belieka integruoti abi dalis ir gauti sprendimą.

Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys

Tokios lygtys atrodo taip:

Čia p(x) ir q(x) yra kai kurios nepriklausomo kintamojo funkcijos, o y=y(x) yra norima funkcija. Štai tokios lygties pavyzdys:

Spręsdami tokią lygtį, dažniausiai jie naudoja savavališkos konstantos keitimo metodą arba pageidaujamą funkciją vaizduoja kaip dviejų kitų funkcijų sandaugą y(x)=u(x)v(x).

Norint išspręsti tokias lygtis, reikia tam tikro pasiruošimo ir bus gana sunku jas paimti „iš pirmo žvilgsnio“.

Diferencialinės lygties su atskiriamais kintamaisiais sprendimo pavyzdys

Taigi pažvelgėme į paprasčiausius nuotolinio valdymo pulto tipus. Dabar pažvelkime į vieno iš jų sprendimą. Tegul tai yra lygtis su atskiriamais kintamaisiais.

Pirmiausia perrašykime išvestinę į pažįstamą formą:

Tada padalijame kintamuosius, tai yra, vienoje lygties dalyje surenkame visus „aš“, o kitoje - „X“:

Dabar belieka integruoti abi dalis:

Integruojame ir gauname bendrą šios lygties sprendimą:

Žinoma, diferencialinių lygčių sprendimas yra savotiškas menas. Jūs turite mokėti suprasti, kokio tipo lygtis tai yra, taip pat išmokti suprasti, kokias transformacijas su ja reikia atlikti, kad susidarytumėte vienokią ar kitokią formą, jau nekalbant apie gebėjimą atskirti ir integruoti. O kad pavyktų išspręsti DE, reikia praktikos (kaip ir visame kame). Ir jei šiuo metu neturite laiko suprasti, kaip sprendžiamos diferencialinės lygtys arba Koši problema įstrigo kaip kaulas gerklėje, arba nežinote, susisiekite su mūsų autoriais. Per trumpą laiką pateiksime Jums paruoštą ir detalų sprendimą, kurio detales galėsite suprasti bet kuriuo Jums patogiu metu. Tuo tarpu siūlome žiūrėti vaizdo įrašą tema „Kaip išspręsti diferencialines lygtis“:

I. Paprastosios diferencialinės lygtys

1.1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai

Diferencialinė lygtis yra lygtis, susiejanti nepriklausomą kintamąjį x, reikalinga funkcija y ir jo dariniai arba diferencialai.

Simboliškai diferencialinė lygtis parašyta taip:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Diferencialinė lygtis vadinama įprasta, jei reikiama funkcija priklauso nuo vieno nepriklausomo kintamojo.

Diferencialinės lygties sprendimas vadinama funkcija, kuri šią lygtį paverčia tapatybe.

Diferencialinės lygties tvarka yra aukščiausios išvestinės, įtrauktos į šią lygtį, eilė

Pavyzdžiai.

1. Apsvarstykite pirmosios eilės diferencialinę lygtį

Šios lygties sprendimas yra funkcija y = 5 ln x. Tikrai, pakeičiant y"į lygtį, gauname tapatybę.

O tai reiškia, kad funkcija y = 5 ln x– yra šios diferencialinės lygties sprendimas.

2. Apsvarstykite antros eilės diferencialinę lygtį y" – 5y" +6y = 0. Funkcija yra šios lygties sprendimas.

Tikrai,.

Pakeitę šias išraiškas į lygtį, gauname: , – tapatybę.

Ir tai reiškia, kad funkcija yra šios diferencialinės lygties sprendimas.

Diferencialinių lygčių integravimas yra diferencialinių lygčių sprendimų paieškos procesas.

Bendrasis diferencialinės lygties sprendimas vadinama formos funkcija , kuri apima tiek nepriklausomų savavališkų konstantų, kiek yra lygties tvarka.

Dalinis diferencialinės lygties sprendimas yra sprendimas, gautas iš bendro sprendimo įvairioms savavališkų konstantų skaitinėms reikšmėms. Savavališkų konstantų reikšmės randamos esant tam tikroms pradinėms argumento ir funkcijos reikšmėms.

Tam tikro diferencialinės lygties sprendinio grafikas vadinamas integralinė kreivė.

Pavyzdžiai

1. Raskite konkretų pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendimą

xdx + ydy = 0, Jei y= 4 val x = 3.

Sprendimas. Integruodami abi lygties puses, gauname

komentuoti. Savavališka konstanta C, gauta integruojant, gali būti pavaizduota bet kokia forma, patogia tolimesnėms transformacijoms. Šiuo atveju, atsižvelgiant į kanoninę apskritimo lygtį, savavališką konstantą C patogu pavaizduoti formoje .

- bendrasis diferencialinės lygties sprendimas.

Ypatingas lygties sprendimas, tenkinantis pradines sąlygas y = 4 val x = 3 randamas iš bendrosios, pradines sąlygas pakeitus bendruoju sprendiniu: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Į bendrąjį sprendinį pakeitę C=5, gauname x 2 + y 2 = 5 2 .

Tai yra specialus diferencialinės lygties sprendimas, gautas iš bendro sprendimo tam tikromis pradinėmis sąlygomis.

2. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendinį

Šios lygties sprendimas yra bet kuri formos funkcija, kur C yra savavališka konstanta. Iš tiesų, lygtis pakeitę , gauname: , .

Vadinasi, ši diferencialinė lygtis turi begalinį sprendinių skaičių, nes skirtingoms konstantos C reikšmėms lygybė nustato skirtingus lygties sprendinius.

Pavyzdžiui, tiesioginiu pakeitimu galite patikrinti, ar veikia yra lygties sprendiniai.

Problema, kurioje reikia rasti konkretų lygties sprendimą y" = f(x,y) tenkinantis pradinę sąlygą y(x 0) = y 0, vadinama Koši problema.

Lygties sprendimas y" = f(x,y), atitinkanti pradinę sąlygą, y(x 0) = y 0, vadinamas Koši problemos sprendimu.

Koši problemos sprendimas turi paprastą geometrinę reikšmę. Iš tiesų, pagal šiuos apibrėžimus, išspręsti Koši problemą y" = f(x,y) atsižvelgiant į tai y(x 0) = y 0, reiškia lygties integralinės kreivės radimą y" = f(x,y) kuri eina per tam tikrą tašką M 0 (x 0,y 0).

II. Pirmosios eilės diferencialinės lygtys

2.1. Pagrindinės sąvokos

Pirmosios eilės diferencialinė lygtis yra formos lygtis F(x,y,y") = 0.

Pirmosios eilės diferencialinė lygtis apima pirmąją išvestinę ir neapima aukštesnės eilės išvestinių.

Lygtis y" = f(x,y) vadinama pirmosios eilės lygtimi, išspręsta išvestinės atžvilgiu.

Bendras pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendimas yra formos funkcija, kurioje yra viena savavališka konstanta.

Pavyzdys. Apsvarstykite pirmosios eilės diferencialinę lygtį.

Šios lygties sprendimas yra funkcija.

Iš tiesų, pakeitę šią lygtį jos verte, gauname

tai yra 3x = 3x

Todėl funkcija yra bendras bet kurios konstantos C lygties sprendimas.

Raskite konkretų šios lygties sprendimą, kuris tenkintų pradinę sąlygą y(1)=1 Pradinių sąlygų pakeitimas x = 1, y = 1į bendrąjį lygties sprendinį, gauname iš kur C=0.

Taigi, mes gauname konkretų sprendimą iš bendrojo, pakeisdami į šią lygtį gautą reikšmę C=0– privatus sprendimas.

2.2. Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais

Diferencialinė lygtis su atskiriamais kintamaisiais yra tokios formos lygtis: y"=f(x)g(y) arba per diferencialus, kur f(x) Ir g(y)– nurodytos funkcijos.

Tiems y, kuriam , lygtis y"=f(x)g(y) yra lygiavertis lygčiai, kuriame kintamasis y yra tik kairėje pusėje, o kintamasis x yra tik dešinėje. Jie sako: „Eq. y"=f(x)g(y Atskirkime kintamuosius“.

Formos lygtis vadinama atskirtųjų kintamųjų lygtimi.

Abiejų lygties pusių integravimas Autorius x, gauname G(y) = F(x) + C yra lygties bendrasis sprendinys, kur G(y) Ir F(x)– kai kurie antidariniai, atitinkamai, funkcijų ir f(x), C savavališka konstanta.

Pirmosios eilės diferencialinės lygties su atskiriamais kintamaisiais sprendimo algoritmas

1 pavyzdys

Išspręskite lygtį y" = xy

Sprendimas. Funkcijos išvestinė y" pakeiskite jį

atskirkime kintamuosius

Integruokime abi lygybės puses:

2 pavyzdys

2yy" = 1-3x 2, Jei y 0 = 3 adresu x 0 = 1

Tai atskirta kintamųjų lygtis. Įsivaizduokime tai diferencialuose. Norėdami tai padaryti, perrašome šią lygtį į formą Iš čia

Integruodami abi paskutinės lygybės puses, randame

Pradinių reikšmių pakeitimas x 0 = 1, y 0 = 3 rasime SU 9=1-1+C, t.y. C = 9.

Todėl reikalingas dalinis integralas bus arba

3 pavyzdys

Parašykite kreivės, einančios per tašką, lygtį M(2;-3) ir turintys liestinę su kampiniu koeficientu

Sprendimas. Pagal būklę

Tai lygtis su atskiriamais kintamaisiais. Padalinę kintamuosius, gauname:

Integravę abi lygties puses, gauname:

Naudojant pradines sąlygas, x = 2 Ir y = – 3 rasime C:

Todėl reikiama lygtis turi formą

2.3. Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys

Pirmos eilės tiesinė diferencialinė lygtis yra formos lygtis y" = f(x)y + g(x)

Kur f(x) Ir g(x)- kai kurios nurodytos funkcijos.

Jeigu g(x)=0 tada tiesinė diferencialinė lygtis vadinama vienalyte ir turi tokią formą: y" = f(x)y

Jei tada lygtis y" = f(x)y + g(x) vadinamas heterogenišku.

Bendrasis tiesinės vienalytės diferencialinės lygties sprendimas y" = f(x)y pateikiama pagal formulę: kur SU– savavališka konstanta.

Visų pirma, jei C = 0, tada sprendimas yra y = 0 Jei tiesinė vienalytė lygtis turi formą y" = ky Kur k yra tam tikra konstanta, tada jos bendrasis sprendinys turi formą: .

Bendrasis tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties sprendimas y" = f(x)y + g(x) pateikiama pagal formulę ,

tie. yra lygi atitinkamos tiesinės vienarūšės lygties bendrojo sprendinio ir šios lygties konkretaus sprendinio sumai.

Tiesinei nehomogeninei formos lygčiai y" = kx + b,

Kur k Ir b- kai kurie skaičiai ir konkretus sprendimas bus pastovi funkcija. Todėl bendras sprendimas turi formą .

Pavyzdys. Išspręskite lygtį y" + 2y +3 = 0

Sprendimas. Pavaizduokime lygtį formoje y" = -2y - 3 Kur k = -2, b = -3 Bendras sprendimas pateikiamas formule.

Todėl kur C yra savavališka konstanta.

2.4. Pirmosios eilės tiesinių diferencialinių lygčių sprendimas Bernulio metodu

Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygties bendro sprendimo radimas y" = f(x)y + g(x) redukuoja iki dviejų diferencialinių lygčių su atskirtais kintamaisiais išsprendimo naudojant pakaitalą y=uv, Kur u Ir v- nežinomos funkcijos iš x. Šis sprendimo metodas vadinamas Bernulio metodu.

Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygties sprendimo algoritmas

y" = f(x)y + g(x)

1. Įveskite pakaitalą y=uv.

2. Išskirkite šią lygybę y" = u"v + uv"

3. Pakaitalas y Ir y"į šią lygtį: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) arba u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Sugrupuokite lygties narius taip u išimkite jį iš skliaustų:

5. Iš skliausto, prilyginę jį nuliui, raskite funkciją

Tai yra atskiriama lygtis:

Padalinkime kintamuosius ir gausime:

Kur . .

6. Pakeiskite gautą reikšmę vį lygtį (nuo 4 žingsnio):

ir raskite funkciją Tai lygtis su atskiriamais kintamaisiais:

7. Bendrąjį sprendimą parašykite tokia forma: , t.y. .

1 pavyzdys

Raskite konkretų lygties sprendimą y" = -2y +3 = 0 Jeigu y = 1 adresu x = 0

Sprendimas. Išspręskime tai naudodami pakaitalą y=uv,.y" = u"v + uv"

Pakeičiant y Ir y"į šią lygtį gauname

Sugrupuodami antrąjį ir trečiąjį dėmenis kairėje lygties pusėje, išimame bendrą koeficientą u iš skliaustų

Išraišką skliausteliuose prilyginame nuliui ir išsprendę gautą lygtį randame funkciją v = v(x)

Gauname lygtį su atskirtais kintamaisiais. Integruokime abi šios lygties puses: Raskite funkciją v:

Pakeiskime gautą reikšmę vį lygtį gauname:

Tai atskirta kintamųjų lygtis. Integruokime abi lygties puses: Raskime funkciją u = u(x,c) Raskime bendrą sprendimą: Raskime konkretų lygties sprendimą, tenkinantį pradines sąlygas y = 1 adresu x = 0:

III. Aukštesnės eilės diferencialinės lygtys

3.1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai

Antros eilės diferencialinė lygtis yra lygtis, kurioje yra ne aukštesnės kaip antros eilės išvestinės išvestinės. Bendruoju atveju antros eilės diferencialinė lygtis rašoma taip: F(x,y,y,y") = 0

Bendras antros eilės diferencialinės lygties sprendimas yra formos funkcija, kurią sudaro dvi savavališkos konstantos C 1 Ir C 2.

Konkretus antros eilės diferencialinės lygties sprendimas yra sprendimas, gautas iš bendro sprendinio tam tikroms savavališkų konstantų reikšmėms C 1 Ir C 2.

3.2. Antros eilės tiesinės vienalytės diferencialinės lygtys su pastovūs koeficientai.

Antros eilės tiesinė vienalytė diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais vadinama formos lygtimi y" + py" +qy = 0, Kur p Ir q- pastovios vertės.

Homogeninių antros eilės diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sprendimo algoritmas

1. Parašykite diferencialinę lygtį tokia forma: y" + py" +qy = 0.

2. Sudarykite jai būdingą lygtį, pažymėdami y" per r 2, y" per r, y 1: r 2 + pr + q = 0

Panagrinėkime antros eilės tiesinę vienalytę lygtį, t.y. lygtis

ir nustatyti kai kurias jo sprendinių savybes.

1 nuosavybė
Jei yra tiesinės vienalytės lygties sprendimas, tada C, Kur C- savavališka konstanta, yra tos pačios lygties sprendimas.
Įrodymas.
Pakeitimas į kairę nagrinėjamos lygties pusę C, gauname: ,
bet, nes
yra pradinės lygties sprendimas.

Vadinasi,

ir šios savybės pagrįstumas įrodytas.
2 nuosavybė
Dviejų tiesinės vienalytės lygties sprendinių suma yra tos pačios lygties sprendinys.
Įrodymas.
Leiskite ir būti nagrinėjamos lygties sprendiniais
Ir .
Dabar pakeitę + į nagrinėjamą lygtį, turėsime:
Iš įrodytų savybių matyti, kad žinodami du konkrečius tiesinės vienalytės antros eilės lygties sprendinius, galime gauti sprendimą , priklausomai nuo dviejų savavališkų konstantų, t.y. iš konstantų skaičiaus, kad antros eilės lygtis turi turėti bendrąjį sprendinį. Bet ar šis sprendimas bus bendras, t.y. Ar galima patenkinti savavališkai duotas pradines sąlygas pasirinkus savavališkas konstantas?
Atsakydami į šį klausimą naudosime tiesinės funkcijų nepriklausomybės sąvoką, kurią galima apibrėžti taip.

Dvi funkcijos vadinamos tiesiškai nepriklausomas tam tikrame intervale, jei jų santykis šiame intervale nėra pastovus, t.y. Jeigu
.
Kitu atveju funkcijos iškviečiamos tiesiškai priklausomas.
Kitaip tariant, sakoma, kad dvi funkcijos tiesiškai priklauso nuo tam tikro intervalo, jei nuo viso intervalo.

Pavyzdžiai

1. Funkcijos y 1 = e x ir y 2 = e -x yra tiesiškai nepriklausomi visoms x reikšmėms, nes
.
2. Funkcijos y 1 = e x ir y 2 = 5 e x tiesiškai priklausomas, nes
.

1 teorema.

Jei funkcijos ir yra tiesiškai priklausomos nuo tam tikro intervalo, vadinasi determinantas Vronskio determinantas duotos funkcijos yra identiškai lygios nuliui šiame intervale.

Įrodymas.

Jeigu
,
kur , tada ir .
Vadinasi,
.
Teorema įrodyta.

komentuoti.
Vronskio determinantas, esantis nagrinėjamoje teoremoje, paprastai žymimas raide W arba simboliai .
Jei funkcijos yra antros eilės tiesinės vienalytės lygties sprendiniai, tai joms galioja sekanti atvirkštinė ir, be to, stipresnė teorema.

2 teorema.

Jei Vronskio determinantas, sudarytas sprendiniams ir antros eilės tiesinei homogeninei lygčiai, išnyksta bent viename taške, tai šie sprendiniai yra tiesiškai priklausomi.

Įrodymas.

Tegul Vronskio determinantas išnyksta taške , t.y.
=0,
ir tegul ir .

Apsvarstykite tiesinę homogeninę sistemą
palyginti nežinomas ir .
Šios sistemos determinantas sutampa su Wronskio determinanto reikšme ties x=
, t.y. sutampa su , todėl lygus nuliui. Todėl sistema turi nulinį sprendimą ir ( ir nėra lygūs nuliui). Naudodami šias reikšmes ir apsvarstykite funkciją . y=0.
Ši funkcija yra tos pačios lygties sprendimas kaip ir funkcijos. Be to, ši funkcija tenkina nulines pradines sąlygas: , nes
,
tie. funkcijos ir yra tiesiškai priklausomos. Teorema įrodyta.

Pasekmės.

1. Jei teoremose esantis Wronskio determinantas yra lygus nuliui tam tikrai reikšmei Šios sistemos determinantas sutampa su Wronskio determinanto reikšme ties, tada jis yra lygus nuliui bet kuriai vertei xnuo nagrinėjamo intervalo.

2. Jei sprendiniai yra tiesiškai nepriklausomi, tai Vronskio determinantas neišnyksta nė viename nagrinėjamo intervalo taške.

3. Jei Vronskio determinantas bent viename taške yra nelygus nuliui, tai sprendiniai yra tiesiškai nepriklausomi.

3 teorema.

Jei ir yra du tiesiškai nepriklausomi vienalytės antrosios eilės lygties sprendiniai, tai funkcija , kur ir yra savavališkos konstantos, yra bendras šios lygties sprendimas.

Įrodymas.

Kaip žinoma, funkcija yra nagrinėjamos lygties sprendimas bet kurioms ir reikšmėms.
Dabar įrodykime, kad ir kokios būtų pradinės sąlygos
ir ,
galima pasirinkti savavališkų konstantų reikšmes ir taip, kad atitinkamas konkretus sprendimas atitiktų nurodytas pradines sąlygas.
.
Pradines sąlygas pakeitę lygybėmis, gauname lygčių sistemą

Iš šios sistemos galima nustatyti ir , kadangi šios sistemos determinantas Šios sistemos determinantas sutampa su Wronskio determinanto reikšme ties yra Vronskio determinantas

; .

ir todėl nėra lygus nuliui (dėl sprendinių ir tiesinės nepriklausomybės).

Pavyzdžiai

Konkretus sprendimas su gautomis reikšmėmis ir atitinka nurodytas pradines sąlygas. Taigi teorema įrodyta.

1 pavyzdys.
Bendrasis lygties sprendimas yra sprendimas .
.

tikrai,

Todėl funkcijos sinx ir cosx yra tiesiškai nepriklausomos.

Tai galima patikrinti įvertinus šių funkcijų ryšį: 1 2 pavyzdys. x Sprendimas y = C 2 2 pavyzdys. e +C .

-x

lygtis yra bendra, nes 3 pavyzdys.
Lygtis

, kurio koeficientai ir
.

tęstinis bet kuriame intervale, kuriame nėra taško x = 0, priima dalinius sprendinius

(lengva patikrinti pakeičiant). Todėl jo bendras sprendimas turi tokią formą:

komentuoti

Mes nustatėme, kad tiesinės vienalytės antros eilės lygties bendrąjį sprendinį galima gauti žinant bet kuriuos du tiesiškai nepriklausomus dalinius šios lygties sprendinius. Tačiau nėra bendrų metodų, kaip rasti tokius dalinius galutinius lygčių su kintamaisiais koeficientais sprendinius. Lygtims su pastoviais koeficientais toks metodas egzistuoja ir bus aptartas vėliau.

Prisiminkime užduotį, su kuria susidūrėme ieškant apibrėžtųjų integralų: y, jei žinoma, kad jis tenkina formos santykį

Šis ryšys sieja nepriklausomą kintamąjį x, nežinoma funkcija y ir jos dariniai iki eilės n imtinai, yra vadinami .

Diferencialinė lygtis apima funkciją po vienos ar kitos eilės išvestinių (arba diferencialų) ženklu. Aukščiausia tvarka vadinama tvarka (9.1) .

Diferencialinės lygtys:

- pirmasis užsakymas,

Antra tvarka

- penktoji tvarka ir kt.

Funkcija, kuri tenkina duotą diferencialinę lygtį, vadinama jos sprendimu , arba integralinis . Ją išspręsti reiškia rasti visus jos sprendimus. Jei reikiamai funkcijai y pavyko gauti formulę, kuri pateikia visus sprendimus, tada sakome, kad radome jos bendrą sprendimą , arba bendrasis integralas .

Bendras sprendimas yra n savavališkos konstantos ir atrodo

Jei gaunamas santykis, kuris susijęs x, y Ir n savavališkos konstantos, tokia forma, kuri neleidžiama y -

tada toks ryšys vadinamas (9.1) lygties bendruoju integralu.

Cauchy problema

Kiekvienas konkretus sprendimas, t. y. kiekviena specifinė funkcija, kuri tenkina duotą diferencialinę lygtį ir nepriklauso nuo savavališkų konstantų, vadinama konkrečiu sprendimu , arba dalinis integralas. Norint gauti konkrečius sprendinius (integralus) iš bendrųjų, konstantoms turi būti suteikiamos konkrečios skaitinės reikšmės.

Tam tikro sprendimo grafikas vadinamas integraliąja kreive. Bendrasis sprendimas, kuriame yra visi daliniai sprendiniai, yra integralinių kreivių šeima. Pirmos eilės lygčiai ši šeima priklauso nuo vienos savavališkos lygties konstantos n-tas užsakymas - nuo n savavališkos konstantos.

Koši problema yra rasti konkretų lygties sprendimą n- eilinis, patenkinamas n pradinės sąlygos:

pagal kuriuos nustatoma n konstantų c 1, c 2,..., c n.

1 eilės diferencialinės lygtys

Pirmos eilės diferencialinei lygčiai, kuri yra neišspręsta išvestinės atžvilgiu, ji turi formą

arba leistinam santykinai

3.46 pavyzdys. Raskite bendrąjį lygties sprendimą

Sprendimas. Integruodami gauname

kur C yra savavališka konstanta. Jei C priskiriame konkrečias skaitines reikšmes, gauname konkrečius sprendimus, pvz.

3.47 pavyzdys. Apsvarstykite didėjančią į banką deponuojamų pinigų sumą, kuriai priskaičiuojama 100 r sudėtines palūkanas per metus. Tegul Yo yra pradinė pinigų suma, o Yx - pabaigoje x metų. Jei palūkanas skaičiuoja kartą per metus, gauname

kur x = 0, 1, 2, 3,.... Kai palūkanos skaičiuojamos du kartus per metus, gauname

kur x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Skaičiuojant palūkanas n kartą per metus ir jei x paima nuoseklias reikšmes 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., tada

Nurodykite 1/n = h, tada ankstesnė lygybė atrodys taip:

Su neribotu padidinimu n(at ) riboje pasiekiame pinigų sumos didinimo procesą nuolat kaupiant palūkanas:

Taigi aišku, kad nuolat keičiantis x pinigų pasiūlos kitimo dėsnis išreiškiamas 1-osios eilės diferencine lygtimi. kur Y x yra nežinoma funkcija, x- nepriklausomas kintamasis, r- pastovus. Išspręskime šią lygtį, kad tai padarytume, perrašome taip:

kur , arba , kur P reiškia e C .

Iš pradinių sąlygų Y(0) = Yo randame P: Yo = Pe o, iš kur Yo = P. Todėl sprendinys turi tokią formą:

Panagrinėkime antrąją ekonominę problemą. Makroekonominiai modeliai taip pat aprašomi I eilės tiesinėmis diferencialinėmis lygtimis, apibūdinančiomis pajamų arba produkcijos Y pokyčius kaip laiko funkcijas.

3.48 pavyzdys. Tegul nacionalinės pajamos Y didėja proporcingai jų vertei:

ir tegul valdžios sektoriaus išlaidų deficitas yra tiesiogiai proporcingas pajamoms Y su proporcingumo koeficientu q. Dėl išlaidų deficito didėja valstybės skola D:

Pradinės sąlygos Y = Yo ir D = Do, kai t = 0. Iš pirmosios lygties Y = Yoe kt. Pakeitę Y gauname dD/dt = qYoe kt . Bendras sprendimas turi formą
D = (q/ k) Yoe kt +С, kur С = const, kuris nustatomas iš pradinių sąlygų. Pakeitę pradines sąlygas, gauname Do = (q/ k)Yo + C. Taigi, galiausiai,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

tai rodo, kad valstybės skola didėja tokiu pačiu santykiniu tempu k, tokios pat kaip nacionalinės pajamos.

Panagrinėkime paprasčiausias diferencialines lygtis n eilės, tai yra formos lygtys

Jo bendrą sprendimą galima gauti naudojant n kartų integracijos.

3.49 pavyzdys. Apsvarstykite pavyzdį y """ = cos x.

Sprendimas. Integruodami, randame

Bendras sprendimas turi formą

Tiesinės diferencialinės lygtys

Jie plačiai naudojami ekonomikoje, pasvarstykime, kaip išspręsti tokias lygtis. Jei (9.1) turi tokią formą:

tada ji vadinama tiesine, kur рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) pateiktos funkcijos. Jei f(x) = 0, tai (9.2) vadinamas vienarūšiu, kitu atveju nehomogeniniu. Bendrasis lygties (9.2) sprendinys yra lygus bet kurio konkrečių jos sprendinių sumai y(x) ir ją atitinkančios homogeninės lygties bendras sprendinys:

Jei koeficientai р o (x), р 1 (x),..., р n (x) yra pastovūs, tai (9.2)

(9.4) vadinama tiesine diferencialine lygtimi su pastoviais eilės koeficientais n .

(9.4) turi tokią formą:

Neprarasdami bendrumo, galime nustatyti p o = 1 ir įrašyti (9.5) į formą

Ieškosime sprendinio (9.6) formoje y = e kx, kur k yra konstanta. Turime: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Pakeisdami gautas išraiškas į (9.6), turėsime:

(9.7) yra algebrinė lygtis, jos nežinomas yra k, tai vadinama charakteristika. Būdingoji lygtis turi laipsnį n Ir nšaknys, tarp kurių gali būti tiek daug, tiek sudėtingų. Tegul k 1 , k 2 ,..., k n yra tikri ir skirtingi - konkretūs sprendimai (9.7) ir bendrieji

Apsvarstykite tiesinę homogeninę antros eilės diferencialinę lygtį su pastoviais koeficientais:

Jai būdinga lygtis turi formą

(9.9)

jo diskriminantas D = p 2 - 4q, priklausomai nuo D ženklo, galimi trys atvejai.

1. Jei D>0, tai šaknys k 1 ir k 2 (9.9) yra tikrosios ir skirtingos, o bendrasis sprendinys turi tokią formą:

Sprendimas. Charakteristinė lygtis: k 2 + 9 = 0, iš kur k = ± 3i, a = 0, b = 3, bendrasis sprendimas turi tokią formą:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

2 eilės tiesinės diferencialinės lygtys naudojamos tiriant web tipo ekonominį modelį su prekių atsargomis, kur kainos kitimo greitis P priklauso nuo atsargų dydžio (žr. 10 punktą). Jei pasiūla ir paklausa yra tiesinės kainos funkcijos, tai yra

a yra konstanta, kuri lemia reakcijos greitį, tada kainos kitimo procesas apibūdinamas diferencine lygtimi: