Kartais gyvenime pasitaiko situacijų, kai ieškant seniai pamirštų mokyklinių žinių tenka gilintis į savo atmintį. Pavyzdžiui, reikia nustatyti trikampio formos sklypo plotą arba atėjo laikas kitai renovacijai bute ar privačiame name ir reikia apskaičiuoti, kiek medžiagos reikės paviršiui su trikampio formos. Buvo laikas, kai tokią problemą galėjote išspręsti per porą minučių, bet dabar desperatiškai bandote prisiminti, kaip nustatyti trikampio plotą?

Nesijaudink dėl to! Juk visai normalu, kai žmogaus smegenys nusprendžia ilgai nenaudotas žinias perkelti kur nors į atokų kampelį, iš kurio kartais ne taip paprasta jas ištraukti. Kad jums nereikėtų ieškoti pamirštų mokyklinių žinių, kad išspręstumėte tokią problemą, šiame straipsnyje pateikiami įvairūs metodai, padedantys lengvai rasti reikiamą trikampio plotą.

Gerai žinoma, kad trikampis yra daugiakampio tipas, apribotas iki minimalaus galimo kraštinių skaičiaus. Iš esmės bet kurį daugiakampį galima padalyti į kelis trikampius, jo viršūnes sujungiant atkarpomis, kurios nesikerta jo kraštinių. Todėl, žinodami trikampį, galite apskaičiuoti beveik bet kurios figūros plotą.

Tarp visų galimų gyvenime pasitaikančių trikampių galima išskirti šiuos konkrečius tipus: ir stačiakampius.

Lengviausias būdas apskaičiuoti trikampio plotą yra tada, kai vienas iš jo kampų yra stačiakampis, tai yra, stačiakampio trikampio atveju. Nesunku pastebėti, kad tai pusė stačiakampio. Todėl jo plotas yra lygus pusei kraštinių, kurie sudaro stačiu kampu vienas su kitu, sandaugos.

Jei žinome trikampio, nuleisto nuo vienos jo viršūnės į priešingą kraštinę, aukštį ir šios kraštinės, vadinamos pagrindu, ilgį, tai plotas skaičiuojamas kaip pusė aukščio ir pagrindo sandaugos. Tai parašyta naudojant šią formulę:

S = 1/2*b*h, kuriame

S yra reikalingas trikampio plotas;

b, h - atitinkamai trikampio aukštis ir pagrindas.

Taip lengva apskaičiuoti lygiašonio trikampio plotą, nes aukštis bus padalintas į priešingą pusę ir gali būti lengvai išmatuotas. Jei plotas yra nustatytas, tada kaip aukštį patogu paimti vienos iš kraštinių, sudarančių stačią kampą, ilgį.

Visa tai, žinoma, gerai, bet kaip nustatyti, ar vienas iš trikampio kampų yra teisingas, ar ne? Jei mūsų figūros dydis mažas, tuomet galime naudoti konstrukcinį kampą, piešimo trikampį, atviruką ar kitą stačiakampio formos daiktą.

Bet ką daryti, jei turime trikampį žemės sklypą? Tokiu atveju elkitės taip: nuo tariamo stačiojo kampo viršaus vienoje pusėje suskaičiuokite atstumo kartotinį 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), o kitoje pusėje išmatuokite atstumo kartotinį iš 4 proporcija (40 cm, 160 cm, 4 m). Dabar reikia išmatuoti atstumą tarp šių dviejų segmentų galinių taškų. Jei rezultatas yra 5 kartotinis (50 cm, 250 cm, 5 m), tada galime sakyti, kad kampas yra teisingas.

Jei žinomas kiekvienos iš trijų mūsų figūros kraštinių ilgis, tada trikampio plotą galima nustatyti naudojant Herono formulę. Kad ji būtų paprastesnė, naudojama nauja reikšmė, kuri vadinama pusiau perimetru. Tai yra visų mūsų trikampio kraštinių suma, padalinta per pusę. Apskaičiavę pusperimetrą, galite pradėti nustatyti plotą naudodami formulę:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), kur

sqrt - kvadratinė šaknis;

p - pusiau perimetro reikšmė (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - trikampio briaunos (kraštinės).

Bet ką daryti, jei trikampis yra netaisyklingos formos? Čia yra du galimi būdai. Pirmasis iš jų – pabandyti tokią figūrą padalinti į du stačiuosius trikampius, kurių plotų suma apskaičiuojama atskirai, o po to pridedama. Arba, jei kampas tarp dviejų kraštinių ir šių kraštinių dydis yra žinomi, taikykite formulę:

S = 0,5 * ab * sinC, kur

a,b - trikampio kraštinės;

c yra kampo tarp šių kraštinių dydis.

Pastarasis atvejis praktikoje yra retas, tačiau nepaisant to, gyvenime viskas įmanoma, todėl aukščiau pateikta formulė nebus nereikalinga. Sėkmės atliekant skaičiavimus!

Trikampis yra visiems pažįstama figūra. Ir tai nepaisant gausios jo formų įvairovės. Stačiakampis, lygiakraštis, smailus, lygiašonis, bukas. Kiekvienas iš jų kažkuo skiriasi. Bet kam reikia sužinoti trikampio plotą.

Formulės, bendros visiems trikampiams, kuriuose naudojami kraštinių arba aukščių ilgiai

Juose priimti pavadinimai: šonai - a, b, c; aukščiai atitinkamose pusėse ant a, n in, n su.

1. Trikampio plotas apskaičiuojamas kaip ½, kraštinės ir iš jos atimto aukščio sandauga. S = ½ * a * n a. Kitų dviejų pusių formulės turėtų būti parašytos panašiai.

2. Garnio formulė, kurioje atsiranda pusperimetras (dažniausiai ji žymima mažąja raide p, priešingai nei visas perimetras). Pusperimetras turi būti apskaičiuojamas taip: sudėkite visas kraštines ir padalinkite jas iš 2. Pusperimetro formulė yra: p = (a+b+c) / 2. Tada lygybė plotui paveikslas atrodo taip: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Jei nenorite naudoti pusperimetro, pravers formulė, kurioje yra tik kraštinių ilgiai: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Jis yra šiek tiek ilgesnis nei ankstesnis, bet tai padės, jei pamiršote, kaip rasti pusperimetrą.

Bendrosios formulės, apimančios trikampio kampus

Žymėjimai, reikalingi formulėms perskaityti: α, β, γ - kampai. Jie yra atitinkamai priešingose pusėse a, b, c.

1. Pagal jį pusė dviejų kraštinių ir kampo tarp jų sinuso sandaugos yra lygi trikampio plotui. Tai yra: S = ½ a * b * sin γ. Kitų dviejų atvejų formulės turėtų būti parašytos panašiai.

2. Trikampio plotą galima apskaičiuoti iš vienos kraštinės ir trijų žinomų kampų. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Taip pat yra formulė su viena žinoma kraštine ir dviem gretimais kampais. Tai atrodo taip: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Paskutinės dvi formulės nėra pačios paprasčiausios. Gana sunku juos prisiminti.

Bendrosios formulės situacijai, kai žinomi įbrėžtųjų arba apibrėžtųjų apskritimų spinduliai

Papildomi žymėjimai: r, R – spinduliai. Pirmasis naudojamas įrašyto apskritimo spinduliui. Antrasis skirtas aprašytam.

1. Pirmoji formulė, pagal kurią apskaičiuojamas trikampio plotas, yra susijusi su pusperimetru. S = r * r. Kitas būdas jį parašyti yra: S = ½ r * (a + b + c).

2. Antruoju atveju reikės padauginti visas trikampio kraštines ir padalinti jas keturis kartus iš apibrėžto apskritimo spindulio. Pažodine išraiška tai atrodo taip: S = (a * b * c) / (4R).

3. Trečioji situacija leidžia apsieiti nežinant pusių, bet reikės visų trijų kampų verčių. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Ypatingas atvejis: stačiakampis trikampis

Tai pati paprasčiausia situacija, nes reikalingas tik abiejų kojų ilgis. Jie žymimi lotyniškomis raidėmis a ir b. Stačiakampio trikampio plotas lygus pusei prie jo pridėto stačiakampio ploto.

Matematiškai tai atrodo taip: S = ½ a * b. Tai lengviausia atsiminti. Kadangi tai atrodo kaip stačiakampio ploto formulė, pasirodo tik trupmena, nurodanti pusę.

Ypatingas atvejis: lygiašonis trikampis

Kadangi jis turi dvi lygias puses, kai kurios jo ploto formulės atrodo šiek tiek supaprastintos. Pavyzdžiui, Herono formulė, apskaičiuojanti lygiašonio trikampio plotą, yra tokia:

S = ½ colio √((a + ½ colio)*(a - ½ colio)).

Jei jį pakeisite, jis taps trumpesnis. Šiuo atveju lygiašonio trikampio Herono formulė parašyta taip:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

Ploto formulė atrodo šiek tiek paprastesnė nei savavališko trikampio, jei žinomos kraštinės ir kampas tarp jų. S = ½ a 2 * sin β.

Ypatingas atvejis: lygiakraštis trikampis

Dažniausiai problemose yra žinoma pusė apie tai arba ją galima kaip nors išsiaiškinti. Tada tokio trikampio ploto nustatymo formulė yra tokia:

S = (a 2 √3) / 4.

Problemos ieškant ploto, jei trikampis pavaizduotas ant languoto popieriaus

Paprasčiausia situacija, kai stačiakampis trikampis nubrėžiamas taip, kad jo kojos sutaptų su popieriaus linijomis. Tada jums tereikia suskaičiuoti ląstelių, kurios telpa į kojas, skaičių. Tada padauginkite juos ir padalinkite iš dviejų.

Kai trikampis yra smailus arba bukas, jį reikia nubrėžti į stačiakampį. Tada gautoje figūroje bus 3 trikampiai. Vienas yra tas, kuris pateiktas užduotyje. O kiti du yra pagalbiniai ir stačiakampiai. Paskutiniųjų dviejų sričių plotus reikia nustatyti aukščiau aprašytu metodu. Tada apskaičiuokite stačiakampio plotą ir iš jo atimkite pagalbiniams apskaičiuotus. Nustatomas trikampio plotas.

Situacija, kai nė viena iš trikampio kraštinių nesutampa su popieriaus linijomis, yra daug sudėtingesnė. Tada jį reikia įrašyti į stačiakampį, kad pradinės figūros viršūnės būtų jos šonuose. Šiuo atveju bus trys pagalbiniai stačiakampiai trikampiai.

Problemos pavyzdys naudojant Herono formulę

Būklė. Kai kurie trikampiai turi žinomų kraštinių. Jie yra lygūs 3, 5 ir 6 cm. Turite sužinoti jo plotą.

Dabar galite apskaičiuoti trikampio plotą naudodami aukščiau pateiktą formulę. Po kvadratine šaknimi yra keturių skaičių sandauga: 7, 4, 2 ir 1. Tai yra, plotas yra √(4 * 14) = 2 √(14).

Jei nereikia didesnio tikslumo, galite paimti kvadratinę šaknį iš 14. Jis lygus 3,74. Tada plotas bus 7.48.

Atsakymas. S = 2 √14 cm 2 arba 7,48 cm 2.

Stačiakampio trikampio problemos pavyzdys

Būklė. Viena stačiojo trikampio kojelė yra 31 cm didesnė už antrąją, jei trikampio plotas yra 180 cm 2.
Sprendimas. Turėsime išspręsti dviejų lygčių sistemą. Pirmasis yra susijęs su sritimi. Antrasis – su kojų santykiu, kuris nurodytas užduotyje.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Pirma, „a“ reikšmė turi būti pakeista pirmoje lygtyje. Pasirodo: 180 = ½ (in + 31) * in. Jis turi tik vieną nežinomą kiekį, todėl jį lengva išspręsti. Atidarius skliaustus, gaunama kvadratinė lygtis: 2 + 31 360 = 0. Tai suteikia dvi "in" reikšmes: 9 ir - 40. Antrasis skaičius netinka kaip atsakymas, nes kraštinės ilgis trikampio reikšmė negali būti neigiama.

Belieka skaičiuoti antrąją koją: prie gauto skaičiaus pridėkite 31. Pasirodo, 40. Tai yra užduotyje ieškomi kiekiai.

Atsakymas. Trikampio kojos yra 9 ir 40 cm.

Problema rasti kraštinę per trikampio plotą, kraštinę ir kampą

Būklė. Tam tikro trikampio plotas yra 60 cm 2. Būtina apskaičiuoti vieną iš jos kraštinių, jei antroji pusė yra 15 cm, o kampas tarp jų yra 30º.

Sprendimas. Remiantis priimtu užrašu, norima pusė yra „a“, žinoma pusė yra „b“, duotas kampas yra „γ“. Tada ploto formulę galima perrašyti taip:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Čia 30 laipsnių sinusas yra 0,5.

Po transformacijų „a“ yra lygus 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Tai yra 16.

Atsakymas. Reikalinga pusė 16 cm.

Uždavinys apie kvadratą, įrašytą į stačią trikampį

Būklė. Kvadrato, kurio kraštinė yra 24 cm, viršūnė sutampa su stačiu trikampio kampu. Kiti du guli ant šonų. Trečiasis priklauso hipotenuzei. Vienos kojos ilgis yra 42 cm. Koks yra stačiojo trikampio plotas?

Sprendimas. Apsvarstykite du stačiuosius trikampius. Pirmasis yra tas, kuris nurodytas užduotyje. Antrasis yra pagrįstas žinoma pradinio trikampio kojele. Jie yra panašūs, nes turi bendrą kampą ir yra sudaryti iš lygiagrečių linijų.

Tada jų kojų santykiai yra vienodi. Mažesnio trikampio kojos yra lygios 24 cm (kvadrato kraštinė) ir 18 cm (duota 42 cm kojelė, atimkite kvadrato kraštinę 24 cm). Atitinkamos didelio trikampio kojos yra 42 cm ir x cm. Būtent šis „x“ reikalingas norint apskaičiuoti trikampio plotą.

18/42 = 24/x, tai yra, x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Tada plotas lygus sandaugai iš 56 ir 42, padalijus iš dviejų, tai yra, 1176 cm 2.

Atsakymas. Reikalingas plotas yra 1176 cm2.

Geometrinės figūros plotas- geometrinės figūros skaitinė charakteristika, rodanti šios figūros dydį (paviršiaus dalis, kurią riboja uždaras šios figūros kontūras). Ploto dydis išreiškiamas jame esančių kvadratinių vienetų skaičiumi.

Trikampio ploto formulės

Trikampio ploto pagal kraštą ir aukštį formulė
Trikampio plotas lygi pusei trikampio kraštinės ilgio ir aukščio, nubrėžto į šią kraštinę, sandaugos
Trikampio ploto formulė, pagrįsta trimis kraštinėmis ir apskritimo spinduliu
Trikampio ploto formulė, pagrįsta trimis kraštinėmis ir įbrėžto apskritimo spinduliu
Trikampio plotas lygi trikampio pusperimetro ir įbrėžto apskritimo spindulio sandaugai.

Kvadratinės ploto formulės

Kvadrato ploto pagal kraštinių ilgį formulė
Kvadrato plotas lygus jo kraštinės ilgio kvadratui.
Kvadrato ploto išilgai įstrižainės formulė
Kvadrato plotas lygus pusei jo įstrižainės ilgio kvadrato.
S = 1 2
2

Stačiakampio ploto formulė

Stačiakampio plotas

Lygiagretainio ploto formulės

Lygiagretainio ploto formulė, pagrįsta kraštinės ilgiu ir aukščiu
Lygiagretainio plotas
Lygiagretainio ploto formulė, pagrįsta dviem kraštinėmis ir kampu tarp jų
Lygiagretainio plotas yra lygus jo kraštinių ilgių sandaugai, padaugintam iš kampo tarp jų sinuso.
a b sin α

Rombo ploto formulės

Rombo ploto formulė pagal kraštinės ilgį ir aukštį
Rombo plotas yra lygus jo kraštinės ilgio ir į šią pusę nuleisto aukščio ilgio sandaugai.
Rombo ploto formulė pagal kraštinės ilgį ir kampą
Rombo plotas yra lygus jo kraštinės ilgio kvadrato ir kampo tarp rombo kraštinių sinuso sandaugai.
Rombo ploto formulė, pagrįsta jo įstrižainių ilgiais
Rombo plotas lygus pusei jo įstrižainių ilgių sandaugos.

Trapecijos plotų formulės

Garnio trapecijos formulė
kur S yra trapecijos plotas,
- trapecijos pagrindų ilgiai,
- trapecijos kraštinių ilgiai,

Trikampio plotas - formulės ir problemų sprendimo pavyzdžiai

Žemiau yra savavališko trikampio ploto nustatymo formulės kurie tinka bet kokio trikampio plotui rasti, nepaisant jo savybių, kampų ar dydžių. Formulės pateikiamos paveikslėlio pavidalu su jų taikymo paaiškinimais arba teisingumo pagrindimu. Taip pat atskirame paveikslėlyje parodytas raidžių simbolių formulėse ir grafinių simbolių brėžinyje atitikimas.

Pastaba . Jei trikampis turi specialių savybių (lygiašonis, stačiakampis, lygiakraštis), galite naudoti toliau pateiktas formules, taip pat papildomas specialias formules, kurios galioja tik trikampiams, turintiems šias savybes:

"Liaukiašo trikampio ploto formulė"

Trikampio ploto formulės

Formulių paaiškinimai:
a, b, c- trikampio, kurio plotą norime rasti, kraštinių ilgiai
r- į trikampį įbrėžto apskritimo spindulys
R- aplink trikampį apibrėžto apskritimo spindulys
h- trikampio aukštis nuleistas į šoną
p- trikampio pusiau perimetras, 1/2 jo kraštinių sumos (perimetras)
α - kampas, priešingas trikampio kraštinei a
β - kampas, priešingas trikampio kraštinei b
γ - kampas, priešingas trikampio kraštinei c
h a, h b , h c- trikampio aukštis nuleistas į a, b, c puses

Atkreipkite dėmesį, kad pateiktos žymos atitinka aukščiau pateiktą paveikslą, todėl sprendžiant realią geometrijos problemą jums bus vizualiai lengviau pakeisti teisingas reikšmes tinkamose formulės vietose.

Trikampio plotas yra pusės trikampio aukščio ir kraštinės, kuria šis aukštis nuleistas, ilgio sandaugos(Formulė 1). Šios formulės teisingumą galima suprasti logiškai. Nuleistas iki pagrindo aukštis savavališką trikampį padalins į du stačiakampius. Jei kiekvieną iš jų pastatysite į stačiakampį, kurio matmenys b ir h, tada akivaizdu, kad šių trikampių plotas bus lygus tiksliai pusei stačiakampio ploto (Spr = bh)
Trikampio plotas yra pusė jo abiejų kraštinių ir kampo tarp jų sinuso sandaugos(2 formulė) (žr. problemos sprendimo pavyzdį naudojant šią formulę žemiau). Nepaisant to, kad atrodo, kad jis skiriasi nuo ankstesnio, jį galima lengvai paversti juo. Jei aukštį nuo kampo B sumažintume į kraštinę b, tai išeitų, kad kraštinės a ir kampo γ sinuso sandauga pagal sinuso savybes stačiakampiame trikampyje yra lygi trikampio aukščiui, kurį nubrėžėme. , kuri suteikia mums ankstesnę formulę
Galima rasti savavališko trikampio plotą per dirbti pusė apskritimo spindulio, įrašyto į jį visų jo kraštinių ilgių suma(3 formulė), paprasčiausiai tariant, reikia padauginti trikampio pusiau perimetrą iš įrašyto apskritimo spindulio (tai lengviau atsiminti)
Savavališko trikampio plotą galima rasti padalijus visų jo kraštinių sandaugą iš 4 aplink jį apibrėžto apskritimo spindulių (4 formulė)
5 formulė randa trikampio plotą per jo kraštinių ilgį ir pusperimetrą (pusę visų jo kraštinių sumos)
Garnio formulė(6) yra tos pačios formulės vaizdavimas nenaudojant pusperimetro sąvokos, tik per kraštinių ilgius
Savavališko trikampio plotas yra lygus trikampio kraštinės kvadrato ir kampų, esančių šalia šios kraštinės, sinusų sandaugai, padalytai iš kampo, priešingo šiai kraštinei, dvigubo sinuso (7 formulė)
Savavališko trikampio plotą galima rasti kaip dviejų apskritimo kvadratų, apribotų jį kiekvieno jo kampo sinusais, sandauga. (Formulė 8)
Jei žinomos vienos kraštinės ilgis ir dviejų gretimų kampų reikšmės, tada trikampio plotą galima rasti kaip šios kraštinės kvadratą, padalijus iš šių kampų dvigubos kotangentų sumos (9 formulė).
Jei žinomas tik kiekvieno trikampio aukščių ilgis (10 formulė), tada tokio trikampio plotas yra atvirkščiai proporcingas šių aukščių ilgiams, kaip pagal Herono formulę
11 formulė leidžia apskaičiuoti trikampio plotas, pagrįstas jo viršūnių koordinatėmis, kurios nurodytos kaip (x;y) reikšmės kiekvienai viršūnei. Atkreipkite dėmesį, kad gauta reikšmė turi būti paimta modulio, nes atskirų (ar net visų) viršūnių koordinatės gali būti neigiamų verčių srityje

Pastaba. Toliau pateikiami geometrijos uždavinių sprendimo pavyzdžiai, norint rasti trikampio plotą. Jei jums reikia išspręsti geometrijos problemą, kuri čia nėra panaši, parašykite apie tai forume. Sprendimuose vietoj simbolio "kvadratinės šaknies" galima naudoti funkciją sqrt(), kurioje sqrt yra kvadratinės šaknies simbolis, o skliausteliuose nurodoma radicand išraiška.Kartais paprastiems radikaliems posakiams galima naudoti simbolį √

Užduotis. Raskite plotą, nurodytą dviejose pusėse, ir kampą tarp jų

Trikampio kraštinės yra 5 ir 6 cm Kampas tarp jų yra 60 laipsnių. Raskite trikampio plotą.

Sprendimas.

Norėdami išspręsti šią problemą, naudojame formulę numeris du iš teorinės pamokos dalies.
Trikampio plotą galima rasti per dviejų kraštinių ilgius ir kampo tarp jų sinusą ir bus lygus
S=1/2 ab sin γ

Kadangi turime visus sprendimui reikalingus duomenis (pagal formulę), formulėje galime pakeisti tik uždavinio sąlygų reikšmes:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

Trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelėje rasime ir į išraišką pakeisime sinuso reikšmę 60 laipsnių. Jis bus lygus trijų kartų du šaknims.
S = 15 √3 / 2

Atsakymas: 7,5 √3 (atsižvelgiant į mokytojo reikalavimus, tikriausiai galite palikti 15 √3/2)

Užduotis. Raskite lygiakraščio trikampio plotą

Raskite lygiakraščio trikampio, kurio kraštinė yra 3 cm, plotą.

Sprendimas.

Trikampio plotą galima rasti naudojant Herono formulę:

S = 1/4 kvadratinių metrų ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

Kadangi a = b = c, lygiakraščio trikampio ploto formulė yra tokia:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Atsakymas: 9 √3 / 4.

Užduotis. Keičiant šonų ilgį, keičiamas plotas

Kiek kartų padidės trikampio plotas, jei kraštinės padidinamos 4 kartus?

Sprendimas.

Kadangi trikampio kraštinių matmenys mums nežinomi, norėdami išspręsti problemą, manysime, kad kraštinių ilgiai yra atitinkamai lygūs savavališkiems skaičiams a, b, c. Tada, norėdami atsakyti į uždavinio klausimą, rasime nurodyto trikampio plotą, o tada – trikampio, kurio kraštinės keturis kartus didesnės, plotą. Šių trikampių plotų santykis suteiks mums atsakymą į problemą.

Žemiau pateikiame tekstinį problemos sprendimo paaiškinimą žingsnis po žingsnio. Tačiau pačioje pabaigoje tas pats sprendimas pateikiamas patogesne grafine forma. Norintieji gali iš karto pereiti prie sprendimų.

Norėdami išspręsti, naudojame Herono formulę (žr. aukščiau teorinėje pamokos dalyje). Tai atrodo taip:

S = 1/4 kvadratinių metrų ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(žr. pirmąją paveikslėlio eilutę žemiau)

Savavališko trikampio kraštinių ilgiai nurodomi kintamaisiais a, b, c.
Jei kraštinės padidinamos 4 kartus, tada naujo trikampio c plotas bus:

S 2 = 1/4 kvadratinių metrų ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(žr. antrą eilutę paveikslėlyje žemiau)

Kaip matote, 4 yra bendras veiksnys, kurį galima ištraukti iš skliaustų iš visų keturių išraiškų pagal bendrąsias matematikos taisykles.
Tada

S 2 = 1/4 kvadratinių metrų (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - trečioje paveikslo eilutėje
S 2 = 1/4 kvadratinių metrų (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - ketvirta eilutė

Skaičiaus 256 kvadratinė šaknis puikiai išgauta, todėl išimkime ją iš po šaknies
S 2 = 16 * 1/4 kvadratinių metrų ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 kvadratiniai plotai ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(žr. žemiau esančios nuotraukos penktąją eilutę)

Norėdami atsakyti į užduotą klausimą, tereikia padalyti gauto trikampio plotą iš pradinio ploto.
Plotų santykius nustatykime dalijant išraiškas vieną iš kitos ir sumažinant gautą trupmeną.

Kaip galbūt prisimenate iš savo mokyklos geometrijos mokymo programos, trikampis yra figūra, sudaryta iš trijų atkarpų, sujungtų trimis taškais, kurie nėra toje pačioje tiesėje. Trikampis sudaro tris kampus, taigi ir figūros pavadinimas. Apibrėžimas gali skirtis. Trikampis taip pat gali būti vadinamas daugiakampiu su trimis kampais, atsakymas taip pat bus teisingas. Trikampiai skirstomi pagal lygių kraštinių skaičių ir kampų dydį paveiksluose. Taigi trikampiai skiriami kaip lygiašoniai, lygiakraščiai ir skalės, taip pat atitinkamai stačiakampiai, smailūs ir bukūs.

Yra daug formulių trikampio plotui apskaičiuoti. Pasirinkite, kaip rasti trikampio plotą, t.y. Kokią formulę naudoti, priklauso nuo jūsų. Tačiau verta atkreipti dėmesį tik į kai kuriuos žymėjimus, kurie naudojami daugelyje formulių apskaičiuojant trikampio plotą. Taigi, atsiminkite:

S yra trikampio plotas,

a, b, c yra trikampio kraštinės,

h yra trikampio aukštis,

R yra apibrėžto apskritimo spindulys,

p yra pusiau perimetras.

Štai pagrindiniai užrašai, kurie gali būti naudingi, jei visiškai pamiršote geometrijos kursą. Žemiau pateikiamos labiausiai suprantamos ir nesudėtingos nežinomos ir paslaptingos trikampio srities apskaičiavimo parinktys. Tai nesunku ir pravers tiek jūsų buities reikmėms, tiek padedant vaikams. Prisiminkime, kaip kuo lengviau apskaičiuoti trikampio plotą:

Mūsų atveju trikampio plotas yra: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 kv. Atminkite, kad plotas matuojamas kvadratiniais centimetrais (kvcm).

Statusis trikampis ir jo plotas.

Statusis trikampis yra trikampis, kurio vienas kampas yra lygus 90 laipsnių (todėl vadinamas dešiniuoju). Statųjį kampą sudaro dvi statmenos linijos (trikampio atveju dvi statmenos atkarpos). Stačiame trikampyje gali būti tik vienas stačiakampis, nes... bet kurio vieno trikampio visų kampų suma lygi 180 laipsnių. Pasirodo, 2 kiti kampai turėtų padalyti likusius 90 laipsnių, pavyzdžiui, 70 ir 20, 45 ir 45 ir tt. Taigi, atsimenate pagrindinį dalyką, belieka išsiaiškinti, kaip rasti stačiojo trikampio plotą. Įsivaizduokime, kad prieš mus yra toks stačiakampis trikampis ir reikia rasti jo plotą S.

1. Paprasčiausias būdas nustatyti stačiakampio trikampio plotą apskaičiuojamas pagal šią formulę:

Mūsų atveju dešiniojo trikampio plotas yra: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 kv. cm.

Iš esmės nebereikia tikrinti trikampio ploto kitais būdais, nes Tik šis pravers ir pravers kasdieniame gyvenime. Tačiau taip pat yra galimybių išmatuoti trikampio plotą smailiais kampais.

2. Taikant kitus skaičiavimo metodus, turite turėti kosinusų, sinusų ir liestinių lentelę. Spręskite patys, čia yra keletas stačiojo trikampio ploto, kurį vis dar galima naudoti, skaičiavimo parinktys:

Nusprendėme naudoti pirmąją formulę ir su nedideliais dėmėmis (nubraižėme ją sąsiuvinyje ir panaudojome seną liniuotę ir matuoklį), bet gavome teisingą skaičiavimą:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Gavome tokius rezultatus: 3,6=3,7, bet atsižvelgiant į ląstelių poslinkį, šį niuansą galime atleisti.

Lygiašonis trikampis ir jo plotas.

Jei susiduriate su užduotimi apskaičiuoti lygiašonio trikampio formulę, paprasčiausias būdas yra naudoti pagrindinę ir tai, kas laikoma klasikine trikampio ploto formule.

Bet pirmiausia, prieš surasdami lygiašonio trikampio plotą, išsiaiškinkime, kokia tai figūra. Lygiašonis trikampis yra trikampis, kurio dvi kraštinės yra vienodo ilgio. Šios dvi pusės vadinamos šoninėmis, trečioji – pagrindu. Nepainiokite lygiašonio trikampio su lygiašoniu trikampiu, t.y. taisyklingas trikampis, kurio visos trys kraštinės lygios. Tokiame trikampyje nėra ypatingų tendencijų kampams, tiksliau jų dydžiui. Tačiau lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo yra lygūs, bet skiriasi nuo kampo tarp lygių kraštinių. Taigi, jūs jau žinote pirmąją ir pagrindinę formulę, belieka išsiaiškinti, kokios kitos lygiašonio trikampio ploto nustatymo formulės: