3 apibrėžimas. Revoliucijos kūnas yra kūnas, gaunamas sukant plokščią figūrą aplink ašį, kuri nesikerta su figūra ir yra vienoje plokštumoje su ja.

Sukimosi ašis gali kirsti figūrą, jei ji yra figūros simetrijos ašis.

2 teorema.
, ašis
ir tiesūs segmentai
Ir

sukasi aplink ašį
. Tada gauto sukimosi kūno tūrį galima apskaičiuoti naudojant formulę

(2)

Įrodymas. Tokiam korpusui skerspjūvis su abscisėmis yra spindulio apskritimas
, Reiškia
o formulė (1) duoda reikiamą rezultatą.

Jeigu figūrą riboja dviejų ištisinių funkcijų grafikai
Ir
, ir linijos segmentai
Ir
, ir
Ir
, tada sukdami aplink x ašį gauname kūną, kurio tūris

3 pavyzdys. Apskaičiuokite toro tūrį, gautą sukant apskritimą, kurį riboja apskritimas

aplink abscisių ašį.

R sprendimą. Nurodytą apskritimą riboja funkcijos grafikas
ir iš viršaus –
. Šių funkcijų kvadratų skirtumas:

Reikalingas tūris

(integrando grafikas yra viršutinis puslankis, todėl aukščiau parašytas integralas yra puslankio plotas).

4 pavyzdys. Parabolinis segmentas su pagrindu
, ir aukštis , sukasi aplink pagrindą. Apskaičiuokite gauto kūno (Cavalieri „citrinos“) tūrį.

R sprendimą. Mes pastatysime parabolę, kaip parodyta paveikslėlyje. Tada jos lygtis
, ir
. Raskime parametro reikšmę :
. Taigi, reikalingas tūris:

3 teorema. Tegu kreivinė trapecija, apribota tolydžios neneigiamos funkcijos grafiku
, ašis
ir tiesūs segmentai
Ir
, ir
, sukasi aplink ašį
. Tada gauto sukimosi kūno tūrį galima rasti pagal formulę

(3)

Įrodinėjimo idėja. Mes padaliname segmentą
taškais

, į dalis ir nubrėžkite tiesias linijas
. Visa trapecija bus suskaidyta į juosteles, kurios gali būti laikomos maždaug stačiakampiais su pagrindu
ir aukščio
.

Supjaustome gautą cilindrą, sukdami tokį stačiakampį išilgai jo generatrix ir išskleidžiame. Gauname „beveik“ gretasienį su matmenimis:
,
Ir
. Jo tūris
. Taigi, revoliucijos kūno tūriui turėsime apytikslę lygybę

Norint gauti tikslią lygybę, reikia pereiti prie ribos
. Aukščiau parašyta suma yra integrali funkcijos suma
, todėl riboje gauname integralą iš (3) formulės. Teorema įrodyta.

1 pastaba. 2 ir 3 teoremose sąlyga
galima praleisti: (2) formulė paprastai nejautrina ženklui
, o (3) formulėje pakanka
pakeisti į
.

5 pavyzdys. Parabolinis segmentas (bazė
, aukštis ) sukasi aplink aukštį. Raskite gauto kūno tūrį.

Sprendimas. Padėkime parabolę, kaip parodyta paveikslėlyje. Ir nors sukimosi ašis kerta figūrą, ji – ašis – yra simetrijos ašis. Todėl turime atsižvelgti tik į dešinę segmento pusę. Parabolės lygtis
, ir
, Reiškia
. Dėl apimties turime:

2 pastaba. Jei kreivinės trapecijos kreivinė riba nurodyta parametrinėmis lygtimis
,
,
Ir
,
tada galite naudoti formules (2) ir (3) su pakaitalu įjungta
Ir
įjungta
kai keičiasi t iš
į .

6 pavyzdys. Figūrą riboja pirmasis cikloido lankas
,
,
, ir x ašį. Raskite kūno tūrį, gautą sukant šią figūrą aplink: 1) ašį
; 2) kirviai
.

Sprendimas. 1) Bendroji formulė
Mūsų atveju:

2) Bendroji formulė
Mūsų figūrai:

Kviečiame mokinius patiems atlikti visus skaičiavimus.

3 pastaba. Tegul lenktas sektorius ribojamas ištisine linija
ir spinduliai
,

, sukasi aplink polinę ašį. Gauto kūno tūrį galima apskaičiuoti pagal formulę.

7 pavyzdys. Kardioidu ribojamos figūros dalis
, guli už apskritimo ribų
, sukasi aplink polinę ašį. Raskite gauto kūno tūrį.

Sprendimas. Abi linijos, taigi ir figūra, kurią jos riboja, yra simetriškos polinės ašies atžvilgiu. Todėl reikia atsižvelgti tik į tą dalį, kuriai
. Kreivės susikerta ties
Ir

adresu
. Be to, skaičius gali būti laikomas dviejų sektorių skirtumu, todėl tūris gali būti apskaičiuojamas kaip dviejų integralų skirtumas. Turime:

Užduotys už savarankišką sprendimą.

1. Apskrito atkarpa, kurios pagrindas
, aukštis , sukasi aplink pagrindą. Raskite revoliucijos kūno tūrį.

2. Raskite apsisukimo paraboloido tūrį, kurio bazė , o aukštis yra .

3. Figūra, kurią riboja astroidas
,
sukasi aplink abscisių ašį. Raskite gauto kūno tūrį.

4. Linijomis apribota figūra
Ir
sukasi aplink x ašį. Raskite revoliucijos kūno tūrį.

I. Revoliucijos kūnų tūriai. Preliminariai išstudijuokite XII skyriaus 197, 198 pastraipas iš G. M. Fikhtengoltso vadovėlio * Išsamiai išanalizuokite 198 pastraipoje pateiktus pavyzdžius.

508. Apskaičiuokite kūno, susidariusio sukant elipsę aplink Ox ašį, tūrį.

Taigi,

530. Raskite sinusoidinio lanko y = sin x sukimosi aplink Ox ašį paviršiaus plotą nuo taško X = 0 iki taško X = It.

531. Apskaičiuokite kūgio, kurio aukštis h ir spindulys r, paviršiaus plotą.

532. Apskaičiuokite susidariusį paviršiaus plotą

astroido x3 -)- y* - a3 sukimasis aplink Ox ašį.

533. Apskaičiuokite paviršiaus plotą, susidarantį sukant kreivės kilpą 18 ug - x (6 - x) z aplink Ox ašį.

534. Raskite toro paviršių, susidarantį sukantis apskritimui X2 - j - (y-3)2 = 4 aplink Ox ašį.

535. Apskaičiuokite paviršiaus plotą, susidarantį sukantis apskritimui X = kaina, y = asint aplink Ox ašį.

536. Apskaičiuokite paviršiaus plotą, susidarantį sukantis kreivės x = 9t2, y = St - 9t3 kilpai aplink Ox ašį.

537. Raskite paviršiaus plotą, susidarantį sukant kreivės lanką x = e*sint, y = el kaina aplink Ox ašį

nuo t = 0 iki t = —.

538. Parodykite, kad paviršius, susidaręs sukantis cikloidiniam lankui x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) aplink Oy ašį, lygus 16 u2 o2.

539. Raskite paviršių, gautą sukant kardioidą aplink poliarinę ašį.

540. Raskite lemniskato sukimosi suformuotą paviršiaus plotą Aplink poliarinę ašį.

Papildomos IV skyriaus užduotys

Plokštumos figūrų plotai

541. Raskite visą kreivės apribotos srities plotą Ir ašis Jautis.

542. Raskite kreivės ribojamos srities plotą

Ir ašis Jautis.

543. Raskite regiono ploto dalį, esančią pirmame kvadrante ir apribotą kreivės

l koordinačių ašys.

544. Raskite viduje esančios srities plotą

kilpos:

545. Raskite srities, kurią riboja viena kreivės kilpa, plotą:

546. Raskite srities, esančios kilpoje, plotą:

547. Raskite kreivės apribotos srities plotą

Ir ašis Jautis.

548. Raskite kreivės apribotos srities plotą

Ir ašis Jautis.

549. Raskite srities, kurią riboja Oxr ašis, plotą

tiesus ir kreivas

Išskyrus plokštumos figūros ploto radimas naudojant apibrėžtąjį integralą (žr. 7.2.3.) svarbiausias temos pritaikymas yra apskaičiuojant apsisukimo kūno tūrį. Medžiaga paprasta, bet skaitytojas turi būti pasiruošęs: jūs turite mokėti išspręsti neapibrėžtieji integralai vidutinio sudėtingumo ir pritaikykite Niutono-Leibnizo formulę apibrėžtasis integralas, n Taip pat reikia stiprių piešimo įgūdžių. Apskritai integraliniame skaičiavime yra daug įdomių pritaikymų, naudojant apibrėžtą integralą, galite apskaičiuoti figūros plotą, sukimosi kūno tūrį, lanko ilgį, kūno paviršiaus plotą; ir daug daugiau. Įsivaizduokite kokią nors plokščią figūrą koordinačių plokštumoje. Pristatė? ... Dabar šią figūrą taip pat galima pasukti ir pasukti dviem būdais:

– aplink x ašį ;

– aplink ordinačių ašį .

Pažvelkime į abu atvejus. Antrasis sukimo būdas yra ypač įdomus, tačiau iš tikrųjų sprendimas yra beveik toks pat, kaip ir įprastesniame sukimosi aplink x ašį. Pradėkime nuo populiariausio sukimosi tipo.

Kūno, susidariusio sukant plokščią figūrą aplink ašį, tūrio apskaičiavimas JAUTIS

1 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant linijomis ribojamą figūrą aplink ašį.

Sprendimas: Kaip ir vietovės radimo problema, sprendimas pradedamas nuo plokščios figūros piešinio. Tai yra, lėktuve XOY būtina sukurti figūrą, apribotą tiesių , ir nepamirškite, kad lygtis nurodo ašį. Piešinys čia yra gana paprastas:

Norima plokščia figūra yra nuspalvinta mėlyna spalva, ji sukasi aplink ašį. Dėl sukimosi gaunama šiek tiek kiaušiniška skraidanti lėkštė su dviem aštriomis smailėmis ašyje JAUTIS, simetriškas ašies atžvilgiu JAUTIS. Tiesą sakant, kūnas turi matematinį pavadinimą, pažiūrėkite į žinyną.

Kaip apskaičiuoti apsisukimo kūno tūrį? Jeigu kūnas susidaro sukantis aplink ašįJAUTIS, jis mintyse yra padalintas į lygiagrečius mažo storio sluoksnius dx, kurios yra statmenos ašiai JAUTIS. Viso kūno tūris akivaizdžiai lygus tokių elementarių sluoksnių tūrių sumai. Kiekvienas sluoksnis, kaip apvalus citrinos griežinėlis, yra žemo cilindro aukščio dx ir su pagrindo spinduliu f(x). Tada vieno sluoksnio tūris yra pagrindo ploto π sandauga f 2 vienam cilindro aukščiui ( dx), arba π∙ f 2 (x)∙dx. O viso sukimosi kūno plotas yra elementariųjų tūrių suma arba atitinkamas apibrėžtas integralas. Apsisukimo kūno tūris gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę:

.

Kaip nustatyti integravimo „a“ ir „būti“ ribas, galima nesunkiai atspėti iš baigto brėžinio. Funkcija... kas tai per funkcija? Pažiūrėkime į piešinį. Plokštumos figūrą riboja viršuje esančios parabolės grafikas. Tai funkcija, kuri yra numanoma formulėje. Praktinėse užduotyse plokščia figūra kartais gali būti žemiau ašies JAUTIS. Tai nieko nekeičia – funkcija formulėje yra kvadratinė: f 2 (x), Taigi, revoliucijos kūno tūris visada yra neneigiamas, o tai labai logiška. Apskaičiuokime sukimosi kūno tūrį naudodami šią formulę:

.

Kaip jau pažymėjome, integralas beveik visada pasirodo paprastas, svarbiausia būti atsargiems.

Atsakymas:

Atsakyme turite nurodyti matmenis – kubinius vienetus. Tai reiškia, kad mūsų sukimosi kūne yra maždaug 3,35 „kubo“. Kodėl kubinis vienetų? Nes tai pati universaliausia formuluotė. Gali būti kubinių centimetrų, gali būti kubinių metrų, gali būti kubinių kilometrų ir t. t., tiek žalių žmogeliukų jūsų vaizduotė gali įdėti į skraidančią lėkštę.

2 pavyzdys

Raskite kūno, susidarančio sukantis aplink ašį, tūrį JAUTIS figūra, apribota linijomis , , .

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant figūrą, kurią riboja tiesės , , ir aplink abscisių ašį.

Sprendimas: Piešinyje pavaizduokime plokščią figūrą, apribotą linijomis , , , , nepamiršdami, kad lygtis x= 0 nurodo ašį OY:

Norima figūra nuspalvinta mėlyna spalva. Kai jis sukasi aplink ašį JAUTIS rezultatas yra plokščia, kampuota spurgos (poveržlė su dviem kūginiais paviršiais).

Apskaičiuokime sukimosi kūno tūrį kaip kūnų tūrių skirtumas. Pirmiausia pažvelkime į figūrą, apibrėžtą raudonai. Kai jis sukasi aplink ašį JAUTIS rezultatas – nupjautas kūgis. Pažymėkime šio nupjauto kūgio tūrį V 1 .

Apsvarstykite figūrą, kuri apjuosta žaliai. Jei pasuksite šią figūrą aplink ašį JAUTIS, tada gausite tą patį nupjautą kūgį, tik šiek tiek mažesnį. Pažymime jo tūrį V 2 .

Akivaizdu, kad tūrių skirtumas V = V 1 - V 2 yra mūsų „spurgos“ tūris.

Sukimosi kūno tūriui nustatyti naudojame standartinę formulę:

1) Raudonai apvestą figūrą viršuje riboja tiesia linija, todėl:

2) Žalia spalva pažymėta figūra viršuje yra ribojama tiesia linija, todėl:

3) Norimo sukimosi kūno tūris:

Atsakymas:

Įdomu, kad šiuo atveju sprendimą galima patikrinti naudojant mokyklos formulę, skirtą nupjauto kūgio tūriui apskaičiuoti.

Pats sprendimas dažnai rašomas trumpiau, maždaug taip:

Apsisukimo kūno tūris gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę:

Formulėje skaičius turi būti prieš integralą. Taip ir atsitiko – viskas, kas sukasi gyvenime, yra susijusi su šia konstanta.

Manau, nesunku atspėti, kaip iš baigto brėžinio nustatyti integracijos ribas „a“ ir „būti“.

Funkcija... kas tai per funkcija? Pažiūrėkime į piešinį. Plokščią figūrą riboja parabolės grafikas viršuje. Tai funkcija, kuri yra numanoma formulėje.

Praktinėse užduotyse plokščia figūra kartais gali būti žemiau ašies. Tai nieko nekeičia – integrandas formulėje yra kvadratas: taigi integralas visada yra neneigiamas , o tai labai logiška.

Apskaičiuokime sukimosi kūno tūrį naudodami šią formulę:

Kaip jau pastebėjau, integralas beveik visada pasirodo paprastas, svarbiausia būti atsargiems.

Atsakymas:

Atsakyme turite nurodyti matmenis – kubinius vienetus. Tai reiškia, kad mūsų sukimosi kūne yra maždaug 3,35 „kubo“. Kodėl kubinis vienetų? Nes pati universaliausia formuluotė. Gali būti kubinių centimetrų, gali būti kubinių metrų, gali būti kubinių kilometrų ir t. t., tiek žalių žmogeliukų jūsų vaizduotė gali įdėti į skraidančią lėkštę.

2 pavyzdys

Raskite kūno tūrį, susidariusį sukantis aplink figūros, apribotos linijomis, ašį,

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Panagrinėkime dvi sudėtingesnes problemas, su kuriomis taip pat dažnai susiduriama praktikoje.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink figūros abscisių ašį, kurią riboja linijos, ir

Sprendimas: Brėžinyje pavaizduokime plokščią figūrą, apribotą linijomis ,,,, nepamirštant, kad lygtis apibrėžia ašį:

Norima figūra nuspalvinta mėlyna spalva. Kai jis sukasi aplink savo ašį, pasirodo, kad tai siurrealistinė spurga su keturiais kampais.

Apskaičiuokime sukimosi kūno tūrį kaip kūnų tūrių skirtumas.

Pirmiausia pažvelkime į figūrą, apibrėžtą raudonai. Kai jis sukasi aplink ašį, gaunamas nupjautas kūgis. Pažymėkime šio nupjauto kūgio tūrį.

Apsvarstykite figūrą, kuri apjuosta žaliai.

Jei pasuksite šią figūrą aplink ašį, taip pat gausite nupjautą kūgį, tik šiek tiek mažesnį. Pažymėkime jo tūrį.

Ir, aišku, tūrių skirtumas yra būtent toks, kaip mūsų „spurga“.

Apsisukimo kūno tūriui nustatyti naudojame standartinę formulę:

1) Raudonai apvestą figūrą viršuje riboja tiesia linija, todėl:

2) Žalia spalva pažymėta figūra viršuje yra ribojama tiesia linija, todėl:

Atsakymas:

3) Norimo apsisukimo kūno tūris:

Įdomu, kad šiuo atveju sprendimą galima patikrinti naudojant mokyklos formulę, skirtą nupjauto kūgio tūriui apskaičiuoti.

Pats sprendimas dažnai rašomas trumpiau, maždaug taip:

Dabar šiek tiek pailsėkime ir papasakokime apie geometrines iliuzijas. Žmonės dažnai turi iliuzijų, susijusių su tomais, ką knygoje pastebėjo Perelmanas (kitas). Linksma geometrija

Apskritai SSRS švietimo sistema buvo tikrai geriausia. Ta pati Perelmano knyga, išleista dar 1950 m., labai gerai lavina, kaip sakė humoristas, mąstymą ir moko ieškoti originalių, nestandartinių problemų sprendimo būdų. Neseniai su dideliu susidomėjimu perskaičiau kai kuriuos skyrius, rekomenduoju, jis prieinamas net humanistams. Ne, nereikia šypsotis, kad pasiūliau laisvalaikį, erudicija ir platus akiratis bendraujant yra puikus dalykas.

Po lyrinio nukrypimo tiesiog dera išspręsti kūrybinę užduotį:

4 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, susidariusį sukantis apie plokščios figūros ašį, apribotą linijomis,, kur.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Atkreipkite dėmesį, kad visi atvejai pasitaiko juostoje, kitaip tariant, iš tikrųjų pateikiamos paruoštos integracijos ribos. Teisingai nubraižykite trigonometrinių funkcijų grafikus, priminsiu pamokos medžiagą apie tai grafikų geometrinės transformacijos : jei argumentas dalinamas iš dviejų: , tai grafikai ištempiami išilgai ašies du kartus. Patartina rasti bent 3-4 balus pagal trigonometrines lenteles kad tiksliau užbaigtumėte piešinį. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Beje, užduotį galima išspręsti racionaliai ir nelabai racionaliai.

Kaip apskaičiuoti besisukančio kūno tūrį
naudojant apibrėžtąjį integralą?

Apskritai integraliniame skaičiavime yra daug įdomių pritaikymų, naudojant apibrėžtą integralą, galite apskaičiuoti figūros plotą, sukimosi kūno tūrį, lanko ilgį, paviršiaus plotą; rotacija ir daug daugiau. Taigi bus smagu, būkite optimistiški!

Įsivaizduokite kokią nors plokščią figūrą koordinačių plokštumoje. Pristatė? ... Įdomu, kas ką pristatė... =))) Jo plotą jau radome. Be to, šią figūrą taip pat galima pasukti ir pasukti dviem būdais:

- aplink abscisių ašį;
- aplink ordinačių ašį.

Šiame straipsnyje bus nagrinėjami abu atvejai. Antrasis sukimo būdas yra ypač įdomus, tačiau iš tikrųjų sprendimas yra beveik toks pat, kaip ir įprastesniame sukimosi aplink x ašį. Kaip premiją grįšiu figūros ploto radimo problema, ir aš jums pasakysiu, kaip rasti sritį antruoju būdu - išilgai ašies. Tai ne tiek premija, kiek medžiaga puikiai tinka temai.

Pradėkime nuo populiariausio sukimosi tipo.

plokščia figūra aplink ašį

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant linijomis ribojamą figūrą aplink ašį.

Sprendimas: Kaip ir vietovės radimo problema, sprendimas pradedamas nuo plokščios figūros piešinio. Tai yra, plokštumoje būtina sukurti figūrą, ribojamą tiesių , ir nepamirškite, kad lygtis nurodo ašį. Kaip efektyviau ir greičiau užbaigti piešinį, rasite puslapiuose Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės Ir . Tai yra kinų priminimas, ir šiuo metu aš daugiau nesigilinsiu.

Piešinys čia yra gana paprastas:

Norima plokščia figūra yra nuspalvinta mėlyna spalva. Tiesą sakant, kūnas turi matematinį pavadinimą, bet aš tingiu ką nors paaiškinti žinyne, todėl judame toliau.

Kaip apskaičiuoti apsisukimo kūno tūrį?

Apsisukimo kūno tūris gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę:

Formulėje skaičius turi būti prieš integralą. Taip ir atsitiko – viskas, kas sukasi gyvenime, yra susijusi su šia konstanta.

Manau, nesunku atspėti, kaip iš baigto brėžinio nustatyti integracijos „a“ ir „būti“ ribas.

Funkcija... kas tai per funkcija? Pažiūrėkime į piešinį. Plokštumos figūrą riboja viršuje esančios parabolės grafikas. Tai funkcija, kuri yra numanoma formulėje.

Praktinėse užduotyse plokščia figūra kartais gali būti žemiau ašies. Tai nieko nekeičia – integrandas formulėje yra kvadratas: , taigi integralas visada yra neneigiamas, o tai labai logiška.

Apskaičiuokime sukimosi kūno tūrį naudodami šią formulę:

Kaip jau pastebėjau, integralas beveik visada pasirodo paprastas, svarbiausia būti atsargiems.

Atsakymas:

Atsakyme turite nurodyti matmenis – kubinius vienetus. Tai reiškia, kad mūsų sukimosi kūne yra maždaug 3,35 „kubo“. Kodėl kubinis vienetų? Nes pati universaliausia formuluotė. Gali būti kubinių centimetrų, gali būti kubinių metrų, gali būti kubinių kilometrų ir t. t., tiek žalių žmogeliukų jūsų vaizduotė gali įdėti į skraidančią lėkštę.

Raskite kūno tūrį, susidarantį sukantis aplink figūros ašį, ribojamą linijomis , ,

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Panagrinėkime dvi sudėtingesnes problemas, su kuriomis taip pat dažnai susiduriama praktikoje.

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink figūros abscisių ašį, kurią riboja linijos , ir

Sprendimas: Brėžinyje pavaizduokime plokščią figūrą, apribotą linijomis , , , , nepamirštant, kad lygtis apibrėžia ašį:

Norima figūra nuspalvinta mėlyna spalva. Kai jis sukasi aplink savo ašį, pasirodo, kad tai siurrealistinė spurga su keturiais kampais.

Apskaičiuokime sukimosi kūno tūrį kaip kūnų tūrių skirtumas.

Pirmiausia pažvelkime į figūrą, apibrėžtą raudonai. Kai jis sukasi aplink ašį, gaunamas nupjautas kūgis. Pažymėkime šio nupjauto kūgio tūrį .

Apsvarstykite figūrą, kuri apjuosta žaliai. Jei pasuksite šią figūrą aplink ašį, taip pat gausite nupjautą kūgį, tik šiek tiek mažesnį. Jo tūrį pažymėkime .

Ir, aišku, tūrių skirtumas yra būtent toks, kaip mūsų „spurga“.

Apsisukimo kūno tūriui nustatyti naudojame standartinę formulę:

1) Raudonai apvestą figūrą viršuje riboja tiesia linija, todėl:

2) Žalia spalva pažymėta figūra viršuje yra ribojama tiesia linija, todėl:

3) Norimo sukimosi kūno tūris:

Atsakymas:

Įdomu, kad šiuo atveju sprendimą galima patikrinti naudojant mokyklos formulę, skirtą nupjauto kūgio tūriui apskaičiuoti.

Pats sprendimas dažnai rašomas trumpiau, maždaug taip:

Dabar šiek tiek pailsėkime ir papasakokime apie geometrines iliuzijas.

Žmonės dažnai turi iliuzijų, susijusių su tomais, ką knygoje pastebėjo Perelmanas (kitas). Linksma geometrija. Pažvelkite į plokščią figūrą išspręstoje užduotyje - atrodo, kad jos plotas yra mažas, o revoliucijos korpuso tūris yra šiek tiek daugiau nei 50 kubinių vienetų, o tai atrodo per didelis. Beje, eilinis žmogus per visą savo gyvenimą išgeria 18 kvadratinių metrų kambario ekvivalentą skysčio, kuris, priešingai, atrodo per mažas tūris.

Po lyrinio nukrypimo tiesiog dera išspręsti kūrybinę užduotį:

Apskaičiuokite kūno tūrį, susidarantį sukantis apie plokščios figūros ašį, apribotą linijomis , , kur .

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Atkreipkite dėmesį, kad visi atvejai pasitaiko juostoje, kitaip tariant, iš tikrųjų pateikiamos paruoštos integracijos ribos. Teisingai nubraižykite trigonometrinių funkcijų grafikus, priminsiu pamokos medžiagą apie tai grafikų geometrinės transformacijos: jei argumentas yra padalintas iš dviejų: , tada grafikai ištempiami du kartus išilgai ašies. Patartina rasti bent 3-4 balus pagal trigonometrines lenteles kad tiksliau užbaigtumėte piešinį. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Beje, užduotį galima išspręsti racionaliai ir nelabai racionaliai.

Sukimosi susidariusio kūno tūrio apskaičiavimas
plokščia figūra aplink ašį

Antroji pastraipa bus dar įdomesnė nei pirmoji. Užduotis apskaičiuoti kūno, besisukančio aplink ordinačių ašį, tūrį, taip pat yra gana dažnas bandomojo darbo svečias. Pakeliui bus svarstoma figūros ploto radimo problema antrasis metodas – integracija pagal ašį, tai leis ne tik patobulinti savo įgūdžius, bet ir išmokys rasti pelningiausią sprendimo kelią. Čia taip pat yra praktinė gyvenimo prasmė! Kaip su šypsena prisiminė mano matematikos mokymo metodų mokytoja, daugelis abiturientų jai padėkojo žodžiais: „Jūsų dalykas mums labai padėjo, dabar esame efektyvūs vadovai ir optimaliai valdome personalą“. Naudodamasis proga taip pat reiškiu jai didelį dėkingumą, juolab kad įgytas žinias naudoju pagal paskirtį =).

Rekomenduoju visiems, net visiškiems manekenams. Be to, antroje pastraipoje išmokta medžiaga suteiks neįkainojamos pagalbos skaičiuojant dvigubus integralus.

Pateikta plokščia figūra, apribota linijų , , .

1) Raskite plokščios figūros plotą, kurį riboja šios linijos.
2) Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink ašį plokščią figūrą, kurią riboja šios linijos.

Dėmesio! Net jei norite perskaityti tik antrąjį punktą, pirmiausia būtinai perskaitykite pirmąjį!

Sprendimas: Užduotis susideda iš dviejų dalių. Pradėkime nuo aikštės.

1) Padarykime piešinį:

Nesunku pastebėti, kad funkcija nurodo viršutinę parabolės šaką, o funkcija – apatinę parabolės šaką. Prieš mus yra triviali parabolė, kuri „guli ant šono“.

Norima figūra, kurios plotą reikia rasti, nuspalvinta mėlyna spalva.

Kaip rasti figūros plotą? Jį galima rasti „įprastu“ būdu, apie kurį buvo kalbama klasėje Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą. Be to, figūros plotas randamas kaip plotų suma:
- segmente ;
- segmente.

Štai kodėl:

Kodėl įprastas sprendimas šiuo atveju yra blogas? Pirma, gavome du integralus. Antra, integralai yra šaknys, o integralų šaknys nėra dovana, be to, galite susipainioti keisdami integracijos ribas. Tiesą sakant, integralai, žinoma, nėra žudantys, bet praktiškai viskas gali būti daug liūdniau, aš tiesiog pasirinkau problemai „geresnes“ funkcijas.

Yra racionalesnis sprendimas: jį sudaro perjungimas į atvirkštines funkcijas ir integravimas išilgai ašies.

Kaip pasiekti atvirkštines funkcijas? Grubiai tariant, reikia išreikšti „x“ per „y“. Pirmiausia pažvelkime į parabolę:

To pakanka, bet įsitikinkime, kad tą pačią funkciją galima išvesti iš apatinės šakos:

Tai lengviau su tiesia linija:

Dabar pažiūrėkite į ašį: paaiškindami, periodiškai pakreipkite galvą į dešinę 90 laipsnių (tai ne pokštas!). Mums reikalinga figūra yra atkarpoje, kuri pažymėta raudona punktyrine linija. Šiuo atveju atkarpoje tiesi linija yra virš parabolės, o tai reiškia, kad figūros plotą reikia rasti naudojant jums jau žinomą formulę: . Kas pasikeitė formulėje? Tik laiškas ir nieko daugiau.

! Pastaba: Turėtų būti nustatytos integravimo išilgai ašies ribos griežtai iš apačios į viršų!

Vietos radimas:

Todėl segmente:

Atkreipkite dėmesį, kaip aš atlikau integraciją, tai yra racionaliausias būdas, o kitoje užduoties pastraipoje bus aišku, kodėl.

Skaitytojams, abejojantiems integracijos teisingumu, rasiu išvestinių:

Gaunama pradinė integrando funkcija, o tai reiškia, kad integracija atlikta teisingai.

Atsakymas:

2) Apskaičiuokime kūno tūrį, susidariusį šiai figūrai sukantis aplink ašį.

Piešinį perbraižysiu kiek kitokiu dizainu:

Taigi, mėlynai nuspalvinta figūra sukasi aplink ašį. Rezultatas yra "svyrantis drugelis", kuris sukasi aplink savo ašį.

Norėdami rasti sukimosi kūno tūrį, integruosime išilgai ašies. Pirmiausia turime pereiti prie atvirkštinių funkcijų. Tai jau buvo padaryta ir išsamiai aprašyta ankstesnėje pastraipoje.

Dabar vėl pakreipiame galvą į dešinę ir tyrinėjame savo figūrą. Akivaizdu, kad sukimosi kūno tūris turėtų būti rastas kaip tūrių skirtumas.

Aplink ašį pasukame raudonai apvestą figūrą, todėl gaunamas nupjautas kūgis. Pažymėkime šį tūrį .

Aplink ašį pasukame žaliai apvestą figūrą ir pažymime ją gauto sukimosi kūno tūriu.

Mūsų drugelio tūris yra lygus tūrių skirtumui.

Revoliucijos kūno tūriui rasti naudojame formulę:

Kuo skiriasi ankstesnėje pastraipoje pateikta formulė? Tik laiške.

Tačiau integracijos pranašumą, apie kurį neseniai kalbėjau, rasti daug lengviau , o ne pirmiausia pakeliant integrandą į 4 laipsnį.

Atsakymas:

Atkreipkite dėmesį, kad jei tą pačią plokščią figūrą pasuksite aplink ašį, natūraliai gausite visiškai kitokį sukimosi kūną, kitokio tūrio.

Duota plokščia figūra, apribota linijomis ir ašimi.

1) Eikite į atvirkštines funkcijas ir raskite plokštumos figūros plotą, kurį riboja šios linijos, integruodami per kintamąjį.
2) Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink ašį plokščią figūrą, kurią riboja šios linijos.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Besidomintieji taip pat gali rasti figūros plotą „įprastu“ būdu, taip patikrindami 1). Bet jei, kartoju, suksite plokščią figūrą aplink ašį, gausite visiškai kitokį sukimosi kūną su skirtingu tūriu, beje, teisingą atsakymą (taip pat ir tiems, kurie mėgsta spręsti problemas).

Išsamus dviejų siūlomų užduoties punktų sprendimas yra pamokos pabaigoje.

Taip, ir nepamirškite pakreipti galvos į dešinę, kad suprastumėte sukimosi kūnus ir integracijos ribas!

Jau ruošiausi baigti straipsnį, bet šiandien jie atnešė įdomų pavyzdį, kaip rasti apsisukimo kūno tūrį aplink ordinačių ašį. Šviežia:

Apskaičiuokite kūno, susidariusio sukantis aplink figūros, apribotos kreivių ir , ašį, tūrį.

Sprendimas: Padarykime piešinį:

Pakeliui susipažįstame su kai kurių kitų funkcijų grafikais. Čia yra įdomus lyginės funkcijos grafikas...