Kokia yra keturkampio vidinių kampų suma? Įbrėžtasis keturkampis ir jo savybės

UŽRAŠYTI IR APSULAITINIAI DALIS,

§ 106. UŽRAŠŲ IR APRAŠYTŲ KETVURGONIŲ SAVYBĖS.

1 teorema. Ciklinio keturkampio priešingų kampų suma yra 180°.

Į apskritimą, kurio centras yra O, įbrėžtas keturkampis ABCD (412 pav.). Tai būtina įrodyti / A+ / C = 180° ir / B + / D = 180°.

/ A, kaip įrašyta apskritime O, matuoja 1/2 BCD.
/ C, kaip įrašyta tame pačiame apskritime, yra 1/2 BAD.

Vadinasi, kampų A ir C suma matuojama puse lankų BCD ir BAD sumos, šie lankai sudaro apskritimą, ty jie turi 360°.
Iš čia / A+ / C = 360°: 2 = 180°.

Panašiai įrodyta, kad / B + / D = 180°. Tačiau tai galima nustatyti ir kitu būdu. Žinome, kad išgaubto keturkampio vidinių kampų suma yra 360°. Kampų A ir C suma lygi 180°, vadinasi, kitų dviejų keturkampio kampų suma taip pat išlieka 180°.

2 teorema(atvirkščiai). Jei keturkampyje dviejų priešingų kampų suma yra lygi 180° , tada aplink tokį keturkampį galima apibūdinti apskritimą.

Tegul keturkampio ABCD priešingų kampų suma lygi 180°, būtent
/ A+ / C = 180° ir / B + / D = 180° (412 brėžinys).

Įrodykime, kad apie tokį keturkampį galima aprašyti apskritimą.

Įrodymas. Per bet kurias 3 šio keturkampio viršūnes galite nubrėžti apskritimą, pavyzdžiui, per taškus A, B ir C. Kur bus taškas D?

Taškas D gali užimti tik vieną iš šių trijų padėčių: būti apskritimo viduje, už apskritimo ribų, būti apskritimo perimetro.

Tarkime, kad viršūnė yra apskritimo viduje ir užima padėtį D" (413 pav.). Tada keturkampyje ABCD" turėsime:

/ B + / D" = 2 d.

Tęsdami kraštą AD" iki susikirtimo su apskritimu taške E ir sujungdami taškus E ir C, gauname ciklinį keturkampį ABCE, kuriame pagal tiesioginę teoremą

/ B+ / E = 2 d.

Iš šių dviejų lygybių išplaukia:

/ D" = 2 d - / B;
/ E=2 d - / B;

/ D" = / E,

bet taip negali būti, nes / D“, esantis išorėje trikampio CD“E atžvilgiu, turi būti didesnis už kampą E. Todėl taškas D negali būti apskritimo viduje.

Taip pat įrodyta, kad viršūnė D negali užimti padėties D" už apskritimo ribų (414 pav.).

Belieka pripažinti, kad viršūnė D turi gulėti ant apskritimo perimetro, t.y., sutapti su tašku E, o tai reiškia, kad aplink keturkampį ABCD galima aprašyti apskritimą.

Pasekmės. 1. Apskritimas gali būti aprašytas aplink bet kurį stačiakampį.

2. Aplink lygiašonę trapeciją galima apibūdinti apskritimą.

Abiem atvejais priešingų kampų suma yra 180°.

3 teorema. Apribotame keturkampyje priešingų kraštinių sumos yra lygios. Keturkampis ABCD aprašomas apie apskritimą (415 pav.), t.y. jo kraštinės AB, BC, CD ir DA yra šio apskritimo liestinės.

Reikia įrodyti, kad AB + CD = AD + BC. Lietimo taškus pažymėkime raidėmis M, N, K, P. Remdamiesi liestinių, nubrėžtų iš vieno taško į apskritimą, savybėmis (§ 75), turime:

AR = AK;
VR = VM;
DN = DK;
CN = CM.

Sudėkime šias lygybes po termino. Mes gauname:

AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,

y., AB + CD = AD + BC, ką ir reikėjo įrodyti.

Pratimai.

1. Įbrėžtajame keturkampyje du priešingi kampai yra santykiu 3:5,
o kiti du yra santykiu 4:5. Nustatykite šių kampų dydį.

2. Aprašytame keturkampyje dviejų priešingų kraštinių suma yra 45 cm. Likusių dviejų kraštinių santykis yra 0,2: 0,3. Raskite šių kraštų ilgį.

Išgaubtas keturkampis yra figūra, susidedanti iš keturių kraštinių, sujungtų viena su kita viršūnėse, sudarančių keturis kampus kartu su kraštinėmis, o pats keturkampis visada yra toje pačioje plokštumoje, palyginti su tiesia linija, kurioje yra viena iš jo kraštinių. Kitaip tariant, visa figūra yra toje pačioje bet kurios jos pusės pusėje.

Kaip matote, apibrėžimą gana lengva prisiminti.

Pagrindinės savybės ir tipai

Beveik visos žinomos figūros, susidedančios iš keturių kampų ir kraštinių, gali būti klasifikuojamos kaip išgaubti keturkampiai. Galima išskirti šiuos dalykus:

1. lygiagretainis;
2. kvadratas;
3. stačiakampis;
4. trapecijos formos;
5. rombas.

Visas šias figūras vienija ne tik tai, kad jos yra keturkampės, bet ir tai, kad jos yra ir išgaubtos. Tiesiog pažiūrėkite į diagramą:

Paveiksle pavaizduota išgaubta trapecija. Čia matote, kad trapecija yra toje pačioje plokštumoje arba vienoje atkarpos pusėje. Jei atliksite panašius veiksmus, galite sužinoti, kad visose kitose pusėse trapecija yra išgaubta.

Ar lygiagretainis yra išgaubtas keturkampis?

Viršuje yra lygiagretainio paveikslėlis. Kaip matyti iš paveikslo, lygiagretainis taip pat yra išgaubtas. Jei pažvelgsite į figūrą, palyginti su tiesėmis, ant kurių yra atkarpos AB, BC, CD ir AD, paaiškėja, kad ji visada yra toje pačioje plokštumoje iš šių linijų. Pagrindinės lygiagretainio charakteristikos yra tai, kad jo kraštinės yra poromis lygiagrečios ir lygios, kaip ir priešingi kampai yra lygūs vienas kitam.

Dabar įsivaizduokite kvadratą arba stačiakampį. Pagal savo pagrindines savybes jie taip pat yra lygiagretainiai, tai yra, visos jų pusės yra lygiagrečiomis poromis. Tik stačiakampio atveju kraštinių ilgiai gali būti skirtingi, o kampai yra statūs (lygūs 90 laipsnių), kvadratas yra stačiakampis, kurio visos kraštinės yra lygios ir kampai taip pat yra stačiakampiai, bet lygiagretainis, kraštinių ilgiai ir kampai gali būti skirtingi.

Dėl to visų keturių keturkampio kampų suma turi būti lygus 360 laipsnių. Lengviausias būdas tai nustatyti yra pažvelgus į stačiakampį: visi keturi stačiakampio kampai yra tiesūs, tai yra lygūs 90 laipsnių. Šių 90 laipsnių kampų suma duoda 360 laipsnių, kitaip tariant, 4 kartus pridėjus 90 laipsnių, gaunamas norimas rezultatas.

Išgaubto keturkampio įstrižainių savybė

Išgaubto keturkampio įstrižainės susikerta. Iš tiesų, šį reiškinį galima stebėti vizualiai, tiesiog pažiūrėkite į paveikslą:

Paveikslėlyje kairėje pavaizduotas neišgaubtas keturkampis arba keturkampis. Kad ir kaip būtų. Kaip matote, įstrižainės nesikerta, bent jau ne visos. Dešinėje yra išgaubtas keturkampis. Čia jau pastebima įstrižainių savybė susikirsti. Ta pati savybė gali būti laikoma keturkampio išgaubimo ženklu.

Kitos keturkampio išgaubimo savybės ir požymiai

Vartojant šį terminą labai sunku įvardyti kokias nors konkrečias savybes ir charakteristikas. Lengviau atskirti pagal skirtingus šio tipo keturkampių tipus. Galite pradėti nuo lygiagretainio. Jau žinome, kad tai keturkampė figūra, kurios kraštinės lygiagrečios ir poromis lygios. Kartu tai apima ir lygiagretainio įstrižainių savybę susikirsti viena su kita, taip pat patį figūros išgaubimo ženklą: lygiagretainis visada yra toje pačioje plokštumoje ir toje pačioje pusėje bet kurios iš jo kraštinių atžvilgiu. .

Taigi, žinomos pagrindinės savybės ir savybės:

1. keturkampio kampų suma lygi 360 laipsnių;
2. Figūrų įstrižainės susikerta viename taške.

Stačiakampis. Ši figūra turi visas tas pačias savybes ir charakteristikas kaip lygiagretainis, tačiau tuo pačiu metu visi jo kampai yra lygūs 90 laipsnių. Iš čia ir kilo pavadinimas – stačiakampis.

Kvadratas, tas pats lygiagretainis, bet jo kampai yra statūs kaip stačiakampio. Dėl šios priežasties kvadratas retai vadinamas stačiakampiu. Tačiau pagrindinis kvadrato skiriamasis bruožas, be jau išvardintų aukščiau, yra tas, kad visos keturios jo kraštinės yra lygios.

Trapecija yra labai įdomi figūra. Tai taip pat yra keturkampis ir taip pat išgaubtas. Šiame straipsnyje trapecija jau buvo išnagrinėta naudojant brėžinio pavyzdį. Akivaizdu, kad jis taip pat yra išgaubtas. Pagrindinis skirtumas, taigi ir trapecijos ženklas, yra tas, kad jos kraštinės gali būti visiškai nelygios viena kitai ilgio, taip pat kampų vertės. Šiuo atveju figūra visada išlieka toje pačioje plokštumoje bet kurios linijos, jungiančios bet kurias dvi jos viršūnes išilgai figūrą sudarančių atkarpų, atžvilgiu.

Rombas yra ne mažiau įdomi figūra. Iš dalies rombas gali būti laikomas kvadratu. Rombo ženklas yra tai, kad jo įstrižainės ne tik susikerta, bet ir dalija rombo kampus pusiau, o pačios įstrižainės susikerta stačiu kampu, tai yra, yra statmenos. Jei rombo kraštinių ilgiai lygūs, tai įstrižainės taip pat dalijamos pusiau, kai susikerta.

Deltai arba išgaubti rombai (rombai) gali turėti skirtingą šonų ilgį. Tačiau tuo pačiu metu vis dar išsaugomos pagrindinės paties rombo savybės ir savybės, taip pat išgaubimo savybės ir savybės. Tai yra, galime pastebėti, kad įstrižainės dalija kampus ir susikerta stačiu kampu.

Šios dienos užduotis buvo apsvarstyti ir suprasti, kas yra išgaubti keturkampiai, kokie jie yra ir kokie yra jų pagrindiniai bruožai ir savybės. Dėmesio! Verta dar kartą priminti, kad išgaubto keturkampio kampų suma yra 360 laipsnių. Pavyzdžiui, figūrų perimetras yra lygus visų figūrą sudarančių atkarpų ilgių sumai. Keturkampių perimetro ir ploto skaičiavimo formulės bus aptariamos tolesniuose straipsniuose.

Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas temas, reikalingas sėkmingai išlaikyti vieningą valstybinį matematikos egzaminą 60-65 balais. Visiškai visos profilio vieningo valstybinio matematikos egzamino 1-13 užduotys. Taip pat tinka išlaikyti bazinį vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo kursas vieningam valstybiniam egzaminui 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti matematikos vieningo valstybinio egzamino 1 dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų iš vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei 100 balų studentas, nei humanitarinių mokslų studentas.

Visa reikalinga teorija. Greiti vieningo valstybinio egzamino sprendimai, spąstai ir paslaptys. Išnagrinėtos visos dabartinės FIPI užduočių banko 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka Vieningo valstybinio egzamino 2018 reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.

Šimtai vieningo valstybinio egzamino užduočių. Žodiniai uždaviniai ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. Teorija, informacinė medžiaga, visų rūšių vieningo valstybinio egzamino užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Aiškūs sudėtingų sąvokų paaiškinimai. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sudėtingų Vieningo valstybinio egzamino 2 dalies uždavinių sprendimo pagrindas.

Daugiakampio koncepcija

1 apibrėžimas

Daugiakampis yra geometrinė figūra plokštumoje, susidedanti iš atkarpų, sujungtų poromis, o gretimi yra ne vienoje tiesėje.

Šiuo atveju segmentai vadinami daugiakampio kraštinės ir jų galai - daugiakampio viršūnės.

2 apibrėžimas

$n$-kampis yra daugiakampis su $n$ viršūnėmis.

Daugiakampių tipai

3 apibrėžimas

Jei daugiakampis visada yra toje pačioje bet kurios tiesės, einančios per jo kraštines, pusėje, tada daugiakampis vadinamas išgaubtas(1 pav.).

1 pav. Išgaubtas daugiakampis

4 apibrėžimas

Jei daugiakampis yra bent vienos tiesės, einančios per jo kraštines, priešingose ​​pusėse, tai daugiakampis vadinamas neišgaubtu (2 pav.).

2 pav. Neišgaubtas daugiakampis

Daugiakampio kampų suma

Įveskime teoremą apie trikampio kampų sumą.

1 teorema

Išgaubto trikampio kampų suma nustatoma taip

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Įrodymas.

Pateikiame išgaubtą daugiakampį $A_1A_2A_3A_4A_5\taškai A_n$. Sujungkime jo viršūnę $A_1$ su visomis kitomis šio daugiakampio viršūnėmis (3 pav.).

3 pav.

Su šiuo ryšiu gauname $n-2$ trikampius. Susumavus jų kampus gauname duoto -gon kampų sumą. Kadangi trikampio kampų suma lygi $(180)^0,$ gauname, kad išgaubto trikampio kampų suma nustatoma pagal formulę

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Teorema įrodyta.

Keturkampio samprata

Naudojant $2$ apibrėžimą, nesunku įvesti keturkampio apibrėžimą.

5 apibrėžimas

Keturkampis yra daugiakampis su $4$ viršūnėmis (4 pav.).

4 pav. Keturkampis

Keturkampiui panašiai apibrėžiamos išgaubto keturkampio ir neišgaubto keturkampio sąvokos. Klasikiniai išgaubtų keturkampių pavyzdžiai yra kvadratas, stačiakampis, trapecija, rombas, lygiagretainis (5 pav.).

5 pav. Išgaubti keturkampiai

2 teorema

Išgaubto keturkampio kampų suma yra $(360)^0$

Įrodymas.

Pagal teoremą $1$ žinome, kad išgaubto kampo kampų suma nustatoma pagal formulę

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Todėl išgaubto keturkampio kampų suma lygi

\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Teorema įrodyta.

2 ir 3 teoremos yra priešingos. Parašykime juos atitinkamai:

4 teorema. Apskritimas aplink keturkampį gali būti aprašytas tada ir tik tada, kai priešingų kampų suma lygi 180 laipsnių
5 teorema. Apskritimas gali būti įrašytas į keturkampį tada ir tik tada, kai priešingų kraštinių ilgių sumos yra lygios.

Įrodymas: Tegul ABCD yra duotasis keturkampis, o AB + CD = AD + BC. Nubraižykime jo kampų A ir D pusiausvyras. Šios pusiausvyros nėra lygiagrečios, vadinasi, susikerta tam tikrame taške O. Statmenis OK, OL ir OM iš taško O numeskime į kraštines AB, AD ir CD. Tada OK=OL ir OL=OM, o tai reiškia, kad apskritimas, kurio centras yra taške O ir spindulys OK, liečia šio keturkampio kraštines AB, AD ir CD. Nubrėžkime šio apskritimo liestinę iš taško B. Tegul ši liestinė kerta tiesę CD taške P. Tada ABPD yra apibrėžtas keturkampis. Todėl pagal apibrėžtojo keturkampio savybę AB + DP = AD + BP. Be to, pagal sąlygą AB+ CD = AD + BC. Todėl BP + PC = BC, o tai reiškia, kad pagal trikampio nelygybę taškas P yra atkarpoje BC. Vadinasi, tiesės BP ir BC sutampa, o tai reiškia, kad linija BC liečia apskritimą, kurio centras yra taške O, tai yra, ABCD pagal apibrėžimą yra apibrėžtas keturkampis. Teorema įrodyta.
6 teorema. Keturkampio plotas yra lygus pusei jo įstrižainių ir kampo tarp jų sinuso sandaugos.

Įrodymas: Tegul ABCD yra duotasis keturkampis. Taip pat tegul O yra įstrižainių susikirtimo taškas. Tada
S ABCD = S ABO + S BCO +S CDO + S DAO =
= 1/2(AO·BO·sin∠ AOB + BO·CO·sin∠ BOC +
+ CO·DO·sin∠ COD + DO·AO·sin∠ AOD) =
= 1/2 sin∠ BOC (AO + CO) (BO + DO) =
= 1/2·sin∠ BOC·AC·BD.
Teorema įrodyta.
d1 teorema. (Varignon) Keturkampis, kurio viršūnės yra bet kurio keturkampio kraštinių vidurio taškuose, yra lygiagretainis, o šio lygiagretainio plotas yra lygus pusei pradinio keturkampio ploto.

Įrodymas: Tegu ABCD yra duotasis keturkampis, o K, L, M ir N – jo kraštinių vidurio taškai. Tada KL yra trikampio ABC vidurio linija, o tai reiškia, kad KL lygiagreti AC. Taip pat LM lygiagreti BD, MN lygiagreti AC, o NK lygiagreti BD. Todėl KL lygiagreti MN, LM lygiagreti KN. Taigi KLMN yra lygiagretainis. Šio lygiagretainio plotas yra KL·KN·sin∠ NKL =
1/2 AC BD sin DOC = 1/2S ABCD .
Teorema įrodyta.