Formulė apskritimo plotui rasti. Apskritimo plotas: formulė

Instrukcijos

Norėdami rasti žinomos apskritimo srities spindulį, naudokite Pi. Ši konstanta nurodo proporciją tarp apskritimo skersmens ir jo kraštinės (apskritimo) ilgio. Apskritimo ilgis yra didžiausias plokštumos plotas, kurį galima padengti jo pagalba, o skersmuo yra lygus dviem spinduliams, todėl plotas ir spindulys taip pat yra susiję vienas su kitu santykiu, kurį galima išreikšti per skaičius Pi. Ši konstanta (π) apibrėžiama kaip apskritimo plotas (S) ir kvadratinis spindulys (r). Iš to išplaukia, kad spindulį galima išreikšti kvadratine šaknimi iš ploto dalinio, padalytos iš Pi: r=√(S/π).

Ilgą laiką Erastotenas vadovavo Aleksandrijos bibliotekai, garsiausiai senovės pasaulio bibliotekai. Be to, kad apskaičiavo mūsų planetos dydį, jis padarė nemažai svarbių išradimų ir atradimų. Jis išrado paprastą pirminių skaičių nustatymo metodą, dabar vadinamą „Erasstofeno sietu“.

Jis nubraižė „pasaulio žemėlapį“, kuriame parodė visas tuo metu senovės graikams žinomas pasaulio dalis. Žemėlapis buvo laikomas vienu geriausių savo laiku. Jis sukūrė ilgumos ir platumos sistemą bei kalendorių, apimantį keliamuosius metus. Išrado armiliarinę sferą – mechaninį įtaisą, kurį ankstyvieji astronomai naudojo, norėdami parodyti ir numatyti tariamą žvaigždžių judėjimą danguje. Jis taip pat sudarė žvaigždžių katalogą, kuriame buvo 675 žvaigždės.

Šaltiniai:

• Graikų mokslininkas Eratostenas Kirėnietis pirmasis pasaulyje apskaičiavo Žemės spindulį
• Eratostenas „Žemės apskritimo apskaičiavimas“.
• Eratostenas

Apskritimai reikalauja kruopštesnio požiūrio ir yra daug rečiau paplitę atliekant B5 užduotis. Tuo pačiu metu bendroji sprendimo schema yra dar paprastesnė nei daugiakampių atveju (žr. pamoką „Daugiakampių plotai koordinačių tinklelyje“).

Viskas, ko reikia atliekant tokias užduotis, yra rasti apskritimo R spindulį. Tada galite apskaičiuoti apskritimo plotą pagal formulę S = πR 2. Iš šios formulės taip pat išplaukia, kad norint ją išspręsti, pakanka rasti R 2.

Norint rasti nurodytas reikšmes, pakanka nurodyti apskritimo tašką, esantį tinklelio linijų sankirtoje. Ir tada naudokite Pitagoro teoremą. Pažvelkime į konkrečius spindulio skaičiavimo pavyzdžius:

Užduotis. Raskite paveikslėlyje pavaizduotų trijų apskritimų spindulius:

Kiekviename rate atlikime papildomas konstrukcijas:

Kiekvienu atveju apskritime pasirenkamas taškas B, kuris yra tinklelio linijų sankirtoje. Taškas C 1 ir 3 apskritimuose užbaigia figūrą iki stačiojo trikampio. Belieka rasti spindulius:

Apsvarstykite trikampį ABC pirmajame apskritime. Pagal Pitagoro teoremą: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Antram apskritimui viskas aišku: R = AB = 2.

Trečiasis atvejis panašus į pirmąjį. Iš trikampio ABC pagal Pitagoro teoremą: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.

Dabar mes žinome, kaip rasti apskritimo spindulį (ar bent jau jo kvadratą). Todėl galime rasti sritį. Yra problemų, kai reikia rasti sektoriaus plotą, o ne visą apskritimą. Tokiais atvejais nesunku išsiaiškinti, kokia apskritimo dalis yra šis sektorius, ir taip surasti sritį.

Užduotis. Raskite užtamsinto sektoriaus plotą S. Atsakyme nurodykite S/π.

Akivaizdu, kad sektorius yra ketvirtadalis apskritimo. Todėl S = 0,25 S apskritimas.

Belieka rasti apskritimo S - apskritimo plotą. Norėdami tai padaryti, atliekame papildomą konstrukciją:

Trikampis ABC yra stačiakampis. Pagal Pitagoro teoremą gauname: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Dabar randame apskritimo ir sektoriaus plotą: S apskritimas = πR 2 = 8π ; S = 0,25 S apskritimas = 2π.

Galiausiai norima reikšmė yra S /π = 2.

Nežinomo spindulio sektoriaus sritis

Tai visiškai naujo tipo užduotis, 2010–2011 m. nieko panašaus nebuvo. Pagal sąlygą mums suteikiamas tam tikro ploto apskritimas (būtent plotas, o ne spindulys!). Tada šio apskritimo viduje pasirenkamas sektorius, kurio plotą reikia rasti.

Geros naujienos yra tai, kad tokie uždaviniai yra patys lengviausi iš visų sričių uždavinių, kurie atsiranda vieningame valstybiniame matematikos egzamine. Be to, apskritimas ir sektorius visada dedami į koordinačių tinklelį. Todėl norėdami sužinoti, kaip išspręsti tokias problemas, tiesiog pažiūrėkite į paveikslėlį:

Tegul pradinio apskritimo plotas S apskritimas = 80. Tada jį galima padalyti į du sektorius, kurių kiekvienas plotas S = 40 (žr. 2 veiksmą). Panašiai kiekvieną iš šių „pusių“ sektorių galima dar kartą padalyti per pusę – gauname keturis sektorius, kurių kiekvieno plotas S = 20 (žr. 3 veiksmą). Galiausiai galime padalinti kiekvieną iš šių sektorių į dar du - gauname 8 „laužų“ sektorius. Kiekvieno iš šių „laužų“ plotas bus S = 10.

Atkreipkite dėmesį: jokioje USE matematikos užduotyje nėra smulkesnio padalijimo! Taigi problemos B-3 sprendimo algoritmas yra toks:

1. Originalų apskritimą supjaustykite į 8 „iškarpų“ sektorius. Kiekvieno iš jų plotas yra lygiai 1/8 viso apskritimo ploto. Pavyzdžiui, jei pagal sąlygą apskritimo plotas S apskritimo = 240, tai „iškarpų“ plotas S = 240: 8 = 30;
2. Sužinokite, kiek „iškarpų“ telpa pirminiame sektoriuje, kurio plotą reikia rasti. Pavyzdžiui, jei mūsų sektoriuje yra 3 „iškarpos“, kurių plotas yra 30, tada norimo sektoriaus plotas yra S = 3 · 30 = 90. Tai bus atsakymas.

tai viskas! Problema sprendžiama praktiškai žodžiu. Jei kas nors vis tiek neaišku, nusipirkite picą ir supjaustykite į 8 dalis. Kiekvienas toks gabalas bus tas pats sektorius - "iškarpos", kurias galima sujungti į didesnes dalis.

Dabar pažvelkime į bandomojo vieningo valstybinio egzamino pavyzdžius:

Užduotis. Ant languoto popieriaus nupiešiamas apskritimas, kurio plotas yra 40. Raskite užtamsintos figūros plotą.

Taigi, apskritimo plotas yra 40. Padalinkite jį į 8 sektorius - kurių kiekvieno plotas S = 40: 5 = 8. Gauname:

Akivaizdu, kad tamsintas sektorius susideda iš lygiai dviejų „iškarpų“ sektorių. Todėl jo plotas yra 2 · 5 = 10. Štai visas sprendimas!

Užduotis. Ant languoto popieriaus nupiešiamas apskritimas, kurio plotas yra 64. Raskite užtamsintos figūros plotą.

Vėlgi, padalinkite visą apskritimą į 8 vienodus sektorius. Akivaizdu, kad vieno iš jų plotas yra būtent tai, ką reikia rasti. Todėl jo plotas yra S = 64: 8 = 8.

Užduotis. Ant languoto popieriaus nupiešiamas apskritimas, kurio plotas yra 48. Raskite užtamsintos figūros plotą.

Dar kartą padalykite apskritimą į 8 vienodus sektorius. Kiekvieno iš jų plotas lygus S = 48: 8 = 6. Reikiamame sektoriuje yra tiksliai trys „laužo“ sektoriai (žr. pav.). Todėl reikiamo sektoriaus plotas yra 3 6 = 18.

Apskritimo skaičiuoklė – tai paslauga, specialiai sukurta geometriniams formų matmenims skaičiuoti internete. Šios paslaugos dėka galite lengvai nustatyti bet kurį figūros parametrą pagal apskritimą. Pavyzdžiui: Jūs žinote rutulio tūrį, bet turite gauti jo plotą. Nieko negali būti lengviau! Pasirinkite atitinkamą parinktį, įveskite skaitinę reikšmę ir spustelėkite mygtuką Apskaičiuoti. Paslauga ne tik parodo skaičiavimų rezultatus, bet ir pateikia formules, pagal kurias jie buvo atlikti. Naudodamiesi mūsų paslauga galite lengvai apskaičiuoti spindulį, skersmenį, apskritimą (apskritimo perimetrą), apskritimo ir rutulio plotą bei rutulio tūrį.

Apskaičiuokite spindulį

Spindulio vertės apskaičiavimo užduotis yra viena iš labiausiai paplitusių. To priežastis yra gana paprasta, nes žinodami šį parametrą galite lengvai nustatyti bet kurio kito apskritimo ar rutulio parametro reikšmę. Mūsų svetainė sukurta būtent pagal šią schemą. Nepriklausomai nuo to, kokį pradinį parametrą pasirinkote, pirmiausia apskaičiuojama spindulio reikšmė ir visi tolesni skaičiavimai atliekami pagal jį. Siekiant didesnio skaičiavimų tikslumo, svetainė naudoja Pi, suapvalintą iki 10 dešimtųjų.

Apskaičiuokite skersmenį

Skersmens apskaičiavimas yra paprasčiausias skaičiavimo būdas, kurį gali atlikti mūsų skaičiuotuvas. Visai nesunku rankiniu būdu gauti skersmens vertę, tam visai nereikia kreiptis į internetą. Skersmuo lygus spindulio reikšmei, padaugintai iš 2. Skersmuo – svarbiausias apskritimo parametras, itin dažnai naudojamas kasdieniame gyvenime. Absoliučiai kiekvienas turėtų mokėti teisingai apskaičiuoti ir naudoti. Naudodamiesi mūsų svetainės galimybėmis, skersmenį apskaičiuosite labai tiksliai per sekundės dalį.

Išsiaiškinkite apskritimą

Jūs net neįsivaizduojate, kiek aplink mus yra apvalių objektų ir kokį svarbų vaidmenį jie atlieka mūsų gyvenime. Gebėjimas apskaičiuoti apskritimą reikalingas kiekvienam – nuo ​​paprasto vairuotojo iki vadovaujančio projektuotojo. Perimetro apskaičiavimo formulė labai paprasta: D=2Pr. Skaičiavimą galima lengvai atlikti ant popieriaus lapo arba naudojant šį internetinį asistentą. Pastarojo privalumas yra tas, kad visus skaičiavimus iliustruoja paveikslėliais. Be viso kito, antrasis būdas yra daug greitesnis.

Apskaičiuokite apskritimo plotą

Apskritimo plotas, kaip ir visi šiame straipsnyje išvardyti parametrai, yra šiuolaikinės civilizacijos pagrindas. Mokėjimas apskaičiuoti ir žinoti apskritimo plotą naudingas visiems be išimties gyventojų segmentams. Sunku įsivaizduoti mokslo ir technologijų sritį, kurioje nereikėtų žinoti apskritimo ploto. Skaičiavimo formulė vėlgi nesudėtinga: S=PR 2. Ši formulė ir mūsų internetinis skaičiuotuvas padės be jokių papildomų pastangų sužinoti bet kurio apskritimo plotą. Mūsų svetainė garantuoja aukštą skaičiavimų tikslumą ir žaibišką jų atlikimą.

Apskaičiuokite sferos plotą

Rutulio ploto apskaičiavimo formulė nėra sudėtingesnė už ankstesnėse pastraipose aprašytas formules. S = 4Pr 2 . Šis paprastas raidžių ir skaičių rinkinys jau daugelį metų suteikia žmonėms galimybę gana tiksliai apskaičiuoti rutulio plotą. Kur tai galima pritaikyti? Taip visur! Pavyzdžiui, žinote, kad Žemės rutulio plotas yra 510 100 000 kvadratinių kilometrų. Nenaudinga išvardyti, kur šios formulės žinias galima pritaikyti. Sferos ploto apskaičiavimo formulės apimtis yra per plati.

Apskaičiuokite rutulio tūrį

Norėdami apskaičiuoti rutulio tūrį, naudokite formulę V = 4/3 (Pr 3). Jis buvo naudojamas kuriant mūsų internetinę paslaugą. Svetainė leidžia per kelias sekundes apskaičiuoti rutulio tūrį, jei žinote bet kurį iš šių parametrų: spindulį, skersmenį, apskritimą, apskritimo plotą ar rutulio plotą. Taip pat galite jį naudoti atvirkštiniams skaičiavimams, pavyzdžiui, norėdami sužinoti rutulio tūrį ir gauti jo spindulio arba skersmens vertę. Dėkojame, kad greitai peržvelgėte mūsų apskritimo skaičiuoklės galimybes. Tikimės, kad jums patiko mūsų svetainė ir jau pažymėjote svetainę.

• Skersmens ilgis yra atkarpa, einanti per apskritimo centrą ir jungianti du priešingus apskritimo taškus, arba spindulys yra atkarpa, kurios vienas iš kraštutinių taškų yra apskritimo centre, o antrasis ant apskritimo lanko. Taigi, skersmuo yra lygus spindulio ilgiui, padaugintam iš dviejų.
• Skaičiaus π reikšmė. Ši reikšmė yra konstanta – neracionali trupmena, kuri neturi pabaigos. Tačiau tai nėra periodiška. Šis skaičius išreiškia santykį perimetras iki jo spindulio. Apskaičiuojant apskritimo plotą mokyklos kurso užduotyse, naudojama π reikšmė, pateikta šimtųjų dalių tikslumu - 3,14.

Formulės apskritimo plotui, jo atkarpai ar sektoriui rasti

Priklausomai nuo konkrečių geometrinio uždavinio sąlygų, du formulės apskritimo plotui rasti:

Norėdami nustatyti lengviausią būdą rasti apskritimo plotą, turite atidžiai išanalizuoti užduoties sąlygas.

Mokyklos geometrijos kursas taip pat apima segmentų ar sektorių ploto skaičiavimo užduotis, kurioms naudojamos specialios formulės:

1. Sektorius yra apskritimo dalis, kurią riboja apskritimas ir kampas, kurio viršūnė yra centre. Sektoriaus plotas apskaičiuojamas pagal formulę: S = (π*r 2 /360)*A;
   • r – spindulys;
   • A yra kampo dydis laipsniais.
   • r – spindulys;
   • p – lanko ilgis.

Taip pat yra antras variantas S = 0,5 * p * r;

2. Segmentas – dalis, apribota apskritimo atkarpa (styga) ir apskritimu. Jo plotą galima rasti naudojant formulę S=(π*r 2 /360)*A ± S ∆ ;

• r – spindulys;
• A – kampo reikšmė laipsniais;
• S ∆ – trikampio, kurio kraštinės yra apskritimo spindulys ir styga, plotas; šiuo atveju viena iš jo viršūnių yra apskritimo centre, o kitos dvi yra apskritimo lanko sąlyčio su styga taškuose. Svarbus momentas yra tai, kad minuso ženklas dedamas, jei A reikšmė mažesnė nei 180 laipsnių, o pliuso ženklas, jei jis didesnis nei 180 laipsnių.

Norėdami supaprastinti geometrinės problemos sprendimą, galite apskaičiuoti apskritimo plotas internete. Speciali programa greitai ir tiksliai atliks skaičiavimus per kelias sekundes. Kaip apskaičiuoti formų plotą internete? Norėdami tai padaryti, turite įvesti žinomus pradinius duomenis: spindulį, skersmenį, kampą.

yra plokščia figūra, vaizduojanti taškų rinkinį vienodu atstumu nuo centro. Jie visi yra vienodu atstumu ir sudaro ratą.

Atkarpa, jungianti apskritimo centrą su jo perimetro taškais, vadinama spindulys. Kiekviename apskritime visi spinduliai yra lygūs vienas kitam. Vadinama tiesė, jungianti du apskritimo taškus ir einanti per centrą skersmens. Apskritimo ploto formulė apskaičiuojama naudojant matematinę konstantą - skaičių π..

Tai įdomu : Skaičius π. reiškia apskritimo perimetro ir jo skersmens ilgio santykį ir yra pastovi reikšmė. Reikšmė π = 3,1415926 panaudota po L. Eulerio darbo 1737 m.

Apskritimo plotą galima apskaičiuoti naudojant konstantą π. ir apskritimo spindulys. Apskritimo ploto formulė pagal spindulį atrodo taip:

Pažvelkime į apskritimo ploto apskaičiavimo naudojant spindulį pavyzdį. Pateikiame apskritimą, kurio spindulys R = 4 cm. Raskime figūros plotą.

Mūsų apskritimo plotas bus 50,24 kvadratiniai metrai. cm.

Yra formulė apskritimo plotas per skersmenį. Jis taip pat plačiai naudojamas apskaičiuojant būtinus parametrus. Šios formulės gali būti naudojamos ieškant.

Apsvarstykite pavyzdį, kaip apskaičiuoti apskritimo plotą per jo skersmenį, žinant jo spindulį. Duokite mums apskritimą, kurio spindulys R = 4 cm. Pirmiausia suraskime skersmenį, kuris, kaip žinome, yra dvigubai didesnis.


Dabar mes naudojame duomenis apskritimo ploto apskaičiavimo pagal aukščiau pateiktą formulę pavyzdžiu:

Kaip matote, rezultatas yra toks pat atsakymas, kaip ir pirmuosiuose skaičiavimuose.

Žinios apie standartines apskritimo ploto skaičiavimo formules padės jums lengvai nustatyti ateityje sektoriaus srityje ir lengvai rasti trūkstamus kiekius.

Mes jau žinome, kad apskritimo ploto formulė apskaičiuojama pastovią reikšmę π padauginus iš apskritimo spindulio kvadrato. Spindulį galima išreikšti perimetru ir pakeisti apskritimo ploto formulės išraišką perimetru:
Dabar pakeiskime šią lygybę į apskritimo ploto skaičiavimo formulę ir gaukime formulę apskritimo plotui rasti naudojant apskritimą

Panagrinėkime apskritimo ploto apskaičiavimo pagal apskritimą pavyzdį. Pateikiame apskritimą, kurio ilgis l = 8 cm. Pakeiskite reikšmę išvestinėje formulėje:

Bendras apskritimo plotas bus 5 kvadratiniai metrai. cm.

Apskritimo aplink kvadratą plotas

Labai lengva rasti aplink kvadratą apibrėžto apskritimo plotą.

Norėdami tai padaryti, jums reikia tik kvadrato pusės ir žinių apie paprastas formules. Kvadrato įstrižainė bus lygi apibrėžto apskritimo įstrižai. Žinant pusę a, ją galima rasti naudojant Pitagoro teoremą: iš čia.
Radę įstrižainę, galime apskaičiuoti spindulį: .
Ir tada viską pakeisime į pagrindinę apskritimo, apriboto aplink kvadratą, ploto formulę: